MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE Obiectivul principal al cursului este de a asigura baza teoretică de întelegere şi fundamentare a aparatului matematic utilizat în cadrul unor discipline de specialitate. Cursul este structurat în raport cu obiectivul dotării viitorilor economişti şi specialişti cu instrumentele matematice de operare şi gândire, pentru a fi capabil să fundamenteze deciziile adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orientate spre aplicarea lor în economie şi corelate cu disciplinele de bază şi de specialitate pe care le vor parcurge studenţii, conform planului de învăţământ. Continutul tematic al cursului

Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică cu aplicaţii în economie 1. Evenimente, câmp de evenimente. Definiţia clasică şi definiţia axiomatică a

probabilităţi. Proprietăţi. Câmp de probabilitate. Probabilitate condiţionată 2. Variabile aleatoare unidimensionale, definiţie, proprietăţi. Funcţia de repartiţie. Valori medii şi momente ale unei variabile aleatoare. Proprietăţi. Funcţia caracteristică. Variabile aleatoare bidimensionale. Corelaţie

3. Scheme clasice de probabilitate: Bernoulli, Poisson, repartiţia normală, repartiţia 2χ , Student şi repartiţia F

4. Elemente de statistică matematică: Teoria selecţiei. Teoria estimaţiei. Metoda verosimilităţii maxime

Elemente de teoria grafurilor pentru fundamentarea deciziei în MFC 5. Grafuri: concepte, definiţii. Matricea drumurilor totale, teorema Chen pentru

drumuri hamiltoniene. Graf condensat: algoritmul Chen, algoritmul Kauffman. Drumuri minime şi maxime într-un graf: algoritmul Bellman - Kalaba, algoritmul Ford. Studii de caz

6. Reţele de transport: flux maxim într-o reţea; algoritmul Ford - Fulkerson. Aplicaţii în fundamentarea deciziilor

Matematici financiare

7. Dobânda simplă. Definiţie, formule de calcul. Operaţiuni echivalente cu regim de dobândă simplă. Dobândă compusă. Definiţie, formule de calcul. Operaţiuni echivalente cu regim de dobândă compusă

8. Procent şi risc de plasare. Devalorizare. Scont simplu şi scont compus

9. Plăţi eşalonate, anticipate şi posticipate. Valoarea actuală şi valoarea finală. Operaţiuni echivalente. Plăţi eşalonate fracţionate

10. Plăţi eşalonate generalizate. Împrumuturi

Matematici actuariale 11. Bazele matematicii actuariale: funcţii biometrice, funcţia de supravieţuire,

speranţa de viaţă. Proprietăţi. Tabele. Asigurări viagere: factori viageri de actualizare

12. Contracte de asigurare viageră: tipuri de contracte şi anuităţi viagere. Deducerea modelelor matematice corespunzătoare. Folosirea tabelelor. Calculul factorilor de actualizare în contractele de asigurare viageră când nu se pot folosi tabelele existente 13. Rente viagere anuale în progresie crescătoare. Tipuri de contracte. Deducerea modelelor matematice corespunzătoare

14. Plăţi viagere fracţionate. Tipuri de contracte. Asigurarea de pensii de-a lungul vieţii active. Asigurări de deces

3. Bibliografie minima obligatorie

1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2000

2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Elemente de matematici economice, Ed. FRM, Bucureşti, 2005.

3. BACIU A. –Matematici aplicate în economie şi finanţe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004

4. DUDA I., – Elemente de algebră pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1999.

5. OPRESCU GH., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1996.

4. Bibliografie facultativa

1. PURCARU I. – Matematici financiare, Vol I şi II, Ed. Economică, 1993.

2. POPESCU O. şi colab. – Matematici aplicate în economie, Vol. I şi II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

3. DANTZIG,G., B., şi colab., – Programarea liniară a sistemelor man., (trad.)Vol. I, II şi II,I Ed. Tehnică, Bucureşti, 1990.

4. LENNARTH., JALMARSON, OPRESCU GH., şi colab., – Macroeconomie – o abordare cantitativă, Ed. Omnia, Bucureşti, 1995.

5. Prezentarea lectiilor (capitolelor)

1. Elemente de teoria probabilitãtilor si statisticã matematicã cu aplicatii în economie (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 118-214) Concepte cheie Câmp de evenimente, evenimentul sigur, evenimentul imposibil, evenimente contrare, evenimente compatibile, evenimente incompatibile, evenimente elementare, evenimente compuse, evenimente independente, probabilitate condiţionată, variabile aleatoare, caracteristici numerice, functie de repartitie, variabile aleatoare de tip continuu, momentele unei variabile de tip continuu

1.1. Câmp de evenimente. Probabilitate 1.1 Câmp de evenimente Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare. Vom da exemple de fenomene aleatoare:

Definitia 1. Prin experienţă în teoria probabilităţilor se înţelege orice act care poate fi repetat în condiţii date.

Definitia 2. Toate situaţiile legate de experienţă şi despre care putem spune, cu certitudine, că s-au produs sau nu, după efectuarea experienţei, poartă numele de eveniment.

Definitia 3. Evenimentul sigur (notat Ω) este un eveniment care se realizează cu certitudine la fiecare efectuare a experienţei.

Definitia 4. Evenimentul imposibil (∅) este evenimentul care nu se produce niciodată la repetarea experienţei. Evenimente contrare: Dacă notăm cu A evenimentul aparitiei uneia din feţele 2,5 la aruncarea unui zar şi B aparitia uneia din feţele 1, 3, 4, 6. Se observă că atunci când nu se produce evenimentul A, adică atunci când nu apar feţele 2 sau 5, se produce evenimentul B, adică obţinem una din feţele 1, 3, 4 sau 6 şi invers, când nu se produce evenimentul B se produce A. Spunem că evenimentele A şi B sunt contrare.

Definitia 5. Întotdeauna unui eveniment îi corespunde un eveniment contrar, a cărui producere înseamnă, prin definiţie, realizarea primului. Evenimentul contrar lui A se notează cu A , CA, AC.

Sunt adevărate relaţiile: AA = , ∅=Ω , Ω=∅ . Evenimente compatibile. Evenimente incompatibile

Definitia 6. Evenimente A şi B se numesc compatibile dacă se pot produce simultan, adică dacă sunt rezultate care favorizează atât pe A, cât şi pe B.

Definitia 7. Evenimentele A şi C se numesc incompatibile dacă nu se pot produce simultan, adică dacă nu se pot produce simultan, adică dacă nu există rezultate care favorizează atât pe A cât şi pe C.

Eveniment implicat de alt eveniment Definitia 9. Vom spune că evenimentul A implică evenimentul B sau că

evenimentul B este implicat de evenimentul A, dacă B se produce ori de câte ori de produce A. Orice eveniment implică evenimentul sigur: A ⊂ Ω, ∀ A. Operaţii cu evenimente

Definitia 10. Fiind date două evenimente A şi B, numim reuniunea lor şi o notăm cu A ∪ B, evenimentul a cărui producere constă din producerea a cel puţin unuia din cele două evenimente sau A sau B.

Definitia 11. Intersecţia evenimentelor A şi B, notată cu A ∩ B, constă din producerea simultană a evenimentelor A, B. Evenimente elementare. Evenimente compuse

Definitia 12. Un eveniment A∈Σ (mulţimea evenimentelor asociate unui experiment) este compus dacă există două evenimente B, C ∈ Σ, B ≠ A, C ≠ A astfel încât A = B ∪ C. În caz contrar evenimentul se numeşte elementar. Notăm evenimentele elementare cu w1, w2, ..., wn, iar în acest caz Ω = w1, w2, ..., wn şi Σ ⊂ Ρ (Ω) (mulţimea părţilor Ω).

Definitia 13. Mulţimea evenimentelor asociate unui experiment se numeşte câmp de evenimente al experimentului respectiv.

1.1.1. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente

Definitia 14. Se numeşte probabilitatea evenimentului A, A ∈ Σ, raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului A:m şi numărul cazurilor totale:n.

Deci ( )n

mAP = .

Observatii 1. Aceasta este definiţia clasică a probabilităţile şi se poate folosi numai în experimente cu evenimente elementare egal posibile. 2. P(Ω) = 1 3. P(A) ≥ 0 4. Dacă A = A1 ∪ A2 şi A1 ∩ A2 = ∅ atunci P(A) = P(A1) + P(A2). 5. Evenimentele elementare sunt egal probabile (au probabilitatea 1/n). Aşadar generalizând în cazul unui câmp finit de evenimente (Ω, Σ) o probabilitate pe acest câmp va fi definită astfel:

Definitia 15. Se numeşte probabilitate pe ΣΣΣΣ o aplicaţie P : Σ → R care satisface axiomele: (1) P(A) ≥ 0 (∀) A ∈ Σ (2) P(Ω) = 1 (3) P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) (∀)A, A2 ∈ Σ cu A1 ∩ A2 = ∅. Proprietatea (3) se extinde la orice număr finit de evenimente incompatibile două câte două.

Deci, dacă Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j, n,1j,i = ( )∑==

=

n

1ii

n

1ii APAP Υ

Definitia 16. Numim câmp de probabilitate finit, un câmp finit de evenimente (Ω, Σ) înzestrat cu o probabilitate P, notat (Ω, Σ, P).

Proprietăţi: P1) (∀ )A ∈ Σ, P(AC) = 1 – P(A) P2) P(∅) = 0 P3) (∀)A ∈ Σ avem 0 ≤ P(A) ≤ 1 P4) (∀)A1, A2 ∈ Σ A1 ⊂ A2 atunci P(A1) ≤ P(A2) P5) (∀)A1, A2 ∈ Σ avem P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) P6) P(A1 ∪ A2) ≤ P(A1) + P(A2) (∀)A1, A2 ∈ Σ Evenimente independente. Probabilitate condiţionată

Definitia 17 Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate (Ω, Σ, P) sunt independente dacă: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

Definitia 18 Fie (Ω, Σ, P) un câmp de probabilitate, A,B ∈ Σ, P(B) ≠0 Numim probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B(probabiliitatea sa reealizeze evenimentulA în ipoteza că evenimentul B a avut loc) raportul

( )( ) ( )/

P A BnotatP A B

P B

∩

Notăm şi ( ) )A(PB/AP B= Obs.

1) Analog putem defini ( ) ( )( ) 0P(A) ,AP

BAPB/AP ≠∩=

2) În cazul în care evenimentele A şi B sunt independente avem: PB(A) = P(A) sau analog PA(B) = P(B).

1.2. Variabile aleatoare. Caracteristici numerice Functie de repartitie

Una din noţiunile fundamentale ale teoriei probabilităţilor este aceea de variabilă aleatoare.

Evenimentele unui câmp de probabilitate nu sunt, principial, mărimi în înţelesul atribuit acestora în ştiinţele naturale sau tehnică; ele se descriu însă cu ajutorul unor mărimi având valori reale şi care, în general, sunt rezultatul unor măsurători. Principalul merit al actualei sistematizări a calcului probabilităţilor constă în definirea variabilelor aleatoare, deci a mărimilor pe care ni le prezintă experimentul direct, sau teoriile destinate să-l interpreteze.

Dacă înţelegem prin variabilă aleatoare o funcţie reală definită pe mulţimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat vom putea ilustra prin exemple tipice pentru teoria probabilităţilor cum se trece de la un eveniment la o variabilă aleatoare şi anume:

1.2.1. Variabile aleatoare discrete

Fie P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate şi ( ) Σ⊂∈IiiA un sistem complet (finit sau

numărabil) de evenimente. Sistemul numeric ( )ii APp = , Ii ∈ , se numeşte

distribuţia −σ câmpului de probabilitate. Definiţie.19. Numim variabilă aleatoare discretă o funcţie ξ definită pe mulţimea

evenimentelor elementare Ω∈ω cu valori reale dacă 1. ξ ia valorile ix , Ii ∈ ;

2. ( ) Σ∈=ωξω ix , Ii ∈ .

O variabilă aleatoare discretă pentru care I este finită se numeşte variabilă aleatoare simplă.

Schematic variabila aleatoare ξ se notează prin

Iii

i

p

x

∈

ξ : , 1=∑

∈Iiip . (1.)

Tabloul (3.1) se numeşte distribuţia sau repartiţia variabilei aleatoare ξ . Numărul produselor defecte dintr-un lot examinat, numărul de defecţiuni care apar într-o anumită perioadă de funcţionare a unui dispozitiv, indicatorul unui eveniment A sunt variabile aleatoare discrete.

Faptul că 1=∑∈Ii

ip ne sugerează ideea că această sumă se repartizează într-un anumit

mod între aceste valori ix , deci din punct de vedere probabilistic o variabilă aleatoare este

complet determinată dacă se dă o astfel de repartiţie. Vom stabili o astfel de lege de repartiţie. Una din formele cele mai simple în care putem reprezenta o astfel de lege este forma schematică (3.1) sau sub forma unui tabel.

ix 1x 2x Κ ix Κ

nx

ip 1p 2p Κ ip Κ

np

Definiţie 20. Fie ξ şi η două variabile aleatoare definite prin

( ) nx=ωξ pentru nA∈ω , ( ,...2,1=n )

( ) my=ωη pentru mB∈ω ( ,...2,1=m ) (2.)

nA şi mB fiind două sisteme complete de evenimente. Spunem că variabilele aleatoare ξ şi η

sunt independente, dacă pentru orice m şi n avem

( ) ( ) ( )n m n mP A B P A P B=I . (3.)

Distribuţia lui η+ξ=ζ se numeşte compunerea lui ζ şi η . Spre exemplu fie variabilele aleatoare simple

ξ

n

n

pp

xx

ΛΛ

1

1: ,

η

m

m

qq

yy

ΛΛ

1

1:

Variabila aleatoare η+ξ are tabloul de distribuţie

++++η+ξ

nmij

mnji

pppp

yxyxyxyx

ΛΛΛΛ

1211

2111:

unde

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )jijiij yxPyxPp =ωηω=ωξω=+=ωη+ωξ= Ι

cu

11 1

=∑∑= =

n

i

m

jijp .

Dacă ξ şi η sunt independente jiij qpp = .

Variabila aleatoare ξη are tabloul de distribuţie

ξη

nmij

mnji

pppp

yxyxyxyx

ΛΛΛΛ

1211

2111:

cu

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )jijiij yxPyxPp =ωηω=ωξω==ωηωξ= Ι

Operaţiile de sumă şi produs se extind la orice număr finit de variabile aleatoare. Rezultă deci:

Puterea unei variabile aleatoare are tabloul de distribuţie

ξ

k

kn

kk

pp

xx

ΛΛ

1

1:

deoarece ( )( ) ( )( ) iiki

k pxPxP ==ωξ==ωξ .

Inversa unei variabile aleatoare cu valori nenule are tabloul de distribuţie

ξ−

n

n

ppxx

Λ

Λ

1

11

11: .

Dacă variabila aleatoare η admite inversă, atunci definim câtul 1−ξη=ηξ

şi are tabloul de

distribuţie

ηξ

nmij

m

n

j

i

pppy

x

y

x

y

x

ΛΛ

ΛΛ

11

1

1

: .

