UNIVERSITATEA BABE Ş-BOLYAI CLUJ-NAPOCA

FACULTATEA DE MATEMATIC Ǎ ŞI INFORMATIC Ǎ

LUCRARE DE DIPLOM Ǎ

ECHILIBRU ECONOMIC CU EXTERNALIT ĂłI

Conducător ştiin Ńific

Prof. Dr. Marian Mure şan

Absolvent

Maria D. Rusu

2008

Cuprins

1 Elemente de analiză matematică, analiză funcŃională, teoria măsurii şi

analiză nenetedă 7

1.1 Elemente de analiz� matematic

�...................................................................................7

1.2 Elemente de analiz� func� ional

�....................................................................................8

1.3 Elemente de teoria m�surii...........................................................................................16

1.4 Elemente de analiz� neneted

�......................................................................................20

2 ExistenŃa unui echilibru pentru economii cu externalităŃi şi un spaŃiu cu

măsură al consumatorilor 30

2.1 Modelul �i rezultatul de existen��................................................................................30

2.1.1 Modelul �i no�iunea de echilibru..................................................................30

2.1.2 Rezultatul de existen�� pentru func�ii generale de externalitate..................32

2.1.3 Sl�birea ipotezei de convexitate EC0...........................................................34

2.2 Modelul rela� iilor de coali� ie.......................................................................................37

2.2.1 Modelul �i rezultatul de existen��.................................................................37

2.2.2 Demonstra�ia Teoremei 3..............................................................................38

2.2.3 Modelul rela� iilor de coali� ie a lui Noguchi.................................................42

2.3 Demonstra�ia teoremei de existen��.............................................................................44

2.3.1 Demonstra�ia Teoremei 2 în cazul integral m�rginit....................................44

2.3.2 Demonstra�ia Teoremei 2 în cazul general...................................................49

2.3.2.1 Trunchierea economiei...................................................................49

2.3.2.2 Pentru k destul de mare, kp >>0....................................................49

2.3.2.3 Pentru k suficient de mare, ),( kk fp este un echilibru pentru

( , )��

.........................................................................................................49

2.4 Apendix.......................................................................................................................51

2.4.1 Propriet��ile multifunc� iei quasi-cerere.......................................................53

2.4.2 Propriet��i ale rela� iilor de coali� ie ale lui Noguchi.....................................53

2.4.3 Contraexemplul lui Balder de nonexisten�� a echilibrului...........................58

3 Echilibru economic cu externalităŃi. AplicaŃii 60

3.1 Conceptul de externalitate; formele sale .....................................................................60

3.2 Analiza externalit�� ilor ...............................................................................................64

3.3 Echilibrul în condi�ii de externalitate ..........................................................................66

3.4 Nivelul optim de externalitate .....................................................................................70

3.5 Controlul externalit�� ilor ............................................................................................73

3.5.1 Interdic� ia .....................................................................................................73

3.5.2 Izolarea ........................................................................................................74

3.5.3 Reglement�rile guvernamentale ...................................................................75

Bibliografie 78

3

Introducere

Lucrarea de fa�� se bazeaz� pe echilibrul economic cu externalit

�� i, ca parte integrat� a

matematicii economice. Dezvoltarea intern� a matematicii economice a relevat imposibilitatea

utiliz�rii no�iunii de func� ie în modelare �i a impus utilizarea conceptului de multifunc�ie, cu

toate consecin�ele sale (adic�, a implicat dezvoltarea analizei multivoce (ca parte a analizei

nenetede), a teoriei punctului fix, precum �i a teoriei jocurilor.

Echilibrul economic cu externalit�� i reprezint

� un subiect de interes continuu în teoria

echilibrului. Externalit�� ile sunt definite ca �i efecte ale celui de-al treilea participant, efecte care

provin din produc�ia �i/sau consumul de bunuri �i servicii pentru care nu se pl�te�te nici o

compensa� ie convenabil�. Externalit

�� ile pot provoca un e�ec (o c�dere) al(a) pie�ei dac

�

mecanismul pre�ului nu ia în considerare toate costurile �i beneficiile sociale ale produc� iei �i consumului. Studiul externalit

�� ilor a devenit unul vast în ultimii ani - nu în ultimul rând datorit�

preocup�rilor în ceea ce prive�te leg

�turile între economie �i matematic

�.

În acest sens, este bine cunoscut faptul c� majoritatea laurea�ilor premiului Nobel în

economie au fost matematicieni: Yisrael Robert John Aumann (n.8 iunie 1930) (matematician �i economist israelian, laureat al Premiului Nobel pentru economie (2005)), John Forbes Nash Jr.

(n.13 iunie 1928) (matematician american, laureat al Premiului Nobel pentru Economie (1994)).

Analiza microeconomic� a echilibrului a fost prima dat

� formulat

� de Walras (1954) �i primele

demonstra�ii ale existen�ei sale au fost realizate de Wald (1951), McKenzie (1954) �i Arrow �i Debreu (1954).

Aceast� lucrare vorbe�te despre o economie de schimb cu un spa�iu cu m

�sur

� al

agen� ilor �i externalit�� ilor de consum, care ia în considerare dou

� efecte externe posibile în

preferin�ele consumatorilor: dependen�a de pre�uri �i cea de alte consumuri ale agen� ilor. Acestea

permit înglobarea într-un model general de externalit�� i cu rela�ii de coali� ie, în care preferin�ele

fiec�rui agent a sunt influen�ate de pre�uri �i de consumul global (sau mediu) al agen� ilor în

rela� ii finite de coali� ie asociate fiec�rui agent a.

Externalitatea dependent� de pre� este o problem

� recunoscut

� de mult timp, problem

� care �i-a g

�sit recent noi aplica� ii în studiul pie�elor financiare, în care un model Walrasian cu

preferin�e dependente de pre� are o form� redus

�. Pentru existen�a echilibrului în economii cu un

spa�iu cu m�sur

� de agen� i �i externalit

�� i de pre�, se face referire la Greenberg, care a folosit

preferin�e ordonate �i o apropiere a teoriei jocului, �i care exploateaz� ideea original

� a lui

Debreu de a introduce un juc�tor care stabile�te pre�ul.

4

Dependen�a de consumul agen� ilor a fost, de asemenea, pus� în discu�ie în ultimii ani, cu

încercarea de a avea acela�i nivel de generalitate pentru un spa� iu cu m�sur

� al agen�ilor, ca �i

pentru un num�r finit de agen� i. În aceast

� lucrare se va considera cazul agen� ilor cu preferin�e

strict tranzitive, care nu sunt neap�rat complete, ca �i în cazul lui Schmeidler (1969). Prelucrarea

de fa�� permite existen�a unei ipoteze mai slabe de convexitate asupra preferin�elor, ceea ce ofer�

posibilitatea cuprinderii rezultatelor lui Aumann, Greenberg �i Schmeidler.

În lucrarea de fa�� se propune un model cu ”num�r finit de efecte de externalitate”, adic

�,

formal, spa� iul de externalitate E este presupus a fi o submul�ime a unui spa�iu Euclidian finit

dimensional, iar externalitatea e∈ E cuprinde efectele de externalitate care rezult� atât din

dependen�a de pre�uri, cât �i din alte consumuri ale agen� ilor. Rela�ia de preferin�� a fiec�rui

agent a, care poate depinde de externalitatea e∈ E , este dat� de ,a e≺ , iar influen�a externalit

�� ii asupra preferin�elor agen� ilor este reprezentat

� de o func�ie dat� a externalit��ii � (exogen

�),

care asociaz� fiec

�rui agent a, fiec

�rui pre� p �i fiec

�rei aloc

�ri de consum f (integrabil

�),

externalitatea ( , , )e a p f= ∈� E . Astfel, fiind dat pre�ul p �i alocarea f, op�iunile agentului a vor

fi f�cute cu ajutorul rela�iei de preferin�� , ( , , )a a p f≺ � . Considerarea efectelor finite ale

externalit�� ilor determin

� o restric�ie explicit

� asupra cuplurilor (p,f) de pre�uri �i aloc

�ri de

consum (integrabile) care pot influen�a preferin�ele agen� ilor prin intermediul func�iei de

externalitate � .

Modelul anterior con� ine, în particular, cazul externalit�� ilor cu rela�ii de coali� ie care se

prezint� în continuare. Fie ( , , )A νA spa�iul cu m

�sur

� al consumatorilor, apoi modelul rela�iilor

de coali�ie pentru fiecare agent a �i fiecare pre� p, num�rul finit de rela� ii de coali� ie

( , ) ( 1,..., )kC a p k K∈ =A , care pot influen�a preferin�ele agentului a într-unul din urm�toarele

dou� moduri. Fiecare coali�ie ( , )kC a p ∈A poate fi considerat

� clas

� de referin�� a agentului a

pentru un grup particular de m�rfuri, ca de exemplu: haine, muzic

�, c

�l�torii, etc. Dependen�a

externalit�� ii opereaz

� prin intermediul vectorilor de consum de referin�� (pentru grupuri

particulare de marf�) care pot fi ob�inu� i ca �i consum total sau mediu al agen� ilor în rela� ia de

coali� ie a agentului a. Cu o singur� rela� ie de coali� ie (de ex. K=1), func�iile de externalitate 1

� �i 2

� corespunz

�toare consumului total �i mediu sunt definite, respectiv, prin:

1 ( , )( , , ) ( ) ( )

C a pa p f f dα ν α= ∫

�

[ ] [ ]

[ ]( , )

2

1( ) ( ) ( , ) 0

( , )( , , )

0 ( , ) 0

C a pf d daca C a p

C a pa p f

daca C a p

α ν α νν

ν

>

=

=

∫�

5

Ambele modele consider� un num

�r finit de efecte externe, cu spa�iul de externalitate += ℝHE ,

”orthant” pozitiv închis al spa�iului de m�rfuri ℝH , prin H în�elegând num

�rul de m

�rfuri în

cadrul economiei. În primul model, cantitatea de m�rfuri �i num

�rul de persoane ce consum

�

grupul particular de m�rfuri sunt importante deoarece, de exemplu, în cazul efectelor de re�ea:

num�rul persoanelor conectate la o re�ea (internet sau telefonie mobil

�) în rela� ia de coali� ie este

important pentru ca un agent s� decid

� conectarea sa, adic

� s� cumpere tocmai aceast

� marf

�, în

timp ce, în al doilea model, doar consumul mediu este important pentru a defini ”tendin�a de

referin��”. Principalul scop al acestei lucr

�ri este de a furniza un rezultat de existen�� a echilibrului

în modelul cu o func�ie general� de externalitate, �i apoi, de a deduce din acesta un rezultat de

existen�� în modelul rela� iilor de coali�ie atât pentru dependen�a global� cât �i pentru cea medie.

Rezultatul ob�inut cuprinde rezultatul lui Schmeidler în cazul rela� iilor de coali�ie constante

(care, a�adar, nu depinde de sistemul de pre�uri). Se generalizeaz�, de asemenea, rezultatul de

existen�� al lui Noguchi, care consider� o rela�ie de coali� ie particular

�, ce const

� din to�i agen� ii

care apar�in unei anumite clase de venit asociat� agentului a (subcapitolul 2.2.3). De asemenea,

are loc men� ionarea rezultatelor de existen�� ob�inute independent de c�tre Balder, care

generalizeaz� de asemenea pe cele ale lui Aumann, Greenberg �i Schmeidler. În modelele lui

Balder, dependen�a de externalit�� i este definit

� într-un mod diferit iar agen�ii au preferin�e

ordonate (de ex: func� ii de utilitate), pe când în modelul de fa��, agen� ii au preferin�e stricte.

Lucrarea este structurat� dup

� cum urmeaz

�.

Capitolul 1 abordeaz� aspectele teoretice din analiza matematic

�, analiza func� ional

�,

analiza neneted� �i teoria m

�surii, aspecte indispensabile în�elegii principalei teme a lucr

�rii, a

aplica� iilor semnificative ale tuturor acestor domenii, cât �i sesiz�rii tendin�elor dezvolt

�rii lor

ulterioare.

În Capitolul 2 se prezint� modelul economiilor de schimb cu func� ii de externalitate

generale �i conceptul de echilibru (subcapitolul 2.1.1), se enun�� principalul rezultat de existen�� (subcapitolul 2.1.2) �i are loc sl

�birea presupunerii de convexitate a preferin�elor (subcapitolul

2.1.3) pentru a putea realiza cuprinderea rezultatului de existen�� al lui Aumann-Hildenbrand.

Apoi se prezint� modelul rela�iilor de coali� ie (subcapitolul 2.2) �i se deduce din teorema de baz

�

existen�a echilibrului în acest model; în final, se prezint� cazul particular al modelului rela� iilor

de coali� ie considerat de Noguchi. Demonstra� ia principalului rezultat de existen�� este dat în

subcapitolul 2.3. Se demonstreaz� mai întâi un rezultat de existen�� în ipoteza suplimentar

� c�

multifunc� ia mul�imilor de consum este integral m�rginit

� (subcapitolul 2.3.1). Apoi se deduce

din aceasta rezultatul principal în cazul general (subcapitolul 2.3.2). În final, Apendix-ul prezint�

6

principalele propriet��i ale quasi-cererii individuale care sunt folosite în demonstra�ia teoremei

de existen��. Capitolul 3 reprezint

� capitolul de aplica� ii. Se prezint

� conceptul de externalitate,

formele sale, controlul externalit�� ilor, precum �i cateva exemple ale utiliz

�rii echilibrului

economic cu externalit�� i în practic

�.

7

CAPITOLUL 1

Elemente de analiză matematică, analiză funcŃională, teoria măsurii şi analiză

nenetedă

Scopul acestui capitol este de a oferi o colec�ie de rezultate cunoscute din analiza

matematic�, analiza func� ional

�, analiza neneted

� �i teoria m

�surii necesare mai târziu.

1.1 Elemente de analiză matematică

Fie X o mul�ime nevid� �i o func�ie {{{{ }}}}: .f X → ±∞→ ±∞→ ±∞→ ±∞ℝ∪

DefiniŃia 1.1.1. Fie 0 .M X/ ≠ ⊂/ ≠ ⊂/ ≠ ⊂/ ≠ ⊂ Func�ia caracteristic� ata�at� mul� imii M este func� ia

:M Xχ →→→→ ℝ definit� prin:

1,( ) :

0, .M

x Mx

x Mχ

∈∈∈∈==== ∉∉∉∉

Se admite acum c� ( , )X ρ este un spa�iu metric. Cu ( , ), 0,B a r r >>>> se noteaz

� bila

deschis� cu centrul în a X∈∈∈∈ �i de raz� r , adic

�:

{{{{ }}}}( , ) | ( , ) .B a r x X a x rρ= ∈ <= ∈ <= ∈ <= ∈ <

Dac� X este un spa�iu normat, uneori se va nota : (0,1).B B====

DefiniŃie 1.1.2. Fie un spa�iu metric X �i o func�ie {{{{ }}}}: .f X → ±∞→ ±∞→ ±∞→ ±∞ℝ∪ Func�ia f se spune c�

este continu� într-un punct 0x X∈∈∈∈ dac� �i numai dac

� pentru orice 0ε >>>> exist

�

0( ( , )) 0xδ δ ε= >= >= >= > astfel încât:

0 0 0: ( ) ( ) ( ) , ( , ).h f x f x f x x B xε ε δ= − ≤ ≤ + ∀ ∈= − ≤ ≤ + ∀ ∈= − ≤ ≤ + ∀ ∈= − ≤ ≤ + ∀ ∈

Func�ia f se spune c� este continu�, dac

� ea este continu

� pe fiecare x X∈∈∈∈ .

DefiniŃia 1.1.3. Fie o func� ie { }:f X → ±∞ℝ∪ �i un punct 0x X∈ . Atunci limita inferioar� a func�iei f în punctul 0x se define�te prin:

0 00( , )( ) 0

lim inf ( ) : sup inf ( ) sup inf ( ) .x x x V x B xV x

f x f x f xδδ→ ∈ ∈∈ >

= = V

Fie o func�ie { }:f X → ±∞ℝ∪ �i un punct 0x X∈ . Atunci limita superioar� a

func� iei f în punctul 0x se define�te prin:

8

00 0( ) 0 ( , )

limsup ( ) : inf sup ( ) inf sup ( )V xx x x V x B x

f x f x f xδ δ∈ >→ ∈ ∈

= = V

.

DefiniŃia 1.1.4. O func�ie real� f , definit

� pe un spa�iu topologic X , se nume�te superior

semicontinu� într-un punct x X∈ dac� pentru orice 0ε > exist

� o vecin

�tate V a lui x astfel

încât ( ) ( )f x f yε− < − oricare ar fi .y V∈ În mod echivalent, se poate scrie:

limsup ( ) ( )x y

f x f y→

≤ .

DefiniŃia 1.1.5. O func�ie real� f , definit

� pe un spa� iu topologic X , se nume�te inferior

semicontinu� într-un punct x X∈ dac� pentru orice 0ε > exist

� o vecin

�tate U a lui x astfel

încât ( ) ( )f y f x ε≥ − , pentru to�i .x U∈ În mod echivalent, asta se poate scrie:

lim inf ( ) ( )x y

f x f y→

≥

1.2 Elemente de analiză funcŃională

DefiniŃia 1.2.1. O func�ie : X Xρ × → ℝ se nume�te semimetric� pe o mul�ime X dac�:

a) ( , ) ( , ) ( , )x y x z z yρ ρ ρ≤ + pentru orice , ,x y z X∈ (inegalitatea triunghiului)

b) ( , ) ( , )x y y xρ ρ= pentru orice ,x y X∈

c) ( , ) 0x xρ = pentru orice x X∈ .

Din a), b) �i c) rezult� imediat c

� ( , ) 0x yρ ≥ , pentru orice ,x y X∈ .

O semimetric� ρ pe o mul�ime X se nume�te metric� pe X dac

�:

d) ( , ) 0x yρ = , cu ,x y X∈ , implic� x y= .

O pereche ( , )X ρ în care X este o mul�ime �i ρ este o semimetric� sau o metric

� pe X , se

nume�te spa� iu semimetric, respectiv spa�iu metric.

Dac� se noteaz

� cu K câmpul ℝ al numerelor reale sau câmpul ℂ al numerelor

complexe, cu 0 elementul neutru fa�� de adunarea + din K , cu 1 elementul neutru fa�� de

înmul� irea i din K �i cu ≤ rela�ia de ordine uzual� din ℝ , atunci rezult

� urm

�toarea defini� ie:

DefiniŃia 1.2.2. O mul� ime X se nume�te spa�iu vectorial (sau spa�iu liniar) peste K dac� în

X s-a dat o opera� ie intern�, numit

� adunare �i notat

� aditiv :X X X+ × → , �i o opera� ie

extern� peste K , numit

� înmul�ire cu scalari �i notat

� multiplicativ : K X X⋅ × → , care verific

�

urm�toarele axiome:

9

a) ( ) ( )x y z x y z+ + = + + pentru orice , ,x y z X∈ ,

b) exist� 0 0 0 0X XX cu x∈ ∈= ⋅ pentru orice x X∈ ,

c) 1 x x⋅ = pentru orice x X∈ ,

d) ( ) ( )x xα β α β⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ pentru orice , Kα β ∈ �i orice x X∈ ,

e) ( )x y x yα α α⋅ + = ⋅ + ⋅ pentru orice Kα ∈ �i orice ,x y X∈

f) ( ) x x xα β α β+ ⋅ = ⋅ + ⋅ pentru orice , Kα β ∈ �i orice .x X∈

Un spa�iu vectorial peste ℝ se nume�te spa�iu vectorial real.

DefiniŃia 1.2.3. O pereche ( , )X ρ , unde X este un spa�iu vectorial �i ρ este o seminorm� sau

norm� pe X , se nume�te spa�iu seminormat, respectiv spa� iu normat. O norm

� ρ se mai

noteaz� ρ = ⋅ .

DefiniŃia 1.2.4. O topologie τ pe un spa�iu vectorial X peste K se nume�te topologie

vectorial� dac�:

TV1) Adunarea 0 0 0 0( , )x y x y+֏ în X este continu� în fiecare punct 0 0( , )x y X X∈ × .

TV2) Înmul�irea cu scalari 0 0 0 0( , )x xα α֏ în X este continu� în fiecare punct

0 0( , )x K Xα ∈ × .

(Produsele carteziene X X× �i K X× din aceast� defini� ie sunt înzestrate cu topologia

produs, de aceea condi�iile TV1) �i TV2) au formul�rile echivalente:

TV1) ⇔ pentru orice 0 0( , )x y X X∈ × �i orice 0 0( )U x y+∈V exist� 0( )V x∈V �i

exist� 0( )W y∈V astfel încât V W U+ ⊂ , respectiv,

TV2) ⇔ pentru orice 0 0( , )x K Xα ∈ × �i orice 0 0( )U xα∈V exist� 0δ > �i exist

�

0( )V x∈V astfel încât { }0|K V Uα α α δ∈ < ⊂− ⋅ . )

DefiniŃia 1.2.5. Un spa�iu vectorial X peste K , dotat cu o topologie vectorial�, se nume�te

spa�iu vectorial topologic peste K . Aceast� no�iune a fost introdus

� de A. N. Kolmogorov

(1934).

DefiniŃia 1.2.6. O topologie τ pe o mul�ime X se nume�te metrizabil� dac� exist

� o metric

� ρ

pe X astfel încât τ s� fie egal

� cu topologia

ρτ introdus� de ρ pe .X Un spa�iu topologic

( , )X τ se nume�te metrizabil dac� topologia sa τ este metrizabil

�.

Spa�iile metrizabile mo�tenesc toate propriet��ile topologice ale spa� iilor metrice.

10

DefiniŃia 1.2.7. Un spa�iu topologic X se nume�te compact dac� orice acoperire deschis

� în X

a lui X include o acoperire finit� a lui X . O parte Y a unui spa�iu topologic X se nume�te

compact� dac� în X dac

� subspa�iul topologic Y al lui X este compact.

Se reaminte�te c� topologia Yτ a unui subspa�iu topologic Y al unui spa�iu topologic

( , )X τ este dat� de: { }:Y Y G Gτ τ∈= ∩ .

O parte Y a unui spa�iu topologic X se nume�te secven� ial compact� dac� orice �ir în Y

are un sub�ir convergent c�tre un element din .Y

DefiniŃia 1.2.8. Fie X un spa� iu prehilbertian. O parte U a lui X se nume�te mul�ime slab

secven� ial compact� dac� pentru orice �ir ( )n nu

∈ℕ în U exist

� un �ir ( ) ( )n nkk

u al lui uℕ∈ �i exist

�

u X∈ cu

lim ( | ) ( | )kn

kx u x u pentru fiecare x X

→∞∈= .

PropoziŃie 1.2.9. O aplica� ie :A X Y→ este compact� dac� �i numai dac

� orice �ir de elemente

din ( )A U are un sub�ir convergent c�tre un element din Y .

DefiniŃia 1.2.10. O parte Y a unui spa� iu vectorial topologic X se nume�te m�rginit� dac�

pentru orice vecin�tate V a originii lui X exist

� 0,λ > cu Y Vλ⊂ .

DefiniŃia 1.2.11. Fiind dat� o mul�ime nevid

� T , not

�m cu ( )B T mul�imea tuturor func�iilor

scalare :x T K→ , care sunt m�rginite:

( )B T = { : |x T K→ x m�rginit

�}.

Astfel, ( )B T este un spa�iu vectorial peste K , numit spa�iul func�iilor m�rginite pe T .

DefiniŃia 1.2.12. Fiind dat un spa�iu topologic nevid T , not�m cu ( )C T mul�imea:

( )C T = { : |x T K x→ continu�} �i cu ( )CB T mul�imea:

( ) ( ) ( )CB T C T B T= =∩ { : |x T K x→ continu� �i m�

rginit�}.

Spa�iul vectorial ( )C T se nume�te spa�iul func�iilor continue pe T , iar spa�iul vectorial ( )CB T

se nume�te spa�iul func�iilor continue �i m�rginite pe T . Când T este compact, avem

( ) ( ).CB T C T=

11

DefiniŃia 1.2.13. Se spune c� o rela� ie binar� ≤ într-o mul� ime T este dirijat� (superior) dac

�

pentru orice ,t t T′ ∈ exist� t T′′ ∈ , cu t t′′≤ �i t t′ ′′≤ . O mul�ime T , înzestrat

� cu o rela� ie

binar�, care este reflexiv

�, tranzitiv

� �i dirijat

�, se va numi mul�ime dirijat�. Prin �ir generalizat

într-o mul�ime X se în�elege orice aplica� ie : ,x T X→ unde ( , )T ≤ este o mul�ime dirijat�. Un �ir generalizat x în X se mai noteaz

� cu ( ) .t t Tx ∈

DefiniŃia 1.2.14. Se spune c� un �ir generalizat ( )t t Tx ∈ într-un spa�iu topologic X este

convergent c�tre un element x al lui X dac

� pentru orice ( )V x∈V exist

� 0t T∈ astfel încât

oricare ar fi t T∈ , cu 0t t≤ , s� avem .tx V∈ Un element x din aceast

� defini� ie se nume�te

limit� a lui ( )t t Tx ∈ . Faptul c� un �ir generalizat ( )t t Tx ∈ are o singur

� limit

� x se noteaz

�

lim .t tt Tx x sau x x

∈→ =

DefiniŃia 1.2.15. Un �ir generalizat ( )t t Tx ∈ dintr-un spa� iu vectorial topologic X se nume�te

fundamental dac� pentru orice (0)V∈V exist

� 0t T∈ astfel încât t sx x V− ∈ oricare ar fi

, ,x t T∈ cu 0t t≥ �i 0.s t≥

DefiniŃie 1.2.16. O serie nx∑ cu termenii într-un spa� iu normat X se nume�te:

-convergent� dac� �irul sumelor sale par�iale

1

n

kk n

x∈=

∑ℕ

este convergent c�tre un element din

X ; respectiv,

-absolut convergent� dac� seria numeric

� nx∑ este convergent

� c�tre un num

�r din ℝ .

