Lucrare 11.

Criteriul de stabilitate V.M. Popov.

1. Scopul lucrării.

Lucrarea are ca principal obiectiv prezentarea criteriului Popov de stabilitate absolută.

Pe un exemplu concret privind comportarea unui sistem de reglare automată neliniar va fi

prezentată procedura de evaluare a stabilităţii absolute utilizînd criterul de stabilitate absolută

V.M.Popov.

În lucrare va fi de asemenea prezentat un program MATLAB care permite evaluarea

directă a condiţiilor de stabilitate absolută.

2. Breviar teoretic.

Considerăm cazul unui sistem neliniar de reglare automată a cărui schemă bloc este

prezentată în figura1.

0refy u sH f

y

Figura 1. Schema bloc a sistemului neliniar.

La nivel de stare, sistemul va fi caracterizat în forma:

tftu

ttxcty

tubtxAtx

T

(1)

în care

nnRA matrice reală constantă

1, nRcb vectori constanţi

f este o functie reală, scalară, continuă sau discontinuă, cu variabilă scalară .

Pentru început, se consideră cazul în care A este o matrice hurwitziană sau echivalent

funcţia de transfer a sistemului liniar

bAIscsH T 1

(2)

are polii situaţi in semiplanul stâng

CsHP (3)

Ipoteza de bază asupra dependenţei neliniare este o condiţie sectorială impusă funcţiei

f(x), în sensul că în puncatele de continuitate şi pentru 0,x

00

f xK

x

xfy

x

xKy 0

Inegalitatea (4) impune ca

graficul functiei y = f(x) să fie

cuprins în sectorul:

00y K x cu K K

Nu se exclude cazul in

care 0K si pentru care

0

10.K

(4)

Figura 2. Graficul unei funcţii sectoriale

Vom defini 0KA clasa funcţiilor cu această proprietate.In aceste ipoteze putem formula

următorul criteriu de stabilitate.

Sistemul neliniar (1) este absolut stabil pentru oricare neliniaritate 0KAf dacă

pentru un q real dat şi oricare 0 are loc inegalitatea

0

1Re 1 0j q H j

K

(5)

Vom prezenta in continuare câteva consideraţii geometrice simple legate de criteriul

prezentat si care se vor dovedi extreme de utile în aplicatii.

Vom considera funcţia de transfer a părţii liniare

VjUsHjH js (6)

Introducem caracteristica de transfer modificată si notăm

VVUU ~

,~

(7)

Cu notaţiile introduse

VqUVjUqj 1Re (8)

iar inegalitatea (5) poate fi scrisă în forma

01~~

0

K

VqU

(9)

In plenul VU~

,~

construim dreapta Popov

0~~1

0

VqUK

qarctg

1

0

1~

KU t U

~

V~

Figura 3. Graficul dreptei Popov.

(10)

care are panta 1

q şi abscisa la origine

0

1~

KU t .

Dreapta Popov (10) si caracteristica de transfer modificată (7) va avea următoarele

proprietăţi:

Caracteristica de transfer modificată se află in semiplanul drept delimitat de dreapta

Popov

Abscisa punctului de intersectie 0V cu dreapta P, tU~

, este nepozitivă

00 K deoarece pentru 0

0

10, 0K

K si daca 0K atunci .0

1

0

K

Valoarea lui tU~

este cu atât mai mare (in sensul apropierii faţă de centrul axelor de

coordonate ) cu cât K0 este mai mare si prin urmare avem un sector mai larg. Prin

urmare este dorit ca tU~

să fie cât mai mare.

Panta dreptei Popov este 1

q; pentru q = 0 panta dreptei este infinită, pentru q > 0

panta este pozitivă iar pentru q<0 panta este negativă.

În continuare vom analiza cazul în care condiţia de stabilitate impusă părţii liniare nu

este respectată deci pentru care CsHP .

0tyref f

r

sH

r

ty

Figura 3. Schema de calcul modificată pentru cazul

părţii liniare instabile.

Pentru a face posibilă analiza în continuare se propune următoarea shemă de calcul

modificată (vezi figura 3). Astfel blocul liniar cu funcţia de transfer sH este înconjurat

printr-o reacţie negativă de coeficient r astfel aleasă încât partea liniară modificată sHm

caracterizată prin funcţia de transfer

sHr

sHsHm

1 să fie stabilă , adică

CsHP m . Pentru ca funcţionalitatea schemei să nu fie afectată se va introduce o

legătură paralel înainte care înconjoară blocul neliniar . În acest caz furma neliniarităţii se

modifică corespunzător şi devine rffm . Atragem atenţia că analiza este făcută

în situaţia unui exogen complet absent ; în caz contrar trebui efectuate modificări asupra

semnalelor externe pentru a compatibiliza funcţionarea celor două scheme. În aceste condiţii

vom continua analiza pe o schemă modificată ca cea prezentată în figura 4.

0tyref mf sH m

ty

Figura 4. Scheme echivalentă modificată.