O constantă a poate fi interpretată ca o variabilă aleatoare definită pe orice mulţime de evenimente elementare, iar tabloul ei de distribuţie interpretată ca variabilă aleatoare va fi

1:

aa deci vom putea face totdeauna operaţii cu variabile aleatoare şi constante.

1.2.2. Momentele unei variabile aleatoare discrete

Momentele unei variabile aleatoare discrete sunt valorile tipice cele mai frecvent utilizate în aplicaţii.

Definiţie 21. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă care ia valorile ix cu probabilităţile ip ,

Ii ∈ . Dacă seria ∑∈Ii

ii px este absolut convergentă, expresia

( ) ∑∈

=ξIi

ii pxM (4)

se numeşte valoare medie a variabilei aleatoare discrete ξ .

Dacă ξ este o variabilă aleatoare simplă care ia valorile nxx ,...,1 cu probabilităţile

npp ,...,1 , atunci valoarea medie va fi

( ) ∑=

=ξn

iii pxM

1

. (5)

Vom da în continuare câteva proprietăţi ale valorilor medii. (P1). Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare discrete definite şi dacă ( )ξM şi ( )ηM

există, atunci există valoarea medie ( )η+ξM şi

( ) ( ) ( )η+ξ=η+ξ MMM . (6)

Prin recurenţă, se obţine:

(P2). Fie kξ ( nk ,...,1= ) n variabile aleatoare discrete. Dacă ( )kM ξ există, atunci

ξ∑=

n

kkM

1

există şi

( )∑∑==

ξ=

ξn

kk

n

kk MM

11

. (7)

(P3). Fie ξ o variabilă aleatoare discretă şi c o constantă. Dacă ( )ξM există, atunci ( )ξcM există şi

( ) ( )ξ=ξ cMcM . (8) Proprietatea rezultă imediat din definiţie şi anume

( ) ( ) ( )ξ===ξ ∑∑ cMxpccxpcMi

iii

ii .

Proprietăţile (P2) şi (P3) conduc la: (P4). Fie kξ ( nk ,...,1= ) n variabile aleatoare discrete şi kc , n constante. Dacă ( )kM ξ ,

( nk ,...,1− ) există, atunci

ξ∑=

n

kkkcM

1

există şi

( )∑∑==

ξ=

ξn

kkk

n

kkk MccM

11

. (9)

(P5). Valoarea medie a variabilei aleatoare ( ) η=ξ−ξ M este nulă. η se numeşte abaterea variabilei aleatoare ξ .

Deoarece ( )ξM este o constantă, valoarea medie a unei constante este aceea constantă, deci

( )( ) ( ) ( ) 0=ξ−ξ−ξ−ξ MMMM .

(P6). Inegalitatea lui Schwarz. Fie ξ şi η două variabile aleatoare discrete pentru care

există ( )2ξM şi ( )2ηM . Atunci

( ) ( ) ( )22 ηξ≤ξη MMM . (10)

(P7). Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare discrete independente şi dacă ( )ξM şi

( )ηM există, atunci ( )ξηM există şi

( ) ( ) ( )ηξ=ξη MMM . (11)

Definiţie 21. Fie ξ o variabilă aleatoarea discretă şi r un număr natural. Dacă există

valoarea medie a variabilei aleatoare rξ , atunci această valoare medie se numeşte moment de ordin r al variabilei aleatoare ξ şi se notează

( ) ( ) ∑=ξ=ξαk

krk

rr pxM . (12)

Valoarea medie a variabilei aleatoare rξ se numeşte moment absolut de ordin r al

variabilei aleatoare ξ şi se notează

( ) ( ) ∑=ξ=ξβk

k

r

k

r

r pxM . (13)

Definiţie 22. Fie o variabilă aleatoare discretă ξ . Momentul de ordinul r al variabilei aleatoare abatere a lui ξ se numeşte moment centrat de ordinul r a lui ξ şi se notează

( ) ( )( )ξ−ξα=ξµ Mrr . Momentul centrat de ordinul doi a variabilei aleatoare discrete ξ se numeşte dispersie

sau variantă şi se notează prin ( )ξ2D sau 2σ , deci

( ) ( )ξµ=σ=ξ 222D .

Numărul ( ) ( )ξµ=σ=ξ 2D se numeşte abatere medie pătratică a lui ξ .

Vom da în continuare câteva proprietăţi ale dispersiei şi ale abaterii medii pătratice. (P1). Are loc egalitatea

( ) ( ) ( )[ ]222 ξ−ξ=ξ MMD . Într-adevăr, ţinând seama de definiţie

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]22222

2222

2

2

ξ−ξ=ξ+ξ−ξ=

=ξ+ξξ−ξ=ξ−ξ=ξ

MMMMM

MMMMMD

(P2). Dacă ba +ξ=µ cu a şi b constante, atunci ( ) ( )ξ=η DaD .

Avem ( ) ( ) baMM +ξ=η ,

( ) ( ) ( ) 2222 2 babMMaM +ξ+ξ=η

de unde ( ) ( )ξ=η 222 DaD .

În particular, pentru 0=b avem ( ) ( )ξ=ξ 222 DaaD .

(P3). Fie ( ) nkk ≤≤ξ 1 , n variabile aleatoare discrete, două câte două independente şi ncc ,...,1 ,

n constante. Atunci

( )∑∑==

ξ=

ξn

kkk

n

kkk DccD

1

22

1

2 .

(P4). Inegalitatea lui Cebîşev. Fie ξ o variabilă aleatoare. Atunci

( ) ( ) ( ) ( )2

2

εξ<ε≥ξ−ωξω D

MP .

pentru orice 0>ε . Această inegalitate poate fi pusă sub o formă foarte des folosită în aplicaţii şi anume,

luând ( )ξ=ε aD , (3.21.) se scrie

( ) ( )( )2

1

aaDMP <ξ≥ξ−ξ .

1.2.3. Variabile aleatoare de tip continuu

Fie P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate. Definiţie 23. Se numeşte variabilă aleatoare o funcţie :ξ Ω → ¡ (definită pe mulţimea

evenimentelor elementare cu valori reale), astfel încât toate mulţimile de forma ( ) xAx <ωξω= aparţin lui Σ , pentru orice x∈ ¡ .

Vom da în continuare câteva proprietăţi ale variabilelor aleatoare.

(P1). Fie ξ o variabilă aleatoare şi c o constantă, atunci c+ξ , ξc , ξ , 2ξ , ξ1

cu 0≠ξ

sunt variabile aleatoare.

(P2). Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare, atunci η−ξ , η+ξ , ξη , ηξ

cu 0≠η ,

( )ηξ,sup şi ( )ηξ,inf sunt de asemenea variabile aleatoare.

Definiţie 24. Vom spune că variabilele aleatoare nξξ ,...,1 sunt independente dacă pentru

toate sistemele reale nxx ,...,1 avem

( ) ( ) ( )nnnn xPxPxxP <ξ⋅⋅<ξ=<ξ<ξ ...,..., 1111 .

1.2.4. Funcţie de repartiţie

Definiţie 25. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare ξ , funcţia

( ) ( ) ( )xPxF <ωξω= (14)

definită pentru orice x∈ ¡ . Din această definiţie rezultă că orice variabilă aleatoare poate fi dată prin intermediul funcţiei sale de repartiţie.

Dacă ξ este o variabilă aleatoare discretă cu ( )nn xPp =ξ= , In∈ , atunci din (14)

rezultă ( ) ∑

<

=xnx

npxF (15)

şi se numeşte funcţie de repartiţie de tip discret. Rezultă că în acest caz F este o funcţie în scară, adică ia valori constante pe intervalele determinate de punctele ix ( Ii ∈ ).

Teorema 1. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare are următoarele proprietăţi: 1. Dacă 21 xx < , atunci ( ) ( )21 xFxF ≤ , 1 2,x x ∈ ¡ .

2. ( ) ( )xFxF =− 0 pentru orice x∈ ¡ .

3. ( ) 0lim =−∞→

xFn

.

4. ( ) 1lim =+∞→

xFn

.

Teorema 2. Orice funcţie F monotonă, nedescrescătoare, continuă la stânga şi cu

( ) 0=∞−F , ( ) 1=∞+F este funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare definită pe un câmp de probabilitate convenabil ales.

Teorema 3. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Fie a şi b două numere reale cu ba < . Au loc egalităţile 1. ( ) ( ) ( )aFbFbaP −=<ξ≤ ;

2. ( ) ( ) ( ) ( )aPaFbFbaP =ξ−−=<ξ< ;

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bPaPaFbFbaP =ξ+=ξ−−=≤ξ< ;

4. ( ) ( ) ( ) ( )bPaFbFbaP =ξ+−=≤ξ≤ .

Definiţie 26. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Dacă există o

funcţie reală f definită şi integrabilă pe R aşa încât

( ) ( )∫∞−

=x

duufxF , (16.)

atunci F se numeşte funcţie de repartiţie absolut continuă, iar ξ se numeşte variabilă aleatoare absolut continuă. Funcţia f se numeşte densitate de probabilitate (repartiţie), iar

expresia ( )dxxf se numeşte lege de probabilitate elementară. Dacă F are o densitate de probabilitate f , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xxxP

x

xFxxFxFxf

xx ∆∆+<ξ≤=

∆−∆+=′=

→∆→∆ 00limlim .

Rezultă de aici că ( ) ( )dxxfdxxxP =+<ξ≤

Densitatea de probabilitate are următoarele proprietăţi. 1. ( ) 0≥xf pentru orice x∈R;

2. ( ) 1=∫+∞

∞−

duuf ;

3. Pentru orice ba < reali are loc relaţia ( ) ( )∫=<ξ≤b

a

dxxfbaP .

1.2.5. Momentele unei variabile de tip continuu

Fie P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate şi ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Fie f densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare ξ .

Definiţie 27. Se numeşte valoare medie a variabilei aleatoare ξ expresia

( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ξ dxxxfxxdFM . (17)

Definiţie 28. Se numeşte moment de ordinul r , r ∈ ¥ , al variabilei aleatoare continue ξ , expresia

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ξα=ξ dxxfxxdFxM rrrr , (18)

iar expresia

( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ξβ=ξ dxxfxxdFxMrr

rr (19)

se numeşte moment absolut de ordin r al variabilei aleatoare ξ . În acelaşi mod în care s-au definit momentul centrat de ordinul r , dispersia, abaterea medie pătratică în cazul variabilelor aleatoare discrete, se definesc şi pentru variabile aleatoare de tip continuu. Proprietăţile valorii medii şi ale dispersiei date pentru variabile aleatoare de tip discret se menţin pentru variabile aleatoare de tip continuu.

În aplicaţii se întâlnesc şi următoarele caracteristici:

Definiţie 29. Se numesc asimetrie, sA , şi exces, E , numerele

( )( )ξµξµ=

32

3sA ,

( )( )

422

3Eµ ξµ ξ

= − ,

(20)

dacă momentele respective există. Definiţie 30. Se numeşte moment centrat în a de ordinul r al variabilei aleatoare ξ ,

momentul de ordinul r al variabilei aleatoare a−ξ , iar momentele variabilelor aleatoare r

a−ξ se numesc momente absolute centrate în a de ordinul r .

Definiţie 31. Mediana unei variabile aleatoare ξ este numărul eM (sau ( )ξµ ) pentru

care

( ) ( )ee MPMP ≤ξ≤≥≥ξ21

(21)

sau

( )2

1≤eMF şi ( )2

10 ≥+eMF . (22)

Inegalitatea lui Markov. Fie ξ o variabilă aleatoare pozitivă a cărei valoare medie este finită. Pentru orice 1>λ avem

( )( )λ

≤ξλ≥ξ 1MP . (23)

Definiţie 32. Moda, Mo , a unei variabile aleatoare este valoarea variabilei aleatoare cea mai probabilă.

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1. O urnă conţine 20 de bile numerotate de la 1 la 20. Se extrage o bilă şi îi reţinem numărul. Evenimentul sigur asociat acestui experiment este Ω = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 19, 20 R. A 2 O urnă conţine 20 de bile numerotate de la 1 la 20. Se extrage o bilă şi îi reţinem numărul. Fie evenimentele: A – „rezultatul este par” = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20 B – „rezultatul este multiplu de 5” = 5, 10, 15, 20 Atunci a) A ∪ B = „rezultatul este par sau multiplu de 5” = = 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 b) A ∩ B = „rezultatul este multiplu de 20” = 20 c)AC = „rezultatul este impar” = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 d)A ⊂ C e) C şi B sunt compatibile. Raspunsul corect este: I)a si c II)a,b si c III)b,c si d IV)a ,b si e R: II 3. O urnă conţine 4 bile albe a1, a2, a3, a4 şi 2 bile negre n1, n2. Se extrag simultan două bile.Atunci probele experientei sunt: (a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a2, a3), (a2, a4), (a3, a4), (a1, n1), (a1, n2), (a2, n1), (a2, n2), (a3, n1), (a3, n2), (a4, n1) ,(a4, n2), (n1, n2). R: A 4.Fie (Ω, Σ, P) un camp de probabilitate atunci (∀ )A ∈ Σ, P(AC) = …….

a) 1 + P(A) b) 1 – P(A) c) 2P(A)

d) -P(A) R: b) 5. Fie (Ω, Σ, P) un camp de probabilitate atunci (∀)A ∈ Σ avem 0 ≤ P(A) ≤ 1 R: A 6.Fie (Ω, Σ, P) un camp de probabilitate atunci (∀)A1, A2 ∈ Σ avem P(A1 ∪ A2) =… a) P(A1) + P(A2) + P(A1 ∩ A2)

b) P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) c) P(A1) + P(A2) d) P(A1) + P(A2) – P(A1 ) P(A2)

R: b) 7. Doi vânători trag simultan asupra unei ţinte câte un foc fiecare. Probabilităţile de nimerire a ţintei sunt: 0,8 pentru primul vânător şi 0,6 pentru al doilea. Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de cel puţin un vânător.

a) P(A1 ∪ A2)= P(A1) - P(A2)=0.2 b) P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2)=0.92 c) P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2)=0.5 d) P(A1 ∩ A2)=0.48

R: b) 8. Se dau P(A) = 0,5 şi P(A ∪ B) = 0,6. Găsiţi P(B) dacă A şi B sunt incompatibile a)P(B)= P(A∪B) – P(A) + 0 = 0,6 – 0,5 = 0,1 b) P(B)= P(A∪B) + P(A) + 0 = 0,6 +0,5 = 1,1

c)( ) ( ) ( )

1 ( )

0,6 0,5 0,10,2

1 0,5 0,5

P A B P AP B

P A

∪ −= =

−−= = =

−

d)P(B)=( ) 0,6

( ) 0,5

P A B

P A

∪=

R: a)

9. Fie variabilele aleatoare simple

ξ

n

n

pp

xx

ΛΛ

1

1: ,

η

m

m

qq

yy

ΛΛ

1

1:

Variabila aleatoare η+ξ are tabloul de distribuţie

++++η+ξ

nmij

mnji

pppp

yxyxyxyx

ΛΛΛΛ

1211

2111:

unde

( ) ( ) ( )ij i jp P x yω ξ ω ω η ω= = =U

R. F

10. Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare discrete şi dacă ( )ξM şi ( )ηM există, atunci

există valoarea medie ( )η+ξM şi

a) ( ) ( ) ( )M M Mξ η ξ η+ = +

b) ( ) ( ) ( )M M Mξ η ξ η+ = ⋅

c) ( ) ( ) ( )M M Mξ η ξ η+ = −

R. a)

11. Fie variabila aleatoare

ξ

05,015,020,045,015,0

43210: .

