matematica distractiva
-
Upload
edmond-dulgheriu -
Category
Documents
-
view
208 -
download
11
description
Transcript of matematica distractiva
1
REVISTA CONSTITUIE PRODUSUL FINAL AL PROIECTULUI DE PARTENERIAT
bdquoMATEMATICĂ PENTRU NOI TOŢIrdquo IcircNTRE
ŞCOALA CU CLASELE I-VIII NR 4 CUGIR
ŞCOALA bdquoMIHAI EMINESCUrdquo ALBA IULIA
COLEGIUL TEHNIC bdquoAPULUMrdquo ALBA IULIA
COORDONATORI PROIECT prof VLASEA FLOARE
prof MARINESCU RODICA prof ŢIBEA MARIA
ECHIPĂ DE IMPLEMENTARE prof SAVA CORINA prof URCAN MIHAELE
prof DROGOŢEL VIORICA prof LOGA ALEXANDRU
prof IRIMIE SANDA prof PIPOŞ CORINA prof MIRON RAVECA
2
Coordonatori revistă
prof Floare Vlasea prof Rodica Marinescu
prof Maria Ţibea
Profesori colaboratori
prof Viorica Drogoţel
prof Corina Sava
prof Mihaela Urcan
prof Alexandru Loga
Colectiv de redacţie elevii
Bodron Valentina ndashcls a VIII-a ndash ldquo director rdquo
Isvanescu Alexandra cls a VIII-a ndash ldquoRedactor şefrdquo
Popa Roxana -cls a VIII -a ndash ldquoadministrator financiarrdquo
Troancheş Andrei - redactor
Badoiu Iulia- redactor
Muntiu Alina- redactor
Redacror prof Floare Vlasea
3
Sumar Nota redacţiei
Istoria apariţiei unităţilor de măsură
Diferite tipuri de unităţi de măsură
Construcţii geometrice
Asemănare
Arii
Proprietăţile dreptunghiurilor
Curiozităţi matematice
Bibliografie
Revistă bianuală de matematică editată icircn parteneriat şcolar
Cugie ndash Alba Iulia
Numărul 2 aprilie 2010
4
Introduse din necesitatea de a determina distanţe arii ale
suprafeţelor terenurilor volume greutăţi (de fapt mase) de produse
apă şi diferite materiale sau de a determina durate intervale de timp
şi de a stabili scări de timp etc măsurile de lungime şi de masă
(denumită ca mijloc de măsurare greutate) au fost bazate icircn toată
lumea la icircnceputurile lor pe unităţi de măsură care derivau de la
diferite elemente ale corpului omenesc Cotul palma palmacul
degetul piciorul omului care au reprezentat chiar primele mijloace
de măsurare au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime
arie volumcapacitate Aşa au fost icircn antichitate cotul egiptean
cotul persan şi cotul babilonean şi icircn Grecia piciorul antic şi
piciorul olimpic iar icircn Europa apuseană piciorul roman piciorul
antic şi piciorul olimpic
Greutăţile folosite icircn antichitate ca măsuri de masă icircn
terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit
număr de boabe de gracircu orez sau orz O greutate asiro-chaldeeană
denumită siclul reprezenta de exemplu greutatea egală cu aceea a
180 de boabe de gracircu iar greutatea romană siligna era egală cu
greutatea a patru boabe de gracircu Livra era egală cu greutatea a 6912
boabe de gracircu
Pentru măsurările agrare unitatea de arie pied pătrat era
prea mică din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum egală
valoric cu dublul ariei unui pătrat cu aria de 120 pieds Multiplii şi
submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali deşi
romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal
Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de
civilizaţia Europei occidentale dar căderea Imperiului roman de
occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă
confuzie Ca urmare Carol cel Mare rege al francilor (768-814) şi
icircmpărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret
privind unificarea unităţilor de măsură icircn toate ţările reunite sub
Coroana sa dar tentativa a eşuat odată cu Imperiul său
5
Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost
influenţate de cele folosite icircn statele cu care ei au avut relaţii
economice şi culturale Mărturii arheologice confirmă existenţa pe
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de
măsurare grecesc şi roman cu prioritate a celor din sistemul roman
care a a fost introdus mai icircntacirci icircn Banat şi Transilvania după
cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la icircnceputul secolului al
II-lea Unităţile şi respectiv măsurile de lungime pasus palmus
digitus ale romanilor au devenit pas palmă şi respectiv deget la
romacircni iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit
jugărul din Transilvania Valorile acestor unităţi exprimate icircn
unitatea metru erau icircnsă diferite de exemplu cotul la romani şi
greci era de 0444 m şi respectiv 0462 m icircn timp ce la romacircni
era de 0637 m icircn Moldova şi 0664 m icircn Muntenia
Măsurile respectiv unităţile de măsură folosite pentru
lungime capacitatevolum şi de asemenea pentru masă (respectiv
greutate) au diferit valoric icircntre ele de la o provincie romacircnescă la
altă provincie romacircnescă deşi aveau aceeaşi denumire De
exemplu stacircnjenul moldovenesc echivala cu 1900 m icircn
Transilvania şi cu 1962 m icircn ţara Romacircnească Deşi diferite
valoric icircntre ele unităţile de măsură din proviciile romacircneşti au
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre
acestea Icircn acelaşi timp unitatea denumirilor acestor unităţi de
măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului romacircn Se
impunea icircnsă cu absolută necesitate unificarea unităţilor de
măsură icircn ţările romacircne icircn prima jumătate a secolului al XIX-lea
aşa cum aceasta se impusese icircn ţările din Europa de vest icircn primul
racircnd icircn Franţa prin revoluţia din 1789
Dezvoltarea unei societăţi odată cu naşterea unor oraşe
importante şi independente icircn Franţa Germania şi Italia precum şi
icircn alte ţări Europene icircncepacircnd icircncă din secolul al XIV-lea şi
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe
agricultură care au determinat relaţii comerciale terestre şi
maritime au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea
ştiinţelor teoretice - matematică astronomie mecanică - şi a
ştiinţelor aplicate A apărut atunci necesitatea imperioasă a
6
folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi
greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn
relaţiile economice şi culturale dintre ele
Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele
mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma
piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra
pentru măsurarea duratelor ziua noaptea
Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută
La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca
unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar
kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la
Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo
Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane
proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa
chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput
să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea
Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia
icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
2
Coordonatori revistă
prof Floare Vlasea prof Rodica Marinescu
prof Maria Ţibea
Profesori colaboratori
prof Viorica Drogoţel
prof Corina Sava
prof Mihaela Urcan
prof Alexandru Loga
Colectiv de redacţie elevii
Bodron Valentina ndashcls a VIII-a ndash ldquo director rdquo
Isvanescu Alexandra cls a VIII-a ndash ldquoRedactor şefrdquo
Popa Roxana -cls a VIII -a ndash ldquoadministrator financiarrdquo
Troancheş Andrei - redactor
Badoiu Iulia- redactor
Muntiu Alina- redactor
Redacror prof Floare Vlasea
3
Sumar Nota redacţiei
Istoria apariţiei unităţilor de măsură
Diferite tipuri de unităţi de măsură
Construcţii geometrice
Asemănare
Arii
Proprietăţile dreptunghiurilor
Curiozităţi matematice
Bibliografie
Revistă bianuală de matematică editată icircn parteneriat şcolar
Cugie ndash Alba Iulia
Numărul 2 aprilie 2010
4
Introduse din necesitatea de a determina distanţe arii ale
suprafeţelor terenurilor volume greutăţi (de fapt mase) de produse
apă şi diferite materiale sau de a determina durate intervale de timp
şi de a stabili scări de timp etc măsurile de lungime şi de masă
(denumită ca mijloc de măsurare greutate) au fost bazate icircn toată
lumea la icircnceputurile lor pe unităţi de măsură care derivau de la
diferite elemente ale corpului omenesc Cotul palma palmacul
degetul piciorul omului care au reprezentat chiar primele mijloace
de măsurare au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime
arie volumcapacitate Aşa au fost icircn antichitate cotul egiptean
cotul persan şi cotul babilonean şi icircn Grecia piciorul antic şi
piciorul olimpic iar icircn Europa apuseană piciorul roman piciorul
antic şi piciorul olimpic
Greutăţile folosite icircn antichitate ca măsuri de masă icircn
terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit
număr de boabe de gracircu orez sau orz O greutate asiro-chaldeeană
denumită siclul reprezenta de exemplu greutatea egală cu aceea a
180 de boabe de gracircu iar greutatea romană siligna era egală cu
greutatea a patru boabe de gracircu Livra era egală cu greutatea a 6912
boabe de gracircu
Pentru măsurările agrare unitatea de arie pied pătrat era
prea mică din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum egală
valoric cu dublul ariei unui pătrat cu aria de 120 pieds Multiplii şi
submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali deşi
romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal
Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de
civilizaţia Europei occidentale dar căderea Imperiului roman de
occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă
confuzie Ca urmare Carol cel Mare rege al francilor (768-814) şi
icircmpărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret
privind unificarea unităţilor de măsură icircn toate ţările reunite sub
Coroana sa dar tentativa a eşuat odată cu Imperiul său
5
Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost
influenţate de cele folosite icircn statele cu care ei au avut relaţii
economice şi culturale Mărturii arheologice confirmă existenţa pe
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de
măsurare grecesc şi roman cu prioritate a celor din sistemul roman
care a a fost introdus mai icircntacirci icircn Banat şi Transilvania după
cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la icircnceputul secolului al
II-lea Unităţile şi respectiv măsurile de lungime pasus palmus
digitus ale romanilor au devenit pas palmă şi respectiv deget la
romacircni iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit
jugărul din Transilvania Valorile acestor unităţi exprimate icircn
unitatea metru erau icircnsă diferite de exemplu cotul la romani şi
greci era de 0444 m şi respectiv 0462 m icircn timp ce la romacircni
era de 0637 m icircn Moldova şi 0664 m icircn Muntenia
Măsurile respectiv unităţile de măsură folosite pentru
lungime capacitatevolum şi de asemenea pentru masă (respectiv
greutate) au diferit valoric icircntre ele de la o provincie romacircnescă la
altă provincie romacircnescă deşi aveau aceeaşi denumire De
exemplu stacircnjenul moldovenesc echivala cu 1900 m icircn
Transilvania şi cu 1962 m icircn ţara Romacircnească Deşi diferite
valoric icircntre ele unităţile de măsură din proviciile romacircneşti au
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre
acestea Icircn acelaşi timp unitatea denumirilor acestor unităţi de
măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului romacircn Se
impunea icircnsă cu absolută necesitate unificarea unităţilor de
măsură icircn ţările romacircne icircn prima jumătate a secolului al XIX-lea
aşa cum aceasta se impusese icircn ţările din Europa de vest icircn primul
racircnd icircn Franţa prin revoluţia din 1789
Dezvoltarea unei societăţi odată cu naşterea unor oraşe
importante şi independente icircn Franţa Germania şi Italia precum şi
icircn alte ţări Europene icircncepacircnd icircncă din secolul al XIV-lea şi
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe
agricultură care au determinat relaţii comerciale terestre şi
maritime au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea
ştiinţelor teoretice - matematică astronomie mecanică - şi a
ştiinţelor aplicate A apărut atunci necesitatea imperioasă a
6
folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi
greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn
relaţiile economice şi culturale dintre ele
Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele
mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma
piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra
pentru măsurarea duratelor ziua noaptea
Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută
La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca
unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar
kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la
Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo
Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane
proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa
chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput
să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea
Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia
icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
3
Sumar Nota redacţiei
Istoria apariţiei unităţilor de măsură
Diferite tipuri de unităţi de măsură
Construcţii geometrice
Asemănare
Arii
Proprietăţile dreptunghiurilor
Curiozităţi matematice
Bibliografie
Revistă bianuală de matematică editată icircn parteneriat şcolar
Cugie ndash Alba Iulia
Numărul 2 aprilie 2010
4
Introduse din necesitatea de a determina distanţe arii ale
suprafeţelor terenurilor volume greutăţi (de fapt mase) de produse
apă şi diferite materiale sau de a determina durate intervale de timp
şi de a stabili scări de timp etc măsurile de lungime şi de masă
(denumită ca mijloc de măsurare greutate) au fost bazate icircn toată
lumea la icircnceputurile lor pe unităţi de măsură care derivau de la
diferite elemente ale corpului omenesc Cotul palma palmacul
degetul piciorul omului care au reprezentat chiar primele mijloace
de măsurare au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime
arie volumcapacitate Aşa au fost icircn antichitate cotul egiptean
cotul persan şi cotul babilonean şi icircn Grecia piciorul antic şi
piciorul olimpic iar icircn Europa apuseană piciorul roman piciorul
antic şi piciorul olimpic
Greutăţile folosite icircn antichitate ca măsuri de masă icircn
terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit
număr de boabe de gracircu orez sau orz O greutate asiro-chaldeeană
denumită siclul reprezenta de exemplu greutatea egală cu aceea a
180 de boabe de gracircu iar greutatea romană siligna era egală cu
greutatea a patru boabe de gracircu Livra era egală cu greutatea a 6912
boabe de gracircu
Pentru măsurările agrare unitatea de arie pied pătrat era
prea mică din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum egală
valoric cu dublul ariei unui pătrat cu aria de 120 pieds Multiplii şi
submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali deşi
romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal
Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de
civilizaţia Europei occidentale dar căderea Imperiului roman de
occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă
confuzie Ca urmare Carol cel Mare rege al francilor (768-814) şi
icircmpărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret
privind unificarea unităţilor de măsură icircn toate ţările reunite sub
Coroana sa dar tentativa a eşuat odată cu Imperiul său
5
Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost
influenţate de cele folosite icircn statele cu care ei au avut relaţii
economice şi culturale Mărturii arheologice confirmă existenţa pe
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de
măsurare grecesc şi roman cu prioritate a celor din sistemul roman
care a a fost introdus mai icircntacirci icircn Banat şi Transilvania după
cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la icircnceputul secolului al
II-lea Unităţile şi respectiv măsurile de lungime pasus palmus
digitus ale romanilor au devenit pas palmă şi respectiv deget la
romacircni iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit
jugărul din Transilvania Valorile acestor unităţi exprimate icircn
unitatea metru erau icircnsă diferite de exemplu cotul la romani şi
greci era de 0444 m şi respectiv 0462 m icircn timp ce la romacircni
era de 0637 m icircn Moldova şi 0664 m icircn Muntenia
Măsurile respectiv unităţile de măsură folosite pentru
lungime capacitatevolum şi de asemenea pentru masă (respectiv
greutate) au diferit valoric icircntre ele de la o provincie romacircnescă la
altă provincie romacircnescă deşi aveau aceeaşi denumire De
exemplu stacircnjenul moldovenesc echivala cu 1900 m icircn
Transilvania şi cu 1962 m icircn ţara Romacircnească Deşi diferite
valoric icircntre ele unităţile de măsură din proviciile romacircneşti au
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre
acestea Icircn acelaşi timp unitatea denumirilor acestor unităţi de
măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului romacircn Se
impunea icircnsă cu absolută necesitate unificarea unităţilor de
măsură icircn ţările romacircne icircn prima jumătate a secolului al XIX-lea
aşa cum aceasta se impusese icircn ţările din Europa de vest icircn primul
racircnd icircn Franţa prin revoluţia din 1789
Dezvoltarea unei societăţi odată cu naşterea unor oraşe
importante şi independente icircn Franţa Germania şi Italia precum şi
icircn alte ţări Europene icircncepacircnd icircncă din secolul al XIV-lea şi
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe
agricultură care au determinat relaţii comerciale terestre şi
maritime au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea
ştiinţelor teoretice - matematică astronomie mecanică - şi a
ştiinţelor aplicate A apărut atunci necesitatea imperioasă a
6
folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi
greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn
relaţiile economice şi culturale dintre ele
Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele
mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma
piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra
pentru măsurarea duratelor ziua noaptea
Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută
La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca
unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar
kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la
Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo
Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane
proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa
chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput
să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea
Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia
icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
4
Introduse din necesitatea de a determina distanţe arii ale
suprafeţelor terenurilor volume greutăţi (de fapt mase) de produse
apă şi diferite materiale sau de a determina durate intervale de timp
şi de a stabili scări de timp etc măsurile de lungime şi de masă
(denumită ca mijloc de măsurare greutate) au fost bazate icircn toată
lumea la icircnceputurile lor pe unităţi de măsură care derivau de la
diferite elemente ale corpului omenesc Cotul palma palmacul
degetul piciorul omului care au reprezentat chiar primele mijloace
de măsurare au alcătuit baza sistemului de măsuri pentru lungime
arie volumcapacitate Aşa au fost icircn antichitate cotul egiptean
cotul persan şi cotul babilonean şi icircn Grecia piciorul antic şi
piciorul olimpic iar icircn Europa apuseană piciorul roman piciorul
antic şi piciorul olimpic
Greutăţile folosite icircn antichitate ca măsuri de masă icircn
terminologia actuală au fost stabilite pe baza greutăţii unui anumit
număr de boabe de gracircu orez sau orz O greutate asiro-chaldeeană
denumită siclul reprezenta de exemplu greutatea egală cu aceea a
180 de boabe de gracircu iar greutatea romană siligna era egală cu
greutatea a patru boabe de gracircu Livra era egală cu greutatea a 6912
boabe de gracircu
Pentru măsurările agrare unitatea de arie pied pătrat era
prea mică din care motiv romanii au folosit unitatea jugerum egală
valoric cu dublul ariei unui pătrat cu aria de 120 pieds Multiplii şi
submultiplii unităţilor de măsură romane nu erau zecimali deşi
romanii foloseau sistemul de numeraţie zecimal
Numeroase unităţi de măsură romane au fost preluate de
civilizaţia Europei occidentale dar căderea Imperiului roman de
occident a condus la o diversitate de obiceiuri care au generat multă
confuzie Ca urmare Carol cel Mare rege al francilor (768-814) şi
icircmpărat al Occidentului (800-814) a trebuit să promulge un decret
privind unificarea unităţilor de măsură icircn toate ţările reunite sub
Coroana sa dar tentativa a eşuat odată cu Imperiul său
5
Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost
influenţate de cele folosite icircn statele cu care ei au avut relaţii
economice şi culturale Mărturii arheologice confirmă existenţa pe
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de
măsurare grecesc şi roman cu prioritate a celor din sistemul roman
care a a fost introdus mai icircntacirci icircn Banat şi Transilvania după
cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la icircnceputul secolului al
II-lea Unităţile şi respectiv măsurile de lungime pasus palmus
digitus ale romanilor au devenit pas palmă şi respectiv deget la
romacircni iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit
jugărul din Transilvania Valorile acestor unităţi exprimate icircn
unitatea metru erau icircnsă diferite de exemplu cotul la romani şi
greci era de 0444 m şi respectiv 0462 m icircn timp ce la romacircni
era de 0637 m icircn Moldova şi 0664 m icircn Muntenia
Măsurile respectiv unităţile de măsură folosite pentru
lungime capacitatevolum şi de asemenea pentru masă (respectiv
greutate) au diferit valoric icircntre ele de la o provincie romacircnescă la
altă provincie romacircnescă deşi aveau aceeaşi denumire De
exemplu stacircnjenul moldovenesc echivala cu 1900 m icircn
Transilvania şi cu 1962 m icircn ţara Romacircnească Deşi diferite
valoric icircntre ele unităţile de măsură din proviciile romacircneşti au
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre
acestea Icircn acelaşi timp unitatea denumirilor acestor unităţi de
măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului romacircn Se
impunea icircnsă cu absolută necesitate unificarea unităţilor de
măsură icircn ţările romacircne icircn prima jumătate a secolului al XIX-lea
aşa cum aceasta se impusese icircn ţările din Europa de vest icircn primul
racircnd icircn Franţa prin revoluţia din 1789
Dezvoltarea unei societăţi odată cu naşterea unor oraşe
importante şi independente icircn Franţa Germania şi Italia precum şi
icircn alte ţări Europene icircncepacircnd icircncă din secolul al XIV-lea şi
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe
agricultură care au determinat relaţii comerciale terestre şi
maritime au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea
ştiinţelor teoretice - matematică astronomie mecanică - şi a
ştiinţelor aplicate A apărut atunci necesitatea imperioasă a
6
folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi
greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn
relaţiile economice şi culturale dintre ele
Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele
mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma
piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra
pentru măsurarea duratelor ziua noaptea
Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută
La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca
unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar
kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la
Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo
Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane
proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa
chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput
să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea
Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia
icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
