Capitolul I

Notiuni generale de teoria modulelor

1.1Introducere module.Definitii interpretari

Modulul este o generalizare a unui spatiu vectorial,adica :daca operatia externa(inmultirea cu scalar), in cazul spatiului vectorial, se defineste cu ajutorul unui corp (comutativ), in cazul modulelor se va folosi pentru aceasta un inel.Fie R un inel unitar, nu neaparat comutativ si M un grup abelian in raport cu o operatie interna notata aditiva: (M,+).Definitie1.1.1Fie Run inel.Un R-modul stang este un grup abelian M(a carei op. este notata aditiv)impreuna cu o aplicatie(a,x)→ax de la RM→M a.i: (i)a(x+y)=ax+ay; (ii)(a+b)x=ax+bx; (iii)(ab)x=a(bx); (iv)1x=x;(1 elementul identitate din R)pentru a,bєR si x,yєM

Definitie1.1.2 Fie Run inel.Un R-modul drept este un grup abelianM(a carei op.este notata aditiv)impreuna cu o aplicatie(x,a)→xa de la MR→M a.i: (i’)(x+y)a=xa+ya; (ii’)x(a+b)=xa+xb; (iii’)x(ab)=(ax)b; (iv’)x1=x;(1 elementul identitate din R)pentru a,bєR si x,yєM

OBS: elementele din R se numesc scalari iar aplicatia (a,x)→ax resp (x,a)→xa se numeste inmultirea cu scalari Daca R este un corp ,atunci orice R-modul stang(drept) se numeste R-spatiu vectorial stang(drept) Notatii :daca M este R-modul stang(drept) vom scrie RM(MR)

4

Definitia 1.1.3.Fie M si N doua R-module stangi.Se numeste morfism de R-module (sau R-morfism), o aplicatie f:MN cu proprietatile:

x,yєM, are loc f(x+y)=f(x)+f(y), adica f pastreaza operatia interna aєR, xєM, are loc f(ax)=af(x), adica f pastreaza operatia externa.

OBS: cele doua conditii din definitia unui R-morfism sunt echivalente cu : a,bєR, x,yєM,are loc f(ax+by)=af(x)+bf(y) daca M=N,f se numeste endomorfism,iar multimea endomorfismelor stangi se noteaza cu End1(M) care impreuna cu operatia de adunare a functiilor si operatia de compunere a morfismelor formeaza o structurao altfel de definitie aR-modului stang poate fi :Definitia 1.1.4 O pereche (M,) se numeste R-modul stang ,daca M este un grup abelian,iar :REnd1(M) este un morfism de inele de la inelul R la inelul endomorfismelor cu actiune la stanga a lui MOBS :Actiunea morfismului se intelege in modul urmator aєR, (a):MM,(a)(x)єM, cu proprietatile : a) (a)(x+y)= (a)(x)+ (a)(y)

b)(a+b)(x)=(a)(x)+(a)(x)c) (ab)(x)= (a)((a)(x))d) (1)(x)=x

Daca notam (a)(x)=ax, se obtin conditiile din definitia 1.1.1. Analog se defineste structura la dreapta.

Fie R si S doua inele Definitia 1.1.5 Un grup abelian M este un bimodul R-stang si S-drept, daca M este un R-modul stand si un S-modul drept, pentru care cele doua inmultiri cu scalari satisfac relatia: r(xs)=(rx)s, rєR, sєS, xєMNotam :bimodulul cu RMS OBS:iar bimodulul R-stang si S-stang se noteaza astfel R-SM

5

1.2. Combinatii liniare si submodule

Fie R un inel si M un R-modul stangDefinitia 1.2.1 Un subgrup abelian N al lui M, se numeste R-submodul stang al lui M daca N este stabil la endomorfismele lui M induse de inelul R,adica este inchis la inmultirea cu scalari din R.Definitia 1.2.2. Fie XM si AR. Orice element din M de forma aixi i=1…n cu xiєX si aiєA se numeste combinatie liniara a lui X cu scalari din A. Notam cu AX= {aixi xiєX si aiєA i=1…n,nєN} elementele ai se numesc coeficientii combinatiei liniare

Propozitia 1.2.1 Fie M un R-modul stang si XM, X.atunci RX esteR-submodul al lui M

Propozitia 1.2.2. Fie M un R-modul stang si NM, N.Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:a) N submodul al lui M ;

b)RN=N c)a,bєR si x,yєN,ax=byєN

Definitie 1.2.3 Fie R-modul stang .O submultime nevida N a lui M se numeste submodul daca: i)x+yєN; ii)axєN,x,yN si aєRo submultime nevida N a lui M este un submodul N impreuna cu restrictiile operatiilorM×M→M si R×M→M la N×N→N respectiv R×N→N este un R-modul stang Notatii:N este submodul al lui M cu N≤MOBS:daca M este un R-modul stang ,at submultimile {0} si M sunt submodule ale lui M Submodulul {0} se numeste submodulul zero Un R-modul M coincide cu submodulul zero 1x=0 xєM Un submodul N al lui M ptr care N≠M se numeste propriu Cand R este un corp ,at. submodulele lui RM se vor numi subspatii vectoriale

6

Definitia 1.2.4 Fie RMS un bimodul si NRMs o submultime nevida. N este un (R-S)bisubmodul al lui RMs daca N este R-submodul sting si S-submodul drept simultan.

Definitia 1.2.5. O (R-S) combinatie liniara a lui XRMs cu elemente din R si S este un element de forma: rixisi, riєR, xiє X,s iє S, i=1..nNotam cu RXS multimea acestor combinatiiDefinitia 1.2.6 Fie M1,M2…Mn submultime ale lui M. Se numeste suma acestor multime, M1+...+Mn={x1+...+xn xiєMi, i=l,..,n}

Lema 1.2.1. Daca este un R-modul sting si M1,M2…Mn sunt R-submodule stangi ale lui M atunci M1+M2+…+Mn este un R-submodul sting lui M, reprezentand de fapt R-submodulul combinatiilor liniare ale multimii M1M2…Mn

1.3. Submodul generat de o multime

Fie M un R-modul sting si XM, X#Definitia 1.3.1 Se numeste submodul al lui M generat de X, intersectia tuturor submodulelor lui M, care contin pe X, reprezentand unicul submodul "cel mai mic" in sensul inculziunii, ce confine pe X.

Propozitia 1.3.1. Daca M este un R-modul sting si XM. X atunci submodulul lui M generat de X este chiar RX.Fie M un R-modul stang si X o submultime alui M .Atunci submodulul RX se numeste submodulul generat de multimea X,elementele lui X se numesc generatori lui RXUn R –modul M se zice finit generat sau de tip finit daca exista o multime finita de elemente X a lui M a.i RX=MDaca X={x} at.Rx se numeste modul monogen sau ciclic generat de x

Definitia 1.3.2. Daca (M)єI este o familie de submodule ale lui M, atunci M este submodulul generat de familia data.

7

Daca M =M , spunem ca submodulele M єI genereaza pe M.Daca XM este o submultime nevida a lui cu RX=M, spunem ca X genereaza pe M Un modul cu o multime finita de generatori se numeste finit generat.Un modul cu un singur generator se numeste modul ciclic.

Propozitia 1.3.2. Daca X este o multime de generatori pentru R-modulul sting M atunci M este Rx, xєX

Definitia 1.3.3. Un modul M se numeste simplu daca M si M nu are submodule netriviale.OBS   : Un modul simplu este generat de orice element nenul al sauTeorema 1.3.1 Fie M un R-modul stang ,nenul ,finit generat .Atunci orice R-submodul propriu al sau este continut intr-un submodul maximal.In particular M este un submodul maximal

Propozitie 1.3.3 Fie M un R-modul stang si N o submultime nevida alui M .Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)N este submodul al lui M b) RN=N c)ax+byєN x,yєN si a,bєRTeorema 1.3.2(legea de modularitate pentru submodule) Fie K,L,N submodule a R-modului M.Daca KN,atunci: K+(L∩N)=(K+L)∩NDEM:L∩NN,at. K+(L∩N)N KK+L => K+(L∩N)K+L de unde K+(L∩N)(K+L)∩N(1) L∩NK+L Fie xє(K+L)∩N,deci xєK+L si xєNDin relatia xєK+L=> yєK si zєL a.i x=y+z=> z=x-yDeoareceKN,at. zєN=>zєL∩N=> xєK+(L∩N)=>(K+L)∩NK+(L∩N) (2) Din 1 si2 rezulta egalitateaDefinitie 1.3.4 Fie M un R-modul stang.Un submodul propriu N al lui M se numeste maximal daca pentru orice submodul propriu N’ al lui M a.i NN’, atunci N=N’

Propozitie1.3.4 Fie M un R-modul si N un submodul propriu al lui M . Atunci urmatoarele afirmatiile sunt echivalente : a)N este maximal

8

b)N+Rx=M x∉N c)N+N’=M submodulul N’ al lui M a.i N’⊈NDEM: a)=>b)=>c) clare c)=>a) daca N nu este maximal ,exista N’≤M propriu a.i NN’,N≠N’ cum N’⊈N ,at trebuie ca N+N’=Mdar N’=N+N’ contrazicere N’=M

Definitie 1.3.5 Un R-modul stang M se zice simplu daca M≠0 si singurul submodul propriu al sau este submodulul zeroDefinitia 1.3.6 Daca M este un R-modul si N un submodul care este R-modul simplu ,atunci N se zice submodul minimalPropozitie 1.3.5 Fie M un R-modul ,M≠0.Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a)M este simplu b)M=Rx xєM,x≠0(in particular orice modul simplu este ciclic)DEM:a)=>b) clara b)=>a) fie N un submodul propriu al lui M .Daca N≠0,at. xєN ,x≠0cum M=RxN,at. M=N contradictie deci N=0 si at. M este simplu

1.4 Modulul factor

Fie M un R-modul stang si N un submodul in M Relatia binara ,,≡’’(mod N) definite astfel: Daca x,yєM=>x≡y(mod N) x-yєN,este o relatie de echivalenta pe MClasa de echivalenta a elementului xєM o notam cu x+N si este multimea x+N={x+y : yєN}(deseori o notam si cu x^)multimea claselor de echivalenta o notam M/N={x+N : xєM}

definim urmatoarele operatii pe M/N:(x+N)+(y+N)=(x+y)+Na(x+N)=ax+N ,aєR(cele doua op. de adunare si inmultire cu scalari sunt bine definite)Definitia 1.4.1 Tinand cont de operatiile ce sau facut mai sus M/N devine

9

un R-modul stang care se numeste modul factor al lui M prin submodulul N N –submodul propriu al lui M M/N≠0

Propozitia 1.4.1 Fie M un R-modul si N un submodul al sau .Atunci N este maximal M/N este simplu

DEM:Pp ca N este maximal si fie x+NєM/N,x+N≠0=>x∉N conform unei propozitii 1.3.4ale submodulelor avem M=N+RxDaca y+n este un element arbitrar din M/N at.yєN+Rx=>y=z+ax,zєN=>y-axєN adica y+N=ax+N=a(x+N) ceea ce ne arata R(x+N)=M/N=> ca M/N este un R-modul simplu Invers Pp ca M/N este simpluFie xєM,x∉N at. x+N≠0=> R(x+N)=M/NDaca yєM,at. y+NєM/N deci exista aєR a.i y+N=a(x+N)=>yєRx+N adica M=Rx+N=> N maximal

1.5. Morfisme de module

Daca M si N sunt doua R-module stangi, se stie ca un morfism de module este o aplicatie f:MN, cu proprietatea: f(ax+by)=af(x)+bf(y), a,bєR, x,yєM, adica este o aplicatie liniara

Definitia 1.5.1 . Fie RMS si RNS doua (R-S)-bimodule.O aplicatie f:MN este un (R-S)-morfism daca este liniara peste R si S, adica r,r'єR, s,s'єS, x,yє RMS are loc: f(rxs+r'ys')=rf(x)s+r'f(y)s'.

Definitia 1.5.2. Un morfism f:MN se numeste monomorfism, daca el este injectiv Un morfism f :MN se numeste epimorfism, daca el este surjectiv.Un morfism f:MN se numeste izomorfism, daca el este bijectiv.

