NOTE LP - webgarden · 1.Bioreactoare Principalul scop al biotehnologiei este obţinerea de produse...
Transcript of NOTE LP - webgarden · 1.Bioreactoare Principalul scop al biotehnologiei este obţinerea de produse...
ILEA MIHAI
SPECIALIZAREA: BIOTEHNOLOGII MEDICALE AVANSATE
FORMA DE INVATAMANT: MASTER, ZI
Modelarea, simularea şi optimizarea bioproceselor
NOTE LP
IASI 2010
1.Bioreactoare
Principalul scop al biotehnologiei este obţinerea de produse sau servicii utile activităţii
umane, cu ajutorul organismelor vii.Procesul de bază în biotehnologie este „procesul
biologic", după cum procesul de bază în tehnologia chimică este „procesul chimic". Spaţiul în
care se desfăşoară o reacţie sau un proces chimic se numeşte „reactor chimic". In mod
asemănător, spaţiul în care se desfăşoară un proces biologic se numeşte bioreactor.
'Deşi procesul de bază din tehnologia de biosinteză este „procesul biologic", el
aparţine, totuşi, domeniului ingineriei biochimice, care se ocupă de studiul proceselor de
fermentaţie aerobă şi anaerobă, al reacţiilor enzimatice, precum şi de procese specifice
industriei fermentative, cum ar fi: sterilizarea, . pasteurizarea, liofilizarea, uscarea prin
atomizare, izolarea şi purificarea produselor extrase din mediile biologice.
Descoperirile succesive şi dezvoltarea spectaculoasă a biotehnologiei au favorizat atât
studiul aprofundat al proceselor implicate, cât şi al aparaturii utilizate, în principal, al
bioreactoarelor. S-a născut astfel „bioingineria", care studiază bioprocesele sub toate aspectele
(modul de desfăşurare, cinetică, transfer de masă şi căldură), oferind soluţii de optimizare a
procesului biotehnologie.
În bioreactor, transformarea materiilor prime este realizată de sistemul enzimatic al
microorganismelor vii, al celulelor animale şi vegetale sau de enzimele izolate din acestea.
Reuşita experimentului biotehnologie depinde în cea mai mare măsură de condiţiile optime de
creştere a microorganismelor create în bioreactor. Celulele se luptă continuu cu modificările
din mediul înconjurător, astfel încât să obţină şi să-şi menţină condiţiile optime de creştere.
într-un bioreactor, această tendinţă a celulelor este asistată, este controlată în mod continuu.
Reactorul trebuie să asigure aprovizionarea continuă a celulelor cu mijloacele necesare
creşterii sau producerii de metaboliţi, asigurând pe cât este posibil valorile optime pentru pH,
temperatură, concentraţia substratului, concentraţiile în săruri minerale, factorii de creştere şi
pentru concentraţia în oxigen.
În legătură cu reactorul în care trebuie să aibă loc procesul biologic sau biochimic,
apar următoarele probleme importante:
care este cel mai bun reactor pentru o transformare biochimică dată;
cum se calculează mărimea şi volumul interior util, alte elemente constructive al
bioreactorului;
2. Metodologie de obţinere a modelelor unor clase de sisteme
biologice
Din punct de vedere sistemic, procesele biotehnologice şi sistemele biologice
(denumite generic biosisteme) au un pronunţat caracter neliniar. Deşi, în ceea ce priveşte
elaborarea unor clase de modele şi a unor sisteme de identificare şi conducere s-au făcut
progrese remarcabile, dezvoltarea şi implementarea unor metode moderne de conducere este
mai lentă în comparaţie cu alte domenii, în primul rând datorităfaptului că modelarea
biosistemelor este deosebit de dificilă.
Aceste sisteme sunt organisme vii sau conţin microorganisme vii şi prin urmare
dinamicile de creştere, transport şi propagare sunt greu de înţeles, neliniare şi cu întârzieri
(uneori variabile în timp). În al doilea rând, aplicarea unor strategii de monitorizare şi
conducere se confruntă în majoritatea cazurilor cu absenţa unei instrumentaţii
specifice, sigure şi ieftine, destinate măsurării directe şi/sau monitorizării în timp real a unor
variabile biologice şi biochimice.
2.1Obţinerea de modele ale bioproceselor cu propagare şi recirculare
Modelul general de stare a fost obţinut considerând că reacţiile care se desfăşoară în
bioreactor au loc în aceleaşi condiţii, adică mediul de cultură este omogen, fără gradienţi de
temperatură, concentraţie, pH sau viteză de reacţie. Prin urmare reactorul este cu amestec
perfect şi regimul dinamic a putut fi descris prin ecuaţii diferenţiale ordinare. Bioreactoarele
cu amestec imperfect sunt caracterizate de gradienţi diferiţi de concentraţie, viteză de reacţie
etc. şi dinamicile sunt descrise prin ecuaţii cu derivate parţiale
Sistemele cu propagare fac parte din categoria mai largă a sistemelor cu parametri
distribuiţi . Pentru obţinerea unor modele utile în conducere, o metodă constă în aproximarea
modelelor infinit dimensionale prin unele de ordin redus descrise prin ecuaţii cu parametri
concentraţi, scrise în anumite puncte plasate de-a lungul reactorului. O metodă de alegere a
acestor puncte o constituie colocarea ortogonală, în cadrul căreia punctele de discretizare
spaţială corespund rădăcinilor unor polinoame ortogonale de tip Jacobi sau Legendre. Metoda
oferă avantaje legate de uşurinţa implementării ei şi de faptul că natura şi dimensiunea
variabilelor de stare rămân neschimbate după reducere. După deducerea unui model dinamic
general al bioreactoarelor cu strat fix, descris prin ecuaţii diferenţiale cu 5 derivate parţiale,
utilizând colocarea ortogonală, se prezintă modul de reducere la un model descris prin ecuaţii
diferenţiale ordinare. Prin numeroase experimente realizate prin simulare, efectuate pe un
bioreactor cu strat fix, s-a constatat că sistemul de ordin redus, utilizând metoda prezentată,
realizează cea mai bună aproximare a sistemului exact şi poate fi utilizat în proiectarea unor
algoritmi de conducere.
În numeroase aplicaţii industriale, bioreactoarele refolosesc o parte din biomasă prin
recircularea acesteia. Pentru aceasta, biomasa trebuie separată de substraturi şi de produşii de
sinteză în separatoare speciale, apoi este transportată de la separatoare înapoi în reactorul
principal. Timpul de transport determină apariţia întârzierilor şi complică dinamicile
procesului. Avantajele recirculării sunt legate de creşterea productivităţii şi de reducerea
costurilor. Un exemplu de astfel de bioproces este cel de tratare a apelor reziduale de tip
noroi activat.
2.2Modelarea proceselor de depoluare biotehnologice din staţiile de
tratare şi epurare a apei
Utilizarea metodelor moderne pentru conducerea proceselor de depoluare este încă
destul de redusă . În comunitatea ştiinţifică există o preocupare majoră privind modelarea şi
conducerea bioproceselor de depoluare. Printre cele mai utilizate proceduri biotehnologice de
depoluare a apelor reziduale se numără bioprocesul de tip noroi activat şi bioprocesul de
descompunere anaerobă cu producere de gaz metan, analizate pe larg într-o serie de lucrări
elaborate în cadrul grantului .
Bioprocesul de descompunere anaerobă cu producere de gaz metan este un proces
biotehnologic de mare importanţă folosit pentru tratarea resturilor organice şi a apelor
reziduale. Tipul procesului este de fermentaţie anaerobă şi constă în patru faze metabolice:
două pentru producerea de acizi şi două pentru metanizare . Schema de reacţie a procesului
este complexă şi cuprinde m = 4 reacţii şi n = 10 componente. Modelul dinamic asociat
schemei de reacţie se încadrează în clasa reprezentată de modelul general (11). Acest model
(de ordin zece) poate fi simplificat utilizând tehnica perturbaţiilor singulare şi prin luarea în
consideraţie a unor aspecte tehnologice.
Procesul noroiului activat este un bioproces aerobic de tratare a apelor reziduale în
staţiile de epurare, care se desfăşoară în bioreactoare cu recirculare. Uzual, procesul se
desfăşoară în două reactoare secvenţiale Procesul poate fi descris astfel:
1) Degradarea biologică a produselor poluante se realizează în primul reactor
(aerator).
2) Sedimentarea noroiului ce conţine biomasa are loc în cel de-al doilea reactor
(settler), unde lichidul este decantat (limpezit). Acest proces poate fi modelat cu două tancuri
reactoare cu amestec perfect, interconectate, unde unul dintre reactoare conţine apa "curată",
iar celălalt conţine noroiul sedimentat (biomasa concentrată). O parte a biomasei concentrate
din separator este retrimisă în aerator.
Modelul matematic al bioprocesului noroiului activat se obţine prin utilizarea schemei
de reacţie şi prin aplicarea ecuaţiilor de bilanţ masic . Modelul dinamic astfel obţinut se
încadrează în clasa generală (11) şi poate fi redus prin aplicarea teoriei perturbaţiilor
singulare.
2.3Metode Bond Graph de modelare a unor clase de bioprocese
neliniare
Din punct de vedere al tehnicilor de obţinere şi prelucrare a modelelor, deosebit de
interesantă este modelarea Bond Graph , cu aplicaţii mai vechi la sisteme biologice, dar
nedezvoltată încă suficient pentru bioprocese. Conceptul Bond Graph a fost introdus în anii
„60 de către H. M. Paynter şi dezvoltat în următoarele decenii, metoda fiind intens folosită în
analiza şi proiectarea sistemelor de diferite naturi - electrice, mecanice, hidraulice şi
combinaţii ale acestora - şi adaptată şi pentru studiul sistemelor chimice, termice , biologice,
biochimice, biomedicale şi biotehnologice .
În procesul de modelare a bioproceselor a fost folosită o alternativă a metodei Bond
Graph - pseudo Bond Graph-ul, caracterizat prin aceea că produsul variabilelor efort şi flux
asociate unei legături nu mai are dimensiunea unei puteri - adaptată particularităţilor
reacţiilor biochimice, păstrându-se atât caracteristica unitară de modelare cât şi avantajele
metodologiei de bază; proprietăţile clasice (clasificarea în elemente R, C şi I, afectarea
cauzalităţii, convenţia de semne) ale unui Bond Graph real rămân valabile pentru un pseudo
Bond Graph. Pentru exemplificare s-a ales modelarea procesului de fermentaţie
anaerobă de tratare a resturilor organice din apele reziduale.Modelul s-a obţinut pornind de
la schema de reacţie şi prin analiza fenomenelor din interiorul reactorului
Direcţia semisăgeţilor în model corespunde sensului reacţiei, de la reactanţi către
produşii de reacţie, iar bilanţurile masice ale componentelor sunt reprezentate prin cinci
joncţiuni 0. Acumularea componentelor în reactor este reprezentată prin bondurile 2, 9, 13, 21
şi 24 şi este modelată cu ajutorul elementelor capacitive C, cantităţile de substanţă ce nu
reacţionează sunt modelate prin elemente rezistive R (bondurile 3, 10, 14, 20 şi 25), iar
debitul masic al componentei ce intră în reacţie este modelat prin intermediul unei surse de
flux Sf. Pentru modelarea vitezelor de reacţie s-au folosit două elemente rezistive modulate
MR6 şi MR17.
Cercetările desfăşurate în cadrul proiectului au condus la obţinerea în premieră a unor
modele Bond Graph pentru bioprocese desfăşurate în principalele tipuri de bioreactoare
(batch, fed-batch şi continue): atât prototipuri simple, cât şi procese complexe (fermentaţie
anaerobă cu biometanizare - prezentat anterior, procesul de creştere microbiană combinat cu
cataliză enzimatică, procesul de depoluare de tip noroi activ etc.).
2.4 Analiza stabilităţii biosistemelor cu întârziere- abordări bazate pe
interpretări geometrice şi algebrice
O mare parte din modelele utilizate pentru studiul biosistemelor sunt scrise sub forma
unor ecuaţii diferenţiale cu argument întârziat numite şi ecuaţii diferenţiale cu timp mort.
Deşi literatura cu privire la stabilitatea sistemelor dinamice cu argument întârziat este vastă,
există doar două abordări principale:
- Studiul în domeniul frecvenţă - aici sunt incluse: testele analitice care extind metoda
lui Hurwitz la sisteme dinamice cu întârzieri, generalizări ale metodelor de localizare a
rădăcinilor (D-descompunere şi Tdescompunere), teste de stabilitate bazate pe integrarea pe
contur, şi proceduri bazate pe studiul spectrului operatorului asociat sistemului liniar
considerat.
- Studiul în domeniul timp - pot fi menţionate aici generalizări ale metodei a doua a
lui Lyapunov şi metode bazate pe principiul comparaţiei. Deşi principiul comparaţiei a fost
dezvoltat iniţial în domeniul timp, idei similare pot fi găsite şi în domeniul frecvenţă.
Alegerea clasei de sisteme dinamice liniare studiate este motivată de modele existente
în literatura de specialitate Vom propune o metodă uşor de utilizat pentru obţinerea
regiunilor de stabilitate ale sistemelor dinamice din clasa studiată.
