PROBLEME REZOLVATE1. Arătaţi că nu există nici un număr raţional al cărui pătrat să fie 5.

Dem. Presupunem, prin absurd, că există astfel încât cu m,n numere întregi

prime între ele divide divide m ,k număr întreg. Vom avea , de unde 5 divide divide n. Am obţinut că 5 divide m şi n, adică m şi n nu sunt prime între ele, contradicţie. Ca urmare nu există nici un număr raţional al cărui pătrat să fie 5.

2. Să se arate că numărul este iraţional.Dem. Presupunem că numărul este raţional,adică =a,a . Prin ridicare la pătrat obţinem

12+2 , fals, deoarece membrul stâng este iraţional iar membrul drept este

raţional.Deci numărul este iraţional.

3. Arătaţi că numărul este iraţional.Dem. Presupunem că = a,a .Prin ridicare la puterea a doua 11

. Printr-o nouă ridicare la puterea a

doua obţinem 30+ contradicţie, membrul stâng fiind iraţional

iar membrul drept raţional. Aşadar numărul este iraţional.

4. Exista o infinitate de numere prime.Dem. Presupunem ca exista numai un număr finit de numere prime. Atunci, exista un număr

prim p mai mare decât toate celelalte numere prime. Așezăm numerele prime intr-un șir crescător:2,3,5,7,11, . . ., p. Consideram numărul mai mare decât cel mai mare număr prim p, înseamnă că q este număr compus, deci el se divide cu un număr prim, adică cu unul dintre numerele 2, 3,5, ..., p. Dar pe de alta parte, se observa că q da restul 1 la împărțirea cu fiecare număr prim. Deci, presupunerea ca exista un număr finit de numere prime ne-a condus la contradicție. Rezultă ca există o infinitate de numere prime.

5. Fiecare membru al unui grup de 17 savanți corespondează cu toți ceilalți. In corespondența lor este vorba numai despre trei teme. Fiecare pereche de savanți corespondează numai pe o singura tema. Demonstrați ca exista cel puțin trei savanți care corespondează pe aceeași temă.

Dem. Problema poate fi reformulata astfel (pentru a o înțelege mai bine și a ne exprima mai ușor): 17 puncte, dintre care oricare trei sunt necoliniare, sunt unite doua cate doua prin segmente. Fiecare segment se colorează cu roșu, albastru sau verde. Demonstrați ca exista cel puțin un triunghi (cu vârfurile in trei dintre cele 17 puncte) cu laturile colorate la fel.

Presupunem ca niciunul dintre triunghiuri nu are laturile colorate la fel. Alegem dintre cele 17 puncte unul, pe care îl notăm cu M. Din M pornesc 16 segmente printre care exista 6 colorate la fel (justificarea se face prin reducere la absurd), de exemplu cu verde. Notăm aceste segmente cu MA1, M A2, ...,MA6. Atunci punctele A1. A2, ..., A6 sunt unite prin segmente roșii și albastre. Deci punctele A1, A2, ..., A6 verifica condițiile problemei precedente. Cu aceasta, demonstrația este încheiată.