- PORTOFOLIU MATEMATIC - I. NUMERE REALEPUTERI CU EXPONENT NATURALVom reaminti noiunea de putere a unui numr real.Pentru ai *N n ,2 nare loc urmtoarea:Definiie. Se numete puterea n a lui an (citim: a la n), produsul lui a cu el nsui de n ori, nna a a a a ....Reamintim aici principalele proprieti ale puterilor cu exponent natural.EXEMPLE:1) ; 2 2 2 28 5 3 5 3 +2) ; 3 3 3 32 3 5 3 5 3)( ) ; 3 2 3 26 6 6 4) ;81163232444

,_

5)( ) ; 3 3 36 3 232 6) S se determine numerele naturale n pentru care, pe rnd:a) 16 2 4 <

,_

>n. 4 5 32121215 3 < <

,_

>

,_

>

,_

n nREZOLVAREn1) nmulireaputerilor care auaceeai baz:*, ; , N n m x x x xn m n m +. La nmulirea a dou puteri cu aceeai baz se scrie baza i se adun exponenii.2) mprirea puterilor care au aceeai baz: n m N n m x xxxn mnm ; , ; 0 , . Pentru a mpri dou puteri cu aceeai baz, se scrie baza i se scad exponenii.3) Puterea produsului:( )*, , , N n y x y x xyn n n . Pentru a ridica un produs la o putere, se ridic fiecare factor la acea putere.4) Puterea ctului:*, 0 , , , N n y y xyxyxnnn

,_

. Pentru a ridica un ct la o putere, se ridic la cea putere att numitorul ct i numrtorul.5) Ridicareaunei puteri laalt putere:( )*, , , N n m x x xmnnm . Pentrua ridica o putere la alt putere, se scrie baza i se nmulesc exponenii.- PORTOFOLIU MATEMATIC - PUTERI CU EXPONENT NTREG NEGATIVReamintim noiunea de putere cu exponent ntreg negativ.Definiie. Fie *, 0 , N n a a . Se numete puterea (-n) a lui a, notat na, numrul definit prin: nnaa1.i pentruputerilecuexponent ntreg negativ, rmn valabile proprietile puterilor cu exponent natural prezentate mai sus, cu amendamentul c, pentru proprietatea a doua nu mai avem restrician m .EXEMPLE:1) ;91313 3 322 5 5 2) ;81212 2 233 8 5 3)( );31035 235 235253215321444444 4444 4 4

,_

,_

,_

,_

4)( )( );3 32 23232333

,_

5) ( )( );313 3 366 2 323 6)( )1251515 56623 ,_

.PUTERI CU EXPONENT RAIONALn paragraful precedent am definit puterile cu exponent natural i ntreg i am vzut c aceste numere reale au urmtoarele proprieti:1); , ,*Z n m a a an m n m +2) ; 0 , , , a Z n m aaan mnm3) ( ) ; , ,*Z n m b a abm m m 4) ; , 0 , , Z m b ababammm

,_

5)( ) ; , , 0 , Z n m a a amnnm 6) ; 0 , 10 a a7) . , 0 ,1Z m aaamm Se demonstreaz urmtoarea:Lem.1) Fie *, 0 , N n y x . Atunci:y x y xn n ;2) Fie impar n N n y x , , ,. Atunci:y x y xn n .Utiliznd radicalii vom extinde noiunea de putere i pentru exponenii raionali. De aici, n particular, se deduc puterile cu exponent natural i ntreg precum i radicalii.Definiie. Fie0 > ai2 , , ,* n N n Z mnmr . Atunci se numete puterea r a lui a numrul notat ar i egal cu:n mnmra a a .- PORTOFOLIU MATEMATIC - Teorem. Fie Q s r b a > , , 0 ,. Atunci:1) ;s r s ra a a+ 2) ;s rsraaa3) ( ) ;r r rb a ab 4) ;rrrbaba

,_

5)( ) .rssra a EXEMPLE:1) S se rescrie numerele sub form de puteri cu exponent raional: 2 6 55 , 3 , 3.2) S se scrie numerele 25 . 09231214 , 7 , 5 , 3 cu ajutorul radicalilor.3) S se arate c 3124 33 3 3 3 ,_

.REZOLVARE1) 213 3 ; 656 53 3 ;515 5 51222 .2)3 321; 3 315 5 ; 9 2927 7 ;2 2 4 4 44 2 44125 . 0 .3) Se rescriu radicalii ca puteri cu exponent raional i avem4143 3 3 ,616 33 3 3 ,818 43 3 3 . Membrul stng devine:31124121411214124241224141281614128161413 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

