numerecomplexein_1

1

De Ing. Lăscoi Alexandru, de la Liceul Tehnologic de Electronică și

Automatizări ”Caius Iacob” din Arad

FOLOSIREA NUMERELOR COMPLEXE ÎN CIRCUITE

ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV.

13-1.CURENŢI, TENSIUNI ŞI IMPEDANŢE COMPLEXE

Enunţul problemei.

Pentru un circuit neramificat de curent alternativ, cu reprezentarea

vectorială din fig. 13-1, să i se exprime tensiunea şi curentul prin numere

complexe sub trei forme, algebrică, trigonometrică şi exponenţială, dacă se

cunosc: U 1 = 220 V, U 2 = 127 V şi I = 2 A.

Fig. 13-1. Diagrama fazorială în planul complex.

2

Rezolvarea problemei.

1. Proiectarea vectorilor pe axele de coordonate reală şi imaginară.

Adunarea vectorilor după cum s-a arătat şi în paragraful 11-1, este uşor de

făcut dacă se cunosc proiecţiile lor pe axele de coordonate x şi y. Pentru

cazul de aici, pentru tensiunile U 1 şi U 2 , se obţin:

U '

1 = U 1 · cos 60° = 220 · 0,5 = 110 V;

U ''

1 = U 1 · sin 60° = 220 · 0,866 = 190 V;

U '

2 = 0 (proiecţia pe axa x);

U ''

2 = U 2 = 127 V.

Dacă se consideră axa x axa reală (+1) şi axa y axa imaginară (+j)

atunci tensiunile U 1 şi U 2 pot fi reprezentate în complex, sub formă

algebrică U 1 şi U 2 astfel :

U 1 = U '

1 + j · U ''

1 = (110 + j · 190,5) V;

U 2 = 0 - j · U ''

2 = - j · 127 V.

Primul număr complex este reprezentat prin fazorul U 1 , iar al doilea

prin fazorul U 2 .

Pentru fazorul curentului I, care este reprezentat pe axa numerelor

reale, proiecţia pe axa numerelor imaginare este nulă şi fazorul curentului va

fi : I = I + j · 0 = 2 A.

2. Calcularea modulelor şi a argumentelor. Valoarea absolută a

fazorului, de exemplu U 1 , numită şi modulul mărimii complexe U 1 , este

determinată din triunghiul OKM din fig. 13-1.

U 1 = | U 1 | = 2''

2

2'

1 )()( UU .

Pentru cazul de faţă modulele U 1 , U 2 şi I sunt cunoscute din datele

problemei.

Faza iniţială a fazorului numită şi argumentul marimii complexe, este

pentru U 1 = 60°, pentru U 2 = -90° şi pentru I = 0°, ca în fig. 13-1.

3

3. Formele reprezentării complexe a fazorilor. Problema referitoare la

alegerea formei de reprezentare a numerelor şi a mărimilor complexe ţine de

modul în care se poate determina în mod univoc un fazor.

S-a arătat, mai înainte, cum poate fi folosită proiecţia reală şi

imaginară, obţinându-se în acest felforma algebrică a mărimii complexe.

Dacă fiecare din proiecţiile fazorului U 1 este scris prin modulul şi

argumentul său: U '

1 = U 1 · cos 60°; U ''

1 = U 1 · sin 60°, atunci se obţine

forma trigonometrică a mărimii complexe U 1 = U 1 · cos 60° + j · U 1 · sin

60° = U 1 · (cos 60° + j · sin 60°).

După formula lui Euler : cos + j · sin = e j , rezultă :

U 1 = U 1 · (cos 60° + j · sin 60°) = U 1 · e60j = 220 · e

60j V.

Ultima expresie se numeşte forma exponenţială a mărimii complexe.

Utilizând această formă : U 2 = U 2 · e90j = 127 · e

90j ;

I = I · e 0j = I = 2A.

Discuţii suplimentare :

1. Din ce cauză se folosesc mai multe forme de exprimare a numerelor

şi a mărimilor complexe?

Forma exponenţială este formată din valoarea absolută a mărimii

complexe (modul) şi direcţia fazorului (argument). Avantajul major al

formei exponenţiale constă în uşurinţa efectuării operaţiilor de înmulţire şi

împărţire a numerelor şi mărimilor complexe, cum ar fi, de exemplu,

calcularea impedanţei complexe ca raportul dintre tensiunea complexă şi

curentul complex.

Ca dezavantaj, forma exponenţială nu permite adunarea sau scăderea

mărimilor complexe, caz în care se recurge la forma algebrică.

Forma trigonometrică mai este utilizată şi la trecerea de la forma

exponenţială la forma algebrică şi invers. Mai jos se face trecerea de la

forma algebrică la forma exponenţială şi invers : U 1 = 220 · e60j = 220 ·

·(cos 60° + j · sin 60°) = 220 · 0,5 + j · 220 · 0,866 = (110 + j · 190,5) V.

4

2. Cum se determină impedanţa complexă a unui circuit neramificat,

având curentul I şi tensiunile U 1 şi U 2 , reprezentat în fig.13-1?

Pentru porţiunea de circuit de tensiune U 1 şi curentul I, impedanţa

complexă va fi :

Z 1 = Z 1 · e 1j = I

U1 = 2

220 60je = 110 · e

60j , unde :

Z 1 = 110 este modulul impedanţei complexe

1 = 60° este argumentul impedanţei complexe.

Folosind formula lui Euler se obţine :

Z 1 = 110 · (cos 60° + j · sin 60°) = (55 + j · 93,5)

Se observă că rezistenţa pur ohmică a porţiunii de circuit examinată

este r 1 = Z 1 · cos 60° = 110 · cos 60° şi reactanţa (pentru cazul de faţă

inductivă) X1L = Z 1 · sin 60° = 110 · sin 60°, partea reală a numărului

complex Z 1 este chiar rezistenţa ohmică r 1 = 55 , iar partea imaginară a

numărului complex este reactanţa inductivă X1L = 95,3 , adică

Z 1 = r 1 + j · X1L .

Pentru porţiunea de circuit cu tensiunea U 2 , impedanţa complexă

este: Z 2 = Z 2 · e 2j = I

U 2 = 2

127 90je = 63,5 (cos 90° - j sin 90°) =

= - j · 63,5 , unde Z 2 = 63,5 şi 2 = - 90°.

Cum era de aşteptat, pe cea de a doua porţiune a circuitului, în care

tensiunea este defazată înapoia curentului cu 90°, nu există rezistenţă activă

(pură) şi rezistenţa sa are un caracter capacitiv, deci Z 2 = X C = 63,5 şi

Z 2 = - j · X C .

Astfel, partea reală a impedanţei complexe reprezintă rezistenţa activă

a porţiunii de circuit şi partea imaginară a numărului complex este reactanţa

5

porţiunii de circuit, reactanţă care poate fi inductivă dacă numărul imaginar

este pozitiv sau capacitivă dacă numărul imaginar este negativ.

3. Cum se determină tensiunea la bornele unui circuit?

Luând în considerare că, în cazul de faţă, circuitul este format din

două laturi de circuit conectate în serie, cu tensiunile U 1 şi U 2 , se obţine

tensiunea la borne U :

U = U 1 + U 2 = 110 + j · 190,5 - j · 127 = (110 + j · 63,5) V, cu

modulul U = 22 5,63110 = 127 V.

4. Cum se obţine valoarea instantanee a tensiunii, pornind de la

valoarea sa complexă?

Dacă se cunoaşte expresia complexă a tensiunii atunci se obţine uşor

valoarea maximă a tensiunii şi faza sa iniţială.

Pentru tensiunea complexă U 1 = 220 · e60j , valoarea maximă

(amplitudinea) este : U m1 = 2 · 220 V şi faza iniţială egală cu 60°.

Se obţine : u 1 = 220 · 2 sin ( · t + 60°) = 345 · sin ( · t + 60°)

V.

5. Se pot considera părţile reală şi imaginară a tensiunii complexe şi a

curentului complex ca fiind componentele lor active şi reactive?

De exemplu, pentru prima porţiune de circuit componenta activă a

curentului este egală cu proiecţia fazorului complex I pe fazorul tensiunii

complexe U 1 , ca în fig.13-1.

I a = I · cos 60° = 2 · 0,5 = 1 A, iar componenta reactivă a curentului

complex este egală cu proiecţia pe o perpendiculară ridicată pe fazorul

tensiunii complexe, adică : I r = I · sin 60° = 2 · 0,866 = 1,72 A.

6

Este evident că pentru cazul general I a şi I r , nu au nici un fel de

legătură cu partea reală şi cu partea imaginară a numerelor complexe.

