MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE CONSILIUL NAŢIONAL ...

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALECONSILIUL NAŢIONAL PENTRU CURRICULUM

CURRICULUM NAŢIONAL

PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CLASELE V-VIII

BUCUREŞTI1999

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALECONSILIUL NAŢIONAL PENTRU CURRICULUM

CURRICULUM NAŢIONAL

PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CLASELE A V-A – A VIII-A

ARIA CURRICULARĂ

MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE ALE NATURII

BUCUREŞTI1999

1

Volumul apare sub coordonarea:

Dr. Matei Cerkez Preşedintele Consiliului Naţional pentru Curriculum din cadrul Ministerului Educaţiei NaţionaleCercetător ştiinţific principal – Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei

Dr. Mihaela Singer Coordonatorul Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumCercetător ştiinţific principal – Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei

Laura Căpiţă Membru al Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumCercetător ştiinţific principal – Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei

Lucian Ciolan Membru al Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumPreparator universitar – Universitatea Bucureşti

Dr. Dan Crocnan Membru al Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumProfesor – Liceul Teoretic Miguel Cervantes

Daniel Oghină Membru al Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumCercetător ştiinţific – Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei

Dr. Ligia Sarivan Membru al Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumCercetător ştiinţific principal – Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei

Firuţa Tacea Membru al Grupului de expertiză al Consiliului Naţional pentru CurriculumPreparator universitar – Universitatea Bucureşti

Editor: Consiliul Naţional pentru Curriculum din cadrul Ministerului Educaţiei Naţionale

Institutul de Ştiinţe ale EducaţieiStr. Ştirbei Vodă 37, cod 70732, Bucureşti - 1Telefon/fax: + 40 1 3103204e-mail: [email protected]

Tehnoredactare computerizată:Fotinia Neagu, Elena Parascovici, Vlad Pascu – Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei

Tiparul şi coperta: Tipografia Cicero

© CNC - MEN, 1999. Orice reproducere parţială sau integrală sub orice formă a prezentului volum se face exclusiv cu acordul CNC .

REFORMA CURRICULARĂ ŞI PROGRAMELE ŞCOLARE

Parte extrem de importantă a curriculum-ului scris, programele şcolare trec în România în ultimii ani printr-un proces complex de elaborare şi revizuire în viziune curriculară, care presupune o proiectare în interacţiunea lor a obiectivelor, conţinuturilor, activităţilor de învăţare şi a principiilor şi metodelor de evaluare. Elaborarea unor noi programe şcolare în învăţământul obligatoriu a fost demarată deja în 1994/1995, dar acest lucru s-a făcut pe baza unui plan de învăţământ centralist şi directivist, în lipsa unei viziuni coerente şi moderne despre învăţarea şcolară şi despre contribuţia diferitelor discipline în dobândirea cunoştinţelor şi a competenţelor importante pentru elevi. Desigur, procesul elaborării coerente a programelor şcolare este unul dificil şi de lungă durată, el presupune o muncă de echipă şi profesionalizarea reală a autorilor de curriculum. În prezent, putem considera că elaborarea şi revizuirea periodică a programelor şcolare se află pe un parcurs bun, în orice caz mult mai productiv, în sensul unei reforme reale a învăţământului, decât în anii precedenţi.

În prezent, programele şcolare pentru gimnaziu şi liceu sunt elaborate în concordanţă cu noile planuri-cadru de învăţământ, iar în situaţia multor discipline este vorba de o adevărată revoluţie didactică în ceea ce priveşte conceperea predării/învăţării la clasă. Descongestionarea programului elevilor prin descongestionarea programelor şcolare nu înseamnă un rabat de la calitatea actului educativ şi de la standarde înalte de performanţă la nivelul învăţării. Dimpotrivă, standardele înalte de calitate trebuie să direcţioneze permanent politica curriculară şi sistemul de învăţământ românesc. Aceste standarde nu trebuie însă exprimate prin munţi de informaţie nerelevantă, care fac doar obiectul memorizării şi reproducerii sterile. Viziunea curriculară de alcătuire a programelor şcolare permite tocmai o mai bună orientare a predării/învăţării în raport cu obiective de formare, care vizează competenţe de nivel superior, de aplicare a cunoştinţelor şi competenţelor în contexte noi şi de rezolvare de probleme teoretice şi practice. În loc ca programa să fie una “analitică” în sensul simplist, respectiv o înşiruire de conţinuturi sub formă de capitole şi lecţii, neracordate la ieşiri foarte concrete în termeni de achiziţii posibile şi necesare ale fiecărui elev, noile proiecţii ale predării/învăţării prin programele şcolare poartă amprenta viziunii curriculare. În această viziune, conţinuturile nu devin deloc neimportante, dar ele sunt văzute în mult mai mare măsură decât înainte ca vehicule de formare a competenţelor intelectuale şi relaţionale de nivel superior, a atitudinilor şi comportamentelor necesare unui tânăr într-o societate democratică a timpului nostru.

Noile programe şcolare de gimnaziu şi liceu, aşa cum sunt ele elaborate în prezent sub coordonarea Consiliului Naţional pentru Curriculum, contribuie şi la noi în ţară la adâncirea caracterului profesionalizat al elaborărilor curriculare. Diviziunea muncii în diferite sectoare este de mult o realitate în toate domeniile activităţii umane. Ar fi o iluzie să continuăm promovarea unor slogane populiste în ceea ce priveşte elaborarea curriculum-ului. Desigur, consultarea profesorilor, elevilor şi a părinţilor este un exerciţiu democratic profitabil în orice zonă a educaţiei şi învăţământului, cu atât mai necesară în domeniul cheie al educaţiei şcolare care este curriculum-ul. Trebuie spus însă că în toate ţările civilizate,

Introducere

3

elaborarea curriculum-ului - planuri de învăţământ, programe şi manuale şcolare - a devenit de decenii un domeniu tehnic specializat, un domeniu profesional aparte, aşa cum tinde el să devină în ultimii ani şi în România. De altfel, elaborarea noului Curriculum Naţional, inclusiv la nivelul programelor şcolare, nu este nicidecum un proces închis. El a devenit în ultimii ani din ce în ce mai mult un proces deschis consultărilor publice şi implicării profesioniste a cadrelor didactice creative în domeniul curricular. Acest proces a constituit şi constituie un prilej benefic de exerciţiu intelectual individual şi de grup pentru foarte mulţi profesori şi învăţători/institutori din ţară, membri ai grupurilor de lucru pentru diferite discipline.

O programă şcolară bună, ca orice altă componentă a curriculum-ului, este, până la urmă, rezultatul unui exerciţiu colectiv, desfăşurat însă sub semnul unui profesionalism specific. Noile planuri-cadru de învăţământ stimulează de altfel, prin existenţa curriculum-ului la decizia şcolii, inovaţia curriculară locală la nivelul fiecărui cadru didactic şi la nivelul fiecărei catedre.

Noul curriculum şcolar, prin conceperea lui ca echilibru între curriculum-ul nucleu şi curriculum-ul la decizia şcolii, contribuie în mod specific la descentralizarea şi flexibilizarea deciziilor curriculare la nivelul unităţilor şcolare. Programele şcolare sunt, în acelaşi timp, inspiratoare pentru o nouă viziune didactică în elaborarea manualelor şcolare, care, prin rolul lor de instrument curricular şi didactic, orientează într-o măsură extrem de importantă demersul de predare/învăţare la clasă, inclusiv evaluarea elevilor şi stimularea la aceştia a unei motivaţii susţinute pentru învăţare.

Elaborarea curriculum-ului este un proces continuu, de care sunt legate atât perioade de schimbare profundă, cât şi de stabilitate. În prezent, se apropie la noi încheierea perioadei de schimbări majore la nivelul curriculum-ului scris şi de intrare într-o fază de stabilitate necesară implementării profunde a reformei şi producerii de efecte vizibile la nivelul curriculum-ului efectiv şi realizat.

Curriculum-ul scris nu poate produce efecte profunde decât dacă devine parte a muncii cotidiene a celor implicaţi în actul educativ. De la litera la spiritul unui curriculum este uneori o cale foarte lungă, care nu poate fi străbătută în lipsa formării iniţiale şi continue adecvate a personalului didactic. Anii imediat următori vor fi cu siguranţă dedicaţi acestui proces, în care însă existenţa unor documente de calitate cu rol reglator şi orientativ, precum cele din zona curriculum-ului, este hotărâtoare.

Ministru, Consilier,Andrei Marga Dakmara Georgescu

Introducere

4

CUVÂNT ÎNAINTE

Documentul de faţă cuprinde noile programe şcolare pentru învăţământul gimnazial. Elaborarea acestora a pornit de la următoarele premise:

introducerea planului-cadru la nivelul întregului învăţământ obligatoriu (presupu-nând existenţa curriculum-ului nucleu şi a celui la decizia şcolii);

proiectarea conţinuturilor învăţării din perspectiva unui demers centrat pe formarea de capacităţi şi atitudini, evitându-se memorarea mecanică şi reproducerea de cunoştinţe;

coerenţa verticală în cadrul curriculum-ului (racordarea la programele pentru învăţământul primar, precum şi asigurarea continuităţii de la un ciclu curricular la altul şi de la o clasă la alta);

coerenţa orizontală (stabilirea unor legături între disciplinele aceleiaşi arii curricu-lare şi/sau din arii curriculare diferite).

Programele pentru clasele a V-a – a VIII-a păstrează structura programelor din învăţă-

mântul primar. Ele cuprind: obiective cadru, obiective de referinţă, exemple de activităţi de învăţare, conţinuturi şi standarde curriculare de performanţă.

Obiectivele cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate şi complexitate. Ele se referă la formarea unor capacităţi şi atitudini specifice disciplinei şi sunt urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu.

Obiectivele de referinţă specifică rezultatele aşteptate ale învăţării şi urmăresc progresia în achiziţia de competenţe şi cunoştinţe de la un an de studiu la altul.

Pentru realizarea obiectivelor propuse, pot fi organizate diferite tipuri de activităţi de în-văţare. Programa oferă cel puţin un exemplu de astfel de activităţi pentru fiecare obiectiv de referinţă în parte. Exemplele de activităţi de învăţare sunt construite astfel încât să pornească de la experienţa concretă a elevului şi să se integreze unor strategii didactice adecvate con-textelor variate de învăţare.

Conţinuturile sunt mijloace prin care se urmăreşte atingerea obiectivelor cadru şi a obiectivelor de referinţă propuse. Unităţile de conţinut sunt organizate fie tematic, fie în conformitate cu domeniile constitutive ale diverselor obiecte de studiu.

Standardele curriculare de performanţă sunt criterii de evaluare a calităţii procesului de învăţare. Ele reprezintă enunţuri sintetice, în măsură să indice gradul în care sunt atinse obiectivele curriculare de către elevi. Standardele curriculare de performanţă asigură conexiunea între curriculum şi evaluare. Pe baza lor vor fi elaborate nivelurile de perfor-manţă, precum şi itemii necesari probelor de evaluare.

De asemenea, în elaborarea programelor s-au avut în vedere ciclurile curriculare ale învă-ţământului primar şi gimnazial:

Vârsta 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Clasa Gr.

pregăt.I II III IV V VI VII VIII IX

CiclulCurricular

Achiziţii fundamentale

Dezvoltare Observare şi orientare

Ciclul de dezvoltare (clasele a III-a - a VI-a) are ca obiectiv major formarea capacităţilor de bază necesare pentru continuarea studiilor. Ciclul de dezvoltare vizează:

dezvoltarea achiziţiilor lingvistice şi încurajarea folosirii limbii române, a limbii materne şi a limbilor străine pentru exprimarea în situaţii variate de comunicare;

dezvoltarea unei gândiri structurate şi a competenţei de a aplica în practică rezolvarea de probleme;

familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoaşterii;

Introducere

5

constituirea unui set de valori consonante cu o societate democratică şi pluralistă; încurajarea talentului, a experienţei şi a expresiei în diferite forme de artă; formarea responsabilităţii pentru propria dezvoltare şi sănătate; formarea unei atitudini responsabile faţă de mediu.

