GHEORGIIE ADALBERT SCHNEIDER

MEMoRAToR $I iNunuvranDE MATEM.q,TTCA

ARITMETtci EI ar,crsRAPENTRU GIMNAZIU

EDITURA HYPERION

CUPRINSMullimi1.1 Nofiunea de mullime. Element' Relalia de

apartenen!61.2 Relalia intre douE mul1imi. Submullimi . " . .

1.3 Operalii cu submullimi1.4 Aplica{iiMullimea numerelor naturale2.1 Scrierea Ei citirea numerelor naturale insisternul de numeralie zecimal2.2 Reprezentarea numerelor nafurale pe axd'

Compararea gi ordonarea numerelor naturale.

Aproximarea qi rohrnjirea numerelor naturale . . . .

2.3 Adunareanumerelornaturale . . .

2.4 Sc6derea numerelor naturale

J

J

45

6

8

8

10

12

13

2.5 inmullirea numerelor naturale. Factor comun.

Ordinea efectu[rii opera]iilor. Utilizareaparantezelor 14

2.6 impirtireacurestanumerelornaturale.'.. " 16

2.7 Ridicarea la putere cu exponent natural a unuinum5r nafural. Compararea puterilor care au

aceeaqi bazd sau acelaqi exponent. Ordineaefectudrii operaliilor 17

2.8 Divizor.Multiplu 2l2.9 Criterii de divizibilitate cu 10,2,5, 3 qi 9 . . . 22

2.10 Numere prime. Numere compuse 24

2.11 Descompunerea numerelor naturale in produs

de puteri de numere prime . . 25

2.12 Divizori comuni a dou[ sau mai multenumere naturale. C.m.m.d.c. Numere prime intre

85

2.13 Multipli comuni a doud sau mai multe numere

naturale. C.m.m.m.c. Relafia dintre c.m.m.d.c. qi

c.m.m.m.c.2.14 Aplica;iiMullimea numerelor intregi ,

3.1 Numlr intreg, opusul unui numdr intreg,reptezefitarea pe axa a numerelor intregi, valoarea

absolutd (modulul)3.2 Compararea Ei ordonarea numerelor intregi . .

3.3 Adunarea numerelor intregi . . .

3.4 Sc[derea numerelor intregi3.5 inmul{irea numerelor intregi . . . .

3.6 irnpE(irea numerelor intregi c6nd deimp[rlituleste multiplu al impirfitorului3.7 Ridicarealaputereanumerelorintregi...... 363.8 Ordinea efectudrii operaliilor gi folosireaparantezelor3.9 Divizorii unui numlr intreg " . . ' "

3.10 Aplica{iiMullimea numerelor ralionale . . .

4.1 Numere ralionale pozitive4.2 Mullimea numerelor ralionale Q; reprezentarea

numerelor ralionale pe axa numerelor; opusul unui

numdr ra{ional; valoarea absoluti (modulul) unuinum[r ralional4.3 Compararea gi ordonarea numerelor ralionale4.4 AdunareaEi sciderea numerelor ra{ionale .' .

4.5 inmullirea numerelor ralionale . . .,.

4.6 impir{irea numerelor rafionale . . . .

4.7 Pulerea unui num[r rafional cu exponent intreg.Reguli de calcul cuputeri .... . 52

4.8 Aplicafii 54

26

31

32333434

35

272831

4849505252

3737394040

85

Numere reale5.1 R6d[cina pdtratd a unui numir natural pdtrat

perfect .

5.2 R[ddcina p6trat[ a unui numdr ralional pozitivpdtrat perfect5.3 Rid[cina pdtratd a unui numir ra(ional pozitivcare nu este pAtrat Perfect .

5.4 Numere iralionale. Mulfimea numerelor reale

5.5 Operalii cu numere reale de forma atl6,b e Q,a)05.6 Raflonalizarea numitorului unei frac{ii, av6nd

numitorul iralionalRapoarte qi ProPorlii5.1 Rapoarte Ei procente

6.2 Proporlii6.3 M[rimi direct propo4ionale. Regula de treisimpll6.4 Mdrimi invers proporlionale. Regula de trei

simpl66.5 Media aritmeticd6.6 Media aritmetic6 ponderatd . .

