Capitolul 1 Numere reale

1.1 Numere raţionale şi iraţionale. Reprezentarea numerelor reale

1.1.1. Scrieţi ca fracţie zecimală infinită următoarele numere: 15 17 3 27 123 523 201

; ; ; ; ; ;8 6 4 11 17 21 19

− − −

1.1.2. Să se scrie numărul 1

49sub formă de fracţie zecimală infinită.

1.1.3. Să se arate că oricare ar fi numărul n ∈� , fracţia 65 3

39 2

n

n

+

+este ireductibilă.

Aceeaşi problemă pentru fracţia 21 4

14 3

n

n

+

+.

(O.I.M, 1959; 3758, G.M.F.B. 8/1959) 1.1.4. Să se determine funcţiile :f →� � de gradul întîi cu proprietatea că fracţia

( )( )

5 7

8 9

f x

f x

+

+ este reductibilă, ( ) x∀ ∈� .

(Elvira şi Nicolae Crainic, 20070, G.M. 4-5/1984) 1.1.5. Scrieţi ca fracţie ordinară ireductibilă următoarele numere:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3, 6 ;1,72 32 ; 2,073 83 ; 4,3 042 ; 0,01 02 ; 0,01 023− − ; ( )0, 23 459

1.1.6. Să se determine primele trei cifre după virgulă ale numerelor: a) x y+ , unde 1,3426...x = şi 1,1243...y =

b) 7 5−

c) 0,710710071... 6− × 1.1.7. Folosind rigla şi compasul, figuraţi pe axa reală punctele de abscise:

2; 3; 5; 6; 10 1.1.8. Să se arate că următoarele numere nu sunt raţionale:

a) 3 b) 32 c) 2 3+

d) 2 3 5+ + (Doru Ştefănescu, 16922*, G.M. 11/1977)

1.1.9. Să se demonstreze că oricare ar fi n ∈� , numerele 5 2n + şi 5 3n + sunt iraţionale.

1.1.10. Să se arate că numărul 1985 18951895 1985+ nu este raţional.

(D.M. Bătineţu, 20537*, G.M. 9/1985) 1.1.11. Fie ,a b ∈� astfel încît 2 0a b+ ≠ . Este posibil ca 2 0a b− = ?

1.1.12. a) Să se demonstreze că nu există ,a b ∈� astfel încît 32 2a b= + .

b) Să se demonstreze că 34 nu poate fi scris sub forma 3

4 a b c= + , unde , ,a b c ∈� . (Vasile Tomiţă, 19292, G.M. 7/1982)

1.1.13. a) Arătaţi că nu există numerele raţionale a şi b astfel încît 3 39 3a b= + .

b) Generalizare: dacă n∗∈� nu este cub perfect, atunci nu există ,a b ∈� astfel

încît 3 2 3n a b n= + . (Petre Simion, E:7550, G.M. 2-3/1982)

1.1.14. Să se arate că numărul 3 3 2+ este iraţional.

1.1.15. Să se arate că numărul 3 332 3 4+ + este iraţional.

1.1.16. Fie numerele , ,a b c ∈� astfel încît 3 32 4 0a b c+ + = . Să se arate că

0a b c= = = . 1.1.17. Fie ,a b ∈� astfel încît numărul 3 3a b+ este raţional şi nenul. Să se arate

că numerele 3 a şi 3 b sunt raţionale. (Concurs Ungaria, 1969; 9599, G.M.B. 5/1969) 1.1.18. Să se arate că dacă , ,a b c ∈� şi 2ax bx c+ + ∈� pentru orice x ∈�atunci c ∈� şi 0a b= = . (I. Vladimirescu, 1984)

1.1.19. Fie , ,a b c ∈� astfel încît 2 3 5 0a b c+ + = . Să se arate că 0a b c= = = . 1.1.20. Să se determine mulţimea:

( ) 2 2 21, , 3 5 3 7 5 4 5 0

4A m x y x y m x y

= ∈ × × + + + − + =

� � �

(C. Rusu, 18930, G.M. 10/1981) 1.1.21. Dacă n ∈� şi , , ,a b c d ∈� , să se arate că:

( ) ( )2 34 4 44 3 4 3 4 3 0 0a b n c n d n a b c d+ + + + + + = ⇔ = = = = .

(Olimpiadă, Mongolia, 1985) 1.1.22. Fie , \ si a b r∈ ∈� � � . Care dintre următoarele numere pot fi raţionale ?

a) a b+ b) a r+ c) ab d) ar e) a f) r

g) a r+ h) a b+ i) a r+ j) r a+ 1.1.23. Fie , ,a b c trei numere iraţionale. Să se arate că dacă a b c+ + ∈� şi

2 2 2a b c+ + ∈� , atunci 3 3 3a b c+ + ∈� dacă şi numai dacă abc ∈� . (I. Nănuţi, 17429*, G.M. 10/1978) 1.1.24. Fie , ,p q r ∈� astfel încît 1pq qr rp+ + = . Să se arate că

( ) ( )( )2 2 21 1 1p q r+ + + ∈�

1.1.25. Fie , 5n n∈ ≥� .

a) Să se arate că 2 11

10n n+ < + .

b) Să se determine prima zecimală a lui 21999 1+ .

1.1.26. Pentru n∗∈� , să se determine prima zecimală a numărului 2

n n+ . (Iacob Didraga, 19332*, G.M. 8/1982) 1.1.27. a) Să se determine primele două zecimale ale numărului

23 2, , 11A n n n n= + + ∈ >� . (Al. Loga, 1984)

b) Să se determine primele două zecimale ale numărului 24 ,n n n+ ∈� .

(Rodica şi Alexandru Loga, E:8133, G.M. 9/1983) 1.1.28. Pentru care numere naturale n prima zecimală a lui 1n n+ − este 2?

1.1.29. Găsiţi n ∈�astfel încît n să aibă primele două zecimale de după virgulă egale cu 1, respectiv 2. 1.1.30. Să se determine cel mai mic n ∈�astfel încît primele trei cifre după virgulă în reprezentarea lui n să fie (în această ordine) 1,2,3.

1.1.31. Fie 0 1 2 3, ...a a a a a= . Să se determine

2004a dacă:

1 1;

7 13a a= = .

1.1.32. Să se arate că în reprezentarea zecimală a unui număr iraţional există cel puţin două cifre care se repetă de o infinitate de ori.

1.1.33. Să se demonstreze că mulţimea { }1

\ 1;1A a aa

= ∈ − + ∈

� � este inclusă

în mulţimea numerelor iraţionale. 1.1.34. Numerele reale ,x y satisfac relaţia 2

1xy x= + . a) Să se arate că dacă y este număr iraţional, atunci şi x este număr iraţional; b) Este reciproca adevărată ? Justificaţi răspunsul.

(Emil Constantinescu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1978) 1.1.35. Se dau n numere reale

1 2, , , nx x x… , diferite de zero. Să se demonstreze

că există un număr iraţional α astfel încît toate numerele , 1,ix i nα = să fie iraţionale. (Nicolae Ceti, Valentin Marchidan, 17824*, G.M. 7/1979) 1.1.36. Fie ,a b∈� astfel încît a b≥ . Să se arate că dacă numărul

( ) ( )222 2

1a b a b+ − + − ∈� , atunci a b= . Este reciproca adevărată ?

(Vasile Zidaru, E:7620*, G.M. 5/1982) 1.1.37. Fie numărul

0a ∈� . Definim mulţimea infinită { }0 1

, ,..., ,...nA a a a= unde

( )2

11 0i ia a i+ = + ∀ ≥ . Să se arate că \A ≠ ∅� .

1.1.38. Să se determine mulţimile:

a) { }21A n n= ∈ + ∈� �

b) { }217B n n= ∈ − ∈� �

c) { }21C n n n= ∈ + + ∈� �

1.1.39. Să se determine mulţimile:

{ }4 217 60A k k k= ∈ + + ∈� � şi { }4 24

17 60B k k k= ∈ + + ∈� � .

(Adrian Ghioca, 17044*, G.M. 2/1978)

1.1.40. Fie mulţimile: { }27A k k k= ∈ − ∈� � şi { }2

63B k k= ∈ + ∈� � . Să se

determine mulţimile , ,A B A B A B∪ ∩ − şi B A− .

(Dan Popescu, 19893, G.M. 10-11/1983) 1.1.41. a) Să se afle mulţimea:

{ }{ }225 33 , , 5,6, ,15A x x n n nα α= ∈ = + + ∈ ∈� � … .

(Valeriu Tulbă, E:8526, G.M. 3/1985) b) Să se determine mulţimea:

{ }26 12B x x x= ∈ + + ∈� �

(Nicolae Halmagiu, Concursul “Spiru Haret”, 1985) 1.1.42. Pentru numerele naturale ,a b definim mulţimea:

( ) ( ){ }2 2, ,M a b x y x ax b y= ∈ × + + =� �

a) Să se arate că dacă a este impar, atunci ( ),M a b este nevidă şi finită.

b) Rămîne adevărată această afirmaţie pentru a par ? c) Să se determine mulţimile ( ) ( ) ( )1, 4 , 2,1 , 0, 2M M M .

(Nicolae Papacu, 20538, G.M. 9/1985) 1.1.43. Să se determine mulţimea:

( ){ }2 4 3 2, 1A x y y x x x x= ∈ × = + + + +� � (20675*, G.M. 2/1986)

1.1.44. Pentru ce x ∈� , numărul ( ) ( )2

3 2 3 4 3x x+ − ∈� ?

(Liviu Pîrşan, 20763*, G.M. 5/1986)

1.1.45. Să se determine numerele ,x y ∈� pentru care 2 21 4x y y x+ + + + +

este natural. (Marcel Chiriţă, 18978*, G.M. 11/1981)

1.1.46. Să se arate că graficul funcţiei ( ) 4 2: , 3 7f f x x x→ = + +� � nu trece prin

nici un punct cu ambele coordonate întregi. Aceeaşi problemă pentru

( ) 4 2: , 5 5g g x x x→ = + +� � .

1.1.47. a) Să se demonstreze că nu există nici o pereche de numere naturale nenule ( ),m n astfel ca expresiile 2

4m n+ şi 24n m+ să fie simultan pătrate perfecte.

(Ion Cucurezeanu, 17647*, G.M. 3/1979) b) Să se determine numerele naturale nenule m şi n ştiind că 2

5m n+ şi 2

5n m+ sunt simultan pătrate perfecte. (Gh. Szollosy, 20481, G.M. 7/1985) 1.1.48. a) Dacă , ,a b c sunt numere întregi impare, să se demonstreze că ecuaţia

20ax bx c+ + = nu poate avea rădăcini raţionale.

(Olimpiadă naţională, 1980) b) Generalizare, pentru orice ecuaţie algebrică de grad par cu coeficienţii numere întregi impare. (Ştefan Alexe, 16707, G.M. 6/1977) c) Să se determine numărul prim p ∈� , ştiind că ecuaţia 2

3 0x x p− + = admite rădăcini întregi. 1.1.49. Să se demonstreze că ecuaţia 3

1 0, , 2x px p p− + = ∈ >� , nu are rădăcini raţionale.

1.1.50. Dacă numerele reale ( )1 2 1 2,x x x x≠ satisfac condiţiile:

1 2x x+ ∈� şi

1 2x x− ∈� , atunci ( )4 8 8

1 22 x x− ∈� .

(I.V. Maftei, 16925*, G.M. 11/1977)

1.2 Operaţii cu numere reale. Identităţi 1.2.1 Structura algebrică a lui � . Operaţii de bază. 1.2.1.1 Formule de calcul prescurtat

1.2.1. Numerele reale , ,x y z verifică egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 2x y y z z x x y z y z x z x y− + − + − = + − + + − + + − . Să se

arate că x y z= = . (3217, R.M.E.T, 1977)

1.2.2. Fie expresia ( ) ( )3 3 2 24 2E x z xyz y x z xz x z= − + + + + − .

a) Să se descompună expresia dată în factori; b) Dacă x y a+ = şi y z b− = , să se calculeze E în funcţie de a şi b .