DefiniŃia 1.2.17. O parte Y a unui spa� iu vectorial topologic X se nume�te complet� dac� orice �ir generalizat în Y , care este fundamental, este convergent c

�tre un element din .Y

DefiniŃia 1.2.18. O parte Y a unui spa� iu vectorial topologic X se nume�te secven�ial complet� dac

� orice �ir obi�nuit în Y , care este fundamental, este convergent c

�tre un element din .Y

DefiniŃia 1.2.19. Se dau dou� numere întregi 0, 0.m n≥ ≥ Se spune c

� 1m+ puncte 0,..., mv v

din spa� iul euclidian nℝ sunt afin independente dac� pentru orice

0 0,..., , ... 0m mcuλ λ λ λ∈ + + =ℝ �i 0 0 ... 0,m mv vλ λ+ + =

12

avem 0 ... 0.mλ λ= = =

Fiind da� i 1m+ vectori afin independen� i 0,..., mv v din nℝ , mul�imea:

{ }0 0 0 0... ... : ( ,..., )nm m m m mv v x v v Lλ λ λ λ= = + + ∈ ∈ℝ

unde

{ }10 0 0( ,..., ) : 0,..., 0, ... 1m

m m m mL λ λ λ λ λ λ+= ∈ ≥ ≥ + + =ℝ

se nume�te simplex m-dimensional în nℝ , iar 0,..., mv v se numesc vârfurile sale.

DefiniŃia 1.2.20. Fie X �i Y dou� spa�ii topologice. O aplica� ie :A X Y→ se nume�te

continu� în x dac� pentru orice ( ( ))V A x∈V exist

� ( )U x∈V astfel încât ( )A U V⊂ .

DefiniŃia 1.2.21. Fie X �i Y dou� spa�ii topologice. O aplica� ie :A X Y→ se nume�te

secven� ial continu� în x dac� pentru orice �ir ( )n nx

∈ℕ în X , cu nx x→ , avem ( ) ( )nA x A x→ în

.Y

DefiniŃia 1.2.22. O parte Y a unui spa�iu vectorial se nume�te mul�ime convex� dac� pentru

orice ,x y Y∈ �i orice α ∈ℝ , cu 0 1α< < , avem (1 )x y Yα α ∈+ − . Ideea de mul� ime convex�

apare, pentru prima dat�, la Arhimede în secolul 3 î.e.n.

DefiniŃia 1.2.23. Fie X un spa�iu vectorial, U X⊂⊂⊂⊂ , U nevid� �i convex

�. O func�ie :f U →→→→ ℝ

se nume�te func�ie convex� pe U dac� pentru orice ,x y U∈∈∈∈ �i orice [[[[ ]]]]0,1λ ∈∈∈∈ are loc

inegalitatea:

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ).f x y f x f yλ λ λ λ+ − ≤ + −+ − ≤ + −+ − ≤ + −+ − ≤ + −

Dac� X este un spa�iu vectorial topologic, A este o submul�ime nevid

� a sa, not

�m cu clA (sau

A) închiderea lui ,A coA învelitoarea convex� a lui A .

DefiniŃia 1.2.24. Fie X un spa�iu vectorial �i A o parte a lui .X Se noteaz�:

{ }:VA C X C convexa si A C⊂ ⊂= .

Intersec� ia

{ }: VAcoA C C∈=∩

se nume�te învelitoarea convex� a lui .A

DefiniŃia 1.2.25. Fie X un spa�iu vectorial �i Y X⊂ . Un element x al lui X de forma

1 1 ... ,n nx y yα α= + +

13

unde n∈ ℕ , 1,..., ny y Y∈ �i 1,..., 0nα α ≥ , cu 1 ... 1,nα α+ + = se nume�te combina�ie convex� de

elemente din .Y

DefiniŃia 1.2.26. Fiind dat un spa� iu normat ( , )X ⋅ , func� ia : X Xρ × →ℝ , definit� de

( , ) , , ,x y x y x y Xρ ∈= −

este, evident, o metric� în X. Dac

� spa�iul metric ( , )X ρ , astfel construit �i denumit spa� iul

metric asociat lui ( , )X ⋅ , este complet, atunci ( , )X ⋅ este spa�iu Banach.

În cele ce urmeaz�, câmpul K este privit ca spa�iu Banach în raport cu norma dat

� de

func� ia modul : K⋅ →ℝ .

DefiniŃie 1.2.27. Un spa�iu topologic X se nume�te separabil dac� exist

� o parte cel mult

num�rabil

� Y a lui X , cu .Y X=

Fie X �i Y dou� spa�ii normate peste acela�i .K Pe spa� iul vectorial *( , )X Y al tuturor

aplica� iilor liniare �i continue :A X Y→ se introduc dou� topologii vectoriale Hausdorff: una

generat� de norma:

{ } *sup ( ) : , 1 , ( , )A A x x X x A X Y∈ ≤ ∈= , �i numit� topologie uniform� în *( , )X Y , �i alta generat

� de familia suficient

� { }:xP p x X∈=

de seminorme *: ( , )xp X Y →ℝ , definite prin

*( ) ( ) , ( , )xp A A x A X Y= ∈ �i numit� topologie punctual� în *( , )X Y . A�adar, *( , )X Y are o dubl

� structur

�: el este spa�iu

normat în raport cu topologia uniform� �i spa�iu local convex Hausdorff în raport cu topologia

punctual�. Din ( )A x A x≤ ⋅ x X∀ ∈ urmeaz

� c� topologia uniform

� este mai fin

� decât

topologia punctual� în *( , )X Y .

Teorema 1.2.28. (Teorema de convexitate a lui Caratheodory, 1907). Dac� P este o parte a

unui spa�iu vectorial real de dimensiune finit� 0n≥ , atunci orice punct din învelitoarea convex

�

coP a lui P este o combina� ie convex� de cel mult n+1 puncte distincte din .P

14

DefiniŃia 1.2.29. Se nume�te spa�iu euclidian o pereche ( , ( | )nK ⋅ ⋅ ), unde ( | )⋅ ⋅ este produsul

scalar în nK , dat de

1 11

( | ) , ( ) , ( ) .n

i i i n i ni n i n

i

x y x y x x K y y K≤≤ ≤≤=

= = ∈ = ∈∑

DefiniŃia 1.2.30. În geometrie, un ” orthant” închis reprezint� una din cele 2n submul�imi ale

unui spa� iu Euclidian n-dimensional, definit� prin condi�ionarea fiec

�rei axe de coordonate

carteziene de a fi nenegativ� sau de a nu fi pozitiv

�. Asta înseamn

� c�, un orthant închis este

echivalentul unui ”quadrant” închis în plan �i unui ”octant” închis în spa�iul tridimensional. Un

”orthant” închis este definit print-un sistem de inegalit�� i:

0 1i ix pentru i nε ≥ ≤ ≤

asupra coordonatelor ix , unde fiecare iε este +1 sau -1.

”Orthant” deschis este similar, dar coordonatele trebuie s� fie pozitive sau negative (cu

definirea inegalit�� ilor: 0 1i ix pentru i nε > ≤ ≤ ).

DefiniŃia 1.2.31. Fie Y un spa�iu Banach, B bila unitate închis� din X , ( , )X A un spa�iu

m�surabil �i : ( )F X P Y→ o func�ie multivoc

�. F se spune c

� este integral m�rginit�, [4], dac

� �i numai dac

� exist

� 1( , )m X +∈ ℝLLLL astfel încât ( ) ( )F t m t B⊂ , pentru orice t X∈ .

Teorema 1.2.32. (Teorema Eberlein-Smulian[21]) O submul�ime K a unui spa�iu Banach este

slab compact� dac

� �i numai dac

� este slab secven� ial compact

�.

Teorema de maxim a lui Berge este una dintre cele mai folosite �i mai puternice teoreme

aplicate în matematica economic� �i în teoria jocurilor. Spune c

� mul�imea solu�iilor unei

probleme de maximizare variaz� în mod superior hemicontinuu dup

� cum mul�imea de

constrîngere variaz� într-un mod continuu. Teorema consider

� cazul maximiz

�rii unei func� ii

continue cu valori reale peste o mul�ime compact� care variaz

� continuu cu anumi�i vectori

parametrii. Mul�imea solu�iilor este o multifunc�ie hemicontinu� cu valori compacte. Mai mult,

valoarea func�iei maximizate variaz� continuu cu parametrii.

15

Teorema 1.2.33. (Teorema 1.2.33. (Teorema 1.2.33. (Teorema 1.2.33. (Teorema de Maxim a lui BergeTeorema de Maxim a lui BergeTeorema de Maxim a lui BergeTeorema de Maxim a lui Berge[6]). [6]). [6]). [6]). Fie ,P X spa�ii metrice �i fie

: Pϕ ~> X o multifunc� ie cu valori compacte. Fie :f X P× →ℝ continu�. Se define�te

multifunc� ia ”argmax” : Pµ ~> X prin

{( ) ( ) :p x p xµ ϕ= ∈ maximizeaz� }( , ) ( ) ,f p pe pϕ⋅ �i func�ia valoare :V P→ ℝ prin:

( ) ( , )V p f x p= pentru orice ( )x pµ∈ .

Dac� ϕ este continu

� în p , atunci µ este închis

� �i superior semincontinu

� în p �i V este

continu� în p . Mai mult, µ are valori compacte.

Lema lui Fatou stabile�te o inegalitate ce leag� integrala (în sensul lui Lebesgue) limitei

inferioare a unei �ir de func�ii cu limita inferioar� a integralelor acestor func� ii. Este numit

� dup

�

matematicianul francez Pierre Fatou (1878-1929).

Lema 1.2.34. (Lema lui Fatou) Dac� 1 2, ,...f f este un �ir de func�ii m

�surabile nenegative

definite pe un spa�iu m�surabil ( , )µΣS, atunci

liminf liminfn nn nf d f dµ µ

→∞ →∞≤∫ ∫

S S.

În partea dreapt� limita inferioar

� a lui nf este luat

� punct cu punct. Func�iile pot atinge valoarea

infinit �i integralele pot fi �i ele infinite.

Teorema 1.2.35. (Teorema de convexitate a lui Lyapunov) Fie 0T un interval compact în ℝ ,

g familia tuturor p�r�ilor m

�surabile Lebesgue ale lui 0T �i 1

0( )L T spa�iul Banach real al

claselor xɶ de func�ii 0: ,x T → �ℝ care sunt m�surabile �i integrabile pe 0T , înzestrat cu norma:

0

10( ) , ( )

Tx x t dt x x L T= ∈ ∈∫ɶ ɶ .

Pentu simplificarea scrierii, o clas� xɶ se va identifica, de regul

�, cu una dintre func� iile x care o

genereaz�.

Teorema 1.2.36. (A.A. Lyapunov, 1940). Dac� 1

1 0,..., ( ),nx x L T∈ cu 1n≥ , atunci mul�imea

L { }1( ( ) ,..., ( ) ) :nn

T Tx t dt x t dt T= ∈ ∈∫ ∫ ℝ T

este convex� �i compact

� în spa�iul euclidian nℝ .

DefiniŃia 1.2.37. Se nume�te mul�ime ordonat� o pereche ( , )X ≤ , unde X este o mul�ime �i ≤

este o rela�ie de ordine în X (reflexiv�, tranzitiv

� �i antisimetric

�).

16

DefiniŃia 1.2.38. Fie ( , )X ≤ o mul�ime ordonat�. Un element x X∈ se nume�te maximal în X

dac� y X∀ ∈ , cu x y≤ , avem .x y=

1.3 Elemente de teoria măsurii

DefiniŃia 1.3.1. Fie X o mul�ime nevid� �i ( )X⊂A P . A se spune c

� este o σ −−−− algebr� pe

X dac�:

(i) 0/ ∈/ ∈/ ∈/ ∈A ;

(ii) A∈∈∈∈A \X A⇒ ∈A ;

(iii) nA ∈∈∈∈A , 1,2,... 1 nn An==== ⇒⇒⇒⇒ ∈∈∈∈≥≥≥≥∪ A .

Urmeaz� imediat c

� X ∈A , iar dac

� nA ∈∈∈∈A , n=1,2,..., atunci 1n nA≥≥≥≥ ∈∈∈∈∩ A . Dac

� A este o

σ −−−− algebr� pe X , atunci perechea ( , )X A se spune c

� este un spa�iu m�surabil, iar elementele

din A se numesc mul�imi m�surabile sau, uneori, A -m�surabile.

Dac� iA , ,i I∈∈∈∈ este o clas

� de σ −−−− algebre pe X , atunci i I i∈∈∈∈∩ A este o σ −−−− algebr

� pe

X . Dac� 0 ( )X/ ≠ ⊂R P , atunci σ −−−− algebra generat� de R este definit

� ca intersec� ia

tuturor σ −−−− algebrelor care con�in pe R .

DefiniŃia 1.3.2. Fie ( , )X A un spa� iu m�surabil �i Y un spa� iu topologic. O func� ie :f X Y→

se spune c� este o func�ie m�surabil�, dac

� are loc una din urm

�toarele dou

� condi�ii

echivalente:

(i) pentru fiecare mul�ime deschis� V Y⊂ , mul�imea

{ }1( ) | ( )f V t X f t V− = ∈ ∈ ∈A ;

(ii) pentru fiecare mul�ime închis� C Y⊂ , mul�imea

{ }1( ) | ( )f C t X f t C− = ∈ ∈ ∈A .

Fiec�rui spa�iu topologic Y i se asociaz

� o structur

� canonic

� de spa�iu m

�surabil în care

mul�imile m�surabile vor fi, prin defini� ie, submul�imile boreliene ale lui .X

DefiniŃia 1.3.3. O clas� de mul�imi R se va numi inel de mul�imi dac

� verific

� rela�iile:

,A B A B∪∈ ⇒ ∈R R �i \A B∈R .

Un inel de mul� imi pe X care con�ine pe X se nume�te algebr� de mul�imi.

17

DefiniŃia 1.3.4. Un inel de mul�imi se va numi δ -inel (respectiv σ -inel) dac� este închis la

intersec� ii num�rabile (respectiv reuniuni num

�rabile). Un σ -inel de p

�r�i ale lui X se va numi

σ -algebr� dac� con�ine pe .X

Întrucât

1 1\ ( \ )n nn n

A A A A∈

∩ = ∪ℕ

deducem c� orice σ -inel este un δ -inel.

DefiniŃia 1.3.5. Dac� X este un spa�iu topologic, atunci σ −−−− algebra generat

� de mul� imile

deschise se spune c� este σ −−−− algebra Borel pe ,X iar elementele sale se numesc mul�imi

boreliene pe .X Clasa mul� imilor boreliene pe X se noteaz� cu ( )XB . Algebra Borel este cea

mai mic� �-algebr

� pe mul�imea numerelor reale ℝ ce con� ine intervalele, iar m�sura Borel este

m�sura pe aceast

� �-algebr

� care ata�eaz

� intervalului [a, b] m

�sura b − a (unde a < b).

M�sura Borel nu este complet

�, fapt pentru care în practic

� se prefer

� m

�sura Lebesgue

complet�: orice mul� ime Borel m

�surabil

� este de asemenea Lebesgue m

�surabil

�, iar m

�surile

mul�imilor coincid.

Într-un context mai general, fie X un spa�iu Hausdorff local compact. O m�sur

� Borel

este orice m�sur

� µ pe �-algebra, �-algebra Borel pe X.

DefiniŃia 1.3.6. Fie σP -algebra mul�imilor boreliene din nℝ . Se nume�te m�sura Lebesgue pe

nℝ o m�sur

� pozitiv

� λ pe B astfel încât:

a) este invariant� la transla� ii (adic

� pentru orice nx∈ℝ �i orice A∈B avem

( ) ( ));x A Aλ λ+ =

b) ( ) 1,Iλ = unde:

[ ] [ ] [ ]0,1 0,1 0,1n ori

I × × ×= … .

Fie ( ,X A ), ( , )Y R ) dou� σ −−−− algebre. σ −−−− algebra generat� de ×A R se noteaz

� cu

⊗A R , adic� ⊗A R este cea mai mic

� σ −−−− algebr

� care con� ine {{{{ |A R A× ∈× ∈× ∈× ∈A , }R∈R .

DefiniŃia 1.3.7. Fie ( , )X A un spa�iu m�surabil �i Y un spa�iu normat. O aplica� ie m definit

�

pe A cu valori în Y sau [[[[ ]]]]0,∞∞∞∞ se nume�te m�sur� dac� pentru orice familie {{{{ }}}}n n

A∈∈∈∈ℕ

de

mul�imi nA ∈∈∈∈A , cu 0n mA A = /= /= /= /∩ pentru n m≠≠≠≠ , avem ( ) ( ).n nnm A m An ∈∈∈∈

====∈∈∈∈ ∑∑∑∑ ℕ∪ ℕ Tripletul

18

( , , )X mA în care ( , )X A este un spa�iu m�surabil, iar m este o m

�sur

� pe A , se nume�te

spa�iu cu m�sur�. Dac� m

�sura m ia valori în intervalul [[[[ ]]]]0,∞∞∞∞ , atunci se spune c

� m este o

m�sur� pozitiv�. Dac� ( )m A < ∞< ∞< ∞< ∞ pentru orice A∈∈∈∈A , m

�sura m se spune c

� este o m�sur�

finit�. Dac� exist

� o familie {{{{ }}}}n n

A∈∈∈∈ℕ

de mul�imi nA ∈∈∈∈A cu nnA X

∈=∪ ℕ

�i ( )nm A < ∞< ∞< ∞< ∞ , pentru

orice n∈∈∈∈ℕ , atunci se spune c� m este o m�sur� σ −−−− finit�. O mul�ime E∈∈∈∈A se nume�te atom

(în raport cu m) dac� ( ) 0m E >>>> �i dac

� pentru orice A∈∈∈∈A cu A E⊂⊂⊂⊂ sau ( ) 0m A ==== sau

( ) ( )m A m E==== . M�sura m se spune c

� este o m�sur� atomic� dac

� exist

� cel pu�in un atom în

A ; m se spune c� este o m�sur� neatomic� dac

� fiecare mul�ime m

�surabil

� A∈∈∈∈A este

neatomic�.

DefiniŃie 1.3.8. Se nume�te m�sur� exterioar� pe X o func� ie

: ( )Xϕ ℝ+→P ,

care este σ -subaditiv� �i cresc

�toare, adic

�

( ) ( )A B A Bϕ ϕ⊂ ⇒ ≤ .

DefiniŃia 1.3.9. Un spa� iu cu m�sur

� ( , , )X mA (unde A este o σ −−−− algebr

� pe X , iar m este o

m�sur

� pozitiv

�) este un spa�iu complet dac

�

,A B B⊂ ∈⊂ ∈⊂ ∈⊂ ∈A , ( ) 0m B A==== ⇒⇒⇒⇒ ∈∈∈∈A .

DefiniŃia 1.3.10. Fie ϕ o m�sur

� exterioar

� pe X . O parte A a lui X se va numi ϕ -

m�surabil� dac� pentru orice parte B a lui X are loc rela� ia:

( ) ( ) ( )B B A B Aϕ ϕ ϕ= +∩ ∩CCCC .

Mul� imea A se va numi ϕ -integrabil� dac� este ϕ -m

�surabil

� �i ( )Aϕ <∞ . Se va nota cu

( )ϕI (respectiv ( )ϕS mul�imea p�r�ilor ϕ -m

�surabile (respectiv ϕ -integrabile).

DefiniŃia 1.3.11. Fie R o σ -algebr� de p

�r�i ale lui X �i fie µ o m

�sur

� pozitiv

� pe R . O

parte M X⊂ se va numi µ -m�surabil� dac� M µ∈R (adic

� este de forma

*, , ( ) 0M A B A Bµ∪= ∈ =R ).

DefiniŃia 1.3.12. (Proprietatea lui Fubini) Cuplul de m�suri ( , )µ ν satisface proprietatea lui

Fubini dac� pentru orice C∈ ⊗R S , func�iile numerice pe ,X respectiv, Y definite prin

( ), ( )yxx C y Cν µ→ →

19

sunt R -m�surabile, respectiv S -m

�surabile �i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )yxC d x C d y Cν µ µ ν µ ν= = ⊗∫ ∫ .

Not�m cu D dreptunghiul [ ] [ ], ,a b c d× din plan, unde , , , ,a b c d a b∈ <ℝ �i .c d<

Teorema 1.3.13. (G. Fubini, 1907). Dac� :f D→ K � este o func�ie integrabil

� pe D , atunci:

a) Exist� [ ],S a b⊂ �i exist

� [ ],T c d⊂ , cu m

�s S = b – a �i m�

s T = d – c, astfel încât

func� iile ( , )t f s t֏ �i ( , )s f s t֏ s� fie integrabile pe [ ],c d pentru fiecare s S∈ , respectiv pe

[ ],a b pentru fiecare .t T∈

b) Func�iile ( , )d

cs f s t dt∫֏ �i ( , )

b

at f s t ds∫֏ sunt m

�surabile pe [ ],a b , respectiv pe

[ ],c d , �i ( , ) ( , ) ( , ) ;b d d b

D a c c af s t ds dt f s t dt ds f s t ds dt

= =

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ â

c) Dac� ipoteza integrabilit

�� ii lui f pe D este înlocuit� cu condi�ia ca f s

� fie

m�surabil

� �i nenegativ

� �i dac

� este finit

� una dintre integralele repetate

( , )b d

a cf s t dt ds

∫ ∫ �i ( , ) ,

d b

c af s t ds dt

∫ ∫

atunci este finit� �i cealalt

� integral

�, f este integrabil

� pe D �i au loc egalit

�� ile de la b).

DefiniŃia 1.3.14. O func�ie :f X Y Z× → , unde ( , )X A este un spa� iu m�surabil, iar ,Y Z sunt

spa�ii topologice, se spune c� este o func�ie produs-m�surabil� dac

� f este m

�surabil

� în raport

cu σ -algebra ( )Y×A B .

DefiniŃia 1.3.15. O func�ie :f X Y Z× → , unde ( , )X A este un spa� iu m�surabil, iar ,Y Z sunt

spa�ii metrice, se spune c� este o func�ie Caratheodory (C. Caratheodory 1873-1950) dac

�:

, ( , )y Y f y∀ ∈ i este m�surabil

�

, ( , )t X f t∀ ∈ ⋅ este continu�.

1.4 Elemente de analiză nenetedă

DefiniŃia 1.4.1. Fie X �i Y dou� mul�imi nevide. O multifunc�ie F de la X la Y este o func� ie

de la X la P( )Y . Se noteaz� cu :F X Y>>>>∼ . O multifunc�ie se va nota cu liter

� mare, în vreme

20

ce o func�ie se va nota cu liter� mic

�. Dac

� multifunc� ia F satisface condi�ia c

� ( ) 0F x ≠ /≠ /≠ /≠ / ,

pentru orice x X∈∈∈∈ , atunci not�m :F X Y→→→→ �i spunem c

� ea este strict

�.

DefiniŃia 1.4.2. Dac� :F X X>>>>∼ , un punct x X∈∈∈∈ cu proprietatea ( )x F x∈∈∈∈ se nume�te punct

fix al multifunc� iei F. Not�m FFix mul�imea punctelor fixe ale lui F , adic

�

{{{{ }}}}| ( )FFix x X x F x= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈ .

DefiniŃia 1.4.3. Fie 1 2 1 2,X X Y Y⊂ ⊂ �i 1 1:F X Y>∼ , 2 2: .G X Y>∼ Atunci G se spune c� este

o extensie a lui F �i se noteaz� cu F G⊂ dac

� ( ) ( )F G⊂G G . Dac

� F este univoc

� �i G este

strict�, atunci se spune c

� F este o selec� ie a lui .G

Fie ( , , )X mA un spa� iu cu m�sur

� σ -finit

�, nu neap

�rat complet

�, �i Y un spa�iu Banach real.

Pentru 1 p≤ ≤∞ se define�te:

{ }| ( , ), ( ) ( ), . .p pF f f X Y f t F t a p t pe X= ∈ ∈S LLLL .

DefiniŃia 1.4.4. Fie ( , , )X mA un spa�iu cu m�sur

� �i Y un spa� iu Banach. Definim integrala

Aumann din multifunc� ia F pe X prin:

{ }1( ) ( ) : ( ) ( ) | .FX X

F t m dt f t m dt f= ∈∫ ∫ S

Uzual se noteaz� FS mul�imea selec� iilor m

�surabile ale multifunc� iei F .

DefiniŃia 1.4.5. Un spa� iu topologic separabil �i metrizabil cu o metric� complet

� se spune c

�

este un spa�iu polonez.

Teorema 1.4.6. (Teorema de selecŃie a lui Aumann[3], [4]) Fie ( , )X A un spa�iu m�surabil cu

o σ -algebr� σ -finit

�, Y o submul�ime Borel a unui spa�iu polonez �i :F X Y→ o multifunc� ie

graf m�surabil

�. Atunci exist

� o func�ie m

�surabil

� :f X Y→ care este selec� ie a.p.t., adic

�

( ) ( )f t F t∈ a.p.t.

DefiniŃia 1.4.7. O multifunc�ie : A BΓ → se nume�te superior hemicontinu� în punctul a dac�

pentru orice vecin�tate deschis

� V a lui ( )aΓ exist

� vecin

�tatea U a lui a astfel încât ( )xΓ

este în V pentru to�i x în .U

21

DefiniŃia 1.4.8. O multifunc� ie : A BΓ → este inferior hemicontinu� în punctul a dac� pentru

orice mul�ime deschis� V ce intersecteaz

� ( )aΓ , exist

� o vecin

�tate U a lui a astfel încât ( )xΓ

s� intersecteze pe V , pentru to�i x în .U

Termenii de inferior semicontinuitate �i superior semicontinuitate, în loc de inferior �i superior hemicontinuitate, sunt mult mai raspândi� i în literatur

�. Termenul de inferior

hemicontinuu este rezervat pentru inferior semicontinuitatea în raport cu topologia slab�, iar cel

de superior hemicontinuu este rezervat pentru superior semicontinuitatea în raport cu topologia

slab�.

