MATEMATICA+6+unghiul
40
CAPITOLUL Unghiul 4.1. Unghiul 4.2. Clasificarea unghiurilor 4.3. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi 4.4. Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare 4.5. Unghiuri opuse la vârf 4.6. Unghiuri în jurul unui punct 4.7. Probleme cu caracter practic
description
matematica
Transcript of MATEMATICA+6+unghiul
CAPITOLUL
Unghiul
4.1. Unghiul 4.2. Clasificarea unghiurilor 4.3. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi 4.4. Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare 4.5. Unghiuri opuse la vârf 4.6. Unghiuri în jurul unui punct 4.7. Probleme cu caracter practic
172
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
173
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Unghiul
Definiţie. Reuniunea a două semidrepte închise, cu aceeaşi origine, se numeşte
unghi. desen citire notaţie Unghiul AOB; AOB ; sau unghiul BOA; BOA ; sau unghiul O. O . Redactare cu simboluri: OA OB AOB .
Elementele unui unghi Originea comună a celor două semidrepte se numeşte vârful unghiului. Cele două semidrepte închise se numesc laturile unghiului.
Observaţii: Pentru AOB , vârful este O, iar laturile sale sunt [OA şi [OB. Dacă notăm unghiul cu trei litere, atunci litera care marchează vârful acestuia se scrie, totdeauna, în mijloc. Dacă îl notăm cu o singură literă, îl notăm cu litera ce marchează vârful.
Cazuri particulare de unghiuri Unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte identice se numeşte unghi nul. Unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte opuse se numeşte unghi alungit. Exemplu:
Unghiul BAC este unghi nul, pentru că vârful unghiului este punctul A, iar laturile sale sunt semidreptele identice: [AB şi [AC. Evident şi ACB este unghi nul. În aceeaşi figură, unghiul ABC este unghi alungit, pentru că vârful unghiului este punctul B, iar laturile sale sunt semidreptele opuse: [BA şi [BC.
Unghi impropriu. Unghi propriu Unghiul nul şi unghiul alungit se numesc unghiuri improprii. Unghiul care nu este, nici nul şi nici alungit, se numeşte unghi propriu.
Poziţiile relative ale unui punct faţă de un unghi desen citire notaţie A, O şi B aparţin unghiului AOB ; , ,A O B AOB
I şi J se află în interiorul AOB ; ,I J Int AOB
E, F şi G se află în exteriorul AOB ; , ,E F G Ext AOB
Măsura unghiului Unităţi de măsură. Cea mai folosită unitate pentru măsurarea unghiurilor este
unghiul de un grad sexagesimal. Denumirea gradului provine de la faptul că
4.1.
O
A
B
A
B C
O
A
B
I
J
F
E
G
174
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
unităţile mai mici decât acesta sunt: minutul, care este de 60 de ori mai mic decât gradul: 1° = 60' ; secunda, care este de 60 de ori mai mică decât minutul: 1' = 60". Definiţie: Măsura unui unghi este numărul care ne arată de câte ori se cuprinde unitatea de măsură în interiorul acelui unghi. Măsurarea unui unghi dat. Instrumentul folosit pentru măsurarea unghiurilor este raportorul.
1 :P Se aşează raportorul, astfel ca vârful unghiului să fie în centrul semicercului
raportorului. În cazul nostru, vârful O al unghiului AOB se aşează în centrul semicercului, O.
2 :P O latură a unghiului trebuie să treacă prin punctul de diviziune corespunzător
lui 0°. În cazul nostru latura OA trece prin punctul de diviziune corespunzător
lui 0°.
3 :P Diviziunea de pe raportor situată pe direcţia celeilalte laturi ne dă măsura
unghiului AOB . În cazul nostru latura OB este situată pe diviziunea de 70 a
raportorului.
4 :P Scriem că 70m AOB .
Observaţii: Dacă AOB este unghi nul, atunci 0m AOB ;
Dacă AOB este unghi alungit, atunci 180m AOB .
Operaţii cu măsuri de unghiuri Adunarea. Operaţia se face adunând grade cu grade, minute cu minute şi
secunde cu secunde. Dacă se obţin mai mult de 60 minute, atunci transformăm minutele în grade, astfel: 60' = 1°. Analog pentru secunde. Exemplu: 15°32'44" + 29°11'38" = (15° + 29°) + (32' + 11') + (44" + 38") = = 44°43'82" = 44°43′ + (60′′+22′′) = 44°43′ + (1′ + 22′′) = 44°44′22′′.
Scăderea. Se scad secundele din secunde, minutele din minute şi gradele din grade. Dacă nu avem suficiente secunde (minute) la descăzut, ne împrumutăm cu un minut (grad). Exemplu: 27°11'25" – 13°40'33" = 26°70′85′′ – 13°40'33" = 13°30'22".
Înmulţirea cu un număr natural.Operaţia se face înmulţind cu acel număr, numărul de grade, numărul de minute şi numărul de secunde. În final se fac transformări, dacă este posibil.
B
175
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Exemplu: 5 (21°14'37") = 105°70'185" = 105° + (1°10') + (180" + 5") = 105° + + (1° + 10' ) + (3' +5") = (105° + 1°) + (10' + 3') +5" = 106°13'5".
Împărţirea la un număr natural. Operaţia se face împărţind: numărul de grade la numărul dat (dacă rămâne rest, acesta se transformă în minute şi se adună la minutele existente), apoi împărţim numărul de minute la numărul dat (dacă rămâne rest, acesta se transformă în secunde şi se adună la secundele existente) şi în final împărţim numărul de secunde la numărul dat. Exemplu: 13°11'24" : 4 = 3°17'51".
13 11' 24 '' 412 3 17 ' 51''
1 60 '11'71'68'
3' 180 ''24 ''
204 ''204 ''
= +
= +
===
Unghiuri congruente. Definiţie: Două unghiuri care au aceeaşi măsură se numesc unghiuri congruente.
desen: Redactare cu simboluri: m AOB m CED AOB CED .
Proprietăţile relaţiei de congruenţă reflexivitatea: ,A A A ;
simetria: dacă A B , atunci B A ; tranzitivitatea: dacă A B şi B C , atunci A C .
Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat Se dă un unghi AOB şi se cere construcţia unui unghi MNP congruent cu acesta.
Construcţia cu ajutorul compasului 1 :P Se construieşte semidreapta [NP.
2 :P Cu o deschizătură oarecare de compas trasăm, înţepând în O, un arc de cerc,
astfel încât, să taie laturile [OA şi [OB în punctele C, respectiv D.
3 :P Cu aceeaşi deschizătură de compas, înţepând în N, trasăm un arc de cerc astfel
încât, să taie [NP în punctul R.
4 :P Luăm în deschizătura compasului distanţa CD, şi cu această deschizătură
înţepăm în R şi trasăm un arc care taie arcul trasat anterior în punctul S.
C
E D
O
A
B
176
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
5 :P Pe semidreapta [NS luăm punctul M şi astfel, putem afirma că avem
AOB MNP . (Justificarea se va face în capitolul „Congruenţa triunghiurilor ”).
Construcţia cu ajutorul raportorului
1 :P Măsurăm unghiul dat, AOB şi obţinem că 180 130 50m AOB .
2 :P Se construieşte semidreapta [NP.
3 :P Aşezăm centrul semicercului raportorului în N şi latura [NP pe direcţia
diviziunii ce indică 180°.
4 :P Punctăm în dreptul diviziunii 130° şi trasăm semidreapta [NM.
5 :P 180 130 50m MNP m AOB
6 :P m MNP m AOB MNP AOB .
M
O B
A
N PRO B
A
D
C
O B
A
D
C
N PR
S
M
N P[
2P 3P
4P 5P
1P
177
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
* 1. Completaţi, astfel încât să obţineţi propoziţii adevărate:
a) Unitatea principală de măsură pentru unghiuri este .... d) 1 ...?' b) Unghiul alungit are ... grade sexagesimale. e) 1' ...?''
c) Unghiul nul are ... grade. f) 1 ...?'' 2. Spuneţi în care dintre desenele următoare nu este corect aşezat raportorul pentru citi-
rea măsurii unghiului AOB . Precizaţi care este deficienţa.
3. Folosind diviziunile raportorului din figura alăturată, citiţi măsurile următoarelor unghiuri: , , ,AOB AOC COD , ,COE AOE BOD . 4. Analizând figura alăturată, stabiliţi dacă unghiurile precizate sunt proprii sau improprii:
a) AOB ; b) MON ; c) MNO ; d) AOM ; e) AON ; f) MNO ;
c)
A
B
A
B
CD
E
OM N
B A
178
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
g) NMO ; h) BOM ; i) NOM .
5. Folosind figura alăturată, stabiliţi valoarea
de adevăr a următorelor propoziţii: a) ABC este unghi propriu; b) BCE este unghi alungit; c) CEB este unghi nul; d) EBC este unghi alungit; e) E ABC ;
f) D Int ABC ; g) M Ext ABC ; h) B AEC ;
i) AB AE BAE ; j) C Int BAE ; k) C ABE .
6. Construiţi MNP , cu 3 ,m MNP m AOB ştiind că 35 .m AOB
7. Construiţi unghiurile AOB şi BOC , care să nu aibă puncte interioare
comune, asfel încât ( )m AOB = 40° şi ( )m BOC = 60°.
8. Efectuaţi: a) 23°14'16" +10°33'11"; c) 18°39'46" - 7°21'35"; b) (41°2'13") 3; d) (24°36′48′′) : 4;
9. Transformaţi: a) 3° în minute; c) 144000" în grade; e) 7°11′120′′ în minute; b) 540' în grade; d) 4°10′ în secunde; f) 1°7′44′′ în secunde.
