UNIVERSITATEA “STEFAN CEL MARE” FACULTATEA …silvic.usv.ro/cursuri/matematica.pdf ·...
156
UNIVERSITATEA “ŞTEFAN CEL MARE” FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie revizuită - Lector Angela Paicu
Transcript of UNIVERSITATEA “STEFAN CEL MARE” FACULTATEA …silvic.usv.ro/cursuri/matematica.pdf ·...
UNIVERSITATEA “ŞTEFAN CEL MARE” FACULTATEA DE SILVICULTURĂ
DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ
MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ
- Ediţie revizuită -
Lector Angela Paicu
Editura Universităţii Suceava UNIVERSITATEA „ŞTEFAN CEL MARE” SUCEAVA
FACULTATEA DE SILVICULTURĂ Departamentul pentru Învăţământ la Distanţă
Lector drd. Angela PAICU
MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL
LA DISTANŢĂ
Referenţi ştiinţifici: Conf. univ. dr. Teodor Dumitru HAVARNEANU Facultatea de Matematica, Universitatea “ Al. I. Cuza “ Iaşi Lector dr. Catalin ŢIGĂERU Facultatea de Automatizări – Calculatoare, Universitatea “ Ştefan cel Mare “ Suceava
OBIECTIVE OPERAŢIONALE
Lucrarea de faţă reprezintă materialul cursului „Matematici Superioare pentru
învăţământul la distanţă” , într-o formă adecvată acestui tip de învăţământ , respectând
programa analitică şi urmărind acelaşi obiectiv ca şi în cazul învăţământului la zi.
Disciplina „Matematici superioare”, disciplină fundamentală în cadrul Facultăţii
de Silvicultură urmăreşte să construiască un aparat matematic care să poată oferi
cititorului informaţii valoroase şi utile în studiul unor discipline de specialitate.
Obiectivele urmărite prin această lucrare sunt următoarele:
• prezentarea noţiunii de spaţiu liniar, noţiune fundamentală în matematică cu
referire specială la spaţiul aritmetic n-dimensional şi la spaţiul vectorilor liberi;
• introducerea produselor de vectori şi ale aplicaţiilor acestora;
• prezentarea principalelor rezultate din geometria analitică privind dreapta, planul
şi suprafeţele în spaţiu.
• introducerea în teoria diferenţială a funcţiilor de mai multe variabile;
• sistematizarea calcului integral multiplu (integrale curbilinii, duble, de suprafaţă
şi formule integrale).
Materialul este prezentat sub forma a 14 lecţii, fiecare urmată de un set de
exerciţii rezolvate. La finalul primelor 7 respectiv 14 lecţii sunt propuse teste de
autoevaluare, cărora le sunt indicate şi răspunsurile.
Cursul cuprinde de asemenea, în bibliografia sa, un număr de lucrări care pot fi
consultate şi culegeri care oferă material de lucru pentru studenţi.
Autorul
CUPRINS 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR VECTORIALE 1.1. Noţiunea de spaţiu liniar (vectorial)……………………………………. 1 1.2. Dependenţă şi independenţă liniară. Bază. Dimensiune……………….. 2 1.3. Spaţii vectoriale euclidiene…………………………………………….. 4 1.4. Noţiunea de vector geometric. Spaţiul vectorilor liberi........................... 6 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 12 2. NOŢIUNI DE ALGEBRĂ VECTORIALĂ 2.1. Produsul scalar………………………………………………………….. 14 2.2. Produsul vectorial………………………………………………………. 15 2.3. Produs mixt……………………………………………………………... 16 2.4. Repere carteziene………………………………………………………. 18 2.5. Aplicaţii ale produsului vectorial şi produsului mixt…………………... 20 2.6. Repere polare în plan şi în spaţiu............................................................. 21 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 24 3. GEOMETRIE ANALITICĂ 3.1. Dreapta şi planul în spaţiu……………………………………………… 26 3.1.1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul................. 27 3.1.2. Dreapta determinată de 2 puncte……………………………... 28 3.1.3.Unghiul dintre două drepte orientate…………………………. 29 3.1.4. Planul în spaţiu……………………………………………….. 29 3.1.5. Plane particulare……………………………………………… 30 3.1.6. Planul determinat de trei puncte necoliniare............................. 31 3.1.7. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari........... 32 3.1.8. Ecuaţiile planului care trece prin două puncte şi este paralel
cu o direcţie dată…………………………………………………….. 33
3.1.9. Ecuaţia normală a planului. Distanţa de la un punct la un plan. 33 3.1.10. Normalizarea ecuaţiei generale a unui plan. Distanţa de la un
punct la un plan dat prin ecuaţia generală........................................... 34
3.1.11. Ecuaţia generală a dreptei în spaţiu…………………………. 35 3.1.12. Unghiul dintre două plane în spaţiu......................................... 35 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 36 4. PROBLEME ASUPRA DREPTEI ŞI PLANULUI ÎN SPAŢIU 4.1. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan…………………………………….. 37 4.2. Distanţa de la un punct la o dreaptă în spaţiu………………………….. 37 4.3. Ecuaţiile perpendicularei duse dintr-un punct pe o dreaptă din spaţiu.... 38 4.4. Perpendiculara comună a două drepte în spaţiu………………………... 38 4.5. Distanţa dintre două drepte…………………………………………….. 39 Exerciţii propuse……………………………………………………. 40 5. CUADRICE 5.1. Sfera în spaţiu………………………………………………………….. 43 5.2. Elipsoidul……………………………………………………................. 44 5.3. Hiperboloidul cu o pânză……………………………………................. 45 5.4 Hiperboloid cu două pânze……………………………………………… 47 5.5. Paraboloizi……………………………………………………………… 48
5.6 Cilindri………………………………………………………................... 50 Exerciţii propuse……………………………………………………………. 52 6. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 6.1. Noţiuni de topologie în Rn……………………………………………… 53 6.2. Funcţii de mai multe variabile.................................................................. 57 6.3. Funcţiile vectoriale de o variabilă vectorială…………………………… 57 6.4. Limite. Continuitate…………………………………………………….. 59 6.5. Derivate parţiale………………………………………………………... 59 6.6. Derivate parţiale ale funcţiilor de mai multe variabile........................... 60 6.7. Derivate parţiale ale unei funcţii vectoriale............................................ 62 6.8. Derivate parţiale de ordin superior……………………………………. 62 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 64 7. DIFERENŢIALE ALE FUNCŢIIOLR DE MAI MULTE VARIABILE.
EXTREME ALE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 7.1. Diferenţiala unei funcţii de o variabilă reală…………………………… 65 7.2. Interpretarea geometrică a diferenţialei………………………………… 65 7.3. Reguli de calcul pentru diferenţiale......................................................... 66 7.4. Diferenţiale de ordin superior………………………………………….. 66 7.5. Diferenţiala unei funcţii de mai multe variabile....................................... 66 7.6. Proprietăţile diferenţialei funcţiilor de mai multe variabile..................... 68 7.7. Diferenţiale de ordin superior…………………………………………... 69 7.8. Derivata după o direcţie gradient. Divergenţă. Rotor…………………... 71 7.9. Maxime şi minime pentru funcţii de două variabile……………………. 73 7.10. Maxime şi minime pentru funcţii de n variabile……………………… 75 Exerciţii propuse……………………………………………………. 77 8. CALCUL INTEGRAL. PRIMITIVE. REGULI DE CALCUL AL
PRIMITIVELOR 8.1. Determinarea primitivelor prin metoda substituţiei................................ 79 8.2. Schimbarea de variabilă........................................................................... 81 8.3. Integrale reductibile la integrale de funcţii raţionale…………………… 82 8.3.1. Integrale de funcţii trigonometrice…………………………… 82 8.3.2. Integrale de funcţii hiperbolice.................................................. 83 8.3.3. Integrale de funcţii iraţionale…………………………………. 84 8.3.4. Integrale binome........................................................................ 85 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 87 9. INTEGRALA DEFINITĂ 9.1. Sume Darboux………………………………………………………...... 89 9.2. Funcţii integrabile Riemann……………………………………………. 90 9.3. Aplicaţii ale integralei definite…………………………………………. 94 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 95 10. INTEGRALE CURBILINII 10.1. Lungimea unui arc de curbă…………………………………………... 97 10.2. Integrala curbilinie de primul tip……………………………………… 99 10.3. Legătura dintre integrala curbilinie şi integrala Riemann...................... 100 10.4. Integrala curbilinie de tipul al doilea...................................................... 102 10.5. Integrala curbilinie în plan...................................................................... 103
Exerciţii propuse…………………………………………………….. 104 11. INTEGRALE DUBLE 11.1. Integrale duble………………………………………………………… 106 11.2. Calculul integralelor duble……………………………………………. 108 11.3. Formula lui Green…………………………………………………….. 11.4. Schimbarea de variabilă în integrala dublă…………………………… 112 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 115 12. INTEGRALE TRIPLE 12.1. Integrale triple........................................................................................ 118 12.2. Calculul integralelor triple..................................................................... 120 12.3. Schimbarea de variabilă în integrala triplă……………………………. 124 Exerciţii propuse……………………………………………. 126 13. ARIA SUPRAFEŢELOR. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMĂ SPEŢĂ. 13.1. Suprafeţe. Aria suprafeţeloriau micul dejun…………………………... 129 13.2. Aria unei porţiuni de suprafaţă………………………………………... 131 13.3. Integrale de suprafaţă de primul tip (în raport cu aria).......................... 133 EXERCIŢI PROPUSE………………………………………………. 136 14. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE TIPUL AL DOILEA.FORMULA LUI
STOKES. FORMULA GAUSS-OSTROGRADSKI. 14.1. Integrale de suprafaţă de tipul al doilea……………………………….. 140 14.2. Formule integrale……………………………………………………… 143 Exerciţii propuse…………………………………………………….. 146 BIBLIOGRAFIE…………………………………………………………………... 150
LECŢIA 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR VECTORIALE
O structură algebrică de o deosebită importanţă teoretică şi practică este cea de
spaţiu liniar (vectorial) prin faptul că ea permite modelarea unor fenomene fizice (este cunoscută reprezentarea prin vectori a forţelor, vitezelor, acceleraţiilor) cât şi aprofundarea unor obiecte matematice de natură diversă.
Considerăm că este cunoscută structura de corp. Se ştie că în raport cu operaţiile de adunare şi înmulţire sunt corpuri comutative (impari). , ,
Definim în continuare noţiunea de spaţiu liniar peste un corp dat. 1.1. Spaţiul liniar sau vectorial Definiţie: Mulţimea V formează spaţiu liniar sau vectorial peste corpul K dacă pe
V sunt definite două legi de compoziţie, una internă notată “+” +:V×V→V şi alta externă “⋅” :K×V→V, numită înmulţire cu scalari din K, în raport cu care: ⋅G) (V, +) este grup abelian
G1. (u + v) + w = u + (v + w),∀u, v, w ∈ V G2. ∃ 0V ∈ V a.î. 0V + v = v + 0V = v, ∀v ∈ V G3. ∀v∈V, ∃ (–v)∈V, v + (–v) = (–v) + v = 0V
G4. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V şi sunt verificate axiomele următoare:
S1. (α + β)v = α⋅v + βv, ∀α, β∈ K, v ∈ V S2. α(u + v) = αu + αv, ∀α∈K, u, v∈V S3. α(βv) = (αβ)v, ∀α,β∈K, v∈V
4.1 , 1 ,S u u K u V⋅ = ∈ ∀ ∈ Elementele lui V se numesc vectori iar elementele câmpului K scalari. Dacă K=R spaţiul se numeşte real iar dacă K=C, complex.
Exemple: 1. (Rn ,R), n≥1, n∈N – spaţiul aritmetic real de dimensiune n
Rn = x | x = (x1, x2, … xn) | xI ∈R, i=1,n , Fie x, y ∈Rn x = (x1, x2, … xn); y = (y1, y2, … yn). Prin definiţie x = y ⇔ xi = yi, i = 1,n .
În raport cu operaţiile: x + y = ( x1+y1, x2+y2 … xn + yn) αx = (αx1, αx2, … αxn), α∈R
se verifică, cu uşurinţă, axiomele spaţiului liniar. Elementul nul este = (0, 0, … 0), iar opusul lui x = (x1, x2, … xn) este nR
0–x = (–x1, –x2, … –xn) 2. (Mm×n, R) Spaţiul liniar al matricelor de tip (m, n) cu elemente din R. În raport cu
operaţiile cunoscute A+B = [aij]+ [bij] = [aij+bij], αA = [αaij], mulţimea Mm×n are structură de spaţiu liniar.
3. [ ] )KX Spaţiul liniar al polinoamelor de o nedeterminată X, de grad cel mult n, cu coeficienţi din corpul K în raport cu operaţia obişnuită de adunare a două polinoame şi de înmulţire a unui polinom cu un scalar.
(Pn ,
4. (C[a,b], R) Spaţiul liniar al funcţiilor continue pe un compact [a,b]. Legile de compoziţie sunt:
1
(f + g)(x) = f(x) + g(x), f, g ∈ C[a, b]; (αf)(x) = αf(x), α ∈ R, ∀ x ∈ [a, b] 5. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi este tratat la finele acestei lecţii.
Teorema 1: Într-un spaţiu vectorial V peste K avem: 1) ∀v∈V, 0⋅v = 0V 2) α⋅0V = 0V,∀α∈K 3) (-1) ⋅v = -v, ∀v∈V 4) α⋅v = 0V, α∈K\0⇒ v = 0V
Demonstraţie: 1) Avem v +0⋅v = (1 + 0)⋅v = v ⇒ 0⋅v = 0V 2) Din α⋅v + α⋅0V =α⋅(v + 0V) = α⋅ v ⇒ α⋅0V = 0V 3) v + (–1) ⋅ v = 1⋅v + (–1) ⋅ v = (1 + (–1)) ⋅ v = 0⋅v = 0V ⇒ (–1)⋅ v = –v 4) Din k⋅v = 0V înmulţind cu k-1⇒ v = 0V
Noţiunea de subspaţiu vectorial Fie V un spaţiu liniar peste K. Definiţie: O submulţime W a lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă:
1) ∀u, v∈W ⇒ u + v ∈ W 2) ∀k ∈ K, ∀v ∈ W ⇒ kv ∈ W Condiţiile 1), 2) pot fi înlocuite printr-o singură condiţie: 3) ∀k, l∈K, u, v∈W⇒ ku + lv ∈ W W satisface axiomele spaţiului vectorial în raport cu operaţiile din V. Exemple: 1) 0V, V sunt subspaţii numite improprii (celelalte se numesc proprii) 2) Mulţimea n-uplelor de forma (0, x2, … xn) este un subspaţiu vectorial al lui Rn. 3) Fie V= f:[a,b]→R | f mărginită spaţiul liniar peste R. Mulţimea [ ] W f : a,b R f continuă= → este un subspaţiu vectorial al lui V.
1.2. Dependenţă şi independenţă liniară. Bază. Dimensiune Definiţie: Fie V un spaţiu liniar peste un corp K şi v1, v2, … vn∈V.
Un vector v∈V este combinaţie liniară a vectorilor v1, v2, … vn dacă există scalarii α1, α2, … αn∈K a.î. v= α1v1+α2v2+ … +αnvn
.
Vectorii v1, v2, … vn ∈V sunt liniar dependenţi dacă există scalarii α1, α2, … αn∈K, nu toţi nuli, a.î.: (1) α1v1+α2v2+ … +αnvn= 0V
.
Vectorii v1, v2, … vn ∈V se numesc liniar independenţi dacă relaţia (1) este îndeplinită şi numai dacă α1=α2= … =αn=0 Teorema 2: Vectorii v1, v2, … vn ∈V sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre ei este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori.
Necesitatea: Fie v1, v2, … vn ∈V liniar dependenţi ⇒ ∃ α1, α2, … αn∈K, nu toţi nuli, a.î. α1v1 + α2v2 + … + αnvn = OV, presupunem αi≠0 ⇒
i = −αα α α α α31 2 i 1 i 1 nv v v v v v v1 2 3 i 1 i 1 nα α α α α αi i i i i i
− +− − − − − −− +L L
⇒
adică vi este combinaţie liniară a vectorilor v1, v2, … vi-1,vi+1, … vn.
Suficienţa: Presupunem că vectorul vi se scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor , adică 1 i 1 i 1v , , v , v , , v− +K K n
2
vi = β1v1+β2v2+…+βi-1vi-1+βi+1vi+1+…+βnvn sau echivalent β1v1+β2v2+…+βi-1vi-1+(-1)vi+βi+1vi+1+…+βnvn= 0v ceea ce arată că v1, v2, … vn sunt liniar dependenţi.
Definiţie: O mulţime de vectori S⊂V este sistem de generatori pentru spaţiul liniar V dacă orice vector v∈V se scrie ca o combinaţie liniară finită de vectori din S.
O mulţime de vectori B⊂V formează bază a spaţiului liniar V, dacă: a) vectorii din B sunt liniar independenţi b) B este un sistem de generatori pentru V
Teorema 3: Fie B= e1, e2, … en⊂V o bază a spaţiului liniar V. Orice vector v∈V se exprimă în mod unic ca o combinaţie liniară a vectorilor din B.
Demonstraţie: Din faptul că B este bază ⇒ B sistem de generatori ⇒ ∀v∈V se scrie sub forma : (2) v = α1e1, α2e2, … αnen.
Să demonstrăm că această scriere este unică. Presupunem că are loc şi: (3) v = α1’e1+α2’e2+…+αn’en
⇒ (α1-α1’)e1+(α2-α2’)e2+…+(αn-αn’)en= 0V şi cum B este o mulţime de vectori liniar independenţi, rezultă: α1-α1’=0, α2-α2’=0, …, αn-αn’=0 ⇒ α1=α1’…αn=αn’
Scalarii α1, α2… ,αn se numesc coordonatele vectorului v in baza B. Observaţie: Relaţia (2) se mai poate scrie: α1e1,+ α2e2 + … + αnen + (–1) v = OV, αi∈K.
De aici deducem că e1, e2, … ,en, v sunt liniar dependenţi. Deci, o bază într-un spaţiu liniar poate fi definită ca fiind o mulţime B⊂V care conţine un număr maxim de vectori liniar independenţi. Definiţie: Spaţiul V se numeşte finit dimensional dacă posedă o baza finită; în caz contrar V se numeşte infinit dimensional.
Dacă V are o bază formată din n elemente, atunci n se n numeşte dimensiunea spaţiului V. Baza unui spaţiu liniar nu este unică, dar numărul vectorilor din orice bază a unui spaţiu liniar dat este acelaşi.
Observaţie: Într-un spaţiu n-dimensional, n vectori liniar independenţi formează o bază.
Exemple: 1) În spaţiul (Rn ,R) sistemul de vectori e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,0,…,0) …,
en=(0,0,…,1) formează o bază, numită baza naturală sau baza canonică ( ) nRRn =⇒ ,dim
2) În spaţiul liniar (Mm×n, R) sistemul de matrice
ij
0 0 0
i 1,m; j 1,nE i,0 1 0formeaza baza canonica.
0 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = =⎜ ⎟= →⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
L L
M
L L
M
L L
↓ j
( ) mnRM nm =⇒ ′×dim 3) În spaţiul (Pn[X], K) mulţimea polinoamelor B=1, X, X2, … , Xn formează o bază.
3
( )( )dim , 1nP X K n⇒ = +
1.3. Spaţii vectoriale euclidiene Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial real. O aplicaţie
(⋅,⋅): V×V→ R care are proprietăţile: P1) (u+v,w)=(u,w)+ (v,w), ∀u,v,w∈V P2) (λu,v)= λ (u,v), ∀λ∈R, ∀u,v∈V P3) (u,v)=(v,u), ∀u,v∈V P4) (u,u)≥0, ∀u∈V şi (u,u)=0 ⇔ u=0V
se numeşte produs scalar pe V. V înzestrat cu un produs scalar, notat(V,( , )) se numeşte spaţiu euclidian. Consecinţe: 1) (u,v+w)=(u,v)+(u,w), ∀u,v,w∈V; 2) (u,λv)= λ (u,v), ∀λ∈R, ∀u,v∈V; 3) (0V,v)=0, ∀v∈V.
Propoziţia 1: În spaţiul euclidian V are loc inegalitatea lui Cauchy: ( ) ( ) ( )u, v u,u v,v , u,v V≤ ∀ ∈ .
Demonstraţie Fie u, v∈V, λ∈R, w = u + λv∈V. Avem (w, w) ≥ 0 ⇔ ( u + λv, u + λv) ≥ 0 ⇒ (u, u) + 2λ(u, v) + λ2(v, v) ≥ 0 ⇒ λ2(v, v) + 2λ(u, v)+ (u, u) ≥ 0, ∀λ∈R.
Trinomul în λ având semn constant pozitiv ⇒ Δ ≤ 0 adică ((u, v))2 – ( u, v)( v, v) ≤0 ⇒ ( ) ( ) ( )u,v u,u v,v≤
Propoziţia 2: În orice spaţiu euclidian V are loc inegalitatea lui Minkowski: ( ) ( ) ( )u v,u v u,u v,v+ + ≤ + .
Demonstraţie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
u v,u v u,u 2 u,v v,v u,u 2 u, v v,v
u,u 2 u,u v, v v,v u,u v,v
+ + = + + ≤ + +
≤ + + = +
≤
Exemple: 1) În spaţiul aritmetic n-dimensional se defineşte produsul scalar (x,y) = x1y1+ x2y2 + … + xnyn, x = (x1,x2, … ,xn); y = (y1,y2, … ,yn) Rn dotat cu acest produs scalar se numeşte spaţiu vectorial euclidian canonic. 2) Pe spaţiul (C[a,b], R) se defineşte produsul scalar:
( ) ( ) ( )b
af ,g f x g x dx= ∫ .
Definiţie. Se numeşte normă pe un spaţiu liniar V o aplicaţie: || ⋅ ||: V→ R care satisface N1) || v || ≥ 0, ∀v∈V şi || v ||= 0 ⇔ v = 0V
N2) || u + v || ≤ || u || + || v ||, ∀ u, v∈V N3) || αv ||= |α| || v ||, ∀α∈R, v∈V V înzestrat cu o normă se numeşte spaţiu liniar normat. Orice spaţiu euclidian este
spaţiu normat. Prin definiţie: ( )v v,v , v V= ∀ ∈ numindu-se normă indusă de produsul scalar.
4
Avem: ( )v v,v 0= ≥ şi vv 0 v 0= ⇔ =
( ) ( )2v v, v v,vα = α α = α = α v . Consecinţe: 5) Proprietăţile normei asigură că orice element v∈V poate fi scris sub forma
vv v e, ev
= =
vectorul e cu proprietatea ||e|| =1 numindu-se versorul lui v. 6) Inegalitatea din P1 conduce la inegalitatea Cauchy-Schwartz
( )u, v u v≤ ⋅ care se transcrie:
( )v
u, v1 1,u, v
u v− ≤ ≤ ≠
⋅0 .
Aceasta justifică următoarea definiţie: Definiţie. Fie V un spaţiu euclidian real, u, v doi vectori nenuli din V. Numărul
θ∈[0,π] definit de egalitatea: ( )u,v
cosu v
θ =⋅
se numeşte unghiul dintre u şi v.
Exemple: 1) În Rn avem (x,x)=x1
2+ x22+ … + xn
2, x=(x1,x2, … xn) şi ( ) 2 2
1 2x x,x x x= = + + +L 2nx .
7) În C[a, b] avem:
( ) ( )b 2
af , f f x dx= ∫ şi ( )b 2
af f x= ∫ dx .
Observaţie: Există şi spaţii liniare normate, cu norma neprovenind dintr-un produs scalar. Fie V un spaţiu vectorial normat. Funcţie reală definită prin d(u, v)=|| u–v || este o
distanţă (metrică) pe V, adică satisface relaţiile: D1) d(u, v)≥ 0 şi d(u, v)= 0 ⇔ u = v D2) d(u, v) = d(v, u), ∀u, v∈V D3) d(u, v)≤ d(u, w)+ d(w, v), ∀u, v, w∈V O mulţime oarecare înzestrată cu o metrică se numeşte spaţiu metric. Să arătăm că funcţia d satisface axiomele D1,D3.
Prin definiţie d(u, v)= || u–v ||≥ 0 d(u,v)= 0 ⇔ || u-v ||= 0 ⇔ u-v= 0V ⇔ u=v; d(u,v)= || u-v ||=|| (u-w)+ (w-v) ||≤ || u-w ||+ || w-v ||= d(u,w)+ d(u,w) Exemple: În spaţiul Rn avem:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 21 1 n n
1 2 n 1 2 n
d x, y x y x y x y , x
x ,x , , x , y y , y , , y
= − = − + + −
= =
L
K K
=
În spaţiul C[a,b] avem:
( ) ( ) ( )( )b 2
ad f ,g f g f x g x dx= − = −∫ .
5
1.4. Noţiunea de vector geometric. Spaţiul vectorilor liberi. Fie în , spaţiul fizic obişnuit, mulţimea segmentelor de dreaptă. 3ΕDefiniţie: Se numeşte segment orientat un segment de dreaptă ale cărui capete sunt
date într-o anumită ordine. Segmentul orientat AB are originea în A şi extremitatea în B. Dreapta AB se numeşte dreapta suport a lui AB şi este unic determinată numai dacă
. Dreapta suport a segmentului orientat nul A B≠ AA este nedeterminată. Două segmente orientate 1 1A B şi 2 2A B sunt egale dacă 1 2A A≡ şi 1 2B B≡ . Definiţie: Două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor
suport sunt paralele sau coincid (sunt coliniare). Definiţie: Două segmente orientate nenule coliniare au acelaşi sens dacă sensurile
determinate pe dreapta suport comună coincid.
A B C
D
Două segmente orientate nenule paralele au acelaşi sens, dacă extremităţile lor se
află în acelaşi semiplan determinat de dreapta care uneşte originile segmentelor în planul dreptelor suport paralele.
A B
C
D
Definiţie: Două segmente orientate au aceeaşi lungime dacă segmentele neorientate
corespunzătoare sunt congruente. Definiţie: Două segmente orientate nenule se numesc echipolente dacă au aceeaşi
direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Admitem că toate segmentele orientate nule sunt echipolente între ele.
Dacă AB este echipolent cu CD notăm AB ∼CD . Printr-un raţionament simplu se stabileşte următorul rezultat: Teoremă: Relaţia de echipolenţă pentru segmente orientate este o relaţie de
echivalenţă, adică: a) este reflexivă AB ∼ AB b) este simetrică AB ∼CD⇒CD∼ AB c) este tranzitivă AB ∼CD şi CD∼EF ⇒ AB ∼EF
Definiţie: Se numeşte vector liber (sau vector geometric) o clasă de echivalenţă a relaţiei de echipolenţă pe mulţimea segmentelor orientate. Clasa segmentului orientat AB este AB = 11BA / 11BA ∼ AB .
6
Vectorii liberi vor fi notaţi cu litere mici , , ,...a b c iar în desen vor fi reprezentaţi printr-unul dintre segmentele orientate echipolente ce definesc clasa vector liber. Se mai notează , CD
uuu,…. AB
uuur r
Pentru lungimea (norma) unui vector liber a sau AB vom folosi notaţiile ,a ABuuur
. Un
vector liber de lungime 1 se numeşte versor sau vector unitate. Vectorii liberi care au aceeaşi direcţie se numesc vectori coliniari. Doi vectori
coliniari care au aceeaşi lungime însă au sensuri opuse se numesc vectori opuşi. Notăm opusul lui a prin a− . a
a− Doi vectori liberi a şi b sunt egali şi se notează a b= dacă reprezentanţii lor sun
echipolenţi sau, echivalent, dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens si aceeaşi lungime. Pentru lungimea vectorului a folosim notaţia a .
Fie vectorul a . Atunci evident a a u= , unde u este versorul lui a . 1.5. Adunarea vectorilor liberi a) Coliniari şi de acelaşi sens: ubb,uaa ==
a b ( )ubaba +=+
ba + Coliniari şi de sensuri opuse: ubb,uaa −==
a b ( )ubaba −=+
ba + b) Necoliniari. Suma vectorilor este un vector egal în mărime, sens şi direcţie cu diagonala
paralelogramului construit pe a şi b ca laturi. Vectorul sumă se numeşte şi rezultanta vectorilor.
Regula paralelogramului
a
b b
a
ba + C
O A
B
7
a
b ba + Regula triunghiului
Teo
ţimea V a vectorilor liberi din spaţiu este grup comutativ în raport cu adunarea vectorilor.
1)
rema 2 Mul
( ) ( ) cbacbaVc,b,a ++=++∈∀
2) a a00aVa =+=+∈∀3) ( ) ( ) Va,0a ∀=+aaa ∈−=−+ 4) Vb,a,abba ∈∀+=+ .
Prin definiţie, diferenţa a doi vectori a şi b este un vector d egal cu suma vectorului a cu opusul lui b , adică ( )babad −+=−= .
l
Vectoru d este a doua diagonală a paralelogramului construit pe a şi b , având origi ean în extremitatea lui b şi
itatea în extrem i extrem itatea lu a .
.
gene regulii triunghiului la regula poligonului strâmb folosită pentru adunarea a vectori.
→→→
=− BAOBOA Observaţie: Asociativitatea adunării vectorilor permite ralizarea
3n ≥ 1 2a a ... a+ + + n
c
b
a
a b+
( ) ( )a b c a b c+ + = + + b c+
B
b
–
A d a b= −
O
b a b−
na
3a
2a1a
8
1.6. Înmulţirea unui vector cu un scalar
Fie R câmpul numerelor reale şi V grupul aditiv al vectorilor liberi. Definiţie: Fie VaRt ∈∈ , ; definim vectorul at astfel:
at este vectorul care are aceeaşi direcţie cu a , acelaşi sens cu a ,dacă t >0, sens contrar cu a dacă t < 0 şi lungimea at ;
dacă t = 0 sau 0a = , atunci 0at = .
Teorema 3
a
Au loc proprietăţile: 1) Va,aa1 ∈∀=⋅ ; 2) ( ) ( ) Va,Rt,s,ataast ∈∀∈∀= ; 3) ( ) Va,Rt,s,atasats ∈∈∀+=+ ; 4) ( ) bsasbas +=+ .
Teoremele 2 şi 3 conduc la: Teorema 4
Mulţimea vectorilor liberi V este spaţiul vectorial peste R. Norma unui vector are proprietăţile: Proprietăţi: N1. 0a0a;0a =⇔=≥
N2. a aλ = λ
N3. baba +≤+
Propoziţia 1: Condiţia necesară şi suficientă ca doi vectori 3Vv,u ∈ să fie coliniari (să aibă aceeaşi direcţie) este ca ei să fie liniar dependenţi.
Demonstraţie: (⇒) Reprezentanţii lui v,u în 30 E∈ (spaţiu fizic), sunt segmentele orientate OA şi
OB cu O, A, B coliniare. Deci R∈λ∃ astfel încât vu λ= ( ) v,u0vu1 ⇒=λ−+⋅⇒ liniar dependenţi.
(⇐) Presupunem că v,u liniar dependenţi 21,λλ∃⇒ nu amândoi nuli, astfel încât
0u1 +λ v2 =λ . Presupunând vu01
21 λ
λ−=⇒≠λ v,u⇒ coliniari.
ta
tat 0>
t 0<
A
O
B
9
Consecinţe 1. Doi vectori din V3 sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă sunt necoliniari. 2. Mulţimea vectorilor coliniari cu un vector nenul este un spaţiu vectorial
unidimensional. Fie w,v,u trei vectori diferiţi din V3. Ei se numesc coplanari dacă segmentele
orientate reprezentative ale lor sunt paralele cu un plan dat. Propoziţia 2: Trei vectori 3Vw,v,u ∈ sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar
dependenţi. (⇒) Dacă w,v,u sunt coplanari, atunci reprezentanţii lor în sunt
segmentele orientate 30∈E
OC,OB,OA astfel încât O, A, B, C aparţin aceluiaşi plan . Π
C
O A
A
B
B Fie OBCA1 şi OACB1 . Avem
vOB,uOA 11 μ=λ= şi ⇒+= 11 OBOAOC
w,v,uvuw ⇒μ+λ= liniar dependenţi. ( )⇐ Dacă , ,u v ω sunt liniari dependenţi, atunci există 1, 2, 3 Rλ λ λ ∈ nu toţi nuli, astfel
încât 1 2 3 0u vλ λ λ ω+ + = . Dacă presupunem 3 0λ ≠ şi notăm 1 2
3 3
,λ λλ μλ λ
− = − = obţinem
u vω λ μ= + . Dacă ,u v sunt coliniari avem u kv= şi ( )k vω λ μ= + şi deci cei trei vectori sunt coliniari, deci şi coplanari.
Dacă ,u v sunt necoliniari considerăm punctele O, A, B astfel încât ,OA u OB v∈ ∈
uuur uuur. Punctele O, A, B determină un plan ( )P . Cum u vω λ μ= +
reprezentantul lui ω prin 0 este segmentul orientat ( ),OC C P∈ . Deci , ,u v ω sunt coplanari.
O
O A
Bv
u
u vω λ μ= +
Consecinţă
1. Trei vectori sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă reprezentanţii lor printr-un acelaşi punct al spaţiului nu sunt coplanari.
2. Mulţimea 2V a vectorilor coplanari cu doi vectori necoliniari u şi v este un spaţiu vectorial bidimensional.
Propoziţia 3: Spaţiul vectorial real al vectorilor liberi V3 are dimensiunea 3. În V3 există 3 vectori liniar independenţi şi anume oricare trei vectori necoplanari
w,v,u . Să arătăm că aceştia generează pe V3. Pentru aceasta fie a un al patrulea vector şi OD,OC,OB,OA reprezentanţii vectorilor w,v,u şi a .
10
1 1 1, ,OA OB OC sunt coliniari în , ,u v ω , deci există 1 2, , 3 Rλ λ λ ∈ astfel încât
1 1 1 2, ,OA u OB vλ λ= =uuur uuuur
1 3OC λ ω=uuuur
. Deoarece şi sunt paralelograme, rezultă
1 1OA EB 1OEDC
1 1A OB+ 1a OD O OE O= = =,E OC+uuur r uuuuu uuu u
. Deci
r uuuur r uuuur
1 2v 3a uλ λ λ ω= + + ceea ce arată că treivectori necoplanari din V formează bază în V şi dimensiunea lui V este 3.
3
3 3
F DC
G1C
a
ωB
vE
1B
O u A 1A
11
EXERCIŢII PROPUSE
1) Fie vectorii v1 = (2, 1, 3), v2 = (1, -1, 3), v3 = (1, 0, 2). Se poate scrie vectorul v3 ca o combinaţie liniară de v1 şi v2 ? R: v3 este combinaţie liniară de v1 şi v2 dacă există scalarii α1, α2 R a.î. ∈
22113 vvv αα += Aceasta înseamnă:
( ) ( ) ( )⇔−+= 3,1,13,1,22,0,1 21 αα31,
31
233012
21
21
21
21
==⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=+
αααα
αααα
R: Da
2) Să se studieze dependenţa liniară a sistemului de vectori:
v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 2, 0, 1), v3 = (-1, 1, -3, 0), v4 = (1, 5, 0, 1) în R4 R: Considerăm relaţia 0332211 =++ vvv ααα . Prin înlocuirea vectorilor v1, v2, v3
această relaţie este echivalentă cu sistemul omogen
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=−
=++=−+
003
0202
21
31
321
321
αααα
αααααα
Rangul matricei acestui sistem este doi. Prin urmare sistemul admite şi soluţii nebanale şi deci sistemul de vectori este liniar dependent. O soluţie a sistemului omogen este 1,1,1 321 =−== ααα şi astfel o relaţie de dependenţă este 0321 =+− vvv
3) Să se studieze natura sistemului de vectori
1 2 3
2 2 1 4 0 4, ,
4 4 5 3 4 8A A A
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎟
A
în M2,2
R: Relaţia 1 1 2 2 3 3A Aα α α+ + =0 este echivalentă cu
1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 02 4 4
4 5 4 06 3 8
α αα α αα α αα α α
+ =⎧⎪− − − =⎪⎨ + + =⎪⎪− + + =⎩
0
0 Rangul acestui sistem este doi, deci sistemul de matrice este liniar dependent. Avem o relaţie de dependenţă -2A1 + 4A2 – 3A3 = 0.
