PROIECT DE LECTIE

OBIECTUL: Matematică.ANUL: XXGRUPA: XXXXX

UNITATEA DE CONŢINUT: Împărţirea polinoamelor la binomul X-c. Schema lui Horner

DURATA: 90 min.TIPUL LECŢIEI: mixtă

Obiectiv cadru:

Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate

Obiective de referinţă:

1. Să determine unele polinoame sau ecuaţii polinomiale care satisfac anumite

condiţii precizate

2. Să aplice prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în

calculul cu polinoame

3. Să compare proprietăţile operaţiilor cu numere reale, respectiv complexe şi

aplicarea acestor proprietăţi în rezolvarea ecuaţiilor

Obiective operaţionale: La sfârşitul activităţii elevii vor fi capabili:

O1:- să utilizeze schema împărţirii polinoamelor;

O2:- să identifice câtul şi restul împărţirii unui polinom la (X-c);

O3:- să utilizeze schema lui Horner la împărţirea polinoamelor.

Stilul vizual de învăţare va fi favorizat de vizualizarea informaţiilor în formă tipărită, privirea formelor cuvintelor, , folosirea culorilor, efectelor de animaţie în vederea informaţiilor în programul Microsoft PowerPoint. (Aplicarea comunicării de tip non-verbal)Stilul auditiv de învăţare: ascultarea, redarea şi explicarea informaţiei. (Comunicarea verbală)

1

Stilul practic de învăţare va fi favorizat de aplicarea informaţiilor obţinute în programul Microsoft PowerPoint în ordinea în care au fost acumulate, convertirea informaţiilor în benzi desenate, folosirea în toate acţiunile ce derulează informaţiile cuprinse în programele de calculator.FORMAREA CONCEPŢIILOR, FORMULAREA CONCLUZIILOR - generarea de idei şi concluzii privind conţinutul soft-ului educaţional.

TRANSFERUL CONCLUZIILOR - realizarea de conexiuni, generalizări, întrebări.

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice

Principiul participării şi învăţării active.Principiul asigurării progresului gradat al performanţei.Principiul conexiunii inverse.

Metode de învăţare

conversaţia euristicăexplicaţiaexerciţiulproblematizareadescoperirea

Forme de oganizare

frontalăindividualăîn grup

Resurse materiale – calculatorul şi soft-ul educaţional cu conţinut ştiinţific specific temei abordate; postere; fişe de lucru.

Resurse procedurale – investigaţia ştiinţifică, problematizarea, observarea sistematică a elevului, rezolvarea de probleme/situaţii problemă.

2

Bibliografie: - Manualul pentru clasa a XII-a, autor I. Achiri; Culegere de exerciţii şi probleme pentru cl. a XII-a, autor I.Achiri;

Culegere de exerciţii şi probleme pentru cl. a XII-a, autor V.Iavorschi;

Îndrumător la matematică, autor D.Botnaru; Metodica predării matematicii, autor I.Lupu;

ETAPELE LECŢIEI

MOMENT ORGANIZATORIC ŞI CAPTAREA ATENŢIEI

Activitatea profesorului:Durata: 5 min

Pregătesc materialul didactic, verific prezenţa elevilor şi le captez atenţia cu următorul citat: „Matematica reprezintă în sine o colecţie de rezultate, care pot fi aplicate la orice ” Bertrand RussellActivitatea elevului: Elevii se pregătesc de lecţie, sunt atenţi şi comentează citatul.

EVALUAREA CUNOSTINŢELOR DOBÎNDITE ANTERIORDurata: 20 min

Obiective: O1,O2Metode folosite:

conversaţia, examinarea

Activitatea profesorului: Interoghez elevii cu următoarele întrebări:Reamintim forma algebrică a unui polinom?Gradul polinomului?Valoarea polinomului?Teorema împărţirii cu rest?Activitatea elevului:Elevii răspund la întrebări.Activitatea profesorului: Împart elevii în grupuri a cîte 4 elevi, fiecare grup primeşte cîte un poster în care trebuie să rezolve cîte un exemplu:Grupul I: Să se afle gradul polinomului în funcţie de m, , dacă

;

3

Grupul II: Să se calculeze P(c), dacă:, c=1+2i;

Grupul III: Să se determine polinomul de gr.II R(X), dacă:P(1)=4, P(3)=24, P(-3)=36;Grupul IV:Să se determine cîtul şi restul împărţirii polinomului P(X) la polinomul Q(X), dacă:

În momentul în care elevii rezolvă exemplele, eu verific caietele cu tema de acasă.Activitatea elevului: Elevii rezolvă exemplele pe postere, după finisare o să lipească posterele pe tablă şi analizîndu-le îşi vor nota greşelile.

