Lucrari de Laborator BCE - Sem I - 2006

7/25/2019 Lucrari de Laborator BCE - Sem I - 2006

1/30

BAZELECERCETRIIEXPERIMENTALE

LUCRRI DE LABORATOR

SEM.I

1. ELIMINAREA VALORILOR ABERANTE DIN IRURILE SIMPLEDE DATE

2. TIPURI DE REPARTIII A DATELOR EXPERIMENTALE

3. CALCULUL MEDIILOR IRULUI DE DATE EXPERIMENTALE

4.

CALCULUL MEDIILOR SERIILOR DE DATE GRUPATE PE

INTERVALE

5. ESTIMAII DE NCREDERE ALE ADEVRATEI VALORI A UNEI

MRIMI MSURATE PENTRU MSURRI DE EGALPRECIZIE N CAZUL IRULUI DE DATE

6.

ESTIMAII DE NCREDERE ALE ADEVRATEI VALORI A UNEIMRIMI MSURATE, PENTRU MSURRI DE EGALPRECIZIE, N CAZUL SERIEI DE DATE GRUPATE PEINTERVALE

7. COMPARAREA MEDIILOR N CAZUL DISPERSIILOR

CUNOSCUTE

ef lucrri dr. ing. NEDELCU FlorinProf. univ. dr. ing. ARGHIRESCU Cristea

2006


2/30

BAZELECERCETRIIEXPERIMENTALE

CuprinsI. ELIMINAREA VALORILOR ABERANTE DIN IRURILE SIMPLE DE DATE.................. 1

1.

Baze teoretice ............................................................................................................................ 1

1.1 Criteriul lui Chauvenet ....................................................................................................... 1

1.2

Compararea valorii disparate cu valoarea medie ............................................................... 2

1.3 Modul de lucru ................................................................................................................... 2

II. TIPURI DE REPARTIII ALE DATELOR EXPERIMENTALE MSURATE...................... 41. Tipuri de repartiii ..................................................................................................................... 42.

Repartiia normal ..................................................................................................................... 43.

Repartiia hi-ptrat 2 .............................................................................................................. 64.

Repartiia Student ...................................................................................................................... 7III. CALCULUL MEDIILOR IRULUI DE DATE EXPERIMENTALE.................................... 9

1.

Baze teoretice ............................................................................................................................ 9

2. Prelucrarea matematic ........................................................................................................... 10

3.

Controlul calculelor ................................................................................................................. 11

IV.

CALCULUL MEDIILOR SERIILOR DE DATE GRUPATE PE INTERVALE ................. 12

1. Baze teoretice .......................................................................................................................... 12

2. Prelucrare matematic ............................................................................................................. 12

3. Controlul calculului anterior ................................................................................................... 14

V. ESTIMAII DE NCREDERE ALE ADEVRATEI VALORI A UNEI MRIMI

MSURATE PENTRU MSURRI DE EGAL PRECIZIE N CAZUL IRULUI DE DATE. 151.

Baze teoretice .......................................................................................................................... 15

1.1 Definirea estimaiei de ncredere ..................................................................................... 151.2

Estimaia de incredere in cazul cand se cunoate precizia msurrilor........................... 15

1.3 Estimaia de ncredere n cazul cnd nu se cunoate precizia msurrilor...................... 152.

Prelucrarea matematic a datelor experimentale ..................................................................... 162.1 Date experimentale .......................................................................................................... 16

2.2 Calculul intervalului de ncredere pentru cazul cnd se cunoate precizia msurrilor.. 17

2.3 Calculul intervalului de ncredere pentru cazul cnd nu se cunoate precizia msurrilor

17

VI. ESTIMAII DE NCREDERE ALE ADEVRATEI VALORI

A UNEI MRIMIMSURATE, PENTRU MSURRIDE EGALPRECIZIE,NCAZUL SERIEI DE DATE GRUPATE PE INTERVALE ......................................................... 18

1. Baze teoretice .......................................................................................................................... 18

1.1

Atunci cnd se cunoate abaterea medie ptratic standard, ...................................... 18

1.2 In cazul cnd nu se cunoate abaterea medie ptratic standard, ............................... 18

2. Prelucrarea matematic a datelor experimentale ..................................................................... 182.1

