M ate m atice- exercilii 9i probleme -

pentru clasa a Vl-a

r4lBooklet

CUPRINS

Partea ITeste de evaluare initial6........ ......................7

Capitolul 1. Numere naturale

1.1. Operalii cu numere naturale .............171.2. Reguli de calcul cu puteri ................. 19

1.3. Pdtrate perfecte. Cuburi perfecte...... ....................221.4. Ultima cifrd a unei puteri. .................241.5. Evaluare sumativd .........251.6. Divizor. Multiplu..... .......271.7. Criterii de divizibilitate ............

1.8. Proprietdfi ale relafiei de divizibilitate ........... ..... 31

1.9. Numere prime, numere compuse :.i......................331.10. Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de

numere prime..;................. ................. 35

1.11. Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) ......................371.12. Multipli comuni a doud sau mai multe numere naturale.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) .'.........401.13. Probleme care se rezolvi folosind divi2ibilitatea.......................................431.14. Teste de evaluare ........." 45

Capitolul 2. Mullimea numerelor rafionale pozitive

2.1. Fracfii echivalente. Fracfie ireductibild ................48

2.2. Forme de scriere a unui numdr rafional .....'........ 53

2.3. Mdrirea sau micqorarea unei fracfii de un numdr de ori......................."....55

2.4. Compararea fracfiilor .'.'...'....'......'..'. 56

2.5. Aducerea fracliilor la acela;i numitor ................. 58

2.6. Adunarea numerelor rafionale pozitive ............... 59

2.7. Scdderea numerelor rationale pozitive...... ..........' 63

2.8. inmullirea numerelor ralionale pozitive .............. 66

2.9. Aflarea unei fracfii dintr-un numdr ...................... 68

2.10. Ridicarea la putere. Reguli de calcul cu puteri. .....................71

2.11. impartjrea numerelor rafionale pozitive ..............762.12. Aflarea unui numdr cdnd se cunoa$te o fraclie din el ........... 80

2.13. Ordinea efectu[rii operaliilor cu numere rafionale po2itive...................... 84

2.14. Media aritmeticd ponderatd a unor numere ralionale po2itive..................88

2.15. Ecua!ii................. ............922-16. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuafiilor... ...................97

Matematicd pentru clasa a VI-a. Exerci;ii ;i lroUten" *

2.17 . Teste de evaluare ......... 101

Capitolul 3. Dreapta

3.1. Punct. Dreapta. P1an........... ............. 107

3.2. Semidreaptd. Segment. Semiplan ... 111

3.3. Poziliile relative a doui drepte......... .................. 113

3.4. Distanfa dintre doud puncte. Lungimea unui segment............................. 115

3.5. Segmente congruente. Mijlocul unui segment.Simetricul unui punct fafa de un alt punct ......... ................... 118

3.6. Teste de evaluare .........120

Capitolul 4. Unghiuri

4.1. Unghiul. Mdsurarea unghiurilor. Clasificare. Unghiuri congruente .......1234.2. Calcule cu mdsuri de unghiuri .......I284.3. Unghiuri suplementare. Unghiuri complementare....................:............... 130

4.4. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi .....1324.5. Unghiuri opuse la v6rf ..................'.I344.6. Unghiuri formate in jurul unui punct ................ 135

4.7. Teste de evaluare .......'. 138

Capitolul 5. Congruen{a triunghiurilor

5.1. Triunghiul ..................... 140

5.2. Construclia triunghiurilor................ ........'........... t425.3. Congruenfa triunghiurilor oarecare ....................I445.4. Metoda triunghiurilor congruente ............... ....... t465.5. Teste de evaluare ......... 148

Capitolul 6. Variante de lucriri semestriale ......... 150

Rispunsuri.................. .......... 156

Partea a II-a

ALGEBRA

Capitolul l. Rapoarte qi propor,tii

1.1. Raport .......179L2. Procente ....1821.3. Proporfii. Aflarea unui termen necunoscut dintr-o propo(ie.................. 185

1.4. Proporfii derivate ......... 188

1.5. Mdrimi proporfionale. Regula de trei simpli .... 191

1.6. Regula de trei compus6.... ...............1971.7. $ir de rapoarte ega1e.......... .............. 199

1.8. Alte rapoarte folosite in practicd. ...202e& Caoitolul l. Numere naturale€€

Elemente de organizare a datelor ...203hobabilitati ................. .............;...... .............-.......207

Teste de evaluare...... .....-2A9

Capitolul 2. Numere intregi

\umar intreg. Mullimea numerelor intregi.