5
Măsurile şi greutăţile folosite de geto-daci au fost
influenţate de cele folosite icircn statele cu care ei au avut relaţii
economice şi culturale Mărturii arheologice confirmă existenţa pe
teritoriul ţării noastre a măsurilor şi greutăţilor din sistemele de
măsurare grecesc şi roman cu prioritate a celor din sistemul roman
care a a fost introdus mai icircntacirci icircn Banat şi Transilvania după
cucerirea Daciei de către Imperiul Roman la icircnceputul secolului al
II-lea Unităţile şi respectiv măsurile de lungime pasus palmus
digitus ale romanilor au devenit pas palmă şi respectiv deget la
romacircni iar unitatea de arie pentru suprafeţele agrare a devenit
jugărul din Transilvania Valorile acestor unităţi exprimate icircn
unitatea metru erau icircnsă diferite de exemplu cotul la romani şi
greci era de 0444 m şi respectiv 0462 m icircn timp ce la romacircni
era de 0637 m icircn Moldova şi 0664 m icircn Muntenia
Măsurile respectiv unităţile de măsură folosite pentru
lungime capacitatevolum şi de asemenea pentru masă (respectiv
greutate) au diferit valoric icircntre ele de la o provincie romacircnescă la
altă provincie romacircnescă deşi aveau aceeaşi denumire De
exemplu stacircnjenul moldovenesc echivala cu 1900 m icircn
Transilvania şi cu 1962 m icircn ţara Romacircnească Deşi diferite
valoric icircntre ele unităţile de măsură din proviciile romacircneşti au
contribuit la dezvoltarea relaţiilor economice şi comerciale dintre
acestea Icircn acelaşi timp unitatea denumirilor acestor unităţi de
măsură reflectă unitatea limbii şi culturii poporului romacircn Se
impunea icircnsă cu absolută necesitate unificarea unităţilor de
măsură icircn ţările romacircne icircn prima jumătate a secolului al XIX-lea
aşa cum aceasta se impusese icircn ţările din Europa de vest icircn primul
racircnd icircn Franţa prin revoluţia din 1789
Dezvoltarea unei societăţi odată cu naşterea unor oraşe
importante şi independente icircn Franţa Germania şi Italia precum şi
icircn alte ţări Europene icircncepacircnd icircncă din secolul al XIV-lea şi
dezvoltarea unei economii bazate pe industria manufacturieră şi pe
agricultură care au determinat relaţii comerciale terestre şi
maritime au constituit un stimulent puternic pentru dezvoltarea
ştiinţelor teoretice - matematică astronomie mecanică - şi a
ştiinţelor aplicate A apărut atunci necesitatea imperioasă a
6
folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi
greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn
relaţiile economice şi culturale dintre ele
Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele
mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma
piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra
pentru măsurarea duratelor ziua noaptea
Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută
La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca
unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar
kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la
Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo
Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane
proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa
chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput
să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea
Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia
icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
6
folosirii unor unităţi de măsură unice materializate prin măsuri şi
greutăţi pentru exprimarea cantitativă a valorilor unor mărimi
fizice ce se măsurau curent atacirct icircn cadrul fiecărei ţări cacirct şi icircn
relaţiile economice şi culturale dintre ele
Am văzut icircn cele de mai sus că ceea ce a impus icircncă din cele
mai vechi timpuri ca oamenii să stabilească unităţi de măsură
pentru diferite mărimi cu care lucrau sau care le condiţionau
existenţa a fost activitatea practică De asemenea că pentru
măsurarea lungimilor s-au folosit ca unităţi de măsură lungimile
diferitelor părţi ale corpului omenesc cum sunt cotul palma
piciorul degetul pentru măsurarea volumelor vadra ocaua litra
pentru măsurarea duratelor ziua noaptea
Primele icircncercări de a stabili unele principii pentru elaborarea
unor etaloane au apărut abia icircn secolul al XVII-lea Atunci s-a
stabilit ca etalonarea să aibă o mărime invariabilă şi să ofere
posibilitatea de a fi oricacircnd refăcută
La 10 decembrie 1799 Adunarea Naţională a Franţei a
adoptat printr-un decret prototipurile de platină ale metrului şi
kilogramului şi cu aceasta primul sistem de unităţi Metrul ca
unitate de măsură pentru lungimi reprezenta a 40-a milioana parte
din lungimea meridianului pămacircntesc care trece prin Paris iar
kilogramul ca unitate de măsură pentru mase reprezenta masa
unui decimetru cub de apă distilată aflată la temperatura de 40C
Ambele etaloane au fost depuse la Arhivele Naţionale ale
Franţei motiv pentru care au primit numele de bdquometrul de la
Arhiverdquo respectiv bdquokilogramul de la Arhiverdquo
Poporul romacircn a avut de-a lungul veacurilor atacirct etaloane
proprii cacirct şi etaloane icircmprumutate de la alte popoare cu care a
stabilit legături comerciale Cu un secol icircn urmă măsurarea
lungimilor se făcea cu cotul stacircnjenul palma pasul funia iar
măsurarea volumelor se făcea cu găleata vadra ocaua baniţa
chila Aceste etaloane transmise la icircnceput prin obicei au icircnceput
să fie reglementate la noi icircncepacircnd cu secolul al XVII-lea
Icircn anul 1830 s-a icircnfiinţat icircn Ţara Romacircneasca bdquoComisia
icircndestulării şi icircndreptării cumpenilor şi măsurilorrdquo
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
7
Primele icircncercări de a se introduce şi la noi sistemul metric
zecimal au apărut icircn timpul Revoluţiei Franceze dar au fost
respinse de autorităţile de atunci pe motiv că introducerea lor va
produce bdquoicircmpiedicare şi icircnvălmăşalărdquo
Abia icircn anul 1864 icircn timpul domniei lui Alexandru Ioan
Cuza a fost adoptat sistemul metric obligativitatea lui fiind legată
de data de 1 ianuarie 1866
O dată memorabilă icircn istoria extinderii sistemului metric de
unităţi a constituit-o ziua de 20 mai 1875 cacircnd la Conferinţa
diplomatică a metrului un număr de 17 state au adoptat
următoarele măsuri
1 Stabilirea prototipului internaţional al metrului etalon şi al
kilogramului etalon
2 Crearea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi ca
instituţie ştiinţifică internaţională
3 Crearea unui Comitet Internaţional care avea icircn
componenţa sa oameni de ştiinţă din diferite ţări şi care trebuia să
conducă activitatea Biroului Internaţional de Măsuri şi Greutăţi
4 Convocarea o dată la 6 ani a Conferinţei Generale de
Măsuri şi Greutăţi icircn vederea bdquodiscutării şi luării de măsuri
necesare pentru extinderea şi perfecţionarea sistemului metricrdquo
Ţara noastră a aderat oficial la această convenţie icircn anul 1881
deşi sistemul metric a fost adoptat icircncă din timpul lui Al I Cuza
ISTORIA APARIŢIEI SISTEMULUI INTERNAŢIONAL
Actualul Sistem Internaţional de unităţi icircşi are originea icircn
timpul Revoluţiei Franceze odată cu icircnfiinţarea Sistemului Metric
şi cu depunerea la 22 iunie 1799 a celor două etaloane de platină
reprezentacircnt metrul şi kilogramul la Arhivele Republicii Franceze
Karl Friedrich Gauss este primul savant care a observat că
pentru efectuarea tuturor măsurătorilor fizice este suficient a se
adopta un număr limitat de unităţi de măsură arbitrare
independente unele de altele celelalte fiind determinate cu ajutorul
primelor Astfel el a propus icircncă din anul 1832 principiile de
alcătuire a unui sistem de unităţi consideracircnd că pentru a se putea
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
8
efectua măsurarea mărimilor fizice era suficient a se adopta trei
unităţi independente şi anume unitatea pentru lungime unitatea
pentru masă şi unitatea pentru durată Gauss susţine cu tărie
utilizarea Sistemului Metric icircmpreună cu secunda definită icircn
astronomie ca sistem unic icircn toate ştiinţele naturii El a fost primul
care a făcut măsurări precise ale forţei magnetice a pămacircntului cu
ajutorul unui sistem zecimal bazat pe unităţi de măsură mecanice
(milimetrul gramul şi secunda) Icircn anii care au urmat Gauss şi
Weber au extins aceste măsurări pentru a include şi fenomenele
electrice
Aceste aplicaţii icircn domeniul electricităţii şi magnetismului au
fost dezvoltate după 1860 sub conducerea activă a cunoscuţiolor
oameni de ştiinţă Maxwell şi Thomson Ei au pledat pentru
realizarea unui sistem de unităţi coerent care să conţină atacirct mărimi
fundamentale cacirct şi mărimi derivate Icircn 1874 s-a introdus un
sistem bazat pe trei mărimi mecanice centimetrul gramul şi
secunda care folosea prefixe de la micro- la mega- pentru a
exprima multiplii şi submultiplii zecimali Evoluţia ulterioară a
fizicii ca ştiinţă experimentală s-a bazat icircn mod deosebit pe acest
sistem Mărimile acestui sistem din păcate nu sunt foarte
convenabile icircn domeniul electricitate şi magnetism fapt pentru care
prin anii 1880 s-a aprobat un sistem coerent de unităţi practice
Printre ele se numărau ohmul pentru rezistenţa electrică voltul
pentru forţa electromotoare şi amperul pentru curentul electric
La primul Congres Internaţional al Electrotehnicienilor ţinut
la Paris icircn anul 1881 s-a hotăracirct adoptarea primului sistem de
unităţi ştiinţifice denumit sistemul CGS bazat pe unitatea de
măsură pentru lungime (Centimetrul) unitatea de măsură pentru
masă (Gramul) şi unitatea de măsură pentru durată (Secunda)
După icircnfiinţarea Convenţiei Metrului la 20 mai 1875
oamenii de ştiinţă şi-au concentrat activitatea asupra realizării unor
etaloane avacircnd la bază unităţile de lungime şi de masă Icircn anul
1889 s-au autorizat etaloanele pentru masă şi lungime Icircmpreună
cu secunda astronomică aceste trei unităţi au constituit un sistem
de unităţi mecanice asemănător celui anterior dar care avea ca
mărimi fundamentale metrul kilogramul şi secunda
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
9
Icircn anul 1901 Giorgi a arătat că este posibilă adăugarea la
sistemul de mărimi mecanice kilogram-metru-secundă a unei
mărimi electrice practice cum ar fi ohmul sau amperul pentru a
forma un sistem coerent şi a se scrie ecuaţiile cacircmpului
electromagnetic icircn formă raţională Propunerea lui Giorgi a deschis
drumul spre Sistemul Internaţional actual După revizuirea
Convenţiei Metrului icircn 1921 propunerea lui Giorgi a fost
dezbătută icircndelung Icircn anul 1939 se recomandă adoptarea unui
sistem bazat pe kilogram metru secundă şi amper propunere
aprobată icircn 1946
Icircn anul 1954 s-a aprobat introducerea amperului a kelvinului
şi a candelei ca mărimi fundamentale Numele de Sistemul
Internaţional de Unităţi (SI) a fost aprobat icircn 1960 La cea de-a 14-
a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi icircn anul 1971 s-a
aprobat versiunea actuală a SI prin introducerea molului ca unitate
pentru cantitatea de substanţă aducacircnd numărul total de unităţi
fundamentale la şapte
Prefixe ale unităţilot de măsură
Unităţile de măsură reprezintă un standard de măsurare a
cantităţilor fizice Icircn fizică şi icircn metrologie este necesară o definiţie
clară şi univocă asupra aceleiaşi cantităţi pentru a garanta utilitatea
reyultatelor experimentale ca bază a metode ştiinţifice
Siatemele de măsură ştiinţifice sunt o formalizare a
conceptului de greutăţi şi măsuri care s-au dezvoltat iniţial cu
scopuri comerciale icircn special pentru a creea o serie de instrumente
cu care vacircnzătorii şi cumpărătorii să poată măsura icircn manieră
univocă o cantitate de marfă tranzacţionată
Există diverse sisteme de unităţi de măsură bazate pe
diverse suite de unităţi de măsură fundamentale Sistemul cel mai
folosit icircn ziua de azi e Sistemul Internaţional care are şapte unităţi
de măsură de bază (bdquofundamentalerdquo) din care toate celelalte sunt
derivate
Există şi ate sisteme utilizate icircn diverse scopuri unele icircncă