Astfel de densităţi au fost folosite în diverse modele pentru o descriere cât mai realistă
a dinamicii unor procese biologice. De exemplu, densitatea prezentată anterior poate
reprezenta distribuţia întârzierilor în procesul de atingere a maturităţii pentru celulele stem
Studiul efectuat se bazează pe o interpretare geometrică a ecuaţiei caracteristice ce
descrie clasa de sisteme dinamice cu întârzieri distribuite considerată. Această
interpretare geometricăpermite obţinerea mulţimii frecvenţelor corespunzătoare punctelor de
trecere a soluţiilor ecuaţiei caracteristice din semiplanul drept al planului complex în cel
stâng sau invers. . Metoda care ne permite să determinăm direcţia în care trec rădăcinile axa
imaginară atunci când traversăm o curbă7de stabilitate, se bazează pe teorema funcţiilor
implicite. Studiul s-a concentrat până acum pe analiza clasei generale de sisteme descrise de
(1) iar în continuare ne propunem aplicarea efectivă a metodologiei pentru studiul unor
modele teoretice de biosisteme. Analiza va fi completată de compararea rezultatelor cu date
concrete provenite de la specialişti în disciplinele aplicate corespunzătoare.
2.5Modelarea mecanismelor de transmisie de la celulă la celulă prin
sisteme cu întârzieri.
Modele hibride bazate pe distribuţii de probabilitate (interacţiuni celule bolnave /
sănătoase, mecanisme imunologice). Un domeniu actual este cel al studiului întârzierilor în
modelele biosistemelor. Fenomene cum ar fi reacţiile cu propagare (bioprocese cu propagare,
inclusiv de depoluare), procesele de transport (reactoare cu recirculare, mecanisme de
respiraţie), fazele intracelulare scurte şi de latenţă (în epidemiologie), propagarea infecţiilor
etc., sunt caracterizate de prezenta întârzierilor, constante sau variabile în timp. O clasă tipică
de biosisteme neliniare cu întârzieri, de mare importanţă în medicină, este cea a modelelor
care descriu mecanismele de transmisie de la celulă la celulă (cell-to-cell spread), prezente de
exemplu în HIV . Neglijarea constrângerilor de timp în procesul de modelare generează
estimarea eronată a numărului de celule bolnave/sănătoase şi reduce eficienţa tratamentului.
Modelarea acestor biosisteme presupune analiza detaliată a dinamicilor, stabilităţii şi
influenţei întârzierilor asupra stabilităţii.
2.6Modele neliniare ale dinamicii populaţiilor – creştere, echilibru,
competiţie
Modelarea biosistemelor presupune un efort interdisciplinar de înţelegere a
conexiunilor complexe dintre structuri sau compartimente însoţite de fenomene de transport,
propagare şi creştere la diverse nivele (substanţă, energie, informaţional) Deşi această
reprezentare este validă în mod natural pentru toate mecanismele de abstractizare, ea se aplică
în mod specific pentru clase de modele care descriu dinamica biosistemelor: creşterea şi
competiţia populaţiilor de microorganisme, mecanisme epidemiologice.
2.7 Modelarea unor bioprocese complexe desfăşurate în
bioreactoare batch şi fed-batch
Bioprocesele se desfăşoară în bioreactoare (reactoare biochimice), care din punct de
vedere fizic sunt recipiente în care au loc mai multe reacţii biologice simultan într-un mediu
de cultură .În funcţie de procesul desfăşurat, bioreactoarele se clasifică în:
1. Bioreactoare închise (batch), care nu au debite de intrare sau de ieşire şi biomasa se
recoltează periodic;
2. Bioreactoare fed-batch, în care se introduce continuu substrat, iar recoltarea
biomasei se face periodic;
3. Bioreactoare continue (în flux). În ultimii ani, numărul proceselor batch şi fed-batch
este în creştere: procese enzimatice, culturi vegetale, procese de depoluare etc. De exemplu, în
domeniul depoluării, reactoarele continue (pentru procese de tip noroi activat) au început să
fie înlocuite cu reactoare batch secvenţiale
Prin utilizarea schemelor de reacţie, a ecuaţiilor de bilanţ masic şi prin aplicarea unor
reguli sistematice de modelare se poate obţine un model dinamic de stare al bioproceselor
3. Notiuni de statistica pentru un proces biochimic
Statistica este asociata cu un anumit tip de prelucrare a informatiilor din lumea înconjuratoare
si anume acel tip de prelucrare care clasifica, centralizeaza informatiile în tabele, si grafice,
grupeaza informatiile, descopera legaturi între ele, descopera eventuale cauzalitati, analizeaza
fenomene complexe. Fenomenele macroeconomice, care cer manipularea si interpretarea unei
cantitati uriase de date sunt deseori explicate prin estimari de natura statistica. Aprecierea
evolutiei unui fenomen biochimic sau social în timp si estimarea modului lui de evolutie în
viitor se face cu ajutorul statisticii. Estimarea consumului anumitor tipuri de alimente,
estimarea modului de evolutie a popularitatii diferitelor personalitati, partide, se realizeaza de
asemeni prin sondaje statistice complexe, elaborate.
Utilitatea statisticii este pusa mai bine în evidenta atunci când trebuie studiate
fenomene complexe în care intervin factori sau marimi care se afla în relatii comp
Daca însa am dori, în mod utopic, sa calculam numarul de leucocite pe care ar trebui
sa la aiba pacientii care sufera de o anumita afectiune având datele generale despre
acea afectiune si folosind cunostintele de fiziologie, biochimie, biofizica, etc, nu vom
avea nici un succes.
Variabilele care ar trebui sa intre în calcul sunt atât de multe si atât de complex depind
unele de altele încât orice încercare de cuprindere în formule matematice este sortita
esecului. În asemenea cazuri, numai abordarea statistica este posibila. Se poate doar,
eventual afirma, ca exista o tendinta (semnificativa din puncte de vedere statistic), ca
numarul de leucocite sa depinda într-o anumita masura de unul sau mai multi factori, si se
pot chiar cuantifica aceste legaturi de dependenta. De aceste probleme se ocupa unul din
capitolele importante ale statisticii, capitol tratat si în aceasta carte, anume teoria corelatiei
lexe ce nu pot fi descrise satisfacator prin ecuatii sau formule, sau prin relatii cantitative de
dependenta.
De fapt, biologia si medicina lucreaza cu concepte, fapte, notiuni, dintre care doar o
mica parte se preteaza la o interpretare determinista, exacta. Chiar daca avem impresia
ca majoritatea afirmatiilor de baza din medicina sunt suficient de clare, lamurite si
întelese, prea putin ne dam seama ca, de fapt, majoritatea lor sunt numai de natura
statistica si ca trebuie bineînteles interpretate ca atare.
.
3.1 Populatii statistice, indivizi statistici
Introducem câteva notiuni specifice cu care opereaza statistica si cu care vom lucra în
capitolele ce urmeaza. Fiind o stinta care nu lucreaza cu fenomene strict deterministe, toate
afirmatiile statisticii se refera nu la evenimente sau obiecte singulare ci sunt deduse prin
observarea unei multimi cât mai cuprinzatoare de obiecte sau fenomene. Desigur, nu se pot
face generalizari pripite din studierea unui caz sau a câtorva cazuri si este destul de clar pentru
oricine ca o generalizare este cu atât mai valoroasa cu cât au fost observate un numar mai
mare de cazuri. Aici însa apare problema de a face o apreciere corecta a numarului de
observatii efectiv realizate, raportat la numarul posibil de observatii.
Daca ne propunem sa facem un studiu asupra unei afectiuni foarte raspândite, cum ar
fi hipertensiunea arteriala esentiala (HTA), concluzii valabile nu se pot trage decât pe baza
unui numar de cazuri de cel putin câteva mii sau zeci de mii, dar în cazul unei maladii rare
cum sunt unele din anomaliile cromozomiale de exemplu, un astfel de numar de cazuri pur si
simplu nu poate fi gasit în aria de cercetare considerata, uneori nici pe întregul glob. Oricum,
în general vorbind, este bine ca, în limita posibilitatilor, studiul sa se faca pe un numar cât mai
mare de indivizi.
Pentru prelucrarea datelor despre pacienti, prin metode statistice, este necesara clarificarea
câtorva principii fara de care este posibil ca munca de introducere a datelor precum si efortul
de prelucrare sa fie irosite în zadar, fie pentru ca odata introduse datele sa constatam ca nu
avem la îndemâna notiunile de baza cu ajutorul carora sa ne ghidam în hatisul de metode, fie
pur si simplu sa constatam ca nu am introdus corect datele si deci o reprelucrare sau, mai rau,
o reintroducere a datelor sa fie necesara.Cea mai generala notiune pe care trebuie sa o
discutam este cea care se refera la totalitatea cazurilor, elementelor, obiectelor care au în
comun trasatura sau proprietatea studiata de noi.
3.2Caracteristici, variabile
Organismul uman, cel mai complex sistem existent în natura, nu poate fi descris exact
nici prin tomuri întregi de descriere în cuvinte si nici prin numre oricât de multe am folosi.
Omul este capabil sa descrie numai anumite trasaturi sau proprietati ale organismului sau.
Trebuie sa fim constienti ca desi numarul de trasaturi ale organismului pe care le studiaza
anatomia, biochimia, biofizica, fiziologia si toate celelalte discipline este enorm, niciodata nu
vom fi capabili sa descriem exact organismul uman, caci numarul de trasaturi de care am avea
nevoie este practic infinit. Trasaturile sau proprietatile organismului uman sunt denumite în
statistica caracteristici si sunt cuprinse în categoria generala de date,.
Numim caracteristica o proprietate comuna tuturor indivizilor dintr-o populatie statistica
data.Caracteristicile sunt ceea ce în limbajul obisnuit întelegem prin atribut, calitate. Din
punctul de vedere al statisticii medicale, caracteristicile sunt de doua tipuri
fundamentale: cantitative si calitative.
Caracteristicile cantitative sunt acelea care prin natura lor sunt masurabile, adica
pentru care exista unitati de masura si o conventie de masurare general acceptata. În
aceasta categorie intra toate constantele fiziologice, biochimice, biofizice, unele
anatomice, care în general pot fi determinate prin masuratori uzuale sau de laborator:
înaltime, greutate, vârsta, glicemie, calcemie, hemoglobina, numar eritrocite, forta
musculara, viteza de reactie, nivel de inteligenta (QI), dar si marimile referitoare la
celule, organite, sinapse, vezicule, membrane, etc. Ele sunt totdeauna exprimate cifric
într-un mod precis, obiectiv.
Caracteristicile calitative, sunt cele care nu pot fi masurate prin metode obiective,
cantitative, ci se exprima descriptiv prin termeni calitativi: culoare, forma, consistenta,
aspect, etc. Caracteristicile calitative nu au o unitate de masura general acceptata si
deci nu pot fi exprimate cifric, ca rezultat al unor masuratori. Ele sunt adesea
subiective si de obicei exprimate analogic si nu numeric.
Caracteristicile cantitative sunt si ele subîmpartite în doua categorii fundamentale:
Daca masuratorile pot da orice numar cuprins între doua limite date, zecimal sau nu,
caracteristica respectiva este o caracteristica continua.
Daca însa valorile nu pot fi decât în numar finit, de obicei întreg, caracteristica se
numeste discreta.
3.3 Variabilitate
Medicina este stiinta care trebuie sa puna ordine într-un ocean de variabilitate. Cauzele
care conduc la date de o variabilitate mai mica sau mai mare sunt atât obiective cât si
subiective. Variabilitatea contine atât variatiile biologice normale si patologice cât si
variatiile datorate procesului de masurare si variatii întâmplatoare carora nu li se pot da
explicatii logice.
Variatia biologica este o suma de factori necunoscuti care contribuie fiecare cu mici
efecte aleatoare la valori mai mici sau mai mari. Sunt nesistematice, adica variatiile sunt în
plus sau în minus, întâmplatoare atât ca semn cât si ca amplitudine.
Variatia asociata cu conditiile de observare apare atunci când masuratorile se fac
în conditii despre care se stie ca afecteaza rezultatele. De obicei sunt sistematice, afectând
majoritar în plus sau majoritar în minus.
Variatia datorata masuratorilor, sau erorile de masuratoare sunt datorate numai
procesului de masurare în sine si pot fi aleatorii sau sistematice. Cele aleatorii sunt erori
inerente datorate preciziei limitate de observare a celui care masoara sau preciziei limitate a
aparatului de masura. Cele sistematice apar daca aparatul de masura este prost calibrat sau
experimentatorul are tendinta de a face citiri de obicei în minus sau de obicei în plus.
Variatiile întâmplatoare, fac ca observatiile sa fie centrate pe media reala, în timp ce
variatiile sistematice fac ca observatiile sa fie centrate fie pe valori mai mari, fie pe valori
mai mici decât media reala. În timp ce variatiile biologice sunt de neocolit, obiective,
celelalte tipuri de variabilitate enumerate mai sus sunt considerate ca factori care perturba
procesul de observare si care trebuie pe cât posibil minimizate. Pentru aceasta se folosesc în
medicina aparate si metode de masurare din ce în ce mai perfectionate care sa micsoreze cât
mai mult erorile.
3.4Tabele de frecventa
Datele culese si înregistrate pot contine informatii despre diversi parametri care au
fost urmarite fie din necesitatea de a face un studiu anume fie, pur si simplu pentru ca
urmarirea lor are importanta pentru indivizii la care au fost masurate sau pentru cel care
face studiul, adica pentru medic. La fiecare individ s-au înregistrat poate mai multi
parametri care sunt în anumite relatii de dependenta unii cu altii, fiecare dintre ei
participând într-o anumita masura la edificarea specialistului atât în ceea ce priveste
situatia individuala a pacientilor cât si a întregului lot. Tabelele din care este alcatuita o
baza de date contin datele nesistematizate, ele urmeaza de obicei o ordine aleatorie, sau
sunt ordonate dupa un criteriu cum ar fi cel alfabetic, sau în ordinea codurilor.