QOusul unui numSr intreg. Reprezentarea pe ax[ a numerelor intregi ...2I2\I*Julul sau valoarea absolutd a unui numdr intreg.

Cr-rmp€fare& ordonarea numerelor intregi .'........2I5Reprezentarea unui punct avAnd coordonate numere intregi,i-nu-un sistem de axe perpendiculare (ortogonale) .."..."...............'......'..-219

t a - -\dunarea numerelor intregi '.-..".-...222I r.l Suma algebrica.... .........225

:-' S;aderea numerelor intregi ........"...227

- : inmultirea numerelor inffegi. Mullimea multiplilor unui numdr intteg-230:-lmpa4ilea numerelor intregi. Mullimea divizorilor unui numdr intreg..234

- "i Puterea unui numdr lntreg cu exponent numdr natural.

Reguli de calcul cu puteri .....""......238

:": Ordinea efectudrii operafiilor Ei folosirea parantezelor........'......'............24I- . , Ecuatii in mullimea numerelor intregi."... .'....."'242

: :: Inecuatii in mullimea numerelor intregi """"""244- -l Probleme cale se rezolvd cu ajutorul ecuafiilor gi al inecualtllor.......'...247- -:. Teste de evaluare """""248

GEOMETRIE

CaPitolul 3. PerPendicularitate

Drepte perpendiculare. Distanfa de la un punct la o dreaptd. oblice ...255

inaldmea in triunghi. Aria unui triunghi """""'258Congr-uenfa triunghiurilor dreptunghice ........'.. .........""""""263\Iediatoarea unui segment. Construclia mediatoarei unui

>egment cu rigla qi compasul. Proprietatea punctelor de pe mediatoafea

unui segment. Concurenfa mediatoarelor unghiurilor unui triunghi.......266

Simetria fatd de o dreapta .....'.........268

Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi'

Construcfia bisectoarei unui unghi cu rigla gi compasul.

Concurenfa bisectoarelor unghiurilor unui triunghi ........'.'..269

Teste de evaluare .........27I

Capitolul 4. Paralelism

.!. - Lnghiuri determinate de doui drepte cu o secanta............'..'. ..'...'..'.."""273a - Drepte paralele. Axioma paralelelor. Construcfia unei drepte

paralele cu o dreaptd datd ...'.."......"276

4 -1 Criterii de para1e1ism................ ".....' 280

Matematicd pentru clasa a VI-a. Exercitii Si prObleme @

4.4- Paralele intersectate de alte paralele. Linia mijlocie a triunghiului........2g24.5. Teste de evaluare .........2g5

Capitolul 5. proprietiti ale triunghiurilor5.1. Suma misurilor unghiurilor unui triunghi.

Unghi exterior unui triunghi.................. .............2g75.2. Medianele unui triunghi .................. ....................2g15.3. Proprietdfile triunghiului isoscel ....2935.4. Proprietalile triunghiului echilateral ..................2965.5. Proprietdlile triunghiului dreptunghic ................29g5.6. Relafii intre laturile gi unghiurile unui triunghi (oplional) ......................3025.7. Teste de evaluare .........304Capitolul 6. Variante de lucriri semestriale ..........306

capitolul 7. Probleme pentru pregitirea concursurilor7 .1. Algebrd .....3I37.2. Geometrie ..................... 315

Rispunsuri.................. .....,....321

* ror"*oticd pentru clasa a vl-a. Exercilii ;i probleme

Teste de evaluare inifiall

Testul L

pentru rezolvarea corectfl a tuturor cerinfelor din Partea I qi din Partea a II'a, se

acordi 90 de puncte. Din oficiu se acordd 10 puncte'

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 45 de minute'

PARTEA I scrieti litera corespunzitoare singurului rispuns corect. (45 de puncte)

t.Rezultatul calculului 36 - 3 ' 8 este:

A.264 8.60 C. tZ D.4. 5P

2. Numdrul 147 x se divide cu 5 dacd ctfta x este egald cu:

A. 1; 8.5; c.2; D.6. 5P

3. Se dau mullimile A = {0; 1; 3; 5} qi B = t1; 5; 6; 7; Sl' Numdrulelementelor

multimii AuB este egal cu:D.7. 5PA.9; 8.5; c.2;

4.Dacd ?] = 16, atunci r este egal cu:C.4; D. 18. 5p

t25. Fractia 13 devine ireductibila daca se simplificd cu:

A. 14; B. 8;

8.2; c.3; D.30. 5PA.6;

6. Un pdtrat are latura cu lungimea de 6 cm. Perimetrul siu este egal cu:

A. 12 cm; B. 36 cm; C' 18 cm; D' 24 cm' 5P

T.Media aritmeticd a trei numere este egald ca2,5. Suma numerelor este egald cu:

A. 5,5; B. 2,8; C' 6,5; D' 7 '5' 5P

8. Dacd fractiile { si 1 sunt echivalente, atunci x este egal cu:'84A.6; 8.7; C' 1; D' 15' 5P

9. Dacd transformdm 12,5 m2 in cmz obfinem:

A. 125 cmz; g. 1Z5OOO cm2; C.0,125 cmz; D' 1250 cm2' 5p

PARTEA a II-a La urmltoarele probleme se cer rezolvdri complete. (45 de puncte)

1o. Calculali:2t2 : 2s + (33)z - 57. 9P

11. un costurn costa 540 de lei qi valoarea stofei necesard confecfion[rii lui

rcprezintdT5Vo din valoarea costumului. CAt a costat stofa costumului? 9p

11. Aflali numdrul natural x dacd A,Zx + | = 6' 9p

13. Demonstrafi ca ,o u ab + ba + 132 se divide cu 11' 9p

Matematicd pentru c!'asa a VI-a' Exercitii Si n'obt"me @

14. Distanfa dintre localitafile A qi B este de 60 km qi este parcursd de un cdldtorin ffei zile astfel: in prima zi parcurge pe jos 1240 dan, in ziua a doua parcurgecu bicicleta 366 hm. Cati km ii rdmdn de parcurs pentru ziua a treia? 9p

Testul 2

Pentru rezolvarea corecti a tuturor cerinfelor din Partea I qi din Partea a II-a, se

acord[ 90 de puncte. Din oficiu se acordi 10 puncte.Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 45 de minute.

PARTEA I Scrieti litera corespunz[toare singurului rispuns corect. (45 de puncte)

!. Rezultatul calculului 24 - 12 : 6 este:

A.6; 8.2; c.22; D. 18. 5p

2. Se dau mullimile A = { 1; 2, 3l ;i.A = {0; 4; 5, 6l. Rezultatul operaEiei AnB este:

A. 0; B. O; C.{A}: D. {0; I;2;3;4;5;61.5p

3.Ce1 mai mic numdr natural x pentru care 1572 + r se divide cu 5 este:A. 13; B. 8; C.5; D. 3. 5p

4.Restul impi(irii 3518 : 43 este egal cu:A.81: B. 18; c.35; D. alt numdr. 5p

5.0,25 transformat in fracfie ordinard ireductibilS este egal cu:

25A. _.

100

6.Rezultatul calculului ! *? este esal cu:23I 11;

6

u'i'

n. 1;6

c. I'6'

2s2C.r, D. 5

5p

5p

J. Un teren in formd de pdtrat, cu latura de 35Lungimea gardului este egalS cu:A. 120 m; B. 140 m; C. 70 m;

t.Dacd a + b = 15 qi c + b + c = 32, atunci c este egal cu:A. t7; 8.7; c.47; D.27. 5p

9. Dacd transformdm 3 tone in hg oblinem:A. 30 hg; B. 300 hg; C.3000 hg; D.30000 hg. 5p

PARTEA a II-a La urmitoarele probleme se cer rezolviri complete. (45 de puncte)

Lo. Calculafi: lQ2a: (3 ' 33) + 59 + 3712 : 53 - 28 : 64. 9p

11. Nicu are de rezolvat 40 de probleme. Pentru fiecare problema rezolvatd corectprimeqte 5 lei, iar pentru o problemd rezolvati gregit i se iau 3 lei. Cdti lei a,&

€ lrrr" initiale€F

D. 1.5

m, se imprejmuiegte cu gard.

D. 105 m. 5p