În continuare se face o prezentare intuitiv� a unor idei �i concepte de baz

� ale microecomiei.

1.4.9. Teoria microeconomică

Teoria microeconomic� are drept scop analiza comportamentului individual al agen� ilor

economici �i agregarea ac� iunilor lor într-un cadru institu�ional. Patru elemente sunt relevante în

aceast� defini� ie:

(i) un agent individual este un consumator (individ, familie sau institu�ie) sau o

firm�;

(ii) prin comportament, tradi�ional, se în�elege urm�rirea maximiz

�rii utilit

�� ii �i a

maximiz�rii profitului;

(iii) cadrul institu�ional este, tradi�ional, mecanismul pre�ului într-o pia�� impersonal�;

(iv) modul de analiz� urm

�re�te agregarea comportamentului agen� ilor �i analiza

echilibrului.

Scopul este de a în�elege mai bine atât ie�irile cât �i activitatea economic�. Aceast

�

în�elegere este util� în dou

� sensuri:

(i) în sens pozitiv, adic� beneficiul cunoa�terii mai aprofundate a fenomenului

microeconomic;

(ii) în sens normativ, adic� abilitatea de a se interveni sau nu, atât la nivel

guvernamental cât �i la nivel institu�ional

Se analizeaz� succint o pia�� cu o singur

� marf

�, fie ea carnea de pas

�re, figura 1 Dac

�

pre�ul c�rnii de pas

�re urc

�, oamenii vor cump

�ra mai pu�in� carne de pas

�re. Dac

� pre�ul c

�rnii

de pas�re scade, oamenii vor cump

�ra mai mult

� carne de pas

�re. Acest lucru este sugerat în

figura 2.

22

Figura 1: Cerere-ofert� Figura 2: Modificarea ofertei

Acesta este un model al pie�ei c�rnii de pas

�re. Despre acest model se spune c

� este în

echilibru dac� cerea �i oferta coincid. În figura 1.1. p este pre�ul de echilibru �i q este cantitatea

de echilibru. Nimeni nu cump�r� mai mult la acest pre� �i nici un furnizor nu livreaz

� mai pu�in

la acest pre�.

Pre�ul are mai multe func� ii în economie. Se amintesc aici câteva:

(i) informare. Cel mai important, pre�urile ofer� informa�ii asupra relativei limit

�ri a

diferitelor bunuri f�r� a oferi, în mod necesar, informa� ii asupra cantit

�� ilor produse, a

modului, locului sau datei de producere;

(ii) ra�ionalitate. Pre�urile previn epuizarea resurselor limitate (pre�urile mai mari

preîntâmpin� cererea excesiv

�);

(iii) venit. Pre�urile determin� veniturile, inclusiv pre�ul for�ei de munc

� (al salariului).

Se presupune c� oferta de carne de pas

�re scade datorit

� unei epidemii aviare severe.

Curba ofertei translateaz� la stânga. Pentru fiecare pre� este furnizat

� o cantitate mai mic

� de

carne de pas�re decât înainte. Cantitatea de echilibru scade, iar pre�ul de echilibru cre�te.

1.4.10. Mărfuri şi preferin Ńe

Consumatorul face alegeri din ni�te pachete de m�rfuri. Teoria consumatorului

modeleaz� felul în care aceste alegeri sunt f

�cute.

Un bun este un produs (de exemplu: pantofi, mere, pere, etc). Un bun poate fi specificat

în termeni de timp (mere de ast�zi, mere de mâine) sau/�i loc (mere de Cluj).

Un pachet de bunuri este o colec�ie de bunuri (de exemplu: 2 mere de Cluj). Un pachet

de bunuri poate con�ine atâtea bunuri câte se cer. Dac� se lucreaz

� cu doar dou

� bunuri,

23

reprezentarea plan� este facil

� �i util

�. Astfel, x=(2 mere, 4 pere), y=(1 m

�r, 2 pere), z=(3 mere,

1 p�r).

Premisa de baz� în teoria consumatorului este c

� fiecare consumator are preferin�e asupra

pachetelor de bunuri. Atunci rezult� c�:

(i) x y≻ dac� �i numai dac

� pachetul x este preferat strict pachetului y;

(ii) x y∼ dac� �i numai dac

� pachetul x nu este preferat strict pachetului y �i y nu

este preferat strict pachetului x. Consumatorul este indiferent între cele 2 pachete;

(iii) x�y dac� �i numai dac

� pachetul x este preferat strict pachetului y sau

consumatorul este indiferent între cele 2 pachete.

Înarmat cu aceste preferin�e, consumatorul poate compara diferite pachete de bunuri. A

lucra cu preferin�e, îns�, nu este întotdeauna u�or. Tocmai de aceea se va introduce un alt

instrument de lucru în locul preferin�elor, dar fundamentat pe ele.

Se fac urm�toarele trei ipoteze asupra rela�iei de preferin��:

(i) completitudine, adic�, x�y sau y�x sau ambele pentru toate pachetele x �i y.

Aceast� ipotez

� stipuleaz

� c� orice dou

� pachete pot fi comparate prin prisma

preferin�ei;

(ii) reflexivitate, adica x�x pentru orice pachet x. Aceast� ipotez

� stipuleaz

� c�

orice pachet este dorit în aceea�i m�sur

� ca sine însu�i;

(iii) tranzitivitate, adic�, dac

� x�y �i y�z, atunci x�z. Cu alte cuvinte, dac

� un

consumator prefer� pachetul x pachetului y �i prefer

� pachetul y pachetului z,

atunci consumatorul prefer� pachetul x pachetului z.

Cele trei ipoteze nu par inacceptabile. Oricum, ele sunt ipoteze �i nu fapte. Instrumentul

de lucru care se introduce în locul preferin�elor, dar strâns legat de ele, este func� ia de utilitate.

Aceasta ata�eaz� fiec

�rui pachet de bunuri un num

�r real. Se noteaz

� func�ia de utilitate cu u(•).

Aceast� asociere se face astfel ca func� ia s

� reprezinte rela� ia de preferin��, adic

�, u(x)�u(y) dac

� �i numai dac

� x�y.

A�adar se introduce o func�ie :u X →→→→ ℝ care s� reprezinte preferin�ele unui agent

economic. Se spune c� o func�ie :au X →→→→ ℝ reprezint

� preferin�ele consumatorului a dac

�

ax y� atunci �i numai atunci când ( ) ( )a au x u y≥≥≥≥ .

24

Se presupune c� X este o mul�ime ordonat

� cu o rela� ie de ordine complet

� �i tranzitiv

�.

Intervalul [[[[ ]]]],a b este definit prin {{{{ }}}}|x X a x b∈ < <∈ < <∈ < <∈ < < . O topologie natural� pe X este o topologie

pentru care mul� imile {{{{ }}}}|y X y x∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤ �i {{{{ }}}}|y X y x∈ ≥∈ ≥∈ ≥∈ ≥ sunt închise pentru orice x X∈∈∈∈ . Se

introduce mul�imea claselor de echivalen�� (indiferen��) : / .X X==== ∼ Se exclude cazul trivial

când | | 1.X ====

Func�ia de reprezentare au se nume�te func�ie de utilitate sau de satisfacere.

Teorema 1.4.10.1. Orice rela� ie de preferin�� care satisface cele trei ipoteze de mai sus

poate fi reprezentat� printr-o func�ie de utilitate.

Numerele u(•) însele nu au un sens special. Conteaz� doar relativa lor m

�rire. Conform

teoremei, fiec�rui pachet de bunuri i se poate ata�a un ”num

�r de utilitate”.

Spa�iul m�rfurilor (bunuri �i servicii cuantificabile) se define�te prin X � k, adic�

exist� k m

�rfuri. Timpul �i loca�ia se pot include în defini� ia m

�rfii. Se va lua X=k �i astfel

mul�imea X a m�rfurilor este conex

�, închis

� �i convex

�. Convexitatea presupune diviziunea

complet� a m

�rfurilor. Fiecare ax

� de coordonate a spa�iului X este asociat

� unei m

�rfi specifice �i invers. Pe axa asociat

� unei m

�rfi se reprezint

� o cantitate din respectiva marf

�.

Un element x X∈ se spune c� este un pachet de m�rfuri sau vector de consum net.

Evident, o component� xi a unui pachet x poate fi pozitiv

�, zero sau negativ

�. Dac

� o anumit

�

component� xi a pachetului de m

�rfuri x este pozitiv

�, atunci acel bun se consider

� a fi o intrare,

fiind un bun consumabil, în timp ce dac� componenta respectiv

� este negativ

�, ea se consider

� a

fi o ie�ire (furnizare de munc�) �i se nume�te factor.

Fie A mul� imea agen� ilor economici, iar |A| num�rul lor. Se presupune c

� exist

� un

num�r finit de agen� i. Un agent economic este definit prin tripletul (Ca,�a, e

a), 1 �

a �

|A|, unde:

(i) Ca este mul�imea de consum a agentului a �i Ca � X;

(ii) �a este rela� ia de preferin�e sau preferin�ele agentului a;

(iii) a ae C∈ este înzestrarea ini� ial� a agentului a;

Mul� imea de consum Ca con� ine pachetele de m�rfuri care sunt relevante pentru agentul

a. Se presupune c� mul�imea Ca este: închis

�, conex

�, convex

� �i m�

rginit� inferior, adic

�, exist

�

o constant� care m

�rgine�te inferior orice component

� a oric

�rui element din Ca. Închiderea,

conexitatea �i convexitatea mul� imii de consum Ca sunt cerute de rezultatele ce se doresc a fi

25

demonstrate. M�rginirea inferioar

� este impus

� de realitate (nu se poate consuma mai pu�in decât

strictul necesar supravie�uirii, imposibilitatea de a avea cantitate negativ� de pâine,etc.).

Rela�ia de preferin�� �a a consumatorului a este o rela�ie binar� pe Ca, adic

�, �a

a aC C⊂ × �i se cite�te preferat sau echivalent lui (sau cel pu�in la fel de bun ca). (x,y)��a

(� x �a y) denot� c� pentru consumatorul a pachetul x este preferat sau echivalent pachetului y

sau c� pachetul x este cel pu�in la fel de bun precum pachetul y.

O economie de schimb pur este definit� prin:

0 ( , ,A Xε = �,e,k+)

unde A este mul�imea agen� ilor economici, X este spa� iul de consum, � este mul�imea rela�iilor

de preferin��, e este mul� imea înzestr�rilor ini� iale, iar k

+ este spa� iul pre�urilor.

≻ a se cite�te preferat strict �i se define�te prin: x ≻ a y dac� �i numai dac

� nu are loc y �a

x.

~a se cite�te echivalent lui/indiferent lui �i se define�te prin: x ~a y dac� �i numai dac

� x �a y �i y �a x.

Definim mul�imea pachetelor preferate sau echivalentul lui x prin Ra(x)={y ∈Ca|

y�ax};aceast� mul�ime se nume�te conturul superior. Vom folosi �i nota�ia: R

�(x)=Ra(x).

Mul� imea pachetelor strict preferate pachetului x se define�te prin Pa(x)={y∈Ca| y ≻a x} �i se nume�te conturul superior strict.

Mul� imea de indiferen�� se define�te prin Ia(x)={y ∈Ca| y ~a x}.

În leg�tur

� cu rela� ia de preferin�� utiliz

�m ipoteze de mai jos. Rela� ia de preferin�� se

spune c� este:

(i) complet�, adic�, dac

� x,y∈Ca, atunci x �a y sau y �a x sau ambele;

(ii) reflexiv�, adic�, x �a x, ∀x∈Ca;

(iii) tranzitiv�, adic�, dac

� x,y,z aC∈ , atunci x �ay �i y �a z implic

� x �a z;

(iv) continu�, adic�, R�(x) �i R�(x) sunt închise în Ca;

(v) nesaturat�, adic�, pentru orice x�Ca exist

� y�Ca astfel ca y�ax;

(vi) convex�, adic�, dac

� x�ay, atunci y)1(x λ−+λ �a y, pentru orice λ �[0,1];

(vii) monoton�, adic�, dac

� x≥y ⇒ x �a y. Cu alte cuvinte, „mai mult este mai bine”.

Ipoteza (iv) de continuitate a rela� iei de preferin�� se mai poate exprima astfel:

26

(i) pentru oricare dou� �iruri convergente de pachete de m

�rfuri (xn,ynn)n, cu xn �a yn

pentru orice n�*, avem x �ay, , unde x=lim xn �i y=limyn;

(ii) conturul superior strict Pa(x) este o mul�ime deschis�.

Scopul acestor ipoteze poate fi relevant urm�rind figura 4, unde am presupus ca avem un

spa�iu bidimensional al m�rfurilor, adic

� avem dou

� m

�rfuri pe pia��.

Fie Ca=2+. Astfel mul� imea de consum Ca este închis

�, conex

�, convex

� �i m�

rginit�

inferior. Prin ipoteza (i) de completitudine toate elementele din Ca sunt în rela� ie cu x deoarece

sau x �a y sau y �a x sau ambele. Prin urmare, putem scrie Ca=R�(x)∪ R

�(x). Din ipoteza de

reflexivitate (ii) avem ca x� R�(x) ∩ R�(x), deci ambele mul�imi sunt nevide. Mai mult, dac

� y�

R�(x) ∩ R

�(x), atunci y�Ia(x). Reciproc, dac

� y�Ia(x), atunci y� R�(x)∩ R

�(x). Astfel, Ia(x)=

R�(x) ∩ R

�(x).

1.4.11. Bugetul

S-a v�zut ce pachete de bunuri prefer

� un consumator. Cum bunurile cost

� bani,

consumatorul nu î�i poate permite cump�rarea unei cantit

��i oricât de mari din careva bun.

Se presupune c� un consumator are un venit egal cu m. Atunci cump

�r�torul nu poate

cheltui mai mult decât m. Se presupune c� avem dou

� bunuri �i c� ele au pre�uri nenegative, fie

p1, respectiv p2. Cantitatea total� de bani cheltui� i pentru a cump

�ra cantitatea x1 din primul bun

este p1x1, iar pentru a cump�ra cantitatea x2 din al doilea bun este p2x2. Astfel se ob�ine inecua�ia:

p1x1+p2x2�

m.

În general, este imposibil� existen�a unor cantit

�� i negative de bunuri. Prin urmare mai

exist� dou

� restric�ii: x1�0 �i x2�0.

1.4.12. Constrângeri bugetare

Fiec�rei m

�rfi i se ata�eaz

� un num

�r real 0ip ≥ , pre�ul s

�u. Un vector 1( ,..., )kp p p=

este un sistem de pre�uri. Este convenabil s� se considere c

� pre�urile sunt în simplexul

1

| 1k

ki

i

P p p+=

∈ ≤ =

∑ℝ . Num�rul real ,p x sau px se nume�te valoarea pachetului x .

27

Bugetul este o multifunc�ie de la produsul scalar al spa�iului pre�urilor P cu mul�imea

m�rfurilor kX =ℝ în mul� imea consum aC , adic

�, :a aB P X C× → . Astfel se poate defini

bugetul ca fiind multifunc�ia:

{ }( , ) | , ,a a a aB p e x C p x p e∈ ≤=

adic� mul�imea pachetelor de consum pe care �i le poate permite agentul economic a.

Teorema 1.4.12.1. Multifunc�ia ( , ) :a a aB e P C⋅ → este superior semicontinu�.

1.4.13. Cererea

Problema consumatorului a se define�te cu func�ia ( , ) :a ae Pψ ⋅ →ℝ prin

( , )

( , ) max ( )a a

a a a

x B p ep e u xψ

∈= (1)

Cererea agentului economic a se define�te ca fiind multifunc� ia :a k aP Cφ × →ℝ definit� prin:

( , )

( , ) ( ),arg max a a

a a a

x B p ep e u xφ

∈= (2)

adic� multifunc� ia de la perechile pre�-înzestrare în spa� iul de consum.

ObservaŃia 1.4.13.1. Problema (1) a consumatorului are solu�ie dac� func� ia de utilitate au este

continu�, iar bugetul ( , )a aB p e este o mul�ime compact

�.

Func�ia aψ se nume�te func�ie de utilitate maximalizat� (sau func�ie indirect� de

utilitate). Multifunc� ia aφ se nume�te coresponden�� (marshalian�) de cerere.

Alternativ, se poate considera cazul dual al minimiz�rii func� iei de cheltuieli (cost).

Aceasta a fost introdus� de P. Samuelson în anul 1947 �i formulat

�, a�a cum se utilizeaz

� în

prezent, de L. McKenzie în anul 1957:

{ }0 0( , ) min , | ( ) ,a a a a aE p u p x cu x y C u y u= ∈ ∈ ≥ (3)

{ }0 0( , ) arg min , | ( )a a a a ah p u p x cu x y C u y u= ∈ ∈ ≥ (4)

Func�ia 0( , )a aE p u se nume�te func�ia de cost sau func�ia de cheltuieli, iar multifunc� ia 0( , )a ah p u

se nume�te coresponden�a de cerere compensat� sau kicksian�. Se spune c� cererea este

compensat� deoarece apare o compensare dat

� de 0

au .

Mul� imea { }0| ( )a a ay C u y u∈ ≥ este închis� �i m�

rginit� inferior. Atunci exist

� minimul

din (3), �i deci, exist� pachetul 0( , )a ah p u care minimizeaz

� costul. Cum mul�imea

{ }0| ( )a a ay C u y u∈ ≥ nu depinde de pre�, ea este simultan superior �i inferior semicontinu� în

28

raport cu pre�ul. Astfel în raport cu pre�ul, func�ia de cost este continu�, iar coresponden�a de

cerere hicksian� este superior semicontinu

�.

1.4.14. Bunăstarea economică

Bun�starea economic

� este o ramur

� a economiei care studiaz

� eficien�a �i starea de bine

a întregii societ�� i bazate pe aloc

�ri alternative ale resurselor limitate. Bun

�starea economic

�

extinde analiza microeconomic� a curbelor de isoutilitate la întreaga societate ca un tot.

Bun�starea economic

� se studiaz

� pe baza eficien�ei Pareto. Se spune c

� exist

� o

eficien�� Pareto dac� starea (economic

�) a unei persoane nu poate fi îmbun

�t��it� f�r� a deteriora

starea a cel pu�in unei alte persoane. În general eficien�a Pareto nu se atinge dac� exist

� resurse

nefolositoare sau nefolosite. Prin angajarea resurselor nefolositoare în produc�ie, unele firme pot

avea o produc� ie mai mare f�r� a reduce produc�ia unei alte firme.

În continuare se prezint� o formul

� matematic

� propus

� de economistul �i sociologul

italian V. Pareto, pentru stabilirea nivelurilor echilibrului unui sistem social prin determinarea

punctelor în care exist� un maximum de ofelimitate pentru fiecare individ. Se �tie c

�:

ofelimitatea este satisfac� ia pe care o d� unui individ consumul sau posesia unei cantit

��i dintr-un

bun economic, cantitate ad�ugat

� uneia consumate sau de�inute deja de un individ; notînd

ofelimit�� ile m

�rfii A cu �1a, �2a,... pentru indivizii 1, 2,..., iar varia�iile ofelimit

�tii totale ale

fiec�rui individ cu ��1 , ��2,..., se poate scrie c

�:

1 21 2

1 1...

a a

dU O d dΦ ΦΦ Φ

= = + +

unde U = maximum de ofelimitate pentru o colectivitate, în economia politic�, iar d = varia� iile

care se produc în func�ie de drumul pe care se ajunge la punctul de echilibru.

Aceast� ecua�ie nu poate fi rezolvat

�, respectiv nu se poate asigura maximum de

ofelimitate pentru to� i indivizii într-un punct de echilibru al sistemului social, decît dac� o parte

din ofelimit�� ile totale ��1 , ��2,..., este pozitiv

� �i cealalt

� parte negativ

�. Cu alte cuvinte,

optimul paretian presupune mai multe niveluri, dar Pareto postuleaz� c� trecerea de la un nivel la

altul al optimului se face numai dac� se men� in constante raporturile dintre ofelimit

��ile maxime

ale indivizilor. Aceasta înseamn� c

� o societate poate atinge un optim corespunz

�tor unor

ofelimit�� i individuale mai mari dac

� ea î�i spore�te venitul net ob�inut prin cre�terea produc� iei.

În realitate, Pareto a ar�tat c

� optimul paretian presupune c

� rata substituirii a dou

� sau

mai multe m�rfuri sau factori de produc�ie s

� r�mîn

� neschimbat

�, ceea ce nu este posibil decît

dac� toate unit

��ile economice î�i maximizeaz� profiturile (toate adopt

�, deci, cele mai ieftine

metode de produc�ie), dac� fiecare agent economic este liber s

�-�i stabileasc

� strategia de ac� iune

29

�i to� i adopt� un comportament economic ra� ional, dac

� se men� ine un echilibru relativ al

cererilor �i ofertelor pe pia�a liber�, iar to�i agen� ii economici cunosc perfect nivelurile acestui

echilibru, �i dac�, în sfîr�it, sînt eliminate toate „externalit

�� ile economice" (orice interven�ie a

factorilor noneconomici în derularea activit�� ii economice). Este evident c

� aceste condi� ii nu

sînt integral satisf�cute de nici un sistem economic real.

30

Capitolul 2.

ExistenŃa unui echilibru pentru economii cu externalităŃi şi un spaŃiu cu

măsură al consumatorilor

2.1 Modelul şi rezultatul de existenŃă

2.1.1. Modelul şi noŃiunea de echilibru

Se consider� o economie de schimb cu o mul�ime finit

� H de m

�rfuri. Spa�iul de m

�rfuri este

reprezentat prin spa�iul1 vectorial Hℝ .

1 Pentru o mul� ime finit� H , prin H

ℝ se în�elege mul� imea tuturor func�iilor de la H la

ℝ . Un element x din Hℝ va fi de forma ( )h hx ∈∈∈∈H sau simplu ( )hx , când nu sunt posibile

confuzii. Pentru dou� elemente x=( ), ( )h hx x x′ ′= în H

ℝ , se în�elege prin h hhx x x xi

∈∈∈∈′′′′′′′′ ====∑∑∑∑ H

produsul scalar, prin x x xi==== norma Euclidian� �i prin {{{{ }}}}0 0( , ) |B x r x x x r= ∈ − ≤= ∈ − ≤= ∈ − ≤= ∈ − ≤H

ℝ bila

închis�. Pentru X ⊂⊂⊂⊂ H

ℝ , se în�elege prin intX, X �i coX, respectiv, interiorul, închiderea �i învelitoarea convex

� a lui X. Nota� iile: ,x x x′≤ < ,x x′ << x′ înseamn

�, respectiv, c

� pentru to�i

h∈∈∈∈ H , [[[[,h hx x x x′ ′′ ′′ ′′ ′≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ �i ]xx ′≠ , �i hx < .′hx Se noteaz� mul� imile ++++

Hℝ :={{{{ }}}}0x x∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤H

ℝ �i {{{{: 0x++++++++ = ∈= ∈= ∈= ∈H H

ℝ ℝ << }x . Fie 1:=(1,...,1)∈∈∈∈ Hℝ �i baza canonic

� }}}}{{{{ i ∈∈∈∈ie H din H

ℝ , definit� prin

,1=ihe dac

� h=i �i ,0=i

he dac� h .i≠

Pentru un spa�iu cu m�sur

� ( , , )A νA , reamintim c

� o mul� ime m

�surabil

� ∈A A se

nume�te atom dac� )(Aν >0 �i pentru fiecare C∈∈∈∈A astfel încât ,C A⊂⊂⊂⊂ avem

[ ( ) 0 ( \ ) 0C sau A Cν ν= == == == = ], iar prin naA în�elegem partea nonatomic� din A , adic�

complementara în A a reuniunii tuturor atomilor din A . 1( , )L A Hℝ reprezint

� spa�iul claselor

de echivalen�� al func�iilor integrabile din A în Hℝ , iar

1: ( ) ( )

Af f a d aν==== ∫∫∫∫ define�te o

norm� pe 1( , )L A Hℝ . Spa�iul 1( , )L A H

ℝ va fi înzestrat cu dou� topologii diferite, topologia tare

definit� de norma

1f �i topologia slab� ),( 1 ∞LLσ ; se reaminte�te faptul c

� un �ir { }nf

converge slab c�tre f dac� �i numai dac

�

1sup n

n f <∞ �i ( ) ( ) ( ) ( )n

C Cf a d a f a d aν ν→→→→∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ,

pentru fiecare C∈∈∈∈A . Pentru 1 2,C C în A , fie 1 2 1: (C C C∆ ==== \ 2 2) (C C∪∪∪∪ \ 1)C diferen�a

simetric� �i se define�te func�ia caracteristic� 1:C Aχ →→→→ ℝ prin

1( ) 1C aχ ==== dac

� a 1C∈∈∈∈ �i

1( ) 0C aχ ==== dac

� a 1C∉∉∉∉ .