** 10. Efectuaţi:
a) 34°18′23′′ + 18°25′31′′; c) 5 (41°10′11′′); b) 171°53′48′′ – 63°29′34′′; d) (126°48′30′′) : 6.
11. Transformaţi în minute şi secunde: a) 5,2°; b) 10,4°; c) 21,2°; d) 40,5°; e) 11,25°.
12. Să se aproximeze următoarele măsuri, cu o eroare de 1°, prin lipsă, respectiv, prin adaos: 34°18′; 7°58′23′′; 107°47′′; 44°25′; 89°13′; 10,4°; 11,25°.
13. Să se aproximeze următoarele măsuri, cu o eroare de 1′, prin lipsă, respectiv, prin adaos: 34°18′45′′ ; 7°58′23′′; 107°47′′; 44°25′; 89°13′;10,4°; 11,25°.
14. Priviţi figura de mai jos şi completaţi pentru a obţine propoziţii adevărate:
a) ( ) ( ) ( )m EDA m ADC m ;
b) ( ) ( ) ( )m DAB m DAC m ;
c) ( ) ( ) ( )m DCA m m ;
d) ( ) ( ) ( )m EAB m m ;
e) ( ) ( ) ( )m AEC m CED m .
Folosind figura alăturată, stabiliţi valoarea de adevăr a următorelor propoziţii:
a) BA BE ABC ; b) ABC BC BA ;
M
A
D E B C
F T
M A
D
E b a
c
B C
179
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
c) ; ;ABD AC A C d) ;ABD EC EC e) ( ) ;ABD ED ED
f) ;ABD EC BC g) AB BC ACB ; h) BAC AC AB ;
i) BAC AC AB A ; j) ;Int ABD AC AC
k) ;Ext DAC DC DB CE l) AD Int BAC .
15. În interiorul unghiului AOB cu 153m AOB se construiesc semidreptele
[OD şi [OE ,astfel încât, 50m AOD şi 71 .m EOB Aflaţi m DOE .
16. Construiţi unghiurile AOB , BOC cu ( )m AOB = 90° şi ( ) 40m BOC = astfel încât:
a) Punctele A şi C să fie de o parte şi de alta a dreptei OB; b) Punctele A şi C să fie de aceeaşi parte a dreptei OB; În fiecare caz aflaţi .m AOC
17. Fie AOB şi BOC , astfel încât OB separă punctele A şi C, iar
130m AOB şi 50m BOC . Arătaţi că A, O şi C sunt coliniare.
Demontraţie: Din ipoteză,
130
50
m AOBm AOB m BOC
m BOC
180m AOC AOC este unghi alungit OA şi OC sunt
semidrepte opuse , ,A O C sunt puncte coliniare.
18. Fie B AC şi ,D AC astfel încât, 80m ABD . În semiplanul ,AC D
se ia punctul E, astfel încât, BE Int DBC şi 48m EBD .
Calculaţi ( )m EBF .
19. Să se arate că (2°41'5") : (32'13") .
20. Determinaţi pe x din următoarele egalităţi: a) ) 2 14 29 '40" 20 ;a x b) x –18°14'57" = 3(11°21'10");
c) 5(3° –1°19'40") +18°22' = x –25°14'55";
*** 21. Folosind figura alăturată, efectuaţi:
a) AM AB ; b) ABM BA ;
c) ;ABM AF d) ;ABF EC
e) ;BAM AD f) ;ABM BM
g) ;AB BM h) BAD AD ;
i) BAM AB AM ; j) ;Int AMB ME
M
A
D
EB
C
F
T
O C
B
A
180
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
k) ;Int AMB AB l) ;Ext AMB AB m) .AMB AB
22. Fie O MN şi A MN . Fie B Int AON . Despre unghiurile ,MOA
iAOB ş BON ştim că nu sunt toate congruente.
a) Arătaţi că cel puţin unul dintre ele are măsura mai mare decât 60°. b) Modificaţi datele problemei ducând trei semidrepte [OA, [OB, [OC din punctul O, scrieţi celelalte condiţii şi găsiţi măsura cu care trebuie înlocuită măsura de 60°.
Demonstraţie: a) Avem figura alăturată: Din O MN MON este un
unghi alungit 180m MON
180m MOA m AOB m BON m MON (1)
Presupunem, prin absurd, că
60
60 180
60
m MOA
m AOB m MOA m AOB m BON
m BON
, (2)
cu egalitate pentru 60m MOA m AOB m BON (3)
Din relaţiile (1), (2) şi (3) 60m MOA m AOB m BON
MOA AOB BON . (4) Din ipoteză , ,MOA AOB BON nu sunt toate congruente. (5) Din relaţiile (4) şi (5) obţinem contradicţie. Deducem că presupunerea făcută este falsă. Atunci, cel puţin unul din cele trei unghiuri are măsura mai mare decât 60°.
23. Considerăm semidreptele opuse [OM şi [ON şi, în acelaşi semiplan determinat
de dreapta MN, semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD, astfel încât, A Int(MOB ),
B Int(AOC ), C Int(BOD ), D Int(NOC ). Să se determine măsurile un-
ghiurilor AOB , COD şi MOC , ştiind că măsurile unghiurilor MOA , AOB , BOC , COD , DON se exprimă, în grade, prin numere naturale, consecutive.
24. Punctele A, O, B sunt coliniare, în această ordine. De aceeaşi parte a dreptei AB se consideră semidreptele OC şi OD cu OD Int BOC . În semiplanul
opus cu ,AB D se iau semidreptele OE şi ,OF cu OE Int BOF , astfel
încât, AOC EOF şi BOE COD . Arătaţi că F, O şi D sunt coliniare. 25. Două unghiuri au măsurile de 4°48' şi, respectiv, 8°. Este adevărat că raportul
celor două măsuri, r, verifică relaţia: 5 2
?9 3
r
(Mircea Fianu, Etapa Locală, Bucureşti, 1991) 26. Avem o riglă negradată şi un unghi dat, DAT , cu măsura de 44 .
Cum procedăm pentru a desena un unghi cu măsura de 4 ? Justificaţi !
OM N
BA
181
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
27. Dispunem de o riglă negradată şi de un raportor de pe care s-au şters toate sem-
nele care indică măsura unui unghi, cu excepţia semnului pentru 7 . Cum pro-
cedăm pentru a desena unghiuri cu măsurile de 5 , respectiv1 ? Justificaţi ! 28. Măsura, în grade, a unghiului xOy este un număr natural. Semidreapta
Oz Int xOy formează, cu laturile acestuia, unghiuri cu măsuri de a°b' şi,
respectiv, b°a', unde , 1;2;3;...;59a b . Calculaţi m xOy . ( Mircea Fianu, Etapa Locală, Bucureşti, 1991)
29. Fie 1 nO A A , cu , 2n N n . Într-unul din semiplanele deschise
determinate de dreapta 1 nA A se consideră punctele 2 3 4 1, , ,..., nA A A A , astfel
încât: 1 1 1 2 1 3 1 2.... 0 .n nm A OA m A OA m A OA m A OA
a) Care este numărul maxim de unghiuri proprii, cu interioarele disjuncte, două câte două, formate ? b) Câte unghiuri proprii s-au format ?
c) Dacă 1 2m A OA ; 2 3 1 22m A OA m A OA ;
3 4 1 23m A OA m A OA ; 4 5 1 24 ,....,m A OA m A OA
…., 1 ....n nm A OA , aflaţi n. ( Ştefan Smărăndoiu , Concursul Interjudeţean “La Şcoala Cu Ceas”, Râmnicu Vâlcea, 2002) Demonstraţie : a)
Numărul maxim de unghiuri proprii, cu interioarele disjuncte, două câte două, este egal cu 1n şi este atins, dacă luăm în considerare unghiurile: 1 2A OA ,
2 3A OA , 3 4A OA , ..., 1n nA OA .
b) 1OA în 2n unghiuri proprii: 1 2 ,A OA 1 3,A OA 1 4 ,A OA ..., 1 1nA OA ;
2OA în alte 2n unghiuri proprii: 2 3 ,A OA 2 4 ,A OA 2 5 ,A OA ... 2 nA OA ;
3OA în alte 3n unghiuri proprii: 3 4 ,A OA 3 5 ,A OA 3 6 ,A OA ... 3 nA OA ;
4OA în alte 4n unghiuri proprii: 4 5 ,A OA 4 6 ,A OA 4 7 ,A OA ... 4 nA OA ;
............................................................................................. 3nOA în alte 3 unghiuri proprii: 3 2 ,n nA OA 3 1,n nA OA 3n nA OA ;
2nOA în alte 2 unghiuri proprii: 2 1,n nA OA 2n nA OA ;
1nOA încă într-un unghi propriu: 1n nA OA ; Numărul de unghiuri proprii este egal cu:
O
3A
2A
1A
4A1nA
............
nA
2nA
182
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
2 1 1
1 2 3 ... 2 2 2 2 12 2
n n nn n n n
2 11 22
2 2 2
n nnn
.
b) Din ipoteza suplimentară, 1 2 ,m A OA k astfel încât,
1 2m A OA k . Atunci 2 3 2m A OA k ; 3 4 3m A OA k ;
4 5 4 ,....,m A OA k 1 1n nm A OA n k . Evident :
1 2 2 3 3 4 1 1... n n nm A OA m A OA m A OA m A OA m A OA
2 3 ... 1 180 1 2 3 .... 1 180k k k n k k n
1180 1 360
2
, 1 i
n nk kn n
k N n ş n N
1n 1 2 3 4 5 8 9
n 2 3 4 5 6 9 10
k 180 60 30 18 12 5 4
Deci 2;3;4;5;6;9;10n . 30. Fie punctele A, O, B coliniare, în această ordine. De aceeaşi parte a dreptei AB se consideră punctele 1 2 3, , ,..., nA A A A , astfel încât:
1 2 2 1.... 0 .n n nm AOA m AOA m AOA m AOA m AOA
Dacă 1m AOA ; 1 2 15m A OA m AOA ;
2 3 110m A OA m AOA ; 3 4 115m A OA m AOA ;
4 5 1 220m A OA m A OA ş.a.m.d., aflaţi n.
