MA Curs 1 Statistica

MA Curs 1 Statistic 1

STATISTIC

Statistica se ocup cu colectarea, prelucrarea i interpretarea datelor.

- Statistica descriptiv - culegerea i nregistrarea datelor asupra unui fenomen

- Statistica matematic gruparea, analizarea i interpretarea datelor n vederea elaborrii

unor previziuni privind evoluia viitoare a fenomenului.

Aplicaii.

- Fizic, inginerie, biologie, psihologie, economie, sociologie

- Monitorizarea proceselor industriale

- Teoria fiabilitii

- Risc i prognoz

Definiii.

- populaie statistic = orice mulime care formeaz obiectul unei analize statistice (mulimea

studenilor dintr-o serie , populaia unei ri sau a unui ora, o mulime de piese).

- volumul populaiei statistice = numrul elementelor mulimii.

- unitate statistic = un element din populaie ( un student, un locuitor, o pies)

- caracteristic = o trstur comun tuturor unitilor unei populaii care ne intereseaz n

cadrul analizei statistice ( nota la un examen , vrsta , diametrul piesei, nr ore de funcionare ).

- selecie = alegerea la ntmplare a unor uniti statistice dintr-o populaie statistic i cercetarea

lor din punct de vedere al caracteristicii. Selecia poate fi cu sau fr ntoarcere.

- volumul seleciei = numrul elementelor seleciei

Analiza se poate face dup una sau mai multe caracteristici (ex: gruparea unor indivizi dup vrst i

dup venit). O caracteristic poate fi

o cantitativ, dac se poate msura

o calitativ, n caz contrar (mult, puin, bun,ru)

- variabila statistic = valoarea numeric a unei caracteristici cantitative. Ea poate fi

- discret dac ia un numr finit de valori sau

- continu dac poate lua orice valoare dintr-un interval.

Selecia poate fi total (n cazul unui recensmnt) sau parial. n practic, pentru a studia o

anumit caracteristic a unei populaii statistice nu se examineaz toat populaia, ci numai un numr

finit de uniti statistice. Se presupune c rezultatele obinute sunt caracteristice pentru toat populaia.

Metodele de a alege un eantion reprezentativ nu fac obiectul acestui curs.

Tipuri de probleme practice

1. Se verific 200 de microcircuite dintr-un lot mai mare. Se gsesc 3 defecte. Putem afirma cu

probabilitate 95% c 99% dintre microcircuite sunt bune?

2. O firm produce un tip de piese. Probabilitatea s se produc o defectare n timpul primelor

1000 de ore de funcionare este 0,02. Prin aplicarea unei tehnologii mbuntite s-au produs 20


de piese care au fost urmrite timp de 1000 de ore i s-a notat numrul defectrilor. Putem

spune c se produc piese mai fiabile? Cu ce probabilitate?

Pentru a rezolva probleme practice procedm n modul urmtor:

- stabilim populaia statistic;

- stabilim caracteristica (caracteristicile) : cantitativ sau calitativ;

- realizm o selecie de volum n, adic studiem n uniti statistice i obinem un ir de valori

n21 x,...,x,x ;

- analizm aceste valori: le reprezentm grafic, calculm indicatori statistici;

- modelm fenomenul fizic printr-unul teoretic: pe baza observaiilor statistica matematic ofer

metode pentru a stabili care variabil aleatoare teoretic X se poate asocia fenomenului studiat.

Aceast variabil aleatoare (sau repartiie) teoretic are o lege de repartiie (dat de repartiia

probabilitilor sau de densitatea de repartiie) ce depinde de unul sau mai muli parametrii;

- statistica matematic ofer metode pentru a estima (a aproxima) parametrii i pentru a verifica

ipotezele fcute;

- interpretm rezultatele, eventual realizm predicii.

1. Elemente de statistica descriptiv

Gruparea datelor

Presupunem c n urma a n observaii independente realizate n condiii identice s-a obinut un ir de

valori. Acestea se ordoneaz i se aeaz ntr-un tablou.

