1

Nr. crt.

Teorie Exemple

1. Noţiunea de matrice Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane o funcţie 푓: {1,2, … , 푚}x{1,2, … , 푛} → ℂ.

Sau 퐴 =푎 ⋯ 푎

⋮ ⋱ ⋮푎 ⋯ 푎

∈ 푀 , (ℂ)

În cazul 푚 = 푛 avem matrice pătratică de ordinul 푛. 퐴 -transpusa matricei

퐴 =푎 ⋯ 푎

⋮ ⋱ ⋮푎 ⋯ 푎

∈ 푀 , (ℂ)

퐴 = 1 03 1 ∈ 푀 (ℂ)

퐴 = (푎 푏 푐) ∈ 푀 , (ℂ) matrice linie

퐴 = 푖−1 ∈ 푀 , (ℂ) matrice coloană

퐴 =1 2 32 4 63 6 9

∈ 푀 (ℂ)

퐴 = 1 03 1 ∈ 푀 (ℂ) → 퐴 = 1 3

0 1 ∈ 푀 (ℂ)

퐴 = (푎 푏 푐) ∈ 푀 , (ℂ) → 퐴 =푎푏푐

∈ 푀 , (ℂ)

2. Egalitatea a două matrice 퐴, 퐵 ∈ 푀 , (ℂ), 퐴 = 퐵

푎 ⋯ 푎⋮ ⋱ ⋮

푎 ⋯ 푎=

푏 ⋯ 푏⋮ ⋱ ⋮

푏 ⋯ 푏

→

⎩⎪⎨

⎪⎧

푎 = 푏푎 = 푏

…푎 = 푏푎 = 푏

1. Rezolvaţi ecuaţia 퐴 = 퐵, unde:

a)퐴 = 푥 0푦 1 ∈ 푀 (ℂ),

퐵 = 푖−1 ∈ 푀 , (ℂ),

b)퐴 = 푎 푏 − 2푐 + 1 1 − 푑 , 퐵 = −1 4

0 1 , 퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ). a)Ecuaţia nu are sens, deoarece matricele A şi B nu sunt de acelaşi tip. b)퐴 = 퐵

푎 푏 − 2푐 + 1 1 − 푑 = −1 4

0 1

→

푎 = −1푏 − 2 = 4푐 + 1 = 01 − 푑 = 1

→

푎 = −1푏 = 6

푐 = −1푑 = 0

2. Să se determine 푥, 푦, 푧, 푡 ∈ ℝ astfel încât

matricele să fie egale: 퐴 = 2 − 3 푦 + 3푧 − 1 2 − 푡

,

퐵 = −1 40 1 , 퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℝ).

3. Adunarea matricelor 퐴, 퐵 ∈ 푀 , (ℂ)

퐴 + 퐵 =푎 ⋯ 푎

⋮ ⋱ ⋮푎 ⋯ 푎

+푏 ⋯ 푏

⋮ ⋱ ⋮푏 ⋯ 푏

=푎 + 푏 ⋯ 푎 + 푏

⋮ ⋱ ⋮푎 + 푏 ⋯ 푎 + 푏

∈ 푀 , (ℂ)

1. Calculaţi A+B, unde:

a)퐴 = 1 00 1 ∈ 푀 (ℂ) ,

퐵 = 푖−1 ∈ 푀 , (ℂ),

b)퐴 = 1 2−1 3 , 퐵 = −1 4

0 1 , 퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ).

2

푀 , (ℂ), + este grup abelian 1)”+” este bine definită, 2)”+” este asociativă, 3)matricea nulă este element neutru,

푂 , =0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0

∈ 푀 , (ℂ),

4)orice matrice are opusă,

−퐴 =−푎 ⋯ −푎

⋮ ⋱ ⋮−푎 ⋯ −푎

∈ 푀 , (ℂ),

5)”+” este comutativă.

a)Adunarea nu are sens, deoarece matricele A şi B nu sunt de acelaşi tip.

b)퐴 + 퐵 = 1 2−1 3 + −1 4

0 1

= 1 − 1 2 + 4−1 + 0 3 + 1 = 0 6

−1 4 ∈ 푀 (ℂ)

2. Calculaţi A+B, unde:

퐴 =1 2 32 4 63 6 9

, 퐵 =−√3 4 7

0 √2 −50 6 −9

,

퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ). 4. Înmulţirea cu scalari a matricelor

퐴 ∈ 푀 , (ℂ) şi 푎 ∈ ℂ → a퐴 ∈ 푀 , (ℂ)

1. Calculaţi -2A, unde 퐴 =1 2 32 4 63 6 9

,

퐴 ∈ 푀 (ℂ).