4) Se dau în R3 vectorii: v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, -1, 0), v3 = (1, 1, a), v = (0, 0, -1). Să
se arate că aceştia formează o bază. Se cer coordonatele vectorului v = (1, 1, 1) în această bază.
R: Deoarece din R3=3 este suficient să arătăm că cei trei vectori sunt liniar independenţi.
Fie α1, α2, α3∈R a.î. 0332211 =++ vvv ααα . Aceasta înseamnă
12
1 2
1 2
1 3
00
2 0
α αα αα α
+ =⎧⎪ − =⎨⎪ − =⎩
13
v
sistem care are soluţia banală, deci vectorii sunt liniar independenţi şi formează o bază în
R3. Relaţia 1 1 2 2 3 3v v vα α α= + + se scrie 1 2
1 2
1 3
11
2 1
α αα αα α
+ =⎧⎪ − =⎨⎪ − =⎩
cu soluţia 1 2 31, 0, 1α α α= = = ,
deci coordonatele vectorului v în vaza dată sunt (1, 0, 1).
5) Să se calculeze produsul scalar al vectorilor: v1 = (1, -1, 2), v2 = (1, 2, -1) şi normele vectorilor.
R: (v1,v2) = -3; 1 6v = ; 2 6v = Să se normeze vectorii v1 = (3, 1, 2), v2 = (2, 1, -1)
R:
11
1
22
2
3 1 2, ,14 14 14
2 1 1, ,6 6 6
vev
vev
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
6) Să se arate că pentru ca trei vectori a, b, c să închidă un triunghi este necesar şi
suficient ca a b c 0+ + = . R: c a Fiind dat triunghiul ΔABC avem b CB AC AB= − − = + =
ur uuur uuuruu0AB BC CA+ + =
uuur uuur uuur,
adică a b c 0+ + = . Invers, dacă vectorii a, b, c satisfac relaţia a b c 0+ + = , atunci luând a BC=
uuur şi b CA=
uuur, din relaţia anterioară obţinem c a b CB AC A= − − = + = B
uuur uuur uuur. Prin urmare
vectorii a, b, c închid un triunghi. 7) Fie a, vectorii care coincid cu laturile triunghiului. Să se exprime cu ajutorul lor vectorii ce coincid cu medianele triunghiului şi să se arate că aceştia pot forma un triunghi.
b, c
A R: Ipoteza arată că a b c 0+ + =
Din AAC′ 2cCC CA AC b′ ′= + = +
uuuur uuur uuuur c b
BC AA B′
2aAA AB BA c′ ′= + = +
uuur uuur uuur ΄
BB C′ 2bBB BC CB a′ ′= + = +
uuur uuur uuur
Deoarece 32
AA BB CC′ ′ ′+ + =uuur uuur uuuur
(a b c) 0+ + = rezultă că vectorii mediană închid
un triunghi.
a C B A΄
LECŢIA 2 NOŢIUNI DE ALGEBRĂ VECTORIALĂ
2.1. Produsul scalar Fie V3 spaţiul vectorilor liberi 3Vb,a ∈ . Pentru 0b,0a ≠≠ notăm [ ]π∈ϕ ,0
unghiul dintre a şi b . Teoremă
Funcţia ( ) definită prin RVV:, 33 →×⋅⋅
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
==
≠≠ϕ=
0bsau0a,0
0bsi0a,cosbab,a
este un produs scalar în V3. Demonstraţie
Axiomele următoare sunt evidente: – comutativitatea ( ) ( )a,bb,a = ; – omogenitatea ( ) ( ) ( )b,ab,ab,a λ=λ=λ ;
– pozitivitatea ( ) ( )( )2aa,a0a,a =≥ .
Să dovedim distributivitatea faţă de adunare şi anume ( ) ( ) ( )c,ab,acb,a +=+ Observăm că ( ) aprbbprab,a ba ⋅=⋅= şi că
c
b b c+ b φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c,ab,acprbpracbpracb,a aaa +=+⋅=+⋅=+ .
Observaţii 1. Doi vectori liniari nenuli sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul
lor scalar este nul.
2. Dacă ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
∈ϕ2
,0 atunci ( ) 0b,a ≥ , iar dacă ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ππ
∈ϕ ,2
atunci
( ) 0b,a ≤ . 3. ( ) bab,a ≤ (inegalitatea Cauchy-Schwarz).
Fiind dat un sistem de axe perpendiculare Oxyz în spaţiu, versori lor notaţi k,j,i definesc o bază ortonormată în V (formată din versorii perpendiculari 2 câte 2).
0, i , j,k se numeşte reper cartezian.
Fiecare vector v se exprimă în mod unic în forma kvjvivv zyx ++= . Coordonatele (vx, vy, vz) ale vectorului se numesc coordonate euclidiene.
a
14
Pentru k,j,i avem tabloul de înmulţire scalară ( )
100k010j001ikji,⋅⋅
Fie vectorii kajaiaa zyx ++= şi kbjbibb zyx ++= . Expresia analitică a produsului lor scalar se obţine folosind proprietăţile produsului
scalar şi tabloul anterior şi este ( ) zzyyxx bababab,a ++= .
În particular ( ) ( ) ( ) zyx ak,a,aj,a,ai,a === , deci coordonatele euclidiene ale unui vector sunt proiecţiile ortogonale ale vectorului pe cele trei axe de coordonate.
Expresia analitică a normei unui vector este ( ) 2
z2z
2x aaaa,aa ++== .
Unghiul a doi vectori nenuli b,a este dat de ( )
2z
2y
2x
2z
2y
2x
zzyyxx
bbbaaa
babababab,acos
++++
++==ϕ .
Avem 0babababa zzyyxx =++⇔⊥ .
2.2. Produsul vectorial Definiţie: Fie b,a doi vectori. Se numeşte produs vectorial al vectorilor b,a , vectorul
notat ba× caracterizat astfel: a) bpeba,aesteba ⊥×⊥× ; b) ba× are sensul dat de regula burghiului drept; c) ϕϕ=× ,sinbaba unghiul dintre bsia .
i j
k
zv k
0
v jvy
z
y
x xv i
15
ϕ
a b×
b a
Proprietăţi
1. ba× perpendicular pe planul ( b,a ); 2. abba ×−=× ;
3. ( )a b c a b a c+ × ; × + = ×
4. ( ) ( ) ba×λ= ; baba ×λ=λ×5. 00a =× ; ;0aa =×
6. ( )2b,a− (identitatea lui Lagrange). 22
baba =×
Produsul vectorial a doi vectori nenuli este nul dacă şi numai dacă vectorii sunt coliniari.
Dacă b,a nu sunt coliniari, atunci ba× reprezintă aria paralelogramului construit
pe reprezentanţii OA ai vectorilor →→
OBsi a şi b .
0ijki0kjjk0i
kjix
−−
− Avem tabloul de produs vectorial:
Expresia analitică a produsului vectorial:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y z x y z
x y x z y x y z z x z y
y z z y x z z x x y y x
y z x yx zx y z
y z x yx zx y z
a b a i a j a k b i b j b k
a b k a b j a b k a b i a b j a b i
a b a b i a b a b j a b a b k
i j ka a a aa a
i j k a ab b b bb b
b b b
× = + + × + + =
= − − + + − =
= − − − + −
= − + = a
=
2.3. Produs mixt Fiind daţi vectorii liberi c,b,a , numărul ( ) ( )c,b,acb,a
not=× se numeşte produsul
mixt al acestora.
16
Dacă c,b,a sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixt reprezintă volumul paralelipipedului ce se poate construi pe reprezentanţii cu originea comună ai celor trei vectori. Fie unghiul dintre direcţia vectorilor θ b şi c şi ϕ unghiul dintre direcţiile vectorilor a şi cb× .
( ) ( ) ( ) Vaddacbacba
h
===×=43421ϕcos,,,,
Expresia analitică a produsului este:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )=−+−−−++=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++=×=
kcbcbjcbcbicbcb,kajaia
cccbbbkji
,kajaiacb,ac,b,a
xyyxxzzxyzzyzyx
zyx
zyxzyx
( ) ( ) ( )zyx
zyx
zyx
xyyxzxzzxyyzzyx
cccbbbaaa
cbcbacbcbacbcba =−+−−−=
Proprietăţi 1) ( ) ( ) ( )ba,cac,bcb,a ×=×=× ; ( ) ( ) ( )acbbaccba ,,,,,, == 2) ( ) ( )bc,acb,a ×−=× ; 3) ( ) ( ) ( ) Rt,ctb,acbt,acb,at ∈×=×=× ; 4) ( ) ( ) ( )cb,acb,acb,aa 2121 ×+×=×+ ;
5) ( ) ( ) ( )( ) ( )d,b
d,a identitatea lui Lagrange
c,bc,a
dc,ba =××
Demonstraţie Notăm cu dcm ×= şi avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )d,bc,b
d,ac,ac,bd,ad,bc,ac,bdd,bc,a
dcb,am,b,aa,m,bba,mm,badc,ba
=−=−=
=××===×=×=××
6) ( ) 0c,b,a = dacă şi numai dacă: i) cel puţin unul dintre vectori este nul; sau ii) doi dintre ei sunt coliniari; sau iii) vectorii c,b,a sunt coplanari.
d b c= ×
b
a c
h φ φ
θ
17
Baza vectorială c,b,a se numeşte orientată pozitiv (negativ) dacă produsul ( )cb,a × este pozitiv (negativ). Prin urmare baza ortonormată k,j,i este orientată pozitiv întrucât:
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0k,0,1,0j,0,0,1iunde1kj,i ====× . 2.4. Repere carteziene Fie spaţiul fizic, V3 spaţiul vectorial tridimensional al vectorilor liberi, R3
spaţiul euclidian canonic. 3E
Dacă fixăm originea spaţiului în O şi o bază ortonormată 3E k,j,i în V3, atunci între cele trei spaţii se poate stabili o corespondenţă biunivocă astfel: fiecărui punct M din
îi corespunde în mod unic un vector 3E 3VOMr ∈=→
, numit vector de poziţie al punctului M; acestui vector îi corespunde în mod unic tripletul ordonat de numere reale ( ) Rz,y,x ∈
numite coordonatele euclidiene ale vectorului în raport cu baza →
OM k,j,i .
Se scrie kzjyixOMr ++==→
.
M(x,y,z)
x
0
z
y
Ansamblul k,j,i,0 se numeşte reper cartezian în . O se numeşte originea
reperului, iar 3E
k,j,i baza reperului.
Coordonatele euclidiene (x, y, z) ale vectorului de poziţie rOM =→
se numesc coordonate carteziene ale punctului M faţă de reper.
( )( )( ) ⎪
⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
===
===
===
acotrprr,kz
ordonatarprr,jy
abscisarprr,ix
k
j
i
= reprezintă mărimile algebrice ale proiecţiilor
ortogonale ale vectorului r pe cele trei axe.
18
z B A
k O
y j i x Fie A(x1, y1, z1) şi B(x2, y2, z2) având vectorii de poziţie 1r şi 2r . Atunci:
( ) ( ) ( )kzzjyyixxrrOAOBAB 12121212 −+−+−=−=−=→→→
. Aplicaţii
a) Vectorul de poziţie al mijlocului unui segment
O
A
B
M
C
1r r
2r
Fie ( )1rA şi ( )2rB punctele care determină segmentul AB, iar M mijlocul
segmentului, al cărui vector de poziţie îl notăm cu r . S-a luat ca reper un punct O oarecare al spaţiului. Se completează paralelogramul OBCA şi se observă imediat că:
r2rrsauOM2OCOBOA 21 =+==+→→→→
de unde 2
rrr 21 += .
Vectorul de poziţie al mijlocului unui segment este semisuma vectorilor de poziţie ai capetelor segmentului.
b) Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat.
Fie ( )1rA , ( )2rB şi ( )rM punctul pentru care kMB
MA=
→
→
.
Vom socoti pe k negativ dacă M aparţine segmentului AB şi pozitiv dacă M se află pe prelungirea segmentului într-o parte sau alta.
O
A
B
M
1r r
2r
19
Avem:
( )k1rkrrrrkrrMBkMA 21
121 −−
=⇒−=−⇒=→→
.
Caz particular: k = 1 mijlocul unui segment; k = -1
1 2r rr2+
=
2.5. Aplicaţii ale produsului vectorial şi produsului mixt Aria triunghiului de vârfuri ( )1 2 3 i i i iM ,M ,M M x , y ,z ,i 1,3=
1M 2M
3M
( ) ( )1 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 3 1 21 1 1A M M M M r r r r r r r r r2 2 2
= × = − × − = × − × +uuuuuur uuuuuur
r×
2 3 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 11 1 1
2 2 2 2 2 22 2 2
3 3 3 3 3 33 3 3
i j k i j k i j kr r r r r r x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
i j k oy z 1 z x 1 x y 1
x y z 1y z 1 i z x 1 j x y 1 k
x y z 1y z 1 z x 1 x y 1
x y z 1
× − × + × = − + =
= = + +
2 21 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
y z 1 z x 1 x y 11S y z 1 z x 1 x y2
y z 1 z x 1 x y 1= + +
2
1
În planul xOy raportat la un reper 0, i , j, k aria triunghiului de vârfuri
( )i i iM x , y ,i 1,2,3=
1 1
2 2
3 3
x y 11S mod x y2
x y 1= 1
Volumul unui tetraedru în funcţie de coordonatele vârfurilor sale
20
- volumul tetraedrului tV - aria bazei tetraedrului tS h – înălţimea tetraedrului
1M
2M
4M
3M
Fie V, S, h mărimile corespunzătoare ale paralelipipedului construit pe vectorii
1 2 1 3 1 4M M ,M M ,M Muuuuuur uuuuuur uuuuuur
ca muchii
t t t t1 1V s h S S V3 2
= ⋅ = =1 V6
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t 1 2 1 3 1 4 2 1 3 1 4 1
2 1 3 1 4 1 2 1 3 4 1 4 3 1
1 1 1
2 2 22 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
3 3 3
4 4 4
1 1V M M ,M M ,M M r r , r r , r r6 6
1 1r r , r r r r r r , r r r r r r6 6
x y z 1x y z 11 1r , r , r r , r , r r , r , r r , r , rx y z 16 6x y z 1
= = − − −
= − − × − = − × − × − ×
= − + − = ±
uuuuuur uuuuuur uuuuuur=
=
2.6. Repere polare în plan şi în spaţiu Reperele ortonormate nu sunt singurele repere la care pot fi referite punctele
planului sau spaţiului. Utile în mecanică, geometrie şi în alte domenii sunt reperele polare. 1. Sistemul de coordonate polare în plan Să considerăm în plan un punct O numit pol şi o axă (D) ce trece prin O. Un punct
M din plan este unic determinat de numerele OMρ = şi ∧
= xOMθ . Fie punctul M din plan raportat în acelaşi timp la un sistem cartezian şi la un
sistem polar, având polul în originea primului, iar axa polară confundată cu Ox.
(ρ, θ)
M(x,y)
θ (D)
x
y
x O
21
Sistemul de coordonate în plan (ρ, θ), 0 2≤ θ < π se numeşte sistem de coordonate polare în plan.
Între mulţimile ( ) *, R ,0 2ρ θ ρ∈ ≤ θ < π şi ( ) x, y x, y R∈ există o
corespondenţă biunivocă.
Legătura între cele două tipuri de coordonate este dată de x cosy sin= ρ θ⎧
⎨ = ρ θ⎩ şi invers
2 2
2 2
2 2
x yysin
x yxcos
x y
⎧⎪ρ = +⎪⎪⎪ θ =⎨
+⎪⎪⎪ θ =⎪ +⎩
.
2. Sistemul de coordonate sferice Fie un punct M din spaţiu. Fie reperul cartezian 0, i , j, k şi (x,y,z) coordonatele
lui M faţă de acest reper. Fie M’ proiecţia lui M pe planul xOy . Notăm . OMρ =
∧
∧
=
=
'xOM
zOM
θ
ϕ z
M’
θ
x
Între mulţimile ( ) , , 0,0 2 , 0ρ θ ϕ ρ ≥ ≤ θ < π ≤ ϕ ≤ π şi ( ) 3x, y,z x, y,z R∈
există o corespondenţă biunivocă. Prima mulţime defineşte sistemul de coordonate sferice (geografice) în spaţiu. Legătura dintre coordonate este dată de:
x cos siny sin sinz cos
= ρ θ ϕ⎧⎪ = ρ θ ϕ⎨⎪ = ρ ϕ⎩
z φ
M(x,y,z)
O
(ρ,θ,φ)
y
ρ
22
invers
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y zysin
x y z sinxcos
x y z sinzarccos
x y z
⎧ρ = + +⎪⎪ θ =⎪ + + ϕ⎪⎪⎨ θ =⎪ + + ϕ⎪⎪ϕ =⎪
+ +⎪⎩
x
(ρ,θ,z) M(x,y,z)
θ
z
ρ O
z
y
M ′
3. Sistemul de coordonatele cilindrice Este un sistem de coordonate care păstrează
primele două coordonate ρ şi θ ale sistemului polar din pan, cea de-a treia coordonată fiind cota z a punctului M.
Între mulţimea punctelor din spaţiu şi mulţimea ( ) , , z 0,0 2 ,z Rρ θ ρ ≥ ≤ θ < π ∈
există o corespondenţă biunivocă. Formulele de legătură între coordonatele cilindrice şi cele carteziene sunt:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=θρ=θρ=
zzsinycosx
şi invers
2 2
2 2
2 2
x yxcos
x yysin
x yz z
⎧ρ = +⎪⎪ θ =⎪ +⎪⎨⎪ θ =⎪ +⎪⎪ =⎩
23
EXERCIŢII PROPUSE 1) Cunoscând vectorii care formează laturile uni triunghi 2 6AB i= −
uuurj ,
7BC i j= +uuur
, 3CA i j= − −uuur
, să se determine unghiurile acestui triunghi.
R: ( )( , )cos 02
AB ACA mAB AC
A π= = ⇒ =
uuur uuur
uuur uuur 2arccos5
B = 1arccos5
C =
2) Fie vectorii a 3i j 2k şi b i j 3k= + + = − − . Să se calculeze:
a) produsul lor vectorial;
b) să se verifice că a b× este perpendicular pe a şi pe b ;
c) aria paralelogramului construit pe a şi b .
R: a) 3 1 2 11 41 1 1
i j ka b i j k× = = − + −
− −
b) ( , ) 3 11 8 0;( , ) 1 11 12a b a a b b× = − + − = × = − − + = 0
c) 138A a b= × =
3) Să se studieze coplanaritatea vectorilor: a i 2 j k;b 2 i 2 j 5k; c i 4 j 6k= + − = − + = − +
R: ( a, b, c )=1 2 12 2 51 4 6
−− =−
0 , deci vectorii sunt coplanari.
4) Se consideră triunghiul ABC pentru care vectorii de poziţie ai vârfurilor sunt
2 6 7 , 3 2 , 2OA i j k OB i j OC i j k= + + = − − = + +uuur uuur uuur
. Se cer: a) perimetrul triunghiului ABC; b) aria triunghiului ABC; c) lungimea înălţimii BB΄.
R: a)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
5 8 7 ; 4 3 2 ;
( 5) ( 8) ( 7) 138;
4 3 2 29;
1 5 5 51;
138 29 51
AB OB OA i j k BC OC OB i j k
AB
BC
CA
P AB BC CA
= − = − − − = − = + +
= − + − + − =
= + + =
= + + =
= + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur uuur
24
25
b)
2 2 2
1 ;2
5 8 7 5 18 171 5 5
5 ( 18) 17 638
1 6382
A AB AC
i j kAB AC i j k
AB AC
A
= ×
× = − − − = − +− − −
× = − + − + =
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur BA
B΄
C
;
c) 1 6382 2
1C BB′= × =uuur uuur
A A de unde 63851
BB′ =
5) Să se calculeze volumul tetraedrului de vârfuri
. (0,6,4), (3,5,3), ( 2,11, 5), (1, 1,4)A B C D− − −
R: 3 1 1
1 1( , , ) 2 5 96 6
1 7 0
632
B AC AD− −
= ± = ± − − =−
uuur uuur uuurV A
6) Fie M(ρ,θ,φ) în coordonate sferice. Care este locul geometric al punctelor pentru
care a) ρ=2. b) θ= 23π , c) φ=
3π
R: a) sferă de rază 2; b) cerc meridian pe o sferă; c) cerc paralel pe o sferă.
LECŢIA 3 GEOMETRIE ANALITICĂ
3.1. Dreapta şi planul în spaţiu Definiţie: Se numeşte vector director al unei direcţii (o dreaptă) orice vector coliniar
cu direcţia dată. Se numesc parametri directori ai unei drepte date, proiecţiile ortogonale ale vectorului său director pe cele trei axe de coordonate rectangulare.
( )a l, m, n ; l,m,n mărimile proiecţiilor Definiţie Se numeşte versor director al unei direcţii, vectorul unitate (versorul) coliniar cu
direcţia dată.
aae =
Versorul director e formează cu axele de coordonate unghiurile γβα ,, numite unghiuri directoare ale dreptei.
( ) ( ) ( )e e, i i e, j j e,k k cos i cos j cos k= + + = α + β + γ
Întrucât 1coscoscos1e 222 =γ+β+α⇒= Coordonatele lui e se numesc cosinusuri directoare ale dreptei. Parametrii directori ai unei direcţii din plan sau spaţiu sunt direct proporţionali cu
cosinuşii directori ai direcţiei. Fie ( )a l,m,n cu versorul ( )γβα cos,cos,cose , atunci a e= λ , ceea ce înseamnă
l = γλ=βλ=αλ cosn,cosm,cos . l m n
cos cos cos= = = λ
α β γ 2 2 2 2 2
2 2 2
l m n l mcos cos cos 1
+ += = =
α β γ
2n
de unde
2 2 2
2 2 2 2 2
lcos ,l m n
m ncos , cosl m n l m n
α =± + +
β = γ =± + + ± + + 2
y
x
a
a
O
z
26
Observaţie: În plan
2 2
l cos l cos j
2cos cos 1
= α + βπ
β = −α
α + β =
l
α
β
O dreaptă în spaţiu poate fi determinată de: (i) un punct şi un vector nenul (ii) două puncte (iii) intersecţia a două plane 3.1.1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul Fie punctul fixat cu vectorul de poziţie ( 0000 z,y,xM ) kzjyxr 0000 ++γ= . Fie ( )a l,m,n un vector nenul din V3 şi D o dreaptă care trece prin M0 şi are
direcţia lui a .
( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
M M OM OM ; M x, y,z
r OM x i yj zk
r OM x i y j z k
M M x x i y y j z z k
= −
= = + +
= = + +
= − + − + −
uuuuuuur uuuuur uuuuur
uuuur
uuuuur
uuuuuur0
0r
z
x y
M M0
(D)
ar
Punctul M(x, y, z) aparţine dreptei (D) aşiMM0⇔ sunt coliniari, adică: (1) ( ) 0arr 0 =×− ecuaţia vectorială a dreptei definită de un punct şi o direcţie.
Vectorul ( )a l care dă direcţia dreptei D se numeşte vector director iar coordonatele sale l, m, n se numesc parametrii directori ai dreptei. Evident, orice vector
,m,n 0≠
0k,ak ≠ joacă acelaşi rol cu a . Coliniaritatea vectorilor 0r r− şi a se pune în evidenţă şi prin relaţia
atrr 0 =− sau (2) Rt,atrr ecuaţia vectorială parametrică. 0 ∈+=Această ecuaţie vectorială este echivalentă cu 3 ecuaţii în R3
(3) ecuaţiile parametrice ale dreptei (D) care se pot înlocui
cu două ecuaţii carteziene în R3:
0
0
0
x x tly y tmz z tn, t R
= +⎧⎪ = +⎨⎪ = + ∈⎩
27
(4) 0 0x x y y z zl m n− − −
= = 0 cu convenţia că dacă un numitor este nul atunci
numărătorul respectiv trebuie egalat cu 0. Observaţie: ( ) ( )a l, m, n 0 0, 0, 0≠ , deci cel mult 2 dintre numerele l, m, n se
pot anula. 1) dacă l = 0, mn ≠ 0 atunci ecuaţiile carteziene sunt echivalente cu :
x = x0 , nzz
myy 00 −
=−
şi reprezintă o dreaptă paralelă cu planul yOz.
2) l = m = 0 n ≠ 0 ecuaţiile carteziene se reduc la x = x0, y = y0, o dreaptă paralelă cu Oz.
Observaţie: În planul xOy ecuaţia dreptei care tece prin (x0, y0) şi de vector director
( )
( )
0 0
0 0
x x y ya l, m estel m
my y x xl
− −=
− = −
mtg kl
α = = coeficientul unghiular al dreptei sau panta.
y – y = k(x - x0) ecuaţie carteziană a dreptei din plan care trece prin M0(x0, y0) şi are coeficientul unghiular (panta) α= tgk .
3.1.2. Dreapta determinată de 2 puncte Două puncte distincte M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) determină o dreaptă D şi numai
una. Considerăm dreapta D determinată de punctul M1 şi de vectorul director a reprezentat
de 21MM
M M sunt coliniari 1 1, M M→ →
2
( ) ( )1 1 2 1 25 M M t M M ; r r t r r→ →
= − = − Proiectând pe axele de coordonate, obţinem:
( )( )( )( )
1 2 1
1 2
1 2 1
6 1
x x t x x
y y t y y
z z t z z
− = −⎧⎪
− = −⎨⎪ − = −⎩
sau ( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
∈−+=−+=−+=
Rt,zztzzyytyyxxtxx
121
121
121
ecuaţiile parametrice ale
dreptei din spaţiu determinate de 2 puncte.
D
1r
M2 M M1
2r a
28
Eliminând t obţinem ( ) 1 1
2 1 2 1 2 1
7 1x x y y z zx x y y z z− − −
= =− − −
ecuaţiile canonice.
Observaţie: În planul xOy ecuaţia dreptei care trece prin M1(x1,y1), M2(x2,y2) este
( )
12
12
112
121
12
1
12
1
xxyytgk
xxxxyy
yy
yyyy
xxxx
−−
=α=
−−−
=−
−−
=−−
3.1.3.Unghiul dintre două drepte orientate Fie D1 şi D2 două drepte orientate prin vectorii directori b,a . Prin unghiul dintre
dreptele orientate D1 şi D2 înţelegem unghiul dintre a şi b definit prin
( )ba
b,acos =ϕ sau [ ]π∈ϕ×
=ϕ ,0ba
basin
( )1 2 1 2 1 2 1 2D D a, b 0 l l m m n n⊥ ⇔ = ⇔ + + = 0 unde
( )1 1 1a l ,m ,n şi ( )2 2 2b l ,m ,n
D1 D2 1 1
2 2
l m na b 0l m n
⇔ × = ⇔ = = 1
2
Observaţie:
În plan 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2
l l m mcosl m l m
+θ =
+ +
β=α=α−β=θ tg'm,tgm,
( )'mm1
m'mtgtg1
tgtgtgtg+−
=βα+α−β
=α−β=θ
α β
θ
Condiţia ca cele 2 drepte din plan să fie perpendiculare este m1'm,1'mm −=−= .
3.1.4. Planul în spaţiu Planul determinat de un punct şi un vector normal nenul
29
Fie M(x,y,z) un punct curent din planul care trece prin M0 şi are vectorul normal N .
→
⊥⇒∏⊥ MMNN 0
(1) ( ) 0rr,N,0MM,N 00 =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ →
ecuaţia vectorială a planului care trece prin M0
şi este perpendicular pe N . Fie ( C,B,AN ) , A, B, C parametrii directori ai normalei la plan.
( ) ( ) ( )kzzjyyixxMM 0000 −+−+−=→
. Condiţia de ortogonalitate devine:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 0A x x B y y C z z− + − + − = ecuaţia carteziană a planului
( ) 0 03 0;Ax By Cz D D Ax Ay Cz⇒ + + + = = − − − 0 Orice ecuaţie de forma 0DCzByAx =+++ reprezintă un plan dacă prin ipoteză
A, B, C nu se anulează simultan. Într-adevăr dacă (x0,y0,z0) este o soluţie a ecuaţiei anterioară, atunci 00000 CzByAxByAx 0 D0DCz −−−=⇒=+++ .
Înlocuind obţinem ( ) ( ) ( ) ( )0 0 04 0A x x B y y C z z− + − + − = care reprezintă ecuaţia unui plan ce conţine punctul M0(x0,y0,z0) şi este perpendicular pe vectorul nenul (A,B,C).
0DCzByAx =+++ cu reprezintă ecuaţia carteziană generală a unui plan.
0CBA 222 ≠++
Condiţia necesară şi suficientă ca două ecuaţii de gradul I în x, y, z 0DzCyBxA,0DzCyBxA 2222111 =+++=+++ să reprezinte acelaşi plan este
kDD
CC
BB
2
1
2
1
2
1 ===AA
2
1 = .
3.1.5. Plane particulare 1) planul xOy are ecuaţia z = 0 şi vectorul normal ( )1,0,0k . Un plan paralel cu
planul xOy are ecuaţia z = c. x = 0 reprezintă ecuaţia planului yOz al cărui vector normal este ( 0,0,1i ). Un plan
paralel cu planul yOz are ecuaţia x = a. y = 0 este ecuaţia planului xOz; normala acestuia are direcţia ( 0,1,0j )
z
. Un plan paralel cu planul xOz are ecuaţia y = b.
2) ecuaţiile planelor perpendiculare pe planele de coordonate xOy, yOz, zOx sunt, respectiv:
( )C, B,AN
M(x,y,z)
M0(x0,y0,z0)
O
x
y
30
0DCzAx0DCzBy0DByAx
=++=++=++
3) ecuaţiile planelor care trec prin axele de coordonate Ox, Oy, Oz sunt respectiv
0ByAx0CzAx0CzBy
=+=+=+
4) ecuaţia planului care trece prin origine este 0CzByAx =++ . 3.1.6. Planul determinat de trei puncte necoliniare ( ) 3,1i,z,y,xM iiii = Folosim ecuaţia generală a planului şi ecuaţiile obţinute prin înlocuirea
coordonatelor punctelor Mi în această ecuaţie:
⎩⎨⎧
==+++=+++
3,2,1i,0DCzByAx0DCzByAx
iii
S-a obţinut un sistem liniar omogen în necunoscutele A, B, C, D cu soluţii nebanale deoarece A, B, C nu se pot anula simultan. Condiţia care asigură acest lucru
( ) 1 1 1
2 2 2
3 3 3
11
5 011
x y zx y zx y zx y z
= ecuaţie carteziană a planului (ecuaţie de gradul I în x, y, z
şi orice punct P(xi,yi,zi) o satisface) Ca un caz particular putem găsi ecuaţia planului prin tăieturi:
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,c)
( )
10 0 1
0 0, 6 0 0 10 0 1
x y za x y zbcx acy abz abc
b a b cc
= ⇔ + + − = + + − =1 0
Ecuaţia carteziană a planului ne ajută să stabilim condiţia de coplanaritate a patru puncte din spaţiu. Punctele ( ) 4,1i,z,y,xM iiii = sunt coplanare, rezultă:
31
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
11
7 011
x y zx y zx y zx y z
=
Problema stabilirii ecuaţiei planului prin 3 puncte poate fi tratată şi astfel: Fie M un punct care poate genera planul al cărui vector de poziţie este
kzjyixrOM ++==→
Obţinem ecuaţia vectorială a planului P impunând condiţia de coplanaritate a
vectorilor , adică . →→→
31211 MM,MM,MM 0MMMM,MM 31211 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
→→→
M3
M M1
M2 Dacă ( ) kzjyixr,rM iiiiii ++= , relaţia este echivalentă cu ecuaţia vectorială
( ) ( ) ( )( )1 2 1 3 18 , 0r r r r r r− − × − = sau
( )1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 2 3 2 3 2
9 0x x y y z zx x y y z zx x y y z z
− − −− − −− − −
= ecuaţie echivalentă cu 0
1zyx1zyx1zyx1zyx
333
222
111 =
3.1.7. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari Fie ( ) ( )1 1 1 2 2 2u l ,m ,n , v l ,m ,n doi vectori necoliniari, adică 0vu ≠× şi un
punct cunoscut M0. Cele 3 elemente v,u,M0 determină un plan unic Π.
M0
v
M1
M2
M
u
v u
Construim reprezentanţii vectorilor v,u ca fiind M . Un punct M
aparţine planului dacă şi numai dacă vectorii sunt coplanari.
→→
2010 MM,M→
20MM→→
100 ,MM,MM
Aceasta înseamnă 0M M ru sv= +uuuuuur
. Scrisă în coordonate această ecuaţia vectorială este echivalent cu:
32
( )0 1 2
0 1
0 1 2
11 2
x x rl sly y rm smz z rn sn
= + +⎧⎪ = + +⎨⎪ = + +⎩
ecuaţiile parametrice ale planului Π, r şi s parametri reali.
Condiţia de coplanaritate a vectorilor se mai poate scrie 0vu,MM0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
→
de unde
rezultă ecuaţia carteziană:
( )0 0 0
1 1 1
2 2 2
12 0x x y y z z
l m nl m n
− − −=
3.1.8. Ecuaţiile planului care trece prin două puncte şi este paralel cu o direcţie
dată
M(x,y,z) M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
( )n,m,lv
v
Vectorii v,MM,MM 211
→→
sunt coplanari ceea ce înseamnă: 0vMM,MM 211 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
→→
.
( )1 1 1
2 1 2 1 2 113 0x x y y z zx x y y z z
l m n
− − −− − − = ecuaţia carteziană a planului ce trece prin
M1,M2 paralel cu direcţia v .
3.1.9. Ecuaţia normală a planului. Distanţa de la un punct la un plan M0(x0,y ,z0)0z
n d x
yp
P M(x,y,z)
O
33
Notăm: – p distanţa de la origine la plan; – n versorul normal la plan; – M(x,y,z) punctul curent în plan. ( ) 1coscoscoscucos,cos,cosn 222 =γ+β+αγβα ( )γβα cosp,cosp,cospOP
0n,PMPMn =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⊥
→→
,
iar ( ) ( ) ( )kcospzjcospyicospxOPOMPM γ−+β−+α−=−=→→→
de unde: ( ) ( ) ( ) 0coscospzcoscospycoscospx =γγ−+ββ−+αα−
( )14 cos cos cos 0x y z pα β γ⇒ + + − = ecuaţia normală carteziană a planului. Fie M0(x0,y0,z0). Să determine distanţa ( )Π,Md 0 . Prin M0 ducem un plan paralel cu planul Π: Π’
( ) 0dpcoszcosycosx:' =+−γ+β+αΠ Impunând condiţia de ⇒Π∈ 'M0 ( ) 0dpcoszcosycosx 000 =+−γ+β+α
( ) ( )0 0 0 015 , cos cos cosd M x y z pα β γ⇒ Π = + + −
=
. 3.1.10. Normalizarea ecuaţiei generale a unui plan. Distanţa de la un punct la
un plan dat prin ecuaţia generală 0
cos cos cos 0Ax By Cz Dx y z pα β γ
+ + + =⎧⎨ + + −⎩
Pentru ca cele două ecuaţii să reprezinte acelaşi plan, ele trebuie să aibă coeficienţi proporţionali.
Dp
Ccos
Bcos
Acos
−=γ
=β
=α
2222
2
2
2
2
2
CBA1
Ccos
Bcos
Acos
++=
γ=
β=
α
222222 CBA
Bcos;CBA
Acos++±
=β++±
=α⇒
222222 CBA
1Dp;
CBA
Ccos++±
=−
++±=γ
Înlocuind în ecuaţia normală carteziană a planului obţinem
( )2 2 2
16 0Ax By Cz DA B C+ + +
=± + +
ecuaţia generală a planului normalizată.
( ) ( ) 0 0 00 2 2 2
17 ,Ax By Cz D
d MA B C
+ + +Π =
+ +.