Componenta activă şi componenta reactivă a tensiunii complexe U 1 ,

in unele cazuri particulare, cum este şi problema de mai sus, coincid cu

partea reală şi cu partea imaginară a tensiunii complexe U 1 din cauza

curentului prin circuit şi care este orientat după axa mărimilor reale.

13-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL CU MAI MULTE

RAMURI.

Enunţul problemei :

Să se calculeze prin metoda numerelor complexe, toţi curentii din

circuitul din fig. 11-1 pentru variabile indicate în paragraful 11-1.

Rezolvarea problemei :

1. Calculul impedanţelor din circuit.

7

Cum s-a indicat mai înainte (paragraful 13-1 discuţia suplimentară 2)

rezistenţa, reactanţa capacitivă şi reactanţa inductivă se scriu sub forma lor

complexă R, -j X C şi j X L .

Dându-se valorile elementelor de circuit pentru a calcula reactanţa

capacitivă şi reactanţa inductivă :

X C = C

1 =

fC2

1 =

6102,21502

1

= 2,21100

10 6

=

5,21

104

= 150 .

X L = · L = 2 · f · L = 2 · 50 · 0,19 = 60 .

X C = 150 ; X L = 60 ;

Impedanţele complexe ale ramurilor ACB şi ADB, Z1 şi Z 2 sunt :

Z 1 = R 1 + j · X L = (80 + j · 60) = 100 · e j86,36 = 100 · e37j .

Z 2 = R 2 - j · X C = (260 - j · 150) = 300,166 · e 98,29j = 300 · e30j .

Impedanţa complexă totală Z este :

Z = 21

21

ZZ

ZZ

=

1502606080

300100 3037

jj

ee jj

= 90340

30000 7

j

e j

= 934

3000 7

j

e j

=

='82,14

7

17,35

3000

j

j

e

e

= 85 · e '50,21j

Z = 85 · e '5021j .

Se obţine acelaşi rezultat ca la paragraful 11-1, discuţia suplimentară 4.

2. Calculul curenţilor :

Considerăm fazorul la borne orientat după axa numerelor reale

pozitive. Atunci fazorul tensiunii va fi : U = U = 120 V.

8

Curentul total complex I

I = Z

U =

'802185

120

e = 1,4 · e 0521 j

Curenţii compuşi din ramuri :

I 1 = 1Z

U =

37100

120je

= 1,2 · e37j A.

I 2 = 2Z

U =

30300

120je

= 0,4 · e30j A.

3. Calculul fazorului tensiune U CD se aplică a doua teoremă a lui

Kirchhoff sub forma ei complexă, pentru conturul ACDA

n

i

iU1

=

n

ZI1

I 1 · Z 1 + U CD - I 2 · Z 2 = 0 de unde rezultă :

U CD = I 2 · Z 2 - I 1 · Z 1 = 0,4 · e30j · 260 - 1,2 · e

37j · 80 =

= 104 · (cos 30° + j · sin 30°) - 96 · (cos 37°- j · sin 37°) =

= 104 · 0,866 + j · 104 · 0,5 - 96 · 0,601 =

= 90,066 + j · 52 - 76,669 + j · 57,774 =

= 13,3976 + j · 109,7747 =

= 13,4 + j · 109,8 =

= 110,6 · e83j V.


1. De ce s-a considerat fazorul tensiunii ca fiind orientat după axa

numerelor reale?

9

Direcţia fazorului U poate fi aleasă în mod arbitrar. Alegerea făcută

permite obţinerea unei expresii simple pentru tensiunea complexă U

(fără parte imaginară) fiind egal cu 0.

U = U · e 0j = U

2. Cum este ordinea calculului circuitului, dacă se cunosc fie curentul

dintr-o ramură oarecare, fie tensiunea?

În acest caz orientăm fazorul asociat mărimii cunoscute (fie curent, fie

tensiune) după axa numerelor reale (axa x, abscisă) şi se va exprima acest

fazor printr-un număr complex care este egal cu valoarea efectivă (a

curentului sau tensiunii), faza iniţială considerându-se egală cu 0.

3. Cum decurg calculele dacă alegem o altă direcţie iniţială pentru

fazorul tensiunii, U ?

Dacă, spre exemplu, luăm U = j · U, adică orientăm vectorul U

după direcţia pozitivă a axei y, toţi curenţii complecşi vor fi înmulţiţi cu j.

Atunci, modulele tuturor mărimilor complexe rămân aceleaşi, în timp ce

argumentele lor se măresc cu 90°, adică toţi vectorii pivotează cu 90° în sens

pozitiv. Faptul că modulele vectorilor şi defazajele rămân aceleaşi permit

alegerea arbitrară a direcţiei unui vector.

4. Cum se rezolvă problema folosind admitanţele complexe ale

ramurilor?

Admitanţa complexă a primei ramuri Y 1 va fi :

Y 1 = 1

1

Z =

LXjR 1

1=

22

1

1

L

L

XR

XjR

=

22

1

1

LXR

R

- j ·

22

1 L

L

XR

X

În expresia obţinută se distinge uşor partea activă (reală) şi partea

reactivă (imaginară) a admitanţei.

Y 1 = G1 - j · B 1

10

La fel se obţine şi admitanţa complexă şi pentru cea de-a doua ramură

Y 2 = G 2 - j · B 2

Conductanţele şi inductanţele au fost obţinute în cazul acesta, în

paragraful 11-2 ; avem astfel :

Y 1 = (8 · 10 3 - j · 6 · 10 3 ) 1 S .

Y 2 = (2,9 · 10 3 + j · 1,7 · 10 3 ) 1 S .

Admitanţele complexe pot fi obţinute direct şi din impedanţele

complexe cunoscute :

Y 1 = 1

1

Z=

37100

1 je

= 0,01 · e37j = 0,01 · cos(-37°) + j · 0,01· sin(-37°) =

= (8 · 10 3 - j · 1,7 · 10 3 ) 1 .

Y 2 = 2

1

Z= 30300

1 je

= 3,33 · 10 3 · e30j = (2,9 · 10 3 + j · 1,7 · 10 3 ) 1 .

Se observă că pentru conexiunea paralel admitanţa complexă a

circuitului este egală cu suma admitanţelor complexe ale ramurilor de

circuit; astfel se obţine Y :

Y = Y 1 + Y 2 = 8 · 10 3 - j · 6 · 10 3 + 2,9 · 10 3 + j · 1,7 · 10 3 =

= (10,9 · 10 3 - j · 4,3 · 10 3 ) 1 .

Curentul complex total din circuit va fi :

I = U · Y = 120 · 11,7 · 10 3 · e '5021 j = 1,4 · e '5021 j A.

5. Cum se verifică rezultatele obţinute?

11

Aplicând numerele complexe la calculul circuitelor de curent

alternativ, este uşor de verificat calculele, cu ajutorul legilor lui Kirchhoff.

Verificăm, de exemplu, egalitatea sumei curenţilor complecşi din ramurile

de circuit cu curentul complex total (prima lege a lui Kirchhoff) :

I 1 = 1,2 · e37j = 1,2 · (cos 37° - j · sin 37°) = (0,96 - j · 0,72) A.

I 2 = 0,4 · e30j = 0,4 · (cos 30° + j · sin 30°) = (0,35 + j · 0,2) A.

Efectuând suma lor, se va obţine :

I 1 + I 2 = 0,96 - j · 0,72 + 0,35 + j · 0,2 = 1,31 - j · 0,52 = 1,4 ·

e '5021 j A.

Adică, tocmai, expresia curentului I :

I = 1,4 e '5021 j A.

12

13-3. CIRCUIT RAMIFICAT PARALEL ŞI SERIE.


Să se determine valoarea şi caracterul (inductiv sau capacitiv)

reactanţei X care trebuie conectată pe porţiunea AB (fig. 13-2) pentru ca tot

circuitul să se afle în rezonanţă la frecvenţa de 400 Hz. Să se calculeze, în

aceste condiţii, tensiunea la borne, U 1 care determină un curent prin

condensator I C = 0,1 A, dacă L b = 50 mH ; R b = 25 ; C = 0,8 F.


1. Condiţia de stabilire a rezonanţei de tensiune în circuitul din fig.

13-2. Acest regim se poate stabili într-un circuit format dintr-o inductanţă şi

o capacitanţă conectate în serie dacă X L = X C .

13

Din aceată cauză nu se poate calcula valoarea necesară a reactanţei

care trebuie conectată pe porţiunea AB decât după ce se calculează reactanţa

porţiunii BC, cu aceste cuvinte a circuitului format din inductanţă şi

condensator conectate în paralel.

