Ministerul Educaiei i Cercetrii tiinifice Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2015 Proba E. c)

Matematic M_mate-info Varianta 3

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Calculai raia progresiei aritmetice ( ) 1n na , tiind c 1 1a = i 2 2015a = . 5p 2. Determinai valoarea maxim a funciei [ ]: 1,4f , ( ) 1f x x= + . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( )23 3log 8 log 9x x = . 5p 4. Determinai cte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulimii

{ }1, 2, 3, 4A = . 5p 5. n reperul cartezian xOy se consider punctele ( )3,3A , ( )6,3B i ( )4,0C . Determinai

coordonatele punctului D , tiind c ABCD este paralelogram.

5p 6. Calculai lungimea laturii BC a triunghiului ABC n care 1AB = , 3

B pi= i 6

C pi= .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consider matricele 3

1 0 00 1 00 0 1

I

=

, 3

0 0 00 0 00 0 0

O

=

i ( )1 10 1 20 0 1

a a

A a a+

= +

, unde a este

numr real. 5p a) Artai c ( )( )det 1 1A = . 5p b) Determinai numerele reale a , tiind c ( ) ( )2 3 32A a A a I O + = , unde ( ) ( ) ( )2A a A a A a= . 5p c) Artai c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 100 50 51A A A A A+ + + + = .

2. Se consider polinomul 3 24 2f X X mX= + + , unde m este numr real. 5p a) Artai c ( )0 2f = . 5p b) Determinai numrul real m pentru care 1 2 3x x x= + , unde 1x , 2x i 3x sunt rdcinile

polinomului f . 5p c) Pentru 8m = , artai c polinomul f nu are toate rdcinile reale.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider funcia :f , ( ) ( )2 6 9xf x e x x= + .

5p a) Artai c ( ) ( )2' 4 3xf x e x x= + , x . 5p b) Determinai intervalele de monotonie a funciei f . 5p c) Demonstrai c ( )23 4xe x e , pentru orice ( ], 3x .

2. Pentru fiecare numr natural nenul n , se consider numrul ( )1 30

1n

nI x dx= .

5p a) Artai c 134

I = .

5p b) Artai c 1n nI I+ , pentru orice numr natural nenul n .

5p c) Demonstrai c ( )1 3 13 4n nn

I In

++

=

+, pentru orice numr natural nenul n .