utilizate altele doar istorice
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
10
Unitate de măsură (Prefixe SI)
Nume yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Simbol Y Z E P T G M k h da
Factor 1024
1021
1018
1015
1012
109 10
6 10
3 10
2 10
1
Nume deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yokto
Simbol d c m micro n p f a z y
Factor 10minus1
10minus2
10minus3
10minus6
10minus9
10minus12
10minus15
10minus18
10minus21
10minus24
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
11
1 Reguli de utilizare
Prefixele se scriu cu literă mică (afară de cazul cacircnd sunt la
icircnceput de propoziţie) lipite de numele unităţii (fără spaţiu sau
linie de unire) micrometru miliamper gigahertz
Simbolul multiplului sau submultiplului se formează prin
lipirea fără spaţiu a simbolului prefixului de simbolul unităţii μm
mA GHz Icircntreg simbolul se scrie cu litere drepte indiferent de
context
Pentru multiplii şi submultiplii kilogramului regulile se
aplică ca şi cacircnd unitatea de bază ar fi gramul 1000 kg = 1 Mg
01 kg = 1 hg 0001 g = 1 mg
Nu este permisă utilizarea unui prefix singur fără numele
unităţii la care se referă
Nu este permisă utilizarea mai multor prefixe pe aceeaşi
unitate
Icircn expresii unde unităţile sunt icircnmulţite icircmpărţite sau
ridicate la putere operaţia se aplică asupra unităţii formate cu
prefix nu asupra unităţii simple
1 kmsup2 = 1 (km)sup2 = 1times(1000 m)sup2 = 1000000 msup2
Prefixele se pot utiliza cu unităţi din afara SI dar acceptate
pentru utilizare icircmpreună cu SI Totuşi ele nu se utilizează cu
unităţile de timp minut (min) oră (h) şi zi (d)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIMI
A măsura o lungime icircnseamnă a o compara cu o altă
lungime pe care o alegem ca şi unitate de măsură Prin
convenţie internaţională unitatea principală pentru măsurat
lungimile este metrul (m)
Multiplii metrului
-decametrul(dam) 1dam = 10m
-hectometrul(hm) 1 hm = 100m
-kilometrul (km) 1km =1000m
1km = 10hm = 100dam = 1000m
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
12
Submultiplii metrului
-decimetrul (dm) 1dm = 01 m
-centimetrul (cm) 1cm = 001m
-milimetrul (mm) 1mm= 0001mm
1m = 10dm = 100cm = 1000mm
Alte unitatildeţi de lungime
1 deget = 002 m
1 lat de palmatilde = 008 m
1 palmatilde = 024 m
1 cot = 048 m
1 picior = 032 m
1 pas = 096 m
1 braţ = 175 m
1 trestie (pratildejinatilde) = 288 m
1 stadiu = 185 m
1 drum sabatic = 960 m
1 milatilde = 1480 m
1 inch = 254 mm
1 ţol = 254 mm
1 picior = 12 ţoli = 03048 m
1 iard (yard) = 3 picioare = 09144 m
1 fatom = 2 iarzi = 1828798 m
1 milatilde terestratilde = 1760 iarzi = 1609344 m
1 milatilde USA = 1609347 m
1 milatilde marinatilde = 185325 m
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
13
Cum depind unităţile de lungime una de cealaltă
Lungimea Metru (m) Inch (in) Foot (ft) Yard (yd) Furlong (fr) Mila (mi) Mila marină
Metru (m) 1 39 3701 32808 1 0936 - - -
Inch (in) 0 0254 1 0 0833 0 0277 - - -
Foot (ft) 0 3048 12 1 0 3333 - - -
Yard (yd) 0 9144 36 3 1 - - -
Furlong
(fr) 201 168 - 660 220 1 0 125 0 1085
Mila (mi) 1609 344 - 5280 1760 8 1 0 8684
Mila
marină 1853 25 - 6080 2025 4 9 2121 1 1515 1
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
14
Vechi unităţi de măsură pentru lungime utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia
Verstă 835 stacircnjeni 167 km
Funie 4 prăjini = 12 st 2676 m 2424 m
Prăjină 3 stacircnjeni 669 m
Stacircnjen
(lt lat stadium)
8 palme
6 picioare 223 m
197 m (Şerban vodă)
202 m (Constantin vodă)
Cot 664 cm 637 cm
Palmă 10 degete
8palmace 27875 cm 24625 cm
Palmac 12 linii Md 35 mm 205 mm
Deget 10 linii Mt 28 mm 25 mm
Linie 29 mm 25 mm
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
15
Alte unităţi de lungime
Denumire Echivalent
Stacircnjen pescăresc aprox 15 m
Stacircnjen marin 183 m
Poştă aprox 20 km (icircn funcţie de ţară)
Pas mic 4 palme (Ţara Romacircnească)
Pas mare 6 palme (Ţara Romacircnească Moldova)
Lat de palmă 12 palmă
Leghe 4 - 55 km
Probleme
1 Un copil are lungimea pasului de 60 cm Care este distanţa
de acasă şi pacircnă la şcoală dacă el face 1235 paşi
Rezolvare
60 1235 = 74100 (cm) = 741 (m)
2 Pentru icircmprejmuirea unui teren cu 3 racircnduri de sacircrmă s-au
cumpărat 30 role de sacircrmă de 01 km fiecare Ştiind că perimetrul
grădinii este de 875 m care este lungimea sacircrmei rămase
Rezolvare
1) Cacircţi m de sacircrmă se folosesc
875 3 = 2625 (m)
2) Cacircţi m de sacircrmă s-au cumpărat
01 3 0 = 3 (km) = 3000 (m)
3) 3000 ndash 2625 = 375 (m) (au rămas)
3 La o croitorie se primeşte o comandă de 156 costume
bărbăteşti Ştiind că pentru un costum se folosesc 35 m de stofă
iar 1m de stofă costă 2750 lei să se afle ce sumă s-a plătit pentru
icircntregul material folosit la confecţionarea costumelor
Rezolvare 1) Căţi m de stofă se folosec
156 53 = 546 (m)
2) Ce sumă s-a plătit pentru material
546 5027 = 15015 lei
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
16
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU SUPRAFAŢĂ
A măsura o suprafaţă icircnseamnă a afla de cacircte ori se
cuprinde o anumită unitate de măsură icircn aceea suprafaţă
Oricărei suprafeţe icirci corespunde prin măsurare un număr
Unitatea principală pentru măsurarea suprafeţei este msup2 adică
metrul pătrat şi reprezintă aria unui pătrat cu latura de 1m
Icircn măsurarea suprafeţelor mici se folosesc submultiplii
msup2 iar icircn măsurarea suprafeţelor mari se folosesc multiplii msup2
Submultiplii msup2 - decimetrul pătrat (dmsup2)
1msup2 = 100 dm2 = 10
2 dm
21 dm
2 = 001 m
2
- centimetrul pătrat (cm2)
1msup2 = 10000 cm2 = 10
4 cm
2 1 cm
2 = 00001 m
2
- milimetrul pătrat (mm2)
1msup2 = 1000000 dm2 = 10
6 mm
2
1 mm2 = 0000001 m
2
1msup2 = 102 dm
2 = 10
4 cm
2 = 10
6 mm
2
Multiplii msup2
- decametrul pătrat (damsup2) 1damsup2 = 100 m2 = 10
2 m
2
- hectometrul pătrat (hm
2) 1 hmsup2 = 10000 m
2 = 10
4 m
2
- kilometrul pătrat (km2) 1 kmsup2 = 1000000 m
2 = 10
6 m
2
1 kmsup2 = 102 hm
2 = 10
4 dam
2 = 10
6 m
2
Pentru măsurarea suprafeţelor de teren se folosesc
suprafeţele agrare
- hectarul (ha) 1 ha = 1 hmsup2 = 10000 m2
- arul (ar) 1 ar = 1 damsup2 = 100 m2
- pogonul 1 pogon = 5000 m2 = 05 ha
Alte unitatildeti de măsură pentru suprafatatilde
1 Ţol patildetrat = 16 387 cm2
1 picior patildetrat = 92903 cm2
1 iard patildetrat = 9 picioare patildetrate = 0836126 cm2
1 acru = 4849 iarzi patildetrati = 04047 ha
1 milatilde patildetratatilde = 640 acri = 25897 ha
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
17
Cum depind unităţile de arie una de cealaltă
Aria m2 ar hectar in
2 ft
2 yd
2 acri
m2 1 10
-2 10
-4 1 550 10 7636 1 1959 -
ar (a) 102 1 10
-2 - 1076 36 119 59 -
Hectar (ha) 104 10
2 1 - - 11959 9 2 471
in2 (sqinch) 6 4516 10
-4 - - 1 - - -
ft2 (sqfoot) 9 29 10
-2 - - 144 1 0 111 -
yd2(sqyard) 0 8361 - - 1296 9 1 -
Acri (SUA) 4046 87 40 469 0 4047 - 43560 4840 1
Vechi unităţi de măsură pentru suprafaţă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Falcie sau falce
(ltlat falx falcis bdquocoasărdquo)
20 funii2 =
2880st2
1432 ha 1114 ha
Pogon Iugăr
lat iugerum unitate de măsură din iugum bdquojugrdquo
9 funii2 =
1296st2
6441 mp 501208 mp
Funie (pătrată) 144 st p 716 mp 557 mp
Stacircnjen (pătrat) 497 mp 387 mp 3596 650 954 mp
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
18
Alte unităţi de suprafaţă
Denumire Echivalent
Prăjină 180 - 210 msup2
Ferdelă 14 pogon
Iugăr
cacirct ară doi boi icircntr-o zi
7166 msup2 (Transilvania la 1517) 05755 ha sau 1600
stacircnjeni pătraţi (mai tacircrziu)
PROBLEME
1 Aflaţi aria unui dreptunghi ştiind că suma dintre lungimea
şi lăţimea sa este 86 cm iar diferenţa dintre lungimea şi lăţimea
acestuia este de 40 cm
L + 40
86
l
Rezolvare
86 ndash 40 = 46 cm (dublul lăţimii)
46 2 = 23 cm ( lăţimea)
23 + 40 = 63 cm (lungimea)
23 ٠ 63 = 1449 cm2 ( aria)
2 Un fermier măsuracircnd un lot dreptunghiular a găsit 217
paşi icircn lungime şi 161 paşi icircn lăţime Care este aria lotului dacă 7
paşi măsoară 5 25 m
1)Lungimea icircn m este
217 7 ٠ 525 = 31 ٠ 525 = 16275 (m)
2) Lăţimea icircn m este
161 7 ٠ 525 = 23 ٠ 525 = 12075 (m)
3) Aria este
16275 ٠ 12075 = 196520625 (m2)
3 Un dreptunghi are perimetrul 480 m Să se afle aria ştiind
că lungimea este de trei ori mai mare decacirct lăţimea
1) Semiperimetrul este
480 m 2 = 240 m
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
19
L
240
l
3) Lăţimea este 240 4 = 60 m
4) Lungimea este 60 ٠ 3 = 180 m
5) Aria lotului este 180 ٠ 60 = 10800 (m2)
4 Pe un lot agricol icircn formă de pătrat avacircnd perimetrul de
360m s-au cultivat roşii Ştiind că pe fiecare m2 s-au plantat 6 fire
şi că la fiecare dintre ele s-au obţinut icircn medie 2 5 kg roşii să se
afle ce cantitate de roşii s-a obţinut de pe icircntregul lot
Rezolvare
1) Latura pătratului este 360 4 = 90 m
2) Aria lotului este 902 = 8100 m
2
3) Numărul de fire este 8100 ٠ 6 = 48 600 (fire)
4) Cantitatea de roşii este 48 600 ٠ 25 = 121 500 (kg)
5 O grădină dreptunghiulară este tăiată de două alei aşa cum
arată figura de mai jos Aleile au lăţimea de 125 m Să se afle aria
totală cultivabilă a grădinii folosind datele din desen
635 m
20 m
305 m
84 m
Rezolvare
1)Lungimea cultivabilă a grădinii este
84 m ndash 125 m = 8275 m
2) Lăţimea cultivabilă a grădinii este
305 m ndash 125 m = 2925 m
3) Aria cultivabilă a grădinii este
8275 ٠ 2925 = 24204375 (m2)
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
20
UNITĂŢI DE MǍSURǍ PENTRU VOLUM
A măsura volumul unui corp icircnseamnă a afla numărul
care arată de cacircte ori se cuprinde o unitate de măsură icircn acel
volumUnitate standard pentru volum este msup3 şi reprezintă volumul
unui cub cu latura de 1m
SUBMULTIPLII msup3
- decimetru cub (dmsup3) 1msup3=10sup3 dmsup3 (1dmsup3 = 0001msup3)
- centimetru cub (cmsup3) 1msup3 =106 cmsup3 (1cmsup3=0000001msup3)
- milimetru cub (mmsup3) 1msup3=109 mmsup3 (1mmsup3=0000000001msup3
1msup3 = 10sup3dmsup3 = 106 cmsup3 = 10
9 mmsup3
MULTIPLII msup3
-decametru cub(damsup3) 1damsup3=10sup3 msup3
-hectometru sup3(hmsup3) 1hm= 106 msup3
-kilometru sup3(kmsup3) 1kmsup3=109 msup3
Un multiplu sau un submultiplu oarecare al msup3 este
de1000 de ori mai mare decăt cel imediat inferior şi de1000 de
ori mai mic decăt cel imediat superior
Alte unitatildeti de măsură pentru volum
1 țol cubic = 16387 cm3
1 picior cubic = 1728 țoli cubici = 283173 dm3
1 iard cub = 27 picioare cubice = 076456 m3
1 gal = 0142 l
1 pint = 4 gali = 0568 l
1 cart = 2 pint = 8 gali = 11361 l
1 galon imperial = 4 carti = 4549 l
1 galon SUA = 4549 l
1 busel imperial = 8 galoane = 36368 l
1 carter imperial = 8 buseli = 290942 l
1 baril = 36 galoane = 163656 l
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
21
Cum depind unităţile de volum una de cealaltă
Volum m3 Litru (L) Pinta
Quarta
UK
Galon
SUA Galon UK
Baril
SUA
m3
1 10
3 - - 264 2 220 6 2898
Litru (L)
10
-3 1 1 7598 0 8799 - 0 2199 -
Pinta
- 0 568 1 0 5 - 0 125 -
Quarta UK
- 1 136 2 1 - 0 25 -
Galon SUA
- 3 785 - - 1 0 8327 0 0238
Galon UK
- 4 546 8 4 1 201 1 0 0286
Baril SUA
0 159 158 98 - - 42 34 9714 1
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
22
Probleme
1 S-au transportat 43msup3 cu o maşină icircn care icircncap
0005damsup3 Cacircte transporturi au fost efectuate
Rezolvare
0005 damsup3 = 5msup3
43 5 = 86 (transporturi)
R au fost făcute 9 transporturi
2 Cacircţi msup3 de beton sunt necesari
pentru a pava o alee lungă de 35 m şi lată de
25m ştiind că grosimea ei este de 18cm
Rezolvare
18cm = 018m
35 middot 25 middot 018 = 1575 (msup3)
3 Icircntr-o cutie icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile de 4 dm 50cm şi respectiv 03m un elev vrea să
transporte 160 de cărţi care au dimensiunile de 25cm 12cm
respectiv 2cm la un anticariat Căte transporturi face elevul
Rezolvare
4dm = 40cm
03m = 30cm
1) Volumul cutiei
40 middot 50 middot 30= 60000(cmsup3)
2) Volumul unei cărţi
25 middot 12 middot 2 = 600 (cmsup3)
3) Căte cărţi icircncap icircn cutie
60000 600 = 100 cărţi
Avacircnd de transportat 160 de cărţi icircnseamnă că face 2 transporturi
