2.0 NUMERE prin CONDIŢII DATE

INTRODUCERE Materialul de față face parte dintr-unul mai amplu, dedicat matematicii ”de performanță” la nivelul claselor a III-a – a IV-a. Am strâns aproximativ 550 de probleme (sursa primordială fiind G.M.B.) grupate tematic pe capitole și sub-capitole. Aș dori să-l finalizez cam până pe la finele lui 2014 și să-l pun pe Scribd ”la liber”. M-am săturat de puzderia de gunoaie ”de autor” din care copiii nu învață nimic, dar pe care părinții sunt obligați să le cumpere. ENUNȚURI 1. Aflaţi cel mai mic şi cel mai mare număr formate din cifre pare nenule, pentru care suma

cifrelor este 58. (Concurs Arhimede, 20.11.2010)

2. Scrieţi cel mai mic număr natural cu suma cifrelor 30. (G.M.B. 10/2009) 3. Fie numărul 123456789101112 4849n = … . Eliminaţi 80 de cifre astfel încât numărul

rămas să fie cât mai mic posibil. (Elena Grigore, G.M.B. 10/2009)

4. Pe un rând sunt scrise numerele de la 1 la 56, fără a fi despărţite unele de altele prin virgulă. Se formează astfel un număr 12345678910111213 53545556A = … .

a. Câte cifre are numărul A ? b. Eliminaţi din numărul A 56 de cifre pentru a obţine cel mai mare număr posibil. Care

este acest număr? c. Eliminaţi din numărul A 56 de cifre pentru a obţine cel mai mic număr posibil. Care

este acest număr? (Concurs Jose Marti, 4.02.2012)

5. Află cel mai mic număr natural care are suma cifrelor sale de 14 ori mai mare decât suma cifrelor succesorului său. (Concurs Arhimede, 24.11.2012)

6. Să se determine un număr de trei cifre abc astfel încât : - produsul celor trei cifre să fie egal cu 42; - diferenţa dintre cifra unităţilor şi cea a sutelor să fie un număr par; - diferenţa dintre numărul format din primele două cifre şi numărul format din ultimele două

cifre să fie 5. (Maria Turcu, G.M. 8/1985)

7. Scrieţi numărul de patru cifre abcd , ştiind că îndeplineşte simultan condiţiile: 19a b c d+ + + = , cifra zecilor este 5 şi a b c d< < < . (S.G.M. 5/2011)

8. Să se determine cel mai mic număr de patru cifre N abcd= care îndeplineşte simultan

condiţiile 9bc cb− = şi 16a b c d⋅ ⋅ ⋅ = . (Andreea-Malvina Maftei, G.M. 4-5/1984)

9. Determinaţi numerele naturale a şi b care verifică simultan relaţiile 6 2 a b< + − şi 6 10a< < . (Maria Dumitru, G.M. 9/1986)

10. Determinaţi toate numerele de forma 20xy care îndeplinesc simultan condiţiile :

a) 2008 20 2039xy< <

b) 5y x= + (Doina Stoica, G.M.B. 7-8/2008) 11. Scrieţi cel mai mic număr natural care începe cu 2008, se termină cu 2008 şi are suma

cifrelor 2008. (Gh. Molea, G.M.B. 7-8/2008) 12. Să se determine cel mai mare şi cel mai mic număr de trei cifre care îndeplinesc simultan

condiţiile : a) suma primelor două cifre este 9 ; b) diferenţa dintre a doua cifră şi a treia este cel puţin 4.

(Emilia şi Radu Burz, G.M.B. 9/2008)

13. Aflaţi toate numerele naturale abc , unde a b c< < sunt cifre consecutive, ştiind că suma a două dintre cele trei cifre este cu 5 mai mare decât a treia cifră.

(Maria Oprescu, S.G.M. 2/2009) 14. Care este diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de trei cifre, dacă ambele

numere îndeplinesc simultan condiţiile : i) diferenţa dintre cifra sutelor şi cifra zecilor este egală cu 3; ii) diferenţa dintre cifra zecilor şi cifra unităților este egală cu 2.