3.5 Înregistrarea datelor
Pâna la aparitia calculatoarelor moderne s-a obisnuit ca informatiile din domeniul
biochimiei sa fie pastrate în general în fisele cercetatorilor de diferite tipuri care sunt destul
de greu de mânuit, în special atunci când este nevoie sa se realizeze o cercetare a situatiei pe o
perioada mai îndelungata de timp. Calculatoarele ofera posibilitatea înregistrarii facile a
informatiei si, avantaj esential, accesul la informatie este foarte rapid iar prelucrarea datelor
poate fi deosebit de complexa. Este foarte important ca fiecare biochimist sa înregistreze
toate datele semnificative despre pacientii sai fiindca acest lucru usureaza în mod evident
activitatea de zi cu zi si modul în care acestia sunt observati si tratati. De fapt, înregistrarea
datelor are un caracter continuu, iar prelucrarea lor se poate face permanent, pe masura ce
datele se acumuleaza, de obicei concluzii interesante si valide aparând doar dupa luni sau
chiar ani de înregistrari. Astfel, se pot naste ipoteze de lucru care mai apoi pot fi testate prin
metode statistice elaborate si se poate verifica veridicitatea lor.Datele se înregistreaza pe
calculator în tabele primare, sa le numim tabele de date, sau tabele de pacienti, care pot fi
legate între ele prin natura datelor pe care le contin si se constituie în asa-numitele baze de
date. Prelucrarile statistice de baza pot fi facute prin înregistrarea datelor în tabele simple, de
aceea vom discuta în continuare despre date tabelate.
4. Informaţia Analitică a bioproceselor
Se vorbeşte de o analiză chimică atunci când activitatea depusă, de o persoană, grup
sau organizaţie, are drept rezultat cel puţin o caracteristică chimică calitativă (adică o
proprietate ce indică prezenţa sau absenţa unei specii chimice) sau cel puţin o cifră care
indicăun conţinut dintr-o specie sau material dat. Ansamblul de operaţii şi măsurători, plus
condiţiile experimentale, menite să dea, măcar în parte, compoziţia fizico-chimică a unei
"probe" din material, produs sau ţesut biologic, convenim să-l numim sistem analitic.
Supunând un material (numit probă) operaţiilor unui sistem analitic, consumând reactivi şi
materiale auxiliare (de exemplu detergenţi), energie şi manoperă (lucrul efectiv), se obţine
răspuns la una din întrebările:
Este prezentă specia (caracteristica) X în probă?
În ce cantitate este prezentă specia X?
A răspunde doar la întrebarea (a) înseamnă a face o analiză chimică calitativă
iar a răspunde la întrebarea (b) înseamnă a executa o analiză chimică
cantitativă.
A răspunde la ambele întrebări pentru toate speciile cunoscute constituie
analiza completă.
Dacă se urmăreşte evoluţia unei anumite mărimi analitice, în timp, spunem că
se realizează monitorizare a acesteia. Deci, numim monitorizarea factorilor
poluanţi, măsurarea periodică, la intervale predeterminate de timp, a
concentraţiei unuia dintre factorii poluanţi ai mediului
Schematic, un proces prin care se obţin analize chimice are o structură asemănătoare
cu un flux tehnologic şi convenim să-l numim de aceea flux analitic. Se remarcă faptul că
rezultatul unui astfel de flux este o informaţie, adică un rezultat însoţit de o eroare
4.1 Analiza calitativă şi cantitativă in bioprocese
În trecut, rezultatele analizelor în medicină erau obţinute în mod calitativ, de aceea,
majoritatea diagnosticelor erau bazate pe simptoame şi/sau examinările cu raze X, deşi era
cunoscut faptul că multe boli fiziologice erau însoţite de schimbări chimice în lichidele
metabolice . Uneori erau utilizate teste pentru a detecta componenţii normali sau anormali în
diferite probe recoltate pentru analiză. Aceste teste în procedee prin intermediul cărora a
devenit posibilă determinarea cantitativă a componenţilor incluşi Pe măsură ce precizia a
crescut şi au fost stabilite proporţiile normale, a devenit clar că rezultatele de laborator au
putut fi folosite în scopul precizării diagnosticelor . În prezent, pentru examinarea medicală
generală a unui bolnav sau pentru a diagnostica un ansamblu specific de simptoame este
nevoie de o serie de analize cantitative ale unor probe recoltate din corpul omenesc. În viitor,
astfel de probe se estimează că vor deveni din ce în ce mai numeroase, iar rezultatele
analizelor vor putea fi la îndemâna medicului, jucând un rol esenţial la stabilirea
diagnosticului. În ultimul timp, peste douămiliarde de probe sunt executate anual în
laboratoarele clinicilor medicale şi acest număr creşte mereu. Majoritatea acestor teste includ
determinarea glucozei, ureei, proteinelor, sodiului, calciului, HCO3-/H2CO3, acidului uric şi
pH-ului .
4.2 Procedeul analitic şi alegerea unei metode de analiză
Prima etapă în realizarea unui procedeu analitic o constituie stabilirea obiectivului
care se urmăreşte. Numai identificând clar scopul propus, se poate imagina o cale logică care
să conducă la rezolvarea corectă a problemei Se pot pune mai multe întrebări.
De exemplu: Ce fel de probă este: organică sau anorganică? Ce informaţie se caută?
Care este precizia cerută? Este o probă mare sau una mică? Componenţii de interes sunt
majoritari în probă sau sunt constituenţii minori? Ce obstacole există? Câte probe trebuie să
fie analizate? Există echipament şi personal corespunzător? O importantă sarcină care-i
revine analistului este de a alege o metodă analitică care să conducă la cea mai bună rezolvare
a scopului urmărit. Există cazuri în care libertatea de alegere este limitată; analizele privind
apa sau produsele farmaceutice trebuie să fie efectuate prin procedee aprobate de standardele
legale . Odată ce este definit obiectivul analizei, trebuie ca la alegerea metodei de analiză să
se precizeze o serie de factori cum sunt: domeniul de concentraţie, precizia şi sensibilitatea
cerute, selectivitatea şi rapiditatea
A. Exactitatea
Este măsura încrederii acordată măsurătorii efectuate cu un mijloc de măsură. Aceasta
se referă la sistemul analitic, în ansamblu, indiferent de locul şi timpul măsurătorii. Exactitate
a se măsoară folosind un material (substanţă) zis etalon - în care încrederea este deplină.
Diferenţa dintre valoarea adevărată, adică aceea recunoscută unanim, şi cea măsurată o
denumim eroare. Este esenţial ca etalonul să fie recunoscut de toate laboratoarele interesate.
Exactitatea este măsurată şi de corelaţia ce există între un standard şi o probă, la măsurători
repetate. În acelaşi timp, exactitatea estimează posibilitatea de apariţie a erorilor sistematice.
B. Precizia
Gruparea analizelor individuale în jurul valorii medii se evaluează prin precizie. Schiţa de mai
jos ne permite să caracterizăm două trageri la ţintă, una precisă şi alta imprecisă Noţiunea de
precizie este sinonimă cu aceea de reproductibilitate şi se exprimă tot în procente utilizând
abaterea standard a mediei de selecţie.
C.Selectivitatea
Selectivitatea sau specificitatea este măsura în care rezultatul unei analize este
influenţat de prezenţa unui alt component. De exemplu, pentru identificarea ionului Ni
2+ avem la dispoziţie un reactiv numit dimetilglioximă, ce nu reacţionează cu nici un alt ion.
Spunem că aceasta este o reacţie specifică (şi deci metoda este selectivă). Cu alte cuvinte
analiza nu este influenţată de concentraţiile altor ioni aflaţi în aceeaşi soluţie. Selectivitatea
indică, prin valoarea sa, interferenţa altor ioni (sau, mai general, a altor specii chimice).
D.Rapiditatea
Se măsoară în unităţi de timp per analiză iar costul la preţul unei analize incluzând:
materialele, manopera, chiria laboratorului, amortizarea aparatelor (uzura mijloacelor fixe),
costurile reactivilor folosiţi, energia şi apa.
4.3. Tipuri de metode analitice pentru bioprocese
Metodele analitice de pot clasifica pe tipul şi starea fizică a probei, scopul analizei,
mărimea probei sau după tipul metodei analitice. După acest din urmă criteriu, metodele
analitice se împart în metode chimice şi metode instrumentale. Metodele chimice se
bazează pe diferite operaţii chimice folosind sticlăria uzuală de laborator formată din aparate
simple. În general în aceste metode se măsoară masa sau volumul. Metodele instrumentale
implică utilizarea unui echipament complex, bazat pe principii electronice, optice sau termice.
În aceste cazuri, se măsoară diferite proprietăţi corelate cu compoziţia probei. Cele mai bune
rezultate se obţin prin cuplarea tehnicilor chimice cu cele instrumentale Fiecare categorie de
metode prezintă avantaje şi dezavantaje, şi alegerea metodei sau complexului de metode
trebuie să se facă minimizând interferenţa dezavantajelor şi maximizând influenţa avantajelor
asupra cerinţelor concrete ale analizei de efectuat. Avantajele metodelor instrumentale:
determinarea este foarte rapidă; pot fi utilizate probe mici; pot fi cercetare probe complexe;
prezintă o sensibilitate ridicată; dau un grad mare de siguranţă rezultatelor măsurătorilor.
Avantajele metodelor chimice: procedeele sunt simple şi precise; metodele se bazeazăîn
general pe măsurători absolute; echipamentul necesar nu este scump. Din prezentarea
avantajelor, nu trebuie să se tragă concluzia că metodele instrumentale le-au înlocuit pe cele
chimice. În practică, metodele chimice constituie parte integrantă dintr-o metodă
instrumentală. Astfel, în orice analiză există etape ca: prelevarea probelor; dizolvarea;
schimbări în starea de oxidare; îndepărtarea excesului de reactiv; ajustarea pH-ului; adăugarea
de agenţi de complexare; precipitarea; concentrarea; îndepărtarea impurităţilor. Unele dintre
aceste metode implică utilizarea metodelor de separare. Dezavantajele metodelor chimice:
uneori lipseşte specificitatea; realizarea unei analize ia de obicei un timp destul de lung;
precizia scade odată cu micşorarea cantităţilor de probă(măsurători absolute); sunt lipsite de
flexibilitate; sunt poluante pentru mediul înconjurător. Dezavantajele metodelor
instrumentale: este necesară o etalonare iniţială sau continuăa aparatului; sensibilitatea şi
precizia depind de aparatura sau metoda chimică de etalonare; precizia finală se află adesea în
domeniul ±5%; costul iniţial şi pentru întreţinerea echipamentului este ridicat; intervalul de
concentraţie este limitat (măsurători relative); în mod obişnuit, necesită spaţiu destul de mare;
implică un personal cu o pregătire specială
5. ANALIZA DATELOR ÎN FARMACOCINETICĂ ŞI
FARMACODINAMIE
Farmacocinetica poate fi definită ca studiul cineticii de absorbţie, distribuţie, metabolism şi
excreţie a medicamentelor împreună cu răspunsul farmacologic, terapeutic sau toxic
corespunzător pentru om sau animale. Ea descrie procesul dependent de timp al controlului
moleculei de medicament şi a metabolismului ei în perioada de trecere prin corp din
momentul administrării dozei medicamentoase şi până la părăsirea moleculelor ţesutului.
Principiile farmacocineticii se bazează pe ecuaţii şi modele matematice care caracterizează
absorbţia medicametului, distribuirea, biotransformarea, excreţia lor şi suportul terapiei
medicamentoase .
Analiza compartimentată utilizează metodele matematice ce descriu în termenii unui model
comportamentul biologic al unui sistem. Compartimentele reprezintă locaţii fizice în corpul
uman sau animal, ce pot fi simplificate în timpul modelării ; exemple : tractul gastrointestinal
împreună cu segmentele lui (suprafeţe de absorbţie localizate după
administrare intramusculară sau subcutantă şi sunt denumite compartimente de intrare),
spaţiul biologic lichid (sânge, plasmă, denumite compartimente centrale ), alte locaţii
fiziologice în care medicamentul se poate distribui după absorbţie şi să persiste în sânge
(spaţiul extracelular din ţesuturi şi organe), parteneri de reacţie biologică (receptorii,
enzimele şi proteinele) cât şi „valorile” medicamentelor excretate în urină şi fecale (cele
implicate în distribuţie, biotransformări şi excreţie se numesc compartimente de dispoziţie).
Practic toate medicamentele trec prin faza de biotransformare în produse metabolice, fiecare
produs îşi expune comportamentul de distribuţie şi de aceea adesea apare cazul când o
mulţime sau mai multe de compartimente periferice şi centrale sunt necesare pentru
reprezentarea cinetică a metabolismului într-un model. Modelele compartimentate încearcă
să descrie următoarele procese matematizate : absorbţia medicametului administrat, intrarea în
circulaţia sistemică, distribuirea către organe şi ţesuturi unde apare metabolismul şi
subsecvenţa de excreţie. Una dintre condiţiile ce trebuiesc îndeplinite ale modelului
compartimentat este echilibrul maselor, adică, suma valorilor dozelor medicametului în toate
compartimentele după dozare e constantă şi egală cu valoarea dozei administrată. Pe de altă
parte, concentraţiile medicamentului în compartimentele individuale se vor schimba cu timpul
datorită transferului
de medicament de la un compartiment la altul, atâta timp cât starea staţionară e realizată.