Date experimentale .......................................................................................................... 18

2.2 Calculul intervalului de ncredere pentru cazul cnd se cunoate abaterea medieptratic, ............................................................................................................................... 20

VII. COMPARAREA MEDIILOR N CAZUL DISPERSIILOR CUNOSCUTE........................ 211.

Baze teoretice .......................................................................................................................... 21

2. Date experimentale i prelucrarea matematic ........................................................................ 22


3/30

BCELUCRRI DE LABORATOR

1

LAB. 1. ELIMINAREA VALORILOR ABERANTE DIN

IRURILESIMPLE DE DATE

1. BAZE TEORETICE

Dac n cursul unor msurtori repetate se obin rezultate care sunt mult diferite decelelalte rezultate, este de presupus c s-au strecurat eror i grosolane. ntruct rezultateledisparate au o influen disproporionat de mare asupra valorii medii, se impune ca, dendat ce au fost constatate, s se verifice, n primul rnd, condiiile n care s-au efectuatmsurtorile.

Pentru eliminarea unor astfel de rezultate grosolane (disparate) exist mai multemetode.

1.1 CRITERIUL LUI CHAUVENET

Astfel, pe baza criteriului lui Chauvenet, o valoare disparat se elimin dac

probabilitatea ce i corespunde este inferioar unui nivel,1

2P n , unde neste numrul de

msurri.

Acest test comport astfel un prag de semnificaie,1

2n ce permite s se

elimine din selecie o valoare disparatcare aparine totui populaiei iniiale.

Valoarea limitcu care se face comparaia rezult din condiia:

11

1 2 1 22

etn

(1)

Pentru stabilirea valorii limit, et , se folosete tabelul I (din Anexe).

De exemplu, ntr-un ir de 10 citiri, o valoare trebuie eliminat dac abaterea sa fa

de valoarea medie, x , considerat a fi cea mai probabil estimare a valorii adevrate, a,

este mai mare dect valoarea dat de raportul: 1,96e

. Intervalul definit de abaterile

limit 1,96e corespunde unei probabiliti de 0,95. Prin urmare, abateri mai mari

dectvaloarea limit 1,96e pot aprea doar cu o probabilitate de 5%.

Dup ce a fost eliminat o valoare pe baza criteriului lui Chauvenet, se poateproceda la verificarea oportunitii eliminrii valorii urmtoare, care prezint, deasemenea,o abatere important fa de medie, printr-o nou aplicare a acestui criteriu, considernd, de

aceasta dat, celelalte n-1 valori rmase n irul msurtorilor, .a.m.d.


4/30


2

1.2 COMPARAREA VALORII DISPARATE CU VALOAREA MEDIE

O alt metod de eliminare const n compararea valorii disparate, x, cu valoareamedie x , corespunztoare celorlalte n-1 valori din irul integral al msurtorilor.Valoareamedie x se calculeaz cu relaia:

1 2 ...

1

nx x xxn

(2)

n acest sens, este necesar s se calculeze abaterea medie ptratic de sondaj, s,neglijndu-se valoarea disparat, x, (atenie: calculul efectundu-se doar pentru celelalte n-1valori din irul msurtorilor);

12

1

1( )

2

n

i

i

s x x

n

(3)

n continuare, se determin raportul:( )

,ix x

ts

care se compar cu valorile critice

( )et p stabilite n tabelul II (din Anexe), pentru un nivel de ncredere, P, propus.

Dac valoarea t depete valoarea critic et , atunci msurtoarea x poate fieliminatcu o siguran a concluziei egal cel puin cu nivelul de ncredere P.

n caz contrar, se impune concluzia c nu exist motive suficiente de eliminareavaloriix.

1.3 MODUL DE LUCRU

Se alege un ir de date (fie construite n mod teoretic, fie date experimentaleobinute dintr-un experiment real) i se aplic criteriile prezentate mai sus. La final, se faceo comparaie ntre cele dou criterii.

Ca utilitar de calcul, se poate folosi un program de calcul tabelar (ex.: Lotus 1-2-3,MicrosoftExcel,LibreOffice/OpenOfficeCalc).