10

OBS   : De fapt, un monomorfism (epimorfism) este un morfism care se poate simplifica la dreapta (stanga) si in cazul R-modulelor coincide cu o injectie (bijectie).Propozitia 1.5.1. Fie f:MN,un morfism de R-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) f este monomorfism; b) Im f=N; c) Pentru orice R-modul stang, RK si orice doua R-morfisme g,h:NK, din gf=hf se obtine g=h. d) Pentru orice R-modul sting, RK si orice R-morfism g:NK, din gf=0 se obtine g=0

Propozitia 1.5.2. Fie f:MN, un morfism de R-module stangi. urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) f este epimorfism; b) Ker f=0; c) Pentru orice R-modul stang, RK si orice doua R- morfisme g,h:KM, din fg=fh se obtine g=h. d) Pentru orice R-modul stang, RK si orice R-morfisme g:KM, din gf=0, se obtine g=0

1.6 Teoreme de factorizare

Definitia 1.6.1. Un morfism de R-module, f:MN, se spune ca este factorizat prin g si h, daca el este compunerea lui g cu h   f=gh.OBS: Teorema factorizarii arata ca un morfism f este factorizat in mod unic prin orice epimorfism al carui nucleu este continut in Ker f si prin orice monomorfism a carui imagine contine Im f.

Teorema 1.6.1. (Teorema factorizarii) Fie M,M',N,N' R-module stangi si f:MN un R-morfism

a) Fie g:MM' un epimorfism cu Ker gKer f. Atunci exista un unic morfism h:M'N, astfel incat f=hg

11

M f N Ker h=g(Ker f) si Im h=Im f..Asa ca h monomorfism g Ker g=Ker f si h este epimorfism f este epimorfism

b)daca g:N’N este un R-morfism cu ImfImg,atunci M’ un unic morfism h :MN’,a.i f=gh

M f N Ker h=Ker f si Imh=g-1(Imf),adica: h este monomorfism f este

g monomorfism si h este epimorfism Img=Imf N’

Teoreme de izomorfism : Fie M ,N doua R-module stangi :a) daca f :MN este un epimorfism cu Ker f=K,atunci un unic

izomorfism :M/KN ,dat prin (x+K)=f(x)b) daca KLM,atunci M/L(M/K)/(L/K)c) daca HM si KM,atunci (H+K)/KH(HK)

1.7 Exactitatea

Definitia 1.7.1. O pereche de de morfisme M'MM" se spune ca este exacta in M daca Im f=Ker g.

Definitia 1. 7.2 . Un sir finit sau infinit de morfisme….Mn-1Mn... se numeste exact, daca este exact in fiecare M, adica Im fn=Ker fn+1 nєN.

Propozitia 1.7.1. Fie M,N doua R-module si f:MN un R-morfim.a)sirul 0MN este exact f este monomorfism: b) Sirul MN0 este exact f este epimorfism:c) sirul MN0este exact f este izomorfism.

Definitia 1 .7.3 . Se numeste conucleul morfislnului f :MN, submodulul N/Im f.

Propozitia 1.7.2. Fie M,N doua R-module si f:MN un R-morfism. Atunci sirul 0Ker fMNCoKer f0 este

12

exact, unde i:Ker fM este aplicatia incluziune si u:NN/Im f=CoKer f este surjectia canonica.

Definitia 1.7.4 . Un sir exact de forma 0KMN0 se numeste sir exact scurt.

OBS   : 1) In sirul exact scurt f este monomorfism;iar g este epimorfism.

2) sirul exact scurt se mai numeste si extensia lui K la N

Lema 1.7.1 In diagrama comutativa de R-module si R-morfisme cu liniile exacte : A B C

A’ B’ C’ atunci:f’ g’

a) daca , si f’ sunt monomorfisme ,atunci este monomorfismb) daca , si g’ sunt epimorfisme ,atunci este epimorfismc) daca este monomorfism si ,g sunt epimorfisme ,atunci este

monomorfismd) daca este epimorfism si f’, sunt monomorfisme ,atunci este

epimorfism Lema 1.7.2(Lema celor cinci morfisme )

Fie diagrama comutativa de module si morfisme cu liniile exacte :

A B C D E

A’ B’ C’ D’ E’,atunci:

a)daca este epimorfism si , sunt monomorfisme,at. este monomorfismb)daca este monomorfism si , sunt epimorfisme ,at. este monomorfismc)daca ,,, sunt izomorfisme ,at. este izomorfism

1.8.Latici distributive .Conditii de modularitate

13

Daca RM este un R-modul stang, atunci multimea S(M) a submodulelor lui M este o latice completa, modulara in raport cu relatia’’’’adica:

a) Daca A este o multime nevida de submodule, atunci sup A=A, AєA si infA=A, AєA.

b) Daca K,LM (sunt submodule) si HM, cu LH, atunci: rH(L+K)=L+(HK) (conditia de modularitate)

Produse si sume directe de module

Definitia 1.8.1 . Fie (M)єA o familie de R-module si M, єA, produsul cartezian al multimilor M Daca :MM reprezinta aplicatia proiectie pe coordonata ,atunci pentru fiecare x=(x)єA, si y=(y)єAєM,єA definim suma si produsul cu un element din inelul R prin :(x+y)= (x)+ (y) si(rx)=r(x), єA, x,yєM, rєR Acest M, operatiile de adunare si inmultire cu scalar, definite mai

sus. devine un R-modul numit produsul direct al familiei (M)єA si se noteaza cu M, єA.OBS   : Daca M=M , єA, notam M=MA

Daca M=M se noteaza (M,() єA)

Propozitia 1.8.1. (proprietatea de universalitate a produsului direct) Fie (M)єA o familie de R-module, N un R-modul si (f)єA

o familie de morfisme. f :NM, єA. Atunci exista un unic morfism f:NM, astfel incat pentru fiecare єA sa avem f= f , adica diagrama urmatoare este comutativa :

Nf1

f f M1 f2 M M

14

M2

Definitia 1.8.2. Unicul morfisni f :NM din proprietatea de universalitate se numeste produsul direct al familiei (f)єA si se noteaza f=f

Definitia 1.8.2 . O pereche ((j)єA,M), unde M este un modul si morfismele j:MM, єA se numeste suma directa a familia (M)єA. daca pentru fiecare modul N si fiecare familie de morfisme f:MN, єA, exista un unic morfism f :MN a.i f=f j,єA

N

f1 f f f2

M1 M

M

M2

Capitolul II

Tipuri particulare de module

2.1 Sumanti directi ,Submodule esentiale si

15

submodule superflue

Fie M un R-modul stang(RM)Definitia 2.1.1. Un submodul K al unui modul M este sumand direct in M <=>exista un submodul K' al lui M astfel incat K∩K’=0 si K+K’=M,adica K’se numeste complement direct in laticea submodulelor lui M.Pentru orice submodul K al lui M putem gasi un submodul care impreuna cu K sa satisfaca una dintre cele 2conditii

Exemplu 1:K∩0=0si K+M=MOBS:Daca Keste un sumand direct in M,at. K este un submodul

complement al lui M.Intr-adevar,exista K’≤M a.i K’∩K=0 si K+K’=MExemplu 2:Fie M1,M2 doua R-module stangi si M1×M2 produsul

cartezian cu structura naturala de R-modul .Daca N1={(x1,0) x1єM1 } si N2={0,(x2) x2єM2}, N1,N2 sunt doua submodule ale lui M1×M2

Se observa ca N1∩N2=0 si N1+N2= M1×M2=> N1,N2 sunt sumanzi directi in M1×M2

Exemplu3:Fie M un R-modul stang si EndR(M)-inelul endomorfismelor sale.Daca fє End R(M) este un element idempotent,adica f2=f,f se numeste proiector al lui M .Fie f un proiector al lui M ;at. M=Ker f +Imf si Ker f ∩ Imf =0 adica Ker f si Im f sunt sumanzi directi in M

Adica: ptr . xєM at. f(f(x))=f(x)=> f(x-f(x))=0=> x-f(x)єKer f ceea ce ne arata ca xєKer f + Imf de unde M=Ker f +Imf

Daca xєKer f∩ Imf ,at. din xєImf=> yєM a.i. x=f(y)Cum f(x)=0 obtinem 0=f2(y)=f(y)=x si deci Ker f∩Imf=0

Propozitia 2.1.1 Fie RM un R –modul stang ,K si K’ doua submodule in M.Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente : a)K∩K’=0 si K+K’=M

b) proiector fє End R(M) a.i K=Imf si K’=Ker f

DEM:

16

Implicatia b)=>a) rezulta din exemplu 3a)=>b)daca xєM exista yєK si zєK’ unic cu proprietatea x=y+zdefinim f:M→M ,f(x)=y ;f de fapt este un homomorfism

daca xєM,at.f2(x)=f(f(x))=f(x) deoarece f(x)=f(x)+0 si deci f2=f=>Imf=Kdaca xєK’ ,at. f(x)=0 si deci K’Ker finvers daca xєKer f ,at. din x=y+z trebuie ca y=0=>x=z adica Ker fK’ =>K’=Ker fFie f si g doi proiectori din End R(M) a.i K=Imf=Img si K’=Ker f=Ker gAtunci din egalitatea x=y+z cu yєK,zєK’ obtinem f(x)=f(y)+f(z)=f(y)=y g(x)=g(y)+g(z)=g(y)=y=>f=g

Definitia 2.1.2. Un submodul K al lui M se numeste esential sau larg(sau ca este o extensie esentiala a lui N) in M,lucru ce se noteaza K◄M, daca pentru orice submodul L al lui M cu L∩K=0 →L≠

Definitia 2.1.3. Un submodul K al lui M se numeste superflu sau mic in M, noteaza K<<M, daca pentru orice submodul L al lui M cu L+K=M →L=M .

OBS: Cele trei concepte de sumant direct, submodul esential si submodul superflue sunt reminescente ale conceptelor topologice de componenta conexa. densa si nicaieri densa.

Adica un submodul esential al lui M domina matricea submodulelor, adica nu este dependent , de nici un submodul nenul iar submodulele superflue sunt neesentiale deoarece ele nu contribuie la generarea lui M.

Definitia 1.2.4. Un monomorfism f:K→M se numeste esential, daca imaginea lui f este submodul esential in M(Imf ◄M) Un epimorfism g:M→N este superflu, daca nucleul sau este submodul superfluu in M (Ker g << M).

OBS : Aceste doua concepte sunt duale in categoria R-modulelor

17

Propozitia2.1.2 Fie un submodul K al 1ui M(K◄M)urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a)K◄M;

b) i K:K→M(Aplicatia incluziune) este monomorfism esential;c) Pentru orice modul N si morfism hєHomR(M,N) cu Ker h∩K=0→Ker h=0 (h°iK monomorfism implica h monomorfism)

DEM:(a) <=> (b) Datorita definitiilor →evidenta(b) => (c)i K:K→M si h:M→N, Deoarece i K monomorfism esential =>Im ik ◄M; dar Ker h≤ M,=>

conform definitiei, Im ik∩Ker h=0 => Ker h=0, iar Im i K=K.(c) => (a) Pp ca L≤M astfel incat L∩K=0.Consideram epimorfismul

natural nL:M→M/L (surjectia canonica) Ker nL=L=>Ker(nL)∩K=0 =>Ker nL=0=>L=0

Corolar 2.1.1 Un monomorfism f:L→M este esential pentru toate morfismele h pentru care h°f este monomorfism => h este monomorfism.

DEM: Daca g:M→N si f: N→P, unde f este un monomorfism, iar g este un morfism astfel incat g°f este monomorfism, atunci g este monomorfism.

Propozitia 2.1.3 Pentru un submodul K al lui M, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) K<<M;b) p K:M→M/K (Aplicatia naturala)este un

epimorfism superfluu; c) Pentru orice submodul N si orice morfism hє HomR(N,M) cu Im h+K=M => Im h=M.

18

DEM:Se observa ca aceasta propozitie este duala propozitiei 2.1.2 dupa cum si urmatorul corolar este dualul corolarului 2.1.1

Corolar 2.1.2. Un epimorfism g:M→N este superfluu pentru toate morfismele h cug°h epimorfism =>h este epimorfism.