34
3.1.11. Ecuaţia generală a dreptei în spaţiu Dreapta dată ca intersecţie a două plane
2N
1N a Π1 Π2
(20) 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: A x B y C z D 0: A x B y C z D 0
Π + + + =⎧⎨Π + + +⎩ =
( ) ( )( ) ( )
11 2
2
a l,m,n N A,B,Ca N N
a l,m, n N A,B,C
⎫⊥ ⎪ ⇒ = ×⎬⊥ ⎪⎭
( ) 1 1 1 1 1 11 1 1
2 2 2 2 2 22 2 2
i j kB C C A A B
a l,m,n A B C i j kB C C A A B
A B C= = + +
Deci vectorul director al unei drepte din spaţiu date prin ecuaţia (1) are componentele:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
B C C A A Bl , m , n
B C C A A B= = =
3.1.12. Unghiul dintre două plane în spaţiu Prin definiţie este unghiul dintre normalele la cele două plane din spaţiu.
( )( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
N A , B ,C
N A , B ,C
Π
Π
( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2analitic
1 2 1 1 1 2 2 2
N , N A A B B C CcosN N A B C A B C
+ +α = =
+ + + +
1 2 1 2 1 2 1 2N N A A B B C C⊥ ⇔ + + = 0
35
36
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin M0(1, –5, 3) şi formează cu axele de coordonate unghiurile . ooo 120,45,60 =γ=β=α
R: Se cunoaşte deci vectorul director al dreptei e (cos ), ecuaţia dreptei este:
ooo 120cos,45cos,60
213z
225y
21
1x
−
−=
+=
−
2) Să se determine cosinusurile directoare ale dreptei:12
2z35y
41x +
=−−
=−
R: l2 + m2 + n2 =16 + 9 +144 =169 1312cos,
133cos,
134cos ±=γ
−±=β±=α
3) Să se studieze coliniaritatea punctelor M1(3, 0, 1), M2(0, 2, 4), M3(1, 34 , 3),
R: Scriem ecuaţia dreptei prin M1 şi M2 şi verificăm dacă M3 se află pe această dreaptă.
.drepteiM3
13234
331
31z
2y
33x
3 ∈−
==−−
−==
−−
4) Să se calculeze unghiul dreptelor: 2
5z6
2y3
1x −=
+=
− , 6
1z9
3y2x +
=−
= ,
( ) ( )6,9,2b2,6,3a ; 11b,7a ==
R: 72 72, arccos77 77
cosθ θ= =
5) Să se scrie ecuaţia planului determinat de punctele M1(3,1,0); M2(0,7,2);
M3(4,1,5).
R: 0107z6y17x300
1514127010131zyx
=−−+=
6) Să se verifice dacă următoarele patru puncte se află în acelaşi plan M1(1,–1,1);
M2(0,2,4); M3(1,3,3); M4(4,0,–3).
R: Se verifică 0
1304133114201111
=
−
−
LECŢIA 4 PROBLEME ASUPRA DREPTEI ŞI PLANULUI ÎN SPAŢIU
4.1. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan Fie de vector normal :Ax By Cz D 0Π + + + = ( )N A, B,C ,
0 0x x y y z zDl m n− − −
= = 0 de vector director ( )a l, m, n
Unghiul dintre un plan şi o dreaptă este unghiul dintre dreaptă şi proiecţia dreptei pe plan.
( )2 2 2 2 2
N, a lA mB nCcos sin2 N a l m n A B Cπ +⎛ ⎞−α = α = =⎜ ⎟
⎝ ⎠ + + + + 2
+
( )D N, a 0Π ⇔ = Ecuaţiile planelor paralele cu axele de coordonate
( )Ax By D 0 cu axa Oz N A, B,0 , a k, N k D Oz+ + = = ⊥ ⇒
analog Ax Cz D 0 cu axa OyBy Cz D 0 cu axa Ox
+ + =+ + =
4.2. Distanţa de la un punct la o dreaptă în spaţiu
Fie dreapta D de vector director a(l,m,n) care trece prin M1, iar M0 un punct oarecare în plan.
α Notăm cu d distanţa de la M0 la D. M1
( )N A, B,C ( )a l, m, n
(D’)
(D)
α
2π−α
( )a l, m, n D
( )N A, B,C
Π
M0(x0,y0,z0)
(D)
d
( )a l, m, n
37
( )
1 0
0 1 0
1 0 1 0
dsinM M
d d M ,D M M sin
M M a M M a sin
→
→
→ →
α =
= =
× =
α
α
( )1 0
0 1 0 0 1 0 1 0
i j kM M ad M ,D M M a x x y y z z
al m n
→
→×
= × = − − 1−
2 20 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
2 2 2
y y z z z z x x x x y ym n n l l m
dl m n
− − − − − −+ +
=+ +
2
4.3. Ecuaţiile perpendicularei duse dintr-un punct pe o dreaptă din spaţiu
M0
M1
Fie 0 0x x y y z zD :l m n− − −
= = 0 şi M1(x1,y1,z1).
a(l,m,n)
Perpendiculara dusă din M1(x1,y1,z1) pe dreapta D se află la intersecţia planelor: a) planul care conţine M1 şi dreapta D; b) planul dus prin M1 şi perpendiculara pe D.
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 0 1 0 1 0
1 1 1
x x y y z zx x y y z z 0
l m n
l x x m y y n z z 0
⎧ − − −⎪ − − − =⎪⎨⎪⎪ − + − + − =⎩
4.4. Perpendiculara comună a două drepte în spaţiu Se numeşte perpendiculara comună a două drepte oarecare care admit vectori
directori 1a şi 2a o dreaptă care se sprijină simultan pe cele două drepte şi este perpendiculară pe acestea două, deci are direcţia 1 2a a× .
38
Π
Perpendiculara comună apare ca intersecţia a două plane: planul Π1 care conţine pe D1 şi n şi planul Π2 care conţine pe D2 şi n . Presupunem că D1, D2 trec prin M1, respectiv M2, N punctul curent în P1, M punctul curent în Π2. Perpendiculara comună se scrie:
1 1
2 2
M N, a n 0
M M, a n 0
→
→
⎧⎛ ⎞× =⎜ ⎟⎪⎪⎝ ⎠⎨⎛ ⎞⎪ × =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
4.5. Distanţa dintre două drepte Fie două drepte D1 şi D2 descrise respectiv de punctele M şi N. Numărul
se numeşte distanţa dintre dreptele D1 şi D2: (inf d M, N)a) dacă D1 şi D2 sunt concurente, d = 0; b) dacă 1 2D D prin 0 1M D∈ se duce un plan perpendicular pe D1 care taie pe
D2 în N0, atunci 0 0d d M , N . ( )=c) Distanţa dintre două drepte oarecare în spaţiu Prin distanţa între două drepte oarecare în spaţiu înţelegem lungimea
perpendicularei comune, cuprinsă între cele două drepte.
Prin dreapta D1 ducem un plan Π paralel cu dreapta D2; ( ) (1 2 2d D ,D d M ,P= ) unde
M2 este un punct cunoscut al dreptei D2. Această distanţă este lungimea înălţimii paralelipipedului construit pe vectorii
1 2 1 2M M , a , a→
. ( )1 2 1 2
1 21 2
M M , a ad D , D
a a
→⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠=
×
1 2n a a= ×
A
BM1
M2
N
D1
D2
M
1a Π
2a
D1
D2 B
A M1
M2
2a
2a
1a
39
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze distanţa de la punctul ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
21,0,2M0 la planul Π de ecuaţie
. 017z2y4x4 =++−
( )0
14 2 4 0 2 172 24d M , 4
616 16 4
⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠Π = = =
+ +
2) Să se scrie ecuaţiile dreptei care trece prin M0(–1, 2, 1) şi este paralelă cu dreapta
x y 2z 1 0x 2y z 1 0+ − − =⎧
⎨ + − + =⎩
( ) ( )1 2 1 2
i j kN 1,1, 2 , N 1, 2, 1 a N N 1 1 2 3i j k
1 2 1− − ⇒ = × = − = −
−+
De aici rezultă că ecuaţia dreptei este: x 1 y 2 z 13 1 1+ − −
= =−
.
3) Să se calculeze unghiul dintre dreapta ( )x y 3z 0
Dx y z 0+ + =⎧
⎨ − − =⎩ şi planul
( ) x y z 1 0Π − − + = .
Vectorul director al dreptei (D) este i j k
a 1 1 3 2 i 4 j 2k1 1 1
= = + −− −
. Determinăm
unghiul dintre (D) şi ( )N 1, 1, 1− − .
( ) ( )a, N 2 1 4 1 2cos a, N 0 a Na N 4 16 4 1 1 1
⋅ − ⋅ += = = ⇒ ⊥
+ + + +
Rezultă că dreapta (D) este perpendiculară pe planul Π. Rămâne de studiat dacă dreapta aparţine sau nu planului. Este suficient să vedem dacă un punct al dreptei D aparţine planului Π.
( )O 0,0,0 D∈ nu verifică ecuaţia planului, deci dreapta (D) nu este conţinută în planul Π.
4) Să se calculeze distanţa de la punctul M0(3,–1,2) la dreapta ( )2x y z 0
Dx y z 1 0
− + =⎧⎨ + − + =⎩
Punem în evidenţă un punct al dreptei (D) şi calculăm direcţia acesteia
40
1
i j k1 2 1 2z 0, x , y , M , ,0 , a 2 1 1 3 j 3k3 3 3 3
1 1 1
⎛ ⎞= = − = − − − = − = +⎜ ⎟⎝ ⎠ −
1 0
1 0
M M a10 1d , M M i
a 3
→
→×
= = j 2k3
− +
1 0
i j k10 1M M a 2 7 i 10 j 10k3 30 3 3
→
× = − = − − +
249 498a 3 2, d63 2
= = = .
5) Să se scrie ecuaţia perpendicularei coborâte din punctul M1 pe dreapta (D),
M1(2,3,1), x 1 y z 2D :2 1 3+
= =−
− , M0(–1,0,2).
( ) ( ) ( )
x 2 y 3 z 13 3 1 0
2 1 3
2 x 2 y 3 3 z 1 0
⎧ − − −⎪ − − =⎪⎨ −⎪⎪ − − − − − =⎩
8x 11y 9z 26 0
2x y 3z 4 0− + + − =⎧⎨ − + − =⎩
.
6) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
y 1 z 1D x , a 1,2,22 2
x 8 z 4D y 3 , a 44 2
− += =
− −= − = ,1, 2
1 2
i j ka a 1 2 2 2 i 2 j 7k
4 1 2× = = + −
1
2
x y 1 z 1P 1 2 2 0
2 6 7
x 8 y 3 z 4P 4 1 2
2 6 7
− +=
−
− − −=
−0
26x 11y 2z 9 019x 32y 22z 32 0
− − + =⎧⎨ − − + =⎩
7) Să se calculeze distanţa dintre dreptele:
41
42
1
2
x 7 y 1 z 3D :3 4 2
x 2 y 1 zD : t3 4 2
− − −= =
− += = =
( )a 3,4, 2
M0(7,1,3)
( ) ( ) ( ): 3 x 7 4 y 1 2 z 3 0Π − + − + − = N0
Π 0
3x 4y 2z 31 0N :
x 2 3t, y 1 4t, z 2t29t 29 t 1; x 5; y 3; z 2
+ + − =⎧⎨ = + = − + =⎩= ⇒ = = = =
( ) ( ) ( )2 2 20 0d M N 7 5 1 3 3 2 3= = − + − + − =
5
8) Să se calculeze lungimea perpendicularei comune a dreptelor
( ) ( )1 2
x 2t 4 x 4t 5D : y t 4 D : y 3t 5
z 2t 1 z 5t
= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪= − + = − +⎨ ⎨⎪ ⎪= − − = − +⎩ ⎩
1 2x 4 y 4 z 1 x 5 y 5 z 5D : D :
2 1 2 4 3+ − + + − −
= = = =− − − −5
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2M 4, 4 1 , a 2, 1, 2 ; M 5,5,5 , a 4, 3, 5− − − − − − −
1 2 1 2
1 2
M M , a , a9d 3
a a 3
→⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =
×=
1 2 1 2 1 2
1 1 6M M i j 6k; M M , v , v 2 1 2 9
4 3 5
→ →−
⎛ ⎞= − + + = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
− −
1 2 1 2
i j ka a 2 1 2 i 2 j 2k, a a 3
4 3 5× = − − = − + − × =
− −
LECŢIA 5 CUADRICE
5.1. Sfera în spaţiu Definiţie: Se numeşte sferă mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct
fix C numit centrul sferei. c a M ( )r
M ∈ sferei CM R r a R⇔ = ⇔ − = ⇔ ( )uuuur 2 21 r a R− =
Dacă 1 2 3a a i a j a k, r xi y j zk= + + = + +
Relaţia (1) devine: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 32 x a y a z a R− + − + − = sau
( ) 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 33 x y z 2a x 2a y 2a z a a a R 0+ + − − − + + + − =
Dacă notăm ( )2 2 2 21 2 3 1 2 3L 2a , M 2a , N 2a , P a a a R 3= − = − = − = + + − devin:
( ) 2 2 24 x y z Lx My Nz P 0+ + + + + + = care se numeşte
ecuaţie generală a sferei. Ecuaţia (4) prin grupări convenabile se poate pune sub forma:
( )2 2 2 2 2 2L M N L M N5 x y z P
2 2 2 4⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0⎟ care reprezintă
o sferă cu centrul L M NC , şi raza ,2 2 2
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 2L M NR P4
+ += −
Deosebim cazurile:
a) 2 2 2L M N P
4+ +
− > 0 ⇒ (4) reprezintă o sferă reală
b) 2 2 2L M N P
4+ +
− < 0 ⇒ (4) reprezintă o sferă imaginară sau φ în real.
c) 2 2 2L M N P 0
4+ +
− = ⇒ (4) reprezintă un punct dublu.
Ecuaţia generală (4) are patru coeficienţi reali care pot fi unic determinaţi dacă se cunosc patru condiţii independente. De exemplu fie Ai(xi, yi, zi), e 1,4= patru puncte necoplanare. Ecuaţia sferei care trece prin cele patru puncte, sub formă de determinant este:
43
( )
2 2 2
2 2 21 1 1 1 1 1
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 23 3 3 3 3 3
2 2 24 4 4 4 4 4
x y z x y z 1x y z x y z 1
5 x y z x y z 1 0x y z x y z 1x y z x y z 1
+ +
+ +
+ + =
+ +
+ +
Ecuaţiile parametrice ale sferei:
Mϕ
θ
1
2
3
x a R cos siny a R sin sinz a R cos
= + θ ϕ⎧⎪ = + θ ϕ⎨⎪ = + ϕ⎩
cazul a1 = a2 = a3 =0: Cuadrice pe ecuaţiile lor canonice(reduse) 5.2. Elipsoidul Se numeşte elipsoid mulţimea punctelor din spaţiu ale căror coordonate faţă de
reperul kjiR ,,,0= verifică ecuaţia:
( )2 2 2
2 2 2
x y zE 1 1 0a b c
+ + − = a > 0, b > 0, c > 0
Planele de coordonate sunt plane de simetrie ale E pentru că ecuaţia (1) este verificată şi de punctele P1(-x, y, z), P2(x, -y, z), P3(x, y, -z) .
Axele de coordonate sunt axe de simetrie pentru că ecuaţia (1) este verificată şi de punctele P4(-x, -y, -z), P5(-x, y, -z), P6(x, -y, -z).
Originea reperului este centru de simetrie pentru că P7(-x, -y, -z) verifică ecuaţia (1). Vârfurile E se obţin la intersecţia ecuaţiei (1) cu axele de coordonate.
( ) (
( ) (( ) (
2 2 2
2 2 21 2
1 2
1 2
x y z 1 0Ox A a,0,0 A a,0,0a b cy 0 z 0
Oy x 0 z 0 B 0,b,0 B 0, b,0
Oz x 0 y 0 C 0,0,c C 0,0, c
⎧+ + − =⎪∩ ⇒⎨
⎪ = =⎩∩ = = ⇒ −
∩ = = ⇒ −
)
))
−
Avem [ ] [ ] [ ]⇒−∈−∈−∈ cczbbyaax ,,,,, E este o suprafaţă mărginită, punctele lui găsindu-se în interiorul paralelipipedului limitat de planele x = ± a, y = ± b, z = ± c.
∩ cu planele de simetrie
2 2
2 2
2 2
2 2
x yxOy z 0 1 0 elipsa in xOya bx zxOz y 0 1 0 elipsa in xOza c
∩ = + − =
∩ = + − =
44
2 2
2 2
y zyOz x 0 1 0 elipsa in yOzb c
∩ = + − = .
Intersecţiile elipsoidului cu plane paralele cu planele de coordonate sunt elipse:
[ ]
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2
x y z x y k x y1 0 1a b c a b c k ka 1 b 1
c cz k z k k c,c
⎧+ + − = + = − +⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ = = ∈ −⎩
B1 Segmentele se numesc axele suprafeţei. 1 2 1 2 1 22 , 2 , 2A A a B B b C C c= = =
E are reprezentarea parametrică
[ ) [ ]
x a sin cosy bsin sinz ccos , 0,2 , 0,
⎧ = ϕ θ⎪
= ϕ θ⎨⎪ = ϕ θ∈ π ϕ∈ π⎩
5.3. Hiperboloidul cu o pânză
( )2 2 2
2 2 2
x y z2 1a b c
+ − − = 0
Axele de coordonate, planele de coordonate, originea reperului sunt axe de simetrie, plane de simetrie şi centru de simetrie.
∩ Ox: A1(a, 0, 0) A2(-a, 0, 0) ∩ Oy: B1(o, b, 0) B2(0, -b, 0) ∩ Oz: nu se obţin soluţii reale
∩ cu planele paralele cu planul xOy
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y z x y k0 1a b c a b cz k
⎧ 2
2+ − = + = +⎪⎨⎪ =⎩
( )2 2
2 22 2
2 2
x y3 1 0 ark ka 1 b 1c c
+ − = ∀ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
fi xOy ⇒ elipsă reală, suprafaţă
nemărginită.
x
z
1A
1C
2C
y
2A
2B
45
Pentru k = 0
2 2
2 2
x y 1 0xOy a bz 0
⎧+ − =⎪∩ ⎨
⎪ =⎩
elipsă colier
Vârfurile elipsei (3) sunt: 2 2
2 22
2 21 1 2
k kx a 1 x a 1c c
zV y 0 V y 0 x a 1c
z k z k
⎧ ⎧= + = − +⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎪′= = = =⎨ ⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪= =⎪ ⎪
+
⎪ ⎪⎩ ⎩
1V ′eliminând pe k rezultă că vârfurile V1 şi devin o hiperbolă în xOz
( )2 2
2 2
x z 1 04 a cy 0
⎧− − =⎪
⎨⎪ =⎩
2 2
2 22 2
x 0 x 0
k kV y b 1 V y b 1c c
z k z k
= =⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪′= + = − +⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎩ ⎩
eliminând k rezultă că vârfurile V2 şi 2V ′ devin o parabolă în yOz
( )2 2
2 2
y z5 1 0b c
− − =
z
Hiperboloidul cu o pânză se obţine prin deplasarea unei elipse paralel cu planul xOy ale cărei vârfuri descriu hiperbolele (5) şi (7).
2V′ 1V′
2V
1V
1A
2A
0 1B 2B
x
y elipsa colier
46
5.4. Hiperboloid cu două pânze
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2
x y zH 1a b c
+ − + = 0 6 are aceleaşi simetrii ca şi H1
H2 ∩ Ox vârfuri imaginare
y 0z 0==
H2 ∩ Oy vârfuri imaginare x 0z 0==
H2 ∩ Oz C1(0, 0, c) C2(o, o, -c) două vârfuri pe axa z zx 0y 0==
′
( )( ) ( )
2 2 22 2
2 2 22 2 2
2 2 2 22 2
x y z 1 0 x yH Oxy 1a b c a bk c k cz kc c
⎧+ − + =⎪∩ π + − =⎨
⎪ − −=⎩
0
elipse reale pentru k > c şi elipse imaginare pentru ( )c,ck −∈
Vârfuri
2 2 2 2
1 1
a ax k c x kc c
V y 0 V y 0z k z k
⎧ ⎧= − = − −⎪ ⎪⎪ ⎪′= =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎩ ⎩
c
.Prin eliminarea lui k rezultă
V1, devin o hiperbolă situată în planul xOz. ( )1V ′2 2
2 2
z x 1 07 c ay 0
⎧− − =⎪
⎨⎪ =⎩
2 2 2 2
2 2
b by k c y kc c
V x 0 V x 0z k z k
⎧ ⎧= − = − −⎪ ⎪⎪ ⎪′= =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎩ ⎩
c
V2, devin o hiperbolă în planul yOz. 2V ′ ( )
2 2
2 2
z y 1 08 c bx 0
⎧− − =⎪
⎨⎪ =⎩
Intersecţia cu planele x = 0 şi y = 0 sunt respectiv hiperbole 2 2 2 2
2 2 2 2
y z x z1 0 1 0b c a cx 0 y 0
⎧ ⎧− + = − + =⎪ ⎪
⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩
47
z
1V′ 2V
y
1V 2V′
0
x 2C
2 2 2
2 2 2
x y z 0a b c
+ − =Cuadrica se numeşte conul asimptotic al hiperboloidului.
5.5. Paraboloizi
Paraboloid eliptic
( )2 2x y2 29 2z
a b+ = a > 0 b > 0
Planurile xOz şi yOz sunt plane de sim trie. înţeapă suprafaţa în origine z ≥ 0 ⇒
suprafa
eOz este axă de simetrie (axă principală) şi ţa are numai puncte deasupra planului xOy. ∩ cu plane paralele cu planul xOy
2 2x y⎧2 2 2k
a bz k
+ =⎪⎨⎪ =⎩
elipse cu vârfurile
1 1
x 0 x 0
V y b 2k V y b 2kz 2k z k
= =⎧ ⎧⎪ ⎪′= =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩
− eliminând k rezultă parabolă în yOz
z( )2 2y 2b
10x 0⎧ =⎨
=⎩
2 2
x a 2k x a 2kV y 0 V y 0
z k z k
⎧ ⎧= =⎪ ⎪′= =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩
−
eliminând k rezultă parabolă în xOz
z( )2 2x 2a
11y 0
⎧ =⎨
=⎩
48
araboloid hiperbolic
x
z
1V1V′
2V
2V
y
′
P
)2 2
( 2 2a bplanele (xOz), (yOz) sunt plane de sim
x y12 2z− = a > 0 b > 0
etrie, Oz axă de simetrie 2 2
2 2
b bx y y x
z 0
⎧ ⎧ −−⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎩⎩
y x0 ⎧ = ==xOy a aa bz 0 z 0
∩ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= ==
două drepte.
2 2
2 2
x yz k 1 0hiperbola 2a k 2b kk 0 z k 0
⎧=⎧ − − =⎪∩ ⇒⎨ ⎨≥⎩ ⎪ = ≥⎩
hiperbolă cu vârfuri reale.
Cu vârfuri 1 1
x a 2k x a 2kV y 0 V y 0
z k z k
⎧ ⎧= =⎪ ⎪′= =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩2a z
y 0==
− eliminând k rezultă o parabolă
în planul xOz 2 2x⎧
⎨⎩
2 21
2 21 1 1
z k x yPH∩⎨ hiperbola 1 0k 0 2a k 2b k=⎧
⇒ − − =≤⎩
cu vârfuri reale
2 1 2
1 1
x 0 x 0
V y b 2k V y b 2kz k 0 z k 0
= =⎧ ⎧⎪ ⎪′= − = − −⎨ ⎨⎪ ⎪= ≤ = ≤⎩ ⎩
ă în planul yOz 2 2y 2b z
x 0⎧ = −⎨
=⎩
1 eliminând k între vârfuri rezultă o
parabol
x
y
z
49
5.6. Cilindri
ilindrul eliptic ( )2 2
2 2
x y13 1 0a b
+ − =C a > 0, b > 0
ilindrul hiper
z
x 0 y
bolic ( )2 2
2 2
x y14 1 0a b
− − = C
y
z
x
x
y
z
50
Cilindrul parabolic ( ) 215 y 2px=
Conul pătratic ( )2 2 2
2 2 2
x y z16 0a b c
+ − = a > 0, b > 0, c > 0
2 2 2x y z
z k elipse=
2 2 2a b c+ =
51
52
EXERCIŢII PROPUSE
) Să se scrie ecuaţiile sferei ce trece prin P (1, 0, 0), P2(0, 1, -2), P3(1, -2, 1), P4(-1, 0 -2).
1 1
2 2 2 11 1 0 0 1
05 0 1 2 16 1 2 1 15 1 0 2 1
x y z x y z+ +
R: =−−
− −
Deci x2 + y2 + z2 -7x +7y +9z + 6 = 0 2) Să se găsească punctele de intersecţie a sferei x2+y2+z2-2x-2y-2z-6=0 cu dreapta
x = y =: x =y =z =1-
z 3 R 1 1 1
2 2 2x y z 1 0
4 9 16+ − − =3) Să se determine curbele de intersecţie ale elipsoidului cu
planele de coordinate. R: Elipse de ecuaţii
2 2
1 0+ − =x z ; y 0=4 16
; 2 2x y 1 0;z
4 90;+ − = =
2 2y z 1 0;x 09 16+ − = =
4) Să se determine curbele de intersecţie ale hiperboloidului
2 2 2x y z 1 0
4 9 16+ − − = ,
cu planele de coordonate.
R: Hiperbole de ecuaţii 2 2y z 1 0;x 0
9 16− − = = ;
2 2x z 1 0; y 04 16− − e = = , elipsa d
ecuaţii 2 2x y 1 0;z 0;
4 9+ − = =
5) S
ă se determine curbele de intersecţie ale:
a) paraboloidului eliptic 2
2 2 04yx z+ − = ;
b) paraboloidului hiperbolic 2y2 2 0
4x z+ − = cu planele de coordonate.
R: a) Parabole de ecuaţii y -8z=0, x=0; x2-2z=0, y=0, iar cu planul xOy intersecţia este originea
z=0, x=0; x2-2z=0, y=0, iar cu planul xOy, două drepte
2
reperului. b) Parabole de ecuaţii y2+8
de ecuaţii 2x+y=0, z=0; 2x-y=0, z=0.
LECŢIA 6 FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE
Definiţie Mulţimea este mulţimea formată din grupe ordonate de câte n numere reale.
Astfel,
nR( ) n
1 2 n iR x x ,x ,...x x R,i 1,n= = ∈ = şi nR R R ... R= × × × . Elementele lui
se numesc vectori sau puncte. În raport cu operaţiile uzuale de adunare a vectorilor şi de înmulţire cu un scalar a unui vector, formează o structură de spaţiu liniar peste R.
nRnR
1R corespunde binivoc cu mulţimea punctelor unei drepte orientate. 2R constă în totalitatea perechilor de ordonate reale (x, y) şi corespunde binivoc cu
mulţimea punctelor unui plan în care s-a ales un reper ortogonal. Vectorul de poziţie al punctului M este: OM x i yj= +
uuuur
Alegând în spaţiu un reper triortogonal Oxyz compus dintr-un punct fix 0 (originea reperului) şi trei axe orientate Ox, Oy, Oz perpendiculare două câte două, putem identifica punctul P cu tripletul proiecţiilor sale pe cele trei axe având o corespondenţă biunivocă între şi punctele spaţiului. 3R
Coordonatele punctului M sunt x, y, z numite abscise, ordonata respectiv cota punctului. Vectorul de poziţie al punctului M este OM r x i yj zk= = + +uuuur
.
Pentru n > 3 nu mai avem reprezentări geometrice ale spaţiului .Studiul
structurii lui se face independent de reprezentarea geometrică.
nR, 3nR n >
Pe mulţimea se defineşte un produs scalar astfel: nR
0 x x
y
M(x,y)
j
0 x i
x
y
z
0
M(x,y,z)
53
( ) ( )1 1 2 2 n n 1 n 1 nx, y x y x y ... x y ,x x ,...x , y y ,...y= + + + = = care induce norma
21 1x x x x ...= = + + 2
nx , respectiv distanţa
( ) ( ) ( )2 21 1 n nd x, y x y x y ... x y= − = − + + −
6.1. Noţiuni de topologie în Rn
Vecinătăţile unui punct din nRSe numeşte interval n-dimensional deschis şi mărginit mulţimea:
( ) 1 2 n i i i iI x , x ,...x a x b ,i 1,n a ,b R= < < = ∈
Exemplu: În plan un interval bidimensional a < x < b, c < y < d, este un dreptunghi. În spaţiul un interval tridimensional a < x < b, c < z < d, e < z < f este un
paralelipiped. 3R
x
y
z 0
Vom numi sferă (deschisă) cu centrul în a de rază r mulţimea ( ) n
rV a x x R , x a r= ∈ − <
formată din toate punctele a căror distanţă la a este mai mică decât r. nx R∈Dacă inegalitatea este x a r− ≤ se numeşte sferă închisă.
În cazul spaţiului o sferă este un interval (a - r, a + r) cu centrul în a. nR = RÎn cazul spaţiului o sferă este un cerc cu centrul în a şi de rază r . 2RÎn cazul spaţiului se obţine o sferă cu centrul în a şi de rază r. 3R
a-r a a+r
54
Propoziţie: Orice sferă cu centrul în a conţine un interval n–dimensional care conţine pe a şi reciproc, orice asemenea interval conţine o sferă cu centrul în a.
Definiţie: Se numeşte vecinătate a unui punct na∈ orice mulţime care conţine o sferă ( )rV a cu centrul în a.
Evident orice sferă cu centrul în a este o vecinătate a lui a. Din propoziţia precedentă deducem că orice interval n-dimensional care conţine pe
a este o vecinătate a lui a. Propoziţie: O mulţime V este vecinătate a unui punct na∈ dacă şi numai dacă
există un interval n-dimensional I astfel încât a I V∈ ⊂ . Definiţie: Fie şi un punct anA ⊆ A∈ . Spunem că a este punct interior al lui A
dacă există o vecinătate V a lui a, conţinută în A. a V A∈ ⊂ Mulţimea punctelor interioare ale lui A se numeşte interiorul lui A şi se notează Int A.
O mulţime este deschisă dacă este formată din puncte interioare, adică dacă
A= Int A. Aşadar o mulţime este deschisă dacă şi numai dacă este vecinătate pentru fiecare punct al său.
Exemple de mulţimi deschise: sferele deschise, intervalele deschise n-dimensionale, mulţimea vidă . n,∅
Mulţimi închise Definiţie: un punct este aderent mulţimii A dacă orice vecinătate V a lui a
conţine cel puţin un punct adică dacă
na∈x A∈
V A∩ ≠ ∅ Dacă atunci a este punct aderent al lui A pentru că oricare ar fi vecinătatea
V a lui a avem a V (eventual putem avea a A∈
A∈ ∩ V A a∩ = ). Pot exista însă puncte aderente mulţimii A fără să aparţină lui A. Mulţimea
punctelor aderente ale lui A se numeşte aderenţa lui A sau închiderea lui A şi se noteazăA . Evident A A⊂ .
O mulţime este închisă dacă este egală cu închiderea sa A A= . Se demonstrează că o mulţime A este închisă dacă şi numai dacă complementara sa
CA este deschisă. Exemple de mulţimi închise: sferele închise, intervalele închise n-dimensionale
, mulţimile finite. nR ,φUn punct este punct frontieră al lui A dacă este aderent atât lui A cât şi lui
CA, adică orice vecinătate V a lui a conţine atât puncte din A cât şi din CA.
na R∈
V A V CA∩ ≠ φ ∩ ≠ φMulţimea punctelor frontieră ale lui A se numeşte frontiera lui A şi se notează Fr A. Avem Fr A = Fr CA Fr A = A - Int A
55
Puncte de acumulare Un punct este punct de acumulare pentru mulţimea A dacă orice vecinătate
V a lui a conţine cel puţin un punct
na R∈x a≠ din A. Un punct de acumulare a lui A poate să
aparţină lui A sau să nu-i aparţină lui A. Rezultă că orice punct de acumulare a lui a este în acelaşi timp punct aderent lui A deci mulţimea punctelor de acumulare ale lui A este inclusă în închiderea A a lui A.
Punctele lui A nu sunt în mod necesar puncte de acumulare ale lui A. Punctele lui A care nu sunt puncte de acumulare se numesc puncte izolate.
Se demonstrează că a este punct de acumulare al lui A dacă şi numai dacă orice vecinătate a lui a conţine o infinitate de puncte din A.
O mulţime A este închisă dacă şi numai dacă îşi conţine toate punctele sale de acumulare.
Definiţie: Se spune că o mulţime este mărginită dacă există o sferă care conţine mulţimea A.
nA R⊂
Definiţie: Mulţimile închise şi mărginite din se numesc mulţimi compacte. nRExemplu: Orice sferă închisă şi orice interval n-dimensional închis şi mărginit sunt mulţimi
compacte. Definiţie: Mulţimea se numeşte conexă dacă nu există două mulţimi
deschise astfel încât:
nA R⊆n
1 2O şi O CR
1 2 1 2 1O O O A , O A şi A O O∩ = φ ∩ ≠ φ ∩ ≠ φ ⊂ ∪ 2 . A este conexă dacă este formată dintr-o singură bucată.
O mulţime X se numeşte conexă prin arce dacă oricare ar fi două puncte din X pot fi unite printr-o linie frântă inclusă în X.
Propoziţie: Fie deschisă nevidă, X este conexă dacă şi numai dacă este conexă prin arce.
nX R⊆
Exemple: Sferele şi intervalele n-dimensionale sunt conexe. În plan o coroană circulară este conexă. O reuniune formată de două discuri închise şi deschise nu este conexă. O
mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu.
Şiruri de puncte în nRDefiniţie: Se numeşte şir de puncte în o aplicaţie a mulţimii . Notăm nR nîn
( )k k k k1 2 nk
x , x x , x ,...x∈
= k
Şirurile k1x ,... xk
n se numesc şiruri coordonate.
Exemplu:
( )kk 1kx sin , , k
2 k
⎛ ⎞−π= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∈ este un şir de puncte din . 2R
Definiţie: şirul k k
kx , x
∈∈ n se numeşte convergent dacă există astfel
încât pentru orice
nx∈
( )0 k∃ ε ∈ε > astfel încât ( ) kk k x x∀ > ε ⇒ − < ε
Observaţie: Din expresia normei kx x− cu
56
( ) ( )k k k1 n 1 nx x ,...x x x ,...x= = ⇒
( )n n2k k k
i i i i k i ii 1 i 1
x x x x x x x x ,i 1,= =
⇒ − < − = − < − =∑ ∑ n
De aici se vede că un şir de puncte din n este convergent dacă şi numai dacă şirurile componente sunt convergente.
k k1 1 n nx x ,...x x ,k→ → →∞
6.2. Funcţii de mai multe variabile Generalităţi : Fie . Dacă fiecărui punct nX ⊂ 1 2 nx (x , x ,..., x )= aparţinând lui
X îi punem în corespondenţă un număr real spunem că am definit o funcţie pe X cu valori reale. Notăm nf :X ⊆ → şi ( ) ( )1 2 nf x f x ,x ,..., x= valoarea lui f
în ( )1 2 nx ,..., xx , f se numeşte funcţie reală de n variabile reale, funcţie reală de variabilă vectorială, câmp scalar sau funcţie scalară pe X.
Definiţie: Mulţimea punctelor din spaţiul n 1+ de forma ( )( )1 2 nx , x ,..., x ,f x se numeşte graficul funcţiei f.
De exemplu graficul unei funcţii f de două variabile definită pe o mulţime 2X ⊂ (plan) este o mulţime din şi anume 3
( ) ( ) ( ) fG x, y,z : x, y X,z f x, y= ∈ = : P(x,y,z)
fG este o suprafaţă în 3
6.3. Funcţiile vectoriale de o variabilă vectorială: Fie mulţimea nX ⊂ şi
funcţiile reale definite pe X. Dacă 1f ,..., fm ( ) ( )1 mf x ,...., f x sunt valorile funcţiilor if în se poate considera că sistemul celor m numere constituie coordonatele unui punct
din . Obţinem o funcţie x X∈
m n mf : X ⊆ → ( )1 2f f ,f , m..., f= 1 1 nf ... i= + + mi ff având componentele f . 1 2f ,..., mf,
Noţiunea de curbă .Fie funcţia 2f : I ⊂ → . Dacă notăm cele două
componente reale ale funcţiei f atunci 1 2f , f
( ) ( ) ( )( )1 2f t f t , f t= . Cum ( )f t este un punct din
notăm 2 ( ) ( )f t x, y= şi avem:
57
( )( )
1
2
x f t
y f t , t I
⎧ =⎪⎨
= ∈⎪⎩. Mulţimea tuturor punctelor f(t) pe care se consideră şi ordine a de
parcurgere aceea în care t parcurge de la stânga la dreapta intervalul I se numeşte curbă plană. Cele două ecuaţii constituie o reprezentare parametrică a curbei de parametru t.