Exemplul 1. S presupunem c s-a msurat o mrime fizic pentru 20 de piese alese la ntmplare

dintr-o mulime mai mare i s-a obinut urmtorul ir statistic simplu 33 32 35 34 37 35 36 37 34 36

33 37 33 35 36 35 35 34 37 33. Se observ c unele valori se repet, deci putem alctui

urmtorul tablou:

X 32 33 34 35 36 37

nr apariii 1 4 3 5 3 4

Reprezentarea variabilelor statistice discrete

Printr-un tablou

X 1x 2x kx

Frecvene absolute 1

2

k

Frecvene relative n

1

n

2

n

k


Frecvene absolute

cumulate 1

1 2

k21

...

Frecvene relative

cumulate n

1

n

1

n

2

n

...nn

k21

n care jx , k,1j sunt valorile distincte , n este volumul seleciei , j este frecvena absolut a

valorii jx , adic numrul de apariii, k21 ...n , iar n/j este frecvena relativ.

Prin bastoane

Observaie. Tabelul

n...

nn

x...xx

k21

k21

este asemntor cu o variabil aleatoare

k21

k21

p...pp

x...xx:X .

Indicatori statistici

1. Media de selecie

Pentru variabil statistic discret

k

1j

jj

not

xn

1X , k este numrul valorilor distincte

2. Mediana - mparte irul ordonat n dou pri egale ca numr.

Pentru variabil statistic discret

dac 1p2n atunci 1pxMe ( valoarea din mijloc)

- dac p2n atunci 2

xxMe

1pp

3. Modul

pentru o variabil statistic discret este valoarea cu frecven maxim;

4. Amplitudinea absolut a unei serii statistice este minmax xxA .

5. Dispersia 2k

1j

j

2

j

k

1j

j

2

j Xxn

1Xx

n

1XD

, unde k este numrul valorilor distincte.

6. Abaterea medie ptratic (indic gradul de mprtiere a valorilor n jurul mediei) D

O

y

x 1x kx

1


7. Coeficientul de variaie X

V

.

Exemplul 1. Relum exemplul de la pagina 1. S se reprezinte datele ntr-un tablou i s se calculeze

indicatorii statistici.

Rezolvare.

X 32 33 34 35 36 37( )

N1

20

4

20

3

20

5

20

3

20

4

20

32 33 34 35 36 37

0.1

0.2

N

X

- Media este 85,3420

697

20

437336535334433132X

- Mediana 2

xxMe 1kk

, unde 10

2

nk . Considernd irul ordonat al valorilor avem

35x10 , 35x11 35Me .

- Amplitudinea absolut este 103242A .

- Dispersia este

X 32 33 34 35 36 37

Frecvene

absolute 1 4 3 5 3 4 20

Frecvene

relative 20

1

20

4

20

3

20

5

20

3

20

4 1

Frecvene

absolute

cumulate

1 5 8 13 16 20

Frecvene

relative

cumulate 20

1

20

5

20

8

20

13

20

16 1


328,2X20

437...334433132D 2

2222

- Abaterea medie ptratic 526,1D

- coeficientul de variaie 043,0X

V

Pentru a calcula indicatorii statistici cu programul Mathcad

Metoda 1. Introducem vectorul Z ce conine toate valorile:

Z 32 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 37 37 37 37( )

media este mean Z( ) 34.85 mediana este median Z( ) 35

dispersia var Z( ) 2.328

abaterea medie patratica stdev Z( ) 1.526

1 3.322 log 20( ) 5.322 histogram 5 Z( )

32.5

33.5

34.5

35.5

36.5

1

4

8

3

4

Metoda 2.

X

32

33

34

35

36

37

N

1

20

4

20

3

20

5

20

3

20

4

20

media este m mean X N( ) m 34.85

dispersia este mean X2

N m2 2.327

abaterea medie patratica este 2.327 1.525

Dac numrul datelor e foarte mare se realizeaz o grupare pe intervale. Se consider cea mai

mic i cea mai mare valoare ce determin un interval 1k1 x,x ce se mparte ntr-un numr de

subintervale 21 x,x , 32 x,x ,, 1kk x,x . Lungimile intervalelor se pot calcula cu formula lui

Sturges


nlg322,31

xx minmax

numrul intervalelor fiind nlg322,31 .

