MATEMATICA APLICATĂ ÎN MANAGEMENTUL COMPETITIVITĂŢII – C1 Modelarea şi optimizarea...

8/17/2019 MATEMATICA APLICATĂ ÎN MANAGEMENTUL COMPETITIVITĂŢII – C1 Modelarea şi optimizarea sistemelor de producţie

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicata-in-managementul-competitivitatii-c1-modelarea-si 1/13

MATEMATICA APLICATĂ ÎN MANAGEMENTUL COMPETITIVITĂŢII – C1Modelarea şi optimizarea itemelor de prod!"#ie

1$1$ I%trod!"ere &% modelare

Metodele matematice de modelare aparţin cercetării operaţionale. Cercetarea operaţională

se utilizează în diverse organizaţii şi sisteme, în managementul acestora. Se consideră căcercetarea operaţională a apărut şi s-a dezvoltat în timpul celui de-al doilea război mondial, dar primele sale rădăcini sunt mult mai vechi. Între cele două războaie mondiale tehnica militară s-adezvoltat mult mai repede dect tactica şi strategia. În timpul celui de-al doilea război mondialgermanii au început atacul aerian asupra !ngliei, iar conducătorii militari englezi au ceruta"utorul oamenilor de ştiinţă pentru a se apăra mai bine. #na dintre problemele ce s-au cerutoamenilor de ştiinţă a $ost să a"ute la o utilizare e$icientă a radiolocatoarelor care erau nouapărute. S-au $ormat mici echipe interdisciplinare de cercetători din diverse domenii ale ştiinţeiataşate unui o$iţer care aparţinea de sectorul operaţiilor de luptă. !ceastă e%perienţă pozitivă a$ost preluată şi de ceilalţi aliaţi& S#!, 'ranţa, Canada. !ceastă activitate a primit denumirea decercetare operaţională (operational research) în !nglia şi diverse alte denumiri în S#!& analiză

operaţională (operational anal*sis), evaluarea operaţiilor (operations evaluation), cercetareaoperaţiilor (operations research), ştiinţa conducerii (management science), analiza sistemelor (s*stems anal*sis). S-a impus termenul de cercetare operaţională (operational research).

+upă terminarea războiului, o parte dintre specialiştii în cercetarea operaţională au părăsit armata şi au început să activeze în industrie sau în universităţi. Succesele obţinute prinutilizarea cercetării operaţionale în domeniul militar şi în industrie, precum şi dezvoltareacalculatoarelor, au dus la răspndirea şi dezvoltarea sa în întreaga lume.

S-au dat de$iniţii cercetării operaţionale, acceptate sau nu, sau e%istă păreri că nu poate $ide$inită. Se aminteşte totuşi că cercetarea operaţională reprezintă aplicarea metodelor ştiinţi$icede către o echipă interdisciplinară la studiul problemelor legate de conducerea sistemelor organizate cu scopul obţinerii unor soluţii care să servească ct mai bine interesele organizaţiei înansamblu.Cercetarea operaţională a $ost introdusă ca şi disciplină de studiu în tot mai multe universităţi

din lume, inclusiv din omnia, avnd un rol important în pregătirea managerilor,matematicienilor, in$ormaticienilor, inginerilor economişti, inginerilor, economiştilor,sociologilor.

rin or'a%iza#ii se înţeleg diversele entităţi socio-tehnice ($irme, instituţii civile, armata,şcoli etc.).

%istă multe de$iniţii ale conceptului de sistem. +e$iniţia dată de /. !. 0adeh, careconsideră că item!l este& 1un ansamblu de elemente legate între ele prin $orme de interacţiunesau interdependenţă 1. (item!l este o reunire de elemente care interacţionează între ele şi care

$uncţionează în scopul realizării unui obiectiv comun.2rice sistem are o structură, are& intrări în sistem, ieşiri din sistem, procese care trans$ormăintrările în sistem în ieşiri. #n sistem este $ormat din subsisteme şi aparţine unui sistem maicuprinzător. Mecanismul trans$ormării intrărilor în ieşiri poate $i descris cu a"utorul $uncţiilor detrans$er, care au diverse $orme, particulare, după natura sistemului. Sistemul devine ciberneticatunci cnd apare reglarea (cone%iunea inversă, $eedbac3-ul), adică o intervenţie asupra intrărilor în scopul menţinerii ieşirilor la nivelul unor parametri-obiectiv doriţi.Cteva principii ale teoriei sistemelor&a) orice sistem este alcătuit din elemente sau părţi interdependente, acţionnd în comun învirtutea unui scop, a unui obiectiv4

b) ansamblul legăturilor între elementele sistemului, precum şi al legăturilor cu întregul,$ormează structura sistemului4c) comple%itatea sistemelor depinde mai mult de structura sistemului dect de natura părţilor

5



sale4d) două sisteme cu structuri parţial identice se numesc homomor$e, iar sistemul mai simplu vaconstitui un model al sistemului homomor$ mai comple%4e) două sisteme homomor$e vor avea un comportament asemănător, de unde rezultă

posibilitatea de studiu a proprietăţilor sistemelor reale prin modelare şi simulare4$) structura unui sistem, adică structura sa statică, pree%istă comportamentului său, deci dinamicii

sistemului4g) mişcările într-un sistem se realizează prin $lu%uri presupuse concrete şi continue4h) într-o unitate economică toate categoriile de mişcări pot $i grupate în următoarele tipuride $lu%uri interconectate& 5) $lu%uri materiale4

6) $lu%uri de comenzi47) $lu%uri băneşti48) $lu%uri umane49) $lu%uri de echipamente4:) $lu%uri in$ormaţionale4

i) $lu%ul in$ormaţional are un rol central în $uncţionarea sistemelor4

") procesele decizionale sunt considerate şi ele ca avnd un rol central în mecanismul sistemelor4ele sunt presupuse a $i discontinue43) reglarea este un element caracteristic al $uncţionării sistemelor4

(item!l de prod!"#ie este constituit din totalitatea elementelor $izice, naturale şiarti$iciale, conceptelor (teorii, metode, reguli), e%perienţei şi îndemnării, ast$el organizate înctsă rezulte capacitatea de realizare a unor scopuri prestabilite, derivate din obiectivele economico-sociale.