Fiecare rată de transfer într-un model compartimentat e reprezentată matematic de un
coeficient diferenţial dc/dt.
În cazul cineticii liniare masa transferată între compartimente poate fi descrisă printr-o rată
de creştere sau descreştere a concentraţiei unui medicament, rată care e direct proporţională
cu concentraţia medicamentului în acel compartiment. Astfel modelele liniare reprezintă
farmacocinetica dozelor proporţionale în care rata transferului de medicament de la
compartimentul i la j reprezintă produsul dintre constanta ratei şi valoarea concentraţiei dozei
în compartimentul i. Modelul compartimentat standard determină următorii parametri primari:
b1, b2 (părţi ale funcţiei exponenţiale ce reprezintă legătura „timp-concentraţie”), kij
(constanta masei de transfer între compartimentele i,j), k e (constanta de eliminare din
compartimentul central). Modelul compartimentat definit de utilizator este
tot liniar şi prezintă avantajele :
nu e necesar să dezvolte soluţii analitice generale pentru un număr
mare de modele
construirea modelelor şi accesul la programe se face uşor
utilizatorul nu necesita cunoştinţe speciale de matematică sau
programare
În cazul cineticii neliniare nu avem proporţionalitate directă între rata transferului dozei şi
concentraţia ei; ea apare ca o consecinţă a procesului de transfer saturat (capacitatea de
transfer limitată), iar modelul poate fi descris utilizând expresia de tip Michaelis-Menten (în
reprezentare intervine rata de transfer maximă ce descrie capacitatea procesului saturat, şi
o constantă ce reprezintă afinitatea de transfer). Principalele cauze de neliniaritate în cadrul
modelului compartimentat neliniar sunt limitările impuse valorilor sau concentraţiilor din
cadrul reacţiilor biologice partenere ce se implică în dispunerea medicamentului (de exemplu,
enzimele, receptorii sau proteinele plasmei).
Câteva exemple ce ilustrează cazurile în care capacitatea sistemelor fiziologice implicate în
dispunerea medicamentului poate fi depăşită, conducând la cinetici neliniare sunt :
supradozarea (apare efectul toxic ca rezultat al depaşirii capacităţii de
eliminare hepatică şi extrahepatică a medicamentului)
repetarea dozelor (scade efectul medicamentului)
interacţiunile dintre medicamente.
Calculul intervalelor de încredere pentru dreapta de regresie în cazul
stabilităţii formelor farmaceutice.
In cazul studiilor de stabilitate avem doua tipuri de probleme. Pentru o concentratie
data, de exemplu 90 % din cea initiala, in afara de timpul de pe dreapta de regresie cand se
atinge acest prag, ne intereseaza si marginea inferioara a intervalului de timp, deci timpul
pentru care suntem siguri ca nu a scazut concentratia sub 90 %. Din punct de vedere al
sigurantei pacientilor , este mai bine sa contam pe acest timp. FDA sugereaza ca ar fi mult
mai potrivita abordarea folosind un interval de incredere unilateral decat unul bilateral pentru
a estima data de expirare. Pentru cele mai multe produse, continutul in substanta activa poate
doar sa descreasca in timp, si numai marginea inferioara a intervalului de incredere vs. curba
timpului pot fi considerata relevanta. (o exceptie poate fi in cazul produselor lichide unde
evaporarea solventului duce la cresterea concentratiei substantei active). Pentru a obtine acest
domeniu de valori pentru X (timpul pentru continutul de minim 90%) folosind metoda
estimatiei grafice asa cum este descrisa mai sus, presupune calcularea bandei de incredere
pentru un domeniu suficient de intins pentru X. “Banda” de încredere are formă de hiperbolă
şi ilustrează variaţia lărgimii intervalului de încredere pentru diferite valori ale lui X, respectiv
Y.
Regresia ponderata
Una din presupunerile implicite in aplicarea inferentei statistice este acela ca variatia lui y este
aceeasi la fiecare valoare a lui X. Apar multe situatii in practica atunci cand aceasta
presupunere nu este respectata. Un caz frecvent este acela cand variatia lui y este
proportionala cu X. Aceasta apare cand y are un coeficient constant al variatiei (CV) si y este
proportional cu X (y = BX), observat de obicei in metodele de analiza instrumentala in chimia
analitica. Doua din abordarile posibile in rezolvarea acestei probleme sunt:
a) O transformare a lui y pentru a face variatia omogena, cum ar fi
transformarea logaritmica .
b) O analiza de regresie ponderata.
Analiza reziduala in testarea ipotezelor privind corelatia
Se numesc reziduuri diferentele intre valorile calculate prin regresie si cele experimentale (
ceea ce , in alt context, numeam ca „erori”) Examinarea reziduurilor poate dezvalui variatia
heterogenitatii sau nonlinieritatea. Daca modelul liniar si presupunerile in analiza prin cele
mai mici patrate sunt valabile, reziduurile ar trebui sa fie aproximativ normal distribuite si nar
trebui sa apara nici o tendinta.
proportional cu X (y = BX), observat de obicei in metodele de analiza instrumentala in chimia
analitica. Doua din abordarile posibile in rezolvarea acestei probleme sunt:
a) O transformare a lui y pentru a face variatia omogena, cum ar fi
transformarea logaritmica .
b) O analiza de regresie ponderata.
6. Modele matematice şi programe de simulare a biochimiei
si a bioproceselor
1. Notiuni de cinetica chimica.
Consider p reactii chimice în care sunt implicate s substante.
(1.1) , , unde reprezinta a– i –
substanta, şi sunt numere intregi, care reprezinta numarul aflat în a – k- substanta ce
participa în a – i – reactie directa şi inversa, şi reprezinta constanta vitezei de reactie.
Dacă vom nota concentratia substantei cu , atunci variatia concentratiei substantei
determinata de a – i – reactie cu şi în intervalul dt este:
(1.2) (reactia directa)
(1.3) (reactia inversa).
Atunci variatia concentratiei în toate reactiile este data de:
(1.4) , unde
(1.5) .
Se obtine sistemul diferenţial:
(1.6)
1 1 2 2 1 1..... ....i
i
k
i i is s i is sk
a x a x a x b x b x 1,i piX
ika ikb
ik ik
kX kx
ik ik
1
1 .............. ( )i isa a
k i s ik ikdx k x X a b dt
1
1 .............. ( )i isa a
k i s ik ikdx k x X a b dt
1
p
k ij i
i
dx m dt
1 1
1 1... ...i is i isa a b b
i i s i s
ij ij ij
m k x x k x x
b a
1
, 1,p
kij i
i
dxm k p
dt
Alegerea numerelor , destul de mari, corespunede unor reactii chimice foarte
rapide. De aceea se impune introducerea unui parametru mic . Astfel vom presupune că
primele – n – reactii sunt rapide.
(1.7) , , unde nu sunt numere foarte mici.
(1.8) ,
Atunci sistemul (1.6) este echivalent cu:
(1.9)
(1.10) , corespunde valorii în ecuaţia (1.9). În literatura
de specialitate, pentru determinarea unor soluţii aproximative ale ecuaţiei (1.9) se foloseste
metoda concentratiei Semenov-Bodenstein[28]. Cercetatorul rus Fedoryuk[49] a propus
urmatorul sistem neliniar de ecuaţii diferenţiale:
(1.11)
cu conditiile initiale:
(1.12) , unde reprezinta concentratiile substantelor
(1.13)
Alegem , astfel încât:
(1.14)
În capitolul urmator, vom incerca o dezvoltare asimptotica de ordinul zero pentru
sistemul (1.11), avand un caracter formal.
2. Terminologie în cinetica enzimelor
Vom prezenta în continuare principalele noţiuni care apar în cinetica enzimelor.
ik ik
1i ik k 1,i n ik
1 1
1 1... ...i is i isa a b b
i i i s i sm m k x x k x x 1,i n
1 1
, 1,n s
kij i ij i
i i n
dxm m j s
dt
1
0n
ij i
i
m 1,j s 0
11 2
21 2 2 2 3 3 2 4
33 2 3
43 2 4
i i
i i
dxk x k x
dt
dxk x k x k x x k x x
dt
dxk x x
dt
dxk x x
dt
0(0)i ix xix
9 10 8
1 1 2 3 2 310, 10 , 10 , 10 , 0k k k k k k
1 21
3 3 3
1, , , .
k ka k b c
k k k
1. Catalizatorul este o substanţă care creşte viteza de reacţie fără a modifica în
general energia Gibbs standard schimbată în reacţie. Această definiţie este echivalentă cu
faptul că catalizatorul nu apare în expresia stoichiometrică a reacţiei complete. Vom spune că
catalizatorii au o acţiune catalitică şi reacţiile în care sunt ei implicaţi se vor numi reacţii
catalitice.
2. Enzima este o proteină care acţionează că un catalizator.
3. Substrat este un reactant (altul decât catalizatorul) în reacţia catalitică.
4. Inhibitorul este o substanţă care diminuează viteza unei reacţii chimice şi acest
proces se va numi inhibiţie.
5. Activatorul este o substanţă (alta decât catalizatorul sau un singur substrat) care
creşte viteza reacţiei catalitice.
6. Enzima activator este un activator al unei reacţii enzimo-catalitice care acţionează
legată la enzime.
7. Enzima inhibitor este un inhibitor al unei reacţii enzimo-catalitice care acţioneză
legată la enzimă.
Forma generală a unei reacţii enzimo-catalitice care implică un singur substrat şi un
singur produs poate fi scrisă sub forma:
(2.1) , unde E este enzima, A este substratul şi Z este produsul.
Săgeţile în ambele sensuri, prezente în reacţie, indică faptul că reacţia decurge în
ambele direcţii. Atunci când două sau mai multe substrate şi două sau mai multe produse sunt
într-o reacţie, reacţia finală poate fi scrisă sub forma:
(2.2)
De comun acord s-a stabilit faptul că primele litere ale alfabetului vor fi pentru
substraturi, iar ultimile litere vor fi folosite pentru produse.
Litera S este frecvent folosită pentru substrat, iar literele P,Q,R sunt folosite pentru
produse. Aceşti termeni folosiţi nu sunt unicii folosiţi în cinetica enzimelor, dar sunt în
general folosiţi în chimie. Aceste definiţii nu intră în conflict cu recomandările “Commission
on Chemical Nomenclature” pentru chimişti.
8. Efector şi modificator sunt termeni generali care definesc acele substanţe care
reacţionează cu enzimele şi cresc sau descresc acţiunea lor catalitică.
Enzimele inhibitor şi enzimele activator pot fi în cazuri speciale efectori şi
modificatori. Termenul de efector este mai mult folosit atunci când substanţa produs are o
E A E Z
... ...E A B E Z Y
importanţă fiziologică, iar termenul de modificator este mai des asociat că substanţă care este
artificial adaugată la un sistem enzimatic studiat în vitro.
Uneori substaneţele adăugate pot creşte sau descreşte viteza unei reacţii enzimo-
catalitice. Ele pot reacţiona cu substratul, ori cu modificatorii şi efectorii care sunt prezenţi în
sistem.
Asemenea substanţe pot fi denumite activator sau inhibitor dar nu pot fi denumite
enzime activator, enzime inhibitor, modificatori sau efectori.
9. Viteza de consum şi de formare
Viteza de consum a unui reactant de concentraţie A este definită că:
(2.3) , unde t reprezintă timpul.
Viteza de formare a unei substanţe de concentraţie Z este definită că:
(2.4) .
Unitatea uzuală de măsură a acestor viteze este mol dm-3
s-1
(unde L=litru=dm3) sau
Ms-1
(unde M=molaritatea=mol dm-3
). În unele situaţii, termenul de velocitate este sinonim
cu termenul de viteză.
(2.5)
În relaţia (2.5) vom spune că viteza de formare a lui Z este dublul vitezei de consum a
lui A, şi viteza de consum a lui B este de trei ori mai mare decât a lui A.
10. Viteza de reacţie
Fie reacţia stoichiometrică:
(2.6) , pentru care viteza de formare a lui Z este egală cu viteza de
consum a lui A. Atunci vom putea defini viteza de reacţie că:
(2.7) .
Fie reacţia generală stoichiometrică de forma:
(2.8)
Numerele -1, -3, -2 se numesc coeficienţi stoichiometrici a lui A, B, Z în această
reacţie. Convenţional ei sunt pozitivi pentru produşi şi negativi pentru reactanţi. Pentru
reacţiile de forma (2.8), viteza de reacţie este egală cu viteza de formare sau cu viteza de
consum a oricărui reactant împărţită la cel mai potrivit coeficient stoichiometric.
(2.9)
A
dAV
dt
Z
dZV
dt
3 2A B Z
E A E Z
dA dZV
dt dt
3 2A B Z
1 1
3 2
dA dB dZV
dt dt dt
Această situaţie apare rar în cinetica enzimelor.
11. Reacţii elementare. Reacţii compuse
Reacţia elementară este reacţia în care nici o reacţie intermediară nu este prezentă.
Asemenea reacţii se desfăşoară într-un singur pas.