Atunci functia de repartitie F( )

0 pentru 0

0,15 pentru 0 1

0.15 0,45 pentru 1 2

0.15 0,45 0,20 pentru 2 3

0.15 0,45 0,20 0,15 pentru 3 4

1,00 pentru 4

x

x

xx

x

x

x

< ≤ < + ≤ <

= + + ≤ < + + + ≤ <

≥

R. A 12. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare are următoarea proprietate: Dacă 21 xx < , atunci ( ) ( )1 2F x F x≥ , 1 2,x x ∈ ¡ .

R. F 13. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare are următoarea proprietate

a) ( )lim 1n

F x→−∞

= .

b) ( )lim 1n

F x→−∞

= − .

c) ( )lim 0n

F x→−∞

= .

R c) 14. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Fie a şi b două numere reale cu ba < . Atunci are loc agalitatea:

a) ( ) ( ) ( )aFbFbaP −=<ξ≤

b) ( ) ( ) ( )P a b F b F aξ≤ < = +

c) ( ) ( ) ( )2P a b F b F aξ≤ < = −

d) ( ) ( ) ( )2P a b F b F aξ≤ < = −

R a) 15. Se consideră funcţia F definită prin relaţiile

( )

>≤≤

<=

1pentru

10pentru

0pentru

1

02

x

x

x

axxF ,

a constant. Să se determine constanta a aşa încât F să fie funcţie de repartiţie.

a)a=5 b)a=-1 c)a=1 d)a=0

R c) 16. Se consideră funcţia F definită prin relaţiile

( )

>≤≤

<=

1pentru

10pentru

0pentru

1

02

x

x

x

axxF ,

unde a constant. Să se calculeze ( )5,035,0 <ξ≤P .

a) ( ) ( ) ( )0,35 0,5 0,5 0,35

0,1275

P F Fξ≤ < = − ==

b)( ) ( ) ( )0,35 0,5 0,5 0,35

0,3775

P F Fξ≤ < = + ==

c)( ) ( ) ( )0,35 0,5 0,5 0,35

0

P F Fξ≤ < = − ==

d)( ) ( ) ( )0,35 0,5 0,35 0,5

0,1275

P F Fξ≤ < = − == −

R a) 17. Se consideră funcţia

( )

π>π≤≤

<=

x

x

x

xaxf

pentru

0pentru

0pentru

0

sin

0

Să se determine constanta reală a , astfel ca f să fie densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare.

a) ( )0

sin 2 1f x dx a xdx aπ+∞

−∞

= = =∫ ∫ ,

adica a=1/2

b) ( )0

sin 1f x dx a xdx aπ+∞

−∞

= = =∫ ∫ ,

adica a=1

c) ( )0

sin 2 2f x dx a xdx aπ+∞

−∞

= = =∫ ∫ ,

adica a=1

d) ) ( )0

sin 2 1f x dx a xdx aπ+∞

−∞

= = = −∫ ∫ ,

adica a= -1/2 R a) 18. Se consideră funcţia

( )

0pentru 0

1sin pentru 0

2pentru0

x

f x x x

x

ππ

<= ≤ ≤ >

Să se calculeze

π<ξ≤4

0P .

a)

4

0

0 sin4

2 2

2

P udu

π

πξ ≤ < = =

−=

∫

b)

4

0

10 sin

4 2

2 2

4

P udu

π

πξ ≤ < = =

−=

∫

c)0

10 sin

4 2

1

P uduππξ ≤ < = =

=

∫

R.b)

19. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie (repartiţie uniformă) este

( )

≥<≤

<=

1pentru

10pentru

0pentru

1

0

x

x

x

xxF

Să se calculeze functia de repartiţie a variabilei aleatoare ξ

=η 1ln .

a)

( ) ( )

( )

1ln

11 1- x x x

F x P x P x

P e P e e

ηξ

ξξ

− −

= < = < =

= < = − ≤ =

b)

( ) ( )

( )

1ln

11 1x x x

F x P x P x

P e P e e

ηξ

ξξ

= < = < =

= < = − ≤ = −

c)

( ) ( ) 1ln

1 1 1ln 1 1

ln ln

F x P x P x

P x Px x

ηξ

ξξ

= < = < =

< = − ≤ = −

R.a) 20. Fie ξ o variabilă aleatoare de tip continuu cu densitatea de probabilitate

( ) xexf −=2

1, x∈ ¡ . Să se calculeze valoarea medie

a)

( )0

0

1

2

1 11

2 2

x

x x

M xe dx

xe dx xe dx

ξ+∞

−

−∞

+∞−

−∞

= =

= + =

∫

∫ ∫

b)

( )

0

0

1

2

1 10

2 2

x

x x

M xe dx

xe dx xe dx

ξ+∞

−

−∞+∞

−

−∞

= =

= + =

∫

∫ ∫

c)

( )1

1

0 1

1 0

1

2

1 10

2 2

x

x x

M xe dx

xe dx xe dx

ξ+

−

−

+−

−

= =

= + =

∫

∫ ∫

R.b)

2. Elemente de teoria grafurilor (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 220-241) Concepte cheie mulţimea vârfurilor (sau a nodurilor), extremitate iniţială (sursă), extremitate finală (destinaţie),drum,drum simplu, drum elementar, muchie, lant, matricea conexiunilor directe, matricea drumurilor,matricea extinsă a valorilor arcelor

2.1. Introducere. Definiţii

Prima referire la teoria grafurilor a fost făcută în 1736 de către Euler în lucrarea numită: Problema podurilor din Königsberg. În 1847 Kirchoff a abordat teoria reţelelor electrice prin metoda grafurilor.

În 1956 Ford şi Fulkerson au aplicat teoria grafurilor în reţelele de transport. Astfel, după această perioadă teoria grafurilor a fost utilizată pentru rezolvarea unor probleme cu caracter economic, pentru proiectarea reţelelor electrice, de canalizare, de gaze sau a reţelelor de tehnică de calcul, ori în medicină.

Definiţie 1. Un graf G este o pereche de forma ( )Γ= ,XG unde: X este este o mulţime finită numită mulţimea vârfurilor (sau a nodurilor); orice element Xx∈ se numeşte vârf, Γ este o submulţime a lui XX × , mulţimea perechilor ordonate ( )ji xx , ,

,i jx x X∈ , 1,i n= , 1,j n= , i j≠ numite arce.

Pentru un arc ( ) Γ∈ji xx , vârful ix se numeşte extremitate iniţială (sursă), iar

vârful jx extremitate finală (destinaţie).

Graful G admite o reprezentare geometrică în plan, obţinută astfel:

- vârfurile se plasează în plan în poziţii distincte oarecare. - fiecare arc ( ) Γ∈ji xx , se reprezintă printr-o linie ce uneşte cele 2 extremităţi şi pe care

se află sensul de la ix la jx .

Exemplu: Fie graful ( )Γ= ,XG dat de 54321 ,,,, xxxxxX = iar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 54144323423121 ,,,,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxxxx=Γ .

Cu reprezentarea geometrică:

Figura .1.1.

Se observă că Γ poate fi definită ca o aplicaţie multivocă ( ): X P XΓ → adică,

( )xΓ este mulţimea tuturor nodurilor finale ale arcelor ce au ca nod iniţial pe x .

Astfel, graful din exemplul de mai sus poate fi scris ca 54321 ,,,, xxxxxX = ,

( ) 321 , xxx =Γ , ( ) 42 xx =Γ , ( ) 423 , xxx =Γ , ( ) 514 , xxx =Γ , ( ) ∅=Γ 5x

Dacă ( )ii xx Γ∈ , arcul ( ) Γ∈ii xx , se numeşte buclă.

Dacă graful G conţine arcul ( )ji xx , vom spune că vârfurile ix şi jx sunt adiacente

în G şi amândouă sunt incidente cu arcul ( )ji xx , .

Definiţie 2. O succesiune de arce în care vârful terminal al unuia este origine pentru următorul se numeşte drum.

Definiţie 3. Un drum este simplu dacă foloseşte un arc o singură dată. Definiţie 4. Un drum este elementar dacă nu trece de două ori prin acelaşi vârf. Definiţie 5 Un drum elementar care cuprinde toate vârfurile grafului se numeşte

hamiltonian. Definiţie 6. Numărul arcelor care compun un drum se numeşte lungimea acelui

drum. Pentru exemplul grafului din figura 1.1, un drum elementar poate fi

54211 ,,,: xxxxd , lungimea drumului 1d este 3.

Într-un graf G , se numeşte muchie o pereche de vârfuri [ ]ji xx , de vârfuri pentru

care avem proprietatea că ( ) Γ∈ji xx , sau ( ) Γ∈ij xx , ; muchiile unui graf reprezentat

geometric se prezintă ca nişte segmente neorientate. Definiţie 7. Se numeşte lanţ un şir de arce ( ) ( ) ( ) 14321 ,,...,,,, += pp xxxxxxl cu

proprietatea că oricare arce vecine ( )1, +ii xx , ( )32 , ++ ii xx au o extremitate comună pentru

orice 2,...2,1 −= pi . Definiţie 8. Un lanţ care nu-şi repetă vârfurile se numeşte lanţ elementar, iar un lanţ care nu-şi repetă muchiile se numeşte un lanţ simplu.

Numărul de muchii care formează un lanţ se numeşte lungimea lanţului . Exemplu În graful din figura 1.2. următoarele şiruri de arce sunt lanţuri:

( ) ( ) ( ) 3442211 ,,,,: xxxxxxl , ( ) ( ) 42212 ,,,: xxxxl , ( ) ( ) ( ) 4223313 ,,,,,: xxxxxxl ,

( ) ( ) ( ) 2334414 ,,,,,: xxxxxxl

Definiţie 9. Se spune că un graf este conex dacă între oricare două vârfuri ale sale există cel puţin un lanţ care să le lege. În caz contrar graful este neconex.

Un graf se numeşte tare conex dacă între oricare două vârfuri ale sale există cel puţin un drum.

Figura 1.2.

Exemplu Graful

Figura 1.3a.

este conex, iar graful

Figura 1.3b

nu este conex.

Definiţie 10. Gradul unui vârf x se notează ( )xg şi reprezintă numărul de arce

incidente cu x . Gradul interior al unui vârf x se notează cu ( )xg− şi este numărul

arcelor de forma ( ) Γ∈xy, cu Xy∈ . Gradul exterior al unui vârf x se notează cu

( )xg+ şi este numărul de arce de forma ( ) Γ∈yx, cu Xy∈ .

Exemplu. În graful din figura 1.1. ( ) 22 =− xg existând două arce ( )21, xx , ( )23, xx

cu destinaţia 2x şi ( ) 12 =+ xg pentru că ( ) 42 xx =Γ . Deci ( ) 32 =xg .

Definiţie 11. Se numeşte subgraf ( )Γ′′=′ ,XG al grafului ( )Γ= ,XG un graf obţinut din G prin suprimarea anumitor vârfuri şi arce.

Dacă G′ se obţine din G prin suprimarea anumitor vârfuri şi a tuturor arcelor incidente cu acestea vom spune că subgraful G′ este indus sau generat de mulţimea de vârfuri X ′ .

Subgraful G′ se numeşte graf parţial al lui G dacă se obţine din graful G , având aceleaşi vârfuri, dar numai cu o parte din arcelor acestuia.

Exemplu Fie graful

Figura 1.4a.

În Figura 1.4b. este prezentat subgraful G′ generat de nodurile 5321 ,,, xxxx ,

Fidura 1.4b.

iar în Figura 1.4c. este prezentat graful parţial G ′′ fără arcele ( )32 , xx şi ( )53, xx .

Figura 1.4c.

Definiţie 12. Un graf orientat este complet dacă oricare două vârfuri sunt adiacente.

2.2. Matrici asociate unui graf. Proprietăţi ale grafurilor

În problemele ce pot fi rezolvate cu ajutorul grafurilor apar anumite matrici ce conţin informaţii asupra arcelor, drumurilor sau altor elemente legate de grafuri.

2.2.1. Matricea conexiunilor directe

Fie un graf ( )Γ= ,XG cu nxxxX ,...,, 21= . Asociem acestui graf o matrice

pătratică C , ale cărui elemente sunt ( )njiijcC

,1, == .

( )( )i

pentru ,1

0 pentru ,

i j

ij

j

x xc

x x

∈Γ= ∉Γ

Matricea C poartă numele de matricea arcelor, matricea conexiunilor directe sau matricea de adiacenţă pentru graful G

Observaţii 1. Numărul de cifre 1 de pe linia ix reprezintă numărul de conexiuni directe ale lui ix ,

iar numărul de cifre 1 de pe coloana jx reprezintă numărul conexiunilor directe cu

jx . De exemplu, dacă nodurile grafului de mai sus reprezintă 5 bănci, iar arcele

corespunzătoare reprezintă relaţiile de colaborare interbancare, atunci cifrele de 1 de pe linia ix ar putea reprezenta posibilităţile la care banca i face plasamente, iar

cifrele de 1 de pe coloana jx ar putea reprezenta posibilităţile de la care banca j ar

putea face împrumuturi. 2. Dacă două grafuri au aceeaşi matrice a conexiunilor directe (şi aceeaşi mulţime de

vârfuri), atunci cele două grafuri coincid. 3. Gradul exterior al vârfului ix se obţine adunând elementele de pe linia i a matricei

C , iar gradul interior al aceluiaşi vârf se obţine adunând elementele de pe coloana i a matricei C :

( ) ∑=

+ =n

jiji cxg

1

, ( ) ∑=

− =n

kkii cxg

1

.

2.2.2. Matricea drumurilor

Din matricea conexiunilor directe, prin anumite operaţii se poate o matrice ( )

njiijdD.1, =

= numită matricea drumurilor sau matricea conexiunilor totale în care

dacă există drum de la ix la jx

dacă există drum de la ix la jx

=0

1ijd dacă nu există drum de la ix la

jx

Definiţie 13. Puterea de atingere ( )ixp a vârfului Xxi ∈ în graful ( )Γ= ,XG

este egală cu numărul de vârfuri la care se poate ajunge din ix , adică egală cu numărul

de elemente de „1” de pe linia „ i ” din matricea D . Observaţii

1. Matricea D a drumurilor grafului G poate indica absenţa sau prezenţa circuitelor în graful G astfel:

- dacă 0=iid , ( ) ni ,1=∀ , atunci graful G nu are circuite;

- dacă există un indice i , ni ,1= pentru care 1=iid , atunci există în graful G un

circuit care are ca vârf pe ix .

2. Dacă ( ) 0=ixp , atunci din vârful ix nu se ajunge nicăieri şi se numeşte ieşire din reţea.

3. Dacă matricea D are toate elementele egale cu 1, atunci graful este tare conex. Dacă cel puţin un element este egal cu 0 în D , graful nu este tare conex.