(Iuliana Drăgan, G.M.B. 2/2009)

15. Care este cel mai mic număr de forma abcdef , scris cu cifre diferite, ştiind că a f+ =

b e c d= + = + ? (Iuliana Drăgan, G.M.B. 2/2009)

16. Fie numerele naturale abcdef formate cu cifre distincte, astfel încât a e b d c f+ = + = + . Aflaţi diferenţa dintre cel mai mare număr şi cel mai mic număr cu proprietatea enunţată.

(Concurs Arhimede, 23.02.2013) 17. Aflaţi cel mai mic număr natural format cu cifre nenule şi care are suma cifrelor egală cu

2009. (Iuliana Gimoiu, S.G.M. 4/2009) 18. Să se determine toate numerele naturale de cinci cifre distincte, ştiind că suma cifrelor este

20 şi că diferenţa oricăror două cifre alăturate este 2. (Cătălin Budeanu, S.G.M. 12/2009)

19. Găsiţi toate numerele pare de forma abcd , cu cifre distincte, ştiind că cifra miilor este produsul celorlalte trei cifre.

(Doina Furcea, G.M.B. 2/2010)

20. Determinaţi cel mai mic număr de patru cifre abcd care îndeplineşte simultan condiţiile

8a d d⋅ = + şi 12ab cd− = . (Mariana Neagu, S.G.M. 2/2010) 21. Folosind doar cifrele 1, 3, 7, 2, scrieţi:

a) toate numerele pare de două cifre distincte; b) cel mai mare număr de trei cifre distincte; c) cel mai mic număr par de trei cifre distincte. (Dana Hăran, S.G.M. 4/2010)

22. Determinaţi numerele de forma abcd care satisfac simultan condiţiile: ca b d= ⋅ ,

( ) : 2c a b d+ = + şi c a b+ = . (Dragomir Costea, S.G.M. 4/2010)

23. Aflaţi cel mai mare număr natural impar scris cu cifre distincte care are suma cifrelor 15 şi este mai mic decât 9000. (Iuliana Drăgan, S.G.M. 12/2010)

24. Determinaţi cel mai mare număr natural de patru cifre diferite care îndeplineşte simultan condiţiile : a) cifra sutelor este 5 ; b) diferenţa dintre număr şi răsturnatul său este 6903. (Niculae Stoian, S.G.M. 12/2010)

25. Aflaţi numerele abc pentru care 2 3 12a b c+ × + × = . (G.M.B. 5/2012) 26. Care este cel mai mic număr natural de 4 cifre diferite în care cifra zecilor este produsul

dintre cifra unităţilor şi cifra sutelor ? (Iuliana Drăgan, G.M.B. 6-7-8/2012)

27. Determinaţi numerele de forma abcd ştiind că 24 39 61a b cd+ + = . (Eugeniu Blăjuţ, G.M.B. 9/2012)

28. Fie numărul natural abcd , cu cifre distincte şi a căror sumă este 10. Aflaţi cel mai mic şi cel mai mare număr cu aceste proprietăţi.

(Eugen Predoiu, S.G.M. 11/2012) 29. Scrieţi cel mai mare număr cu suma cifrelor 17 şi cifrele diferite două câte două.

(Victor Nicolae şi Petre Simion, S.G.M. 11/2012)

30. Determinaţi numerele naturale ab pentru care 54ab ba= + . (Răzvan Ceuca, Viitori Olimpici 1/2013)

31. Determinaţi numerele naturale de trei cifre care se împart exact la 5 şi au suma cifrelor 17. (Răzvan Ceuca, Viitori Olimpici 4/2013)

32. Să se găsească toate numerele naturale de trei cifre care satisfac simultan condiţiile: i) una dintre cifrele numărului este egală cu suma celorlalte două; ii) produsul cifrelor numărului este egal cu triplul sumei acestora.

(Neculai Stanciu, G.M.B. 1/2013) INDICAȚII și REZOLVĂRI 1. Pentru ca numărul să fie minim, trebuie să aibă cât mai puține cifre. Cea mai mare cifră pară

este 8; efectuând împărțirea 58 :8 obținem câtul 7 și restul 2. Numărul minim are 7 cifre de 8 și o cifră 2, pe care o punem la ordinul cel mai semnificativ, obținând 28888888 . Numărul maxim are cât mai multe cifre, mai precis 58 : 2 29= (folosim cifra pară minimă, adică 2).