183
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Clasificarea unghiurilor
Unghiul ascuţit este unghiul a cărui măsură este cuprinsă între 0° şi 90° . desen citire unghiul ascuţit, AOB
Exemple: Fie ( )m AOB = 36°. Deoarece 0 < 90 ,m AOB rezultă că unghiul
AOB este ascuţit. La fel unghiurile MNP , DEF , GHI , cu ( ) 50 ,m MNP =
( ) 72 13'm DEF = , ( ) 89 59 '14 ''m GHI = , sunt ascuţite.
Unghiul drept este unghiul a cărui măsură este egală cu 90°. desen citire
unghiul drept AOC Exemplu: Din punctul O al unei drepte AB s-a construit o semidreaptă OC , astfel
încât ( ) 90m AOC = . Deci unghiul AOC este drept. Dar şi unghiul COB este drept,
deoarece ( )m COB = ( )m AOB – ( )m AOC = 180° – 90° = 90°.
Unghiul obtuz este unghiul a cărui măsură este cuprinsă între 90° şi 180°.
desen citire
unghiul obtuz MON
Exemplu: Din m(MON ) = 123° şi 90 180m MON MON este obtuz.
* 1. Completaţi spaţiile punctate, astfel încât, să obţineţi afirmaţii adevărate:
a) Unghiul drept are măsura de ... . b) Un unghi care are măsura cuprinsă între 0° şi 90° este un unghi .... c) Un unghi este obtuz, dacă măsura sa ... . d) Măsura unui unghi alungit este egală cu ... . e) Măsura unghiului nul este egală cu ... .
A
BO
OA B
C
O N
M
4.2.
184
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
2. Ţinând seama de măsura lor, scrieţi unghiurile, de mai jos, în tabel:
a) ( ) 14m A = ; d) ( ) 90m F = ; g) ( )m D = 180°;
b) ( ) 41m E = ; e); ( )m C = 111°30'; h) ( ) 144m M = ;
c) 2( ) 0m A = ; f)
3( ) 8 '13''m C = ; i) 2( )m C = 98°30'.
3. Măsuraţi unghiurile de mai jos şi precizaţi ce fel de unghi este fiecare:
4. Determinaţi măsurile unghiurilor AOB , MNP , DEF , ştiind că suma măsurilor lor este 180°, al doilea are măsura de două ori mai mare decât primul, iar al treilea are măsura cât dublul sumei măsurilor primelor două unghiuri. Desenaţi cele trei unghiuri şi precizaţi felul acestora.
5. Unghiul AOB cu măsura de 120° se împarte în patru unghiuri congruente cu ajutorul semidreptelor [OC, [OD, [OE. Construiţi figura, iar dintre unghiurile
formate, daţi exemple de două unghiuri ascuţite şi două unghiuri drepte diferite. 6. Se dă unghiul ,AOB cu 35 .m AOB Daţi exemplu de o măsură pentru
unghiul BOC , astfel încât B Int AOC şi AOC să fie unghi ascuţit.
7. Se dă unghiul MON , cu m(MON ) = 42°. Se construieşte semidreapta [OP , astfel
încât, N Int (MOP ) şi MOP este drept. Calculaţi măsura unghiului NOP . 8. Putem stabili dacă un unghi dat este ascuţit, drept sau obtuz cu ajutorul echerului, care se aşează, ca în desenele de mai jos. Precizaţi felul fiecărui unghi: 9. Desenaţi câte două unghiuri ascuţite, drepte, respectiv,obtuze.
nule ascuţite drepte obtuze alungite
a) b)
d)
c)
f)e)
a) b) c)
d) e) f)
185
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
** 10. În figura alăturată, m(DAB ) = 60° şi m(ABE ) = 70°. Desenaţi figura pe caiet şi notaţi cu C intersecţia semidreptelor [AD şi [BE.
a) Determinaţi cu raportorul m(ACB ).
b) Calculaţi S = m(ABC ) + m(BCA ) + m(CAB ).
11. Fie m(AOB ) = 24° + x. Să se determine x , pentru care unghiul AOB este: a) ascuţit; b) drept; c) obtuz; d) alungit.
12. Punctul M Int AOB , cu 4m AOB m AOM şi 90m MOB .
Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiilor: a) Unghiul AOB este unghi obtuz. b) Figura corespunzătoare problemei nu conţine unghiuri ascuţite.
13. Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiilor: a) Suma oricăror două unghiuri ascuţite este unghi ascuţit. b) Suma dintre un unghi drept şi un unghi ascuţit este totdeauna un unghi obtuz. c) Diferenţa dintre un unghi alungit şi un unghi ascuţit este un unghi obtuz.
14. În figura alăturată, ABCD este un patrulater oarecare. Cu ajutorul raportorului măsuraţi unghiurile şi calculaţi suma:
( ) ( ) ( ) ( )S m A m B m C m D= + + + .
15. Determinaţi pe x şi precizaţi în ce caz el reprezintă măsura unui unghi obtuz: a) 2x – 37° = 213°; c) 3 (x – 12°7'20") + 41° = 161°30'18" b) x + 47°33' = 85°49'27" d) 73°50' + 59°10' = x + 18°42'33".
16. În figura alăturată punctele B, C, M, sunt coliniare. Măsuraţi cu raportorul unghiurile din figură şi stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:
a) m( A ) + m( B ) = m(ACM );
b) m( A ) + m( B ) m(ACM );
c) m( A ) m(ACM ); d) m( A ) m(ACM );
*** 17. De câte ori, în timpul unei zile, unghiul format de minutarul şi orarul unui ceas
mecanic, formează un unghi nul, un unghi alungit, respectiv, un unghi drept? ( Ştefan Smărăndoiu, Concursul Interjudeţean „ La Şcoala Cu Ceas”, Râmnicu Vâlcea, 2000) 18. Se consideră unghiul ascuţit xOy . În semiplanul determinat de Ox , în care nu
se află y, se ia un punct A, astfel încât AOy este unghi drept. Se construieşte
OB Int AOx cu condiţia ca AOB BOx . Să se afle m xOy ,
60°
A B
E D
70°
A
D C
B
B C M
A
186
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
ştiind că m xOB este cu 20 mai mare ca m xOy .
( Ştefan Smărăndoiu, Etapa Locală, Râmnicu Vâlcea, 1986) 19. Semidreptele Ox şi Oy sunt opuse, iar punctele A şi B sunt de aceeaşi parte a
dreptei " ",xy astfel că, 2m BOx m AOy , iar unghiul BOx este
obtuz. Arătaţi că:
a) m AOx m AOy ; b) dacă OA OB , atunci 60m AOy ;
c) dacă OB Int AOy , astfel încât, AOB BOy , atunci 72m AOy .
( Mircea Fianu, Etapa Locală, Bucureşti, 1996) 20. Fie B AC . De aceeaşi parte a dreptei AC, se iau punctele D şi E, astfel
încât, BD Int ABE , iar ABD EBC .
a) Determinaţi m ABD , ştiind că DBE este unghi drept.
b) Care este numărul maxim de valori naturale, nenule, pe care le poate lua k, unde k m ABD , în cazul în care DBE este unghi obtuz, cu măsura
număr natural, exprimat în grade sexagesimale. ( Ştefan Smărăndoiu, Etapa Locală, Râmnicu Vâlcea, 1992)
21. Fie A, B, C, D, E, F, puncte coliniare, în această ordine şi un punct O, O AB .
a) Dacă 2AC AB AD şi 2CF AF EF , atunci ;AB DE
b) Dacă AOC EOC şi BOF DOF , atunci
.
2
m AOF m BOEm COD
( Sorin Peligrad, Concursul „ Simion Sorin”, Piteşti, 2001)
22. Unghiul 1 19A OA este alungit. De aceeaşi parte a dreptei 1 19A A se iau punctele
2 3 4 18, , ,...,A A A A , astfel încât, 2 1 3 3 2 4, ,A Int A OA A Int A OA
4 3 4 18 17 19,...,A Int A OA A Int A OA , iar 2 3 1 2 1 ;m A OA m A OA
3 4 2 3 18 19 17 181 ;...; 1 ;m A OA m A OA m A OA m A OA Arătaţi că:
a) 1 21 2m A OA ; b) 1 3m A OA ; c) 12 18 90m A OA . ( Dorina Zaharia, Etapa Locală, Braşov, 2009)
187
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi
Unghiuri adiacente. Două unghiuri proprii care au vârf comun, o latură comună, iar celelalte două laturi sunt situate de o parte şi de alta a laturii comune se numesc unghiuri adiacente. desen citire AOC şi BOC sunt unghiuri adiacente Dacă unghiurile AOB şi BOC sunt unghiuri adiacente, atunci O este vârful comun al unghiurilor, [OC este latura comună, iar [OA şi [OB sunt laturile situate de o parte şi de alta a laturii comune. Observaţii. 1. Int AOB Int BOC .
2. Un unghi impropriu nu poate fi adiacent cu nici un alt unghi.
Bisectoarea unui unghi propriu Definiţie. Semidreapta cu originea în vârful unghiului, interioară unghiului, ce formează cu laturile acestuia două unghiuri congruente, se numeşte bisectoare. desen citire [OM este bisectoarea
unghiului AOB
Redactare cu simboluri: secOM Int AOB
OM estebi toarea AOBAOM BOM
.