,_

,_

,_

+ .Teorem.1) Dac1 > a , atunciQ s r s r a as r < < , ; .2) Dac1 0 < < a , atunciQ s r s r a as r > < , ; .EXEMPLU:1) Verificai care dintre urmtoarele dou numere este mai mare: 545427,43

,_

,_

.REZOLVARE: - PORTOFOLIU MATEMATIC - 5454375454545427436 282167221283472273443

,_

>

,_

>

,_

,_

,_

,_

RADICALI DE ORDIN nDefiniie.(Rdcinaptrat)Fie 0 a . Senumeteradical deordin2dina(sau rdcinptratdina), numrul notat a (citim: radical deordin2dina) cuproprietile: ( ) a a a 2, 0.Definiie. (Rdcinacubic)Fie a . Senumeteradical deordin3dina(sau rdcin cubic din a), numrul notat 3acu proprietatea: ( ) a a 33.Definiie. (Radicalul de ordin n)1) Fie 0 a i*N n , npar. Senumeteradical deordinndina(saurdcin aritmetic de ordin n din a) numrul notat nacu proprietile: ( ) a a ann n , 0.2) Fie a ,*N n , 3 n , n impar. Se numete radical de ordinul n din a numrul real notat nacu proprietatea: ( ) a ann.EXEMPLU:2 2 164 4 4 ;( ) 2 2 32555 ;2323827333