Exemplu:
[ )I 0,2= π ( )( )
x t r cos t
y t r sin t
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩
constituie ecuaţiile parametrice ale cercului cu centrul în origine, de rază r.
Analog funcţia ( ) ( ) ( ) ( )( )31 2 3f : I ,f t f t ,f t ,f t⊂ → = determină o curbă în
spaţiu de ecuaţii parametrice
( )( )( )
1
2
3
x f t
y f t
z f t , t I
⎧ =⎪
=⎨⎪ = ∈⎩
Exemplu: ⎨ elicea cilindrică. x a cos ty a sin tz bt , t 0
=⎧⎪ =⎪ = ≥⎩
Noţiunea de suprafaţă. Fie 2 3f : X ⊆ → 1 2 cu componentele 3, ,ϕ ϕ ϕ . Dacă notăm ( ) ( )f u,v x, y,z= rezultă:
( )(( )
1
2
3
x u,
y u,
z u,
⎧ = ϕ⎪
= ϕ⎨⎪ = ϕ⎩
)v
v
v
care constituie o reprezentare parametrică de parametri u şi v a unei
suprafeţe.
r t
x
y
z
u
v (x,y,z)
x y
z
58
6.4. Limite. Continuitate Definiţie: Fie mulţimea un punct de acumulare pentru mulţimea X şi
funcţia reală . Numărul real
n0X ,⊂ x
nf : X ⊆ → α este limita funcţiei f în dacă şi numai
dacă pentru orice şir 0x
k
kx
∈ de puncte din X convergent către avem 0x
( ) ( )0
k
k x xlim f x ;notăm lim f x→∞ →
= α = α .
Definiţie echivalentă: ( ) ( )0x x
lim f x 0 0→
= α ⇔ ∀ε > ∃δ ε > astfel încât
0x x∀ ≠ din X cu ( ) ( )0x x f x− < δ ε ⇒ −α < ε Observaţie:
( ) ( ) ( ) ( )0 o 00 1 1 2 2 n nx x , x x , x x ,... x x− < δ ε ⇒ − < δ ε − < δ ε − < δ ε
Observaţie: Dacă punem în evidenţă coordonatele punctelor din ( )n
1 2 n, x x ,x ,..., x X= ∈ şi ( )0 0 01 2 nx , x ,..., x atunci condiţia este echivalentă cu
şi în loc de 0x x→
0 01 1 n nx x ,..., x x→ → ( )
0x xlim f x→
= α scriem ( )0
1 1
0n n
x x.x x
lim→
→
= α1 nf x ,...x .
Definiţie: Fie f o funcţie vectorială definită pe mulţimea nX ⊂ cu valori în m iar un punct de acumulare pentru mulţimea X. Vectorul 0x ml∈ este limita funcţiei f în
dacă petru 0x ( ) 00 0a.î. x∀ε > ∃δ ε > ∀ ≠ x din x inegalitatea ( )0x x− < δ ε implică
( )f x l− <m
ε .
Propoziţie: Fie cu componentele reale nf : X ⊂ →n
1 m if ,...f , f : X , i 1,m⊂ → = . Vectorul ( ) m1 ml l ,...l= ∈ este limita lui f în 0x
( )0
i ix xlim f x l ,i 1,m→
⇔ = =
6.5. Derivate parţiale
Vom aminti mai întâi noţiunea de derivată într-un punct pentru o funcţie de o variabilă reală.
Fie f(x) o funcţie definită în vecinătatea punctului . Dacă x este un punct din această vecinătate, cantitatea
0x
0x x h− = defineşte creşterea variabilei x. Notăm Δf creşterea funcţiei corespunzătoare creşterii h a argumentului x.
Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f x f x f x f x h f xΔ = − = + − 0
Raportul ( ) ( ) ( )0 0f x f x h f xh h
Δ + −= 0
poate fi interpretat ca o viteză (rată) medie de creştere a funcţiei pe intervalul [ ]0 0x , x h+ . Spunem că funcţia f(x) este derivabilă în dacă limita raportului 0x
59
( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
f x f x f x h f xx x h− + −
=−
0 0 pentru există şi este finită. Această limită se
numeşte derivata lui f în şi se notează
h →
( )0x ( )00f x sa
df xu
dx′
Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 00 x x h 0
0
f x f x f x h f xf x lim lim
x x h→ →
− +′ = =
−0−
Din punct de vedere geometric ( )0f x′ este panta tangentei dusă la graficul funcţiei
în punctul de coordonate ( )( ) ( )0 0x ,f x tg0;f x′ = α
6.6. Derivate parţiale ale funcţiilor de mai multe variabile Considerăm pentru simplificarea expunerii o funcţie 2f : X ⊆ → şi ( )0 0x , y
un punct interior al mulţimii X. 1) funcţia f(x, y) este derivabilă parţial în punctul ( )0 0x , y în raport cu variabila x
dacă limita ( ) ( )
0
0 0
x x0
f x, y f x , ylim
x x→
−−
0 există şi este finită.
Limita însăşi se numeşte derivată parţială a funcţiei f(x, y) în raport cu x şi se notează
( ) ( )0 0x 0 0
f x , yf x , y sau
x∂
′∂
2) funcţia f(x, y) este derivabilă parţial în punctul ( )0 0x , y în raport cu variabila y dacă limita
( ) ( )0
0 0
y y0
f x , y f x , ylim
y y→
−−
0 există şi este finită.
Limita însăşi se numeşte derivată parţială a funcţiei f(x, y) în raport cu y şi se notează
( ) ( )0 0y 0 0
f x , yf x , y sau
y∂
′∂
Definiţie: Funcţia f(x, y) are derivată parţială în raport cu x (respectiv y) pe mulţimea X dacă f are derivată parţială în raport cu x (respectiv y) în fiecare punct (x, y) din X.
0x
•( ( ))0 0x ,f x ( )y f x=
α
60
Funcţia xffx∂′ =∂
se numeşte derivata funcţiei în raport cu x, iar funcţia yffy∂′ =∂
se
numeşte derivata funcţiei în raport cu y. Observaţie: Practic derivate parţială xf ′ se calculează considerând în f(x, y) pe y
constant şi derivând pe f ca o funcţie de o singură variabilă x. Derivata parţială yf ′ se calculează considerând în f(x, y) pe x constant şi derivând pe f ca o funcţie de o singură variabilă y.
Exemple: a) ( ) f ff x, y x y ; 1 ; 1x y∂ ∂
= + = =∂ ∂
b) ( ) f ff x, y xy ; y ; xx y∂ ∂
= =∂ ∂
=
c) ( ) ( )2
2 32 3 2
f 2x f 3yf x, y =ln x y ; ;x x y x x y∂ ∂
+ = = 3∂ + ∂ +
d) ( ) ( )2 2 xf x, y x y arctgy
= +
( )2 22
2
f x 1 12xarctg x y 2xarctg yxx y y1y
∂= + + ⋅ = +
∂ +
xy
( )2 22 2
2
f x 1 x2yarctg x y 2yarctg xxy y y1y
∂ −= + + ⋅ = −
∂ +
xy
e) ( ) yf x, y x=
y 1 yf fyx ; x ln xx y
−∂ ∂= =
∂ ∂
Definiţie: Fie ( )1 nf x ,...x o funcţie reală de n variabile reale definită pe o mulţime
şinX ⊂ ( )0 0n...x int X= ∈0 1x x , . Funcţia f este derivabilă parţial în ( )0 0
1 nx ,...x în raport
cu variabila dacă kx
( ) ( )0
k k
0 0 0 0 0 0 01 k 1 k k 1 n 1 k n
0x xk k
f x ,...x , x , x ,...x f x ,...x ,...xlim
x x− +
→
−
− există şi este finită. Limita
însăşi se numeşte derivata parţială a funcţiei ( )1 nf x ,...x în raport cu şi se notează kx
( ) ( )k
0 01 n0 0
x 1 nk
f x ,...xf x ,...x sau
x∂
′∂
O funcţie ( )1 nf x ,...x are n derivate parţiale. Dacă o funcţie este derivabilă parţial în raport cu în punctul atunci f este
continuă parţial în raport cu variabila în . kx 0x
kx 0x
61
6.7. Derivate parţiale ale unei funcţii vectoriale Fie . Funcţia f are derivată parţială în raport cu în punctul
dacă toate componentele reale au derivată parţială în raport cu în punctul
. Derivata parţială
nf : X ⊂ →
(
mkx 0x
1 2 mf ,f ,...f kx
0x )0
k
f xx
∂∂
este vectorul din m care are drept componente derivatele
parţiale în raport cu ale funcţiilor . kx 1 2f ,f , m...f
Deci ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 m 0 m
k k k k
f x f x f x f x, ,...
x x x x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= ∈⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Exemplu: Funcţia 3 3f : R R→
( ) 2 2 2 2 2 2
x yf x, y,z i j ky z 1 z x 1 x y
= + ++ + + + + +
z1
are derivatele parţiale ( )
( ) ( )22 2 2 22 2
f x, y,z 1 2xy 2i j kx y z 1 x y 1z x 1
∂ − −= + +
∂ + +xz
+ ++ +
( ) ( )2 22 22 2 2 2
f 2xy 1 2yzi j ky z x 1y z 1 x y 1
∂ − −= + +
∂ + ++ + + +
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
f 2xz 2yz 1i j kz xy z 1 z x 1
∂ − −= + +
∂ ++ + + + y 1+
6.8. Derivate parţiale de ordin superior Fie f(x, y) o funcţie reală de două variabile reale definită pe derivabilă
parţial în raport cu fiecare variabilă x, y în punctele interioare ale lui X. Dacă derivatele parţiale
2X ⊆
( ) ( )x yf x, y , f x, y′ ′ sunt la rândul lor derivabile parţial în raport cu x şi y, derivatele lor parţiale se numesc derivate parţiale de ordinul doi ale lui f şi se notează
( )2
x xx 2x
f ff fx x x∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′ ′′= = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( )
( )
2
x yxy
2
y xyx
f ff fy x y x
mixtef ff f
x y x y
⎫∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′ ′′= = =⎜ ⎟ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎬
⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ⎪′ ′′= = =⎜ ⎟ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎭
( )2
y yy 2y
f ff fy x y∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′ ′′= = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Deci f(x, y) are patru derivate parţiale de ordinul doi. În general o funcţie reală de n variabile are derivate parţiale de ordinul doi şi
anume: 2n
62
2
i j
f i, j 1,2,...nx x∂
=∂ ∂
Exemplu: ( ) ( )2x y 2f x, y e , x, y+= ∈
( ) ( )( )( )( )( )
2 2
2 2
2
2
2
x y x yx y
x y 2 x yxx
x yyy
x yxy
x yyx
f x, y 2xe f x, y e
f x, y 2e 4x e
f x, y e
f x, y 2xe
f x, y 2xe
+ +
+ +
+
+
+
′ ′= =
′′ = +
′′ =
′′ =
′′ =
Derivatele parţiale (mixte) nu sunt în general egale. Următoarea teoremă stabileşte condiţii suficiente ca derivatele parţiale mixte să fie egale.
xy yxf şi f′′ ′′
Teoremă (Schwarz) Dacă funcţia f(x, y) are derivate parţiale mixte de ordinul doi într-o vecinătate a lui
( )x, y x∈ , şi dacă este continuă în (x, y) atunci xyf ′′ ( ) ( )xy yxf x, y f x, y′′ ′′= . Rezultatul se menţine şi pentru derivatele de ordin superior, şi anume dacă
3 3 3
2
f f, ,x y x y x y x∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2
f sunt continue într-o vecinătate a punctului (x, y) atunci ele sunt
egale.
În general m n m n m n
n m m n m 1 n
f f ...x y y x y x y
+ + +
−
∂ ∂ ∂= =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=
Teorema rămâne adevărată şi pentru funcţiile reale sau vectoriale de trei sau mai multe variabile.
Pentru o funcţie reală ( )1 2 nf x ,x ,...x
1x 2
derivata de ordinul k în care se derivează parţial de ori în raport cu , de 1α α ori în raport cu ,...de 2x nα ori în raport cu şi
se scrie: nx
1 2 n kα + α +α =...+
1 2 n
1 2 n
k
x x x
f...α α α
∂∂ ∂ ∂
şi dacă funcţia împreună cu toate derivatele până la ordinul k sunt continue, ordinea de derivare parţială nu influenţează rezultatul.
63
64
EXERCIŢII PROPUSE 1) Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul unu pentru funcţiile: a) f(x,y) =
2x ye − b) f(x,y,z)
2 2 2sinx ye z+=
R: a) 2 2
; 2x y xf fe yx y
− −∂ ∂= = −
∂ ∂ye
b) 2 2 2 2 2 22 22 sin ; 2 sin ; 2sin cosx y x y x yf f fxe z ye z e z
x z z+ + +∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂
z
2) Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi al doilea pentru funcţiile: a) f(x,y) = arctg(xy) b) f(x,y,z) sinxye z=
R: a)
2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2; ;1 1 (1 )
1 2 1 2;(1 ) (1 ) (1 )
f y f x f xyx x y y x y x x y
f x y y x y x y f x yx y x y x y y x
∂ ∂ ∂= = = −
∂ + ∂ + ∂ +
∂ + − − ∂= = = −
∂ ∂ + + ∂ + y
b) sin ; sin ; 2cosxy xy xyf f fye z xe z ex y z∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂
z
2 2 2
2 22 2 2sin ; sin ; sinxy xy xyf f fy e z x e z e z
x y z∂ ∂ ∂
= = = −∂ ∂ ∂
2 2 2
sin ; cos ; cosxy xy xyf f fxye z ye z xe zx y x z y z∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
3) Dacă 2 2
2 2x y∂ ∂
Δ = +∂ ∂
este operatorul lui Laplace, să se calculeze Δf pentru
( ) ( )2 2, lnf x y x y= + .
R: 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2(;( )
2 )f x f y xx x y x x y∂ ∂
= =∂ + ∂ +
− şi din motive de simetrie
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2(;( )
2 )f x f y xx x y x x y∂ ∂
= =∂ + ∂ +
−
4) Fie ( , ) yf x y arctgx
= să se calculeze Δf.
R: 2 2 2; 2
f y f y xx x y x y∂ ′= − =∂ + +
astfel că 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2;( ) ( )
f xy f xyx x y y x y
∂ ∂= = −
∂ + ∂ +
Prin urmare Δf = 0.
LECŢIA 7 DIFERENŢIALE ALE FUNCŢIIOLR DE MAI MULTE VARIABILE.
EXTREME ALE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE
7.1. Diferenţiala unei funcţii de o variabilă reală Fie o funcţie definită pe un interval I, deriavabilă într-un punct . Pentru putem scrie
0x ∈ I
0x x≠
( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0f x f x f x x x x x x′− = − + α − 0
Deoarece f(x) este derivabilă în cu derivata 0x ( )0f x′ avem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
00 0x x x x
0
f x f xlim f x lim x f x
x x→ →
−′ ′= + α =
−
deci ( ) 0x 0 când x x→α → . Din această cauză pentru valori ale lui x suficient de apropiate de avem 0x
( ) ( ) ( )( )0 0f x f x f x x x′− − 0
0
. Dacă notăm obţinem 0x x h, x x h− = = +
( ) ( ) ( )0 0f x h f x hf x′+ − 0
Definiţie: Funcţia ( )0hf x ,h′ ∈ care depinde liniar de h se numeşte diferenţiala
lui f în şi se notează 0x ( )0xdf deci ( ) ( )0 0hf x′=df x . 7.2. Interpretarea geometrică a diferenţialei
( ) ( )0 0MP f x h f x= + −
( )0f x h′QP = ⋅
( )x MQα =
M
Când aproximăm creşterea ( ) ( )0 0f x h f x+ − cu ( ) ( )0x hf x′= 0df înlocuim de fapt segmentul MP cu segmentul QP, adică înlocuim în vecinătatea lui arcul de curbă cu segmentul de tangentă .
0x 0M M
0QMVom nota cu ( )df diferenţiala funcţiei f (derivabile) într-un punct . x x I∈Dacă în particular f(x) este aplicaţia identică atunci diferenţiala lui f într-un punct
este x∈( )df x h adică dx h= =
Atunci putem scrie ( ) ( )0 0df x f x dx unde dx′= ∈ şi este independent de x. Cu această notaţie derivata unei funcţii f(x) se scrie
Q
P
( )0x h,0+
0M
( )0x ,0
65
( ) ( )df x′f x
dx= adică derivata ( )f x′ în punctul x este egală cu raportul constant
dintre diferenţiala funcţ ţiala func
.3. Reguli de calcul pentru diferenţiale vem:
iei f(x) şi diferen ţiei identice x. 7Dacă f, g sunt două funcţii derivabile pe I a) ( ) ( )a d f g f g dx df dg′ ′± = ± = ±
) ( ) ( )
)
) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
b d fg f g fg dx gdf fdg
f f g fg gdf fdgc d dxg g g
d df u x f u x u x dx f u du
′ ′= + = +
′ ′⎛ ⎞ − −= =⎜ ⎟
⎝ ⎠′ ′ ′= ⋅ =
.4. Diferenţiale de ordin superior
spune că funcţia f este diferenţiabilă de două ori în
7Definiţie: Fie 0f : I R şi x I→ ∈ . Se
0x dacă f este ecinătate V a lui 0x şi dacă ( derivabilă într-o v )f x , x V′ ∈ este diferen bilă în 0x .
Diferenţia d
ţia
la e ordinul doi în se notează 0x ( )20d f x şi se defineşte prin egalitatea
( ) ( )20 0d f x 2 2f x dx , dx dx dx′′= = ⋅ .
Împărţind prin obţinem 2dx ( ) ( )2
002
d f xf x
dx′′= care este notaţia diferenţială a
derivatei a doua. ie . Se spune că funcţia f este diferenţiabilă de n ori
în punDefiniţie: F 0f : I R şi x I→ ∈
f este derivabilă dctul 0x dacă e n–i ori într-o vecinătate V a lui 0x şi dacă ( ) ( )n 1f x ,x V− este diferenţiabilă în x .
ala de ordin n se te
∈ 0
( )n0d f x Diferenţi no ază şi se defineşte prin egalitatea
( ) ( ) ( )n nf x dx= . n0 0d f xObservaţii:
1) Împărţind cu obţinemndx ( ) ( ) ( )
nn0
0n
d f xf x
dx= care este notaţia diferenţială a
derivatei a doua. 2) ( ) ( )( )nd f x n 1d d f x−=
7.5. Diferenţiala unei funcţii de mai multe variabile
rval ( )2I , a,b in⊂ ∈Fie f(x, y) o funcţie reală derivabilă pe un inte t I .
Presupunem că derivatele parţiale ( ) ( )x yf x, y ,f x, y′ ′ continue în (a, b)f(x, y) – f(a, b) se scrie
. Diferenţa
( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( )( )f x, y f a, y f a, y f a,b+ − f a,b f x, y− = − şi aplicând formula
66
creşterilor finite în fiecare paranteză, avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf x, y f a,b x a f , y′ yy b f a, , a x, b y′− η < ξ < < η − = − ξ + <
Însă derivatele parţiale sunt continue în (a, b) şi putem scrie ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (y y y y y 2
y
f a, f a,b f a, f a,b f a,b x, y′ ′ ′ ′ ′η = + η − = + θ
x x x x x 1f , y f a,b f , y f a,b f a,b x,′ ′ ′ ′ ′ξ = + ξ − = + θ
)cu ( ) ( )1 2x, y 0, x, y 0 când x a, y bθ → θ → → → .
m deci relaţia: Ave( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y 1x a f a,b y b f a,b x a x, y y b x, y2′ ′− + − + − θ + − θf x, y f a,b− =
şi pentru (x, y) suficient de apropiat de (a, b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf x, y f a,b x a f a,b′ yy b f a,b′−− − + .
Dacă notăm creşterile argumentelor x – a = h, y – b = k ( ) ( ) ( ) ( )x yf a h,b k f a,b hf a,b kf a,b′ ′+ + − +
( ) ( )x yhf a,b kf a,b ,h R,k R′ ′+ ∈ ∈Definiţie: Funcţia care depinde liniar de h şi k se num cţiei f(x, y) în punctul (a, b) şi se noeşte diferenţiala fun tează
( ) ( ) ( )x ydf a,b hf a,b kf a,b′ ′= +
( )x, y xϕ =Observaţie: diferenţiala funcţiei este h deoarece iar
diferenx y1, 0′ ′ϕ = ϕ =
ţiala funcţiei ( )x, y yψ = este k d y0, 1eoarece x′ ′ψ = ψ = , deci h Cu aceste no ţiala funcţiei f(x unct (x, y) în care f a
derivate parţiale cont
= dx şi k = dy.taţii diferen , y) într-un p re inue se scrie
( ) ( ) ( )x ydf x, y f x, y dx f x, y dy sau′ ′= +
f fdf dx dyx y∂ ∂
= +∂ ∂
Operatorul d dxx y∂ ∂
= +∂ ∂
dy care aplicat funcţiei f în punctul (x, y) ne dă
diferen , se numeşte operatExemplu:
eze cu aproximaţie
ţiala în (x, y) or de diferenţiere de ordinul I.
( ) ( )3 31,02 1,97+ Să se calculConsiderăm funcţia:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3
2 2
1,2 1,23 3 3 3
2
3
x 1, y 2, h 0,02,k 0,03f ff 1,02; 1,97 f 1,2 df 1,2 f 1,2 1,2 h 1,2 kx x
f 1 3x 1 3 1 f 1 3y 1 3 2;x 2 2 3 y 2 2 3x y x y
1f 1,02; 1,97 3 0,02 2 0,03 2,952
= = = = −
∂ ∂+ = + ⋅ + ⋅
∂ ∂∂ ⋅ ∂ ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅∂ ∂+ +
+ ⋅ − ⋅ =
Pentru o funcţie reală de n variabile
f x, y x y ,= +
( )1 2 nf x , x ,...x diferenţiala se defineşte în mod asemănător
67
1 21 2 n
nxx x x∂ ∂ ∂
iar operatorul de diferenţiere este
f f fdf dx dx ... d∂ ∂ ∂= + + +
1 21 2x x∂ ∂ n
n
d dx dx ... dxx
∂ ∂ ∂= + + +
∂
Exemplu: ( ) ( )2 2 21 2 n 1 2 nf x ,x ,...x ln 1 x x ...x= + + +
n
k kk k 1
2 2 2 2 2k 1 2 n 1 2
2n
x dxf 2x df
x 1 x x ... x 1 x x ... x=∂
= =∂ + + + + + + + +
∑
.6. Pr tăţile diferenţialei funcţiilor de mai multe variabile eoremă: Condiţia necesară şi suficientă pentru ca diferenţiala unei funcţii f(x, y)
definit onstantă pe I.
,
2
7 oprieTă pe un interval 2I ⊂ să fie identic nulă pe I este ca f(x, y) să fie cDemonstraţie:
Dacă f(x, y) = C ) ( f fy I atunci 0, 0 df 0 pe Ix,x y∂ ∂
∈ ≡ ≡ ⇒ ≡ ∀∂ ∂
( ) ( )f fReciproc: dacă f x, y dx dy 0, x, y I
x y∂ ∂
= + = ∀ ∈∂ ∂
, în particular pentru x
constan ă situaţie t, df = 0; însă în aceast ( ), y Ifdf dy 0, xy∂
= = ∀∂
∈ de unde rezultă
f 0∂= ceea ce arată f nu depinde de y pe y constant avem
y∂I. În mod asemănător pentru
( )f dx 0, x, y I= ∀ ∈ de unde rezultă dfx∂
=∂
f 0x∂
=∂
f(x, y) este constantă pe I. Teoremă: Dacă o exp
şi f nu depinde nici de x. În concluzie
resie diferenţială ( ) ( )E P x, y dx Q= + x, y dy
cu func terval 2I ⊆ţiile P(x, y) şi Q(x, y) continue pe un in este diferenţiala unei funcţii f(x, y) pentru ( )x, y I∈ atunci
( ) ( ) ( ), Q , x, y Ix y
= = ∀ ∈∂ ∂
Demonstraţie:
f f∂ ∂P x, y x, y
( ) f fx, y I avem df dx dyx y∂ ∂
∈ = +∂ ∂
Pentru şi
( ) ( ) ( )df P x Q x, y dy, deci pentru x, y I= + ∀ x, y d ∈
( ) ( )f fP x, y dx Q x, y dy 0x y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
de unde rezultă conform teoremei precedente că
68
( ) ( ) ( )f fP x, y , Q x, y , x, y Ix y∂ ∂
= = ∀∂ ∂
∈
ai multe variabile. Teoremă: Condiţia necesară şi suficientă pentru ca diferenţiala unei funcţii Teoremele se menţin şi pentru funcţii de m
( )1 2 nf x ,x ,...x definită pe un interval nI ⊆ să fie identic nulă pe I este ca
( )1f x ,x2 n,...x să fie constantă pe I. Teoremă: Dacă o expresie diferenţială ( ) ( ) ( )1 1 nP x ,... ... P+n 1 2 1 n 2 1 n nx dx P x ,...x dx x ,...x dx+ + cu kP continue pe un
este diferenţiala unei interval funcţii reale nI ⊂ ( )1 nf x ,...x atunci
( ) ( ) ( )1 1 n n 1 n 1 n1 n
f∂ ∂fP x ,...x ,...P x ,...x , x ,...x Ix x
= = ∀ ∈∂ ∂
7.7. Diferenţiale de ordin superior Definiţie: Fie f(x, y) o funcţie de două variabile reale definită pe derivabilă
parţial două ori în I, cu toate derivatele parţiale de ordinul doi continue. Diferenţiala de ordinul
2I ⊆de doi se notează ( )2d f x, y şi este definită de
( )2 2 2
2 2 22 2
f f fd f x, y dx 2 dxdy dyx x y y∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂ ∂
Se observă că d ine diferenţiind difer2f se obţ enţiala întâi
( )( ) ( ) ( )f fd df x, y d dx dy cu d dx 0, d dy 0x y
⎡ ⎤∂ ∂= + = =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
Operatorul ( )22 2 2
2 22 2dx 2 dxdy dy dx dy
x x y y x y⎡ ⎤∂
+ + = +∂ ∂ ∂ ∂
⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ se numeşte
operator de diferenţiere de ordinul doi iar se scrie: 2d f( )2
2d f d⎡ ∂= ⎢ ⎥x dy f
x y⎤∂
+∂ ∂⎣ ⎦
ă variabile reale definită pe care are în I toate derivatele parţiale de ordinul n şi toate aceste derivate ţiala de ordinul n a funcţiei f(x, y) se noteaz şi este definită de
2I ⊂sunt continue. Diferen
Definiţie: Fie f(x, y) o funcţie de dou
nd f ăn n n
n n 1 n 1 k n k n nn n nn n 1 n k k n
f f f fd f dx C dx dy ... C dx dy C dyx x y x y y
− −− −
∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
k ...+ +
Dacă introducem operatorul de diferenţiere de ordinul n ( )n
nd dx dyx y
⎡ ⎤∂ ∂= +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
atunci
( )n⎡ ⎤∂ ∂nd f dx dy f
x y= +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
69
Observaţie: ( )n nd f d d f−= 1
Pentru diferenţiala de ordinul doi este nf : D ⊆ →( )2
2 ⎛ ∂1
1 2
d f dx dx ... dx fx x
⎞∂ ∂= + + +
∂ ∂ sau dezvoltat 2 n
nx⎜ ⎟∂⎝ ⎠2 2n n
2 2i2
i 1 i, j 1i i ji j
f fd f dx 2 dx dxx x x= =
≠
∂ ∂= +
∂ ∂ ∂∑ ∑ i j
este o formă pătratică în având m imetrică 2d f i jdx ,dx atricea s
11 12 1n2
21 22 2na a ...a fM a , i, j 1,n⎜ ⎟⎜ ⎟= = = ij
i j
n1 n2 nn
a a ...a
. x xa a ...a
⎛ ⎞
∂⎜ ⎟ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Pentru funcţii de n variabile diferenţiala de ordinul p este ( )p
p1 n
1 nx x∂ ∂⎣ ⎦d f dx ... dx f
⎡ ⎤∂ ∂= + +⎢ ⎥ unde
( )p
1 n1 n
dx ... dxx x
⎡ ⎤∂ ∂+ +⎢∂ ∂⎣ ⎦
⎥ este operator de diferenţiere de ordin p şi se obţine după
regula de dezvoltare a unui polinom.
Observăm că:
( ) ( )df d 2xdx 6ydyy
= +⎜ ⎟⎠
unde d(dx) = 0 şi d(dy) = 0 2 f fd f d dx dy d⎛ ⎞∂ ∂
= + =x∂ ∂⎝
Exemplu: ( ) ( ) ( ) 30, x, y,z ∈ f x, y,z ln ax by cz definit pentru ax by cz= + + + + >
22 fd f
z∂
=∂
2 2 2 2 22 2 2
2 2 2
f f f f fdx dy dz 2 dxdy dydz dxdzx y z x y y z x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
f a f b f cx ax by cz y ax by cz z ax by cz∂ ∂ ∂
= = =∂ + + ∂ + + ∂ + +
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
f a f abx yax by cz ax by cz∂ ∂
= − = −∂ ∂+ + + +
( )( )
22
2
adx bdy cdzadx bdy cdzdf d fax by cz ax by cz
+ ++ += = −
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )( )
nn 1n
n
adx bdy cdzd f x, y,z 1 n 1 !
ax by cz− + +
= − −+ +
70
7.8. Derivata după o direcţie gradient. Divergenţă. Rotor.
Definiţie: Fie f(x,y,z) o funcţie reală definită pe , derivabilă parţial pe X şi ,b,c) un punct interior lui X. Fie dreapta c
3X R⊆ x t a, y t b, z tα β γ= + = + = +(a care trece
prin (a,b,c) şi are cosinusurile directoare ( ), ,α β γ – cosinusurile ungh2
iurilor pe
β γ
care
versorul dreptei le face cu axele de coordonate 2 2( ) 1α + = . +
Limita ( ) ( ) (0
00M M
0M D
f M f Mlim , M x,
MM→∈
−ata
după direcţia D
) ( )y, z , M a,b,c se numeşte deriv
D= i+ j+ kα β γ în M0(a,b,c).
Se notează d fd L
şi expresia ei este:
( ) ( ) ( ) ( )df a,b,c f a,b,c f a,b,cy z
β γ∂ ∂
= + +∂
.
ie:
Observăm că
f a,b,cα∂
dL x∂ ∂Demonstraţ
( ) ( ) ( ) ( )0
0
f M f M f t a, t b, t c f a,b,cMM t
α β γ− + + + −= , unde
( ) ( ) ( )2 2 20MM x= − a y b z c t+ − − − = deoarece
x a t, z c tt, y bα β γ− =− = − = şi
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2x a y b z c t tα β γ− + − + − = + + = 2
Dacă considerăm funcţia de t ( ) ( )t f t t ca, t b,ϕ α γβ= + + + , atunci
( ) ( ) ( )0
0tM M
0M D
f M f Mlim 0
MMϕ
→∈
−′= . Însă aplicând regula de derivare a funcţiilor
compuse, avem:
( ) ( ) ( ) ( )'t
f a,b,c f a,b,c f a,b,c0
x y z+ γ
∂ ∂.
Exemple:
∂ ∂ ∂ϕ = α +β
∂
1) Să se calculeze derivata funcţiei ( ) 2 2f x, z x y z2y, = + + după direcţia D(1,1,1) în punctul A(1,1,1).
Addf ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟1 f 1 f 1 f 6∂ ∂ ∂
+ + = .
derivata câmpului scalar L x y z3 3 3 3∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2) Să se calculeze
( )2 2 2
2 2 2
x y zf x, y,za b c
= + + într-un punct M(x,y,z) dup ţia vectorului de poziţie ră direc al
punctului. r x i yj zk= + +
71
( ) ( ) ( )x y z; cos r ,Oy ; cos r ,Ozr r r
= β = = γ = = cos r ,Oxα =
2 2r x y z= + + 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
df x 2x y 2y z 2z 2 x y z 2fdL r a r b r c r a b c r
⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Definiţie: Fie U(x,y,z) o funcţ reală (un câmp scalar) definit pe , derivabilă parţial pe X. Se numeşte gradientul funcţiei U şi se notează grad U, funcţia vectorială:
3X R⊆ie
( ) 3U U UgradU i j k , x, y,z X Rx y z
∂ ∂ ∂= + + ∈ ⊆
∂ ∂ ∂.
ilton Dacă se introduce operatorul nabla sau operatorul lui Ham
i j k∂ ∂ ∂∇ = + +
x y z∂ ∂ ∂observăm că putem scrie grad U = U∇ .
u valori în R3
de componente reale P, Q, R deci: Definiţie: Fie V(x,y,z) o funcţie vectorială definită pe 3X R⊆ c
( ) ( ) ( ) ( )V x, y,z iP x, y,z jQ x, y,z kR x, y,z= + + , derivabilă parţial pe X. Se
numeşte divergenţa funcţiei V sau ergdiv enţa câmpului vectorial V şi se notează div V , funcţia scalară:
(P Q RdivV x∂ ∂ ∂= + + ), , y,z X
x y z∈
∂ ∂ ∂.
Cu ajutorul operatorului∇ ,div V se scrie simbolic ca produsul scalar dintre∇ şvectorul
i V
divV V= ∇ ⋅ . Definiţie: Fie ( ) ( ) ( ) ( )V x, y,z iP x, y,z jQ x, y,z kR x, y,z= + + o funcţie
vectori u r rotorul ală definită pe 3X R⊆ c valo i în R3, derivabilă parţial pe X. Se numeştefuncţiei V sau rotorul câmpului vectorial V şi se notează rot V , funcţia vectorială:
i j kRrotV i j k Vy z z x x y x y z
P Q R
⎛ ∂ ∂= − + − + − = = ∇ ⋅⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Q P R Q P⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎟
⎝ ⎠
Observaţia 1: Divergenţa câmpului rot
⎝ ⎠
V este o funcţie identic nulă pe domeniul de definiţie dacă P, Q. R au derivate de ordin doi continue, ( )div rotV 0= .
Avem: R Q P R Q Pdiv rotV 0
x y z y z x z x y= − + − + − ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
⎝ ⎠
lăm divergenţa câmpului gradU.
⎝ ⎠
Observaţia 2 Să calcu
72
2 2 2
2 2
u u u u udiv i j kx y z x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
uz
2 2
Operatorul 2∂ ∂ ∂
se numeşte laplacianul sau operatorul
lui Laplace. Aplicaţii:
2 2 2x y z∇ ⋅∇ = Δ = + +
∂ ∂ ∂
r ix jy k= + + z1)
i j k
divr = 3, rotr 0z
x y z
∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂
2)
x y
r ix jy k= + + z ; 1 2 3a ia ja ka ct= + + .( ) ( )1 2 3 1 2 3grad r , a grad a x a y a z ia ja ka a= + + = + + =
3) ( )2 2 2r x y z grad f r= + + = ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )grad f r j f ' r f ' r+ + . x y z ri f ' r k f ' rr r r r
= =
7.9 i minime pentru funcţii de douăFie f(x,y) o funcţie reală de două variabile, definite pe o mulţime .
1) Un punct
. Maxime ş variabile 2X R⊆
( )a,b X∈ se numeşte punct de mi m al funcţiei
acă există o vecinătate V a lui (a, b) astfel încât
ni
( )x, y V X∀ ∈ ∩d să avem
( ) ( )f x, y f a,b≥ .
2) Un punct ( )a,b X∈ se numeşte punct de maxim al funcţiei
( )x, y V X∀ ∈ ∩ să avem dacă există o vecinătate V a lui (a, b) astfel încât
( ) ( )f x, y f a,b≤ . Acestea sun
Teoremt maxime sau minime – extreme – relative.