Propozitie 2.1.4.Fie f:L→M si g:M→N doua monomorfisme.Atunci g°f este esential g si f sunt esentiale DEM: pp ca g si f sunt esentiale Fie zєN si z≠0 at rєR a.i rzєImg si rz≠0yєM a.i rz=g(y) unde y≠0F este esential , r’єR a.i r’yєImf si r’y≠0 xєL,x≠0 a.i r’y=f(x)Dar r’rz=r’g(y)=g(r’y)=(g°f)(x)=>deci r’rzєIm(gf) si r’rz≠0 ceea ce ne arata ca g°f este esential

Pp . ca g°f este esential Fie yєM ,y≠0 cum g este monomorfism ,g(y)≠0,deci rєR a.i rg(y)≠0 si rg(y)єIm(g°f)Deci xєL a.i g(ry)=(g°f)(x)=g(f(x))=> ry=f(x)єImf=> f este essentialDaca zєN,z≠0 rєR ptr care rz≠0 si rzєIm(g°f) ,cum Im(g°f) Im g ,at rzєImg => g este essentialDuala se demonstreaza la fel

Propozitie 2.1.5 Fie f:L→M si g:M→N doua epimorfisme .at. g°f este superflu f si g sunt superflue

Propozitia 2.1.6 Fie M un modul cu submodulele K≤N≤M si H≤M, atunci: a) K◄M<=>K◄NsiN◄M; b) H∩K◄M<=>H◄M si K◄M.

19

DEM:a) "=>" Fie K◄M si fie 0≠L≤M =>K∩M#0fie L<N =>K◄N

De asemenea K≤N si L∩N#0 =>N◄M."<=" Fie L<M astfel incat L∩K=0.Dar K=K∩N

=>L∩(K∩N)=0 =>(L∩K)∩N=0 (dar K◄N)=>L∩N=0 (dar N◄M)=>L=0=>K◄M.

b) "=>" Este consecinta a primului punct in care H∩K≤H≤M si H∩K≤K≤M"<=" Fie L≤M cu L∩K∩H=0 (dar K◄M, din ip)=>L∩H=0 (dar

H◄M,ip)=>L=0 =>H∩K◄M.Iar duala acestei propozitii este:

Propozitia 2.1.7 Fie M un modul cu submodulele: K<N<M si H<M,atunci: a) N<<M <=>K<<M si N/K<<M/K; b) H+K<<M <=> H<<M si K<<M.

Propozitia 2.1.8 Daca K1≤M1≤M si K2≤M2≤M, iar M=M1 +M2, atunci: a) K1K2<< M1M2 <=>K1<<M 1si K 2<<M2

b) K1K2◄M1M2 <=> K1◄M1si K 2◄M2

Propozitia 2.1.9 Fiecare submodul N al lui M are un M-complement(daca N≤M si N’≤M,maximal cu proprietatea caN∩N’=0 at N’ este un M-complement al lui N). Mai mult, daca N' este un M-complement al lui N, atunci: a) N N’◄M; b) NN’/N’◄M/N'

Lema 2.1.1 Daca K<<M si f:M→N un morfism, atunci f(K)<<N. In particular, daca K<<M≤N => K<<N.DEM:

Fie L≤N cu proprietatea ca L+f(K)=N =>f -1(L)+K=f -1(N)=M. Deoarece

20

K<<M =>f-1(L)=M => K≤M=f -1(L) => f(K)≤L => L=N =>f(K)<<N.

Lema 2.1.2 Un submodul K al lui M este esential in M daca si numai daca pentru orice element nenul al lui M exista r in inelul R astfel incat rx#0 si rxєK. DEM:

"=>" Daca pp K◄M si 0#xєM, atunci Rx∩K#0=> rєR a. i 0#rx є K.

"<=" Fie 0#xєL≤M,at. din ipoteza rєR a. i.0#rxєK∩L =>K◄M.

2.2 Submodule complement

Definitie 2.2.1 Fie un RM un R-modul si K un submodul al lui M. Un submodul K’ al lui Meste un complement al lui K in M daca K’ este un submodul maximal al lui M cu proprietatea ca K’∩K=0Un submodul K’ al modulului RM se numeste submodul complement al lui M daca exista un submodul K al lui M a.i K’ este complement al lui K in M In particular 0 si M sunt submodule complement al lui M

Propozitie 2.2.1Fie K un submodul al lui RM si K’ un complement al lui K in M .Exista un complement al lui Q al lui K’ in M a.i KQ.Mai mult Q este extensie esentiala maximala al lui K in M

DEM: stim ca K∩K’=0 conform lemei lu Zorn , un complement Q al lui K’ inM a.i KQ .Fie L un submodul al lui Q,L≠0 si L ∩ K =0Fie K1=L+K’,e clar ca KK1 si K≠K1

Daca xєK∩(L+K’),at. x=y+z cu yєL si zєK’,dar z=x-yєQCum Q∩K’=0=> z=x-y=0 si deci x=y.Din egalitate L∩K=0 deducem x=y=0 si deci K∩(L+K’)=0 ceea ce contrazice ca K’ este complement al lui K in M Deci L∩K≠0 ceea ce ne arata ca Q este o extensie esentiala a lui K

21

Fie Q’ un submodul al lui M a.i KQQ’, Q≠Q’ si Q’ este o extensie esentiala a lui KDeci Q’∩K’≠0Dar cum K∩(Q’∩K’)=0 si Q’∩K’Q’=> Q’ este o extensie esentiala a lui K=> Q este o extensie esentiala maximala a lui K in M

Definitie 2.2.2Un submodul K al lui RM se numeste inchis daca K nu are nici o extensie esentiala in MCorolar 2.2.1Fie RM un R-modul .Submodulele complement ale lui M coincide cu submodulele inchise ale lui M

DEM:folosindune de propozitia de mai sus deducem ca orice submodul inchis al lui M este un submodul complement al lui M .Fie K un submodul complement al luiM => ca exista un submodul K’ al lui M a.i K este un complement al lui K’ in MExista conform lemei lui Zorn un complement L al lui K a.i K’L .Fie Q un complement al lui L care contine pe K Cum L∩K=0,at. trebuie ca K=Q conform propozitiei de mai sus => ca K este un submodul inchis in M

Propozitie 2.2.2Fie K un submodul al lui RM .Daca K’ este un complement al lui K in M ,atunci: a)K+K’ este esential in M b)morfismul canonic πK’°iK:K→M/K’ este un monomorfism esential DEM:a) Fie xєM x≠0,daca x∉K’, atunci K’+Rx ≠K’ si deci K∩(K’+Rx)≠0.fie yєK∩(K’+Rx),y≠0.Cum yєK’+Rx,at.y=z+rx cu zєK’.Daca rx=0=>y=z si cum K∩K’=0=>y=0,absurdDeci rx≠0 ,din rx=y-z=>rxєK+K’ ceea ce ne arata ca K+K’ este esential in M b)Im (πK’°iK)=K+K’/K’.Fie L/K’ un submodul al lui M/K’ nenul => K+K’/K’∩L/K=(K+K’)∩L/K’=(K∩L)+K’/K’dar cum K’ este complement al lui K,at.K∩L≠0 si deci K∩L+K’/K’≠0 ceea ce ne arata ca πK’°iK este monomorfism esential

2.3 Generari si cogenerari

Conceptul de multime de generatori pentru un modul nu este categorial (depinde de morfismele si obiectele categoriei ) si nu are dual

22

natural.Exista insa un echivalent al sau care este categorial si are un dual foarte important:conceptul de cogenerare.

In acest paragraf vom considera modulele si morfismele de module ca fiind privite ca R-modul stanga.

Clase generate si clase cogenerate

Definitia 2.3.1. Fie U o clasa de module, un modul M este (finit) generat de U sau U genereaza (finit) pe M daca exista o multime (finita), indexata (Uα)αєA, ( A fiind o multime de indici ) in U si un epimorfism de la αєAUα→M→0

OBS : Daca familia U ={U}, spunem ca U genereaza (finit) M, adica exista un epimorfism de la U(A)→M→0

Teorema 2.3.1. Daca un modul RM are o multirne de generatori XM, atunci exista un epimorfism R(X)→M→0 ceea ce ne arata ca R genereaza pe M. Mai mule, R genereaza finit pe M <=> M are o multime finita de generatori.

DEM:Fie XM o multime de generatori. Pentru fiecare xєM consideram aplicatia ρx :R→M ρx (r)=rx, care este un R-morfism stang.Fie ρ=xєX ρx, suma directa a acestor

morfisme, cu ρ:R(X)→M.Cum Imρ=ΣxєX Im ρx =ΣRx =M (deoarece X=familie de generatori) =>ρ epimorfism =>R genereaza pe M.

Exemplu : Grup(Z-modul) zM este de torsiune daca fiecare element al sau are ordin finit.Daca zM este de torsiune, pentru fiecare xєM exista un numar natural n(x)>0, n(x)=ordinal lui x si un morfism fx:Zn(x)→M,care are imaginea Im fX=Zx.

Un grup abelian este de torsiune daca si numai daca este generat de familiaU ={Znl n є N, n ≥2 } <=> este generat de Zn , n ≥2.

23

Definitia 2.3.2(conceptual dual). Fie Uo clasa de module. Un modul M este (finit) cogenerat de U daca exista o multime (finita), indexata (Uα)αєA in U si un monomorfism 0→M→ПUα

OBS: Daca U={ U} spunem ca U cogenereaza pe M, adica exista unmonomorfism de la 0→M→UA

Exemplu:Fie M un grup abelian fara torsiune.Exista atunci un monomorfism M→QM, adica zM este cogenerat de zQ.Pe de alts parte orice subgrup al lui QA este fara torsiune.In concluzie grupurile abeliene fara torsiune sunt cogenerate de Q.

Notatii: Fie U o clasa de module, notam cu Gen(U), clasa tuturor modulelor generate de U si cu Cog(U), clasa tuturor modulelor cogenerate de U.

FGen(U) si FCog(U) reprezinta clasele de module finit generate, respectiv cogenerate de U.Propozitia 2.3.1. Fie U o clasa de module.

a) Daca MєGen(U), atunci orice imagine epimorfica a lui M este tot in Gen(U);b) Daca (Mα)αєI este o multime indexata din Gen(U), atunci si suma directa a familiei MαєGen(U).

DEM:a) MєGen(U)=>(Uα)αєA si f:Uα→M un epimorfism. Fie g:M→M' un altepimorfism => g°h :Uα→M' este epimorfism => M'єGen(U).b) (Mα)αєIєGen(U)=> (Uβα)βαєBα U aplicatiile f:Uβα→ Mepimorfisme.Consideram R-morfismul f=fα:(Uβα)→Mα care este un epimorfism=>Mα єGen(U).

OBS:Din propozitie rezulta ca clasa modulelor generate de U este inchisa in categoria R-Mod la izomorfisme, luarea modulelor factor si la sume directe.

Propozitia 2.3.2. (varianta duala): Fie U o clasa de modulea) MєCog(U) si g:M→M' este un monomorfism, atunci M'єCog(U);

b) (Mα)αєI Cog(U), atunci ПMα єCog(U).

24

Corolar 2.3.1. (tranzitivitatea generarii si cogenerarii): Fie U si V doua clase de module.

a) Daca VєGen(U) (respectiv VєFGen(U)), atunci intreaga clasa Gen(V)Gen(U )(respectiv FGen(V)FGen(U) );b) Daca VєCog(U) (respectiv VєFCog(U)), atunci intreaga clasa Cog(V)Cog(U) (respectiv FCog(V)FCog(U)).

OBS: Un altfel de definitii ale conceptelor de generare si cogenerare ar fi ca de exemplu 1) Clasa U genereaza M exista o suma de submodule, fiecare din ele fiind imaginea epimorfica a unui anumit submodul din U. 2) Clasa U cogenereaza M exista o multime K de submodule ale lui M astfel incat M/K se scufunda intr-un anumit modul din U pentru fiecare KєK si ∩K=0.

Generatori si cogeneratori

Daca U si V sunt clase de module care se genereaza una pe alta,atunci Gen(U)=Gen(V). Este posibil ca cele doua module sa fie total diferite.

Data fiind clasa U, se pune problema gasirii unei cele mai mici clase care sa genereze pe Gen(U) ( la fel si pentru Cog(U) ).