Observaie. Dac avem un ir mare de date pe care dorim s le grupm n intervale cu ajutorul

programului Mathcad folosim funcia histogram(n,X), n care n este numrul intervalelor, iar X este

vectorul ce conine datele. Funcia returneaz o matrice n care prima coloan reprezint mijloacele

intervalelor, iar a doua coloan frecvenele absolute corespunztoare fiecrui interval.

Reprezentarea variabilelor statistice continue

Printr-un tablou

X 21 x,x 32 x,x 1kk x,x

Frecvene absolute 1

2

k

Frecvene relative n

1

n

2

n

k

Frecvene absolute

cumulate 1

1 2

k21

...

Frecvene relative

cumulate n

1

n

1

n

2

n

...nn

k21

Prin histogram: lum pe axa orizontal segmente de lungimi egale ce reprezint amplitudinea

claselor i construim pe aceste segmente dreptunghiuri cu nlimi proporionale cu frecvenele

absolute sau relative. Dac din mijlocul fiecrui segment de pe axa orizontal ridicm

segmente proporionale cu frecvenele i unim printr-o linie poligonal aceste puncte obinem

poligonul frecvenelor.

Indicatori statistici

1. Media de selecie


Pentru variabil statistic continu

k

1j

j

*

j

not

xn

1X , unde k este numrul intervalelor, iar *jx

sunt mijloacele intervalelor.

2. Modul - pentru o variabil statistic continu este o valoare din intervalul cu frecven maxim

3. Amplitudinea absolut a unei serii statistice este minmax xxA .

4. Dispersia

Pentru variabil aleatoare continu 2k

1j

j

2*

j

k

1j

j

2*

j Xxn

1Xx

n

1XD

, unde k

este numrul intervalelor, iar *

jx sunt mijloacele intervalelor.

5. Abaterea medie ptratic (indic gradul de mprtiere a valorilor n jurul mediei)

D

6. Coeficientul de variaie X

V

.

Exemplul 2. Relum exemplul de la pagina 1. S se mpart datele n intervale, s se reprezinte grafic i

s se calculeze indicatorii statistici.

Rezolvare. Numrul intervalelor este 5)20log(322,31 iar lungimea unui interval

1)20log(322.31

3237

. Reprezentm datele ntr-un tabel

X [32,33) [33,34) [34,35) [35,36) [36,37]

Frecvene

absolute 1 4 3 5 7

Frecvene

relative 20

1

20

4

20

3

20

5

20

7

Frecvene

absolute

cumulate

1 5 8 13 20

Frecvene

relative

cumulate 20

1

20

5

20

8

20

13 1

*

jx 32,5 33,5 34,5 35,5 36,5


33 34 35 36 37

[32,33) 1

[33,34) 4

[34,35) 3

[35,36) 5

[36,37) 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

fre

cve

nte

valori

Histograma

[32,33)

[33,34)

[34,35)

[35,36)

[36,37)

Pentru calculul indicatorilor statistici alctuim urmtorul tabel:

intervale

[32,33) 32.5 1 32.5 7.0225

[33,34) 33.5 4 134 10.89

[34,35) 34.5 3 103.5 1.2675

[35,36) 35.5 5 177.5 0.6125

[36,37] 36.5 7 255.5 12.7575

20 703 32.55

media 35.15 abaterea 1.276

dispersia 1.628

j2*

j Xx j*

jx *

jx j

- Media de selecie este 15,3520

703x

20

1X

5

1j

j

*

j

, unde *

jx sunt mijloacele intervalelor

- dispersia 628,120

55,32Xx

20

1D

5

1j

j

2*

j

- abaterea medie ptratic 276,1D

- coeficientul de variaie 036,0X

V

.

Se observ c rezultatele difer uor n cele dou cazuri. Calculele se pot face n Excel sau

Mathcad.

MA Curs 1 Statistica

Documents

Transcript of MA Curs 1 Statistica