Prof. Valer PopŞc. Gen. “Enea Grapini”Şanţ, Bistriţa-Năsăud

• Cum putem demonstra că două drepte (segmente,semidrepte) sunt perpendiculare ?

• 1) dacă formează un unghi drept.

• Dacă rezultă a b.

a

b

0( ( , )) 90m a b

• 2) prin intermediul dreptelor paralele.

• Dacă a||b şi c b rezultă c a.

ca

b

• 3) dacă una din drepte conţine înălţimea (mediatoarea) unui triunghi,iar cealaltă conţine latura corespunzătoare.

• Dacă [AD] este inclusă în a şi [BC] este inclusă în b iar AD BC rezultă a b.

a

b

A

B CD

• 4) dacă includ (conţin) catetele unui triunghi dreptunghic.

• Dacă [AB] este inclus în a şi [AC] este inclus în b iar AB AC rezultă a b.

A

B

C

a

b

• 5) dacă una este mediatoarea unui segment,iar cealaltă conţine segmentul.

• Dacă [AB] este inclus în a şi d este mediatoarea lui [AB] rezultă d a.

d

A B

Ma

• 6) dacă una este dreapta determinată de un vârf al triunghiului şi ortocentrul său,iar cealaltă este latura opusă acelui vârf.

• Dacă AD BC, BE AC şi intersecţia dintre AD şi BE este H rezultă CH AB.

A

B C

H

D

EF

• 7) dacă sunt laturile alăturate într-un dreptunghi (pătrat).

• Dacă ABCD este dreptunghi (pătrat) rezultă că AB AD.

A B

CD

• 8) dacă sunt diagonale într-un romb (pătrat).

• Dacă ABCD este romb (pătrat) rezultă că [AC] [BD].

A

B

C

D

• 9) dacă una din drepte include o bază a trapezului,iar cealaltă include înălţimea.

• Dacă ABCD este trapez rezultă AD AB sau DE AB.

A B

CD

A B

CD

E

• 10) dacă două dintre unghiurile unui triunghi sunt complementare.

• Dacă rezultă AC BC.

A B

C

0( ) ( ) 90m A m B

• 11) dacă o dreaptă include bisectoarea (mediana) corespunzătoare bazei unui triunghi isoscel (echilateral),iar cealaltă include baza triunghiului.

• Dacă a include bisectoarea (mediana)[AD] a triunghiului isoscel(echilateral) ABC şi b include baza [BC] rezultă că a b.

A

B CD

a

b

• 12) cu ajutorul reciprocei teoremei lui Pitagora.

• Dacă în triunghiul ABC avem AB +AC =BC rezultă AB AC.

A

B C

2 2 2

• 13) dacă într-un triunghi o mediană are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii corespunzătoare.

• Dacă în triunghiul ABC ,[AM] este mediană şi este jumătate din [BC] rezultă că AB AC.

A

B CM

• 14) dacă aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul a două laturi.

• Dacă aria triunghiului ABC este A = rezultă AB AC.

A

B C

AB . AC2

• 15) dacă o latură a unui triunghi este diametrul cercului circumscris triunghiului atunci celelalte laturi sunt perpendiculare. (sunt laturile unui unghi înscris într-un semicerc).

• Dacă triunghiul ABC este înscris în cerc şi BC=2r rezultă AB AC.

O

A

B Cr

• 16) dacă în triunghiul ABC, D aparţine lui [BC] şi AB –BD =AC-DC rezultă AD BC.

2 2 2 2

AA

BD

C

• 17) prin transformări geometrice (simetrie, translaţie,rotaţie,omotetie).

• Dacă a’ şi b’ sunt transformările geometrice ale lui a şi b şi a b rezultă a’ b’.

a

b

a’

b’

• 18) dacă sunt bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare.

• Dacă şi [OM este bisectoarea iar [ON este bisectoarea rezultă OM ON.

AO

C

N

BM

0( ) ( ) 180m AOB m BOC AOB

BOC

• 19) dacă sunt paralele cu alte două drepte perpendiculare.

• Dacă a’||a, b’||b şi a b rezultă a’ b’.

a

b

a’

b’