min)y()y( )y()y(Sn

1i

22

n

2

2

2

1 =∆=∆+…+∆+∆= ∑=

Metoda celor mai mici patrate Noţiuni teoretice

Fie cazul unei dependente liniare de tipul f(x)=ax+b considerata ca fiind dreapta cea

mai probabila care trece prin punctele experimentale (xi,yi)i=1…n. Pentru trasarea dreptei f(x) este necesara calcularea pantei a si termenului liber b. Primul pas este reprezentarea grafica a sirului de valori experimentale pentru a verifica daca punctele respective urmeaza o evolutie liniara; in caz contrar nu are sens sa se efectueze interpolarea. Se va considera ca in procesul de masurare valorile xi nu sunt afectate de erori sau mai corect spus ca erorile in cazul valorilor individuale xi sunt neglijabile fata de erorile ce afecteaza valorile individuale yi.

Cu alte cuvinte diferentele ∆yi,i=1…n: y1 – f(x1)= ∆y1 y2 – f(x2)= ∆y2 (1)

……………… yn – f(xn)= ∆yn vor fi diferite de zero. Metoda celor mai mici patrate este o metoda de calcul pentru valorile cele mai probabile ale parametrilor a si b si rezulta din conditia ca suma patratelor diferentelor ∆yi sa fie minima: (2) Pentru o mai buna intelegere a conditiei de minim in cazul sumei patratelor diferentelor, Σi=1..n(∆yi)², se face o prezentare grafica in figura 1: Conditia care se impune in cazul acestei metode este ca punctele experimentale de coordonate (xi,yi)i=1…n sa fie distribuite in mod aproximativ egal de o parte si alta a dreptei f(x). Se asociaza fiecarui punct experimental (xi,yi) un patrat cu latura egala cu |yi-f(xi)|. Suma

=⋅−⋅−

=⋅−⋅−⋅

⇒

=−⋅−⋅

=−⋅−⋅−⋅

⇒

=∂

∂

=∂

∂

∑ ∑

∑ ∑∑

∑

∑

= =

= ==

=

=

n

1i

n

1i

ii

n

1i

n

1i

i

n

1i

2

iii

n

1i

ii

n

1i

iii

0nbxay

0xbxayx

0)bxay(2

0)x()bxay(2

0b

S

0a

S

⋅−=

=⋅⋅−−⋅−⋅

xayb

0x)xay(xayx 2

−

⋅−⋅⋅=

−

⋅−⋅=

22

2

22

xx

yxyxxb

xx

yxyxa

xBAlnylneAyaritmarelogxB

⋅+= →⋅=⋅

ariilor tuturor patratelor trebuie sa fie minima, sau, cu alte cuvinte dreapta f(x) (in speta parametrii a si b) se alege in asa fel incat, per ansamblu, ariile patratelor rezultate, conform figurii 1, sa fie cat mai mici: S=minim Suma S va fi minima cand derivatele ei partiale, atat in raport cu parametrul a cat si cu parametrul b sunt egale cu zero:

(3)

Impartind fiecare relatie la numarul de determinari n obtinem medii aritmetice iar relatiile anterioare se transforma in:

(4)

Iar parametrii de interpolare a si b sunt dati de relatiile: (5)

Pentru ca metoda celor mai mici patrate sa dea rezultate cat mai bune trebuie eliminate de la inceput erorile grosolane iar numarul de determinari n trebuie sa fie cat mai mare. Exemplu de folosire a metodei celor mai mici patrate Aceasta metoda este eficienta atata timp cat dependenta marimii de studiat este liniara pe domeniul de interes. Ca exemplu se poate considera fenomenul de dilatare termica. In cazul in care exista o dependenta neliniara se va incerca liniarizarea fortata a functiei respective:

iar valorile pentru lnA si B se obtin foarte simplu folosind relatiile (5).