−2퐴 =−2 ∙ 1 −2 ∙ 2 −2 ∙ 3−2 ∙ 2 −2 ∙ 4 −2 ∙ 6−2 ∙ 3 −2 ∙ 6 −2 ∙ 9

=−2 −4 −6−4 −8 −12−6 −12 −18

∈ 푀 (ℂ)

2. Calculaţi 4푖 ∙ 퐴, unde 퐴 = 푖−1 ∈ 푀 , (ℂ).

5. Înmulţirea matricelor

퐴 ∈ 푀 , (ℂ)퐵 ∈ 푀 , (ℂ) → 퐴퐵 ∈ 푀 , (ℂ)

퐴퐵 =푎 ⋯ 푎

⋮ ⋱ ⋮푎 ⋯ 푎

푏 ⋯ 푏⋮ ⋱ ⋮

푏 ⋯ 푏=

푎 푏 +. . +푎 푏 . . 푎 푏 +. . +푎 푏⋮ ⋱ ⋮

푎 푏 +. . +푎 푏 . . 푎 푏 +. . + 푎 푏

퐴퐵 ∈ 푀 , (ℂ) Observaţii: 1.Înmulţirea matricelor AB are sens dacă numărul de coloane din matrice A este egal cu numărul de linii din matricea B, (푚, 푛)(푛, 푝) → (푚, 푝). 2.Pentru BA avem (푛, 푝)(푚, 푛) unde numărul de coloane din matrice B este diferit de numărul de linii din matricea A, aşa că înmulţirea BA nu are sens. 3.În general, înmulţirea matricelor nu este comutativă, adică AB≠BA.

1. Calculaţi 퐴퐵, unde:

a)퐴 = 1 2−1 3 , 퐵 = −1 4

0 1 , 퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ),

b)퐴 = 1 23 5 ∈ 푀 (ℂ), 퐵 = 푖

−1 ∈ 푀 , (ℂ),

c)퐴 =1 2 32 4 63 6 9

∈ 푀 (ℂ),

퐵 = (5 −1 0) ∈ 푀 , (ℂ),

d)퐴 =−2 1 31 0 −53 −3 0

, 퐵 =1 0 1

−2 4 0−1 3 2

,

퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ).

a)퐴퐵 = 1 2−1 3

−1 40 1 =

1 ∙ (−1) + 2 ∙ 0 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1−1 ∙ (−1) + 3 ∙ 0 −1 ∙ 4 + 3 ∙ 1 =−1 4 + 2 1 −4 + 3 = −1 6

1 −1 ∈ 푀 (ℂ),

b)퐴퐵 = 1 23 5

푖−1 = 1 ∙ 푖 + 2 ∙ (−1)

3 ∙ 푖 + 5 ∙ (−1) =

= 푖 − 23푖 − 5 ∈ 푀 , (ℂ),

c)Înmulţirea 퐴퐵 nu are sens, deoarece matricea A are 3 coloane, iar matricea B are o linie.

3

(푀 (ℂ),∙) este monoid, 1)”∙ ” este bine definită, 2)”∙ ” este asociativă, 3) matricea unitate este element neutru,

퐼 =1 0 … 00 1 … 0… … … …0 0 … 1

∈ 푀 (ℂ).

d)퐴퐵 =−2 1 31 0 −53 −3 0

1 0 1−2 4 0−1 3 2

=−2 ∙ 1 + 1 ∙ (−2) + 3 ∙ (−1)1 ∙ 1 + 0 ∙ (−2) + (−5)(−1)

3 ∙ 1 + (−3) ∙ (−2) + 0 ∙ (−1)

−2 ∙ 0 + 1 ∙ 4 + 3 ∙ 31 ∙ 0 + 0 ∙ 4 + (−5) ∙ 33 ∙ 0 + (−3) ∙ 4 + 0 ∙ 3

−2 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 3 ∙ 2

1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + (−5) ∙ 23 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 + 0 ∙ 2

=−7 13 46 −15 −99 −12 3

∈ 푀 (ℂ).

2. Calculaţi 퐵퐴 și 퐴 (퐴 = 퐴 ∙ 퐴), unde:

a)퐴 = 1 2−1 3 , 퐵 = −1 4

0 1 , 퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ),

b)퐴 = 1 23 5 ∈ 푀 (ℂ), 퐵 = 푖

−1 ∈ 푀 , (ℂ),

c)퐴 =1 2 32 4 63 6 9

∈ 푀 (ℂ),

퐵 = (5 −1 0) ∈ 푀 , (ℂ),

d)퐴 =−2 1 31 0 −53 −3 0

, 퐵 =1 0 1

−2 4 0−1 3 2

,

퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℂ). 6. Ridicarea la putere a unei matrice

퐴 = 퐴 ∙ 퐴 ∙ … ∙ 퐴

, 퐴 ∈ 푀 (ℂ), 푛 ∈ ℕ∗, 푛 ≥ 2

1. Calculaţi 퐴 , unde:

a)퐴 = −1 00 −1 ∈ 푀 (ℂ),

b)퐴 =1 0 02 1 03 2 1

∈ 푀 (ℂ),

c)퐴 = 푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥 ∈ 푀 (ℂ),

d)퐴 =1 2푥 5푥 − 2푥0 1 5푥0 0 1

∈ 푀 (ℝ),

e)퐴 =0 1 00 0 1 000 0 01 0 0 10

∈ 푀 (ℝ).

a)퐴 = 퐴 ∙ 퐴 = 1 00 1 = 퐼

퐴 = 퐼 ∙ 퐴 = 퐴 ş.a.m.d.