31

Mul�imea consumatorilor este definit� printr-un spa�iu cu m

�sur

� ( , , )A νA , unde A

este o −σ algebr� de submul�imi în A iar ν este o m

�sur

� din A . Un element C∈∈∈∈A este un

posibil grup de consumatori, numit �i coali� ie. Fiecare consumator a este înzestrat cu o mul�ime

de consum ( )X a ⊂⊂⊂⊂ Hℝ , o înzestrare ini� ial

� ( )aω ∈∈∈∈ H

ℝ �i o rela�ie de preferin�� strict� ea,≺ pe

X(a), fapt care permite dependen�a de externalit�� i e∈∈∈∈ E (numit spa�iul de externalitate), într-un

mod ce va fi specificat mai târziu. Mul� imea X(a) reprezint� cheltuielile posibile ale

consumatorului a. O alocare a cheltuielilor economiei specific� cheltuielile posibile ale fiec

�rui

consumator, �i deci reprezint� o selec� ie a multifunc� iei a )(aX→ , care se presupune, în plus, a

fi integrabil�. Mul�imea aloc

�rilor de consum este notat

� cu XLLLL . Se presupune, de asemenea, c

�

func� ia ini� ial� de înzestrare :Aω →→→→ H

ℝ este integrabil� �i astfel înzestrarea ini� ial

� total

� a

economiei este ∫A

ada )()( νω .

Specific acestei economii este faptul c� externalit

�� ile de pre� �i cele de consum pot

influen�a rela� ia de preferin�� a fiec�rui agent a. Astfel, fiind dat pre�ul p∈∈∈∈ H

ℝ �i alocarea f∈ XLLLL ,

alegerile agentului a vor fi realizate prin intermediul rela�iei de preferin�� strict� , ( , , )a a p f≺ � , unde

: XA× ×× ×× ×× ×H�ℝ LLLL →→→→ E este o func�ie dat

�, numit

� func� ia de externalitate.

În prezen�a externalit�� ilor, economia de schimb este caracterizat

� complet prin

intermediul cuplului ( , )��

, unde spa� iul externalit��ilor E �i func� ia de externalitate � sunt

definite ca mai sus, iar � precizeaz� caracteristicile consumatorilor:

Se d� în continuare defini�ia unui echilibru în aceast

� economie.

DefiniŃia 2.1.1.1. Un echilibru al economiei ( , )��

este un element ∈),( ** pfX ××××RHLLLL astfel

încât 0* ≠p �i:

(a) [Maximizarea preferin�elor] pentru aproape to�i a *, ( )A f a∈∈∈∈ este un element maximal

pentru *, aea≺ în mul�imea buget }{ )()(:),( *** apxpaXxpaB ω⋅≤⋅∈= , unde * * *: ( , , )ae a p f==== � ,

adic�, ),()( ** paBaf ∈ �i nu exist� nici un ),( *paBx∈ astfel încât *

*

,( )

aa ef a x≺ ;

32

(b) [Decontarea pie�ei] ∫ ∫=A A

adaadaf ).()()()(* νων

2.1.2. Rezultatul de existenŃă pentru funcŃii generale de externalitate

Se prezint� în continuare lista de ipoteze pe care economia ( , )

�� va trebui s

� le

satisfac�.

Ipoteza A. Spa�iul cu m�sur� ( , , )A νA este pozitiv, finit, complet �i L1(A, Hℝ ) este separabil în

raport cu topologia tare (topologia normei);

Ipoteza C. Pentru aproape to� i a A∈ , fiecare (e,x) ( ) :X a∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×E

(i) E este o submul�ime închis� a lui Nℝ �i X(a) este o submul�ime închis�, convex� a

lui ++++Hℝ

(ii) [Ireflexivitatea �i tranzitivitatea] ea,≺ ireflexiv�2 �i tranzitiv�3

(iii) [Convexitatea preferin�elor pe atomi] dac� a A∈ \ naA atunci mul�imea

{ },( ) | a ex X a not x x∈ ′ ′ ≺ este convex� (iv) [Continuitatea]mul� imile:{ },( ) | a ex X a x x∈′ ′≺ �i { },( , ) ( ) | a ex e X a E x x′∈ ×′ ′ ′ ≺

sunt deschise, respectiv, în ( )X a �i în ( )X a E× (pentru topologiile relative);

(v) [M�surabilitatea]multifunc�ia mul�imii de consum )(aXa ′→′ �i multifunc�ia

preferin�elor ( eaea ′′→′′ ,), ≺ sunt m�surabile4;

(vi) Xω ∈∈∈∈ LLLL , adic�, : Aω →→→→ Hℝ este integrabil� �i )()( aXa ′∈′ω pentru aproape to�i

;Aa ∈′

Ipoteza M

(i) [Monotonie] Pentru aproape to�i a , ( ) :A X a ++++∈ =∈ =∈ =∈ = Hℝ �i pentru fiecare e E∈ �i

fiecare x,x′ în X(a), x<x′ implic� x ;, xea ′≺

(ii) [Supravie�uire puternic�] ∫A

ada )()( νω >>0.

33

Ipotezele de mai sus sunt standard �i nu necesit� comentarii speciale. Într-un model f

�r�

externalit�� i (fie E={0}), ele coincid cu ipotezele lui Aumann-Schmeidler, dup

� cum se va

discuta în continuare.

Urm�toarele ipoteze privesc partea de externalitate. Pentru fiecare (a,p) ,A∈ ×∈ ×∈ ×∈ × H

ℝ în

continuare se va presupune c� ( , , ) ( , , )a p f a p g====� �

dac� f=g aproape peste tot în A. F

�r� nici

un risc de confuzie, acest lucru permite considerarea lui �

drept o func� ie

: XA L× × →× × →× × →× × →H� Eℝ , unde

1: { ( , ) | ( ) ( )XL f L A f a X a= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈Hℝ pentru aproape to�i a }.A∈

Ipoteza E

(i) E este o submul�ime închis� a lui Nℝ ;

(ii) pentru to�i (p,f) ,XL∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×Hℝ func�ia a ( , , )a p f→→→→

� este m�surabil�;

(iii) pentru aproape orice a A∈ , pentru fiecare �ir {{{{ }}}}np ++++⊂⊂⊂⊂ Hℝ care converge la p �i

pentru fiecare �ir integral m�rginit 5 { } Xn Lf ⊂ care converge slab la f, �irul

{{{{ }}}}( , , )n na p f�

converge la ( , , )a p f�

2,

3, ,

( ), .

, , ( ), .

a e

a e a e

pentru fiecare x X a not x x

pentru fiecare x x x X a x x si x x

∈

∈

′ ′ ′′ ′ ′′

≺

≺ ≺

4 Se reaminte�te faptul c� o multifunc�ie F , dintr-un spa�iu m

�surabil (A,A ) în n

ℝ , se

presupune a fi A -m�surabil

�, sau pur �i simplu m

�surabil

�, dac

� graficul ei este o mul�ime

m�surabil

�, adic

�, dac

� GF:={{{{ }}}}( , ) | ( )a x A x F a∈ × ∈∈ × ∈∈ × ∈∈ × ∈H

ℝ apar� ine lui ( )n⊗ ℝA B , unde ( )nℝB

reprezint� σ -algebra submul�imilor Borel ale lui n

ℝ , iar ( )n⊗ ℝA B este σ -algebra produs.

Multifunc� ia preferin�ei (a,e) ea,≺→ este m�surabil

�, în sensul c

� multifunc� ia

(a,e) { }xxaXxx ea ′∈′→ ,|)(),( ≺ este ( )n⊗ ℝA B -m�surabil

�.

5Asta înseamn� c� exist

� o func� ie integrabil

� : Aρ +→ ℝ astfel încât ( ) ( )sup n

n f a aρ≤

pentru aproape orice a A∈ .

34

Ipoteza EB [M�rginirea] Pentru toate �irurile m�rginite {{{{ }}}}( , )n nXp f L⊂ ×⊂ ×⊂ ×⊂ ×H

ℝ �i pentru

aproape orice a A∈ , �irul {{{{ }}}}( , , )n na p f�

este m�rginit în E .

Ipoteza EC0 [Convexitatea preferin�elor în partea nonatomic�] Pentru aproape orice a naA∈ �i

fiecare (e,x) ( )X a∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×E , mul�imea [ ]}|)({ , xxnotaXx ea≺′∈′ este convex�.

Ipoteza de m�rginire EB va fi satisf

�cut

�, în special, în modelul rela� iilor de coali� ie

prezentat în continuare. Se pune în eviden�� faptul c� EB este de asemenea satisf

�cut

� în

momentul în care multifunc�ia a )(aX→ este integral marginit� (vezi ipoteza IB care urmeaz

�),

iar C �i E sus�in acest lucru.

Ultima ipotez� înt

�re�te convexitatea preferin�elor, care trebuie presupus

� de asemenea în

partea nonatomic� în cazul general.

Se poate acum enun�a primul rezultat de existen��.

Teorema 2.1.2.1. Economia de schimb cu externalit��i ( , )��

admite un echilibru ),( ** pf cu

p*>>0, dac� satisface ipotezele A, C, M, E, EB �i EC0.

Teorema 2.1.2.1 de mai sus este o consecin�� direct� a unui rezultat mai general

(Teorema 2.1.3.2.) care va fi prezentat în capitolul urm�tor, capitol ce se refer

� la sl

�birea

ipotezei de convexitate EC0.

2.1.3. Slăbirea ipotezei de convexitate EC0

Dup� Aumann, majoritatea rezultatelor de existen� � în modele f

�r� externalit

�� i nu adopt�

convexitatea preferin�elor asupra p�r�ii nonatomice naA a spa�iului cu m

�sur

� al consumatorilor

(adic�, ipoteza EC0). Pentru a se putea lua în considerare modelul lui Aumann, în acest capitol,

se va sl�bi ipoteza de convexitate EC0. Acest lucru va permite cuprinderea rezultatelor de

existen�� cunoscute în urm�toarele trei cazuri importante.

E1: Fără externalităŃi [Aumann, Schmeidler, Hildenbrand] 1E ={0} �i func� ia

1 1: XA L++++× × →× × →× × →× × →H�Eℝ este definit

� prin 1( , , ) 0.a p f ====

�

35

E2: PreferinŃe dependente de preŃ [Greenberg] E 2= ++++Hℝ �i func� ia 2 2: XA L++++× × →× × →× × →× × →H�

Eℝ

este definit� prin 2( , , )a p f p====

�.

E3: RelaŃii de alianŃă constante [Schmeidler] E 3= ( )K++++Hℝ �i func� ia 3 3: XA L++++× × →× × →× × →× × →H�

Eℝ

este definit� prin

1

3( , , ) : ( ( ) ( ),..., ( ) ( )),kC C

a p f f a d a f a d aν ν==== ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫�

unde mul�imile C k (k=1,...,K )

sunt submul�imi m�surabile nenule ale lui Ana, care sunt dou

� câte dou

� disjuncte, adic

�

j kC C∩ =∩ =∩ =∩ = 0 pentru fiecare j k≠ .

În cele trei cazuri de mai sus, func�iile de externalitate ,i

� (i=1,2,3) sunt ”convexe” în

Ana în sensul urm�toarei defini� ii (vezi Propozi�ia 2.1.3.3. de mai jos):

DefiniŃia 2.1.3.1. Se spune c� func� ia de externalitate : XA L× × →× × →× × →× × →H�Eℝ este ”convex�” pe

mul�imea m�surabil� C A⊂ dac� pentru fiecare p ++++∈∈∈∈ Hℝ , pentru fiecare { } XIii Lf ⊂∈ (I finit) �i

fiecare f XL∈ astfel încât:

aproape pentru to�i {{{{ }}}}, ( ) ( ) |iC f co f i Iα α α∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ,

exist� XLf ∈* astfel încât:

aproape pentru to�i {{{{ }}}}*, ( ) ( ) |iC f f i Iα α α∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ ,

aproape pentru to�i *\ , ( ) ( ),A C f fα α α∈ =∈ =∈ =∈ =

aproape pentru to�i a *, ( , , ) ( , , )A a p f a p f∈ =∈ =∈ =∈ =� �

�i ∫ ∫=A A

dfdf ).()()()( * αναανα

Acum se poate enun�a principalul rezultat de existen��, care extinde Teorema 2.1.2.1 �i permite

înglobarea celor trei cazuri de mai sus: E1, E2, E3. Pentru asta, este necesar� introducerea unei

noi ipoteze de convexitate, care este în mod clar satisf�cut

� în cele dou

� cazuri importante: (i)

convexitatea preferin�elor peste Ana (adic�, ipoteza EC0 asupra Teoremei 1), �i (ii)

”convexitatea” lui �

în Ana.

Teorema 2.1.3.2. Economia de schimb cu externalit��i ( , )��

admite un echilibru ),( ** pf cu

*p >>0, dac� satisface ipotezele A, C, M, E, EB, împreun� cu urm�toarea:

Ipoteza EC. Exist� o mul�ime m�surabil� C naA⊂ astfel încât:

(i) aproape pentru to�i a \ ,naA C∈∈∈∈ preferin�ele sunt convexe, adic�, pentru fiecare

(e,x) ( ),X a∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×E mul�imea [ ]{ }xxnotaXx ea,|)( ≺′∈′ este convex�, �i

36

(ii) aplica�ia de externalitate �

este ”convex�”în C .

Demonstra�ia Teoremei 2.1.3.2 este dat� în subcapitolul 2.3. �i se bazeaz

� pe un rezultat

intermediar (Teorema 2.3.1.1) în care ipoteza de monotonie M este înlocuit� de ipoteza conform

c�reia multifunc� ia de consum a )(aX→ este integral m

�rginit

� (ceea ce implic

� în mod clar c

�

EB are loc). În acest caz, merit� s� se atrag

� aten� ia asupra faptului c

�, f

�r� ipoteza EC,

rezultatul de existen�� corespunz�tor (Teorema 2.3.1.1.) ar putea s

� nu aib

� loc, dup

� cum se

arat� în Appendix cu ajutorul unui contraexemplu datorat lui Balder (2003).

Se încheie acest capitol, ar�tând c

� cele trei func� ii de externalitate de mai sus i

�(i=1,2,3)

satisfac ipoteza EC �i, de asemenea, o ipotez� mai puternic

� EC1 (în care nu se face nici o

presupunere de convexitate asupra preferin�elor).

PropoziŃia 2.1.3.3. (a) În cele trei cazuri de mai sus E1, E2, E3, func�iile de externalitate

( 1,2,3)i i= == == == =� �

satisfac urm�toarele ipoteze:

EC1 Exist� o mul�ime m�surabil� C naA⊂ astfel încât: (i) func�ia de externalitate �

depinde

numai de Cf , în sensul c�, ( , , ) ( , , )a p f a p g====� �

, dac� | |C Cf g==== , �i (ii) func�ia de

externalitate �

este ”convex�” în C .

(b) Dac� ipoteza EC1 are loc, atunci �

este ”convex�” în naA iar ipoteza EC este adev�rat� în

continuare.

DemonstraŃie. (a) Ipoteza EC1 este satisf�cut

� pentru C= naA în cazurile E1 �i E2, �i pentru

1

K

kkC C====

==== ∪∪∪∪ în cazul E3. Aceasta este o consecin�� a teoremei lui Lyapunov, aplicat� lui naA în

primele dou� cazuri �i aplicat

� succesiv pentru fiecare ( 1,..., )kC k K==== în ultimul caz.

(b) Se arat� c� func�ia de externalitate

� este ”convex

�” în .naA Într-adev

�r, pentru fiecare

,p ++++∈∈∈∈ Hℝ fie { } XIii Lf ⊂∈ (I finit) �i XLf ∈ astfel încât, aproape pentru to�i

{{{{ }}}}, ( ) ( ) |na iA f co f i Iα α α∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ . Atunci, aproape pentru to�i {{{{ }}}}, ( ) ( ) |iC f co f i Iα α α∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ �i, deoarece �

este ”convex�” în C (din EC1), exist

� o func�ie integrabil

� :f A′′′′ →→→→ H

ℝ astfel

încât, aproape pentru to�i {{{{ }}}}, ( ) ( ) | ,iC f f i Iα α α′′′′∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ aproape pentru to�i a , ( , , ) ( , , )A a p f a p f′′′′∈ =∈ =∈ =∈ =

� � �i ( ) ( ) ( ) ( ).

C C

f d f dα ν α α ν α′′′′====∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ Din cele de mai sus, aproape

pentru to�i {{{{ }}}}\ , ( ) ( ) |na iA C f co f i Iα α α∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ , deci urmeaz� c�, din teorema lui Lyapunov,

37

exist� o func�ie integrabil

� : \n

naf A C →→→→ ℝH astfel încât { }Iiff i ∈∈′′ |)()( αα �i \ \

( ) ( ) ( ) ( ).na naA C A C

f d f dα ν α α ν α′′′′′′′′====∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ Se consider� acum func�ia * :f A →→→→ H

ℝ definit� prin

)()(* αα ff ′= pentru fiecare Cα ∈∈∈∈ , )()(* αα ff ′′= pentru fiecare \naA Cα ∈∈∈∈ �i )()(* αα ff = pentru fiecare naAA \∈α �i se noteaz

� faptul c

�, aproape pentru to�i

{{{{ }}}}*, ( ) ( ) |na iA f f i Iα α α∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ �i aproape pentru to�i *\ , ( ) ( ).naA A f fα α α∈ =∈ =∈ =∈ = Mai mult,

din cele de mai sus, aproape pentru to�i a *, ( , , ) ( , , ) ( , , )A a p f a p f a p f′′′′∈ = =∈ = =∈ = =∈ = =� � �

(deoarece

*| |C Cf f′′′′ ==== ) �i ∫ ∫=A A

dfdf ).()()()( * αναανα

2.2.Modelul relaŃiilor de coaliŃie

2.2.1. Modelul şi rezultatul de existenŃă

Modelul general al unei economii de schimb cu externalit�� i ( , )

�� permite luarea în

considerare a modelului rela� iilor de coali�ie care se prezint� la momentul de fa�� drept o

extindere a modelului lui Schmeidler.

Se presupune c�, fiind dat un pre� p ,++++∈∈∈∈ H

ℝ fiecare agent a are numeroase rela�ii finite de

coali� ie între agen� i, ( , )kC a p ∈∈∈∈A (k=1...K ), ale c�ror preferin�e de consum influen�eaz

�

preferin�ele agentului a într-un mod definit în mod precis în continuare. A�adar, rela�iile de

coali� ie pot depinde de agent �i, de asemenea, de pre�ul care predomin�; acesta difer

� de modelul

lui Schmeidler, în care rela� iile de coali� ie sunt constante. Se va presupune c� fiecare agent a este

influen�at fie de consumul global, fie de consumul mediu al agen� ilor în coali� ia ( , )kC a p .

Cazul ”dependen�ei globale” este caracterizat de spa� iul de externalitate : ( )K++++==== HE ℝ �i

de func� ia de externalitate 1 : XA L++++× × →× × →× × →× × →H�Eℝ

C definit� prin:

11 ( , ) ( , )

( , , ) ( ( ) ( ),..., ( ) ( ))KC a p C a p

a p f f d f dα ν α α ν α==== ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫�C

Cazul ”dependen�ei medii” este caracterizat de spa�iul de externalitate : ( )K++++==== HE ℝ �i de

func� ia de externalitate 2 : ,XA L++++× × →× × →× × →× × →H�Eℝ

C definit� prin:

2 21 2( , , ) ( ( , , ),..., ( , , )),Ka p f a p f a p f====� � �C C C

38

( , )2

1( ) ( ) ( , ) 0

( , )( , , ) :

0 ( , ) 0.

kkC a p

kk

k

f d dac� C a pC a pa p f

dac� C a p

α ν α νν

ν

>>>> ==== ====

∫∫∫∫�C

Deci, modelul rela�iilor de coali� ie poate fi rezumat prin intermediul economiilor de

schimb cu externalit��ile ( , )1

�� C �i ( , )2

�� C , unde

C :=( 1 ( , )( ( , ),..., ( , ))K a p AC a p C a p

++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×ℝH ,

iar func� iile de externalitate 1

�C �i 2

�C sunt definite ca mai sus ( �i corespund, respectiv,

dependen�ei globale �i medii).

Enun��m urm�torul rezultat de existen��.

Teorema 2.2.1.1. Economia de schimb cu externalit��i ale rela�iilor de coali�ie ( , )��

admite

un echilibru * * *1 1 1( , )p f cu p >>0 pentru dependen�a global� �i un echilibru *

2*

2*2 ),( pcufp >>0

pentru dependen�a medie (adic�, ( , )i

�� C admite un echilibru * *( , ) ( 1,2)),i ip f i ==== dac� satisface

ipotezele A, C, M, EC0, împreun� cu:

Ipoteza R[Partea RelaŃiilor de CoaliŃie]

Pentru fiecare k=1,...,K, aproape pentru to�i a A∈ �i pentru fiecare p :++++∈∈∈∈ Hℝ

(i) ( , )kC a pν >0;

(ii) pentru fiecare 0, ( , ) ( , )k kC a p C a pλ λ> => => => = ;

(iii) pentru fiecare �ir , ( , ) ( , ) 0;n nk kp p în C a p C a pν ∆++++ → →→ →→ →→ → ℝ

H

(iv) mul�imea {{{{ }}}}( , ) | ( , )ka a A A a C a p′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′∈ × ∈ ∈ ⊗∈ × ∈ ∈ ⊗∈ × ∈ ∈ ⊗∈ × ∈ ∈ ⊗A A .

Demonstra�ia Teoremei 2.2.1.1 este dat� în subcapitolul 2.2.2.

2.2.2. DemonstraŃia Teoremei 2.2.1.1.

Este o consecin�� a Teoremei 2.1.2.1 �i trebuie demonstrat doar faptul c� func�ia de

externalitate ( 1,2)i i ====�C satisface ipotezele E �i EB. Acest lucru se va realiza în urm

�torii trei

pa�i.

39

Pasul 1: [E(i)]: Pentru fiecare (p,f) ,XL++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×Hℝ func�ia ( , , ) ( 1,2)ia a p f i→ =→ =→ =→ =

�C este

m�surabil� în A.

Demonstra�ie. Fie (p,f) .XL++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×Hℝ Se arat

� mai întâi c

� func� ia:

1 ( , )( , , ) ( ) ( )

C a pa a p f f dα ν α→ =→ =→ =→ = ∫∫∫∫

�C

este m�surabil

�. Se observ

� c� func� iile )(),( αα fa → �i ( , )( , ) ( )C a pa α χ α→→→→ sunt ambele

m�surabile pe A×A (înzestrate cu σ -algebra produs ⊗⊗⊗⊗A A ), din faptul c

� f 1( , )L A ++++∈∈∈∈ H

ℝ �i respectiv din ipoteza R(iv). A�adar, func� ia ( , )( , ) ( ) ( )C a pa fα χ α α→→→→ este m

�surabil

� pe .AA×

Deoarece ( , ) ( ) ( ) ( )C a p f fχ α α α≤≤≤≤ aproape pentru to�i ( , )a A Aα ∈ ×∈ ×∈ ×∈ × �i 1( , )f L A ++++∈∈∈∈ Hℝ ,

aplicând partea de m�surabilitate din Teorema lui Fubini, func� ia:

( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( ) ( )C a pA C a p

a f d f dχ α α ν α α ν α→ =→ =→ =→ =∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

este corect definit� �i m�

surabil� în A. A�adar, func�ia 1

�C satisface ipoteza E(i).

În continuare se va ar�ta c

� func� ia:

12

1( , , ) [ ( , )] 0

[ ( , )]( , , ) :

0 [ ( , )] 0

k

k

a p f dac� C a pC a pa p f

dac� C a p

νν

ν

>>>>==== ====

�� C

C

este m�surabil

� în A. Folosind argumentul de mai sus pentru f=1, se deduce c

� func� ia

[[[[ ]]]]( , )a C a pν→→→→ este m�surabil

� pe A. Deoarece [[[[ ]]]]( , ) 0C a pν >>>> aproape pentru to�i a A∈ (din

R(i)), în urma propriet��ii de m

�surabilitate a lui 1

�C , func�ia 2

�C satisface ipoteza E(i).

Pasul 2: [E(ii) ]: Aproape pentru to�i a A∈ �i pentru fiecare �ir { }np convergent la p în ++++Hℝ �i

fiecare �ir integral m�rginit { }nf ce converge slab la f în XL , �irul {{{{ }}}}( , , )n ni a p f

�C converge la

( , , ) ( 1,2).i a p f i ====�C

Demonstra�ie. Fie { }),( nn fp ca mai sus. Se demonstreaz� mai întâi c

� 1

�C satisface [E(ii) ],

adic�, aproape pentru to� i a∈A :

40

1 1( , ) ( , )( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ).

n

n n n

C a p C a pa p f f d f d a p fα ν α α ν α= → == → == → == → =∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

� �C C

Pentru asta, se observ� c� :

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

n

n

n

C a p C a p

n n n

C a p C a p C a p

f d f d

f d f d f f d

α ν α α ν α

α ν α α ν α α α ν α

− ≤− ≤− ≤− ≤

− + −− + −− + −− + −

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Pentru al doilea termen, deoarece { }nf converge slab c�tre f, se ob�ine:

( , )( ) ( ) ( ) 0.n

C a pf f dα α ν α − →− →− →− → ∫∫∫∫

Pentru primul termen se ob�ine:

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , ) ( , ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

n

n

n n

n nC a pC a pA A

nC a pC a p

A

C a pC a p C a p C a pA

f d f d

f d

d d

χ α α ν α χ α α ν α

χ α χ α α ν α

χ α χ α ρ α ν α ρ α ν α∆

− ≤− ≤− ≤− ≤

− ≤− ≤− ≤− ≤

− =− =− =− =

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

reamintindu-se faptul c� �irul { }nf este integral m

�rginit, a�adar, pentru ni�te func� ii integrabile

: ,Aρ ++++→→→→ ℝ se ob�ine )()(sup aaf nn ρ≤ aproape pentru to�i a∈A. Mai mult, aproape pentru

to�i a A∈ , ( , ) ( , ) 0n nC a p C a p pentru p pν ∆ → →→ →→ →→ → ( din R(iii)), a�adar:

( , ) ( , )( ) ( ) 0,

nC a p C a pdρ α ν α

∆→→→→∫∫∫∫

deoarece func� ia ( ) ( ),C

C dρ α ν α→→→→ ∫∫∫∫ de la A la ,++++ℝ este o m�sur

� pozitiv

�, absolut continu

�

în raport cu ν . Asta implic� faptul c

� primul termen converge la 06 �i încheie demonstra� ia

potrivit c�reia 1

�C satisface [E(ii) ].