ă: Fie ( ) 2f x, y : X R⊆ şi ( )ab int X∈ . Dacă f are în (a, b), atunci ele se
anulează în (a,b), adică ( )'xf a,b 0= şi ( )'
yf a,b 0= . Demonstraţie: Luând x = a funcţia f(x,y) este derivabilă în y = b şi are în acest punct un
extrem deci, conform teoremei lui Fermat ( )'yf a,b 0= . Analog ( )'f a,b 0= . x
Observaţia 1 Într-un punct (a,b m a) de extremu vem ( )df a, 0b = .
ntr-un punct m Observaţia 2
Reciproca nu este adevărată: dacă î (a, b) ave ( ) ( )' '
x yf 0a,b f a,b= = , nu rezultă că (a,b) este punct de extremum. Observaţia 3
73
Teorema arată că punctele de extremum sunt printre punctele staţionare, soluţiile
stemului .
Fie
'f 0⎧ =⎪ x'⎨=
siyf 0⎪⎩
Teoremă: ( ) 2f x, y : X R R⊆ → derivabilă parţial de 3 ori pe X. Fie (a,b) o soluţie a
sistemului f f0, 0x y
⎧ ⎫∂ ∂= =⎨ ⎬∂⎩ ∂ ⎭
.
1) Dacă în (a, b) avem 22 2 2f f f 0
⎛ ⎞∂ ∂ ∂2 2x y x y⋅ − > şi ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2f 0∂> ,
atunci (a,b)
2x∂ este punct de minim.
22 2 2
2 2
f f f 0x y x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⋅ − >⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
2
f 0x∂
<∂
2) Dacă în (a, b) avem şi ,
atunci (a,b) este punct de maxim. 22 2 2
2 2
f f f 0x y x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⋅ − <⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
3) Dacă în (a, b) avem , atunci (a,b) nu
Din formula lui Taylor de ordinul doi avem:
este punct de extremum. Demonstraţie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
( )2
222
1 f y b R
22
1 fx a y b x a x a y bx y 2! x x y
2 y
∂− + − + − + − − +
f f f∂ ∂ ∂f x, y f a,b= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂unde .
Dacă (a,b) este punct staţionar, rezultă că
∂+ − +
2x ay b
lim R 0→→
=
( )df a,b 0= şi pentru (x,y) suficient de
ţa ( ) ( )f x, y f a,b− are sem ului nul trinomapropiat de (a,b), diferen
( ) ( )( ) ( )2 21 1E x a r x a y b s y b t= − + − − + − , 2 2
unde ( )2
2
fr a,bx∂
=∂
, ( )2fs ∂
=∂ ∂
ax y
,b , ( )2
2
f a,b (notaţiile lui Mty∂
=∂
onge).
E poare fi scris ( )2
21 x a x aE y b r 2s t2 y b y b
⎡ ⎤⎛ ⎞− −= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟− −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
şi ştim că E păstrează
semn constant dat de r, d.n.d. 0 . Deci: 1) dacă
2s rt− < ( ) ( ) ( )2rt s 0, r 0 E 0 f x, y f a,b a,b− > > ⇒ > ⇒ ≥ ⇒ punct de minim;
( ) ( ) (2) dacă )2rt s punct de maxim;
3) dacă 2rt s 0− < ⇒ semn co
0, r 0 E 0 f x, y f a,b a,b− > < ⇒ < ⇒ ≤ ⇒
E nu are nstant, deci rezultă că (a,b) este punct şa.
74
xemplu:
1) 2) 3) E
( ) 3 3f x, y x y 3xy= + + . Să se determine punctele de extremum.
e staţionare sunt soluţiile sistemului
2
Punctel2f 3y 3x 0
f 3x 3y 0x
y
∂⎧ = + =⎪∂⎪⎨∂⎪ = + =∂⎪⎩
şi anume A(0,0) şi B(–1,–1). Derivatele de ordin doi sunt:
2 2 2
2 2
f f f6x, 3, 6yx x y y∂ ∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂ ∂
0; 2rt s 9− = − ⇒1) În A(0,0), r = 0, s = 3, t = nu este punct de extremum.
2) În B(–1,–1), r = –6, s = 3, t = –6; 2rt s 27 , r 0− = > < ⇒ este punct de maxim. 7.10. Maxime şi minime pentru funcţii de n variabile Fie ( ) nf x , , x : X R R⊆ →K1 n .
Definiţie: Un punct ( )1 na , ,aK se nu inim (maxim) al funcţiei meşte punct de m
dacă există o vecinătate V a lui ( )1 na , ,aK astfel încât ( )1x , n, x V X∀ ∈ ∩ să avem: K
( )( )
( )1 n 1, , x f a , ,a≤≥K Kf x n .
Teoremă: Dacă ( )1 n, , xK f x re în a ( )1 na , ,aK un extremum şi funcţia
( )1 nf x , , xK are deriva în te parţiale ( )1 na , ,aK atunci:
( ) ( ) ( )1 2 n
' ' 'x 1 n x 1 n x 1 nf a , a 0, f a , , 0, , f a , ,a 0= =K K K Ka = .
oluţiile sistemObservaţie: S ului 1 2
' 'x xf 0, f 0,= = K formeaz
n
'x, f 0= ă mulţimea
punctelor staţionar ale funcţiei. lor staţionare ( )1 ndf x , , x 0=KPe mulţimea puncte . Punctele de extremum sunt
printre punctele staţionare. Teoremă: Fie ( )1 nf x ,K 3 ori pe X. Fie ( derivabilă parţial de )1 n,a, x a ,K
un punct staţionar.
75
1) Dacă toate numerele
11 12 1n
11 21 22 2nA A A A=
L unde 12
n
n1 n2 nn
A A AA
, ,A
A A A
Δ
L
KM
L
1 11 2A ,A
Δ = Δ = 21 22
( )21 n
iji j
f a , ,aA
x x∂
=∂ ∂
K sunt pozitive, atunci f are în ( )1a , ,aK n inim.
2) Dacă
un m
( )n1 2 3 n0, 0, 0, , 1 0Δ < Δ > Δ < − Δ >K , atunci ( )1 na , ,aK este punct de
maxim. Observaţie:
Condiţiile din 1) asigură pozitiva definire a lui ( )21 nd f a , ,aK , ar cele din 2)
efinire a lui ( )21 nd f a , ,aKasigură negativa d . Se aplică apoi form aylor de ordinul ula lui T
doi. Exemplu:
( ) 2 2 2f x, y,z x y z 2x 4y 6z= + + + + −
f 2x 2 0xf 2y 4 0yf 2z 6 0z
⎧∂= + =⎪∂⎪
∂⎪ = + =⎨∂⎪⎪∂
= − =⎪∂⎩
Sistemul punctelor staţionare are soluţia M(–1,–2,–3).
Hessiana lui f este
2f⎡ ⎤∂⎢ ⎥
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
f fx x y x z
2 0 0f f fH 0 2 0
y x y y z0 0 2
f f fz x z y z
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂
⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
iar 1 2 3
2 0 02 0
2 0, 4 0, 0 2 0 8 00 2
0 0 2Δ = > Δ = = > Δ = = > ⇒ punct de minim.
76
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze valoarea aproximativă pentru 1,023,01
R: Considerăm funcţia f(x,y) = xy şi alegem x=1, y = 3, h= 0,02 şi k= 0,01. eoarece variaţiile argumentelor sunt mici, putem aproxima variaţia funcţiei f prin
diferenţiala sa.
R:
R: Punctele staţionare satisfac sistemul
D
191.02;3.010 91.30 91.30 ln 3 1 0.02 1ln1 0.01 0.06y yf f df yx h x x k−+ = + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =Prin urmare 1,023,01 1 0.06 1.06+ = 2) Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi al doilea pentru funcţia f(x,y)=excos z
cos sinx xdf e ydx e ydy= − 2 xd f e= 2 2cos 2 sin cosx xydx e ydxdy e ydy− −
3) Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi al doilea pentru funcţia f(x,y,z) = xyz. R:
2; 2 2 2df yzdx xzdy xydz d f zdxdy xdydz ydzdx= + + = + +
4) Să se găsească punctele de extrem local pentru 2 3( , ) 3 15 36 9f x y xy x x y= − − − +
2 23 3 15 0
36 0
f y xx
y
∂⎧ =
6f xy
− −⎪∂⎪
− =∂⎪⎩
cu soluţiile M (2,3) şi M (-2,-3).
=
⎨∂⎪ =
1 22 2 2
Deoarece 2 26 , 6 ; 6f f fx y xx x y y
= − = =∂ ∂ ∂ ∂
rezu∂ ∂ ∂ ltă discuţia:
- <0 nu este punct de extrem;
ntru t de extrem.
etermine punctele de ext
pentru 21(2,3) 468M rt s⇒ − = −
- pe 8<0 nu este punc 22 ( 2, 3) 46M rt s− − ⇒ − = −
5) Să se d rem pentru funcţia
2 2( , , ) 2 2 4 6f x y z x= + y z x y z+ + + − . ele staţionare sunt soluţiile s
R: Punct istemului
2 2
2 4
2 6
df xx⎪∂⎪
df y
df zz
= +
⎪ = +⎨
⎪= −⎪
∂⎩
Obţinem un punct staţionar M(-1,-2,3)
⎧
y∂⎪
77
78
⇒ punct de minim.
1 2 3
2 0 00 2 0 ; 2 0; 4 0; 8 00 0
M⎡ ⎤⎢ ⎥= Δ = > Δ = > Δ = >⎢ ⎥⎢⎣ 2⎥⎦
LECŢIA 8 CALCUL INTEGRAL
PRIMITIVE. REGULI DE CALCUL AL PRIMITIVELOR
Fie ƒ:I⊆/R→R. Se numeşte primitivă a lui ƒ pe intervalul I o funcţie F:I→R, derivabilă pe I, care satisface F′(x)=ƒ(x) sau dF(x)=ƒ(x).Daca F(x) este o primitivă a lui ƒ(x) atunci F(x) +C este de asemenea o primitivă a lui ƒ(x).Se numeşte integrala nedefinită a funcţiei ƒ:I→R mulţimea tuturor primitivelor funcţiei ƒ pe intervalul I. Notăm :∫ƒ(x)dx=F(x)+C.
Proprietăţi:dxd (∫f(x)dx)=f(x) d(∫f(x)dx)=f(x)dx
∫F′(x)dx=F(x)+C ∫dF(x)=F(x)+C Reguli de calcul ∫α f(x)dx=α∫f(x)dx;
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx; Metoda de integrare prin părti: ∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g′(x)dx sau:∫gdf=fg-∫fdg 8.1. Determinarea primitivelor prin metoda substituţiei Fie F(x) o primitivă a lui f(x). Fie u (x) continuă şi derivabilă. Atunci avem ( )( ) ( ) ( ( ))f u x u x dx F u x C′ = +∫ Într-adevăr:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )d F u x F u x u x f u x u xdx
⎡ ⎤ ′ ′ ′= =⎣ ⎦
Cum , relaţia (1) se scrie: ( ) dudxxu =′
(1’) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .f u x u x dx f u du F u C′ = =∫ ∫ + Metoda de integrare se numeşte şi introducerea sub diferenţială. Formula (1’) ne permite să reluăm tabloul integralelor fundamentale si să scriem relaţii analog înlocuind pe x cu u(x) obţinând astfel primitivele unor funcţii compuse.
Avem astfel, de exemplu:
( ) ( )32 2
3u x
u du u u x dx C′= =∫ ∫ +
Şi în general:
( )[ ] ( ) ( )[ ] Cn
xudxxuxuduun
nn ++
=′=+
∫∫1
1
( )( ) ( ) Cxudxxuxu
udu
==′
= ∫∫ ||ln
( ) ( ) ( ) Cedxxuedue xuxuu +=′= ∫∫ ( )( ) ( ) Cxtgudxxu
xuu
du+=
′= ∫∫ 22 coscos
( )( ) ( ) Cxctgudxxu
xuu
du+−=
′= ∫∫ 22 sinsin
79
( )( )
( ) Caxuarctg
adx
axuxu
audu
+=+
′=
+ ∫∫1
2222
( )( )
( ) Caxudx
xuaxudu
ua+=
−
′=
−∫∫ arcsin1
2222
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
cos cos sin
sin sin cos
udu u x u x dx u x C
udu u x u x dx u x C
′= =
′= = −
∫ ∫∫ ∫
+
+
Exemple:
( ) ( ) ( ) ( )101101100 100 100 2 31 1 11. 2 3 2 3 2 32 2 2 101 202
2 32
xux dx x x dx u du C
x udx du
+′+ = + ⋅ + = = = +
+ ==
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) 111 12.1 1
nnn n n ax buax b dx ax b ax b dx u du C Ca a n n
u ax bdu adx
++ +′+ = + + = = + = ++ +
= +=
∫ ∫ ∫
3. ( ) ( )
baxu
Cbaxa
cuududx
baxbax
abaxdx
+=
++=+==′
++
=+ ∫∫∫ ln1ln1
4 43 3 cos4. cos sin
4 4cos
sin
u xx xdx u du C C
x uxdx du
−= − = − + = +
=− =
∫ ∫
1 1 15. sin sin cos cosmxdx udu u c mx Cm m m
u mxdu mdx
= = − + = −
==
∫ ∫ +
.
1 1 16. cos cos sin sinmxdx udu u C mx Cm m m
u mxdu mdx
= = + =
==
∫ ∫ +
7. Fie integralele si . Putem scrie xdx∫ 2cos ∫ xdx2sin
22cos1sin
22cos1cos 22 xxsixx −
=+
= .Deci
80
Cxxdxxxdx
Cxxdxxxdx
+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∫∫
∫∫
2sin41
22cos
21
21sin
2sin41
22cos
21
21cos
2
2
2 28. arcsin
1 1
x
x
x
x
e dudx u Ce u
e ue dx du
= =− −
=
=
∫ ∫ +
1 1 19. .2 2 2 25 5 55 2
5 2 ;5
dx du u C x Cx u
x u dx du
= = + = −−− = =
∫ ∫ +
.( )( )
22 2 4
4 2 22
2
1 1 110. ln | 1 | ln | 1 |2 2 21 11
2
d xxdx du u u C x xx ux
u xdu xdx
= = = + + + = + ++ ++
==
∫ ∫ ∫ C+
.
( )3 3 32 3
3
2
1 1 1 111.3 3 3 3
3
x x u u xx e dx e d x e du e C e C
u xdu x dx
= = = + =
=
=
∫ ∫ ∫ +
( )22 2 2
2
1 1 1 7 112. 7 7 7 72 2 2 ln 7 2ln 7
2
ux x u xx dx d x du C C
u xdu xdx
= = = + =
==
∫ ∫ ∫ +
8.2. Schimbarea de variabilă Fie u(t):I→J, f(x):J→R. Dacă u are derivata continuă pe I avem relaţia ( )( ) ( ) ( )( ) ,f u t u t dt F u t C′ =∫ + unde F f′ = . Relaţia stă la baza metodei substituţiei: găsirea primitivelor lui f(x) când în urma
unei substituţii convenabile, x=u(t), este mai uşor de găsit o primitivă a lui f(u(t))u′(t). Fie Φ(t) o primitivă a lui f(u(t))u′(t). Atunci F(u(t))=Φ(t) şi presupunând x=u(t):I→J
inversabilă adică există :J→I avem F(x)=( )xut 1−= ( )( ) Cxu +−1Φ . Metoda substituţiei este sintetizată în egalitatea formală:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
f x dx f u t u t dt f u du F u C F u t C
x u t
dx u t dt
′= = = + =
=
′=
∫ ∫ ∫ +
81
( ) ( ) ( ) ( )5 3
2 4 2 5 3 2 2
2
2 2 2 21) 1 1 2 2 1 15 3 5 3
1 1 2
Exemple
x x dx t t tdt t t dt t t x x C
x tx t
dx tdt
− = + = + = + = − + − +
− =
− ==
∫ ∫ ∫
( )
2 2
2
1 cos 22) 1 cos cos cos2
sincos
1 1 1 1 1 1sin 2 arcsin sin 2arcsin arcsin 12 4 2 4 2 2
tx dx t tdt tdt dt
x tdx tdt
t t x x C x x x
+− = = = =
==
= + = + + = + − +
∫ ∫ ∫ ∫
C
( ) ( )65 651 1 13) 4 1 4 1
4 4 6 244 1
1 14 414
tx dx t dt C x C
x t
x t
dx dt
+ = = + = + +
+ =
= −
=
∫ ∫
8.3. Integrale reductibile la integrale de funcţii raţionale 8.3.1. Integrale de funcţii trigonometrice Sunt integrale de forma ( )dxxxR∫ cos,sin unde R este o funcţie raţională in
argumentele u si v. O astfel de integrală t cu se transformă in integrală de funcţie raţională
făcând transformarea 2xtg t= .
Cum2
2 2
2 22 , ,sin ,cos1 1
tx arctgt dx dt x xt t 2
11
tt
−= = = =
+ + +integrala se transformă ‚în
2
2 2 2
2 1 2,1 1 1
t t ,R dtt t t
⎛ ⎞−⋅⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
∫ integrala de funcţie raţională în t.
Sânt situaţii când alte transformări conduc mai repede la rezultat. I. Dacă funcţia este impară in sinx adică ( xxR cos,sin )
)( ) (sin ,cos sin ,cosR x x R x x− = − se face transformarea cosx= t
II. Dacă funcţia (sin ,cos )R x x este impară în cosx adică
( ) (sin , cos sin ,cos )R x x R x− = − x se face transformarea sinx=t
III. Daca funcţia ( ) ( )xxxxRxxR cossin,cos,sin~cos,sin 22= Se face transformarea tgx = t folosind relaţiile următoare
82
dt
tdxarctgtx
tx
ttx
2
22
11
11cos,
1sin
+==
+=
+=
Exemplu:
2 2
2 2
2
1 21) ln 1 ln 12 11 sin cos 1 1 21
1 1
222
1
dx dt xdt t C tg Ct tx x t tt t
xtg t
x arctgt
dx dtt
= ⋅ = = + + =−+ + + ++ +
+ +
=
=
=+
∫ ∫ ∫ + +
8.3.2. Integrale de funcţii hiperbolice Sunt integrale de forma ( ) ( )wvuRundedxechxshxR x ,,,,∫ este o funcţie raţională de
u, v, w. Se face substituţia: 1ln ,xe t x t dx dtt
= ⇒ = = şi se înlocuiesc
1 1
,2 2 2
x x x xt te e e etshx chx− −+ −+ −
= = = =2
t . Facem o paranteza precizând ca
1
1,11
2
2
2
2
−+
=+−
=+−
= −
−
x
x
x
x
xx
xx
eecthx
ee
eeeethx
( ) ( )
xshxhct
xchxhtshxxhcchxxhs
shychxshxchyyxshshxshychxchyyxchshxch
22
22
1,1,,
,,1
−=′=′=′=′
±=±±=±=−
Ccthxxsh
dxCchxxch
dxCchxshxCshxchx +−=+=+=+= ∫∫∫ ∫ 22 ,,,
212,
212 22 −
=+
=xchxshxchxch
Cxxshdxxchxdxch ++=+
=∫ ∫ 212
41
2122
Exemple
1. ( ) ( ) ( ) Cxshshxshxdxshshxxdchxdxch ++=+== ∫∫ ∫ 31
3223
83
2
2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 12. 1 ln1 1
12
1 ln
1 1
2 2 1 11 ln1 1
ax
ax
axax
ax
t u u ue dx udu du u Ca t a u a u a a u
e t t udt udu
x ta
dx dta t
ee Ca a e
+ − ++ = = ⋅ = = + +
− − +
= + ==
=
= ⋅⋅
+ −+ + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ 1−
=
8.3.3. Integrale de funcţii iraţionale
Sunt integrale al căror integrant conţine variabila sub radical
)1 2
1 2, ,... , ,p
p
mm mnn n
i ii R x x x dx m n Z⎛ ⎞⎜ ⎟ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Se face substituţia ( )1 2, . . . . . , ,...rpx t r c m m m c n n n= =
)1 2
1 2, , ,...p
p
mm mn n nax b ax b ax bii R x dx
cx d cx d cx d
⎛ ⎞+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
( )1 2. . . . . , ,...rp
ax b t r c m m m c n n ncx d
+= =
+ Se face substituţia
Exemplu: 3 3 2
23 23
6 16 1 6 6ln 11 3 21 1
dx t t tdt t t dt t t Ct t tx x
⎛ ⎞⎛ ⎞= = − + − = − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠− + −∫ ∫ ∫ +
6
6
5
11
6
x tx t
dx t dt
− =
= +
=
3 61 3 1 6 1 6ln 62 1 1x x x− − − + − −
iii) Integralele de tipul
x C= − + +
( )2,R x ax b+∫ x c dx+ sunt reductibile la integrale de
funcţii raţionale în urma substituţiilor lui Euler. 2ax bx c x ta+ + = + Astfel, pentru a>0 se face substituţia
se face substituţia 0c ≥ 2ax bx c tx c+ + = + ă are răd cini reale d ăac 2ax bx c+ + 1 2,x x se substituie
84
( )2ax bx c t+ + =
Prin mului 2ax bx c1x x−
transformarea trino + + în sumă sau în diferenţă de pătrate
integralele ( )2,R x ax bx c dx+∫ se reduc la integralele următoare făcând substituţii mai
simple:
( )( )( , )
2 2
2 2
2 2
, sin
, sec
R z a z dz z a t sau z atht
R z z a dz z a t sau z acht
R z z∫ a dz z atgt sau z asht
− = =
− = =
+ = =
∫
∫
Exemplu:
( ) ( ) ( )2 22 2 2
2
1 1 cos1 cos sin1 2 1 1 1
cos
dx dx tdtt tx x x x x x tg t
t
= = ⋅ =+ + + + + ⋅
∫ ∫ ∫
=∫
2
11
cos
x tgt
dxdt
+ =
=
2
2
1 1 2 2sin 1
du x xC Cu u t x
+ + C= − + = − + = − ++
e pul
= ∫sincos
t utdt du==
8.3.4. Integrale binom
( ) , ,pn ; ,mx ax b dx m n p+ ∈Q a b∫Sunt integrale de ti constante.
Putem presupune tfel facem substituţia: , n Z∈ alm( ), . . . . . ,sx t s c m m m c m n== şi avem 1, ,m sm n sn sx t x t dx st d−= = = t şi integrala se transformă
în sms t∫ ( ) 1psn sat b t dt−+ în care , , 1sm sn s Z− ∈ Mai putem presupune că n>0 altf m scrie el, pute
( ) ( )p pm n m np nx ax b dx x a bx dx+ −+ = +∫ ∫ cu 0n− > Deci, vom conside egrale de tipul ra int
( ) pm nx ax b dx+∫ cu , , 0, qm n Z n pr
∈ > =
O uncţii elementare în următoarele trei cazu
caz în care ă
integrală binomă se exprimă cu ajutorul unor fri:
)i p Z∈ avem o integrală de funcţie raţional
) 1,q mii p Zr n
+= ∈ n rax b t+ = caz în care se face substituţia
85
) 1,q miii p p Zr n
+= + ∈ caz în care se face substituţia
nr
n
ax b tx+
=
Exemplu:
( )1
3 23
11
dx x x dx x
−= −−∫ ∫ x
13, 1,2
1, 2
m n p
mp Z Zn
= − = = −
+∉ = −
∈
Facem substituţia:
( ) ( ) ( )( )
2 2
31
3 3 22 2 2
3
2
1 , 1, 21 3 52 2
41 1 8 1
3 1 5 1 3 18 4
x t x t dx tdtdt t tl t tdt arctgt
t t t
x xarctg x C
x
−
− = = + =
+= ⋅ ⋅ = = +
+ + +
− + −
3=
+ − +
∫ ∫
=
86
EXE CIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze
R
2
dx1 sin x+∫ .
( )
2 22 2 2
22
2
dx 1 dt 1 1 dtR : dtt1 sin x 1 t 1 2t 2 21 t1 t 2
2 2arctgt 2 C arctg tgx 2 C2 2
tgx tx arctgt
dtdx1 t
=+
= = = =+ + + ⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟+
⎝ ⎠
= + = +
==
∫ ∫ ∫ ∫
2) Să se calculeze 2
sin 21 sin
x dxx+∫
2 22 2 2 2
sin 2 2sin cos: 2 2 ln 21 sin 1 sin 2 2
cossin
x x x tdt tdt ln cos 2R dx dx t C x Cx x t t
x txdx dt
= = − = = − + =+ + − −
=− =
∫ ∫ ∫ ∫ − +
3) Să se calculeze ( ) 21 1
dxx x+ +
∫
( )
2
2 2 2 22
1 1: 21 2 1 2 21 1
2 2
dx t dtRt t t t t tx x
t t
+= − ⋅ = =
− + + − −+ + ⋅∫ ∫ ∫ 1
2
2
2
2
11
212
x x ttxt
tdx dtt
+ = +
−=
+= −
( ) ( )2
2
2 1 2 1 1 1 22 ln ln1 2 2 1 1 2
dt t x x Ct x xt
− − + − − −= = = +
− + + − − +∫
4) Să se calculeze
22 2 21 2− −
2 1x x x d+ +∫ x
87
R:22
2 1 3 3 1 3 312 2 2 2 2 2
x x x dx x x dx sht cht chtdt⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
1 32 2
32
x sht
dx chtdt
+ =
=
2 2 33 3 3 3 3 3 2 38 8 8 16 2 1
−6
sh tshtch tdt ch tdt ch t t= − = − ⋅ =∫ ∫
2
2 123
1ln 12
sht x
t x x x
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )22 2 21 1 1 3 11 1 ln3 4 2 16 2
1x x x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + + + − + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
C
5) Să se calculeze 4 1dxx +
∫
R: ( )( )
53 4 4 2
1 444 4
1 1 111 1
t tdx tdt dttx t t
− − += − = −
−+ −∫ ∫ ∫ =
1 10, 4, , 04
mm m p Z pn
Z+= = = − ∉ + = ∈
Facem substituţia: ( ) ( )1 54
4 4 44 44
1 11 , 1 44
x t x t dx t tx
−+= ⇒ = − = − − ⋅ 3dt
2 4 2 2 2
4 44 4
44
1 1 11 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1ln ln2 4 1 2 4 1
dt dt dt dtdtt t t t t
t x xarctgt arctg Ct x x x
= − − = − − + =+ − + − +
− + += − − = − − +
+ + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫x+
44 1xtx+
=
88
LECŢIA 9 INTEGRALA DEFINITĂ
Fie un interval închis şi mărginit. O mulţime finită şi ordonată de
puncte Δ = [ ]a, b , a b<
[a, b]0 1 nx , x ,..., x , satisfăcând condiţiile a = x0 < x1 <.....< xn-1 < xn = b
determină o diviziune sau o partiţie a intervalului [ ]a, b .
Norma diviziunii este ( ) ( )i 1 ii 0,n 1max x x+= −
ν Δ = − adică lungimea celui mai mare
interval al diviziunii.
ξn x=x0 x1 x1 Xn=b ξ1 ξ2 xn-1
Fie Δ1, Δ2 două diviziuni ale intervalului [ ]ba, . Δ2 este mai finită decât Δ1, notată
Δ1 Δ2 dacă diviziunea Δ2 conţine toate punctele diviziunea Δ1 şi eventual alte puncte. ⊂Dacă Δ1⊂Δ2 atunci ν(Δ2) ≤ ν(Δ1). Definiţie: O funcţie f:[ →R se numeşte integrabilă Riemann dacă există un număr If real
cu proprietatea: ∀ ε > 0 ∃ δ (ε) > 0 astfel încât pentru orice diviziune ]a, b
( )0 1 nx , x , , xΔ = K a
intervalului [ cu ν(Δ) = δ(ε) şi orice puncte intermediare xi-1 ≤ δi ≤ xi, ]a, b i 1, n= are loc inegalitatea:
( ) ( ) ( )(n
f ii 1
f , I , unde f , f x xΔ Δ=
σ ξ − < ε σ ξ = ξ −∑ )i i 1−
este suma integrală Riemann a lui f ataşată diviziunii Δ şi sistemului de puncte intermediare.
Teorema 1. Orice funcţie integrabilă f:[ ]a,b R→ este mărginită adică există o
constantă M ≥ 0 astfel încât ( ) [ ]a, b∈f x M, x≤ ∀ . 9.1. Sume Darboux Fie f:[ ] mărginită, a, b R→ ( )
[ ]x a ,bm inf f x
∈
= , ( )[ ]x a ,b
M supf x∈
= , ( )[ ]i 1 i
ix ,x
nf f x−
=m i ,
( )[ ]
xi 1 i
ix ,x
M supf−
= .
Sumele se numesc sume
integrale Darboux inferioară, respectiv superioară.
( ) ( ) ( ) ( )n n
i i i 1 i i i 1i 1 i 1
s f m x x , S f M x xΔ − Δ= =
= − = −∑ ∑ −
Avem: ( ) ( )fMa s S M b aΔ Δ Δm b − ≤ ≤ σ ≤ ≤ − .
89
Aria trapezului curbiliniu fΓ = aria figurii plane mărginite de axa Ox, dreptele x = a, x = b şi Gf este cuprinsă între sΔ(f) şi SΔ(f). sΔ, SΔ aproximează prin lipsă respectiv prin adaos aria trapezului.
Dacă f:[ ] este o funcţie continuă pozitivă, atunci aria ( ) . a, b R→ ( )b
fa
f x dxΓ = ∫xn=b a=x0 x1 x2 xn-1
a b
Dacă f, g:[ ] sunt funcţii continue astfel încât f(x) ≤ g(x), ,
aria mulţimii a, b R→ [ ]x a, b∀ ∈
Γf,g = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b
2
a
x, y R a x b, f x y g x este g x f x dx∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .
y=g(x)
y=f(x)
9.2. Funcţii integrabile Riemann Teorema 2. Criteriul de integrabilitate Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia mărginită [ ]f : a, b R→ să fie
integrabilă pe [ este ca oricărui ε > 0 să-i corespundă un δ = δ(ε) > 0 astfel încât ]a, bSΔ – sΔ < ε, pentru ∀ diviziune Δ cu ν(Δ) < δ.
Teorema 3. Orice funcţie continuă pe [ ]a,b este integrabilă pe [ ]a, b .
Teorema 4. Orice funcţie monotonă pe [ ]a, b este integrabilă.
90
Teorema 5. Dacă valorile funcţiei integrabile [ ]f : a, b R→ sunt modificate
într-un număr finit de puncte din [ ]a, b , atunci funcţia modificată este integrabilă pe
şi are aceeaşi integrală cu funcţia iniţială. [a, b]Teorema 6. O funcţie mărginită [ ]f : a, b R→ având o mulţime finită de
discontinuităţi este integrabilă pe [ ]a, b . Dacă a < x0 < x1 <.....< xn = b, f continuă pe (xk, xk+1), atunci
. ( ) ( )k 1
k
xb n 1
k 0a x
f x dx f x dx+−
=
= ∑∫ ∫Proprietăţi ale funcţiilor integrabile 1) Din definiţie dacă f este integrabilă pe [ ]ba, atunci f este integrabilă pe [ ]b,a şi
; pentru a = b avem ( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ ( )f x dx 0a
a
=∫ .
2) Dacă f, g integrabile pe [ ]a, b ⇒ αf + βg este integrabilă pe [ ]a,b şi
x∫ mulţimea funcţiilor integrabile pe [ ]a, b ( )b b
a a
f g dx f dxα +β = α∫b
a
gd+β∫
este spaţiu liniar, iar I, I(f) = este o funcţie liniară pe acest spaţiu liniar. ( )b
a
f x dx∫
3) f, g integrabile pe [ ] . ( ) ( ) [ ] ( ) ( )b b
a a
a,b , f x g x , x a,b f x dx g x dx≤ ∀ ∈ ⇒ ≤∫ ∫
În particular dacă f integrabilă pe [ ]a,b şi . ( ) [ ] ( )b
a
f x 0, x a,b f x dx 0,a b≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ <∫4) Dacă f este integrabilă pe [ ] ( )a,b f x⇒ integrabilă pe [a,b] şi
( ) ( )b b
a a
f x dx f x dx, a b≤ <∫ ∫ .
5) Dacă f este integrabilă pe [a,c] şi pe [c,b], atunci f este integrabilă pe [a,b] şi
. ( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫6) Formula de medie sub formă generală. Fie f, g integrabile pe [ , m, M marginea inferioară respectiv superioară a lui f
pe . Dacă
]]
a, b
[a, b ( ) ( )( ) [ ] [ ]g x 0 pe a,b , atunci a,M∃ μ∈
( )b b
a a
g x d∫ ∫
0 g x≥ ≤
x
astfel încât
. ( ) ( )x g xf dx = μ
Demonstraţie: Avem: ( ) [ ]m f x M, x a, b≤ ≤ ∀ ∈ ; presupunem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]g x 0 mg x f x g x M g x pe a, b≥ ⇒ ≤ ≤
91
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b
a a a a
m g x dx f x g x dx M g x dx g x dx 0≤ ≤ ≥∫ ∫ ∫ ∫ .
Dacă . ( ) ( ) ( )b b
a a
g x dx 0 f x g x dx 0,= ⇒ = ∀μ∫ ∫
Dacă ( )( ) ( )( )
bb a
ba
a
f x g x dxg x dx 0 m M
g x dxμ
> ⇒ ≤ ≤∫∫
∫.
Observaţii 1. Dacă în plus f este continuă pe [ ]a,b rezultă că [a,b]ξ∈ astfel încât
. ( ) ( ) ( ) ( )b b
a a
f x g x dx f g x dx= ξ∫ ∫
2. . ( ) ( ) ( )b
a
g x 1, f x dx b a≡ = μ∫ −
Dacă f continuă, rezultă că . ( ) ( )( ) [ ]b
a
f x dx f b a , a,b= ξ − ξ∈∫Teorema 7. Oricare f, [ ]f : a, b R→
( )F x
continuă pe [a,b] admite primitive pe [a,b].
Una din aceste primitive este funcţia integrală cu limită superioară
variabilă.
( )x
c
f t dt= ∫
Demonstraţie: Fie x arbitrar fixat în [a,b], h astfel încât [ ]x h a,b+ ∈ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x h x x h
c c c
F x b F x 1 1f t dt f t dt f t dth h h
+ ++ − ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ .
Conform teoremei de medie rezultă:
] astfel încât ( ) ( )x h
x
f t dt h f+
= ξ∫ , [x, x hξ∈ +
( ) ( ) ( )F x h F xf
h+ −
= ξ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h 0
F x h F xh 0 x lim f x , F x f x
h→
+ −′→ ⇒ξ→ ⇒ = = .
Observaţii: – Primitiva este aceea care în c ia valoarea 0; – Teorema arată că derivata integralei definite ca funcţie de limită superioară este
funcţia de sub semnul integral:
( ) ( )x
c
d f t dt f xdx
=∫ .
Teorema 8. Formula fundamentală a calculului integral Leibniz-Newton
92
Dacă funcţia este continuă pe [a,b] şi [ ]f : a,b R→ ( )xφ este o primitivă a ei,
atunci ( ) ( )( ) ( )b
b
aa
f x dx b a− φ = φ x= φ∫ =φ(b) – φ(a) = φ(x) ba .
Demonstraţie:
Fie ( )xφ o primitivă a lui f(x) pe [ ]a, b , ( )xφ = ( )x
cf t dt c+∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )b a b
c c ab a f t dt c f t dt c f tφ − φ = + − + =∫ ∫ ∫ dt
]
.
Teorema 9. Formula schimbării de variabilă în integrala definită 10. este continuă pe [a,b]; [ ]f : a,b R→
20. cu derivată continuă pe [ ] [: , a, bϕ α β → [ ],α β ;
30. ( ) ( )a, bϕ α = ϕ β = ,
Atunci: ( ) ( )( ) ( )b
af x dx f t t dt
β
α′= ϕ ϕ∫ ∫ .
Dacă F(x) este o primitivă a lui f pe [ ]a,b , atunci rezultă că ( )( )F tϕ este o
primitivă a lui ( )( ) ( ) [ ]f t ' t pe ,ϕ ⋅ϕ α β .
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )b
a
f t ' t dt F F F b F a f x dβ
α
ϕ ϕ = ϕ β − ϕ α = − =∫ ∫ x
]
.
Teorema 10. Formula de integrare prin părţi. Dacă f, g au derivate continue pe
, atunci [a,b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b
b
aa a
f x g ' x dx f x g x f ' x g x dx= −∫ ∫ .
Exemple:
1. a 2 2 2
bx a x dx,−∫ a > 0
Facem schimbarea x = a sint cu dx = a cost dt.