Impedanţa complexă a bobinei va fi :

Z b = R b + j · X b = R b + j · · L b =R b + j · 2 · f · L b = 25 + j · 2 ·

400 · 0,05 = (25 + j · 125) = 127,5 · e 0478 j .

Impedanţa complexă a capacităţii va fi :

Z C = CXj

1=

Cj

1=

Cfj 2

1=

6108,04002

j=

= - j ·8,0800

106

= - j · 500 = 500 · e

90j .

Impedanţa complexă a porţiunii BC, Z BC este :

Z BC = cb

cb

ZZ

ZZ

=

50012525

5005,127 900478

jj

ee jj

= 0386

0211

376

63750

j

j

e

e= 170 · e 0175 j =

= (44,3 + j · 164) .

Astfel porţiunea BC din fig. 13-2 poate fi reprezentată printr-o

rezistenţă pur ohmică R = 44,3 (care este partea reală a impedanţei

complexe Z BC ) şi o inductanţă de X L = 164 (care este partea imaginară

pozitivă, a impedanţei complexe Z BC ) conectate în serie, ca în fig. 13-3.

14

Fig. 13-3.

În acest mod, devine evident faptul că porţiunea AB trebuie să aibe o

reactanţă capacitivă X C egală cu X L . Deci X = 164 . Schema echivalentă

a circuitului iniţial fiind dată în fig. 13-4.

2. Calculul tensiunii la bornele circuitului.

Având în vedere faptul că din datele problemei se cunoaşte curentul

prin condensatorul C, este indicat, ca în reprezentarea grafică, să se orienteze

acest curent după axa reală ; astfel faza iniţială este nulă :

I C = I C · e0j = I C = 0,1 A.

Tensiunea complexă a conexiunii paralele U BC este :

15

U BC = I C · Z C = 0,1 · (- j · 500) = - j 50 V = 50 · e90j V.

După aceea se va determina curentul complex prin bobină :

I B = b

BC

Z

U=

0478

90

5,127

50

j

j

e

e= 0,39 · e 0416 j = (- 0,385 – j · 0,077) A.

Curentul total, I, rezultă prin aplicarea primei legi a lui Kirchhoff, sub

forma complexă, în nodul B, este :

I - I c - I b = 0

I = I c + I b = 0,1 - 0,385 – j · 0,077 = (- 0,285 - j · 0,077) A.

Impedanţa echivalentă a circuitului Z AC rezultă din fig. 13-4, ca fiind

egală cu :

Z AC = R + j · X L - j · X C = 44,3 + j · 164 - j · 164 = 44,3 .

Tensiunea complexă la bornele circuitului U este :

U = I · Z AC = (- 0,285 - j · 0,077) · 44,3 = (- 12,6 - j · 3,4) V.

Având modulul şi deci valoarea efectivă :

U = | U | = 22 4,36,12 = 13 V.

2. În care cazuri puterea reactivă Q > 0 şi în care Q < 0?

În discuţia precedentă s-a arătat că puterea efectivă a bobinei se

exprimă printr-un număr pozitiv iar cea a condensatorului printr-un număr

negativ. Este o întâmplare? Se va arăta că nu. În capitolul 10 s-a demonstrat

că puterea reactivă Q = X · I 2 unde reactanţa X este egală cu X = X L - X C .

În consecinţă : Q = (X L - X C ) · I 2 = X L · I 2 - X C · I 2 = Q L - Q C adică

pentru inductanţa Q’= Q L > 0 şi pentru capacitate Q’’= Q C < 0.

16

3. Se pot calcula puterile aparente complexe dacă se dau valorile

efective ale curenţilor din circuit?

Da, conform datelor problemei, nu determinăm decât valorile efective

ale curenţilor şi cunoscând parametrii circuitului putem calcula întotdeauna

puterile sub forma lor complexă. Pentru aceasta se foloseşte forma algebrică

de exprimare a puterii aparente complexe S = P + j · Q.

În continuare se va aplica această metodă la calculul circuitului din

fig. 13-2.

Puterea activă a bobinei : P b = R b · I 2

b = 25 · (0,39) 2 = 3,85 W.

Puterea reactivă a bobinei : Q b = X L · I 2

b = 125 · (0,39) 2 =19,2 var, de

unde rezultă puterea aparentă complexă a bobinei :

S b = P b + j · Q b = (3,85 + j · 19,2) VA.

Analog, rezultă şi pentru condensator :

P C = 0 ; Q C =X C · I 2

C =500 · (0,1) 2 = 5 var

S C = P C - j · Q C = - j · 5 VA.

Şi pentru elementul reactiv X : P X = 0

Q C = X · I 2 = 164 · (0,295) 2 = 14,3 var, unde I este modelul curentului

complex I : I = | I | = 22 )077,0()285,0( = 0,295 A.

Astfel vom avea :

S X = P X - j · Q X = - j · 14,3 VA.

Rezultatele obţinute coincid cu cele de la punctul 1.

4. Cum se calculează puterea aparentă a unei punţi ramificate de

circuit?

Expresia puterii aparente complexe S = U · I* se distinge prin

generalitatea sa, din cauză că se poate folosi atât pentru elemente pasive cât

17

şi active ale unui circuit (a se vedea punctul 1 de la discuţii suplimentare) cât

şi pentru o porţiune de circuit compus din orice conexiune ale acestor

elemente de circuit.

Ca exemplu se calculează puterea complexă a porţiunii ramificate BC

pentru circuitul din fig. 13-2.

Se observă că impedanţa echivalentă a porţiunii BC este străbătută de

curentul total al circuitului I = (- 0,285 - j · 0,077) A.

Puntea aparentă complexă a porţiunii BC, S BC , este :

S BC = U · I*= 50 · e90j (-0,285 + j · 0,077) = - j · 50 · (- 0,285 + j ·

·0,077) = (3,85 + j · 14,2) VA.

Comparând rezultatul obţinut aici cu cel obţinut la discuţia

suplimentară 1 : S b + S c = 3,85 + j · 19,2 - j · 5 = 3,85 + j · 14,2 = S BC , se

confirmă egalitatea.


1. Cum se stabileşte balanţa puterilor complexe?

În cazul calculului unui circuit prin metoda complexă, se cunosc de

obicei tensiunile complexe şi curenţii complecşi. Puterea aparentă complexă

pentru o porţiune de circuit care la borne are tensiunea complexă U şi este

străbătut de curentul complex I este : S = U · I*, unde prin I*s-a notat

valoarea conjugată a curentului complex care trece prin porţiunea respectivă

de circuit.

Dacă se calculează partea reală şi partea imaginară a mărimii S, se

dovedeşte că prima parte reprezintă puterea activă P şi a doua puterea

reactivă Q, adică : S = U · I*= P + j · Q.

Folosind aceste relaţii pentru stabilirea balanţei puterilor din circuitul

reprezentat în fig. 13-2 vom obţine succesiv puterea aparent complexă a

bobinei :

18

S b = U BC · I *

b = 50 · e90j · 0,39 · e 0416 j = 19,5 · e 0478 j =

=19,5 · (cos 78°40' + j · sin 78°40') = 19,5 · (0,19 + j · ·0,975) =

=(3,85 + j · 19,2) VA, de unde rezultă pentru bobină puterile :

S b = | S b | = 22 2,1985,3 = 19,5 VA.

P b = 3,85 W.

Q b = 19,2 var.

În mod analog se calculează şi puterile condensatorului C :

S C = U BC · I *

C = 50 · e90j · 0,1 = - j · 5 VA.

S C = | S C | = 5 VA.

P C = 0.

Q C = - 5 var.

Pentru porţiunea de circuit care conţine reactanţa X se calculează, mai

întâi, căderea de tensiune complexă U X :

U X = j · X · I*= - j · 164 · (- 0,285 - j · 0,077) = (- 12,6 + j · 47) V.

Apoi se calculează puterea aparentă complexă :

S X = U X · I*= (- 12,6 + j · 47) · (- 0,285 + j · 0,077) = 3,6 - j · 0,97 - j

· · 13,395 – 3,6 = 3,6 – j · 0,9 – j · 13,4 – 3,6 = - j · 14,3 VA.

De unde rezultă :

S X = | S X | = 14,3 VA.

P X = 0.

Q X = - 14,3 var.

19

Pentru datele problemei, puterea aparentă complexă totală a tuturor

elementelor pasive din circuit este :

S p = S b + S C + S X = 3,85 + j · 19,2 - j · 5 - j · 14,3 = 3,85 VA.

Puterea reactivă a circuitului rezultă nulă, din cauză că circuitul este în

regim de rezonanţă. Puterea complexă a sursei de alimentare, S S este :

S S = U · I*= (12,6 - j · 3,4) · (- 0,285 + j · 0,077) = 3,85 VA.

