Centrul de excelență al elevilor capabili de performanță Timișoara 24.XI.2012 Clasa a XI-a , M2,3 Profesor: Rezmive Daniela-Florina

Limite de funcții Partea I: Breviar Teoretic

Fie �:� → ℝ o funcție reală și 0x un punct de acumulare pentru D.

Pentru a calcula limita funcției f în punctul 0x ( )(lim0

xfxx→

) procedăm astfel:

1. Înlocuim pe x cu 0x , obținând o succesiune de operații pe ℝ� ;

2. Dacă toate operațiile obținute în ℝ� au sens, rezultatul final este limita funcției ( ( )0)(lim0

xfxfxx

=→

).

3. Dacă prin înlocuirea directă se obține o nedeterminare

∞⋅∞−∞∞∞ ∞1,0,

0

0,, , aplicăm diverse metode pentru

eliminarea nedeterminării : • Limite speciale:

1) Dacă �, ∶ ℝ → ℝ , 011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nn ++++= −

− , 011

1 ...)( bxbxbxbxQ mm

mm ++++= −

−

sunt funcții polinomiale unde ∈ji ba , ℝ, { } { } ∈∈∈ mnmjni ,,,..,1,0,,...,1,0 ℕ∗ și mQgradnPgrad == )(,)(

atunci : - nn

xxxaxP

∞→∞→= lim)(lim

-

>∞±

=

<

=∞→

)()(dacă,

)()(dacă,

)()(dacă,0

)(

)(lim

QgradPgrad

QgradPgradb

a

QgradPgrad

xQ

xP

m

n

x

2) ( )

−≤−∈

=>∞

=∞→

1 dacă existănu

1,1dacă,0

1dacă,1

1dacă,

lim

a

a

a

a

a x

x 3) .1,0,)(

lim,0)(

lim ≠>±∞==∞→∞→

aaxP

a

a

xP x

xxx4) 0

)(

lnlim,

ln

)(lim =±∞=

∞→∞→ xP

x

x

xP

xx.

5) Criteriul ”Cle ștelui” : Fie funcțiile �, � , �� ∶ � → ℝ, 0x un punct de acumulare pentru D și � ∈ ��� astfel încât

{ }( )021 ),()()( xDVxxfxfxf −∩∈∀≤≤ . Dacă ==→→

)(lim)(lim 2100

xfxfxxxx

ℓ atunci =→

)(lim0

xfxx

ℓ.

• Limite remarcabile

( ) ( )

( )

( )

( )0)(limcu,1

)(

)(arcsinlim1

arcsinlim)5

0)(limcu,1)(

)(sinlim1

sinlim)4

0,0)(limcu,ln)(

1limln

1lim)3

0)(limcu,1)(

)(1lnlim1

)1ln(lim)2

0)(limcu,)(1lim1lim)1

00

00

00

00

0

)(

1

0

1

0

0

)(

0

0

0

===

===

>==−=−

==+=+

==+=+

→→→

→→→

→→→

→→→

→→→

xfxf

xf

x

x

xfxf

xf

x

x

axfaxf

aa

x

a

xfxf

xf

x

x

xfexfex

xxxxx

xxxxx

xx

xf

xx

x

x

xxxxx

xxxxx

xfx

( )0)(limcu,1

)(

)(lim1lim)6

000===

→→→xf

xf

xftg

x

tgx

xxxxx

( )0)(limcu,1

)(

)(lim1lim)7

000===

→→→xf

xf

xfarctg

x

arctgx

xxxxx

Recomandări la eliminarea nedeterminărilor :

1. La limitele cu radicali în cazurile ∞−∞,0

0se amplifică cu conjugata expresiei ce conţine radicali

2. În cazul 0

0se poate recurge și la simplificări sau formule speciale

3. În cazul ∞∞

se dă factor comun forţat și la numărător și la numitor termenul de putere maximă și apoi se face o

simplificare. 4. În cazul ∞−∞ se recurge la una din următoarele variante : - se aduce la același numitor dacă limita conține diferențe de funcții raționale - se dă factor comun forţat termenul cu exponent maxim al săderii.

- se aplică 0,,lnlnln >=− bab

aba sau abba lnlnln =+ dacă limita conține sume sau diferențe de logaritmi

5.În cazul ∞⋅0 se foloseste formula

g

fgf

1=⋅ sau

f

ggf

1=⋅ obţinând astfel cazul

0

0sau

∞∞

.