퐴 = 퐴, 푛 = 푛푢푚ă푟 푖푚푝푎푟퐼 , 푛 = 푛푢푚ă푟 푝푎푟

b)Matricea A are formă diagonală şi o descompunem astfel

퐴 =1 0 00 1 00 0 1

+0 0 02 0 03 2 0

= 퐼 + 퐵

apoi, utilizăm Binomul lui Newton

4

퐴 = (퐼 + 퐵) = 퐶 퐼 + 퐶 퐼 퐵 + +퐶 퐼 퐵 + ⋯ + 퐶 퐵 , unde

퐵 =0 0 02 0 03 2 0

퐵 =0 0 02 0 03 2 0

0 0 02 0 03 2 0

=0 0 00 0 04 0 0

퐵 =0 0 00 0 00 0 0

→ 퐵 =0 0 00 0 00 0 0

şi 퐼 = 퐼 , 퐼 퐵 = 퐵 … 퐴 = 퐶 퐼 + 퐶 퐵 + 퐶 퐵

= 퐼 + 푛퐵 +푛(푛 − 1)

2 퐵

=1 0 00 1 00 0 1

+ 푛0 0 02 0 03 2 0

+푛(푛 − 1)

2

0 0 00 0 04 0 0

=1 0 0

2푛 1 02푛 + 푛 2푛 1

c) 퐴 = 퐴 ∙ 퐴 = 푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥

푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥

= 푐표푠 푥 − 푠푖푛 푥 2푠푖푛푥푐표푠푥−2푠푖푛푥푐표푠푥 푐표푠 푥 − 푠푖푛 푥

= 푐표푠2푥 푠푖푛2푥−푠푖푛2푥 푐표푠2푥

Deducem 퐴 = 푐표푠푛푥 푠푖푛푛푥−푠푖푛푛푥 푐표푠푛푥

şi demonstrăm prin metoda inducţiei matematice. Presupunem 퐴 =

cos (푛 + 1)푥 푠푖푛(푛 + 1)푥−푠푖푛(푛 + 1)푥 푐표푠(푛 + 1)푥 verificăm

퐴 = 퐴 ∙ 퐴 = 푐표푠푛푥 푠푖푛푛푥

−푠푖푛푛푥 푐표푠푛푥 푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥

= cos (푛 + 1)푥 푠푖푛(푛 + 1)푥−푠푖푛(푛 + 1)푥 푐표푠(푛 + 1)푥 adevărat.

d)퐴 ∙ 퐴 =

=1 2푥 5푥 − 2푥0 1 5푥0 0 1

1 2푦 5푦 − 2푦0 1 5푦0 0 1

=1 2(푥 + 푦) 5(푥 + 푦) − 2(푥 + 푦)0 1 5(푥 + 푦)0 0 1

= 퐴 퐴 = 퐴 ∙ 퐴 = 퐴 = 퐴 퐴 = 퐴 → 퐴 = 퐴( ) 퐴 = 퐴 ∙ 퐴 = 퐴 ∙ 퐴 = 퐴( )

5

e)퐴 =0 1 00 0 1 000 0 01 0 0 10

퐴 = 퐴 ∙ 퐴 =0 1 00 0 1 000 0 01 0 0 10

0 1 00 0 1 000 0 01 0 0 10

=

=0 0 10 0 0 011 0 00 1 0 00

퐴 =0 0 01 0 0 100 1 00 0 1 00

퐴 =1 0 00 1 0 000 0 10 0 0 01

= 퐼

퐴 =

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

0 1 00 0 1 000 0 01 0 0 10

, 푛 = 4푘 + 1, 푘 ∈ ℕ

0 0 10 0 0 011 0 00 1 0 00

, 푛 = 4푘 + 2, 푘 ∈ ℕ

0 0 01 0 0 100 1 00 0 1 00

, 푛 = 4푘 + 3, 푘 ∈ ℕ

1 0 00 1 0 000 0 10 0 0 01

= 퐼 , 푛 = 4푘, 푘 ∈ ℕ∗

2.퐴(푥) =cosx 0 푖sinx

0 1 0푖sinx 0 cosx

∈ 푀 (ℂ), 푥 ∈ ℝ

a)Calculaţi det 퐴(휋). b)Arătaţi că 퐴(푥)퐴(푦) = 퐴(푥 + 푦). c)Determinaţi numerele reale 푥 pentru care (퐴(푥)) = 퐼 . (푏푎푐 2012)