6.7 Probabilitatea realiz6rii unor evenimente . . . .

6.8 AplicaliiCalcul algebric7.1 Adunarea qi sciderea numerelor reale

reprezentate prin litere7.2 inmullirea gi ridicarea la putere a numerelorreale reprezentate prin litere7.3 imp64irea numerelor reale reprezentate prinlitere7.4 Reguli de calcul cu numere reale reprezentate

prin litere7.5 Formule de calcul prescurtat

54

54

54

57

5858

59

55

56

56

59

60

6l6l62

6264

64

64

65

6566

87

7.6 Descompunerea in factort .

7.7 Rapoarte de numere reale reprezentate prinlitere. Operalii cu acestea

10.3 Aplicalii

6870

7'.|

797980

80

81

82

7.8 Inegalitati8 Funclii '12

9 Ecualii gi inecualii 75

9.1 Ecuafiideforma ax + b = 0, x eR, a'b e€ R,a + 0 ....9.2 Eun\ii de forma ax * by * c : 0,a,b,c e R.

9.3 Ecuafii de forma axz + bx * c = 0, a,b,c e€R,4+0 ....9.4 Inecualii de forma ax * b ) 0(> 0, < 0, > 0)

a,beF.,a+0...9.5 Aplica(ii

10 Sistemedeecua{ii qiinecualiidegradull "... "..I 0.1 Sisteme de ecualii de gradul I cu doul necu-

noscute10.2 Sisteme de inecua{ii de gradul I cu o necunos-

cut6

Tiparul executat laXDITURA IIYPERION

CRAIOVAStr. impiratul Traian Nr. 30

66

75

76

88

1. Mul{imi1.1 No{iunea de mul{ime. Element. Rela{ia. de apartenen{I

1. Mulfimea este o no{iune primar6, ea nu se definegte.Intuitiv, mullimea reprezinti o colec{ie (grupare) de obiecte

avAnd o natur[ bine determinat[, obiectele numindu-se elemente.

Mullirnile se noteazi cu litere mari, iar elementele unei

mullimi eu litere mici.2. Fiind data mullimea I qi a este un element al mullimii l,

atunci scriem a € A gi citim a aparJine luil.Fiind datl mullimea A Ei a nu este un element al mullimii l,

atunci scriem a 4 A qi citim a nu apar{ine lui l.3. Mullimea care nu are nici un element se numeste

mul(imea vidi qi se noteazd @.

Exemplu: {x e Nl 3 1 x I 3} = 0.4. O mullime I poate fi dat6 astfel:

a) prin enumerarea elementelor mullimii intre acolade, fiecare

element al mullimii scriindu-se o singur6 dat6;

Exemple: 4 = {L,2,3},8 = {a,b,c},C = {1,2,x,5,y}.b) cu ajutorul unei proprietlfi ce caracterizeazd elementele

muliimii;Exemple: 1. I este mullimea cifrelor pare. Mulfimea I

se poate scrie A = t0,2,4,6,8j;2. .B este rnullimea literelor cuv6ntului matematici. Mullimea Bse poate scrie B = {m,a,t,e,i,c,6};3. C este mullimea numerelor naturale mai mici decdt 30 qi care

se impart exact la 5. Ea se poate scrie C = {0, 5,70,15,20,25}.t. A : tx € N I r < 5) : {0, 1,2,3,4};5. A = tx€ N-l 3 < r < B) - {3,4,5,6,7};6. A={x e N.lrl8}={r,2,4,8};l. ,q : {x e N-l r ': 4;i x 130} = {4, 8,L2,76,20,24,28};8 A = {x€ N-l 3 < x ( 309ix : 6} = {6,12,18,24}.

c) cu aiutorul diagramei Venn-Euler;

Exemple:Gx //-. \ r.1 .3---l

ed\ [, l:":t::l5. Fiind datd mul(imea finitd A, atunci numlrul de elemente

al mullimii,4 se nume$te cardinalul lui I qi se noteazd card A'

Exemple: card {7,2,3,4} : 4; card {a,b,c} = 3.

