10/29/2014

1

În schema bloc se pun în evidenta doua subsisteme

înseriate reprezentate în fig. 1.56.b : S1 - subsistemul

principal (condus) asigura dependenta marimii de iesire

y de marimea de executie m ; S2 - subsistemul de

comanda asigura dependenta marimii de executie m de

marimea de intrare în sistem, care este marimea impusa

(dorita) y* (sau de referinta r).

Asupra subsistemelor S1 si S2 actioneaza deseori si alte

marimi exterioare (de exemplu v în fig. 1.56.b) care, au de

obicei, un caracter perturbator.

In cazul generatorului - marimea perturbatoare este curentul

I. Tensiunea UG scade la cresterea curentului I datorita

caderii de tensiune pe rezistenta Rg a rotorului, conform

relatiei (1.206).

a2) Sistemele de compensare automata - functioneaza pe

principiului compensarii efectului nedorit al marimilor

perturbatoare. – principiu Victor Poncelet – savant francez

Fig, 1.57

10/29/2014

2

Pentru eliminarea sau diminuarea efectului perturbatiilor

asupra marimii de iesire se introduce un subsistem S3 (fig.

1.57), astfel încât marimea de executie m sa depinda si de

perturbatia v.

Sistemul obtinut este tot cu structura deschisa deoarece

nu exista nici un element la care marimea de intrare sa

depinda de marimea de iesire direct sau indirect.

În cazul sistemului de reglare a tensiunii generatorului

de curent continuu, fig. 1.58 pentru compensarea

perturbatiilor se utilizeaza un semnal proportional cu

curentul I, ur = RrI, tensiunea de intrare în amplificatorul A

devine: u1 = ui - ur . Tensiunea ui corespunde valorii dorite

a tensiunii UG. La cresterea curentului I, UG scade, creste ur

, scad : u1 , u2 si forta F dezvoltata de electromagnet.

Fig. 1.58

Forta Fr devine mai mare decât forta F si armatura

electromagnetului se deplaseaza în sensul micsorarii

rezistentei potentiometrului P2 din circuitul de excitatie al generatorului.

10/29/2014

3

Ca urmare, cresc ie si tensiunea electromotoare E , iar

tensiunea UG tinde la valoarea dorita. În acest fel efectul

perturbatiei este compensat. În acest sistem curentul de

excitatie ie, deci marimea de executie m , devine dependent

si de curentul I (perturbatia din sistem).

b) Sisteme dinamice cu structura închisa

- contin cel putin un subsistem la care marimea sa de

intrare este influentata de marimea de iesire direct sau

indirect. Structura cea mai simpla a acestor sisteme (fig. 1.59)

cuprinde urmatoarele subsisteme: subsistemul principal

(condus) S1 care asigura o anumita dependenta a marimii de

iesire y de marimea de executie m ; subsistemul secundar

(de reactie) S2 asigura reactia inversa (feed-back), prin care se

transmit informatii despre evolutia marimii de iesire la

subsistemul S3 ;

Subsistemul decizional S3 asigura o decizie asupra

tipului si modului de variatie a marimii de executie m ,

pentru a se realiza tranzitia intrare-iesire dorita. Acest

subsistem utilizeaza un algoritm în care marimea de intrare

u si de reactie yr au un rol important

Fig. 1.59

y

10/29/2014

4

Din aceasta grupa fac parte sistemele cu schema bloc din

fig. 1.60 în care subsistemele S3 realizeaza o comparatie

liniar - aditiva între o variabila r1 , dependenta de r , si yr

dependenta de marimea de iesire y , de formaryr 1

; apoi pe baza unui algoritm se obtine marimea de executie m .

Fig. 1.60

ryr 1Daca sistemul se numeste cu reactie inversa

negativa sau sistem de reglare automata . Marimea ε se

numeste abatere sau eroare. Daca r1 = r = y* ; yr = y , ε = y*

- y = r - y reprezinta efectiv abaterea dintre valoarea impusa

(de referinta) si valoarea reala a marimii reglate.