Tabel 1 - Exemplu de calcul

1. 0,54 526656,0x

12

1

1( 0,526656)

230,27752

n

i

i

s x

10 080196

x xt

S

,

1 0 019t ,

2. 0,613

3. 0,117

4. 0,712

5. 0,3885 0,497 ?t 1,879t

6. 0,934

7. 0,496

8. 0,4129. 0,493


5/30


6/30


4

LAB. 2. TIPURI DE REPARTIII ALE DATELOREXPERIMENTALE MSURATE

1. TIPURI DE REPARTIII

Dintre repartiiile utilizate n estimarea rezultatelor msurate experimental, cea maicunoscut este repartiia normal. Utilitatea ei rmne indiscutabil n cazul seturilor de datemari, (ce conin peste 30 de eantioane). n schimb, n multe alte situaii reale, pentru unnumr mai mic de valori, sunt mai utile alte distribuii, la fel de cunoscute, precumdistribuia hi-ptrat ( 2 ) i distribuia t(Student).

2. REPARTIIA NORMAL

O variabilaleatoare continuxeste repartizatnormal, avndparametrii i x ,dac densitatea i probabil itatea de apariie n cadrul setului de valori msurate sunt

definite de relaia :

2

221

( )2

z

f x e

, unde este abaterea medie ptratic,iar x este

media aritmetic a lui x, n ntreaga populaie, respectiv pentru ntregul set de valorimsurate. Reamintim c, n practic, drept soluie empiric rapid, n lipsa cunoateriivalorii adevrate, a, media aritmetic xpoate fi considerat drept cea mai probabilestimare pentru valoarea adevrat, dar necunoscut, a.

Totodat diferena: z x a x x

, reprezint abaterea variabileix fa demedia aritmetic, x , i se noteaz cu: x x . Prin urmare putem spune i c

reprezint cea mai corect aproximare a erorii zpentru ntregul set de valori msurate.

n punctul n care 0, adic x x , funcia f admite un maxim:1

( )2

f x

.

F ig. 1


7/30


5

Prin forma ei, funcia care descrie probabilitatea de apariie n cadrul setului devalori ofer vizual informaii importante asupra preciziei cu care a fost efectuat msurarea.Astfel, forma de clopot este cu att mai strns, cu cozi foarte apropiate, pentru o valoare adispersiei 2 ct mai mic (ca ex.,in Fig. 1, curbele pentru 2 0,2 i 2 0,5 ), n timp ce

pentru dispersii mari (de ex., n Fig. 1, curbele desenate pentru 2 1 i 2 5 ), formacurbei este mult aplatizat, cu cozi foarte deprtate, ceea ce arat c valorile msurate sunt

puternic dispersate fa de valoarea lor medie.

Formula care descrie repartiia datse simplific, dacnotm raportul:z

t

.

Astfel, cu noua notaie, .z x a x x

t

De reinut i faptul c se mai poate

scrie i: z t .

Cu noua variabil, t, funcia f devine

2

21

( )2

t

f t e

i se numete repartiie

normalredus (fig.1). Aria total cuprins ntre curba descris de funcia ( )f t i axa t,

definind probabilitatea ca t s aparin intervalului , este egal cu unitatea(P=1,00).

Probabilitatea Pcorespunztoare intervalului simetric 1 1,t t (fig.2) se determinfolosind proprietatea de imparitate.

1 1 12 ( )P t t t t , unde:2

1

21

0

1( )

2

t t

t e

Funcia ( )t este tabelat (vezi tabelul I - din Anexe).

Pentru valorile negative, ale noii variabile t, obinem, folosind proprietatea deimparitate: ( ) ( )t t .

F ig. 2

Se observcprobabilitatea ( )P t ,pentru z x x t , ia valori foarte mici.n mod practic, se admite n general c probabilitatea ( 3 )P este suficient de mic


8/30


6

pentru ca probabilitatea apariiei abaterilor mai mari dect 3 s poat fi consideratexclus(regula celor 3 ).

Prin urmare, din aceste raiuni practice, se acceptca valoarea aleatoare sia valorinumai nintervalul 3 .

3. REPARTIIA HI-PTRAT 2

Repartiia 2 (hi-ptrat) este utilizat, de asemenea, la construirea testelor statistice.Este folosit i la descrierea altei repartiii binecunoscute, respectiv repartiia Student.