6. Fiind date mullimile A qi B, spunem ce mullimile sunt

egale gi scriem ,4 = B, dac:a orice element din I apa(ine 9i

mullimii B qi orice element din B aparline qi mullimii I'Exemple: a) A = {1,3,5,7,9} 9i B : mullimea cifrelor

impare.b) A ={x e N-l 3 < x 11.0 9ix i 2} Si B = 14,6,8}.

Observalie. Doud mullimi egale au acelaqi cardinal'

1.2 Rela{ia intre doui mul{imi. Submulfimi

1. Fiind date mul1imi1e I gi B, spunem c[ mullimea '4 este

inclusi in mullimea B dacl orice element al mullimii I este qi

element al mu[imii -8. Notlm A c B qi spunem c6 I este o

submul{ime a mul1imii .B.

Exemple: a) DacE A = {7,2} Ei B = {7'2,3}, atunci A c B'

b) Dacd A = {1,3,5,7 ,9} gi B = {3, 5} atunci B c .4.

Observalie. Evident,4 c Aqi@ c A.

2. Proprieti{i ale relaliei de incluziunel. A c A- relalia c este reflexiv[;2. A c B qiB c A + A = B -relalia c este antisimeffice;

3. AcB EiBcC +AcC -relafiacestetranzitivd.

1.3 Operalii cu submul{imi

1. Numim intersec{ia mullimilor I qi B Ei not[m .A o B,mullimea formatl din elementele comune mullimilor I qi B'

Putem scrie: A n B = {xlx e A'i x e B}.Observa{ie. Intersec}ia a doui mul{imi este o operalie

:omutativS, deoarece evidentl n B = B n A.

Exemplu: Dacd A = t7,2,7j 9i B = {0, 1,2,3,4,5}, atunciAAB={7,2}.

2. Numim reuniunea mullimilor I qi B qi not6m A u B,mullimea formatd din elementele care aparlin ce1 pulin uneia

Jrritre rnullimile A 9i B"

Putemscrie: A U B = {xlx e Asaux e B}.Observa{ie. Reuniunea a doud mullimi este o operalie

comutativ6, deoarece evidentA u B = B u A,

Exemplu: Dacd A = {1, 5,9} 9i B = {0, L, 3,4, 5}, atunci

At) B = {0,7,3,4,5,9}.3. Numim diferen{a mullimilor A gi B Ei notlm .4 - B,

nrullirnea formatE din elernentele mullimii A cate nu aparfin

mullimiiB.Putem scrie: A - B = {xlx e A ;i x € B}.Exemplu: Dacd A = {1,3,5, 7,9} qi B = {0, 1,3,4}, atunci

A - B = {5,7,9} qi B -,4 = {0,4}.Observa(ie. Diferenla a doud mulJimi nu este o operalie

comutativd, deoarece evident A-B+ B-A. Aceastd afirmalie

rezulti qi din exemplul de mai sus, unde se vede clar cd A - B +

=B_4.4. Fiind datd mul{imea E qi A o submul}ime a lui E, numim

complementara lui I in raport cu E mullimea E - A, care se

noleazi CsA.

Putem scrie: CsA: {xlx e t Si x G A}.Exemplu: Dacd E = {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9} qi 4 = {1,3},

atunci CsA = t0,2,4,5,6,7,8,9\.

5. Numim produs cartezian al mullimitorl giB 9i notlmAxB, mullimea formatd din toate perechile care au primui element

din mullimea I gi al doilea element din mullimea B.putem scrie: AxB = {(x,y)lx e .4 9i y e B}.Exemplu: Fiind date mullimile e: {0,1} qi B = 11'2'3}'

avem: AxB = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (r, s)} qi

sxA = {(1,0), (1,1), (2,0),(2,1), (3,0), (3,1)}.Observafie. Produsul cartezian a doul mullimi nu este

comutativ. Aceast[ afirma]ie rezulti qi din exemplul de mai sus,

unde se vede clar cb AxB * BxA.