Observaţie. Orice unghi propriu are o singură bisectoare.
* 1. Citiţi perechea de unghiuri indicată şi argumentaţi dacă sunt adiacente sau nu:
a) iAOM ş MOB ; b) iCEF ş FGH ; c) iMON ş MOP ;
d) AOB şi COD ; e) PQR şi STV f) AOB şi CBO .
O
A M
B
O B D
CA P Q T S
R V
O
A M
BE
DG
F
H
MN
P
O
4.3.
188
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
2. Citiţi perechi de unghiuri adiacente din următoarele figuri:
a) b) c) d)
3. MAT şi TAS sunt unghiuri adiacente. Atunci: a) vârful lor comun este ... ; b) latura comună este .... ; c) celelalte două laturi ... şi ... sunt situate de o parte şi .... a laturii comune .... .
4. MAT şi TAS sunt unghiuri neadiacente. Atunci: a) vârful lor comun este ... ; b) latura comună este .... ; c) celelalte două laturi ... şi ... sunt situate de aceeaşi .... a laturii comune .... .
5. Construiţi un unghi AOB şi semidreapta [OM, astfel încât, să fie adiacente:
a) AOM şi MOB ; b) AOB şi AOM ; c) MOA şi AOB .
6. Se dau unghiurile adiacente AOB şi BOC . Stabiliţi dacă semidreptele [OA şi [OC sunt opuse, ştiind că:
a) m(AOB ) = 72° şi m(BOC ) = 108° ;
b) m(AOB ) = 52°30' şi m(BOC ) = 67°30' . 7. În figura alăturată, unghiurile MON şi NOP
sunt adiacente. Ştiind că 57 ,m MON iar
m MOP 103 , determinaţi m PON .
8. Fie OM bisectoarea unghiului AOB . Stabiliţi valoarea de adevăr a
următoarelor propoziţii: a) OM are originea în vârful A al unghiului AOB ;
b) OM AOB ; c) OM Int AOB ; d) AOM BOM .
9. Stabiliţi dacă semidreapta punctată este bisectoare pentru unghiul dat: a) b) c) d) e) f)
OM R
NP
M
N
P
O
O G
F
D
O
RP
TS
O P
NM
[
M
O
N
PQA
C
B
O32°14′
32°14′
D F G
E
40° 40°
O
A
C
B140°
140° O
M
N
P
25°25°
90°OA B
C
90°
189
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
10. Fie OM bisectoarea unghiului AOB .
a) Calculaţi m(AOB ) , ştiind că m(AOM ) este egală cu: i) 23°; ii) 44°30′; iii) 65°22′30";
b) Calculaţi m(MOB ) , ştiind că m(AOB ) este egală cu: i) 84°; ii) 75°40′; iii) 142°24'36".
11. Fie OM Int AOB , astfel încât, 40 ,m AOM iar m BOM este
egală cu 25% 160din . Demonstraţi că OM este bisectoarea unghiului .AOB
12. În figura de mai jos, unghiul AOB este un unghi alungit:
a) Daţi exemplu, din figură, de două perechi de unghiuri adiacente.
b) Calculaţi m(COD ). c) Construiţi bisectoarea [OM a
unghiului COD şi calculaţi m(MOB ).
** 13. Fie O MN şi P MN . În semiplanul ,MN P construiţi OA bisectoarea
unghiului MOP şi OB bisectoarea NOP . Arătaţi că m AOB este
constantă, indiferent de măsura unghiului MOP . Demonstraţie: Din ipoteză O MN
MON este unghi alungit
180m MON (1)
Fie 2m MOP x , unde 0 2 180x . (2)
Din ipoteză, OA este bisectoarea unghiului MOP MOA POA
1
2m MOA m POA m MOP x . (3)
Fie 2m PON y , unde 0 2 180y . (4)
Din ipoteză, OB este bisectoarea unghiului NOP BOP BON
1
2m BOP m BON m NOP y . (5)
Din relaţiile (3) şi (5) m AOB m POA m POB x y . (6)
Evident, m MOP m NOP m MON . (7)
Din relaţiile (7), (2), (4) şi (1) 2 2 180 90x y x y (8)
Din relaţiile (6) şi (8) 90m AOB m AOB este constantă.
B OA
C D
44°62°
OM N
P
A
B
190
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
14. Se dă unghiul alungit AOB şi, de aceeaşi parte a dreptei AB, punctele M şi N,
astfel încât, ,m MON a unde 0 180a . Fie OP şi OQ bisectoarele
unghiurilor MON , respectiv, NOB .
a) Să se determine valoarea lui a, pentru care 3m POQ a .
b) Pentru ce valoare a lui a, avem 90 ?m POQ ( Constantin Popescu, Etapa Locală, Vâlcea, 1991)
15. În figura alăturată, punctele A, O, B sunt coliniare, iar semidreapta [OE
este bisectoarea unghiului AOD .
Ştiind că m(AOE ) = 22° 30' şi
m(AOC ) = 90°, să se calculeze:
a) m(AOD ); b) m(COB ); c) m(EOC ).
16. Fie unghiurile AOB şi BOC adiacente. Calculaţi m(AOC ) în cazurile:
a) m(AOB ) =52° şi m(BOC ) =73°; c) m(AOB ) =45° şi m(BOC ) =116°.
b) m(AOB ) = 63°18'43" şi m(BOC ) = 116°41'17"
17. Fie [OA bisectoarea unghiului MON . Ştiind că m( AON ) =36°, să se
determine m(MON ).
18. Fie AOB şi BOC unghiuri adiacente şi [OM, respectiv, [ON, bisectoarele
acestora. Ştiind că m(MOC ) = 70° şi m(CON ) = 20°, să se determine:
a) m(AOB ); b) m(AOC ); c) m(AON ).
19. Unghiurile AOB şi BOC sunt adiacente, astfel încât, m( AOB ) = 72° şi
m(BOC ) = 36°. Calculaţi măsura unghiului format de bisectoarele lor.
20. Măsura unghiului format de laturile necomune a două unghiuri adiacente este de 97°42'. Determinaţi măsurile celor două unghiuri, ştiind că măsura unuia din ele este de cinci ori mai mare decât măsura celuilalt.
21. Fie AOB şi BOC unghiuri adiacente, astfel încât, m( AOB ) = 150° şi
m(BOC ) = 60°. Arătaţi că bisectoarea [OM a unghiului BOC este semidreaptă opusă semidreptei [OA.
22. În figura alăturată, punctele A, O, B sunt
coliniare. Ştiind că m(AOD ) = 140° şi
m(COB ) = 150°, să se determine m(COD ).
23. În figura alăturată, AOB este un unghi
alungit, m(AOC ) = 70°, m(COD )= 37°, iar M este un punct situat în acelaşi semiplan determinat de dreapta AB ca şi
OA B
D C
70°
37°
OA B
DC
OA B
D C
E
191
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
punctele C şi D. Ştiind că m(MOB ) = 96°, să se determine, în interiorul căruia dintre
unghiurile AOC , COD sau DOB se află punctul M.
24. Se consideră unghiurile AOB , BOC adiacente şi BOC , COD , de asemenea, adiacente. Să se arate că, dacă semidreapta [OM este bisectoare, atât pentru
unghiul BOC , cât şi pentru unghiul AOD , atunci AOB COD .
*** 25. Unghiurile AOB şi AOC nu sunt adiacente şi m(AOC ) = 80°, m(BOC ) =
= 24°. Notăm cu [OM şi [ON bisectoarele unghiurilor AOC , respectiv BOC .
Să se calculeze m(MON ).
26. Interiorul unghiului AOB este împărţit de semidreptele [OM, [ON, [OP şi [OR, considerate în această ordine, în cinci unghiuri congruente. Bisectoarea
unghiurilor POR şi PON formează un unghi cu măsura de 30°. Calculaţi:
a) m(AOB ); b) m(AOR ); c) m(NOR ).
27. Fie OD Int AOB şi OE Int BOD . Arătaţi că AOD BOE ,
dacă şi numai dacă DOE şi AOB au aceeaşi bisectoare. ( Ştefan Smărăndoiu, Etapa Locală, Vâlcea, 1992)
Demonstraţie: Fie 2m DOE x , (1)
unde 0 2 180x .
Fie OC bisectoarea DOE (2)
DOC EOC
1
2m DOC m EOC m DOE x (3)
'' "
Din AOD BOE m AOD m BOE y , (4)
unde 0 2 180y .
Din relaţiile (3) şi (4)
m AOC m AOD m DOC x y
m AOC m BOCm BOC m BOE m EOC x y
AOC BOC OC este bisectoarea AOB . (5)
Din relaţiile (2) şi (5) DOE şi AOB au aceeaşi bisectoare. '' " Din ipoteza suplimentară DOE şi AOB au aceeaşi bisectoare. (6)
O
AB
DC
E
192
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
Din relaţiile (2) şi (6) OC este bisectoarea AOB
AOC BOC m AOC BOC t . (7)
Din relaţiile (7) şi (3)
m AOD m AOC m DOC t x
m AOD m BOEm BOE m BOC m EOC t x
.AOD BOE
28. Fie AOE un unghi propriu, cu C, B şi D Int AOE , astfel încât AOC şi
BOC sunt unghiuri neadiacente, iar DOC şi DOE sunt adiacente. Arătaţi că AOB DOE DOB şi AOE au aceeaşi bisectoare.