Pentru repartiia2

, avnd kgrade de libertate, densitatea probabilitii este dat

de formula:

12 2

21 22

k x

k k

x ef x

k

Reprezentarea repartiiei 2 este ilustrat n figura urmtoare: (Fig. 3). Pentru

repartiia 2

, forma de clopot este vizibil modificat fa de cea cunoscut de la repartiianormal.

F ig. 3

O prim caracteristic a repartiiei2

, este aceea c are cozile mult maindeprtate, situaie specific unei precizii mai sczute, aspect ce este de neles pentrufaptul c numrul de valori din setul msurat, este redus. n consecin,aceast repartiieeste adecvat modelrii situaiilor cu puine valori msurate.

O alt caracteristic a diagramelor ce ilustreaz repartiia2

este faptul c ine conti de un parametru suplimentar, respectivk, numrul de grade de libertate ale funciei. Pemsur ce parametrul kcrete, forma curbei ce prezint densitatea de repartiie se apropie decea a repartiiei normale (clopotul Gauss).


9/30


7

4. REPARTIIA STUDENT

Distribuia Student, cunoscuti sub denumirea de repartiia t, a fostpropusdestatisticianul englez Gosset, cunoscut n lucrrile tiinifice din epoc sub pseudonimulStudent.

Pentru definirea acestei funcii a densitii probabilitii vom considera pentrunceput douvariabile aleatoare Xsi Y. Dacvariabila Xeste distribuitn conformitate cuo distribuie de tip hi-ptrat (sub-cap. 3) cu v grade de libertate, iar variabila Y are odistribuie normalstandard (sub-cap. 2), atunci variabila tare o distribuie Student(sau t),cu vgrade de libertate.

Respectiva funcie teste definitastfel:

YtX

v

,

Funcia fcare descrie densitatea probabilitiiacestei repartiii este:

12 2

1

2( ) 1 ,

2

vv

tf t

v v

v

unde:1

0

( ) a xa x e dx

, cu a>0, este integralagamma, a luiEuler.

Densitatea de probabilitate are ca i repartiia normal graficul sub forma unuiclopot simetric, forma graficului fiind determinatde v, numrul gradelor de libertate.

Importana repartiiei Studentconst n faptul c, dei este simetric i are form de

clopot Gauss, (Fig. 4), la fel cu repartiia normal, are, n schimb, cozi mai largi, maideprtate de valoarea medie, aspect ce evideniaz mai bine faptul c numai un numrlimitat de valori din cadrul populaiei se regsesc n jurul valorii centrale, mai ales pentrueantioane cu numr redus de valori reinutepentru analiz.

Cu ct veste mai mic, cu att curba este mai aplatizat, iar dac v , atuncigraficul curbei repartiiei Student tinde ctre graficul repartiiei normale.


10/30


8

F ig. 4

De multe ori, repartiia Student este reprezentat n forma cumulativ, ca cea dinfigura urmtoare (Fig. 5).

F ig. 5

Tabelele repartiiei t dau valori, de obicei, pentru 30v (numrul gradelor delibertate nu depete 30). Pentru valori ale 30v , repartiia tdevine foarte apropiatderepartiia normalcentr atredus.

Repartitia Student este folosit n descrierea distribuiilor de selecie n cazuleantioanelor de volum mic (n


11/30


9

LAB. 3. CALCULUL MEDIILOR IRULUI DE DATEEXPERIMENTALE

1. BAZE TEORETICE

a) Media aritmetic a valorilor irului msurtorilor nxx ,..,1 estevaloarea:

1

1 k

i

i

x xn

,

b)Abaterea medie ptratica valorilor irului nxx,..,1 de la valoarealor medie este expresia:

k2

ii=1

1*= ( - )

n s x x

c)Media ponderati abaterea medie ptratic ponderat suntdefinite de relaiile:

k

ii

k

i

ii

p

xp

x

1

1

,

k

ii

k

i ii

p

xxps

1

1

2)(*

,

22

1

1

1,...,

1

k

kpp

,

n care 1( ,..., )kp p sunt ponderile msurrilor 1( ,..., )nx x , adic numerele

invers proporionale cu dispersiile2 2

1( ,..., )k .