Acesta este deci 29 ori

22 2…���

.

2. Numărul minim are cât mai puține cifre. Se împarte suma 30 la valoarea maximă a unei cifre, adică 9, obținând câtul 3 și restul 3. Numărul căutat este așadar 3999 .

3. Numărul n are ( )9 49 10 1 2 89+ − + ⋅ = de cifre. După tăierea a 80 dintre ele, rămâne un

număr de 9 cifre; pentru ca acesta să fie cât mai mic, trebuie să înceapă cu cifra 1 (ceea ce se întâmplă deja), urmată de cât mai multe zerouri. Zerourile lui n sunt cele din scrierea numerelor 10, 20, 30 și 40. Între prima cifră 1 și primul zero există secvența de cifre 234567891 , de lungime 9. După primul 0 și până la al doilea avem secvența 111213 192… , de lungime 9 2 1 19⋅ + = . Tot lungimea 19 au secvențele cuprinse între al doilea și al treilea – respectiv al treilea și al patrulea zero. Prin ștergerea celor patru secvențe, numărul rămas este 10000414243444546474849 și are

( )89 19 3 9 89 66 23− ⋅ + = − = de cifre. Mai rămân de șters 23 9 14− = cifre. Pentru a-l

minimiza, ștergem cele trei cifre 4 corespunzătoare numerelor 41, 42 și 43, precum și cifrele 5, 6, 7, 8 și 9 de la 45, 46, ..., 49; acestea sunt 8 cifre, deci tot mai trebuie șterse 14 8 6− = cifre 4. Rezultatul final este 100001234 .

4. a) ( )9 56 10 1 2 103+ − + ⋅ = cifre. b) Prin eliminarea a 56 de cifre, rămân 103 56 47− = de

cifre. Numărul maxim posibil începe cu cât mai multe cifre 9. Acestea se găsesc în scrierea numerelor 9, 19, 29, 39 și 49. Până la prima cifră 9 avem secvența 12345678 , de lungime 8. Între prima și a doua cifră 9 avem secvența 101112 181… , de lungime 19; idem, între a doua și a treia cifră 9 este tot o secvență de lungime 19, anume 202122 282… . Prin eliminarea celor trei secvențe, deja am dat la o parte 8 19 2 46+ ⋅ = de cifre; nu mai este loc să eliminăm întreaga secvență 3031323334353637383 pentru a ajunge la următoarea cifră 9. Din aceasta, trebuie eliminate 56 46 10− = cifre, astfel încât numărul rămas să fie cât mai mare; se dau deci la o parte primele 9 cifre ale secvenței, adică 303132333 și cifra 3 care urmează după 4 , ceea ce rămâne fiind 453637383 . Numărul maxim care poate rămâne este 99945363738 5556… . c) Similar exercițiului 3, după eliminarea a 47 de cifre rămâne să decidem care sunt celelalte 9 pe care le ștergem din secvența 3132333435363738394041 56… . Ștergem primele două cifre 3 (astfel încât secvența rămasă să înceapă cu ”12”) și apoi toate cele 7 cifre mai mari decât 3, până la cifra 4 din ”40” inclusiv. Numărul minim rămas este 1000123333333304142 5556… .

5. În cazul unui număr 1 2 nN a a a= … cu ultima cifră 9na ≠ , succesorul are ca ultimă cifră

( )1na + , deci are suma cifrelor mai mare decât suma cifrelor lui N (pe care o notăm cu

( )s N ). Numărul N căutat cu ultima cifră 9 este minim cu cât are mai puține cifre. Se

observă că 9 nu este soluție a problemei. Căutăm o soluție de forma 9, 9a a ≠ ; rezultă

( )9 14 1 0a a+ = ⋅ + + ⇒ 9 14 14 13 5 0a a a+ = + ⇒ + = , ceea ce nu este posibil. Nici 99

nu este o soluție, deoarece ( ) ( )99 18 18 100s s= = ⋅ . Trecem la trei cifre, numere de forma

9, 9N ab b= ≠ . Avem ( ) 9s N a b= + + și ( ) ( )1 1 0s N a b+ = + + + ; scriem 9a b+ + =