29. Fie OC şi OD două semidrepte situate în interiorul AOB , astfel încât,
.OD Int AOC Ştiind că 60m AOD şi 50 ,m BOC aflaţi
măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC şi BOD . ( Cerasela Bociu, Etapa Locală, Timiş, 2009)
30. Unghiurile AOB , COA şi COB sunt unghiuri proprii, în aşa fel încât,
OA nu este inclusă în interiorul unghiului COB şi OB nu este inclusă în
interiorul unghiului AOC . Ştiind că ,m AOB a calculaţi ,m EOF
unde E şi F aparţin bisectoarelor unghiurilor COB , respectiv, AOC . ( Mircea Fianu, Etapa Locală, Bucureşti, 1990)
31. Se dau unghiurile AOB şi BOC , astfel încât, m AOB este de 3 ori mai
mare decât m BOC . Dacă 120m AOC şi OD este semidreapta opusă
semidreptei OB , calculaţi m AOD . (Vasile Chiş, Etapa Locală, Bihor, 2009)
32. Fie AOB cu măsura de 128 şi 1OA bisectoarea unghiului AOB ,
2OA bisectoarea unghiului 1AOA , 3OA bisectoarea unghiului 2AOA , ... ,
7OA bisectoarea unghiului 6AOA .
a) Aflaţi măsurile unghiurilor 2 5A OA şi 7BOA .
b) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarea unghiului 2 5A OA şi bisectoarea
3BOA . ( Cristi Serghie, Etapa Locală, Galaţi, 2009)
193
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare
Unghiuri complementare. Două unghiuri care au suma măsurilor egală cu
90° se numesc unghiuri complementare . desen citire
iAOB ş DEF
Sunt unghiuri complementare Redactare cu simboluri: 90 im AOB m BOC AOB ş BOC sunt unghiuri complementare.
Observaţie: Fiecare dintre cele două unghiuri este complementul celuilalt unghi. Proprietăţile unghiurilor complementare Complementul unui unghi cu măsura egală cu x este un unghi de măsură
90 x . Dacă două unghiuri complementare sunt congruente, atunci măsura fiecăruia este egală
cu 45°. Unghiurile congruente au complemente congruente. Unghiurile care au acelaşi complement sunt congruente.
Unghiuri suplementare. Două unghiuri care au suma măsurilor egală cu 180° numesc unghiuri suplementare. desen citire iAOB ş DEF
sunt unghiuri suplementare Redactare cu simboluri: 180 im AOB m DEF AOB ş DEF sunt unghiuri suplementare.
Observaţie: Fiecare dintre cele două unghiuri este suplementul celuilalt unghi. Proprietăţile unghiurilor suplementare Suplementul unui unghi cu măsura egală cu x este un unghi de măsură 180 .x
Dacă două unghiuri suplementare sunt congruente, atunci fiecare este un unghi drept. Unghiurile congruente au suplemente congruente. Unghiurile care au acelaşi suplement sunt congruente. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un unghi drept.
Exemplu: AOB şi BOC sunt unghiuri adiacente suplementare, iar OD şi, respectiv,
4.4.
A O
DB
E
F
OA E
B
F
D
194
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
OE sunt bisectoarele lor. Arătaţi că DOE este drept.
Demonstraţie:
Fie 2m AOB x , unde 0 2 180x . (1)
şi 2m BOC y , unde 0 2 180y (2)
Din ipoteză, AOB şi BOC sunt unghiuri adiacente suplementare
180m AOB m BOC . (3)
Din relaţiile (1), (2) şi (3) 2 2 180 90x y x y . (4)
Din ipoteză, OD este bisectoarea unghiului AOB AOD BOD
1
2m AOD m BOD m AOB x . (5)
Din ipoteză, OE este bisectoarea unghiului BOC EOB EOC
1
2m EOB m EOC m BOC y . (6)
Din relaţiile (5) şi (6) m DOE x y . (7)
Din relaţiile (4) şi (7) 90m DOE DOE este drept.
* 1. Calculaţi complementele unghiurilor cu măsura de:
a) 72°; b) 13°; c) 50°; d) 40°40′. 2. Stabiliţi o corespondenţă de la fiecare măsură, din coloana A, la măsura
complementului său, din coloana B, ca în exemplul dat: A B
a) m(AOB ) = 40° 1. m( TVS ) = 7°
b) m(COD ) = 32° 2. m(EFG ) = 23°
c) m(PQR ) = 83° 3. m(RSQ ) = 50°
d) m(MNP ) = 51°30′ 4. m(BOC ) = 58°
e) m(ABC ) = 67° 5. m( STQ ) = 48°30'
3. Măriţi cu 14°25'34" măsura complementului unghiului cu măsura de 65°32'50". 4. Calculaţi măsurile suplementelelor unghiurilor cu măsura de: a) 14°; b) 75°; c) 110°; d) 36°40'; e) 149°30′30′′. 5. Un unghi are măsura de două ori mai mare decât cea a complementului său. Determinaţi măsura unghiului. 6. Calculaţi măsura unghiului care are măsura de 8 ori mai mare ca a suplementului său. 7. Un unghi are măsura de 72°22'30". Calculaţi suma măsurilor complementului şi suplementului acestui unghi.
OA C
BE
D
195
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
8. Se dau unghiurile cu măsurile de: m(AOB ) = 57°, m(EDF ) = 41°, m(PRS ) =
= 123°, m(XOY ) = 15°, m(KTS ) = 75°, m(KLM ) = 49°, m(MNP ) = 32°. Verificaţi dacă printre aceste unghiuri sunt perechi de:
a) unghiuri complementare; b) unghiuri suplementare.
9. Construiţi unghiul AOB , cu m(AOB ) = 85°, iar apoi construiţi complementul şi suplementul acestuia.
10. Desenaţi cu ajutorul raportorului, un unghi cu măsura de 40° şi apoi construiţi folosind rigla şi echerul: a) complementul unghiului; b) suplementul unghiului.
11. Complementul căruia dintre unghiurile AOB , COD , DOE , cu m(AOB ) = 32°,
m(COD ) = 81°, m(DOE ) = 45° este un unghi cu măsura mai mică decât 20°?
12. Se dau unghiurile AOB şi COD , cu m( AOB ) = 17° şi m( COD ) = 73°.
Calculaţi diferenţa dintre măsurile complementelor unghiurilor AOB şi COD . 13. În coloana A sunt date măsurile unor unghiuri, A B iar în coloana B sunt măsurile suplementelor a) 118° 1. 111° unora din ele. Asociaţi litera din faţa măsurii b) 73° 2. 136° din coloana A cu cifra măsurii suplementului c) 44° 3. 79 unghiului, scris în coloana B. d) 101° 4. 107° e) 69° 5. 62°
** 14. În figura alăturată, iAOB ş BOC sunt
unghiuri adiacente complementare,cu
22m AOB x ,
iar 2 14m BOC x .
a) Arătaţi că AOC este unghi drept; b) Aflaţi x. 15. În figura alăturată, iAOB ş BOC sunt
unghiuri adiacente suplementare,cu
2 20m AOB x ,
iar 4m BOC x .
a) Arătaţi că AOC este unghi alungit; b) Aflaţi x. 16. Ce măsură are complementul unui unghi, al cărui suplement are măsura de
140°?
17. Ce măsură are suplementul unui unghi, al cărui complement are măsura de 60°? 18. Măsura unui unghi este cuprinsă între 23° şi 41°.
a) Între ce valori este cuprinsă măsura complementului său? b) Între ce valori este cuprinsă măsura suplementului său?
A O
CB
OA C
B
196
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
19. Calculaţi măsura unghiului AOB , ştiind că suma dintre măsura
complementului şi măsura suplementului său este egală cu 200°.
20. Diferenţa măsurilor a două unghiuri complementare este 24°20'36". Să se determine măsurile celor două unghiuri.
21. Diferenţa măsurilor a două unghiuri suplementare este 0,4 dintr-un unghi drept. Calculaţi măsura unghiurilor.
*** 22. Un unghi are măsura egală cu 1
41 din măsura complementului său. Determinaţi
măsura unghiului şi a complementului său. 23. Un unghi are măsura egală cu 1
23 din măsura suplementului său. Determinaţi
măsura unghiului şi a suplementului său. 24. Determinaţi măsura unui unghi, ştiind că măsura complementului său este de
cinci ori mai mică decât măsura suplementului său.
25. a) Calculaţi măsura unghiului MON , ştiind că suplementul complementului său are măsura de 147°.
b) Calculaţi măsura unghiului MON , ştiind că măsura complementului suplementului său este de 41°.
26. Arătaţi că: a) suplementul suplementului unui unghi este congruent cu unghiul dat; b) complementul complementului unui unghi este congruent cu unghiul dat;
c) suplementul complementului unui unghi de măsura are măsura ° + 90°. 27. Demonstraţi că:
a) Dintre două unghiuri complementare, necongruente, unul are măsura mai mică decât 45°.
b) Dintre două unghiuri suplementare, necongruente, unul este ascuţit, iar celălalt obtuz.
c) Complementul unui unghi este unghiul nul, dacă unghiul este congruent cu suplementul său.
28. Să se determine măsura unui unghi, ştiind că media aritmetică dintre măsura complementului şi a suplementului său este egală cu 95°.