Pentru elaborarea unui algoritm de determinare a matricii drumurilor introducem o operaţie adecvată pe mulţimea formată din elementele 0 şi 1, numită operaţie de adunare booleană cu regulile următoare:

+ 0 1 0 0 1 1 0 1

Astfel algoritmul de determinare al matricii drumurilor unui graf, pornind de la matricea conexiunilor directe, este:

1. Pentru construirea liniei „i ” din matricea D ( 1,i n= ) urmărim elementele egale cu „ 1” de pe linia „i ” din matricea C :

dacă

1

1

1

=

==

γ

β

α

i

i

i

c

c

c

Μ, atunci

1

1

1

=

==

γ

β

α

i

i

i

d

d

d

Μ

2. Folosind adunarea booleană, se adună liniile α , β , γ din matricea C la linia „ i ”; noile valori „1” apărute se trec în linia „i ” a matricei D ; fie k , l , ..., m poziţiile ocupate de aceste noi valori în cadrul liniei.

3. Adunăm (boolean) liniile k , l , ..., m din C la linia „ i ” trecând noile valori de „1” apărute în linia „i ” a matricii D , continuând procesul până la apariţia uneia din situaţiile:

a) sau toate elementele ijd ( 1,j n= ) devin egale cu „1”.

b) nu mai apare nici un element egal cu „1”, caz în care locurile rămase libere se completează cu zerouri şi se trece la linia „ 1+i ”, pentru care se repetă procedeul.

2.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri fără circuite

Dacă graful G nu are circuite, vom scrie matricea D a drumurilor grafului, ordonând în prealabil vârfurile grafului în ordinea descrescătoare a puterilor de atingere – astfel toate valorile de „1” din matrice vor apărea deasupra diagonalei principale.

Deoarece - dacă în graful G există un drum de la ix la jx , atunci ( ) ( )ij xpxp < , deoarece orice

vârf atins din jx poate fi atins şi din ix , printr-un drum obţinut în cadrul operaţiei de

conectare; - dacă ar mai fi posibil ca 1=ijd cu ji > , atunci ( ) ( )ji xpxp > ceea ce conform

rearanjării liniilor şi coloanelor nu mai este posibil. Acest procedeu se numeşte „triangularizare”; matricea D se va numi „formă

triungularizată superior”. Este evident că dacă ordinea nxxx ,...,, 21 a vîrfurilor grafului conducere la o

matrice triangularizată atunci ( ) ( ) ( )nxpxpxp ≥≥≥ ...21 .

Această formă are proprietatea că fiecare element egal cu „1” de pe fiecare linie a matricii drumului corespunde unui drum format dintr-un singur arc.

Într-adevăr, presupunem că, pe linia vârfului ix constatăm că:

>−=

==

ij

jkd

d

ij

ik 1,11

0

Să presupunem că există un drum de la ix la jx format din mai multe arce, de

exemplu drumul ( ) ( ) jkki xxxx ,,, . Atunci avem:

( ) ( )jkkj

ikxpxp

d

d>⇒

==

1

1,

deci kx este înaintea lui jx şi deci valoarea 1=ikd ar fi anterioară lui ijd , pe linia

vârfului ix , ceea ce am presupus că nu se întâmplă.

Exemplu Fie matricea D a drumurilor unui graf

( )1 2 3 4 1

1

2

3

4

0 1 0 1 2

0 0 0 1 1

1 1 0 1 3

0 0 0 0 0

x x x x p x

x

xD

x

x

=

Pentru a triangulariza matricea D ne folosim de relaţiile ( ) ( ) ( ) ( )4213 xpxpxpxp >>> ,

vom scrie vârfurile în ordinea 4213 ,,, xxxx în loc de ordinea 4321 ,,, xxxx . Avem:

1 2 3 4

1

21

3

4

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

x x x xx

xD

x

x

=

care este matricea triangularizată a drumurilor. Aceste consideraţii permit elaborarea algoritmului de determinare a drumurilor

hamiltoniene în grafurile fără circuite, astfel: Teorema (Y. CHEN). Un graf fără circuite, care are „ n ” vârfuri, conţine un

drum hamiltonian, dacă şi numai dacă avem:

( ) ( )2

1

1

−=∑=

nnxp

n

ii .

Demonstraţie: Fie nxxxd ,...,, 21= drumul hamiltonian în G , atunci:

- dacă ji > din jx nu se poate atinge vârful ix , deoarece în caz contrar în G ar exista

circuite;

- din vârful ix ( 1,1 −= ni ) se pot atinge vârfurile nii xxx ,...,, 21 ++ deci ( ) inxp i −= ;

- din vârful nx nu se poate atinge nici un vârf.

În total avem:

( ) ( ) ( )∑ ∑

= =

−=−=n

i

n

ii

nninxp

1 1 2

1

Reciproc, presupunem că ( ) ( )∑

=

−=n

ii

nnxp

1 2

1, atunci în matricea D se găsesc

( )2

1−nn elemente de „1”.

Triangularizând superior această matrice, aceste elemente vor ocupa toate locurile disponibile de deasupra diagonalei; în final drumul hamiltonian însuşi este dat de succesiunea vârfurilor corespunzătoare matricii triangularizată superior.

Observaţie. Într-un graf fără circuite, există cel mult un drum hamiltonian. Dacă ar exista două drumuri hamiltoniene ( )1

Hd şi ( )2Hd , atunci în cele două drumuri

ar exista cel puţin două vârfuri ix , jx aşezate în ordine inversă, ceea ce ar face să apară

un circuit între ix şi jx .

Algoritmul de determinare a drumului hamiltonian. Etapa 1

Se scrie matricea ( )njiijdD

,1, == a drumurilor. Dacă există un indice „i ” pentru care

1=iid , atunci graful are circuite şi algoritmul Y.Chen nu se poate aplica.

Etapa 2

În caz contrar, dacă în matrice există ( )

2

1−nn elemente de „1” graful admite drum

hamiltonian şi se trece la Etapa 3, iar dacă numărul de elemente „1” este mai mic decât ( )

2

1−nn graful nu are drum hamiltonian.

Etapa 3 Ordinea vârfurilor în cadrul drumului hamiltonian este dată de ordinea

descrescătoare a puterilor de atingere.

2.4. Determinarea drumului hamiltonian în graf cu circuite

Algoritmul de determinare a matricii drumurilor are un caracter prea sintetic, în sensul că prezenţa unei valori de „1” în matricea drumurilor nu dă informaţii asupra vârfurilor din care se compun drumurile corespunzătoare, bineînţeles că nici asupra numărului de drumuri între vârfurile care corespund acelor valori de „1”.

Ca un exemplu de algoritm capabil să răspundă acestor deziderate, prezentăm algoritmul fundamental datorat lui A.Kaufmann (1963) numit al „înmulţirii latine”.

Introducem ca punct de plecare, o matrice ( )1M , care în locul valorilor de „1” utilizate în matricea obişnuită a arcelor, utilizează însuşi arcul respectiv, reprezentat prin vârfurile care îl compun. ( ) ( )( )

njiijmM,1,

11

== , unde

dacă există arc de la ix la

jx ( )

=0

1 ji

ij

xxm

în rest Prin suprimarea primei litere în matricea ( )1M se obţine o matrice ( )1~

M numită „a destinaţiilor posibile”. Se compun matricele ( )1M şi ( )1~

M prin operaţia de „înmulţire latină”. ( ) ( )1 1M L M% .

Înmulţirea latină a matricilor se face formal ca şi înmulţirea a două matrici, fără însumare şi fără înmulţire efectivă ţinând cont că: - produsul latin a două componente participante la calcul este nul dacă cel puţin una din

ele este nulă. - produsul latin a două componente participante este nul dacă au vârf comun. - rezultatul compunerii constă în scrierea în continuare a vârfurilor componente ale

simbolurilor participante.

Prin definiţia produsului latin avem ( ) ( ) ( )2 1 1M M L M= % , ( ) ( ) ( )3 2 1M M L M= % , …

Algoritmul continuă până la obţinerea matricii ( )1nM − , deoarece într-un graf cu n vârfuri un drum hamiltonian are 1−n arce.

În matricea ( )1−nM citim, conform modului de scriere de mai sus toate drumurile hamiltoniene ale grafului.

Dacă toate elementele lui ( )1−nM sunt zerouri ( ( ) 0=−1nM ), graful nu admite drum hamiltonian.

Observaţie. Procedeul este aplicabil pentru orice tip de graf orientat (cu sau fără circuit), dar pentru grafurile fără circuite se recomandă algoritmul lui Chen, întrucât pentru grafuri de dimensiuni mari, algoritmul înmulţirii latine este greoi (dar sigur).

În cazul în care există mai multe drumuri hamiltoniene prezintă interes şi noţiunea de „cel mai bun” drum hamiltonian ceea ce conduce la ideea de drumuri optime într-un graf.

2.5. Drumuri de valoare într-un graf ; algoritmul Bellman-Kalaba

Fie ( )Γ= ,XG un graf, vom introduce o funcţie :v Γ → ¡ ce asociază fiecărui arc din Γ o valoare reală.

Notăm ( )jiij xxvv ,= şi ( )vXGv ,,Γ= graful valuat. În cazurile reale valuarea poate

reprezenta: distanţa dintre două puncte (localităţi); timpi sau costuri într-o reţea de transport etc.

Pentru un drum kiii xxxd ,...,,

21= în graful G vom numi „valoare a drumului”,

suma valorilor arcelor componente, adică:

( ) ∑−

=+

=1

11

k

hhihi

vdv

Vrem să determinăm drumul „d ” de la un vârf oarecare ix la vârful nx , pentru care

valoarea lui ( )dv să fie minimă.

Pentru aceasta introducem „matricea extinsă a valorilor arcelor”, ( )njiijvV

,1, == ,

dată de

( )( )

Γ∉≠

Γ∈=

∞

=

ji

jiijij

xxji

xx

ji

vv

,,pentru

,pentru

pentru0

şi notăm cu ( )kim valoarea minimă a drumului d de la ix la nx în graful dat, considerat în

mulţimea drumurilor de cel mult k arce, cu im valoarea minimă a drumului de la ix la

nx , considerată în mulţimea tuturor drumurilor (indiferent de numărul de arce

componente). Algoritmul de construire a vectorilor ( ) miim ,1= se bazează pe următoarele propoziţii:

Propoziţie Pentru orice *k N∈ avem ( ) ( ) k

jijnj

ki mvm +=

=

+

,1

1 min

Demonstraţie. Este evident că un drum de cel mult 1+k arce cu destinaţia nx se poate obţine

dintr-un drum de cel mult k arce cu destinaţia nx , prin adăugarea unui arc la începutul

său. Deci: ( ) ( ) ( ) k

jijnj

kkd

ijnj

ki mvdvvm +=

+=

==

+

,1,1

1 minminmin

Propoziţie Dacă există *k N∈ pentru care ( ) ( )1+= ki

ki mm , pentru orice ni ,1= ,

atunci:

a) ( ) ( )si

ki mm = , ni ,1=∀ , 1+≥∀ ks

b) iki mm = , ni ,=∀ .

Demonstraţie. a) demonstrăm prin inducţie după s . Pentru 1+= ks proprietatea este adevărată

conform enunţului. Presupunând proprietatea adevărată pentru o valoare hs ≤ avem:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1, 1,min minh h k k

i ij i ij i ij n j n

m v m v m m+ +

= == + = + =

b) rezultă în mod evident, pentru că prin adăugarea de arce noi nu obţinem drumuri de valoare mai mică.

Algoritmul de determinare a drumului minim este: Etapa 1

Se consideră graful valuat ( )vXGv ,,Γ= , nxxxX ,...,, 21= se construieşte

matricea estinsă a valorilor arcelor ( )njiijvV

,1, == .

Etapa 2

Se adaugă matricii V , liniile suplimentare ( )( )1im , ( )( )2

im , …, astfel:

a) linia ( )( )1im coincide cu transpusa coloanei n a matricii V , ( )t

njjnv,1=

;

b) presupunând completată linia ( )( ) nik

im ,1= se completează linia ( )( ) nik

im ,11

=+ conform

propoziţiei 1. c) se continuă aplicarea fazei (b) până la obţinerea a două linii ( )( )k

im şi ( )( )1+kim identice

Etapa 3 Se determină regresiv drumul minim de la ix la nx astfel:

- se adună linia „ i ” din V cu linia ( )( )1+kim urmărindu-se rezultatul minim ce se poate

obţine. Să presupunem că ( ) ( )11 ++ += kiij

ki mvm , atunci primul arc din drumul minim de

la ix la nx este arcul ( )ji xx , ;

- se adaugă linia „ j ” din V cu ( )( )1+kim reţinând valoare minimă, aflată de exemplu pe

coloana „k ”, atunci al doilea arc va fi ( )kj xx , ş.a.m.d. Ultimul succesor determinat

va fi nx .

Algoritmul de determinare a drumului maxim este Etapa 1

Se construieşte matricea V a valorilor arcelor astfel:

( )( )

Γ∉≠

Γ∈=

∞−

=

ji

jiijij

xxji

xx

ji

vv

,,pentru

,pentru

pentru0

Etapa 2 Similar cu etapa 2 din algoritmul anterior, dar la pasul 2b) linia ( )( ) ni

kim ,1

1=

+ se

completează prin ( ) ( ) kjij

nj

ki mvm +=

=

+

,1

1 max

Etapa 3 Determinarea drumului maxim se determină la fel ca la etapa 3 anterioară.

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare

1. Matricea conexiunilor directe pentru graful din figura urmatoare

Figura .1.

va fi

a)

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

=

, b)

0 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

C

=

, c)

0 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

=

, d) alt raspuns

Raspuns corect a)

Rezolvare. Pentru graful din figura 1. scriem matricea conexiunilor directe

=

00100

10001

01000

01100

10010

C

Raspuns corect a) 2. Matricea drumurilor corespunzatoare grafului din fig. 1 va fi

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

D

=

,

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

D

=

,

0 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 0

D

=

, d) alt raspuns

Raspuns corect a)

Rezolvare. Pentru graful din Figura 1. cu matricea conexiunilor directe C asociată, determinăm matricea drumurilor D .

1. Construim linia 1 a matricii D pornind de la linia 1 a matricii C . Observăm că 112 =c şi 115 =c , restul elementelor fiind egale cu zero.

Atunci adunăm boolean linia 1 din C cu liniile 2 şi 5 ale matricii C

( ) 11110:

00100

01100

10010

:

:

:

21

__________________________

5

2

1

l

l

l

l

Observăm că linia (2)

1l diferă de l1 prin elementul generat pe poziţiile ( ) 1213 =c şi

( ) 1214 =c . Trecem la pasul 3 din algoritm şi adunăm boolean linia ( )2

1l cu liniile 3 şi 4 din C .