(Kiss Elemer, 5224, G.M.F.B. 4/1962)

1.2.3. Se ştie că 2 2 2 23x y z t+ = şi că ( ) ( )

4 4

48xy zt xy zt+ − − = , să se calculeze

produsul xyzt . (Paul Schneider, E:6109*, G.M. 1/1978) 1.2.4. Dacă 0a b c+ + = , să se arate că: a) 3 3 3

3a b c abc+ + = ; deduceţi că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3

3 , , ,x y y z z x x y y z z x x y z− + − + − = − − − ∈�

b) ( )2 2 2 2 2 2 2

ab bc ca a b b c c a+ + = + +

c) 2 2 2 2 2 2 3 3 3

a b b c c a a b c

a b b c c a bc ca ab

+ + ++ + = + +

+ + +, unde 0abc ≠

(Titu Andreescu, E:6090*, G.M. 12/1977) 1.2.5. Dacă , ,a b c ∈� , să se arate că

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 23 3 3 13

2a b c abc a b c b c c a a b+ + − = + + − + − + −

Deduceţi că, dacă 3 3 33a b c abc+ + = , atunci 0 sau a b c a b c+ + = = = .

1.2.6. Numerele reale , ,a b c satisfac simultan relaţiile:

3 3 3 3 2

1

3 3

a b c m

abc

a b c m m

+ + =

=

+ + = − +

, unde m∗∈� . Să se stabilească următoarele

egalităţi: a) ab bc ca a b c+ + = + + ; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b b c c a a b c+ + = + + ; c) 3 3 3 3 3 3 3 3 3

a b b c c a a b c+ + = + + . (T. Cohal, 6344, G.M.B. 5/1964) 1.2.7. Fie , ,a b c ∈� . Arătaţi că:

( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3

3a b c a b c b c c a a b+ + − + + = + + + . Deduceţi că dacă

( )3 3 3 3

a b c a b c+ + = + + , atunci ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1

,n n n n

a b c a b c n+ + + + ∗+ + = + + ∀ ∈�

1.2.8. Dacă , ,x y z ∈� , notăm ,k k k

ks x y z k= + + ∈� . Să se determine ,m n ∗∈�

ştiind că 1

0s = şi m n m ns s s

m n m n

+ = =+

.

1.2.9. Să se arate că:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

24a b c b c a c a b a b c abc+ + − + − − + − − + − = .

(E:1829, G.M.F.B. 4/1962) 1.2.10. Să se descompună în factori expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3

, ,E x y z y z y z x z x z x y x y x y z= − + − + − + − + − + −

(Eliza Vasiliu, 7636, G.M.B. 7/1966) 1.2.11. Să se arate că expresia:

( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 22 2 2 2 2 2

, , 2 3E x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx= + + + + + − + + + +

este un pătrat perfect. (Cezar Coşniţă, 3674, G.M.F.B. 5/1959) 1.2.12. Să se arate că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 33

2 9 10 4 7 11x y x y x y x y y x y x y x y+ + + + + + + = + + + + + +

(7328, G.M.B. 1/1966) 1.2.13. Fie , 2n n∈ ≥� şi numerele reale , , 1,i ia b i n= . Să se demonstreze

identitatea (Lagrange):

( )2

22 2

1 1 1 1

n n n

i i i i i j j i

i i i i j n

a b a b a b a b= = = ≤ < ≤

⋅ = + −

∑ ∑ ∑ ∑

1.2.1.2 Expresii algebrice raţionale 1.2.14. Să se simplifice fracţiile:

a) ( )8 4

1 7 5

1

1

x xf x

x x

+ +=

+ +

b) ( )10 8

2 8 4

1

1

x xf x

x x

+ +=

+ +

c) ( )8 4

3 7 5

1

1

x xf x

x x

+ +=

+ −

(Vasile Buţă, 7438, G.M.B. 3/1966) 1.2.15. Se dau expresiile:

4 3 2

1

21

1E x x x x

x= + + + + +

− şi

4 3 2

2

21

1E x x x x

x= − + − + −

+. Să se arate că produsul

1 2E E este egal cu

produsul obţinut după suprimarea fracţiilor din cele două expresii. Generalizare. (E:2612, G.M.B. 11/1966) 1.2.16. a) Să se arate că triunghiul ale cărui laturi verifică relaţia

( )0 1c b a c b a

a b c

− − −+ + = este isoscel. (Admitere în liceu, 1985)

b) Arătaţi că dacă relaţia ( )1 este verificată, atunci are loc şi

0b c c a a b

x a x b x c

− − −+ + =

− − −, pentru orice x ∈� admisibil.

(Carol Szasz, E:1376, G.M.F.B. 8/1959)

1.2.17. Să se arate că dacă 1x y z

a b c+ + = şi 0

a b c

x y z+ + = , atunci:

0xy yz zx

ab bc ca+ + = (Ionel Atanasiu, 7552, G.M.B. 5/1966)

1.2.18. Fie numerele reale distincte două cîte două , ,a b c . Notăm

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

k k k

k

a b cs

a b a c b a b c c a c b= + +

− − − − − −. Să se arate că:

a) 0 1 2 3

0, 1,s s s s a b c= = = = + + ;

b) 2 2 2

4s a b c ab bc ca= + + + + + .

1.2.19. Folosind eventual exerciţiul precedent, arătaţi că:

a) ( )( )

1 1

a a b a c abc=

− −∑

b) ( ) ( )2 2 2 2

1 ab bc ca

a a b a c a b c

+ +=

− −∑

1.2.20. În condiţiile exerciţiului 1.2.18. notăm

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

m m m

m

a b a c b a b c c a c ba b c

a b a c b a b c c a c bσ

+ + + + + += + +

− − − − − −.

Să se calculeze 1 2,σ σ şi

3σ .

1.2.21. Să se simplifice fracţia ( )( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2

3, ,

3

x y z xyzF x y z

x y z y z x z x y xyz

+ + −=

+ + + + + + şi

apoi să se arate că expresia ( ) ( )( ), , 3xy yz zx F x y z+ + ⋅ + reprezintă un pătrat

perfect. (Martin Mettler, 8771, G.M.B. 3/1968)

1.2.22. Se ştie că 1

x ax

+ = . Evaluaţi în funcţie de a sumele

1, 2 8

k

k kS x k

x= + ≤ ≤ .

1.2.23. Se cunoaşte că 2

31

x

x x=

+ +. Să se calculeze

3

6 31

x

x x+ +

1.2.24. Numerele reale , , ,x y a b verifică relaţiile:

1 1

, , 2, 0, 1x y a xy b a b bx y

+ = + = = ≥ ≠ ≠ . Să se determine o relaţie numai

între a şi b . (Maria Elena Panaitopol, Olimpiadă judeţeană, 1979) 1.2.25. Fie , , , , ,a b c x y z numere reale astfel încît:

1 1 1

, ,x bc y ca z aba b c

= + = + = + şi 1ax by cz+ + = . Să se deducă o relaţie numai

între , ,a b c şi o relaţie numai între , ,x y z . (Octavian Stănăşilă, Olimpiadă naţională, 1985) 1.2.26. Se dau relaţiile:

2 2 2 2 1 1 1 1, ,x y z a x y z b

x y z c+ + = + + = + + = . Să se calculeze, în funcţie

de , ,a b c suma 3 3 3x y z+ + . 1.2.27. Să se arate că:

( )( ) ( )

( )( )( )1 1 1 1 1 1

x y y z z xx y y z z x

xy yz zx xy yz zx

− − −− − −+ + =

+ + + + + +, pentru toate valorile

admisibile ale numerelor reale , ,x y z . (C. Ionescu-Ţiu, E:2449, G.M.B. 1/1966) 1.2.28. Numerele reale strict pozitive , ,x y z au produsul egal cu 1. Să se arate că

1 1 11

1 1 1x xy y yz z zx+ + =

+ + + + + +

1.2.29. Dacă 1 1 1

0a b c

+ + = , să se arate că:

a) 3b c c a a b

a b c

+ + ++ + = −

b) 3 3 3

a b c a b c

b c c a a b abc

+ ++ + = −

+ + +

1.2.30. Dacă 1 1 1

0a b c

+ + = , să se arate că:

2 2 2 2 2 2

2 2 20

a b b c c a bc ca ab

ab bc ca a b c

+ + ++ + + + + =

(E:1817, G.M.F.B. 4/1962)

1.2.31. Să se arate că dacă 1 1 1

3a b c

+ + = , atunci are loc şi relaţia:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 1 10

1 1 1 1 1 1a b c b c a c a b+ + =

− − − − − −, unde { }, , \ 0,1a b c ∈� .

(Ştefan Marica, E:2320, G.M.B, 1965) 1.2.32. Să se arate că dacă , ,a b c sunt numere complexe nenule astfel încît

0x y z+ + = şi 1 1 1

0x y z

+ + = , atunci are loc egalitatea 6 6 6 2 2 2x y z ax y z+ + = , unde

a este un număr complex convenabil determinat. (Profil electric, 1983)

1.2.33. Fie , ,a b c ∗∈� astfel încît 1 1 1 1

, 0a b ca b c a b c

+ + = + + ≠+ +

. Să se arate că:

a) printre numerele , ,a b c există două a căror sumă este nulă; (Matematică, 1988)

b) pentru orice număr natural 1n ≥ are loc egalitatea:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 1 1n n n n n n

a b c a b c+ + + + + +

+ + =+ +

c) Fie a∗∈� . Să se determine , ,x y z ∗∈� care satisfac simultan relaţiile:

1 1 1 1

2

x y z a

x y z a

xy yz zx

+ + =

+ + = + + = −

(U.P.B, septembrie 1988)

d) Aceeaşi cerinţă pentru sistemul:

2 2 2 2

1 1 1 1

3

x y z a

x y z a

x y z a

+ + =

+ + = + + =

(Matematică, sesiune specială, 1987)

1.2.34. Dacă a b c ab bc ca+ + = + + şi 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + = + + , să se arate

că n n n n n n n n na b c a b b c c a+ + = + + , oricare ar fi n

∗∈� . (5633, G.M.F.B. 2/1963) 1.2.35. Dacă numerele reale nenule , ,a b c verifică relaţia a b c abc+ + = , atunci:

1 1 1 1 1 1

3a b c ab bc cab c c a a b

+ + + + + + = + +

(Dan Seclăman, 17384, G.M. 9/1978)

1.2.36. Să se arate că dacă 0, 0, 0a b c> > > şi ( )

( )

( )

( )2 2

b a b c a a b c

b c a c

− + + − +=

+ +, atunci

a b= . (Liviu Pîrşan, 9260, G.M.B. 11/1968)

1.2.37. Să se arate că dacă 1x y z

y z x+ + = , atunci:

( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3

3 3 3 2 2 2

x x z y y x z z yx y z x y z

y z x xyz y z x

− − −+ ++ + + = + +

(Ştefan Ralescu, E:2922, G.M.B. 3/1968) 1.2.38. Se consideră numerele reale nenule , ,a b c , distincte două cîte două. Să

se arate că produsul b c c a a b a b c

Pa b c b c c a a b

− − − = + + + +

− − − este egal cu:

a) 9 , dacă 0a b c+ + = ; b) 1, dacă c a b= − .

1.2.39. Să se arate că dacă 1xy yz zx+ + = , atunci:

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

1 1 1 8

1 1 11 1 1

x x y y z z xyz

x y zx y z

− − −+ + =

+ + ++ + +

(C. Ionescu-Ţiu, E:2668, G.M.B. 2/1967) 1.2.40. Dacă 1ab bc ca+ + = , atunci:

( )( ) ( )

2 2 22 2 2

1 1 1 22

1 1 1 1 1 1

abc

a b c a b c+ + = +

+ + + + + +

(8166, G.M.B. 4/1967) 1.2.41. Dacă 0xy yz zx+ + = , să se arate că:

( )2 2 2 2 2 2

4x y y z z x

x y zx y y z z x

+ + ++ + = + +

+ + +

(I. Bodea, E:3324, G.M.B. 10/1969) 1.2.42. a) Fie , ,x y z ∗∈� . Să se arate că expresia:

( ), , 4x y y z z x

E x y zy x z y x z

= + + ⋅ + ⋅ +

se poate scrie ca sumă de trei

pătrate. b) Există valori ale lui , ,x y z astfel încît ( ), , 0E x y z = ?