#n sistem de producţie trans$ormă, în principiu, într-o perioadă de timp anumite intrări($orţa de muncă, substanţă, energie, in$ormaţie) în ieşiri de tip produse, servicii, in$ormaţii despre

produs sau serviciul realizat, deşeuri. ;rans$ormarea este orientată spre realizarea unor obiectivede producţie prestabilite de om şi implică procese de muncă speci$ice, în care oamenii actioneazăcu a"utorul mi"loacelor de muncă (unelte, echipamente, maşini, aparate, recipiente, clădiri etc.)asupra obiectelor muncii (materiale naturale sau obiecte $abricate, energie, in$ormaţie), obţinndca rezultate dorite produsele (bunuri materiale) sau serviciile (activităţi utile ce satis$ac oanumită nevoie socială), iar ca rezultate nedorite deşeurile (resturi ce nu mai pot $i valori$icate încadrul sistemului de producţie care le-a realizat) şi elemente poluante.

;impul, intrările sistemului de producţie şi mi"loacele de muncă, considerate sub aspect potenţial, $ormează re!rele sistemului de producţie.

roblemele re$eritoare la )l!*!rile materiale pot $i încadrate în logistică şi pot $irezolvate cu metode ale cercetării operaţionale. 'lu%ul material se re$eră la circulaţia continuă(pe un anumit orizont de timp) a materialelor, materiei prime, semi$abricatelor sau produselor

$inite în succesiunea operaţiilor tehnologice, de aprovizionare sau de distribuţie. /ogisticastudiază probleme legate de transportul, livrarea la termenul solicitat cu costuri minime acantităţii de produse comandate, depozitarea acestora, deci probleme de aprovizionare, transport,distribuţie, aşteptare, stocuri, depozitare, control. Se poate discuta de logistica internă saulogistica producţiei pentru activităţi logistice din interiorul $irmei şi logistica e%ternă care sere$eră la activităţi logistice din e%teriorul $irmei (logistica aprovizionării şi logistica distribuţiei).

Modelarea şi optimizarea se vor re$eri la sisteme, subsisteme sau elemente ale acestora.

rin optim se înţelege cel mai bun sau $oarte bun. 2ptimizarea reprezintă alegerea şiaplicarea soluţiei optime dintre mai multe posibile.

Cuvntul model este utilizat în viaţa de zi cu zi, în vorbirea curentă, avnd mai multe

înţelesuri, cum ar $i& modele în modă, modele în artă, modele în ştiinţă şi în tehnică. În domeniulştiinţei prin model se înţelege un sistem teoretic sau material cu a"utorul căruia se pot studia

6



indirect proprietăţile şi evoluţia unui sistem mai comple% care este considerat sistem original,$aţă de care modelul prezintă o anumită analogie.

#n model este o reprezentare simpli$icată sau abstractizată a realităţii. !desea în practicăeste di$icil a se obţine simultan caracteristici simpli$icate şi reprezentative ale realităţii studiate.Model!l este un sistem teoretic (logico - matematic) sau material cu a"utorul căruia pot $istudiate indirect proprietăţile şi $uncţionarea unui alt sistem mai comple% (sistemul original), cucare modelul prezintă o anumită analogie. Modelele constituie reprezentări ale realităţii.

!legerea unor modele şi metode matematice se $ace $uncţie de condiţiile concrete ale$irmei , de in$ormaţiile ce se pot colecta şi procesa în timp util, de costul acestora, de putereaconcurenţilor, pentru a obţine avanta"ul concurenţial. 'olosirea modelelor matematice, ametodelor de optimizare şi a tehnologiei in$ormaţiei în managementul şi activitatea $irmei duc lacreşterea e$icienţei sale, la avanta"ul competitiv al costurilor "oase şi a calităţii mai bune a

produselor o$erite pieţei.

#n model este caracterizat de următoarele elemente&

5) este o imagine incompletă a unei realităţi e%istente sau care urmează să $ie construită4

6) trebuie validat prin criteriul practicii în vederea determinării gradului sau de utilitate şia aplicării sale (cu e%cepţia celor care simulează consecinţele de$avorabile)4

7) este utilizat în vederea previzionării comportării în di$erite situaţii a procesului pe careil simulează.

Se vor prezenta cteva pri%"ipii ale model+rii matemati"e a pro"eelor e"o%omi"e$

5. 2rice model se bazează pe o teorie economică creată în prealabil pentru a e%plica procesul modelat, iar parametrii cu care operează sunt, de regulă, categorii economice sau laturiale acestora.

6. Modelele $ac abstracţie de o serie de laturi şi particularităţi ale procesului re$lectat,

menţinndu-şi însă rolul cognitiv. <zomor$ismul modelelor (identitatea cu realitatea) nu este ocondiţie absolut obligatorie pentru ca un obiect sa $ie modelul altui obiect.

7. Modelul e%primă similitudinea nu numai a unui proces economic izolat, ci a uneiîntregi clase de asemenea procese, ast$el înct orice model este o generalizare, o sinteză de unanumit grad. Cu ct aria proceselor reprezentate prin model este mai mare, cu att gradul degeneralizare şi de sinteză al acestuia este mai important.

8. #n model nu poate $i construit $ără a se apela la un sistem de simboluri, care potreprezenta categorii economice şi care nu se suprapun peste al$abetul curent sau ci$rele utilizateîn calcule.