Atunci t = arcsin xa
.
x 0 a
t 0 2π
4
2 2 2 2 2 4 2 2 22 20 0
sin sin cos sin cos sin4a 2
0I a t a a ta tdt a t tdt tdt
π π
= − = =∫ ∫π
=∫
( )4 4 2
20
0
a a 11 cos 4t dt t sin 4t8 8 4
μπ 4a
16π⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
( )1 1 1
1 10 02
0 0 0
x 12. arctg x dx x 'arctg x dx x arctg x dx x arctg x ln x 11 x 2
1 ln 24 2
= = − = − ++
π= −
∫ ∫ ∫ 2 10 =
93
9.3. Aplicaţii ale integralei definite Lungimea unui arc de curbă Fie AB un arc de curbă plană definită de ecuaţia ( )y f x ,a x b= ≤ ≤ , funcţia f fiind
continuă, cu derivata întâi continuă în [a,b]. Lungimea arcului AB este
( )b
12
a
L 1 f x d= +∫
B
A x .
Aria unei suprafeţe de rotaţie şi volumul unui corp de rotaţie Fie y = f(x) o funcţie continuă, pozitivă, cu derivata continuă pe [a,b]. Graficul
funcţiei f(x) pe [a,b] este un arc AB situat deasupra axei Ox. Aria A a suprafeţei generate de arcul AB când se roteşte în jurul axei Ox este:
( ) ( )b
12
a
A 2 f x 1 f x dx= π +∫ .
y
a b x
( )2f xDacă este integrabilă pe [a,b], volumul corpului K care ia naştere prin rotaţia
domeniului plan mărginit de arcul de curbă ( )y f x ,a x b= ≤ ≤ , dreptele x = a, x = b şi
axa Ox este . ( )b
2
a
V f x dx= π∫Centre de greutate Dacă f(x) = 0 este continuă pe [a,b], coordonatele centrului de greutate al figurii
mărginite de graficul funcţiei f, dreptele x = a, x = b şi axa Ox sunt:
( )b
Ga1
1x x f xM
= ∫ dx
( )b
2G
a1
1y f x2M
= ∫ dx
x
unde M f ( )b
1a
x d= ∫a b
=f(x) y
94
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze 0
sinxe xdπ
∫ x
R: 1 1
0 00 0 0 0 0
sin ( ) sin sin cos ( ) cos cos sinx x x x x x xe xdx e xdx e x e xdx e xdx e x e xdxπ π π π π
π π= = − = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
12 1 (2
i e i eπ π= + ⇒ = +1)
2) Să se calculeze 4
30 cos cos
x dxex x
π
+∫
R: Facem substituţia sinx = t deoarece funcţia este unipară în cosx. Obţinem
( )( )
2 24 2 2
3 2 20 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1cos cos 2 1 2 1 2 2 2 2 2 21 2
dx dt dtx x t t t tt t
π
⎛ ⎞= = − + −⎜ ⎟+ + − − +− − ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ =
( ) ( )1 1ln 2 2 ln 2 2 ln 32 2⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
3) Să se calculeze 3
22 ( 1) 1
dxx x+ −
∫
R: Efectuăm substituţia 122 11 ( 1),
1xx t x tx+⎛− = − = ⎜ −⎝ ⎠
⎞⎟ sau
2
2
11
txt+
=−
Deci 3 3
222 2
1 12 3( 1) 1
dx dttx x
= = −+ −
∫ ∫
4) Să se calculeze lungimea curbei ( ) 2ln , 2,2 3f x x x ⎡ ⎤= ∈ ⎣ ⎦ .
R: Avem 2( )f xx
′ = şi 2
22
41 ( ) xf xx+′+ = prin urmare
2 32
2
1 4L xx
= +∫
Facem substituţia 2x tgt= şi avem
2 23 3 3 33
2 2 24
4 4 4 4
sin cos sin 12 2 2 2 lnsin cos sin cos sin cos 2 cos
dt t t dt t tl dt tt t t t t t t
π π π ππ
ππ π π π
⎛ ⎞+= = = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ g =
2 ln ln 2 26 8
tg tgπ π⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
95
96
5) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea curbei de ecuaţie
[ ]sin , 0,y x x π= ∈ în jurul axei Ox.
R: 2
2
0 0
1 cos 2sin2 2
xV xdx dxπ π ππ π −
= =∫ ∫ =
LECŢIA 10 INTEGRALE CURBILINII
10.1. Lungimea unui arc de curbă Fie [ ] Rbahgf →,:,, continue. Mulţimea Г a punctelor din de coordonate ( ( ) ( ) ( ) ) [ ], , , ,f t g t h t t a b∈
( ) ( ) ( )( )ahagafA ,,, se numeşte curbă continuă sau drum cu
originea în şi extremitatea în ( ) ( ) ( )( )bhbgbfB ,, .
Ecuaţiile parametrice ale curbei Γ sunt: ( )
( )( )( ) [ ]⎪
⎩
⎪⎨
⎧
∈===
batthztgytfx
,,1
iar ecuaţia vectorială este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftrr ++==2 . O curbă poate fi orientată - un sens pozitiv ( de obicei cel de creştere a
parametrului t), celălalt negativ. Un drum se numeşte închis dacă extremităţile coincid. Un punct Γ∈M este punct multiplu dacă există 21 tt ≠ , astfel încât
( ) ( )21 trtr = . Un drum fără puncte multiple se numeşte drum simplu. Un drum Г este cu tangentă continuă dacă f, g, h au derivate continue pe [ ] . ba,Punctul ( )00 tM este punct singular dacă ( ) ( ) ( ) 00
20
20
2 =′+′+′ thtgtf . Un drum cu tangenta continuă se numeşte drum neted dacă
( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2 0, ,f t g t h t t a b′ ′ ′+ + ≥ ∀ ∈ , adică nu are puncte singulare. Vectorial aceasta înseamnă că există:
( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitfdt
rdtr ′+′+′==′ şi
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]batthtgtftr ,,0222 ∈∀≠′+′+′=′
Pe drumul Г alegem punctele 0 1 1, , ... , ,...i i nA A A A A A B+= = în ordinea dictată
de orientarea lui Г. Spunem că punctele niAi ,0, = , definesc o diviziune a lui Г notată π. Diviziunea π determină o diviziune Δ a lui [ ]ba, :
a = t0 < t1 < ...< ti < ti’1< ...< tn = b
Se numeşte normă a diviziunii π numărul 1
1,0max +
−== ii
niAAυ .
Diviziunea π determină linia poligonală înscrisă în Γ, AA1...AiAi+1...B, având
lungimea 1
10
n
i ii
l A A−
Δ +=
=∑ . Cum ( )( ) ( ) ( ) nithtgtfA iiii ,0,,, = ,
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 2
1 1 10
n
i i i i i ii
l f t f t g t g t h t h t−
Δ + + +=
= − + − + −∑ 2
/
) ( 0A A=
1A nA B=
(( )) ( ) ( )i i i iA f t ,g t ,h t
0a t it nb t = =
97
Definiţie: Drumul Γ se numeşte rectificabil dacă există şi este finită limita lungimilor lΔ a liniilor poligoanelor înscrise în Γ, când norma diviziunii ( )Δυ tinde la 0.
Dacă Γ este rectificabil, numărul ( ) 0limL
υlΔΔ →
= se numeşte lungimea drumului Γ.
Teoremă: Dacă drumul ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]batkthjtgitftr ,, ∈++= este cu tangentă continuă
atunci el este rectificabil şi lungimea lui este dată de
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′=′+′+′=b
a
b
a
dttrdtthtgtfL 222 .
În cazul curbei plane ( ) ( ) ( ) jtgitftr += , cu tangentă continuă,
( ) ( ) ( )∫ ∫ ′=′+′=b
a
b
a
dttrdttgtfL 22 .
Fie drumul cu tangentă continuă, orientat, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( bhbgbfBahagafA ,,,,,,Γ ) extremităţile lui şi fie ( ) ( ) ( )( )thtgtfM ,, un
punct curent de pe curbă cu [ ]bat ,∈ . Notăm s(t) lungimea cercului . Avem AM
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′=′+′+′=b
a
b
a
drdhgfts ττττττ 222 .
Evident s(a) = 0 şi s(b) = L ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trthtgtfts ′=′+′+′=′ 222 şi
( ) ( ) ( ) ( )dtthtgtftds 222 ′+′+′= Forma diferenţială ds se numeşte element de arc şi satisface
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 2222222222 dttrdtthtgtfdzdydxds ′=′+′+′=++= care se numeşte formula elementului de arc;
Lungimea unui arc de curbă este . ∫Γ
= dsL
Cazuri particulare: a) Curba plană explicită ( ) [ ]baxxfy ,, ∈= are parametrizarea
( ) [, ,x t
]y f t t a b=⎧⎪
⎨ = ∈⎪⎩ şi ( ) ( )∫ ∫ ′+=′+=
b
a
b
a
dxxfdttfL 22 11 dacă f este
derivabilă pe [ ] ; ba,
Elementul de arc este ( )dxxfds 21 ′+= b) Pentru un arc în coordonate polare sub formă explicită ( ) [ 21,, ]θθθθ ∈= rr , avem
reprezentarea parametrică şi ( )( )⎩
⎨⎧
==
θθθθ
sincos
ryrx
( ) ( )( )( ) [ ]
2 2 2 2 2 2 2
1 2
cos sin
sin cos ,
dx dr r d dx dy dr r d r r d
dy dr r d daca r este derivabila pe
2θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
′= − + = + = +
= +
( ) ( )∫ ′+=′+=2
1
2222 ,θ
θ
θθθθ drrdsdrrL
Exemplu:
98
1) Astroida [ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
∈=
=
π2,0,sincos
3
3
ttaytax
Ecuaţia implicită 32
32
32
ayx =+ ( ) ( )
( ) ttattttayxttatyttatx
2222424222
22
cossin9cossinsincos9cossin3sincos3
=+=′+′
=′−=′
A
B
C
D
( ) ( ) ( )22 2
2 2 20
0 0
sin tL 4l AB 4 x t y t dt 12a sin t cos tdt 12a 6a2
π ππ
′ ′= = + = = =∫ ∫
2) Cardioida ( ) ( ) πθθθθ =−=′+= sincos1 arar punct singular
( )
∫ =⋅==
=+=′+
ππθθθ
θθ
00
22222
82
sin242
cos22
2cos4cos22
aadaL
aarr
3) Elicea cilindrică ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
btztaytax
sincos
dtbadtzyxds 22222 +=′+′+′=
lungimea arcului pentru [ ]π2,0∈t , ∫ +=+=Lπ
π2
0
2222 2 badtba
10.2. Integrala curbilinie de primul tip Problema de fizică şi mecanică ce implică integrarea funcţiilor definite de-a
lungul unor curbe conduc la două tipuri de integrale curbilinii: de primul tip (în raport cu lungimea arcului) şi de al doilea tip (în raport cu coordonatele).
Fie un arc de curbă simplă, netedă pe porţiuni dată prin ecuaţiile
parametrice. Fie
ABΓ =
( ) ( zyxFM ,,= )F o funcţie definită pe ABD ⊃ , ( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
===
thztgytfx
Considerăm o diviziune (π) a arcului valorile corespunzătoare ale
parametrului 0 1 1, ,..... ,−= =n nAB A A A A A B cu ti
( ) ( ) ( )( ) nithtgtfAApentrut iiiii ,,, ,0, = . Considerăm punctele
intermediare Pi ale diviziunii π, 1i i iP A A i+∈ =, 0, 1n − şi τi valoarea corespunzătoare
a parametrului t pentru ( ) ( ) ( )( ) 1,0,,,, hgfPP iiiii τττ −= ni ; Lungimea arcului 1i iA A + este iσ dată de:
( ) ( ) ( )∫+
−=′+′+′=1
1,0,222i
i
t
ti nidtthtgtfσ
Notăm: iniσλ
1,0max
−== norma diviziunii π.
Definiţie: Se numeşte suma integrală a funcţiei corespunzătoare diviziunii π a arcului cu punctele intermediare
Pi, suma ( ) ( )zyxFMF ,,= AB
99
( ) ( ) ( ) ( )( )∑ ∑−
=
−
=
==1
0
1
0,,
n
i
n
iiiiiii hgfFPF στττσσπ
Definiţie: Funcţia este integrabilă pe dacă ∃ şi este finită limita
sumelor integrale ( ) ( zyxFMF ,,=
π
) ABσ când norma diviziunii π tinde la 0 şi această limită este
independentă de diviziunea π şi alegerea punctelor intermediare Pi.
0limI πλ
σ→
= se numeşte integrală curbilinie de primul tip a funcţiei
( )F M pe AB şi se notează ( ) ( )AB AB
F M ds F x, y,z ds=∫ ∫
10.3. Legătura dintre integrala curbilinie şi integrala Riemann Teoremă: Dacă funcţia ( ) ( ) ( )( thtgtfF ,, ) este integrabilă pe [ ]ba, , atunci funcţia
( ) ( ), ,F M F x y z= este integrabilă pe arcul şi AB
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )b
2 2 2
aAB
F x, y,z ds F f t ,g t ,h t f t g t h t dt′ ′ ′= +∫ ∫ +
Observaţii: 1) Modul de calcul al integralei curbilinii: se înlocuiesc în funcţia de sub semnul
integrală x, y, z cu expresiile lor din reprezentarea parametrică a curbei AB iar elementul de arc dss se înlocuieşte cu diferenţiala lungimii de curbă în funcţie de parametrul respectiv pe curbă.
2) Valoarea integralei ( )AB
F M ds∫ nu depinde de orientarea curbei AB adică
( ) ( )AB BA
F x, y,z ds F x, y,z=∫ ∫ ds , (σi este acelaşi pentru diviziunea lui AB sau
diviziunea lui BA ).
3) Integrala definită a unei funcţii reale şi pozitive poate fi interpretată
ca aria unui trapez curbiliniu. Similar integrala
( )∫b
a
dxxf
( )y f x= curbilinie de primul tip din plan ( )
AB
F x, y ds∫
a unei funcţii reale şi pozitive poate fi interpretată ca aria unei porţiuni dintr-o suprafaţă cilindrică.
a b
100
Aplicaţie: Determinarea masei unei curbe materiale Prin curbă materială se înţelege un arc neted pe porţiuni de-a lungul căreia
este distribuită o masă a cărei densitate de repartiţie este dată de funcţia AB
( ) ,M M ABρ ∈ . Împărţind prin punctele AB 0 1 1, ,... , ,...i i nA A A A A A B+= = , în
subarcele de lungime 1+ii AA iσ atunci putem aproxima masa m a curbei materiale
prin suma unde MI este arbitrar
AB
( ) iiM σ∑−
=
1
0
n
i
ρ i iA A 1+∈
( ) ( )n 1
i ii 0 AB
0
m lim M M ds−
=λ→
= ρ σ = ρ∑ ∫
Coordonatele centrului de greutate G al firului sunt date de:
( )∫Γ
= dszyxxM
xG ,,1 ρ
( )∫Γ
= dszyxyM
yG ,,1 ρ
( )∫Γ
= dszyxzM
zG ,,1 ρ
Dacă arcul este plan AB( )( ) [⎩
⎨⎧
∈==
βα ,,ttgytfx
], integrala curbilinie devine
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
AB
F x, y ds F f t ,g t ,h t f t g t dtβ
α
′ ′= +∫ ∫
Cazuri particulare a) Arcul dat explicitAB ( ) [ ],y y x x a b= ∈ , ; elementul de arc
( )dxxyds 21 ′+= şi ( ) ( )( ) ( )2, , 1b
a
F x y ds F x y x y x dx′= +∫ ∫AB
b) Arcul în coordonate polare sub formă explicită: AB
( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 21 2, , , , drr r ds r r d r
dθ θ θ θ θ θ θ θ
θ′ ′= ∈ = + =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
1
2 2, cos , sinAB
F x y ds F r r r r dθ
θ
θ θ θ θ θ θ′= +∫ ∫ θ
)
Analog proprietăţilor integralei definite, integrala curbilinie are proprietăţile. 10 dacă F(M), G(M) integrabile pe ( ) (AB F M G Mα β⇒ + integrabilă pe
( ) ( )( ) ( ) (= +∫ ∫AB AB
ds F M ds Gα β )∫, ,∀ ∈ +AB
AB R si F M G M M dsα β α β
20 dacă F(M) ≥ 0 integrabilă pe ( ) 0AB
AB F M ds⇒ ≥∫
30dacă F(M) integrabilă pe ( )AB F M⇒ integrabilă pe
( ) ( )≤∫ ∫AB AB
AB şi F M ds F M ds
101
40 Teorema de medie: dacă F(M) continuă pe astfel încât
*AB M AB⇒∃ ∈
( ) ( ) ( )*AB
F M ds F M l AB= ⋅∫ 10.4. Integrala curbilinie de tipul al doilea Se introduce pornind de la o problemă de fizică. Lucrul mecanic efectuat de o forţă constantă F într-o deplasare rectilinie
este produsul scalar AB
θcos⋅⋅=⋅= ABFABFL , θ este arcul pe care îl face F cu direcţia orientată . AB
DacăF are componentele P, Q, R, iar A şi B au coordonatele atunci: ( ) ( 222111 ,,,,, zyxzyx )
( ) ( ) ( ) RzzQyyPxxL ⋅−+⋅−+⋅−= 121212
21 rsir vectorii de poziţie ai punctelor A şi B, ( )12 rrFL −⋅= . Dacă notăm cu
Fie o curbă în spaţiu de ecuaţii parametrice AB ( ) ( ) thztgytfx = ( )== ,, Fie ( ) ( ) ( ) ( )zyxRkzyxQjzyxPizyxF ,,,,,,,, ⋅+⋅+⋅= cu componentele P, Q,
R definite pe arcul AB. Ne propunem să calculăm lucrul mecanic efectuat de forţa F de-a lungul arcului . Considerăm o diviziune AB 0 1 1, ,..... ,n nA A A A A B−= = de
coordonate ( ) ( ) ( )1111100 ,,,......,, −−− nnn zyxzyx 1 , yx0 ,, z a arcului AB.
Norma diviziunii ( ) 1 1max , 0,1,... 1,k k k kA A k n A Aυ + +Δ = = − lungimea
segmentului 1k kA A + .
x
y
z
0A A= 1A 0N
kA kN k 1A +
( )
Pe fiecare subarc luăm un punct arbitrar 1k kA A + ( )kkkk zyxN ,, . Lucrul mecanic
efectuat de forţa variabilă F de-a lungul arcului îl vom aproxima cu suma: AB( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 2 1 1.....n nL F N A A F N A A F N A A− −= ⋅ + ⋅ + + ⋅ n n , adică cu suma lucrului
mecanic efectuat de forţele constante ( )kNF pe segmentele
1, 0,1,... 1k kA A k n+ = −
( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∑−
=+++ −+−+−=
1
0111 ,,,,,,
n
kkkkkkkkkkkkkkkkn zzzyxRyyzyxQxxzyxPL
Definiţie: Dacă există şi este finită limita lui Ln, când norma diviziunii tinde de
la 0 şi această limită nu depinde de diviziunea Δ şi de alegerea punctelor intermediare, numim limita integrală de speţa a II-a şi o notăm:
An 1− nB A=
( )0 F N
kF N
0
102
( ) ( ) ( )AB
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz+ +∫
Ea reprezintă din punct de vedere fizic lucrul mecanic efectuat de forţa variabilă ( zyxF ,, ) de-a lungul arcului . AB
Observaţie: Ţinând seama că vectorul de poziţie este:
dzkdyjdxirdiarkzjyixr ++=++= , integrala curbilinie se scrie AB
F dr⋅∫
numindu-se circulaţia vectorului F pe AB .
Dacă arcul de curbă este închis notăm rdFC
⋅∫
Regula de calcul a unei integrale curbilinii
Fie arc de curbă de ecuaţie parametrică AB( )( )( ) btathz
tgytfx
≤≤===
,, cu f, g, h funcţii
continue cu derivate de ordin I continue pe [ ]ba, . Dacă ( ) ( ) ( ) ( )zyxRkzyxQjzyxPizyxF ,,,,,,,, ⋅+⋅+⋅= este o funcţie
vectorială de variabile x, y, z cu componentele P, Q, R pe arcul atunci: AB( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
, , , , , ,
, , , , , ,
ABb
a
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P f t g t h t f t Q f t g t h t g t R f t g t h t h t dt
+ + =
⎡ ⎤′ ′+ +⎣ ⎦
∫
∫ ′
Se înlocuiesc ( ) ( ) ( )thztgytfx === ,, , ( ) ( ) ( )dtthdzdttgdydttfdx ′=′=′= ,, , luând limitele a şi b capetele intervalului de
variaţie a lui t. Pentru a calcula o integrală curbilinie trebuie să cunoaştem o reprezentare
parametrică ă arcului AB. Valoarea integralei curbilinii nu depinde de reprezentarea parametrică a arcului
. AB 10.5. Integrala curbilinie în plan
Fie arc de curbă plană de ecuaţie parametrică AB( )( ) btatgytfx
≤≤==
, şi ( )yxF ,
o funcţie vectorială de două variabile scalare x, y ( ) ( ) ( )yxF , yxQjyxPi ,, +=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ([ ]∫ ∫∫ ′+′=+=⋅AB
b
aAB
dttgtgtfQtftgtfPdyyxQdxyxPrdF ,,,, )
Dacă arcul are ecuaţia AB ( ) bxaxfy ≤≤= , putem lua ( ) btatfytx ≤≤== ,
( ) )∫ ∫=+AB
b
a
dtftPxQdxyxP ,, ( )dyy, ( )( ) ( )( ) ([ ]′+ tftftQt ,
103
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze , Γ arcul elipsei ∫Γ
xyds ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈==
2,0,sin,cos πttbytax
( ) ( )2 2 2 2 2 2sin cosds x t y t dt a t b tdt′ ′= + = +
( )
( )
( )
2 22 2 2 2 2 2
0 0
1 12 2 2 2 2 2
cos t u1 12sin 2tdt du
32 2 2 2 12
12 2
3 32 2
ab 1 cos 2t 1 cos 2tI ab sin t cos t a sin t b cos tdt sin 2t a b dt2 2 2
ab 1 u 1 u aba b du a b u a b du4 2 2 4 2
2 ab 1 a b u a b3 a b4 22 ab 1 a b3 a b4 22 ab3
π π
− −
=− =
−
− += + = +
− += − + = − + − − =
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + − − =⎣ ⎦−
= ⋅ − =−
= ⋅
∫ ∫
∫ ∫
=
( ) ( )3 3
2 2 2 2 2 2 2 22 22 2
2 2
1 a b a b a b a ba b4 2
ab a ab b3 a b
⎡ ⎤⋅ + + − − + − + =⎢ ⎥− ⎣ ⎦+ +
= ⋅+
Să se calculeze:
[ ]
( ) ( )
2
1 92
0
2 12) : 2 0,13 2
2 16 21 13 143
txyzds x t y t z t t
ds t dt I t t dt
Γ
Γ = = = ∈
= + = + =
∫
∫
3) unde ∫C
xyds [ ]1,1,: 2 −∈= xxyC
Elementul de arc ( ) dxxdxxds 22 4121 +=+=
∫ ∫− −
=+=+⋅=1
1
1
1
2322 04141 dxxxdxxxxI , integrantul fiind funcţie impară.
4) Să se calculze:
( ) ( ) ( )2 2
2 2 2
AB
x yI xdx x y dy x y z dz AB
z 1⎧ + =
= − + + + + ⎨=⎩
∫4
( ) [ )⎪⎩
⎪⎨
⎧
===∈=−==
01cos22,0,sin2sin2cos2
dzztdtdyttydtdxtx
AB π
( )∫ −=−−−=π
π2
0
2 4cossin4cos4cossin4 dttttttI
5) Să se calculeze ∫
Γ
+− ydzzdxxdy
104
de-a lungul curbei Γ de intersecţie a elipsoidului 012
2
2
2
2
2
=−++cz
by
ax cu planul z = h,
h < c.
Curba Γ de intersecţie este elipsa 2
2
2
2
2
2
1ch
by
ax
−=+ cu reprezentare parametrică
[ ]π2,0sincos 2222 ∈=−=−= thzthccbythc
cax
0cossin 2222 =−=−−= dzthccbdythc
cadx
( )
( )
( ) ( )
( )
22 2 2 2 2
20
22 2 2 2 2
0200
2 2 2 2 2 2 2 20 02 2 2
0
cos sin
1 cos 2 cos2
1 sin 22 4
ab ahI c h t c h t dtc c
ab t ahc h dt c h tc c
ab ab t abc h t c h c hc c c
π
ππ
π π π
⎡ ⎤= − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦
+= − + − =
= − ⋅ + − = −
∫
∫
⋅
6) Să se calculeze
( ) ( )1
2 2 2 2
0AB
1x y dx xydy 5x 4x dx3
AB : y 2xdy 2dx, 0 x 1
+ − = − =
== ≤ ≤
∫ ∫
7) ∫ +AB xdy
4 pe arcul de elipsă ( ) ( 2,0,0,3,1
49
22
BAyx=+ )
( )( )( )
212
2 20 0
11 10 02 2
0
3cos1cos, 2 4
2sin , 0, 2 3cos 4 1 7
1 1 4 1 4 16 1 16 143 1 3 7 3 3 37 7 3 7
x tu dut tdttg u I
y t t t u uc
udx arctgu arctg arctgu u
π
π
π
=⎧−⎪
7
= = =⎨ ⎡ ⎤= ∈ + + +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫
∫
=
105
LECŢIA 11 INTEGRALE DUBLE
11.1. Integrale duble Fie ( ) 2f x, y : D R R⊆ →( ) M≤
( )
o funcţie definită şi mărginită pe un domeniu plan D, . Presupunem D mărginit si închis, deci interior unui interval
bidimensional yxfm ≤ ,
dycbxayx ≤≤≤≤= ,,I şi că funcţia ( ) 0, ≥yxf . Graficul funcţiei reprezintă o suprafaţa Σ situată deasupra planului xOy, având ca proiecţie pe
xOy domeniul D. ( )yxfz ,=
Să găsim valoarea volumului V a corpului mărginit de suprafaţa Σ, planul xOy si cilindrul proiectant cu generatoarele paralele cu Oz.
∑
Fie diviziunile bxxxa nx =<<=Δ ...: 10 dyyyc my =<<=Δ ...: 10
ale intervalelor [ si [ . Prin punctele acestor diviziuni ducem paralele la axele de coordonate. Intervalul I este împărţit in
] ]ba, dc,mn× subintervale:
( ) 11,:, ++ ≤≤≤≤= jjiiij yyyxxxyxI Notăm: M– mulţimea intervalelor conţine în D
M′ - mulţimea intervalelor care conţin şi puncte din I – D
M′′ - mulţimea intervalelor exterioare lui D
1+jy
jy
ix1+ix
Numim diviziune ∆ a domeniului D mulţimea subintervalelor date de M M′∪ şi notăm pδδδ ,..., 21=Δ , ordinea de numerotare a subintervalelor kδ fiind arbitrară. Vom
numi norma diviziunii Δ, notată ( )υ Δ numărul pozitiv:
( ) ( )( )i 1 i j 1 j x ymax x x , y y max ,
0 i n 10 j m 1
Δ + +υ = − − = υ Δ υ Δ
≤ ≤ −≤ ≤ −
106
Fie pδδ ,.....1 intervalele bidimensionale ale diviziunii ∆ si pωω ,.....1 ariile corespunzătoare acestor intervale. Notam marginea inferioară respectiv superioară lui in
kk Mm ,( yxf , ) kδ :
( ) ( )k km f x, y M , x, y≤ ≤ ∈δk ⊂ Δ Se definesc sumele Darboux inferioară respectiv superioară
∑∑=
Δ=
Δ ==p
kkk
p
kkk MSms
11, ωω
Avem evident ) mSm ⋅Ω′′≤≤Δ≤⋅Ω′ ΔΔΔ 11 , ΔΩ′ aria intervalelor care aparţin lui M; ΔΩ′′ aria
intervalelor din M M′∪Se demonstrează că şi pentru integrala definită )2 dacă ′Δ este o diviziune mai fină ΔΔ′Δ′Δ ≤≤≤ SSss ) Δ′Δ∀≤ ΔΔ′ ,,3 Ss
4) mărginită superior ΔΔΔΔΔ
≤ sSs ;infsup
mărginită inferior ΔS
) (p
k k kk 1
5 Dacă f ,Δ=
σ = ω ξ η∑ ) unde ( ) kkk δηξ ∈,
ΔΔ
oricare este o sumă Riemann a
lui f corespunzătoare diviziunii ∆ atunci Δ ≤≤ Ss σ
kkkk Mm ωω , reprezintă volumele paralelipipedelor de baza kδ şi înălţimi
respectiv , km kM kkkk Mm kV ωω ≤≤
≤
Δ
, deci însumând Δ ≤ SVs
x
z
1+ix
y
0
ix
1+jy jy
Definiţie: Fie f mărginită pe domeniul închis şi mărginit . Funcţia f este integrabilă Riemann pe D dacă pentru orice şir de diviziuni
2D R⊆nΔ ale domeniului D cu
( ) ∞→→Δ nn ,0υ , şirurile sumelor Darboux ( ) ( )n
au aceeaşi limită (finită). Limita
se noteazn
Ss ΔΔ ,
ă ( )D
V f= ∫∫ x, y dxd y
D se numeşte domeniu de integrare; dxdy – element de arie in coordonate carteziene.
107
Definiţie echivalentă: f integrabilă pe D daca ( )nΔ∀ cu ( ) ∞→→Δ nn ,0υ şi orice
alegere a punctelor ( )k k,ξ η ∈δk , şirurile Riemann corespunzătoare ( )nΔσ au o limită
comună finită. Observaţie: Daca integrala ( ) 0, ≥yxf ( )
D
V f x, y dxd= ∫∫ y reprezintă volumul corpului
mărginit de suprafaţa ( ) ( )( , , ,y x y D∈ )z f x=∑ , planul xOy şi cilindrul proiectant cu generatoarele paralele cu Oz.
Teoremă (Criteriu de integrabilitate): Funcţia f integrabilă pe D dacă ( ) 00 >∃>∀ εδε astfel încât diviziunea ∆ cu
( ) ( )υ Δ < δ ε avem ε<− ΔΔ sS Teoremă: Funcţiile continue (sau continue cu excepţia unui număr finit de arce) pe un
domeniu închis si mărginit D sunt integrabile pe D. Dacă pe D atunci oricare ar fi diviziunea ∆ a lui D avem ( ) Cyxf =,
( ) ( ) ( ) ==== ∑∑==
Δ DDCCCfn
ii
n
ii σσωωσ
11aria domeniului D
Dacă ( ) ( ) ( )DdxdyDfCD
σσσ =⇒== ∫∫Δ1
Proprietăţi: ) ( )
) ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫≥⇒≥
+=+
D D
D D
gdxdyfdxdyDpegfb
gdxdyfdxdydxdygfa μλμλD
dacă ∫∫ ≥⇒≥D
fdxdyDpef 00
)c f integrabilă pe D f⇒ integrabilă pe D şi ( ) ( )∫∫∫∫ ≤DD
dxdyyxfdxdyyxf ,,
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) [ ] ( )∫∫
∫∫=∈∃⇒≤≤
≤≤⇒≤≤
D
D
DfdxdyiaMmMyxfme
DMdxdyyxfDmMyxfmd
μσμ
σσ
..,,
,,
dacă f continuă ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅=∈∃⇒D
DffdxdyiaD σηξηξ ,.,
11.2. Calculul integralelor duble I. [ ] [ dcbaID ,, ×== ]
)
y
Teoremă Dacă este mărginită şi integrabilă pe I şi dacă ( yxf ,
) [ ] ( ) ( )d
c
a x a,b F x f x, y d∀ ∈ ∃ = ∫ ) ( )xFb este integrabilă pe [ ]ba,
108
atunci ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
I
b
a
d
c
dxdyyxfdxdyyxf ,,
Demonstraţie: Consideram diviziunea ∆ a intervalului I
prin punctele mjynix ji ,1,;,1, ==
Notăm ( ) ij i i 1 j j 1x, y x x x ; y y y+ +δ = ≤ ≤ ≤ ≤
ijδ
( ) ( )
( ) ( )ij ij
ij ij
m inf f x, y M supf x, y
x, y x, y
= =
∈δ ∈δ
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∑
∫+
+
−
=++ −≤≤−⇒
⇒∈≤≤
1
1
1
011 ,
,,,
j
j
j
j
y
y
m
jjjijjjij
y
yijijij
yyMdyyxfyym
dyyxMyxfm δ
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )∑ ∫ ∑ ∑∫
∑ ∫ ∑ ∫−
=
−
=
−
=++++
−
=
−
=++
+
+
−−≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≤−−
−≤≤−
1
0
1
0
1
01111
1
0
1
011
1
1
,
,
m
j
x
x
m
j
n
iiijjij
d
ciijjij
m
j
d
c
m
j
x
xjjijjjij
i
i
i
i
xxyyMdxdyyxfxxyym
dxyyMdyyxfyym
( )b d n 1 m 1
ij iji 0 j 0a c
n 1 m 1
ij iji 0 j 0
s f x, y dy dx S , s m
S M
− −
Δ Δ Δ= =
− −
Δ= =
⎡ ⎤⇒ ≤ ≤ = ω⎢ ⎥
⎣ ⎦
= ω
∑∑∫ ∫
∑∑
( ) ( )b d
a c D
sups inf S f x, y dy dx f x, y dxdyΔ Δ
⎡ ⎤⇒ = = =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫ ∫∫
Analog se demonstrează că ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
I
d
c
b
a
dydxyxfdxdyyxf ,,
Se notează ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡b
a
b
a
d
c
d
c
dyyxfdxdxdyyxf ,,
( ) ( )∫ ∫ ∫∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡d
c
d
c
b
a
b
a
dxyxfdydydxyxf ,,,
integrarea făcându-se de la dreapta spre stânga. Exemplu:
( )[ ] [ ]∫∫ ×=
++D
Dyx
ydxdy 1,01,01 2
322
109
( )( )
12 21 1 1 12
y 1y 03 2 2
2 20 0 0 02
22 1 2 1 1
0 0 02
1 x yydy 1 1 1I dx dx dx12 2 x 1 x1 x y 2
x x 1 1 2 2ln x x 1 ln x x 2 ln ln 2 ln1 3 1 3x x 2
−
==
+ + ⎛ ⎞= = = − −⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠−+ +
+ + + += + + − + + = = ⋅ =
+ ++ +
∫ ∫ ∫ ∫
2
=
II. Calculul integralei duble pentru un domeniu simplu în raport cu Oy (∀ paralela
la Oy taie domeniul în două puncte) ( ) ( ) ( ) xyxbxayxD 21;, ϕϕ ≤≤≤≤= Teoremă: Fie mărginită şi integrabilă pe D. Dacă: RDf →:
) ( ) ( ) [ ]( )
( )2
1
x
x
1 F x f x, y dy, x a,Ψ
Ψ
∃ = ∀ ∈∫ b
]
) ( )xF2 integrabilă pe , atunci [ ba, ( ) ( )( )
( )2
1
xb
D a x
f x, y dxdy dx f x, y dyΨ
Ψ
=∫∫ ∫ ∫
Dacă domeniul e simplu în raport cu Ox, ( ) ( ) ( ) 1D x, y c y d, y x y= ≤ ≤ Ψ ≤ ≤ Ψ2 , atunci
( ) ( )( )
( )2
1
yd
D c y
f x, y dxdy dy f x, y dxΨ
Ψ
=∫∫ ∫ ∫
Exemple: 1) ∫∫ ⋅++=
D
xydxdyyxI 122 , D = triunghiul de vârfuri ( ) ( ) ( )1,1,1,0,0,0 −−− BAO
a b
o
o
o o
( )xy 2ϕ=
)x1
B A
(y ϕ=
x
y
d
o o( ) ( )1x y= Ψ 2x y= Ψ
c
110
( )( ) xxx
=−=
2
1 1ϕϕ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
32 20 0 02 3 3
2 2 2 22 21
1 1 1 1
5 52 22 2 5 5 5
0 2 2 21
5 52 2
11 11 2 132 32
2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 12 3 35 53 4 2 3 10 5 3 10 52 2
1 1 13 230 30 15
xy xy
x y2I dx xy x y dy x dx x x x x dx
x x
==−
− − − −
−
+ + ⎡ ⎤= + + = ⋅ = + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎣ ⎦
= + ⋅ − ⋅
∫ ∫ ∫ ∫ =
)
11.3. Formula lui Green Fie D un domeniu închis şi mărginit de o curbă închisă Γ formata dintr-un număr
finit de arce netede, simplu în raport cu Ox si Oy (ipoteza ce foloseşte la demonstraţie). Fie
doua funcţii continue, derivabile parţial, cu ( ) ( yxQyxP ,,,P Q,y x∂ ∂∂ ∂
continue pe D.