7. Urma matricei pătratice TrA=urma matricei pătratice este suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A.

퐴 =푎 ⋯ 푎

⋮ ⋱ ⋮푎 ⋯ 푎

∈ 푀 (ℂ)

TrA=푎 + 푎 + ⋯ + 푎

1.Calculaţi urma matricei A, unde:

a)퐴 = −1 00 −1 ∈ 푀 (ℝ),

b)퐴 = 푖 1−1 푖 ∈ 푀 (ℂ),

c)퐴 = 푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥 ∈ 푀 (ℂ),

d)퐴 = 1 − √3 24 1 + √3

∈ 푀 (ℂ),

e)퐴 = 1 log 5log 3 2 ∈ 푀 (ℝ).

6

a)TrA = −1 − 1 = −2 b)TrA = i + i = 2i c)TrA = 푐표푠푥 + 푐표푠푥 = 2푐표푠푥 d)TrA = 1 − √3 + 1 + √3 = 2 e)TrA = 1 + 2 = 3 2.Calculaţi urma matricei A, unde:

a)퐴 = 5 46 9 ∈ 푀 (ℝ),

b)퐴 = 1 + 푖 3푖 − 1 1 − 2푖 ∈ 푀 (ℂ),

c)퐴 = 1 1푥 푦 ∈ 푀 (ℂ),

d)퐴 = 1 + √7 2√7 1 + √7

∈ 푀 (ℂ),

e)퐴 = 3 66 9 ∈ 푀 (ℝ).

8. Determinantul de ordinul doi

Determinantul ataşat matricei 퐴 = 푎 푏푐 푑 ∈ 푀 (ℂ)

este det 퐴 = 푎 푏푐 푑 = 푎푑 − 푏푐 ∈ ℂ.

Observaţie: Matricea este o funcţie, iar determinantul este un număr.

1.Calculaţi determinanţii ataşaţi matricelor date:

a)퐴 = −1 00 −1 ∈ 푀 (ℝ),

b)퐴 = 푖 1−1 푖 ∈ 푀 (ℂ),

c)퐴 = 푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥 ∈ 푀 (ℂ),

d)퐴 = 1 − √3 24 1 + √3

∈ 푀 (ℂ),

e)퐴 = 1 log 5log 3 2 ∈ 푀 (ℝ).

a) −1 00 −1 = 1 − 0 = 1

b) 푖 1−1 푖 = 푖 + 1 = −1 + 1 = 0

c) 푐표푠푥 푠푖푛푥−푠푖푛푥 푐표푠푥 = 푐표푠 푥 + 푠푖푛 푥 = 1

d) 1 − √3 24 1 + √3

= 1 − √3 1 + √3 − 8

= 1 − 3 − 8 = −10

e) 1 log 5log 3 2 = 2 − log 3 ∙ log 5 = 2 − 1

= 1 2.Calculaţi determinanţii ataşaţi matricelor date:

a)퐴 = 5 46 9 ∈ 푀 (ℝ),

b)퐴 = 1 + 푖 3푖 − 1 1 − 2푖 ∈ 푀 (ℂ),

c)퐴 = 1 1푥 푦 ∈ 푀 (ℂ),

d)퐴 = 1 + √7 2√7 1 + √7

∈ 푀 (ℂ),

e)퐴 = 3 66 9 ∈ 푀 (ℝ).

7

9. Teorema Hamilton-Cayley (T.H-C) pentru matrice pătratice de ordinul doi

Fie 퐴 = 푎 푏푐 푑 ∈ 푀 (ℂ).

퐴 − 푇푟퐴 ∙ 퐴 + 푑푒푡퐴 ∙ 퐼 = 푂 sau 퐴 − (푎 + 푑) ∙ 퐴 + (푎푑 − 푏푐) ∙ 퐼 = 푂 Propoziţie.Ecuaţia ataşată teoremei este 푥 − (푎 + 푑) ∙ 푥 + (푎푑 − 푏푐) = 0 cu soluţiile 푥 , 푥 ∈ ℂ , atunci

퐴 =푥 − 푥푥 − 푥 퐴 +

푥 ∙푥 − 푥 ∙푥푥 − 푥 퐼 , 푥 ≠ 푥

푛푥 퐴 + (1 − 푛)푥 퐼 , 푥 = 푥 = 푥

푛 ∈ ℕ∗ , 푛 ≥ 2.

1.Să se arate că 퐴 + 2퐴 + 퐼 = 푂 , unde

퐴 = −1 00 −1 ∈ 푀 (ℝ).