6Not�: Nu este necesar

� folosirea faptului c

� �irul { }nf este integral m

�rginit. Într-adev

�r, dac

�

{ }nf converge slab c�tre f �i ( , ) ( , ) 0nC a p C a pν ∆ → , ob� inem direct:

( , ) ( , )( ) ( ) 0.

n

n

C a p C a pf dα ν α

∆→∫

Aceast� remarc

� se datoreaz

� lui E. Balder.

41

Se demonstreaz� acum c

� 2

�C satisface [E(ii) ]. Deoarece, aproape pentru to�i a ,A∈ �i [[[[ ]]]]( , ) 0C a pν >>>> (din R(i)), este suficient s

� se demonstreze faptul c

� [[[[ ]]]]( , ) ( , ) .nC a p C a pν ν →→→→

Într-adev�r, se ob�ine:

[[[[ ]]]] ( , )( , )

( , )( , )

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ,

n

n

nC a pC a pA A

nC a pC a pA

C a p C a p d d

d C a p C a p

ν ν χ α ν α χ α ν α

χ α χ α ν α ν ∆

− = −− = −− = −− = −

≤ − =≤ − =≤ − =≤ − =

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫

care converge la 0 (din R(iii) ) când .ppn →

Pasul 3. [EB] :Dac� {{{{ }}}}( , )n nXp f L++++⊂ ×⊂ ×⊂ ×⊂ ×ℝ

H este un �ir m�rginit în norm�, atunci pentru aproape

to�i a A∈ , �irul {{{{ }}}}( , , ) ( 1,2)n ni a p f i ====

�C este m�rginit în ( ) .K++++ℝH

Demonstra�ie.

Fie { }),( nn fp ca mai sus. Pentru aproape to�i a A∈ �i pentru fiecare n, se ob�ine:

1 ( , )0 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ).

n

n n n n

C a p Aa p f f d f dα ν α α ν α≤ = ≤≤ = ≤≤ = ≤≤ = ≤∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

�C

Deoarece { }nf este m�rginit în norm

� �i ,0≥nf se deduce c

� pentru ni�te m 0≥ :

1sup ( , , ) .n na p f m≤≤≤≤�C

Se demonstreaz� acum c

� 2 ( , , )n na p f�C este m

�rginit

�. Într-adev

�r, de mai sus, pentru aproape

to�i a A∈ �i fiecare n, se ob� ine:

2 1

1 1( , , ) ( , , ) ,

( , ) ( , )n n n n

n na p f a p f m

C a p C a pν ν= ≤= ≤= ≤= ≤

� �C C

deoarece ( , ) 0nC a pν >>>> pentru aproape to�i a A∈∈∈∈ . Se reaminte�te acum faptul c� �irul { }np

este m�rginit �i c

� în pasul anterior s-a demonstrat c

�, pentru aproape to�i ,Aa∈ func� ia

[[[[ ]]]]1

( , )p

C a pν→→→→ este continu

� în ,++++ℝ

H �i se ob�ine c�, pentru aproape to�i a ,A∈ exist

� 0am >′

a.î. 1

( , )an

mC a pν

≤ ′

pentru orice .n

Este suficient s� se considere aproape pentru to�i a A∈ :

{{{{ }}}} [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

{ | ( , ) 0}

1: .

min ( , )n

a

p p C a p

mC a p

νν

∈ >∈ >∈ >∈ >

====

A�adar, aproape pentru to�i a 2, sup ( , , ) .n nn aA a p f m mi′′′′∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤�C

42

2.2.3. Modelul relaŃiilor de coaliŃie a lui Noguchi.

Se prezint� acum modelul Noguchi[19] �i se deduce rezultatul s

�u de existen�� din

Teorema 2.2.1.1. Poate fi descris printr-un model al rela� iilor de coali� ie, cu o rela� ie de coali� ie

unic� ( , ),NC a p definit

�, pentru fiecare consumator a la sistemul de pre� p, prin

{{{{ }}}}( , ) : | ( ) ( ( ), ( ), ) ,NC a p A p I a a pα ω α ω δ= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈

unde : Aδ ++++→→→→ ℝH este o func�ie fixat� �i )),(),(( paaI δω este o submul�ime a lui .ℝ Citându-l

pe Noguchi [19], ”intuitiv vorbind, )),(),(( paaI δω reprezint� (pentru agentul a) o clas

� de venit

din scara de venituri, relativ� la venitul )(ap ω⋅ �i cu magnitudinea )(ap δ⋅ ”, �i dintre

r�spunsurile date, se pune în eviden�� urm

�torul, definit de intervalul

).),()(()),(),(( ∞⋅+⋅= apappaaI δωδω

Se enun�� acum rezultatul de existen��.

Corolar 2.2.3.1. [Noguchi] Economia ( , )N2

�� C admite un echilibru, dac� satisface ipotezele A,

C, M, EC0 împreun� cu:

Ipoteza N. Pentru fiecare (a,w,d,p,t) 3( ) :A + ++ ++ ++ +∈ × ×∈ × ×∈ × ×∈ × ×ℝ ℝH

(i) I(w,d,p) este o submul�ime deschis� a lui );,0( ∞

(ii) 7( , ) 0 ;NC a pν >>>>

(iii) func�ia : Aδ ++++→→→→ ℝH este m�surabil�;

(iv) pentru fiecare );,,(),,(,0 pdwIpdwI λλλ =>

(v) pentru fiecare �ir {{{{ }}}}( , ) , ( , ) ( , ),n n n np t p t p t++++⊂ × →⊂ × →⊂ × →⊂ × →ℝ ℝH dac� ),,,( pdwIt ∈ atunci

),,,( nn pdwIt ∈ pentru n suficient de mare;

(vi) pentru fiecare �ir {{{{ }}}}( , ) , ( , ) ( , ), ( , , )n n n n n np t p t p t t I w d p++++⊂ × → ∈⊂ × → ∈⊂ × → ∈⊂ × → ∈ℝ ℝH implic�

;),,( pdwIt ∈

43

(vii) pentru fiecare �ir {{{{ }}}}( , ) , ( , ) ( , ),n n n nw d w d w d+ ++ ++ ++ +⊂ × →⊂ × →⊂ × →⊂ × →ℝ ℝH H dac� ),,( pdwIt ∈ ,

atunci ),,( pdwIt nn∈ pentru n suficient de mare;

(viii) pentru fiecare �ir ( , ) ( , ) ,n nw d w d în + ++ ++ ++ +→ ×→ ×→ ×→ ×ℝ ℝH H ),,( pdwIt nn∈ implic�

;),,( pdwIt ∈

(ix) mul�imea ),,(\),,( pdwIpdwI este num�rabil� �i

( ( ), ( ), \ ( ( ), ( ), )c I a a p I a a pω δ ω δ∈∈∈∈ implic� { }[ ] .0)(| ==⋅∈ capAa ων

Demonstra�ie. Se definesc rela�iile de coali�ie A

C∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×( a , p )( a , p )( a , p )( a , p )

: = ( (a , p )): = ( (a , p )): = ( (a , p )): = ( (a , p ))Cℝ

H prin

{{{{ }}}}( , ) : | ( ) ( ( ), ( ), ) .C a p A p I a a pα ω α ω δ= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈

Din ipoteza N(ix), pentru fiecare (a,p) ,A ++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×ℝH se ob�ine

( , ) ( , )NC a p C a p⊂⊂⊂⊂ �i ( ( , ) \ ( , )) 0,NC a p C a pν ====

prin urmare, ( , ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( )NC a p C a p

f d f dα ν α α ν α====∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ pentru fiecare f .XL∈

În consecin��, fiecare echilibru din ( , )2

�� C este un echilibru pentru ( , )N2

�� C . Se ob�ine

acum existen�a echilibrului din ( , )2

�� C din Teorema 2.2.1.1 ( 1)K = �i e suficient�

demonstrarea faptului c� rela�iile de coali� ie C , definite mai sus, satisfac ipoteza R din Teorema

2.2.1.1. Acest lucru este demonstrat în capitolul 2.4.2. din Apendix.

7 De fapt, Noguchi a presupus doar c� [ ]( , ) 0C a pν > pentru fiecare ( , )a p A +∈ ×ℝH astfel încât

( ) 0p aω >i . Pentru a se putea ob� ine rezultatul de existen�� al lui Noguchi în cazul cel mai

general, este necesar� sl

�birea ipotezei R din Teorema 2.2.1.1 �i, de asemenea, a ipotezei E din

Teorema 2.1.3.2.

44

2.3. DemonstraŃia teoremei de existenŃă

2.3.1. DemonstraŃia Teoremei 2.1.3.2 în cazul integral mărginit

În acest subcapitol, se enun�� un rezultat de existen�� intermediar, care este de asemenea

de interes pentru el însu�i, în cazul urm�toarelor ipoteze adi�ionale:

Ipoteza IB[Integral M ărginit] Multifunc� ia a ),(aX→ din ,A în ++++ℝH este integral m

�rginit

�,

adic�, pentru o anumit

� func� ie integrabil

� ( ): , sup ( )x X aA x aρ ρ+ ∈+ ∈+ ∈+ ∈→ ≤→ ≤→ ≤→ ≤ℝ aproape pentru to�i

a A∈∈∈∈ .

Teorema 2.3.1.1. În condi�iile ipotezelor A, C, E, EC �i IB , economia ( , )��

admite un quasi-

echilibru de dispunere/utilizare liber� ∈),( ** pf L X ××××ℝH cu ,0* >p în sensul c

�:

a) [Maximizarea PreferinŃei] aproape pentru to�i a ),()(, ** paBafA ∈∈ �i aproape pentru to�i a A∈ astfel încât ),(inf)( ** aXpap ⋅>⋅ω )(* af este un element maximal pentru *, aea

≺ în

mul�imea buget B(a, )*p unde * * *: ( , , );ae a p f====�

b) [Decontarea pieŃei] ∫ ∫≤A A

adaadaf ).()()()(* νων

Pentru a preg�ti demonstra�ia Teoremei 2.3.1.1., se define�te multifunc� ia ”quasi-cerere” D, de la

A ++++× ×× ×× ×× ×ℝH E la ++++ℝ

H , prin

D(a,p,e):= { }

=⋅<⋅′∈′∃/∈

).,()(inf),(

),()(inf),,(|),( ,

pawaXpdac�paB

pawaXpdac�xxpaBxpaBx ea≺

Fie : | 1hh

p p∆ ++++ = ∈ == ∈ == ∈ == ∈ =

∑∑∑∑ℝH �i se define�te multifunc� ia Γ , de la ×∆ XL la ,XL×∆ prin

),,(),(),( 21 fpfpfp Γ×Γ=Γ unde:

{{{{ }}}}{{{{ }}}}

1

2

( , ) : | ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0

( , ) : | ( ) ( , , ( , , )) .

A

X X

p f p p q f a a d a q

p f g L g a coD a p a p f aproape pentru toti a A L

ω νΓ ∆ ∆ ∆

Γ

= ∈ − ⋅ − ≥ ∀ ∈ ⊂= ∈ − ⋅ − ≥ ∀ ∈ ⊂= ∈ − ⋅ − ≥ ∀ ∈ ⊂= ∈ − ⋅ − ≥ ∀ ∈ ⊂

= ∈ ∈ ∈ ⊂= ∈ ∈ ∈ ⊂= ∈ ∈ ∈ ⊂= ∈ ∈ ∈ ⊂

∫∫∫∫ �

Urm�toarele leme rezum

� propriet

��ile mul� imii XL �i a multifunc� iei .Γ

Lema 2.3.1.2. Mul� imea ,XL înzestrat� cu topologia slab

� a spa� iului (local convex) 1( , ),L A ℝH

este nenegativ�, convex

�, compact

� �i metrizabil

�.

45

Demonstra�ie. În primul rând, mul� imea XL este nenegativ�, deoarece con�ine func� ia ;ω într-

adev�r, 1( , )L Aω ∈∈∈∈ ℝ

H �i, aproape pentru to�i , ( ) ( )a A a X aω∈ ∈∈ ∈∈ ∈∈ ∈ (din C(vi)). Mul� imea XL

este de asemenea convex�, având în vedere faptul c

�, aproape pentru to�i ( ), ( )a X a X a∈∈∈∈ este o

mul�ime convex� (din C(i)).

Se arat� acum c

� XL este compact

� pentru topologia slab

� a lui 1( , ).L A ℝH Din faptul c

�

)(aXa → este o multifunc� ie integral m�rginit

� (din IB ), se ob� ine c

�

( ) 0lim ( ) ( ) 0C Cf a d aν ν→→→→ ====∫∫∫∫ uniform pentru .Xf L∈ Prin urmare, deoarece ,)( ∞<Aν mul�imea

XL , care este m�rginit

� în norm

�, este de asemenea secven� ial compact

�. Din perspectiva

Teoremei lui Eberlein-Smulian, aceasta este echivalent� cu faptul c

� închiderea slab

� a lui XL

este slab compact�. Demonstra�ia va fi complet

� dac

� se arat

� c� XL este slab închis

�. Dar în

spa�iul cu norm� 1( , ),L A ℝH mul�imea convex

� XL este slab închis

� dac

� �i numai dac

� este

închis� în topologia norm

� a lui 1( , )L A ℝH . Pentru a ar

�ta c

� XL este închis

�, se consider

� un �ir

{ } Xn Lf ⊂ care converge la unii 1( , )f L A∈∈∈∈ ℝ

H pentru topologia norm� a lui 1( , )L A ℝH , �i

atunci exist� un sub�ir { },knf care converge aproape peste tot (a.p.t) la f . Dar, aproape pentru

to�i , ( ) ( )kna A f a X a∈ ∈∈ ∈∈ ∈∈ ∈ , deoarece .Xn Lf k ∈ Aplicând limit

� când k ∞→ , aproape pentru

to�i )()(, aXafAa ∈∈ , deoarece X(a) este o mul�ime închis� (din C(i)). Acest rezultat încheie

demonstrarea faptului c� XL este slab compact

�.

În final, XL este metrizabil� (pentru topologia slab

�) deoarece, într-un spa�iu Banach

separabil, topologia slab� pe o mul�ime slab compact

� este metrizabil

�.

Lema 2.3.1.3. Multifunc�iile 1Γ �i 2Γ definite pe XL×∆ cu valori, respectiv, în ∆ �i XL , au

ambele un grafic închis �i valori nenegative, convexe �i compacte.

Demonstra�ie. Pentru multifunc� ia 1Γ , demonstra�ia este clasic�, folosind teorema de maxim a lui

Berge �i demonstrând c� func�ia ( , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))

A Ap f p f a d a a d aν ω ν→ ⋅ −∫ ∫ este continu

� pe

.XL×∆ Într-adev�r, aceasta este situa�ia deoarece produsul scalar (din )ℝ

H ( , )p x p x→ ⋅ este

continuu, iar func� iile cu valori reale ( , )p f p→ �i ( , ) ( ) ( )A

p f f a d aν→ ∫ sunt continue pe

,XL×∆ unde XL este înzestrat� cu topologia slab

� a lui 1( , )L A ℝH (reamintind c

� XL este

metrizabil�).

46

Se consider� acum multifunc� ia .2Γ Are în mod clar valori convexe �i se arat

� în

continuare c� are valori nenegative. Pentru fiecare ( , ) Xp f L∈ ∆× :

{{{{ }}}} 2| ( ) ( , , ( , , )), ( , ).Xg L g a D a p a p f aproape pentru toti a A p fΓ∈ ∈ ∈ ⊂∈ ∈ ∈ ⊂∈ ∈ ∈ ⊂∈ ∈ ∈ ⊂�

Existen�a unei selec� ii m�surabile a multifunc� iei

( ) : ( , , ( , , )) (0, ( ))a D a D a p a p f B aρ→ = ⊂→ = ⊂→ = ⊂→ = ⊂�

este o consecin�� a teoremei lui Aumann �i este suficient� pentru a ar

�t� c� (i) aproape pentru to�i

≠∈ )(, aDAa 0/ �i (ii) multifunc� ia D(.) este m�surabil

�. Prima afirma�ie este o consecin�� a

Propozi�iei 2.4.1.1. din Apendix.

Demonstr�m acum a doua afirma�ie. Într-adev

�r,

{{{{ }}}}{{{{ }}}} 1

( , ) | ( )

( , ) | ( , ( , , ), ) ( ),

DG a z A z D a

a z A a a p f z G h G−−−−

= ∈ × ∈= ∈ × ∈= ∈ × ∈= ∈ × ∈

= ∈ × ∈ == ∈ × ∈ == ∈ × ∈ == ∈ × ∈ =

ℝ

ℝ

H

H �

unde G:= {{{{ }}}}( , , ) | ( , , )a e z A z D a p e∈ × × ∈∈ × × ∈∈ × × ∈∈ × × ∈ℝHE �i :h A A× → × ×× → × ×× → × ×× → × ×ℝ ℝ

H HE este definit prin

h(a,z)=( , ( , , ), ).a a p f z�

Dar func� ia h este în mod clar m�surabil

�, deoarece func� ia

a ( , , )a p f→→→→�

este m�surabil

� (din E(i)), �i ( ) ( )G E∈ ⊗ ⊗A ℝ

HB B , deoarece multifunc� ia

(a,e) ),,( epaD→ este m�surabil

� [Propozi�ia 2.4.1.1. din Apendix]. În consecin��,

1( ) ( )DG h G−= ∈ ⊗A ℝHB , ceea ce încheie demonstra�ia Afirma� iei (ii) .

În final, fiecare selec� ie m�surabil

� a multifunc�iei a )(aD→ este integrabil

�, deoarece

din ipoteza IB , pentru aproape to�i ))(,0()(, aBaDAa ρ⊂∈ pentru o anumit� func�ie integrabil

�

.ρ Asta arat� c� ),(2 fpΓ este nenegativ

�.

Se arat� acum c

� 2Γ are un grafic închis. Într-adev

�r (reamintind c

� XL este metrizabil

�),

fie { }),,( nnn gfp un �ir ce converge c�tre un element (p , f , g) din XX LL ××∆ astfel încât

Xnnn Lfpg ⊂Γ∈ ),(2 , pentru to�i n. Deoarece �irul { }ng este integral m

�rginit (din IB ) �i

converge slab la g în 1( , ),L A ℝH un rezultat standard este c� :

aproape pentru to�i { }.)()(, agLscoagAa n∈∈

Dar, aproape pentru to�i a ,A∈ multifunc� ia (p,f) ( , , ( , , ))coD a p a p f→→→→�

are un grafic închis �i valori convexe, deoarece multifunc� ia (p,e) ),,( epaD→ are un grafic închis [Propozi�ia 2.4.1.1.

din Apendix] iar func� ia (p,f) ( , , )a p f→→→→�

este continu� pe XL×∆ (din E(ii), IB �i

metrizabilitatea lui ).XL Prin urmare, reamintind c�, aproape pentru to�i

, ( ) ( , , ( , , ))n n n na A g a coD a p a p f∈ ∈∈ ∈∈ ∈∈ ∈ � pentru to�i n, proprietatea graficului închis implic�:

47

Ls{{{{ }}}}( ) ( , , ( , , )).ng a coD a p a p f⊂⊂⊂⊂ �

În consecin��, aproape pentru to�i a A∈ :

{ }( ) ( ) ( , , ( , , )),ng a coLs g a coD a p a p f∈ ⊂ �

ceea ce arat� c� 2( , )g p fΓ∈ �i încheie demonstra�ia lemei.

Din cele dou� leme de mai sus, reamintind c

� produsul cartezian a dou

� multifunc� ii cu

grafic închis �i valori nenegative, convexe, compacte este o multifunc�ie cu grafic închis �i valori

nenegative, convexe, compacte, spa�iul L:= 1( , )L A××××ℝ ℝH H , mul�imea K:= XL×∆ �i

multifunc� ia Γ satisfac toate ipotezele urm�toarei teoreme de punct-fix.

Teorema 2.3.1.4. (Fan-Glicksberg). Fie K o submul�ime nenegativa, convex� �i compact� a

unui spa�iu Hausdorff local convex L �i fie Γ o multifunc�ie, de la K la K, cu un grafic închis �i

cu valori nenegative, convexe �i compacte. Atunci exist� Kx ∈ astfel încât ).(xx Γ∈

Prin urmare, exist� un element ( XLfp ×∆∈), care satisface:

∫ ≥−⋅−A

adaafpp 0)())()(()( νω pentru to�i p ,∆∈ (1)

( ) ( , , ( , , ))f a coD a p a p f∈∈∈∈ � aproape pentru to�i .Aa∈ (2)

Urm�toarea lem

� pune în eviden�� faptul c

� se poate lua în considerare învelitoarea convex

� din

afirma�ia de mai sus, modificând eventual func� ia .f

Lema 2.3.1.5. Exist� XLf ∈* care satisface:

∫ ≥−⋅−A

adaafpp 0)())()(()( * νω pentru to�i p ,∆∈ (3)

* *( ) ( , , ( , , ))f a D a p a p f∈∈∈∈ � aproape pentru to�i a .A∈ (4)

Demonstra�ia Lemei 2.3.1.5.

Din afirma�ia (2) �i din faptul c� ( ) : ( , , ( , , )),a D a D a p a p f→ =→ =→ =→ = � de la A la ,ℝ

H este o

multifunc� ie m�surabil

� [Propozi�ia 2.4.1.1. din Apendix], exist

� un num

�r finit de selec� ii

m�surabile )( Iif i ∈ ale multifunc�iei a )(aD→ astfel încât, aproape pentru to�i

48

a { }.|)()(, IiafcoafA i ∈∈∈ Într-adev�r, se consider

� multifunc� ia F, de la A la 1( ) ,++++××××ℝ ℝ

H H

definit� prin

F(a):= 1,..., 1( , ) | ( , ) ( ) , 1 ( ) .i i i i i i i ii i

f f D a pentru toti i si f a fλ λ λ λ= + += + += + += + + ∈ × = =∈ × = =∈ × = =∈ × = =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑H ℝ

Atunci, în mod clar F este m�surabil

� �i cu valori nenegative, din teorema lui

Caratheodory, �i de asemenea, se ob� ine faptul c� ).()( acoDaf ∈ Prin urmare, din teorema lui

Aumann, exist� o selec�ie m

�surabil

� a multifunc�iei F, care define�te selec� iile m

�surabile if

ale multifunc� iei a ).(aD→

Din ipoteza EC, exist� o mul�ime m

�surabil

� naC A⊂ astfel încât:

(i) aproape pentru to�i a \ ,naA C∈∈∈∈ rela�ia de preferin�� , ( , , )a a p f

≺ � este convex� �i

(ii) exist� XLf ∈* astfel încât,

aproape pentru to�i a *, ( , , ) ( , , )A a p f a p f∈ =∈ =∈ =∈ =� �

aproape pentru to�i {{{{ }}}}* *, ( ) ( ) | ( , , )) ( , , ( , , )),ia C f a f a i I D a p f D a p a p f∈ ∈ ∈ ⊂ =∈ ∈ ∈ ⊂ =∈ ∈ ∈ ⊂ =∈ ∈ ∈ ⊂ = � (5)

aproape pentru to�i a *\ , ( ) ( )A C f a f a∈ =∈ =∈ =∈ = �i ∫ ∫=A A

dfdf ).()()()( * αναανα (6)

Deoarece rela� ia de preferin�� , ( , , )a a p f≺ � este convex

� aproape pentru to�i \a A C∈∈∈∈ (în

primul rând, aproape pentru to�i a naAA \∈ din C(iii) �i, în al doilea rând, aproape pentru to�i a \naA C∈∈∈∈ din EC(i)), mul�imea D(a, , ( , , ))p a p f� este convex

�. Atunci, de mai sus:

aproape pentru to�i a * *\ , ( ) ( ) ( , , ( , , )) ( , , ( , , )).A C f a f a coD a p a p f D a p a p f∈ = ∈ =∈ = ∈ =∈ = ∈ =∈ = ∈ =� � (7)

Afirma�iile (3) �i (4) din lem� rezult

� din Afirma�iile (1), (6) �i respectiv (5), (7).

Revenind la demonstra�ia Teoremei 2.3.1.1., se arat� c�, pentru * * *, ( , )p p p f==== este un

quasi-echilibru cu utilizare/dispunere liber� pentru ( , )�� . Într-adev

�r, din afirma�ia (4), aproape

pentru to�i a * * * *, ( ) ( , , ( , , )),A f a D a p a p f∈ ∈∈ ∈∈ ∈∈ ∈ � a�adar condi� ia de maximizare a preferin�ei

echilibrului este satisfacut�. Aceasta implic

�, în particular, c

� pentru aproape to�i

a ),,()(, ** paBafA ∈∈ prin urmare ).()( *** apafp ω⋅≤⋅ Integrând peste A, se ob�ine

∫ ≤−⋅A

adaafp .0)())()(( ** νω Folosind Afirma� ia (3), se deduce c� :

*( ( ) ( )) ( ) 0A

p f a a d aω ν⋅ − ≤∫ pentru to�i p ,∆∈

49

ceea ce implic� condi� ia de decontare a pie�ei de echilibru:

∫ ∫≤A A

adaadaf ).()()()(* νων

2.3.2. DemonstraŃia Teoremei 2.1.3.2 în cazul general

2.3.2.1. Trunchierea economiei

Pentru fiecare întreg k>1 �i pentru fiecare a ,A∈ fie:

[ ]{ }( ) : ( ) | ( )kX a x X a x k a1 1ω= ∈ ≤ ⋅ �i, pentru fiecare e ,∈∈∈∈ E se consider� restric� ia rela� iei de preferin�� ea,≺ în raport cu mul�imea

),(aX k care va fi indicat� în mod identic prin ea,≺ în cele ce urmeaz

�. Se define�te economia

redus� �|| , prin:

unde caracteristicile lui kε sunt acelea�i ca �i în economia � , dar mul�imile de consum )(aX k �i preferin�ele ,( )a e e∈∈∈∈≺ E ale agen� ilor sunt definite ca mai sus.