(Radu Stănică, Etapa Locală, Giurgiu, 2009)
29. Unghiurile BOC şi BOD sunt respectiv adiacente complementar şi
suplementar cu cu unghiul ascuţit AOB . Considerăm OE semidreaptă opusă
cu OB . Dacă OM este bisectoarea unghiului BOC şi ON bisectorea
unghiului AOE , atunci calculaţi:
a) ;m MON
b) ,m AOB dacă 10 .m BOD m BOC (Diana Szasz, Etapa Locală, Harghita, 2009)
197
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
30. Fie AOB alungit şi OC o semidreaptă, astfel încât, 3 3m AOC x şi
5 17 .m BOC x Fie , ,OD OF OE bisctoarele ,AOC BOC şi,
respectiv, COF .
a) Să se afle m AOC şi m BOC ;
b) Calculaţi m DOE ;
c) Să se arate că COD şi COF sunt unghiuri complementare. (Etapa Locală, Sălaj, 2009)
31. Fie AOB şi BOC unghiuri adiacente suplementare, astfel încât,
5 .m BOC m AOB Fie OM şi ON bisectoarele unghiurilor AOB ,
respectiv, BOC , iar OP şi OB sunt de aceeaşi parte a dreptei AC , astfel
încât, 90m BOP . Dacă ON şi OR sunt semidrepte opuse, atunci:
a) Aflaţi măsurile unghiurilor: AOB , BOC , COP şi ;POR
b) Stabiliţi dacă 90m MON ;
c) Demonstraţi că bisectoarele unghiurilor MOP şi BON coincid. (Graţiela Popa şi Leon Genoiu, Concursul „ Clepsidra ”,
Tabăra Naţională de Matematică, Voineasa, 2009)
32. Fie AOB şi BOC unghiuri neadiacente suplementare, astfel încât,
11 7
m AOB m BOC
. În semiplanul opus cu ,AO B se ia punctul D, astfel
încât AOD este unghi drept. Fie E un punct, astfel încât, .EOC AOD Determinaţi măsurile unghiurilor DOC şi .EOB
( Ştefan Smărăndoiu, Etapa Locală, Vâlcea, 2009)
33. Fie n puncte distincte 1 2 3, , ,..., nM M M M Int AOB cu 91m AOB ,
astfel încât: 1 1 2 2 3 1... n n nAOM M OM M OM M OM M OB .
Dacă unghiurile AOB şi BOD sunt adiacente suplementare, se cere:
a) Să se determine cel mai mare număr natural, n, astfel încât 1m AOM x ,
unde 1x .
b) Aflaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB şi .BOD
c) Dacă numărul natural n este cel determinat la a) şi punctul C Int AOB ,
iar p şi q sunt numere naturale, prime, cu m AOC p şi ,m BOC p
unde ,p q să se demonstreze că nu există o semidreaptă iOM , cu
1;2;3;...;i n , care să fie bisectoare a unui unghi pCOM , unde
1;2;3;...; .p n (Milu Cîrmaciu, Etapa Locală, Galaţi, 2009)
198
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
Unghiuri opuse la vârf
Definiţie. Două unghiuri proprii cu laturile unuia semidrepte opuse cu laturile celuilalt se numesc unghiuri opuse la vârf . desen citire
iAOB ş COD sunt
unghiuri opuse la vârf Redactare cu simboluri: [ şi semidrepte opuse la vârf
i sunt unghiuri opuse la vârf.[ şi semidrepte opuse la vârf
OA OBAOB ş COD
OB OC
Observaţii. 1. Deseori, se preferă o definiţie echivalentă: „ Două unghiuri proprii se numesc unghiuri opuse la vârf, dacă laturile unuia sunt în prelungirea laturilor celuilalt.” 2. Două drepte AC şi BD, concurente în O, formează două perechi de unghiuri opuse la vârf: iAOB ş COD , respectiv, iAOC ş BOD .
Teoremă. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente. i v rf .AOB ş COD sunt unghiuri opusela â AOB COD
Demonstraţia rezultă imediat din faptul că două unghiuri opuse la vârf au acelaşi suplement. Unghiul AOC este suplement, atât pentru unghiul ,AOB cât şi pentru unghiul BOD , de unde rezultă că AOB COD .
* 1. Priviţi figura alăturată şi completaţi corespunzător:
a) AD şi CE sunt ... ... în punctul ... . b) Laturile unghiului ABC sunt ... şi ... .
c) iBA ş BD sunt ... ... ... .
d) BC şi ... sunt semidrepte închise, opuse.
e) ABC şi ... sunt -ri opuse la vârf. f) ABE şi CBD sunt ... ... ... ... . 2. Priviţi figura alăturată şi stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:
a) iBA ş BD sunt semidrepte închise, opuse;
b) iBC ş BE sunt semidrepte închise, opuse;
c) Unghiurile ABC şi DBE au laturile iBA ş BD în prelungire.
d) ABC şi DBE sunt unghiuri opuse la vârf.
4.5.
CO
D
A
B
C
E
D
BA
D
BA
CA E
199
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
3. În figura alăturată, precizaţi: a) trei perechi de semidrepte opuse; b) trei unghiuri alungite; c) trei unghiuri suplementare; b) trei perechi de unghiuri opuse la vârf.
4. Priviţi figura de mai jos şi completaţi spaţiul punctat cu unghiul potrivit obţinerii unor afirmaţii adevărate:
a) 1 este opus la vârf cu ... d) 11 este opus la vârf cu ...
b) 5 nu este opus la vârf cu ... e) 3 este opus la vârf cu ...
c) 12 nu este opus la vârf cu ... f) 8 nu este opus la vârf cu ...
5. Se consideră punctul O în interiorul triunghiului ABC şi se notează cu AM BN CP O . Referindu-ne
la figură, daţi exemple de: a) perechi de unghiuri opuse la vârf; b) unghiuri adiacente.
6. În figura alăturată, AD BC O ,
iar 60m COD .
Aflaţi m AOB şi m AOC .
7. Folosind figura din problema precedentă, dacă 125m AOC , aflaţi
m BOD şi m AOB .
8. În figura de mai jos dreptele AB, CD şi EF sunt concurente în punctul O. Se ştie
că m(BOC ) = 90° şi m(DOF ) = 15°. a) Dintre unghiurile formate, daţi exemple de unghiuri opuse la vârf, unghiuri
complementare, respectiv, suplementare; b) Calculaţi măsurile unghiurilor proprii formate. 9. În figura alăturată, AB CD O ,
3 18m AOD x şi 120m BOC .
Determinaţi x. 10. În figura alăturată, AD CE B ,
B CD
EFO
A
BC M
A
CO
D
A
B
C
O
D A
B 120
3 18x
A
B
OC
E
D
F
15°
200
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
iar 60m DBE .
a) Dacă 3m ABC x , aflaţi x.
b) Dacă 2 14m ABC x , calculaţi 4 3x .
c) Dacă m ABC este jumătate din m CBD , atunci aflaţi m CBD .
** 11. Fie AD BC O , cu 120m BOD
şi OE este bisectoarea unghiului BOD .
a) Determinaţi măsurile unghiurilor formate de dreptele concurente AD şi BC .
b) Arătaţi că OB este bisectoarea unghiului AOE .
Demonstraţie: a) AOC şi BOD sunt unghiuri opuse la vârf AOC BOD
120
Din ipoteză 120
m AOC m BODm AOC
m BOD
. (1)
Din ipoteză , ,AD BC O B O C coliniare BOC este unghi
alungit 180m BOC . (2)
Din relaţiile (1) şi (2) 60m AOB . (3)
AOB şi COD sunt unghiuri opuse la vârf AOB COD
60m AOB m COD
b) Din ipoteză OE este bisectoarea unghiului BOD
1 1120 60
2 2m EOB m EOD m BOD (4)
Din relaţiile (3) şi (4) m AOB m BOE AOB BOE
OB este bisectoarea unghiului AOE .
12. Fie , ,A B C trei puncte necoliniare şi două puncte D şi O, astfel încât,
O AB şi O CD . Ştiind că AOC şi BOD sunt unghiuri
complementare, să se afle m AOC şi m AOD .
13. Fie , ,A B C trei puncte necoliniare şi două puncte D şi O, astfel încât,
O AB şi O CD . Ştiind că AOC şi BOD sunt unghiuri
suplementare, să se afle m AOC şi m AOD .
14. Desenaţi două drepte a şi b concurente în O. Dacă unul dintre unghiurile formate are măsura de 50°, calculaţi măsurile celorlalte trei unghiuri proprii.
C O
D
A
B E
C
E
D
BA
201
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
15. În figura alăturată dreapta s este concurentă cu fiecare din dreptele a şi b. ( Într-o astfel de figură, dreapta s " "taie cele două drepte paralele a şi b şi,
de aceea, se numeşte secantă. )
Ştiind că 3 5 , să se arate că:
a) 1 5 ; b) 1 7
.
16. Dreptele MN şi PR sunt concurente în O, iar O (MN) şi O (PR). Să se
determine măsurile unghiurilor POM şi MOR , în fiecare din cele două cazuri:
a) diferenţa măsurilor este de 18°; b) 4m(PON ) = 5m(NOR ). 17. Considerăm două unghiuri, AOC şi BOD opuse la vârf, cu
, ,A O B coliniare. Fie OE bisectoarea unghiului .BOD Aflaţi m AOC şi
m AOD , ştiind că 35 .m EOB
18. Considerăm două unghiuri, AOC şi BOD opuse la vârf, cu
, ,A O B coliniare. Fie OE bisectoarea unghiului .BOD Aflaţi m EOB ,
ştiind că 3m AOD m AOC .
19. Fie unghiul alungit AOB şi punctele C, D situate în acelaşi semiplan determi-nat de dreapta AB, astfel încât, semidreapta [OC este bisectoarea unghiului AOD , iar m(DOB ) = m(AOC ) + 24°. Aflaţi m AOD şi m COB .