( )

( ) 11111:

10001

01000

10010

:

:

:

31

__________________________

4

3

21

l

l

l

l

Observăm că s-a obţinut o linie cu toate elementele egale cu 1, deci, linia 1 a matricii D va fi ( ) 11111:1

Dl

2. Pentru linia 2 a matricii D observăm că 123 =c , 124 =c , restul elementelor fiind

egale cu zero. Adunăm boolean linia 2 din C cu liniile 3 şi 4 .

( ) 11101:

10001

01000

01100

:

:

:

22

__________________________

4

3

2

l

l

l

l

Observăm că linia ( )2

2l diferă de linia 2 prin elementele generate de poziţiile 1c(2)21 =

şi 1c(2)25 = . Adunăm boolean (2)

2l cu liniile 1 şi 5. ( )

( ) 11111:

00100

10010

11101

:

:

:

32

__________________________

5

1

22

l

l

l

l

Am obţinut toate elementele egale cu 1, deci ( ) 11111:2Dl

Similar pentru liniile 3, 4, 5 şi obţinem matricea D

=

11111

11111

11111

11111

11111

D

Raspuns corect a)

3. Graful din fig. 1 are circuite. Raspuns corect: A Rezolvare Graful G are circuite, căci există i astfel încât 1=iid (exemplu 122 =d ).

4. Puterile de atingere ale vârfurilor din fig.1 sunt ( ) 5=ixp , 5,1=i .

Raspuns corect: A

5. Fie matricea drumurilor

( )1 2 3 4 1

1

2

3

4

0 1 0 1 2

0 0 0 1 1

1 1 0 1 3

0 0 0 0 0

x x x x p x

x

xD

x

x

=

determinati drumul hamiltonian.

a) 3 1 4 2: , , ,Hd x x x x , b) 1 3 2 4: , , ,Hd x x x x , c) 4213 ,,,: xxxxdH , d) alt raspuns

Raspuns corect c) Rezolvare Matricea nu conţine nici o valoare 1 pe diagonală, deci graful la care matricea este asociată nu conţine circuite.

Avem ( )1 2p x = ; ( )2 1p x = ; ( ) 33 =xp ; ( ) 04 =xp şi astfel ( ) 64

1

=∑=i

ixp , iar pentru

4=n rezultă ( )

62

1 =−nn.

Deci, se poate aplica teorema lui Chen, în G există un drum hamiltonian, iar acesta este 4213 ,,,: xxxxdH .

6. Să se determine drumurile hamiltoniene pentru graful din figura 1. a) 5, b) 4, c) 3, d) 1 Raspuns corect c) Rezolvare:

Cum ştim că, graful are circuite, vom folosi metoda înmulţirii latine. Matricele ( )1M şi ( )1M% vor fi:

( )

=

0000

000

0000

000

000

35

5414

43

4232

5121

1

xx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

M

( )

=

0000

000

0000

000

000

~

3

51

4

43

52

1

x

xx

x

xx

xx

M

( )

=

0000

00

000

00

000

435

514354214

543143

542432142

421351

321

2

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxx

M

( )

=

0000

0000

000

00

000

1435

3514

3214

51432143

5432

514235421432

54214351

4321

3

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

M

( )

=

0000

00000

00000

0300

000

21435

514325142

5432135421

4

xxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

M

În graful dat există 5 drumuri hamiltoniene. 6. Vârfurile 721 ,...,, xxx reprezintă întreprinderi, iar pe arce este marcată durata

executării controlului în punctul jx după efectuarea lui în punctul ix în unitatea de timp

corespunzătoare. Să se determine timpul minim de control, dintre 1x şi 7x .

Figura 2.2.

a) 1 2 3 7: , , ,d x x x x ,

b) 1 4 2 7: , , ,d x x x x

c) 1 2 4 7: , , ,d x x x x

Raspuns corect c) Rezolvare:

Etapa 1 Construim matricea V a valorilor arcelor:

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

1x 0 2 6 11 ∞ ∞ ∞

2x ∞ 0 4 3 9 ∞ ∞

3x ∞ ∞ 0 1 ∞ 11 ∞

4x ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 9

5x ∞ ∞ ∞ 6 0 14 19

6x ∞ ∞ ∞ 4 ∞ 0 13

7x ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ( )( )1im ∞ ∞ ∞ 9 19 13 0 ( )( )2im 20 12 10 9 15 13 0 ( )( )3im 14 12 10 9 15 13 0 ( )( )4im 14 12 10 9 15 13 0

Etapa 2 a) adăugăm ( )1

im la matricea V , care este transpusă coloanei ( )njjv

,17 =;

b) completăm matricea V cu liniile ( )2im , ( )3

im , ( )4im ştiind că

( ) ( ) kjij

j

ki mvm +=

=

+

7,1

1 min

Aşadar pentru linia ( )2im , primul element ( )2

1m se determină adunând elementele

liniei 1 a matricii V cu cele ale liniei ( )1im , cea mai mică fiind elementul căutat.

( ) ( ) 200,13,19,911,6,2,0min

min 17,1

21

=∞+∞+∞+++∞+∞∞+

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ) 120,13,199,39,4,0,min

min 27,1

22

=+∞∞++++∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ) 100,1113,19,19,0,,min

min 37,1

23

=∞++∞+++∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ) 90,1311,19,09,,,min

min 47,1

24

=+∞+∞++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ) 15019,1314,019,69,,,min

min 57,1

25

=++++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ) 13013,013,19,49,,,min

min 67,1

26

=++∞++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ) 000,13,19,9,,,min

min 77,1

27

=++∞+∞∞+∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

Pentru linia ( )3im vom avea ( ) ( ) 2

7,1

3 min jijj

i mvm +==

:

( ) 140,13,15,119,610,212,020min31 =∞+∞+∞+++++=m ( ) 120,13,159,39,410,012,20min32 =+∞∞+++++∞+=m ( ) 100,1113,15,19,010,12,20min33 =∞++∞+++∞+∞+=m ( ) 990,13,15,09,10,12,20min34 =++∞∞++∞+∞+∞+=m

( ) 15190,1413,015,69,10,12,20min35 =++++∞+∞+∞+=m ( ) 13130,013,15,49,10,12,20min36 =++∞++∞+∞+∞+=m ( ) 000,13,15,9,10,12,20min37 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m

Pentru linia ( )4im vom avea ( ) ( ) 3

7,1

4 min jijj

i mvm +==

:

( ) 140,13,15,119,610,212,014min41 =∞+∞+∞+++++=m ( ) 120,13,915,39,410,212,14min42 =+∞∞+++++∞+=m

( ) 100,1113,15,19,010,12,14min43 =+∞+∞+++∞+∞+=m

( ) 990,13,15,09,10,12,14min44 =+∞+∞++∞+∞+∞+=m

( ) 15190,1413,015,69,10,12,14min45 =++++∞+∞+∞+=m ( ) 13130,013,15,49,10,12,14min46 =++∞++∞+∞+∞+=m ( ) 000,13,15,9,10,12,14min47 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m

Observăm că liniile ( )3im şi ( )4

im coincid, iteraţiile se opresc.

Elementele lui ( )4im reprezintă valoarea minimă a fiecărei drum care ajunge în 7x .

Etapa 3 Se adună linia 1 din V cu ( )4

im urmărindu-se rezultatul minim, care este 14, primul

arc va fi ( )21,xx .

Se adună linia 2 din V cu ( )4im , rezultatul fiind 12, al doilea arc va fi ( )42 , xx .

Se adună linia 4 din V cu ( )4im , rezultatul minim fiind 9, arcul corespunzător va fi

( )74 , xx .

Deci drumul minim de la 1x la 7x va fi 1 2 4 7: , , ,d x x x x cu ( ) 17=dv .

7. Se consideră graful din figura 2.Să se determine valoarea maximă a drumului de la 1x la 6x .

a) 1 2 3 4 5 6: , , , , ,d x x x x x x , b) 1 2 3 5 4 6: , , , , ,d x x x x x x

c) 1 2 4 3 5 6: , , , , ,d x x x x x x

Raspuns corect a)

Figura 3.

Rezolvare. Aplicăm algoritmul Bellman-Kalaba. Calculele vor fi sistematizate în

tabelul următor.

V 1x 2x 3x 4x 5x 6x

1x 0 5 8 18 ∞− ∞−

2x ∞− 0 6 10 12 21

3x ∞− ∞− 0 9 11 23

4x ∞− ∞− ∞− 0 8 16

5x ∞− ∞− ∞− ∞− 0 9

6x ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− 0 ( )1im ∞− 21 23 16 9 0 ( )2im 34 29 25 17 9 0 ( )3im 35 31 26 17 9 0 ( )4im 36 32 26 17 9 0 ( )5im 37 32 26 17 9 0 ( )6im 37 32 26 17 9 0

( ) 340,9,1618,238,215,0max21 =+−∞+−∞++++∞−=m

( ) ( ) 29021,912,1610,236,210,max22 =+++++∞−+∞−=m

( ) ( ) ( ) 25023,911,169,230,21,max23 =++++∞−+∞−+∞−=m

( ) ( ) 17016,98,160,230,21,max24 =+++++−∞∞−+∞−=m

( ) ( ) 990,90,16,23,21,max25 =+++−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m

( ) ( ) 000,9,16,23,21,max26 =++−∞+−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m

( ) 350,9,1718,258,529,034max31 =+−∞+−∞++++=m ( ) 31021,912,1710,256,290,34max32 =++++++∞−=m

( ) 26023,911,179,250,29,34max33 =+++++−∞+∞−=m ( ) 17016,98,170,25,29,34max34 =++++−∞+−∞+∞−=m ( ) 909,90,17,25,29,34max35 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m

( ) 000,9,17,25,29,34max36 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m

( ) 360,9,1718,268,531,035max41 =+−∞+−∞++++=m ( ) 32021,912,1710,266,310,35max42 =++++++∞−=m ( ) 26023,911,179,260,31,35max43 =+++++−∞+∞−=m ( ) 17016,98,170,26,31,35max44 =++++−∞+−∞+∞−=m ( ) 909,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m ( ) 000,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m

( ) 370,9,1718,268,532,036max51 =+−∞+−∞++++=m ( ) 32021,912,1710,266,320,36max52 =++++++∞−=m ( ) 26023,911,179,260,32,36max53 =+++++−∞+∞−=m ( ) 17016,98,170,26,32,36max54 =++++−∞+−∞+∞−=m ( ) 909,90,17,26,32,36max55 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m

( ) 000,9,17,26,32,36max56 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m

( ) 370,9,1718,268,532,037max61 =+−∞+−∞++++=m ( ) 32021,912,1710,266,320,37max62 =++++++∞−=m

( ) 26023,911,179,260,32,37max63 =+++++−∞+∞−=m ( ) 17016,98,170,26,32,37max64 =++++−∞+−∞+∞−=m ( ) 909,90,17,26,32,37max65 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m

( ) 000,9,17,26,32,37max66 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m

Iteraţiile se opresc aici, căci am obţinut liniile ( ) ( )65

ii mm = . Lungimea maximă a

drumului de la 1x la 6x este 37 .

Etapa 3 Determinăm succesiunea arcelor în drumul maxim astfel obţinut.

1) Adunăm linia ( )6im cu linia 1 din V , valoarea maximă obţinută este 37

corespunzător ei arcul ( )21, xx .

2) Adunăm linia ( )6im cu linia 2 din V , valoarea maximă obţinută este 32, arcul va fi

( )32 , xx .

3) Adunăm linia ( )6im cu lina 3 din V , valoarea maximă obţinută va fi 26, arcul va fi

( )43, xx .

4) Adunăm linia ( )6im cu linia 4 din V , valoarea maximă 17 , arcul corespunzător

( )54 , xx .

5) Adunăm linia ( )6im cu linia 5 din V , valoarea maximă va fi 9, iar arcul ( )65 , xx .

Drumul corespunzător va fi, deci 654321 ,,,,,: xxxxxxd cu ( ) 37=dv .

8. Se consideră graful din figura 2. Să se determine valoarea minima a drumului de la

1x la 6x .

a) 1 3 6: , ,d x x x , b) 1 2 6: , ,d x x x

c) 1 4 6: , ,d x x x

Raspuns corect b) Etapele 1 şi 2 sunt sistematizate în tabelul de mai jos:

V 1x 2x 3x 4x 5x 6x

1x 0 5 8 18 ∞ ∞

2x ∞ 0 6 10 12 21

3x ∞ ∞ 0 9 11 23

4x ∞ ∞ ∞ 0 8 16

5x ∞ ∞ ∞ ∞ 0 9

6x ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ( )1im ∞ 21 23 16 9 0 ( )2im 26 21 20 16 9 0 ( )3im 26 21 20 16 9 0

Iteraţiile se opresc, căci am obţinut ( ) ( )23

ii mm = .

Etapa 3 Determinăm succesiunea drumului minim de la x1 la x6.

1) Adunăm linia ( )3im cu linia 1, valoarea minimă este 26, arcul va fi ( )21,xx şi se

obţină pe coloana lui 2x .

2) Adunăm linia 3im cu linia 2 , valoarea minimă este 21, arcul corespunzător va fi

( )62 , xx şi se obţine pe coloana lui 6x .

Deci, drumul minim va fi 621 ,,: xxxd .

9. Un graf nu are circuite daca matricea drumurilor are elementele ... Raspuns corect 0 10. Un graf are circuite daca matricea drumurilor are cel putin un element ...

Raspuns corect 1 3. Matematici financiare (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 252-278) Concepte cheie : dobânda, dobânda simplă, scadenţă comună, scadenţă medie, procent mediu înlocuitor, dobândă compusă, factor de fructificare, factor de actualizare, scontul simplu, scontul compus, valoarea nominală a unei poliţe, valoarea scontată a unei poliţe. anuităţi, anuităţi anticipate, anuităţi posticipate, valoarea finală unui şir de n anuităţi posticipate, valoarea actuală unui şir de n anuităţi posticipate

3.1. DOBÂNDA SIMPL Ă

Noţiunea de bază a matematicilor financiare este dobânda. Dobânda este suma de bani care se plăteşte de către debitor creditorului pentru un împrumut bănesc.

Dobânda unitară este suma dată de o unitate monetară pe timp de un an, este notată i. Dobânda dată de 100 de unităţi monetare pe timp de un an se numeşte procent, notat p. Deci p=100i

Pentru S unităţi monetare (u.m.) pe timp de un an se obţine dobânda:

100

SpSiD == (1.1.1)

Pentru S u.m. pe timp de t-ani dobânda, numită dobânda simplă este:

100

tpStiSD

⋅⋅=⋅⋅= (1.1.2)

Observaţie. În finanţe, anul comercial are 360 zile şi fiecare lună are 30 de zile. Dacă 0S – este suma depusă iniţial pe perioada t cu dobândă unitară i atunci suma

finală sau valoarea finală este: ( )itSitSSDSSt +=+=+= 10000 (1.1.3)

Scadenţă comună sau scadenţă medie

Fie sumele nSS ,...,1 plasate cu acelaşi procent p pe duratele ntt ,...,1 . Suma

dobânzilor aduse de cele n sume pe cele n durate o vom înlocui cu dobânda adusă de o sumă S pe o perioadă t, atunci durata t va fi:

S

tStStSt nn+++

=...2211

(1.1.4)

şi se va numi scadenţă comună. Dacă nSSSS +++= ...21 , atunci durata t va fi:

n

nn

SS

tStSt

++++

=...