Calculul valorilor medii se simplific dac se iau valorile ix , ncepnd cu o

origine de calcul aleas convenabil i ntr-o scar convenabil h, alegere care conduce latransformarea liniar:

, 1 1 ,i ix c h u i n k ,..., ,..., unde k


12/30


13/30


11

,ii

uhcx ,1,0

0,25

ii

i

x

h

cxu

ale crei valori se nscriu n coloana a treia.

Se calculeaz apoi coloanele a patra i a cincea i mediile aritmetice ale acestora:

i

k

ii um

nu

1

1,

.1 2

1

2

i

k

ii um

nu

Se calculeaz media aritmetic x i abaterea medie ptraticponderat:s *:

uhcx ,22s h u u*

3. CONTROLUL CALCULELOR

n ultimele trei coloane (6, 7, 8) sunt nscrise datele pentru controlul calculelor,corespunztoare unei noi origini: 1 25 2c , . Calculele se repet folosind noua origine, iarrezultatele trebuie s coincid cu o precizie comparabil cu erorile datorate rotunjirilor.


14/30


12

LAB. 4. CALCULUL MEDIILOR SERIILOR DE DATE

GRUPATE PE INTERVALE

1. BAZE TEORETICE

Metoda pentru calculul mediilor irului de date experimentale 1,.., nx x este utili pentru calculul mediilor n cazul n care datele experimentale se grupeaz pe intervale deaceeai lungime.

n cazul seriilor de date grupate pe intervale, prin ix se noteaz mijloaceleintervalelor, ca origine de calcul se alege mijlocul intervalului median, la numrul impar deintervale mediane, iar la numrul par, drept h se consider lungimea intervalului, iar noua

variabil aleatoare iu reprezint numerele de ordine ale intervalelor considerate de laintervalul median ales.

Se calculeaz noua variabil iu cu relaia:

, unde: ii i ix c

x c h u uh

Apoi, se calculeaz mediile aritmetice ale noii variabile:

i

k

1ii um

n1u

.umn

1u

2

i

k

1ii

2

n final, se calculeaz media aritmetici abaterea medie ptratic ale variabilei

aleatoare originare ix .

x c h u 2

2* ,s h u u

2. PRELUCRARE MATEMATIC

Se consider seriile de date experimentale grupate pe k intervale, conformcoloanelor 1 i 2 din tabel.

Conform metodologiei, se adopt ca variabil aleatoare ix , mijlocul intervalelor,coloana 3, apoi se stabilete lungimea intervalelor, ca diferen ntre extremitile acestora

i se alege originea de calcul n mijlocul intervalului median, al 18-lea.


15/30


13

5 500 5 250 0 250, , , ;h 7 000 7 250

7 1252

, ,, .c

Se calculeaz noua variabil iu :

,uhcx ii ,250,0

125,7x

h

cxu iii

ale crei rezultate se nscriu n coloana a 4-a.

Se calculeazapoi apoi coloanele 5 i 6 i se calculeaz mediile acestora.

Tabel 1

k

Date iniiale Calcul Control

Intervalul im iy iu iium 2

iium iv iivm 2

iivm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5.250-5.500 1 5.375

2 5.500-5.750 2 5.625

3 5.750-6.000 3 5.875

4 6.000-6.250 4 6.125

5 6.250-6.500 7 6.375

6 6.500-6.750 10 6.625

7 6.750-7.000 15 6.875

8 7.000-7.250 17 7.125

9 7.250-7.500 12 7.375

10 7.500-7.750 9 7.625

11 7.750-8.000 7 7.875

12 8.000-8.250 7 8.125

13 8.250-8.500 3 8.375

14 8.500-8.750 1 8.625

15 8.750-9.000 2 8.875

100

- - u 2u - v 2v

k

1iimn

1

1 k

i i

i

u m un

2 2

1

1

.

k

i ii

u m un

n final, se calculeaz media aritmetici abaterea medie ptratic:


16/30


14

x c h u ,22* ,s h u u

3. CONTROLUL CALCULULUI ANTERIOR

Se reface calculul anterior, adoptnd ca nou ori gine de calculvaloarea 1 7 200,c

Pentru aceasta, se folosesc relaiile:

ii

vhcx 1 , 1 7 200

0 250

,

,i i

i

x c xv

h

1

1 k

i i

i

v m vn

,2 2

1

1 k

i i

i

v m vn

1x c h v ,22*s h u u .