(Laurenţiu N. Gaiu, E:6199, G.M. 4/1978)

1.2.43. Ştiind că 2 2 2 2 2

3a b c d+ = şi că ( ) ( )

6 6

0ab cd ab cd+ − − = , să se calculeze

produsul abcd . (Nicuşor I. Zlota, E:8164, G.M. 10-11/1983) 1.2.44. Fie numerele reale

1 2, , , na a a… astfel încît:

1 2

2 3 1 3 1 2 1

0n

n n n

aa a

a a a a a a a a a −

+ + + =+ + + + + + + + +

…… … …

Să se arate că 2 3 1 3 1 2 1

1

1 1 1n

n n ni

i

n

a a a a a a a a aa−

=

+ + + =+ + + + + + + + +

∑…

… … ….

(Ovidiu Popescu, E:2592, G.M.B. 10/1966) 1.2.45. Să se arate că:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 3 1

2 3 1 3 1 2 1

1 2

2 3 11 2

2 3 1 3 1 2 1

n n

n n nn

n

n n n

a a a a a a a a a

a a a a a a a a aa a a

a a a aa a

a a a a a a a a a

−

−

− − −+ + +

+ + + + + + + + += + + +

− −−+ + +

+ + + + + + + + +

…… … …

…

…… … …

pentru toate valorile admisibile ale numerelor reale 1 2, , , na a a… .

(Liviu Pîrşan, 7330, G.M.B. 1/1966)

1.2.46. Să se arate că dacă { }\ 0,1 , 1,ia i n∈ =� astfel încît 1

1n

i i

na=

=∑ , atunci:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 1

1 1 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1n n n na a a a a a a a a a a a−

+ + + =− − − − − − − − −

…… … …

(I. Cojocaru, I. Atanasiu, 8227, G.M.B. 5/1967)

1.2.3 Radicali 1.2.3.1 Definiţie. Puteri cu exponent raţional

1.2.47. Calculaţi 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3+ ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ − + + .

1.2.48. Să se arate că 10 24 40 60 2 3 5+ + + = + + .

1.2.49. Să se arate că expresia 33 10 2 12 5 6 10E = + + + se poate pune sub forma unei sume de rădăcini pătrate a patru numere întregi pozitive.

1.2.50. Să se determine ,a b ∈� astfel încît 39 3 11 2 2 3a b− = +

1.2.51. a) Fie ( ) 3 23 3 1P x x x x= − − − şi 3 3

01 2 4x = + + . Calculaţi ( )0

P x .

(E. Vişa, Olimpiadă regională, 1958)

b) Considerăm ( ) ( ) ( )23 2

3 3 1 1P x x x a x a= − − − − − şi 3 23

01 ,x a a a= + + ∈� .

Calculaţi ( )0P x . (Liviu Pîrşan, 7885, G.M.B. 12/1966)

1.2.52. Să se determine numerele naturale , 1, ,ia i n n∗= ∈� pentru care este

definit radicalul:

2 2 2

1 2 2 3 11 2 1 2 1 2

1 2n

a a a a a ana a a

+ − + − + − + + +… … (2489, R.M.E.T 2/1976)

1.2.53. Calculaţi, scriind ca puteri raţionale:

a) 5 5

5 33035 54

3 2, 0

a a aa a

a aa⋅ ⋅ ⋅ >

b) 3 2 2 11

83 42 33 2

, 0a a a a a

aa aa a a

⋅ ⋅ ⋅ >

1.2.54. Se consideră expresia n

a b a bE

b a b a

=…

…

, numărul radicalilor suprapuşi

fiind 2n ≥ , atît la numărător, cît şi la numitor. Să se pună expresia sub forma x

n

aE

b

=

. (I. Teodorescu, 8279, G.M.B. 6/1967, enunţ parţial)

1.2.3.2 Formula radicalilor compuşi. Radicali compuşi de ordin superior 1.2.55. Utilizînd formula radicalilor compuşi, să se aducă la o formă mai simplă:

a) 28 16 3−

b) 17 4 9 4 5− +

c) 2 3 5 13 48+ − +

d) 2 9 4 2+ +

e) 4 25 96+ +

f) 13 4 8 2 6 20+ − +

g) 13 30 2 9 4 2+ + +

1.2.56. Diferenţa 40 2 57 40 2 57− − + este un număr întreg. Să se

determine acest număr. (Admitere, U.R.S.S, 1977) 1.2.57. Să se arate că numărul:

26 6 13 4 8 2 6 2 5 26 6 13 4 8 2 6 2 5x = + − + − + − + − + este raţional.

1.2.58. Calculaţi 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −+

+ + − − (Olimpiadă, 1950)

1.2.59. Pentru ce valori a ∈� avem 14 14a a+ − − ∈�? (G.M., 1991)

1.2.60. Dacă ( )1;2x ∈ , calculaţi ( )1 1

2 1 2 1

E xx x x x

= ++ − − −

1.2.61. Să se arate că numărul ( )21 2 1 2

aN a a a a

a= − + + + + este natural

şi pătrat perfect, oricare ar fi , 1a a∈ ≥� . (Gheorghe Giurgiu, E:8193*, G.M. 12/1983) 1.2.62. Să se arate că dacă ( )1;3a ∈ , avem:

1 1 1 1

24 2 4 2

a a a a+ − + −+ + − =

(C. Ionescu-Ţiu, 7527, G.M.B. 4/1966) 1.2.63. Determinaţi intervalul cel mai mare al valorilor lui x pentru care expresia

( ) 1 24 10 1f x x x x= − + + − − are o valoare constantă.

(Olimpiadă, Anglia, 1966; 7912, G.M.B. 1/1967) 1.2.64. Determinaţi un interval [ ];a b ⊂ � pe care expresia

( ) 2 19 8 2 3 2 7 4 2 3E x x x x x= + − + + + − + este constantă.

1.2.65. Să se aducă la o formă mai simplă expresia

( )2 2 22 2E x a x a x ax a= + + + + +

1.2.66. Dacă 2 24a b+ < , să se demonstreze egalitatea:

2 22 2 2 2

2 2 2 2

4 41 1

2 2 2 2

a b a b a b a bb

a b a b

− − − −− + + − − = + +

(Ilie Stănescu, 7947, G.M.B. 1/1967) 1.2.67. Să se arate că:

a) 26 15 3 26 15 3 3 6+ + − =

b) 3 326 15 3 26 15 3 4+ + − = .

1.2.68. a) Să se arate că numărul 3 3

07 4 3 7 4 3x = + + − este rădăcină a

ecuaţiei 33 14 0x x− − = .

b) Notînd ( )3 3

0 3

114 2 47 14 2 47

2y = + + − , arătaţi că

0 0y x= .

(Dan Seclăman, 18576*, G.M. 1/1981)

1.2.69. Arătaţi că numărul 3 23

0x a a= + este rădăcină a ecuaţiei

( )33 1 0x ax a a− − + = (G.M., 1982)

1.2.70. Să se calculeze numerele:

a) 3 3

07 5 2 7 5 2x = + − −

b) 3 3

15 2 13 5 2 13x = + + −

(Mircea Costeniuc, E:8214, G.M. 1/1984, enunţ modificat)

1.2.71. Să se arate că 3 32 5 2 5+ + − ∈� şi 3 3

2 3 2 3+ + − ∉� .

1.2.72. Fiind date numerele reale 3 317 18 5 17 18 5x = + + − şi

3 323 8 61 23 8 61y = + + − , să se arate că ( ) ( )

1

0n n

x y+

− + − = , oricare ar

fi n ∈� . (E:8887*, G.M. 6/1986)

1.2.73. Să se arate că numărul 3 30

19 2 19 2

27 3 27 3x = + + − este raţional. Aceeaşi

cerinţă pentru 3 3

145 29 2 45 29 2x = + + − .

1.2.74. Să se arate că:

3 3 33 2 3 2 3 34 3 8 4 2 1 3 8 4 2 1 2 1 2 1a a a a a a a a a+ + − − + − − + = + + − , unde a ∈� . (Mihai Bogza, 6609, G.M.B. 11/1964)

1.2.75. Să se arate că numărul 5 5

041 29 2 41 29 2x = + + − este raţional.

(2513, R.M.E.T. 2/1976)

1.2.76. Să se arate că 3 63 5 1 5 7 3 5 2 0+ ⋅ − ⋅ − + = .

(G.R. Tudor, 6685, G.M.B. 1/1965)

1.2.77. Să se arate că 5 53 33 5 2 5 3 5 2 5 1+ + + + − = .

(Ion I. Cristea, 7233, G.M.B. 11/1965)

1.2.3.3 Expresii algebrice iraţionale. Raţionalizări 1.2.78. Fie 1k > . Să se calculeze valoarea expresiei

( )( ) ( )

1 1

1 12 22 22 21 1 1 1

2 2

x xE x

− −− −

− + − − = +

pentru 2

1

kx

k=

+.

1.2.79. Se consideră expresia ( )4 4

4 4

1 1

1 1

x xE x

x x

+ + −=

+ − −. Fie

( )( ) ( )

2 2

0 2 22 2

4

2

ab a bx

a b ab

+=

+ +,

unde numerele reale nenule ,a b au acelaşi semn. Calculaţi ( )0E x .

(Liviu Pîrşan, 9077, G.M.B. 8/1968)

1.2.80. Să se calculeze valoarea expresiei ( )1 1

,1 1

x yE x y

x y

− − +=

− + +pentru

2

2

2 2 3

2

a ax

a

− +=

+ şi

2

4 2,

2

ay a

a

− += ∈

+� .

(Lucia Ţene, Olimpiadă judeţeană, 1968) 1.2.81. Fie 0a b> > . Calculaţi valoarea expresiei:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

a x x b a x x bE x

a x x b a x x b

−− − − −

− − − −

+ + + − − =

+ + − − −

pentru x ab= .

1.2.82. Calculaţi valoarea expresiei 1 3 1

1 3 1

x axE

x ax

− +=

+ − pentru

1 6

3

ax

a

−= , unde

( )0;6a ∈ .

1.2.83. Să se scrie sub o formă mai simplă expresiile:

a) ( )( )2 2x xy x xy xy y xy y+ + − + − +

b) 2

1 11 : 1

1 1a

a a

− + +

+ −

c) 1 1 1 1ab ab

a ba b a b a b a b

− + ⋅ − + + +

d) 2xy y y xyx

xx yx y x y x y

+− ⋅ + + −+ + −

e) 3 32 23

3

3 3 3 3 2 3

8 2 4: 2

2 2 2 2

x x x xx

x x x x x

− −+ + + ⋅ + + − +

f) 2 2

2 2

2a b a a b b ab a a ab a ab b b b

a b a b b a a a ab a ab b b b

+ + + + + − −+

− + − − − +

(Florica Ionescu, Olimpiadă regională, 1964)

1.2.84. Să se simplifice fracţia:

5 2 2 3 23 6

5103 2 2 5 2 2 5 36 3 15

2

2 2 2

x z y x y

x x y y x z z y z

− + −

− + − + −

(Al. Bîldea, 8488, G.M.B. 9/1967) 1.2.85. Se dă expresia:

( )( )

3 3 3 32 2a b ab ab a b ab ab ab

Ea a b b aba b a b ab

+ − + − −= −

− +− + +

a) Să se aducă expresia la forma cea mai simplă; b) Să se afle valoarea numerică a expresiei pentru 2 3a = + şi 2 3b = − .

(Ştefan Musta, Olimpiadă regională, 1959; 3648, G.M.F.B. 5/1959)

1.2.86. Se dau fracţiile 1

2a ab a b bF

a ab b

+ + −=

+ + şi ( )2

2, , 0;

b ab b a aF a b

a ab b

+ + −= ∈ ∞

+ +.

a) Să se simplifice fracţiile; b) Dacă 6a b+ = şi 1ab = , să se calculeze valoarea produsului

1 2F F ;

c) Să se arate că dacă a şi 1

F (sau 2

F ) sunt raţionale, atunci b este tot raţional;

d) Să se arate că dacă ,a b sunt raţionale şi ( )1F a ab b⋅ + + este tot

raţional, atunci b este de asemenea raţional. Să se stabilească o

proprietate analogă şi pentru a . (Ion I. Ciobanu, E:7434, G.M. 11/1981)

1.2.87. a) Să se aducă la forma cea mai simplă expresia:

( )3 3 3 32 2 2 23 3

3 3

3 3 3 32 2 2 23

2 3 2

2

a ab b a ab bE a b

a ab b a b

+ − − += − ⋅ + − + −

b) Să se calculeze valoarea expresiei pentru ( )

1

20,75

1

181

25

0,5a

−

−

+ = şi b a= .