Varianta1. Aplicăm T.H-C 퐴 − (−1 − 1)퐴 + 1 ∙ 퐼 = 푂 → 퐴 + 2퐴 + 퐼 = 푂 Varianta2. Calculăm

퐴 = −1 00 −1

−1 00 −1 = 1 0

0 1 şi

퐴 + 2퐴 + 퐼 = 1 00 1 + 2 −1 0

0 −1

+ 1 00 1 = 0 0

0 0 = 푂

2. Se consideră matricea 퐴 = 1 23 5 . (푏푎푐′2013)

a)Calculaţi det A. b)Arătaţi că 퐴 − 6퐴 = 퐼 . c)Determinaţi inversa matricei 퐵 = 퐴 − 6퐼 . Variantă.Din b) avem 퐴(퐴 − 6퐼 ) = 퐼 , atunci inversa matricei 퐵 = 퐴 − 6퐼 , det 퐵 ≠ 0 este matricea A, deoarece 퐵 ∙ 퐵 = 퐼 .

10. Determinantul de ordinul trei Metode pentru calcul 1.Calculul determinantului folosind Regula triunghiului

푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

=

= 푎 푎 푎 + 푎 푎 푎 + 푎 푎 푎 − 푎 푎 푎 −푎 푎 푎 − 푎 푎 푎 2.Calculul determinantului folosind Regula lui Sarrus

푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

=

= 푎 푎 푎 + 푎 푎 푎 + 푎 푎 푎 − 푎 푎 푎 −푎 푎 푎 − 푎 푎 푎 3.Calculul determinantului folosind dezvoltarea după o linie

푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

=

+푎푎 푎푎 푎 − 푎

푎 푎푎 푎 + 푎

푎 푎푎 푎

1.Calculaţi determinanţii:

a) 1 2 32 4 63 6 9

b) −√3 4 7

0 √2 −50 6 −9

c) −2 1 31 0 −53 −3 0

d) 1 0 1

−2 4 0−1 3 2

e) 1 2푥 5푥 − 2푥0 1 5푥0 0 1

a) 1 2 32 4 63 6 9

= 푅푒푔푢푙푎 푡푟푖푢푛푔ℎ푖푢푙푢푖 =

1 ∙ 4 ∙ 9 + 2 ∙ 6 ∙ 3 + 2 ∙ 6 ∙ 3 − 3 ∙ 4 ∙ 3 − 6 ∙ 6 ∙ 1 −2 ∙ 2 ∙ 9 = 36 + 36 + 36 − 36 − 36 − 36 = 0

sau utilizând proprietăţile determinanţilor observăm că avem două linii/coloane proporţionale → determinantul este nul.

b) −√3 4 7

0 √2 −50 6 −9

=

푑푒푧푣표푙푡푎푟푒 푑푢푝ă 푝푟푖푚푎 푐표푙표푎푛ă

= −√3 ∙ √2 −56 −9

= −√3(−9√2 + 30)

8

4.Calculul determinantului folosind dezvoltarea după o coloană

푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

=

+푎푎 푎푎 푎 − 푎

푎 푎푎 푎 + 푎

푎 푎푎 푎

Observaţie: Semnele cu care apar elementele provin

din signatura permutărilor sau astfel + − +− + −+ − +

indiferent de valoarea sau expresia care ocupă un loc în determinant. 5.Calculul determinantului folosind proprietăţile→12 Observaţie: Pentru calculul determinanţilor de ordin ≥ 4 se utilizează metodele 3, 4, 5.

c)

−2 1 31 0 −53 −3 0

−2 1 31 0 −5

= 푅푒푔푢푙푎 푙푢푖 푆푎푟푟푢푠 =

= −2 ∙ 0 ∙ 0 + 1 ∙ (−3) ∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙ (−5) − −3 ∙ 0 ∙ 3 − (−2) ∙ (−3) ∙ (−5) − 1 ∙ 1 ∙ 0 = = 0 − 9 − 15 − 0 + 30 − 0 = 6

d) 1 0 1

−2 4 0−1 3 2

= 푑푒푧푣표푙푡푎푟푒 푑푢푝ă 푝푟푖푚푎 푙푖푛푖푒

= +1 ∙ 4 03 2 − 0 ∙ −2 0

−1 2 + 1 ∙ −2 4−1 3

= 8 − 0 − 2 = 6

e) 1 2푥 5푥 − 2푥0 1 5푥0 0 1

= 1 5푥0 1 = 1

2.Calculaţi determinanţii:

a) −1 5 34 −2 2

−3 1 6

b) 0 5 34 −2 20 1 6

c) 2푥 −1 15 3 −푥7 3푥 2

3.Determinaţi numerele reale 푥 pentru care

det 퐴(푥) = 0, 퐴(푥) =1 푥 푥푥 1 푥푥 푥 1

. (푏푎푐′2013)

11. Determinant de tip Vandermonde

1 1 1푎 푏 푐

푎 푏 푐= 퐶 − 퐶

퐶 − 퐶

Folosind proprietăţile determinanţilor obţinem:

=1 0 0푎 푏 − 푎 푐 − 푎

푎 푏 − 푎 푐 − 푎

= 푏 − 푎 푐 − 푎푏 − 푎 푐 − 푎

= 푏 − 푎 푐 − 푎(푏 − 푎)(푏 + 푎) (푐 − 푎)(푐 + 푎)

= (푏 − 푎)(푐 − 푎) 1 1푏 + 푎 푐 + 푎

= (푏 − 푎)(푐 − 푎)(푐 − 푏)

1.Calculaţi: 1 푥 푥1 푦 푦1 푧 푧

= 퐿 − 퐿퐿 − 퐿 =

1 푥 푥0 푦 − 푥 푦 − 푥0 푧 − 푥 푧 − 푥

= 푦 − 푥 푦 − 푥푧 − 푥 푧 − 푥

= (푦 − 푥)(푧 − 푥) 1 푦 + 푥1 푧 + 푥

= (푦 − 푥)(푧 − 푥)(푧 − 푦) 2.Calculaţi:

1 1 1푎 푏 푐 1푑

푎 푏 푐푎 푏 푐

푑푑

9

3.Arătaţi că dacă 푎, 푏, 푐 sunt lungimile laturilor

unui triunghi şi 1 1 1

2푎 2푏 2푐3푎 3푏 3푐

= 0, atunci

triunghiul este isoscel. (푏푎푐′2012)

12. Proprietăţile determinanţilor

1.Dacă într-un determinant toate elementele unei linii sau coloane sunt nule, atunci determinantul este nul.

1 2 31 4 50 0 0

= 0

2.Dacă un determinant are două linii sau coloane identice, atunci determinantul este nul.

1 4 71 4 72 9 5

= 0 (퐿 = 퐿 )

3.Dacă elementele a două linii sau coloane ale unui determinant sunt proporţionale atunci, determinantul este nul.

1 23 6 = 0 (퐿 = 3퐿 )

4.Dacă o linie sau o coloană a unui determinant este o combinaţie liniară de celelalte linii sau coloane, atunci determinantul este nul.

1 3 02 1 73 4 7

= 0 (퐿 + 퐿 = 퐿 )

5.Dacă toate elementele unei linii sau coloane ale unui determinant sunt înmulţite cu un număr k, atunci valoarea determinantului iniţial o înmulţim cu k.

7 9 23 1 4푘 2푘 5푘

= 푘7 9 23 1 41 2 5

4 83 5 = 4 1 2

3 5

6.Dacă într-un determinant se permută între ele două linii sau două coloane, atunci determinantul obţinut este opusul determinantului iniţial.

1 2 50 1 43 1 2

= −0 1 41 2 53 1 2

(permutare 퐿 cu 퐿 ) 7.Dacă într-un determinant se adunǎ la elementele unei linii sau coloane, elementele altei linii respectiv coloane înmulţite cu un acelaşi numǎr, atunci valoarea determinantului nu se schimbă.

1 2 12 3 −11 4 6

= 퐶 − 2퐶퐶 − 퐶

=1 2 − 2 ∙ 1 1 − 12 3 − 2 ∙ 2 −1 − 21 4 − 2 ∙ 1 6 − 1

=1 0 02 −1 −31 2 5

= −1 −32 5 = 1

sau calculând cu Regula triunghiului avem 1 2 12 3 −11 4 6

= 18 + 8 − 2 − 3 + 4 − 24 = 1

8.Determinantul unei matrice pătratice este egal cu determinantul matricei transpuse. det 퐴 = det(퐴 ), AM (ℂ)

det 퐴 =1 2 32 3 −11 4 6

= 11

det (퐴 ) =1 2 12 3 43 −1 6

= 11

10

9.Dacă A şi BM (ℂ), atunci det (AB)=det A ∙ det B. 1. 퐴 =

−2 1 31 0 −53 −3 0

→ det 퐴 = 6

퐵 =1 0 1

−2 4 0−1 3 2

→ det 퐵 = 6⎭⎪⎬

⎪⎫

→

det 퐴 ∙ det 퐵 = 36

퐴퐵 =−7 13 46 −15 −99 −12 3

→ det 퐴퐵 = 36

2.Dacă 퐴, 퐵 ∈ 푀 (ℝ) şi 퐴퐵 = 퐵퐴, atunci det(퐴 + 퐵 ) ≥ 0. det(퐴 + 퐵 ) = det[(퐴 + 푖퐵)(퐴 − 푖퐵)] = = det(퐴 + 푖퐵) det(퐴 − 푖퐵) = = det(퐴 + 푖퐵) det(퐴 + 횤퐵) = = det(퐴 + 푖퐵) det(퐴 + 횤퐵) = = |det(퐴 + 푖퐵)| ≥ 0 pentru că 푧 ∙ 푧̅ = |푧| , 푧 ∈ ℂ

10.Dacă o linie sau o coloană a unui determinant este o combinaţie liniară de forma aij+bij, atunci det A=det A ij+det Bij.