În consecinţă, puterile complexe ale receptorilor şi a sumei de energie

sunt egale : S P = S S , adică are loc echilibrarea puterilor.

13-4. CIRCUIT RAMIFICAT CU INDUCŢIE MUTUALĂ.


În circuitul din fig. 13-5 se dă tensiunea la borne U = 220 V,

rezistenţele şi inductanţele porţiunilor de circuit :

· L 2 = 2

1

C= R 2 = 100 ; · L 1 = 80 ; R 1 = 60 . Reactanţa

inducţiei mutuale X m = · M = 80 .

Se cere să se determine curenţii şi să se construiască diagrama

vectorială topografică.

20

Fig. 13-5. Circuit format din două ramuri conectate în paralel şi

cuplate prin inducţie mutuală.


1. Tensiunea la bornele ramurilor din circuit. (fig. 13-5)

Curentul I 1 , în trecere prin ramura care conţine rezistenţa R 1 şi bobina

L 1 conectate în serie, determină căderile de tensiune, care sub formă

complexă, sunt I 1 · R 1 şi I1 · j · · L 1 . Pe de altă parte, fluxul magnetic al

bobinei L 2 , determinat de curentul I 2 din cealaltă ramură, traversează şi

bobina L 1 , inducând în aceasta o tensiune electro motoare de inducţie

mutuală E 1 2 = I 2 · · M = I 2 · X M , care este defazată în urmă cu 90° faţă

de curentul I 2 . Adică, sub formă complexă tensiunea electro motoare de

inducţie mutuală E 1 2 = - j · · M · I 2 este echivalentă de către căderea de

tensiune suplimentară pe bobina L 1 : U 1 2 = j · · M · I 2 .

21

Ţinând cont de toate căderile de tensiune discutate mai sus, se poate

scrie tensiunea la borne pentru ochiul I (AO 1 BA) astfel :

U = I1 · R 1 + I 1 · j · · L 1 + I 2 · j · · M. (13-1)

Tensiunea U 1 2 = I 2 · j · · M din ecuaţia (13-1) este luată cu semnul

plus pentru că bobinele L 1 şi L 2 sunt cuplate inductiv “în acord”, cu alte

cuvinte, curenţii I 1 şi I 2 au acelaşi sens faţă de bornele însemnate cu

asterixuri. (fig. 13-5)

Dacă, de exemplu, pentru bobina L 1 (fig. 13-5) asterixul era pus la

borna O 1 şi nu la borna A, cuplajul bobinelor L 1 şi L 2 era “în opoziţie”.

Atunci termenul I 2 · j · · M din ecuaţia (13-1) trebuia luat cu

semnul minus.

Deplasarea asterixului de la un capăt la altul al unei bobine, înseamnă

că bornele de “intrare” şi de “sfârşit” ale bobinei îşi schimbă locul.

Raţionând în acelaşi mod şi pentru ochiul II (AO 2 BA) şi ţinând în

plus, cont de condensatorul C 2 , vom avea expresia pentru tensiuni :

U = I 2 · R 2 - I 2 · j · 2

1

C + I 2 · j · · L 2 + I 1 · j · · M.

(13-2)

2. Calculul curenţilor.

Se scriu, mai întâi, impedanţele complexe ale ramurilor, fără a ţine

seama de inductanţa mutuală :

Z 1 = R 1 + j · · L 1 ; Z 2 = R 2 + j · ( · L 2 - 2

1

C) şi rezolvând

sistemul de două ecuaţii, (13-1) şi (13-2) în raport cu curenţii prin cele două

ramuri, se va obţine :

I 1 = U · 22

21

2

MZZ

MjZ

(13-3) I 2 = U ·

22

21

1

MZZ

MjZ

(13-4)

Înlocuind datele numerice, avem succesiv :

22

Z 2 - j · · M = 100 - j · 80 = 128 · e 0338 j ;

Z 1 - j · · M = 60 + j · 80 - j · 80 = 60 ;

Z 1 · Z 2 + 2 · M 2 = (60 + j · 80) · 100 + (80) 2 = 14750 · e 0432 j

2 .

Înlocuind rezultatele obţinute mai sus în ecuaţiile (13-3) şi (13-4) vom

obţine expresiile curenţilor I 1 şi I 2 :

I 1 = 220 · 0432

0338

14750

128

j

j

e

e= 1,91 · e 0171 j A.

I 2 = 220 · 043214750

60

je

= 0,895 · e 0432 j A.

În continuare se exprimă curenţii complecşi obţinuţi sub forma

algebrică, având în vedere că :

sin 71°10’= 0,95 ; sin 32°40’= 0,539

cos 71°10’= 0,32 ; cos 32°40’= 0,841

Astfel :

I 1 = 1,91 · (cos 71°10’- j · sin 71°10’) = 1,91 · (0,32 - j · 0,95) =

= 0,611 – j · 1,815 A ;

I 2 = 0,895 · (cos 32°40’ - j · sin 32°40’) = 0,895 · (0,841 - j · 0,539) =

= 0,752 – j · 0,483 A ;

I = I 1 + I 2 = 1,363 - j · 2,3 = 2,65 · e 0359 j A.

23

a)

24

b)

Fig. 13-6. Diagrama fazorială a curenţilor (a) şi diagrama topografică

a tensiunilor (b) pentru circuitul din fig. 13-5.

25

13-5. CIRCUIT COMPLEX.


Două generatoare conectate în paralel (fig. 13-7) a căror tensiune

electromotoare sunt E 1 = 118 şi E 2 = 124 V şi sunt în fază, alimentează un

circuit exterior cu o impedanţă activ inductivă Z = (0,5 + j · 0,3) .

Impedanţele interne ale generatoarelor sunt pur inductive şi egale între ele.

Z 01= Z 02 = Z 0 = j · 0,05 .

Se cere să se determine toţi curenţii din circuit şi curentul din circuitul

exterior pentru valori ale impedanţei de sarcină Z S egale cu 2Z, Z, 2

Z şi

4

Z.

Fig. 13-7. Circuitul pentru problema din paragraful 13-5.

26


1. Alegerea metodei de calcul.

Aplicarea metodei numerelor complexe permit alegerea oricărei

metode de calcul a circuitelor complexe de curent continuu (vezi paragraful

3 din capitolul 4).

Având în vedere că circuitul dat conţine două noduri se va aplica

metoda celor două noduri. Se ştie că este avantajos se a determina curentul

prin porţiunile unui circuit complex pentru mai multe valori ale impedanţei

porţiunii respective prin metoda generatorului echivalent, din care cauză se

va aplica şi această metodă.

2. Calculul admitanţelor ramurilor.

Admitanţele complexe ale ramurilor sunt :

Y 1 = Y 2 = 0

1

Z=

05,0

1

j= - j · 20 1 ;

Y 3 = Z

1=

3,05,0

1

j=

34,0

3,05,0 j= (1,47 - j · 0,88) 1 .

3. Calculul tensiunii între noduri şi curenţii prin ramuri.

Tensiunea nodală complexă este :

U AB = 321

2211

YYY

YEYE

=

88,047,12020

)20(124)20(118

jjj

jj=

88,4047,1

4840

j

j=

= (118,25 - j · 4,25) V.

Curenţii complecşi prin cele două ramuri sunt :

I 1 = (E 1 - U AB ) · Y 1 = (118 - 118,25 + j · 4,25) · (- j · 20) =

= 84,8 + j · 5 = 85 · e 023 j A ;

27

I 2 = (E 2 - U AB ) · Y 2 = (124 - 118,25 + j · 4,25) · (- j · 20) =

= 84,8 - j · 115 = 142 · e 0353 j A.

I = I 1 + I 2 = 84,8 + j · 5 + 84,8 - j · 115 = 169,6 - j · 110 =

= 202,5 · e33j A.

3. Diagrama vectorială a curenţilor şi diagrama topografică a

tensiunilor. Fazorul tensiunii U (fig. 13-6, a şi b) este luată în discuţia

pozitivă a numerelor reale pentru că am considerat în rezolvarea

problemei că :

U = U = 220 V.

Fazorii curenţilor I 1 şi I 2 sunt defazaţi în urma fazorului tensiune U

cu unghiul 1 = 71°10’ respectiv 2 = 32°40’.

Fazorul tensiunii O 1 A (fig. 13-5) este format din doi termeni : fazorul

O 1 K 1 şi K 1 A (fig. 13-6, b); fazorul O 1 K 1 este defazat înaintea fazorului

curentului I 1 cu 90° iar fazorul K 1 A înaintea fazorului curentului I 2 cu 90°.