Ciclul de observare şi orientare (clasele a VII-a – a IX-a) are ca obiectiv major orientarea în vederea optimizării opţiunii şcolare şi profesionale ulterioare. El vizează:

descoperirea de către elev a propriilor afinităţi, aspiraţii şi valori, în scopul construirii unei imagini de sine pozitive;

formarea capacităţii de analiză a setului de competenţe dobândite prin învăţare, în scopul orientării spre o anumită carieră profesională;

dezvoltarea capacităţii de a comunica, inclusiv prin folosirea diferitelor limbaje specializate;

dezvoltarea gândirii autonome şi a responsabilităţii faţă de integrarea în mediul social.Conform planului-cadru aplicat în sistemul de învăţământ începând cu anul şcolar

1999-2000, programele şcolare conţin curriculum nucleu şi curriculum extins. Curriculum-ul nucleu corespunde numărului minim de ore de la fiecare disciplină

obligatorie prevăzută în planul-cadru de învăţământ. Drept consecinţă, noile programe şcolare cuprind obiective de referinţă, conţinuturi şi standarde curriculare de performanţă, obligatorii pentru toate şcolile şi toţi elevii, asigurându-se astfel egalitatea şanselor în sistemul de învăţământ. Curriculum-ul nucleu reprezintă unicul sistem de referinţă pentru diversele tipuri de evaluări şi examinări externe (naţionale) şi pentru realizarea standardelor curriculare de performanţă.

Curriculum-ul extins (CE) corespunde diferenţei dintre numărul maxim şi minim de ore prevăzute prin plaja orară la disciplinele din planul-cadru de învăţământ. CE cuprinde obiectivele, activităţile de învăţare şi conţinuturile marcate în programă cu asterisc. Se lărgeşte astfel oferta de învăţare, în ceea ce priveşte cunoştinţele, capacităţile şi atitudinile, până la acoperirea numărului maxim de ore din plaja orară a disciplinei respective.

Documentul de faţă reflectă organizarea disciplinelor pe arii curriculare, cuprinzând programele şcolare pentru gimnaziu, în următoarea structură:

Vol. I - ARIA CURRICULARĂ LIMBĂ ŞI COMUNICARE (Limba şi literatura română, Limba latină)

Vol. II - ARIA CURRICULARĂ LIMBĂ ŞI COMUNICARE (Limba engleză, Limba franceză). Volumul include şi programele de învăţământ primar.

Vol. III - ARIA CURRICULARĂ LIMBĂ ŞI COMUNICARE (Limba germană, Limba italiană, Limba rusă, Limba spaniolă). Volumul include şi programele de învăţământ primar.

Vol. IV - ARIA CURRICULARĂ MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE ALE NATURII (Matematică)

Vol. V - ARIA CURRICULARĂ MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE ALE NATURII (Ştiinţe: clasele a III-a – a VI-a; programele valabile în anul şcolar 1999-2000 pentru Biologie: clasele a V-a – a VIII-a, Fizică: clasele a VI-a – a VIII-a, Chimie: clasele a VII-a – a VIII-a)

Vol. VI - ARIA CURRICULARĂ OM ŞI SOCIETATE (Istorie, Istoria şi tradiţiile minorităţilor, Geografie, Cultură civică)

Vol. VII - ARIA CURRICULARĂ OM ŞI SOCIETATE (Religie) Vol. VIII - ARIA CURRICULARĂ ARTE (Educaţie plastică, Educaţie muzicală) Vol. IX - ARIA CURRICULARĂ EDUCAŢIE FIZICĂ ŞI SPORT (Educaţie

fizică) Vol. X - ARIA CURRICULARĂ TEHNOLOGII (Educaţie Tehnologică)

Introducere

6

ARIA CURRICULARĂ

MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE ALE NATURII

Introducere

7

MATEMATICĂ

PROGRAMA ŞCOLARĂ DE MATEMATICĂ

A FOST APROBATĂ PRIN

ORDINUL MINISTRULUI EDUCAŢIEI NAŢIONALE CUNR. 4237 DIN 23.08.1999

Introducere

9

NOTĂ DE PREZENTARE

Studiul matematicii în învăţământul obligatoriu îşi propune să asigure pentru toţi elevii

formarea competenţelor de bază în rezolvarea de probleme implicând calculul algebric şi

raţionamentul geometric.

Învăţarea matematicii în şcoală urmăreşte conştientizarea naturii matematicii ca o

activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un corpus de cunoştinţe şi de proceduri, dar şi

ca o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanţa sa în cotidian şi prin rolul

său în ştiinţele naturii, în tehnologii şi în ştiinţele sociale.

Sensul major al referinţelor actuale în predarea-învăţarea matematicii este mutarea

accentului de pe predarea de informaţii care, în esenţă, au rămas aceleaşi din vechile

programe, pe formarea de capacităţi.

Noul curriculum are în vedere:

construirea unei varietăţi de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri

către domenii ale matematicii;

folosirea de strategii diferite în rezolvarea de probleme;

organizarea unor activităţi variate de învăţare pentru elevi, în grup şi individual, în

funcţie de nivelul şi de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;

construirea unor secvenţe de învăţare care să permită activităţi de explorare/inves-tigare

la nivelul noţiunilor de bază studiate.

Programele şcolare pentru clasele a V-a – a VIII-a continuă în mod firesc demersul propus

prin noul curriculum pentru învăţământul primar, asigurând unitatea conceptuală a studiului

matematicii în învăţământul obligatoriu. Ca urmare, fiecare programă este construită pe

aceeaşi structură, cuprinzând, pentru fiecare an de studiu, obiective cadru, obiective de

referinţă, exemple de activităţi de învăţare, conţinuturi şi, în final, standarde curriculare de

performanţă pentru învăţământul obligatoriu.

Curriculum-ul la decizia şcolii este marcat, pe parcursul fiecărei programe, prin * şi

scriere înclinată.

Programele sunt construite astfel încât să nu îngrădească, prin concepţie sau mod de

redactare, libertatea profesorului de a alege succesiunea temelor şi metodele pe care le

consideră cele mai adecvate. Criteriul de asigurare a calităţii actului de predare-învăţare este

reprezentat de realizarea obiectivelor de referinţă, la sfârşitul fiecărui an, precum şi de

atingerea standardelor curriculare, la sfârşitul învăţământului obligatoriu.

Matematică

10

OBIECTIVE CADRU

1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii

2. Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme

3. Dezvoltarea capacităţii de a comunica, utilizând limbajul matematic

4. Dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate

Matematică

12

CLASA A V-A

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE


Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare

La sfârşitul clasei a V-a elevul va fi capabil:

Pe parcursul clasei a V-a se recomandă următoarele activităţi:

1.1 să scrie, să citească, să compare şi să reprezinte pe axă numere naturale, în-tregi, fracţionare şi zecimale

exerciţii de citire şi scriere de numere naturale în sistemul zecimal; explicitarea scrierii unui număr natural în baza 10;exemplificarea utilizării numerelor în-tregi: termometru, altitudine, debit-credit etc.exerciţii de scriere şi citire a unei fracţii: fracţii ordinare, fracţii zecimale; exerciţii de reprezentare pe axă a numerelor raţionale; exerciţii de comparare şi ordonare a numerelor, utilizând cât mai multe metode;

1.2 să efectueze calcule conţinând adunări, scăderi, înmulţiri, împărţiri şi ridicări la putere, cu numere naturale, fracţionare şi zecimale, utilizând proprietăţile opera-ţiilor de adunare şi înmulţire, *precum şi regulile de calcul cu puteri

exerciţii de calcul cu numere naturale, urmărind respectarea ordinii operaţiilor şi folosirea corectă a parantezelor;adunări şi scăderi: cu numere fracţio-nare având acelaşi numitor sau numitori diferiţi, prin aducerea la un numitor co-mun; cu numere zecimale; cu ambele ti-puri de numere;înmulţiri şi împărţiri cu numere zeci-male;ridicări la putere cu exponent natural, a numerelor zecimale;exerciţii semnificative, care să scoată în evidenţă avantajele folosirii proprietăţilor operaţiilor;

1.3. să folosească aproximări ale numerelor naturale, fracţionare şi zecimale pentru a es-tima sau a verifica validitatea unor calcule

exerciţii de comparare a două numere naturale care au: acelaşi număr de cifre; număr diferit de cifre;exerciţii de evaluare a rezultatelor unor adunări, scăderi, înmulţiri, împărţiri, înainte de efectuarea calculului, utilizând eventual estimarea termenilor (a facto-rilor); exerciţii de comparare a numerelor raţionale, folosind reprezentarea pe axă; exerciţii de aproximare a numerelor naturale la numere divizibile cu puteri ale lui 10, prin lipsă, adaos sau prin rotunjire

Clasa a V-a

13

pâna la cea mai apropiată zece, sută sau mie; exerciţii de aproximare a numerelor fracţionare la numere naturale sau zeci-male;exerciţii de aproximare a numerelor zecimale la numere zecimale cu un numar mai mic de cifre zecimale semnificative, sau la numere naturale;

1.4 să utilizeze elemente de logică şi de teoria mulţimilor pentru a justifica etape în rezolvarea unor probleme

exerciţii de utilizare a operatorilor "şi", "sau", "nu", "dacă-atunci" în contexte uzuale sau matematice;exerciţii de reprezentare a unei mulţimi, folosind: enumerarea elementelor; enun-ţarea unei proprietăţi comune a elemen-telor; diagrame Venn-Euler; exemple de mulţimi egale şi exemple de mulţimi între care există relaţia de incluziune; exersa-rea operaţiilor cu mulţimi;exerciţii de identificare a numerelor divizibile cu 2, 5, 10 dintr-o mulţime de numere;exerciţii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă etc.;proba unei operaţii folosind operaţia inversă;

1.5 să utilizeze ecuaţii de tipul x±a=b; x · a=b; x:a=b (a0) şi inecuaţii de tipul x±a<b; x · a<b; x:a<b (a0), unde a şi b sunt numere naturale, în rezolvarea unor probleme

exerciţii de transcriere a unei situaţii problemă în limbaj matematic, înlocuind numerele necunoscute cu simboluri;analiza unor probleme care conduc la formule de tipul a±b=x, a±b±c=x, a · b=x, a:b=x (b0): identificarea datelor şi a necunoscutelor; identificarea operaţiilor prin care se ajunge la rezolvare; identificarea tipului problemei (a formulei); construirea unor probleme după astfel de "formule" date;exerciţii de rezolvare a unor ecuaţii: prin încercări; folosind operaţia inversă; metoda figurativă; modelul balanţei;rezolvarea unor probleme cu text prin metoda reducerii la unitate sau prin rezolvarea unei ecuaţii de tipul x±a=b, x · a=b, unde a şi b sunt numere naturale;

1.6 să recunoască figuri şi corpuri geometrice; să deseneze figurile şi să construiască din diferite materiale corpurile cunoscute

exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a figurilor geometrice; exerciţii de identificare a figurilor plane pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora;exerciţii de reprezentare a figurilor geometrice prin desen;exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a corpurilor geometrice;

