Econometrie. Studii de caz

unde:

=jyxR determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y şi

coloana x j ;

=yyR determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y şi

coloana y.

( ) 4963,1512,18951,66

16198,06198,0118662,0

6198,07917,0

1ˆ 21 =⋅−=b

( ) 2446,4619,9951,66

6158,06198,08662,017917,0

1ˆ 32 =⋅−=b

În mod analog, estimatorul $b0 se calculează din relaţia (2):

5024,37ˆ0 =b

2.1.6 Model multifactorial neliniar- funcţia Cobb-Douglas fără progres tehnic

Se cunosc următoarele date privind valoarea adăugată brută (Q), capitalul fix (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul anului) (K) şi numărul mediu de salariaţi (L), exprimate în preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2002:

Tabelul 2.6.1

Anul Valoarea adăugată brută

(mld. lei) (1990=100)

Imobilizări corporale (mld. lei )

(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi (mii pers.)

0 1 2 3 1980 767,0 2451,1 7378 1981 756,6 2630,5 7435

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Anul Valoarea adăugată brută

(mld. lei) (1990=100)

Imobilizări corporale (mld. lei )

(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi (mii pers.)

0 1 2 3 1982 762,3 2544,3 7553,2 1983 795,6 2764,7 7600,1 1984 838,6 3011,5 7585 1985 849,0 3216,1 7700 1986 865,5 3432,0 7751,9 1987 882,8 3650,3 7790 1988 886,0 3781,4 7842,6 1989 819,2 4005,5 7997,1 1990 788,1 3498,0 8156 1991 700,1 1526,6 7574 1992 668,2 2622,5 6888 1993 641,0 917,1 6672 1994 663,1 487,9 6438 1995 710,3 1811,6 6160 1996 747,6 1386,7 5939 1997 691,0 720,4 5597 1998 634,0 820,5 5369 1999 621,7 908,2 4761 2000 637,8 1300,0 4623 2001 680,6 1417,1 4619 2002 715,1 1510,2 4568

Notă: Valoarea adăugată brută este calculată conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Valoarea adăugată brută şi imobilizările corporale au fost deflaţionate cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 152-153, 366-367, 386, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 276, 303, 104, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 106, 282, 312, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 174, 175-176, 184.

Se cere: a) Să se descrie corelaţia dintre cele trei fenomene economice cu

ajutorul modelului Cobb-Douglas; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se facă discuţia

econometrică a modelului obţinut;

Econometrie. Studii de caz

c) Să se comenteze semnificaţia parametrilor modelului şi să se verifice ipoteza conform căreia funcţia de producţie este de randament constant ( )1=+ βα .

Rezolvare: a) Funcţia Cobb-Douglas se prezintă sub forma:

uLAKQ βα= (1)

unde: A= parametru de scară;

α β, = coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu fiecare din factorii de influenţă utilizaţi;

Q= valoarea adăugată brută reală; K= capitalul fix real (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul

anului); L= numărul mediu de salariaţi.

b) Modelul (1) este un model multifactorial neliniar care poate fi

transformat într-un model liniar prin logaritmare:

uLKAQ lnlnlnlnln +++= βα (2)

Facem următoarele notaţii: ln Q yt= ; ln A a= ; ln K x t= 1 ; ln L x t= 2 ;

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

tuu ′=ln .

Modelul devine:

tttt uxxay ′+++= 21 βα (3)

Estimarea parametrilor acestui model se realizează cu ajutorul

M.C.M.M.P.:

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

−−−=−=23

1

23

1

2

212 ˆˆˆminˆminˆ,ˆ,ˆ

t tttttt xxayyyaF βαβα

Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în

raport cu parametrii modelului:

( ) ( )( ) 01ˆˆˆ20ˆ 21 =−−−−⇒=′ ∑ tttt

xxayaF βα

( ) ( )( ) 0ˆˆˆ20ˆ 121 =−−−−⇒=′ ∑

ttttt xxxayF βαα

( ) ( )( )∑ =−−−−⇒=′

ttttt xxxayF 0ˆˆˆ20ˆ

221 βαβ

După efectuarea calculelor rezultă următorul sistem de ecuaţii:

na x x y

a x x x x x y

a x x x x x y

t t t

t t t t t t

t t t t t t

$ $ $

$ $ $

$ $ $

+ + =

+ + =

+ + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

α β

α β

α β

1 2

1 12

1 2 1

2 1 2 22

2

Econometrie. Studii de caz

Datele necesare rezolvării modelului se obţin pe baza tabelului de mai jos:

Tabelul 2.6.2

Nr. crt.