Se vor analiza cteva "lai)i"+ri ale modelelor$

1$ +upă %at!ra )izi"+ a eleme%telor model!l!i, e%istă trei tipuri $undamentale demodele& iconice, fizice-analogice şi matematice sau simbolice.

#n model iconic este identic în mic sau în mare cu obiectul pe care îl reprezintă, dee%emplu, modelul unui avion sau al unei maşini (redus la scară) sau modelul unui atom (mărit lascară).

#n model fizico- analogic înlocuieşte o proprietate cu alta, iar problema este rezolvată înstarea substituentă şi apoi soluţia obţinută este raportată la dimensiunile sau proprietăţileoriginalului.

Modelele matematice sau simbolice sunt modele abstracte şi generale, $iind constituitedin relaţii şi $uncţii matematice.

7



,$ În $uncţie de pro-a-ilitatea "a !% eleme%t + apar#i%+ a! %! !%ei m!l#imi şi a'rad!l!i de aparte%e%#+ a !%!i eleme%t la o m!l#ime, modelele matematice sunt&deterministe, stochastice şi fuzzy (vagi).

Modelele deterministe sunt caracterizate de variabile şi relaţii sigure, realizabile cu probabilitatea 5, se cunosc e%act.

În modelele stochastice (probabilistice) unele variabile ce descriu procesul studiat suntvariabile aleatoare, deci variabilele iau anumite valori cu anumite probabilităţi.

Modelele fuzzy (vagi) $olosesc matematica $uzz*, avnd variabile care nu se potcaracteriza nici e%act (determinist) şi nici în probabilitate, putndu-se $ace aprecieri calitativeasupra valorilor pe care le iau. Se pune problema deosebirii între aleator (stochastic) şi $uzz*(vag). 'enomenul aleator rezultă din nesiguranţa în ceea ce priveşte apartenenţa sauneapartenenţa unui element la o mulţime, e%istnd di$erite probabilităţi. În cazul unui $enomende natură $uzz* (vag) e%istă grade de apartenenţă între apartenenţa şi neapartenenţa unui elementla o mulţime şi nu se bazează pe principiul terţiului e%clus din logica matematică bivalentă.'enomenele $uzz* au la bază logica $uzz* care este o logică continuă şi care generalizează logica

bivalentă şi logicile n-valente care sunt discrete.

.$ +upă %at!ra /aria-ilelor0 e%istă modele discrete şi modele continue. Modele se potclasi$ica şi în $uncţie de tip!l item!l!i pe care îl reprezintă. Într-un model, starea unui sistem

poate $i de$inită de variabilele de stare de natură deterministă sau probabilistă. =ariabilele destare pot descrie un sistem în orice moment al $uncţionării sale. În $uncţie de modul în care stareasistemelor se poate schimba, sistemele se clasi$ică în sisteme continue şi sisteme discrete, decie%istă modele ale sistemelor continue şi modele ale sistemelor discrete. #n sistem este continuudacă starea sistemului (variabilele de stare) se modi$ică continuu în timp, sunt numere reale. #nsistem este discret dacă starea sistemului se modi$ică la anumite momente discrete de timp, care

pot $i puse în corespondenţă cu mulţimea numerelor naturale, care nu sunt în mod necesar egale.$ În $uncţie de importanţa timpului în analiza rezultatelor, modelele pot $i statice sau

dinamice Modelul este considerat static dacă, din punct de vedere al analizei, este important numai

rezultatul $inal şi nu modul în care se modi$ică sistemul în timp. +e e%emplu, multe modele$inanciare descriu situaţia $inanciară a unei organizaţii sau a unei persoane $izice la s$rşitul unei

perioade de timp. Modelul este considerat dinamic dacă, din punct de vedere al analizei, este important

modul în care se modi$ică sistemul în timp.În realitate, toate sistemele sunt dinamice. Cu toate acestea multe probleme nu necesită luarea înconsiderare a aspectelor dinamice. rin urmare, dacă o problemă de modelare este dinamică saustatică depinde de întrebările pentru care se aşteaptă un răspuns.2$ +upă o-ie"t!l "er"et+rii şi %i/el!l de tr!"t!r+, de grupare a entităţilor studiate, e%istămodele microeconomice şi modele macroeconomice. +eci, după întinderea domeniului studiat,modelele care descriu realitatea economică pot $i&

- modele macroeconomice > sunt cele care se re$eră la economia naţională, la o ramură, osubramură sau la economia unui teritoriu mare& o regiune, un "udeţ, o anumită zonă industrială,sau agricolă etc.4 - modele microeconomice > sunt la nivel de $irmă, de întreprindere, uzină, combinat etc.

Optimizarea se poate $ace, în $uncţie de problema concretă de rezolvat, în una dinurmătoarele două variante&

- rincipiul ma!imizării rezultatelor , adică realizarea ma%imă a unui obiectiv în condiţiileutilizării resurselor disponibile, relaţiile (5)4

- rincipiul minimizării consumului de resurse, adică realizarea obiectivului cu utilizarea aminimum de resurse alocate, relaţiile (6).

8



Matematic, prima variantă se e%primă prin ma%imizarea $uncţiei obiectiv ca in (5), iar adoua variantă prin minimizarea $uncţiei obiectiv ca in (6), dar nu se optimizează simultan ambelevariante.

+upă %at!ra model!l!i matemati" optimizarea poate $i&

- optimizare deterministă - se foloseşte c"nd toate elementele modelului matematic sunt certe,

sigure, realizabile cu probabilitatea #$- optimizare stochastică > se utilizează cnd modelul matematic cuprinde elemente care iauanumite valori cu anumite probabilităţi, deci cuprinde cel puţin o variabilă aleatoare4

- optimizare fuzzy - se $oloseşte cnd modelul matematic are elemente care prezintă diversegrade de apartenenţă la o mulţime, utiliznd matematica $uzz*

Modelele matematice sunt constituite dintr-un sistem de relaţii matematice întrevariabilele sistemului sau procesului modelat, cu sau $ără restricţii.