Matematică

14

construirea unor corpuri geometrice prin asamblarea unor desfăşurări, prin modelaj etc.;

1.7 să folosească simetria şi translaţia pentru a construi modele geometrice; *să lo-calizeze puncte de coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonale

analiza unor exemple de simetrie şi translaţie din cotidian; analiza unor exemple de figuri cu şi fără axă de sime-trie; exerciţii de desen pe reţeaua de pătrate;*exerciţii de reperare a unor puncte (poziţii), utilizând diferite repere: tabla de şah, meridianele şi paralelele; exer-ciţii de reprezentare a unor puncte în cadrul reperelor descrise mai sus; exerci-ţii de reprezentare a unui punct de coor-donate întregi într-un sistem de axe orto-gonale;

1.8 să efectueze transformări între multiplii şi submultiplii principalelor unităţi din sis-temul internaţional de măsuri (pentru lungime, arie, volum, masă, timp); să esti-meze măsuri ale unor obiecte din mediul apropiat

activităţi care să pună în evidenţă nece-sitatea unui etalon comun pentru efec-tuarea unor măsurători: măsurarea cu di-ferite unităţi nestandard, compararea re-zultatelor;exerciţii de calcul în care intervin transformări cu unităţi de măsură;exerciţii de alegere a celei mai potrivite unităţi de măsură, pentru un anumit context dat;exerciţii de apreciere a dimensiunilor, capacităţii, masei unor obiecte familiare; aprecierea distanţelor;

1.9 să înregistreze, să clasifice şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame statistice simple

exerciţii de clasificare a unor obiecte con-crete sau matematice, după criterii date;reperarea unei informaţii dintr-un tabel sau listă; reprezentarea unor date în tabele cu una şi două intrări; realizarea unor diagrame statistice simple (grafice cu bare);realizarea unor experimente de tip probabilistic şi întocmirea unor tabele cu rezultatele acestora.





2.1 să exploreze modalităţi de descompunere a numerelor naturale şi zecimale, folo-sind operaţiile studiate

exerciţii de scriere a unui număr natural sau zecimal ca o sumă, diferenţă, produs, cât, putere, în cât mai multe moduri dife-rite;descompunerea numerelor naturale, res-pectând criterii suplimentare date: des-compunerea în baza zece; “proba împăr-ţirii” (teorema împărţirii cu rest);

2.2 să investigheze valoarea de adevăr1 a unei exerciţii de verificare a validităţii unor

Clasa a V-a

15

afirmaţii, prin construirea unor exempleafirmaţii, pe cazuri particulare;

2.3 să descopere, să recunoască şi să comple-teze succesiuni de numere asociate după reguli identificate prin observare

exerciţii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o anumită regulă; identificarea regulii de formare a şirului şi exprimarea ei, în cuvinte sau printr-o formulă, desen etc.; alcătuirea unor şi-ruri, pornind de la o regulă dată; inven-tarea unor reguli de alcătuire a şirurilor;

2.4 să recunoască veridicitatea unor rezultate obţinute prin măsurare sau calcul

identificarea rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile; folosirea estimărilor, a măsurătorilor;

2.5 să construiască probleme pornind de la un enunţ parţial sau de la un model (grafic sau formulă)

compararea unor probleme create pornind de la acelaşi element de sprijin;generalizarea unor scheme, grafice, for-mule, situaţii matematice şi aprecierea va-lidităţii şi utilităţii generalizărilor făcute.

3. Dezvoltarea capacităţii de a comunica utilizând limbajul matematic




3.1 să identifice informaţiile esenţiale dintr-un enunţ matematic prezentat în diverse forme

notarea prescurtată a datelor unei pro-bleme;transpunerea din limbaj cotidian în lim-baj matematic;

3.2 să prezinte clar, corect şi concis, oral sau în scris, metodele şi/sau operaţiile utili-zate în rezolvarea unei probleme

redactarea rezolvării unei probleme date;argumentarea orală a demersului de rezolvare a unei probleme,

3.3 să-şi asume diverse roluri de învăţare în cadrul unui grup

formulare de probleme pentru colegi;rezolvarea unor probleme propuse de colegi.





4.1 să-şi formeze obişnuinţa de a exprima prin operaţii matematice anumite pro-bleme practice

abordarea unor situaţii problemă; trans-punerea acestora din limbaj curent în lim-baj matematic;

4.2 să manifeste perseverenţă în rezolvarea unei probleme; să participe cu idei noi la găsirea soluţiei

utilizarea unor metode variate în rezol-varea unei probleme.

CONŢINUTURI

1. Numere naturaleScrierea şi citirea numerelor naturale; şirul numerelor naturale

1 Se va opera cu termenii: adevărat, fals.

Matematică

16

Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea şi ordonarea numerelor naturale Adunarea numerelor naturaleScăderea numerelor naturaleÎnmulţirea numerelor naturale; ordinea efectuării operaţiilorÎmpărţirea cu rest a numerelor naturaleOrdinea efectuării operaţiilor. Factorul comun Divizor, multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5. Numere pare şi numere impareRezolvarea şi alcătuirea de ecuaţii, inecuaţii şi probleme care conduc la efectuarea operaţiilor studiate (inclusiv elemente de organizare a datelor)Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural; *pătrate perfecte Pătratul şi cubul unui număr naturalCompararea şi ordonarea puterilor; reguli de comparare a puterilor Ordinea efectuării operaţiilor. *Reguli de calcul cu puteriSistemul de numeraţie zecimal *Istoria evoluţiei sistemelor de scriere a numerelor. *Baze de numeraţiePropozitii adevărate şi propoziţii false "Şi", "sau", "nu", "dacă - atunci" Mulţimi (descriere şi scriere); element, relaţia de apartenenţă Mulţimile N şi N*

Numere întregi negative. Mulţimea numerelor întregi. Reprezentarea pe axă a unui număr întregRelaţii între mulţimi; submulţime Operaţii cu mulţimi (intersecţie, reuniune, *diferenţă) Exemple de mulţimi finite; mulţimea divizorilor unui număr natural Exemple de mulţimi infinite; mulţimea multiplilor unui număr natural.

2. Numere raţionale Fracţie; reprezentarea fracţiilor cu ajutorul unor deseneFracţii echiunitare, subunitare, supraunitareFracţii egale. Reprezentări echivalente ale fracţiilorAmplificarea şi simplificarea fracţiilor. Şir de fracţii egale; număr raţional pozitiv Aducerea fracţiilor la un numitor comun.Adunarea şi scăderea numerelor raţionale pozitive2. Compararea fracţiilorAflarea unei fracţii dintr-un numărScrierea fracţiilor cu numitori puteri ale lui 10 sub formă zecimală Compararea, ordonarea, reprezentarea pe axă a numerelor raţionale scrise sub formă zecimală. RotunjiriAdunarea şi scăderea numerelor care au un număr finit de zecimale nenuleÎnmulţirea numerelor care au un număr finit de zecimale nenule (înmulţirea cu 10 n, nN; înmulţirea cu un număr natural; înmulţirea a două numere scrise cu virgulă)Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr care are un număr finit de zecimale nenule Împărţirea numerelor naturale cu rezultat număr zecimal. *Periodicitate

2 Exerciţiile vor conţine fracţii al căror cel mai mic numitor comun se poate calcula prin observare directă sau prin încercări.

Clasa a V-a

17

Împărţirea numerelor care au un număr finit de zecimale nenule la 10n (nN) sau la un număr natural, sau la un număr zecimal Ordinea efectuării operaţiilor cu numere zecimale. *Aproximări zecimaleRezolvarea şi alcătuirea de ecuaţii, inecuaţii şi probleme care presupun operaţiile învăţateMedia artimetică a două sau a mai multor numere; aplicaţiiRaport; procent. Mulţimea numerelor raţionale QQ..

3. Elemente de geometrie şi unităţi de măsură Figuri geometrice: linii drepte, linii curbe, poligoane, unghiuri, triunghiuri, patrulatere (prezentare prin descriere şi desen; observarea elementelor lor: laturi, vârfuri, unghiuri) Instrumente geometrice. Desenarea figurilor geometrice şi măsurarea lungimilor şi a unghiurilor.Drepte perpendiculare. Drepte paralele. *Localizarea în plan a unui punct de coordonate întregiConstruirea de figuri folosind simetria şi translaţiaCorpuri geometrice (descriere; evidenţierea elementelor: vârfuri, muchii, feţe)Măsurarea şi estimarea unor lungimi, perimetre şi arii, folosind diferite etaloaneUnităţi de măsură pentru lungime; transformări; măsurarea lungimii unui segment, a unor linii frânte; perimetreUnităţi de măsură pentru suprafaţă; transformări; aria pătratului şi a dreptunghiului; suprafeţe echivalenteUnităţi de măsură pentru volum; transformări; volumul cubului şi al paralelipipedului dreptunghic Unităţi de măsură pentru capacitate; transformăriUnităţi de măsură pentru masă; transformăriUnităţi de măsură pentru timp; transformări.

Matematică

18

CLASA A VI-A




La sfârşitul clasei a VI-a elevul va fi capabil:

Pe parcursul clasei a VI-a se recomandă următoarele activităţi:

1.1 să scrie, să citească, să compare şi să re-prezinte pe axă numere întregi şi numere raţionale pozitive

exerciţii de comparare şi ordonare a numerelor naturale, întregi sau raţionale pozitive, folosind axa numerelor, valoa-rea absolută a unui număr întreg sau utili-zând alte metode; exerciţii de reprezen-tare pe axa numerelor;exerciţii de scriere şi citire a unui nu-măr raţional pozitiv (reprezentat printr-o fracţie ordinară sau zecimală); transfor-mări;

1.2 să efectueze calcule cu numere întregi şi raţionale pozitive

utilizarea proprietăţilor operaţiilor în calcule conţinând adunări, scăderi, înmul-ţiri, împărţiri şi ridicări la putere;

1.3 să aproximeze numere raţionale pozitive, pentru a verifica validitatea unor calcule

exerciţii de aproximare a numerelor fracţionare la numere naturale sau zeci-male; exerciţii de aproximare a numerelor zecimale la numere zecimale cu un număr mai mic de cifre zecimale semnificative, sau la numere naturale;exerciţii de estimare a rezultatului unui calcul, folosind estimarea termenilor (factorilor);

1.4 să utilizeze elemente de logică, de teoria mulţimilor şi de divizibilitate, pentru a justifica valoarea de adevăr3 a unor enun-ţuri

exemple şi exerciţii de utilizare a ter-menilor: ipoteză, concluzie, demonstraţie, axiomă, teoremă;exerciţii de identificare a numerelor divizibile cu 2,3,5,10 dintr-o mulţime de numere întregi;exerciţii de calcul al c.m.m.d.c. şi al c.m.m.m.c.;verificarea corectitudinii unor calcule, folosind: ultima cifră, criterii de divizi-bilitate etc.;exerciţii ce folosesc proprietăţile rela-ţiei de divizibilitate;exerciţii de identificare a numerelor pri-me şi a perechilor de numere prime între ele;

1.5 să utilizeze ecuaţii de tipul x±a=b; x · a=b; x:a=b (a0) şi inecuaţii de tipul

exerciţii de rezolvare a unor ecuaţii şi inecuaţii;