Definitia 2.3.3. O multime U'U este o clasa de reprezentanti de tipuri izomorfe a lui U daca fiecare UєU este izomorf cu un element din U'. Daca in plus, nu exista doua elemente in U' izomorfe, atunci clasa de reprezentanti este ireductibila (minimala).

OBS: Daca U' este o clasa de reprezentanti pentru U, atunci: Gen(U')=Gen(U) si Cog(U')=Cog(U).

Definitia 2.3.4. Data fiind o clasa U, un modul G este generator pentru Gen(U) daca Gen(U)=Gen(G).

Un modul C este un cogenerator pentru Cog(U) daca Cog(U)=Cog(C).Un generator (cogenerator) pentru clasa R-Mod (clasa tuturor R-

modulelor stangi) se numeste, simplu, generator (cogenerator) fara referire

25

la clasa.

Corolar 2.3.2. Modulul RR este un generator.

Exemplu: Modulul G=Zn, n≥2 este un generator pentru clasa grupurilor de torsiune, iar zQ este un cogenerator pentru clasa modulelor fara torsiune.

Propozitia 2.3.3. Daca U are multimea de reprezentanti {Uα}αєAatunci: a) Uα este un generator pentru Gen(U); b) Uα si ПUα sunt cogeneratori pentru Cog(U).DEM:b) =>din propozitia anterioara atat ПUα cat si submodulul sauUγ sunt in Cog(U).

Aplicatiile incluziunc iγ :Uγ→Uγ, sunt monomorfisme, asa ca Uγ cogenereaza fiecare Uα deci cogenereaza Cog(U).

Propozitia 2.3.4. Fie U si M, doua R-module stangi, atunci:a) U genereaza (finit) pe M <=> exista o submultime (finita) HHomR(U,M), asa incat M=ΣIm h;b) U cogenereaza (finit) pe M <=> exista o submultime (finita) HHomR(M,U), asa incat ∩hєHKer h=0

DEM:b) "=>" Pp ca U cogenereaza pe M => f:M→UA un monomorfism. Pentru orice αєA, consideram morfismul f:M→U, unde πα:UA→U este proiectia canonica a produsului direct: UA. Evident f=Пfα si Ker f=∩Ker fα

f monomorfism => Ker f=0=> ∩Ker fα=0"<=" Daca HєHomR(M,U) este o familie de morfisme cu ∩Ker h=0, atunci morfismul Пh:M→UH are nucleul ∩Ker h=0=> este monomorfism => U cogenereaza pe M.

Corolar 2.3.3. Fie U si N,M trei R-module, atunci:a)U cogenereaza pe M <=> pentru fiecare morfism nenul f:M→N, un morfism h:U→M astfel incat f °h#0.

b) U cogenereaza pe M <=> pentru fiecare morfism nenul f:N→M, un morfism h:M→U astfel incat h°f#0.

26

2.4. Trasul (urma) si rejectul (rezidul) unui modul. Anulatori

Fie U o clasa de module. Indiferent daca U genereaza sau nu modulul M, exista un unic submodul, "cel mai mare" al lui M, generat de U si dual: exista un unic modul factor, "cel mai mare " al lui M cogenerat de U.Definitia 2.4.1. Trasul (urma) lui U in M: TrM(U)=Σ{Im h h:M→U, UєU}. Rejectul (reziduul) lui U in M: RejM(U)=∩{Kerh h:M→U, UєU}. Daca U={U}, atunci avem: TrM (U)= Σ{Im h : hєHomR(U,M) }. RejM(U)=∩{Ker h : hєHomR(M,U)}.

Propozitia 2.4.1. Fie U o clasa de module si M un modul. Atunci:a) TrM(U)= unicul submodul L, cel mai mare al lui M, generat de U;

b) RejM(U)= unicul submodul K, cel mai mic, a. i.M/K este cogenerat de U.

Uα h M iα

h°iα

Uα

DEM:a) fie (U)єAU si fie h :UM,i :U U,hi :U MAvem Im h=ΣαєAIm h°iα≤TrM(U),asa ca fiecare submodul al lui M din Gen(U)este continut in clasa TrM(U)Pe de alta parte, exista o multime indexata {Uα}αєA si morfismele hα:Uα→M a.i TrM(U)=ΣαєA Im hα =>αєAhα: αєAUα→M are imaginea, TrM(U), deci TrM(U)Gen(U)

b) Fie (Uα)αєAU, o familie de module si h:M→ПαєAUα , un morfism.Consideram diagrama: M h ПUα

παh πα Uα

27

Fie K=Ker h, atunci K=∩αєAKer(πα°h)RejM(U). Asa ca M/K este cogenerat de U.Pe de alta parte exista o multime indexata (Uα)αєA din U si morfismele hα:M→Uα astfel incat RejM(U)=∩αєAKer hα conform caracterizarilor anterioare. Atunci morfismul ПαєAhα:M→ПαєAUα are nucleul RejM(U). Deci M/RejM(U)Cog(U).

Corolar 2.4.1. Fie M un modul si U o clasa de module, atunci: a) U genereaza pe M <=> TrM(U)=M; b) U cogenereaza pe M <=> RejM(U)=0.

Corolar 2.4.2. Fie M un modul si U o clasa de module, iar K≤M, atunci: a) K=TrM(U) <=> K≥TrM(U) si TrM(U)=K; b) K=RejM(U) <=> K≤RejM(U) si RejM/K(U)=0in particular TrTrM(U)(U)=Tr(U) si RejM/RejM(U)(U)=0

Exemplu:a) Fie U={Zn ;n≥2}, atunci pentru fiecare grup abelian M, TrM(U)=T(M)=subgrup de torsiune al lui M;T(M) este cel mai mare subgrup al lui M cu aceasta calitate si avem T(T(M))=T(M).

b)Daca M este grup abelian, at. RejM(Q)=∩{K : K≤M; K/M fara torsiune}. avem T(M/T(M))=0.

Propozitia 2.4.2. Fie U o clasa de module si M<N doua R-module, f:M→N, un R morfism, atunci: f(TrM(U))≤TrN(U) si f(RejM(U))≤RejN(U)

In particular,TrM(U)si RejM(U) sunt bimodule R- stangi si EndR(M)-drepte ale lui M.

Corolar 2.4.3.

28

a)Daca f: M→N este un monomorfism si TrM(U)Imf,atunci f(TrM(U))=TrN(U)

b) Daca f: M→N este un epimorfism cu KerfRejM (U), atunci f(RejM(U))=RejN(U)

Propozitia 2.4.3. Daca (Mα)αєA este o familie de module, atunci pentru fiecare clasa de module U avem: TrMα(U)=TrMα(U), αєA si RejMα(U)=RejMα(U), αєALema 2.4.1. Daca U si V sunt clase de module, atunci:

a) Daca VGen( U), at. TrM( V)≤TrM(U); b) Daca V Cog(U) at.RejM(U)≤RejM(V).

Propozitia 2.4.4. Fie G un generator pentru Gen(U) si C un cogenerator pentru Cog(U). Atunci pentru fiecare modul M avem: TrM(U)=TrM(G) si RejM(U)=RejM(C).

In particular, daca (Uα)αєA este o multime indexata de module TrM (Uα) =ΣTrM(Uα) si RejM(ПUα)=∩RejM(Uα)=RejM(Uα), αєA.

Exista doua cazuri speciale:Propozitia 2.4.5. Pentru fiecare clasa Ude module, TrR(U) este un ideal bilateral. Mai mult, un modul RM este un generator <=> TrR(M)=R.

Defintia 2.4.2. Se numeste anulatorul stang al R-modulului RM, idealul: 1R(M)={rєR I rx=0, xєM}.

Propozitia 2.4.6. Pentru fiecare R-modul stang, M avem RejR(M)=1R(M).

Corolar 2.4.4. Pentru fiecare clasa de module stangi, U:

29

RejR(U)=1R(U)este un ideal bilateral

Anulatori

Definitie 2.4.3 Fie R un inel si M un R-modul stang.Daca XM este o multime nevida,atunci prin anulator la stanga al lui X in R,intelegem multimea 1R(X)={rєR: rx=0,xєX}Definitie 2.4.4 Daca IR este o submultime nevida a lui r,atunci multimea rM(I)={xєM:rx=0,rєI} se va numi anulatorul la dreapta al lui I in M

Daca X={x} si I={a},multimile 1R({x}) si rM({a}) le vom nota pe scurt cu 1R(x) si rM(a)OBS: 1R(X)este un ideal stang in R in care are loc egalitatea : 1R(X)=∩xєX1R(x) Daca X este un submodul in M,=> 1R(X) este un ideal bilateral acesta 1R(X)=AnnR(M) se numeste anulatorul modului MOBS: rM(I) este un subgrup aditiv in M in care are loc egalitatea:rM(I)=∩aєIrM(a) Daca I este un ideal drept,atunci rM(I) este submodul al lui M

Propozitie 2.4.7 Fie R un inel si M un R-modul stang .Fie X,Y doua submultimi al lui M si I ,J doua submultimi in R.at. a) XY → 1R(Y)1R(X),IJ → rM(J)rM(I) b) XrM(1R(X)) si I1R(rM(I));

c) 1R(X)= 1R(rM(1R(X))) si rM(I)=rM(1R(rM(I)))

DEM:a)=>b) din b) XrM(1R(X)) conform lu a) obtinem1R(rM(1R(X)))1R(X) Daca rє 1R(X) si xєrM(1R(X))=> sx=0 sє 1R(X) deci rx=0,de unde rє 1R(rM(1R(X)))=> ca are loc egalitatea 1R(X)= 1R(rM(1R(X))) analog cealalta egalitate

2.5. Module finit generate si finit cogenerate

30

Multimele de generatori si multimele de generatori finite nu sunt categoriale si nu au duale.

Module finit generate

Definitia 2.5.1. Un modul M este finit generat daca pentru fiecare multime A care genereaza M, exista o anumita multime finita FA care genereaza M, adica ΣA=M=>ΣF=M pentru o anumita multime finita FA

Aceasta este de fapt o reformulare a conceptelor familiare.

Propozitia 2.5.1. Urmatoarele afirmatii despre un R-modul stang, M sunt echivalente: a) M este finit generat;

b) Pentru fiecare multime fα:Uα→M, αєA cu M=ΣIm fα ,αєA, exista o multime finita FA cu M=ΣIm fα , αє F.c) Pentru orice multime indexata (Uα)αєA si epimorfismul f :Uα→M→0, αєA, exista o multime

FM si un epimorfism g :Uα→M→0, αєF, (f=fα, g=gα) d) Orice modul care genereaza. M, genereaza finit pe M. e)M contine o multime finita de generatori.

DEM: Implicatiile a)=>b), c)=>d) sunt Clareb)=>c) Avem ca f=fα , αєA este un epimorfism <=> ΣIm f°i α=M s i f°i α:Uα→M, αєAd)=>e) evidente)=>a) Pp ca {x1, x2, ... , xn}este o multime finita de generatori pentru M

si Pp ca A este o multime de submodule ale lui M cu M=ΣA .Atunci pentru fiecare xi, exista o submultime finita FiA cu xiєΣFi . Punem

F=F1F2 … Fn.Atunci F este finita si deoarece ΣF este un submodul al lui M, contine o multime de generatori al lui M => ΣF=M.

31

Atunci M este finit generat.

Module finit cogenerate

Definitia 2.5.2. Un modul M este finit cogenerat daca pentru fiecare multime A de submodule ale lui M avem ∩A=0 => ∩F=0 pentru o submultime finita FA(proprietatea intersectiei finite).

Exemplu :grupul abelian Z (Z-modul) este finit generat dar nu este finit cogenerat.

Grupul Zp∞ este finit cogenerat, dar nu este finit generat. (p numar prim, Qp= { a/pn I a єZ, n єN }≤Q. Z≤QP ,QP/Z=Zp∞).