Pentru generatorul de curent continuu - schema din fig. 1.61.

Fig. 1.61

10/29/2014

5

Se utilizeaza un semnal ur egal sau proportional cu UG ,

care se compara cu ui . Tensiunea de intrare în

amplificator este: u1 = ui - ur. La scaderea tensiunii UG,

deci a lui ur, cresc: u1, u2, F; armatura electromagnetului

se deplaseaza în sensul micsorarii rezistentei

potentiometrului P2, înseriata cu înfasurarea de excitatie.

Curentul ie creste si determina cresterea t.e.m E si astfel

UG tinde la valoarea dorita.

Fig. 1.62

În fig. 1.62 se prezinta schema bloc a sistemului din fig. 1.61

unde

21

1

RR

Rkr

(1.207)

1.5.5.2. Clasificarea sistemelor dinamice dupa

adaptabilitate

Doua grupe de sisteme

a) sisteme conventionale;

b) sisteme adaptive.

Sistemele conventionale contin procese invariante ale

caror modele matematice nu sunt influentate de

perturbatiile care inteevin in functionarea acestora.

10/29/2014

6

Exista procese ale caror modele matematice (caracteristici

de transfer) se modifica, de obicei nepredictibil, sub actiunea

unor perturbatii, denumite parametrice.

Pentru automatizarea acestor procese se utilizeaza

dispozitive automate care realizeaza identificarea automata

a parametrilor si si în conformitate cu tranzitiile cauzale

intrare-iesire dorite, genereaza comenzile corespunzatoare

desfasurarii proceselor, cu satisfacerea criteriilor de

performante impuse. Asemenea sisteme automate se

numesc sisteme adaptive

În fig. 1.63 se prezinta structura generala a unui sistem

adaptiv in care : S1 - subsistemul de baza (principal),

S2 - subsistemul de adaptare, constituit din: a) elementul

de identificare - elaboreaza variabila de identificare β

functie de parametrii procesului .

b) blocul de calcul care elaboreaza variabila de adaptare

în conformitate cu criteriul de adaptare 1

Fig.1.63

10/29/2014

7

2.1. Descrierea intrare-ieşire a sistemelor dinamice liniaremonovariabile

Pentru descrierea intrare-ieşire un sistem dinamic, esteconsiderat ca o cutie neagră - „black box” - se determină relaţia dintre mărimile prin care sistemulinteracţionează cu mediul înconjurător: mărimile de intrare care sunt cauze şi acţionează asupra sistemuluipentru a-l conduce către un scop specificat şi mărimilede ieşire care sunt efecte şi permit observareasistemului.

Sistemele dinamice pot funcţiona în regimuri staţionaresau în regimuri tranzitorii sau dinamice.

Funcţionarea sistemelor este caracterizată prin modele

matematice care exprima proprietatile fizice ale acestora.

Modelele matematice de tip intrare-ieşire evidenţiază

numai dependenţa dintre mărimile de ieşire y(t) şi mărimile

de intrare u(t) ale sistemelor, sunt:

- ecuaţiile diferenţiale, ecuaţiile cu diferenţe, funcţiile de

transfer

Acest mod de tratare a sistemelor dinamice, este denumit

şi descriere externă.

Modelele matematice de tip intrare-stare-ieşire

evidenţiază şi comportarea internă a sistemelor prin

intermediul variabilelor de stare - descriere interna.

Unui model intrare-ieşire i se pot asocia mai multe

modele de tip intrare-stare-ieşire.