3 Fără a folosi termenul “valoare de adevăr”.

Clasa a VI-a

19

x±a<b; x · a<b; x:a<b (a0), unde a şi b sunt numere raţionale pozitive, pentru a rezolva probleme

rezolvarea unor ecuaţii care presupun aflarea termenului necunoscut al unei proporţii; exerciţii de transformare a unui raport dat în raport procentual;rezolvarea unor probleme cu ajutorul acestor tipuri de ecuaţii şi inecuaţii; re-zolvarea unor probleme ce presupun îm-părţirea unui număr în părţi direct (in-vers) proporţionale cu mai multe numere date sau folosirea regulii de trei simplă;

1.6 să recunoască şi să utilizeze proprietăţi simple ale figurilor geometrice; să dese-neze reprezentarea plană a unor corpuri geometrice cunoscute

exerciţii de identificare, denumire şi re-prezentare a figurilor geometrice; exerci-ţii de desenare a unor figuri geometrice prezentate prin descriere, notaţii sau imagine;exerciţii de identificare a figurilor plane pe corpuri geometrice (vârfuri, muchii, feţe etc.) sau pe desfăşurări ale acestora;exerciţii de reprezentare prin desen a unor elemente ale figurilor geometrice (mijlocul unui segment, bisectoarea unui unghi, bisectoarea, mediana, mediatoarea şi înălţimea în triunghi); utilizarea lor în probleme;exerciţii de stabilire a naturii unor figuri geometrice dintr-o configuraţie plană sau spaţială, pe baza unor proprietăţi preci-zate; rezolvarea de probleme ce utilizează aceste proprietăţi;exerciţii de stabilire a congruenţei unor triunghiuri, pe baza criteriilor de con-gruenţă; rezolvarea de probleme folosind metoda triunghiurilor congruente;rezolvarea de probleme folosind crite-riile de paralelism;

1.7 să recunoască perechi de figuri obţinute prin simetrie, translaţie sau rotaţie şi să identifice proprietăţi ale acestora; să localizeze puncte de coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonale

verificarea intuitivă a congruenţei unor figuri prin suprapuneri sau folosind trans-laţii, rotaţii şi simetrii;folosirea proprietăţilor de simetrie ale figurilor (triunghi isoscel, triunghi echila-teral, paralelogram) în rezolvarea de pro-bleme;exerciţii de reperare a unor puncte (po-ziţii), utilizând diferite repere: tabla de şah, meridianele şi paralelele; exerciţii de reprezentare a unor puncte în cadrul repe-relor descrise mai sus; exerciţii de repre-zentare a unui punct de coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonale;

1.8 să măsoare lungimi şi unghiuri şi să estimeze perimetre, distanţe, arii şi volume ale unor figuri şi corpuri geo-metrice

exerciţii de folosire a instrumentelor de măsură (riglă gradată, raportor);exerciţii de estimare a unor măsuri, în cazurile: estimare directă; măsuri rezul-tate din calcul, prin estimarea măsurilor

Matematică

20

componente;exerciţii de estimare: a unor distanţe şi lungimi de segmente; a măsurii unor un-ghiuri; a ariei unor suprafeţe, folosind reţele de pătrate;

1.9 să înregistreze, să prelucreze şi să pre-zinte date sub formă de tabele şi diagrame statistice; să calculeze probabilitatea unor evenimente aleatoare egal probabile

clasificarea unor obiecte după anumite criterii, date sau alese;reprezentarea datelor prin grafice cu bare şi grafice circulare;studiul unor evenimente aleatoare într-un câmp finit de evenimente elementare egal probabile: realizarea unui experi-ment, înregistrarea şi interpretarea date-lor, calculul frecvenţei, calculul proba-bilităţii de realizare utilizând raportul: nr.cazuri favorabile/nr. cazuri posibile.





2.1 să exploreze modalităţi de descompunere a numerelor întregi şi raţionale, folosind operaţiile studiate

exerciţii de scriere a unui număr ca o sumă, diferenţă, produs, cât, putere de două sau mai multe numere, în cât mai multe moduri diferite; descompunerea numerelor, respectând criterii suplimentare date; cazuri speciale de descompunere: descompunerea în produs de puteri de numere prime; descompunerea în baza 10; "proba împărţirii" (teorema împărţirii cu rest);utilizarea descompunerilor pentru a calcula rapid;

2.2 să investigheze valoarea de adevăr4 a unei afirmaţii, prin construirea unor exemple sau contraexemple

identificarea unor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze; întrebări deschise de tipul: "Ce s-ar întâmpla dacă modificăm ipoteza?" (situaţia descrisă putând fi una din cotidian, o situaţie matematică, un experiment etc);exerciţii de verificare a validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare;

2.3 să descopere, să recunoască, să com-pleteze succesiuni de numere asociate după reguli date sau deduse prin observare şi comparare

exerciţii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă etc.; identificarea regulii de formare a şirului şi exprimarea ei printr-o formulă; alcătuirea unor şiruri, pornind de la o regulă dată; inventarea unor reguli de alcătuire a şirurilor;

2.4 să analizeze veridicitatea unor rezultate obţinute prin măsurare sau prin calcul

verificarea rezultatului unui calcul, folosind modalităţi diferite de rezolvare;


Clasa a VI-a

21

folosirea estimărilor, a măsurătorilor, a comparărilor;

2.5 să construiască probleme, pornind de la un model (grafic sau formulă)

analiza datelor unei probleme pentru verificarea noncontradicţiei, suficienţei, redundanţei şi eliminarea informaţiilor neesenţiale;formulări de probleme, pornind de la o schemă, grafic, formulă;compararea unor probleme create por-nind de la acelaşi element de sprijin;generalizarea unor scheme, grafice, for-mule, situaţii matematice şi aprecierea validităţii şi utilităţii generalizărilor fă-cute.





3.1 să diferenţieze informaţiile dintr-un enunţ matematic după natura lor

identificarea ipotezei şi a concluziei unei probleme;notarea prescurtată a ipotezei şi a concluziei;sesizarea elementelor relevante dintr-un desen (diagramă, figură geometrică etc.);

3.2 să prezinte într-o manieră clară, corectă şi concisă, oral sau în scris, succesiunea ope-raţiilor din rezolvarea unei probleme, folo-sind terminologia şi notaţiile adecvate

redactarea rezolvării unei probleme date;argumentarea orală a demersului de rezolvare a unei probleme;

3.3 să discute corectitudinea unui demers matematic, argumentându-şi opiniile

discutarea în grup a metodei de rezolvare a unei probleme;găsirea, în grup, a unor metode alter-native de rezolvare.





4.1 să-şi formeze obişnuinţa de a transpune în limbaj matematic anumite fenomene sau relaţii din viaţa cotidiană

activitate-proiect: concepte şi metode matematice necesare într-un anumit do-meniu practic de activitate;abordarea unor situaţii-problemă şi transpunerea acestora din limbaj curent în limbaj matematic;

4.2 să manifeste perseverenţă în rezolvarea unei probleme; să propună soluţii sau metode alternative de rezolvare

utilizarea unor metode variate în rezolvarea unei probleme.

CONŢINUTURI

Matematică

22

ALGEBRĂ

1. Numere naturaleMulţimea numerelor naturaleDivizor, multipluCriteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în NNumere prime şi numere compuseDescompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere primeDivizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. Numere prime între ele.Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.2. Operaţii cu numere raţionale pozitiveForme de scriere a unui număr raţional. Reprezentări prin desen sau pe axa numerelor Adunarea numerelor raţionale pozitive Scăderea numerelor raţionale pozitive Înmulţirea numerelor raţionale pozitive Împărţirea numerelor raţionale pozitive Ordinea efectuării operaţiilor. Ecuaţii.3. Rapoarte şi proporţiiRapoarteProporţii; proprietatea fundamentală a proporţiilor, aflarea unui termen necunoscutProcente. Rezolvarea de probleme în care intervin procenteMărimi direct proporţionale. Reprezentarea grafică a dependenţei direct proporţionale. Regula de trei simplăMărimi invers proporţionale. Reprezentarea grafică a dependenţei invers proporţionale. Regula de trei simplăReprezentarea datelor prin grafice (grafice cu bare); elemente de organizare a datelor şi de probabilităţi.4. Numere întregiNumăr întreg; reprezentarea pe axa numerelor; opus; valoare absolutăCompararea şi ordonarea numerelor întregiReprezentarea unui punct cu coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonaleAdunarea numerelor întregiScăderea numerelor întregiÎnmulţirea numerelor întregi. Multiplii unui număr întregÎmpărţirea numerelor întregi când deîmpărţitul este multiplu al împărţitoruluiDivizorii unui număr întregPuterea unui număr întreg cu exponent număr naturalReguli de calcul cu puteriOrdinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelorRezolvarea unor ecuaţii în Z Rezolvarea unor inecuaţii în Z.

GEOMETRIE

Clasa a VI-a

23

1. Figuri şi corpuri geometriceInstrumente geometrice (riglă gradată, riglă negradată, compas, echer); folosirea lor pentru a desena diferite configuraţiiFiguri geometrice: triunghiuri, patrulatere, cercuri, segmente, linii frânte, linii curbe (prezentare prin descriere şi desen); intersecţia a două cercuri (prezentare intuitivă)Corpuri geometrice: cub, paralelipiped dreptunghic (cuboid), piramidă, sferă, cilindru, con (descriere; evidenţierea elementelor: vârfuri, muchii, feţe; desfăşurarea cubului şi a paralelipipedului dreptunghic)Identificarea unor figuri geometrice plane pe feţele corpurilor geometrice cunoscute.

2. DreaptaPunct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare).Poziţiile relative ale unui punct faţă de o dreaptă; puncte coliniare; “prin două puncte distincte trece o dreaptă şi numai una”Poziţiile relative a două drepte: drepte concurente, drepte paralele, drepte care nu sunt situate în acelaşi planDistanţa dintre două puncte; lungimea unui segment; figuri congruenteSegmente congruente; mijlocul unui segment; construcţia unui segment congruent cu un segment dat.

3. UnghiuriDefiniţie, notaţii, elemente; interior, exterior; unghi nul, unghi cu laturile în prelungire Măsurarea unghiurilor cu raportorul; construirea, cu ajutorul raportorului, a unui unghi având o măsură dată. Unghiuri congruente Unghi drept, unghi ascuţit, unghi obtuzCalcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade sexagesimale, minute, secundeUnghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi. Unghiuri suplementare, unghiuri complementareUnghiuri opuse la vârf, congruenţa acestora; unghiuri în jurul unui punct - suma măsurilor.

4. Congruenţa triunghiurilorTriunghi: definiţie, elemente; tipuri de triunghiuri: scalen, isoscel, echilateral, dreptunghic, obtuzunghic, ascuţitunghic (definiţie, desen); perimetrul triunghiului; unghi exterior unui triunghi (definiţie)Construcţia triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL. Congruenţa triunghiurilor oarecare: criterii de congruenţă a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL (deduse din cazurile de construcţie)Elemente de raţionament geometric (ipoteză, concluzie, demonstraţie, axiomă, teoremă)Metoda triunghiurilor congruente.