17/30


15

LAB. 5. ESTIMAII DE NCREDERE ALE ADEVRATEIVALORI A UNEI MRIMIMSURATE PENTRUMSURRI

DE EGAL PRECIZIE N CAZUL IRULUI DE DATE

1. BAZE TEORETICE

1.1 DEFINIREA ESTIMAIEIDE NCREDERE

Se consider irul datelor experimentale nxx ,..,1 care nu conin erori grosolanei sistematice i care se supun unei legi de repartiie normal.

La estimaiile de ncredere se determin un interval 1 2,g g , care, cu oprobabilitate dat P, s acopere adevrata valoare a, 1 2g a g , unde

1,.., ng x x este estimaia punctual a adevratei valori a irului msurrilor,

1

1

1 n

i

a x xn

, 1,.., ng x x x .

De asemenea, se consider numai estimaii de ncredere simetrice care au form deinegaliti, numit interval de ncredere:

,x a x a x ,

n care se numete grad de precizie, care se determin fixndu-se nivelul dencredere sau siguran a estimaiei P, la una din valorile: 0,95; 0,99sau 0,999.

1.2 ESTIMAIA DE INCREDERE IN CAZUL CAND SE CUNOATE PRECIZIA

MSURRILOR

Dac se cunoate eroarea medie ptratic sau o alt caracteristic a precizieimsurrilor legat de aceasta, atunci intervalul de ncredere este de forma:

a x t P n

, (1)

unde neste numrul msurrilor, iar valoarea t(P) se determin fixndu-se nivelulde ncredere P cu ajutorul relaiei:

2 t P ,conform tabelului anexa II.

1.3 ESTIMAIA DE NCREDERE N CAZUL CND NU SE CUNOATE PRECIZIA

MSURRILOR

Dac eroarea medie ptratic nu se cunoate, atunci se utilizeaz n locul acesteiaabaterea standard empirics:


18/30


16

2 2*

1 1

1 1

1 1 1

n n

i i

i i

n ns s x x x x

n n n n

(2)

care reprezint o estimaie a erorii medii ptratice .In acest caz, intervalul de ncredere este:

*

, , ,s s

a x t P k a x t P k n n

, 1nk , (3)

unde factorul t(P,k) depinde att de nivelul de ncredere, P, ct i de numrulmsurtorilor, n, sau numrul gradelor de libertate, k, iar valorile sunt date n tabelul anexIV.

2. PRELUCRAREA MATEMATIC A DATELOR EXPERIMENTALE

2.1 DATE EXPERIMENTALE

Se cunosc rezultatele a 20 msurri ale variabilei aleatoare x, iar meste numrulmsurrilor avndaceeai valoare a variabilei, (conform tabelului 1).

Se alege ca origine de calcul c = 25,00 , iar scara noii variabile, u, se adopt ca fiindh=0,05. (c=25,00; h=0,05)

Tabel 1

Se calculeaz noua variabil iu :

25

,0,05

i ii i i

x c xx c hu u

h

, (4)

ale crei valori se nscriu n coloana a treia. Se determin apoi coloanele a patra i acincea i se determin mediile aritmetice ale acestora:

k

Date iniiale Calcul (c=25, h=0,05) Verificare (c=25, h=0,05)

ix

im

iu

iium 2

iium iv iivm

2

iivm

1 24,8 2

2 24,9 4

3 25,1 3

4 25,2 2

5 25,3 4

6 25,4 3

7 25,6 2

10

1ii

mn u 2u 2v


19/30


17

7 72 2

1 1

1 1,

20 20i i i i

i i

u m u u m u

. (5)

Se calculeaz apoi media aritmetic i abaterea medie ptratic:

2 2, *x c hu s h u u . (6)

n sfrit, se face o verificare a calculelor pentru o nou origine, c=25,20 i h=0,05.

2.2 CALCULUL INTERVALULUI DE NCREDERE PENTRU CAZUL CND SE CUNOATE

PRECIZIA MSURRILOR

Se presupune cunoscut precizia msurrilor, 0 30, , i se vrea s se estimezeadevrata valoare a mrimii msurate, cu o siguran P=0,99.