Propozitia 2.5.2. Urmatoarele afirmatii referitoare la un R-modul stang M sunt echivalente: a) M este finit cogenerat;

b)Pentru fiecare multime fα:M→Uα, αєA cu ∩Ker fα=0 o multime finita FA cu ∩Ker fα=0, αєF;d) pentru fiecare multime indexata (Uα)αєA si monomorfismul 0→M→ПUα,αєA exista o multime finita FA si un monomorfism 0→M→ПUα,αєF

DEM:a)=>b) este evidentab)=>a) Fie {Mα I αєA} submodule ale lui M cu ∩Mα, αєA. Aplicam b) pentru aplicatiile naturale fα:M→ПUα , αєA si rezulta a).b)=>c) Pp ca f :M→ПUα ,αєA, este un monomorfism, atunci

∩Ker π α°f=0, αєA. Din b) exista o multime finita FA cu ∩Ker πα°f=0, αєF a.i ca Пπα°f:M→ПUα , αєF este monomorfism

Corolar 2.5.1. Daca M este finit cogenerat, atunci fiecare modul care

32

cogenereaza pe M il cogenereaza finit pe M.DEM: Acest rezultat se obtine din implicatia b)=>c) a propozitiei anterioare.

Exemplu: grupul abelian ZP , p-numar prim, nu este finit cogenerat desi fiecare grup care il cogenereaza, il cogenereaza finit.

Rolul soclului si al radicalului

Vom arata ca caracteristicile fundamentale ale modului finit generate si finit cogenerate sunt determinate de radicalul si soclul, respectiv.

Teorema 2.5.1. Fie M un R-modul stang. Atunci: a)M este finit generat <=> M/RadM este finit generat si epimorfismul natural M→M/RadM este superfluu (RadM<<M); b)M este fint cogenerat <=> SocM este finit cogenerat si

aplicatia incluziune 0→SocM→M este esentiala (SocM◄M).

DEM: Aratam numai echivalenta din b). deoarece demonstratia pentru a) este duala.

Un submodul al unui modul finit cogenerat este finit cogenerat. deci daca M este finit cogenerat atunci SocM◄M. Fie K≤M cu (SocM)∩K=0Cum SocM este intersectia tuturor submodulelor esentiale ale lui M si cum M este finit cogenerat, atunci exista submodulele esentiale L1, L2 ,...,Ln ale lui M cu L1∩L2 ∩...∩Ln∩K=0.Dar (L1∩L2 ∩...∩Ln)◄M, de unde K=0 => SocM◄M.

“<=” fie SocM finit cogenerat si esential in M .Fie A o familie de submodule ale lui M cu ∩A=0.Atunci ∩{A∩SocM : AєA}=0=> A1,A2,….AnєA cu(A1∩A2∩….∩An)∩SocM=(A1∩SocM)∩….∩(An∩SocM)=0 pentru A1,A2,….AnєADar SocM◄M=>A1∩A2∩….∩An=0=>M finit cogenerat

33

Corolar 2.5.2. Fie M un modul nenul.

a) Daca M este finit generat, atunci M are un submodul maximal; b) Daca M este finit cogenerat, atunci M are un submodul minimal.

Putem da acum o caracterizare a modulelor finit cogeneratePropozitia 2.5.3. Un modul este finit cogenerat soclul sau este esential si finit generat.Este clar din definitie ca daca M este finit generat (finit cogenerat). atunci asa este orice modul factor(submodul)al lui M

Propozitia 2.5.4. Fie M=M1M2…Mn Atunci M este finit generat (cogenerat) fiecareMi, i=1..n este finit generat (cogenerat)

DEM:deoarece reuniunea multimilor de generatori ai lui Mi,i=1..n este o multime de generatori ai lui M ,cazul generarii finite rezulta din propozitia anterioara deci aratam ca Mi,i=1..n este finit cogenerat implica M este finit cogeneratDeoarece SocM=SocM1 ….SocMn,unde Mi este finit cogenerat,iar fiecare SocMi este finit generat=> SocM este finit generatDin prop anterioara=> ca SocMi◄M,deci SocM◄M=> M este finit cogenerat

2.6 Module semisimple . Soclul si Radicalul

Module semisimple

Definitia2.6. 1Fie (T)єA o multime indexata de submodule simple ale lui M daca M este suma directa a acestei multimi, atunci M=T, єA este o descompunere semisimpla a lui M.

34

Definitia 2.6.2. Un modul M se numeste semisimpla daca el are o descompunerc semisimpla.

OBS   : Evident, orice modul simple este semisimplu, asa ca pentru inel exista module semisimple.Vom observa ca orice suma directa de module simple este semisimpla.

Daca un modul M este generat de submodule simple (T)єA , at. acestea se comporta ca subspatii unidimensionale generate de o multime de generatori pentru un spatiu vectorial.

Le ma 2.6 .1. Daca (T)єA este o multime indexata de submodule simple ale R-modulului stang M si daca M=T , atunci pentru fiecare submodul K al lui M exista o submultime BA asa incat (T)єB este independenta si M=BA(T)єB si K(T)=0.Atunci suma N=K(T) este directa

DEM   :   Fie KM, un submodul al lui M. Din principiul de maxim exista o submultime BA, maximala in raport cu conditiile ca (T)єB care sa fie independenta si K(T)=0.Atunci suma N=K(T) este directa

Se arata ca N=M. Fie єA. Deoarece T este simplu, atunci: sau TN=T sau TN=0 Dar TN=0 dace la contradictie cu maximalitatea lui B. Astfel TN, єA, => M=N.

Ca o consecinta a acestei leme fundamentale avem urmatoarea generalizare a faptului ca intr-un spatiu vectorial, multimea de generatori contine o baza:

Propozitia 2.6.1. Daca un modul M este generat de multimea indexata (T)єA de submodule simple, atunci pentru BA, M=T , єB, adica M este semisimplu. Indicatie :Luam K=0 in lema 2.4.1:

Propozitia 2.6.2. Fie M, un R-modul stang semisimplu cu descompunerea semisimpla, M=T ,єA. daca 0KMN0 este un sir exact de R-module. atunci este scindat si atat K cat si N sunt semisimple. Intr-adevar, exista o submultime BA si izomorfismele NT ,єB si KT, єA\B.

35

DEM: Avem f :KM ; g :MN. Deoarece Im f este submodul in M, conform lemei 2.4.1. o submultime BA a.i M=(Im f)(T),єB. Astfel sirul este scindat si NM/Im f=T ,єB. => M=(T)(T).єA\B si єB.Asa ca avem KIm fT , єA\B..Orice submodul si orice modul factor al unui modul semisimplu sunt

semisimple. Mai mult, orice submodul este sumant direct.

Corolar 2.6.1. Fie (T)єA o multime indexata de submodule semisimple ale lui M .Daca T este un submodul semisimplu sl lui M ,a.i T(T)0 ,at. un єA a.i TT

DEM   : Daca T este simplu si T(T)#0, at. TT Pp ca M= T din propozitia2.6.1=> ca M este semisimplu si ca M=T,єB, pentru BA.

Avem urmatoarea caracterizare fundamentala a modulelor semisimple:Teorema 2.6.1. Pentru un R-modul stang urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) M este semisimplu, b) M este generat de module simple; c)M este suma unei anumite multimi de submodule simple; d) M este suma submodulelor sale simple; e) Orice submodul al lui M este sumant direct; f)Orice sir exact scurt 0KMN0 de R-module stangi este scindat.

DEM   : e)=>d) Cum M satisface e)=>ca submodul nenul al lui M are un

submodul simplu. Intr-adevar, fie x#0, xєM.Atunci Rx are un submodul maximal, notam cu H.

Din e) avem M=HH' pentru un H'M. Astfel, din modularitateRx=RxM=H(RxH') si RxH'Rx/H este simplu.Astfel Rx are un submodul simplu. Fie N, suma tuturor submodulelor simple ale lui M. Atunci M=NN'; conform e), pentru un N'M. Cum N'N=0, N' nu are submodule simple, dar cum am aratat aceasta inseamna ca N'=0. => N=M.

36

Exemplu: daca R este un inel cu diviziune, atunci orice spatiu vectorial RM este semisimplu, caci M este generat de modulele sale ciclice si orice R-modul ciclic nenul este simplu.

Soclul unui modul

Echivalenta a)<=>b) din ultima teorema arata ca, clasa R-modulelor semisimple stangi este clasa Gen(S), a modulelor generate de modulele semisimple din S. Astfel fiecare modul M are un submodul unic semisimplu, "cel mai mare", trasul lui S in M. Acest modul este numit soclul lui M si se noteaza cu SocM=TrM(S). Evident este semisimplu M=SocM.

Propozitia 2.6.3. Fie M un R-modul stang. Atunci:SocM={KM K minimal in M}={LM L este esential in M}

DEM: Fie TM, T semisimplu. daca L◄M, at. TL0,TL => ca SocM este continut in orice submodul esential

al lui M.Pe de alta parte notam multimea H={LM L◄M}. Sa

aratam ca H este semisimplu.Fie NH si fie N'M un complement al lui N.=>N+N'=NN'◄M=>NHNN'si din modularitate: H=H(NN')=N(HN'). Astfel N este sumant direct in H, deci H este semisimplu => HSocM.

Multe proprietati ale soclului rezulta din faptul ca SocM este chiar trasul in M al unei anumite clase de module. De exemplu, SocR este un ideal in R.

Propozitia 2.6.4. Fie M si N doua R-module stangi si f:MN, un R-morfism. Atunci f(SocM)SocN. In particular, SocM este un submodul R-stang, EndRM-drept al lui M.

Corolar 2.6.2. Fie M un modul si KM. Atunci SocM=KSocM. In particular, Soc(SocM)=Soc(M).DEM   : Din propozitia anterioara SocKSocM Dar KSocM este semisimplu, deci continut in SocM.

37

Soclul lui M este cel mai mare submodul al lui M, care este continut in fiecare submodul esential al lui M.In general, SocM nu este necesar sa fie esential in M.

Corolar 2.6.3 . Fie M un R-modul sting. Atunci SocM◄M submodul nenul al lui M confine un submodul minimal.

Clasa R-modulelor stangi simple are o multime F de reprezentanti. Propozitia 2.6.5. Fie F o multime de reprezentanti al R-modulelor stangi simple.Atunci pentru fiecare RM, avern: SocM=TrM(F)=TrM({T TєF})=TrM(T)

OBS: o consecinta a propozitiei este clasa R-modulelor semisimple stangi are un generator semisimplu, anume {T TєF}. daca T este simplu, atunci trasul. TrM(T) al lui T in M se numeste componenta T-omogena a lui SocM. Desigur TrM(T)

este generat de un modul simplu, asa ca este semisimplu si in SocM. Dar fiecare submodul semisimplu al lui TrM(T) este izomorf cu T. De exemplu, componenta Zpomogena a soclului unui grup abelian M este chiar multimea elementelor de ordin p.

Definitia 2.6.3 . Un modul semisimplu H este T-omogen daca H=TrM(T).

Pentru orice modul M componenta T-omogena al lui SocM este unicul submodul semisimplu T-omogen, cel mai mare al lui M. Desigur, daca M nu are submodule simple izomorfe cu T, atunci componenta T-omogena a soclului sau este 0.

Din ultima propozitie, componentele omogene ale lui SocM genereaza SocM; ele sunt independente si stabile fata de endomorfismele lui M. Propozitia 2.6 .6. Soclul unui R-modul stang; M este, ca un bimodul R-stang si EndRM-drept, o suma directa a componentelor sale omogene.

38

Radicalul unui modul

Soclul unui modul este cel mai mare submodul al sau generat de clasa S, a modulelor simple.

Exista un dual al acestei notiuni: pentru fiecare modul M exista un "cel mai mare" modul factor al lui M cogenerat de S.

Def nitia 2.6.4. Fie S clasa R-modulelor stangi simple.Pentru fiecare R-modul M, radicalul (Jacobson) al lui M este rejectul lui S in M: RadM=Rej M(S).Propozitia 2.6.7. Fie M un R-modul stang Atunci: RadM={KM K maximal in M}= {LM L<<M}

DEM: Deoarece KMeste maximal in M M/K este simplu; prima egalitate rezulta imediat din definitia rejectului in M a unei clase.

Pentru a doua egalitate, fie L<<M. Daca K este un submodul maximal al lui M si daca LK atunci K+L=M: dar cum L<<M, atunci K=L (contradictie).

Deducem ca orice submodul superfluu al lui M este continut in RadM.