(A. Matei, Olimpiadă naţională, 1966) 1.2.88. Se dă expresia:

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

2 2 3 2

2 3 2 2

2 1 1 2 1

, 0;1

1 1 2 1 2 1 1

x x x x x xf x x

x x x x x x

− − + − −= ∈

− − − + − + + −

a) Să se aducă expresia la forma cea mai simplă;

b) Să se calculeze 2 ab

fa b

+

, unde 0a b> > .

(Al. Ţigănoiu, 7441, G.M.B. 3/1966)

1.2.89. Se dă expresia ( )( ) ( )

( ) ( )

3 3

3 32 2

1 1

1 1 1 1

a aE a

a a

− −

− −

+ + −=

+ − + − −

, unde ( )1;1a ∈ − . Să

se aducă expresia la forma cea mai simplă şi să se calculeze 4

1

3E

.

(C. Ionescu-Ţiu, 7610, G.M.B. 6/1966) 1.2.90. Dacă , ,a b c sunt numere reale astfel încît 0a > şi b a c≠ , atunci:

( )

( )

3 3

2 2

3 2

1

ac b a ac b aa a

b a c b a c a b a ac

b aac b a ac b a

a ab a c b a c

− − + + ⋅ − − − + =

− − − + + ⋅ − −

(D.M. Bătineţu, 8584, G.M.B. 11/1967)

1.2.91. Se dă expresia ( )3 2 3 2

3 2 3 2

3 4 1

3 3 1 5 8 4

a a a a aE a

a a a a a a

− + + − − +=

+ + + − + + +. Să se arate

că ( )E a este constantă, ( ) ( )1;2a∀ ∈ .

(Liviu Pîrşan, 9762, G.M.B. 8/1969) 1.2.92. Să se simplifice fracţiile:

a) ( )( )

3 2 2

3 2 2

3 1 4 2

3 1 4 2

x x x x

x x x x

− + − − −

− + − − +

b) ( )( )

3 2 2

3 2 2

12 4 16 16

12 4 16 16

x x x x

x x x x

− + − − +

− + − − −

c) ( )( )

3 2 2

3 2 2

27 9 36 54

27 9 36 54

x x x x

x x x x

− + − − −

− + − − + (Mihai N. Ionescu, 7692, G.M.B. 8/1966)

d) ( )( )

3 2 2

3 2 2

48 16 64 128

48 16 64 128

x x x x

x x x x

− + − − +

− + − − − (8523, G.M.B. 10/1967)

e) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2 3

3 4 2, 0

3 4 2

x x a x a x a aa

x x a x a x a a

− + − − +>

− + − − −.

(C. Manole, 8775, G.M.B. 3/1968) 1.2.93. Să se simplifice fracţiile:

a) ( )( )

3 2 2 2

3 2 2 2

3 4 1 4

3 4 1 4

x x x x

x x x x

− + − − +

− + − − −

b) ( )( )

3 2 2 2 2 2 3

3 2 2 2 2 2 3

9 36 9 108

9 36 9 108

x ax x a x a a

x ax x a x a a

− + − − +

− + − − −

(Ştefan Porcsalmi, 9306, G.M.B. 12/1968) 1.2.94. Să se arate că:

a) dacă 0x > , atunci 2

2 24 0

2 2

x x x x

x x x x

+ + + − + − =

+ + ;

b) dacă 0x < , atunci 2

2 24 0

2 2

x x x x

x x x x

+ + + + + − =

+ + .

(C. Ionescu-Ţiu, 7418, G.M.B. 2/1966) 1.2.95. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:

a) 2

2 2 2+ +

b) 1

6 3 2 1− + −

c) 2

2 3 5− +

1.2.96. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:

a) 3 3

1

1 2 4− +

b) 3 3

1

4 3 2 1+ −

c) 3 3

3 3

2 4 2 1

4 2 2

+ +

− +

d) 3 33

1

2 9 12+ +

e) 3 3

1

1 2 3+ + (Marius Constantinescu, 19524, G.M. 12/1982)

f) 3

1

3 3−

1.2.97. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:

a) 3

1

3 5+

b) 3 23

1, k

a b k c k

∗∈+ +

�

c) ( ) 3 23

1

1 1x x x x+ + +. Aplicaţie: 2x = .

(Dan Seclăman, E:7653, G.M. 6/1982)

d) 3 3 3

1

a b c+ +

e) 1

na b−

1.2.98. Să se raţionalizeze numitorul fracţiei 10

1

1

k

k=

∑. (Florin Vulpescu-Jalea)

1.2.99. Raţionalizaţi numitorul fracţiei 5 5

1

4 2 1F =

− +.

(Constantin Cobîrzan, 18841*, G.M. 7/1981)

1.2.100. Să se raţionalizeze numitorul fracţiei 1

, , 26 4 11 2 3

n nn n∈ ≥

− +� .

1.2.101. Să se arate că 2 2

3 4

2 2 2

−< <

− +

(Ionel Atanasiu, E:6384, G.M. 11/1978)

1.3 Inegalităţi

1.3.1 Structura de ordine pe � . Intervale. Minimul şi maximul unei mulţimi de numere reale. 1.3.1. Să se determine mulţimile:

a) 1

10;

n n≥

∩

b) 1

10;

n

n

n≥

− ∪

1.3.2. Se dă mulţimea 1 2 3 99

, , , ,2 3 4 100

A

=

…

a) Să se definească mulţimea A în mod analitic;

b) Să se arate că oricare ar fi a A∈ , există b A∈ astfel încît 1

5b a− < .

(9496, G.M.B. 3/1969)

1.3.3. a) Fie ( ),p

p qq

∗∈� o aproximantă raţională a lui 2 . Să se arate că

numărul raţional 2p q

p q

+

+aproximează mai bine pe 2 .

b) Generalizare: Fie a ∈� astfel încît \a ∈� � şi ( ),p

p qq

∗∈� o aproximantă

raţională a lui a astfel încît 1p

aq

− < . Să se arate că p aq

p q

+

+ aproximează

mai bine pe a . (Andrei Marinescu, 20423*, G.M. 5/1985)

1.3.4. Dacă r este un număr raţional pozitiv care aproximează pe 5 , atunci

numărul 2

2

2 5

2

r

r

+

+aproximează mai bine pe 5 decît r . (17915, G.M. 9/1979)

1.3.5. Dacă si m n sunt numere naturale nenule astfel încît 7 0m

n− > , să se

arate că 1

7m

n mn− > . (Radu Gologan, Olimpiadă naţională, 1978)

1.3.6. Fie , ,a b c ∈� . Să se arate că:

a) ( )max ,2

a b a ba b

+ + −=

b) ( )min ,2

a b a ba b

+ − −=

c) ( )( ) ( ) ( )( )max , min , min max , , max ,a b c a b a c=

(Matematică, septembrie 1986)

d) ( )( ) ( ) ( )( )min , max , max min , , min ,a b c a b a c=

e) ( ) ( )( )2 max , , min , ,a b b c c a a b c a b c− + − + − = −

f) ( )2 2 2 2max , ,a b c c a b b c a a b b c c a+ − + + − + + − ≥ − − −

1.3.7. Să se arate că oricare ar fi , , ,a b c d ∈� are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

max , max , min , max , min ,

max , max ,

a b a b c d c d a b a b c d c d

a c b d

+ + − + + − ≤ − + − +

+ +

(Gh. Ciobanu, 17966*, G.M. 10/1979) 1.3.8. Fie , 2n n∈ ≥� şi numerele reale , , 1,i ia b i n= . Să se arate că:

( )1 1 1

max , max ,

n n n

i i i i

i i i

a b a b= = =

≤

∑ ∑ ∑

1.3.2 Inegalităţi în care intervin două numere reale

1.3.9. Presupunem că , , 0x y x y∈ < <� . Să se arate că 1 1

x y> . Reciproca este

adevărată ? 1.3.10. Să se afle toate perechile de numere întregi ( ),x y cu proprietăţile

2, 2x y> > şi 1 1 1

2x y+ > . (Olimpiadă, R.D.G, 1964, 6780, G.M.B. 3/1965)

1.3.11. Fie ( ) ( ): , , 6 42f f x y xy x y× → = − + +� � � . Să se arate că dacă

( ), 5; 7x y ∈ , atunci ( ) ( ), 5; 7f x y ∈ .

(C. Joiţa, N. Joiţa, 20617, G.M. 12/1985) 1.3.12. Fie numerele reale 0α β> > . Să se afle care dintre numerele

2

1

1A

α

α α

+=

+ + şi

2

1

1B

β

β β

+=

+ +este mai mare.

1.3.13. Fie ,x y numere reale strict pozitive astfel încît 3 3x y x y− = + . Să se arate

că ( )( )2 21 0x y x y+ − − < şi că 2 2

1x y+ < . (Concurs treapta a II-a, 1986)

1.3.14. Fie ,a b ∈� . Să se arate că 1 1 1

a b a b

a b a b

+≤ +

+ + + +.

1.3.15. Să se arate că dacă ,x y sunt numere reale şi 1, 1x y< < , atunci

11

x y

xy

−<

−. (Matematică, septembrie 1983)

1.3.16. a) Dacă , 0a b > , să se arate că 2a b

b a+ ≥

b) Dacă 0 si 0a b> < , să se arate că 2a b

b a+ ≤ − .

1.3.17. Se consideră numerele reale , 0a b > şi se definesc numerele:

2a

a bm

+= (media aritmetică)

gm ab= (media geometrică)

2

1 1hm

a b

=

+

(media armonică)

Să se arate că: a) a g g hm m m m− ≥ − ; b) ( )

2

8a g

b am m

a

−− ≤ c)

( )2

4a h

b am m

a

−− ≤

1.3.18. Să se arate că oricare ar fi numerele reale a şi b avem

( ) ( )4 4 48a b a b+ ≤ + .

(Olimpiadă, Olanda, 1965, 8444, G.M.B. 8/1967) 1.3.19. Fie ,a b ∈� astfel încît a b ab+ = . Să se arate că dacă 0ab > , atunci

4ab ≥ . (Concurs Oţelu Roşu, 1984) 1.3.20. Se consideră numerele , 0a b > astfel încît 1a b+ = . Să se arate că:

a) 1

04

ab< ≤ şi 2 211

2a b≤ + ≤ (F. Kacso, 8103, G.M.B. 3/1967)

b) 2 2

1 1 25

2a b

a b

+ + + ≥

(I.V. Maftei, 7877, G.M.B. 12/1966)

1.3.21. Fiind date două numere reale ,a b astfel încît 1a b+ = , să se arate că

3 3 1

4a b+ ≥ .

(Concurs treapta a II-a, 1979; E:9604, G.M. 11-12/1988) 1.3.22. Fie ,a b ∈� astfel încît 2 2

1a b+ = . Să se demonstreze că:

1

2; 2;2

a b a b ab+ ≤ − ≤ ≤ . (17176*, G.M. 5/1978)

1.3.23. Fie ,a b ∈� . Să se arate că:

a) dacă 10a b+ = , atunci ( ) ( )4 41 1 45a b+ + ≥ ;

b) dacă 30a b+ = , atunci ( )( )4 41 1 640a b+ + ≥ .

(V. Cîrtoaje, 8840, G.M.B. 4/1968)

1.3.24. Fie ,x y ∈� astfel încît 1

4x y+ ≤ − . Atunci 2x y≥ şi 2y x≥ .

(Carmen şi Costel Dumitrescu, 20069*, G.M. 4-5/1984) 1.3.25. Dacă 3 2

4x y+ > şi 3 24y x+ > , să se arate că 1x y+ > .