( ) ( ) ( )14 1 14 14 9 13 5 0a b a b a b a b= ⋅ + + ⇒ ⋅ + + = + + ⇒ ⋅ + + = , ceea ce este iarăși

imposibil. Dacă însă 9b = , succesorul lui 99N a= este ( )1 00a + , deci scriem

( )18 14 1 18 14 14 13 18 14 4a a a a a+ = ⋅ + ⇒ + = + ⇒ = − = , ceea ce nu este posibil. Nici

999 nu este o soluție, deoarece ( ) ( )999 27 27 1000s s= = ⋅ . Ajungem la patru cifre,

9N abc= . Nu mai pierdem vremea cu cazurile 9, 9c b≠ ≠ , ele eșuează similar cu

încercările de forma 9a , respectiv 99a . În cazul 999N a= , avem ( ) 27s N a= + și

( )1 1s N a+ = + ; condiția ( ) ( )14 1s N s N= ⋅ + devine 27 14 14 13a a a+ = + ⇒ =

27 14 13 1a= − = ⇒ = . Soluția problemei este 1999N = . 6. Dacă are sens să calculăm diferența între cifra c a unităților și cifra a a sutelor, atunci

c a≥ . Cum și 5ab bc− = , deducem că 1a b= + și 10 5b c+ − = ⇒

10 5 5c b b⇒ = + − = + . Se scrie că ( ) ( )42 1 5 42abc b b b= ⇒ + ⋅ ⋅ + = . Membrul stâng

al acestei egalități crește odată cu b , egalitatea având loc numai pentru 2b = , pentru care

găsim 3, 7 327a c abc= = ⇒ = .

7. Din 5c = și 0 a b c< < < deducem că ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1, 2 , 1,3 , 1, 4 , 2,3 , 2,4 , 3,4a b ∈ .

Pentru fiecare dintre aceste perechi, se calculează d din condiția 19a b c d+ + + = . Primele două perechi nu convin, deoarece se obține 10d ≥ . Pentru celelalte, obținem

soluțiile { }1459, 2359, 2458, 3457abcd ∈ .

8. Condiția 9bc cb− = este echivalentă cu 1b c− = . Condiția de minim impune 1a = ; dacă luăm 1b = , avem 0c = și deci 0abcd = ; pentru 2b = , avem 1c = și din 16abcd = ,

găsim 8 1218d abcd= ⇒ = .

9. Valorile lui a sunt elementele mulțimii { }7,8,9 . Prima inegalitate se scrie

2 6 4b a b a< + − ⇒ < − . Soluțiile problemei sunt perechile ( ),a b din mulțimea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }7,0 , 7,1 , 7,2 , 8,0 , 8,1 , 8,2 , 8,3 , 9,0 , 9,1 , 9,2 , 9,3 , 9,4 .

10. 2016, 2027 și 2038.

11. Prefixul și sufixul 2008 contribuie la suma cifrelor numărului cu 10 10 20+ = . Suma restului cifrelor este 2008 20 1988− = . Numărul dat este minim cu cât acest rest este alcătuit din cât mai puține cifre. Se împarte 1988 la 9 (cifra maximă a bazei 10) și se obține 220, rest 8. Restul numărului conține deci 220 de cifre 9 și o cifră 8; aceasta trebuie pusă pe ordinul cel mai semnificativ. Obținem

220 ori

2008899 92008…���

.

12. Fie abc numărul căutat; condițiile date se scriu 9a b+ = și 4b c− ≥ , de unde deducem

4 5b a≥ ⇒ ≤ . Pentru valoarea maximă, luăm 5a = și 4 0b c= ⇒ = , deci 540abc = . Valoarea minimă se obține pentru 1 8a b= ⇒ = ; cifra c a unităților se ia egală cu 0, deci

180abc = . 13. Avem 1, 2b a c a= + = + . Suma a două cifre poate fi în trei moduri cu 5 mai mare decât cea

de-a treia. Dacă 5a b c+ = + , găsim 1 2 5 7 1 6a a a a+ + = + + ⇒ = − = și apoi

678abc = . Analog, găsim 234abc = și 456abc = . 14. Cel mai mare astfel de număr este 964, iar cel mai mic este 520. Diferența lor este 444.