10/29/2014

8

Un sistem dinamic liniar monovariabil invariant în timp

descris de ecuaţiile de stare:

(t))(x g = y(t)

. X x, nRR t (t))u (t), (x f = x

(2.1)

În regim staţionar mărimile de intrare, de stare şi de ieşire

sunt constante

. constant = y = y(t) ; constant = u = u(t)

; 0 = (t)x ; constant = x = x(t)

ss

s

. ) x ( g = y

0 = )u ,x( f

ss

ss

Dependenţa dintre mărimea de iesire ys şi mărimea de

intrare us în regimuri staţionare este numita

caracteristică statică a sistemului . )u( = (s)y s

Dacă μ(.) este o funcţie liniară, atunci caracteristica

statică (2.4) este liniară , fig. 2.1

u k = y ss unde k este o constantă reală

ys

Fig.2.1 us

Caracteristica statică corespunde

unui model staţionar intrare-ieşire .

Pentru caracterizarea funcţionării

sistemului în regim dinamic (regim

tranzitoriu), se utilizează un

model general care include

elementele acumulatoare de

energie şi disipatoare de energie

Caracteristica dinamică asociată regimului

tranzitoriu se defineşte prin variaţia mărimii de

ieşire în timp, pentru o formă cunoscută de

variaţie în timp a mărimii de intrare

10/29/2014

9

2.2.1 Sisteme dinamice continue în timp (netede)

2.2.1.1. Ecuaţii diferenţiale ale sistemelor dinamice

netede

Pentru deducerea unui model cât mai exact al unui

sistem dat este necesar să se definească mai întâi

scopul întocmirii modelului, să se delimiteze

legăturile cu mediul înconjurător, să se evidenţiezevariabilele de interes pentru structura considerată.

Elaborarea unui model cuprinde următoarele etape:

a) se descompune sistemul în elemente componente;

b) pentru fiecare element component, pe baza legilor

fizicii, mecanicii, se alege un model idealizat -

- exprimat printr-o relaţie matematică ce leagă mărimea de

intrare şi de ieşire;

c) se determină legăturile între elementele componente

ale sistemului şi se stabilesc expresiile matematice ale

acestora;

d) se selectează mărimile de ieşire ale căror evoluţie se

studiază în funcţie de mărimile de intrare; se stabileşte

modelul întregului sistem prezentat prin relaţii algebrice,

ecuaţii diferenţiale, expresii integrale liniare sau neliniare, cu

coeficienţi constanţi sau variabili în timp

În cazul unui sistem liniar monovariabil neted

(continuu în timp), cu o intrare şi o ieşire, modelul

matematic intrare-ieşire este o ecuaţie diferenţială

cu coeficienţi constanţi

10/29/2014

10

Modelul intrare-stare-ieşire este descris de ecuaţii

vectorial-matriciale de forma:

du(t) + x(t)c = y(t)

bu(t) + Ax(t) = (t)x

T

(2.7)

unde x este vectorul de stare de dimensiune n; u, y sunt

mărimi scalare; u - mărime de intrare, y - mărime de

ieşire; A - este o matrice constantă de dimensiune n x n;

b, c sunt vectori constanţi de dimensiune n; d este o

constantă scalară.

Tranziţia intare-ieşire a sistemului (2.7) este descrisă de o

ecuaţie diferenţială de ordinul n, cu coeficienţi constanţi:

u(t)b + (t)ub + . . . + (t)ub + (t)ub =

= y(t)a + (t)ya + . . . + (t)ya + (t)ya

0(1)

1-1)(m

-1m(m)

m

0(1)

1-1)(n

-1n(n)

n

(2.8)

unde y(k)(t), k =1,n

de ordinul k a mărimii y şi derivata de ordinul j a mărimii u.

u(j)(t), j = 1,m reprezinta respectiv derivata

Se introduce operatorul de derivare p = d(.)/dt si prima

ecuatie (2.7) devine

bu(t) = A)x(t) - (pI (2.9)

unde I este matricea unitate de ordin n.

. 0 a + pa + . . . + pa + p = A) - det(pI = P(p) 01n-

1n-n

1 (2.10)

P(p) este un polinom de ordin n, determinantul matricei (pI-A).