Fiind dat xєM si NM cu Rx+N=M, atunci sau N=M sau exista un submodul maximal K al lui M cu NK si x∉K. Daca xєRadM, atunci ultima conditie nu poate avea loc. Astfel xєRadM forteaza ca Rx<<M si egalitatea secunda este dem.

Deoarece radicalul lui M este rejectul in M al unei clase de module, deducem multe propietati ale lui RadM din acelea ale rejectului. Exemplu: RadRR este un ideal in R.

Propozitia 2.6.8. Fie M si N doua R-module stangi si functia f :MN un R-morfism. Atunci f(RadM)RadN. In particular: RadM este un submodul R-stang si EndRM-drept al lui M

Pentru modulele semisimple conceptele de generat si cogenerat sunt echivalente si avem: Propozitia 2.6.9 Urmatoarele afirmatii despre un modul semisimplu sunt echivalente:

39

a) M este finit cogenerat; b) M=T1T2…Tn cu Ti simple, i=l,..,n; c) M este finit generat.DEM:a)=>b) Presupunem ca are loc afirmatia a). Cum M poate fi scufundat

intr-un produs de module simple, atunci M poate fi scufundat intr-un produs cu un numar finit de module simple.b)=>c) Din forma pe care o are M se observa ca M este finit generat.c)=>a) Deoarece M este semisimplu, el este generat de submodule simple. Din c),

el este generat de o multime finita T1 ,...Tn de submodule simple.Demonstram a) prin inductie dupa n.

Evident, pentru n=1, M este simplu finit cogenerat.Pp inductiv ca n>1 si ca orice modul generat de mai putin de n

submodule simple este finit cogenerat. Pp ca A este o multime de submodule ale lui M cu A=0=> TnL=0,

pentru un LєA. Deci L=S1…Sm, fiecare Si - simplu si m<n.Pp ca A'={NL NєA} A' este o multime de submodule ale lui L cu A'=0.

Astfel pentru o anumita multime finita {N1...Nk}A avem LN1…Nk=0 si M este finit cogenerat.

Cele patru conditii de finitudine sunt echivalente pentru modulele semisimple.

Propozitia2.6.10. Pentru fiecare modul M urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) RadM=0 si M artinian;b) RadM=0 si M este finit cogenerat;c) M este semisimplu si finit cogenerat;d) M este semisimplu si noetherian;e)M este suma directa a unei multimi finite de submodule simple.

DEM   : Implicatiile a)=>b) si d)=>c) sunt evidente.b)=>c) Pp ca are loc b). RadM=0<=> M este cogenerat de clasa

modulelor simple si din propozitia 2.5.2. (c) M este izomorf cu un

40

submodul al unei produs finit P de module simple. Deoarece un asfel de produs este suma directa. P este semisimplu. Se aplica propozitia 2.6.9.

e)=>d) din propozitia 2.6.9.e)=>a) si e)=>d) Pp ca are loc e). Atunci M este semisimplu si dintr-o

propozitie anterioara avem RadM=0Evident un modul simple (semisimplu) este atat artinian cat si

noetherian si se aplica corolarul 2.5.1.

Dat un morfism f:MN am vazut ca f(RadM)RadN. Chiar daca f este un epimorfism nu ne putem astepta ca f(RadM) sa fie radicalul lui M.

Propozitia 2.6.11Daca f :MN este un epimorfism si daca KerfRadM atunci RadN=f(RadM). In particular, Rad(M/RadM)=0.

SocM=M M este semisimplu. Duala afirmatiei este :Propozitia 2.6.12. Fie M un R-modul. Atunci RadM=0 M este cogenerat de clasa modulelor simple.In particular ,daca M este semisimplu at .RadM=0

Duala componentei T-omogene a soclului lui M este rejectul RejM(T).Avem:

Propozitia 2.6.13. Fie F o multime de reprezentanti al R-modulelor simple, atunci pentru fiecare RM avem: RadM=RejM({T TєF})=RejM((T)=RejM(T).

Deci, radicalul lui M este cel mai mic submodul al lui M, care contine toate submodulele superflue. Totusi, radicalul nu trebuie neaparat sa fie superfluu; avem o conditie suficienta ca RadM<<M, care nu este, insa necesara. Propozitia 2.6.14. Daca fiecare submodul propriu al lui M este continut intr-un submodul maximal al lui M, atunci RadM este unicul submodul superfluu, cel mai mare al lui M.DEM   : Fie L un submodul propriu al lui M a.i. L +RadM=M si K un submodul maximal cu LK. Atunci L+RadMK#M (contradictie). => L=M, deci RadM<<M.

Propozitia 2.6.15. Daca (M)єA este o multime indexata de submodule

41

ale lui M cu M=M , atunci SocM=SocM si RadM=RadM

Corolar 2.6.4Pentru un modul semisimplu M urmatoarele afirmatii sunt echivalente :a)M este artinian ;b)M este noetherian ;c)M este finit generat

d)M este finit cogenerat

Capitolul III

3.1. Conditii de lant pentru un modul

Modulele pentru care fiecare submodul (modul factor) este finit generat (finit cogenerat) pot fi caracterizate de "conditii de lant”.

In general, nici una din aceste conditii de finitudine nu implica altele decat in cateva

situatii (conditii) speciale in care ar putea fi echivalente.Observam de exemplu, ca submodulele lui Z sunt finit generate si modulele factor ale lui Zp∞sunt finit cogenerate.

Definitia 3.1.1. O multime S de submodule ale lui M satisface conditia lanturilor ascendente (A.C.C.) daca pentru fiecare lant L1≤L2≤….≤Ln..... din S. nєN cu Ln+i=Ln pentru i=1,2;..Considerand incluziunile inverse obtinem conditia lanturilor descendente

(D.C.C.)

Definitia 3.1.2. Un modul M este noetherian daca laticea S(M), a tuturor submoduleor lui M satisface conditia lanturilor ascendente (A.C.C.)

Un modul M este artinian daca laticea S(M) satisface conditia lanturilor descendente (D.C.C.)

Propozitia 3.1.1 Pentru un modul M urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) M este artinian:

42

b) Orice modul factor al lui M este finit generat; c)Orice multime nevida de submodule ale lui M are un element maximal.

Propozitia 3.1.2. Pentru un modul, urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) M este noetherian; b) Orice modul factor al lui M este finit cogenerat; c)Orice multime nevida de submodule ale lui M are un element minimal.

DEM: a)=>c) Fie A o submultime nevida de submodule ale lui M. Pp ca A nu ar avea un element minimal. Atunci, pentru fiecareLєA,multimea {L'єA L'<L} este nevida. Astfel, din Axioma Alegerii. o functie L→L’cu L>L’ pentru fiecare LєAFie LєA, atunci L>L'>... este un lant infinit descrescator de submodule ale lui M. ceea ce contrazice faptul ca M este artinian => exista element minimal in A.

c)=>b) Pp ca are loc c). Este suficient sa aratam ca daca K≤M si daca A este o colectie de submodule ale lui M cu K=∩A, atunci K=∩F, pentru FA,Ffinita.

Definim multimea P={∩F FA, F-finita}. Atunci, din c) P are un element minimal ∩F Evident K=∩F.b)=>a) Pp ca are loc b) si ca M are un lant descrescator de submodule: L1≥ L2≥.....≥Ln≥Ln+1≥... Fie K =∩Ln, nєN, atunci deoarece M/K este finit cogenerat trebuie sa nєN a.i. K=Ln , de under Ln+1=Ln, i=1,2,...

Corolar 3.1.1. Fie M un modul nenul .a) Daca M este artinian, atunci M are un submodul simple, de fapt SocM este submodul esential;b) Daca M este noetherian, atunci M are un submodul maximal, de fapt RadM este un submodul superfluu.

Propozitia 3.1.3 Fie 0→K→M→N→0 un sir exact de R-module stangi. Atunci M este artinian

43

(noetherian) atat N cat si K sunt artiniene (noetheriene).DEM : "=>" Fie M artinian, atunci K este izomorf cu un submodul al lui M (Klm f) => K este artinian. De asemenea N este izomorf cu un modul factor al lui M(NM/K), asa ca N este artinian.

,,<=" Pp ca N si K sunt artiniene. Sa aratam ca M este artinian. Putem Pp ca K≤M si M/K=NFie L1≥L2≥…≥Ln≥...un lant descendent de submodule ale lui M Cum

M/KN este artinian. un intreg m a.i. Lm+K=Ln+i+K, i=1,2,... Cum K este artinian => n≥m a.i. Ln∩K=Ln+i∩K, i=1,2,...Astfel, folosind modularitatea si faptul ca Ln≥Ln+1avem pentru fiecare i=1,2…

Ln=Ln∩(Ln+K)=Ln∩(Ln+i+K)=Ln+i+(Ln∩K)=Ln-i+(Ln+i∩K)=Ln+i

=>M este artinian.Demonstratia cazului noetherian este duala.

Corolar 3.1.2. Fie M=M1M2 …Mn Atunci M este artinian (noethrian) fiecare Mi este artinian (noetherian).

Una din cele mai semnificative proprietati ale modulelor artiniene si noetheriene este aceea ca fiecare astfel de modul admite descompunere directa finita idecompozabila.

Observam totusi ca modulele care sunt finit generate nu este necesar sa aiba o astfel de descompunere: de exemplu daca R este un produs al unei infinitati de copii ale unui corp, atunci RR este ciclic dar nu are nici o descompunere idecompozabila (nu se mai poate descompune).

Propozitia 3.1.4. Fie M un modul nenul care verifica conditia lanturilor ascendente sau descendente pe sumanti directi (adica M este artinian sau noetherian ). Atunci M este suma directa M=M1+M2+...Mn a unei multimi finte de submodule idecompozabile.

DEM: Pentru fiecare modul nenul M care nu are o descompunere idecompozabile finite alegem o descompunere proprie.M=N'M', asa incat M' nu are nici o descompunere idecompozabile finite.

44

Pp ca M' este nenul si nu este o suma directa de module idecompozabile. Atunci M=N'M', M'=N"M".... este un sir de descompuneri proprii. Astfel lanturile infinite N'<N'+M''<,.,si M>M'>M">... de sumanti directi in M.

3.2. Module cu serii de compozitie

Fie M un modul nenul cu proprietatea ca fiecare submodul nenul al lui M are un submodul maximal.

Exemplu : fiecare modul nenul noetherian are aceasta proprietate. In orice caz, dat un astfel de modul M, el are un submodul maximal M, si,sau M1=0 sau la randul sau are un submodul maximal M2. Atunci fiecare astfel de proces duce la un lant descrescator infinit: M>Ml>M2>... de submodule, fiecare maximal in predecesorul sau, sau lantul infinit M>Ml>M2>..Mn=0 cu fiecare termen maximal in predecesorul sau. Observam ca, daca in plus M este artinian, numai ultima optiune are loc.

Daca M este un modul nenul cu proprietatea ca fiecare modul factor nenul are un submodul simlu (<=> M este artinian), atunci un lant ascendent 0<L1<L2<... de submodule ale lei M. fiecare maximal in succesorul sau. Din nou. daca M este noetherian, lantul se termina la M dupa un numar finit de termeni, pentru un anume n.

Despre existenta unor astfel de lanturi de submodule este posibil, demonstram un numar substantial de proprietati de dimensiune aritmetica, familiare pentru spatii vectoriale.

Serii de compozitie

Fie M un modul nenul.Definitia 3.2.1. Un lant finit de n+1 submodule ale lui M: M=M0>M1>M2>...>Mn=0 se numeste serie de compozitie de lungime n pentru M cu conditia ca Mi-1/Mi sa fie simple i=l,2.. <=> fiecare termen sa fie maximal in predecesorul sau.

Este de remarcat ca daca un modul este atat artinian cat si noetherian, atunci el are o serii de compozitie. Intr-adevar. acestea sunt singurele module cu serii de compozitie.Propozitia 3.2.1. Un modul nenul M are o serie de compozitie <=>

45

M este atat artinian cat si noetherianDEM : Pp ca M are o serie de compozitie. Vom face inductie dupa

lungimea minima, sa spunem n, a tuturor acestor serii. daca n=1, atunci M este simpldaca M=Mo>Ml>M2>...>Mn=0, este o serie de compozitie de lungime

minima pentru M, atunci M, are o serie de compozitie de lungime n-1 si M/M1 este simplu. Conform propoz 2.6.10=> M1,M/M1artiniene si noetheriene => M este artinien si noetherien

Propozitia 3.2.2. Fie M un modul nenul si presupunem ca exista un sir exact 0KMNO de morfisme. Atunci M are o serie de compoziti <=> N si K au amandoua serii de compozitie.