*** 20. Arătaţi că bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt semidrepte opuse. Demonstraţie: Fie AOB şi COD unghiuri opuse la vârf AOB COD
2m AOB m COD x , (1)
unde 0 2 180 .x
Fie OM bisectoarea unghiului AOB AOM BOM
1 12
2 2m AOM m BOM m AOB x x . (2)
Fie OT bisectoarea unghiului COD COT DOT
1 12
2 2m COT m DOT m COD x x . (3)
AOB şi COD opuse la vârf iOB ş OC sunt semidrepte opuse. (4)
Fie 2m AOC y , unde 0 2 180 .y (5)
B
C
D
O TM
A
as
b
1 3
5
7
202
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
Din relaţia (4) BOC este unghi alungit 180m BOC
180 2 2 180m AOB m AOC x y . (6)
Din relaţiile (2), (3) şi (5) m MOT
2 2 2 180m MOA m AOC m COT x y x x y
MOT este unghi alungit i .OM ş OT sunt semidrepteopuse Reţineţi această proprietate a bisectoarelor a două unghiuri opuse la vârf! 21. Unghiurile AOB şi BOC sunt adiacente complementare, cu
50 .m AOB Fie OE bisectoarea unghiului BOC şi OF semidreaptă
opusă cu OE . Să se afle .m AOF
22. Unghiurile AOB şi BOC sunt neadiacente complementare, cu
50 .m AOB Fie OE bisectoarea unghiului BOC şi OF semidreaptă
opusă cu OE . Să se afle .m AOF
23. Unghiurile AOB şi BOC sunt adiacente suplementare, cu
50 .m AOB Fie OE bisectoarea unghiului BOC şi OF semidreaptă
opusă cu OE . Să se afle .m AOF
24. Unghiurile AOB şi BOC sunt neadiacente suplementare, cu
50 .m AOB Fie OE bisectoarea unghiului BOC şi OF semidreaptă
opusă cu OE . Să se afle .m AOF
25. Se dau punctele M,N,O, astfel încât, O MN . De aceeaşi parte a dreptei
MN se duc semidreptele OA şi OB , cu OB Int MOA , astfel încât
130 ,m AOB iar OD şi OE semidrepte opuse cu OA şi, respectiv OB .
a) Aflaţi m DOE .
b)Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor MOA şi BON . (Nicolae Tălău, Etapa Locală, Dolj, 1998)
26. Considerăm două unghiuri, AOC şi BOD opuse la vârf, cu
, ,A O B coliniare. Fie , iOP OT ş OR bisectoarele unghiurilor ,AOC
POB şi, respectiv, .TOD
a) Dacă 140 ,m POR aflaţi m AOC şi m AOD .
b) Dacă 25 ,m POR aflaţi m AOC şi m AOD . (Nicolae Stănică, Etapa Locală, Brăila, 2006)
203
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Unghiuri în jurul unui punct
Definiţie. Trei sau mai multe unghiuri care îndeplinesc condiţiile: au vârful comun; au interioarele disjuncte, două câte două; orice punct al planului se află pe o latură sau în interiorul unui unghi,
se numesc unghiuri în jurul unui punct. desen citire , , , iAOB BOC COD DOE ş EOA
sunt unghiuri în jurul punctului O.
Teoremă. Suma măsurilor unghiurilor din jurul unui punct este egală cu 360°. Redactare cu simboluri, conform figurii anterioare:
, , , iAOB BOC COD DOE ş EOA sunt unghiuri în jurul punctului O, deci
360 .m AOB m BOC m COD m DOE m EOA
* 1. În figura alăturată, AD BE CF O .
Stabilţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) , , , , ,AOB BOC COD DOE EOF FOA sunt unghiuri în jurul punctului O; b) iDOE ş EOF au vârful comun O, latura OE este comună, iar
Int DOE Int EOF . c) m AOB m BOC
360m COD m DOE m EOF m FOA .
d) ,AOB BOC şi COD sunt trei unghiuri cu vârful în O, de aceeaşi parte a dreptei AD. 2. Priviţi figura alăturată şi completaţi corespunzător: a) ,AOB BOC şi COD sunt trei unghiuri în jurul punctului ... . b) iAOB ş BOC au vârful comun ..., latura ....
este comună, iar ...Int AOB Int BOC .
c) iBOC ş COA au vârful comun ..., latura ....este comună, iar
...Int BOC Int AOC d) ..m AOB m BOC m COA
e) ...Int AOB Int BOC Int AOC
f) Dacă ,AOB BOC COA atunci ....m AOB .
D E C
O A
B
C
O B A
B CD
E FO
A
4.6.
204
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
3. În figura de mai jos, observăm că în jurul punctului C sunt unghiurile: 1, 2,3 i 4ş
.
Dintre acestea, sunt unghiuri opuse la vârf, 1 i 4, , 2 i 3ş respectiv ş
.
Realizaţi un comentariu analog pentru punctul A şi, respectiv, B. 4. Se consideră punctul O în interiorul triunghiului ABC şi se notează cu AM BN CP O .
a) Precizaţi cele trei unghiuri proprii cu vârful în B.
b) Enumeraţi unghiurile în jurul unui punct pe care le observaţi în figură.
5. În figura alăturată, 120m AOB şi
80m AOC .
Aflaţi m BOC .
6. ,AOB BOC şi AOC sunt unghiuri în jurul punctului punctului O, astfel
încât 40 .m BOC m AOB m AOB m AOC Aflaţi măsurile
celor trei unghiuri. 7. În figura alăturată, AD CE B .
Ştind că 58m ABC , să se afle
măsurile celorlalte trei unghiuri. 8. , ,ABC CBD DBE şi EBA sunt unghiuri în jurul punctului punctului O, cu
m EBA mai mare cu 2 , 4 ,6 , faţă de măsurile unghiurilor ,ABC CBD
şi, respectiv, DBE . Aflaţi măsurile celor patru unghiuri.
9. În figura alăturată, 60m AOB şi
50m BOC , iar AOD este unghi
drept . Aflaţi m COD .
** 10. Fie a b O . Aflaţi măsura unghiurilor formate în jurul punctului O, dacă
suma măsurilor a două unghiuri este de 160°. 11. Calculaţi măsurile unghiurilor formate de două drepte concurente, ştiind că
BC M
A
C
C
O BA
C
E
D
BA
OD
C
BA
205
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
diferenţa măsurilor a două dintre unghiuri este 80°. 12. Prin O construiţi patru drepte distincte. Patru dintre cele opt unghiuri care nu
au puncte interioare comune au masurile de x, x + 10°, x + 20° şi x + 30°. a) Determinaţi pe x; b) Stabiliţi valoarea de adevăr a afirmaţiei: „În figură există două unghiuri opuse la vârf care au măsura cuprinsă între 72° şi 93°”. Justificaţi răspunsul.
13. În jurul unui punct s-au format 8 unghiuri congruente. Determinaţi măsura acestor unghiuri.
14. În figura alăturată, unghiurile AOB , BOC ,
COA sunt congruente şi sunt formate în jurul punctului O, iar [OM, [ON şi [OP sunt bisectoarele acestor unghiuri.
a) Calculaţi măsura unghiului POM . b) Arătaţi că semidreptele [OM şi [OC sunt opuse.
15. Fie a b O . Aflaţi măsura unghiurilor formate în jurul punctului O, dacă
suma măsurilor a trei unghiuri este de 300°. 16. Fie [OA, [OB şi [OC trei semidrepte distincte, iar [OM este bisectoarea
unghiului AOB şi [ON bisectoarea unghiului BOC .
a) Stabiliţi dacă m(MON ) = 1( ) ( )
2m AOB m BOCé ù+ê úë û .
b) Ştiind că m(MON ) = 115° , să se calculeze m(AOB ) + m(BOC ).
17. Considerăm n unghiuri în jurul unui punct, unde 1;2n având
măsurile exprimate prin numere naturale. a) Dacă începând cu al doilea unghi, fiecare măsură a unghiului următor este cu 30° mai mare decât a unghiului precedent, determinaţi pe n şi măsurile unghiurilor. b) Compuneţi şi rezolvaţi o problemă cu acelaşi text ca la a) cu singura înlo cuire a lui 30° cu una dintre măsurile: 40°, 50°, 60°, 20°, respectiv, 15°.
*** 18. În jurul punctului O se consideră 27 de unghiuri având măsurile, în grade,
exprimate prin numere naturale. Arătaţi că cel puţin două dintre unghiuri sunt congruente.
19. Fie , , ,OX OY OZ OT bisectoarele unghiurilor , , ,AOB BOC COD
respectiv, DOA , formate în jurul punctului O . Ştiind că m ZOB este cu
23mai mare decât m XOC , iar m XOY este cu 21 mai mică decât
m XOT , să se afle .m XOZ
C
206
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
20. În jurul punctului O , , , , ,AOB BOC COD DOE EOA unde
,OA OD sunt semidrepte opuse, iar BOC este un unghi drept. Ştiind că
bisectoarea lui BOC formează cu OA un unghi cu măsura de 70 , să se afle
m AOB şi m COD .
21. a) Care este măsura unghiului format de minutarul şi orarul unui ceas, atunci atunci când acesta indică ora 4 fix?
b) Care este măsura unghiului format de minutarul şi orarul unui ceas, atunci când acesta indică ora 4 şi 12 minute fix? 22. În jurul punctului O avem unghiurile , , , , ,AOB BOC COD DOE EOA
astfel încât, 2 ,m BOC m AOB 2 ,m COD m BOC
5 ,m DOE m AOB 4 .m EOA m BOC
a) Precizaţi unghiurile ascuţite, drepte, respectiv, obtuze care se formează în jurul punctului O. b) Arătaţi că senidreptele OA şi bisectoarea COD formează un unghi drept.
23. Fie , , , ,OA OX OB OC OY şi OD , în această ordine, astfel încât:
16m AOD m BOC , 8 ,m BOX m AOX m YOC
8m DOY .
a) Să se determine raportul
m BOC
m XOY
.
b) Dacă m AOX , m BOY şi m YOD sunt exprimate prime, să se
determine m AOC .