(L. Panaitopol, 20813*, G.M. 7/1986)

1.3.26. Numerele reale ,x y verifică egalitatea 2 2 1

4x y x y xy+ + + + = . Să se arate

că ( )3

34

xy x y+ + < − . (Dan Seclăman, Olimpiadă locală, Dolj, 1985)

1.3.27. Dacă 1

, 0;2

a b

∈ , atunci

( )

( )( )

( )2 2

1 1

2

a bab

a b a b

− −≤

+ − −

1.3.28. Fie [ ], 1,1a b ∈ − . Să se arate că 2

2 21 1 2 1

2

a ba b

+ − + − ≤ −

. În ce

condiţii are loc egalitatea ? (Concursul anual G.M, 1980)

1.3.29. Dacă ( ), 0; 2a b∈ , atunci ( ) ( )

2 2

2

2 21

4

a a b b

a b a b

− + −≤

+ − +

(V. Ţifui, 18569*, G.M. 1/1981)

1.3.30. Dacă 1

2a ≥ şi

1

2b ≥ , atunci:

22 2 2 2

2 2 2

a b a b a b − + +≥ −

.

(Kvant, 1980; C:113, G.M. 5/1981) 1.3.31. Dacă , 0a b > şi 1a b+ = , arătaţi că:

3 34 4

1 111 11 6

a b+ + + ≥ . (G. Manole, 19544*, G.M. 1/1983)

1.3.32. Să se demonstreze inegalităţile: a) 2 2

0 ,a ab b a b− + ≥ ∈�

b) 33 3

, 02 2

a b a ba b

+ + ≥ ≥

c) ( ) ( )2 2

2 2

1 1 1 1, 0a b a b a b

a b a b

+ + ≥ + + >

d) 3 3

2 2, 0

a ba b a b

b a+ ≥ + >

e) , 0a b

a b a bb a

+ ≥ + >

f) ( ) ( )( )2 28 1 1 1 ,ab ab a b a b− ≤ + + ∈�

g) ( )3 32 6 , 0a b ab a b a b+ ≥ − ≥ (C. Ionescu-Ţiu, 17003, G.M. 1/1978)

h) ( )( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 ,a b a b ab a b+ + ≥ + − ∈�

(C. Ionescu-Ţiu, 16897, G.M. 10/1977)

i) ( )

( )

2

22

1 1

41

a aa

a

−≤ ∈

+�

1.3.33. Să se demonstreze că oricare ar fi { }, \ 1,1a b ∈ −� , avem:

( )( )( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2 2

1 1 41 1

1 1 1 1

a b ab

a b a b

− − ⋅ + ≤ + + − −

.

(Dragomir Costea, 18651*, G.M. 3/1981)

1.3.34. Dacă ( ), 0;a b ∈ ∞ , să se arate că:

( )( )

1 1 23

1 1 1 1 1

a b a b abab

ab a b a b ab

+ + + + + + ≥

+ + + + +

(C. Ionescu-Ţiu, 17699, G.M. 4/1979)

1.3.35. Să se afle valoarea minimă a expresiei ( ) 2 2, , ,E x y x y x y= + ∈� ştiind

că mx ny p+ = şi 0p > , iar ,m n ∈� . (Gabriela Kadar, 16404, G.M. 2/1977) 1.3.3 Inegalităţi în care intervin trei numere reale 1.3.36. Trei numere reale , ,a b c satisfac simultan relaţiile 2 ; 2 ; 2a b c b c a c a b≥ + ≥ + ≥ + . Să se arate că a b c= = . Analog, dacă , , 0a b c >

şi 2 2 2; ;a bc b ca c ab≥ ≥ ≥ , să se demonstreze că a b c= = .

1.3.37. Să se arate că dacă există relaţiile: , , 0a c b c ab≥ ≥ > şi 2ab

ca b

=+

, atunci

a b c= = . (C. Ionescu-Ţiu, 16222*, G.M. 1976) 1.3.38. Fie ( ), , 0,1x y z ∈ . Demonstraţi inegalitatea x yz xy xz+ > +

(Rev. Arhimede, 9-10/2003)

1.3.39. Să se demonstreze inegalitatea 1 1 1

0a b b c c a

+ + >− − −

ştiind că

a b c> > . 1.3.40. Fie numerele reale , ,a b c astfel încît 0a b c> > > . Să se arate că

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2a c b c

b a a b+ > + . (Nicolae Păuna, E:8571*, G.M. 5/1985)

1.3.41. Dacă , ,x y z sunt numere pozitive, avem:

( )( ) ( )y z x z x y x y z xyz+ − + − + − ≤

(Math. Gazette, 1963, 6322, G.M.B. 5/1964)

1.3.42. Dacă 0,a b c a b c≥ ≥ > < + şi ( ) ( )( )2 2

4b c a b c a c b a bc+ + − + − ≥ , atunci

b c= . (V. Ţifui, 18368*, G.M. 8/1980) 1.3.43. Arătaţi că dacă 3 3

3 0a b abx+ + < şi x a b≤ + , atunci 0x < . (Iancu David, E:8791*, G.M. 2/1986) 1.3.44. Să se demonstreze că dacă 0a b c≥ ≥ > , atunci

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 2b a c a b c c a b abc+ ≥ + + + + .

(Dan Seclăman, C:52, G.M. 9/1980) 1.3.45. Fie ( ), , 0;1a b c ∈ . Să se demonstreze că cel puţin unul dintre numerele

( ) ( )1 , 1a b b c− − şi ( )1c a− este mai mic sau egal cu 1

4.

(Olimpiadă, Anglia, 1985)

1.3.46. Fie [ ], , 0;1a b c ∈ . Să se demonstreze că:

( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1

a b ca b c

b c c a a b+ + + − − − ≤

+ + + + + +

(Olimpiadă, Marea Britanie, 1980) 1.3.47. Dacă [ ), , 0;a b c ∈ ∞ , atunci există inegalitatea:

11 1 1

a b c

ab a bc b ca c+ + ≤

+ + + + + +.

(Marian Dincă, O:471, G.M. 3/1986)

1.3.48. Fie [ ], , 1; 2x y z ∈ . Arătaţi că ( )1 1 1

10x y zx y z

+ + + + ≤

.

(Gh. Stoica, O:491, G.M. 10/1986) 1.3.49. Numerele strict pozitive

1 2 3, ,x x x satisfac inegalităţile:

1 2 3

1x x x > şi 1 2 3

1 2 3

1 1 1x x x

x x x+ + > + + . Să se demonstreze că:

a) Nici unul dintre aceste numere nu este egal cu 1; b) Exact unul din cele trei numere este mai mic decît 1.

(Concurs, Oţelu Roşu, 1984) 1.3.50. Să se determine numerele reale strict pozitive

1 2 3, ,a a a ştiind că:

31 2

1 2 3

2 3 3 1 1 2

1max , max , max ,

2

aa aa a a

a a a a a a

= = =

+ + + .

(Vasile Zidaru, 19331*, G.M. 8/1982) 1.3.51. Fie numerele reale pozitive , ,x y z astfel încît 3xy yz zx+ + = . Să se

demonstreze inegalitatea: 4 4 41 1 1 3 2x y z+ + + + + ≥ .

(Ştefan Smarandache, E:9560, G.M. 10/1988) 1.3.52. Dacă 1xy yz zx+ + = , să se demonstreze inegalitatea:

( )

( )( )

( )( )

( )

2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

2 1 2 1 2 1

1 1 11 1 1

x x y y z z x y z

x y zx y z

− − −+ + ≤ + +

+ + ++ + +

(C. Ionescu-Ţiu, 8030, G.M.B. 2/1967)

1.3.53. a) Fie , , 0x y z ≥ . Să se arate că 3

3

x y zxyz

+ +≥ .

b) Dacă , 0x y > , să se deducă inegalitatea 1

3x yxy

+ + ≥ . Cînd are loc

egalitatea? 1.3.54. a) Date fiind numerele reale , ,a b c , să se arate că

2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + . Deduceţi că ( ) ( )2 2 2 2

3a b c a b c+ + ≤ + + .

b) Un paralelipiped dreptunghic are lungimea diagonalei d . Să se determine în funcţie de d valoarea maximă a ariei paralelipipedului.

(E:9457*, G.M. 5-6/1988)

1.3.55. Să se demonstreze că dacă , ,x y z sunt numere reale astfel încît

3 3 30x y z+ + ≠ , atunci fracţia

( )3 3 3

2xyz x y zF

x y z

− + +=

+ + ia valoarea

2

3dacă şi numai

dacă 0x y z+ + = . (Titu Andreescu, 17386*, G.M. 9/1978) 1.3.56. Fie , ,x y z ∈� cu 0xyz ≥ şi 0x y z+ + ≠ . Dovediţi că dacă:

3 3 3

31

x y z xyz

x y z

+ + +=

+ +, atunci ( ) ( ) ( )

2 2 2

2x y y z z x− + − + − ≤ .

(Lucian Tuţescu, 19529*, G.M. 1/1983) 1.3.57. Numerele reale strict pozitive , ,a b c au suma 1. Să se arate că:

a) 1 1 1

9a b c

+ + ≥

b) 1 1 1 27

4a bc b ca c ab+ + ≥

+ + +

(Vasile Peiţa, 2517, R.M.E.T. 2/1976)

c) 1 1 1 1

18abc a b c

≥ + + + (Doru Firu, 9478, G.M.B. 3/1969)

d) ( )( )( )1

64abc a b b c c a+ + + ≤ (V. Cazan, 9710, G.M.B. 7/1969)

e) ( ) ( ) ( )1 1 1

6b b c c a a

ac ab bc

− − −+ + ≥

(Anca-Maria Dumitru, 19730, G.M. 6/1983)

f) 1

1 1 1 4

ab bc ca

c a b+ + ≤

+ + + (N. Vîjîitu, A. Zaharescu, 20366*, G.M. 3/1985)

g) 3 3 3 2 2 26a b c abc a b c+ + + ≤ + +

(Dan Seclăman, 16963, G.M. 12/1977)

h) 23

n nn n nbc ca ab−+ + ≤ (Liviu Pîrşan, 9400, G.M.B. 1/1969)

1.3.58. Dacă , ,a b c ∈� şi 2 2 21a b c+ + = , să se arate că

11

2ab bc ca− ≤ + + ≤ .

(Concurs, Ungaria, 1910) 1.3.59. Se consideră numerele reale , ,a b c cu proprietăţile 0a b c+ + = ,

2 2 21a b c+ + = . Să se demonstreze că:

a) dacă a b c≤ ≤ , atunci 2 1

6b ≤ ;

b) ( ) ( ) ( )( )2 2 2

1 max , , 2a b b c c a≤ − − − ≤ .

(Dorel Miheţ, Olimpiadă naţională, 1981)

1.3.60. Dacă , , 0a b c > astfel încît 2 2 2 5

3a b c+ + = , să se arate că

1 1 1 1

a b c abc+ − < .

1.3.61. Să se arate că dacă , ,a b c sunt trei numere strict pozitive astfel încît

1ab bc ca+ + = , atunci are loc inegalitatea ( )1 1 1

3 a b ca b c

+ + ≥ + +

(D. Acu, 8412, G.M.B. 8/1967, Olimpiadă locală, Bucureşti, 2004) 1.3.62. Fie , , 0a b c > astfel încît 1ab bc ca+ + = . Să se arate că

1 1 13

ab bc ca

a b b c c a a b b c c a+ + ≥ + + +

+ + + + + +

(Olimpiadă naţională, 2002) 1.3.63. Fie numerele strict pozitive , ,a b c astfel încît 1a b c+ + = . Să se arate

că ( )( ) ( ) ( )32

3 3 3 83

a b c a b c a b c ab bc ca abc abc+ + + + + + + + + + ≥ .

(Dan Seclăman, 17649, G.M. 3/1979) 1.3.64. Dacă numerele reale , ,a b c verifică egalitatea abc a b c= + + , atunci

0ab bc ca+ + ≤ sau 2ab bc ca+ + > . (I. Safta, 19016, G.M. 12/1981) 1.3.65. Numerele reale strict pozitive , ,a b c verifică egalitatea a b c abc+ + = . Să

se demonstreze dubla inegalitate 2 2 2

99

4

a b cab bc ca

+≤ + + ≤ .