Unghiurile de defazaj indicate de fazorii O 1 K 1 şi K 1 A au sensul fizic că

tensiunea peste o bobină este defazată cu 90° înaintea curentului iar din

punct de vedere matematic înmulţirea unui fazor cu j roteşte fazorul în sens

pozitiv cu 90°, astfel de exemplu fazorul j M I 2 este defazat înaintea

curentului I 2 cu 90°.

În acelaşi mod se discută şi ramura cealaltă (BOO 2 A din fig. 13-5) cu

ajutorul ecuaţiei (13-2) şi se construiesc fazorii tuturor căderilor de tensiune,

în fig.13-6, b; se observă că punctele A şi B coincid şi pe diagrama fazorială

chiar dacă parcurgem diferit circuitul dintre ele.

4. Calculul curentului din circuitul exterior pentru valori diferite ale

impedanţei de sarcină.

Utilizând metoda generatorului echivalent, curentul este dat de relaţia:

I = ZZ

E

e

e

(13-5),

28

unde :

E e - este fazorul tensiunii electromotoare complexă a generatorului

echivalent.

Z e - este impedanţa internă complexă a generatorului echivalent.

Z = Z S - este impedanţa de sarcină variabilă.

Tensiunea electromotoare E e este în cazul nostru tensiunea dintre

punctele A şi B (fig. 13-7) atunci când circuitul exterior este întrerupt, adică

Z S = şi I = 0.

Atunci când porţiunea de impedanţă Z = Z S (fig. 13-7) este decuplată

în circuit nu rămâne decât ochiul de circuit format din cele două tensiuni

electromotoare E 1 şi E 2 . Considerând pentru circuitul nou obţinut curentul I'

se va determina tensiunea între punctele A şi B, egală cu tensiunea

electromotoare a generatorului echivalent :

U' BA = E e = E 1 - I’· Z 01 = E 1 - 0201

21

ZZ

EE

· Z 01.

De unde rezultă că : E e = 2

21 EE din cauză că Z 01= Z 02 = Z 0 .

Impedanţa internă a generatorului echivalent Z e este formată din două

impedanţe identice Z 01 = Z 02 conectate în paralel faţă de punctele A şi B

(fig. 13-7) astfel că : Z e = 2

0Z.

Înlocuind valorile obţinute pentru E e şi Z e în relaţia (13-5) vom

obţine expresia impedanţei de sarcină, pentru oricare ar fi impedanţa de

sarcină :

I = SZZ

EE

20

21 = SZj

205,0

124118=

SZj 205,0

242 (13-6).

Particularizând, pentru Z S = Z, avem :

29

I (z) = )3,05,0(205,0

242

jj=

33193

242je

= 202,5 · e33j A.

Valoarea obţinută pentru I coincide cu valoarea găsită mai înainte

ceea ce demonstrează valabilitatea rezultatelor obţinute.

Înlocuind în relaţia (13-6) Z S = 2 · Z, Z S = 0,5 Z şi Z S = 0,25 Z avem

succesiv :

I (2z) = )3,05,0(2205,0

242

jj=

25,12

242

j=

3235,2

242je

= 102,97 · e32j A.

I

2

Z =

)3,05,0(2

1205,0

242

jj

= 35,05,0

242

j=

3561,0

242je

= 396,72·e35j A.

I

4

Z =

)3,05,0(4

1205,0

242

jj

= 2,025,0

242

j=

3932,0

242je

= 756,25 · e39j A.


Cum se pot verifica, prin intermediul balanţei puterilor, calculele

efectuate?

Puterea aparentă complexă a primului generator este :

S 1 = E 1 · I *

1 = 118 · 85 · e 023 j = 10020 · (cos 3°20’- j · sin 3°20’) =

= (10000 - j · 580) VA = (10 - j · 0,58) kVA.

De unde obţinem pentru primul generator :

S 1 = | S 1 | = 10,02 kVA ; P 1 = 10 kW ; Q 1 = - 58 kvar.

La fel avem pentru cel de-al doilea generator :

S 2 = E 2 · I *

2 = 124 · 142 · e 0353 j = 17600 · e 0353 j =

=(10500 + j · 14200) VA = (10,5 + j · 14,2) kVA.

30

De unde rezultă :

S 2 = | S 2 | = 17,6 kVA ; P 2 = 10,5 kW ; Q 2 = 14,2 kvar.

Puntea activă a celor două generatoare :

P 1 + P 2 = (10 + 10,5) kW = 20,5 kW.

31

13-6. CIRCUIT COMPLEX CU INDUCŢIE MUTUALĂ.


Pentru circuitul din fig. 13-8 se cunosc rezistenţele şi reactanţele :

R 1 = 80 ; R 2 = R 3 = 40 ; · L 1 = 60 ; · L 2 = · L 3 = 80 ;

2

1

C= 40 ; inducţia mutuală · M = 40 . Tensiunile electromotoare

complexe ale surselor de energie sunt : E 1 = E 2 = 100 V şi E 3 = 200 · e120j V.

Să se determine curenţii, tensiunile şi potenţialele punctelor din

circuit; să se construiască diagrama potenţialelor; să se verifice rezultatele

obţinute cu ajutorul ecuaţiei de echilibru a puterilor.

Fig. 13-8 Circuit complex cu inducţie mutuală.

32

Soluţia problemei :

1. Alegerea metodei de calcul. În problema precedentă pentru un

circuit cu două moduri s-a aplicat metoda celor două noduri. Pentru această

problemă, cu toate că circuitul conţine două noduri, această metodă se aplică

mai greu, pentru că metoda celor două noduri presupune calculul

admitanţelor ramurilor funcţie de valorile pe care le iau parametrii

circuitului; dar, în prezenţa unei inducţii mutuale, apar inductanţe

determinate de cuplajul inductiv dintre bobine, care, conform problemei sunt

necunoscute, pe de altă parte determinarea lor este destul de complicată.

Această dificultate intervine şi în cazul în care se aplică altă metodă

cunoscută dar care impune calculul impedanţei totale sau echivalente a

ramurilor sau porţiunilor de circuit (metoda superpoziţiei, metoda metoda

generatorului echivalent). Iată de ce, în acest caz, de rezolvarea unui circuit

de curent alternativ cu inducţie mutuală se utilizează, cel mai des, ecuaţiile

lui Kirchhoff sau metoda curenţilor de contur; aplicând ultima metodă se va

obţine rezultatul mai rapid.

2. Aplicarea metodei curenţilor de contur. Se aleg sensurile curenţilor

de contur I I şi I II în sensul de mişcare a acelor de ceasornic (fig. 13-8). Se

stabileşte ecuaţia conturului AFKMBNC şi ţinem seama că, (vezi paragraful

3-3), dacă sensurile curenţilor de contur sunt identice şi coincid cu sensul de

parcurgere, în ecuaţia de contur produsul curentului I I din primul contur

prin propria sa impedanţă se ia cu semnul plus, adică :

I I ·

2

2

211

1R

CjLjLjR

şi cu semnul minus produsul

curentului I II învecinat prin impedanţa comună celor două contururi :

- I II ·

2

2

2

1R

CjLj

.

33

Fig. 13-9. Diagrama vectorială a curenţilor (a) şi diagrama

potenţialelor (b) pentru circuitul din fig. 13-8.

34

Cunoscând curenţii de contur I I şi I II putem afla curenţii prin ramuri

astfel :

I 1 = I I = 0,3 - j · 0,05 = 0,34 · e 549 j A.

I 2 = I II - I I = 1,035 + j · 0,6 - 0,3 + j · 0,05 = 0,735 + j · 0,65 =

= 0,965 · e 0341 j A.

I 3 = I II = 1,035 + j · 0,6 = 1,19 · e30j A.

Se construieşte diagrama vectorială în planul complex a curenţilor

complecşi (fig. 13-9).

Pe de altă parte, trebuie ţinut cont şi de cuplajul inductiv dintre

contururi, care provoacă în primul contur o cădere de tensiune I II j M,

echilibrând tensiunea electromotoare numeric egală şi de sens opus inducţiei

mutuale I II j M (vezi fig. 13-4).

Tensiunea I II j M trebuie să fie inclusă în ecuaţia de contur cu

semnul plus, pentru că sensul de parcurgere al conturului şi curenţii de

contur prin bobinele L 1 şi L 2 sunt orientaţi în acelaşi mod faţă de bornele cu

acelaşi nume marcate printr-un asterix. Dacă se modifică sensul de

parcurgere cu sensul curentului I II în sens invers, tensiunea I II j M trebuie

să fie luată, în ecuaţia de contur, cu semnul minus.

