Miacarea in Camp Central de Forte Problema celor doua...
19
Miacarea in Camp Central de Forte Problema celor doua corpuri Ne propunem determinarea ecuatiilor de miscare pentru doua corpuri de mase m 1 si m 2 care interactioneaza unul cu altul prin intermediul unui camp central de forta. Camp central ; ˆ ˆ ˆ ) ( r r r U f m m m m 2 1 Dorim deci , exprimarea vectorilor si ca functii de si 1 2 Informatii mai bune putem obtine exprimand pozitia centrului de masa (CM) ) ( ) ( 2 1 2 2 1 m m m m m 2 2 1 2 1 2 ) ( m m m m m m
Transcript of Miacarea in Camp Central de Forte Problema celor doua...
Miacarea in Camp Central de ForteProblema celor doua corpuri
Ne propunem determinarea ecuatiilor demiscare pentru doua corpuri de mase m1si m2 care interactioneaza unul cu altulprin intermediul unui camp central de forta.
Camp central
;ˆˆˆ)(rr
rUf
mmmm
21
Dorim deci , exprimarea vectorilor si ca functii de si 1 2
Informatii mai bune putem obtine exprimandpozitia centrului de masa (CM)
)()(
2
1
2
21
mm
mmm
2
21
21
2 )(m
mmmm
m
mmm
2mmm
1
Functia Lagrange pentru sistem devine:Functia Lagrange pentru sistem devine:
21
212
221
21
);(22
)(21
21
mmMrUMmm
Mmm
rUmmL
notandnotand21
21
mmmm
masa redusamasa redusa a sistemuluia sistemului
)(21
21 rUML
Aceleasi rezultatele obtinem alegand CM ca noua origine a sistemuluiAceleasi rezultatele obtinem alegand CM ca noua origine a sistemului
2'2
1'1 Teorema lui König
0'22
'11 mm
notand
'2
'1
21
mmM
Mm
Mm
)(21
21 rUML
)(21
21 rUML
a)a)
0
L
ML
0
LL
dtd
Mconst.M
M
mmmmmmMM 21
21
21
Impulsul total se conserva
ˆrU
rrUL
L
b)b)
0
LL
dtd
ˆrU
Observam ca a) si b) nu sunt cuplate si deci miscarea CM R(t) este decuplatade miscarea relativa r(t)
Miscarea a doua puncte materiale care interactioneaza intre ele , se reduce la problema miscarii unui punct de masa μ intr-un camp exterior
Putem ignora miscarea CM (R(t))
Sistemul campului central de forta are simetrie sferica
Se poare roti in jurul oricarei axe ce trece prin origine
Simetrie rotationala•Lagrangianul nu depinde de directie
)()( rUTL
Momentul unghiular se conservaconst
0)(
Traiectoria r(t) este continuta in intregime intr-un plan ortogonal cu L
Putem parametriza traiectoria r(t)In termenii coord. polare
ˆˆ rr r
Lagrangianul in coordonate polare va fi: )(21 222 rUrrL
Observam ca φ este coordonata ciclica, momentul sau conjugat pφ se conserva
lrLp
2 Marimea momentului unghiular
Introducem notiunea de” viteza areolara”
Legea a II a a lui Kepler:Vectorul de pozitie al unei planete matura arii egale in intervale de timp egale
drrdrdA 2
21)(
21
.21
21 2 constlr
dtdA
Miscarea planetei estemai rapida cand orbita estemai apropiata de origine
viteza areolara
Stabilim ecuatia Lagrange 00 2
rUrr
rL
rL
dtd
2rl
03
2
rU
rlr
Forta centrifuga
Forta centrala
)(2
)( 2
2
rUr
lrU ef
insa rdr
rddtdr
drrd
dtrdr
rU
rlr
drrd
3
2
ErUr
lrdrrU
rlrdr
)(21
21
2
22
3
2
E= constanta de integrare)(
21
21
2
22 rU
rlrE
Conservarea energiei )(
21)( 222 rUrrrUTE
03
2
rU
rlr
Din ecuatia Lagrange
2
2
21)(
rlrU
drdr
Inmultind cu r
2
2
21)(
rlrU
drdrrr
2
21 r
dtdrr deoarece
dtd
drd
dtdr
drdr
021)(
21
2
22
rlrUr
dtd
Astfel .