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
23
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU CAPACITATE
Capacitatea exprimă volumul ocupat de un lichid
Pentru a măsura capacitatea unor vase (recipiente) se poate folosi
alt vas (recipient) ca unitate de măsură
Unitatea principală de masura pentru capacitate este litrul(l)
Observaţii
1 Un litru de lichid este echivalentul volumului de 1dm3 adică
1l de lichid ocupă 1dm3
2 Dacă se schimbă unitatea de masură se schimbă si numărul
ce reprezintă măsura capacităţii vasului
3 Pentru cantitătile mici se folosesc submultiplii litrului iar
pentru măsurarea cantitătilor mari se folosesc multiplii litrului
4 Pentru măsurarea capacitătii se folosesc vasele gradate
Submultiplii litrului
decilitru(dl) 1dl=01 l
centilitru(cl) 1cl=001 l
mililitru(ml) 1ml=0001 l
1 =10dl =100cl =1000ml
Multiplii litrului
decalitrul(dal) 1dal=10 l
hectolitrul(hal) 1hl=100 l
kilolitru(kl) 1kl=1000 l
1kl =10hl =100dal =1000 l
Capacitatildeţi pentru cereale
1 homer = 388 litri
1 letec = 194 litri
1 efa = 388 litri
1 sea = 129 litri
1 hin(atilde) sau efa omer = 65 litri
1 omer sau isaron = 388 litri
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
24
1 cab = 22 litri
1 log sau cotil = 055 litri
Capacitatildeţi pentru lichide
1 cor = 388 litri
1 bat = 38 litri
1 hin = 65 litri
1 cab = 22 litri
1 log = 055 litri
1 galon imperial (gal) = 4545963 litri
1 galon USA = 3785 litri
Vechi unităţi de capacitate şi volum utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Balercă 30 vedre 366 l 3864 l
Vadră (Tină) 10 oca 1520 l 1288 l
Pintă 3394 l
Oca 4 litre 1520 l 1288 l
Litră 25 dramuri 038 l 0322 l
Dram 1520 ml 1288 ml
Alte denumiri
Chiup vas mare de lut
pentru lichide 30 - 40 l
Cacircblă O găleată de
gracircu
Ferdelă 14 găleată (Transilvania)
Obroc mare 44 ocale
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
25
Obroc mic 22 ocale
butoi 50 - 80 vedre
Giumătate
poloboc 80 - 100 vedre
butie 100 - 200 vedre
Stacircnjen (de
lemne) 8 steri
Probleme
1 Pentru a-şi sarbători ziua de naştere un elev cumpără
răcoritoare4 sticle de 15 l 3sticle de 250 cl şi 10 sticle de 500 ml
Care este cantitatea de racoritoare cumpărată
Rezolvare
250cl=25 l
500ml=05 l
Cantitatea este
4∙15 + 3∙25 + 10∙05 = 6 + 75 + 5 = 185(litri)
2 Un acvariu are forma de paralelipiped dreptunghic cu
lungimea de 035m lăţimea de 25dm şi icircnălţimea de 46cm Cacircti
litri de apă icircncap icircn acvariu
Rezolvare
L=035m l=25dm h=46cm
035m=35dm
46cm=46dm
Volumul acvariului este L∙ l ∙ h=35∙
25∙46 = 4025(dm3)
4025dm3
= 4025l
3 Un robinet are debitul de
450litri pe oră Icircn cacirct timp va umple un bazin acest robinet dacă
bazinul este icircn formă de paralelipiped dreptunghic cu
dimensiunile150cm3m şi respective 10dm
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
26
Rezolvare
150cm=15m 10dm=1m
Volumul bazinului este L ∙ l ∙h=15 ∙3∙ 1 = 45 m3
45m3
= 4500dm3
= 4500 l
Timpul de umplere este
4500 450 = 10(ore)
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ
Masa reprezintă calitatea unui
obiect de a fi mai uşor sau mai greu
decacirct un alt obiect A măsura masa unui
obiect icircnseamnă a vedea de cacircte ori se
cuprinde masa unei unităţi de măsură icircn
masa acelui obiect adică a afla cacircte
unităţi de masă cacircntăresc tot atacircta cacirct
obiectul respectiv
Observatii
1Operaţia prin care comparăm masa unui obiect cu masa
unei unităţi de măsură se numeşte cacircntărire
2Pentru a cacircntari corpurile s-au construit corpuri cu masa
marcată sau etaloane de masă
3Ca instrumente pentru măsurarea masei unor corpuri se
folosesc balanţa şi cacircntarul
Unitatea standard de măsurare a masei este kilogramul
Multiplii kilogramului
-chintalul(q) 1q =100kg
-tona(t) 1t =1000kg
-vagonul(v) 1v =10000kg
Submultiplii kilogramului
-hectogramul(hg) 1hg=01kg
-decagramul(dag) 1dag=001kg
-gramul(g) 1g=0001kg
-decigramul(dg) 1dg=01g=00001kg
-centigramul(cg) 1cg=001g=000001kg
-miligramul(mg) 1mg=0001g=0000001kg
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
27
1 kg icircnseamnă 1dm3
de apă distilată aflată la temperatura
de 4oC
Alte unităţi de măsură pentru mase
1 talant = 345 kg = 60 mine sau 3000 sicilii
1 minatilde = 5 kg = 50 sicli
1 siclu = 115 g = 20 ghere
12 siclu = 575 g = 10 ghere
1 gheratilde (120 siclu) = 057 g = valoarea cea mai micatilde
1 litratilde = 326 g = 12 uncii
1 uncie (oz) = 16 drahme = 2835 g
1 fund (lb) = 16 uncii = 453592 g
1 sutar greutate = 112 funti = 508 kg
1 tonatilde lungatilde = 2240 funti = 1016047 kg
1 tonatilde scurtatilde = 2000 funti = 907184 kg
Vechi unităţi de masă utilizate icircn ţara noastră
Denumire Subunităţi Moldova Muntenia Transilvania
Merţă 10 baniţe 5164 kg 5088 kg 225 l
Baniţă 40 oca 5164 kg 5088 kg
Oca 4 litre 1291 kg 1272 kg
Litră 32275 g 318 g
Dram 338 g 338 g
Funt livră 05 kg
Probleme
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
28
1Cacircte pachete de napolitane se află icircntr-o cutie ştiind că un
pachet de napolitane costă 75 g cutia goală cacircntăreşte 350 g iar
plină cacircntăreşte 41 kg
Rezolvare
41 kg = 4100 g
1) Cacirct cacircntăresc toate napolitanele
4100g - 350g = 3750 g
2) Cacircte pachete sunt
375075=50(pachete)
R 50 pachete
2 Cacircte transporturi trebuie să facă un camion pentru a
transporta 40 t de material dacă el poate icircncărca 4500 kg
Rezolvare
4500kg = 45 t
40 45 = 8(8
3O cutie de medicamente conţine 20 de tuburi cu cacircte 25
de comprimate fiecare comprimat cacircntăreşte cacircte 25 g Cutia
goală cacircntăreşte 20 g iar tubul gol 5 g Cacirct cacircntăreşte cutia cu
medicamente
Rezolvare
1)Cacirct cacircntăresc comprimantele dintr-un tub
25 ∙ 25 = 625g
2) Cacirct cacircntăreşte un tub plin
625 + 5 = 630 g
3)Cacirct cacircntăresc toate tuburile
630 ∙ 20 = 12600 g
4)Cacirct cacircntăreşte cutia cu medicamente
12600 + 20 = 12620 g
R 12620 g
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
29
UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP
De multă vreme oamenii au observat icircn natură fenomene
care se repetă De exemplu icircnşiruirea cu regularitate a zilelor şi a
nopţilor sau a anotimpurilor Ei au pus schimbările observate icircn
legătură cu trecerea timpului şi l-au măsurat comparacircndu-l cu
intervalul de timp necesar desfaşurării unor fenomene care se
repetă cu regularitate cum ar fi durata unei zile sau a unei nopţi
durata icircn care se schimbă cele 4 anotimpuri etc
Prin convenţie internaţională s-a adoptat ca unitate de
măsură a timpului secunda(s)
Alte unităţi de timp
-minutul(min)
-ora (h) 1min = 60s
-ziua(24h) 1h = 60min = 3600s
-săptămacircna (are 7 zile)
-luna are 28293031 zile
-anul are 12 luni
-deceniul are 10 ani
-secolul (veacul) are 100 de ani
-mileniul are 1000 ani
1 an are 365 de zile( sau 366 de zile icircn
ani bisecţi cacircnd februarie are 29 de zile)
Anii bisecţi se repetă din 4 icircn 4 ani şi
sunt acei ani pentru care numărul lor de ordine se divide cu 4
Instrumentele de măsură pentru timp sunt ceasul cronometrul
clepsidra
Probleme
1 Un elev pleacă de la şcolă la ora 7 si 35 de minute si
ajunge la şcoală la ora 7 si 58 de minute Cacirct timp a durat drumul
7h58min - 7h35min = 23min
2 Cacircte zile au la un loc anii
1990199119921993199419951996
Dintre acestea bisecti sunt 1992 şi 1996 deci 2 ani
Avem 2∙366+5∙365= 732+1825=2557 zile
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
30
3 Cacircte zile sunt de la 1 ianuarie 2003 pacircnă la 19 decembrie
2003 inclusiv
Observăm că 2003 nu este bisect(are 365 zile)
Rezolvare
Ianuarie are 31 zile februarie 28 zile martie 31 zile aprilie 30
zile mai 31 zile iunie 30 zile iulie 31 zile august 31 zile
septembrie 30 zile octombrie 31 zile noiembrie 30 zile decembrie
19 zile
Numărul de zile este
31∙6+30∙4+28+19=186+120+28+19=353 zile
Altă rezolvare
1) Cacircte zile nu sunt numărate din decembrie
31-19=12 zile
2) 365-12=353 zile
4 Ioana pune o prăjitură icircn cuptor la ora 18 şi un sfert
Prăjitura trebuie să se coacă icircntr-o oră şi 10 minute La ce oră va
scoate Ioana prăjitura din cuptor
5 Ana pleacă spre casă la ora 12 şi 35 de minute şi ajunge
acasă icircn 30 de minute
La ce oră va ajunge acasă
6 Victor vrea să icircnregistreze un film care icircncepe la orele 2100
şi se termină la orele 2400
Cacirct durează filmul
7 Pe uşa unui magazin era următorul anunţ Icircnchis zilnic
icircntre orele 15-17rsquorsquo
Cacircte ore dintr-o săptămacircnă este magazinul respectiv icircnchis
8 Un tren care trebuia să sosească icircn gara din Buzău la orele
1530
are icircntacircrziere 1 oră
La ce oră va ajunge trenul acum icircn gara din Buzău
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
31
ISTORIA MONEDELOR PE TERITORIUL ŢĂRII
NOASTRE CIRCULAŢIA ŞI EMISIUNEA MONETARĂ PE
TERITORIUL ROMAcircNIEI Baterea de monedă pe teritoriul actualei Romacircnii icircncepe icircn
coloniile antice greceşti de la Marea Neagră aşezări ce desfăşurau
o foarte fructuoasă activitate comercială Icircntr-adevăr icircn secolul IV
icircChr la Histria Calatis Tomis şi Dyonisopolis existau ateliere
monetare unde se băteau stateri de aur (mai rar) tetradrahme şi
drahme din argint şi subdiviziuni de bronz ale drahmei După ce au
cucerit provincia icircn 71 icircChr romanii au interzis baterea
monedelor din metal preţios dar au permis continuarea fabricării
pieselor din bronz Activitatea atelierelor monetare greceşti de la
ţărmul Pontului Euxin a icircncetat definitiv icircn jurul anului 245 aD
Monede folosite icircn vechime
1 siclu = 1636 g (aur) = 1454 g (argint)
1 jumatildetate de siclu = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 drahma = 409 g (aur) = 365 g (argint)
1 didrahma = 818 g (aur) = 730 g (argint)
1 statirul = 852 g (aur) = 146 g (argint)
1 dinar = 45 g (argint)
1 codrantes = 00703 g (argint)
1 mina = 818 g (aur) = 727 g (argint)
1 talant = 49077 kg (aur) = 4362 kg (argint)
1 lepta = 0035 g (argint)
Important Mina (care valora 50 de siclii sau 2000 de drahme) şi
Talantul (care valora 3000 de siclii sau 12000 de drahme) nu erau
monede ci denumiri ale sumelor monetare mari
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
32
Monedele dacilor
Monedele fabricate icircn coloniile de la
Marea Neagră au avut doar o circulaţie
locală Icircn restul Daciei erau preferate
monedele macedonene ale lui Filip al II-lea
şi ale urmaşilor săi sau după cucerirea
Macedoniei de către romani dinarii
republicani Icircn jurul anului 280 iChr apar icircn
circulaţie monede din argint bătute de către
daci icircn propriile lor ateliere Imitacircnd ca desen
pe cele macedonene sau romane monedele
dacilor respectau greutatea monetară a
originalelor pe care le imitau Aşa se explica
faptul că deși nu erau prea reuşite din punct
de vedere artistic monedele dacilor circulau
icircn paralel cu monedele greceşti sau romane pe care le copiau
Cucerirea Daciei de către romani icircn 106 aD a pus capăt activităţii
atelierelor monetare ale dacilor Comerţul zonei devenită provincie
romană a fost acaparat de monedele imperiale a căror circulaţie a
continuat după retragerea aureliană din 271 aD pacircnă la căderea
Romei icircn 476 aD
Circulaţia monetară icircn secolele V ndash XIV
Prăbuşirea Imperiului Roman de Apus şi năvălirile barbare au
readus icircn actualitate trocul Deşi diminuată circulaţia monetară
pacircnă icircn secolul al XII-lea se bazează pe monedele Imperiului
Roman de Răsărit (Bizantin) Monedele Bizantine au fost practic
primele monede folosite de către poporul ce se forma icircn spaţiul
vechii Dacii - poporul romacircn Icircn secolul XII odată cu ridicarea
noilor state vecine ţinuturilor locuite de romacircni Ungaria Polonia
Serbia şi Bulgaria monedele acestora au icircnlocuit icircn circulaţie pe
cele bizantine Marea năvălire a tătarilor din 1241 a schimbat din
nou configuraţia economică a zonei favorizacircnd patrunderea unor
monede din apusul Europei (germane şi englezeşti) icircnlocuite la
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
33
racircndul lor de către dinarii banali emisi de banii Slavoniei şi de regii
Ungariei De la numele acestor banali s-a format icircn limba romacircna