(Ion Chiţescu, 7137, G.M.B, 1965) 1.3.66. Fie numerele , ,a b c ∗∈� . Dacă a b c abc+ + = şi 2

a bc= , să se demonstreze inegalităţile: a) 2

3a ≥ ; b) ( )2 2 2 1

3 ,n n n n

a b c n++ + ≥ ∀ ∈�

(Ion Ursu, 18119, G.M. 2/1980; Mircea Mureşan, 20227*, G.M. 10/1984)

1.3.67. Fie , , 0a b c ≥ astfel încît a b c abc+ + ≥ . Să se arate că 2 2 2

3a b c abc+ + ≥ ⋅ . (O.B.M, 2001) 1.3.68. Să se arate că dacă , ,a b c sunt numere reale pozitive astfel încît

2 2 24a b c abc+ + = , atunci 2a b c abc+ + ≥ .

(Nistor Budescu, E:9601*, G.M. 11-12/1988) 1.3.69. Dacă ( ), , 0;a b c ∈ ∞ astfel încît 1abc = , să se arate că:

a) ( ) ( ) ( )

1 1 1 3

1 1 1 2c b a c b a+ + ≥

+ + +

(Ioan V. Maftei, 7507, G.M.B. 4/1966)

b) 1 1 1

2a b c

a b cb c a a b c

+ + ≥ + + + + +

(V. Popa, 19052, G.M. 1/1982) 1.3.70. Numerele strict pozitive , ,a b c au produsul 1. Să se găsească numărul

pozitiv q astfel încît inegalitatea ( ) ( ) ( )6

a b ca b b c c a

q

+ ++ + + ≤

să fie verificată

pentru toate valorile lui , ,a b c , existînd şi posibilitatea de egalitate.

(C:1263, G.M. 5/1992, enunţ modificat) 1.3.71. Numerele reale pozitive , ,x y z au suma 1. Să se demonstreze că:

70 2

27xy yz zx xyz≤ + + − ≤ . (O.I.M, 1984)

1.3.72. Fie numerele , , 0a b c > astfel încît 1abc = . Să se demonstreze inegalitatea:

( ) ( ) ( )3 3 3

1 1 1 3

2a b c b c a c a b+ + ≥

+ + + (O.I.M, 1995)

1.3.73. Să se demonstreze că dacă ( ), 0; ,a b a b∈ ∞ < şi ( )1 2 3, , ;x x x a b∈ , atunci

există inegalitatea ( )( )( )

1 2 3

1 2 3

2 21 1 1 a b b ax x x

x x x ab

+ + + + + + ≤

(Mircea Lascu, 20287, G.M. 12/1984)

1.3.74. Să se demonstreze inegalitatea 2 2 2 30

8x y z xy yz zx x y z+ + + + + + + + + ≥ ,

pentru orice , ,x y z ∈� . (V. Popa, 19053, G.M. 1/1982) 1.3.75. Să se determine cea mai mică valoare a numărului natural n , astfel încît

( ) ( ) ( )2

2 2 2 4 4 4, , ,x y z n x y z x y z+ + ≤ + + ∀ ∈� .

1.3.76. Să se demonstreze că dacă 2 2 2x y z a+ + = , atunci 2

4 4 4

3

ax y z+ + ≥ .

1.3.77. Să se arate că oricare ar fi , , ,x y z k ∈� are loc inegalitatea:

( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 2 1 2 1k k x y z k xy yz zxα β γ+ + + + ≥ + + + unde [ ], , 1;1α β γ ∈ − .

(Birant Ramazan, 19253, G.M. 6/1982) 1.3.78. Dacă , ,a b c ∈� , să se arate că:

a) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 21min , ,

2a b b c c a a b c− − − ≤ + +

b) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 23 3 3

max , ,4 4 4

c a a b b ca b c ab bc ca

− − −+ + − − − ≥

(Aurel Giol, 18929*, G.M. 10/1981) 1.3.79. Dacă ,x y z a xy yz zx b+ + = + + = , să se arate că:

( ) ( ) 22 3max , , min , , 3

3x y z x y z a b− ≤ −

1.3.80. a) Fie , 0x y > . Arătaţi că 2 2

1 1x y

y x x y+ ≥ + .

b) Fie , , 0a b c > . Să se arate că 2 2 2

1 1 12

a b b c c a

c a b a b c

+ + + + + ≥ + +

.

(Olimpiadă judeţeană, 2005)

1.3.81. Fie , ,x y z ∗∈� . Să se arate că 2 2 2

2 2 2

x y z x y z

y z x y z x+ + ≥ + + şi să se determine

cînd are loc egalitatea. (Dorin Andrica, 1983) 1.3.82. Să se demonstreze că dacă ( ), , 0;x y z ∈ ∞ , atunci:

3

2 2 2 4

x y z

x y z y z x z x y+ + ≥

+ + + + + +

(Gh. Eckstein, 1986) 1.3.83. Fie ( ), , 0;a b c ∈ ∞ . Să se arate că:

1 1 1

2

a b c

a b b c c a abc

+ ++ + ≤

+ + +

(Grigore Ciocanea, E:6200, G.M. 4/1978) 1.3.84. Să se arate că oricare ar fi numerele ( ), , 0;x y z ∈ ∞ , are loc inegalitatea:

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z

xyzx y x z y x y z z x z y

+ ++ + ≤

+ + + + + +

(Constantin Caragea, Olimpiadă locală, Constanţa, 1988) 1.3.85. Dacă , , 0a b c > , stabiliţi inegalităţile:

a) ( ) ( ) ( ) 8 , , 0a b b c c a abc a b c+ + + ≥ >

b) ( ) ( )( ) , , , 0a b c a b c a b c abc a b c− + + − + + − ≤ >

(6322, G.M.B, 1964) c) ( ) ( ) ( ) 6ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + ≥

d) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 26a b c b c a c b a abc+ + + + + ≥

e) 8b c a

a b cac ba cb

+ + + ≥

f) 2 2 2 2 2 2

2

3

b c c a a babc

b c c a a b

+ + ≥

+ + +

g) ( )( )

43 33

abc a b cab bc caa b c ab bc ca

c a b

+ ++ + ≥ + + ≥ + + ≥

(f), g) � C. Ionescu-Ţiu, 8629, G.M.B. 12/1967)

h) 1 1 1 1 1 1

2 2 2a b c a b b c c a+ + ≥ + +

+ + + (Dorin Andrica, G.M. 1977)

i) 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +

1.3.86. Se consideră funcţia ( ) ( )( ) ( )( )3

: , , ,x y y z z x

f f x y zxyz

∗ ∗+ +

+ + +→ =� � . Să

se demonstreze că ( ) ( ) ( )3 3 3, , , , , , ,f x y z f x y z x y z ∗

+≥ ∀ ∈� .

(22742, G.M. 1/1993, enunţ parţial)

1.3.87. Să se arate că dacă , , 0a b c > , atunci 3

2

a b c

b c c a a b+ + ≥

+ + +

1.3.88. Dacă , , 0a b c > , atunci:

( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 22 2 2a b c a c b b a c c b a+ + ≥ − + − + −

(A.V. Mihai, 17658, G.M. 3/1979) 1.3.89. Fie , , 0a b c > . Să se arate că

1 1 1 1 1 1

a b c a b ca b c b c a

+ + + ≥ + + +

.

(Olimpiadă locală, Olt, 1978) 1.3.90. Fie , ,x y z ∗∈� . Să se demonstreze inegalitatea:

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x y y z z x x y y z z x

y x z y x z y x z y x z

+ + + + + ≥ + + + + +

(I. Safta, 18734*, G.M. 5/1981) 1.3.91. Dacă , , 0a b c > , dovediţi inegalitatea:

2

ab bc ca a b c

a b b c c a

+ ++ + ≤

+ + +

Deduceţi inegalitatea: 2 2 2

2 2 2

ab bc ca a ab bc ca b ab bc ca ca b c

b c a c a b a b c

+ + + + + + + + ++ + ≤ + +

+ + + + + +

(Mihai Boloş, Laurenţiu Năstase, E:8575, G.M. 5/1985) 1.3.92. Să se arate că pentru orice ( ), , 0;a b c ∈ ∞ avem inegalitatea:

3

2 2 2 2

b c a c a b

a b c a b c a b c

+ + ++ + ≥

+ + + + + +. (17228, G.M. 6/1978)

1.3.93. Dacă , , 0a b c > , atunci 4 4 4

a b ca b c

abc

+ ++ + ≤

1.3.94. Dacă 0xy yz zx+ + ≥ , să se arate că:

a) ( ) ( )3 3 3 4 4 4x y z x y z xyz x y z+ + + + + ≥ + +

(Ioan Tomescu, E:2149, G.M.B, 1964) b) 3 3 3 3 3 3 2 2 2

3x y y z z x x y z+ + ≥ (Ioan Tomescu, 8691, G.M.B. 1/1968) 1.3.95. Fie , ,a b c numere reale. a) Dacă suma oricăror două dintre cele trei numere este nenulă, să se demonstreze inegalitatea:

( )

( )( )

55 5 52

33 3 3

10

9

a b c a b ca b c

a b c a b c

+ + − + +≥ + +

+ + − + +

(Titu Andreescu, 19450, G.M. 11/1982)

b) Să se arate că expresiile ( )55 5 5

A a b c a b c= + + − + + şi

( )33 3 3

B a b c a b c= + + − + + au acelaşi semn.

(Gh. Stoica, 19823*, G.M. 8/1983) 1.3.96. Să se arate că oricare ar fi numerele reale , ,a b c avem

( ) ( )2 3

3 3 3 2 2 23a b c abc a b c+ + − ≤ + + .

1.3.97. Dacă [ ), , 0;a b c ∈ ∞ , să se demonstreze că:

( )( ) ( )2 2 2 3 3 3 5 5 52 4a b c a b c abc a b c abc ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + +

(Ioan Tomescu, 8164, G.M.B. 4/1967) 1.3.98. Dacă ( ), , 0;a b c ∈ ∞ , atunci are loc inegalitatea:

( )1 1 1 1

1ab bc ca ab bc caabc c a b

+ + ⋅ − ≤ − + − + −

(E. Dobre, G. Dobre, E:7532, G.M. 2-3/1982) 1.3.99. Să se demonstreze că dacă ( ), , 0;a b c ∈ ∞ şi ,a c b c> > , atunci

( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ .

1.3.100. Să se arate că dacă , ,a b c ∈� , atunci:

( ) ( )2 22 2 2 2

2a b c a b c b c+ + + − + ≥ + . Cînd are loc egalitatea ?

(C. Ionescu-Ţiu, 16402, G.M. 2/1977)

1.3.101. Fie 1

, ,2

x y z ≥ − astfel încît 1x y z+ + = . Să se arate că

2 1 2 1 2 1 15x y z+ + + + + ≤ .

1.3.102. Fie , , 0x y z > . Demonstraţi inegalitatea 33

2

x y z

y z x+ + > . (MvŞ)

1.3.103. Fie trei numere reale 1 2 3

1, , ,1

2x x x

∈

. Să se arate că pentru orice

permutare 3

Sσ ∈ are loc inegalitatea:

( ) ( ) ( )

3

1 2 3

1 2 3

1 1 1 5

2x x x

x x xσ σ σ

+ + + <

(U.P.B, 1989)

1.3.104. Să se arate că dacă , ,a b c ∈�astfel încît 2 3 14a b c+ + ≥ , atunci 2 2 2

14a b c+ + ≥ . (Ştefan Ţifui, 17385, G.M. 9/1978) 1.3.3.1 Inegalităţi cu laturile unui triunghi 1.3.105. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze inegalităţile:

a) 8 9a b c a b c a b c

a b c ab ca bc a b c

+ − − + − + +< + + ≤

+ + + +

b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 4a b c a b c a b c a b c a b c a b c

ab ca bc

− + + − + − + + + − − + + −≤ + + <

c) 3a b c

a b c a b c a b c+ + ≥

− + + − + + −

(V. Boghiu, 7797, G.M.B. 10/1966) 1.3.106. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, atunci avem:

( )( ) ( )

0 12

a b c a c b b c a

abc

+ − + − + −< <

(Mihai Catană, 18492, G.M. 11/1980) 1.3.107. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze inegalităţile:

a) 1 1 1 1 1 1

a b c a b c a b c a b c+ + ≥ + +

− + + − + + −

(Gh. Marghescu, E:6293, G.M. 8/1978)

b) 2 2 2

a b ca b c

a b c a b c a b c+ + ≥ + +

− + + − + + −

(G.G. Niculescu, 7298, G.M.B. 12/1965)

c) 3 3 3 3 3 3 3 3 3

a b c a b c a b cab bc ca

a b c a b c a b c

− + + − + + −+ + ≤ + +

− + + − + + −

(Gh. Marghescu, E:8769*, G.M. 1/1986) 1.3.108. Dacă , ,a b c reprezintă lungimile laturilor unui triunghi, să se arate că

( )2 2 22a b c ab bc ca+ + < + + .