15. Numărul N abcdef= este minim dacă 102abc = . Se ia 3d = și se obțin imediat 5e = și

4 102354f abcdef= ⇒ = .

16. Numărul N abcdef= este maxim atunci când 987abc = . Dacă punem 6d = , atunci

8 6 14b d+ = + = și rezultă 14 7f c c= − = = , ceea ce încalcă restricția de unicitate a

cifrelor. Rezultă 5d = , pentru care găsim 4, 6e f= = , adică max

987546N = . Pentru

valoarea minimă, avem 102abc = . Nu putem lua 3d = și nici 4d = , ci doar 5d = , pentru

care rezultă min

102543N = . Diferența este max min

885003N N− = .

17. Se împarte 2009 la 9 și se obține 223, rest 2. Rezultatul este

223 ori

299 9…���

.

18. Fie a prima cifră a numărului; cea de-a doua poate fi ( )2a + sau ( )2a − . Dacă a doua

este ( )2a + , a treia poate fi doar ( )4a + , deoarece, dacă ar fi ( )2 2a a+ − = , ar repeta

prima cifră a numărului. În mod analog, dacă a doua este ( )2a − , a treia trebuie să fie

( )4a − . Pentru ca toate cifrele să fie diferite, ele trebuie să formeze o secvență monotonă –

adică fie crescătoare, fie descrescătoare. Cele două situații fiind simetrice, este suficient să consiedrăm cazul secvenței crescătoare, inversând apoi ordinea cifrelor. Cifrele sunt

( ) ( ) ( ), 2 , 4 , 6a a a a+ + + și ( )8a + . Suma lor este 5 20 20 0a a+ = ⇒ = . Cum numărul

nu poate începe cu 0, singura soluție se obține în cazul secvenței descrescătoare, 86420 .

19. Singurele triplete de cifre diferite al căror produs este de o cifră sunt ( )1,2,3 și ( )1,2,4 . Lor

le corespund soluțiile 6132, 6312, 8124, 8142, 8214, 8412 .

20. Nu putem avea 1a = , deoarece ar rezulta 8 0 8d d= + ⇒ = . Pentru 2a = , găsim

2 8 8d d d= + ⇒ = . Din 12ab cd− = deducem 2 12 8b c− = , cum 0c ≠ , egalitatea este imposibilă, deoarece 18 12 30+ ≥ . Dacă 3a = , avem 3 8 2 8 4d d d d= + ⇒ = ⇒ = . Din

12ab cd− = găsim 3 12 4b c− = și 6, 2 3624b c abcd= = ⇒ = . 21. a) 12, 32, 72. b) 732. c) 132.

22. Din ( ) : 2c a b d+ = + și c a b+ = deducem ( ) : 2 2b b d b b d b d= + ⇒ = + ⇒ = . Avem

2ca b b b= ⋅ = și c a b+ = ; prin scăderea celor două relații, găsim ( )2

9 1c b b b b= − = ⋅ − .

Singura posibilitate este ca 9b d= = , pentru care obținem 8c = și 1a = . Așadar,

1989abcd = . 23. Cifra miilor este 8, ceea ce limitează cifra sutelor la 7, chiar la 6, deoarece 8700 nu este nici

impar și are și cifre care se repetă. Numărul căutat este 8601.

24. Căutăm un număr de forma 95ab cât mai mare astfel încât 95 59 6903ab ba− = . Găsim

62ab = , numărul căutat este deci 9562 . 25. Avem 3 12 4c c⋅ ≤ ⇒ ≤ , ba chiar 4c < , deoarece pentru 4c = avem

2 12 12 2 0 0a b a b a b+ ⋅ + = ⇒ + ⋅ = ⇒ = = , ceea ce nu se poate. Se dau valori lui c , de la 3 la 0 în ordine descrescătoare și se determină valorile corespunzătoare pentru a și b .

c 2a b+ Calculul pentru ,a b

3 3 a trebuie să fie impar și cel mult egal cu 3. Obținem fie 1, 1a b= = fie 3, 0a b= = .

Soluțiile corespunzătoare sunt 113abc = și

303abc = . 2 6 a trebuie să fie par și cel mult egal cu 6.

- 2, 2 222a b abc= = ⇒ =

- 4, 1 412a b abc= = ⇒ =

- 6, 0 602a b abc= = ⇒ =

1 9 a trebuie să fie impar și cel mult egal cu 9.