Obţinem, astfel, ecuaţia primului contur :

I I ·

2

2211

1

CjLjRLjR

- I II ·

2

22

1

CjLjR

+

+ I II · j · · M = E 1 - E 2 (13-7).

Raţionând la fel, se obţine ecuaţia şi pentru cel de-al doilea contur :

- I I ·

2

22

1

CjLjR

+ I I · j · · M +

+I II ·

33

2

22

1RLj

CjLjR

= E 2 + E 3 (13-8).

35

3. Calculul curenţilor.

Introducând datele problemei în ecuaţiile (13-7) şi (13-8) vom obţine :

I I - (80 + j · 60 + 40 + j · 80 - j · 40) - I II · (40 + j · 80 - j · 40 - j · 40) = 0

- I I · (40 + j · 80 - j · 40 - j · 40) + I II · (40 + j · 80 - j · 40 + j · 80 + 40) =

= 100 + 200 · e120j .

Fig. 13-9., b)

36

4. Calculul tensiunilor complexe a tuturor porţiunilor din circuit.

Pentru porţiunea NC (fig. 13-8) cu rezistenţă ohmică R 1 , tensiunea

complexă este :

U NC = R 1 · I 1 = 80 · 0,34 · e 549 j = 27,2 · e 549 j = (24 – j · 4) V.

Tensiunea porţiunii CA (fig. 13-8) este compusă din tensiunea pe

bobina L 1 şi tensiunea care echilibrează tensiunea electromotoare de

inducţie mutuală.

U CA = I 1 · j · · L 1 + I 3 · j · · M = (0,3 - j · 0,05) · j · 60 +

+ (1,035 + j · 0,6) · j · 40 = - 21 + j · 59,4 = 63 · e 03131 j V.

La fel se obţin tensiunile celorlaltor porţiuni de circuit :

U FA = I 2 · j · · L 2 = 0,965 · e 0341 j · j · 80 = 77,6 · e 03131 j =

= (- 52 + j · 58,8) V ;

U KF = I 2 ·

2

1

Cj

= 0,965 · e 0341 j · (- j · 40) = 38,8 · e 0348 j =

= (26 – j · 29,4) V;

U MK = I 2 · R 2 = 40 · 0,965 · e 0341 j = 38,8 · e 0341 j = (29 + j · 26) V;

U AD = I 3 · j · · L 3 + I 1 · j · · M = (1,035 + j · 0,6) · j · 80 +

+ (0,3 - j · 0,05) · j · 40 = - 46 + j · 94,8 = 105,5 · e 04115 j V ;

U DP = R 3 · I 3 = 40 · 1,19 · e30j = 47,8 · e

30j = (41,5 + j · 24) V;

U NC = 27,2 · e 549 j ;

U CA = 63 · e 01109 j ;

U FA = 77,6 · e 03131 j ;

37

U KF =38,8 · e 0348 j ;

U MK = 38,8 · e 0341 j ;

U AD = 105,5 · e 04115 j ;

U DP = 47,8 · e30j .

5. Calculul potenţialelor complexe ale punctelor din circuit.

Asociem punctului B din circuit (fig. 13-8) potenţialul zero, V B = 0.

Acest punct reprezintă pentru prima şi a doua sursă borna cu potenţialul

inferior (ţinând seama de sensul tensiunii electromotoare E 1 şi E 2

reprezentate în schemă). Astfel, punctele N şi M (fig. 13-8) reprezintă borne

cu un potenţial mai mare decât potenţialul punctului B.

Din datele problemei E 1 = E 2 = 100 V, în care caz potenţialele

complexe ale punctelor N şi M sunt : V N = V M = 100 V.

Parcurgând prima ramură a circuitului (fig. 13-8) după sensul

curentului I 1 (în sensul micşorării potenţialului) şi folosind rezultatele

obţinute pentru tensiunile porţiunilor de circuit, vom avea pentru punctele C

şi A potenţialele complexe :

V C = V N - U NC = 100 - 24 + j · 4 = 76 + j · 4 = 76,1 · e3j V.

V A = V C - U CA = 76 + j · 4 + 21 - j · 59,4 = 97 - j · 55,4 = 111,7 · e 0529 j V.

Pentru a determina potenţialele complexe ale punctelor din ramura a

doua, vom considera punctul A în sens opus curentului I 2 (sensul creşterii

potenţialului).

V F = V N - U FA = 97 - j · 55,4 - 52 + j · 58,8 = 45 + j · 3,4 = 45,1 · e 024 j V.

V K = V F + U KF = 45 + j · 3,4 + 26 - j · 29,4 = 71 - j · 26 = 75,6 · e 0120 j V.

38

Pentru verificare, se poate determina potenţialul punctului M (calculat

mai înainte V M = 100 V) :

V M = V K + U MK = 71 - j · 26 + 29 + j · 26 = 100 V.

La fel se obţin potenţialele punctelor D şi P din cea de-a treia ramură a

circuitului :

V D = V A - U AD = 97 - j · 55,4 + 46 - j · 94,8 = 143 - j · 150,2 =

= 207,3 · e 0246 j V.

V P = V D - U DP = 143 - j · 150,2 - 41,5 - j · 24 = 101,5 - j · 174,2 =

= 201,6 · e60j V.

39

13-6. REZOLVAREA PROBLEMEI.

R 1 = 80 I I ·

2

2

211

1R

CjLjLjR

-

- I II ·

2

2

2

1Lj

CjR

+ I II · j · · M

=

R 2 = R 3 = 40 = E 1 - E 2

· L 1 = 60 - I I ·

2

2

2

1Lj

CjR

+

· L 2 = · L 3 = 80 + I II ·

332

2

2

1RLjLj

CjR

+

2

1

C= 40 + I I · j · · M = E 2 + E 3

· M = 40

40

E 1 = E 2 = 100 V I I · (80 + j · 60 + j · 80 - j · 40 + 40) -

E 3 = 200 · e120j V - I II · (40 - j · 40 + j · 80 - j · 40) = 100 - 100

I 1 = ? - I I · (40 - j · 40 + j · 80 j · 40) + I II ·

I 2 = ? · (40 - j · 40 + j · 80 + j · 80 + 40) = 100 + 200 ·

I 3 = ? · e120j

I1 = I II = 0,3002472 - j · 0,053524412 =

= 0,30498072 · e10j

I 2 = I II - I I = 0,7343054 + j · 0,64356917 =

= 0,97641471 · e 0341 j

I 3 = I II = 1,0345526 + j · 0,59004476 =

= 1,1909877 · e30j

41

Ecuaţia echilibrului punţilor :

U NC = 24,39783 · e10j ; S 1 = 100 · (0,30024 + j · 0,05352) =

U CA = 62,79775 · e109j ; = 30,02472 + j · 5,352 = 30,49728 · e

10j .

U FA = 78,111165 · e 03131 j ; S 2 = 100 · (0,73428 - j · 0,64356) =

U KF = 39,05558 · e 0348 j ; = 73,43054 - j · 64,356 = 97,63895 · e 0341 j .

U MK = 39,05558 · e 0341 j ; S 3 = 200 · e120j (1,03452 - j · 0,59004) =

U AD = 104,93902 · e 04115

; = 200 · e120j · 1,19095 · e

30j =

U DP = 47,63828 · e30j ; = 238, 1914 · e

90j = j · 238,1914.

P S = 103,452 w ; Q S = 179,1874 var.

P 1 = R 1 · I 2

1 = 80 · I 2

1 = 7,4410591 w.

P 2 = R 2 · I 2

2 = 40 · I 2

2 = 38,135428 w.

P 3 = R 3 · I 2

3 = 40 · I 2

3 = 56,738068 w.

P C = 102,30913 w.

42

Valorile complexe ale potenţialelor sunt reprezentate în diagrama

potenţialelor (fig. 13-9, b) prin raze-vectoare din originea coordonatelor,

unde se află situat punctul B, pentru că V B = 0. La cealaltă extremitate a

razei-vectoare s-au notat punctele din circuit al cărei potenţial îl reprezintă.

Tensiunile tuturor porţiunilor de circuit care alcătuiesc ochiul exterior

de circuit (fig. 13-7) reprezentate pe diagrama potenţialelor permite

verificarea celei de-a doua legi a lui Kirchhoff pentru acest contur închis.

În adevăr, după fig. 13-9, putem scrie că :

U DP + U AD + U CA + U NC = E 1 + E 3 .

6. Ecuaţia echilibrului puterilor.

Puterile aparente complexe ale surselor de energie sunt :

S 1 = E 1 · I *

1 = 100 · (0,3 + j · 0,05) = (30 + j · 5) VA.

S 2 = E 2 · I *

2 = 100 · (0,735 - j · 0,65) = (73,5 - j · 65) VA.