Aplica� ia de externalitate :k kXA L× × →× × →× × →× × →ℝ

H� E este definit� ca �i restric� ie a lui � la

,kXA L× ×× ×× ×× ×ℝ

H unde:

{{{{ }}}}1: ( , ) | ( ) ( ), .k kXL f L A f a X a aproape pentru toti a A= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈ℝ

H

Este u�or de vazut faptul c�, dac

� ( , )�� satisface ipoteza din Teorema 2.1.3.2., atunci pentru

fiecare k, ( , )k k��satisface toate ipotezele din Teorema 4. În consecin��, din Teorema 2.3.1.1.,

pentru fiecare k exist� un quasi-echilibru cu utilizare/dispunere liber

� ),( kk fp al lui ( , )k k��

cu

p k >0.

2.3.2.2 Pentru k destul de mare, kp >>0

Lema 2.3.2.2.1. Exist� δ >0 astfel încât 1kp δ≥≥≥≥ pentru k suficient de mare.

50

Demonstra�ie. F�r� nici o pierdere a generalit

�� ii, se poate presupune c� �irul { }kp converge la

ni�te elemente *p în mul� imea compact� .∆ Pentru a demonstra lema este suficient s

� se arate c

�

*p >>0.

Se arat� întâi c

�, aproape pentru to�i a A∈ :

{{{{ }}}}*( ( ), ( )) , ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) .k k kf a e a p f a e a Ls p f a e a++++∃ ∈ × ∈∃ ∈ × ∈∃ ∈ × ∈∃ ∈ × ∈H Eℝ (8)

Într-adev�r, deoarece ),( kk fp este un quasi-echilibru cu utilizare/dispunere liber

� al lui

( , )k k�� pentru fiecare k, se ob� ine c

�:

aproape pentru to�i )(0, afAa k≤∈ �i ∫ ∫≤A A

k adaadaf ),()()()( νων

a�adar, �irul { }∫Ak adaf )()( ν este m

�rginit în H

ℝ �i se va deduce c� .sup

1∞<k

k f Definind în

Hℝ , ∑=

h hxx1

�i, reamintind faptul c�, pentru ni�te m>0,

1xmx ≤ pentru fiecare x, se

ob�ine:

1: ( ) ( ) ( ) ( )k k k

hA Ah

f f a d a m f a d aν ν∈∈∈∈

= ≤= ≤= ≤= ≤ ∑∑∑∑∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫H

= ,)()(1∫A

k adafm ν

deoarece ,0)( ≥af k aproape pentru to�i a .A∈ În consecin��, ,sup1

∞<kk f deoarece �irul

{ }∫Ak adaf )()( ν este m

�rginit.

Deoarece �irul { }),( kk fp este m�rginit în norm

� în 1( , ),L A××××H Hℝ ℝ din ipoteza EB,

exist� o mul�ime ∈1N A cu 0)( 1 =Nν astfel încât, pentru to�i a 1\ NA∈ �irul { })(aek este

m�rginit în E , unde ( ) : ( , , ).k k ke a a p f==== �

Din punctul de vedere al versiunii standard a lemei lui Fatou, se ob�ine:

∫∫ ∞<=≤A

kk

A

k fadafadaf ,inflim)()(inflim)()(inflim1

νν

deoarece mai sus se spunea c� .sup

1∞<k

n f În consecin��, exist� ∈2N A cu 0)( 2 =Nν

astfel încât, pentru to�i a ,)(inflim,\ 2 ∞<∈ afNA k ceea ce implic� faptul c

�, pentru to�i

a ,\ 2NA∈ exist� un sub�ir { })(akn astfel încât �irul { })()( af akn este m

�rginit în .++++

Hℝ

51

Fie a )(\ 21 NNA ∪∈ . Observând c� �irul { })(),(( )()( aeaf akak nn este m

�rginit în ,++++ ××××H Eℝ

f�r� nici o pierdere a generalit

�� ii, se poate presupune c� �irul

))(),(())(),(( )()( aeafaeaf akak nn → converge la un anumit element (f(a),e(a)) .++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×H Eℝ Deci,

afirma�ia (8) are loc pentru to�i a [ ].\ 21 NNA ∪∈

Se revine acum la demonstra�ia Lemei 2.3.2.2.1. Se alege un agent specific Aa ∈0

pentru care au loc urm�toarele propriet

�� i: (i) preferin�ele agentului 0a sunt continue; (ii)

preferin�ele agentului 0a sunt monotone; (iii) 0)( 0* >⋅ ap ω �i exist

� un sub�ir { }nk , depinzând

de 0a , astfel încât (iv) ( )),(),(,())(),(, 00*

00 aeafpaeafp nnn kkk → pentru unii

0 0( ( ), ( )) ,f a e a ++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ ×H Eℝ (v) pentru fiecare n, ))(,,()( 000 aepaDaf nnnn kkkk ∈ cu

0 0( ) ( , , ).n n nk k ke a a p f==== � Un astfel de agent 0a exist� în mod clar, deoarece fiecare din

afirma�iile (i)-(v) de mai sus au loc aproape pentru to�i a ;A∈ ele corespund, respectiv, ipotezelor

C(iv), M(i) , M(ii ), afirma� iei (8) �i condi� iei de maximizare a preferin�ei echilibrului pentru

),( nn kk fp , pentru fiecare n.

Se va ar�ta acum c

� .0* >>p Dac

� se presupune c

� nu e adev

�rat, atunci exist

� h astfel

încât .0* =hp Din propriet��ile de mai sus ale agentului 0a , pentru to� i n,

)()( 00 apafp nnn kkk ω⋅≤⋅ , *pp nk → �i )()( 00 afaf nk → , �i la limit� se ob�ine

)()( 0*

0* apafp ω⋅≤⋅ . Deoarece agentul 0a are preferin�e monotone, exist

� 0( ) hz f a te= + ,

pentru ni�te t>0 astfel încât f(0a ) zaea )(, 00≺ �i în mod clar ).()( 0

*0

** apafpzp ω⋅≤⋅=⋅ Se

arat� acum c

� :

,z ++++′′′′∃ ∈∃ ∈∃ ∈∃ ∈ Hℝ ),( 0

** apzp ω⋅<′⋅ .)( )(,0 00zaf aea ′≺ (9)

Într-adev�r, dac

� ),( 0

** apzp ω⋅<⋅ se ia .zz =′ Dac� 0)( 0

** >⋅=⋅ apzp ω , se poate alege

Hi ∈ astfel încât 0* >ip �i .0>iz Deoarece agentul 0a are preferin�e continue, exist� 0>ε

astfel încât iz z e +′ = − ∈ H� ℝ �i f( .) )(,0 00

za aea ′≺ Se ob�ine de asemenea c�

* * * *0( ).ip z p z p p a′⋅ = ⋅ − < ⋅ω� Asta încheie demonstra�ia afirma�iei (9).

Se încheie demonstra�ia prin contrazicerea faptului c� )( 0af nk apar�ine lui

)).(,,( 00 aepaD nn kkk Într-adev�r, din 0)( 0

* >⋅ ap ω (din (iii)) �i din afirma� ia (9), reamintind

faptul c� �irul { }))(),(,( 00 aeafp nnn kkk converge la ))(),(,( 00

* aeafp (din (vi)) �i utilizând

continuitatea preferin�elor agentului 0a , pentru n suficient de mare, se ob�ine c� 0)( 0 >⋅ ap nk ω ,

52

,z ++++′′′′ ∈∈∈∈ Hℝ )( 0apzp nn kk ω⋅≤′⋅ �i .)(

)(,000

zaxaea

knk

n ′≺ În plus, se poate presupune de asemenea

c� ).( 0aXz nk∈′ Toate aceste condi�ii împreun

� contrazic faptul c

�

))(,,()( 000 aepaDaf nnn kkkk ∈ , ceea ce încheie demonstra�ia lemei.

2.3.2.3. Pentru k suficient de mare, ),( kk fp este un echilibru pentru ( , )��.

Acest rezultat este o consecin�� a urm�toarei leme.

Lema 2.3.2.3.1. Pentru fiecare k suficient de mare �i aproape pentru to� i a ,A∈ rezult�: (i) );(),( aXpaB kk ⊂

(ii) )(af k este un element maximal în ),( kpaB pentru ,)(, aea k≺ unde ( ) ( , , );k k ke a a p f==== �

(iii) );()( apafp kkk ω⋅=⋅

(iv) ∫ ∫=A A

k adaadaf ).()()()( νων

Demonstra�ie. Din Lema 2.3.2.2.1., exist� K astfel încât, pentru fiecare k≥K

δ>khp pentru fiecare h H∈ �i .

1k≤

δ

În cele ce urmeaz� se fixeaz

� k .K≥

(i) Aproape pentru to�i a ,A∈ se las� x ),,( kpaB∈ adic

� x ++++∈∈∈∈ Hℝ �i ).(apxp kk ω⋅≤⋅ De

mai sus, reamintind c� ,∆∈kp se ob�ine

( ) ( ) ( ),k k kh h h h

h

x p x p x p a a aδ ω ω ω≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ = ⋅≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ = ⋅≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ = ⋅≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ = ⋅∑∑∑∑ 1

ceea ce implic� c�

0 [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1( ) ( )x a k aω ω

δ≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅1 1 1 1

sau în mod echivalent x ).(aX k∈

(ii) Aproape pentru to�i a A∈ astfel încât ( ) 0, ( )k kp a f aω⋅ >⋅ >⋅ >⋅ > este un element maximal

în B(a, )kp pentru ,)(, aea k≺ deoarece )(),( aXpaB kk ⊂ (din partea (i)) �i din faptul

c� ),( kk fp este un quasi-echilibru cu utilizare/dispunere liber

� pentru ( , )k k��

.

Aproape pentru to�i a A∈ astfel încât ,0)( =⋅ apk ω reamintind c� 0>>kp (din Lema

2.3.2.2.1.), se ob�ine B(a, { }0) =kp �i rezultatul se ob�ine din ipoteza de ireflexivitate

C(ii) .

53

(iii) Rezultatul este evident aproape pentru to�i a A∈ astfel încât .0)( =⋅ apk ω Se

presupune acum c� .0)( >⋅ apk ω Din ipoteza de monotonie M(i) , exist

� un �ir

{{{{ }}}}( )nf a ++++⊂⊂⊂⊂ Hℝ astfel încât )()( afaf kn → �i ).()(

)(,afaf n

aea

kk≺ Din partea (ii),

)(af k este un element maximal al lui )(, aea k≺ în B(a, ),kp prin urmare

)(afp nk ⋅ > ).(apk ω⋅ Trecând la limit�, se ob�ine ),()( apafp kkk ω⋅≥⋅ ceea ce

împreun� cu ),()( kk paBaf ∈ , implic

� faptul c

� ).()( apafp kkk ω⋅=⋅

(iv) Integrând peste A egalit�� ile din partea (iii), se ob�ine

∫ ∫ =−⋅A A

kk adaadafp .0))()()()(( νων

Deoarece ),( kk fp este un quasi-echilibru cu utilizare/dispunere liber� pentru ( , )k k��

rezult�:

∫ ∫≤A A

k adaadaf )()()()( νων �i, reamintind c� 0>>kp (din Lema 2.3.2.2.1.), se ob�ine:

∫ ∫=A A

k adaadaf ).()()()( νων

2.4. Apendix

2.4.1. ProprietăŃile multifuncŃiei quasi-cerere

Fie (A,A , )ν un spa�iu cu m�sur

� al consumatorilor, �i se presupune c

� fiecare

consumator a este înzestrat cu o mul�ime de consum X(a) ,⊂⊂⊂⊂ Hℝ o rela�ie de preferin�� ea,≺

peste X(a) (pentru fiecare externalitate e)∈∈∈∈ E �i o aplica� ie de bun�stare : .w A× →× →× →× →H

ℝ ℝ În

cele ce urmeaz�, fie

P:={{{{ }}}}| inf ( ) ( , ) ,p p X a w a p aproape pentru toti a A∈ ⋅ ≤ ∈∈ ⋅ ≤ ∈∈ ⋅ ≤ ∈∈ ⋅ ≤ ∈Hℝ

B(a,p):={ },),(|)( pawxpaXx ≤⋅∈

D(a,p,e):={ }

=⋅<⋅′∈′∃/∈

).,()(inf),(

),()(inf),,(|),( ,

pawaXpdac�paB

pawaXpdac�xxpaBxpaBx ea≺

Propriet�� ile multifunc�iei quasi-cerere D sunt rezumate în propozi�ia ce urmeaz

�, care extinde

rezultate standard în cazul f�r� externalitate (adic

� E={ }0 ).

54

PropoziŃia 2.4.1.1. Fie {( , , )A νA }}}},, , ( ( ), ( ) ) ,a e e a AX a w∈ ∈∈ ∈∈ ∈∈ ∈≺ EE care satisface ipotezele A, C �i IB �i se presupune c

� distribu�ia de bun

�stare :w A× →× →× →× →H

ℝ ℝ este o func� ie Caratheodory.8

Atunci:

(i) pentru fiecare p P∈ , multifunc� ia (a,e) ),,,( epaD→ de la EA× la Hℝ , este

m�surabil

�;

(ii) aproape pentru to�i a A∈ , multifunc�ia (p,e) ),,( epaD→ , de la ,P la×××× HE ℝ are un

grafic închis �i valori nenegative, compacte.

Demonstra�ie. În cele ce urmeaz�, aproape pentru to�i a A∈ �i pentru fiecare p ,P∈ fie

{ },),()(inf|: pawaXpPpPa <⋅∈=

{ }.),()(inf|: pawaXpAaAp <⋅∈=

Demonstra�ia lui (i). Fie p P∈ . Atunci se demonstreaz� c�:

G:={{{{ }}}}( , , ) | ( , , )a e d A d D a p e∈ × × ∈ ∈∈ × × ∈ ∈∈ × × ∈ ∈∈ × × ∈ ∈HE ℝ A ⊗⊗ )(EB ( )ℝHB �i se observ

� mai întâi c

� G= ,21 GG ∪ unde:

{{{{ }}}}1 : ( , , ) ( \ ) | ( ), ( , ) ,pG a e d A A d X a p d w a p= ∈ × × ∈ ⋅ ≤= ∈ × × ∈ ⋅ ≤= ∈ × × ∈ ⋅ ≤= ∈ × × ∈ ⋅ ≤HE ℝ

{{{{ }}}}2 : ( , , ) | ( , , ) .pG a e d A d D a p e= ∈ × × ∈= ∈ × × ∈= ∈ × × ∈= ∈ × × ∈HE ℝ

Se observ� c� 1 ( ) ( )G B∈ ⊗ ⊗A

HE ℝB , deoarece func� ia (a,d) ),( pawdp −⋅→ �i multifunc� ia

a )(aX→ sunt m�surabile �i ∈pA A .

Pentru a demonstra c� 2 ( ) ( )G B∈ ⊗ ⊗A

HE B ℝ , se aplic� argumentul utilizat de c

�tre

Hildenbrand. Deoarece multifunc� ia B(.,p), de la ,pA la Hℝ are valori nenegative �i este

m�surabil

�, exist

� un �ir de func� ii m

�surabile { },nf de la ,pA la H

ℝ astfel încât aproape

pentru to�i a {{{{ }}}}, ( )p nA f a∈∈∈∈ este dens în B(a,p). Se define�te acum multifunc� ia ,nξ de la

,pA la×××× HE ℝ prin:

[ ]{ })(|),(),( , afxnotpaBxea nean ≺∈=ξ �i se afirm� c�: D(a, p, e)= ),,(

1eann

ξ∩∞= aproape pentru to�i a .pA∈

8 Adic�, pentru fiecare p∈ℝH , func�ia ( , )a w a p→ este m

�surabil

� �i, pentru aproape to�i

a A∈ , func�ia ( , )p w a p→ este continu�. Se noteaz

� faptul c

� distribu�ia de bun

�stare

considerat� în modelul de fa�� ( , ) ( )w a p p aω= i satisface aceast

� proprietate când ω este

presupus� a fi m

�surabil

�.

55

În mod clar, pentru fiecare n, D(a, p, e) ).,( eanξ⊂ Invers, fie ),(1

eax nnξ∩

∞

=∈ �i se

presupune c� ).,,( epaDx∉ Atunci, mul�imea { }xxpaBxU ea ′∈′= ,|),( ≺ este nevid

� �i

deschis� relativ la B(a, p) (din C(iv)). Deoarece �irul { })(af n este dens în B(a, p), se deduce c

�

pentru unii 00 ,, ( ),a e nn x f a≺ dar asta contrazice faptul c

� ).,(

0eax nξ∈ Prin urmare, rezult

�:

{{{{ }}}} {{{{ }}}}2 1( , , ) | ( , , ) ( , , ) | ( , )p p nn

G a e d A d D a p e a e d A d a eξ∞∞∞∞

===== ∈ × × ∈ = ∈ × × ∈= ∈ × × ∈ = ∈ × × ∈= ∈ × × ∈ = ∈ × × ∈= ∈ × × ∈ = ∈ × × ∈∩H HE Eℝ ℝ

A�adar, mul�imea 2G este m�surabil

�, deoarece ea,≺ este m

�surabil

� (din C(v)), func� iile nf �i

multifunc� ia a ),( paB→ sunt m�surabile �i se reaminte�te faptul c

� ∈pA A .

Demonstra�ia lui (ii).

Se arat� mai întâi c

� D(a, p, e) 0/≠ aproape pentru to�i a A∈ �i fiecare (p,e) .EP×∈

Aproape pentru to�i a \ , ( , , ) ( , ) 0pA A D a p e B a p∈ = ≠ /∈ = ≠ /∈ = ≠ /∈ = ≠ / deoarece ).,()(inf pawaXp ≤⋅ Se

consider� acum a pA∈ �i se noteaz

� pur �i simplu B:=B(a,p), care este în mod clar o mul�ime

nevid� �i compact

� (din IB ). Se presupune, prin metoda reducerii la absurd, c

� D(a,p,e)= ,0/

adic�, pentru fiecare ,Bx∈ exist

� ., , xxBx ea ′∈′ ≺ Atunci B= ,xBx

V ′∈′∪ unde

{ }xxBxV eax ′∈=′ ,| ≺ este deschis� în B (din C(iv)). Deoarece B este compact

�, exist

� o

submul�ime finit� { } BNixi ⊂∈′ | astfel încât B= .′∈

ixNi V∪ Se afirm� acum c

� exist

� Ni ∈

astfel încât

′′

jeai xxnot ,≺ pentru fiecare .Nj ∈ Într-adev�r, dac

� un astfel de element

maximal nu exist�, pentru fiecare Ni ∈ , exist

� Ni ∈)(σ astfel încât .)(,

′′ieai xx σ≺ Aplica� ia

NN →:σ admite în mod clar un ciclu adic�, pentru unii i �i pentru unii întregi k, rezult

� c�

)(ii kσ= (compunerea lui σ cu ea îns��i de k ori). Tranzitivitatea (din C(ii) ) lui ea,≺ implic

�

faptul c� ′=′′

iieai xxx k )(, σ≺ , ceea ce contrazice ireflexivitatea (din C(ii) ) lui .,ea≺ Se încheie

demonstra�ia considerând un astfel de element maximal ,Bxi ∈′ care apar�ine unei anumite

mul�imi )( NjVjx

∈′ , asta însemnând c� ′′

jeai xx ,≺ pentru unii j .J∈ Dar asta contrazice

maximalitatea lui .′ix Asta încheie demonstarea faptului c� D(a,p,e) este nevid

�.

Se arat� acum c

�, pentru aproape to�i a A∈ , multifunc�ia (p,e) ),,,( epaD→ de la

,P la×××× HE ℝ are un grafic închis. Fie ( ),,(),, xepxep nnn → în P× ×× ×× ×× × HE ℝ astfel încât,

56

pentru to� i n, ).,,( nnn epaDx ∈ Din ),,( nnn pawxp ≤⋅ trecând la limit� �i reamintind faptul c

�

aplica� ia ,.)(aw este continu�, se ob�ine ).,( pawxp ≤⋅ Reamintind faptul c

� X(a) este închis

�,

se ob�ine c� ).,( paBx∈ Astfel, dac

� ),,()(inf pawaXp =⋅ rezult

� ).,(),,( paBepaDx =∈ Se

presupune acum c� ).,()(inf pawaXp <⋅ Deoarece ,ppn → pentru n suficient de mare,

).(inf),( aXppaw nn ⋅> Dac� se presupune acum c

� ( , , ),x D a p e∉ acest lucru implic

� faptul

c� exist

� ),( paBx ∈′ astfel încât ., xx ea ′≺ Din faptul c

� )(inf),( aXppaw ⋅> �i din ipoteza de

continuitate C(iv), se poate g�si c

� )(aXx ∈′′ astfel încât xx ea ′′,≺ �i ).,( pawxp <′′⋅ Deoarece

,ppn → pentru n suficient de mare, ).,( nn pawxp <′′⋅ Deoarece ,een → din ipoteza de

continuitate C(iv), pentru n suficient de mare, .,

xx nea

n ′′≺ Prin urmare, se poate alege n

(suficient de mare) astfel încât ),(),(inf),( nnn paBxaXppaw ∈′′⋅> �i ,,

xx nea

n ′′≺ dar asta

contrazice faptul c� ).,,( nnn epaDx ∈

2.4.2. ProprietăŃi ale relaŃiilor de coaliŃie ale lui Noguchi.

În aceast� sec� iune, se încheie demonstra�ia din Corolarul 2.2.3.1. (din subcapitolul

2.2.3.) �i mai r�mâne de demonstrat doar faptul c

� rela� iile de coali� ie, definite prin

C (a, p)={ })),(),(()(| paaIapA δωωα ∈⋅∈

satisfac ipoteza R din Teorema 2.2.1.1.

Demonstra�ie. R(i) este o consecin�� a lui N(ii) deoarece ( , ) ( , )NC a p C a p⊂⊂⊂⊂ �i R(ii) este o

consecin�� direct� a lui N(iv).

Demonstra�ia lui R(iii). Fie (a, p) ,A ++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ × Hℝ atunci se define�te:

{{{{ }}}}( , ) : | ( ( ), ( ), )W a p p I a a pω ω ω δ++++′ ′′ ′′ ′′ ′= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈= ∈ ⋅ ∈Hℝ .

În mod clar, rezult� c�:

{{{{ }}}}( , ) \ ( , ) | ( ( ), ( ), ) \ ( ( ), ( ), )W a p W a p p I a a p I a a pω ω ω δ ω δ++++′ ′′ ′′ ′′ ′⊂ ∈ ⋅ ∈⊂ ∈ ⋅ ∈⊂ ∈ ⋅ ∈⊂ ∈ ⋅ ∈Hℝ

{ }capApaWpaWpaaIpaaIc

=⋅∈⊂∈

− )(|),(\),(()),(),(((\)),(),((

1 ωαω δωδω∪ �i folosind ipoteza N(ix), se ob�ine

[ ] .0),(\),((1 =− paWpaWων

57

Deoarece m�sura 1:τ ν ω−= � este o m

�sur

� Borel finit

� pe ,++++

Hℝ din Noguchi [19] (Lema

2.3.1.3.), pentru fiecare �ir {{{{ }}}}np ++++⊂⊂⊂⊂ Hℝ convergent la p, rezult

�:

[ ] .0)),(),((:)),(),(( 1 →∆=∆ − paWpaWpaWpaW nn ωντ

Observând c� 1( , ) ( ( , ))n

N nC a p W a pω −−−−==== �i 1( , ) ( ( , )),NC a p W a pω −−−−==== se ob�ine:

1 1( , ) ( , ) ( ( , )) ( ( , ))nN N nC a p C a p W a p W a pν ν ω ω∆ ∆− −− −− −− − ====

= [ ] .0)),()),((1 →∆ paWpaW nων

Reamintind acum c� ( , ) ( , ) 0NC a p C a pν ⊂ =⊂ =⊂ =⊂ = pentru to�i (a, p) ,A ++++∈ ×∈ ×∈ ×∈ × H

ℝ de mai sus, rezult�

c� ( , ) ( , ) 0nC a p C a pν ∆ →→→→ unde ppn → în .++++

Hℝ

Demonstra�ia pentru R(iv). Este o consecin�� a urm�toarei leme, definind, pentru un p ,++++∈∈∈∈ H

ℝ

fixat, func� iile 2: ( ) , :f A g A+ ++ ++ ++ +→ →→ →→ →→ →H Hℝ ℝ �i multifunc� ia F, de la 2( )++++

Hℝ la ,ℝ prin f(a)=

( ( ), ( )), ( ) ( )a a g pω δ α ω α= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ �i F( ),,(), pI δωδω = �i observând c�

C (a,p)={ }))(()(| afFgA ∈∈ αα �i condi� ia N implic� faptul c

� f,g �i F satisfac ipoteza lemei. (Se observ

� doar c

� N(vii) implic

�

faptul c�, pentru fiecare t ++++∈∈∈∈ H

ℝ , mul�imea {{{{ }}}}1 2( ) : ( , ) ( ) | ( , , )F t t I pω δ ω δ−−−−++++= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈Hℝ este

deschis�, a�adar m

�surabil

�.)

Lema 2.4.2.1. Fie f: A , :m ng A→ →→ →→ →→ →ℝ ℝ dou� aplica�ii m�surabile �i fie F o multifunc�ie, de la

mℝ la n

ℝ , astfel încât, pentru fiecare (x,t) ,m n∈× ×∈× ×∈× ×∈× ×ℝ ℝ F(x) este deschis� �i )(1 tF − este

m�surabil�. Atunci mul�imea

{ }))(()(|),(: afFgAAaG ∈×∈= αα

este m�surabil�.