24. În jurul punctului O sunt desenate unghiuri, având măsurile, în ordinea:
2 , 4 ,6 ,...,16 ,2 , 4 ,6 ,...,16 ,2 ,4 ,6 ,...,16 şi aşa mai departe.
a) Câte unghiuri sunt desenate în jurul punctului O? b) Notând cu 1 2 3, , ,O O O .... unghiurile determinate anterior, în jurul punctului
O, determinaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor 6 14iO ş O .
25. Un elev are la dispoziţie numai unghiuri de 19 .
a) Să se descrie un procedeu prin care să se obţină un unghi de 8 . b) Să se argumenteze că există procedee pentru obţinera de unghiuri a căror măsură în grade este exprimată prin orice numere naturale, utilizând numai
unghiuri de 19 .
c) Să se argumenteze că dacă avem la dispoziţie numai unghiuri de 12 , nu
putem exprima un unghi de 8 .
207
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
TESTE DE EVALUARE
Testul 1 1. Măsura unui unghi drept este egală cu ... 0 2. Latura comună unghiurilor ABC şi CBD este... . 3. Unghiurile suplementare au suma măsurilor egală cu ... 0 4. MOP OP ... .
5. Calculaţi 23°47′45′′ + 15°35′17′′ .
6. Desenaţi, folosind raportorul, un unghi BOC cu măsura de 800 şi apoi simetricul
lui B faţă de O. 7. Un unghi are măsura egală cu 35016’23”. Calculaţi măsura complementului său.
8. Două unghiuri AOB şi BOC sunt adiacente suplementare, iar [OD şi [OF sunt
bisectoarele lor. Aflaţi m(DOF).
9. Unghiurile AOB, BOC şi AOC sunt unghiuri în jurul unui punct, astfel
încât, ( ) 25 , ( ) 2 80m AOB x m BOC x= + = + şi 0( ) 3 45m AOC x= + .
a) Calculaţi măsurile unghiurilor AOB, BOC şi AOC;
b) Dacă OD este semidreaptă opusă cu OA , şi OE este bisectoarea unghiului
AOC , calculaţi .m DOE
Testul 2
1. Măsura unui unghi alungit este egală cu ... 0 2. Laturile unghiului nul sunt două .... . 3. Unghiurile complementare au suma măsurilor egală cu ... 0 4. ... .ABC AC 5. Calculaţi 78° – 60°30′25′′ .
6. Desenaţi, cu ajutorul raportorului, un unghi AOB cu măsura de 550 şi apoi
simetricul lui B faţă de A. 7. Un unghi are măsura egală cu 35016’23”. Calculaţi măsura suplementului său.
8. Două unghiuri AOB şi BOC sunt adiacente complementare, iar [OD şi [OF
sunt bisectoarele lor. Aflaţi m(DOF).
9. Se consideră unghiurile adiacente suplementare AOB şi BOC. Se ştie că m(AOB)
= 60°. Fie [OE bisectoarea BOC, [OD semidreapta opusă semidreptei [OB, iar [OF
semidreapta situată în acelaşi semiplan cu [OD , astfel încât, m(AOF) = 90°.
a) Calculaţi m(BOE), m(DOF) şi m(EOF);
b) Demonstraţi că [OC este bisectoarea DOE.
208
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
Testul 3
1. Măsura unui unghi ascuţit este cuprinsă între ... 0 şi ... 0 2. Laturile unghiului alungit sunt două .... . 3. Unghiurile în jurul unui punct au suma măsurilor egală cu ... 0 4. ....ABC BA .
5. Calculaţi 72015′38′′ : 2; 6. Desenaţi, folosind raportorul, unghiul COD cu măsura de 400 şi apoi simetricul
lui A faţă de B. 7. Un unghi are măsura egală cu 35016’23”. Calculaţi măsura suplementului său.
8. Unghiurile AOB şi COD sunt unghiuri opuse la vârf, cu 70m AOB ,
iar OE este bisectoarea unghiului .COD Aflaţi .m EOC
9. Fie AOB, BOC, COD, DOE şi EOA cinci unghiuri în jurul unui punct O
astfel încât m(AOB) = 90˚, m(COD) = x +70˚, m(DOE) = x, m(AOE) = 2x
+ 40˚, iar m(BOC) = m(COE).
a) Aflaţi m(BOC), m(COD) şi m(AOE);
b) Dacă [OM este bisectoarea AOE şi [ON este bisectoarea BOC, arătaţi că
m(MOD) = m (NOC).
Testul 4 1. Măsura unui unghi obtuz este cuprinsă între ... 0 şi ... 0 2. Latura comună unghiurilor adiacente ADE şi ADF este ... . 3. Două unghiuri sunt complementare, congruente. Măsura fiecăruia este de ... 0 4. ... .Int ABC AC
5. Calculaţi 023 24 '31" 3⋅ ;
6. Desenaţi un unghi propriu AOB cu 50m AOB şi apoi construiţi simetricul
lui A faţă de O. 7. Un unghi are măsura egală cu 35016’23”. Calculaţi măsura suplementului său.
8. Se consideră un unghi alungit AOB şi punctul M astfel încât m(AOM) este cu
40˚ mai mare decât m(MOB). Calculaţi m(AOM) şi m(MOB).
9. Unghiurile AOB, BOC, COD şi DOA sunt unghiuri formate în jurul unui
punct O astfel încât m(AOB) < 90°, AOB şi BOC sunt suplementare, AOB
şi AOD sunt complementare, iar m(COD) = 3 m(AOB).
a) Calculaţi m(AOB); b) Arătaţi că AO este bisectoarea BOD.
NOTĂ: Timp de lucru 50 de minute. Se acordă un punct din oficiu. Pentru fiecare problemă se acordă câte un punct.
209
MA
TEM
ATI
CĂ C
lasa
a V
I-a –
I
Probleme cu caracter aplicativ 1. Cuminţel şi Neastâmpărel au primit, din partea domnului profesor, la o evaluare, câte
o coală de hârtie, pe care era desenat unghiul AOB . Cuminţel a aşezat raportorul,
ca în figura din stânga şi a afirmat că 70m AOB , iar Neastâmpărel a aşezat
raportorul, ca în figura din dreapta şi a afirmat că 130 .m AOB
Cine a răspuns corect? Justificaţi! 2. O scară (AB) se sprijină de un perete,
ca în figura alăturată. Ştiind că scara face cu solul un unghi de
63°, calculaţi măsura ABC .
3. Avem o riglă negradată şi un unghi dat, DAT , cu măsura de 55 .
Cum procedăm pentru a desena bisectoarea unui unghi cu măsura de 30 ? Justificaţi!
Soluţie: Cu ajutorul riglei desenăm pe o coală de hârtie o dreaptă pe care luăm, în ordine, punctele coliniare B, O, C. BOC este alungit
180m BOC . (1)
Cu o foarfecă tăiem de-a lungul laturilor unghiului DAT şi decupăm o suprafaţă inclusă în interiorul acestui unghi. Marginea tăiată de-a lungul laturii
AD a unghiului DAT o suprapunem peste latura OB a unghiului alungit
desenat şi trasăm, de-a lungul celeilalte margini, o semidreaptă, OE . Am
desenat, astfel, într-unul din cele două semiplane de frontieră BC,
unghiul ,BOE cu măsura de 55 . Analog, în acelaşi semiplan, vom desena
alte două unghiuri EOF şi FOG , fiecare cu măsura de 55 , astfel încât,
55 3 165m BOG . (2)
Din (1) şi (2) 15m GOC . (3)
B
?
63°
A
BC
D
4.7.
210
Ştef
an S
MĂ
RĂN
DO
IU •
Mar
iu P
ERIA
NU
• Dum
itru
SĂV
ULE
SCU
Copiem pe o a doua foaie figura obţinută anterior şi decupăm, cu foarfeca, interiorul unghiului GOC , pe care îl notăm .COH Evident,
15 .m COH (4)
Din (3) şi (4) 30m GOH . (5)
Revenim la prima coală şi cu ajutorul conturului, obţinut anterior, desenăm unghiul ,COH astfel încât, unghiurile GOC şi COH să fie adiacente.
OC Int GOH . (6)
Din (3) şi (4) m GOC m COH GOC HOC . (7)
Din (5), (6) şi (7) OC este bisecorea lui GOH , a cărui măsură este
egală cu 30 . 4. Geome şi Neatentul au primit, din partea domnului profesor, la o evaluare, câte o
coală de hârtie, pe care era desenat unghiul AOB . Ei trebuiau să stabilească, cu ajutorul echerului, dacă unghiul dat este ascuţit, drept sau obtuz. Geome a aşezat echerul, ca în figura din stânga şi a afirmat că unghiul AOB este drept, iar Neatentul a aşezat echerul, ca în figura din dreapta şi a afirmat că unghiul
AOB este obtuz. Cine a răspuns corect? Justificaţi! 5. În clasa voastră, priviţi tabla, uşa, fereastra şi daţi exemple de unghiuri drepte.
6. Desenaţi un semicerc cu extremităţile în E şi, respectiv, F. Pe acest semicerc luaţi punctele A, B, C şi D. Cu ajutorul raportorului, aflaţi măsurile unghiurilor
EAF , EBF ECF şi EDF . Ce constataţi? 7. De câte ori, de la ora 11: 55 până la ora 15 :10 , unghiul format de minutarul şi
orarul unui ceas mecanic, formează un unghi nul, un unghi alungit, respectiv, un unghi drept?
8. Aşezaţi 19 chibrituri astfel:
a) Câte unghiuri alungite sesizaţi? b) Câte unghiuri drepte au format chibriturile? c) Adăugaţi un singur chibrit pentru a obţine egalitate. d) Din configuraţia iniţială luaţi două chibrituri pentru a obţine egalitate. e) Este posibil să mutaţi două chibrituri în configuraţia iniţială pentru a obţine egalitate?
A
OB
A
OB