. (t)u ] d + b )A - (pI c [ = (t)y

(t)u b)A - (pI = x(t)

1-T

-1

Din (2.9) şi (2.7) rezultă

10/29/2014

11

Se introduc notaţiile:

. n m

b + pb + . . . + pb + pb = dP(p) + (p)bQc = Q(p)

)(p)q( = A) - (pIadj = (p)QpP

ApIadjApI

01-1m

-1mm

m1T

ji,ij1

;

)(

)()( 1

Din a doua relaţie (2.11) se poate explicita

. u(t) P(p)

Q(p) = u(t) d + b

P(p)

(p)Qc = u(t) d + b

P(p)

A) - adj(pI c = y(t) 1TT

(2.12)

Elementele qij(p) sunt polinoame de grad cel mult (n-1).

Polinomul Q(p) poate avea cel mult gradul n, acelaşi cu al

polinomului P(p). Relatia (2.12) se poate scrie asltfe

. u(t) a + pa + . . . +pa + p

b + pb + . . .+ pb + pb = u(t)

P(p)

Q(p) = y(t)

01-1n

-1nn

01-1m

-1mm

m

(2.14)

Din ecuaţia (2.14) se obţine imediat ecuaţia diferenţială (2.8).

Polinomul P(p) constituie polinomul caracteristic al ecuaţiei

diferenţiale (2.8).

Exemplul 2.1. Se consideră un motor de curent continuu

cu excitaţie separată, fig.2.2

Fig. 2.2

Functionarea motorului este

descrisă de:

a) ecuaţia de echilibru a

tensiunilor din circuitul

indusului, obţinută prin

aplicarea teoremei a 2-a a lui

Kirchhoff;

b) ecuaţia de echilibru

mecanic al cuplurilor care

intervin în funcţionarea

acestuia

10/29/2014

12

. k = m ; m + m + dt

d J = ik = m

k = e ; dt

di L + iR = e - u

3ffra2m

1a

aaaa

(2.15)

unde ua este tensiunea de alimentare a indusului (rotorului) motorului

şi reprezintă mărimea de comandă a acestui sistem; ia - curentul din

circuitul indusului; Ra , La - rezistenţa şi respectiv inductanţa indusului;

e - tensiunea contraelectromotoare; k1, k2, k3 - constante de

proporţionalitate; mm - cuplul electromagnetic dezvoltat de motor;

mr - cuplul rezistent util produs de sarcină (maşina de lucru acţionată

de motor), care reprezintă mărimea perturbatoare pentru sistem;

mf - cuplul de frecare vâscoasă; ω - viteza unghiulară care reprezintă

mărimea de ieşire a sistemului; J- momentul de inerţie al maselor în

mişcare de rotaţie.

Se aleg ca variabile de stare, curentul ia şi viteza

unghiulară ω : x1 = ia ; x2 = ω ; mărimea de ieşire este

y = ω = x2.

Ţinând seama de relaţiile (2.15) ecuaţiile vectorial-matriciale intrare-stare-ieşire ale sistemului sunt

a

raaa

32

a

1

a

a

a

iy

m

J

1-

0

+ u

0

L

1

+

i

J

k-

J

k

L

k-

L

R-

=

i

10

(2.16)

In care intervin matricea de evoluţie A şi vectorii b şi cT

10;

0

1

;

T

a

32

a

1

a

a

cLb

J

k-

J

k

L

k-

L

R-

= A(2.17)

10/29/2014

13

Se calculeaza matricea (pI - A) , adj(pI-A), P(p), Q(p)

.