5. PerpendicularitateDrepte perpendiculare (definiţie, notaţie, construcţie cu echerul); oblice; distanţa de la un punct la o dreaptăCazurile de construcţie şi criteriile de congruenţă pentru triunghiurile dreptunghiceMediatoarea unui segment; proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment (demonstraţie); construcţia mediatoarei unui segment cu rigla şi compasul; concurenţa mediatoarelor laturilor unui triunghi; *cercul circumscris unui triunghiProprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi (demonstraţie); construcţia bisectoarei unui unghi cu rigla şi compasul; concurenţa bisectoarelor în triunghi; *cercul înscris în triunghi.6. ParalelismDrepte paralele (definiţie, notaţie); construirea dreptelor paralele (prin translaţie); axioma

Matematică

24

paralelelor."Două drepte distincte, paralele cu o a treia dreaptă, sunt paralele între ele"Criterii de paralelism (teoreme referitoare la unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă).7. Proprietăţi ale triunghiurilorSuma măsurilor unghiurilor unui triunghi (demonstraţie); teorema unghiului exteriorÎnălţimea în triunghi (definiţie, desen în cazurile: triunghi ascuţitunghic, triunghi dreptunghic, triunghi obtuzunghic); aria triunghiului (intuitiv, pe reţele de pătrate); mediana în triunghi (definiţie; proprietatea medianei de a împărţi triunghiul în două triughiuri de arii egale) Concurenţa înălţimilor şi a medianelor (fără demonstraţie)Simetria faţă de o dreaptă; proprietăţile triunghiului isoscel (unghiuri, linii importante, simetrie); proprietăţile triunghiului echilateral (unghiuri; linii importante; simetrie).8. PatrulaterePatrulater convex (definiţie, desen); patrulatere particulare (paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez – definiţie, desen)Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convexParalelogram: proprietăţi (ale laturilor, unghiurilor, diagonalelor); simetria faţă de un punctParalelograme particulare: proprietăţi.

Clasa a VI-a

25

CLASA A VII-A




La sfârşitul clasei a VII-a elevul va fi capabil:

Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităţi:

1.1 să scrie, să citească, să compare şi să reprezinte pe axă numere reale

exerciţii de comparare şi ordonare a numerelor reale de forma (a,bR, b>0), folosind axa numerelor, valoarea absolută a unui număr real sau utilizând alte metode;scrierea unui număr raţional în forme echivalente, prin: amplificare şi simpli-ficare; transformarea din fracţie ordinară în fracţie zecimală şi invers; scrierea unui număr ca radical din pătratul său;scrierea unor numere iraţionale în forme echivalente, utilizând introducerea şi scoa-terea unor factori de sub radical:exerciţii de reprezentare a numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relaţii metrice în triunghiul dreptunghic;exerciţii de poziţionare a unor numere din R\Z între doi întregi consecutivi;exerciţii de recunoaştere a numerelor naturale, întregi sau raţionale, dintr-o mulţime de numere dată;exerciţii de determinare a naturii unui număr zecimal (raţional sau iraţional), fiind dată o regulă de succesiune a zecimalelor (ex: 0,101001000100001...);

1.2 să efectueze calcule cu numere reale, utilizând proprietăţile operaţiilor

exerciţii de calcul cu numere reale de forma (introducerea factorilor sub radical, scoaterea factorilor de sub radi-cal, înmulţire, ridicare la putere, împăr-ţire, adunare şi scădere); amplificare (pentru raţionalizarea numitorului) şi simplificare de rapoarte de numere reale; folosirea în calcule numerice a formulelor de calcul prescurtat;exerciţii de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale pozitive;exerciţii de anticipare a naturii unui număr rezultat dintr-un şir de operaţii;evidenţierea legăturii dintre o putere cu exponent negativ şi inversul unui număr;exerciţii semnificative, care să scoată în evidenţă avantajele folosirii proprietăţilor

Matematică

26

operaţiilor cu numere raţionale;1.3 să aproximeze numere reale, pentru a

verifica validitatea unor calculeexerciţii de evaluare a rezultatelor unor adunări, scăderi, înmulţiri, ridicări la putere, împărţiri, extrageri de rădăcină pătrată, înainte de efectuarea calculului;calcule folosind atât calculatorul (de buzunar, PC etc), cât şi algoritmii învă-ţaţi, punând sistematic în evidenţă eroa-rea datorată rotunjirilor;exerciţii de aproximare a soluţiei unui sistem, folosind reprezentarea grafică;

1.4 să utilizeze elemente de logică şi ele-mente de teoria mulţimilor pentru a sta-bili valoarea de adevăr5 a unor enunţuri

exerciţii de identificare a ipotezei şi a concluziei într-un enunţ matematic; pune-rea în evidenţă a rolului diferit al ipotezei şi al concluziei;analiza unor enunţuri ce folosesc ope-ratori logici; formularea unor astfel de enunţuri;construirea unor exemple de mulţimi finite şi de mulţimi infinite (de exemplu: mulţimea divizorilor naturali ai unui nu-măr natural; mulţimea multiplilor naturali ai unui număr natural);analiza unor exemple de mulţimi întâl-nite în studiul altor discipline;scrierea mulţimii divizorilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-ţimea divizorilor naturali;scrierea mulţimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-ţimea multiplilor naturali;

1.5 să identifice elementele unor dependenţe funcţionale şi să utilizeze reprezentări ale acestora

analiza unor exemple de dependenţe funcţionale întâlnite în studiul altor disci-pline; construcţia unor exemple de depen-denţe funcţionale; exerciţii de scriere a formulei care defineşte o dependenţă funcţională definită pe o mulţime finită (în cazul unor formule simple);

1.6 să utilizeze elemente de calcul algebric pentru simplificarea unor formule de calcul

exerciţii de aplicare a formulelor pentru calculul mediilor aritmetică şi geome-trică, al ariilor, al volumelor; interpre-tarea geometrică a mediilor; rezolvarea unor probleme în care apar medii; exer-ciţii de comparare a mediilor aritmetică şi geometrică a două numere (pe exemple concrete; eventual: demonstraţie alge-brică; demonstraţie geometrică); exersarea operaţiilor cu numere reale reprezentate prin litere (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg); aducerea la o formă mai simplă a unor numere în a căror scriere intervin fracţii,


Clasa a VII-a

27

paranteze, radicali etc.;exerciţii de descompunere a numerelor reale reprezentate prin litere: în sumă sau diferenţă; în factori, folosind diferite metode; restrângeri în pătrate de sume;studiul unor ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c R, prin: identificarea a două sau mai multe perechi de numere care verifică ecuaţia; reprezentarea punctelor corespunzătoare, într-un sistem de axe ortogonale; observarea colinia-rităţii acestor puncte;reprezentarea grafică a dreptei soluţiilor unei ecuaţii de forma ax+by+c=0, (cu a, b, c R, nu toate nule), pornind de la două puncte ale acesteia;rezolvarea unor sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, folosind: metoda grafică; metoda reducerii; metoda sub-stituţiei;rezolvarea unor inecuaţii de forma ax+b<0 (>, , ), a,b R, punând sis-tematic în evidenţă legătura dintre ine-cuaţie, soluţia sa şi reprezentarea pe axă a acestei mulţimi de numere (sub forma unei semidrepte);rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor;utilizarea metodelor aritmetică şi alge-brică pentru rezolvarea aceleiaşi pro-bleme; compararea rezolvărilor;probleme care se pot rezolva cu ajutorul sistemelor de ecuaţii;

1.7 să utilizeze proprietăţi calitative şi me-trice ale figurilor geometrice6 în rezol-varea unor probleme

calculul unor lungimi de segmente, utilizând teorema lui Thales, asemănarea triunghiurilor şi relaţiile metrice în triun-ghiul dreptunghic (teorema înălţimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora) şi sin, cos, tg, ctg; rezolvarea unor probleme cu conţinut practic; calculul lungimilor unor arce de cerc şi cercuri, utilizând formule şi regula de trei simplă;calculul unor măsuri de unghiuri şi arce de cerc, utilizând proprietăţile figurilor (suma măsurilor unghiurilor unui triunghi sau patrulater; unghi la centru; unghi înscris în cerc; triunghi şi patrulater înscris în cerc) şi sin, cos, tg, ctg;construirea unor grafice circulare, care să reprezinte ponderea procentuală a păr-ţilor unui întreg (de exemplu: procentele

6 Se vor utiliza figuri geometrice situate într-un plan de referinţă dat sau pe feţele unor corpuri geometrice.

Matematică

28

reprezentate de elevii de diferite vârste, în cadrul mulţimii elevilor unei şcoli);calcul de arii, folosind decupări, des-compuneri, pavaje, reţele, formule, rapor-tul ariilor a două triunghiuri asemenea; construirea unor pavaje, pornind de la o anumită figură geometrică sau de la o altă condiţie dată;calcul de laturi, apoteme, arii în poli-goane regulate (triunghi, pătrat, hexagon regulat);calcul de arii laterale şi totale ale unor poliedre (paralelipiped dreptunghic, cub, prismă triunghiulară regulată, prismă pa-trulateră regulată, piramidă triunghiulară regulată, piramidă patrulateră regulată), pe desfăşurări date;calculul sin, cos, tg, ctg pentru un-ghiurile ascuţite ale unui triunghi drept-unghic; întocmirea tabelului pentru un-ghiurile de 30°, 45° şi 60°; rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice, isoscele sau cu un unghi de 30°, folosind acest tabel;

1.8 să utilizeze simetria, translaţia, rotaţia localizări şi poziţii relative în rezolvarea de probleme

exerciţii de identificare a coordonatelor unui punct într-un sistem de axe orto-gonale,exerciţii de reprezentare a unui punct într-un sistem de axe ortogonale, cunos-când coordonatele;construcţia imaginii unei figuri prin translaţie, rotaţie, simetrie (intuitiv, fără a defini transformările ca funcţii);folosirea reţelelor de pătrate pentru a recunoaşte imaginea unei figuri prin una din transformările de mai sus;justificarea proprietăţilor unor confi-guraţii geometrice, pe baza simetriei;analiza şi construcţia unor figuri cu si-metrie axială sau centrală;identificarea axei (centrului) de simetrie al unei figuri (intuitiv sau/şi prin demon-straţie);analiza unor configuraţii în care intervin puncte, drepte, cercuri etc.construirea unei figuri aflate într-o anu-mită poziţie relativ la o altă figură dată;

1.9 să determine, folosind metode adecvate (măsurare şi/sau calcul), lungimi de segmente, măsuri de unghiuri şi arii; să estimeze lungimi, măsuri de unghiuri şi arii

probleme în care intervin operaţii cu măsuri şi transformări de unităţi de măsură;exerciţii de alegere a celei mai potrivite unităţi de măsură, pentru un anumit context dat;exerciţii de estimare a unor măsuri: di-mensiuni direct măsurabile; măsuri re-

Clasa a VII-a

29

zultate din calcul, prin estimarea mă-surilor componente;exerciţii de măsurare a unghiurilor cu ajutorul raportorului;calculul mediei aritmetice a mai multor măsurători ale aceleiaşi mărimi;determinarea practică a unei aproximări a numărului π;

1.10 să utilizeze elemente de organizare a datelor, de statistică şi de probabilităţi în rezolvarea unor probleme date

analiza unor criterii de sortare a ele-mentelor unei mulţimi: criterii care îm-part mulţimea în clase; criterii care deter-mină submulţimi nedisjuncte (fără a fo-losi această terminologie);analiza şi rezolvarea unor probleme de numărare cu caracter combinatorial;discuţii privind alegerea celei mai po-trivite forme de reprezentare;reprezentarea unor date în tabele cu una şi două intrări; reperarea unei informaţii dintr-un tabel sau listă; interpretarea unei informaţii extrase dintr-un tabel (listă);exerciţii de transpunere a unei relaţii dintr-o formă de descriere în alta (text, formulă, diagramă);construirea unor diagrame; interpretarea unor diagrame;analiza unor seturi de date pentru a de-termina un mod mai potrivit de repre-zentare grafică;reprezentări prin grafice circulare şi grafice cu bare;analiza unor exemple de evenimente în-tâmplătoare din domenii diferite ale ma-tematicii (divizibilitate, geometrie etc);calculul probabilităţii unor evenimente.

2. Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de problemeObiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare



2.1 să exploreze modalităţi de descompunere a numerelor, folosind operaţiile studiate şi să identifice modalităţi eficiente de organizare a unui calcul

exerciţii de scriere a unui număr real ca: sumă, produs, diferenţă, cât, putere de două sau mai multe numere reale;compararea unor modalităţi diferite de a organiza efectuarea unui calcul;

2.2 să formuleze cât mai multe consecinţe po-sibile, care decurg dintr-un set de ipoteze date; să construiască generalizări şi să in-vestigheze valoarea de adevăr a unor enunţuri

identificarea unor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze; în-trebări deschise de tipul: "Ce s-ar întâm-pla dacă modificăm ipoteza?" (situaţia descrisă putând fi una din cotidian, o si-tuaţie matematică, un experiment etc);exerciţii de verificare a validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare sau prin

Matematică

30

construirea unor exemple şi contra-exem-ple;formularea unor enunţuri generale, por-nind de la unul sau mai multe enunţuri de acelaşi tip; verificarea validităţii enun-ţurilor formulate; elaborarea unei argu-mentaţii (demonstraţii) în sprijinul afir-maţiilor formulate;

2.3 să identifice reguli de formare a unor şi-ruri de numere

exerciţii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă, de tipul an=a/n etc.; identificarea regulii de formare a unui şir de numere şi exprimarea ei (în cuvinte sau printr-o formulă, desen etc.); alcă-tuirea unor şiruri, pornind de la o regulă dată; inventarea unor reguli de alcătuire a şirurilor;

2.4 să selecteze, în mulţimea datelor de care dispune, informaţii relevante pentru rezol-varea unei probleme

analiza datelor problemei pentru veri-ficarea noncontradicţiei, suficienţei, re-dundanţei şi eliminarea informaţiilor ne-esenţiale;

2.5 să construiască probleme, pornind de la un model (grafic sau formulă)

formulări de probleme, pornind de la o schemă, grafic, formulă;compararea unor probleme create por-nind de la acelaşi element de sprijin.





3.1 să identifice şi să diferenţieze etapele unui raţionament matematic, prezentat în diverse forme

identificarea ipotezei şi a concluziei unei probleme;sesizarea greşelilor dintr-o succesiune de argumente;

3.2 să prezinte în mod coerent soluţia unei probleme, utilizând modalităţi variate de exprimare (cuvinte, simboluri matema-tice, diagrame, tabele, construcţii din di-verse materiale)


3.3 să argumenteze logic în cadrul unui grup, idei şi metode matematice, să utilizeze di-ferite surse de informaţie în verificarea şi susţinerea opiniilor

discutarea în grup a metodei de rezol-vare a unei probleme;găsirea, în grup, a unor metode alter-native de rezolvare;elaborarea în grup a unor referate sau proiecte pe o temă dată.





Clasa a VII-a

31

4.1să manifeste perseverenţă şi interes pen-tru găsirea de soluţii noi în rezolvarea unei probleme

abordarea unor situaţii-problemă;utilizarea unor metode variate în re-zolvarea problemelor;

*4.2 să manifeste interes pentru folosirea teh-nologiilor informaţiei în studiul mate-maticii

utilizarea unor soft-uri pentru învă-ţarea matematicii; explorarea Internet-ului.

CONŢINUTURI

ALGEBRĂ

1. Mulţimea numerelor întregiMulţimi Noţiunea de mulţime; relaţii (apartenenţă, egalitate, incluziune); operaţii (intersecţia, reuniunea, diferenţa, produsul cartezian).Numere întregi Mulţimea numerelor întregi; reprezentare pe axă; operaţii; ordinea efectuării operaţiilor; divizibilitate în Z: definiţie, divizor, multiplu; ecuaţii; inecuaţii.2. Mulţimea numerelor raţionaleMulţimea numerelor raţionale (Q); reprezentarea pe axă a numerelor raţionale, opusul unui număr raţional; valoarea absolută a unui număr raţional (modulul). Incluziunile NZQ. Scrierea numerelor raţionale sub formă zecimală sau fracţionarăAdunarea numerelor raţionale, proprietăţiScăderea numerelor raţionale Compararea numerelor raţionaleÎnmulţirea numerelor raţionale, proprietăţi; ordinea efectuării operaţiilorÎmpărţirea numerelor raţionale; ordinea efectuării operaţiilorPuterea unui număr raţional cu exponent număr întreg. Reguli de calcul cu puteriOrdinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelorRezolvarea în Q a ecuaţiilor de forma ax+b=0, cu aQ*, bQProbleme care pot fi rezolvate cu ajutorul ecuaţiilorRapoarte; proporţii; proporţii derivate; procente; raport procentual; şir de rapoarte egaleMedia aritmetică şi media aritmetică ponderată.3. Numere realeRădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect.Rădăcina pătrată a unui număr raţional pozitiv; algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Aproximări.Exemple de numere iraţionale; iraţionalitatea lui (demonstraţia - facultativ); mulţimea numerelor reale; modul; ordonare; reprezentare pe axă prin aproximăriReguli de calcul: ; , a0, b0. Introducerea factorilor sub radical. Scoaterea factorilor de sub radicalMedia geometrică.4. Calcul algebricCalcul cu numere reale reprezentate prin litere: adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg; reguli de calcul cu puteriFormule de calcul prescurtat:

Matematică

32

(a±b)2 = a2 ± 2ab + b2; (a-b)(a+b) = a2 - b2; *(a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, unde a,b,c R

Descompuneri în factori, utilizând regulile de calcul în R. Rezolvarea ecuaţiei de forma x2 = a, unde aQ.Aplicaţii numerice.5. Elemente de organizare a datelor Sistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale; distanţa între două puncte din plan; rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale; reprezentarea unor numere reale pe axă, folosind rigla şi compasulReprezentarea prin tabele, diagrame şi grafice a unor dependenţe funcţionale.Calculul probabilităţii unor evenimente.6. Ecuaţii şi sistemeProprietăţi ale relaţiei de egalitate în mulţimea numerelor reale.Ecuaţii de forma ax+b=0, a, b R; mulţimea soluţiilor unei ecuaţii; ecuaţii echivalente; rezolvarea ecuaţiilor. *Utilizarea formulelor de calcul prescurtat în rezolvarea unor ecuaţii reductibile la ecuaţii de această formă. Inecuaţii de forma ax+b>0, (<, ≤, ≥), a, b R. Scrierea mulţimii soluţiilor.Ecuaţii de forma ax+by+c=0, a, b, c R.Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, de forma: ; rezolvare prin metoda reducerii şi prin metoda substituţiei.Rezolvarea unor probleme simple cu conţinut practic, cu ajutorul ecuaţiilor, inecuaţiilor şi al sistemelor de ecuaţii.

GEOMETRIE

1. Recapitulare şi completări Unghiuri opuse la vârfCongruenţa triunghiurilor. Linii importante în triunghiCondiţii necesare şi suficiente ca un paralelogram să fie dreptunghi, romb, pătratCentru de simetrie şi axe de simetrie pentru poligoanele studiateTrapez, clasificare; trapez isoscel, proprietăţiArii (triunghiuri, patrulatere); calculul ariilor unor suprafeţe, folosind decupări, pavaje, reţele, sau cu ajutorul formulelorCalculul ariilor laterale şi totale ale unor poliedre, pe desfăşurări date.2. Asemănarea triunghiurilor Rapoarte şi proporţii formate cu lungimi de segmente; segmente proporţionaleTeorema paralelelor echidistante. Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales Împărţirea unui segment în părţi proporţionale cu numere (segmente) dateLinia mijlocie în triunghi; proprietăţi. Centrul de greutate al unui triunghiLinia mijlocie în trapez; proprietăţiTriunghiuri asemenea Teorema fundamentală a asemănăriiCriterii de asemănare a triunghiurilor.3. Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

Clasa a VII-a

33

Proiecţii ortogonale pe o dreaptăTeorema înălţimii, teorema cateteiTeorema lui Pitagora; teorema reciprocă a teoremei lui PitagoraRapoarte constante în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg; folosirea tabelelor trigonometrice; întocmirea tabelului pentru unghiurile de 30°, 45° şi 60°Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Ariile poligoanelor studiate. 4. Cercul Cercul: definiţie; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc; interior, exterior; discul Unghi la centru; măsurarea arcelor; arce congruenteCoarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente, şi reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru)Unghi înscris în cerc; triunghi înscris în cerc; patrulater înscris în cerc; poligonul regulat: construcţie, elemente; *patrulater inscriptibil.Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc; tangente dintr-un punct exterior la un cerc; triunghi circumscris unui cercPoziţiile relative a două cercuriCalculul elementelor în poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat (latură, apotemă, arie, perimetru)Lungimea cercului şi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc.

Matematică

34

CLASA A VIII-A




La sfârşitul clasei a VIII-a elevul va fi capabil:

Pe parcursul clasei a VIII-a se recomandă următoarele activităţi:

1.1 să înţeleagă noţiunea de număr real şi re-laţiile dintre mulţimile de numere stu-diate

exerciţii de comparare şi de ordonare a numerelor reale, folosind axa numerelor, valoarea absolută a unui număr real, sau utilizând alte metode;scrierea unui număr raţional în forme echivalente, prin: amplificare şi simpli-ficare; transformarea din fracţie ordinară în fracţie zecimală şi invers; scrierea unui număr pozitiv ca radical din pătratul său;scrierea unor numere iraţionale în forme echivalente, utilizând introducerea şi scoaterea unor factori de sub radical;exerciţii de reprezentare a numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relaţii metrice în triunghiul dreptunghic;exerciţii de poziţionare a unor numere din R\Z între doi întregi consecutivi;exerciţii de recunoaştere a numerelor naturale, întregi, sau raţionale, dintr-o mulţime de numere dată;exerciţii de determinare a naturii unui număr zecimal (raţional sau iraţional), fiind dată o regulă de succesiune a zecimalelor (ex: 0,101001000100001...);exerciţii de recunoaştere a unor numere iraţionale dintr-o mulţime de numere date;exerciţii de folosire a terminologiei aferente noţiunii de număr real (semn, modul, opus, invers, parte întreagă, parte zecimală), pe cât mai multe exemple, punând în evidenţă: (1) faptul că: modulul unui număr real este întotdeauna un număr pozitiv; numerele opuse au semne con-trare; (2) ce fel de numere sunt partea întreagă, respectiv partea zecimală a unui număr real; (3) scrierea unui număr real ca sumă dintre partea sa întreagă şi cea zecimală;

1.2 să înţeleagă semnificaţia şi proprietăţile operaţiilor cu numere reale şi să le aplice

exerciţii de calcul (adunări, scăderi, în-mulţiri şi împărţiri, ridicări la putere cu

Clasa a VIII-a

35

în calcule variateexponent număr întreg) cu numere reale; exerciţii de anticipare a naturii unui număr rezultat dintr-un şir de operaţii;exerciţii de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale pozitive;exerciţii semnificative, care să scoată în evidenţă avantajele folosirii proprietăţilor operaţiilor cu numere reale;exerciţii de calcul cu radicali (introdu-cerea factorilor sub radical, scoaterea fac-torilor de sub radical, înmulţire, ridicare la putere, împărţire, adunare, scădere); amplificare (pentru raţionalizarea numito-rului) şi simplificare de rapoarte de nu-mere reale;exerciţii de calcul, urmărind respectarea semnificaţiei parantezelor şi a ordinii efectuării operaţiilor în mulţimea nume-relor reale; exerciţii de aşezare a paranş-tezelor pentru a obţine un rezultat dat;exerciţii de descompunere a unui număr real în: sumă, produs, diferenţă, cât, pute-re de două sau mai multe numere reale;creare, analiză, rezolvare de probleme cu text care conduc la formule de tipul a±b=x; a±b±c=x; a·b=x; a:b=x (x necunoscut), în mulţimea numerelor ra-ţionale;compararea unor modalităţi diferite de a organiza efectuarea unui calcul; folosirea formulelor de calcul prescurtat, inclusiv pentru calcule numerice;

