Câmpumagnetic al conductorilor circulari și al bobinelor

Să presupinem că avem un conductor circular de raza a, cum se vede în figura 9.4, a,prin care circulă un curent I. Din cele discutate în paragraful precedent reiese ca dB, câmpul magnetic al elementului de curent dI, este orientat perpendicular pe planul ce conține elementul de curent, după cum se vede în figura 9.4, a. În figura 9.4, b am reprezentat liniile de câmp ale acestui circuit, linii ce se află într-un plan ce conține axa lui.

Câmpul curentului circular luat în întreg spatiul, este simetric față de planul curentului circular.Foarte aproape de firul circular câmpul va fi la fel ca și a unui conductor liniar drept, deoarece distanța este foarte mică față de lungimea firului.

Pe axa z a filamentului circular câmpul se calculeză foarte ușor,folosind ecuatia ( 9.5) Fiecare element de circuit dI din conductorul circular va contribui cu un câmp dB care este perpendicular la r. Simetria ne permite a considera numai componenta z a lui dB, deoarece câmpul rezultat, se orientează în direcția z,

B=1c∫P1

P2 Idl×err2

. (9.5)

d B z=dBcosθ . (9.7)

Iar

dB= I ∙ dlc r 2 (9.8)

Deoarece unghiul dintre dl și este φ=π /2 și produsul vectorial se reduce la un produs de mărimi scalare. Ținând seamă că cosθ=a/r componenta z a câmpului se scrie

d B z=I ∙ dl

c r2∙ar. (9.9)

Integrând pe întregul contur circular, toate mărimile ies de sub semnul integrală rămânând

simplu ∫ dl=2πa , astfel că pe asa z câmpul, într-un punct oarecare este

Bx=2πI a2

cr2 = 2π a2 Ic (z2+a2)3/2 . (9.10)

În cntrul conturului circular, z=0 și câmpul magnetic aici, este

Bz=2πIca

. (9.11)

Să revenim și să discutăm ecuția (9.10). Când câmpul magnetic se calculează pentru puncte foarte îndepărtate de la bucla circulară, adică atunci când z≫a, ecuția se poate scrie

Bz=aAI

c r3. (9.12)

În relație, A=π a2 și este aria mărginită de curentul circular de rază a. Mărimea IA ce apare în relația (9.12) este de o deosebită importanță.Ea caeacterizează circuitul și așa cum vom vedea mai târziu, produsul IA reprezintă momentul magnetic dipolar al circuitului circular. Câmpul magnetic B depinde numai de aria circuitului și nu depinde de forma lui, iar direcția și sensul câmpului depind de sensul curentului din circuit.

Vom calcula acum câmpul magnetic pe axa unui solenoid. Un solenoid este o înfășurare cilindrică a unui conductor, ca în figura 9.5, a. Solenoidul poate fi considerat ca fiind format din curenți circulari a căror fire sunt foarte aproape,puse unapeste cealaltă, astfel încât numărul de spire pe centimetru de lungime, de-a lungul generatoarei cilindrului este constant și egal cu n.Pentru calculul câmpului pornim de la formula (9.10) care dă câmpul pe axa z a unui conductor circular.Alegem o porțiune mică din solenoid,care se consideră un curent circular și scriem contribuția acestuia la câmpul magnetic din punctul z de pe axa .

Lungimea porțuinii de solenoid ,considerată,care se vede în figura 9.5, b hașurată, este rdθsinθ

.

Deorece n este numărulde spire dintr-un centrimetru,curentul din aceste spire este nI iar prin

toată lungimea porțiunii de solenoid curentul este nIdθ=sinθ . Deoarece r=asinθ

, pentru

contribuțiaacestui inel, din solenoid,la câmpul magnetic avem următoarea formulă:

d B z=2 π a2

cr 3 ∙Inrdθsinθ

=2πIncsinθdθ. (9.13)

Integrând între limitele θ1 și θ2 găsim câmpul total, Bz pe axa solenoidului

Bz=2πnIc ∫

θ1

θ2

sinθdθ=2 πnIc

(cosθ1−cosθ2 ) . (9.14)

Sub secțiunea transversală a solenoidului am reprezentat grafic ecuația(9.14), adică am reprezentat grafic intensitatea câmpului magnetic de pe asa bobinei care are lungimea egală cu de patru ori diametrul. Înordonată este câmpul Bz raportat la câmpul unui solenoid infinit, care are același număr de spire pe centimetru și același curent în spire. Pentru solenoidul infinit, θ1=0 și θ2=π astfel că (9.14) devine

Bz=4 πnIc

(9.15)

În cetrul bobinei care are lungimea de patru ori diametrul, câmpul este, cu foarte mare aproximație, același ca și cel dat de relația (9.15) și este aproximativ constant până la capetele bobinei unde variază brusc ca în figura 9.5 (b). În figura 9.5 (a) se văd liniile de câmp magnetic ale solenoidului finit. Unele linii de câmp pătrund prin stratul de conductori ce formează solenoidul.

Calculul câmpului magnetic al unui solenoid infinit de lung îl putem fae fără a efectua analiza care ne-a condus la ecuația (9.15). Este evident că într-un solenoid infinit de lung nu variză câmpul în funție de z,coordonata în direcția axială.Câmpul magnetic trebuie sa fie paralel cu axa solenoidului în orice punct din solenoid.Să calculăm integrala de linie a lui B de-a lungul unui drum dreptunghiular ABCDA cum se vede în figura 9.6. Liniile perpendiculare pe suprafața solenoidului nu contribuie la integrala de linie. Integrala de linie pe drumul CD, este, de asemenea zero la integrala de linie. Integrala de linie pe drumul CD, este, de asemenea zero căci dacă ar avea o valoare finită, atunci ea va fi finită și pe alt drum C’D’ care poate fi oriunde în spațiu. Ar în semna că vom avea în tot spațiul exterior solenoidului câmp magnetic.Concludem că de aici, că în exteriorul solenoidului câmpului magnetic este egal cu zero. Rămâne integrala de linie a lui B numai pe drumul AB care este tocmai Bzl, iar integrala de linie totală trebuie să fie egală cu 4 π /c de înmulțit cu curentul conținut în conturul închis. Deci avem

Bz l=4 πc∙∋∙ l

sau

Bz=4 πnIc

în perfect acord cu relația (9.15)