S 3 = E 3 · I *

3 = 200 · e120j · (1,035 - j · 0,6) = 200 · e

120j · 1,19 · e30j =

= 240 · e90j = 240 · (cos 90° + j · sin 90°) = 240 · (0 + j) = j · 240 VA.

Suma puterilor active este :

P S = 3

1

SiP = 30 + 73,5 = 103,5 W,

iar suma puterilor reactive este :

Q S = 3

1

SiQ = 5 - 65 + 240 = 180 var.

43

Puterile active ale consumatorilor sunt :

P 1 = R 1 · I 2

1 = 80 · (0,304) 2 = 9,5 W ;

P 2 = R 2 · I 2

2 = 40 · (0,965) 2 = 37,5 W ;

P 3 = R 3 · I 2

3 = 40 · (1,19) 2 = 56,5 W.

Suma puterilor active ale consumatorilor este :

P C = iP = 9,5 + 37,5 + 56,5 = 103,5 w.

Se observă echilibrul puterilor active :

P S = P C .

Puterile reactive ale consumatorilor sunt :

Q 1 = · L 1 · I 2

1 = 60 · (0,304) 2 = 7 var ;

Q 2 =

2

2

1

CL

· I 2

2 = 40 · (0,965) 2 = 37 var ;

Q 3 = · L 3 · I 2

3 = 80 · (1,19) 2 = 112 var.

Pe de altă parte, se poate calcula puterea transportată de către cuplajul

magnetic al bobinelor L 1 şi L 2 (vezi paragraful 13-4, discuţia

suplimentară 2) :

I 1 · j · · M · I *

3 = 0,304 · e 549 j · 40 · e90j · 1,19 · e 30j = 16,2 · e 5150 j =

= (10,3 + j · 12) VA

şi

I 3 · j · · M · I *

1 = 1,19 · e 30j · 40 · e 90j · 0,304 · e 549 j = 16,2 · e 54129 j =

44

= (- 10,3 + j · 12) VA.

Puterea activă globală transportată :

P t = 10,3 - 10,3 = 0.

Puterea reactivă transportată :

Q t = 12 + 12 = 24 var.

Astfel, suma puterilor reactive ale tuturor consumatorilor, inclusiv

puterile transportate, este egală cu :

Q C = Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q t = 7 + 31 + 112 + 24 = 180 var.

Se observă şi realizarea ecuaţiei de echilibru a puterilor active şi

reactive : Q S = Q C .

OBS. Îndeplinirea ecuaţiei de echilibru a puterilor active şi reactive

confirmă corectitudinea calculelor.

45

13.7. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE.

Probleme pentru paragraful 13-1.

255. Să se scrie expresiile curenţilor şi a tensiunilor complexe, după

fig. 13-10, dacă se dau valorile lor efective ca fiind egale cu 2A şi 127 V?

Fig. 13-10.

256. Într-un circuit curentul este exprimat prin valoarea sa complexă

-j30 mA. Tensiunea complexă la bornele circuitului are modulul egal cu

120V şi argumentul -π. Să se scrie valorile instantanee ale curentului şi

tensiunii; să se construiască diagrama vectorială.

46

257. Să se înmulţească valorile complexe ale curentului şi tensiunii

din problema 256 cu j şi -j. Să se construiască diagrama vectorială a noilor

mărimi complexe.

258. Să se construiască fazorii tensiunilor pentru care

U 1 = (110 + j · 190) V, U 2 = - 220 V şi U 3 = (110 - j · 190) V. Să se

calculeze defazajele dintre tensiuni.

259. Se dau valorile instantanee ale curenţilor din două ramuri de

circuit : i 1 = 12 · sin ( · t - 30°) şi i 2 = 8 · sin ( · t + 30°). Să se scrie cele

trei forme (algebrică, trigonometrică şi exponenţială) ale curentului total

complex al celor două ramuri; să se construiască diagrama vectorială.

260. Pentru un circuit neramificat care este compus din trei porţiuni de

circuit conectate în serie se dau tensiunile U 1 = 100 V, U 2 = 80 V şi

U 3 = 120 V (ca în fig. 13-11); să se exprime valorile complexe ale

tensiunilor U 1 , U 2 şi U 3 dacă 1 = 60° şi 2 = 50°; să se scrie valoarea

instantanee a tensiunii la borne, u şi să se construiască fazorul U pe

diagrama vectorială.

47

Fig. 13-11.

261. Cu cât trebuie să fie egală tensiunea U 2 , în condiţiile problemei

260, astfel încât să avem îndeplinită egalitatea U 3 = U 1 + U 2 ?

262. Într-un circuit elementele active şi reactive ale curentului sunt

identice şi egale cu 14,1 A. Tensiunea la bornele circuitului este defazată în

urma curentului şi se exprimă în complex U = U · e45j . Să se stabilească

expresia curentului complex.

263. Tensiunea la bornele unui circuit are componenta activă egală cu

63,5 V şi componenta reactivă 109,2 V. Faza iniţială a curentului prin circuit

este egală cu 120°. Să se stabilească expresia tensiunii complexe, dacă

tensiunea este defazată înaintea curentului.

264. Cum trebuie să se modifice faza iniţială a curentului din

problema 263, astfel încât componentele activă şi reactivă ale tensiunii să

exprime părţile reală şi imaginară ale tensiunii complexe?

48

265. Curentul printr-un circuit este (0,684 + j · 1,88) A, tensiunea la

borne (60 + j · 103,4) V. Să se calculeze valorile efective ale curentului şi

tensiunii, rezistenţa şi inductanţa circuitului. Să se exprime impedanţa

circuitului sub forma complexă.

266. Să se calculeze rezistenţa şi inductanţa unei bobine la frecvenţa

de 50 Hz, dacă impedanţa sa complexă este Z b = 240,8 · e 0351 j .

267. Impedanţa complexă a unui circuit este Z =

2

34

5j

j .

Să se stabilească schema echivalentă a circuitului la frecvenţa de 100 kHz.

268. Impedanţa unui circuit este egală cu (5 - j · 6) . Ce rezistenţă

trebuie conectată în circuit astfel încât rezistenţa să fie numeric egală cu

reactanţa sa?

269. Într-un circuit, cu rezistenţa R = 10 şi reactanţele X L = 25 ,

X C = 15 , conectate toate în serie, curentul complex este I = - 12 A. Să se

calculeze valorile complexe ale tensiunilor la bornele fiecărui element de

circuit precum şi tensiunea complexă la bornele circuitului; să se

construiască diagrama vectorială.

270. Să se calculeze, pentru problema 269, puterea aparent complexă.

271. Trei impedanţe, egală fiecare cu 100 , sunt conectate în serie.

Tensiunile peste aceste impedanţe sunt defazate înaintea curentului cu 10°,

40° şi 70°. Să se calculeze impedanţa totală a circuitului şi factorul de

putere?

272. Într-un circuit format din două bobine identice conectate în serie

şi un condensator, curentul I = 8 A, tensiunea la borne 110 V şi puterea

activă P = 530 W. Să se stabilească expresia complexă a impedanţelor

bobinei şi condensatorului şi a puterii aparente totale, dacă inductanţa

fiecărei bobine este egală cu capacitanţa?

49

273. Să se stabilească expresiile complexe ale impedanţelor

porţiunilor de circuit precum şi a întregului circuit după diagrama

topografică (fig. 13-12), unde, se dă : U = 220 V; U 1 = 80 V; U 3 = 62 V;

U 4 = 25 V; U 5 = 18 V şi I = 1 A.

Fig. 13-12.

274. Să se stabilească valoarea complexă a impedanţei, pentru

circuitul din problema 273, care trebuie conectată în serie, astfel încât pentru

acest circuit să se stabilească un regim de rezonanţă a tensiunilor.

Probleme pentru paragraful 13-2.

275. O rezistenţă R = 30 , o inductanţă cu reactanţă inductivă

X L = 40 şi un condensator cu reactanţa capacitivă X C = 25 sunt

conectate în paralel. Să se calculeze rezistenţa şi reactanţa circuitului serie

echivalent?

50

276. Să se calculeze, în condiţiile problemei 275, curenţii prin ramuri

şi curentul total, dacă tensiunea la borne este U = 120 · e30j V. Să se

stabilească diagrama fazorială.

277. O rezistenţă, o bobină şi un condensator, fiecare având valoarea

de 200 , sunt conectate în paralel la bornele unei surse de 120 V. Să se

calculeze curentul sursei.