1.3 să aproximeze numere reale şi soluţii ale unor ecuaţii sau sisteme de ecuaţii, pentru a verifica validitatea unor calcule

utilizarea aproximărilor prin lipsă sau adaos pentru a compara numere întregi, raţionale sau reale;rotunjirea până la cea mai apropiată ze-ce, sută etc., sau zecime, sutime, miime;exerciţii de evaluare a rezultatelor unor adunări, scăderi, înmulţiri, ridicări la pu-tere, împărţiri, extrageri de rădăcină pă-trată, înainte de efectuarea calculului;calcule folosind atât calculatorul (de buzunar, PC etc), cât şi algoritmii învă-ţaţi, pentru a obţine aproximări diferite ale rezultatului unui calcul; evidenţierea erorii datorate rotunjirilor;exerciţii de aproximare a soluţiei unui sistem de două ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c R, folosind reprezen-tarea grafică;

1.4. să aplice în rezolvarea problemelor ele-mente de logică, precum şi elemente de teoria mulţimilor

exerciţii de identificare a ipotezei şi a concluziei într-un enunţ matematic;exerciţii ce vizează punerea în evidenţă a rolului diferit al ipotezei şi al concluziei

Matematică

36

într-un enunţ matematic;analiza unor enunţuri ce folosesc opera-torii logici: "şi", "sau", "nu", "implică", "echivalent" şi a termenilor "toţi", "cel mult", "cel puţin", "oricare", "există"; for-mularea unor astfel de enunţuri;exerciţii de folosire a terminologiei afe-rente logicii matematice (ipoteză, conclu-zie, demonstraţie, teoremă, axiomă, de-finiţie, teoremă directă, teoremă recipro-că, implicaţie, exemplu, contraexemplu), în contexte variate (algebră/geometrie, scris/ oral, context cotidian/matematic etc.);exerciţii de folosire a terminologiei afe-rente teoriei mulţimilor (mulţime, ele-ment, diagramă etc.), în contexte uzuale şi matematice;construirea unor exemple de mulţimi fi-nite şi de mulţimi infinite (de exemplu: mulţimea divizorilor naturali ai unui nu-măr natural; mulţimea multiplilor naturali ai unui număr natural); analiza unor exemple de mulţimi întâlnite în studiul altor discipline;exersarea operaţiilor cu mulţimi (inter-secţie, reuniune, diferenţă, produs carte-zian);analiza unor exemple de mulţimi care să ilustreze relaţia de egalitate, respectiv de incluziune între mulţimi;scrierea mulţimii divizorilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mul-ţimea divizorilor naturali;scrierea mulţimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulţi-mea multiplilor naturali;

1.5 să identifice funcţii de tipul f: R→R,f(x) = ax+b (a, b R) şi să le reprezinte grafic

analiza unor exemple de dependenţe funcţionale întâlnite în studiul altor dis-cipline; construcţia unor exemple de de-pendenţe funcţionale; exerciţii de scriere a formulei care defineşte o dependenţă funcţională definită pe o mulţime finită (în cazul unor formule simple);analiza şi construcţia unor exemple care să ilustreze noţiunile de: funcţie, diagramă, funcţie definită pe o mulţime finită, func-ţie definită pe o mulţime infinită, grafic; aflarea mulţimii valorilor unei funcţii pe o mulţime finită; analiza unor exemple de funcţii întâlnite în ştiinţele naturii etc.;exerciţii de reprezentare a graficului unor funcţii: (1) definite pe mulţimi fini-te, sau (2) definite pe R cu valori în R,

Clasa a VIII-a

37

f(x)=ax+b, a,b R, într-un sistem de axe ortogonale;exerciţii de determinare a unei funcţii de forma: f:RR, f(x)=ax+b, al cărei grafic conţine două puncte date; exerciţii de investigare a coliniarităţii a două sau mai multe puncte, cunoscând coordona-tele acestora;

1.6 să utilizeze elemente de calcul algebric pentu a rezolva ecuaţii şi inecuaţii, precum şi pentru a aplica formule de calcul

exerciţii de transcriere a unor situaţii problemă în limbaj matematic, înlocuind numerele necunoscute cu litereexerciţii de aplicare a unor formule (pentru calculul mediilor aritmetică şi geometrică, al ariilor, al volumelor; inter-pretarea geometrică a mediilor; rezolva-rea unor probleme în care apar medii; exerciţii de comparare a mediilor aritme-tică şi geometrică a două numere;exersarea operaţiilor cu numere reale reprezentate prin litere (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg) utilizând proprietăţile operaţiilor şi formule de calcul prescurtat; evidenţierea greşelilor tipice; aducerea la o formă mai simplă a unor numere (în a căror scriere intervin fracţii, paranteze, radicali etc.);exerciţii de descompunere a unor nu-mere reale reprezentate prin litere: (1) în sumă sau diferenţă; (2) în factori, fo-losind diferite metode; exerciţii cu res-trângeri în pătrate de sume;rezolvarea unor ecuaţii de forma ax+b=0, a,b R şi reductibile la acestea;exerciţii de reprezentare grafică, prin puncte, a dreptei soluţiilor unei ecuaţii de forma ax+by+c=0, (cu a,b,cR, nu toate nule): (1) identificarea a două sau mai multe perechi de numere care verifică ecuaţia; (2) reprezentarea punctelor co-respunzătoare, într-un sistem de axe ortogonale şi observarea coliniarităţii acestor puncte; (3) reprezentarea grafică a dreptei, pornind de la două puncte ale acesteia; (4) explicitarea mulţimii so-luţiilor;rezolvarea unor sisteme de două ecuaţii de forma ax+by+c=0, a,b,c R, folosind: metoda grafică; metoda reducerii; metoda substituţiei; rezolvarea unor sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute, reduc-tibile la sisteme de forma precizată; rezolvarea unor inecuaţii de forma ax+b<0, ax+b0, ax+b0, ax+b0,

Matematică

38

a,bR, punând sistematic în evidenţă le-gătura dintre inecuaţie, soluţia sa şi repre-zentarea pe axă a acestei mulţimi de nu-mere (sub forma unei semidrepte), ca şi legătura cu interpretarea grafică a funcţiei f(x)=ax+b; rezolvarea unor inecuaţii sim-ple, reductibile la acestea;rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor sau al sistemelor de ecuaţii stu-diate; utilizarea metodelor aritmetică şi algebrică pentru rezolvarea aceleiaşi pro-bleme; compararea rezolvărilor;

1.7. să utilizeze proprietăţi ale figurilor şi corpurilor geometrice în probleme de demonstraţie şi de calcul

exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a figurilor geometrice (triunghi, patrulater - pătrat, dreptunghi, paralelo-gram, trapez, romb – cerc, linie curbă, dreaptă, segment, semidreaptă, linie frân-tă, unghi, poligon) aparţinând unei mul-ţimi de figuri; exemple de figuri geome-trice pentru fiecare categorie; exerciţii de reprezentare a figurilor geometrice prin desen, utilizând instrumente geometrice; exerciţii de identificare a unor figuri pla-ne pe corpuri geometrice sau pe desfă-şurări ale acestora;exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a corpurilor geometrice (cub, sferă, paralelipiped, piramidă, cilindru, con, trunchi de piramidă, trunchi de con) aparţinând unei mulţimi de corpuri; ana-liza unor exemple de corpuri geometrice pentru fiecare categorie; exerciţii de re-prezentare în plan a corpurilor geome-trice;exerciţii de identificare a elementelor fi-gurilor plane pe corpuri geometrice (vâr-furi, unghiuri, muchii, feţe) sau pe des-făşurări ale acestora;descrierea în cuvinte, verbal sau în scris, a unei configuraţii geometrice în-tâlnite într-o problemă de geometrie; for-mularea unei probleme, pornind de la o configuraţie dată; exerciţii de clasificare şi comparare aunor corpuri după criterii ca: numărul de muchii, feţe, vârfuri; forma feţelor;exerciţii de aplicare a metodei triun-ghiurilor congruente şi a metodei triun-ghiurilor asemenea;

1.8 să utilizeze localizarea figurilor geome-trice în plan şi în spaţiu, precum şi ele-mente de transformări geometrice

exerciţii de identificare a coordonatelor unui punct într-un sistem de axe orto-gonale; exerciţii de reprezentare a unui punct într-un sistem de axe ortogonale,

Clasa a VIII-a

39

cunoscând coordonatele;construcţia imaginii unei figuri prin translaţie, rotaţie, simetrie (intuitiv, fără a defini transformările ca funcţii); folosirea reţelelor de pătrate pentru a recunoaşte imaginea unei figuri printr-una dintre transformările de mai sus; justificarea proprietăţilor unor configuraţii geome-trice, pe baza simetriei;analiza şi construcţia unor figuri cu si-metrie axială sau centrală; identificarea axei (centrului) de simetrie al unei figuri;analiza unor configuraţii în care intervin puncte, drepte, cercuri etc.; construirea unei figuri aflate într-o anumită poziţie relativ la o altă figură dată;analiza unor configuraţii spaţiale, inclu-siv a unor corpuri geometrice înscrise sau circumscrise;

1.9 să utilizeze în situaţii practice metode adecvate de calcul pentru lungimi, un-ghiuri, arii şi volume, precum şi transfor-mări ale unităţilor de măsură

rezolvarea unor probleme în care inter-vin operaţii cu măsuri, utilizând multiplii şi submultiplii unităţilor principale din sistemul internaţional de măsuri (pentru lungime, arie, volum, masă, timp); utili-zarea transformărilor;exerciţii de alegere a celei mai potrivite unităţi de măsură, pentru un anumit con-text dat; exerciţii de estimare a unor mă-suri: dimensiuni direct măsurabile; mă-suri rezultate din calcul sau din estimarea măsurilor componente;măsurarea ariilor folosind reţele de pă-trate; exerciţii de măsurare a unghiurilor cu ajutorul raportorului; exerciţii de citire şi interpretare a rezultatului măsurării cu diverse aparate;calculul mediei aritmetice a mai multor măsurători ale aceleiaşi mărimi;exerciţii de calcul a lungimilor unor segmente, utilizând: teorema lui Thales, asemănarea triunghiurilor şi relaţiile me-trice în triunghiul dreptunghic; rezolvarea unor probleme cu conţinut practic;exerciţii de calcul al lungimilor unor arce de cerc, utilizând formule sau regula de trei simplă,exerciţii de calcul al unor măsuri de unghiuri şi arce de cerc, utilizând pro-prietăţile figurilor şi sin, cos, tg, ctg;calculul ariilor şi volumelor, folosind de-cupări, descompuneri, pavaje, reţele, for-mule, raportul ariilor, raportul volumelor;calculul măsurilor unor elemente (laturi, apoteme, arii) ale poligoanelor regulate

Matematică

40

(triunghi, pătrat, hexagon); evidenţierea legăturii cu raza cercului circumscris,calculul ariilor laterale şi totale ale unor poliedre (paralelipiped dreptunghic, cub, prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră regulată, piramidă triunghiu-lară regulată, piramidă patrulateră regula-tă), pe desfăşurări date;

1.10 să utilizeze elemente de organizare a datelor, de statistică şi de probabilităţi în modelarea unor fenomene

exerciţii de clasificare a unor obiecte concrete sau matematice (de exemplu, într-o mulţime de ecuaţii, de exerciţii de calcul cu radicali sau de probleme de divi-zibilitate), după criterii date; formularea unor criterii de realizare a unei clasificări;analiza şi rezolvarea unor probleme de numărare cu caracter combinatorial;exerciţii de înregistrare a rezultatelor unor observaţii prin desene şi tabele; extra-gerea unor date din tabele, liste, diagrame etc. şi interpretarea lor; reprezentarea unor relaţii prin diagrame;construirea unor diagrame statistice (de tipul grafice cu bare, grafice circulare etc.); interpretarea unor diagrame; analiza unor seturi de date pentru a determina un mod mai potrivit de reprezentare grafică;analiza unor exemple de evenimente aleatoare legate de domenii diferite ale matematicii (divizibilitate, geometrie etc.); exerciţii de apreciere a şansei de producere a unor evenimente, în raport cu altele şi re-prezentarea lor pe o scală (de exemplu: eveniment sigur, foarte posibil, probabil, imposibil); compararea şanselor de reali-zare a două evenimente ale căror proba-bilităţi sunt cunoscute;calculul probabilităţii unui eveniment ce constă din reuniunea unor evenimente;elementare egal probabile, utilizând raportul;nr. cazuri favorabile/nr. cazuri posibile.

2. Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare de problemeObiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare



2.1 să identifice situaţii-problemă, să le trans-pună în limbaj matematic şi să organizeze eficient modul de rezolvare a acestora

culegerea şi organizarea unor date;identificarea unor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze;

2.2 să construiască generalizări şi să inves-tigheze valoarea de adevăr a unor enun-ţuri

exerciţii de verificare a validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare sau prin cons-truirea unor exemple şi contraexemple;formularea unor enunţuri generale, por-

Clasa a VIII-a

41

nind de la unul sau mai multe enunţuri de acelaşi tip; verificarea validităţii enun-ţurilor formulate; elaborarea unei argu-mentaţii (demonstraţii) în sprijinul afir-maţiilor formulate;

2.3 să identifice reguli de formare a unor şiruri şi formule de definire a unor funcţii

exerciţii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă etc.; identificarea regulii de formare a unui şir de numere şi expri-marea ei (în cuvinte sau printr-o formulă, desen etc.); alcătuirea unor şiruri, pornind de la o regulă dată; inventarea unor reguli de alcătuire a şirurilor;exerciţii de identificare a formulei care defineşte o funcţie de tipul f:RR, f(x)=ax+b, a,bN;

2.4 să construiască probleme, pornind de la un model (grafic sau formulă); să extragă dintr-un set de date informaţii relevante pentru rezolvarea unor probleme sau pentru a crea probleme

analiza datelor problemei pentru verifi-carea noncontradicţiei, suficienţei, redundan-ţei şi eliminarea informaţiilor neesenţiale;formulări de probleme, pornind de la o schemă, grafic, formulă;compararea unor probleme create por-nind de la acelaşi element de sprijin;generalizarea unor scheme, grafice, formu-le, situaţii matematice şi aprecierea validităţii şi utilităţii generalizărilor făcute.





3.1 să extragă informaţii cu caracter ma-tematic din diverse surse şi să înţeleagă semnificaţia globală a acestora

corelarea informaţiilor dobândite în di-verse moduri;decodarea informaţiilor conţinute în reprezentarea plană a unui obiect spaţial;

3.2 să prezinte în mod coerent soluţia unei probleme, corelând diverse modalităţi de exprimare (cuvinte, simboluri matematice diagrame, tabele, grafice, construcţii din diferite materiale)


3.3 să discute în cadrul unui grup avantajele şi dezavantajele utilizării unei metode de rezolvare sau a unei modalităţi de pre-zentare a unui demers matematic

discutarea în grup a metodei de rezol-vare a unei probleme;găsirea, în grup, a unor metode alter-native de rezolvare;elaborarea unor referate sau proiecte, care presupun utilizarea unor surse suplimentare de informaţie.



La sfârşitul clasei a VIII-a elevul va fi Pe parcursul clasei a VIII-a se

Matematică

42

capabil:recomandă următoarele activităţi:

4.1 să identifice utilizări ale unor concepte şi metode matematice studiate, în diferite domenii

brainstorming: care dintre metodele ma-tematice studiate sunt utilizate, de exemplu, în studiul ştiinţelor naturii;activitate-proiect: concepte şi metode matematice necesare într-un anumit do-meniu practic de activitate;

4.2 să manifeste perseverenţă şi gândire creativă în rezolvarea unei probleme

abordarea unor situaţii-problemă;utilizarea unor metode variate în rezol-varea problemelor;determinarea mai multor soluţii pentru o problemă dată;

*4.3 să manifeste interes pentru folosirea teh-nologiilor informaţiei în studiul matematicii

utilizarea unor soft-uri pentru învăţarea matematicii; explorarea Internet-ului.

CONŢINUTURI

ALGEBRĂ

1. Numere realeN Z Q R . Forme de scriere a unui număr real.Reprezentare pe axă. Aproximări. Valoarea absolută a unui număr real. Intervale. *Intersecţia şi reuniunea intervalelor.Operaţii cu numere reale de forma a b , b>0, (adunarea, scăderea, înmulţirea, ridicarea la putere, împărţirea). Raţionalizarea numitorului de forma a b , a b , a b N, .Calcul cu numere reale reprezentate prin litere: adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere cu exponent întreg.Formule de calcul prescurtat:( )a b a ab b 2 2 22 ;

;

( )a b c a b c ab bc ac 2 2 2 2 2 2 2*( )a b a a b ab b 3 3 2 2 33 3*Descompuneri în factori. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Operaţii cu acestea (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere).

2. FuncţiiNoţiunea de funcţie.Funcţii definite pe mulţimi finite, exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule, reprezentare grafică.Funcţii de tipul f: RR, f(x)=ax+b (a, b R); reprezentarea geometrică a graficului.Funcţii de tipul f: AR, f(x)=ax+b (a, b R), unde A este un interval sau o mulţime finită; reprezentare grafică.

3. Ecuaţii şi inecuaţiiEcuaţii de forma ax+b=0, unde a şi b sunt numere reale.

Clasa a VIII-a

43

Ecuaţii de forma ax+by+c=0, unde a, b, c sunt numere reale.Sisteme de ecuaţii de forma:

a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

00

, unde a1, b1, c1, a2, b2, c2 sunt numere reale;

rezolvare prin metoda substituţiei şi prin metoda reducerii; interpretare geometrică.Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii.Rezolvarea în R a ecuaţiei de forma ax2+bx+c=0, a, b, c R, a0, prin descompunere în factori sau în sumă de pătrate. Formula de rezolvare.Inecuaţii de forma ax+b0, (,, ) unde a şi b sunt numere reale. *Sisteme de două inecuaţii de această formă.

4. Teme de sinteză pentru pregătirea examenului de capacitate

GEOMETRIE

1. Relaţii între puncte, drepte şi planeCorpuri geometrice cunoscute: cub, paralalelipiped dreptunghic (cuboid), piramidă, cilindru, con, sferă (descriere, reprezentare în plan, desfăşurare; prezentarea corpurilor rotunde drept corpuri de rotaţie).Puncte, drepte, plane: convenţii de desen şi notaţie.Determinarea dreptei; determinarea planului Tetraedul. Piramida Poziţii relative a două drepte în spaţiu (exemplificare mai întâi pe corpurile studiate); axioma paralelelor; relaţia de paralelism în spaţiu.Unghiuri cu laturile respectiv paralele (fără demonstraţie); unghiul a două drepte în spaţiu; drepte perpendiculare.Poziţii relative ale unei drepte faţă de un plan; *teoreme referitoare la dreapta paralelă cu un plan.Dreapta perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei.*Axe de simetrie ale paralelipipedului dreptunghic, axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; *simetria faţă de un plan; *secţiuni axiale în corpurile care admit axă de simetrie.Poziţii relative a două plane.Plane paralele; distanţa dintre două plane paralele. Prisma; înălţimea prismei; prismă dreaptă; *prismă oblică.Secţiuni paralele cu baza în corpurile studiate; trunchiul de piramidă.

2. Proiecţii ortogonale pe un planProiecţii de puncte, drepte, segmente.Unghiul unei drepte cu un plan; lungimea proiecţiei unui segment.Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la un punct la o dreaptă.*Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare.Unghi diedru; unghi plan corespunzător diedrului; unghiul a două plane; plane perpendiculare.Calculul unor distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor studiate. 3. Calcul de arii şi volumeAria şi volumul unui corp geometric.Aria laterală, aria totală şi volumul prismei drepte cu baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat. Aria laterală, aria totală şi volumul piramidei triunghiulare regulate, al piramidei patrulatere

Matematică

44

regulate şi al piramidei hexagonale regulate. Aria laterală, aria totală şi volumul trunchiului de piramidă triunghiulară regulată, al trunchiului de piramidă patrulateră regulată şi al trunchiului de piramidă hexagonală regulată. Cilindrul circular drept: descriere, desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul.Conul circular drept: descriere, desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul.Trunchiul de con circular drept: descriere, desfăşurare, secţiuni paralele cu baza şi secţiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul.Sfera: descriere, aria, volumul.4. Teme de sinteză pentru pregătirea examenului de capacitate.

Clasa a VIII-a

45

STANDARDE CURRICULARE DE PERFORMANŢĂ

Obiective cadru Standarde


S1. Scrierea, citirea, compararea şi repre-zentarea pe axă a numerelor realeS2. Efectuarea corectă a operaţiilor cu numere reale (eventual reprezentate prin litere)S3. Utilizarea estimărilor şi a aproxi-mărilor de numere şi măsuri (lungimi, unghiuri, arii şi volume) pentru a aprecia validitatea unor rezultate S4. Utilizarea unor elemente de logică şi de teoria mulţimilor, precum şi a unor relaţii, funcţii, şiruri în rezolvarea proble-melor S5. Rezolvarea de ecuaţii şi inecuaţii şi efectuarea de calcule algebrice, utilizând algoritmi, formule şi metode specifice S6. Stabilirea şi utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale figurilor şi corpu-rilor geometrice, în probleme de demon-straţie şi de calcul S7. Utilizarea localizării figurilor geome-trice şi a unor elemente de transformări geometriceS8. Înregistrarea, prelucrarea şi prezenta-rea datelor pe baza unor elemente de statistică şi probabilităţi

2. Dezvoltarea capacităţilor de explorare/in-vestigare şi rezolvare de probleme

S9. Identificarea unei situaţii-problemă şi organizarea eficientă a modului de rezol-vare a acesteiaS10. Utilizarea unor reprezentări şi me-tode variate pentru clarificarea şi justi-ficarea (demonstrarea) unor enunţuriS11. Construirea unor generalizări şi veri-ficarea validităţii lor


S12. Înţelegerea semnificaţiei globale a informaţiilor cu caracter matematic extra-se din diferite surse documentareS13. Expunerea coerentă orală sau scrisă a propriilor demersuri de rezolvare a unei problemeS14. Angajarea în activităţi matematice în cadrul unui grup

Matematică

46

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE CONSILIUL NAŢIONAL ...

Documents

Transcript of MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE CONSILIUL NAŢIONAL ...