1.3.109. a) Să se demonstreze că segmentele de lungimi , ,a b c pot reprezenta lungimile laturilor unui triunghi dacă şi numai dacă

( )2 2 2 2 2 2 4 4 41

2a b b c c a a b c+ + > + + .

b) Să se arate că inegalitatea ( )8 8 8 4 4 4 4 4 42a b c b c c a a b+ + < + + este o condiţie

necesară şi suficientă ca triunghiul de laturi , ,a b c să fie ascuţitunghic. (Şerban Gheorghiu, 17693, G.M. 4/1979) 1.3.110. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi, să se arate că:

( ) ( ) ( )3

8 4a b c abc a b c ab bc ca+ + + < + + + +

(Marin Toloşi, 17046, G.M. 2/1978) 1.3.111. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi, să se arate că:

( )2

1b c

a a b cc b

+ + > − +

(Dincă Marian, E:3182, G.M.B. 3/1969)

1.3.112. Să se arate că laturile , ,a b c ale unui triunghi verifică inegalitatea:

( ) ( )33 3 3

4 a b c a b c+ + < + + (Gh. Marghescu, E:6347, G.M. 10/1978)

1.3.113. Să se arate că, dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, atunci

, ,a b c pot fi de asemenea lungimile laturilor altui triunghi. 1.3.114. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze că:

( ) ( )( ) 2b c a a b c a b c abc+ − − + + − ≤

(Math. Gazette, 1963, 6322, G.M.B. 5/1964) 1.3.115. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, avem:

15 9

4 2

p a p b p c

b c c a a b

+ + +≤ + + <

+ + +

unde 2 p a b c= + + este perimetrul triunghiului. (N. Ciorănescu, 7112, G.M.B. 8/1965) 1.3.116. Triunghiurile ABC şi A B C′ ′ ′ au lungimile laturilor , ,a b c respectiv , ,a b c′ ′ ′ . Cum sunt cele două triunghiuri dacă are loc egalitatea:

2aa bb cc pp′ ′ ′ ′+ + = , unde 2

a b cp

+ += reprezintă semiperimetrul

triunghiului ABC ? (G.M. 1/1975) 1.3.117. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi şi 2 p a b c= + + , să se arate că:

2 2 2 2 2 2p ab ac p bc ab p ac bc a b c− + + − + + − + ≤ + + (Marcel Chiriţă, 18200, G.M.B. 4/1980) 1.3.118. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze că

( ) ( ) ( )2 2 20a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ , precizînd cazurile de egalitate.

(O.I.M, 1983)

1.3.4 Inegalităţi cu patru sau mai multe numere reale 1.3.119. Să se determine numerele , , ,a b c d ∈� care satisfac simultan inegalităţile:

6

5

4

3

0

a b c

a b d

a c d

b c d

d

+ + ≥ + + ≤

+ + ≤ + + ≤

≥

(Liviu Pîrşan, O.G:32, G.M. 9/1986)

1.3.120. Fie 1 2 1 2, , ,a a b b ∈� astfel încît

1 2 1 2,a a b b≥ ≥ . Să se arate că

1 1 2 2 1 2 2 1a b a b a b a b+ ≥ + . Cînd are loc egalitatea ?

1.3.121. Se dau numerele 0, 0, 0, ,a m n p q> < < ∈� . Să se arate că dacă

1

2

xa mp

x≥ + , 2

1

xa nq

x≥ + şi 0p q+ < , atunci

1x şi

2x au acelaşi semn.

(I.M. Stancu-Minasian, 9139, G.M.B. 9/1968) 1.3.122. Să se arate că nu există patru numere reale , , ,a b c d care satisfac simultan relaţiile:

0

0

0

0

a b

a b c d

ab ac ad bc bd cd

ab cd

+ < + + + >

+ + + + + > − ≥

(Liviu Pîrşan, 16564*, G.M. 4/1977)

1.3.123. Dacă , 1,6ia i∗∈ =� sunt numere distincte şi

6

1

11

i ia=

=∑ , atunci

( )1 2 6min , , , 3a a a ≤… . (Vasile Berinde, 20175, G.M. 8/1984)

1.3.124. Dacă , , ,a b c d ∈� cu 2 21a b+ ≤ şi 2 2

1c d+ ≤ , atunci

( ) ( ) ( )2 2 2

a c b d ad bc− + − ≥ − . (I. Ursu, 18622, G.M. 2/1981)

1.3.125. Dacă , , ,a b c d ∈� astfel încît 4a b+ = şi 6c d+ = , atunci avem

inegalitatea ( ) ( )2 2

144ac bd ad bc+ + − ≥ .

(Mircea L. Rusu, 19062, G.M. 1/1982) 1.3.126. Fie , , ,a b c d ∈� astfel încît 2 2 2 2

2a b c d+ = + = şi 2a c+ ≥ . Să se arate că: a) b d a c+ ≤ + ; b) 2 2

0c b− ≥ . (Vasile Zidaru, E:7765*, G.M. 9-10/1982)

1.3.127. Să se arate că oricare ar fi numerele naturale prime distincte , , ,a b c d ,

avem: ( )15 1 31abc abd acd bcd abcd+ + + + ≤ .

(C. Ionescu-Ţiu, E:3100, G.M.B. 11/1968) 1.3.128. Se condideră numerele reale strict pozitive şi diferite între ele , , ,a b c d .

Se consideră toate expresiile numerice de forma ( ) 31

1 2 3 4

2 4

, , ,xx

E x x x xx x

= + . Să se

determine cea mai mică şi cea mai mare dintre expresiile E şi să se arate că ( ) ( )min max 4E E⋅ > . (Eugen Onofraş, C:313, G.M. 6/1983)

1.3.129. a) Fie , , ,a b c d +∈� . Să se demonstreze că ( )( )a c b d ab cd+ + ≥ + .

În ce condiţii are loc egalitatea ? b) Fie numerele ( ) ( )0;1 , 0; 2a b∈ ∈ şi ( )0; 3c ∈ . Să se arate că:

( ) ( )22 2 2

2 3 6a a b b c c a b c a b c− + − + − ≤ + + − + +

(Daniel Marius Codeci, 18897, G.M. 9/1981) 1.3.130. Numerele pozitive , , , , ,a b c d e f verifică inegalităţile a b e+ ≤ şi c d f+ ≤ .

Să se arate că ac bd ef+ ≤ .

1.3.131. Fie 1 2 3 4, , ,a a a a patru numere strict pozitive astfel încît

1 2 3 41a a a a+ + + = .

Să se arate că:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 32a a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + + + ≤

Generalizare. (Gh. Moraru, E:7108, G.M. 1/1981) 1.3.132. Fie , , ,a b x y numere reale strict pozitive. Să se arate că:

( )2 2

2

2x y

a b a b a by x

+ + + ≥ +

(Gh. Marghescu, E:5721)

1.3.133. Fie , ,x y z trei numere pozitive nenule, legate prin relaţia 1x y z+ + = . Dacă ,a b sunt numere pozitive, atunci avem:

a) ( )3

3b b b

a a a a bx y z

+ + + ≥ +

(I.V. Maftei, 8420, G.M.B. 8/1967)

b) ( )44 4

4

3 3b b b

a a a a bx y z

+ + + + + ≥ +

(I.V. Maftei, 18420*, G.M. 9/1980) 1.3.134. Dacă , , , 0a b c d > , să se arate că

8a b c d a b c d a b c d a b c d

d c b a

+ + − + − + − + + − + + ++ + + ≥

1.3.135. Să se arate că dacă , , ,a b c d sunt numere reale pozitive, atunci:

a) ( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

a b c d b c d a c d a b d a b c

a b b c c d d a

+ + − + + − + + − + + − ≤

≤ + + + +

(Dorinel Anca, 17871*, G.M. 8/1979) b) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2

8a b c d b c d a c d a b d a b c a d b c+ + − + + − + + − + + − ≤ +

(Florin Pîrvănescu, 17947, G.M. 10/1979) 1.3.136. Dacă , , ,a b c d ∈� şi 1abcd = , atunci :

2 2 2 210a b c d ab ac ad bc bd cd+ + + + + + + + + ≥

1.3.137. Dacă , 1,10ia i∈ =� şi 10

2

1

1i

i

a=

=∑ , să se arate că 10

1

10i

i

a=

≤∑ .

1.3.138. Să se arate că dacă , , ,x y z t ∈� , atunci:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2

1

2

y z t x z t x y t x y z

x y z t x y z t

+ + + − + + + − + + + − +

+ + + − ≥ + + +

(Mihaela Banyai, 18851, G.M. 8/1981) 1.3.139. Fie numerele reale

1 2 3 4 5, , , ,a a a a a care verifică inegalitatea:

( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 53a a a a a a a a a a+ + + − ≥ + + + − . Să se demonstreze că

oricare ar fi ,x y ∈� are loc inegalitatea:

( )2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5a a a a a x y a a a a a x y+ + + − − − ≥ + + + − − − .

(Dorin Andrica, Olimpiadă naţională, 1983) 1.3.140. Dacă , , ,a b c d sunt patru numere reale strict pozitive, atunci avem inegalitatea:

12 1

a b c d a b≤

+ + + +∑ (suma din membrul drept avînd şase

termeni). (Iudith Mentzel, 17992, G.M. 11/1979) 1.3.141. Fie , , , 0a b c d ≥ . Să se arate că:

4 9 16a b c d b c d c d d a b c d+ + + + + + + + + ≥ + + + (Mihaela Predescu, 21164*, G.M. 7-8/1987)

1.3.142. Fie numerele reale , , ,a b c d , a căror sumă este 0. Fie 1

s ab bc cd= + + şi

2s ac bd ad= + + . Să se arate că

1 25 8 0s s+ ≤ şi că

1 28 5 0s s+ ≤ .

(Titu Andreescu, 1985) 1.3.143. Dacă 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2, 0, 0, 0x x x y z x y z> − > − > , să se demonstreze că

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 2 2 21 2 1 2 1 2

8 1 1

x y z x y zx x y y z z≤ +

− −+ + − +.

Să se determine condiţiile necesare şi suficiente pentru ca egalitatea să aibă loc. (O.I.M, 1969; 9865, G.M.B. 9/1969). 1.3.5 Inegalităţi generice cu 2n ≥ numere reale

1.3.144. Fie 1 2, ,..., 0nx x x > . Să se arate că 1 2

2 3 3 4 1 2

... 1nxx x

x x x x x x+ + + >

+ + +.

1.3.145. Fie numerele reale 1 2

... na a a> > > şi 1 2

... nb b b> > > . Să se arate că

1 1 2 2 1 2 1 1... ...n n n n na b a b a b a b a b a b−+ + + > + + + (Olimpiadă, U.R.S.S, 1961)

1.3.146. Fie un şir 0 1, , , na a a… , unde 2n ≥ , astfel încît

1 12 k k ka a a− +≤ + pentru orice

{ }1,2, , 1k n∈ −… . Atunci avem: ( ) ( ) { }0 0, 1,2, , 1k n

ka a a a k n

n≤ − + ∀ ∈ −… .

(Martin Weiss, 19060*, G.M. 1/1982)

1.3.147. Fie 2 2 2

1 1 1...

10 11 1000S = + + + . Să se arate că 0,105 0,007S − < .

1.3.148. Dacă 0 , 1,ia a b i n< ≤ ≤ = , atunci:

a) ( ) 2

1 2

1 2

1 1 1... ...n

n

ba a a n

a a a a

+ + + + + + ≤

.

b) ( )( )

2 2

1 2

1 2

1 1 1... ...

4n

n

a b na a a

a a a ab

+ + + + + + + ≤

(P. Schweitzer, 1914; Olimpiadă, U.R.S.S, 1978; O:19, G.M. 3/1979)

c) ( )

2 2

1 1 14

n n ni

i i i

i i ii

a btt a t

a ab= = =

+ ⋅ ≤ ⋅

∑ ∑ ∑ , unde 0, 1,it i n≥ =

(Inegalitatea lui Kantorovici)

c) ( )( )

2

2

1 2

1 2

11 1 1... ...

