Matematica.clasa12.Arhimede.2003.12 13
1
Concursul Revistei "Arhimede" Ediţia I, Bucureşti, 13.12.2003 Clasa a XII-a I. Să se calculeze următoarele integrale: a) dx x 3 xtg 2 tgxtg , x 6 , o ; b) dx ) 1 x e ( 1 e xe 2 x x x , x[–1,). II. Fie :[0,2]ℝ, (x) = arcsin|sinx|. Să se determine primitivele funcţiei . III. Fie (G,) un grup. Pentru orice aG definim a:GG, a(x) = axa –1 . Să se arate că a este morfism bijectiv (automorfism al grupului G). Să se arate că {a|aG} formează grup în raport cu operaţia de compunere a morfismelor. Să se deducă din cele de mai sus că orice grup care are un singur automorfism este comutativ. IV. Fie aℝ şi :ℝℝ o funcţie derivabilă cu derivata continuă. Dacă F este o primitivă a funcţiei astfel încât (F) = aF, să se demonstreze că F nu poate fi bijectivă. (Sorin Rădulescu)
-
Upload
dragomir-radu -
Category
Documents
-
view
1 -
download
0
description
Fise matematica
Transcript of Matematica.clasa12.Arhimede.2003.12 13
-
Concursul Revistei "Arhimede"
Ediia I, Bucureti, 13.12.2003
Clasa a XII-a
I. S se calculeze urmtoarele integrale:
a) dxx3xtg2tgxtg , x
6,o ; b) dx
)1xe(
1exe2x
xx
, x[1,).
II. Fie :[0,2], (x) = arcsin|sinx|. S se determine primitivele funciei .
III. Fie (G,) un grup. Pentru orice aG definim a:GG, a(x) = axa1. S
se arate c a este morfism bijectiv (automorfism al grupului G). S se arate
c {a|aG} formeaz grup n raport cu operaia de compunere a
morfismelor. S se deduc din cele de mai sus c orice grup care are un
singur automorfism este comutativ.
IV. Fie a i : o funcie derivabil cu derivata continu. Dac F este o primitiv a funciei astfel nct (F) = aF, s se demonstreze c F
nu poate fi bijectiv. (Sorin Rdulescu)