,_

.PROPRIETI ALE RADICALILORA. Radicalul produsului este egal cu produsul radicaliloro n este par' 0 ,0 , ,b a b ab a b aabn nn nn;o n este impar b a b a abn n n, , .EXEMPLU:1) 2 30 5 3 2 2 25 9 8 25 9 8 1800 ;- PORTOFOLIU MATEMATIC - 2)30 5 2 3 5 2 3 5 2 3 27003 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .B. Radicalul ctului este egal cu ctul radicaliloro n este par' 0 , 0 ,0 , 0 , ,b b abab b ababannnnn;o n este impar0 , , , b b ababannn.EXEMPLU:1)34916916 ;2)( ).23238273 3333 C. Ridicarea la putere a unui radicalo n este par( )*, 0 , N m a a an mmn ;o n este impar( )*, , N m a a an mmn .EXEMPLU:1)( ) 9 3 3 32 44 ;2)( ) ( ) ( )3 333 3 3 3 4 34435 5 5 5 5 5 5 5 5 ;D. Simplificarea ordinului i exponentului unei expresii de sub radical printr-un factor comuno n este par' < par m a aN m a aannmn m, 0 ,, 0 ,*;o n este imparimpar m a a an mn m , ,.EXEMPLU:1)27 3 3 33 4 3 4 4 12 ;2) ( ) ( )5535 23 2106125 5 5 5 .E. Extragerea radicalului din radicalo n este par2 , , 0 ,* m N m a a amn n m;o n este imparimpar m N m a a amn n m , , ,*.- PORTOFOLIU MATEMATIC - EXEMPLU:1)6 33 3 ;2)15 3 52 2 ;3)8 42 2 2 .F. Introducerea unui factor sub radicalo n este par'< < 0 , 0 ,0 , 0 ,2 22 22b a b aa b ab an nn nn;o n este impar + + +b a b a b an n n, ,1 2 1 2 1 2.EXEMPLU:1)18 2 9 2 3 2 32 ;2)3896 463263222 .G. Scoaterea unui factor de sub radicalo n este par' 0 , 0 ,0 , 0 ,222 2b a b ab a b ab annn n;o n este impar + + +b a b a b an n n, ,1 2 1 2 1 2.EXEMPLU:1)2 2 2 2 2 2 2 82 2 3 ;2)7 5 7 5 7 5 1752 2 .H. Aducerea mai multor radicali la acelai ordinSe ia cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor utiliznd proprietatea D.EXEMPLU:1) S se aduc 2 i 33la acelai ordin.Cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor, 2 i 3, este 6, i avem: 6 6 38 2 2 i 6 6 2 39 3 3 .RAIONALIZAREA NUMITORULUIRaionalizarea numitorului de formab a tse face prin amplificarea fraciei cu conjugata numitorului.EXEMPLU:1)( )( )( )( )3 633 6 33 6 6 33 6 36 33 ++;2)( )( ) 32 52 5 2 52 52 51 ++ +.- PORTOFOLIU MATEMATIC - Numitorul de forma 3 3b a tsau 3 2 3 3 2b ab a + t.Din egalitatea ( )( ) ( ) ( ) b a b a b ab a b a + + + +3333 3 2 3 3 2 3 3 deducem c expresiile( )3 3b a + , ( )3 2 3 3 2b ab a + sunt conjugate una alteia. Decidac numitorul fraciei este de forma( )3 3b a + , atunci fracia se amplific prin ( )3 2 3 3 2b ab a + , iar dac numitorul este de forma ( )3 2 3 3 2b ab a + , atunci fracia se amplific cu( )3 3b a + . Din egalitatea ( )( ) ( ) ( ) b a b a b ab a b a + + 3333 3 2 3 3 2 3 3 rezult c expresiile( )3 3b a , ( )3 2 3 3 2b ab a + +, sunt conjugate una alteia.EXEMPLU:1)( )( ) ( ) ( )59 6 43 23 6 23 2 3 6 23 6 23 213 3 333333 2 3 3 23 3 3 2 3 3 23 2 3 3 23 3+ ++ + + + +.LOGARITMILogaritmul este alt cuvnt pentru exponentul unei puteri.Avem egalitatea8 23 . Vom spune c 3 este exponentul la care se ridic baza 2 pentru a obine valoarea 8, sau 3 este logaritmul n baz 2 a lui 8 i va fi scris, simplu8 log 32 .Definiie.Fie 1 , 0 > a ai 0 > x . Se numete logaritmul numrului x n baz a, i se noteaz xalog, numrul real z definit prin:x a x yya log .Observaii.1) Nu se poate defini logaritmul unui numr real negativ x, deoarece > y ay, 0 .2)Definiia logaritmului unui numr pozitiv implic trei chestiuni:a) cele dou notaii x yalog ix ayau acelai neles;b) numrul x trebuie s fie strict pozitiv;c) dac1 , 0 > a ai 0 > x , atunci x axalog. Aceast identitate se numete identitatea logaritmic fundamental i afirm c: logaritmul unui numr pozitiv ntr-o baz este exponentul la care se ridic baza pentru a afla numrul.EXEMPLU:1) 8 log 3 8 223 ;2) 1 log 0 1 550 ;3)91log 291332 .PROPRIETILE LOGARITMILORA. Dac 1 , 0 > a a atunci 1 log , 0 1 log aa a.B. Dac 1 , 0 , 0 , > > a a y x, atunci ( ) y x xya a alog log log + (Logaritmul produsului a dou numere este egal cu suma logaritmilor celor dou numere). Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponent i logaritmul bazei puterii: x k xakalog log .- PORTOFOLIU MATEMATIC - C. Dac 1 , 0 , 0 , > > a a y x, atunci y xyxa a alog log log (Logaritmul ctului este egal cu diferena logaritmilor numrtorului i numitorului).D. Dac 1 , 0 , , 0 > > a a x , atuncix xa alog log (Logaritmul puterii unui numr este egal cu produsul dintre exponent i logaritmul numrului).E. (Formula de schimbare a bazei) Dac 1 , ; 0 , ; 0 > > b a b a x, atunci axxbbalogloglog (Formula d trecerea de la logaritmul unui numr n baza a la logaritmul aceluiai numr n noua baz b).F. Dac 1 , ; 0 , > b a b a, atunci baablog1log .G. Dac 1 ; 0 , , > a c b a, atunci b ca ac blog logAPLICAII1) Calculai( ) ( ) ( ) . 5 ; 5 ; 3 ; 3 ; 3 ;32;21;21;213 2 34 44 3 2 3

,_

,_

,_

,_

;81213

,_

;4121212 2

,_

,_

81213

,_

;;81163232444

,_

; 81 34( ) ; 81 3 34 4 ; 3 3 3 333 ( ) ; 5 5 52 2 ( ) 5 5 53 .2) S se scrie ca puteri:oale lui 2 numerele: 1; 8; 16; 64;; 64 2; 16 2; 8 2; 1 26430- PORTOFOLIU MATEMATIC - oale lui 10 numerele: 1; 100; 10 000; 1 000 000.. 1000000 10; 10000 10; 100 10; 1 1064203) S se calculeze:a)( )9 322 322 33423266 2632 25367 ;b)( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 608 625 64 81 5 2 3 5 2 34 6 4222322 ;c)( ) ( )( )559149 1014 157102 7 53 7 719 21 7 57 3 77 19 7 3 5 + + .4) Comparai numerele a i b:a)5 23 , 9 b a( )a ba> > 4 53 3422b)2 3125 , 25 b a( )( )b aba 6236325 55 5c)7 481,321

,_

,_

b a.21 202212122121212173202045b a ba> >

,_

,_

d)( )23 32 , 22 b a.6 92269b a ba> >5) S se determine numerele naturale n pentru care:a) 32 2 8