Modelarea şi optimizarea sunt legate de rezolvarea unor probleme apărute în organizaţia,în sistemul studiat. rin problemă se înţelege o di$icultate, o situaţie di$icilă, care nu poate $idepăşită automat şi presupune o cercetare, o rezolvare, ştiinţi$ică sau empirică.

2 problemă are în structura sa trei componente& baza, generatorul (geneza) şi soluţia.

%aza unei probleme se constituie din in$ormaţiile şi cunoştinţele e%istente relativ ladomeniul în care este $ormulată problema care pot apărea sub di$erite $ormulări în conţinutul

problemei, dar nu sunt puse sub semnul întrebării şi nu $ac obiectul cercetării. &eneratorul

(geneza) unei probleme cuprinde mulţimea cauzelor care au determinat apariţia problemei, iar dintre acestea una (sau cteva) este principală, iar altele sunt secundare. 'oluţia problemei poatee%ista sau nu, poate lipsi temporar sau de$initiv (dacă problema este insolvabilă).

entru e%istenţa unei probleme, sunt necesare cteva condiţii&

- trebuie să e%iste un individ interesat în rezolvarea problemei în anumite condiţii4

- la dispoziţia individului interesat trebuie să e%iste cel puţin două posibilităţi,(strategii) de acţiune, dintre care se alege una4

- trebuie să e%iste cel puţin două rezultate posibile ca urmare a alegerii $ăcute, iar unuldintre rezultate trebuie să $ie pre$erabil celorlalte şi reprezintă obiectivul ce trebuieatins4

- posibilităţile de acţiune ale individului interesat au şanse di$erite de a-şi atingeobiectivul.

roblema e%istă, dacă aceste condiţii sunt satis$ăcute şi individul interesat nu ştie carestrategie este mai bună, deci va dori rezolvarea ei.

?oţiunea de problemă are două aspecte în tratare& aspectul psihologic al problemei (actul întrebării) şi aspectul lingvistic (modalitatea de e%primare a întrebării într-un limba"). !spectul psihologic al problemei se re$eră la $aptul că $ormularea acesteia

presupune delimitarea clară în timp şi spaţiu a componentelor situaţiei decizionale a$erente,e%istnd în structura problemei decizionale&

- variantele (strategiile) de acţiune care reprezintă căile de rezolvare a problemei date4

- criteriile de decizie care cuprind regulile după care va $i aleasă una dintre variantele(strategiile) de acţiune4

- stările naturii în conte%tul cărora se des$ăşoară procesul analizat4

- consecinţele acţiunilor reprezintă rezultatele anticipate ale implementării variantelor (strategiilor) de acţiune în di$erite stări ale naturii.

9



%primarea clară şi precisă a unei probleme presupune $ormularea ei ca o propoziţieinterogativă, ca întrebare, iar întrebarea reprezintă $orma lingvistică naturală şi directă dee%primare a unei probleme. 2 problemă trebuie $ormulată corect şi să $ie delimitată de alte

probleme cu care este în interdependenţă pentru a putea $i rezolvată. 2 problemă este bine

formulată dacă este bine concepută (nici o ipoteză să nu $ie $alsă) şi bine enunţată. Se spune că o problemă bine enunţată este pe "umătate rezolvată.

ezolvarea unei probleme de optimizare poate $i structurată în etapele&

- $ormularea (enunţul) problemei4- construcţia modelului matematic4- obţinerea soluţiei optime4- testarea modelului şi a soluţiei optime4- implementarea şi actualizarea soluţiei optime.

1$ ,$ (im!lare

(im!larea este o e%perimentare pe model. (im!larea este o tehnică de realizare ae%perimentelor cu calculatorul, care implică utilizarea unor modele matematice şi logice caredescriu comportarea unui sistem real (sau a unor componente ale sale) de-a lungul unei perioademari de timp.

%istă două variante ale simulării& simularea Monte Carlo şi simularea de tip "oc.

Simularea Monte Carlo este o tehnică de simulare legată mai mult de probleme cucaracter aleator, dar se utilizează şi la rezolvarea unor probleme deterministe care nu pot $irezolvate uşor prin metode deterministe.

Simularea de tip "oc se re$eră la acele situaţii care se caracterizează printr-un con$lictîntre anumiţi parteneri sau între om (care trebuie să ia anumite decizii) şi natură (care îi o$erăomului mai multe variante urmnd ca el să o aleagă pe cea mai convenabilă).

Cuvntul 1 simulare 1 este de origine latină, provenind de la 1 simulatio 1, care înseamnăcapacitatea de a reproduce, reprezenta sau imita ceva. +upă construirea modelului de simulare,simularea în sine, ca e%periment pe model, constă în a varia diversele caracteristici ale sistemului(valorile variabilelor, ale parametrilor de intrare) şi a deduce pe baza modelului, ca rezultat alcalculelor, e$ectele lor asupra altor caracteristici ale procesului (variabile de ieşire). În

problemele de simulare trebuie generate numere aleatoare şi variabile aleatoare a căror calitatetrebuie testată.

Simularea poate $i aplicată att în studiul sistemelor statice ct şi dinamice precum şi în studiulsistemelor discrete ct şi continue.În cazul sistemelor statice stochastice se aplică simularea Monte Carlo, iar în cazul sistemelor stochastice dinamice se poate alege dintre simularea evenimentelor discrete sau simulareacontinuă.Modelarea şi simularea sunt necesare atunci când experimentarea directă pesistemul real nu este posibilă sau recomandabilă. Simularea poate f defnităca un proces prin care se construieşte un model al unui sistem real şi serealizează experimente cu acest model în scopul înţelegeriicomportamentului sistemului sau evaluării dieritelor strategii pentrusistemul analizat.