...

1

11 (1.1.5)

şi se va numi scadenţă medie.

Fie sumele nSS ,...,1 plasate pe duratele ntt ,...,1 , cu procentele 1 2, ,... np p p . Procentul mediu înlocuitor p pentru care aceste sume plasate pe acelaşi durate să dea aceeaşi dobândă totală va fi:

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

......

n n n

n n

S i t S i t S i tp

S t S t S t+ += + + + (1.1.6)

3.2. DOBÂNDA COMPUSĂ

O sumă de bani este plasată cu dobândă compusă (capitalizată) dacă, la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare: Fie 0S – sumă iniţială; p – procentul;

i = 100

p dobânda unitară; t – durata de plasament a sumei 0S (număr întreg) şi tS – suma

finală după t perioade, atunci:

Anii

Suma plasată la începutul

anului

Dobânda produsă în

timpul anului

Suma obţinută la

sfârşitul anului 1 0S iS0 ( )iSS += 101

2 ( )iSS += 101 ( )iiSiS += 101 ( )202 1 iSS +=

Μ Μ Μ Μ t ( ) 1

01 1 −− += t

t tSS ( ) iiSiS tt

101 1 −

− += ( )tt iSS += 10

Dacă ui =+1 va fi un factor de fructificare găsit în tabele financiare pentru ,...3,2,1=t pentru diferite procente atunci suma finală va fi:

( ) ttt uSiSS 00 1 =+= (1.2.1)

Dobânda compusă va fi pentru t- întreg: ( )[ ] ( )111 00 −=−+= tt uSiSD (1.2.2)

Suma iniţială depusă va fi:

( )t

ttt vSi

SS =+

=1

10 (1.2.3)

unde vi

=+1

1 factor de actualizare.

Timpul se poate obţine din (1.2.3) prin interpolare. Exemple:

Dacă durata de plasament a sumei 0S nu este, în general, un număr întreg, ci este de

forma k

hnt += . Avem două soluţii pentru abordarea problemei:

Soluţia raţională porneşte de la forma (2.1.) pentru partea întreagă de n ani, valoarea finală obţinută pentru plasarea sumei iniţială 0S va fi: ( )n

n iSS += 10 . Această

sumă, nS , în timpul fracţiunii k

h a anului, cu dobândă unitară i, va aduce o abordare

simplă, k

hiSn . Astfel, se obţine:

( )

++==+ k

hiiSSS n

k

hn

t 110 (1.2.4)

reprezentând soluţia raţională de calcul a sumei finale când se plasează o sumă

0S pe o durată k

hnt += în regim de dobândă compusă.

Soluţia comercială pentru suma 0S plasată pe o perioadă k

hnt += este

( ) ( ) k

hnt

t iSiSS ++=+= 11 00 .

Observaţii: 1. Cele două soluţii nu sunt identice. 2. Soluţia comercială este mai des utilizată, deoarece factorul fructificare ui =+1

este în tabele financiare atât pentru puteri întregi, cât şi fracţionare. 3. Valorile finale ale unei sume 0S depusă în regim de dobândă simplă sau în regim

de dobândă compusă diferă în funcţie de durată t. Procente proporţionale Definiţie 1 Spunem că două procente 1p şi 2p corespunzătoare perioadelor diferite 1t şi

2t sunt proporţionale dacă 1 1

2 2

t pt p

= .

Exemplu

Fie ai dobânda unitară anuală şi si dobândă unitară semestrială. Atunci ai şi si

proporţionale dacă 1 2s ai i= .

Observaţie 1 u.m. plasată în regim de dobândă compusă cu dobânda anuală ai devine după un an

( )1 ai+ u.m.

1 u.m. plasată în regim de dobândă simplă cu dobânda semestrială si devine după un an

( ) ( )1 2 u.m. 1 u.m.s ai i+ = +

1 u.m. plasată în regim de dobândă compusă cu dobânda semestrială si devine după un

an( )2 2

21 1 1 1

2 4a a

s a ai i

i i i + = + = + + > +

Procente echivalente Definiţie 2 Spunem că două procente 1p şi 2p corespunzătoare perioadelor diferite 1t şi

2t sunt echivalente în regim de dobândă compusă dacă conduc la aceeaşi valoare finală.

( ) ( )1 2

1 21 1t t

i i+ = + ; 1 21 2;

100 100p p

i i= =

(1.2.5)

Dacă împărţim anul în k părţi egale şi pentru fiecare fracţiune de an se ia dobânda jk

atunci dobânda unitară jk

este echivalentă cu dobânda anuală unitară i, dacă

1 1k

ji

k + = +

; unde j se numeşte procent nominal ( reprezentând suma dobânzilor

percepute în cele k fracţiuni de an) Vom găsi astfel relaţia dintre procentul efectiv şi procentul nominal

1 1k

ji

k = + −

(1.2.6)

Dacă în relaţia anterioară facemk → ∞ obţinem 1 ji e+ = sau ( )ln 1j i= +

Observaţii 1. Dacă în relaţia 1 ji e+ = , i este dat în fiecare interval de timp ( ),t t dt+ trebuie să

percepem o dobândă ( )ln 1 iδ = + pentru a ajunge în timpul unui an la dobânda efectivă.

( δ se numeşte procent nominal instantaneu) 2. ( )ln 1 1i i eδδ = + ⇔ = −

Dezvoltăm eδ în serie MacLaurin şi obţinem 2

... ...2

ni

nδ δ= δ + + + + > δ

i⇒ > δ

3.3. OPERAŢIUNI DE SCONT NOTAŢII ŞI DENUMIRI

Operaţiunea de scont este caracteristică, în general Băncilor Comerciale, care cumpără înainte de scadenţă anumite poliţe cu scopul de a obţine o dobândă. O poliţă se cumpără la un moment dat cu preţul sau suma S0. Aceasta este evaluată cu procentul mediu de emisiune p=100i şi este scadentă după momentul sau durata θ . Valoarea finală la scadenţă a poliţei, K va fi:

( )0 1 , un anK S i= + θ θ ≤ sau ( )0 1 , un anK S iθ= + θ ≥ (1.3.1)

unde: K valoarea nominală a poliţei, S0 preţ de cumpărare, i dobânda unitară anuală. Dacă la un moment dat 1θ < θ , adică la 1t = θ − θ până la scadenţă, poliţa poate fi vândută unei bănci comerciale, atunci poliţa va avea o valoare finală, sau curs

( )1 0 11 , un anK S i= + θ θ ≤ sau ( ) 1

1 0 11 , un anK S iθ= + θ ≥ (1.3.2)

unde: K1 valoarea lui S0 la momentul 1θ Valoarea scontată a poliţei la momentul 1 tθ = θ − se notează cu Ka.Vom numi

scont diferenţa dintre valoarea nominală K şi valoarea scontată Ka, notat S. aS K K= − (1.3.3)

Scontul simplu raţional, notat SSR va fi dobânda dată de Ka pe perioada t, cu dobânda unitară j

aSSR K jt= (1.3.4)

100

1100

qK t

SSRq

t=

+ sau

1Kjt

SSRjt

=+

,

(1.3.5)

iar

1a KK

jt= +

şi ( )1aK K jt= + (1.3.6)

unde: q =100j procent de scont j dobânda unitară de scont t durata scontării (măsurată în ani) Orice scont ce aproximează scontul raţional se numeşte scont comercial. Scontul simplu comercial, notat SSC va fi dobânda dată de valoarea nominală K pe perioada t, cu dobânda unitară j

SSC Kjt= (1.3.7) şi

( )1aK K jt= − , (1.3.8) iar

1

aKKjt

=−

. (1.3.9)

Scontul compus este cel în care calculelele se fac în regim de dobândă compusă. Dacă dobânda se aplică asupra valorii Ka cu dobânda unitară j, pe perioada t (în regim de dobândă compusă) se obţine scontul compus raţional, SCR.

Orice scont ce aproximează scontul compus raţional se numeşte scont compus comercial, SCC.

Scont compus raţional

( )1 1taSCR K j = + − (1.3.10)

şi

( )1taK K j= + , (1.3.11)

iar

( )1a

tKK

j=

+ . (1.3.12)

Scont compus comercial aSCC K jt= (1.3.13)

şi ( )1aK K jt= + , (1.3.14)

iar

1a KK

jt= + . (1.3.15)

3. 4. ANUITĂŢI POSTICIPATE, TEMPORARE, IMEDIATE

Plăţile eşalonate sunt plăţile care se fac la anumite perioade de timp avănd drept scop crearea unui fond bănesc sau restituirea unei datorii. Intervalul de timp între două plăţi reprezintă o perioadă. Dacă perioada este anul plăţile se numesc anuităţi, dacă perioada este semestrul plăţile se numesc semestrialităţi, dacă perioada este trimestrul plăţile se numesc trimestrialit ăţi, iar dacă perioada este luna plăţile se numesc mensualităţi.

Tipuri de pl ăţi 1. Plăţile pot fi -variabile dacă sumele plătite sunt variabile,

-constante dacă sumele plătite sunt constante. 2. Plăţile pot fi cu dobândă constantă sau variabilă. 3. Plăţile pot fi - temporare dacă numărul de plăţi este finit (stabilit în contract)

- viagere pe viaţă - perpetue dacă numărul plăţilor este nelimitat

4. Plăţile pot fi - posticipate dacă plata se face la sfârşitul fiecărei perioade - anticipate dacă plata se face la începutul fiecărei fiecărei perioade

NOTAŢII

Pn

S valoarea finală unui şir de n anuităţi posticipate

Pn

A valoarea actuală unui şir de n anuităţi posticipate

1 2, ,... nT T T anuităţiile

1 2, ,...ni i i dobânziile unitare pe fiecare perioadă

Anuităţile sunt imediate dacă prima plată se face în primul an şi sunt amânate dacă plata se face după un număr de ani r. a)anuităţi variabile şi dobânzi variabile

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 4 11 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 1Pn n n n nn

S T i i i T i i i T i T−= + + + + + + + + + + + , (2.1.1)

Reamintim că

( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ =

atunci vom găsi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P

n n nnA T i T i i T i i i

− − − − − −−= + + + + + + + + . (2.1.2)

b)anuităţi variabile şi dobânzi constante

( ) ( ) ( )1 21 2 11 1 ...... 1

n nPn nn

S T i T i T i T− −

−= + + + + + + + , (2.1.3)

iar

( ) ( ) ( )1 21 21 1 ... 1

nPnn

A T i T i T i− − −= + + + + + + . (2.1.4)

c)anuităţi constante şi dobânzi variabile ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3 41 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 1P

n n nnS T i i i T i i i T i T= + + + + + + + + + + + , (2.1.5)

iar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P

n n nnA T i T i i T i i i

− − − − − −−= + + + + + + + + . (2.1.6)

d)anuităţi constante şi dobânzi constante

( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1

n nPn

S T i T i T i T− −= + + + + + + + , (2.1.7)

Calculând vom obţine

( )1 1n

Pn

iS T

i

+ −= .

(2.1.8)

iar

( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1

nPn

A T i T i T i− − −= + + + + + + . (2.1.9)

Calculând vom obţine

( )1 1n

Pn

iA T

i

−− += ,

(2.1.10)

Observaţii 1. Dacă T=1u.m. găsim

( )1 1n

ni

si

+ −= .

(2.1.11)

valoarea finală a unui şir de anuităţi posticipate unitare. 2. Dacă numărul de plăţi este nelimitat n → ∞ , valoarea actuală va fi

1limn

P

n

v TA Ti i∞ →∞

−= = . (2.1.12)

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1. Suma de 20.000 u.m. se plasează timp de 45 zile, cu procentul anual de 8%. Care va fi suma finală corespunzătoare acestei operaţiuni ?(în regim de dobândă simplă, 1an =360 zile) a)200 u.m.; b) 22000 u.m.;c) 20200 u.m.; d) 22200u.m. Răspuns corect c) Rezolvare 0D=S it , ( regim de dobândă simplă )

S0=20.000 u.m., 8% 0,08p i= ⇒ = ; t=45 zile = 45360

ani

8 45D 20.000 . D 200100 360

= ⇒ = u.m.

f 0S =S +D, f 0 0S =S +Sit ,

( )f 0S =S 1+it .

fS =20.200u.m. Răspuns corect c) 2. Partenerul P1 urmează să efectueze către partenerului P2 plăţile următoare: 2000 u.m., 5000 u.m., 10.000 u.m., cu procentele anuale de 9%, 10%, 12% având scadenţa (durata) de 36 zile, 3 luni, respectiv un semestru. Aflaţi scadenţa medie înlocuitoare ( în condiţii de echivalenţă în regim de dobândă simplă prin dobândă) a) 4luni; b) un semestru;c) 220 zile; d) 142,3 zile. Răspuns corect d) Rezolvare 0D=S it , ( regim de dobândă simplă )

1 01 1 1D =S i t ; 01S 2.000= u.m.; 1 19% 0,09p i= ⇒ = ; t1=36 zile = 36360

ani

2 02 2 2D =S i t ; 02S 5.000= u.m.; 2 210% 0,1p i= ⇒ = ; t2=3 luni = 312

ani

3 03 3 3D =S i t ; 03S 10.000= u.m.; 3 312% 0,12p i= ⇒ = ; t3=1 semestru =12

ani

1D =18u.m.; 2D =125 u.m.; 3D =600 u.m. 3

0k k kk=1

3

0k kk=1

S

t

S

i t

i

=∑

∑; (1)

1 2 33

0k kk=1

D +D +Dt

S i

=

∑; (2)

1 2 3D +D +D 743= ; (3) 3

0k kk=1

S 2.000 0,09 5.000 0,1 10.000 0,12 1.880i = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ ; (4)

Înlocuim (3), (4) în (2), vom găsi scadenţa medie înlocuitoare a celor trei scadenţe 743t 0,3953

1.880= = ani

t 0,3953 360 142,30= ⋅ = zile Răspuns corect d) 3. Ce devine suma de 20.000 u.m. în regim de dobândă compusă pe o perioadă de 4 ani cu , procentele anuale de 6%, 7%, 8%, 9% ? a) 20.700u.m.; b) 27.000 u.m.;c) 26.704 u.m; d)28.703u.m. Răspuns corect c) Rezolvare

( )( )( )( )f 0 1 2 3 4S =S 1 1 1 1i i i i+ + + +

1 1=6% =0,06p i⇒ ;

2 2=7% =0,07p i⇒ ;

3 38% 0,08p i= ⇒ = ;

4 49% 0,09p i= ⇒ = ;

fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09⋅ ⋅ ⋅ ⋅

fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09

20.000 1,3352

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅

fS =26.704u.m. Răspuns corect c) 4. Ce sumă trebuie depusă astăzi, în regim de dobândă compusă, pentru ca peste 4 ani cu procentul anual de 10% să se poată ridica 58.564 u.m ?

0S = ... Rezolvare

( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ =

n=4 ani; 10% 0,1p i= ⇒ = ; 4S =58.564u.m.

( )-40S 58.564 1+0,1= ⋅

0S 40.000= u.m.