Din tabelul prezentat n anexa II, pentru 2 0 99( ) ,P t , se gsete t=2,576.

Apoi, cunoscnd media aritmetic,x , i abaterea medie ptratic, *s , din relaia(6) se determin intervalul de ncredere, folosind relaia (1).

2.3 CALCULUL INTERVALULUI DE NCREDERE PENTRU CAZUL CND NU SE CUNOATE

PRECIZIA MSURRILOR

n acest caz, n locul abaterii medii ptratice standard, , se utilizeaz abaterea

standard empiric, *s , care a fost determinat cu relaia (6).

n sfrit, cu relaia (3), se exprim intervalul de ncredere, pentru k= 20-1= 19 it(0,99; 19), conform tabelului din Anexa IV, prin interpolare liniar dup gradul de libertate,k.


20/30


18

LAB. 6. ESTIMAII DE NCREDERE ALE ADEVRATEIVALORI A UNEI MRIMIMSURATE, PENTRU

MSURRI DE EGALPRECIZIE, NCAZUL SERIEI DEDATE GRUPATE PE INTERVALE

1. BAZE TEORETICE

1.1 ATUNCI CND SE CUNOATE ABATEREA MEDIE PTRATIC STANDARD,

estimaia cu ajutorul intervalului de ncredere

s

a - x < t P n

(1)

se poate aplica i la serii de date grupate pe intervale, dac lungimea intervalului heste suficient de mic.

1.2 IN CAZUL CND NU SE CUNOATE ABATEREA MEDIE PTRATIC STANDARD,

estimaia cu ajutorul intervalului de ncredere,

ks s

a - x < t P,k a - x < t P,k k = n - 1kn

, , (2)

nu mai este posibil.

Uzual, pentru seria de date grupate pe intervale cu abaterea medie ptratic standard , necunoscutei i se aplic regula trei sigma:

,3s

a - x 0,99 ,numai pentru un numr suficient de mare de msurri, de ordinul a o sut de msurri nsetul prelucrat, sau chiar mai mare, i pentru lungimea ha intervalului suficient de mic, cel

puin de dou-trei ori mai mic decat ks .

2. PRELUCRAREA MATEMATIC A DATELOR EXPERIMENTALE

2.1 DATE EXPERIMENTALE

Sunt date 120 rezultate grupate pe intervale de aceeai lungime, conform tabelului1.


21/30


19

In acest caz, prin ix se noteaz mij loacele intervalulu i, iar ca origine de calculsealege mijlocul intervalului median, la numrul impar de intervaleegale, sau mijlocul uneia

dintre cele dou intervale mediane, la numrul par, iar heste lungimea intervalulu i:c=9,475 ; h=9,300-9,250=0,050.

Tabel 1

Se calculeaz noua variabil in :

9 475

0 05

i ii i i

x c xx c hn n

h

,,

,

valorile acestea nscriindu-se n coloana a patra. Apoi, se calculeaz coloanele acincea i a asea i se determin mediile aritmetice ale acestora:

10 102 2

1 1

1 1

120 120i i i ii iu m u u m u, . Se calculeaz apoi media aritmetic a variabilei ix i abaterea medie ptratic

empirics*:

x = c + hn ,22* uuhs

In final se face o verificare a calculelor pentru o nou origine, 1 9 525c , .

k Intervali

x i

m i

u ii

um 2ii

um iv iivm 2

iivm

1 9.250-9.300 9.275 3

2 9.300-9.350 9.325 8

3 9.350-9.400 9.375 10

4 9.400-9.450 9.425 17

5 9.450-9.500 9.475 23

6 9.500-9.550 9.525 25

7 9.550-9.600 9.575 15

8 9.600-9.650 9.625 9

9 9.650-9.700 9.675 6

10 9.700-9.750 9.725 4

-

120

- -

10

1ii

mn u 2

u v 2

v


22/30


20

2.2 CALCULUL INTERVALULUI DE NCREDERE PENTRU CAZUL CND SE CUNOATE

ABATEREA MEDIE PTRATIC,

1.Se calculeaz mai nti abaterea standard empiric corectat de ctre Sheppard,

conform relaiei (4).2.Se rezolv apoi intervalul de ncrederepentru estimarea adevratei valori a

mrimii msurate conform regulii 3 (trei sigma), cu relaia (3).