Se apelează la simulare deoarece ea permite imitarea a ceea ce se

întâmplă într-un sistem real sau a ceea ce se preconizeaz pentru un sistemcare este în stadiul de proiect. !atele de ieşire obţinute prin simulare pot fconsiderate ca rezultate care ar f putut f urnizate de sistemul real. "rin

:



simulare# este posibil să se construiască un model al unui sistem sau procesără ipotezele impuse de modelele analitice $de exemplu în teoria frelor deaşteptare soluţiile analitice se obţin în ipoteza că intrările şi ieşirile dintr-unsistem de servire sunt caracterizate prin distribuţia de probabilitate "oisson%.&n comparaţie cu modelele de optimizare# modelele de simulare sunt'executate( şi nu rezolvate# deci# find dat un anumit set de intrri şi

caracteristici ale modelului# el este executat pentru a se observacomportamentul sistemului pe care îl reprezintă. Modifcarea intrărilor şicaracteristicilor modelului se structurează în mai multe scenarii care suntevaluate prin simulare.

1$ .$ Al'oritmi

Cuvntul algoritm provine din @al-AhoBrizmî , adică din oraşul AhoBrizm , în prezent acest oraş se numeşte Ahiva şi se a$lă în #zbechistan, unde un autor persan, !bu DaE $ar Mohammed ibn Mus al-AhoBrizmî , a scris o carte de matematică în sec.=<<< > <F ,cunoscută în traducere în limba latină @ !lgorithmi de numero indorum. !utorul persan şi

matematicienii din vul Mediu înţelegeau prin algoritm o regulă pe baza căreia se e$ectuaucalculele aritmetice.

#n algoritm este o secvenţă de paşi care trans$ormă mulţimea datelor de intrare îndatele de ieşire, rezultatele dorite.

#n algoritm este o mulţime de reguli ce se pot aplica în cadrul procesului deconstrucţie a soluţiei şi pot $i e%ecutate $ie manual, $ie de o maşină.

#n algoritm pentru o problemă dată este o mulţime de instrucţiuni care garanteazăgăsirea unei soluţii corecte pentru orice instanţă a problemei, într-un număr $init de paşi(iteraţii).

rin algoritm se înţelege o metodă generală de rezolvare a unui anumit tip de problemă, metodă ce se poate implementa (programa) pe calculator. !lgoritmii pot opera nunumai cu numere, deşi istoric aşa au apărut, e%istnd algoritmi algebrici şi algoritmi logici. #nalgoritm este compus dintr-o mulţime $inită de paşi, $iecare necesitnd una sau mai multeoperaţii. #n algoritm trebuie să se termine după un număr $init de operaţii, într-un timprezonabil de lung.

!lgoritmii de prelucrare sunt legaţi de operaţiile e$ectuate asupra structurilor de date.Gndirea algoritmică s-a trans$ormat şi dezvoltat, dintr-un instrument matematic particular,într-o modalitate $undamentală de abordare a problemelor în domenii care aparent nu au nimiccomun cu matematica, de e%emplu, chiar şi o reţetă culinară este în esenţă un algoritm.Conceptul de algoritm se utilizează în toate domeniile. #niversalitatea gndirii algoritmice esterezultatul cone%iunii dintre algoritm şi calculator.

Propriet+#ile !%!i al'oritm - !lgoritmul trebuie să posede date de intrare (input data).- !lgoritmul trebuie să $urnizeze date de ieşire (output data).- +eterminismul algoritmului (la e%ecutarea oricărui pas, trebuie să cunoaştem

succesorul acestuia).- Corectitudinea datelor de ieşire (a rezultatelor) în raport cu datele de intrare.- 'inititudinea algoritmului (pentru orice mulţime de date de intrare posibilă a

problemei, soluţia este obţinută într-un număr $init de paşi).- $icienţa algoritmului ($urnizarea soluţiei trebuie să $ie realizabilă prin consumul

e$icient al resurselor timp, spaţiu etc.).- Generalitatea algoritmului (algoritmul este aplicabil unei clase de probleme, cele

ale căror date de intrare satis$ac anumite condiţii).Succesiunea coerentă de operaţii logice şi aritmetice conduce la algoritmizarea unei problemeeconomice. !lgoritmii pot $i& e%acţi, apro%imativi şi euristici.

H



Se vor analiza cţiva algoritmi utilizabili în diverse sisteme in$ormatice.

1$ ivide et impera

2 clasă importantă de algoritmi sunt algoritmii divide et impera care se utilizeazăast$el&- se descompune cazul ce trebuie rezolvat într-un număr de subcazuri mai mici

ale aceleiaşi probleme4- se rezolvă succesiv şi independent $iecare caz4- se $ace recompunerea soluţiilor ast$el obţinute pentru a găsi soluţia cazului

iniţial.,$ Căutarea binară (Căutarea într-un vector ordonat)

2 aplicaţie a metodei divide et impera este căutarea binară care în principiu estealgoritmul după care se caută un cuvnt într-un dicţionar sau un nume în cartea de tele$on.