cuvacircntul ban care desemnează atacirct moneda ca atare cacirct şi
monedele de valoare mică - maruntişul Astăzi banul chiar dacă
auzim mai rar de el este subdiviziunea monedei naţionale
Evoluţia monedelor pe teritoriul ţării noastre
Icircn 1866 - existau peste 70 de tipuri de monede străine icircn
circulaţie pe teritoriul Principatelor Unite Icircn 220404051867
bdquoLegea pentru icircnfiinţarea unui nou sistem monetar şi pentru
fabricarea monetelor naţionalerdquo este promulgată Unitatea monetară
este leul divizat icircn 100 de bani fiind adoptat sistemul monetar
zecimal al Uniunii Monetare Latine bazat pe bimetalism (aur şi
argint) 1 leu trebuia să cicircntărească 5 grame şi să conţină 4175
grame de argint curat Din Uniunea Monetară Latină au făcut parte
Franţa Elveţia Belgia Italia şi Grecia Luxemburg Spania Serbia
Muntenegru Vaticanul şi Romacircnia au utilizat acest sistem monetar
Icircn Uniunea Monetară Latină s-au bătut piese icircn valoare de 5 unităţi
din argint cu titlul 900 piese de 050 1 şi 2 unităţi din argint cu
titlul 835 precum şi piese de aur de 900 (10 20 50 sau 100
de unităţi) Romacircnia nu a căpătat statutul de membru al Uniunii
Monetare Latine deoarece nu a putut garanta că va emite suficientă
monedă de argint şi de aur pentru a putea acoperi nevoile propriei
circulaţii
Icircn 010113091868 Legea intră icircn vigoare
Cursuri bancare obişnuite pentru leul romacircnesc icircn secolul XIX
Paris 100 lei = 9916 9991 franci
Berlin 100 lei = 7913 8114 mărci
Londra 100 lei = 4 lire sterline
Icircn 240208031870 se inaugurează oficial Monetăria
Statului unde se bat primele monede de 20 lei de aur şi de 1 leu de
argint
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
34
Icircn 011213121873 monedele străine - ruseşti austriece sau
turceşti - şi-au icircncetat oficial circulaţia icircn ţară (pe baza decretului
din luna mai al lui Petre Mavrogheni ministru de Finanţe)
Icircn 040516051877 este adoptată legea care stabilea cursul
monedelor ruseşti O dată cu intrarea trupelor ruseşti icircn ţară rublele
au căpătat curs legal şi obligatoriu icircn Romacircnia rubla fiind
supraevaluată
Icircn 120624061877 este adoptată legea pentru emisiunea
biletelor ipotecare (pentru o valoare de 30000000 lei) garantate de
bunurile imobiliare ale statului prima hicircrtie-monedă din Romacircnia
Icircn 170429041880 Legea pentru icircnfiinţarea unei bănci de
scont şi emisiune bdquoBanca Naţională a Romacircnieirdquo (capital de
12000000 lei) cu privilegiul exclusiv de a bate monedă sub formă
de societate anonimă cu participarea statului (13 din acţiuni fiind
ale statului şi 23 ale deţinătorilor particulari)
Icircn 290510061889 este votată legea pentru introducerea
sistemului monometalist (etalon aur) ce intră icircn vigoare pe
1729031890 1 leu este echivalent cu 13 dintr-un gram de aur fin
cu titlul de 90 Emisiunile de hacircrtie-monedă trebuiau să fie
acoperite icircn proporţie de 40 cu aur
Icircn 01111920 - 1921 are loc Unificarea monetară Sunt
scoase din circulaţie bancnotele emise de Austro-Ungaria de Rusia
şi de trupele de ocupaţie germane prin preschimbare cu bancnote
emise de BNR
Icircn 07021929 este emisă Legea pentru stabilizarea
monetară prin devalorizarea leului (scăderea conţinutului icircn aur)
Un leu valorează 10 miligrame de aur cu titlul 90 Un leu aur este
egal cu 32 de lei hicircrtie Biletele de bancă emise de BNR sicircnt
convertibile icircn aur dar numai icircn cazul sumelor mai mari de
100000 de lei
Icircn 15081947 se produce stabilizarea monetară 1 leu nou =
20000 lei vechi Icircn urma reformei un leu valora 66 miligrame de
aur cu titlul 90 La stabilizare fiecare cetăţean a putut să schimbe
personal doar o sumă fixă de bani suma posibil de schimbat de un
om fiind icircntre 15 şi 75 milioane de lei vechi icircn funcţie de ocupaţia
prezentatorului
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
35
De la 1 Iulie 2005 moneda romacircnească a fost denominată
astfel icircncicirct 10000 lei vechi au devenit 1 leu nou Icircn acest fel a
revenit icircn circulaşie subdiviziunea leului - banul Valorile 100
500 1000 şi 5000 lei au devenit 1 5 10 şi 50 bani Icircnsemnele
monetare vechi au fost valabile pacircna la data de 31 decembrie 2006
Astfel icircn circulaţie icircn prezent există monede de 1 ban 5 bani
10 bani 50 bani şi bancnote de 1 leu 5 lei 10 lei 50 lei 100 lei
200 lei 500 lei
1 leu = 100 bani
EURO (simbol EUR sau euro) este moneda
comună pentru cele mai multe state din
Uniunea Europeană Monedele Euro (şi
bancnotele euro) au intrat icircn circulaţie pe 1
ianuarie 2002 dar anul emiterii lor poate să
meargă icircnapoi pacircnă icircn anul 1999 cacircnd
moneda a fost lansată oficial Un euro este
divizat icircn 100 cenţi
Pentru monede există opt denominaţii diferite
Denominaţie Diametru Grosime Masă Compoziţie Margine
1 cent |
001 euro 1625 mm 167 mm 230 g
Oţel cu
icircnveliş de
cupru Netedă
2 cenţi |
002 euro 1875 mm 167 mm 306 g
Oţel cu un
icircnveliş de
cupru
Netedă cu o
canelură
5 cenţi |
005 euro 2125 mm 167 mm 392 g
Oţel cu icircnveliş
de cupru Netedă
10 cenţi |
010 euro 1975 mm 193 mm 410 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
20 cenţi |
020 euro 2225 mm 214 mm 574 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Netedă (cu
şapte spaţii)
50 cenţi |
050 euro 2425 mm 238 mm 780 g
Aliaj de cupru
(aur nordic)
Cu crestături
fine
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
36
1 euro |
100 euro 2325 mm 233 mm 750 g
Interior aliaj
de cupru-
nichel
Exterior
nichel-bronz
Şase segmente
alternante trei
netede trei
zimţate
2 euro |
200 euro 2575 mm 220 mm 850 g
Interior
nichel-bronz
Exterior aliaj
de cupru-
nichel
Zimţată
inscripţionată
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
37
1 Construcţia unui segment congruent cu un segment dat
Problemă Se dă un segment [AB] şi o semidreaptă [Px
Construiţi punctul Q [Px astfel icircncacirct [AB] [PQ]
P1 Dăm compasului deschiderea [AB]
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn punctul P şi trasăm un arc de cerc
care intersectează [Px icircn D
( Instrumente compas)
2 Construcţia cu rigla şi compasul a mijlocului unui segment
Problemă Se dă segmentul [AB] Construiţi punctul M
[AB] astfel icircncacirct [AM] [MB]
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn A dăm compasului
deschiderea AB şi trasăm un arc de cerc
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn B (păstrăm aceeaşi
deschidere a compasului) şi trasăm alt arc de cerc
P3 Construim dreapta PQ (unde P şi Q sunt intersecţiile
celor două arce)
P4 Notăm M=PQ AB
(Se poate verifica cu rigla sau compasul că [AM] [MB])
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
38
3 Construcţia unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă Se dă un unghi AOB şi o semidreaptă [QM Să
se construiască un unghi MQN congruent cu unghiul AOB
(i) Construcţia cu raportorul
P1 Să află m (ltAOB) = (prin măsurare directă cu raportorul)
P2 Fixacircnd raportorul pe [QM şi icircn dreptul diviziunii de
marcăm punctul N
P3 Trasăm semidreapta [QN (Am obţinut AOB MQN)
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
39
(ii) Construcţia cu compasul
P1 Fixăm vacircrful compasului icircn O şi trasăm un arc de cerc care
intersectează [OA icircn D şi [OB icircn E
P2 Fixăm vacircrful compasului icircn Q şi păstracircnd aceeaşi deschidere a
compasului trasăm un arc de cerc care intersectează QM icircn P
P3 Dăm compasului deschiderea [DE]
P4 Fixăm vacircrful compasului icircn P (păstracircnd deschiderea [DE]) şi
intersectăm arcul trasat icircn N ( DOE PQN deci AOB
MQN)
4 Construcţia triunghiurilor
1 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două laturi şi
unghiul cuprins icircntre ele(Cunoaştem BC = a AC=b şi m ( C)= )
P1 Desenăm XCY astfel icircncacirct m( ZCY) =
P2 Pe semidreaptă [CX construim punctul A cu CA = b
P3 Pe semidreapta [CY construim punctul B cu BC = a
P4 Punem icircn evidenţă [AB]
(Instrumente folosite
rigla gradată şi
raportorul)
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
40
2 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd două unghiuri
şi latura cuprinsă icircntre ele
(Fie m (A) = m (B) = şi AB = c)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu ajutorul raportorului construim [Ax astfel icircncacirct m(
BAx) =
P3 Cu raportorul construim [BY astfel icircncacirct m (lt ABy) =
P4 Notăm [Ax [BY = C
Obs Dacă + 180 triunghiul nu se poate construi
3 Problemă Construiţi un triunghi ABC cunoscacircnd cele 3 laturi ale
sale (Fie AB = c AC = b BC = a)
P1 Cu rigla gradată construim AB = c
P2 Cu compasul construim cercul cu centrul icircn B şi cu
raza a
P3 Construim cu compasul cercul cu centrul icircn A şi cu
raza icircn b
P4 Notăm una din cele două intersecţii ale cercurilor cu C
şi punem icircn evidenţă [AC] şi [BC]
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
41
Obs
Problema este posibilă dacă cercurile sunt secante adică
dacă b-a c b+a Icircn această situaţie avem cele două
soluţii (de o parte şi de alta a laturii [AB] găsim C şi Crsquo)
Dacă inegalitatea nu este verificată problema nu are
soluţii
5 Construcţia perpendicularei dintr-un punct exterior unei
drepte pe acea dreaptă
Problemă Să se construiască dintr-un punct dat A perpendiculara
drsquo pe dreapta dată d
Construcţia cu riglă şi compas
P1 Trasăm un cerc cu
centrul icircn A şi cu raza r ( r
mai mare decacirct distanţa
dintre A şi d) care
intersectează d icircn B şi C
P2 Deschidem compasul
pe o rază Rgtr şi trasăm
cercul cu centrul icircn B
P3 Cu deschiderea R
trasăm un alt cerc cu
centrul C ( notăm
intersecţiile cercurilor cu D
şi E )
P4 Punem icircn evidenţă drsquo=DE ( evident A drsquo)
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
42
6 Construcţia liniilor importante
a) Construcţia bisectoarei
Problemă Fiind dat un unghi xOy construiţi cu rigla şi
compasul bisectoarea [OM
P1 Construim
un cerc cu centrul O şi
cu raza r şi notăm
intersecţiile acestuia cu
laturile unghiului A
respectiv B (A [OX
B OY)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn A şi
aceeaşi rază r
P3 Construim
cercul cu centrul icircn B şi
raza r
P4 Notăm
intersecţia ultimelor două cercuri cu M şi punem icircn evidenţă [OM
b) Mediatoarea unui segment
Problemă Fiind dat segmentul [AB] construiţi CD=d astfel icircncacirct
CDAB şi ( dacă [AB][CD] = M ) [AM][MB]
P1 Construim cercul cu centrul icircn A şi raza r ( r = AB)
P2 Construim
cercul cu centrul icircn
B şi raza r
P3 Notăm
intersecţiile
cercurilor cu C şi D
şi punem icircn
evidenţă d = CD (
eventual M =
CDAB)
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
43
MP
AC
MN
BC
MN
AB
PC
NB
MA
Există figuri geometrice care ldquoseamănărdquo dar care prin
suprapunere nu coincid (din cauza mărimii lor)
Figurile de mai sus se numesc asemenea Intuitiv două
triunghiuri sunt asemenea dacă seamănă adică unul dintre ele se
poate obţine din celălalt printr-o mărire sau micşorare
corespunzătoare Este evident că nu icircntotdeuna triunghiurile sunt
frumos aliniate ca icircn figura de mai sus De cele mai multe ori ele
sunt rotite răsucite inversate adică aşezate icircn aşa fel icircncacirct să ne
dea bătaie de cap şi să ne apuce un dor de iarbă verde
Ca şi relaţia de congruenţă relaţia de asemănare presupune
o corespondenţă a vacircrfurilor corespondenţă care indică perechile
de unghiuri congruente Aşadar cacircnd scriem asemănarea a două
triunghiuri trebuie să ne asigurăm că literele care sunt aşezate pe
poziţii omoloage reprezintă unghiuri congruente
Fie triunghiriel ABC şi MNP Aceste triunghiuri sunt
asemenea Ele au
Dacă icircntre două triunghiuri există o asemănare spunem că sunt
asemenea şi scriem MNPABC ~
Perechile de unghiuri (A P) (B M) (C N) şi perechile de
laturi ( AB MN) (BC NP) (AC MP) se numesc corespondente
sau omoloage
Raportul lungimilor laturilor se numeşte raport de asemănare
Dacă triunghiurile sunt egale atunci raportul de asemănare este 1
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
44
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII
O paralelă dusa la una din laturile uni triunghi formează cu
celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel iniţial
Dacă avem triunghiul ABC şi ducem paralela MN la latura
BC se formează AMNABC ~
Triunghiurile au laturile proporţionale şi unghiurile
congruente
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
45
DEMONSTRAŢIE BCMNAC
AN
AB
AMTales
NCMB (1) Fie )(BCP aicirc ABNP
Obţinem icircn mod analog egalitatea AC
AN
BC
BP (2) pe de altă parte
MNPB paralelogram BPMN (3) din (1) (2) şi (3) rezultă
AMNABC ~
OBSERVAŢII
1) Teorema asemănării completează teorema lui Thales avacircnd
aceeaşi ipoteză dar concluzia diferă referindu-se la toate laturile
triunghiurilor
2) Teorema asemănării rămacircne valabilă şi icircn cazul icircn care
segmentul MN se afla icircn exteriorul triunghiului ABC (se disting
două cazuri)
PROPRIETĂŢI
i) ABCABC ~ (reflexivitate)
ii) ABCMNPMNPABC ~~ (simetrie)
A
C
D E
P B
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
46
iii) ~~
~CBAABC
CBACBA
CBAABC
(tranzitivitate)
iv) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche
de unghiuri ascuţite congruente
v) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de
unghiuri congruente
vi) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea
vii) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea
vii) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea
viii) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea
ix) Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de
asemănare al laturilor este egal cu
- raportul bisectoarelor
- raportul icircnălţimilor
- raportul medianelor
- raportul razelor cercurilor icircnscrise
- raportul razelor cercurilor circumscrise
CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este
nevoie să verificăm toate condiţiile date la definiţia triunghiurilor
asemenea Este suficent să verificăm doar două condiţii Ca şi la
congruenţa triunghiurilor aceste teoreme se numesc criterii
CAZUL 1
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent şi
laturile care icircl formează proporţionale
CAZUL 2
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri
respective congruente
CAZUL 3
Doăa triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile
proporţionale
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
47
A
B C M
N
P
Demonstraţie luăm pe latura AC a triunghiului ABC segmentul
AD congruent cu segmentul MP
Din punctul D se duce o paralelă la latura CB Rezultă că
Δ ADE~ ΔACB conform teoremei asemănării
Pentru cazurile de asemănare vom lua pe racircnd
1PN
AB
PM
AC PA
2 MCPA
3MN
CB
PN
AB
PM
AC
APLICAŢII
1 Icircn orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi şi
lungimea icircnălţimii corespunzatoare ei este constant
Ducem icircnălţimile AM BN CPVrem să demonstrăm că
AC∙BN=CB∙AM=AB∙CP
Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN
Cealaltă egalitate se demonstrează la fel
BC şi BN sunt laturi ale triunghiului BNC
Triunghiul BNC este asemenea cu triunghiul AMC
deoarece sunt triunghiuri dreptunghice deci au un unghi drept iar
unghiul ACM este comun
Putem scrie că AM
BN
AC
BC rezultă că BC∙AM=AC∙BN
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
48
2 Determinatţi distanţa de la un observator aflat icircn punctul B de
pe mal la copacul A de pe malul celălalt
Se realizează din ţăruş conform desenului un triunghi ABC şi
un segment DE paralel cu BC astfel icircncacirct punctele A D B şi
respectiv A E C să fie coliniare
Din teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiul ABC şi
paralela DEBC avem adică AD=
Toate lungimile DE DB BC pot fi măsurate (sunt pe
acelaşi mal cu observatorul)După măsurători calculul e simplu
utilizacircnd formula de mai sus ne dă distanţa AD
3 Un vacircnător are o puşcă AB lungă de 120 m Partea
AD de la un capăt al puştii pacircnă la trăgaci este 13 din puşcă El
ocheşte o pasăre C care se află la 100 m depărtare de elDar
vacircnătorului icirci tremură macircna şi din cauza aceasta icircn momentul
cacircnd apasă pe trăgaci puşca se roteşte icircn jurul capătului A astfel
icircncacirct punctul D se ridică cu un segment DE=2 mm
Cu cacircţi m deasupra ţintei trece glonţul
AC=100m =10000cm DE=2mm=02cm
A
B
C
D
E
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
49
AB=120m=120cm AD=40cm
DE ||MC ADE~
ACM
MC=50cm=05m
4 Determinarea icircnălţimii unei piramidei cu ajutorul
umbrei (metoda a fost introdusă de Thales din Milet)
ABC~ DCE
A
B C E
D
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
50
A
B C
M
E
Teorema bisectoarei
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura
pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care
formeaza unghiul
[AE bisABC
Demonstratie
Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
CE
BE
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][)(
][][)(
sec[
)int(sec
sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAM
AC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
[)(
int)(sec
)(sec
][][
)()(
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
51
A
C
B
C A
B
Teorema lui Menelaus
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC
intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele
ABC Atunci ABACBCBACACB=1
Reciproca Daca A apartine lui BC B apartine lui CA C
apartine lui AB si daca ABC sunt situate doua pe laturi si unul pe
prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca
ABACBCBACACB=1 atunci punctele ABC sunt
coliniare
Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi
punctele MAB NBC
şi PAC astfel icircncacirct MA =
MB NB = NC PC =
PA Atunci dreptele AN
BP CM sunt concurente
dacă şi numai dacă =
Demonstraţie
Notăm O = BP AN S = MC AN Aplicăm teorema lui
Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM Se obţine
relaţia MA MB bull CB CN bull ON OA = 1 sau (ONOA) = [1α(1-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
52
β)] (1) Din teorema lui Menelau icircn triunghiul ACN şi transversala
BP obţinem BN BC bull PC PA bull SA SN = 1 de unde rezultă că
SA SN = 1 γ bull (1- 1β) (2)
Dreptele AN BP CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S
Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 γ [(β-1) β] sau
(1-β) bull (1 + αβγ) = 0
Dacă β ne 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată
Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate
Reciproca teoremei lui Ceva
ldquoDacă pe laturile [AB] [BC] [AC] se iau punctele
M N respectiv P astfel icircncacirct verifică relatia
atunci AN BP si CM sunt concurente
Demonstraţia se face prin reducere la absurd
Presupunem că AN nu trece prin O O= CPBM Fie
AOBC=Nrsquo Aplicacircnd teorema lui Ceva pentru punctele M P si
Nrsquo şi comparacircnd cu relatia din enunţ ob-inem ca N = Nrsquo
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
53
Studiul de faţă icircşi propune să evidenţieze două metode
ldquospectaculoaserdquo de calcul ariei unui pentagon(O figură geometrică
mai puţin icircntacirclnită icircn geometria plană din gimnaziu)
De menţionatcă deşi atipice metodele prezentate nu sunt deloc
sofisticate şi apeleză la foarte puţine cunoştinţe ldquotehnicerdquo
Aşadar folosind doar formula de bază pentru calcul ariei şi
anume vom rezolva trei probleme deosebite
toate bazate pe aceeaşi ideacutee din care se poate icircnvăţa foarte mult
Vom trece mai icircntacirci icircn revistă următoarele rezultate
O caracterizare a trapezelor
Icircn trapezul ABCD icircn care AB este paralelă cu CD fie O
intersecţia diagonalelor Are loc egalitatea
Este important de observat că dacă icircntr-un patrulater convex
are loc relaţia de mai sus atunci AB şi CD sunt paralele adică
ABCD este trapez sau paralelogram (1)
Un produs de arii
Se considerăm
un patrulater convex
ABCD şi să notam
cu
ariile celor patru
triunghiuri icircn care
diagonalele icircmpart
triunghiul Atunci
are loc egalitatea
(2)
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
54
Acestea fiind zise să considerăm urmatoarea problema
Fie ABCDE un pentagon convex cu propietatea că
Să se determine aria pentagonului
(problema propusă la olimpiada de matematica din Statele Unite
USAMO)
Să observăm mai icircntacirci că din egalitatea
Icircn mod similar rezultă că fiecare diagonală a pentagonului
este paralelaă cu o latura a sa
Astfel patrulaterul DEGC este paralelogram şi prin urmare
Icircn trapezul ABCE introducem notaţiile
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
55
Folosind (2) obtinem repede că
Pe de altă parte
Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilealea şi găsim
De unde deducem aria pentagonului ca fiind egală cu
Diagonalele pentagonului ABCDEF se intersectează icircn interiorul
pentagonului icircn punctele PQRS si T Se stie ca
Să se se
calculeze aria pentagonului (problema propusa la olimpiada de
matematica din Japonia1995)
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
56
Folosind din nou propietatea (1) obţinem că ABTR este trapez şi
notacircnd
[ABS]=x
Se demonstrează uşor că
Notăm acum şi rescriem egalitatea de mai
sus sub forma
Şi de aici obţinem
Acumcum x depinde doar de s avem
Pe de altă parte avem şi
Icircnlocuind şi efectuacircnd calculele rezultă că apoi
şi icircn fine
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
57
Ordquo bijuterierdquo pentru final
In interiorul triunghiului ABC se consideră punctul O Prin O se
duc trei drepte fiecare intersectacircnd cacircte două din laturile
triunghiului care determină trei triunghiuri de arii mai mici de
arii Notăm cu S aria triunghiului ABC Să se arate că
(Revista Kvant)
Cu notaţiile din figură printr-o asemănare evidentă se
demonstrează că şi folosind inegalitatea
mediilor obţinem imediat
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
58
Un pic de istorie
Noţiunea de triunghi a fost introdusă de Euclid avacircnd 23 de
definiţii şi 48 de propoziţii De-a lungul istoriei el a devenit un ring
icircn interiorul căruia s-au dat şi se dau cu fiecare generaţie bătălii
grele Deşi cel mai săracrdquo dintre poligoane el poate fi considerat
vedetărdquo a geometriei elementare
Victor Thebault(Belgia) Jacques Hadamard (Franta) Fr
Morley (SUA) fizicianul Evangelista Torricelli chiar Napoleon
Bonaparte iată cacircteva nume care au gravitat icircn jurul ABC-uluihellip
Iar dintre matematicieni romacircni Traian Lalescu Dimitrie Pompeiu
Gh Mihoc CIBujor Dan Barbilian s-au alăturat de-a lungul
anilor celor mai sus menţionaţi
Inegalităţile geometrice sunt tot atacirct de vechi ca geometria
icircnsăşiIcircn celebrele Elementerdquo ale lui Euclid există multe propoziţii
referitoare la inegalităţi icircntre laturile unui triunghi cea mai
semnificativă fiind icircntr-un triunghi suma a două laturi este
icircntotdeauna mai mare decacirct a treia laturărdquo considerată ca fiind la
baza majorităţii inegalităţilor geometrice
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
Teoremă Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180deg
Consecinţe
1) Toate unghiurile triunghiului echilateral au măsura de 60deg
2) In orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt
complementare Unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic
isoscel au măsura de 45deg
3)In orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz
Teoremă Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu
suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente
lui
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
59
Teoremă Bisectoarea interioară şi bisectoarea exterioară duse din
acelaşi vacircrf al unui triunghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
Definitie Triunghiul care are două laturi congruente se numeşte
triunghi isoscel
Teoremă Unghiurile opuse laturilor congruente ale unui triunghi
isoscel sunt congruente
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci mediana
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
icircnălţimea corespunzătoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci icircnălţimea
corespunzătoare bazei este şi bisectoarea unghiului opus bazei şi
mediana corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea bazei
Teoremă Dacă un triunghi este isoscel atunci bisectoarea