Termenul de molecularitate, cu aplicaţie numai în reacţiile elementare, se referă la
numărul particulelor elementare implicate în evenimentul chimic microscopic. De exemplu
formarea complexului enzima-substrat în soluţia:
(2.10)
este o reacţie bimoleculară. Procesul reversibil în soluţie.
(2.11) este o reacţie unimoleculară. Hidroliza acil-enzimei, în
combinaţie cu apa este o reaţie bimoleculară:
.
Moleculele solvent sunt considerate în molecularitate dacă ele intră într-un proces
general.
Alte reacţii generale enzimă-catalizator în mai mulţi paşi sunt descrise de reacţiile
compuse.
(2.12)
12. Ordinul unei reacţii. Constanta vitezei de reacţie
Ordinul unei reacţii este un termen care poate fi aplicat în unele reacţii elementare
considerate într-o singură direcţie, şi pentru reacţiile compuse.
Pentru reacţiile elementare desfăşurate într-o singură direcţie, ordinul reacţiei este
egal cu molecularitatea, dar este descris de cinetică, nu de mecanismul reacţiei. Pentru o
reacţie unimoleculară de forma:
(2.13) , viteza de reacţie este proporţională cu concentraţia reactantului.
(2.14)
Vom spune că reacţia (2.14) este de ordinul unu.
Constanta k se numeşte constanta vitezei de reacţie.
Pentru reacţiile bimoleculare:
(2.15) , viteza este proporţională cu produsul concentraţiilor reactanţilor.
(2.16)
Reacţia este de ordinul unu în E, de ordinul unu în A, dar este de ordinul doi în
general, şi k este considerat constanta vitezei reacţiei. Ordinul individual al reactanţilor (unu
E A EA
EA E A
2R CO E H O E H R COOH
E A EA EZ E Z
E A B EA B EAB EYZ EY Z E Y Z
EA E A
v k EA
E A EA
v k E A
pentru E, unu pentru A) sunt considerate că ordine parţiale şi suma ordinelor parţiale a unei
reacţii este ordinul principal.
Pentru constanta vitezei de reacţie de ordinul unu, unitatea de masură este s-1
. Pentru
constanta vitezei de reacţie de ordinul doi unitatea de măsură este mol-1
s-1
sau L mol-1
s-1
sau
M-1
s-1
.
Fie schema de reacţie:
(2.17) , dacă concentraţia substanţei EA este
întotdeauna mult mai mică decât concentraţia substanţei A, următoarea ecuaţie modelează
procesul (2.17)
(2.18)
Raportul la echilibru se numeşte substrat constant separator şi este dat de
constanta ksA. Substratul constant separator nu trebuie confundat cu constanta Michaelis KmA.
În relaţia (2.18),
(2.19) .
Componenta EA vom spune că este în stare regulată. Ecuaţia (2.18) se numeşte
aproximarea stării regulate, deoarece obţinem o expresie generală a vitezei de reacţie.
Dacă componenta intermediară este prezentă întotdeauna în cantităţi mult mai mici
decât reactanţii (alţii decât enzimele), rata de schimbare a concentraţiei este mult mai mică
decât a reactanţilor.
Această condiţie este adevărată întotdeauna, şi este particulară în cazul reacţiilor
enzimo-catalitice, unde concentraţia substratului este mai mare decât a enzimei. Nu este
necesar că cantitatea substanţei intermediare să fie mică în raport cu cantitatea de enzime.
La începutul acestei reacţii, concentraţia EA în reacţia (2.17) creşte de la zero la
valoarea stării regulate.
Ecuaţia (2.18) nu mai este adevărată în timpul acestui timp scurt (de obicei o fracţiune
de secundă). Vom spune în acest caz că EA este în faza cinetică trecătoare (transient-phase).
Pentru a cerceta această fază trebuie utilizate tehnici speciale, în speţă pentru modelarea
matematică este necesar să folosim ecuaţiile diferenţiale cu parametru mic. Viteza de reacţie
în timpul acestei faze nu poate fi definită, deoarece nu există o reacţie stoichiometrică între
reactanţi. În unele cazuri, termenul de viteză de reacţie se confundă cu flux chimic
12
1
k k
kE A EA E Z
1 1 2 0dEA
k E A k EA k EAdt
E A
EA
1
1
sA
kk
k
(chemiflux). Reacţiile elementare care intră în mecanismele compuse trebuiesc sistematizate
şi trebuie să trecem constantele vitezei de reacţie (k), ori fluxul chimic (v). De preferat, putem
alege următoarea schemă:
(2.19)
În această schemă poate fi numai dacă nu avem o reacţie în sens invers.
O altă schemă des folosită în cinetica enzimelor este:
(2.20) ...
Schema (2.20) se foloseşte mai des în aplicaţiile numerice.
O altă schemă este de forma:
(2.21) , unde , sunt pentru reacţiile directe, iar
pentru reacţiile inverse.
Schema (2.21) nu este în concordanţă cu recomandările “International Union of
Pure and Applied Chemistry and International Union of Biochemistry”.
13. Autocataliza este procesul unde o substanţă chimică este implicată în propria
producţie.
Exemplu 1(Edelstein):
(2.22)
Dacă presupunem că substanţa A este menţinută cu concentraţie constantă, din legea
de acţiune a masei, vom avea:
(2.23) , unde y este concentraţia substanţei Y.
Exemplul 2(Denbigh):
,
Vom spune că Y este utilizat pentru producerea lui C.
(2.24) , unde a, b sunt concentraţiile substanţelor A, B.
Exemplul3: (Ecuaţie Lotka-Volterra)
,
1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,...; , , ,k k k k
1k 1k
12 21 23 32 12 21 23 32, , , ,...; , , ,k k k k
1 2 3 4 1 2 3 4, , , ,...; , , , ...k k k k 1k3k 2 ,k
4k
1
1
2k
kA Y Y
2
1 1
dyk kay y
dt
1
1
2k
kA Y Y 2k
B Y C
2
1 2 1( )dy
k k ka b y ydt
1 2k
A Y Y 32 2 ,kk
Y Z Z Z B
(2.25) ,
unde z, y sunt concentraţiile substanţelor Y, Z.
14. Activator şi inhibitor
Fie sistemul:
(2.26)
Vom spune că x este activator dacă .
Vom spune că y este inhibitor dacă .
Exemplul1: (Reacţia Thomas)
Este o reacţie care implică oxigenul (y) şi acid uric (x) în prezenţa enzimei urice:
(2.27) ,
unde sunt constante. Dat y, este liniar în x, pentru x mic,
0 pentru valori mari ale lui x.
Exemplul 2: (Reacţia Gierer-Meinhardt)
(2.28)
15. Oscilaţii biologice. Sisteme biologice ciclic monotone
Sunt sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare, de forma:
(2.29) este concentraţia. reprezintă o reacţie biologică
oscilatorie. Trebuie căutată soluţia periodică . Goodwin (1965) a propus urmatoarea
schemă:
1 2
2 3
dyk kay yz
dt
dzk kyz z
dt
( , )
( , )
dxf x y
dt
dyg x y
dt
0g
x
0f
y
1
2 1
2
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
( , )1
dxa x a R x y f x y
dt
dya b y a R x y g x y
dt
xyR x y
x kx
1 2, , , ,a a b a k ( , )R x y
( , )R x y
2
1 2
2
( , )( )
( , )
dx xa a x f x y
dt y k x
dyx y g x y
dt
( ), ( )dx
f x unde x x tdt
f
( )x x t
DNA mRNA Enzimă Substrat
Reprimare
Produs
(2.30)
unde se numeşte funcţie neliniară de “feedback”.
Dacă vom avea un feedback pozitiv.
Dacă vom avea feedback negativ.
Sistemul (2.30) reprezintă forma generală a unui sistem biologic ciclic monoton.
3. Cinetica enzimelor
În anul 1835, J.J.Berzelius a inclus reacţiile biologice că exemple de reacţii care se
produc sub influenţa unor noi forţe, forţe pe care le-a numit “catalitice”. După studierea mai
multor reacţii de acest tip, Berzelius sugerează că toate substanţele care se produc în corpul
uman se află sub influenţa acestor forţe.
În anul 1878, Kühne a introdus termenul de enzimă. În tot acest timp, continua
controversa între Liebig (care refuza să creadă că agitaţia este o necesitate pentru viaţa
celulelor) şi Pasteur care arată că fermentaţia este strâns legată de procesul de viaţă al
celulelor. În acest context, era foarte important de stabilit dacă reacţiile enzimatice au
caracteristici în comun cu reacţiile chimice în general.
Principiul acţiunii masei este principiul care a fost utilizat în modelarea matematică a
cineticii enzimelor. În anul 1902, Brown a propus următoarea schemă
(2.0) , unde o enzimă E se combină cu un substrat A,
formând un compus , care se descompune într-un produs P şi cu recuperarea enzimei E.
Schema (20) a fost un pas important pentru construcţia unui model pentru cinetica enzimelor.
11 1
1
( )
, 2,n
ii i i
dxf x k x
dti n
dxx k x
dt
0, 2, , ( ) 0ik i n f x
'( ) 0, ( ) 0f x x
'( ) 0, ( ) 0f x x
1 2
1 21
k k
k kA E X P E
1X
Henri (1903) şi apoi zece ani mai târziu Michaelis-Menten (1913) au transformat schema
(2.0) într-un model matematic.
(2.1)
Henri a pus următoarele ipoteze care simplifică modelul (2.1):
I1.
I2.
I3.
Înlocuind ipotezele (1)-(3) în sistemul (2.1) a obţinut ecuaţia diferenţială:
(2.2)
Se va impune o nouă condiţie suplimentară:
I4.
(2.3) , unde este “velocitatea maximă” a
reacţiei enzimo-catalitice, este constanta de asociere pentru enzimă-substrat, iar
este o viteză iniţială. Ecuaţia (2.3) este ecuaţia folosită de Michaelis-Menten în 1913
pentru dezvoltarea teorie lor.
Bodenstein (1913) a introdus noi condiţii restrictive. În anul 1925, Briggs-Haldane a
înlocuit prima ecuaţie a sistemului (2.1) cu:
(2.4)
(2.5) , unde nu este în general constanta de
disociere.
În anul 1913, Michaelis şi Menten propun o nouă schemă pentru reacţiile enzimatice:
'
1 1 2 1 2 1
2 1 2
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( ) ( )
(0) ( ) ( ) ( )
(0) ( ) ( )
x t k E t A t k E t P t k k x t
P t k x t k E t P t
A A t x t P t
E E t x t
1 1 1( ) ( ) ( )k E t A t k x t
2 1'( ) ( )P t k x t
(0) ( ) ( )A A t P t
2
1
1
(0)'( )
1( (0) ( ))
k EP t
k
k A P t
(0) ( )A A t
(0) '(0)
1(0)
mE
A
VV P
k
A
2 (0)mV k E
1
1
s
kk
k
(0)EV
1 1 2 1
1 2
( ) ( ) ( ) ( )k E t A t k k x t
k k
'(0)
1(0)
m
m
VP
k
A
1 2
1
( )m
k kk
k
(2.6) , unde se presupune că complexul intermediar
enzimă-substrat este format. Mai mult, reacţia se consideră ireversibilă. Au
mai impus alte ipoteze suplimentare:
I5. Avem un exces a substratului S în soluţie cu enzima E
I6.
I7. După un timp oarecare, viteza de formare a compusului ES rămâne foarte mică în
raport cu viteza de formare pentru S, respectiv P.
(a) coliziune efectiva (b) coliziune inefectiva
Fie , unde [,] este concentraţia substanţei.
Utilizând legea de acţiune a masei vom avea:
(2.7) , cu condiţiile iniţiale:
(2.8)
(2.9)
Din figura (1) vom avea:
(2.10)
12
1
k k
kE S ES E P
ES E P
1 2k k
[ ], [ ], [ ], [ ]s S e E c SE p P
1 1
1 1 2
1 1 2
2
( )
( )
dsk es k c
dt
dek es k k
dt
dck es k k c
dt
dpk c
dt
0 0 0 0(0) , (0) , (0) , (0)s s e e c c p p
0 ( ) ( ) (0)de dc
sau e t c t edt dt
1 0 1 1
1 0 1 1 2
0 0
( )
( )
(0) , (0)
dsk e s k s k c
dt
dck e s k s k k c
dt
s s c c
A
B
A
B
A B A B
Se vor introduce notaţiile:
(2.11)
(2.12) , unde .
Constanta se numeşte constanta Michaelis. Alegerea parametrului
se face atunci când concentraţia enzimei este mult mai mică în soluţie în raport cu
concentraţia substratului. În aceste cazuri apar problemele singular sau regulat perturbate. Se
vor construi soluţii asimptotice în capitolul următor al lucrării pentru sisteme de tipul (2.12),
folosind metoda funcţiilor de strat limită.
Terminologia folosită în această lucrare este în concordanţă cu recomandările
“Commission on Biochemical Nomenclature and Classification of Enzymes” publicată în
“Enzyme Nomenclature”(1996).
Sistemul (2.1) poate fi pus sub forme:
(2.13)
Este ştiut faptul că orice aproximare a unui model introduce o eroare în modelul
original:
(2.14)
Dacă este mic, vom putea spune că această aproximare este aproape corectă
şi vom spune că este - -validă.
Hastings a obţinut o aproximare a erorii maxime pentru schema (2.0), când .
Hillen a obţinut o aproximare pentru cazul . Când , aproximarea
(2.14) are maxim de valabilitate. Alte aproximări pentru schema (2.0) au făcut Lam(
), Li ( ).