3.Se verific condiia pentru lungimea intervalului: s *h < .2...3


23/30


21

LAB. 7. COMPARAREA MEDIILOR N CAZUL DISPERSIILOR

CUNOSCUTE

1. BAZE TEORETICE

Se presupune c s-au efectuat n1 msurri independente de egal precizie, ntr-oprim serie de msurri, i n2 n cea de a doua serie, i c se cunosc dispersiile erorilor n

cele dou serii, respectiv, 21 i respectiv2

2 .

Compararea mediilor se face n urmtoarele etape:

a) se calculeaz mediile aritmetice 1x si 2x ale rezultatelor msurrilor din cele

dou serii;b) pentru a rspunde la ntrebarea dac diferena dintre cele dou medii aritmetice

este aleatoare sau nu, se calculeaz raportul:

1 2

2 2

1 2

1 2

x -xt= ;

+n n

(1)

Dac dispersiile ambelor serii de msurri sunt aceleai, atunci raportul (1) devine:

1 2

1 2

1 1

x xt

n n

. (2)

c) se fixeaz apoi un nivel de ncredereP(ex. 0,95; 0,99; 0,999) i, corespunztoracestuia, din tabelul anex II, se determin valoarea lui t(P);

d) concluzii:

dac valoarea absolut a raportului t, determinat cu relaia (1),depete valoarea t(P) gsit n tabel, t > t(P), atunci diferena

mediilor aritmetice se poate considera ca nealeatoare, numindu-se chiardiferen semnificativ, cu sigurana concluziei egal cu nivelul dencredere P, adoptat anterior. Dac ns nivelul de siguran P estenesatisfctor i se menine concluzia c diferena mediilor estesemnificativ, atunci este util s se mreasc numrul msurrilor dinfiecare serie, pentru o mare siguran a soluiei problemei;

n caz contrar, cnd valoarea calculat este inferioar valoriicorespunztoare nivelului de ncredere ales, respectiv t < t(P), nu existmotive s se considere c diferena ar fi semnificativ, astfel c ea

poate fi considerat o abatere aleatoare, iar cele dou serii de msurri

provin de la acelai eantion, cu sigurana concluziei egal cu nivelulde ncredereP, adoptat anterior;


24/30


22

2. DATE EXPERIMENTALE IPRELUCRAREA MATEMATIC

Se consider dou serii de cte 1 25n i respectiv 2 30n msurri, efectuate cu

abaterea medie ptratic standard 1 20, , conform tabelului.S se determine mediile aritmetice 1x i 2x i s se decid dac diferena lor este

semnificativ sau aleatoare.

Tabel 1

Se calculeaz noile variabile, iu , respectiv, 1iu i 2iu , cu relaia:i i

i

i

x cu

h

.

Calculul se realizeaz n urmtoarele etape:

a) se calculeaz mediile aritmetice:

1 1 1 1x c h u , 2 2 2 2x =c +h u ;

b) se determin raportul (2)cu relaia:

1 2

1 2

x -xt=

1 1 +

n n

;

Tabel 2

1k

Date iniiale Calcul ( 1c =23,50, 1h =0,01)

ix1 im1 iu1 ii um 11 2

11 iium

1 23,2 1

2 23,3 2

3 23,4 4

4 23,5 7

5 23,6 6

6 23,8 3

7 23,9 2

- 25 -

7

1ii11 mn

i1

7

1ii1

11 umn

1

n 2

i1

7

1ii1

1

2

1 umn

1

n

2k Date iniiale Calcul ( 1c =23,50, 1h =0,01)

ix2 im2 iu2 iium 22 2

22 iium

1 23,1 2

2 23,2 1


25/30


23

c) din tabelul anex II se gsete cea mai apropiat valoare, inferioar a lui t(P);

d) analiza concluziei;

i) pt. t>(P,k),diferena este semnificativ;ii) pt. t


26/30


27/30

ANEXE

i

Tabelul I


28/30

ANEXE

ii

Tabelul I I


29/30

ANEXE

iii

Tabelul I I I


30/30

ANEXE

Tabelul I V

Lucrari de Laborator BCE - Sem I - 2006

Documents

Transcript of Lucrari de Laborator BCE - Sem I - 2006