Neliniaritatea echivalentă astfel introdusă trebuie să satisfacă următoarele condiţii :

0

0

00

dxxf

f

f

m

m

m

(13)

Astfel criteriul de stabilitate absolută a stării de echilibru ( criteriul V.M.Popov) este :

pentru stabilitatea absolută a stării de echilibru a sistemului de reglare automată prezentată în

figura 3 format din elementul neliniar mf ce satisface condiţiile ( 13) şi sistemul liniar

modificat stabil sHm este suficient ca pentru un 0k să existe Rq încît pentru oricare

0 să fie satisfăcută inegalitatea :

01

1Re

kjHqj m (14)

relaţie în care

mmjsmm VjUsHjH~~ (15)

3. Mod de lucru.

Analiza stabilităţii absolute a stării de echilibru constă în determinarea condiţiilor în

care sunt îndeplinite condiţiile criteriului V.M.Popov în cazul în carea structura şi parametrii

părţii liniare sunt cunoscute. În urma analizei putem stabili valorile inegalităţii sectoriale care

delimitează neliniaritatea sistemului. Criteriul Popov permite soluţionarea problemei privind

analiza stabilităţii absolute a stării de echilibru pentru un sistem de reglare automată . Pentru

o mai bună înţelegere a modului de aplicare a criteriului Popov vom prezenta în continuare

câteva exemple privind analiza stabilităţii absolute.

Considerăm un sistem de reglare automată având schema bloc prezentată în figura 1.

Partea liniară a sistemului este caracterizată prin funcţia de transfer :

01.01.01

1

ssssH

iar partea neliniară este o funcţie sectorială fu . Urmează ca procesul de analiză să

permită determinarea coeficientului maxk care asigură stabilitatea absolută a stării de echilibru

în condiţia în care

max0 kf

.

Este evident că partea liniară a sistemului este stabilă şi nu apare necesitatea

introducerii unor reacţii suplimentare în ideea liniarizării. Pentru ca ulterior să putem

compara hodograful părţii liniare cu caracteristica Popov mudificată în figura 9 este

prezentată caracteristica de tip hodograf a părţii liniare.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Figura 9. Caracteristica hodograf a părţii liniare.

În continuare evaluăm jssHU Re , jssHV Im şi construim

simplu caracteristica modificată prin VVUU ~

,~

.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-3

Axa reala

Axa im

agin

ara

Figura 10. Caracteristica de frecvenţă modificată.

În figura 10 este prezentată caracteristica de transfer modificată. Ducem tangenta la

această caracteristică perpendiculară pe axa reală (ca dreaptă Popov) şi la intersecţia cu axa

reală obţinem 0593.01

max

k

sau .87.16max k

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-3

DreaptaPopov

-0.0593

Figura 12. Variantă de construcţie a dreptei Popov.

Dreapta Popov astfel construită asigură condiţiile impuse de criteriu pentru o

amplificare limită 87.16max k . Există posibilitatea alegerii unei variante optime în care

dreapta Popov este tangentă caracteristicii modificate în punctul de intersecţie al

caracteristicii modificate cu axa reală. Construcţia este prezentată în figura 13.

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-2

-1

0

1

2

3

4

5

x 10-4

-0.008

DreaptaPopov

Figura 13. Varianta optimă pentru dreapta Popov.

Într-o astfel de alegere stabilitatea absolută a stării de echilibru este asigurată pentru o

valoare maximă 125008.01

max

max

kk

.Prin urmare în acest caz obţinem un sector

considerabil mai mare.

Deşi procedura de construcţie a dreptei Popov este principial simplă , necesitatea

evaluărilor prin proceduri grafice pe o curbă profund neliniară complică foarte mult

evaluarea soluţiei finale. În acest context au fost elaborate mai multe programe pentru

evaluarea condiţiilor în care sunt satisfăcute condiţiile criteriului Popov.

Matlab dispune de o subrutină de acest gen : subrutina POPOV.m. În configuraţia cea

mai simplă sintaxa este ),,( minmax kdennumpopovk care întoarce valoarea maximă a unui

sector mărginit inferior de mink , pentru cazul unui sistem liniar caracterizat prin numărător şi

numitor.

Exemplu. Considerăm un sistem de reglare automată a cărui parte liniară este

caracterizată prin funcţia de transfer 13252

1234

ssss

ssH . Partea neliniară

este caracterizată de o funcţie sectorială

max0 kf

. Se cere determinarea maxk pentru

care starea de echilibru este absolut stabilă.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Popov criterion

Real Axis: Re(H(j))

Imagin

ary

Axis

:

I

m(H

(j))

Figura 14. Construcţia dreptei Popov.

Introducem de la tastatură:

>> num=[1 1];

>> den=[1 2 25 3 1];

>> roots(den)

ans =

-0.9409 + 4.8838i

-0.9409 - 4.8838i

-0.0591 + 0.1922i

-0.0591 - 0.1922i

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

s + 1

------------------------------

s^4 + 2 s^3 + 25 s^2 + 3 s

Polii sistemului liniar sunt în semiplanul stâng şi prin urmare sistemul liniar este

stabil; apelăm subrutina popov.

>> popov(num,den,0)

Popov criterion is satisfied

maximum sector bound F_max = 8.4706

şi obţinem 4706.8max k .

4. Chestiuni de studiat.

Se consideră un sistem de reglare automată având schema bloc prezentată în figura 1

în care partea liniară este caracterizată prin funcţia de transfer:

101.011.0112

1

sssssH

Să se determine limitele ce caracterizează neliniaritatea sectorială care asigură

stabilitatea absolută pentru sistemul neliniar considerat.