5. Să se calculeze valoarea finală a sumei de 10.000 unităţi monetare plasate timp de 8 ani şi 5 luni cu procent anual 5% ( utilizaţi soluţia raţională).

a) 58

12

15082,35S+

= u.m.; b) 58

12

23082,35S+

= u.m ; c) 58

12

65083,75S+

= u.m ;

d) 58

12

13508,85S+

= u.m

Răspuns corect a) Rezolvare

Deci p=5% i=0,05.

Soluţia raţională ( ) 88

12

58

05,11000012

505,0105,0110000S ⋅=

++=+

35,15082020833,1 =⋅ u.m.

6. Să se calculeze valoarea finală a sumei de 10.000 unităţi monetare plasate timp de 8 ani şi 5 luni cu procent anual 5% ( utilizaţi soluţia comercială).

a) 58

12

12077,77S+

= u.m.; b) 58

12

15077,97S+

= u.m ; c) 58

12

18077,97S+

= u.m ; d)

58

12

25077,37S+

= u.m

Răspuns corect b) Rezolvare

Deci p=5% i=0,05.

Soluţia comercială 97,1507705,110000 12

58

12

58

=⋅=+

+S u.m.

7. La data de 01.02.2006 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere valoarea nominală a poliţei la scadenţă K = ...

Rezolvare: S0=120.000 u.m.

10% 0,1p i= ⇒ = 1010 luni=12

θ =

177 luni=

12θ =

3 112 4

t = =

a) ( )0 1K S i= + θ ⇒

( )10120.000 1 0,1 130.00012

K = + = u.m.

8. La data de 01.02.2006 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere valoarea finală a poliţei la momentul scontării. 1K = ...,

Rezolvare:

( )1 0 11K S i= + θ ⇒

( )17120.000 1 0,1 127.000

12K = + = u.m.

9. La data de 01.02.2006 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere valoarea scontată a poliţei, aplicând scontul simplu raţional cu procentul q1=8%.

...aK =

Rezolvare:

În cazul scontului simplu raţional

1a KK

jt= ⇒+

1) 1 18% 0,08q j= ⇒ =

130.000 127.45011 0,084

aK = =+

u.m.

10. La data de 01.02.2006 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere valoarea scontată a poliţei, aplicând scontul simplu raţional, cu procentul q2=10%, ...aK = Rezolvare În cazul scontului simplu raţional

1a KK

jt=

+

2 210% 0,1q j= ⇒ = 130.000 126.830

11 0,14

aK = =+

u.m.

11. La data de 01.02.2006 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere valoarea scontată a poliţei, scontul simplu comercial, cu procentul q1=8%,

...aK = Rezolvare: În cazul scontului simplu comercial

( )1aK K jt= −

1 18% 0,08q j= ⇒ =

( )1130.000 1 0,08 127.4004

aK = − = u.m.

12. La data de 01.02.2006 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere valoarea scontată a poliţei, scontul simplu comercial, cu procentul q2=10%, ...aK = Rezolvare În cazul scontului simplu comercial

( )1aK K jt= −

2 210% 0,1q j= ⇒ =

( )1130.000 1 0,1 126.7504

aK = − = u.m.

13. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul q1=8% în regim de scont compus, se cere: Valoarea nominală K = ...

Rezolvare

S0=100.000 u.m. 8% 0,08p i= ⇒ = 5θ = ani

j1=0,08

( )0 1K S iθ= + ⇒K=146932,8 u.m.

14. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul q1=8%, în regim de scont compus, se cere:cât va primi beneficiarul cu doi ani înainte de scadenţă? (Utilizaţi scontul compus raţional).

...aK =

Rezolvare S0=100.000 u.m.

8% 0,08p i= ⇒ = 5θ = ani

j1=0,08 j2=0,1

( )0 1K S iθ= + ⇒K=146932,8 u.m.

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒K1=100.000(1+0,08)3

K1=125971,5 u.m. Scont compus raţional

( )1

at

KKj

= ⇒+

( )2146.932,8

125.971,2u.m1 0,08

aK = =+

15. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul q2=10%, în regim de scont compus, se cere să calculaţi cât va primi beneficiarul cu doi ani înainte de scadenţă? (utilizănd scontul compus raţional) ...aK =

Rezolvare S0=100.000 u.m.

8% 0,08p i= ⇒ = 5θ = ani

j1=0,08 j2=0,1

( )0 1K S iθ= + ⇒K=146932,8 u.m.

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒K1=100.000(1+0,08)3

K1=125971,5 u.m.

Scont compus raţional ( )1

at

KKj

= ⇒+ ( )2

146.932,8121.432,1u.m

1 0,1aK = =

+

16. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul q2=8%, în regim de scont compus, se cere să calculaţi cât va primi beneficiarul cu doi ani înainte de scadenţă? (utilizănd scontul compus comercial) ...aK = Rezolvare S0=100.000 u.m.

8% 0,08p i= ⇒ = 5θ = ani

j1=0,08 j2=0,1

( )0 1K S iθ= + ⇒K=146932,8 u.m.

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒K1=100.000(1+0,08)3

K1=125971,5 u.m. Scont compus comercial

1

a KKjt

= ⇒+

146.932,8126.666,2u.m.

1 0,08 2aK = =+ ⋅

17. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul q2=8 %, în regim de scont compus, se cere să calculaţi cât va primi beneficiarul cu doi ani înainte de scadenţă? (utilizănd scontul compus comercial) ...aK = Rezolvare S0=100.000 u.m.

8% 0,08p i= ⇒ = 5θ = ani

j1=0,08 j2=0,1

( )0 1K S iθ= + ⇒K=146932,8 u.m.

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒K1=100.000(1+0,08)3

K1=125971,15u.m. Scont compus comercial

1a KK

jt= +

146.932,8126.666.2u.m.

1 0,08 2

146.932,8122.444u.m.

1 0,1 2

a

a

K

K

= = + ⋅⇒

= =+ ⋅

18. La data de 10.01.2004 se aduce pentru scontare o poliţă de valoare nominală K=15.000 u.m., a cărei scadenţă este pe 31.03.2004. Se au în vedere următoarele condiţii ale băncii comerciale:

• procent de scont 12% • comision de acceptare a emisiunii 0,6% • comision pe efect 12,5 u.m • taxă pe comision fix 16,8% • se adaugă două zile de către bancă

Se cere valoarea scontată, aplicând un scont simplu comercial. ...aK =

Rezolvare

22 29 31 82t = + + = zile

modificat 82 2 84t = + = zile p=100j, j=0,12

8415.000 0,12360

SSC Kjt= =

= ⋅ ⋅

419,9SSC= u.m.

Comision de acceptare 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360

= ⋅ ⋅ =

Comision pe efect =12,5u.m.

Taxă pe comision fix=16,812,5 2,1u.m.

100⋅ =

AGIO( TAX Ă DE SCONT TOTALĂ)=SSC + Comision de acceptare+ Comision de acceptare+ taxă pe comision fix=455,4u.m. Procentul de scont simplu comercial modificat este dat prin

q 84AGIO=15.000100 360

⋅ ⋅ ⇒q=13,04%

Valoarea scontată AGIOaK K= − ⇒ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = u.m.

19. La data de 10.01.2004 se aduce pentru scontare o poliţă de valoare nominală K=15.000 u.m., a cărei scadenţă este pe 31.03.2004. Se au în vedere următoarele condiţii ale băncii comerciale:

• procent de scont 12% • comision de acceptare a emisiunii 0,6% • comision pe efect 12,5 u.m • taxă pe comision fix 16,8% • se adaugă două zile de către bancă Se cere q1 procentul real de scont, q1=100j1, iar q2 procentul efectiv (sau de revenire) de scont, q2=100j2

a) q1=12,98%, q2=13,37%; b) q1=12,48%, q2=13,97%; c) q1=12%, q2=13,21%

Răspuns a) Rezolvare

22 29 31 82t = + + = zile

modificat 82 2 84t = + = zile p=100j, j=0,12

8415.000 0,12360

SSC Kjt= =

= ⋅ ⋅

419,9SSC= u.m.

Comision de acceptare 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360

= ⋅ ⋅ =

Comision pe efect =12,5u.m.

Taxă pe comision fix=16,812,5 2,1u.m.

100⋅ =

AGIO( TAX Ă DE SCONT TOTALĂ)=SSC + Comision de acceptare+ Comision de acceptare+ taxă pe comision fix=455,4u.m. Procentul de scont simplu comercial modificat este dat prin

q 84AGIO=15.000100 360

⋅ ⋅ ⇒q=13,04%

Valoarea scontată AGIOaK K= − ⇒ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = u.m. Fie q1 procent real de scont, q1=100j1, iar q2 procent efectiv (sau de revenire)de scont, q2=100j2 Avem relaţiile: AGIO - Taxă pe comision fix=K j1t; AGIO - Taxă pe comision fix=Ka j2t; Atunci:

• procentul real de scont AGIO - Taxă pe comision fix=453,3u.m.; K j1t=453,3⇒q1=12,98% • procent efectiv (sau de revenire)de scont AGIO - Taxă pe comision fix=453,3u.m.; Ka j2t=453,3⇒ q2=13,37%

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează sumele de 2000 u.m., 5000 u.m., 7.000 u.m., cu procentele anuale de 7%, 8%, 10%. Care este valoarea finală a fondului acumulat? a)15.905 u.m.; b) 17.200 u.m.;c)14.876 u.m; d)12.376 u.m. Răspuns corect c) Rezolvare

( )( ) ( )3

2000 1 0,08 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.876PS = + + + + + = u.m.

2. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează sumele de 2000 u.m., 5000 u.m., 7.000 u.m., cu procentele anuale de 7%, 8%, 10%. Care este valoarea actuală a fondului acumulat? a) 15.905, 734 u.m.; b) 11702,694 u.m.; c) 14.876 u.m; d) 12.376,564 u.m. Răspuns corect b) Rezolvare Valoarea actuală

32000 5000 7000 11702,6941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅

3. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează sumele de 2000 u.m., 5000 u.m., 7.000 u.m., cu procentul anual de 10%. Care este valoarea finală a fondului acumulat? a)15.905 u.m.; b) 17.200 u.m.;c)14.920 u.m; d)15.376 u.m.

Răspuns corect c) Rezolvare

( ) ( )2

32000 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.920PS = + + + + = u.m.

Valoarea actuală

2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1

PA = + + = u.m.

4. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează sumele de 2000 u.m., 5000 u.m., 7.000 u.m., cu procentul anual de 10%. Care este valoarea actuală a fondului acumulat? a)15.905,616 u.m.; b) 17.200,251 u.m.;c)14.920 u.m; d)11209,616 u.m. Răspuns corect c) Rezolvare Valoarea actuală

2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1

PA = + + = u.m.

5. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează suma de 7.000 u.m., cu procentele anuale de 7%, 8%, 10%. Care este valoarea finală a fondului acumulat? a)23.016 u.m.; b) 25.231 u.m.;c)32.016u.m; d)35.231 u.m. Răspuns corect a) Rezolvare

( )( ) ( )3

7000 1 0,08 1 0,1 7000 1 0,1 7000 23016PS = + + + + + = u.m.

Valoarea actuală

37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ u.m.

6. Dacă 3 ani consecutiv la fiecare sfârşit de an se plasează suma de 7.000 u.m., cu procentele anuale de 7%, 8%, 10%. Care este valoarea actuală a fondului acumulat? a)23.016 u.m.; b) 25.231,124 u.m.; c) 18106,294u.m; d) 35.231,294 u.m. Răspuns corect c) Rezolvare Valoarea actuală

37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅

u.m.

7.Se plasează timp de 10 ani, la sfârşitul fiecărui an, suma de 200.000 u.m. în regim de de dobândă compusă cu procentul anual de 10%. Care este valoarea finală , respectiv valoarea actuală a acestei operaţiuni?

10PS = ...,

10PA = ...

10

10

1,1 1200.000 3.187.484,6

0,1PS

−= = u.m.

10

10

1 1,1200.000 1228913,4

0,1PA

−−= = u.m.

8. Stabiliţi dacă valoarea finală a unui şir de anuităţi posticipate, temporare imediate, cu anuităţi variabile şi dobânzi variabile este

a)1

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T−

= = += +∑ ∏ ; b)

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T= = +

= +∑ ∏ ; c) 11

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T−−

= = += +∑ ∏

Răspuns corect a) Vezi relaţia(2.1.3) 9. Stabiliţi dacă valoarea actuală a unui şir de anuităţi posticipate, temporare imediate, cu anuităţi variabile şi dobânzi variabile este

a) ( ) 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i−

= =

= +

∑ ∏ ; b) ( )1 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i− −

= =

= +

∑ ∏ ; c) ( )1 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i− −

= =

= +

∑ ∏

Răspuns corect a) Vezi relaţia (2.1.4) 10. Stabiliţi dacă valoarea finală a unui şir de anuităţi posticipate, temporare imediate, cu anuităţi variabile şi dobânzi constante este

a) ( )1

1n

n kpn k

k

S T i−

== +∑ ; b) ( )

1

1

1n

n kpn k

k

S T i−

−

== +∑ ; c) ( )1

1

1n

n kpn k

k

S T i−

−=

= +∑

Răspuns corect a) Vezi relaţia (2.1.5) 11. Este adevărată relaţia nQQQV +++= ...210

Răspuns corect A Vezi relaţia (3.1) 12. Relaţia între anuităţi şi amortismente (adecvată pentru orice lege a anuităţilor) este:

( )1 1 1p p p pT T Q i Q+ +− = − −

Răspuns corect F Vezi relaţia (3.2)

13. Considerăm TTi = , orice ni ,...,1= . Atunci avem

a) ( ) pp QiQ +=+ 11 ; b) ( )1 1p pQ i Q+ = − ; c) ( ) 11p pQ i Q += + ; d) alt răspuns.

14. Considerăm TTi = , orice ni ,...,1= ; atunci avem relaţia

a) 0 1(1 ) 1

1

niV Q

i

+ −=+

; b) 0 1(1 ) 1ni

V Qi

− −= ; c) i

iQV

n 1)1(10

−+= ; d) alt răspuns.

Răspuns corect c) Vezi relaţia (3.3)

15. Un împrumut de 10.000 u.m. urmează a fi rambursat în 4 ani prin rate (anuităţi) constante posticipate cu procentul anual de 5%. Care este primul amortisment?

1 ...Q = Rezolvare

50005,01000001 =⋅== iVd

Primul amortisment ( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ

sau 12,232011 =−= dTQ

16. Un împrumut de 10.000 u.m. urmează a fi rambursat în 4 ani prin rate (anuităţi) constante posticipate cu procentul anual de 5%. Care este al treilea amortisment ?

3 ...Q = Rezolvare

50005,01000001 =⋅== iVd

Primul amortisment ( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ

sau 12,232011 =−= dTQ Amortismente ( 1)1( −+= pp QiQ ): 13,24362 =Q ; 92,25573 =Q ;

17. Un împrumut de 10.000 u.m. urmează a fi rambursat în 4 ani prin rate (anuităţi) constante posticipate cu procentul anual de 5%. Care este anuitatea corespunzătoare?