PREDAREA TEMEI NOI ŞIFIXAREA CUNOŞTINŢELOR

Durata: 40 minObiective: O1,O2,O3

Metode folosite: demonstraţia, explicaţia,conversaţia euristică

Activitatea profesorului:O altă teoremă importantă în cazul împărţirii polinoamelor este cea care ne

permite calcularea restului împărţirii la un binom de forma (X-c) fără a face efectiv împărţirea.Teoremă Restul împărţirii unui polinom prin (X-c) este egal cu valoarea P(c) a polinomului P(X) în c.Demonstraţie: Fie P(X) deîmpărţitul şi Q(XS)=(X-c) împărţitorul. Efectuăm împărţirea cu rest şi obţinem că:P(X)=(X-c)Q(c)+r, unde grad r <grad (X-c)=1. Deci grad r<0, adică r este un polinom constant ce nu depinde de nedeterminata X. Calculam valoarea lui P(X) în c şi obţinem:P(c)=(c-c)Q(x)+r, P(c)=0Q(X)+r, P(c)=r.Pentru o mai bună înţelegere prezentăm un exemplu concret:Exemplu: P(X)=2X3+(2+i)X2-(3+4i)X+7, Q(X)=X+1r=P(-1)=2(-1)3+(2+i)(-1)2-(3+4i)(-1)+7=10+5i

Această teoremă ne permite calcularea restului dar nu ne oferă nici un indiciu asupra câtului împărţirii polinomului P(X) prin binomul (X-c)Indicăm un procedeu de identificare atât a restului cât şi a câtului împărţirii a unui polinom prin binomul de forma (X-c), procedeu cunoscut sub numele de schema lui HornerFie f un polinom de forma:

4

f=a0+a1X+a2X2+...+anXn, an≠0. Efectuăm împărţirea cu rest şi obţinem: f=(X-c)q+r.Dacă grad f=n, atunci grad q=n-1. Fie q de forma:q=b0+…+bn-2Xn-2+bn-1Xn-1. Atunci f=(X-c)q+r devine:a0+a1X+…+anXn=(X-c)(b0+…+bn-1Xn-1)+r.Efectuăm înmulţirile:(X-c)(b0+…+bn-1Xn-1)=bn-1Xn+bn-2Xn-1+…+b0X-cbn-1Xn-1-cbn-2Xn-1-…-cb0=bn-1Xn+(bn-2-ab-1)Xn-1+…+(b0-cb1)X-cb0

a0+a1X+a2X2+...+anXn= bn-1Xn+bn-2Xn-1+…+b0X-cbn-1Xn-1-cbn-2Xn-1-…-cb0=bn-1Xn+(bn-2-cb-1)Xn-1+…+(b0-ab1)X-cb0

De aici rezultă că:an=bn-1

an-1=bn-2-cbn-1

…………….a1=b0-cb1

a0=r-cb0

Scoatem coeficienţii bi şi r în funcţie de aj şi de cel calculat anterior:bn-1=an

bn-2=an-1-cbn-1

………………b0=a1+cb1

r=a0+cb0

Toate valorile calculate se trec într-un tabel de forma:

Xn Xn-1 ... X1 X0

an an-1 ... a1 a0

an an-1-cbn-1 ... a1+cb1 a0+cb0

bn-1 bn-2 ... b0 r

Pentru o mai bună înţelegere prezentăm un exemplu concret:f=2X4-5X3-8X+1, g=(X-2)

X4 X3 X2 X X0

2 -5 0 -8 12 -5+2x2=

=-10+2(-1)=-2 -8+2(-2)=

=-121+2(-12)=

=-23

b3 b2 b1 b0 rNumesc cîte un elev la tablă pentru a rezolva urmatoarele exerciţii:

Din manual ex: 8,9 pag. 103.

5

Activitatea elevului: Elevii se implică în predarea temei noi, îşi notează exemplele în caiete, după care trec cîte unul la tablă şi rezolvă exemplele din manual.

ASIGURAREA FEED-BACK-ULUIDurata: 11 min

Obiective: O1,O2,O3Metode folosite:

ConversatiaActivitatea profesorului:Fac o scurta recapitulare a noţiunilor care au fost utilizate în decursul lecţiei şi generalizez cu ajutorul elevilor notarea şi comentarea activităţii elevilor pe parcurs.Ce ne spune teorema cu rest?Cu ce ne ajută teorema lui Bezout?Ce ne indică schema lui Horner?Activitatea elevilor: elevii răspund la întrebări.

INCHEIEREA ACTIVITATIIDurata: 4 min

Activitatea profesorului:Stabilesc tema pentru acasă (manual ex: 6 (B) pag 104; din culegere ex: 6, 7 pag 57). Ofer indicatii cu privire la rezolvarea exemplelor ce ar putea prezenta dificultăţi.Activitatea elevilor: Îşi notează în caiete tema pe acasă

6