Se consideră un tablou ;5 , ;6 , I, ;n ordonat crescător şi % un element oarecare.roblema constă în a-l găsi pe % în tabloul ;, iar dacă nu se a$lă acolo în a găsi poziţia unde poate$i inserat. +eci, se caută indicele i, 5 ≤ i ≤ n , şi ;i ≤ % J ;iK5 . Cea mai simplă metodă decăutare este căutarea secvenţială. entru a mări viteza de căutare, metoda divide et impera

impune să-l căutăm pe % $ie în prima "umătatea a tabloului ;, $ie în cea de a doua. Se compară %cu elementul din mi"locul tabloului şi se decide în care dintre "umătăţi se va căuta. 'ie ; 3

elementul din mi"loc al şirului. +acă F L ;3 , atunci elementul a $ost găsit, dacă F≠ ;3 , atunciel trebuie căutat în prima "umătate dacă F J ;3 , respectiv în a doua "umătate dacă F ;3 . Serepetă recursiv procedeul.

7. %actracing !lgoritmii Nac3trac3ing (în limba engleză, bac3 L înapoi , trac3 L a urmări) construiesc

soluţia pas cu pas, iar dacă pentru o valoare alesă se constată că nu se a"unge la soluţie, serenunţă la ea şi se reia căutarea de la pasul precedent. Metoda Nac3trac3ing îmbunătăţeştecăutarea e%haustivă, dar totuşi timpul său de e%ecuţie creşte e%ponenţial, iar din această cauzămetoda este utilizată numai atunci cnd nu e%istă o metodă mai e$icientă de rezolvare a

problemei8. *lgoritmi &reedy !lgoritmii Greed* (în limba engleză, greed* L lacom) determină în general un optim

local sau o soluţie relativ bună, suboptimală, într-un timp mai scurt dect rezolvarea aceleiaşi probleme cu un algoritm bac3trac3ing. #n algoritm greed* construieşte soluţia pas cu pas, la$iecare pas se alege cel mai bun candidat posibil după ce se $ace evaluarea tuturor din acelmoment, dar nu $ace reveniri ca în cazul algoritmilor bac3trac3ing. ezolvarea problemelor cuun algoritm greed* este mai e$icientă dect cu algoritmii bac3trac3ing şi căutarea e%haustivă,.Comple%itatea unui algoritm greed* este polinomială. #n algoritm greed* este un algoritmiterativ nerecursiv

9. *lgoritmi de ordonanţare

#n algoritm de ordonanţare rezolvă o problemă de ordonanţare a $abricaţiei a n repere pe m maşini. 2rdonanţarea $abricaţiei înseamnă determinarea ordinii optime de prelucrare(minimizarea timpului total de prelucrare, minimizarea timpului total al regla"elor, minimizareatimpului de stagnare a utila"elor etc.) a n repere pe m maşini. roblema ordonanţării $abricaţiei aapărut în literatura de specialitate în 5O98 datorită lucrărilor lui S. M. Dohnson care propune şirezolvă problema prelucrării a n produse pe m L 6 maşini, elabornd un algoritm care îi poartănumele.

+. *lgoritmi %ranch and %ound

!lgoritmii Nranch and Nound (în limba engleză, branch L rami$ică, bound L limită,mărgineşte) are la bază principiul căutării rami$icate utiliznd un arbore de căutare şi principiulcăutării mărginite, deci căutarea se $ace între anumite limite.

. *lgoritmi evolutivi şi algoritmi genetici

Se consideră că e%istă trei modalităţi de abordare pentru a genera şi realiza modele&

P



- abordarea deterministă4- abordarea stocastică4- abordarea prin inteligenţă arti$icială (calcul neconvenţional), deci utilizarea

algoritmilor evolutivi, a algoritmilor genetici, a algoritmilor $uzz*, a reţelelor neuronale (calcul neuronal).

!lgoritmii evolutivi şi algoritmi genetici, utilizează proceduri care imită procesele de

adaptare şi căutare apărute în evoluţia naturală. !lgoritmii evolutivi cuprind următoarele clase dealgoritmi& algoritmi genetici, programarea genetică, programarea evolutivă, strategiile evolutive.

Comple*itatea al'oritmilor

rin comple%itatea unui algoritm se înţelege în general costul, care este măsurat cua"utorul unor $uncţii sau parametri, cum ar $i& timpul de e%ecuţie a algoritmului, memoriacalculator necesară, numărul de operaţii elementare standard (modelul !M > andom !ccessMachine) e%ecutate, numărul real de operaţii elementare calculator (cablate) e%ecutate etc. Înmodelul !M operaţiile simple sunt& adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, modulo,asignări, comparaţii, apel procedură care se consideră că ar consuma o unitate de timp (evident

este o apro%imare, în realitate depinde de calculator), iar ciclurile şi procedurile nu suntconsiderate operaţii simple, $iind compuse din mai multe operaţii. esursele de memorie alecalculatoarelor actuale sunt $oarte mari, deci timpul de e%ecuţie al unui algoritm este maiimportant. Comple%itatea unui algoritm calculată şi măsurată prin $uncţia obiectiv $ L timpul dee%ecuţie, care ia în calcul numărul de operaţii elementare (unităţi de timp) necesare pentrue%ecuţia algoritmului cnd datele de intrare au o dimensiune n. În practică se utilizează treinotaţii sau metode pentru analiza comple%ităţii şi per$ormanţei unui algoritm, prin mărginireavalorilor $uncţiei $(n) cu nişte constante şi alte $uncţii.