Atunci când enzimele intră în procesul de cataliză concentraţia lor variază între 0 şi
E(0).Pe de altă parte, concentraţia produsului sau a substratului variază între 0 şi A(0), 0 şi
P(0). Pentru alegerea prametrului vom impune:
(2.15) .
02 1 21 0
0 0 1 0 1 0 0
( ) ( ), ( ) , ( ) , , ,
ek k ks t c tk e t u v k
s e k s k s s
( )
( )
(0) 1, (0) 0
duu u k v
d
dvu u k v
d
u v
0 1, k
1 2
1
( )m
k kk
k
( , ') 0F x x
( , ')F x x
0
2 0k
2 0k 1 2 0k k
1 2 0k k 1 2k k
(0) (0)A E
Schnell,Schauer au înlocuit prima ecuaţie a sistemului (2.1) prin:
(2.16)
(2.17) (definiţia echilibrului termodinamic)
(2.18) , care nu este în general adevărată, iar aproximarea
asimptotică nu este corectă.
Substratul S, din schema (2.6) este guvernat de ecuaţia:
(2.19)
Pentru , termenul din membrul drept al relaţiei (2.19) poate fi aproximat de
, unde .
Termenul se numeşte velocitate maximă şi depinde de şi de produsul reacţiei:
(2.20) .
4. Sisteme diferenţiale cu parametru mic ce modelează reacţii din cinetica
enzimelor
În acest subcapitol, voi prezenta câteva sisteme de ecuaţii diferenţiale cu parametru
mic reprezentative întâlnite în literatura de specialitate.
I. Model de tip Michaelis-Menten_Henri cu difuzie
(1)
2
1( )
( )
dxx x a b y D x
dt
dyx x a y
dt
,
unde D este un factor de difuzie, este operatorul Laplace.
Sistemul (1) modelează mecanismul reacţiei Michaelis-Menten ce va fi prezentat în
lucrare.
Vom căuta soluţia asimptotică de forma:
(2)
Un sistem similar cu (1), prezentat de Lam , este de forma:
'
1 10, (0) (0) 0x P x
lim '( ) 0t
x t
'
1 1(0) (0) (0)x k E A
2 0
m
k e sds
dt k s
ms k
m
Qs
k2 0Q k e
2 0k e 2k
SE P E
(1) 2 (2) 2( , ) ( , , ) ...x
y f x x f x x xx a
(3)
2
1
2
2
( )
( )
dxx x a b y D x
dt
dyx x a y D y
dt
,
unde , sunt consideraţi factori de difuzie, este operatorul Laplace,
.
Roussel a prezentat un sistem in 2D care modelează reacţia Michaelis-Menten de
forma:
(4)
unde x este concentraţia reactantului (substratului), z este concentraţia complexului
enzimă-substrat, , un parametru mic ce modelează viteza de reacţie a
mecanismului. Pentru transformarea sistemului (4) într-un sistem de tip Michaelis-Menten se
fac substituţiile:
(5) .
II. Model cinetic de tip Segel[
Acest model se bazează pe reacţia dintre substratul de oxigen şi acidul uric ca reactant
în prezenţa enzimei urice. Sistemul care modelează această reacţie, obţinut cu ajutorul datelor
experimentale este de forma:
(6)
2
2
2
2
1
1
x sxya x x
t x kx
y sxyb y d y
t x kx
unde s, a, b, k, sunt parametri pozitivi, 2 2
2
2 2x yeste operatorul Laplace,
un parametru mic, x reprezintă concentraţia acidului uric, z este concentraţia substratului de
oxigen.
III. Modelul cinetic de tip Stryer
Acest model se bazează pe o simplă reacţie enzimatică de difuzie. Ea rezultă dintr-o
reacţie trimoleculară autocatalitică prezentată de autor:
1D 2D
2 1( ), (1)D O D O
dxx xy y y
dt
dyx xy y
dt
(1)O
, ,a x y b x y t
(7)
2 2
2 2
( )
( )
xa x x y x
t
yb x y d y
t
,
unde a, b, d sunt parametri pozitivi, este considerat un parametru mic.
IV. Model cinetic de tip O’Malley
Acest model se bazează pe o schemă de reacţie ce conţine trei reacţii enzimatice de
forma:
Presupunem că . Atunci şi concentraţia substanţelor , S
verifică sistemul:
(8) ,
Cu condiţiile iniţiale:
(9) (reacţia a doua este considerată foarte rapidă).
V. Model cinetic de tip Segel
Acest model se bazează pe o schemă de reacţie trimoleculară autocatalitică de forma:
,
unde sunt parametri pozitivi. Se lucrează în ideea în care are o valoare
mare. Concentraţiile substanţelor S, , verifică sistemul ( ):
(10)
1
1
1 22 ,k k
kE S S E
1 1
1 1,k k k
1x 2x 1E
211 2
221 2 2
1 1
2 2
dxx x
dt
dxx x kx
dt
1 2(0) , (0) , , 0x a x b a b
1
1
2
1 2 1
1 2 1 2
, 2
,
k
k
k
E S E S
S S E S E P
1 1 2, ,k k k 1k
1S 2E 11/ k
2 1
221 2 1 2 1 2
211 2 1
1
2 2 ( )
dsk ss
dt
dek e s k ss e
dt
dsk e s
dt
VI. Forma generală a unui sistem diferenţial cu parametru mic în cinetica
enzimelor
Vom nota prin variabila lentă, iar prin variabila rapidă. Forma generală a unui
sistem diferenţial cu parametru mic ce modelează reacţii enzimatice este:
(11) ,
unde se numeşte parametru de perturbare.
Important în studierea sistemelor de tip (11) este determinarea parametrilor cinetici.
Sistemul (11) provine în general dintr-un sistem diferenţial de forma:
(12) sau
(13)
Prin metodele asimptotice prezentate în lucrare, se partiţionează sistemul (12) sub
forma sistemului (11). Parametrul poate fi ales sub forma:
(14) , unde sunt valorile proprii ale descompunerii
ortogonale ale matricii sub forma , unde:
(15)
Sistemul (11) în general prezintă neliniarităţi, iar rezolvarea lui integrală prezintă
dificultăţi. Sistemele de tip (11), în literatură de specialitate au fost denumite “stiff
differential equation systems”.
Dacă presupunem că , urmează că (de obicei este o ecuaţie algebrică
neliniară).
lx rx
( , )
( , )
ll l r
rr l r
dxf x x
dt
dxf x x
dt
1
0 0
( ) ( )
(0) , n
du t f u t
dt
u u u
0
0
0 0
00
( ) ( )
( )(0) ,
u
u
du t f u J u t u
dt
f uu u J
u
1
1
| Re |s
, 1,i i n
0CJ0
1
CQ J Q
1 2 1Re Re ... Re ... Res n
0rdx
dt0rf
În practică ( ) vom avea , şi atunci trebuie să studiem erorile ce apar
datorită partiţionării sistemului (12).
Un criteriu de determinare a erorii pentru un sistem diferenţial de forma (11) a fost
studiat de Maas si Pope , sub forma:
(16) | ( , ) ( , ) |l l r l l rf x x f x x toleranţa , unde este o soluţie a ecuaţiei:
(17)
VII. Model cinetic de tip Hinch
Este un model simplificat pentru reacţia Michaelis-Menten de forma:
(18)
2
(1 ) (1 )
, 0 1
dxx x x x y
dt
dyk x
dt
(19) ,
x este concentraţia substanţei C, y este concentraţia sunstanţei P.
Pentru studierea soluţiei asimptotice, se introduce variabila rapidă: .
VII. Model de tip Murray
În acest subcapitol ne vom ocupa de un model de cinetica chimica cu aplicatii în
reactia oxidului de etilena cu apa şi în halogenarea şi hidro-genarea moleculelor organice
(Murray).
Consider reactiile chimice:
,
Vom presupune că:
(3.1)
Consider sistemul:
(3.2)
0 1 0rf
( , ,0)l rx x x
( ) 0rf x
1 2
1
0 0(0), (0), (0), (0) , ,0,0
k k
kE S C E P
E S C P E S
t
1kA B Ck
kB C D
1
11,
k kk
k k
dxxy
dt
dyxy yz kp
dt
dzxy yz kp
dt
dpyz kp
dt
(3.3) unde x,y,z,p sunt
concentratiile moleculelor organice A, B, C, D.
IX. Model de tip LAIDLER
În acest subcapitol vom prezenta o soluţie asimptotică de ordinul 1, pentru o schemă
de reacţie de forma:
(1) 1
2
1
k kI
kS E C P E , unde I reprezintă substratul.
Vom presupune că concentraţia substratului I este o constanta nenegativă.
Schnell şi Maini au formulat un model matematic pentru schema (1) de forma:
(2) ,
cu condiţiile iniţiale:
(3) , unde:
(4)
X. Model de tip MAINI
Considerăm schema de reacţie:
, unde enzima E reacţionează reversibil cu
substratul S, sub forma unui intermediar enzimă-substrat X. Complexul X este transformat
ireversibil într-un alt complex enzimă-substrat Y, care se transformă ireversibil în enzima
original şi o substanţă moleculară numită produs. Acest proces se întâlneşte la acilenzime.
Vom introduce notaţiile:
0 0 0 0(0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0x x y y z z p p
1( 1)
1 1
1
1 1
du a b k ku uv v
d a b a b
dv a bu uv v
d a b a b
(0) 1, (0) 0u v
1 20 0 0 0
1
0 1
2 2
1 0 1 1
2
[ ] ; [ ] , [ ] , [ ] , [ ]
[ ] , [ ] ,
, ,
( ) ( ), 0 1
( ) ,
m
M
mm
S s E e C c P p I i
k kS s E e k
k
s kia b k
k k p i k
p e t c t
k Ik s s k t s
k p I
1 32
1
k kk
kS E X Y E P
(1)
Atunci sistemul de ecuaţii care modelează schema de reacţie are forma:
(2)
Variabilele x, y le vom numi variabile rapide, iar x o vom numi variabilă lentă.
Sistemul (2) a fost prezentat de Laidler-Bunting. Pentru construirea soluţiei asimptotice vom
lucra în ipoteza: .
XI. Model de tip Vishik
(1)
Vishik prezintă următorul sistem ce modelează reacţia (1):
(2) ,
Cu condiţiile Neumann la frontieră:
(3)
Cu condiţiile iniţiale:
(4)
cu notaţiile:
0 0 1 2
0 1
310 0
2 1 2
, ,
(0) , (0) , ,
S E k ka k
k S k k
kkS S E E b c
k k k
( (1 )) (1 )1
( (1 ) ) (1 )
(1 )(1 )
ds ba xs s y x s y
dt b
dxa s y xs s y x
dt
dy ax cy
dt a b
0
0
1E
S
1 2
1
k k
kS E C P E
2
2
2
2
2
2
( )
1( )
1( )
s sse k p c
t x
e ese kc a
t x
c cse kc b
t x
0,1 0,1 0,1
0x x x
s e c
x x x
(0, ) ( ), (0, ) ( ), (0, ) 0i is x s x e x e x c x
(5)
unde difuziile substanţelor S, E, C. Vom construi soluţii asimptotice
pentru diferite valori ale parametrului . Sistemul (12) poate fi rescris sub forma:
(6) , unde
(7)
Cazul A: . În acest caz, timpul de difuzie ( ) este mult mai scurt
decat variabila lentă (t) şi rapidă ( ) dezvoltate în cursul acestei lucrări. Sistemul (2),
pentru devine:
(8) , cu forma echivalentă
(9)
Cazul B. . În acest caz variabila rapidă introdusă va fi de acelaşi ordin cu
variabila rapidă ( ).
1 2 2
1 0 1 0 0 0 0
0 0
2
1 0
, , , ,
(0) , (0) , , CE
S S
S
k k k S E Ck p s e c
k S k S S E E
DDS S E E a b
D D
D
k r E
0, , ,S E Cr D D D
2
2
1( )
u uG v D
t x
( , , ), (1, , )
( )
( ) ( )
u col s e c D diag a b
se k p c
G u se kc
se kc
2(1/ )O2
t
t
2
1
22 2 2
2
22
2
22
2
( )
( )
( )
s sse k p c
t x
e ese kc a
t x
c cse kc b
t x
22
2( )
, (1)
u uG v D
t x
a b O
1
t
(10)
Sistemul (11) poate fi rescris sub forma:
(11)
Vom considera funcţia şi variabila rapidă: astfel încât:
(12)
(13)
Înlocuind relaţia (12) în sistemul (13) vom avea:
(14) ,
Cu condiţia Neumann:
(15)
(16)
XII. Model de tip VEENER
Cinetica enzimelor a prezentat un interes experimental considerabil în tratamentul
depresiei (monoaminooxidază), epilepsiei (inhibitorii transaminazei) şi unele tumori
2
2
2
2
2
2
( )
( )
s sse k p c
t x
e ese kc a
t x
c cse kc b
t x
2
2( )
u uG u D
t x
( , , ) ( , , )u x u t x /t
2
0 1( , , ) ( , ) ( , ) ( )u x u x u x O
2
2
2
2
2
2
( )
( )
s sse k p c
x
e ese kc a
x
c cse kc b
x
2
0 0
2
2
0 00 0 0 2
2
0 00 0 0 2
( )
s s
x
e es e kc a
x
c cs e kc b
x
0 (0, ) ( )is x s x
2( )
0 0
0
1
00 0 0
0
( , ) cos( )
1, 2 (0, ) cos( )
k
k
k
k
s x s e k x
s s s x k x dx
(inhibitori decarboxizlază) pentru cercetătorii Veener,Stryer, Murray, Laidler. Ei s-au
ocupat de următoarea reacţie enzimatică:
unde reprezintă enzima, substratul şi produsul, reprezintă enzimele substrat
intermediare, enzimele inactivate. Din legea de acţiune a masei, avem sistemul:
(1)
cu condiţiile iniţiale:
(2)
Pentru a obţine o dezvoltare asimptotică a sistemului (1) vom presupune că:
.