Demonstra�ie. Se observ� c� Ga ∈),( α dac

� �i numai dac

�

∈∀k , 0))(()1

),(( /≠∩ afFk

gB α �i, utilizând faptul c� F(f(a)) este o mul� ime deschis

�, dac

� �i numai dac

�

∈∀k ℕ , ∈∃ ktnℚ ,

kgtk

1)( <− α �i )).(( afFtk ∈

58

Prin urmare

{{{{ }}}}1[ | ( ) | ( ( )) ],nk t

G A A t g a A t F f a Ak

α α∈∈∈∈

= × ∈ − < ∩ ∈ ∈ ×= × ∈ − < ∩ ∈ ∈ ×= × ∈ − < ∩ ∈ ∈ ×= × ∈ − < ∩ ∈ ∈ × ℚ∩ ∪

care este m�surabil deoarece mul�imea

<−∈

kgtA

1)(| αα este m

�surabil

� (deoarece

func� ia g este m�surabil

�) �i mul�imea { }))((| afFtAa ∈∈ este m

�surabil

� (deoarece mul�imea

)(1 tF − este m�surabil

� �i func� ia f este m

�surabil

�).

2.4.3. Contraexemplul lui Balder de nonexistenŃă a echilibrului

Teorema 2.3.1.1. poate s� nu aib

� loc dac

� se scoate ipoteza de convexitate EC.

Se consider� urm

�torul exemplu, datorat lui Balder, al unei economii

� cu o singur

�

marf�, A = [0,1] înzestrat

� cu m

�sura Lebesgue ν �i −σ algebra Lebesgue (adic

�

completitudinea −σ algebrei Borel). Pentru fiecare agent a[ ]1,0∈ , mul�imea de consum �i înzestrarea ini�ial

� sunt date de [ ]2,0)( =aX �i ;2)( =aω rela� ia de preferin�� ea,≺ este definit

�

prin func� ia de utilitate .:)(, exxu ea += Simplexul pre�urilor pentru aceast� economie este

{ },1=∆ spa�iul de externalitate este R iar func� ia de externalitate : XA L∆× × →× × →× × →× × →�ℝ este

definit� prin:

0

( ,1, ) : 1 ( ) ( ).a

a f a f dα ν α= − −= − −= − −= − − ∫∫∫∫�

Este u�or de verificat c� economia satisface toate ipotezele din Teorema 2.3.1.1, înafar

� de

ipoteza de convexitate EC (adic� satisface ipotezele A, C, E �i IB ).

Din Balder[5], aceast� economie nu admite un quasi-echilibru cu utilizare/dispunere

liber�. Pentru un caracter complet, argumentul are loc dup

� cum urmeaz

�. Se presupune c

� �

admite un astfel de echilibru, notat ).1,( *f Pentru aproape to� i a ,A∈ rezult� c� B(a,1)=[0,2], iar

din condi�ia consumatorului de echilibru se deduce c� 0)(* =af dac

� ∫ >

aadf

0

* )()( ανα �i * *

0( ) 2 ( ) ( ) .

af a dac� f d aα ν α= <= <= <= <∫∫∫∫ Se consider

� acum func�ia absolut continu

� : Aψ ++++→→→→ ℝ

definit� prin .)()1)((:)(

2

0

*

−= ∫

adfa αναψ De mai sus, se deduce c

�:

∫ ≤−−=′a

dfafa0

** 0)()1)(()1)((2)( αναψ aproape pentru to�i a .A∈

59

A�adar, pentru fiecare a , ( ) (0) 0A aψ ψ∈ ≤ =∈ ≤ =∈ ≤ =∈ ≤ = , ceea ce împreun� cu ),(0 aψ≤ implic

� faptul c

�

∫ =−a

df0

* .0)()1)(( ανα Prin urmare, ,1* =f ceea ce contrazice afirma�ia de mai sus conform

c�reia { }2,0)(* ∈af aproape pentru to�i a .A∈

În final, se arat� c� ipoteza de convexitate EC nu are loc. Într-adev

�r, dac

� se presupune

c� EC are loc, se observ

� mai întâi c

� pentru fiecare a ,A∈ pentru e=-1 (ceea ce se ob�ine de

exemplu din � cu f=1) �i pentru x=1/2, mul�imea

[ ] [ ]{ } ,2,2

3

2

1,0|2,0 ,

∪

=′∈′ xxnotx ea≺

nu este convex�. A�adar, din ipoteza EC, func�ia de externalitate

� trebuie s

� fie convex

� pe A

(în sensul Defini� iei 2.1.3.1.). Deci, fie { } 2,1=iif definit prin 01 =f �i . Atunci func� ia f=1

satisface { })(),()( 21 ααα ffcof ∈ pentru aproape to�i .A∈α Deoarece �

este convex� pe A,

exist� XLf ∈* astfel încât, pentru aproape to�i {{{{ }}}}*

1 2, ( ) ( ), ( )A f f fα α α α∈ ∈∈ ∈∈ ∈∈ ∈ �i *( ,1, ) ( ,1, ).a f a f====� � Din aceast

� ultim

� rela� ie se ob�inem c

�

∫ ∫=a a

dfdf0 0

* )()()()( αναανα aproape pentru to�i a ,A∈ ceea ce implic� faptul c

�

0)()(* =− αα ff , aproape pentru to�i .A∈α Deci, ,1* == ff ceea ce contrazice afirma�ia de

mai sus conform c�reia { }2,0)(* ∈αf , aproape pentru to� i .A∈α

60

CAPITOLUL 3

APLICA łII ALE ECHILIBRULUI ECONOMIC CU EXTERNALIT ĂłI

3.1. Conceptul de externalitate; formele sale

Externalit�� ile sunt cunoscute ca fiind efecte externe, economii sau pierderi externe,

efecte locale sau generale.

Apari�ia externalit�� ilor este o consecin�� a interdependen�elor care se manifest

� între

func� ia utilit�� ii �i func� ia de produc�ie, respectiv între consumator �i produc

�tor. Cu alte cuvinte,

ac�iunile unui produc�tor au efecte care se pot r

�sfrânge asupra consumatorilor, influen�ându-le

activitatea pozitiv sau negativ. De exemplu, un apicultor genereaz� efecte pozitive asupra

vecinilor prin oferirea serviciilor de polenizare. Poluarea reprezint� în schimb, un efect negativ.

În timp ce externalitatea pozitiv� m

�re�te utilitatea sau produc� ia agen� ilor afecta� i, cea negativ

�

le diminueazã.

Teoria economic� identific

� externalit

�� ile pozitive �i negative ca fiind marginale sau

inframarginale. Externalit��ile marginale se manifest

� atunci când o schimbare a activit

��ii generatoare de externalitate influen�eaz

� produc�ia sau utilitatea resim� it� de agen� ii afecta� i. În

schimb, externalit�� ile inframarginale sunt cele la care o modificare în activitatea generatoare de

externalitate nu influen�eaz� în nici un fel produc�ia sau utilitatea resim� it� de agen�ii afecta� i.

În situa�ia în care activitatea generatoare de externalitate se modific� în a�a fel încât

activitatea afectat� de externalitate se îmbun

�t��e�te f

�r� ca cea generatoare de efect s

� se

înr�ut��easc

�, se spune c

� este o externalitate tip Pareto.

Externalit�� ile apar datorit

� insucceselor pie�ei. Acestea, la rândul lor, se explic

� prin

incapacitatea pie�ei de a respecta drepturile de proprietate.

Dreptul de proprietate asupra resurselor se refer� la capacitatea de utilizare a resurselor,

bunurilor �i serviciilor. Proprietatea unui activ conduce la manifestarea urm�toarelor drepturi:

· de folosire a activului;

· de modificare a formei �i substan�ei bunului;

· de transfer al tuturor drepturilor prin vânzare.

61

Externalit�� ile nu se explic

� printr-o alocare ira�ional

� a resurselor. Potrivit teoremei lui

Coase, aceast� alocare se bazeaz

� pe inexisten�a costurilor de tranzac� ie �i pe exercitarea

drepturilor de proprietate. Produc�torul �i consumatorul de externalitate urm

�resc un schimb

reciproc avantajos, adic� internalizarea externalit

�� ilor, indiferent cine de�ine dreptul de

proprietate asupra utiliz�rii resurselor.

Externalit�� ile exprim

� diferen�a dintre costurile sau avantajele economice înregistrate la

nivel de agent economic �i costurile sau avantajele sociale manifestate în societate. Ele apar

astfel, ca urmare a inexisten�ei pe pia�a concuren� ial� a unor bunuri sau servicii dorite de

consumatori. Altfel spus, externalit�� ile se produc ori de câte ori ac� iunile unui agent economic

influen�eaz� mediul în care ac� ioneaz

� alt agent economic, f

�r� a afecta sistemul de pre�uri.

Pentru a în�elege cum se manifest� externalit

��ile pozitive �i negative �i de ce ele se

consider� surse ale insuccesului pie�ei concuren�iale, se impune o analiz

� comparativ

� între ele,

dup� cum se vede în tabelul de mai jos.

62

Nr.

crt.

Element de

comparaŃie

Externalitate pozitivă Externalitate negativă

1. Defini�ie Ac�iunea unui agent economic ale c�rui

efecte se extind sub forma gener�rii de

avantaje asupra altor agen�i economici

sau societ��i Ac�iunea unui agent economic ale

c�rui efecte se extind sub forma

gener�rii de cheltuieli suplimentare

asupra altor agen�i economici sau

societ��i 2. Forma sub care se

reg�sesc externalit��ile

Pia�a concuren�ial� furnizeaz� o cantitate

prea mic� dintr-un bun care genereaz�

avantaje pentru al�i agen�i economici

Pia�a concuren�ial� furnizeaz� o

cantitate prea mare dintr-un bun

care genereaz� pierderi pentru al�i agen�i economici

Legend�: Q=cantitatea dintr-un bun; u.m=unit��i monetare; C=cererea;

FO =oferta corespunz�toare costului marginal al produc�iei; SO =oferta

corespunz�toare costului marginal global (al produc�iei inclusiv costurile

poten�iale ale efectelor negative în societate); FQ , SQ =cantit��ile oferite la

diferite niveluri ale cererii

3.

Echilibrul pie�ei pe

care se g�sesc

externalit��ile

Se observ� c� dac� se ignor� costurile

posibilelor daune aduse societ��ii, firma

poate produce în func�ie de nivelul

cererii, o cantitate de echilibru(FQ ).

Dar dac� produc�torul este obligat s� ia

în considerare �i aceste cheltuieli,

costul s�u marginal se majoreaz�, iar

capacitatea sa de a oferi o cantitate pe

pia�� se diminueaz�(la Q).

Mai mult decât atât, dac� produc�torii

sunt for�a�i s� suporte cheltuielile

privind pagubele sociale, cererea pentru

asemenea bunuri sau servicii(C’) scade.

În aceast� situa�ie, pia�a

concuren�ial� furnizeaz� prea pu�ine

bunuri generatoare de externalit��i pozitive. Cererea ini�ial� (C) exprim�

dorin�a indivizilor de a sus�ine

activitatea respectiv� (de pild�

restaurarea cl�dirilor istorice). Dac� �i al�i indivizi devin dispu�i s�

suporte cheltuielile ocazionate de o

asemenea activitate, cererea se

majoreaz� la C’ ceea ce aduce o

cre�tere a cantit��ii potrivit unui nou

echilibru( SQ ).

63

4. Interpretare Externalitatea pozitiv� exprim�

ac�iunea care:

• genereaz� efecte pozitive în

exterior;

• cantitatea de bunuri sau

servicii din aceast� ac�iune

este asigurat� în propor�ie

redus� de c�tre pia�a

concuren�ial�;

• se concretizeaz� în sc�derea

cererii atunci când costurile

societale se iau în considerare;

Externalitatea negativ� exprim�

ac�iunea care:

• genereaz� efecte negative în

exterior;

• cantitatea de bunuri sau

servicii din aceast� ac�iune

este asigurat� în propor�ie

mare de c�tre pia�a

concuren�ial�;

• se concretizeaz� în cre�terea

cererii atunci când costurile

se împart asupra mai multor

indivizi;

Apari�ia externalit�� ilor corespunde de cele mai multe ori cu o alocare ineficient

� a

resurselor. Pentru corectarea acestei deficien�e a pie�ei, se pot utiliza trei modalit�� i:

a) sistemul impozitelor �i subven� iilor

Prin acest mecanism se impune ajustarea pre�urilor determinate pe considerente

economice ale produselor care provin din activit�� i ce induc externalit

�� i, cu costul corespunz�tor

efectului produs. Ceea ce rezult� este un pre� social mai mic sau mai mare decât pre�ul calculat

economic, în func�ie de costurile, respectiv beneficiile sociale care s-au generat.

b) sistemul pie�elor inexistente

Problema activit�� ilor care produc externalit

��i este c� rezultatul dublu al acestora _ bunul

economic �i externalitatea _ nu î�i g�se�te spa�iu de comercializare, decât par�ial, adic� pentru

bunul economic. Cu alte cuvinte, pentru externalit�� i nu exist

� pie�e. Imaginarea unei pie�e a

externalit�� ii ar fi posibil

� prin asimilarea acesteia cu un bun economic �i determinarea cantit

��ii optime de externalitate s-ar face similar cu determinarea produc�iei optime.

c) sistemul drepturilor de proprietate

Evitarea externalit�� ilor în acest caz porne�te de la premisa c

� dac

� o firm

� genereaz

�

externalit�� i �i afecteaz

� activitatea alteia, atunci acestea dou

� ar trebui sã devin

� un singur agent

economic care s� urm

�reasc

� de�inerea profitului global maxim.

64

Rezult� c� pia�a concuren� ial

� are limite în ceea ce prive�te alocarea resurselor, impuse

de structura pie�ei sau de mecanismul pre�urilor. Atunci când insuccesul pie�ei se explic� prin

aceast� a doua cauz

�, apar externalit

��i pozitive sau negative. Evitarea manifest�rii lor este un

procedeu complex �i costisitor, dar necesar. Corectarea deficien�elor pie�ei se poate face astfel,

prin evitarea externalit��ilor care corespund unei mai bune aloc

�ri a resurselor.

3.2. Analiza externalităŃilor

Externalit�� ile pot fi analizate dincolo de explica� ia lor prin ineficienta utilizare a

resurselor. În acest sens, fenomenul externalit�� ilor se poate rezolva prin solu� ii de compromis

între partea generatoare �i partea influen�at� de externalitate. Iat

� câteva exemple:

1. fumatul colegului de camerã reprezintã o externalitate negativ� pentru cel

�lalt coleg

nefum�tor. Solu�iile extreme: fie fum

�torul renun�� la fumat, fie nefum

�torul î�i schimb

�

locuin�a, nu sunt dorite de nici o parte. Prin discu�ii �i explica� ii ale necesit�� ilor fiec

�ruia, se

ajunge la solu�ia de compromis prin care se ab�ine de la fumat anumite intervale de timp într-o

zi. În acest fel, efectul negativ al externalit�� ii este împ

�r�it între generatorul de externalitate care

este nevoit s�-�i restric� ioneze consumul de �ig�ri, �i partea afectat

� de externalitate care suport

�

par� ial efectul fumatului prin restrângerea orelor de consum de � ig�ri.

2. poluarea unui loc de c�tre o firm

� industrial

� reprezint

� o alt

� externalitate negativ

� care

afecteaz� pescarii din acea zon

�. Produc�ia industrial

� este direct propor�ional

� cu nivelul

polu�rii �i cu profitul firmei. Cu cât produc�ia este mai mare, cu atât profitul s

�u cre�te, dar se

amplific� �i poluarea în zon

�. Si atunci, se pune problema stabilirii optimului de produc�ie care

corespunde unui nivel acceptat de poluare. Aceasta, deoarece solu� ia extrem� de încetare a

activit�� ii industriale nu este acceptat

� din moment ce investi� ia în echipamente este ridicat

�. În

figura nr. 1 se observ� corela�ia invers

� dintre profitul industrial �i profitul din pescuit.

Fig. nr. 1: Profitul în activit��ile industriale �i de pescuit

65

Se observ� c� atunci când produc�ia cre�te în activitatea industrial

�, nivelul polu

�rii se

m�re�te iar profitul marginal se diminueaz

�; rela� ia invers

� produc�ie-profit marginal este pus

� în

eviden�� de curba AA'. În activitatea de pescuit se înregistreaz� o cre�tere a pierderii marginale

de venituri pe m�sur

� ce produc�ia industrial

� se m

�re�te; rela� ia direct

� produc�ie industrial

�-

pierdere marginal� în prezent este pus

� în eviden�� de curba BB'.

Solu�ia de compromis adoptat� de cei doi agen�i economici se refer

� la restrângerea

produc�iei industriale astfel încât activitatea de pescuit s� fie mai pu�in afectat

�. Dac

�

restrângerea produc�iei în industrie coincide cu volumul A'C, producându-se nivelul OC fa�� de

OA' profitul în activitatea de pescuit cre�te corespunz�tor ariei A'CFG, în timp ce profitul

industrial se diminueaz� numai cu un nivel corespunz

�tor ariei A'CE. Pentru ca produc

�torul de

poluare s� fie determinat s

�-�i reduc

� produc�ia, firma de pescuit este dispus

� s�-i pl

�teasc

�

pierderea de profit pe care o înregistreaz� prin diminuarea produc�iei. În acest fel produc

�torul

industrial nu pierde nimic, iar pescarul câ�tig� din activitatea proprie un spor echivalent cu aria

A'EFG.

Desigur, negocierile dintre cele dou� p

�r�i determin

� nivelul produc� iei industriale.

Optimul acestuia din punctul de vedere al suportabilit�� ii externalit

�� ii corespunde cu nivelul de

produc�ie la care profitul marginal industrial coincide cu pierderea marginal� în activitatea de

pescuit (nivelul D).

Analiza externalit�� ilor se bazeaz

� pe în�elegerea comportamentului agen� ilor economici

care provoac� �i sunt afecta� i de aceste activit

�� i. Pentru simplificare, se presupune c

� un agent economic A este influen�at de activitatea

unui singur agent economic B. În realitate, fiecare individ sau participant la via�a economic� este

afectat de ac�iunile mai multor agen�i pe pia��. Externalitatea apare în momentul în care o modificare în activitatea agentului B afecteaz

�

utilitatea sau produc�ia agentului A. Influen�a poate fi pozitiv� �i se nume�te externalitate

pozitiv� sau economie extern

�, sau negativ

� �i reprezintã o externalitate negativ

� sau pierdere

extern�. Externalitatea pozitiv

� apare atunci când o sporire a activit

�� ii firmei B conduce la

cre�terea satisfac�iei sau produc�iei firmei A. Externalitatea negativ� se manifest

� atunci când o

sporire a activit�� ii firmei B conduce la sc

�derea satisfac� iei sau produc�iei firmei A.

Desigur c� firma A încearc

� s� influen�eze comportamentul firmei B indiferent de tipul

externalit�� ii:

· A va încerca s�-l influen�eze pe B s

� m

�reasc

� volumul resurselor alocate activit

�� ii sale dac�

aceasta genereaz� externalit

�� i pozitive;

66

· A va încerca s�-l determine pe B s

�-�i restrâng

� activitatea, dac

� aceasta provoac

� externalit

�� i negative.

Influen�area unui agent de c�tre altul se poate face prin mai multe instrumente: schimb,

convingere, compromis, acord, conven� ie sau ac� iune colectiv�.

Existen�a externalit�� ii negative nu înseamn

� în mod obligatoriu �i ineficien�� în

activitatea economic�. Dac

� agentul B generator de externalitate nu înregistreaz

� nici o

diminuare a produc�iei, în timp ce agentul economic A influen�at de externalitate este afectat mai

pu�in, se spune c� externalitatea este înso�it� de ineficien��. Dar dac

� agentul A suport

� mai pu�in

efectul externalit��ii pe seama diminu

�rii produc�iei agentului B, atunci externalitatea este

înso� it� de eficien��. La fel, în cazul externalit

�� ii pozitive, manifestarea acesteia nu este înso�it� în mod

obligatoriu de eficien��. Dac� resursele alocate de agentul B se majoreaz

�, iar agentul A resimte

o satisfac� ie suplimentar�, atunci exist

� eficien�� economic

� în procesul transfer

�rii efectului

externalit�� ii. Dar dac

� cre�terea resurselor utilizate de agentul B nu conduce la un surplus de

utilitate sau produc�ie de partea agentului A, externalitatea este înso�it� de ineficien��.

3.3. Echilibrul în condiŃii de externalitate

O problem� aparent simpl

� necesit

� o analiz

� a externalit

�� ilor dac� percep� ia p

�r� ilor

care influen�eaz� �i respectiv, care este afectat

� este diferit

�. Solu�ia se g

�se�te printr-o analiz

�

de echilibru în condi�iile date.

Fie de exemplu doi proprietari cu terenuri învecinate. Construc�ia unei case de c�tre unul

dintre ei devine o problemã de externalitate dac� individul A este adeptul unei case mai pu�in

înalte, pentru a nu renun�a la priveli�tea de care dispune, iar individul B este adeptul unei case

înalte, pe mai multe nivele pentru a p�stra din teren �i a se putea deplasa în voie în spa� iul

propriu.

Si atunci? Decizia optim� privind construirea casei devine o problem

� de stabilire a

în�l� imii acesteia care s

� satisfac

� pe ambii proprietari.

În figura nr. 2 se observ� aprecierea marginal

� a indivizilor A �i B în func� ie de în

�l� imea

casei.

67

Fig. nr. 2: Aprecierea marginalã a activit��ii de construire a casei

Se remarc� faptul c

� individul A este pe deplin satisfãcut cu o cas

� de în

�l� ime 0 (I0),

adic� terenul învecinat sã r

�mân

� f�r� cas

�, deoarece înregistreaz

� costuri nule. Începând cu

dimensiunea I1, casa devine o problem� �i o surs

� generatoare de costuri suplimentare. În

schimb, individul B resimte cea mai mic� satisfac�ie la o cas

� de dimensiune zero (I0); aceasta

cre�te, odat� cu dimensiunea casei �i devine maxim

� la în

�l� imea I4. Cu alte cuvinte beneficiul

marginal este cel mai mare la I4 când costurile marginale sunt zero.

Determinarea în�l� imii optime a casei, adic

� a solu� iei de compromis între cei doi indivizi

se face prin confruntarea costurilor marginale resim� ite la diferite dimensiuni ale casei, ca în

figura nr. 3.

Fig. nr. 3: Echilibrul marginal în condi�ii de externalitate

(cheltuielile de construc�ie sunt suportate de individul B)

În figura nr. 3, CMA reprezint� costul marginal perceput de individul A, CMB costul marginal

suportat de individul B iar CMEB costul marginal suportat de individul B în condi� iile

externalit�� ii, adic

� ale construirii casei. CMEB este mai mic decât CMB deoarece nu include �i

cheltuielile suplimentare de construc�ie propriu-zis�, ci numai sacrificiul pe care îl resimte

individul B care este nevoit s� accepte o protec�ie mai sc

�zut

� prin reducerea în

�l� imii casei.

Astfel, echilibrul dintre confrunt�rile de opinie între A �i B este marcat de intersec� ia

dintre CMA �i CMEB. Prin urmare, o cas� cu în

�l� imea I2 satisface cel mai bine indivizii A �i B

care suport� amândoi o pierdere de satisfac� ie. A nu este pe deplin satisf

�cut, deoarece I0

corespunde utilit�� ii sale maxime, iar B nu este pe deplin satisf

�cut deoarece IB corespunde

68

utilit�� ii sale maxime. Cu o cas

� de în

�l� ime I2 individul A accept

� o cre�tere cu I2, iar individul

B accept� o diminuare a în

�l� imii casei cu IB _ I2.

Dac� îns

� cheltuielile de construc�ie propriu-zis

� sunt suportate de individul A, atunci

exist� un nivel al costului marginal suportat de A în condi�iile externalit

�� ii CMEA �i este mai

mic decât CMA (vezi graficul nr. 4).

Fig. nr. 4: Echilibrul marginal în condi�ii de externalitate

(cheltuielile de construc�ie sunt suportate de individul A)

CMEA este superior CMA deoarece individul A nu numai c� resimte un sacrificiu din ce în ce mai

mare pe m�sur

� ce cre�te în

�l� imea casei, dar suport

� în plus �i cheltuielile de construc�ie. Se

poate presupune c� acesta este dispus s

� pl

�teasc

� construc�ia dac

� astfel i se garanteaz

� un

câ�tig superior prin decizia asupra în�l� imii.

Se observ� cã în

�l� imea casei considerat

� optim

� este aceea�i I2, indiferent cine pl

�te�te

pentru construc�ia efectiv� a acesteia. De aceast

� dat

�, individul A este dispus s

� suporte o

pierdere marginal� compensat

� de economia marginal

� de care se bucur

� individul B. Astfel,

nivelul optim de externalitate nu se modific� odat

� cu schimbarea dreptului de construire a casei,

dar aceasta din urm� afecteaz

� distribu� ia de avu�ie. Atunci când B de�ine dreptul de construire a

casei, A trebuie s� compenseze efortul lui B de a reduce în

�l�imea la I2. Când individul A de�ine

dreptul de construc� ie, B trebuie s� compenseze efortul lui A de reducere a în

�l� imii casei la

dimensiunea I2.

Prin urmare, este necesar s� se fac

� distrinc� ia între costul social marginal �i costul privat

marginal deoarece, ori de câte ori apare o externalitate se manifest� �i anumite costuri sociale.

Altfel spus, costul privat exprim� cheltuielile propriu-zise ocazionate de o anumit

� ac� iune, iar

costul social, cheltuielile generate de sacrificiile f�cute pentru ca ac� iunile s

� fie acceptate de

ceilal� i participan� i la via�a economic�.