#. otaţia Θ .Se spune că

$(n) L Θ (g(n))

dacă e%istă constantele pozitive nQ, c5 şi c6 , ast$el înctc5.g(n) ≤ $(n) ≤ c6.g(n) , (∀ ) n≥ nQ

. otaţia Ο (mărginire superioară)Se spune că

$(n) L Ο (g(n)) dacă e%istă constantele pozitive nQ şi c , ast$el înct

$(n) ≤ c.g(n) , (∀ ) n≥ nQ

7. otaţia Ω (mărginire in$erioară)Se spune că

$(n) L Ω (g(n)) dacă e%istă constantele pozitive nQ şi c , ast$el înct

$(n) ≥ c.g(n) , (∀ ) n≥ nQ

Comple%itatea lui $(n) este apro%imată de $amilia sa Ο (g(n)) , iar g(n) poate $i una dintre$uncţiile&

- n, comple%itate liniară4- log n , comple%itate logaritmică4- n3 , 3 ≥ 6 , comple%itate polinomială4- an , a5, comple%itate e%ponenţială4- nR , comple%itate $actorială4

+acă n este mare, n ≥ 5Q, au loc inegalităţile&

log n J n J n.log n J n6 J n7 J 6n

O



rezultnd& Ο (log n) J Ο (n) J Ο (n.log n) J Ο (n6) J Ο (n7) J Ο (6n)

+upă ce s-a determinat comple%itatea unui algoritm, se pune problema dacă acestalgoritm este optimal. entru o problemă concretă un algoritm ce o rezolvă este optimal dacăcomple%itatea sa atinge o limită in$erioară a tuturor algoritmilor ce pot rezolva această problemă.

În activitatea de modelare şi optimizare practică se poate pune şi problema optimizării

programelor calculator .ste impropriu termenul de optimizare a programelor calculator, deşi se utilizează în practică, deoarece este imposibil să se găsească o $uncţie obiectiv prin care să se măsoaree%act gradul ma%im de per$ormanţă a programului. ste imposibil pentru un compilator săgenereze cel mai bun program obiect al unui program sursă. ractic nu se poate stabilimulţimea tuturor programelor calculator care rezolvă o anumită problemă şi din care să sealeagă programul optim din anumite puncte de vedere.

Cteva criterii de optimizare a programelor calculator sunt& timpul de e%ecuţie,dimensiunea memoriei ocupate, claritatea programului, portabilitatea. Se poate vedea căaceste criterii pot $i con$lictuale, trebuie stabilită importanţa $iecărui criteriu, iar în practicătrebuie găsită soluţia de compromis, $uncţie de resursele calculatorului. roblema generală a

găsirii unui program optim este indecidabilă. 2ptimizarea programelor, în sensul minimizăriitimpului de e%ecuţie, este posibilă în trei $aze ale elaborării lor& în $aza de concepţie, în $azade codi$icare şi în $aza de compilare. +acă pentru rezolvarea unei probleme se cunoaşte decătre programator mulţimea ! a algoritmilor care rezolvă problema respectivă, în etapa deanaliză se estimează care algoritm este mai rapid şi acesta se va $olosi. vident, mulţimea !di$eră de la o persoană la alta, avnd o anumită relativitate. +upă alegerea algoritmului derezolvare a problemei, trebuie ales limba"ul de programare potrivit pentru tipul de calcule şistructurile de date utilizate.

Cteva reguli practice ce se pot $olosi pentru optimizarea codului generat sunt&- eliminarea sube%presiilor comune mai multor e%presii aritmetice, prin notarea sa cu un

nume de variabilă pentru a $i calculată o singură dată4- $olosirea operaţiilor aritmetice rapide4- minimizarea numărului de conversii a constantelor şi variabilelor4- optimizarea buclelor, deci trebuie scoase din ciclu e%presiile aritmetice invariante în

ciclu4 - utilizarea $acilităţilor o$erite de limba"ele de programare re$eritoare la optimizareacodului.

!lături de comple%itatea algoritmilor calculată şi măsurată prin $uncţia obiectiv timpul dee%ecuţie, se pune problema clasificării problemelor după criteriul di$icultăţii lor de rezolvare,deci uşor sau greu de rezolvat, accesibile sau inaccesibile. !ceastă clasi$icare a problemelor după di$icultatea de rezolvare cuprinde clasele şi ?, iar clasa ? cuprinde subclasele ?-

complete şi ?-hard. Clasa cuprinde mulţimea problemelor pentru care e%istă un algoritm cutimp polinomial de rezolvare, deci probleme relativ uşoare, accesibile. Clasele ?-complete, ?-hard cuprind cele mai grele probleme din clasa ?, nu e%istă un algoritm în timp polinomialde rezolvare.

1$$ 3l!*!l i%)orma#io%al$

'lu%ul material este însoţit de un $lu% in$ormaţional corespunzător. 3l!*!l i%)orma#io%alreprezintă totalitatea in$ormaţiilor transmise într-un interval de timp determinat, de la o sursă dein$ormaţie la un receptor, printr-o mulţime de canale in$ormaţionale. 'lu%ul in$ormaţional esteconstituit din ansamblul datelor, in$ormaţiilor şi deciziilor necesare des$ăşurării în bune condiţii a

unei activităţi sau operaţii. 'lu%ul in$ormaţional este caracterizat prin& conţinut, volum,$recvenţă, calitate, $ormă, suport, proces de obţinere şi cost.

5Q



4e"iziile ma%a'eriale sunt in$luenţate de calitatea şi cantitatea in$ormaţiilor de care dispuneîntreprinderea. /ompletitudinea şi precizia informaţiilor reprezintă două atribute importante alein$ormaţiilor. =ariaţia preciziei şi completitudinii in$ormaţiilor condiţionează metodelematematice ce se vor utiliza pentru rezolvarea problemei decizionale, ceea ce este prezentat î n$ig. 5.

+acă in$ormaţiile au un nivel relativ ridicat de precizie şi completitudine, atunci problema decizională poate $i abordată determinist cu rezultate bune, iar acest lucru se î ntmplă î n cazul sistemelor tehnice, controlabile ( ast$el de sisteme au o calculabilitate mare acomportamentului lor şi sunt numite şi sisteme complicate).

+acă scade precizia in$ormaţiilor, dar completitudinea este î naltă, se poate rezolva problema decizională prin decizii $uzz* (mulţimi vagi, $uzz*).