Vom face schimbările de variabile:
(3)
(4)
1 32
1
4
k kk
k
k
i
A S B C D P
D
, ,A S P ,B C
iD
1 1
1 1 3
1 1 2
2 3 4
4
3
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ] [ ]
[ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
i
dSk A S k B
dt
dAk A S k B K C
dt
dBk A S k B K B
dt
dCK B K C K C
dt
dDK C
dt
dPK C
dt
0 0(0) , (0) , (0) (0) (0) (0) 0iA a S s B C D P
0 0 (1)a s O
0 00
0
0 0
1 2
1
[ ] , [ ]
[ ] , [ ]
m
i i
m
a sS s s B b
s k
c a c D a d
k kk
k
1 0
0
0
( )m
m
tk s k
a
a k
(5)
(6)
(7) .
Dacă în sistemul (5) se face schimbarea de variabilă:
(6) sistemul (5) devine:
(7)
XII. .Fenomenul asocierii în cinetica enzimelor
Consider următorul mecanism de reacţie:
,
unde enzima A intră în reacţie cu o moleculă substrat S formând un complex substrat-
enzimă A1. Acest substrat A1 poate fi combinat cu o moleculă substrat S rezultând o noua
legătură substrat-enzimă (“dual”) A2. Considerăm sistemul:
1
1
1 2
2
1
3
1 (1 )(1 )
1 1
(1 )(1 ) 1
1
i
i
i
fds fs sb sc sd b
d f f f
db f bs sb sc sd
d f f
f fdcb c
d f f f
dd fc
d f
0 3 41 41 2 3
2 1 2 1 2
, , , .m
s k kk kf f f f
k k k k k k
(0) 1, (0) 0, (0) 0, (0) 0is b c d
1 2 1( )(1 )T t k k f
1
1
2
1
3
1 1 11
1 1 1
(1 )(1 )
i
i
i
fdss f fb f c f d b
dT f
dbs f fb f c f d b
dT
dc fb f c
dT f f
ddf c
dT
12
1
34
3
1
1 2
k k
k
k k
k
S A A A P
S A A A P
(1)
Cu condiţiile iniţiale:
(2) .
Dacă adunăm ultimele trei relaţii ale sistemui (3):
(3)
Utilizând relaţia (3), sistemul (1) devine:
(4)
Notaţii:
(5)
(6) ,
Cu condiţiile (6), sistemul (4) devine:
(7)
Cu condiţiile iniţiale:
1 1 3 1 3 2
11 1 2 3 1 3 4 2
23 1 3 4 2
1 1 2 1
2 1 4 2
( )
( ) ( )
( )
( )
dsk sa k k s a k a
dt
dak sa k k k s a k k a
dt
dak sa k k a
dt
dak sa k k a
dt
dpk a k a
dt
0 0 1 2(0) , (0) , (0) (0) (0) 0s s a a a a s p
1 21 2 00
da da daa a a a
dt dt dt
1 0 1 1 3 1 1 3 2
11 0 1 2 1 3 1 3 4 1 2
23 1 3 4 2
( ) ( )
( ) ( )
( )
dsk sa k k s k s a k s k a
dt
dak sa k k k s k s a k k k a
dt
dak sa k k a
dt
0
0
1a
s
1 21 0 1 2
0 0 0
, , ,a as
k a t u v vs a a
1 21 2
1 0 1 0
,k k
b bk s k s
3 3 043 4 5
1 1 0 1 0 0
, , ,k k ak
b b b sk k s k s s
1 3 1 4 2 1 2
13 1 2 1 4 3 2 1 1 2
23 1 4 5 2 2 1 2
( ) ( ) ( , , )
( ) ( ) ( , , )
( ) ( , , )
duu u b b u v b u v f u v v
d
dvu u b u b b v b b u v g u v v
d
dvb uv b b v g u v v
d
s0
(8)
Problema (7)+(8) este o problemă singular perturbată pentru . Vom construi
o soluţie asimptotica pentru problema (7)+(8) folosind metoda funcţiilor de strat limită.
Vom presupune că funcţiile , sunt continue împreună cu
derivatele lor într-un domeniu .
Vom nota prin , soluţiile sistemului (7)+(8). În general, nu este posibil
să aflăm soluţia exactă a acestei probleme. Pentru a acoperi acest gol, vom defini o soluţie
aproximativă folosind faptul că . Pentru , sistemul (7) devine:
(9) ,
(10) ,
(11)
Dimensiunea velocităţii acestei reacţii este . Din relaţia (6), velocitatea
Michaelis-Menten a acestei reacţii, pentru
(12)
,
unde , sunt constante de tip Michaelis-Menten pentru mecanismul de reacţie
prezentat la începutul capitolului.
Rata este ilustrată în figura (1):
R0
a0k4 Forma Michaelis-
Menten
K2=0
1 2(0) 1, (0) (0) 0u v v
0 1
1 2 1 2( , ), ( , )G col g g z col v v
1 2|| || ,|| ||D z l u l
( , )z t ( , )u t
0 1 0
0du
d1 2( , , ) 0G u v v
03 1
2
4 5
b uvv
b b
0
12 1
1 2 3 4 5( )
uv
b b u b u b b
1
2 3 5 4 51 2 2 1
1 2 3 4 5
( )( , ( ), ( )) ( ) 0
( )
b b b u b bduf u v u v u u r u
d b b u b u b b
( )r u
0 1
'
2 4 00 0 0 0 ' ' 2
0 0 0
( ) m
t m m m
k k k sdsR s a s
dt k k k s s
' 4 32 1
1 3
,m m
k kk kk k
k k
mk '
mk
0 0( )R s
Dacă unii parametri sunt zero, aceste puncte devin puncte de inflexiune ( ,
pentru mic).
Vom spune că sistemul (9) se numeşte sistem redus pentru (7). Vom presupune că
funcţiile G, f sunt infinit diferenţiale în D.
Observaţia 4(Veener): În mecanismul reacţiei Michaelis-Menten o singură enzimă
intră în legătură cu o singură moleculă de substrat. În acest caz, enzima are o singură poziţie
de legătură. Dar multe enzime au mai multe locuri de legătură pentru moleculele substrat. De
exemplu hemoglobina (Hb) are 4 locuri de legătură pentru moleculele de oxigen (O2).
Fenomenul prezentat în acest subcapitol se numeşte al “asocierii” (“cooperative
phenomena”) dacă o singură moleculă după legătura cu molecula substrat la un singur loc de
legătură, se poate lega la alte molecule substrat în alte locuri de legătură. Asemenea fenomene
sunt răspândite în cinetica enzime-lor. Un alt caz important al asocierii este când o enzimă cu
locul ei de legătură este de asemenea legată la o moleculă substrat, poate afecta desfăşurarea
legăturilor la alte molecule substrat în locurile lor de legătură. Această interacţiune indirectă
între locurile de legătură specifice şi distincte se numeşte efect alosteric (enzime alosterice).
Dacă substratul, cu un singur loc de legătură creşte activitatea legăturilor la alte locuri
de legătură, atunci acest substrat se numeşte activator (în caz de descreştere - inhibitor).
Aceste reacţii alosterice au fost detaliare de cercetătorul Stryer].
7. Simularea bioproceselor
Vom prezenta în acest capitol o soluţie numerică pentru sistemul :
(1) , cu condiţia iniţială
(2) .
Cu schimbarea de variabilă:
(3) , sistemul (1) poate fi rescris sub forma:
2 0k
0s
( )
( )
dxx x b c y
dt
dyx x b y
dt
(0) 0x
,u x y v y x
(4)
Pentru sistemul (4) obţinem o dezvoltare asimptotică de ordinul s, dacă:
(5)
Pentru determinarea algoritmului numeric, vom folosi metoda lui Euler, pe un interval
bine precizat .
(6)
Din algoritmul metodei lui Euler obţinem:
(7)
Presupunem că există funcţiile care aproximează funcţiile şi
.
(8)
Construim algoritmul de forma:
(9)
Algoritmul constând în determinarea lui în condiţiile în care este dat astfel
încât relaţia (5) să fie adevărată are forma:
(10) 1. valoarea este precizată, urmează a fi determinat
2. consider numărul de iteraţie
3. considerăm iniţializarea:
4. pentru , obţinem generarea valorilor
5. fie
6. dacă este mic, iteraţia este convergentă
0
( , )
, (0)
( , )
duF u v
dtu u
dvG u v
dt
1
10
s
s
d v
dt
10,T
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
s s sD v t D v t T D v t
D v t v t
11 1 2
1( ) ( )
ss s s
s
d vD v t T O T
dt
( ), ( )u t v t ( )u t T
( )v t T
( ) ( ( ), ( ))
( ) ( ( ), ( ))
u t T u u t v t
v t T v u t v t
1 1
1 1
( , ) ( ), 0,
( , ) ( )
n o
i i i i
i i i i
t t nT
u u u v u t i s
v v u v v t
0v 0u
0u 0v
1l
(1)
0 0v v
0u ( )
0
lv ( ) ( ) ( )
1 2 1, ,...,l l l
sv v v
1 ( )
0( 1)s s lD v
7. dacă nu este mic:
8. creşterea valorii lui l şi întoarcerea la pasul 4.
Pentru obţinem:
(11)
Pentru consider:
(12)
Dacă în relaţiile (11) şi (12) nu este suficient de mic, îl putem lua sub forma:
(13) ,
Pentru sistemul (1) din capitolul III 10 am obţinut soluţia:
(14)
Folosind metoda lui Euler pentru n etape şi cu pasul fix p ( ) am implementat
valorile funcţiilor şi din relaţiile (8) şi (9).
Pentru , am obţinut estimarile:
s Soluţia iterată y Soluţia asimptotică y
0 0.500000000 0.500000000
1 0.502038375 0.50211400
2 0.502021875 0.502016233
3 0.502021813 -
4 0.502021813 -
Figura 1: Compararea soluţiilor sistemului (1) pentru 1,b 0,5, 0,1c . Se
observă comportarea variabilei rapide z în funcţie de domeniul de reprezentare
Pentru , am obţinut estimările:
( 1) ( )
0 0
s sv v
0s
1 0 0( )dv
v v T tdt
1s
2 1 02v v v
1 0v v 0 1 22v v v
22 3
4 7
(2 3 )( )
( ) ( )
x bcx bcx bc cx xb by O
x b x b x b
T np
u v
0,1 , 1, 1, 0,5100
p n b c
0,1 , 4, 1, 0,510
p n b c
s Soluţia iterată y Soluţia asimptotică y
0 0.497775080 0.500000000
1 0.502056821 0.502014000
2 0.502024335 0.502016233
3 0.502024087 -
4 0.502024017 -
Figura 2: : Compararea soluţiilor sistemului (1) pentru 0,01, 1, 0,5b c în
rapot cu schimbarea domeniului. Se observă în ambele cazuri variaţia lentă a graficului
funcţiei x
Pentru , am obţinut estimările:
s Soluţia iterată y Soluţia asimptotică y
0 0.500000000 0.500000000
1 0.500200614 0.500201400
2 0.500200422 0.50200412
0,01 , 1, 1, 0,5100
p n b c
Figura 3: Simularea soluţiilor sistemului perturbat (1) pentru valorile
1, 0,5, 0,001b c . Se observă comportarea diferită a soluţiei rapide y. Dacă în primul
caz avem o comportare “dinţi de fierăstrău”, în cea de-a doua figură avem o comportare
armonică.
Se observă că pentru T destul de mare ales, vom avea o convergenţă rapidă.
Pentru am construit o aproximare folosind algoritmul (10) şi am
determinat valorile funcţiilor x şi y pentru diferite valori ale parametrului .
Pentru , valorile funcţiilor x şi y verifică
estimările:
s X Y
0 0.87714847 0.40063032
1 0.88632487 0.48145301
2 0.88645611 0.49132189
Pentru , , valorile funcţiilor x şi y
verifică relaţia:
s X Y
0 0,8876252 0,50114526
1 0,8887816 0,50014062
2 0,88864058 0,50013921
Observaţia 1:
Hemker a considerat cazul în care iteraţia (29) converge pentru T mic, în condiţii
speciale. Folosind polinoame de interpolare şi aplicând metoda lui Newton a obţinut un
algoritm de convergenţă în ipoteza în care matricea este negativ definită.
(0) 1,7u (0)v
0,1 , 4, 1, 0,510
p n b c
0,1 , 4, 1, 0,510
p n b c (0) 1,7u
G
y
Figura 4: Simularea în 3D a soluţiei “lente” a sistemului perturbat (1) pentru
1, 0,5b c şi pentru diferite valori ale parametrului . Din cele 6 grafice nu se observă o
diferenţă semnificativă în comportarea graficului soluţiei x.