278. Un grup de receptoare cu sarcină activ-inductivă este conectat la

reţeaua de curent alternativ cu tensiunea de 220 V. Curentul total absorbit de

receptoare este egal cu 66 A şi au puterea activă de 9 kW. În scopul creşterii

factorului de putere până la 0,95 se conectează, în paralel cu receptoarele, o

baterie de condensatoare. Să se determine reactanţa capacitivă a bateriei de

condensatoare şi să se stabilească expresiile complexe ale curenţilor prin

receptoare, prin bateria de condensatoare precum şi curentul total al reţelei,

considerând că tensiunea reţelei este o mărime reală şi pozitivă.

279. Trei impedanţe, Z 1 = (100 + j · 60) , Z 2 = (40 - j · 60) şi

Z 3 = 120 sunt conectate în paralel. Tensiunea la bornele circuitului este

U = 120 V. Să se determine curenţii complecşi prin ramuri, curentul total al

circuitului precum şi puterea aparentă complexă. Să se stabilească diagrama

vectorială a tuturor curenţilor şi tensiunilor.

280. Ce impedanţă trebuie conectată pe o porţiune neramificată,

pentru circuitul din problema 279, astfel încât să se obţină un regim de

rezonanţă?

281. În circuitul din fig. 13-13 se cunosc curenţii prin ramuri

I 1 = 0,8 A; I 2 = 0,6 A. Curentul I 1 este defazat în urma curentului I 2 cu un

unghi de 50°. Să se calculeze tensiunile U şi U CD , dacă R 1 = 25 şi

X L = 15 ?

51

282. Să se stabilească, pentru circuitul din fig. 13-14, expresia

generală a impedanţei dacă X L = X C = X.

Fig. 13-14.

Probleme pentru paragrafele 13-4 şi 13-5.

52

283. Să se calculeze toţi curenţii din circuitul reprezentat în

fig. 13-14, precum şi tensiunile între punctele AB şi BC, dacă

R 2 = X L = 500 ; X C = 1000 ; R 1 = 200 şi U = 120 V?

284. Să se calculeze tensiunile între punctele AB şi BC (fig. 13-15)

precum şi tensiunea la bornele circuitului, U AC , dacă rezistenţa R 1 este

străbătută de un curent egal cu 1,4 A. Parametrii circuitului : C = 3 F ;

L = 0,2 H; R 1 = 100 ; R = 20 şi f = 160 Hz?

Fig. 13-15.

285. Considerând, pentru problema 284, cunoscut curentul total egal

cu 1,46 A, să se calculeze tensiunea la borne.

53

286. Să se determine forma generală a rezistenţei R 2 , pentru circuitul

dat de fig. 13-16, care determină între tensiunea U şi curentul I 3 , la frecvenţa

unghiulară , un unghi egal cu 90°.

287. Să se calculeze curentul prin circuitul din fig. 13-17 când

cuplajul bobinelor de inducţie este în acord şi în opoziţie dacă R = 30 ;

L 1 = 0,1 H; L 2 = 0,03 H; M = 0,053 H; U = 220 V şi f = 50 Hz?

54

288. Pentru circuitul din fig. 13-18 să se calculeze toţi curenţii dacă :

U = 220 V; f = 50 Hz; L 1 = 0,2 H; L 2 = 0,4 H; M = 0,1 H; R 1 = 20 şi R 2 =

30 ?

289. Cu ajutorul unui montaj BOUCHEROT (fig. 13-19) se poate

asigura un curent I 1 constant, pentru un număr diferit de lămpi. Să se

determine, cu ajutorul legilor lui Kirchhoff, relaţia necesară între , L şi C?

55

290. Două generatoare cuplate în paralel având impedanţele interne

Z 01= Z 02 = j · 0,2 şi tensiunea electromotoare E 1 = 120 V; E 2 = 126 V au o

sarcină comună de impedanţă Z = (2 + j) . Să se calculeze curenţii

complecşi ai receptorului şi a generatoarelor?

291. Să se determine curenţii compleşi în condiţiile problemei 290,

dacă se schimbă tensiunea electromotoare astfel încât E 2 = j · E1 .

13-8. RĂSPUNSURI LA PROBLEMELE PROPUSE PENTRU

REZOLVARE ÎN CAPITOLUL 13.

255. 2 · e135j A; 127 · e

90j V.

256. 30 2 · sin ( · t - 90°) mA; 120 2 · sin ( · t - 180°) V.

257 30 mA; 120 V.

258. 120°.

259. 12,3 · e 036 j = 12,3 · 036sin036cos j = 12,25 - j · 1,4.

260. ( -86,6 + j · 50) V; (-61,2 - j · 51,5) V; -120 V;

376 · sin ( · t - 180°) V.

261. 60 · e124j V.

262. 20 A.

263. -127 V.

264. Să se reducă până la zero.

265. 2 A; 120 V; 38,3 ; -46 ; 60 · e50j .

56

266. 150 ; 0,6 H.

267. 0,8 ; 2,23 H .

268. Activă sau inductivă de 1 sau inductivă de 11 .

269. -120 V; -j · 300 V; j · 180 V; (-120 - j · 120) V.

270. (1440 + j · 1440) VA.

271. 285 ; 0,72.

272. (4,14 + j · 11) ; -j · 11 ; (530 + j · 700) VA.

273. -j · 80 ; (165 + j · 110) ; j · 62 ; 25 ; j · 18 ;

(190 + j · 110) .

274. -j · 110 .

275. 24,8 ; -11,5 .

276. 4 A; 3 · e60j A; 4,8 · e

120j A; 4,4 · e 0124 j A.

277. 0,6 A.

278. -5,8 ; 66 · e 0451 j A; j · 37,9 A; 43 · e 0118 j A.

279. (0,883 - j · 0,53) A; (0,924 + j · 1,38) A; 1 A; (2,8 + j · 0,85) A;

(336 + j · 102) VA.

280. Inductivă de 11,9 .

281. 23 V; 12,8 V;

282. 21

2

21

RR

xRR

+ j ·

21

12

RR

xRxR

.

283. 0,1 A; 0,14 A; 0,1 A; 20 V; 100 V.

284. 140 V; 290 V; 300 V.

285. 310 V.

57

286. R 2 = 31

3131

2

RR

RRLL

.

287. 2,7 V; 7 A.

288. 2,83 A; 1,07 A; 3,87 A.

289. 2 · L · C = 1.

290. 53 · e28j A; 23,7 · e

6j A; 36,2 · e 5149 j A.

291. 37 · e 5314 j A; 418 · e135j A; 453 · e

42j A.

BIBLIOGRAFIE

1. Ioan de Sabata – Bazele electrotehnici, litografia IPTVT,

Timişoara, 1974;

2. Răduleţ, R – Bazele electrotehnicii, Editura didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1981;

3. Timotin, A şi Hortopan, V. – Lecţii de bazele electrotehnicii,

Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1964;

4. Zaitchik, M.Y. – Problèmes et exercises d’électrotechnique

générale, Editions Mir, Moscou, 1980.

58

CUPRINS

UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE

ÎN CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV

13-1. CURENŢI, TENSIUNI ŞI IMPEDANŢE COMPLEXE.....................1

Enunţul problemei........................................................................................ 1

Rezolvarea problemei................................................................................ .. 2

Discuţii suplimentare.................................................................................... 3

13-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL

CU MAI MULTE RAMURI.........................................................................6


Rezolvarea problemei................................................................................... 6

Discuţii suplimentare.................................................................................... 8

13-3. CIRCUIT RAMIFICAT PARALEL ŞI SERIE................................ 12

Enunţul problemei...................................................................................... 12

Rezolvarea problemei................................................................................. 12

Discuţii suplimentare.................................................................................. 17

13-4. CIRCUIT RAMIFICAT CU INDUCŢIE MUTUALĂ.................... 19

Enunţul problemei...................................................................................... 19

Rezolvarea problemei................................................................................. 20

13-5. CIRCUIT COMPLEX....................................................................... 24

Enunţul problemei....................................................................................... 24

Rezolvarea problemei.................................................................................. 25

Discuţii suplimentare................................................................................... 28

13-6. CIRCUIT COMPLEX CU INDUCŢIE MUTUALĂ......................... 30


Soluţia problemei......................................................................................... 31

13-6. REZOLVAREA PROBLEMEI.......................................................... 38

13-7. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE........................... 44

Probleme pentru paragraful 13-1.................................................................. 44

Probleme pentru paragraful 13-2.................................................................. 48

Probleme pentru paragrafele 13-4 şi 13-5.................................................... 50

13-8. RĂSPUNSURI LA PROBLEMELE PROPUSE

PENTRU REZOLVARE ÎN CAPITOLUL 13.............................................54

BIBLIOGRAFIE………………………………………………..56

CUPRINS …………………………………………………….57

numerecomplexein_1

Documents

Transcript of numerecomplexein_1