+acă scade completitudinea in$ormaţiilor, iar precizia este relativ î naltă, problemadecizională se poate aborda stochastic, abordarea stochastică este indicată pentru sistemecolective sau prin modele ale teoriei "ocurilor, cnd completitudinea scade mai mult.

C<0<

5QQ

2 C2M/;<;#+<? 5QQ

'ig.5. Corespondenţa dintre calitatea in$ormaţiilor (precizie şi completitudine) şimetodele matematice utilizabile

+acă scade simultan completitudinea şi precizia in$ormaţiilor î ntre anumite limite trebuie săse $acă o abordare suboptimală a problemei decizionale prin metode euristice, metodemulticriteriale şi simulare. +acă completitudinea scade şi mai mult, iar precizia rămne la nivel

55

</=!?;!<?'2M!;<</2 #;</<0!!

!?!/2G<</2

!N2+!

'#00T

<?=!;!! <?<?CC! - 2!

!N2+!!#<S;<C!

S#N2;<M!/<;!;M#/;<C<;<!/

S<M#/!

!N2+!! S;2CU!S;<C!;2<! D2C#</2

M2+/+;M<?<S;



mediu, se poate utiliza metoda î nvăţarea prin î ncercare şi eroare. Completitudinea şi preciziain$ormaţiei sunt in$luenţate de comple%itatea sistemelor studiate (sisteme tehnico-economice,sisteme socio-politice).

'lu%urile materiale şi $lu%urile in$ormaţionale se vor analiza în cadrul sistemuluiin$ormaţional al $irmei şi a diverselor tipuri de sisteme in$ormatice& Sistemul <n$ormatic derelucrare a ;ranzacţiilor, Sistemul <n$ormatic de Management, Sisteme Suport pentru +ecizie,Sistemul <n$ormatic de Nirotică, Sistemul <n$ormatic Strategic.

1$ 2$ Optimiz+ri &% ma%a'eme%t!l )irmei. Optimizarea )l!*!rilor materiale

rin studierea problematicii optimizării managementului $irmei se urmăreşte creştereacompetitivităţii sale, asigurarea raţionalităţii procesului decizional şi managerial.

Se poate pune problema ale'erii mo%o"riteriale a! m!lti"riteriale a al'oritm!l!i V programului optim sau ra#io%al de rezolvare a unei probleme de management sau de optimizarea $lu%urilor materiale rezolvabilă în cel puţin trei etape&

- alegerea optimă V raţională a clasei algoritmului (algoritmi determinişti, stochastici, $uzz*,genetici etc. )4

- alegerea optimă V raţională a algoritmului din clasa de algoritmi aleasă 4- alegerea optimă V raţională a limba"ului de programare pentru programarea

algoritmului ales (se pot considera ca şi $uncţii de e$icienţă& timpul de e%ecuţie a programului pecalculator, memoria calculator necesară, portabilitatea programului realizat etc.).

Managementul $irmei şi $lu%urile materiale pot $i studiate, analizate şi optimizate prin programare matematică cu o $uncţie obiectiv, de e%emplu prin problema din relaţiile (5) care esteo problemă tip ma%imizare a pro$itului sau a venitului din vnzări sau prin modelul din relaţiile(6) care minimizează costurile.

i

n

0

0i0 b 1 a ≤∑=5

. , i L 5, 6, . . . , m4

F " ≥ Q , " L 5, 6, . . . . , n 4 (5)

$(F5, F6, I, Fn) L ∑=

n

0

0 0 1 c5

ma% $(F5, F6, I, Fn)

roblemă de minimizare&

i

n

0

0i0 b 1 a ≥∑=5

. , i L 5, 6, . . . , m4

F " ≥ Q , " L 5, 6, . . . . , n 4 (6)

$(F5, F6, I, Fn) L ∑=

n

0

0 0 1 c5

min $(F5, F6, I, Fn)

Modelele (5) şi (6) se rezolvă prin algoritmul simple% sau pe calculator cu programele& Wsb,+sspom, /indo, Wm sau altele.

56



roblematica optimizării managementului $irmei şi a $lu%urilor materiale va $i abordatămonocriterial şi multicriterial, prin modele deterministe, stochastice şi $uzz*.

În logistica internă şi în $abricaţie se pot utiliza cteva metode ale cercetării operaţionale,din care amintim&

- alocarea resurselor materiale necesare $abricaţiei prin programare liniară monoobiectivşi multiobiectiv4

- programare stochastică4- programare $uzz*4- minimizarea costurilor prin programare liniară4- problema de a$ectare (asignare) pentru repartizarea muncitorilor pe maşini4- problema de transport de minimizare şi problema de transport de ma%imizare4- ordonanţarea $abricaţiei4- modele de aşteptare4- optimizarea stocurilor4- teoria gra$urilor4- optimizarea deciziilor.În logistica e%ternă (logistica aprovizionării şi logistica distribuţiei) se pot utiliza&

- problema de transport de minimizare monoobiectiv şi multiobiectiv4- programarea parametrică4- decizii multiatribut, decizii de grup, decizii $uzz*4- modele de aşteptare4- teoria "ocurilor strategice.Într-o problemă analizată şi rezolvată prin metode ale cercetării operaţionale sunt

următoarele etape&- $ormularea (enunţul) problemei4- construcţia modelului matematic4- obţinerea soluţiei optime4- testarea modelului şi a soluţiei optime4- implementarea şi actualizarea soluţiei optime.

57

MATEMATICA APLICATĂ ÎN MANAGEMENTUL COMPETITIVITĂŢII – C1 Modelarea şi optimizarea...

Documents

Transcript of MATEMATICA APLICATĂ ÎN MANAGEMENTUL COMPETITIVITĂŢII – C1 Modelarea şi optimizarea...