Figura 5: Simularea în 3D a soluţiei “rapide” a sistemului perturbat (1) pentru
1, 0,5b c şi pentru diferite valori ale parametrului . Soluţia y prezintă acceaşi
comportare “dinţi de fierăstrău” care confirmă denumirea de soluţie rapidă
Vom rescrie sistemul prezentat în III 14. sub forma:
(1)
3 1 1 4 2 1 2
113 1 2 1 4 5 2 1 1 2
123 1 4 5 2 2 1 2
( ) ( ) ( , , )
( ) ( ) ( , , )
( ) ( , , )
duu u a a v a u v f u v v
d
dvu u a u a a v a a u v g u v v
d
dva uv a a v g u v v
d
(2)
Fie (3) , unde h este discretizarea şi fie (4)
. Din dezvoltarea în serie Taylor, pentru cele 3 funcţii (caz particular
pentru u) vom avea:
(5)
Din relaţiile (5) obţinem:
(6)
Din relaţiile (6) obţinem:
(7) - “aproximare înainte”
- “aproximare înapoi”
Forma generală ( ) a relatiei (7) este:
(8)
Unde eroarea este:
1 2(0) 1, (0) (0) 0u v v
nt n h ( ),n nu u t
1 1 2 2( ), ( )n n n nv v t v v t
2 3 4
2 3 4
1 1( ) ( ) '( ) "( ) "'( ) ( )
2 6
1 1( ) ( ) '( ) "( ) "'( ) ( )
2 6
u t h u t hu t h u t h u t O h
u t h u t hu t h u t h u t O h
2 4
22
2 2
3
2
( ) ( ) 2 ( ) "( ) ( )
1"( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 '( ) ( )
1'( ) ( ) ( ) ( )
2
u t h u t h u y h u t O h
d uu t u t h u t u t h O h
dt h
u t h u t h hu t O h
u t u t h u t h O hh
1'( ) ( ) ( ) ( )u t u t h u t O h
h
1'( ) ( ) ( ) ( )u t u t u t h O h
h
1 1
(1 ) ( ) 2 ( ) (1 ) ( )'( )
2
u t h u t u t hu t
h
2
"( ) "'( )2 6
hhu t u t
(9)
Fig. 1: Simularea soluţiei problemei singular perturbate (1) pentru valorile parametrului
=10, =1, =9, =11, =10, =10,
,
Am obţinut simularea în Matlab a soluţiei problemei perturbate, pentru diferite valori
ale parametrului . Am lucrat în ipoteza în care este foarte mic. Convenţional în cinetica
enzimelor, parametrul este ales astfel încât concentraţia iniţială a enzimei este mult mai mică
decât concentraţia iniţială a substratului. Din simularea în Matlab a soluţiei sistemului (1)se
observă că se pot produce schimbări considerabile ale soluţiei.
1
n
n n
t t
u udu
dt k
1k
1k 2k 3k 3k 4k
3
0 1002.0e 02.00s
Din comportarea soluţiilor asimptotice putem spune că funcţiile şi au schimbări
considerabile a formei soluţiilor (rapide) în raport cu comportarea funcţiei u (lentă).
Fig. 2: Soluţia numerică a problemei singular perturbate (1) pentru valorile parametrului
=10, =1, =9, =11, =10, =10,
,
Pentru , sistemul (1) devine:
(10)
1v 2v
1k
1k 2k 3k 3k 4k
3
0 1002.0e 2.00s
1 2 0dv dvdu
d d d
4 51
4 5 3 5 3 1 4 1 5 2 4 2 5
2
32
4 5 3 5 3 1 4 1 5 2 4 2 5
( )( )
( 2 )
( )( 2 )
a a uH u
u a a a a a u a a a a a a a a
a uH u
u a a a a a u a a a a a a a a
(11)
Funcţiile , au fost determinate pentru a găsi un domeniu astfel încât să
existe .
(12)
În cazul sistemului perturbat (1), putem face următoarea schemă:
În general, noţiunea de stabilitate este un concept greu de demonstrat analitic. Din
simularea soluţiei, se observă că efectul transformării este foarte mare în vecinătatea
, pentru fixat vom avea pentru . Deci pentru o vecinătate foarte
mică de-a lungul dreptei , corespunde o vecinătate mai mare a lui .
În multe reacţii enzimatice, se consideră si se evaluează, în stabilirea
shemei de discretizare, termenii de ordin , iar termenii de ordin se neglijează.
1 2
1 2
lim ( ) 0, lim ( ) 0
(0) (0) 0
u uH u H u
H H
1H 2H 0
* 0
*
1 2 0( ), ( ), ( ) , ( )u v v
0 0 1 1 0
0
0 1
(1)O ( )O
discretizar
e
convergenţ
ă
Sistem
diferenţial
Sistem algebric
de ecuaţii
Soluţie
analitică
Soluţie
numerică
stabilitate
Fig3. Implementarea numerică a problemei (1) pentru valorile parametrilor =10, =1,
=9, =11, =10, =10, ,
Observaţia 1(Ilea): Din sistemul (1) se observă că numai dacă
funcţiile , nu pot fi egale cu zero. Atunci pentru este esenţial ca modelul
mecanismului de reacţie să fie modelat de:
(13)
Rezolvând ecuaţiile algebrice din relaţia (13) obţinem: .
(14)
Segel extinde analiză asimptotică pentru cazul în care , caz în care constanta
este mare în cazul a multor reacţii enzimatice.
Relaţia (14) ne ajută la aflarea vitezei de reacţie care în general se determină
experimental.
1k 1k 2k
3k 3k 4k 3
0 1002.0e 0002.00s
1 21, 1dv dv
d d
1g 2g (1)O
1 2
1 1 2 2 1 2
( , , )
( , , ) ( , , ) 0, (0) 1
duf u v v
d
g u v v g u v v u
1 1 2 2( ), ( )v h u v h u
1 2( , ( ), ( ))du
f u h u h ud
0
0
(1)e
Os
mk
Fig4. Soluţia numerică a problemei (1) pentru valorile parametrilor =10, =1, =9,
=11, =10, =10, ,
Observaţia 2(Hillen): Consider velocitatea reacţiei clasice Michaelis-Menten astfel:
(15) ( este o funcţie liniară în
raport cu ).
Se defineşte fenomenul “asocierii enzimelor” astfel:
Definiţia 1: O enzimă poate fi definită local de tip:
a) Michaelian dacă este local liniară în raport cu
b) “pozitiv (negativ) asociată” dacă este local convexă în raport cu .
1k 1k 2k 3k
3k 4k 3
0 1002.0e 002.00s
max
max max
1 1 1( )
( )
m
m
kSU s V
k S U s V s V
1
( )U s
1
S
1
U
1
S
1
U
1
S
Veener introduce următorul parametru obţinut din date experimentale:
(16) .
Definiţia 1 este echivalentă cu:
a) Michaelian dacă
b) Pozitiv (negativ) asociată dacă:
90%
10%s
concentraţia substratului la saturaţieR
concentraţia substratului la saturaţie
81sR
81 ( 81)s sR R
Pozitiv
asociată
Negati
v
asociat
ă
Michaelia
n
1
U
1
S
Fig. 5 Implementarea numerică a soluţiilor problemei (1) pentru valorile parametrilor: =10,
=1, =9, =11, =10, =10, ,
Observaţia 3(Stryer): Sistemul (1) modelează legăturile hemoglobinei (o proteină
aflată în celulele roşii) cu oxigenul. Funcţia hemoglobinei este de a realiza legături cu
moleculele de oxigen astfel încât sângele să ajungă direct în plămâni şe de a se remite în
ţesuturi. De exemplu, muşchii conţin mioglobină (o altă proteină care realizează legături cu
moleculele de oxigen). S-a evidenţiat experimental că mioglobina are o mai mare afinitate
faţă de moleculele de oxigen decât hemoglobina. În plamân presiunea oxigenului este 100
mmHg şi hemoglobina este 98% saturată. În muşchi presiunea oxigenului este de numai 30-
40 mmHg şi s-a observat că oxigenul se asociază cu mioglobina în cele mai multe cazuri.
Hemoglobina este sintetizată de către globulele roşii în timpul formării în măduva
osoasă. Ea este un pigment roşu aprins, atunci când este oxigenată, albastru atunci când îşi
pierde oxigenul său (venele din marea circulaţie).
Mioglobina este prezentă în celulele muşchilor striaţi (muşchii scheletului şi
miocardul). Dozarea ei este utilizată mao ales în diagnosticul precoce al infarctului miocardic.
Metodă de tip Runge – Kutta pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale cu
parametru mic în cinetica enzimelor.
Vom reconsidera sistemul care modelează fenomenul “asocierii enzimelor”, sub
forma:
1k
1k 2k 3k 3k 4k 3
0 0.2 10e0 0.0002s
(1)
Cu condiţiile iniţiale:
(2)
Vom rescrie sistemul (1) sub forma:
(2) , unde
(3)
Problema regulată asociată sistemului (2) este de forma ( ):
(3)
Vom lucra în ipoteza în care ecuaţia admite soluţie unică (care este
verificată):
(4)
Din relaţia (4), vom avea o soluţie unică:
(5)
Din teorema funcţiilor implicite obţinem:
(6)
Utilizând metoda Runge –Kutta pentru sistemul regulat (3) vom avea:
3 1 4
3 1 2 4 5 1
3 4 5 2
( ) ( ) ( , , )
( ) ( ) ( , , )
( ) ( , , )
dxx x b x b y b x z f x y z
dt
dyx x b x b b y b b x z g x y z
dt
dzb xy b b z g x y z
dt
(0) 1, (0) (0) 0x y z
( , )
( , )
dxf x p
dt
dpg x p
dt
1 2( , ), ( , )p col y z g col g g
0
( , )
0 ( , )
dxf x p
dt
g x p
( , ) 0g x p
2
3
2
3 4 5 1 4 5 2 4 5
4 5
2
3 4 5 1 4 5 2 4 5
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
b xz
b x x b b b b b b b b
b b xy
b x x b b b b b b b b
( )p G x
, ( )dx
f x G xdt
(7)
, , ,
1
, ,
1 , ,
1
1 1
,
0 ,
,
0 ,
l
n i n ij n j n j
j
n i n i
l
n n i n i n i
i
n n
X x h a f X P
g X P
x x h b f X P
g x p
Pentru problema perturbată (2) obţinem scema:
(8)
, , ,
1
, , ,
1
1 , ,
1
1 , ,
1
,
,
,
,
l
n i n ij n j n j
j
l
n i n ij n j n j
j
l
n n i n j n j
j
l
n n i n j n j
j
X x h a f X P
P p h a g X P
x x h b f X P
p p h b g X P
Natural, vom căuta soluţia asimptotică a problemei (2) de forma:
(9)
Înlocuid relaţia (9) în (2) şi separând termenii după puterile lui obţinem:
(10)
(11)
(12)
Utilizând metoda Runge – Kutta obţinem:
(13) 1
11
ln n ni
i
in n ni
x x uh b
p p v, unde
(14)
(15)
Dacă scriem o dezvoltare formală a funcţiilor din relaţiile (13), (14), (15) de forma:
0 0
( ) ( ), ( ) ( )i i
i i
i i
x t x t p t p t
' 0
0 0 0 0 0( , ), 0 ( , )x f x p g x p
' 1
1 0 0 1 0 0 1
'
0 0 0 1 0 0 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x p
x p
x f x p x f x p p
p g x p x g x p p
'
0 0 0 0 0 0 1 1
'
1 0 0 0 0 0 0 1 1
( , ) ( , ) ( , ,..., , )
( , ) ( , ) ( , ,..., , )
p x s p s s s s
s
s x s p s s s s
x f x p x f x p p x p x p
p g x p x g x p p x p x p
,
,
ni nini
ni ni ni
f X Pu
v g X P
1
, 1,l
njni n
ij
ini n nj
uX xh a i l
P p v
(16)
şi similar pentru , , obţinem:
(17)
Observaţia Ilea: în condiţiile din ipoteză, dacă aplicăm metoda Runge – Kutta clasică,
de ordin q, pentru o constantă , obţinem:
(18)
Unde sunt erorile introduse de relaţia (9).
Hemker a demonstrat că erorile introduse de metoda Runge – Kutta verifică:
(19) , unde .
Estimarea (19) este uniformă pentru şi , fiind o constantă.
Dacă în plus avem:
(20)
(21)
BIBLIOGRAFIE
1. S. I. Rubinow – Introduction to Mathematical Biology, Ed. Dover ,2002
2. S.S.Sablani, A.K.Datta- Handbook of Food and Bioprocess Modeling Techniques,
CRC Edition, 2006.
3. P. Doran- Bioprocess Engineering Principles, 1997
4. Jan de Leeuw, E. Meijer - Hanbook of Multilevel analysis, Ed. Springer Verlag, 2007
0 1 2 2
0 1 2 2
0 1 2 2
...
...
...
n n n n
ni ni ni ni
ni ni ni ni
x x x x
X X X X
u u u u
np niP niv
0
0
( ) ( )
( ) ( )
m m
n n n m n
m
m m
n n n m n
m
x x t x x t
p p t p p t
0,M M h
0 1 1
10 1
( ) ... ( )
( ) ... ( )
m m m
n n n n n
mm m
n n n n n
x x t x x x O
p p t p p p Oh
0 0 0 0( ), ( )n n n n n nx x x t p p p t
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
q r
n n
r
n n
x x t O h O h
p p t O h1 r q
0h h 1n h M 1M
, ( )li ia b i
( ) ( ) ( )q r
n np p t O h O h