Atunci: ( ) ( )D
Q PP x,Γ
y dx Q x, y dy dxdyx y
⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫∫
Demonstraţie:
( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2
1
2
1
xb
D a x
by xy x
a
b b
2 1a a
P Pdxdy dx dyy y
P x= − , y dx
P x, x dx P x, x dx
ϕ
ϕ
=ϕ=ϕ
∂ ∂− = − =
∂ ∂
=
= − ϕ + ϕ =
∫∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( )BFA AEB
P x, y dx P x, y dx P x, y dxΓ
= + =∫ ∫ ∫ ;
Analog ( )D
Q dxdy Q x, y dyx Γ
∂= ⇒
∂∫∫ ∫
( ) ( )D
Q PP x, y dx Q x, y dy dxdyx yΓ
⎛ ⎞∂ ∂⇒ + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫
-1
-1
o
o
0
D
(
)1y x= ϕ
( )2= ϕ y x
o
o
F
A B
E
( )xy 2ϕ=
( )xy 1ϕ=
(0,d)
(0,c)
(a,0) (b,0)
111
Observaţie:
Fie P, Q continue în domeniul simplu conex D. Dacă derivatele P Q,y x∂ ∂∂ ∂
sunt
continue în D atunci condiţia necesara şi suficientă ca integrala curbilinie să nu depindă de
drum este ca Q Px y
∂ ∂=
∂ ∂.
Să se calculeze direct şi cu ajutorul formulei lui Green ( )
C
x y dx dy− +∫ C frontiera lui D 0,222 ≥≤+ yxyx
( ) 11: 22 ≤+− yxD frontiera are parametri zarea
[ ][ ]
⎩⎨⎧
=∈=
∪⎩⎨⎧
∈==−
02,0,
,0,sincos1
yttx
ttytx
π
( )( )
( ) ( )
2
0 0
I tdt cos t sin t 1 sin t cos t dt2
P QP x, y x y Q x, y 1 1 0y x
π π= + ⎡ − + − + ⎤ =⎣ ⎦
∂ ∂= − = = − =
∂ ∂
∫ ∫
1 0 ×
Aplicând formula lui Green ⇒ ( )∫∫ ===D
DdxdyI2π
σ
11.4. Schimbarea de variabilă în integrala dublă Fie . Fie transformarea punctuală a domeniului Δ în domeniul D
realizată de definită de
2f : D R R⊆ →2T : R DΔ ⊆ → 2R⊆
( )( ) ( ) ( ) Dyxvu
vuyyvuxx
∈→Δ∈⎩⎨⎧
==
,,,,,
Presupunem T nesingulară adică determinantul funcţional
( ) ( )( )
x xD x, y u vJ u, v 0
y yD u,vu v
∂ ∂∂ ∂= =∂ ∂∂ ∂
≠ în Δ, condiţie în care ( ) ( )vuyxT ,,:1 →∃ −
Transformarea T se numeşte directă dacă parcurgând Fr Δ în sens direct se parcurge Fr D în sens direct. Aceasta are loc dacă ( )J u,v 0>
v
u
(x, y)
Δ Γ
(u, v)
C D
x
y
Are loc rezultatul:
112
( ) ( ) ( )( ) ( )( )D
D x, yf x, y dxdy f x u,v , J u,v dudv
D u, vΔ
=∫∫ ∫∫
Elementul de arie dxdyd =ω se transformă în ( )J u,v dudv Trecerea de la coordonate polare la cele carteziene Se foloseşte pentru domenii circulare (disc, sector, coroană). Transformarea este
dată de ( ) ( )( )
x cos cos sinD x, yJ ,
y sin sin cosD ,= ρ θ θ −ρ θ⎧
ρ θ = = = ρ⎨ = ρ θ θ ρ θρ θ⎩
θρρ dddxdy = De exemplu pentru disc
( ) ( )( )∫∫ ∫ ∫=
RD
R
dfddxdyyxf,0
2
0 0
* ,,π
ρρθρθ Δ
D
2π
R
Trecerea la coordonate polare generalizate Se foloseşte pentru domenii eliptice (disc, sector, coroană eliptică).
Transformarea este dată de:
( ) ( )( )
x a cos D x, yJ , ab ; dxdy ab d d
y b sin D ,= ρ θ⎧
⎨ ρ θ = = ρ = ρ ρ θ= ρ θ ρ θ⎩
De exemplu pentru discul eliptic
1: 2
2
2
2
≤+by
axD Δ:
πθρ
2010
<≤≤≤
ρ D Δ
θ
2π
1
( ) ( )∫∫ ∫ ∫=D
dfdabdxdyyxfπ
ρρθρθ2
0
1
0
* ,,
∫∫ ≥≥≤++D
yxby
axdxdy
yxxy 0012
2
2
2
22
coordonate polare generalizate
113
θρρθρθρ
ddabdxdybyax
===
sincos
∫∫ ∫ ∫Δ +
=+
=1
0
2
02222
33
2222 sincoscossin
sincoscossin
π
θθθ
θθρρθρρθθ
θθ dba
dabddba
abI
θ
D
ρ
2π
1
( ) ( )( )
( ) ( )
( )baabI
baab
abatab
ab
dtdt
atabtdt
tbtatdt
ba
+=
+=−
−=+−
−=
==
=+−
=+−
=+
∫ ∫ ∫
4
111cossin
1sincoscossin
2222
10
222222
2
0
1
0
1
0222222222222
θθθθ
θθπ
Aplicaţie a integralei duble Masa unei plăci D de densitate ( ) 0, >yxρ este ( )∫∫=
d
dxdyyxm ,ρ .
Coordonatele centrului de greutate al plăcii sunt:
( )
( )∫∫
∫∫
=
=
DG
DG
dxdyyxym
y
dxdyyxxm
x
,1
,1
ρ
ρ
114
EXERCIŢII PROPUSE
1) ∫∫+
=D
dxdyyx
xI22
2
D limitat de x = 0 y = 1 3 2=y y = x
( )( )
1
2
y 0
y y
ψ =
ψ =
( )1x y = Ψ
y=x 3 2
1 o
( )2x y= ψ o
1 3 2
( )
( )( ) ( )
3 3
3
2 222 2 2 2 2
02 21 0 1
22
1
1 1 ln2 2
1 12 ln 1 2 2 ln 1 22 2
yx yx
xI dy dx x x y y x x y dyx y
y dy
==
⎛ ⎞= = + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠+
⎡ ⎤= − + = − +⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫
=
( )
( )
2 22 2 2 2
2 2 2 2
22 2 2 2 2
2 2ln
x xdx x x y dx x x y dxx y x y
xx x y dx y x x yx y
⎛ ⎞+⎜ ⎟= ⋅ + = + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= + − − + ++
∫ ∫ ∫
∫
2y=
D domeniul limitat de [ ]2,1,,1∈== xxy
xy 2) ∫∫ dxdy
yx
2
2
D
( )∫
∫ ∫ ∫
=+−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
2
1
3
2
1 1
2
11
2
2
2
49dxxx
dxyxdy
yxdxI
x
x
x
x
1 2
y=x
xy 1=
3) ∫∫ ++−−
=D yx
yxI 22
22
11 ) : xDa 122 =+ y
b D domeniul limitat de ) 122 =+ yx
115
00
3
3
≥≥=
=
yxyx
xy
) θρρθρθρ
dddxdyyx
a =⎩⎨⎧
==
sincos
Δ: πθ
ρ2010
≤≤≤≤
( )
πππππ
ρπρπρρ
ρπρρρρπ
ρρρρθρ
ρρρθ
ππ
−=−⋅=
=−⋅+⋅=−
−−
=
=−
−=
+−
=
∫ ∫
∫ ∫∫∫
2
1
0
1
0
10
410
2
4
3
4
2
0
1
04
21
02
22
0
22
124
2arcsin212
12
12
11
11
ddd
ddddI
b)
∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+−
=3
6
1
02
2
21
2611
π
π
ππρρρρθ ddI
4) Să se calculeze aria figurii plane mărginite de parabolele
( ) ∫∫=
<<<<====
D
dxdyDA
basiqpbyxayxqxypxy 00,,, 2222
Facem schimbarea de variabil
22
42 3
2
yy x x
yx y y y
⎧= ξ =⎪ ξ⎪
⎨⎪ 2= η = η⎪ ξ⎩
= ξ η
ρ
3xy =
3xy =
θ
3π
6π
0 1
Δ:
ayx =2 byx =2
qxy =2
pxy =2
116
117
( )( ) 3
1
31
32
32
31
,,
32
32
31
31
31
31
32
32
31
32
32
31
−==⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−−
−−
ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
ηξD
yxD
y
x
( ) ( )(∫∫Δ
−−== abpqddDA31
31 ηξ )
5) Se cere volumul corpului mărginit de suprafaţa , cilindrul şi planul xOy.
22 yxz += 122 =+ yx
( )
∫∫ ∫ ∫
∫∫
Δ
=⋅===
≤++=
π ππρρθθρρ2
0
1
0
33
2222
2412
1:
ddddV
yxDdxdyyxVD
z
x
y 0
paraboloid de rotaţie
6) Se cere volumul corpului mărginit de suprafeţele
000 ====++ zyxazyx
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )∫
∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
=−−
=−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
=−−=−−=
−==
−
aa
a axay
y
D
a xa
axadxxa
dxxaxadxyyxa
dyyxadxdxdyyxav
0
3
0
32
0 0
22
0
2
0 0
662
22
z
x
y
0
D
o
o x
y
xay −=
0=y
( )0,a
( )a,0
0
LECŢIA 12 INTEGRALE TRIPLE
12.1. Integrale triple
Fie V un domeniu închis şi mărginit din , interior unui interval tridimensional I, 3R( ) I x, y,z a x b, c y d, e z g .≤= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Frontiera domeniului V este o suprafaţă
închisă ∑. Să presupunem că V reprezintă un corp K neomogen de densitate ( )f x, y,z 0≥
cu f mărginită ( ) ( )m f x, y,z M, x, y,z= ≤ V.∈ Ne presupunem să găsim masa totală a corpului K.
Fie diviziunile x 0 1 n: a x x ... x bΔ = < < < = y 0 1 m: c y y ... y dΔ = < < < =
ale intervalelor [ ]z 0 1 p: e z z ... z gΔ = < < < = [ ] [ ]a,b , c,d , e,g . Planele paralele cu planul yOz prin punctele diviziunii xΔ , planele paralele cu planul xOz prin punctele diviziunii şi planele paralele cu xOy prin punctele diviziunii împart intervalul I în subintervale:
yΔ zΔm n p⋅ ⋅
( ) ijk i i 1 j j 1 k k 1I x, y,z x x x , y y y , z z z+ + += ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Numim diviziune Δ a volumului V mulţimea subintervalelor conţinute în V şi a celor care conţin şi puncte din V şi din I - V.
Notăm 1 2 p, ,...Δ = δ δ δ ordinea de numerotare a subintervalelor fiind arbitrară. kδ
Norma diviziunii ∆ este număr pozitiv ( ) i 1 i j 1 j k 1 kmax x x , y y , z z+ + +υ Δ = − − −
( ) ( ) ( ) x ymax , , z= υ Δ υ Δ υ Δ z
x
y
Notăm volumele subintervalelor 1 2v , v ,...vr 1 2 r, ,...δ δ δ şi notăm
marginea inferioară respectiv superioară a lui R Rm ,M
( )f x, y,z în kδ
( ) ( )k km f x, y,z M , x, y,z≤ ≤ k∈δ Definiţie: Sumele Darboux inferioară respectiv superioară sunt:
1 1 r r 1 1 r rs m v ... m v ; S M v ...M vΔ Δ= + + = +
Dacă ( )k k k k, , , k 1,pξ η ζ ∈δ = puncte oarecare, atunci suma
( ) ( )1 1 1 1 r r r rv f , , ... v f , ,Δσ = ξ η ζ + + ξ η ζ se numeşte suma Riemann a lui f relativă la Δ corespunzătoare punctelor alese.
118
Ca şi pentru integrala Riemann se demonstrează 1) s S Δ Δ≤ σ ≤ Δ
2) dacă este o diviziune mai fină decât ∆, ′Δ ′Δ > Δ (obţinută considerând diviziuni mai fine), atunci: x y, ,′ ′Δ Δ Δz′
s s S S′ ′Δ Δ Δ Δ≤ ≤ ≤ sups inf SΔ ΔΔΔ
≤
s ∗Δ Δ∈Δ mărginită superior; S ∗
Δ Δ∈Δ mărginită inferior, unde ∗Δ este
mulţimea diviziunilor lui V. Observaţie: Dacă ( )f x, y,z 0≥ reprezintă densitatea corpului K atunci sΔ este masa totală a r corpuri omogene de mase 1 1 r rm v ,...m vSΔ este masa totală a r corpuri omogene de mase 1 1 r rM v ,...M v
şi masa corpului K este cuprinsă între sΔ şi SΔ s m SΔ Δ≤ ≤
Definiţie: Fie f este integrabilă Riemann pe V dacă pentru orice şir de diviziuni (
3f : V R R.⊆ →)nΔ ale volumului V cu ( )n 0, n ,υ Δ → →∞ şirurile sumelor Darboux
( )nsΔ şi ( )n
SΔ au o limită comună finită m.
Limita se numeşte integrală triplă a lui f pe V şi se notează ( )
v
m f x, y,z dxdydz, dV dxdydz= ∫∫∫ = - element de volum
Observaţie: Dacă ( )f x, y,z este pozitivă în v, m reprezintă masa corpului K, de volum V,
neomogen, de densitate f. Definiţie echivalentă: Funcţia ( )f x, y,z mărginită pe domeniul închis şi mărginit 3V R≤ este integrabilă
Riemann pe V dacă pentru orice şir de diviziune ( )nΔ cu ( )n 0, nυ Δ → → +∞ şi pentru
orice alegere a punctelor ( )k k k k, ,ξ η ζ ∈δ şirurile Riemann corespunzătoare ( )nΔσ cu o
limită comună finită m. Criteriul de integrabilitate al lui Darboux: Fie V închis şi
mărginit;
3f : V R R,⊆ →( )f x, y,z este integrabilă pe V dacă pentru ( )0, 0∀ε > ∃ η ε > astfel încât ∀
diviziune Δ a domeniului v cu ( ) ( )υ Δ < η ε avem S sΔ Δ− < ε Teoremă: Funcţiile continue pe un domeniu închis şi mărginit V sunt integrabile pe V. Proprietăţile integralelor triple
a) ( )v v v
f g dV fdV gdVλ +μ = λ +μ ←∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ liniaritate
119
b) monotonie v v
f g pe V fdV gdV≥ ⇒ ≥∫∫∫ ∫∫∫ →
≥ v
f 0 pe V fdV 0≥ ⇒ ∫∫∫c)
1 2
1 2 1 2v v v
V V V , int V V fdV fdV fdV= ∪ ∩ = φ⇒ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
d) f integrabilă pe V f⇒ integrabilă pe V şi
v v
fdV fdV≤∫∫∫ ∫∫∫
e) dacă f este integrabilă şi mărginită pe V, ( ) [m f x, y,z M m,M≤ ≤ ⇒ ∃μ∈ ] astfel
încât ( )v
f x, y,z dv volV= μ ⋅∫∫∫ , V – volumul lui V
dacă f este continuă ( ), , V⇒∃ ξ η ζ ∈ astfel încât
( ) ( )v
f x, y,z dV f , , volV= ξ η ζ ⋅∫∫∫
f) Dacă ( )f x, y,z integrabilă pe V,
( ) ( )v
m f x, y,z M m volV f x, y,z dV M volV≤ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ≤ ⋅∫∫∫
Luând ( )v
f x, y,z 1 dxdydz volV= ⇒ =∫∫∫
12.2. Calculul integralelor triple I. Cazul în care V este un interval ( ) I x, y,z a x b, c y d, e z g= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Teoremă: Dacă ( )f x, y,z este mărginită şi integrabilă pe I şi dacă
a) ( ) [ ] [ ]x, y a,b c,d∀ ∈ × ∃ integrala ( ) ( )g
e
F x, y f x, y,z dz= ∫ b) ( )F x, y este integrabilă pe [ ] [ ]D a,b c,d= × atunci
( ) ( ) ( )g g
I D e D e
f x, y,z dxdydz f x, y,z dz dxdy dxdy f x, y,z dz⎡ ⎤
= =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫g
Cum D este dreptunghi se reduce la
calculul a 3 integrale simple, ordinea de integrare de la dreapta la stânga.
( ) ( )b d
I a c e
f x, y,z dxdydz dx dy f x, y,z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
II. Fie un domeniu compact definit prin zV ( ) ( ) ( )1 2z x, y z z x, y , x, y Dz≤ ≤ ∈ , - proiecţia lui pe z = 0 – domeniu simplu în raport cu Oz. zD zV
Orice paralelă la axa Oy taie frontiera domeniului în cel mult două puncte, este
mărginit de suprafeţele şi de ecuaţii zV
1∑ 2∑ ( ) ( )1 2z z x, y , z z x, y= = şi este mărginit
120
lateral de porţiunea a unei suprafeţe cilindrice cu generatoarele paralele cu Oy care are drept curbă directoare frontiera lui .
l∑zD
z
Analog se definesc domeniile simple în raport cu Oz, Oy.
0
zD
1∑
2∑
y x
Teoremă: Dacă există ( )
z
zv
I f x, y,z dxdydz pe V= ∫∫∫ simplu în raport cu Oz şi dacă
a) există ( ) ( ) ( )( )
( )2
1
z x,y
zz x,y
I x, y f x, y,z dz, x, y D= ∀∫ ∈
b) ( )I x, y este integrabilă pe zD
atunci ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )2 2
z 1 z 1
z x,y z x,y
v D z x,y D z x,y
f x, y,z dxdydz f x, y,z dz dxdy dxdy f x,, y,z dz⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Dacă domeniul D este simplu în raport cu Oy atunci z ( ) ( )1 2
a x by x y y x≤ ≤⎧⎪
⎨ ≤ ≤⎪⎩
( )( )
( )
( )
( )2 2
1 1
y x z x,yb
a y x z x,y
I dx dy f x, y,z d= ∫ ∫ ∫ z
III. Dacă domeniul V este cuprins între planele z = c şi z = d şi secţiunea cu planul ( )0 0z z , c z d= ≤ ≤ se proiectează pe planul xOy după domeniul atunci. zD
( ) ( )z
d
v c D
f x, y,z dxdydz dz f x, y,z dxdy=∫∫∫ ∫ ∫∫
Exemple:
1) ( )
[ ] [ ] [ ]42 2 2v
xyz dxdydz V 0,1 0,1 0,1x y z 1
= × ×+ + +
∫∫∫
( ) ( )1 1 1 1 1
z 1z 04 32 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
xyzdz 1 xyI dx dy dx dy6x y z 1 x y z 1
==== = −
+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
121
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
y 1y 03 3 2 22 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1 xy xy 1 x xdx dy dx6 24x y 2 x y 1 x y 2 x y 1
==
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= − − = − =⎜ ⎟ ⎜+ + + + + + + +⎝ ⎠ ⎝
∫ ∫ ∫⎞⎟⎟⎠
( ) ( ) ( )1
x 1x 02 2 2 2 2 22 2 2
0
1 x x x 1 1 2 12 dx24 48 x 3 x 2 x 1 192x 3 x 2 x 1
==
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − + = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠+ + +⎝ ⎠
∫1
=
2) ( )
v
xysin x y z dxdydz+ +∫∫∫ , V – domeniu mărginit pe planele x 0, y 0= =
z 0, x y z2π
= + + =
( )( )x x y
2 2 2
0 0 0
I xdx ydy zsin x y z dz
π π π− − −
= +∫ ∫ ∫ +
( ) ( )( )( )( )x y x y
2 2
z0 0
zsin x y z dt z cos x y z dz
π π− + − +
′+ + = − + + =∫ ∫
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )x y
2x y x y2 20 0
0
zcos x y z cos x y z dz sin x y z 1 sin x y
π− +
π π− + − −
= − + + + + + = + + = − +∫
( )x
2 2
0 0
I xdx y 1 sin x y dy
π π−
= ⎡ − + ⎤⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( ) ( )x 222 x x x
2 2 20 0 0
0
y 1y ysin x y dy ycos x y sin x y x 1 sin x2 2
π−
π π π− − − π⎛ ⎞⎡ − + ⎤ = + + − + = − − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ 2
2 4 22
0
1I x 1 sin x xdx ... 12 2 384 8
π
⎛ ⎞π π⎛ ⎞= − − + = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫
π+
3) 2 2 2
2 2 2v
x y zzdxdydz v : 1 0 z 0a b c
+ + − ≤ ≥∫∫∫
x
y
z
0 z x y
2π
= − −
z 0=
zD
o,2π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
y x2π
= −
,02π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
D
122
V este un semielipsoid cuprins între planele z = 0 şi z = c iar secţiunea cu planul z = ct este elipsa
2 2 2
2 2 2
x y z1 z cta b c
+ ≤ − =
2 2
2 22 2
2 2
x y 1z za 1 b 1c c
+ ≤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cu semiaxele
2 2
2 2
z za 1 , b 1c c
− −
z z
c c c 2 2 4
2 20 D 0 D 0
aria elipsei
z c 1 cI dz zdxdy zdz dxdy z ab 1 dz ab abc 2 c 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = π − =π − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
14243
2c4
π
4) Să se calculeze volumul mărginit de suprafeţele 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y z x y z1a b c a b c
elipsoid con
+ + = + =2
2
2 22 2
2 2a b⎝ ⎠
x yz c 1⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟ 2 2 2
2 2 2
x y x y1a b a b
2
2+ = − −
2 2
2 2x y c1 za b 22 2
+ = = ±
Volumul solidului comun se compune din două conuri cu vârful în origine şi cele
două calote de elipsoid.
v
V 2 dxdydz= ∫∫∫ V – domeniu mărginit de con şi de elipsoid
2 2
2 2
2 2
2 2
x yc 1a b 2 2 2 2
2 2 2 2D Dx yc
a b
x y x yV 2 dxdy dz 2c 1 dxdya b a b
− −
+
⎛ ⎞= = − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫∫
D – domeniul plan mărginit de elipsa 2 2
2 2x y 1 0a b2 2
+ − =
x
y0
z
123
Trecem la coordonate polare generalizate: x a cosy b sin= ρ θ⎧
⎨ = ρ θ⎩
( ) ( )1
2 22
0 0
2 abcV 2abc d 1 d ... 2 23
π π= θ −ρ −ρ ρ ρ = = −∫ ∫
12.3. Schimbarea de variabilă în integrala triplă
Fie domeniile mărginite V şi Ω şi funcţiile
( )(( )
x x u, v,w
y y u,v,w
z z u,v,w
⎧ =⎪
=⎨⎪ =⎩
) care stabilesc o
corespondenţă binivocă între punctele lui V şi Ω. Presupunem că determinantul funcţional
(iacobianul transformării) ( ) ( )( )
D x, y,zJ u, v, w 0 pe
D u, v,w= ≠ Ω (transformarea este
nesingulară). Atunci are loc rezultatul:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )v
f x, y,z dxdydz f x u,v,w , y u,v,w ,z u,v,w J u, v, w dudvdwΩ
=∫∫∫ ∫∫∫
Trecerea la coordonate sferice(polare în spaţiu) ← pentru domenii sferice x cos siny sin sinz cos
= ρ θ⎧⎪
ϕ= ρ θ ϕ⎨
⎪ = ρ ϕ⎩
Domeniul 0 ,0 2 ,0Ω > π≤ ρ ≤ ∞ ≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ îi
corespunde întreg spaţiul Oxyz ( ) 2J , , sinρ θ ϕ = ρ ϕ
2dz sin d d ddxdy = ρ ϕ ρ θ ϕ Trecerea la coordonate sferice generalizate ← pentru domenii elipsoidale
x a cos siny b sin sinz c cos
= ρ θ ϕ⎧⎪ = ρ θ ϕ⎨⎪ = ρ ϕ⎩
( ) 2abc sinJ , ,ρ θ ϕ = ρ ϕ
Trecerea la coordonate cilindrice:
x cos Domeniului : 0 ,y sin 0 2 , zz z îi corespunde tot spaţiul
Oxyz.
= ρ θ Ω ≤ ρ ≤ ∞⎧⎪ = ρ θ ≤ θ ≤ π −∞ < < ∞⎨⎪ =⎩
( )y , , z dxdydz d d dzρ θ = ρ = ρ ρ θ
ϕ
θ
( )M x, y,z
( ), ,ρ θ ϕ
x y
z
0
θ ρ
( )M x,z, y ( ), , zρ θ
124
Exemple: 1) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
v
I x y z dxdydz V : x a y b z c R= + + − + − + − ≤∫∫∫
x a cos siny b sin sinz c cos
= + ρ θ ϕ⎧⎪ = + ρ θ ϕ⎨⎪ = ρ ϕ⎩
2J sin= ρ ϕ 0 R
: 0 20
≤ ρ ≤⎧⎪Ω ≤ θ ≤ π⎨⎪ ≤ ϕ ≤ π⎩
( ) 2I a b c cos sin sin sin cos sin d d dΩ
= ⎡ + + + ρ θ ϕ+ θ ϕ+ ϕ ⎤ρ ϕ ρ θ ϕ⎣ ⎦∫∫∫ =
2
( )R 2 R 2 R 2
2 2 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a b c d d sin d d cos d sin d d sin d sin dπ π π π π π
= + + ρ ρ θ ϕ ϕ+ ρ ρ θ θ ϕ ϕ+ ρ ρ θ θ ϕ ϕ+∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )R 2 3
2
0 0 0
8 Rd d sin cos d ... a b c3
π π π+ ρ ρ θ ϕ ϕ ϕ = = + +∫ ∫ ∫
2) Să se găsească volumul elipsoidului 2 2 2
2 2 2
x y zV : 1a b c
+ + ≤
x a cos siny b sin sinz c cos
= ρ θ ϕ⎧⎪ = ρ θ ϕ⎨⎪ = ρ ϕ⎩
0 1
: 0 20
≤ ρ ≤⎧⎪Ω ≤ θ ≤⎨⎪
π≤ ϕ ≤ π⎩
1 22 2
v 0 0
4 abcV dxdydz ab sin d d d abc d sin d d3
π π
Ω
π= = ρ ϕ ρ θ ϕ = ρ ρ ϕ ϕ θ =∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
0
2
3) 2x dxdydzv∫∫∫
2 2V : cilindrul x y r+ = c uprins între planele z 0 şi z 0= =
Trecem la coordonate cilindricecossin :y
z z
ρ θρ θ
x =⎧⎪ = Ω⎪ =⎩
⎨
00 20
r
z a
ρθ π
≤ ≤≤ ≤≤ ≤
z=a
2 42 2 3
0 0 0
1 cos 2cos2 4
r a rI d d dz d d dz aπ θρ θ ρ ρ θ ρ ρ θ π
Ω
+= ⋅ = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ ⋅
125
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze următoarele integrale:
( )V
x y z dxdydz , V : 0 x a, 0 y b, 0 z c+ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤∫∫∫
R:
( ) ( )
( )
2
0 0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
0
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a bz cy o
a b ay by o
ax ax o
zI dx dy x y z dz dx x y z dy
c y cdx c x y dy cxy c y dx
b c bc x b cx bc x a bc ab c abcbcx dx bc
==
==
==
⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + += + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫2
2) Să se calculeze 2 2
V
xydxdydz , V mărginit de x y 1, z 0, z 1, x 0, y 0+ = = = ≥ ≥∫∫∫
R: Trecem la coordonate cilindrice
126
cossin
2
xyz
ρ θρ θ
=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩
0 1
: 02
0 1
V
z
ρπθ
≤ ≤⎧⎪⎪↔Ω ≤ ≤⎨⎪
≤ ≤⎪⎩
2 sin cosI d d dzρ θ θ ρ θΩ
= =∫∫∫
1 2 1 3 22 1 2
0 0 00 0 0
sin 1 1 1sin cos3 2 3 2
d d dz zπρ θρ ρ θ θ θ= =∫ ∫ ∫ 1
6= ⋅ =
O
x
y
z
3) Să se calculeze
( )3V
dxdydz , V mărginit de planele x 0, y 0, z 0, x y z 11 x y z
= = = + + =+ + +∫∫∫
1z x y= − −
O D
z R: y
x
0z =
( )( )
( )
21103 2
0
1 1 1 12 2 21 1
x yz x yz
D D D
x y zdxdxdy dxdy dxdyx y z x y
−− −= − −=
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟= = − −⎜ ⎟−+ + + + +⎝ ⎠
∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ =
1 1 1 1
102
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 2 (1 ) 8 2 1 8 2 2 1
xy xyariaD dx dy dx dx
x y x y x
−= −=
⎛ ⎞= − + = − + − = − + − =⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫
( ) 10
1 1 1 3 1ln 1 ln 28 4 2 8 2
x= − − + + = − +
4) Să se calculeze ( )2 2 2 2 2 2
V
x y dxdydz ,V cuprins între sferele x y z r+ +∫∫∫2 2 2 2x y z R , r R+ + = <
+ =
2z
şi
R: Trecem la coordonate sferice
2 2 2
cos sinsin sin ;cos
xy x yz
ρ θ θρ θ ϕ ρρ ϕ
=⎧⎪ = + +⎨⎪ =⎩
= : 0 20
r Rρ V θ π
ϕ π
≤ ≤⎧⎪↔Ω ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩
2 2 2sin sinI d d dρ ϕ ϕ θ ρ θ ϕΩ
= ⋅∫∫∫ =
( ) ( )2 5 3
2 2 2 50 0
0 0
cos 1 4sin 1 cos cos 25 3 5
RRr
r
d d d R rπ π
π πρ ϕ 5
3ρ ρ θ ϕ ϕ ϕ θ ϕ π
⎛ ⎞= − = ⋅ − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ⋅
5) Să se calculeze
127
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2V
x y z x y z1 dxdydz, V mărginit de elipsoidul 1a b c a b c
− − − + + =∫∫∫
R: Trecem la coordonate sferice cos sinsin sincos
x ay bc c
ρ θ θρ θρ ϕ
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
ϕ 0 1
: 0 20
Vρθ πϕ π
≤ ≤⎧⎪↔Ω ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩
1 22 2 2 2
0 0 0
1 sin 1 sinI abc d d d abc d d dπ π
ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ ϕΩ
= − ⋅ = − ⋅∫∫∫ ∫ ∫ ∫ =
2220
0
1 cos 2 sin 248 2 2 2 2
t tdt t
ππ
4π π π ππ⎛ ⎞−
= = − = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ =
sin tρ = 21 c tρ− = os dt cosd tρ = 2
2 2 sin 2 1 cos 2sin cos4 8
t tt t −= =
128
LECŢIA 13 ARIA SUPRAFEŢELOR. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMĂ
SPEŢĂ.
13.1. Suprafeţe. Aria suprafeţelor Mulţimea de puncte (1) Σ = ( ) ( ) ( ) x, y,z / z f x, y , x, y D= ∈ , D domeniu în
xOy, f cu derivată de ordinul I continuă, se numeşte suprafaţă netedă reprezentată explicit.
Mulţimea (2) Σ = ( ) ( ) x, y,z F x, y,z 0∈Ω = , F definită şi continuă pe mulţimea
spaţială Ω, cu derivate parţiale continue, satisfăcând relaţia: 22 2F F F 0
x y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
> , se numeşte suprafaţă netedă sub formă implicită.
Spunem că suprafaţa Σ admite o reprezentare parametrică regulată dacă (3) Σ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x, y,z x x u,v , y y u,v , z z u,v , u,v D= = = ∈ , unde x, y, z admit
derivate parţiale continue pe D, satisfăcând condiţia ( )2 2 2A B C 0, u, v D+ + > ∈
( )( )
( )( )
( )( )
D y,z D z,x D x, yA , B , C
D u,v D u,v D u, v= = =
De exemplu pentru sferă avem reprezentările 2 2 2x y z R2+ + + = ,
( )2 2 2 2 2z R x y , x, y D : x y= ± − − ∈ + ≤ 2R
π
[ ) [ ]x R cos siny R sin sin , 0,2 , 0,z R cos
= θ ϕ⎧⎪ = θ ϕ θ∈ π ϕ∈⎨⎪ = ϕ⎩
Reprezentarea (3) se scrie vectorial: ( ) ( ) ( ) ( )r r u,v x u, v i y u, v j z u,v k= = + +
Pentru fixat ecuaţia devine 0u u= ( )0r r u ,v= care este o curbă pe suprafaţa pe care variază parametrul v. Se numeşte curba 0u u= . Pentru 0v v= se obţine curba
D
Σ
129
( )0r r u,v= pe care variază u ( 0v v= ). Avem o corespondenţă binivocă între mulţimea
punctelor ( )0 0u , v D∈ şi punctul ( )0 0 0P u ,v ∈Σ . Perechea ( )0 0u , v formează coordonatele curbilinii ale punctului . 0P
z
Vectorii
not
u ur x y
u ur i j k x i y j z ku u u u∂ ∂ ∂
= = + + = + +∂ ∂ ∂ ∂
z∂
v vr x y zr i j k x i y jv v v v∂ ∂ ∂ ∂
= = + + = + +∂ ∂ ∂ ∂ v vz k
sunt vectorii tangentelor la curbele ( )v ct şi u ct în u, v= =
Condiţia asigură necoliniaritatea vectorilor 2 2 2A B C+ + > 0 u vr şi r . Vectorii ur şi rv determină un plan numit plan tangent la suprafaţă în ( )u,v .
Perpendiculara pe planul tangent în ( )M u sa numeşte normala la suprafaţă în acest punct.
, v
Observaţie: Se demonstrează că, oricare ar fi o curbă de pe o suprafaţă, vectorul său tangent va
fi o combinaţie liniară a vectorilor u vr , r . Deci planul tangent conţine toţi vectorii tangenţi la curbele de pe suprafaţă, care trec printr-un acelaşi punct de pe suprafaţă.
Având în vedere definiţia, ecuaţia carteziană a planului tangent la suprafaţă este: ( ) ( ) ( )u u u
v v v
x x u,v y y u, v z z u, vx y zx y z
− − −
0=
sau ( )( ) ( )( ) ( )( )A x x u,v B y y u,v C z z u,v 0− + − + − =
Normala la suprafaţă are vectorul director u vr r× În fiecare punct al suprafeţei se pot considera doi factori normali la suprafaţă
având sensuri opuse. Unul dintre vectori face un unghi ascuţit cu axa Oz, iar celălalt un unghi obtuz. Numim faţă superioară a suprafeţei în raport cu planul xOy faţa suprafeţei pentru care vectorul normal face un unghi ascuţit cu Oz.
u vN r r A i Bj Ck= × = + + , iar versorii normali sunt:
x
y 0
0v v= v r
0u u= ur
130
u vu u2 2 2
u v u vv v
i j kr r A i Bj Ck 1n xr r r rA B C x y z
× + += = =± × ± ×± + +
u
v
y z
Folosind notaţiile lui Gauss 2 2 2 2
u u u u
u v u v u v u v
2 2 2 2v v v v
E r x y zF r r x x y y z z
G r x y z
= = + +
= ⋅ = + +
= = + +
şi identitatea găsim 2 2 2A B C EG F+ + = − 2 ( ) 2n A i Bj Ck / EG F= ± + + − .