...T = Rezolvare

50005,01000001 =⋅== iVd

Primul amortisment ( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ

1 1 2820,12T Q d= + = 18. Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil cu cinci ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procent de 5%. Care este primul amortisment ?

1 ...Q = Rezolvare Se calculează

=−⋅

=−−−

−=

]95,01[95,0

95,005,0000.40

])i1(1)[i1(

)i1(iVQ

5

5

n

4

01

= 72012262192,095,0

77378,005,0000.40 =

⋅⋅

19. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Care este amortismentul corespunzător?

...Q = Rezolvare

Din 250000 =V şi n=4 rezultă 62504

000.250 ===n

VQ .

20. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Care este anuitatea din cel de al doilea an ?

2 ...T = Rezolvare

Din 250000 =V şi n=4 rezultă 62504

000.250 ===n

VQ .

Folosim relaţia ip0

p1p QTin

V-TT −==+ , obţinem 2 7125T =

21. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Care este suma rămasă de plată după cel de al doilea an ?

2 ...V = Rezolvare

Din 250000 =V şi n=4 rezultă 62504

000.250 ===n

VQ .

Folosim relaţia ppp QVV −= −1 , atunci 2 1 12500V V Q= − =

4. Matematici actuariale (DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economisti, Ed. FRM, Bucuresti, 2007, pag. 280-291) Concepte-cheie: anuităţi viagere posticipate, anticipate; anuităţi viagere limitate la n ani şi anuităţi viagere amânate, anuităţi (pensii) viagere continue anuităţi sau pensii viagere pentru grupuri de persoane, asigurarea până la primul deces, pensii viagere limitate sau amânate; asigurare de deces, asigurarea de deces amânată sau limitată la n ani, asigurări mixte, asigurarea continuă în caz de deces, asigurarea în caz de deces pentru un grup de persoane, asigurarea de moarte pentru primul deces,.

Noţiunea de actuariat reprezintă totalitatea operaţiilor financiare şi a normelor pe baza cărora se fac calculele de asigurări, utilizând teoria probabilităţilor şi a statisticii matematice.

După natura lor asigurările (obligatorii sau facultative) pot fi asigurări de persoane sau asigurări de bunuri. Contractul de asigurare sau legea pe baza cărei se încheie asigurarea implică două părţi: asiguratorul (instituţie, care creează un fond de asigurare din sumele depuse de

asiguraţi)şi asiguratul (persoană sau instituţie, care plăteşte o sumă de bani pentru a beneficia la momentul respectiv de asigurare). Asigurarea este o metodă de creare a unui fond de asigurare, în care intervin următorii factori: juridic (asigură legalitate creării asigurării), economic (asigură acoperirea necesităţilor în viitor ale asiguratului, prin anticipaţie în prezent) şi tehnic (asigură echitabilitatea procesului de asigurare). Echitabilitatea procesului de asigurare este dat de teorema compunerii contractelor. Teorema compunerii contractelor

Presupunem că o asigurare A este formată din n asigurări parţiale A1, A2, ..., An. Dacă primele nete unice plătite pentru aceasta sunt P, respectiv P1, P2, ..., Pn, atunci

1

n

kk

P P=

=∑ .

4.1. ASIGURĂRI DE VIAŢĂ

4.1.1. FUNCŢII BIOMETRICE

Funcţiile biometrice măsoară mortalitatea unui grup de indivizi. Mortalitatea indivizilor este influenţată de mai mulţi factori: vârsta, sexul, gradul de civilizaţie, clima.S-au întocmit tabele de mortalitate pe vârstă şi sex, pornindu-se de la un număr de 100.000 nou născuţi. Aceste tabele se reactualizează prin metode statistice. Probabilitatea de viaţă şi de moarte Notaţii

( ), 1xp p x x= + probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la x+1

ani ( ), 1xq q x x= + probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să nu mai fie în viaţă

la x+1 ani ( ),p x y probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la y ani

( ),q x y probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să nu mai fie în viaţă

la y ani Avem

1x xp q+ = , (1)

( ) ( ), , 1p x y q x y+ = . (2)

Fie z o vârstă intermediară între x şi y atunci ( ) ( ) ( ), , ,p x y p x z p z y= . (3)

Funcţia de supravieţuire

Fie o populaţie formată din indivizi în vârstă de a ani. Numim funcţie de supravieţuire

numărul mediu de persoane din acea colectivitate ce ajung să împlinească x ani. Având în vedere că persoanele trăiesc în aceleaşi condiţii, au aceleaşi şanse să împlinească aceeaşi ani utilizăm o variabilă aleatoare binomială

:x x n xn

xX

C p q −

0,1,...,x n∈ ; 1p q+ = , ( ),p p a x= (4)

Observaţii

1) ( ),p p a x= probabilitatea ca o persoană în vârstă de a ani să fie în viaţă la x ani

2) an l= numărul de persoane din colectivitate

3) numărul mediu de persoane ce ajung să trăiacă x ani va fi ( ) xM X l= ( media sau

momentul iniţial de de ordinul întâi al variabilei X Ţinând cont că X variabilă aleatoare binomială avem

( ) ( ),xM X l np a x= = pentru a x y< <

( ),yl np a y= (5)

Vom obţine

( ), y

x

lp x y

l= ,

( ), x y

x

l lq x y

l

−= .

(6)

şi similar

( ) 1, 1 xx

x

lp p x x

l+= + = ,

( ) 1, 1 x x xx

x x

l l dq q x x

l l+−= + = = .

(7)

unde

1x x xd l l += − reprezintă numărul mediu de persoane din colectivitatea respectivă care moare între x şi x+1 ani Notăm

( ),n xp p x x n= + probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să mai trăiască n ani

( ),n xq q x x n= + probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să nu mai trăiască n ani

( )/ ,m n xq q x m x n= + + probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să decedeze între

x+m şi x+n ani şi găsim

x nn x

x

lp

l+= ,

x x nn x

x

l lq

l+−= ,

/x m x n

m n xx

l lq

l+ +−= .

(8)

Viaţa medie

Valoarea medie a numărului de ani pe care are să-i mai trăiască o persoană în vârstă de x ani se numeşte viaţa medie (ex). Considerăm variabila aleatoare următoare

1/ 2 / 1

1/ 2 1 1/ 2 ... 1/ 2:

...x x n n x

nX

q q q+

+ +

; ( )xe M X= (9)

unde

112

x

x nn

xx

l

el

ω−

+== +∑

(10)

4.1.2. ASIGURAREA UNEI SUME ÎN CAZ DE SUPRAVIEŢUIRE LA ÎMPLINIREA TERMENULUI DE ASIGURARE

O persoană în vârstă de x ani contractează o asigurare în valoare de 1u.m, care i se va plăti, dacă este în viaţă peste n ani. Prima netă n xE este valoarea medie a variabilei aleatoare următoare

0:

n

n x n x

vX

p q

(11)

unde vn factor de actualizare

( ) x nn nnn x x

x

lE M X v p v

l+= = =

unden xE factor de actualizare viager

Notăm xx xD v l= număr de comutaţie, ce se găseşte în tabele actuariale pentru toate

vârstele şi procentele uzuale, atunci

x nn x

x

DE

D+= (12)

Dacă suma asigurată este S prima netă va fi

x nn x

x

DP S E S

D+= = (13)

4.1.3. ANUITĂŢI VIAGERE

A. ANUIT ĂŢI VIAGERE POSTICIPATE

Vrem să determinăm prima unică ce trebuie plătită de o persoană în vârstă de x ani astfel încât să primească la sfârşitul fiecărui an câte 1 u.m (S u.m. ) toată viaţa. Notăm această sumă ax

1xx

x

Na

D+= (14)

unde

xx xD v l= număr de comutaţie (se află în tabele de mortalitate)

1 ...x x xN D D D+ ω= + + + număr de comutaţie (ω vârsta limită a persoanei asigurate),

( )100 aniω =

B.ANUITĂŢI VIAGERE ANTICIPATE

Notăm ax prima unică ce trebuie plătită de o persoană în vârstă de x ani în momentul semnării contractului astfel încât să primească câte 1 u.m (S u.m. ) toată restul vieţii, la începutul fiecărui an.

a xx

x

ND

=

Observăm că

a 1x xa= + (15)

Dacă suma asigurată este S u.m. prima netă unică va fi

P= axS (16)

C. ANUITĂŢI VIAGERE LIMITATE LA n ANI ŞI ANUIT ĂŢI VIAGERE AMÂNATE

Notaţii

/ n xa prima netă unică pe care tebuie să o plătească asiguratul în momentul semnării contractului, pentru a primi 1u.m., la sfârşitul fiecărui an, timp de n ani (limitat);

/ an x prima netă unică pe care tebuie să o plătească asiguratul în momentul semnării contractului, pentru a primi 1u.m., la începutul fiecărui an, timp de n ani (limitat);

/n xa prima netă unică pe care tebuie să o plătească asiguratul în momentul semnării contractului, pentru a primi 1u.m., la sfârşitul fiecărui an, după n ani tot restul vieţii (amânată);

/ an x prima netă unică pe care tebuie să o plătească asiguratul în momentul semnării contractului, pentru a primi 1u.m., după n ani, la începutul fiecărui an, tot restul vieţii (amânată).

Avem că

/ /x n x n xa a a= + (17) şi

/ /a a ax n x n x= + . (18) Obţinem

1 1/

x x nn x

x

N Na

D+ + +−= , (19)

iar

1/

x nn x

x

Na

D+ += . (20)

Similar

/ a x x nn x

x

N ND

+−= (21)

şi

/ ax n

n xx

ND

+= . (22)

Dacă suma asigurată este de S u.m. atunci primele nete unice vor fi S/ n xa , S/ an x , S /n xa ,

respectiv S / an x .

4.2. ASIGURĂRI DE DECES

Notăm Ax prima netă unică pe care o plăteşte o persoană în vârstă de x ani, la semnarea contractului, pentru ca urmaşii să primească 1u.m. în momentul decesului său, atunci

xx

x

MA

D= , (23)

unde

1 ...x x xM C C C+ ω= + + + număr de comutaţie;

( )1/ 21

xx x xC v l l+

+= − simbol de comutaţie.

Dacă suma asigurată este de S u.m. atunci prima nete unică va fi S Ax

4.2.1. ASIGURĂRI DE DECES AMÂNAT Ă SAU LIMITAT Ă LA n ANI

Notaţii:

/ n xA prima netă unică pe care o plăteşte o persoană în vârstă de x ani, la semnarea contractului, pentru ca urmaşii să primească 1u.m. în cazul în care decesul său a survenit până în n ani

/n xA prima netă unică pe care o plăteşte o persoană în vârstă de x ani, la semnarea contractului, pentru ca urmaşii să primească 1u.m. în cazul în care decesul său a survenit după n ani.

Avem

/ /x n x n xA A A= + . (24) Vom obţine

/x x n

n xx

M MA

D+−= (25)

şi

/x n

n xx

MA

D+= . (26)

Dacă suma asigurată este de S u.m. atunci primele nete unice vor fi S/ n xA , respectiv S /n xA .

4.3. ASIGURĂRI MIXTE

În practică se obişnuieşte să se facă o asigurare mixtă, adică dacă o persoană în vârstă de x ani este în viaţă peste n ani, atunci primeşte 1u.m. (în acel moment), iar dacă decedează până în n ani urmaşii primesc 1u.m. Prima netă pe care o plăteşte asiguratul este

/x n x x n

n x n xx x

D M MP E A

D D+ +−= + = + (27)

Dacă suma asigurată este de S u.m. atunci

x n x x n

x

D M MP S

D+ ++ −= (28)

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1. Care este probabilitatea ca o persoană în vârstă de 40 ani să fie în viaţă peste 15 ani ? ( 40 5584855, 77603l l= = )

15 40p = ... Răspuns corect 0,91 Rezolvare:

Ştiind că x nn x

x

lp

l+= şi folosind tabele de mortalitate avem

5515 40

40

77.603 0,9184.855

lp

l= = ≅

2. Care este prima netă pe care o persoană în vârstă de 40 ani trebuie să o plătească în momentul semnării contractului de asigurare pentru a încasa în caz de supravieţuire la împlinirea vârstei de 55 ani suma de 10.000.000 u.m.? ( 40 5512055, 5802,3D D= = )

P=...

Rezolvare:

Din x n

x

DP S

D+= , obţinem

55

40

5.802,310.000.000 10.000.000 4813189

12.055D

PD

= = =

3. Ştiind că ( ) 1x

l xω

= − , 0 x ω< < , atunci

a) t xx t

px

ωω− −=

−; b)t x

x tp

x

ωω− −=

+; c) t x

x tp

x

ωω− +=

−; d) alt răspuns.

Răspuns corect a) Rezolvare:

( )( )t x

l x tp

l x

+= şi ( ) 1

xl x

ω= − , atunci

1

1t x

x tx t

px x

ωωω

ω

+− − −= =−−

4. Ştiind că ( ) 1x

l xω

= − , 0 x ω< < , atunci

a) t xqx

ωω

=−

; b)t xx

qxω

=+

; c) t xt

qxω

=−

; d) alt răspuns.

Răspuns corect c)

Rezolvare:

1t x t xq p= − şi cum t xx t

px

ωω− −=

− atunci t x

tq

xω=

−

Avem relaţia ( ) 1, 1 xx

x

lp p x x

l+= + = .

Răspuns corect A

5. Avem relaţia ( ) 1, 1 x x xx

x x

l l dq q x x

l l++= + = =

Răspuns corect F 6 . Stabiliţi care este formula sumei amânate n xE .

a) x nn x

x

lE

l+= ; b) x n n

n xx

lE v

l+= ; c) x n x

n xx

lE v

l+=

Răspuns corect b)

7. Prima unică ce trebuie plătită de o persoană în vârstă de x ani astfel încât

să primească la sfârşitul fiecărui an câte 1 u.m toată viaţa., va fi

a) 1xx

x

Na

D+= ; b) x

xx

Na

D= ; c) 1x

xx

Da

N+= ; d) alt răspuns.

Răspuns corect a)

Vezi relaţia (2.1.1)

8. Numărul de comutaţie (se află în tabele de mortalitate) este

a) xx xD u l= ; b) x

x xD v l= ; c) ( )1x

x xD v l= + ; d) alt răspuns.

Răspuns corect b)

9. Care este prima netă pe care o persoană în vârstă de 40 ani trebuie să o plătească în

momentul semnării contractului de asigurare pentru a primi, câte 1.000.000u.m la sfârşitul fiecărui an ?

P=...

Răspuns corect P=15.084.709

Rezolvare:

1xx

x

NP Sa S

D+= =

41

40

181.8161.000.000 15.084.70912.053

NP S

D= = = u.m.

10. Care este prima netă pe care o persoană în vârstă de 50 ani pe care trebuie să o plătească în momentul semnării contractului de asigurare, pentru ca în momentul decesului urmaşii săi să primească 10.000.000 u.m.? ( 50 2.416M = 50 7070,2D = ) P=...

Răspuns corect P=3.417.160 Rezolvare:

Folosim relaţia (3.1.1) şi obţinem

50

5010.000.000 3.417.160

MP

D= = u.m.