21)(
21
2
22 const
rlrUr
deoarece22
22
2
2
rr
l
.)(21)( 222 constrUrrrUTE
rrU
r ef
)(
)(21 2 rUrE ef
Ecuatia Lagrange devine:
Energia:
Miscarea unei particule intr-un potential efectiv
)(2 rUEdtdrr ef
)(
)(20
trconstrUE
drtr
ref
dtd
rl
2 0
02)]([
)(
t
dttr
lt
Pentru valori date ale E si l (marimi care se conserva) cautam r(φ) :
efUErl
ddr
ddrr
2
2)(
)(20
2rconstdr
UErlr
r ef
Ecuatia traiectoriei
drUEr
lr
r ef
max
min)(22
)1,(;2 mnmn
2nm
Conditia de”inchidere” a traiectoriei(raza vectoare a punctului, dupa ce a efectuat m rotaii complete, isi varegasi valoarea initiala)
2)(
krrk
rU
r are semnificatie fizica daca )(rUE ef
•valorile lui r pentru care )(rUE ef definesc limitele intervalului de valori permise in timpul miscarii•punctul in care 0r =punct de intoarcere•daca rmin este o radacina pozitiva a ec.
)(rUE ef si sunt permise pentru r toate radacinile cuprinse intre (rmin,∞) si daca r0>rmin misc. particulei este nelimitata
•daca ecuatia )(rUE ef are radacini distincte si pozitive,rmin< rmax si daca in intervalul
],[ maxmin rrr este verificata inegalitatea
)(rUE ef atunci miscarea estelimitata•Intreaga traiectorie este continutaintr-o coroana circulara
Ecuatia diferentiala a orbiteiAm gasit forma generala pentru r=r(φ) sau r r(t) si cateva constante E, l etc.si cautam r=r(φ) eliminand parametrul timp, ceea ce inseamna ecuatia orbitei.
lr 2 ldtdrldtdr
22
dd
rl
dtd
2
dd
rl
dd
rl
dtd
222
2
)(3
2
rfrU
rlr
Inlocuind in ecuatia Lagrange
)(13
2
22 rfr
lddr
rl
dd
r
Insa
rdd
ddr
r11
2 si introducand
ru 1 rezulta
ufu
dudul 12
222
deoarece drd
udrd
ddr
dud
2
1
uU
dud
lu
dud 1
22
2
rezulta
Ec.diferentiala a orbitei (ecuatia Binet) daca se cunosc f sau U
2
222
2)(2)(2
rlrUEr
ldr
rUEr
ldrd
ef
Pentru un potential oarecare
0
22220
122
r
r
rlU
lEr
dr Ecuatie ce da φ ca functie de r si constantele E, l, r0
u
u ul
Ul
Edu
0 222
0 22
Facand schimbarea de variabila ru 1
Ecuatia formala a orbitei
Problema lui Kepler
rkrU
rkrf )()( 2
2
2
2 rml
rkU ef
uf
ulmu
dud 1
222
2
uU
dud
lmu
dud 1
22
2
22
2
lmku
dud
Facem schimbarea de variabila 2lmkuy
02
2
yd
yd
)'cos( CyC,φ’ =const. de integrare
)'cos(112
lmk
rmklC2
notam
2
22
0 22 ulmU
lmE
du
insa
acbcxb
ccxbxadx
42arccos1
22;2
2lmEa ;2
2lmkb 1c
22
24
22
2
222
222u
lmk
lkm
lmE
du
ulmku
lmE
dud
2
4
22
2
24
22
2
21
21
lkm
lmE
ulmk
du
lkm
lmE
cos
dlkm
lmEdu sin2
2
22
2
dsinsin
4
22
2
2
2)'cos(cos
lkm
lmE
ulmk
ru 1deoarece
2
2
2
21
1arccos'
mkEl
mkul
)'cos(1)'cos(211122
2
2
lmk
mkEl
lmk
ru
Ecuatia generala a conicei (ε fiind excentricitatea)
cercl
mkE
elipsaEparabolaEhiperbolaE
:2
,0
:0,1:0,1:0,1
2
2
Energie si excentricitate E=0 separa orbitele nemarginite de cele marginite
Hiperbola
Parabola
Elipsa
Cerc
Emrl
rkrU ef 2
0
2
00 2)(
030
2
200
mrl
rk
drdU
r
ef2
2
2lmkE
Orbite nemarginite
Orbite marginite
E>0
E=0
E<0
Orbite nemarginite)( min1min1 rUErrEE ef
1
hiperbola
1
parabola
1-)'cos( limiteaza valoarea lui θ
Orbite marginitemaxmin2 rrrEE
2b
2a 11
2lmk
r
mElab2
12
2
Ek
mkla
211
11
2
2
Lungimea axei mari
Lungimea axei mici
Aria orbitei 3
22
8mEklbaA
pericentru apocentru
apside
Viteza areolaramlr
dtdA
22
21
Perioada de rotatie 23
3
2
22
akm
Emk
dtdAATrot
Legea a treia a lui Kepler
daca22 r
MmGrkf
MmGaa
kTrot
12;2 2
323
este acelasi pentrutoate planetele daca M>>m
Orbita eliptica a unei comete
planeta
Soare
perihelion
aphelion