Valoarea adăugată

brută (mld. lei)

(1990=100)

Imobilizări corporale (mld. lei )

(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi

(mii pers.)

ty tx1 tx2 ty tu′ˆ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 767,0 2451,1 7378 6,6425 7,8043 8,9063 6,6572 -0,0147 2 756,6 2630,5 7435 6,6288 7,8749 8,9140 6,6668 -0,0380 3 762,3 2544,3 7553,2 6,6363 7,8416 8,9297 6,6655 -0,0292 4 795,6 2764,7 7600,1 6,6791 7,9247 8,9359 6,6764 0,0027 5 838,6 3011,5 7585 6,7317 8,0102 8,9339 6,6862 0,0456 6 849,0 3216,1 7700 6,7441 8,0759 8,9490 6,6964 0,0476 7 865,5 3432,0 7751,9 6,7633 8,1409 8,9557 6,7053 0,0581 8 882,8 3650,3 7790 6,7831 8,2026 8,9606 6,7134 0,0697 9 886,0 3781,4 7842,6 6,7867 8,2378 8,9673 6,7187 0,0681

10 819,2 4005,5 7997,1 6,7083 8,2954 8,9868 6,7287 -0,0204 11 788,1 3498,0 8156 6,6696 8,1599 9,0065 6,7160 -0,0464 12 700,1 1526,6 7574 6,5512 7,3308 8,9325 6,6056 -0,0544 13 668,2 2622,5 6888 6,5046 7,8719 8,8375 6,6537 -0,1491 14 641,0 917,1 6672 6,4630 6,8213 8,8057 6,5241 -0,0611 15 663,1 487,9 6438 6,4969 6,1901 8,7700 6,4435 0,0534 16 710,3 1811,6 6160 6,5657 7,5020 8,7258 6,5913 -0,0256 17 747,6 1386,7 5939 6,6169 7,2347 8,6893 6,5536 0,0633 18 691,0 720,4 5597 6,5381 6,5798 8,6300 6,4662 0,0719 19 634,0 820,5 5369 6,4520 6,7099 8,5884 6,4747 -0,0226 20 621,7 908,2 4761 6,4325 6,8115 8,4682 6,4666 -0,0342 21 637,8 1300,0 4623 6,4580 7,1701 8,4388 6,5041 -0,0461 22 680,6 1417,1 4619 6,5230 7,2564 8,4379 6,5142 0,0088 23 715,1 1510,2 4568 6,5724 7,3200 8,4268 6,5198 0,0526

Total 17120,9 50414,2 153996,9 151,9480 166,0466 193,7698 151,9480 0,0000

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul programului EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate:

Dependent Variable: ty

Method: Least Squares Included observations: 23

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4,2465 0,6405 6,6300 0,0000

tx1 0,1183 0,0287 4,1234 0,0005

tx2 0,1670 0,0876 1,9075 0,0709

R-squared 0,7498 Mean dependent var 6,6064 Adjusted R-squared 0,7248 S.D. dependent var 0,1132 S.E. of regression 0,0594 Akaike info criterion -2,6883 Sum squared resid 0,0705 Schwarz criterion -2,5402 Log likelihood 33,9153 F-statistic 29,9722 Durbin-Watson stat 0,9991 Prob(F-statistic) 0,0000

În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că:

845,263,6 20;01,0ˆ =>= ttA rezultă că parametrul a este semnficativ

diferit de zero; 845,21234,4 20;01,0ˆ =>= ttα rezultă că parametrul α este

semnficativ diferit de zero; 845,29075,1 20;01,0ˆ =<= tt

β rezultă că parametrul β nu este

semnificativ diferit de zero. Verificarea semnificaţiei variabilei Durbin-Watson, calculată în

vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor, se face cu ajutorul tabelei Durbin-Watson din care se extrag valorile 94,01 =d şi 29,12 =d , în funcţie de un prag de semnificaţie 01,0=α , de numărul de variabile

exogene ( )2=k şi de numărul observaţiilor 23=n . Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson 9991,0=cd cu cele două valori tabelate se observă că

Econometrie. Studii de caz

94,09991,0 1 =>= ddc şi 29,19991,0 2 =<= ddc rezultând indecizie

tinzând spre o slabă autocorelaţie pozitivă care poate fi neglijată. Deoarece 85,59722,29 20;2;01,0 =>= FFc rezultă că valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,01.

Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ yyyyyy tttt

2115,00705,0282,0 +=

rezultă că modelul econometric explică aproximativ 75% ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

∑∑

2

2ˆyyyy

t

t din

variaţia valorii adăugate brute reale. În final, modelul este de forma:

ttt xxy 21 167,01183,02465,4ˆ ++= ; 8659,0=R

(0,6405) (0,0287) (0,0876) 9991,0=d (4) 0594,0ˆ =′us

c) După cum se ştie, coeficientul de elasticitate este definit ca:

( )( )xd

ydE xy lnln

/ =

În modelul Cobb-Douglas, parametrii α şi β reprezintă coeficienţii

de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu cei doi factori, imobilizări fixe reale ( )1x şi numărul mediu de salariaţi ( )2x , aceştia măsurând variaţia relativă a valorii adăugate brute reale în funcţie de variaţia relativă a factorilor săi de influenţă.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Valorile celor doi parametrii au următoarea semnificaţie: 1183,0ˆ

1/ ==αxyE

167,0ˆ2/ == βxyE

La o creştere cu 1% a imobilizărilor corporale reale, valoarea adăugată brută reală creşte cu 0,12%, deci valoarea adăugată brută reală este inelastică în raport cu imobilizările corporale reale, iar pentru celălalt factor de producţie, număr mediu de salariaţi, nu poate fi făcută o evaluare econometrică, deoarece estimatorul acestuia, β , este nesemnificativ.