푎 푎 … 푎푎 + 푏 푎 + 푏 … 푎 + 푏

푎 푎 … 푎=

=푎 푎 … 푎푎 푎 … 푎푎 푎 … 푎

+푎 푎 … 푎푏 푏 … 푏푎 푎 … 푎

푎 1 푎 + 푑푏 1 푏 + 푑푐 1 푐 + 푑

=푎 1 푎푏 1 푏푐 1 푐

+푎 1 푑푏 1 푑푐 1 푑

= 0

1.Calculaţi determinanţii:

a) 푎 푏 푐푏 푐 푎푐 푎 푏

= (퐿 + 퐿 + 퐿 )

=푎 + 푏 + 푐 푎 + 푏 + 푐 푎 + 푏 + 푐

푏 푐 푎푐 푎 푏

= (푎 + 푏 + 푐)1 1 1푏 푐 푎푐 푎 푏

= (푎 + 푏 + 푐)(푏푐 + 푎푏 + 푎푐 − 푐 − 푎 − 푏 )

= −12

(푎 + 푏 + 푐)[(푎 − 푏) + (푏 − 푐)

+(푐 − 푎) ]

b)det 퐴 , unde 퐴 = 7 5−2 3 , 푛 ∈ ℕ∗ , 푛 ≥ 2.

det 퐴 = (det 퐴) = 31 2.Calculaţi:

a) 1 1 1푎 푎 1푏 푏 1

− 푏푎푐′2013

b) 푚 1 11 푚 11 1 1

− 푏푎푐′2013

c) 1 푥 11 −1 1푥 −1 1

− 푏푎푐′2013

11

13. Rangul unei matrice Dacă 퐴 ∈ 푀 , (ℂ),A nenulă,atunci rangul matricei A este cel mai mare dintre ordinele minorilor nenuli ai matricei A. Dacă A=O , matricea nulă, atunci rang A =0. “minor=determinant de ordin ≤ min (푚, 푛)” Algoritm pentru stabilirea rangului matricei A

퐴 = ퟐ 3 14 6 01 0 1

−2 3 6

∈ 푀 , (ℂ)

ퟐ ≠ 0 → rang 퐴 ≥ 1 ퟐ 34 6 = 0 ퟐ 14 0 = −4 ≠ 0 → rang 퐴 ≥ 2

ퟐ 3 14 6 01 0 1

= −6 ≠ 0 → rang 퐴 = 3

Observaţie: rang 퐴 ≤ min (4,3)

1.Aflaţi rang A : a)퐴 = 2 4

3 7

b)퐴 =2 5 32 0 −10 2 1

c)퐴 = 2 43 6

d)퐴 =1 2 32 4 63 6 9

e)퐴 =1 푥 11 −1 1푥 −1 1

, discuţie după 푥 ∈ ℝ

f)퐴 = 1 2 −12 4 1

g)퐴 = 1 2 −12 4 −2

a) det 퐴 = 5 ≠ 0 →rang A=2 b) det 퐴 = 6 ≠ 0 →rang A=3 c) det 퐴 = 0 → 2 ≠ 0 →rang A=1 d) det 퐴 = 0 și oricare din determinanții de ordinul doi sunt nuli → 1 ≠ 0 →rang A=1 e) det 퐴 = 푥 − 1

→

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푥 ∈ ℝ − {±1} → det 퐴 ≠ 0 ș푖 푟푎푛푔퐴 = 3

푥 = 1 → det 퐴 = 0 ș푖 1 11 −1 ≠ 0 푟푎푛푔퐴 = 2

푥 = −1 → det 퐴 = 0 ș푖 1 −1−1 −1 ≠ 0 푟푎푛푔퐴 = 2

f) 퐴 = 1 2 −12 4 1

Calculăm determinanţii de ordinul doi ataşaţi matricei A

∆ = 1 22 4 = 0

∆ = 1 −12 1 = 3 ≠ 0

∆ = 2 −14 1 = 6 ≠ 0

şi constatăm că cel puţin unul este diferit de zero, atunci rang A=2.

g)퐴 = 1 2 −12 4 −2

∆ = 1 22 4 = 0

∆ = 1 −12 −2 = 0

∆ = 2 −14 −2 = 0

constatăm că toţi determinanţii de ordinul doi sunt zero, dar există un element diferit de zero şi atunci rang A=1.

12

2.Aflaţi rang A : a)퐴 = 1 5

−2 −10

b)퐴 = 9 3−2 4

c)퐴 =1 2 32 3 −11 4 6

d)퐴 =푚 1 11 푚 11 1 1

, discuţie după 푚 ∈ ℝ

e)퐴 =−5 2 1 3 0 1 10 −4 −2

6 0

−12

14. Matrice inversabilă

AM (ℂ)det 퐴 ≠ 0

→ 퐴 = 퐴∗ ∈ 푀 (ℂ),

퐴 -transpusa matricei 퐴∗-matricea adjunctă Observaţie: AM (ℤ) este inversabilă în M (ℤ) dacă și numai dacă det 퐴 = ±1.