Existen�a unui decalaj între costul social marginal �i costul privat marginal arat� c� exist

�

o externalitate în economie. Desigur, o solu� ie eficient� se înregistreaz

� atunci când ambii

parteneri într-o rela�ie de schimb câ�tig�. Câ�tigul îns�, nu este cel maxim, decât rareori, pentru

69

c� luarea în considerare a interesului partenerului înseamn

� renun�area la o parte din câ�tigul

propriu care ar putea fi înregistrat numai ipotetic dac� partenerul de afacere este dispus s

�

accepte toate condi�iile celuilalt. Astfel, atunci când negocierea este posibil�, se înregistreaz

� cea

mai bun� solu�ie. În mod normal, orice individ are dreptul la recompens

� ceea ce înseamn

� c�

ac�iunile oric�rei persoane care d

�uneaz

� alteia sunt considerate ilegale dac

� cel v

�t�mat nu este

compensat.

Echilibrul în condi�iile recompens�rii p

�r�ii v�t�mate este prezentat în figura nr. 5.

Fig. nr. 5: Echilibrul în condi�iile recompens�rii p�r�ii v�t�mate

Dialogul, comunicarea �i abilitatea partenerilor de a negocia conduc la cea mai bun�

solu�ie practic� influen�ând distribu�ia avu�iei. Ini� ial, un agent economic identific

� numai costul

privat �i apoi �i cel extern. Solu� ia optim� (în exemplul dat I2) este o solu� ie de compromis care

conduce la nivelul costului marginal în condi�ii de externalitate când este recompensat� partea

v�t�mat

�. Acest cost apare sub forma unei curbe frânte deoarece pân

� la nivelul în

�l�imii I 1 nu se

justific� nici o recompens

� iar dup

� nivelul I1, cheltuielile de recompensare cresc pe m

�sur

� ce

cre�te �i în�l� imea casei.

Acela�i ra� ionament se poate urm�ri în situa�ia construirii unui gard între dou

� propriet

�� i de� inute de proprietari cu interese contradictorii privind m

�rimea gardului. La fel, dac

� un agent

poluant d�uneaz

� activit

��ii altuia, ac� iunile sale sunt considerate ilegale, dac� nu se

recompenseaz� partea afectat

�. Cre�terea unui animal (sau unor p

�s�ri) devine o problem

� de

externalitate dac� indivizii care locuiesc al

�turi �i în împrejurimi sunt afecta� i de aceast

� situa�ie.

Deschiderea unei cafenele la parterul unui bloc, sau a unui bar cu desfacere de b�uturi

r�coritoare �i alcoolice în curtea vecinului afecteaz

� mai mul�i indivizi care au dreptul la

negociere �i eventual recompensare. Si exemplele pot continua.

70

3.4. Nivelul optim de externalitate

În situa�ia unei externalit��i pozitive, nu se pune problema unei solu�ii deoarece nu exist

�

contradic�ii între generatorul de externalitate �i beneficiarul non-produc�tor de externalitate. Nici

dac� produc

�torul acesteia consider

� c� poate cere o plat

� din partea beneficiarilor de efectele

ac�iunilor sale. Aceasta deoarece beneficiarii de externalitate nu au interesul s� pl

�teasc

� din

moment ce nu au solicitat nici o activitate.

O solu�ie a externalit�� ii se impune numai în cazul externalit

�� ii negative. De aceast� dat

�,

ac�iunea unui individ d�uneaz

� sau afecteaz

� negativ ac� iunile altor indivizi �i prin urmare,

interesele lor sunt contradictorii.

Externalitatea apare ca un efect colateral al unei activit�� i de produc�ie sau consum. �i

atunci, se poate întâmpla situa�ia în care costul diminu�rii externalit

��ii, adic� a efectelor

negative ale activit�� ii devine mai mare decât câ�tigul înregistrat din aceast

� reducere. Înseamn

�,

c� potrivit analizei cost-beneficiu nu este eficient s

� se ac� ioneze în acest sens de diminuare a

efectelor negative. Cu alte cuvinte, solu� ia eficient� în condi� ii de externalitate este dificil de

determinat. Costul marginal al diminu�rii externalit

�� ii trebuie s� egaleze beneficiul marginal al

acestei ac� iuni. În situa� ia polu�rii, costul diminu

�rii polu

�rii trebuie s

� egaleze câ�tigul

înregistrat dintr-un mediu natural mai curat. Altfel costul ob�inerii unei polu�ri mai sc

�zute poate

fi superior câ�tigului pe care îl resimte societatea în condi� iile mai pu�in poluante. Ca în orice

analiz� marginal

�, graficul sugereaz

� echilibrul, ca în figura nr. 6.

Fig. nr. 6: Solu�ia eficient� prin analiza marginal�

CM este costul marginal care tinde s� creasc

� dac

� se intensific

� eforturile de diminuare a

efectelor negative de externalitate. VM este câ�tigul marginal care scade dac� externalitatea se

diminueaz�. Nivelul Ee exprim

� solu�ia eficient

� respectiv externalitatea eficient

� care justific

�

cheltuielile prin câ�tigul suplimentar pe care îl prime�te societatea. La un nivel inferior Ee, costul

marginal este inferior venitului marginal �i ac� iunile de reducere a externalit�� ii pot continua.

Dar, peste nivelul Ee asemenea ac�iuni nu se mai justific� din punct de vedere economic.

71

Solu�ia eficient� se poate determina �i dac

� se coreleaz

� costul social marginal cu venitul

sau avantajul marginal al produc�torilor de externalitate. În figura 7 solu�ia optim

� este dat

� de

nivelul Ee' la care externalitatea se manifest� în condi�iile egalit

�� ii dintre costul social marginal

(CMS) �i venitul marginal (VM) al produc�torului de externalitate.

Produc�torii genereaz

� o externalitate cu atât mai mare cu cât nivelul produc�iei sau

activit�� ii sale este mai ridicat. Astfel se poate spune c

� ei câ�tig� din producerea externalit

�� ii deoarece profilul este mai ridicat când produc� ia este mai mare �i nu se cheltuie�te nimic pentru

controlul, respectiv diminuarea externalit�� ii.

În economia real� este dificil

� determinarea nivelului optim de externalitate datorit

�

problemelor de exprimare a costurilor marginale sociale �i câ�tigurilor suplimentare. Totu�i, se

poate apela

Fig. nr. 7: Solu�ia optimã la problema externalitã�ii negative

la o determinare direct� a avantajelor ac�iunilor de diminuare a externalit

�� ilor �i la o determinare

indirect� a acestora.

În mod direct, se pot determina efectele adverse ale externalit�� ii negative pe de o parte �i

înclina� ia spre cheltuieli în scopul atenu�rii acestor efecte. În acest sens se calculeaz

� costurile

care nu se suport� de c

�tre p

�r�ile afectate de externalitate, atunci când produc

�torul acesteia

accept� o diminuare a efectelor negative. În cazul unui râu poluat, beneficiul reducerii polu

�rii

este dat de costul care nu se mai pl�te�te atunci când apa nu mai necesit

� tratament de depoluare.

În general, este dificil� exprimarea acestor cheltuieli, mai ales dac

� avantajele diminu

�rii

externalit�� ii se reflect

� într-un mediu deconectant sau �anse mai mari de recreere. De aceea, din

punct de vedere economic, este necesar s� se aprecieze înclina�ia spre cheltuieli de diminuare a

efectelor externalit�� ii a indivizilor afecta� i. Aceast

� dispozi�ie sau înclina� ie spre cheltuieli este

de asemenea, greu de estimat deoarece indivizii, chiar dac� sunt chestiona� i pot adopta un

comportament declarativ diferit de cel real, mai ales pentru c� declara�ia în sine nu îi oblig

�

automat la plata efectiv�.

72

În mod indirect, avantajele ac� iunilor de diminuare a externalit�� ilor se pot estima pe baza

varia� iilor valorilor bunurilor care includ costuri impuse de externalitate. Un teren situat în

apropierea unui râu poluat este mai ieftin decât unul similar aflat în apropierea unui râu nepoluat.

O cas� amplasat

� în apropierea unei fabrici este mai ieftin

� decât una similar

� amplasat

� într-un

teritoriu mai pu� in poluant. Un apartament situat într-un bloc cu vecin�tate zgomotoas

� �i mediu

turbulent (eventual o cafenea la parter, sau vecini g�l�gio�i) este mai pu�in valoros decât altul

situat într-un mediu lini�tit, sigur �i atractiv. Asemenea diferen�e de valoare exprim� tocmai

preocuparea indivizilor de a beneficia de externalit�� i negative cât mai mici. Dar, de multe ori,

nici aceast� estimare nu poate fi realizat

� cu precizie, existând situa�ii în care beneficiile nu pot fi

cuantificabile, cum ar fi aspectele legate de supravie�uire sau salvarea de vie� i omene�ti, sau

privind etica �i distribu�ia avu�iei în societate. În aceste situa�ii, solu� ia optim� la problema

externalit�� ii se alege nu pe considerente economice, ci politice.

Deciden�ii politici adopt� solu� ii privind diminuarea externalit

�� ilor negative acordând

prioritate metodei minimiz�rii costurilor, adic

� luând în considerare argumentele economice ale

analizei cost-beneficiu. Dar deciziile nu se bazeaz� întotdeauna pe argumente economice, ci �i

etice. Dac� poluarea este externalitatea asupra c

�reia trebuie sã se decidã, exist

� mai multe

solu�ii[1]:

· reducerea nivelului produc� iei. Costul diminu�rii poluãrii este dat de valoarea produc�iei la care

s-a renun�at plus cheltuielile de restrângere ale activit�� ii;

· schimbarea procesului de produc�ie. Costul diminu�rii polu

�rii este dat de cheltuielile

suplimentare impuse de o nou� tehnologie mai pu�in poluant

�;

· folosirea de echipamente de remediere a efectelor polu�rii. Costul diminu

�rii polu

�rii este dat

de cheltuielile pe care le implic� noua form

� de poluan�i, ceva mai pu� in nocivi genera� i de

activitatea economic�;

· schimbarea amplas�rii generatorului de poluare într-o zon

� cu impact mai redus. Costul

diminu�rii polu

�rii este dat de cheltuielile ocazionate de transport �i reamplasare, plus noile

cheltuieli de poluare.

Prin urmare, costurile �i beneficiile generate de ac�iunile de diminuare a externalit�� ilor

sunt dificil de estimat cu exactitate. De aceea deciziile politice se bazeaz� pe aproxim

�ri ale

acestor costuri �i beneficii. Identificarea nivelului optim sau eficient de externalitate impune

costuri, de multe ori ridicate de informare, reglementare �i chiar constrângere. Informarea se

manifest� ca necesitate pentru agen� ii economici de a reu�i s� adopte acea ac�iune care genereaz

�

cele mai mici costuri �i cele mai mari avantaje. Reglementarea se manifest� ca necesitate a

func� ion�rii pie�elor în condi�ii de concuren�� imperfect

� �i cu interese contradictorii ale

73

agen� ilor economici. Constrângerea este o necesitate a regl�rii nivelului de externalitate când

generatorul s�u nu este preocupat de interesele semenilor afecta�i de efectele ac�iunilor proprii.

3.5. Controlul externalităŃilor

Externalit�� ile trebuie �i pot fi controlate. Ac�iunile de control al externalit

�� ilor cap�t�

forma interdic� iilor, izol�rilor �i reglement

�rilor guvernamentale. Aceste ac�iuni difer

� de la

economie la economie, �i, în cadrul aceleia�i ��ri, de la o externalitate la alta deoarece legisla� ia

este diferit� �i în plus, difer

� �i localizarea �i tipul produc

�torilor de externalitate, ca �i grupurile

afectate de aceasta.

La baza controlului externalit�� ilor se afl

� câteva criterii care permit interven� ia micro sau

macroeconomic� în manifestarea externalit

�� ilor:

· eficien�a;

· cheltuielile agen� iilor publice;

· flexibilitatea;

· etica.

Eficien�a economic� este criteriul esen�ial al activit

�� ii economice în func� ie de care se

urm�re�te maximizarea efectelor sociale.

Cheltuielile agen� iilor publice reprezint� un criteriu esen� ial în declan�area unei forme de

control al externalit�� ilor deoarece include costurile de func�ionare a agen� iilor publice care

administreaz� ac� iunile de control, ca �i costurile implicate de constrângere, respectiv poli� ie �i

justi� ie.

Flexibilitatea se refer� la capacitatea agen� ilor economici de a se adapta la condi� iile

schimb�toare de pia�� �i de mediu tehnologic.

Etica este strâns legat� de ac�iunile distributive ale veniturilor sau avu�iei în societate �i se

refer� la preocuparea deciden� ilor de a identifica efectele externalit

�� ilor asupra celor care o

genereaz�, celor care sunt afecta� i f�r� a o produce �i asupra pl

�titorilor de impozite.

3.5.1 InterdicŃia

Interdic�ia unei activit�� i care genereaz

� externalitate nu este o solu� ie eficient

�. Dar,

combinat� cu constrângerea, atunci când exist

� baz

� legislativ

�, interdic�ia cap

�t� forma

obligativit��ii produc

�torului de externalitate de a diminua efectele negative ale acesteia. În acest

sens, se determin� costul marginal �i beneficiul marginal la diverse niveluri ale externalit

��ii �i se

g�se�te solu�ia optim

� în condi�iile posibilului de pia��.

74

În practic�, obligativitatea produc

�torului de externalitate de a-�i restrânge ac� iunile

pentru a diminua externalitatea se concretizeaz� în solu�ia optim

� în trei variante:

· externalitatea la nivel economic, care apare atunci când decizia de diminuare a externalit�� ii se

bazeaz� strict pe analiza cost-beneficiu, fiind o solu�ie de echilibru în care se înregistreaz

� un

compromis acceptat atât de produc�tor �i de cel afectat de externalitate;

· externalitatea de nivel negociat, care se înregistreaz� atunci când produc

�torul externalit

�� ii compenseaz

� sacrificiul grupului afectat de externalitate iar costul compens

�rii este inferior

costului de diminuare a externalit�� ii la nivel economic;

· externalitatea de nivel zero care este o excep�ie de la problematica externalit�� ilor �i apare

atunci când costurile diminu�rii �i chiar elimin

�rii externalit

�� ii sunt atât de mici, încât solu� ia

optim� este chiar eliminarea activit

�� ii generatoare de externalitate de c�tre produc

�torul ei. Un

exemplu în acest sens este poluarea sub forma gunoaielor. Eliminarea total� a gunoaielor, adic

�

înregistrarea externalit�� ii zero poate fi pentru agentul produc

�tor mai avantajos decât colectarea �i transportul la centre speciale, ceea ce presupune tehnologii de eliminare a de�eurilor sau

limitare la maxim a acestora, f�r� a fi în mod obligatoriu costisitoare.

3.5.2 Izolarea

Izolarea unui agent economic de ceilal� i sau a unui grup de agen� i fa�� de altele atunci

când activitatea acestuia influen�eaz� negativ existen�a sau func� ionarea altor societ

��i este o

necesitate �i o practic� frecvent

� în economia de pia��. Izolarea cap

�t� forma separa�iei

grupurilor cu interese contradictorii �i se manifest� în general în dou

� variante:

· delimitarea vecin�t�� ii ariei de manifestare a grupurilor cu interese contradictorii. De exemplu

în numeroase institu� ii publice sau private, în avioane sau restaurante, fum�torii sunt ocupan�ii

unei p�r�i distincte fa�� de nefum

�tori. Este o practic

� necesar

�, care genereaz

� tolerare a

externalit�� ii de cei afecta� i care se simt proteja�i �i este pu�in costisitoare �i u�or de administrat;

· schimbarea sau transferul grupului care produce externalitate sau a celui afectat de aceasta. Este

vorba de mutarea unei firme care polueaz� într-o zon

� mai pu�in populat

�, ceea ce înseamn

�

reducerea num�rului celor influen�a� i de externalitate. Este o practic

� care conduce uneori la o

solu�ie eficient�, ca în situa�ia unei polu

�ri fonice în care distan�a mare mic�oreaz

� efectul

negativ asupra indivizilor. Dar, uneori prezint� dezavantaje pentru c

� presupune costuri sociale

mari �i inegalit�� i de avu�ie; de exemplu, exploatarea unui teren la periferia unui ora� în

condi�iile producerii de externalitate genereaz� profit pentru întreprinz

�tor, dar sc

�derea valorii

propriet��ilor învecinate.

75

3.5.3 Reglementările guvernamentale

Statul se implic� în activitatea economic

� �i mai ales atunci când este implicat

� problema

bun�st�rii indivizilor. Externalit

��ile fac obiectul interven� iei guvernamentale care se

concretizeaz� în douã variante strategice:

· interven� ia prin directive;

· interven� ia prin supraveghere �i controlul produc�iei.

Interven�ia prin directive este o politic� guvernamental

� care impune tuturor generatorilor

de externalit��i negative, adic

� tuturor factorilor poluan�i s� ac� ioneze pentru reducerea polu

�rii

într-un anumit procent care necesit� acela�i efort pentru to�i. Nu este o metod

� care atinge

optimul de externalitate deoarece practicarea acesteia se confrunt� cu câteva dificult

�� i: - costul monitoriz

�rii �i al constrângerii factorilor poluan�i este ridicat;

- informa�ia care ajunge la nivelul administra�iei publice nu este complet� pentru a

determina modificarea standardelor în conformitate cu schimb�rile de tehnologie;

- perceperea aceluia�i procent de diminuare a polu�rii de la to� i agen� ii nu este

întotdeauna cea mai ieftin� metod

� de reducere a externalit

�� ii. În aceste condi� ii, în multe economii, guvernele renun�� la solicitarea aceluia�i procent de

diminuare a externalit�� ii din partea agen� ilor poluan�i în favoarea unor cote diferen� iate care se

concretizeaz� în sume absolute de cheltuieli apropiate, scopul fiind acela�i. Diferen� ierea se face

îns� pe baza unei analize de optim al externalit

�� ii, respectiv cost-beneficiu marginale ale

diminu�rii externalit

�� ii. Interven�ia prin supraveghere �i controlul produc�iei ca modalitate de control al

externalit�� ilor este o metod

� ce prezint

� la rândul s

�u, avantaje �i dezavantaje. Ca �i în cazul

interven� iei prin directive, costul reglement�rii prin supraveghere �i controlul produc�iei este

ridicat din cauza necesit�� ii de informa� ii concrete privind activitatea agen� ilor economici, ceea

ce presupune programe de inspec�ie, adeseori costisitoare. În plus, aceast� metod

� se aplic

�

atunci când transferul amplas�rii firmei poluante nu este posibil sau eficient. Aceast

� interven� ie

se manifest� în special sub forma obligativit

�� ii produc�torilor de autoturisme de a le echipa cu

catalizatori nepoluan�i �i a folosirii anumitor combustibili în generarea electricit�� ii. Este de

re�inut c� agen� ii economici nu au motiva� ia g

�sirii de metode mai avantajoase pentru reducerea

polu�rii �i, interven� ia guvernamental

� este o solu�ie pentru ac�iunea colectiv

� �i chiar,

reglementarea unor obliga�ii pentru agen� ii economici.

Inducerea unor motiva� ii pentru diminuarea externalit��ilor este o cale de stimulare a

agen� ilor economici de a fi preocupa�i de reducerea polu�rii. Aceasta se realizeaz

� prin motiva� ii

pozitive sub forma subven� iilor sau negative sub forma tax�rii sau penaliz

�rii.

76

Subven� iile cap�t� rolul de reducere a nivelului de externalitate prin avantajele financiare

pe care le primesc agen�ii economici. Avantajul subven� iilor este c� statul poate ob�ine o

distribu�ie eficient� a externalit

�� ii, adic� o diminuare a acesteia f

�r� a c

�uta informa�ii cu privire

la modalit��ile practice de diminuare a polu

�rii, care r

�mân în sarcina agentului economic

beneficiar de subven� ie. În plus, în cazul schimb�rii tehnologiei de fabrica� ie �i reducerii

costurilor, firmele sunt tentate s� adapteze nivelul externalit

�� ii c�tre optim f

�r� o interven� ie

suplimentar� din partea guvernului.

Taxarea sau penalizarea se manifest� prin realizarea de pl

��i de c�tre indivizii sau firmele

care emit poluan�i. Prin aceste taxe, factorii poluan� i cap�t� motiva� ia reducerii emiterii de

poluan�i deoarece costurile proprii se majoreaz� prin includerea acestor costuri sociale ale

polu�rii.

Grafic, optimul externalit��ii apare la nivelul E0 (figura nr. 8).

Fig. nr. 8: Efectul taxelor asupra externalit��ii

În mod normal costul social marginal (CSM) egalizeaz� venitul marginal (VM) la un

nivel al produc�iei �i externalit�� ii E0. În func�ie de acesta, se determin

� venitul marginal în

condi�ii de externalitate (VME) prin reducerea profitului sau venitului marginal cu taxele pentru

poluare. Aceasta face ca agen�ii economici s� fie preocupa� i de minimizarea costurilor de

diminuare a externalit�� ii generate, ceea ce înseamn

� chiar reducerea polu

�rii.

Problema esen� ial� în practicarea acestei forme de control al externalit

��ilor este c�

nivelul taxelor trebuie s� fie riguros determinat. Dac

� este prea sc

�zut, firmele nu dau importan�� �i accept

� penalizarea cu u�urin�� pentru c

� produc o cantitate suficient de mare care le

compenseaz� aceast

� tax

� dar se poate ajunge la niveluri periculoase de externalitate. Dac

� este

prea mare, exist� riscul diminu

�rii for�ate a produc�iei, pân

� la reprofilarea agen� ilor economici.

Taxa practicat� pentru poluarea indus

� trebuie s

� reflecte costul social real care depinde

de produc�ia realizat� �i caracteristicile sale, amplasarea firmei, anotimpul �i chiar perioada de

timp în care se realizeaz� un ciclu de produc�ie.

Prin urmare, controlul externalit�� ilor este o preocupare complex

� a puterii publice într-o

economie de pia��. Controlul eficient nu exist� pentru toate tipurile de externalitate. Dar, de la

77

caz la caz, se poate apela la o form� de control care prezint

� cele mai multe avantaje. În acest

sens, o analiz� comparativ

� sprijin

� decizia public

� pentru c

� ia în considerare mai multe criterii

de evaluare, dup� cum se observ

� în tabelul urmãtor[1] .

Controlul

externalităŃii

EficienŃa Costurile

instituŃiilor

publice

Flexibilitate Etica

• acord mare mici sau zero Ridicat� -

• interdic�ia sc�zut� mici Sc�zut� inechitabil pentru agen�ii care

polueaz� dispu�i s� acorde

compensa�ii • izolarea mare sau mic� mici Sc�zut� inechitabil pentru cei din zone mai

pu�in populate

• directive mic� medii Sc�zut� diferen�ieri între agen�ii poluan�i • supraveghere �i control

mic� sau mare medii Medie -

• subven�ii mare, când exist�

informa�ii pertinente

mari Mare -

• taxare mare, în condi�ii de informa�ii mari Medie acceptabil�

78

Bibliografie

[1] Apgar, W, & Brown, James, op. Cit. p. 267

[2] Arrow, K.J., Debreu, G: Existence of an equilibrium for a competitive economy.

Econometrica 22, 265-290 (1954)

[3] Aumann, R.J.: Existence of a competitive equilibrium in markets with a continuum

of traders. Econometrica 34, 1-17 (1966)

[4] Aumann, R.J.: Integrals of set-valued functions, J. Math. Anal. Appl. 12, 1-12 (1965)

[5] Balder, E.J.: Existence of competitive equilibria in economies with a measure

space of consumers and consumption externalities. Working paper (2003)

[6] Berge,C.: Espaces topoloique et functions multivoque, Dunod, Paris(1959)

[7] Boboc, N., Bucur, G.: M�sur

� �i capacitate, Bucure�ti: Editura �tiin� ific � �i enciclopedic

�

(1985)

[8] Castaing, C., Valadier, M.: Convex analysis and measurable multifunctions.

In: Dold, A., Eckmann, B.(eds.)Lecture notes in mathematics 580 Berlin Heidelberg

New-York: Springer-Verlag 1977

[9] Cornet, B., Topuzu, M.: Equilibria and externalities. Cahiers de la MSE Universit

´e Paris 1 (2003)

[10] Dunford, N., Schwartz, J.: Linear Operators. New-York: Interscience 1966

[11] Greenberg, J., Shitovitz, B., Wieczorek, A.: Existence of equilibria in atomless

production economies with price-dependent preferences. Journal of Mathematical

Economics 6, 31-41(1979)

[12] Hildenbrand, W.: Existence of equilibria for economies with production and

a measure space of consumers. Econometrica 38, 608-623(1970)

[13] Hildenbrand, W.: Core and equilibrium of a large economy. Princeton: Princeton

University Press(1974)

[14] Khan, M.A., Vohra, M.: Equilibrium in abstract economies without ordered

preferences and with a measure space of agents. Journal of Mathematical

Economics 13, 133-142 (1984)

[15] Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966

[16] Muntean, I.:Analiz� func� ional

�.Capitole speciale, Cluj(1990)

[17] Muntean, I.: Analiz� func� ional

�, Cluj Napoca(1993)

79

[18] Mure�an,M.:Analiz� neneted

� �i aplica� ii, Editura Risoprint,Cluj Napoca(2001)

[19] Noguchi, M.: Interdependent preferences with a continuum of agents. Journal

of Mathematical Economics, forthcoming

[20] Schmeidler, D.: Competitive equilibria in markets with a continuum of traders

and incomplete preferences. Econometrica 37, 578-585(1969)

[21] Whitley, R.J.: “An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem”, Mathematische

Annalen 172: 116-118(1967)

[22] Yannelis, N.C.: Equilibria in noncooperative models of competition. Journal

of Economic Theory 41, 96-111(1987)