Ipoteza potrivit căreia funcţia este de randament constant, respectiv dacă se verifică următoarea restricţie liniară aplicată parametrilor modelului, respectiv: 1=+ βα va fi verificată cu ajutorul testului Wald15. În vederea aplicării acestui test este necesară estimarea parametrilor modelului de regresie cu restricţii, pentru care se verifică relaţia: βα −=1 , având următoarea formă:

( ) ( ) ttttt vKLaKQ +−+=− lnlnlnln β (5)

Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate:

Dependent Variable: ( )tt KQ lnln −

Method: Least Squares Sample: 1980 2002 Included observations: 23

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2,1982 0,0829 -26,5106 0,0000

( )tt KL lnln − 1,0108 0,0617 16,3731 0,0000

R-squared 0,9274 Mean dependent var -0,9312 Adjusted R-squared 0,9239 S.D. dependent var 0,5179 S.E. of regression 0,1429 Akaike info criterion -0,9707 Sum squared resid 0,4287 Schwarz criterion -0,8720 Log likelihood 13,1635 F-statistic 268,0768 Durbin-Watson stat 0,1798 Prob(F-statistic) 0,0000

15 Cf. op. cit., p. 256-258.

Econometrie. Studii de caz

( ) ( )tttt KLKQ lnln0108,11982,2lnln −⋅+−=− ; 963,0=R

(0,0829) (0,0617) 1798,0=d (6) 1429,0ˆ =vs

Se consideră că modelul (2) este modelul de regresie fără restricţii.

Aplicarea testului Wald constă în verificarea următoarei inegalităţi:

( ) 21 ;;2

22

vv

tt

t ttt

c Fknu

muvF α<

−′

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′−=

∑∑ ∑

(7)

unde:

∑ ′t

tu 2 = suma pătratelor erorilor corespunzătoare modelului de regresie fără

restricţii (2);

∑t

tv2 = suma pătratelor erorilor corespunzătoare modelului de regresie cu

restricţii (5); m = numărul de restricţii liniare; k = numărul de parametrii ai modelului de regresie fără restricţii (2); n = numărul de observaţii.

O altă variantă a acestui test este următoarea:

( )( ) ( ) 21 ;;2

22

1 vvc FknR

mRRF r

α<−−

−= (8)

unde:

=2R coeficientul de determinaţie corespunzător modelului de regresie fără

restricţii (2); =2

rR coeficientul de determinaţie corespunzător modelului de regresie cu restricţii (5).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Utilizând programul EViews în vederea aplicării testului Wald (utilizând relaţia (7)), s-au obţinut următoarele rezultate:

Wald Test: Equation: EQ01 Null Hypothesis: 1=+ βα

F-statistic 101,5390 Probability 0,0000 Chi-square 101,5390 Probability 0,0000

Deoarece 10,8539,101 20;1;01,0 =>= FFc , rezultă că ipoteza potrivit

căreia funcţia de producţie este de randament constant este respinsă. 2.1.7 Model liniar multifactorial cu variabile centrate Să se realizeze discuţia econometrică a dependenţei dintre o

variabilă endogenă y şi două variabile exogene x1 şi x2 , exprimate prin valori centrate, înregistrate la 20 de unităţi statistice, cunoscând următoarele date:

( ) ( )′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ′ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟X X X Y

3 22 3

35

; şi ( )′ =y y 12 .

Rezolvare :

Modelul econometric aferent celor trei variabile este:

20,1,22110 =+++= tuxbxbby tttt (1)

Ecuaţia (1) se însumează după t şi se împarte la n = 20 rezultând ecuaţia:

y b b x b x= + +0 1 1 2 2 (2)

Econometrie. Studii de caz

Scăzând din ecuaţia (1) ecuaţia (2), se obţine modelul:

( ) ( )y y b x x b x x ut t t t− = − + − +1 1 1 2 2 2

Notând cu:

~y y yt t= − ~x x xt t1 1 1= − ~x x xt t2 2 2= −

rezultă modelul (3) construit pe baza valorilor centrate:

~ ~ ~y b x b x ut t t t= + +1 1 2 2 (3)

Termenul liber, b0 , poate fi estimat din relaţia (2), după calculul parametrilor b1 şi b2 , astfel:

$ $ $b y b x b x0 1 1 2 2= − −

Matriceal, modelul (3) se scrie astfel:

Y XB U= + unde:

Y

yy

y

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

~~

~

1

2

20

M- vectorul valorilor centrate ale variabilei endogene;