1.Aflaţi 퐴 : a)퐴 = 2 4

3 7 ∈ 푀 (ℂ)

b)퐴 =2 5 32 0 −10 2 1

∈ 푀 (ℂ)

a) det 퐴 = 2 ≠ 0 → ∃퐴

퐴 = 2 34 7 → + −

− + sunt semnele locurilor,

iar în dreptul acestora vom scrie elementul obţinut prin bordarea(tăierea) liniei şi coloanei fiecărui element din matricea 퐴 , astfel

퐴∗ = +7 −4−3 +2 →

퐴 =1

det 퐴 퐴∗ =12

7 −4−3 2 ∈ 푀 (ℂ)

Verificare: 퐴퐴 = 퐼 sau 퐴 퐴 = 퐼 b) det 퐴 = 6 ≠ 0 → ∃퐴

퐴 =2 2 05 0 23 −1 1

Varianta1.

퐴∗ =+퐴 −퐴 +퐴−퐴 +퐴 −퐴+퐴 −퐴 +퐴

Bordăm prima linie şi prima coloană din 퐴 , calculăm determinantul care va ocupa locul 퐴

퐴 = 0 2−1 1 = 2 퐴 = 5 2

3 1 = −1

퐴 = 5 03 −1 = −5 퐴 = 2 0

−1 1 = 2

퐴 = 2 03 1 = 2 퐴 = 2 2

3 −1 = −8

퐴 = 2 00 2 = 4 퐴 = 2 0

5 2 = 4

퐴 = 2 25 0 = −10

13

퐴∗ =+2 −(−1) +(−5)−2 +2 −(−8)+4 −4 +(−10)

퐴 =1

det 퐴 퐴∗ =16

2 1 −5−2 2 84 −4 −10

∈ 푀 (ℂ)

Verificare: 퐴퐴 = 퐼 sau 퐴 퐴 = 퐼 Varianta2.

퐴 =푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

퐴 =푎 푎 푎푎 푎 푎푎 푎 푎

퐴∗ =퐴 퐴 퐴퐴 퐴 퐴퐴 퐴 퐴

matricea adjunctă este matricea complemenţilor algebrici obţinuţi din 퐴 prin bordarea(tăierea) liniei şi coloanei fiecărui element

퐴 = (−1)푎 푎푎 푎

퐴 = (−1)푎 푎푎 푎

... 퐴 = (−1)

푎 푎푎 푎

2.Aflaţi 퐴 : a)퐴 = −3 0

2 4

b)퐴 =−1 2 22 −1 22 2 −1

3.Determinaţi numerele întregi 푥 pentru care

inversa matricei 퐴 =1 푥 11 −1 1푥 −1 1

are elementele

numere întregi. (푏푎푐′2013) 4.Determinaţi inversa matricei 퐴(2), unde 퐴(푎) =

푎 1 11 푎 11 1 푎

. (푏푎푐′2013)

14

15. Aplicaţii în geometrie Fie punctele 퐴(푥 , 푦 ), 퐵(푥 , 푦 ), 퐶(푥 , 푦 ).

Ecuaţia dreptei 퐴퐵 este 푥 푦 1

푥 푦 1푥 푦 1

= 0.

퐴, 퐵, 퐶 coliniare ⟺ ∆ = 푥 푦 1푥 푦 1푥 푦 1

= 0

Aria triunghiului ABC este 푆 = |∆|.

1.În reperul cartezian xOy se consideră punctele 푃 (푛, 푛 ), 푛 ∈ ℕ∗. Determinaţi numărul natural 푛, 푛 ≥ 3, pentru care aria triunghiului 푃 푃 푃 este egală cu 1. (푏푎푐′2013) 푃 (1,1), 푃 (2, 2 ), 푃 (푛, 푛 )

∆ = 1 1 12 4 1푛 푛 1

= 푛 − 3푛 + 2

푆 =|∆|2 =

푛 − 3푛 + 22

푛 − 3푛 + 22 = 1

푛 − 3푛 + 2 = 2 푛 − 3푛 = 0 푛(푛 − 3) = 0 → 푛 = 3 2.Se consideră punctele 퐴 (2 , 3 ), 푛 ∈ ℕ. a)Scrieţi ecuaţia dreptei 퐴 퐴 . b)Demonstraţi că punctele 퐴 , 퐴 , 퐴 nu sunt coliniare. c)Determinaţi numărul natural 푛 pentru care aria triunghiului 퐴 퐴 퐴 este egală cu 216. (푏푎푐′2011)

Bibliografie

Manual pentru clasa a XI-a, Art Grup Editorial Manual pentru clasa a XI-a, Editura Mathpress Didactic.ro - comunitatea online a cadrelor didactice SUBIECTE EXAMENE NAŢIONALE