J

k + p

J

k -

L

k

L

R + p

= A - pI

32

a

1

a

a

JL

k =

0

L

1

L

R+p

J

k

L

k -

J

k+p

1 0 = (p)bQc = Q(p)

L

R+p

J

k

L

k -

J

k+p

= (p)Q = A) - adj(pI

JL

kk + kR +

J

k +

L

R p + p = A) - (pI = P(p)

a

2a

a

a2

a

13

1T

a

a2

a

13

1

a

213a3

a

a2

det

Ţinând cont că mărimea de intrare este u = ua şi

mărimea de ieşire este y = ω, pentru motorul de curent

continuu ecuaţia operaţională (2.14) devine

. (t)u

JL

kk + kR +

J

k +

L

Rp + p

JL

k

= u(t) P(p)

Q(p) = (t) = y(t) a

a

213a3

a

a2

a

2

. u JL

k =

JL

kk + kR + (t)

J

k +

L

R + (t) a

a

2

a

213a(1)3

a

a(2)

(2.21)

(2.22)

Exemplul 2.2. Se consideră un model simplificat al sistemului

de suspensie al roţii unui automobil, fig. 2.3, unde: m = 1/4 din

masa automobilului, kr - constanta de elasticitate a resortuluiamortizor; ka - coeficientul de amortizare al amortizorului de şoc;x - variaţia nivelului şoselei, constituind mărimea u de intrare a sistemului; y - deplasarea corpului automobiluluiconstituind mărimea de ieşire a sistemului.

10/29/2014

14

Fig. 2.3

Aplicând legea a 2-a a

dinamicii, se obţine

ecuaţia diferenţială

. 0 =x(t)] - [y(t) k +] (t)x - (t)y [ k + (t)my r(1)(1)

a(2)

Ecuaţia (2.23) se mai poate

scrie în forma

. x(t) m

k + (t)x

m

k = y(t)

m

k + (t)y

m

k + (t)y r(1)ar(1)a(2)

(2.23)

(2.24)

În ecuaţia (2.24) în al doilea membru al ecuaţiei diferenţiale

a sistemului apare si derivata semnalului de comandă (de

intrare) intervine.

Transformata Laplace constituie una din metodele de calculoperaţional utilizată pentru rezolvarea ecuaţiilorintegro-diferenţiale.

Funcţiile pentru care se poate defini transfor­mata Laplace se numesc funcţii original. O funcţie original este o funcţie de timpf(t) care satisface condiţiile:

a) f(t) = 0 pentru t < 0 ;

b) pe fiecare interval finit al axei reale, f(t) are cel mult un număr finit de discontinuităţi de speţa întâia ;

c) există două numere reale M şi σ0 astfel că

Transformata Laplace a unei funcţii original se defineşteprin relaţia

0 tpentru e M | f(t) | t0 (2.36)

10/29/2014

15

dtef(t) = F(s) st-

0

(2.37)

şi este o funcţie de variabilă complexă s = σ + jω .

Funcţia F(s) se numeşte imaginea lui f(t) şi se notează

. F(s) f(t) sau } f(t) { = F ; F L f C sR t

L (2.38)

Deoarece integrala se aplică pe semiaxa (0 , + )

transformata Laplace definită de (2.37) este unilaterală.

Se poate defini şi transformata Laplace bilaterală pe

toată axa reală, de la - la + . Integrala din (2.37) este

convergentă numai pentru Real s > σ0. În acest

domeniu F(s) este olomorfă.

Transformata F(s) definită de (2.37) este univocă şi se numeşte

transformata Laplace directă.. Transformata Laplace inversă este

univocă numai în cazul funcţiilor f(t) continue şi se defineşte prin

relaţia (2.39) si se noteaza

dseF(s) j2

1 = } F(s) { L = f(t) st

j+c

j-c

1

(2.39)

. f(t) F(s) sau } {F(s) L = f(t) -1

Transformata Laplace inversă permite determinarea funcţiei

original f(t), când se cunoaşte funcţia imagine F(s)

Utilizarea transformatei Laplace în studiul sistemelor

dinamice prezintă următoarele avantaje:

a) Transformata Laplace transformă operaţiile de

derivare şi de integrare din domeniul timpului în

operaţii algebrice (înmulţire şi împărţire cu s).