Metoda Matricilor

Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”Iaşi Structuri static nedeterminate Catedra de Mecanica construcţiilor Titular curs: ş.l. dr. ing. Cezar Aanicăi

- 1 -

METODA DEPLASĂRILOR (forma matriceală)

Să se rezolve cadrul din figura de mai jos prin metoda deplasărilor, forma matriceala:

1 2

3 4

56

7

5000daN

800daN

1400daN/m

6I0 6I0

6I0

I0 I0

2I0 2I0

3m

4m

5m 5m 12m

Fig. 1 1. Stabilirea gradului de nedeterminare cinematic-elastic:

Z N m

in care: N – numărul de noduri rigide sau parţial rigide;

m – numărul de grade de libertate cinematică ale structurii ce se obţine - după introducerea de articulaţii în toate nodurile rigide ale structurii (Fig. 2), inclusiv în legăturile încastrate din reazeme - cu relaţia:

1 2

3 4

56

76I0 6I0

6I0

I0 I0

2I0 2I0

3 m

4 m

5 m 5 m 12 m

Fig. 2 – Formă critică obţinută prin introducerea de articulaţii în nodurile structurii

3 5 14 3 7 2 2sm n r l c

Deci: 4 2 6Z N m


- 2 -

2. Stabilirea sistemului de bază:

a

b

1 2

3 4

56

7

5000daN

800daN

1400daN/m 3m

4m

5m 5m 12m

VII VI

III

V

I II

IV

Fig. 3 – Sistemul de bază 3. Alcătuirea matricelor de rigiditate ale barelor:

0 0

00 0

4 2 2 22 14 4

2 2 4 2 1 2

4 4

I

E I E I

k EIE I E I

0 0

00 0

4 2 2 22 14 4

2 2 4 2 1 2

4 4

II

E I E I

k EIE I E I

0 0

00 0

4 6 2 62 112 12

2 6 4 6 1 2

12 12

III

E I E I

k EIE I E I

0 0

00 0

4 2 4 2

3 3 3 32 4 2 4

3 33 3

IV

E I E I

k EIE I E I

0 0

00 0

4 2 4 2

3 3 3 32 4 2 4

3 33 3

V

E I E I

k EIE I E I

0 0

00 0

4 6 2 62 112 12

2 6 4 6 1 2

12 12

VI

E I E I

k EIE I E I

00

3 61.8

10VII

E Ik EI

4. Asamblarea matricei de rigiditate (cvasi-diagonale) a structurii (in coordonate locale):

k

- se obţine aşezând pe diagonala principală matricele de rigiditate ale barelor, în ordinea

numerotării acestora:


- 3 -

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

4 2

3 3 2 4

3 34 2

3 32 4

3 32 1

1 2

1.8

I

II

III

IV

V

VI

VII

k

k

k

k k

k

k

k

5. Generarea matricii de transformare [A] - identificarea deplasărilor nodurilor structurii (reprezentate in coordonate generale) cu deplasările capetelor de bară (in coordonate locale):

a

b

1 2

3

4

56

7

13

s1b

s1a 12

16

y =11

b

2

3 4

56

7

a 1

s2b

s2a

24

25

21

y =12


- 4 -

a

b

1 2

3 4

56

7

sb3

sa3

y =13

31

34

37

b

2

3 4

56

7

a

1

sb4

sa4

s14

y =14

43

42

a

b

1 2

56

7

sba

saa

3 4

y =1a

0,33

0,25

0,33

0,25

a

b

56

7

sbb

sab

34

7

y =1b

0,33 0,33

1 2


- 5 -

Matricea [A] devine:

1 2 3 4

61

16

52

25

12

21

24

42

13

31

34

43

37

0 0 0 0 0,25 0

1 0 0 0 0,25 0

0 0 0 0 0,25 0

0 1 0 0 0,25 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0,33 0,33

0 0 0 1 0,33 0,33

1 0 0 0 0,33 0,33

0 0 1 0 0,33 0,33

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

a b

I

II

III

IV

V

VI

VII

y y y y y y

A

6. Alcătuirea vectorului {P} al încărcărilor exterioare:

a

b

1 2

3

4

56

7

5000daN

800daN

1400daN/m

m12 m21

m37

V37V37

V12V21

2

12

2

3

4

12 16800

1680012

93753

016

0 0 800 0

800

a

b

pl

MplM

MPlP

M

F

F

T

sk A k A


- 6 -

2 1

1 20 0 0 0 0, 25 0

2 11 0 0 0 0, 25 0

1 20 0 0 0 0, 25 0

2 10 1 0 0 0, 25 0

1 21 0 0 0 0 0

4 20 1 0 0 0 0 3 30 1 0 0 0,33 0,33 2 40 0 0 1 0,33 0,33 3 31 0 0 0 0,33 0,33 4 2

3 30 0 1 0 0,33 0,332 40 0 1 0 0 03 30 0 0 1 0 0

2 10 0 1 0 0 0

1 2

1

T

sk

0

0 0 0 0 0,25 0

1 0 0 0 0,25 0

0 0 0 0 0,25 0

0 1 0 0 0,25 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0,33 0,33

0 0 0 1 0,33 0,33

1 0 0 0 0,33 0,33

0 0 1 0 0,33 0,33

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

.8

EI

0

5.333 1 0.667 0 0.083 0.667

1 5.333 0 0.667 0.083 0.667

0.667 0 5.133 1 0.667 0.667

0 0.667 1 3.333 0.667 0.667

0.083 0.083 0.667 0.667 1.639 0.889

0.667 0.667 0.667 0.667 0.889 0.889

sk EI

7. Calculul deplasărilor nodurilor {D}:

1

sD k P

1

0

5,333 1 0,667 0 0,083 0,667 16800

1 5,333 0 0,667 0,083 0,667 16

0,667 0 5,133 1 1,333 0,667 1

0 0,667 1 3,333 1,333 0,667

0,083 0,083 1,333 1,333 1,639 0,889

0,667 0,667 0,667 0,667 0,889 0,889

DEI

800

9375

0

0

800

rezultind ca

0

4539

-3888

-26611

1713

1718

2412

DEI

Deplasările capetelor barelor (în coordonate locale) se determină cu relatia:

d A D


- 7 -

61

16

52

25

12

21

24

42

13

31

34

43

37

0 0 0 0 0, 25 0

1 0 0 0 0, 25 0

0 0 0 0 0, 25 0

0 1 0 0 0, 25 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0,33 0,33

0 0 0 1 0,33 0,33

1 0 0 0 0,33 0,33

0 0 1 0 0,33 0,33

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

0 0

429.5

4108.5

429.5

4317.5 4539

4539.0-3888

3889.0-26611 1

4117.0 1713

1484.0 1718

4314.9 2412

2889.1

2661.0

1713.0

2661.01 0 0 0

EI EI

,

iar eforturile din capetele barelor sunt: sau

61

16

52

25

12

21

240

42

13

31

34

43

37

2 1

1 2 429.5

2 1 4108.5

1 2 429.5

2 14317.5

1 2

4 2

3 3 12 4

3 34 2

3 32 4

3 32 1

1 2

1.8

M

M

M

M

M

M

MEI

M

M

M

M

M

M

0

0

0

0

4539.0 -16800

3889.0 16800

4117.0 0

1484.0 0

4314.9 0

2889.1 0

2661.0 0

1713.0 0

2661.0 9375

3251

7789

-5176

-9064

-11615

13559

-4494 [daNm]

-766

3827

-979

-3607

766

4587

0 0S b b S bb b= k kS d P A D P

979

11615

M

10210

45873607

766

12622

3251 5176

382713559

9064

4494

7789

Metoda Matricilor

Documents

Transcript of Metoda Matricilor