Definitia 3.2.2. Fie M un modul arbitrar si LM, indiferent daca L este termen intr-o serie de compozitie a lui M sau nu, daca L are un submodul maximal K, atunci modulul simplu L/K se numeste factor de compozitie pentru M.

Definitia 3.2.3. Daca M are o serie de compozitie M=M0>M1>…>Mn=0, atunci modulele simple Mo/M1 ,M1/M2,….Mn-1/Mn se numesc factorii de compozitie al seriei.

Daca M are o a doua serie de compozitie M=N0>N1>…>Np=0 atunci cele doua serii de compozitie sunt echivalente, daca n=p si exista permutare a lui{0, l , ... ,n-1 } a.i. Mi/Mi+1N(i)/N(i+1)

Observam ca echivalenta inseamna, simplu, ca pentru fiecare R-modul simplu T, numarul de copii izomorfe ale lui T in sirul factorilor de compozitiei ai unei serii de compozitie este acelasi cu numarul de copii izomorfe ale lui T in altul.

46

Teorema 3.2.1.(teorema Jordan-Holder): Daca un modul M are o serie de compozitie, at. fiecare pereche de serii de compozitie ale lui M sunt echivalente.

DEM: Daca M are o serie de compozitie at. notam cu c(M) lungimea minima a unei astfel de serii pentru M. Procedam prin inductie matematica dupe c(M).Evident, daca c(M)=1 nu este nimic de demonstrat.Pp ca c(M)=n-1 si ca orice modul cu o serie de compozitie de lungime

mai mica are toate seriile de compozitie echivalente. Fie serie M=M0M1…Mn=0,o seriede compozitie de lungime minimala pentru M si fie M=N0N1…Np=0,o a doua serie de compozitie a lui M.

Daca M=N,, atunci, prin ipoteza de inductie, deoarece c(M)n-lcele doua serii sunt echivalente. Pp ca M1N1 Atunci, deoarece M, este submodul maximal in M avem:M1+N1=M, => conform teoremei a treia de

izomorfism:

1) M/M1=(M1+N1)/M1N1/(M1N1) si 2) M/N1=(M1+Nl)/N1M1/(M1N1) .

Astfel, M1N1 este maximal atat in M1 cat si in N1 Din propozitia 3.2.2. M1N1 are o serie de compozitie(0 M1N1M1M1(M1N1)0)M1N1=L0L1…Lk=0Atunci, M1>L0>L1>...>Lk=0 si N1>L0>Ll>...>Lk=0 sunt doua serii de compozitie pentru M1 si N1. Deoarece c(M1)<n, oricare doua serii de compozitie pentru M1 si N1 sunt echivalente =>cele doua serii M=M0>M1>...>Mn=0 si M=M0>M1>L0>...>Lk=0 sunt echivalente. In particular, K<n-1, asa ca c(N1)<n. Dar din ipoteza de inductie fiecare

doua serii de compozitie sunt echivalente.Astfel seriileM=M0>M1>...>Mn=0 si M=M0>M1>L0>...>Lk=0 sunt echivalente.Dar ,M/M1N1/L0 si M/N1M1/L0

Lungimea compozitiei

Este o consecinta imediata a teoremei Jordan-Holder faptul ca pentru

47

orice modul care are o serie de compozitie, toate seriile de compozitie pentru acest modul au aceeasi lungime.Definitia 3.2.4. Un modul M care este atat artinian cat si noetherian se

numeste de lungime fnita. Pentru un astfel de modul M

definim lungimea compozitiei prin :

Daca un modul M nu este de lungime finita spunem ca el este de lungime infinita si scriem: c(M)=∞

Exemplu: Un spatiu vectorial finit dimensional are o lungime a compozitiei si aceasta lungime este chiar dimensiunea spatiului. Intr-adevar functia c actioneaza pe module de lungime finita asemanator, cum functia dimensiune actioneaza pe spatiile vectoriale finit dimensionale.

Fie K,M,N trei R-module si 0KMN0 un sir exact. Pp ca:K=K0>K1>...>Kn=0 si N=N0>N1>...>Np=0 sunt serii de compozitie pentru K si N. Pentru fiecare i=1…n fie Ki

’ =f(Ki) si pentru fiecare j=1..p fie

Nj'=g-1(Nj).Avem ca seria: M=N0’>N1’>…>Np'=K0'>K1'>...>Kn'=0 este

o serie de compozitie pentru M. Egalitatea Np'=Ko' rezulta din exactitatea

de mai sus.

Astfel in baza unicitatii unei astfel de serii avem:

Corolar 3.2.1. Fie K,M si N trei R-module si presupunem ca un sir exact 0KMN0 de morfisme. Atunci c(M)=c(N)+c(K).

Corolar 3.2.2. (Teorema dimensiunii)

Fie M un modul de lungime finita si K si N submodule ale

lui M. Atunci, c(K+N)+c(KN)=c(K)+c(N).

DEM: (K+N)/NK/(KN) Aplicam corolarul 3.2.1. pentru sirurile exacte 0NN+K(K+N)/N0 si 0KNK/(KN)0 pentru a gasi relatia din corolar.

48

Lema Fitting

Un endomorfism f al unui spatiu vectorial finit dimensional induce o descompunere directa a spatiului in doua subspatii, din care pe unul f este nilpotent si pe celalalt este inversabil. Acest fapt are o generalizare de importanta fundamentala in studiul modulelor de lungime finita.

Lema 3.2.1. Fie M un modul si fie f un endomorfism al lui M.a) Daca M este artinian, atunci Im fn+Ker fn=M pentru un anumit n, de unde f este automorfism <=> f este monomorfism;b) Daca M este noetherian, atunci Im fnKer fn=0 pentru un anumit n, de unde f este automorfism <=> f este epimorfism.

DEM: Pentru a) observam ca Im f Im f2... Pp ca M este artinian. Atunci acest lant ascendent este finit => n a.i. Im f2n =Im fn. Fie xєM => fn(x)єIm f2n => fn(x)=f2n(y) pentru un anumit yєM.Avem x=fn(y)+(x-fn(y)) єIm fn+Ker fn =>daca f este monomorfism, atunci Ker fn=0 =>Im fn=M=>Im f=M =>f este automorfism.

Propozitia 3.2.3. (Lema Fitting) Daca M este un modul de lungime finita n si f este un endomorfism al lui M, atunci M=Im f nKer fn

DEM : Din propozitia 3.2.1. M este atat artinian cat si noetherian, asa ca mєN a.i. M=Im fm+Ker fm Deoarece M are lungimea n => Im fn=Im fm si Ker fn=Ker fm

Corolar 3.2.3. Fie M un modul idecompozabil de lungime finita.Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:a)f este monomorfism ;b)f este epimorfism ;c)f este automorfism;d)f nu este nilpotent;

49

Capitolul IV

Elemente de teoria categoriilor

Teoria categoriilor este o ramura moderna a matematicii; care dateaza din anul 1945, prin aparitia lucrarii lui Eilenberg si MacLane. Aceasta teorie a constituit un salt important in matematica, comparabil descoperirii teoriei multimilor,Prin teoria categoriilor, printre altele, se realizeaza o sistematizare a

intregii,matematici, sistematizare care s-a dovedit foarte fecunda in obtinerea unor not rezultate.Teoria categoriilor sta la baza multor ramuri ale matematicii moderne.

4.1. Definitia categoriei. Exemple

Definitia 4.1.1. O categorie consta din urmatoarele date D I, D2, D3 si urmatorele axiome C1, C2, C3:

(D1) Se da o clasa de obiecte, pe care o notam cu ob(C) Obiectele, de obicei, se noteaza cu litere mari.

(D2) Pentru pereche ordonata de obiecte A,BєOb(C) se da o multime notata cu HomC(A,B), care poate fi si vida; si care se numeste multimea homomorfismelor (morfismelor) de la A la B.Daca fєHomc(A.B),atunci se spune ca f este morfism de la A la B si se noteaza f:AB (AB). A se numeste domeniu sau adresa, iar B se numeste codomeniu sau sursa.se mai noteaza Hom(A;B).(D3) Pentru A,B,Cєob(C )se da o aplicatiede la HomC(A,B)HomC(B,C)la HomC(A.C), care poarta numele de lege de compunere a morfismelor.

Prin aceasta aplicatie, pentru pereche (u,v), cu uєHomc(A.B) si vєHomc(B,C) se ataseaza un unic element wєHomC (A,C): (u,v)w.Acest unic w se noteaza cu w :=vu=vu si se citeste "compusul morfismlului v cu morfismul u"(C1) Pentru (A1,B1) si (A2,B2), perechi de obiecte, avem

50

Homc(A1, B1)Hom c(A2,B2)=, cu exceptia cazului A1=A 2si B1=B2 cand cele doua morfisme coincid.(C2) Asociativitatea compunerii morfismelor:Pentru morfisme u, v, w ale categoriei avem w(vu)=(wv)u, ori de cate

ori compunerea are sens, adica u:AB, v:BC, w:CD.(C3) Pentru obiect Aєob(C), un morfism notat 1AєHomc(A,A), astfel incat sa avem:1) Pentru Xєob(C) si uєHomc(X,A) are loc 1A u=u XAA2) Pentru Yєob(C) si vєHoma(A,Y) are loc v1A=v

AAY

1A se numeste morfismul identic al obiectului A. El joaca rol de unitate la stanga pentru orice morfism de adresa A si unitate la dreapta pentru morfism de sursa A.

Exemple de categorii :

Pentru a da o categorie trebuie sa precizam clasa de obiecte, morfismele sale si legea de compunere a morfismelor, apoi trebuie verificate axiomele C1,C2,C3

Exemplul 1: Categoria Ens:=E=Categoria multimilor.Obiectele categoriei sunt toate multimile posibile, HomE(A,B):={f

f:AB}, iar compunerea morfismelor inseamna compunerea uzuala a functiilor.

Axiomele se verifica imediat:(C1) Pp HomE(A1,B1)HomF(A2,B2)#=>f:A1B1 si f:A2B2

=> A1=A2 si B1=B2 sau intersectia este vida.(C2) Se stie ca, in cazul functiilor, compunerea este asociativa.(C3) Functia identica 1A:AA, 1A(x)=x, xєA.

Exemplul 2 : Categoria Gr, a grupurilor:Obiectele categoriei sunt grupurile, morfismele sunt morfismele de

grupuri, iar compunerea morfismelor este cea uzuala.

Exemplul 3: Categoria modulelor stangi sau drepte peste un inel unitar R:R-Mod, respectiv Mod-R.

Obiectele categoriei R-Mod, de exemplu, sunt modulele la stang a peste inelul R, morfismele sunt morfismele de module, iar compunerea este compunerea obisnuita a functiilor.

51

4.2 Clase speciale de morfisme Monomorfisme si epimorfisme

Fie C o categorie, A si B doua obiecte ale categoriei, iar uєHomC(A,B) un morfism.Definitia 4.2.1 Morfismul u:AB se numeste monomorfism,daca pentru

orice obiect Xєob(C) si orice doua morfisme si єHomc(X,A) din relatia

u=u se obtine =(monomorfismul se poate simplifica la stanga).

Exemplu : 1,4 este monomorfism, Aєob(C), deoarece:Xєob(C) si ,єHomc(X,A) a.i. 1A=1A=> = (din definitia morfismului identic).Propozitia 4.2.1. Fie uєHomc(A,B), vєHomc(B,C), A,B,Cєob(C). Atunci avem:

a) Daca u, v sunt monomorfisme, atunci vu este monomorfism; b) Daca vu este monomorfism, atunci u este monomorfism.