unghiului opus bazei este şi mediana corespunzatoare bazei şi
icircnălţimea corespunzatoare bazei şi este inclusă icircn mediatoarea
bazei
Observaţie In triunghiul isoscel ABC AB=AC dreapta AD care
conţine atacirct bisectoarea unghiului ltBAC cacirct şi icircnlţimea mediana
şi mediatoarea corespunzatoare laturii [BC] este axă de simetrie a
triunghiului
A
B D C
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
60
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel avrem
Teoremă Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
mediana corespunzătoare laturii opuse unghiului atunci triunghiul
este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi bisectoarea unui unghi este şi
icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi mediana corespunzatoare unei
laturi este şi icircnălţime atunci triunghiul este isoscel
Triunghiul echilateral
Definiţie Triunghiul care are toate laturile congruente se numeşte
triunghi echilateral
Teoremă Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
avacircnd măsurile egale cu 60deg
Avacircnd icircn vedere definiţia triunghiului echilateral precum şi
pe cea a triunghiului isoscel putem considera că triunghiul
echilateral este un triunghi isoscel cu oricare din laturi ca baza
Această observaţie ne conduce către proprietaăţi specifice
triunghiului echilateral
TeoremăIntr-un triunghi echilateral toate liniile importante ce
pornesc din acelaşi vacircrf coincid
Observatie Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
A
B C
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
61
Putem demonstra despre un triunghi că este echilateral şi cu
ajutorul următoarelor teoreme
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi unghiurile sunt congruente atunci
triunghiul este echilateral
Consecinţă Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de
60deg atunci el este echilateral
Teoremă Dacă un triunghi isoscel are un unghi de 60deg atunci el
este triunghi echilateral
Triunghiul dreptunghic
Definitie Triunghiul care are un unghi drept se numeşte triunghi
dreptunghic
Teoremele care urmează exprimă două proprietăţi ale
triunghiului dreptunghic ce sunt foarte des folosite icircn rezolvarea
problemelor Dea semenea demonstraţiile lor utilizează
proprietăţile triunghiurilor isoscel respectiv echilateral
Teoremă Dacă icircntr-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi
este de 30deg atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este
jumătate din lungimea ipotenuzei
Demonstraţie C
A B
D
Fie DєAC asfel icircncacirct Aє(CD) AC=AD
In triunghiul BCD [BA] este icircnălţime (din ipoteză) şi
mediană (din construcţie) deci este isoscel In plus m(ltBCA)
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
62
=60deg de unde rezultă că triunghiul BCD este echilateral Deducem
că CD=BC şi cum din construcţie AC=CD2 rezultă că AC=BC2
Teoremă Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei
Inegalităţi geometrice
Teorema care stă la baza tuturor relaţiilor de inegalitate ce
se stabilesc icircn triunghi este rdquoIntr-un triunghi la unghiul mai mare
se opune latura mai marerdquo Aceasta la racircndul ei se bazează pe
relaţia de inegalitate ce există icircntre un unghi exterior unui triunghi
şi unghiurile interioare neadiacente lui
Teorema 1(teorema unghiului exterior)
Măsura unui unghi exterior unui triunghi este mai mare
decacirct măsura oricărui unghi interior triunghiului neadiacent lui
A N
M
B C
X
Demonstratie Fie M mijlocul lui AC si NєBM astfel icircncacirct
BM=MN
Deoarece ∆ABMΞ∆CNM (LUL) rezultă că ltMABΞ
ltMCN Dar m(ltACX)= m(ltMCN)+m(ltNCX)deci
(ltACX)gtm(ltMAB)
Analog se arată că m(ltACX)gt m(ltABC)
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
63
Teorema 2(relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi)
Intr-un triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare şi
reciproc
A
M
B C
Demonstratie
Fie triunghiul ABC AB lt AC şi Mє[AC] astfel icircncacirct
AB=AD Atunci triunghiul ABM este isoscel deci
m(ltABM)=m(ltAMB) Conform teoremei 1 rezultă că
m(ltAMB)gtm(ACB) deci m(ABM)gtm(ltACB)si cum
m(ltABC)gtm(ltABM) icircin final obţinem că m(ltABC)gtm(ltACB)
Reciproc presupunem că m(ltABC)gtm(ltACB) şi arătam că
ACgtAB
Demonstrăm prin reducere la absurd adică presupunem că
ACltAB sau AC=AB Dacă ACltAB conform teoremei directe ar
rezulta că m(ltABC)ltm(ltACB) ceea ce este o contradictie
Dacă AC=AB rezultă că triunghiul ABC este isoscel deci
m(ltABC)=m(ltACB) ceea ce este o contradicţie In concluzie
rezultă că ACgtAB
Consecinţe
1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare
decacirct lungimea oricărei catete
2Fie o dreapta d şi un punct A ce nu aparţine dreptei Dintre două
oblice cu picioarele pe d inegal depărtate de piciorul
perpendicularei din A pe d oblica cu piciorul mai icircndepărtat de
piciorul perpendicularei din A pe d are lungimea mai mare
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
64
Observatie Aceste relaţii ne ajută să ordonăm după lungimile lor
unele linii importante icircn triunghi şi anume bisectoarea fată de
mediană bisectoarea faţă de icircnălţime mediana faţă de icircnălţime
Teorema 3 (relatii de inegalitate intre laturile unui triunghi)
Intr-un triunghi lungimea oricărei laturi este strict mai mică decacirct
suma lungimilor celorlalte două laturi
D
A
B C
Demonstraţie Fie triunghiul ABC Pe prelungirea laturii AB
construim AD=AC
In triunghiul isoscel ADC avem că ltADCΞltACD deci
m(ltADC)ltm(ltBCD)
Conform teoremei 2 rezultă că BCltBD Dar BD=BA+AD
şi cum AD=AC obţinem că BCltBA+AC Analog se arată că
CAltCB+BA şi ABltAC+CB
Se poate deduce condiţia necesară şi suficientă ca trei
segmente să poată forma un triunghi
Teorema 4 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă oricare dintre ele este strict mai mică decacirct suma
celorlalte două
Consecinta Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mică decacirct suma celorlalte două
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
65
Teorema 5 Trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor
unui triunghi dacă şi numai dacă oricare dintre ele este strict mai
mare decacirct modulul diferenţei celorlalte două
Demonstratie
Notam cu abc lungimile celor trei segmente Conform
consecinţei de mai sus avem că a+bgtc si a+cgtb de unde agtc-b şi
agtb-c sau agtIb-cI Analog se arată şi celelalte inegalităţi
Reciproc din agtIb-cI se obţine agtc-b şi agtb-c sau a+bgtc şi
a+cgtb Folosind şi celelalte inegalităţi icircn final obţinem că orice
număr este strict mai mic decacirct suma celorlalte două
Observatie Dacă trei puncte ABC sunt coliniare spunem că
triunghiul ABC este degenerat Intr-un triunghi degenerat exact
una din cele trei inegalităţi devine egalitate
Teorema 6 (triunghiuri care au doua laturi respectiv
congruente si unghiurile cuprinse intre ele necongruente)
Fie triunghiurile ABC şi A1B1C1 astfel icircncacirct ABΞA1B1 şi
ACΞA1C1
Atunci m(ltBAC)gtm(ltBA1C1) dacă şi numai dacă
BCgtB1C1
Aplicaţii
1Unghiurile unui triunghi ABC au măsurile m(ltA)=50deg
m(ltB)=60deg Asezaţi icircn ordine crescătoare laturile triunghiului
2Un triunghi dreptunghic ABC (m(ltA)=90deg) are m(ltB)=60deg
Comparaţi lungimile icircnălţimii medianei şi bisectoarei
corespunzatoare unghiului B
3Intr-un triunghi ABC m(ltB)=80deg şi m(ltC)=60deg Bisectoarele
unghiurilor B şi C se intersectează icircn punctul I Comparaţi
lungimile segmentelor BI şi CI
4 Triunghiul ABC are m(ltB)=100deg şi m(ltC)=20deg Inălţimile din B
şi C se intersectează icircn H Comparaţi segmentele BH şi CH
5Fie numerele a=3 si b=4 Găsiţi toate numerele naturale c astfel
ca numerele abc să poată fi lungimile laturilor unui triunghi
6Să se arate că pentru orice punct M din interiorul triunghiului
ABC au loc inegalităţile
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
66
i)MB+MCltAB+AC
ii)pltMA+MB+MClt2p
7Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii BC Să se arate că
m(ltBAD)gtm(ltCAD) dacă şi numai dacă ACgtAB
8Să se arate că dacă abc sunt lungimile laturilor unui triunghi
atunci cu segmentele de lungimi se poate construi un
triunghi
9In triunghiul ABC să se arate că are loc inegalitatea
60degle lt90deg
Ringul cu trei colturirdquo
ORIZONTAL
1) Suma lungimilor tuturor laturilor unui triunghi
2) Punctul lor de intersecţie este centrul cercului circumscris unui
triunghi
3) Triunghiul cu două laturi congruente
4) Icircntr-un triunghi dreptunghic este latura cea mai lungă
5) Punctul de intersecţie al icircnălţimilor unui triunghi
6) Triunghiul cu un unghi drept
7) Triunghiul isocel cu un unghi de 60deg
8) Segmentul care uneşte un vacircrf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse
9) Icircn orice triunghi helliphelliphelliphelliphellip măsurile unghiurilor este 180deg
10)Perpendiculara dintr-un vacircf al triunghiului pe latura opusă
VERTICAL
1) Poligonul cu trei laturi
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
67
1
6
4
3
5
7
9
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
68
GEOMETRICE
ORIZONTAL
1) Suma măsurilor acestor unghiuri este 180
2) Amabilhellip pe jumătate segmental ce uneşte vacircrful triunghiului
cu mijlocul laturii opuse
3) O bucatărdquo de cerc unghiul avacircnd măsura egală cu a
suplementului său segmental cu capetele C si D
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
69
4) Punctul lor de intersecţiese numeşte ortocentru după aceea
5) Straiul oii faţă cu capul icircn nori
6) Compoziţie musical- dramatică icircn care replicile cantata
alternează cu cele vorbite GC + ICT 100
7) Notă muzicală legarea a două sau a mai multe conducte
electrice
8) Soluţe pentru lipit avantaj articol nehotăracirct
9) Dacircnşii solicit SECTEhellip amestecate
10) Două drepte intersectate de o secant formează unghiuri
helliphelliphelliphelliphellip interne unghiul format de semidreptele [NC şi [NE
11) Instrument muzical de suflat icircn formă de tub cu găuri şi
clape navă mică folosită pentru călătorii de plăcere
12) Formă de organizare icircn societatea primitivă prefix pentru
perpendicularitate
13)Semidreaptă cu originea icircn vacircrful unghiului ce icircmparte unghiul
icircn două unghiuri congruente olimpic
VERTICAL
1) Scaunul călăreţului triunghiul cu două laturi congruente tub
avocalic
2) Omenos extremităţile axei de rotaţie a Pămacircntului icircnmulţit
3) Drepte coplanar a căror intersecţie este mulţimea vidă prăpastie
4) Limpede mulţimea literelor din care este format cuvacircntul
COLIBE
5) Putem la final CENT răsturnat ite icircncurcate
6) Dreaptă perpendicular pe segment icircn mijlocul acestuia OLT pe
maluri
7) Pătratul cu vacircrfurile EDR şi M ANTERIOR icircncurcat la sfacircrşit
8) NIE 100+ IN EUROPA(abrev) pronume posesiv
9) Perechea caprei era mezozoicăhellip la final(masc)SENIOR
sărăcit de consoane
10) De la Polul Sud
11) ORA la final Pacircinea pe la noi prefix pentru egalrdquo
12) Segemente cu lungimi egale
13) Unghiuri cu o latură comună iar celelalte două situate icircn
semiplane diferite determinate de dreapta suport a laturii comune
formează scheletul(sg)
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-
70
BIBLIOGRAFIE
1 VECHI ŞI NOU IcircN MATEMATICĂ Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1978 pag37
2 CUM AU APĂRUT NUMERELE Autor Viorica T
CAcircMPAN editura Ion Creangă ndash 1972 pag6 34-4352-53 57-59
3 DIN ISTORIA MATEMATICII Autor IDEPMAN
editura ARLUS ndash 1952 pag74-75 86-87
4 MISTERELE MATEMATICII Autor Jhonny BALL
editura LITERA INTERNAŢIONALĂ
5 ARITMETICĂ ALGEBRĂ (vol I şi II ) Autori Dan
Bracircnzei Dan Zaharia şa editura Paralela 45 2007
6 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Autori M
Rado A Coţa şa Editura Didactică şi pedagogică Bucureşti
1986
7 VARIATE APLICAŢII ALE MATEMETICII Autori
F Cacircmpan Editura Ion Creangă Bucureşti 1984
8 DICŢIONAR ILUSTRAT DE MATEMATICĂ Autor
Tori Large Editura Aquila 2004
9 ARII Autor Bogdan Enescu Gil2006
10 MATHEMATICAL OLZMPIAD TREASURE Autori
Titu Andreescu Bogdan Enescu Birhhauser 2004
11 Colectia revistei Kvant
- Unitati_de_lungime
- Unitati_de_suprafata
- Unitati_de_volum
- Capacitati
- Unitati_de_greutate
-