- 1, 4 141a b abc= = ⇒ =

- 3, 3 331a b abc= = ⇒ =

- 5, 2 521a b abc= = ⇒ =

- 7, 1 711a b abc= = ⇒ =

- 9, 0 901a b abc= = ⇒ =

0 12 a trebuie să fie par și cel mult egal cu 12.

- 2, 5 250a b abc= = ⇒ =

- 4, 4 440a b abc= = ⇒ =

- 6, 3 630a b abc= = ⇒ =

- 8, 2 820a b abc= = ⇒ =

Soluțiile problemei, scrise în ordine crescătoare, sunt elementele mulțimii {113,141,abc ∈

}222, 250,303, 331, 412, 440, 521, 602, 630, 711, 820, 901 .

26. Pentru a minimiza numărul, cifra miilor se ia 1; cel mai mic produs de trei cifre distincte două

câte două și diferite de 1 este 2 3 6⋅ = . Prin identificare, se obține soluția 1263 .

27. Deoarece a este prima cifră a numărului abcd , nu putem avea 0a = , deci 1a ≥ . Pe de altă parte, dacă 3a ≥ , atunci 24 24 3 72a ≥ × = , care depăşeşte valoarea 61 din membrul drept; rezultă 2a ≤ . Dacă şi 1b ≥ , atunci 24 39 24 39 63 61a b+ ≥ + = > ; deducem că

0b = . Rămân posibile cazurile :

i) 1, 0a b= = . Egalitatea devine 24 61 61 24 37cd cd+ = ⇒ = − = .

ii) 2, 0a b= = . Obţinem 48 61 61 48 13cd cd+ = ⇒ = − = .

Soluțiile problemei sunt aşadar 1037 şi 2013 . 28. În cazul celui mai mare număr, dacă cifra maximă este 8, suma 10 8 2− = nu poate fi

produsă din trei cifre distincte. Cifra maximă este deci 7, pentru care găsim 7210abcd = .

Numărul minim cu aceleași proprietăți este 1027abcd = . 29. Strategia este de a avea cât mai multe cifre, diferite. Cifra 0 poate fi folosită, o singură dată.

Dacă pe lângă aceasta am avea 6 cifre nenule, suma lor ar fi cel puțin 1 2 3 4 5 6 21+ + + + + = . Nu putem avea deci decât 5 cifre nenule, cea mai mare dintre ele poate fi 7, astfel încât suma celorlalte patru să fie 17 7 10− = (iar acestea să fie egale cu 1, 2, 3, respectiv 4). Numărul obținut este 743210 .

30. Relația se scrie 54ab ba− = , care este echivalentă cu ( )9 54 6a b a b⋅ − = ⇒ − = , cu

, 0a b ≠ . Dând valori cifrelor, găsim { }71, 82, 93ab ∈ .

31. Numerele sunt de forma 0ab sau 5ab , cu 17a b+ = , respectiv 12a b+ = . Se găsesc

valorile din mulțimea { }395, 485, 575, 665, 755, 845, 890, 935, 980 .

32. Fie abc un număr de trei cifre cu proprietăţile i) şi ii). Niciuna dintre cifre nu poate fi 0, deoarece produsul ar fi 0 şi condiţia ii) ar putea fi verificată numai dacă 0a b c= = = .

Condiţia i) poate fi verificată în trei situaţii distincte: dacă ,a b c b c a= + = + sau c a b= + . Simetria ne permite să obținem toate soluțiile problemei prin permutarea cifrelor soluțiilor obținute în cazul a b c= + ; suma cifrelor este 2a b c a+ + = , iar produsul 3 2 6P abc a a= = ⋅ = şi cum

0a ≠ se obţine prin simplificare că 6bc = . Putem avea fie { } { }, 1,6b c = , fie { } { }, 2,3b c = .

În primul caz, avem 7a b c= + = , în cel de-al doilea, 5a b c= + = . Soluțiile sunt

{ }523,532,716, 761abc ∈ . Prin permutarea cifrelor, obținem soluția generală, care este

mulțimea { }167,176, 235, 253,325,352,523,532,617,671,716, 761abc ∈ .