1 Metoda Monte Carlo Termenul,,MetodaMonteCarloestesinonimcutermenul,,Metodaexperimentelorstatistice.Aparitiaacestei metode se raporteaz de obicei la anul 1949, n care apare articolul ,,The Monte Carlo method (Metropolis N., Ulam S.). ntemeietoriimetodeisuntconsideratiamericaniiJ.NeumannsiS.Ulamcare,nlegturculucrrileeIectuatepentru creareabombeiatomice,aupropussseutilizezeaparatulteorieiprobabilittilorpentrurezolvareaunorproblemecu caracter aplicativ la calculatoarele electronice. DeIapt, ideeautilizrii Ienomeneloraleatoare n domeniulcalculelordeaproximare poateIi raportat laanul 1873, cndaaprutolucrarealuiHalldespredeterminareanumruluixcuajutorularuncrilorlantmplareaunuiacpeo Ioaie de hrtie pa care s-au trasat drepte paralele. MetodaMonteCarloesteometoddere:olvarenumericaproblemelormatematice,ba:atpemodelarea variabilelor aleatoare. ie o variabil aleatoare. S eIectum n experimente independente astIel, nct Iiecare s se ncheie cuo valoare a lui(neputemimaginacnIiecareexperiment,pursisimplu,semsoarvaloarealui).Acestprocesdeconstruire pentru a n valori x1, x2, ., xn reprezint modelarea variabilei aleatoare , iar valorile xi se numesc reali:rile lui . Dacestevorbade studierea unorIenomene reale, atunci modelarea variabilelor aleatoare, legate de ele, este numit ,,simulare. ProcedeulprincipaldeelaborareametodeiMonteCarlopentrurezolvareauneiproblemeconstnreducerea acesteia la calculul valorilor medii. Mai exact, pentru a calculavaloarea aproximativ a unei mrimi scalare a (care poate Ii rdcina unei ecuatii, valoarea unei integrale deIinite etc.) trebuie s gsim o variabil aleatoare, astIel nct s avem M a. Atunci, modelnd variabila aleatoare , adic construind pentru ea n realizri x1, x2, ., xn, vom considera: .11= N(a, 9) se Ioloseste relatia:

9c + a,unde > N(0, 1). 1.3. Modelarea variabilei aleatoarecu reparti(ia Poisson de parametru 2 Modelarea variabilei aleatoarecu repartitia Poissonde parametru 2 se bazeaz pe Iaptul c

|,| =

=|2e

0: min, dac0, 1, 2, . sunt variabile aleatoare independente uniIorm repartizate pe 0,1]. De aici rezult Iormula pentru realizrile lui : , : min0

|,| =

=|2e x

i unde x1, x2, ... sunt numere aleatoare.

1.4. Modelarea variabilei aleatoarecu reparti(ia binomial pnBPentru a obtine o realizarea luivom construi mai nti n realizri x1, x2, ..., xn pentru variabila uniIorm repartizat pe |0,1| dup care considermegal cu numrul cazurilor cnd xi p. Exerci(iiS se modeleze: 1) un punct luat la ntmplare n dreptunghiul |a, b| L|c, d|; 2) un punct luat la ntmplare n cercul x 2 2 A r 2; 3) variabila aleatoare egal cu numrul bilelor albe scoase la extragerea a 3 biledin urnacontinnd 5 bile albe si 2 bile negre. S se considere ambele scheme de extragere; 4) variabila aleatoare discret cu repartitia P( x) pi, i 1, 2, . . 1.5. Aplica(ii n continuare ne vom opri asupra a trei probleme, ce pot Ii rezolvate prin metoda Monte Carlo. 1. Calculul probabilit(ii unui eveniment aleator 5 DacevenimentulaleatorseproducenexperimentuldatcuoprobabilitatenecunoscutP(),atunciconIorm metodei Monte Carlo, valoarea aproximativ a acestei probabilitti se calculeaz astIel: se modeleaz experimentul dat de n ori si se pune n n !) () ( < , n() Iiind numrul de aparitii ale luin experimentele eIectuate. 2. Calculul valorii medii a unei variabile aleatoare Dac cunoastem n realizri x1, x2, ..., xn ale variabilei aleatoare , atunci considerm c =