1.4 Aplica{ii

l. Determinali mul1imile:

a) A = {x € N I x = 3n * \,n = t,2,3};b) B= {x e N I Bx +7 =71};c) C = {xE N | 11 < 5x t 1 < 31}.

Solu(ie. a) n = 7 ) x = 4,n = 2 ) x = T rin : 3 = x := L0. Atunci A = {4,7,70}.b) 8r+ 7 = 77 s Bx = 7\ - 7 + Bx = 64 +x = B.Atunci:a = {BJ.c) 5x*12 11 + 5r> 10 = x> 2 Ei 5x*1 < 31.+ 5x <( 30 = x < 6. Rezulte atunci ci 2 3 x 1 6 Ei cum r 6 N, rezultix = 2,3,4,5 qi C = {2,3,4,5}.

2. Se considerd mullimile l, B:

4 = {x e N lx : 7 - zk,L € N-}g : {x eN lx = l0 -3k,k € N-}.

Si se determine A n B, A U B, A - B, B - A, AxB, BxA.Solu(ie. Pentru mullimea A'. k = 7 + x : 5,k = 2 + x =

= 3,k : 3 + x = 1 qi atuncil = [1,3,5].Penhumullimea B: k = \ ) x = 7,k = 2 + x = 4,k = 3 t x ==1$iatuncig={1,4,7}.

Arunci avem: A n B : {1, 3, 5} n {L,4,7} = {1};

6

A v B = {1, 3, 5} u t1,4,7\ = {7,3,a,5,7};A - B ={1,3,5} - {L,4,7} = {3, 5};B - A = tr,4,7j - {1, 3, 5} : { ,7};AxB == {(1, 1), (1,4),(t,7),(3,7), (3,4), (3, 7),(s,1), (5,4), (s,7)}BxA == {(1, 1), (1,3), (1, s), (4, 1), (4,3),(4,s),(7,L),(7,3),(7,s)}

3. Si se determine x,y e N, astfel incat si avem:

{r,3,x,7,Y,t7} - {1,3,7} = {s, e, 11}.Solu{ie. Evident {7,3,x,7,y,tl} - {7,3,7} = {x,y,LL} =

={5,9, 11}+x=5,y=9.4. SI se determine mullimea X, gtiind c6:

a) Xn{3,4,5,6}={a,6};b) x u {3,4,5,6} = {1, 2,3,4,5,6}.

Solu{ie. Deoarece X n {3,4,5,6} = {4,6} rezdtd 4,6 e X.

Deoarece X ut3,4,5,6) = {1,,2,3,4,5,6}rezult'l,2 eX.Arunci X = t1,2,4,6j.

5. Si se determine mullimile Xqi I, s,tiind c6:

a) XUY={1,,2,3,a,5};b)xnv={t,2}:c) 5Q. X -Y;d) mullimea Xare mai multe elemente dec6t mullimea /.

Solu(ie. Din X n Y = {1,2} rez,,lti 1,2 e X;1,2 € Y. Cunt5 e X -I qi 5 € X nY rezultd 5 eY -X, deci 5 € Y. Deoarece

X uY = {1,2,3,4,5}rezulti cd3,4 e X sau 3,4 E I sau 3 € X qi

4 E I'sau 3 e y ti 4 e X.insdXue mai multe elemente decdt )'9iatunci rezultd cd 3, 4 e X. Deci X : {7, 2,3, a} Ei Y : tL, 2, 5}.

6. Determina{i x,y e N astfel incAt:

{1, x,7} n {3,Y,5} = {3, 7}.Solufie. 3 e t7,x,7\ + x =3 qi7 € {3,y,5} + y = 7.