1

Laborator 2. Calcule numerice şi calcule simbolice în Mathcad și Mathematica-

partea a II-a

Calcul simbolic în Mathcad și Mathematica cu aplicaţii în Analiză matematică

1. Calculaţi următoarele limite:

a)

n

n n

n2)!(

!2lim

b)

n

knnk

nnn

nn 122 sinlimlim

1sin1sin

1

n

1

n n2

1

n

k

sin k( )

lim

0

c) x

exx

1

lim0,0

0x

e

1

xlim

0

d) x

exx

1

lim0,0

0x

e

1

xlim

2. Să se determine raza de convergenţă pentru următoarea serie de puteri:

a) 1

2ln

n

nn xn

n

n2 n( )

n( )2

lim

4Mathcad

Mathematica

Mathcad

Mathematica

Mathcad

Mathematica

Mathcad

Mathematica

2

b) n

n

nx

nn

n

12 1

11

a n( ) 1( )n n 1

n2

n 1

1

n

a n 1( )

a n( )lim

1

Pentru a determina raza de convergenţă a unei serii de puteri 0n

nnxa putem vom folosi una

din formulele: n

nn

aR

lim

1

sau

n

n

n a

aR

1lim

1

.

3. Calculaţi suma seriei:

a)

1

11ln

n n;

b)

122 1

12

n nn

n;

c)

1

2

!1

1

n n

nn

1

n

n2

n 1

n 1( )

2

4. Calculaţi produsul

122

11

32

31

18

17

8

7

2

1

k k

1

k

11

2 k2

1

sin

1

2 2

2

5. Să se calculeze următoarele derivate:

a) xxf 2cos ; ? xf ; b) 21lnarctg xxxxf , ? xf

Mathematica

Mathcad

Mathcad

Mathematica

Mathcad

Mathematica

3

c) 6116

123

xxx

xf , ?11 xf

6. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi al doilea pentru funcţia

a) xy

yxyxf

1arctg, ; b) 0,,,, yxyzyxf

zx

7. Scrieţi primii şapte termeni din dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei x

xxf

1

1ln

2

1,

1,1x .

8. Calculaţi

a) xxx d1 2

324 ;

b) x

xxx

xd

)sincos( 2

2

;

c)

xx

xd

13 4

;

d)

x

xxx

xxd

11

1

122

2

e)

xe

xxx d

1sin

11

2;

9. Calculaţi integrala dublă

a)

yx

yx

xydd

1322

;

b) yxyx ddarcsin ;

Mathcad

Mathematica

Mathcad

Mathematica

4

11. Să se calculeze integrala triplă:

a) zyxz ddd2 ;

b) zyxzyx ddd222 ;

c) zyxxyz ddd ;

d) zyxzyx ddd .

Rezolvarea ecuatiilor si a sistemelor de ecuatii în Mathcad și Mathematica

1. Determinaţi rădăcinile polinomului:

a) 22 34 XXXXP

b) 263410)( 234 XXXXXP

v

26

34

10

1

1

polyroots v( )

1.934 1.391i

1.934 1.391i

1.142

4.01

c) 8765432 234567 XXXXXXXXP .

2. Fiind dat polinomul 1234 XXXXXP să se calculeze suma:

2

1

2

1

2

1

2

1

4321

xxxxS ,

unde 4,1, ixi sunt rădăcinile ecuaţiei 0xP .

3. Rezolvaţi ecuaţiile algebrice:

a)

013

2

1

1

3

1 2

xx

x

xx

Mathematica

Mathematica

Mathcad

Mathcad

5

b) 0122 22 mxmx în raport cu variabila x .

4. Rezolvaţi ecuaţiile transcendente:

a) arctgx1 x

b) xx 1ln2.0

5. Rezolvaţi inecuaţiile:

a) 03323

13

2

xx

x

b) 03321 xx

6. Să se rezolve următoarele sisteme de ecuaţii liniare:

a)

59

1282

127

26

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

b)

7.31223

2.126

5.0210

3.228

4321

431

432

321

xxxx

xxx

xxx

xxx

Mathcad

Mathematica

Mathematica

Mathcad

6

c)

752

15214

35

1314

43

432

321

21

xx

xxx

xxx

xx

sau

7. Determinaţi matricea A astfel încât:

TTTAA 112302132 .

Pasul 1. Fie cbaA .

Pasul 2. Calculăm TTTAAX 112302132 .

Pasul 3. Determinăm cba ,, astfel încât

0

0

0

X .

Mathematica

Mathcad

7

8. Rezolvaţi sistemele neliniare:

a)

0cos

0)sin(

yxy

yxx (considerând ca punct iniţial 1,0 )

b)

0152

0lg3

12121

2211

xxxx

xxx (considerând ca punct iniţial 2,3 )

c)

043

042

0

22

22

222

zyx

zyx

zyx

(considerând ca punct iniţial 5.0,5.0,5.0 )

Mathcad

Mathematica

Mathcad

Mathematica