6. În cazul ∞1 se foloseste limita remarcabilă 1 astfel : se adună și se scade 1 la bază și se forţează la exponent expresia dorită. Partea II: Aplica ții :

Cazul de nedeterminare 0

0

1) Calculați următoarele limite :

a) 34

9lim

2

2

3 +−−

→ xx

x

x b)

8

232lim

3

2

2 −−−

→ x

xx

x c)

1

1lim

8

9

1 −−

→ x

x

x d)

133

485lim

23

23

1 −+−−+−

→ xxx

xxx

x

2) Calculați următoarele limite cu radicali :

a) xx

xxx

x 2

53lim

2

22

2 −+−++

→ b)

25

34lim

25 −−+

→ x

x

x c)

1

3123lim

21 −−−++

→ x

xx

x d)

ppx

ppxx

x −−+−

→

1lim

2

1 , � ∈ ℕ∗

e) 872

212lim

22

1 +−+++−++

→ xx

xxxx

x

3) Calculați următoarele limite folosind limite remarcabile :

a) 202

)100sin(lim

2

10 −−

→ x

x

x b)

x

xxxx

x

45432lim

0

−+++→

c) xx

x

x 9

)20121ln(lim

20 ++

→ d) ( )1arcsin

1lim

21 −−

→ x

x

x e)

( )( )4

23lim

2

2

2 −+−

→ xarctg

xxtg

x

f) xe

xx

x

+ +

→

1

0

1ln

lim g) 32

lim2

1

11

+− +

∞→ x

ee xx

x h)

−

−→ 22

431

43lim

0 xx

xx

x

x

i) ( )tgx

x

x ++

→ 1ln)2sin1ln(

lim0

j) xx

xx

x ee

ee

−−

→ 3

2

0lim

k) 11

2012sin...2sinsinlim

0 −++++

→ x

xxx

x (Etapa județeană 2010, enunț modificat)

l) ( ) ( )

2

22

0

1ln1lnlim

x

xxxx

x

+−+++→

(Etapa locală , Timiș 2005)

4) a) Calculați ( )

x

ee xx

x

1lnlim

2

0

−+→

; b) Determinați � ∈ ℕ∗ pentru care ( )

151...ln

lim2

0=+−+++

→ x

neee nxxx

x (Etapa

locală, Sibiu, 2012)

Cazul de nedeterminare ∞∞

5) Calculați următoarele limite:

a) 16

7463lim

3

23

+++−

∞→ x

xxx

x b)

16

746lim

3

2

+++−

∞→ x

xxxa

x, � ∈ ℕ

6) Calculați următoarele limite ce conțin radicali:

a) 7

1234lim

22

++++++

∞→ x

xxxx

x b)

xx

xx

x ++

++∞→ 2

1lim

2

2

Cazul de nedeterminare ∞−∞ 7) Calculați următoarele limite:

a)

+−−++−∞→

213lim 22 xxxxx

b) ( )xnnxxxxx

−++++++++∞→

...321lim , � ∈ ℕ∗

c)

−+++∞→

xxxxx

3 23 12lim d)

−+−++∞→

5397159lim 22 xxxxx

e) ( ) ( )( )2ln212lnlim 224 +−+−∞→

xxxx

f) Să se determine constantele reale a şi b pentru care 4

11234lim 2 =

−−++∞→

baxxxx

g) Să se determine constantele reale a şi b pentru care 105

7104lim

2=

−−

+++

∞→bax

x

xx

x

Cazul de nedeterminare ∞1 8) Calculați următoarele limite:

a) 12

2 1

121lim

+

∞→

+−+

x

x x

x b)

1

5

2

2

1 532

65lim

−+

→

−+−+ x

x

x xx

xx c) x

xx

+∞→ 2

11lim

Cazul de nedeterminare ∞⋅0 9) Calculați limitele:

a) xx

x

1sinlim ⋅

∞→ b) 43

1arcsinlim

22

+∞→ xx

x

Criteriul Cleștelui :

10) Calculați limitele:

−−+=

=−→→ 6

9

3

2lim

1lim

2

2

222

2

01

xx

xxL

xxL

xx unde [ ]=x partea întreagă a lui x

11) Fie �:ℝ → ℝ, ���������������ă ∈∀≤− xxxxf ,)( 2 ℝ . Să se calculeze )(lim0

xfx→

.

Existența limitei unei funcții într-un punct :

12) Fie numerele reale pozitive a , b şi funcţia :f ℝ \ }2{ →ℝ ,

≥−−++

∈+−

−

<

=

−+−

4,1

1

)4,2(,107

82

2,2011

)(

2

2

2

2

52

xbaxx

x

xxx

x

x

xf

x

x

a) Calculaţi limita 2

5lim

2

−+−

−∞→ x

x

x şi )(lim xf

x −∞→ .

b) Verificaţi dacă există limita )(lim2

xfx→

.

c) Determinaţi numerele reale a şi b dacă 2011)(lim −=∞→

xfx

( Etapa locala Timis 2011)

13) Se dă funcţia :f ℝ∗ → ℝ

<+

+

>−

=0

3

)1ln(

0sin)(,

43

23xdacă

xx

x

xdacăx

aae

xf

x

şi a un parametru real.

a) Scrieţi rezultatul următoarelor limite speciale 1

lim0 −→ xx e

x,

x

x

x sinlim

0→,

)1ln(lim

0 x

x

x +→.

b) Calculaţi limitele laterale ale funcţiei f în punctul 00 =x .

c) Determinaţi parametrul real a astfel încât f admite limită în .

14) Să se determine ∈a ℝ − { }1 astfel încât funcţia :f ℝ → ℝ ( )

>−

<+−+=

++0,

0,11

,11

3 2

xx

ee

xx

xx

xfxax

să aibă limită în x=0.

00 =x