2n

n

n n b aa a a n

a a a a b

− + + + + + + ≤ + −

(C. Caragea, 17929*, G.M. 9/1979) 1.3.149. Fie numerele pozitive , 1, , , 2ia i n n n= ∈ ≥� şi 0α ≥ . Să se arate că:

( ) ( ) ( )2

1 1 1

1 1

n n nn

i i i

i i i

a a aα α α= = =

+ ⋅ + ≥ + ⋅∏ ∏ ∏

(C.C. Florea, Olimpiadă locală, 1978)

1.3.150. Dacă 1 2, ,..., na a a ∈� , să se arate că

1 1

n n

i i

i i

a a= =

≤∑ ∑ .

1.3.151. Să se arate că 2 2 2

1 2 1 2 2 3 1 1... ...n n n na a a a a a a a a a a−+ + + ≥ + + + + , unde

, 1,ia i n∈ =� .

1.3.152. Fie 1

a ∗∈� şi 2 3, , , na a a ∈… � . Se consideră inegalitatea

( )2 2 2

1 2 1 2 3n na a a a a a a+ + + ≥ + + +… … . Să se arate că dacă { }2,3,4,5n ∈

inegalitatea este adevărată, iar dacă 6n ≥ este falsă. (Liviu Pîrşan, 18494, G.M. 11/1980) 1.3.153. Să se arate că dacă numerele reale , , 1,i ia b i n= sunt alese astfel încît

1 1 2 21n na b a b a b+ = + = = + =… , atunci:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b b n+ + + ≥ + + + + + + −… … …

(Radu Popovici, 17991, G.M. 11/1979) 1.3.154. Să se demonstreze că oricare ar fi numerele pozitive

1 2, , , nx x x… are loc

inegalitatea: 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 1 3 1 2 1

1 2

2 3 1 3 1 2 1

n n nn

n n n

x x x x x x x x xx x x

x x x x x x x x x

−

−

+ + + + + + + + ++ + + ≥ + + +

+ + + + + + + + +

… … …… …

… … …

(M.I. Ştefănescu, 7742, G.M.B. 9/1966) 1.3.155. Fie numerele strict pozitive

1 2, , , na a a… . Să se arate că:

a) 2 3 11 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 3 1 1 2

1 1 1n

n n

a a a aa a

a a a a a a a a a

+ +++ + + ≤ + + +

+ + +… …

(I. Atanasiu, 9703, G.M.B. 7/1969)

b) 1 2 2 3 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1

2n na a a a a a a a a

+ + + ≤ + + +

+ + + … …

(I. Atanasiu, 9801, G.M.B. 8/1969) 1.3.156. Fie , 2n n∈ ≥� şi numerele pozitive

1 2, , , na a a… astfel încît

1 21na a a+ + + =… . Să se demonstreze că:

1 2

2 3 1 3 1 2 11 1 1 2 1

n

n n n

aa a n

a a a a a a a a a n−

+ + + ≥+ + + + + + + + + + + + −

…… … …

(O.B.M, 1984) 1.3.157. Fie

1 2, ,..., na a a

∗+∈� , unde , 2n n∈ ≥� , astfel încît

1 2... 1na a a = . Să se

arate că: a) ( )( ) ( )1 2

1 1 ... 1 2n

na a a+ + + ≥ , (Olimpiadă R.D.G, 1971)

b) ( )( ) ( ) ( )1 21

n

na k a k a k k+ + + ≥ +… , unde k∗∈� .

(Serghei Popescu, 18415, G.M. 9/1980)

c) ( )( )2

1

2 !1

2

nn n

i i

i

na ia

=

++ + ≥∏ (Gh. Tutulan, 17710, G.M. 4/1979)

d) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 2 1 1 3 4 5 1 2n na a a a a n a n n+ + + + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +… …

(C. Ursu, 18457, G.M. 10/1980)

1.3.158. a) Să se arate că pentru orice numere reale pozitive , , , , ,a b c a b c′ ′ ′ are

loc inegalitatea ( ) ( ) ( ) 3 33 a a b b c c abc a b c′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + ≥ +

b) Generalizare: fie numerele pozitive , , 1,i ia b i n= unde 2n ≥ . Să se

demonstreze inegalitatea ( )1 1 1

n n n

n n ni i i i

i i i

a b a b= = =

+ ≥ +∏ ∏ ∏

(Olimpiadă, U.R.S.S, 1961; 4678, G.M.F.B. 5/1961) 1.3.159. Fie numerele reale strict pozitive

1 2, ,..., na a a . Să se arate că:

a) 11 2

2 3 1

... n n

n

a aa an

a a a a

−+ + + + ≥ .

b) ( )( ) ( )2 2 2

1 1 2 2

1 2

1 1 ... 13

...

n n n

n

a a a a a a

a a a

+ + + + + +≥

c) 2 22 2

1 11 1 2 2

2 2 2 2

2 2 3 3 1 1

1 1 ... 1 1 3nn n n n

n n

a a a aa a a a

a a a a a a a a

− −

+ + + + + + + + ≥

1.3.160. Dacă 1 2, , , nx x x… sunt numere reale strict pozitive, atunci:

22 2

1 2

2 3 1

1 1 1 4nxx xn

x x x

+ + + + + + ≥

… .

(Gh. Ciobanu, 17537, G.M. 12/1978) 1.3.161. Fie n

∗∈� . Să se arate că: a) ( )1 3 5 ... 2 1

nn n> ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

b) 12 1 2

n nn

−− > c) 2 ! 1, 2n n n n< + ≥ (Gh. Motelică, 8544, G.M.B. 10/1967)

1.3.162. Fie numerele reale pozitive 1 2, ,..., , 2na a a n ≥ . Notăm cu

1 2... na a a

An

+ + += şi

1 2...n

nG a a a= media aritmetică, respectiv media

geometrică, a celor n numere. Să se demonstreze că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 ... 1 1

n n

nG a a a A+ ≤ + + + ≤ +

1.3.163. Fie numerele pozitive 1 2, , , , , 2nx x x n n∈ ≥… � . Să se demonstreze

inegalitatea:

2 22 2

11 2

2 2 2 2

1 2 3 2 3 4 1 1 1 2

1n n

n n n

x xx xn

x x x x x x x x x x x x

−

−

+ + + + ≤ −+ + + +

…

(Propusă de Canada pentru O.I.M, 1985)

1.3.164. Să se demonstreze inegalitatea 2

1 1

1

2

n

i j i

i j n i

na a a

≤ < ≤ =

−≤∑ ∑ , unde

, 1,ia i n∈ =� . În ce caz are loc egalitatea ?

1.3.165. Se consideră numerele reale pozitive 1 2, ,..., na a a . Să se demonstreze

inegalitatea 2

2

1 1

1 1n n

i i

i i

a an n= =

≤

∑ ∑

1.3.166. Dacă , , 1,i ia b i n∈ =� , atunci 2 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b= = =

− ≤ −∑ ∑ ∑ .

1.3.167. Fie numerele reale strict pozitive 1 2, ,..., na a a astfel încît

1

1

n

i

i

a=

=∑ . Să se

arate că:

a) 1

10

n

i ni

an=

< ≤∏ b) 2

1

11

n

i

i

an =

≤ <∑

1.3.168. Numerele 0, 1, , 2ia i n n> = ≥ au proprietatea că 1

n

i

i

a k=

=∑ . Să se arate

că:

a) 2 2 2

1

1ni

i i

a n k

a k=

− −≥∑ b)

2 2 2 2

1

2 2ni i

i i

a na n k n k

a k=

− + + −≥∑

(I. Burghină, 16974, G.M. 12/1977)

1.3.169. Fie numerele 0, 0, 1,i ia b i n≥ > = astfel încît 1 1

1

n n

i i

i i

a b= =

= =∑ ∑ . Să se arate

că 2

1

1

ni

i i

a

b=

≥∑ . (17923*, G.M. 9/1979)

1.3.170. a) Se consideră numerele pozitive 1 2, ,..., na a a astfel încît

1

1

n

i

i

a=

=∑ . Să se

demonstreze că ( )1

4 1 4

n

i

i

a n n=

+ ≤ +∑ .

b) Generalizare: fie 0,a b≥ ∈� şi 1 2, ,..., n

bx x x

a≥ − astfel încît

1

n

i

i

x c=

=∑ . Să se

demonstreze că 2

1

n

i

i

ax b n b nac=

+ ≤ +∑ . Pentru ce valori , 1,ix i n= are loc

egalitatea ? 1.3.171. Fie numerele reale

1 2, ,..., 0na a a > , unde , 2n n∈ ≥� . Să se arate că

avem inegalitatea:

( ) 2

1 2

1 2

1 1 1... ...n

n

a a a na a a

+ + + + + + ≥

. Deduceţi că dacă

1 21na a a+ + + ≤… ,

atunci 2

1 2

1 1 1

n

na a a

+ + + ≥… .

1.3.172. Să se arate că dacă 2

1 1

n n

k

k k

kx k= =

≥∑ ∑ , atunci 2 2

1 1

n n

k

k k

x k= =

≥∑ ∑ . În ce caz se

obţine egalitatea ? (Ştefan Ilisiea, 18502*, G.M. 11/1980) 1.3.173. Dacă

1 20nx x x≥ ≥ ≥ ≥… , să se arate că:

( ) ( )22 2 2 2

1 2 3 1 23 5 2 1 n nx x x n x x x x+ + + + − ≤ + + +… …

(Maria Elena Panaitopol, 19109*, G.M. 2-3/1982)

1.3.174. Fie 0, 1,ix i n> = cu proprietatea 1

1

n

i

i

x=

=∑ . Să se arate că există un

{ }1, 2, ,k n∈ … astfel încît 1 1

k

k

x nx n

+ ≥ + . (Nicolae Burcea, C:169, G.M. 12/1981)

1.3.175. Să se arate că dacă 1 2, , , na a a… sunt numere reale nenule, atunci există

inegalitatea: 2

2

1 1 1 1

1 1n n n n

i i

i i i ii i

a aa a= = = =

⋅ ≥ ⋅∑ ∑ ∑ ∑ .

(V. Cîrtoaje, 9497, G.M.B. 3/1969)

1.3.176. Fie numerele 0, 1, , 2ia i n n> = ≥ şi 1

n

n i

i

s a=

=∑ . Să se arate că

2 2

1

1nn

i

i i n

s na n

a n s=

+ ≥ ⋅ +

∑ .

1.3.177. Fie 0, 1,ia i n> = astfel încît 1

1

n

i

i

a=

=∑ . Să se demonstreze că

2

1

1

1 1

n

i i

n

a n=

≥− −

∑ . (Gh. Szöllösy, 8990, G.M.B. 6/1968)

1.3.178. Fie , 1, 2ka k n∗∈ =� . Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze

că 2

1 1 2 1 2

1 14

n n

k kk k ka a a= = −

≥+

∑ ∑ . (N. Bebea, 18493*, G.M. 11/1980)

1.3.179. Dacă 0, 1,ia i n> = şi 1

1

n

i

i

a=

=∑ , să se arate că ( )( )

2

1

11

nn

i i ni

na a

n=

−− ≤∏ . Cînd

are loc egalitatea ? 1.3.180. Fie 0ia ≥ astfel încît

12 0, 1,i ia a i n+− ≥ = , cu convenţia

1 1na a+ = . Să se

arate că ( )( ) ( )1 2 2 3 1 1 22 2 2 n na a a a a a a a a− − − ≤… … .

(Gh. Marghescu, 18503, G.M. 11/1980) 1.3.181. Să se arate că dacă { }1 2 1

, , , , 1n na a a a a+⊂ = =… � şi

( ) { }2

1 1, 2,3, , 1k k ka a a k n− +⋅ ≥ ∀ ∈ −… , atunci { } [ ]1 2

, , , 0;1na a a ⊂… .

(Dorinel Anca, 19335, G.M. 8/1982) 1.3.182. Fiind date numerele reale , , 1,i ia b i n+∈ =� , să se demonstreze că

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b= = =

≤ ⋅∑ ∑ ∑ .