Dacă suprafaţa este reprezentată implicit prin F(x, y, z) = 0 vectorul normalei este N = grad ( )F x, y,z iar versorii normalei la suprafaţă sunt:
1 2 3N 1n gradF n i
gradFN= = = + +
±±n j n k
1 x 2 y 31 1n cos F ; n cos F ; n cos F
gradF gradF gradF′ ′= α = = β = = γ =
± ± z1 ′
±
În cazul suprafeţelor reprezentate explicit prin ( )z f x, y= putem considera
reprezentarea implicită ( )z f x, y 0− = şi notând f fp , qx y∂ ∂
= =∂
vectorul normal este: ∂
N p i q j k= − − + , iar componentele versorilor normali sunt:
1 2 32 2 2 2 2 2
p qn cos , n cos , n cos1 p q 1 p q 1 p q− −
= α = = β = = γ =± + + ± + + ± + +
1
13.2. Aria unei porţiuni de suprafaţă Fie suprafaţa reprezentată de ecuaţia ( )r r u, v= . Cu ajutorul curbelor
coordonate u, v putem împărţi suprafaţa în paralelograme curbilinii.
i 1u +
v
j 1v +
jv
u iu D
M 1M M′3M
M ′′′
2M M′′
Asociem paralelogramului curbiliniu paralelogramul construit pe 1 3 2MM M M
vectorii ( ) ( )u i 1 i v j 1 jr u u , r v v+ +⋅ − − situat în planul tangent în M la suprafaţă. Când
numărul paralelogramelor curbilinii în care a fost descompusă porţiunea de suprafaţă tinde
131
către infinit, variaţiile , i 1 iu u+ − j 1 jv + v− tinzând la zero, suma ariilor paralelogramelor asociate tinde către o limită bine determinată, numită aria porţiunii de suprafaţă.
( ) ( ) ( )( )u i 1 iu u= − v j 1 j u v i 1 i j 1 jMM M M r r v v r r u u v v+ + + +′ ′′′ ′′ × − = × − −aria
şi cum 2u vr r EG F× = − ⇒
aria ( )( )2i 1F u= − i j 1 jMM M M EG u v v+ +′ ′′′ ′′ − −
încât aria σ a porţiunii este
( )( )2 2j 1 j
D
lim EG F u v EG F dudv+ +σ = − − = −∑ ∫∫i 1 iu v−
Expresia 2d EG F dudvσ = − este elementul de arie al suprafeţei raportat la ( )u, vsistemul de coordonate curbilinii .
Observaţie: În cazul în care suprafaţa ∑ este reprezentată prin ecuaţia ( )z f x, y= deci prin
ecuaţia vectorială r x i yj zk= + +
avem şi considerând coordonatele x, y drept coordonate curbilinii pe suprafaţă, rezultă că aria σ a unei porţiuni a suprafeţei ∑ este dată de:
2 2EG F 1 p q− = + + 2
2 2
D
1 p q dxdyσ = + +∫∫ , D fiind proiecţia pe planul xOy a porţiunii de suprafaţă.
Elementul de arie este 2 2d 1 pσ = + q dxdy+ Exemple: 1) Să se afle aria suprafeţei de ecuaţie 2 2z x y= + (paraboloid de rotaţie), unde
( ) ( ) 2 2x, y D x, y x y R∈ = + ≤ 2
∑
2 2
D
S 1 4x xy dxdy= + +∫∫
trecem la coordonate polare x cosy sin= ρ θ⎧
⎨ = ρ θ⎩ Δ:
00 2
Rρθ π
≤ ≤≤ <
( ) ( )2 2 3 3
2 22 20
0 0
1 21 4 1 4 2 1 4 18 3 6
RRI d d d R
π π πρ ρ ρ θ θ ρ ρ π⎡ ⎤
= + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
2
2 2
0
1 4d ρ ρ+∫
2) Să se afle aria sferei de rază R
Sfera poate fi dată parametric prin 2 2 2x y z R+ + =
132
[ ) [ ]x R cos siny R sin sin , 0,2 , 0,z R cos
= θ ϕ⎧⎪ = θ ϕ θ∈ π ϕ∈⎨⎪ = ϕ⎩
π
2θ
2ϕ
E = 2 2x y zθ θ+ +2 2 2 2 2 2 2 2E R sin sin R cos sin R sin= θ ϕ+ θ ϕ = ϕ
F = x x y y z zθ ϕ θ ϕ θ ϕ+ +F R sin sin R cos cos R cos sin R sin cos 0= − θ ϕ⋅ θ ϕ+ θ ϕ⋅ θ ϕ = G = 2 2x y zϕ ϕ+ +
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
G R cos cos R sin cos R sin R
d EG F d d R sin d d
= θ ϕ+ θ ϕ+ ϕ =
σ = − θ ϕ = ϕ θ ϕ
2
( ) ( )2 2
2 2 20
0 0
A sferă 8 d R sin d 8 R cos 4 R2
π πππ
= θ ϕ ϕ = ⋅ ⋅ − ϕ = π∫ ∫ 2
13.3. Integrale de suprafaţă de primul tip (în raport cu aria) Fie ∑ o suprafaţă netedă dată parametric prin:
( )( )( )( ) ( )
x x u,v
1 y y u,v
z z u, v , u,v D
⎧ =⎪
=⎨⎪ = ∈⎩
Presupunem că D are arie. Fie F o funcţia reală definită şi mărginită pe un domeniu din spaţiu care conţine suprafaţa ∑. Fie ( )1 2 nD ,D ,...DΔ = o diviziune oarecare a domeniului D. Fiecărui domeniu îi corespunde prin (1) o porţiune din ∑. Alegem în fiecare domeniu câte un punct oarecare
iD iS
iD ( )iu , iv , punem
( ) ( ) ( )i i i i i i i ix u ,v , y u ,v , z u ,vξ = η = iζ = şi formăm suma
( ) (x
i i i i i ii 1
F, , , F , ,Δ=
σ ξ η )ζ = ξ η ζ∑ aria . iS
Definiţie: F este integrabilă pe ∑ dacă ∃ un număr I cu proprietatea , 0∀ε >( ) 0∃δ ε > astfel încât ∀ diviziune Δ a lui D cu ( ) ( )υ Δ < δ ε şi oricare ar fi alegerea
punctelor ( )i iu , v D∈ i să avem ( )i i iF, , ,Δ Iσ ξ η ζ − < ε .
Notăm ( )I F x, y,z d∑
= ∫∫ σ← integrala lui F pe suprafaţa Σ.
Observaţie: Dacă presupunem că Σ este o suprafaţă materială iar F(x, y, z) este densitatea suprafeţei, atunci integrala lui F pe Σ dă masa suprafeţei Σ.
Dacă F reprezintă densitatea de repartiţie a unei sarcini electrice atunci integrala lui F pe Σ reprezintă sarcina electrică totală distribuită pe Σ.
Regula de calcul a integralei de suprafaţă de primul tip
Teoremă: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
D d
F x, y,z d F x u,v , y u,v ,z u,v EG F dudv∑ σ
σ = −∫∫ ∫∫ 14243
133
Dacă ( ) ( ): z f x, y , x, y D∑ = ∈
( ) ( )( ) 2 2
D d
F x, y,z d F x, y,f x, y 1 p q dxdy∑ σ
σ = + +∫∫ ∫∫ 14243
Exemple:
1) 2 2 2
4 4 4
x y zIa b c∑
= + + σ∫∫ d ∑ este elipsoidul 2 2 2
2 2 2
x y z 1a b c
+ + =
x a cos siny bsin sinz ccos
= θ⎧⎪ = θ⎨⎪ = ϕ⎩
ϕϕ
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 2 2
x y z cos sin sin sin cosa b c a b c
θ ϕ θ ϕ+ + = + +
ϕ
( )( )
2bcos sin bsin cosD y,zA b
0 csinD ,θ ϕ θ ϕ
= = = − θ− ϕθ ϕ
ccos sin ϕ
( )( )
20 csinD z,xB a
a sin sin a cos cosD ,− ϕ
= = = − θ− θ ϕ θ ϕθ ϕ
csin sin ϕ
( )( )
2
2
a sin sin a cos cosD x, yC a
bcos sin bsin cosD ,
abcos sin cos absin cos
− θ ϕ θ ϕ= = = − θ ϕ
θ ϕ θ ϕθ ϕ
− θ ϕ ϕ = − ϕ ϕ
bsin sin cosϕ−
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4
2 2 2 22 2 2 2
2 2
A B C b c cos sin a c sin sin
cos sin sin sin cosa b c sina b
+ + = θ ϕ+ θ
θ ϕ θ ϕ= ϕ +
2 2 2 2
2
2
a b sin cos
c
ϕ+ ϕ ϕ =
⎛ ⎞ϕ+⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2 2 2 2 22 2
2 2 20 0
2 2 22
20 0 0
cos sin sin sin cosI 8abc sin d da b c
1 1 cos 2 1 cos 28abc dt 1 cos sin d 8abca 2 2
π π
π π π
⎛ ⎞θ ϕ θ ϕ ϕ= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ θ −= ⋅ − ϕ ϕ ϕ+
∫ ∫
∫ ∫ ∫
ϕ θ ϕ =
θ⋅
2) ( )2 2zd : z x y , x, y D
∑
σ ∑ = + ∈∫∫ paraboloid de rotaţie
( ) 2 2 2D : x, y x y R+ ≤
2 2
2 2
d 1 p q dxdy
1 4x 4y dxdy
σ = + + =
= + +
x y
z
0
D
∑
134
( )2 R
2 2 2 2 3 2
D 0
I x y 1 4x 4y dxdy d 1 4 dπ
= + + + = θ ρ + ρ∫∫ ∫ ∫0
ρ
R3 2
10
I 1 4= ρ + ρ ρ∫ d integrală binomă m = 3, n = 2, 1p2
= , m 1 2 Z
n+
= ∈
( ) ( )1
2 2 122 2 2 2 2
t 1t 1 11 4 t d t t 1 dt4 2 2
−−−+ ρ = ρ = ρ = ρ = −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 23
21 4R 1 4R2 12 2 22
11 1
2 2 2 225 3
322 2
t 1 t 1I t t 1 dt t t 1 d8 2 16
1 4R 1 4R 1 4R 1 4R1 t t 116 5 3 16 5 3
6R 1 1 4R120
+ +−−
= ⋅ ⋅ − = −
⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−
= +
∫ ∫ t =
=
( ) ( )3
2 22I 1 4R 6R 160π
= + −
135
EXERCIŢI PROPUSE
1) Să se găsească aria porţiunii din sfera de rază R cuprinsă între două cercuri
paralele şi două cercuri meridiane.
x R cos siny R sin sinz R cos
= θ⎧⎪ = θ⎨⎪ = ϕ⎩
ϕϕ
2
Curbele sunt cercuri pe sferă situate în plane paralele cu planul z = 0 –
cercuri paralele. ctϕ =
Curbele sunt semicercuri ale cercurilor mari situate în plane ce trec prin axa Oz – cercuri meridiane.
ctθ =
Suprafaţa cuprinsă între paralelele 1,ϕ = ϕ ϕ = ϕ şi meridianele are aria:
1 2,θ = θ θ = θ
( )( )
( )
2 22 1 2 1
1 2 1 2
R sin d d R cos cos
, ,Δ
ϕ θ ϕ = θ − θ − ϕ + ϕ
Δ = θ ϕ θ ≤ θ ≤ θ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ
∫∫
2) Aria suprafeţei tăiate din sfera 22 2 2x y z a+ + = de către cilindrul
2 2
2 2
x y 1; b aa b
+ = ≤
Din cauza simetriilor sferei şi cilindrului aria este de opt ori aria porţiunii din sfera
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
z a x y , x, y D
x yx, y : x 0, y 0, 1a b
= − − ∈ =
⎧ ⎫= ≥ ≥ + ≤⎨ ⎬⎩ ⎭
136
2
22
2
22 2
2 2 22 2 2 2 2 2
xb 1xa aa y b 1a
y 02 2 2 2 2 2 2 2D 0 0 0
a 2 2
0
x y ap q 1 p qa x ya x y a x y
dxdy dy yA 8a 8a dx 8a arcsin dxa x y a x y a x
b a x8a arcsin
−= −
=
− −= = + + =
− −− − − −
= = =− − − − −
−=
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
=
2 2
1a a x
⋅−
2 bdx 8a arcsina
=
3) Să se calculeze aria suprafeţei 22 2 2x y z a+ + = situată în exteriorul cilindrilor ( )2 2x y ax sup rafaţa Viviani+ = ±
Cilindrii 2 2
2 2 2a ax y ax 0 x y2 4
⎛ ⎞+ − = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
x
y
z
2 2
2 2 2a ax y ax 0 x y2 4
⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
decupează în sferă 4 ferestre Viviani. Aria unei ferestre decupate de cilindrul
2 2x y ax 0+ − = va fi
2 2 2 2 2
2 2 2D
22 2
2 2 22 2 2
xA 2 1 p q dxdy z a x y ; p ;a x y
y aq ; 1 p qa x ya x y
−= + + = − − =
− −
−= + + =
− −− −
∫∫
D semidiscul situat deasupra axei Ox 2 2x y ax+ − ≤ 0
2 2D
dxdyA 2aa x y
=− −
∫∫ 2
θ
trecem la coordonate polare a2
a 2 2 2 2 2 2x y ax cos sin a cos+ ≤ ρ θ + ρ θ ≤ ρ
137
x cosy sin= ρ θ⎧
⎨ = ρ θ⎩ domeniul devine 2 a cos 0 a cosρ ≤ ρ θ ≤ ρ ≤ θ
( ) ( )2 a cos 2 2
2 2 a cos02 2
0 0 0 o
2 2 2 220
2 2
dA 2a d 2a a d 2a a a sin da
2a 2a cos a 2a2
4A 4 a 8a
ππ θ π
ρ= θρ=
π
ρ ρ= θ = − −ρ θ = − θ θ =
−ρ
π= + θ = π −
⇒ = π −
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ aria situată în exteriorul cilindrilor este . 28a
4) ( )22 2 2 2
yzd
a x y z∑
σ
+ + +∫∫ Σ partea din sfera 2 2 2x y z R2+ + = situată în
primul octant
Σ are reprezentarea parametrică x R cos siny R sin sinz R cos
= θ ϕ⎧⎪ = θ ϕ⎨⎪ = ϕ⎩
D : 0
2
02
π≤ θ ≤
π≤ ϕ ≤
2 2 2 2 2
2 2 2
E r R sin , F 0, G r R
EG F R sin , d R sin d d
θ ϕ= = ϕ = = =
− = ϕ σ = ϕ θ ϕ
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 22 2
2 22 2 2 2D 0
4 3 42 20 02 22 2 2 2
R sin sin cos RI R sin d d sin d sin cos da R a R
R sin R 1cos3 3a R a R
π π
π π
θ ϕ ϕ= ϕ θ ϕ = θ θ
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ= − θ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫∫ ∫ ∫0
ϕ ϕ ϕ =
5) ( )xy yz xz d∑
+ +∫∫ σ unde Σ este porţiunea suprafeţei conice 2 2z x y= +
decupată de suprafaţa 2 2x y 2a+ = x2 2
2 2 2 2
x yp , q , d p q 1dxdy 2dxdyx y x y
= = σ = + + =+ +
( ) 2 2
D
I 2 xy x y x y dxdy⎡= + + +⎣∫∫ ⎤
⎦x D domeniul mărginit de 2 2x y 2a+ =
138
139
x cosy sin= ρ θ⎧
⎨ = ρ θ⎩
2 2a cos0 2a cosρ ≤ ρ θ≤ ρ ≤ θ
2π
− 2π
2a cosρ = θ
( )2a cos2
2 2
02
I 2 d sin cos sin cos d
πθ
π−
⎡ ⎤= θ ρ θ θ + ρ θ + θ ρ⎣ ⎦∫ ∫ ρ =
( )
( )
2a cos 2a cos2 23 3
0 02 2
24 4 4 4
2
5 424 4 52 2
22
2 sin cos d d 2 sin cos d d
2 216a cos d sin cos 16a cos d2 2
cos 64a 24 2a 4 2a cos d5 15
π πθ θ
π π− −
π
π−
ππ π
−
π−
π−
= θ θ θ ρ ρ + θ + θ θ ρ
= = θ θ + θ + θ θ θ =
θ= + θ θ =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
ρ =
LECŢIA 14 INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE TIPUL AL DOILEA.FORMULA
LUI STOKES. FORMULA GAUSS-OSTROGRADSKI.
14.1. Integrale de suprafaţă de tipul al doilea Fie ( ) ( ) ( ) ( )V x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k= + + un vector continuu în
spaţiul v şi Σ o suprafaţă orientată, netedă, continuă în v de ecuaţii parametrice ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r u,v x u, v i y u, v j z u,v k, u,v D= = + + ∈
Presupunem x, y, z continuu diferenţiabile pe D satisfăcând u vr r 0× >
2 2 2A B C⇔ + + > 0 unde ( )( )
( )( )
( )( )
D y,z D z,x D x, yA , B , C
D u,v D u,v D u,v= = =
Presupunem că orientarea lui Σ este prezentată de versorul normalei u v u v u v
1 2 32 2 2 2u v
r r r r r rn nr r A B C EG F× × ×
= = = = + +× + + −
i n j n k
având cosinuşii directori
1 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2
A Bn cos , n cos , n cosA B C A B C A B C
= α = = β = = γ =+ + + + + +
C
n cos i cos j cos k= α + β + γ
Vectorul element de arie este d ndσ = σ . Definiţie: Se numeşte fluxul vectorului V prin suprafaţa orientată Σ, numărul
( )V d V n d∑ ∑
⋅ σ = ⋅ σ∫∫ ∫∫ , adică valoarea integralei de suprafaţă de primul tip a funcţiei
scalare 1 2 3V n Pn Qn Rn Pcos Qcos R cos⋅ = + + = α + β + γ pe suprafaţa Σ.
( ) ( )V d V n d Pcos Qcos R cos d∑ ∑ ∑
⋅ σ = ⋅ σ = α + β + γ σ =∫∫ ∫∫ ∫∫
( )( )
( )( )
( )( ) ( )2
2 2 2D D
D y,z D z,x D x, yP Q R
D u,v D u,v D u,vEG F dudv PA QB RC dudv
EG F EG F EG F
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + + − = + +⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫∫ ∫∫
Uneori este util să calculăm integrala în coordonate carteziene. Să presupunem că suprafaţa Σ poate fi proiectată binivoc pe fiecare din planele de coordonate, adică Σ este descrisă de fiecare dintre ecuaţiile:
( ) ( )( ) ( )
z
x
z f x, y , x, y D
x g y,z , y,z D
= ∈
= ∈
( ) ( ) yy h x,z , x,z D=
z xD ,D ,∈
y
, unde f, g, h sunt continue şi au derivate parţiale continue în domenii pe plane (care au arie) ale proiecţiilor pe planele de coordonate Dz = 0, x = 0, y = 0.
140
x
y
z Orientarea curbelor din planele de coordonate este coerentă cu orientarea pozitivă a suprafeţei. Luăm faţă pozitivă a lui Σ cea pentru care unghiul dintre axa Oz şi versorul normalei n la Σ este ascuţit.
2 2
1 fcos , p , qx y1 p q∂ ∂
γ = = =∂ ∂+ +
f
( ) ( )( )
( )( )z
z
2 2
2 2D
D
1R x, y,z cos d R x, y,f x, y 1 p q dxdy1 p q
R x, y,f x, y dxdy
∑
γ σ = + + =+ +
=
∫∫ ∫∫
∫∫
Se notează ( )R x, y,z dxdy∑
←∫∫ integrală de suprafaţă de tipul al doilea în raport cu
planul z = 0. Analog ( ) ( )( ) ( )
xnot
D
P x, y,z cos d P g y,z , y,z dydz P x, y,z dydz∑ ∑
α σ = =∫∫ ∫∫ ∫∫
( ) ( )( ) ( )y
notD
Q x, y,z cos d Q x,h x,z ,z dxdz Q x, y,z dzdx∑ ∑
β σ = =∫∫ ∫∫ ∫∫
şi sunt integrale de suprafaţă de tipul al doilea în raport cu planele x = 0 respectiv y = 0.
Expresia fluxului vectorului V prin suprafaţa Σ devine:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
V n d P x, y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdy
P x, y,z cos Q x, y,z cos R x, y,z cos d∑ ∑
∑
⋅ σ = + +
= α + β + γ σ
∫∫ ∫∫
∫∫
=
σσσ
dzdx dydz cos d
cos ddxdy cos d
= α= β= γ
Exerciţii:
1) dydz dxdz dxdy
x y z∑
+ +∫∫ Σ: faţa exterioară a elipsoidului
2 2 2
2 2 2
x y z 1a b c
+ + =
x a cos siny bsin sinz ccos
= θ⎧⎪ = θ⎨⎪ = ϕ⎩
ϕϕ
141
( )( )( )( )( )( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
bcos sin bsin cosD y,zA bccos sin
0 csinD ,
0 csinD z,xB acsin sin
a sin sin a cos cosD ,
a sin sin a cos cosD x, yC absin cos
bcos sin bsin cosD ,
A B C EG F b c cos sin a c sin si
θ ϕ θ ϕ= = = − θ ϕ
− ϕθ ϕ
− ϕ= = = − ϕ θ
− θ ϕ θ ϕθ ϕ
− θ ϕ θ ϕ= = = − ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕθ ϕ
+ + = − = θ ϕ+ ϕ 2 2 2 2 2n a b sin cosθ + ϕ ϕ
2
2 2
A Adydz cos d EG F d d Ad dEG F EG F
dxdz Bd d ; dxdy Cd d
= α ⋅ασ = σ = − θ ϕ = θ ϕ− −
= θ ϕ = θ ϕ
2 2
D
2
2 2 20 0
bccos sin acsin sin absin cosI da cos sin bsin sin a cos
bc ac ab 1 1 1d sin d abc 2 2a b c a b c
π π
⎛ ⎞θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ= + +⎜ ⎟θ ϕ θ ϕ ϕ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + θ ϕ ϕ = + + π ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫∫
∫ ∫
dθ ϕ =
2) ( ) ( ) ( )I y z dydz z x dzdx x y dxdy∑
= − + − + −∫∫
unde Σ: faţa exterioară a conului 2 2z x y , 0 z h= + ≤ ≤
1 2∑ = ∑ ∪∑ ∑1 faţa laterală a cercului, 2∑ secţiunea cercului cu planul z = h ( )2n 0,0,1 z h d dxdy= σ =
( ) ( )2
2D
x y d x y dxdy= − σ = −∑∫∫ ∫∫I
D : 2 2 2x y h z 0+ ≤ =
z
( )22
0 0
I d cos sin d= θ ρ θ − θ ρ =∫ ∫2 hπ
0
2 21 : z x y∑ = +
2 22 2
2 2 22 2 2 2
x y x yN , ,1 ; N 2; 1 p qx yx y x y
⎛ ⎞ +⎜ ⎟= ± − = + + = + =⎜ ⎟ ++ +⎝ ⎠
1 2
1n face obtuz cu Oz 1 2 2 2 2
1 x ycos 0 n , , 12 x y x y
⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ ϕ < ⇒ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
x y
2n
k
1 n
142
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 2 2 2 2 2 2
D
2 h2
0 0
y z x y z x z y x1 1I x y d2 2x y x y x y
1 2 y x d 2 y x d 2 y x 2dxdy2
2 d sin cos d 0 I 0
∑ ∑
∑ ∑
π
⎛ ⎞ ⎛− − −⎜ ⎟ ⎜= + − − σ = − −⎜ ⎟ ⎜+ + +⎝ ⎠ ⎝
= − σ = − σ = − =
= θ ρ θ − θ ρ = ⇒ =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫
x y d⎞⎟ σ =⎟⎠
14.2.Formule integrale Formula Gauss - Ostrograski (formula divergenţei) Exprimă legătura dintre integrala de volum pe un domeniu mărginit V şi
integrala pe faţa exterioară a suprafeţei Σ ce mărgineşte domeniul V. Fie V un domeniu spaţial mărginit având frontiera Σ o suprafaţă netedă pe
porţiuni şi ( ) ( ) ( ) ( )V x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k= + + un câmp vectorial pe V.
Presupunem că P, Q, R şi derivatele lor parţiale P Q R, ,x y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
sunt continue pe V. Deci
există şi este continuă pe V, divergenţa lui V , div P Q RVx y z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
Teoremă: Dacă domeniul V este un domeniu simplu, mărginit de suprafaţa Σ, netedă pe
porţiuni şi câmpul vectorial V satisface condiţiile enunţate, atunci: ( )
v
divVdxdydz V n d∑
= ⋅∫∫∫ ∫∫ σ ,
unde n este versorul normalei exterioare la Σ.
Consecinţe ale formulei Gauss – Ostrogradski Expresia volumului unui corp cu ajutorul integralei de suprafaţă Fie V un domeniu spaţial mărginit de suprafaţa netedă pe porţiuni Σ orientată cu
ajutorul versorului normalei exterioare n . Notăm r OP x i yj zk= = + +
uuur vectorul de poziţie al punctului ( )P x, y,z v∈ .
Avem div r 3= ( ) ( )
( ) ( )v
divr dxdydz 3vol V
1 1volV r n d x cos ycos zcos d3 3
1 xdydz ydzdx zdxdy3
∑ ∑
∑
⇒ =
⇒ = ⋅ σ = α + β + γ σ
= + +
∫∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
=
Teoremă: Fie V un domeniu tridimensional simplu conex şi vectorul V P i Qj Rk= + +
definit pe V pentru care există şi este continuă div V . Condiţia necesară şi suficientă pentru ca:
143
( ) ( )V n d Pcos Qcos R cos d 0∑ ∑
⋅ σ = α + β + γ σ =∫∫ ∫∫
pentru orice suprafaţă închisă conţinută în V este să avem P Q Rdiv V 0x y z∂ ∂ ∂
= + + =∂ ∂ ∂
în orice punct (x, y, z) al lui V.
Observaţie: un câmp vectorial V P i Qj Rk= + + se numeşte solenoidal dacă div V 0= .
Exemple: 1) unde Σ este suprafaţa cilindrului 3 2 2x dydz x ydzdx x zdxdy
∑
+ +∫∫2 2x y r+ = 2 cuprinsă între planele z = 0 şi z = a.
Aplicând formula G – 0 ( )2 2 2
v
I 3x x x dxdydz= + +∫∫∫ =
. Trecem la coordonate cilindrice 2
v
5 x dxdydz= ∫∫∫
[ ][ )[ ]
0, rx cosy sin dxdydz d d dz : 0,2z z z 0,a
⎧ρ∈= ρ θ⎧⎪⎪ = ρ θ = ρ ρ θ Ω θ∈ π⎨ ⎨
⎪ ⎪= ∈⎩ ⎩
v
a 2 r 4 43 2 3
0 0 0
1 cos 2 1 r 5 arI 5 cos d d dz 5 dz d d 5a 22 2 4
π
Ω 4+ θ π
/= ρ θ ρ θ = θ ρ ρ = ⋅ ⋅ π ⋅ =/∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Formula lui Stokes
Fie ( ) ( ) ( )V P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k= + + un vector continuu având
derivatele R Q P R Q, , , ,y z z x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
şi Py∂∂
continue pe domeniul tridimensional V. În aceste
condiţii există pe V:
R Q P R Q Prot V i j ky z z x x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Teoremă: Fluxul vectorului rotV prin suprafaţa orientată Σ, situată în V este egal cu circulaţia
lui V pe conturul Γ al lui Σ, având orientarea coerentă cu orientarea suprafeţei (un observator care se deplasează pe Γ cu capul spre n lasă la sânga suprafaţa Σ ).
( )n rotv d V dr∑ Γ
⋅ σ = ⋅∫∫ ∫
sau în coordonate carteziene
144
R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdzy z z x x y∑ Γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − + − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫
Observaţii: 1) Condiţia necesară şi suficientă ca integrala curbilinie să Pdx Qdy Rdz
Γ
+ +∫fie independentă de drum în domeniul simplu conex D este ca rotV 0= în orice punct a lui D.
2) Formula lui Stokes conţine ca caz particular formula lui Green: dacă Σ este un domeniu plan de contur Γ situat în planul y = 0 atunci cos cos 0α = β = şi co s 1γ =
Q PPdx Qdy dxdyx yΓ ∑
⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫∫
Aplicaţii 1) Să se transforme cu ajutorul formulei lui Stokes
2 2aydx zdy xdz : x a cos t y sin t z a sin t2Γ
+ + Γ = = =∫ 2
eliminând t 2 2 2 2
i j kx y z a
: ix y zx z a
y z x
⎧ + + = ∂ ∂ ∂⇒ Γ = − − −⎨ ∂ ∂ ∂+ =⎩
j k
Luând ca suprafaţă Σ porţiunea din planul x + z = 0 decupată de sferă, cum versorul
normalei este 1 1n ,0,2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2
D D
d 1 p q dxdy 2dxdy
I 2 2dxdy 2 dxdy 2aria D
σ = + + =
= − = − = −∫∫ ∫∫
D – proiecţia cercului pe planul xOy ( )22 2x y a x a+ + − = 2
2 2 222 2 2 a y ay2x y 2ax 0 xx ax 0
2 22z 0 z 0 z 0
⎧⎧ ⎛ ⎞⎧ + − =4
− + =− + =⎪ ⎪⎜ ⎟⎨ ⎨ ⎨⎝ ⎠=⎩ ⎪ ⎪= =⎩ ⎩
2
2
2 2
axy2 1 0
a a22 2
z 0
⎧⎛ ⎞−⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ + − =⎪
⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪=⎪⎩
2
2 2
a a aaria D2 2 2 2
a aI 22 2 2
π= π ⋅ ⋅ =
π π= − = −
145
EXERCIŢII PROPUSE
1) Să se calculeze Σ: faţa exterioară a frontierei
cubului
2 2 2x dydz y dzdx z dxdy∑
+ +∫∫
0 . x a, 0 y a, 0 z a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
( )v
I 2x 2y 2z dxdydz= + +∫∫∫
( )
V – volumul mărginit de cubul
dat
( ) ( )a a a
0 0 0
2 2y ay 0
I 2 dx dy x y z dz
y a2 axy a y2 2
==
= + +
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫a a a a2 2
z az 0
0 0 0 0
a a 3 2 22 2 3 x a 4 4 4
x 00 0
z a2 dx x y z dy 2 dx a x y dy2 2
a a xdx 2 a x dx 2 a a x a 2a 3a3 2 2
==
==
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2) Γ: perimetrul ABDA al Δ – ului ABD cu A(a, 0, 0),
B(0, a, 0), C(0, 0, a)
2 2 2y dx z dy x dzΓ
+ +∫
2 2 2
i j k
2z i 2x j 2ykx y z
y z x
∂ ∂ ∂= − − −
∂ ∂ ∂
1 1 1: x y z a n , ,3 3 3
⎛ ⎞∑ + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠
x
y
z
A
B
C
( )
( )2
3
2I 2zdydz 2xdzdx 2ydxdy z x y d3
2a 2a 2a 2a 3d aria ABD a43 3 3
∑ ∑
∑
= − − − = − + + + σ =
= − σ = − Δ = − ⋅ = −
∫∫ ∫∫
∫∫
3) 2 2
2 3 x y ax y dx dy zdy :
z 0Γ
⎧ 2+ =+ + Γ ⎨
=⎩∫
2 2
2 3
i j k
3x y kx y z
x y 1 2
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂ ∂
146
( )2 2 2x y a
: z 0 unde x, y D : n 0,0,1 d dxdyz 0⎧ + ≤
∑ = ∈ σ =⎨=⎩
2 a2 2 2 2 2 2 5 2 2
D 0 0
2 26 2 6 6 6
0 0
I 3x y dxdy 3 x y d 3 x y dxdy 3 d sin cos d
a sin 2 3a 1 cos 4 3a a3 d d6 4 24 2 24 8
π
∑ ∑
π π
= − = − σ = − = − θ ρ θ θ ρ =
θ − θ π= − θ = − θ = − ⋅π = −
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
4) Folosind formula lui Stobes să se calculeze
( ) ( ) ( )ABC
z y dx x z dy y x dz− + − + −∫
luată de-a lungul laturilor triunghiului deţinut de punctele A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)
x
y
z
A
B
C
0
i j k
2 i 2 j 2kx y z
z y x z y x
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂− − −
I 2 dydz dzdx dydx
∑
= + +∫∫
integrala se efectuează pe faţă de deasupra planului x y z 1 0a b c+ + − =
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 b c a c a bN , , Na b c a b c abc
bc ac abcos coa cosa b a c b c a b a c b c a b a c b c
+ +⎛ ⎞ = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
α = β = γ =+ + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc ac abI 2 da b a c b c a b a c b c a b a c b c∑
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
+ + + + + +⎝ ⎠∫∫ σ
ecuaţiile parametrice ale planului x uy v
u vz c 1a b
⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ = − −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
2 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2
c c c c a b c b a cp , q 1 p q 1 dudva b a b ab
+ += − = − + + = + + =
147
( )22
2OAB
ab ac bcbc ac ab abI dudv ab ac bcab abΔ
+ ++ += = ⋅ =∫∫ + +
2
5) I xdydz ydzdx zdxdy∑
= + +∫∫Σ: faţa exterioară a sferei 2 2 2x y z a+ + =
2 2 2
e
2 2 22 3
N grad F 2x i 2yj 2zk
N 4x 4y 4z 2a
x y zn , ,a a a
x y zI d a d a4a a a∑ ∑
= = + +
= + + = ⇒
⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + σ = σ = π = π⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∫ ∫∫ a 4 a
6) Să se calculeze fluxul câmpului de vectori
2 2 2V x i y j z k= + + prin octantul pozitiv al sferei 2 2 2x y z 1+ + = x 0 y 0 z 0> > >
( )2 2 2I x i y j z k nd∑
= + +∫∫ σ
( )( )( )( )( )( )
2
2
cos sin sin cosD y,zx cos sin A sin cos
0 sinD ,
0 sinD z, xy sin sin B sin sin
sin sin cos cosD ,
sin sin cos cosD x, yz cos C sin cos
cos sin sin sinD ,
θ ϕ θ ϕ= θ ϕ = = = − ϕ θ
− ϕθ ϕ
− ϕ= θ ϕ = = = − θ ϕ
− θ ϕ θ ϕθ ϕ
− θ ϕ θ ϕ= ϕ = = = − ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕθ ϕ
( )
2 2 2 4 2 2 4 2 2
3 4 3 4 3
A B C sin cos sin sin sin cos sin
n sin cos i sin sin j cos k d sin d d8
I cos sin sin sin cos sin d dΔ
+ + = ϕ θ + θ ϕ+ ϕ ϕ = ϕ
π= ϕ θ + θ ϕ + ϕ σ = ϕ θ ϕ =
= ϕ+ θ ϕ+ ϕ ϕ θ ϕ∫∫
02
02
π≤ θ ≤
π≤ ϕ ≤
148
7) Să se calculeze fluxul vectorului de poziţie r prin suprafaţa 2 2z 1 x y ,0 z 1= − + ≤ ≤
( )2 2
2 2
2 2
p i q j kx i yj zk nd n1 p q
p i q j kcos 0 n d 1 p q dxdy1 p q
+ −+ + σ =
± + +
− − +γ > = σ = + +
+ +
∫∫
( ) 2 2
2 2 2 2
x yI px qy z dxdy z 1 x y p qx y x y− −
= − − + = − + = =+ +
∫∫
( )2 2
D D2 2
I z x y dxdy dxdy
D : x y 1
= + + = =
+ ≤
∫∫ ∫∫ π
149
150
BIBLIOGRAFIE 1. Bercovici, M., Rimer, S., Triandaf, A., Culegere de probleme de geometrie
analitică şi diferenţială, Editura Politică, Bucureşti, 1973.
2. Chiriţă S., Probleme de matematici superioare, Editura Politică, Bucureşti,
1989.
3. Craiu, M., Tănase, V.,V., Analiză matematică, Editura Politică, Bucureşti,
1980.
4. Cruceanu, V., Elemente de algebră liniară şi geometrie, Editura Politică,
Bucureşti, 1973.
5. Flondor, D., Donciu, N., Algebră şi analiză matematică, Culegere de
probleme, Editura Politică, Bucureşti, 1965.
6. Grădinaru, D., Paicu, A., Algebră liniară şi aplicaţii, Tipografia Universităţii
„Ştefan cel Mare”, Suceava, 1995.
7. Paicu, A., Grădinaru, D., Exerciţii de analiză matematică, Tipografia
Universităţii „Ştefan cel Mare”, Suceava, 1995.
8. Roşculeţ, M., Analiză matematică, Editura Politică, Bucureşti, 1979.
9. Teodorescu, I., D., Geometrie analitică şi probleme de algebră liniară.
Culegere de probleme, Editura Politică, Bucureşti, 1971.
10. Udrişte, C., Radu, C., Dicu, C., Mălăncioiu, O., Probleme de algebră,
geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Politică, Bucureşti, 1998.