Definitia 4.2.2. Fie A,Bєob(C) si uєHomc(A,B) Morfismul u se numeste epimorfism daca pentru orice obiect Yєob(C) si orice doua morfisme ,єHomc(B,Y) din relatia u=u => = (monomorfismul se poate simplifica la dreapta).Exemplu: 1 1A este epimorfism, Aєob(C)pentru ca:Yєob(C ),, єHomc(A,Y) a. i .1A= 1A=>=; A 1A A Y

Propozitia 4.2.2. Fie uєHomc(A,B), vєHomc(B,C), A,B,Cєob(C). Atunci avem: a)Daca u,v sunt epimorfisme, at. vu este epimorfism; b)Daca vu este epirnorfism, at. v este epimorfism.

OBS : Definitia monomorfismului (epimorfismului) este echivalenta cu urmatoarea:u:AB este monomorfism (epimorfism) daca pentru X (respectiv Y) si pentru doua morfisme ,єHomC(X,A)( respectiv,

52

HomC(B,Y)) din relatia =>u u (respectiv, uu).

Bimorfisme si epimorfisme

Definitia 4.2.3. Se numeste bimorfism, un morfism u:AB, care este simultan monomorfism si epimorfism.

Exemplu : Pentru Aєob(C), morfismul identic este un bimorfism.

Definitia 4.2.4. Se numeste izomorfism un morfism u:AB cu proprietatea ca un morfism v:BA, a.i. sa avern: uv=1B si vu=1A

Exemplu: Pentru Aєob(C), morfismul identic este un izomorfism.

Remarca: Daca u este izomorfism, atunci morfimul v este si el izomorfism si este unic. El se numeste morfismul invers al lui u si se noteaza cu u-1

Deci (u-1)-1=u.

Legatura intre izomorfism si bimorfism este data de urmatoarea propozitie:Propozitia 4.3.3. Orice izomorfism este bimorfism (dar nu si reciproc).

Sectiune si retracta

Defintia 4.2.5. Un morfism u, dintr-o categorie C, se numeste sectiune (retracta), daca el este inversabil la stanga (dreapta).OBS: u:AB, este sectiune (retracta), daca v:BA, a.i.vu=1A(uv=1B)Un morfism ,care este sectiune si retracta este

izomorfism

53

4.3. Categoria duala.

Principiul dualitatii

Daca C este o categorie, atunci putem sa-i asociem acestei categorii o alta categorie, C *, definita in felul urmator:(D1*) ob(C*)=ob(C).(D2*) A,Bєob(C), definim HomC* (A,B)=Homc(B,A)(D3*) A,B,Cєob(C), definim pe HomC*(A,B)Homc*(B,C)Homc*

(A,C). compunerea in modul urmator:Daca uєHomC*(A,B) si vєHomc (B,C), definim compunerea v*u=uv.

Adica se schimba ordinea de compunere a morfismelor:ABC si ABC

Se constata imediat ca sunt indeplinite cele trei axiome ale definitiei categoriei.

Dualizare: Fie N o notiune referitoare la o anumita categorie. Fie C o categorie si C*duala sa. Notiunea N din categoria C*,dar interpretata in categ oria C se numeste duala notiunii N. y

Exemplu : N="u este monomorfism",adica u:AB, cu proprietatea ca pentru X,obiect al categoriei si ,єHomC(X,A) cu u=u => =N*=(" u este monomorfism")*,

adica u:BA, cu proprietatea ca pentru X obiect al categoriei si ,єHomC(A,X) cu u=u => =, deci duala monomorfismului este epimorfismul.In mod asemanator se arata ca

(epimorfismul)*=monomorfismul;(bimorfism)*=bimorfism (izomorfism)*=izomorfism

Definitia 4.3.1. Fie P o propozitie matematica, iar P* propozitia care se obtine din P inlocuind fiecare notiune cu notiunea sa duala. Propozitia P* se numeste duala propozitiei P.

Exemplu:P: Fie u si v doua morfisme, u:AB si v:BC.

54

a)Daca u,v sunt monomorfisme, atunci vu monomorfism.b)Daca vu este monomorfism, atunci u este monomorfism.

P*: Fie u si v doua morfisme, u:AB si v:BC.a) Daca u,v sunt epimorfisme, atunci vu epimorfism.b) Daca vu este epimorfism, atunci v este monomorfism.

Teorema 4.3.1. (Principiul dualitatii): Fie P o proprietate referitoare la o categorie, iar P* duala sa, atunci P* este adevarata P este adevarata.

4.4. Sume si produse directe

Definitia 4.4.1. Fie C o categorie, (Ai)iєI o familie oarecare de obiecte si S un obiect din categoria , Sєob(C).Se spune ca S este suma directa a familiei (Ai)iєI daca exista o familie de morfisme (i)iєI ,  :Ai S satisfacand urmatoarele conditii: ar fi S’ un obiect si familia de morfisme (ui)iєI ,ui:AiS’ un unic morfism u:SS' care face comutativa diagrama, adica ui= ui .

Ai i S ui u

S’

Definitia 4.4.2 Daca intr-o categorie orice familie finita de obiecte admite suma directa atunci categoria se numeste cu suma directa. Daca orice familie finita sau nu, admite suma directa atunci categoria se numeste cu suma infinite.

OBS : Suma directa se noteaza ((i)iєI,S),iar S se noteaza S=∐Ai sau S=Ai

Daca exista o suma directa pentru o familie de obiecte data, atunci ea este unica pana la un izomorfism.Propozitia 4.4.1 Daca (Ai)iєI, este o familie de obiecte avand doua sume Directe ((i)iєI,S) si((i’)iєI,S’) atunci exista un izomorfism

55

de la S la S', care face comutativa diagrama urmatoare, adica i=i’ :

S i

S i

i’ S’Notiunea de produs intr-o categorie direct este notiunea duala a sumei

directe. adica se obtine prin dualizare: inversarea sagetilor si a compunerii morfismelor.

Definitia 4.4.3. Fie (Mi)iєI o familie de obiecte a unei categorii C si fie P un obiect al categoriei si i:PMi morfisme ale categoriei,iєI .Se spune ca obiectul P impreuna cu morfismele i adica perechea (P,(i)iєI) se numeste produs direct al familiei considerate daca pentru orice obiect Xєob(C) si orice familie de morfisme vi:XMi ,iєI. exista si este unic un morfism v:XP a.i. i v=vi :

P i Mi

v vi

X

Ca si la suma directa, produsul direct este unic pana la un izomorfism, adica are loc propozitia:Propozitia 4.4.2. Fie (Mi)iєI o familie de obiecte si (P,(i)iєI), (P’,(i’)iєI)doua produse directe ale acestei familii. Atunci exista un izomorfism :P'P, astfel incat sa avem i=i’, adica este comutativa diagrama:

P i Mi

i’

56

P’

Capitolul V

PROIECTIVITATE SI INJECTIVITATE

5.1 Injectivitate si proiectivitate relativa

Module M-proiective si module M-injective Definitia 5.1.1 Fie M un modul fixat din categoria Mod-R.Un R-modul drept Q se numeste M-injectiv (sau injectiv relativ la M) daca pentru fiecare monomorfism jєHomR(M’,M)si fiecare fєHomR(M’,Q), f’єHomR(M,Q) a.i. diagrama urmatoare sa fie comutativa ,adica f=f’ j : 0 M’ j M f Q f’Dual ,un R-modul drept P se spune ca esteM-proiectiv (sau proiectiv relativ la M ) daca pentru fiecare epimorfism pєHomR(M,M)si fiecare gєHomR(P,M), g’єHomR(P,M) a.i. diagrama urmatoare sa fie comutativa,adica g=pg’ : M p M 0 g g’ Q

Propozitia 5.1.1 Fie M un modul fixat din categoria Mod-R.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

a) Q este M –injectiv ;b)Pentru fiecare submodul M’M, fєHomR(M’,Q)

Poate fi extins la un morfism f’єHomR(M,Q)0 M’ j M p M 0

c)pentru fiecare sir exact scurt din Mod-R,cu termenul din mijloc M avem sirul de grupuri abeliene : 0 HomR(M,Q) p* HomR(M,Q) j* HomR(M’,Q) 0este exact

57

DEM :a)=>b) este evidentaa)=>c)deoarece HomR(*,Q):Mod-RAb este exact la stanga sirul este exact <=> j* este o surjectie adica are loc diagrama:de la pct c) fєHomR(M’,Q), f’єHomR(M,Q) a.i. j*(f’)=f’j=f

Propozitia 5.1.2 Fie MєMod-R, fixat. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a)P este M-proiectiv;

b) Pentru fiecare submodul M'M, fiecare gєHomR(P,M/M') factorizeaza prin epimorfismul MM/M';

c)Pentru fiecare sir exact scurt in Mod-R cu termenul din mijloc M:0 M’ j M p M 0sirul de grupuri abeliene : 0 HomR(P,M’) j* HomR(P,M) p* HomR(P,M) 0este exact

Fie C o clasa nevida de R-module drepte.Definitia 5.1.2. Un R-modul X este C-injectiv (respectiv C-proiectiv) daca X este M-injectiv (respectiv M-proiectiv) pentru fiecareMєC.

Notatii: Vom nota cu I(C), respectiv P(C) clasa tuturor modulelor drepte C-injective, C-projective; daca contine numai un singur R-modul M, atunci vom folosi notatia I(M), respectiv P(M).OBS: Evident, pentru fiecare #CMod-R, 0єP(C)I(C) si Mod-R=I(0)=P(0).De asemenea I(Mod-R), respectiv P(Mod-R) sunt clasele tuturor R-

modulelor injective, projective.Exemple:a)Pentru fiecare R-modul semisimplu M avem I(M)=P(M)=Mod-R:b)Fiecare grup abelian fara torsiune este injectiv relativ la fiecare grup de torsiune, adica FI(T), unde F reprezinta clasa grupurilor abeliene fara torsiune si T reprezinta clasa grupurilor abeliene de torsiune.

Fie C o clasa nevida de R-module.Definitia 5.1.3.

58

a) C este inchisa la obiecte factor daca pentru fiecare sir exact XX"0 in

Mod-R, faptul ca XєC => X"єC;b) C este inchis fata de subobiecte daca pentru fiecare sir exact

0X'X in Mod-R, faptul ca XєC => X'єC;c) C este inchisa la extensii daca pentru fiecare sir exact

0X'XX0 in Mod-R, din X',X"єC=>XєC;d) C este inchisa la sumele directe (respectiv la sumele directe finite daca pentru fiecare multime nevida I (fiecare multime nevida finita I) si pentru fiecare familie(Xi)iєI cu Xi єC, iєI =>iєIXi єC;

e)C este stabila (sau inchisa la anvelope injective), daca pentru fiecare XєC anvelopa sa injectiva ER(X) este in C; f)C este o clasa Jerre daca C este inchisa la submodule, obiecte factor si extensii.

Propozitia 5.1.3. Fie C o clasa nevida de R-module si (Xi)iєI o familie nevida de R-module. Atunci: a) XiєIєI(C) <=>XiєP(C), iєI; b) XiєIєP(C) <=>XiєP(C), iєI.DEM: Fie 0M'MM"0 un sir exact in Mod-R cu MєC. Avem diagrama comutativa cu liniile exacte

0 HomR(M,iєIX i) p*HomR(M,iєIX iєI) j* HomR(M’,iєIX i) 0 iєIHomR(M,iєIX i) iє I HomR(p,Xi) iєIHomR(M,iєIX i)

iє I HomR(j,Xi) iєIHomR(M’,iєIX i)

in care S este un izomorfism.Deci, HomR(j,Xi) este epimorfism <=>HomR(j,Xi)

este epimorfism <=>HomR(j,Xi) este epimorfism, pentru toti iєI.

Propozitia anterioara arata ea clasa I(C) este inchisa la produse directe, in timp ce clasa P(C) este inchisa la sume directe .In general, nici clasa I(C) nici clasa P(C) nu sunt inchise la subobiecte, obiecte factor si extensii.

59

Pentru fiecare clasa nevida CMod-R definim acum alte doua clase:

I-1(C)= {MєMod-R X este M-injectiv pentru toti XєC}

P-1(C)= {MєMod-R X este M-proiectiv pentru toti XєC}

Daca C={X}, notam I-'(X), respectiv P-'(X).Definitia 5.1.4. I-1(C) (respectiv P-1(C)) se numeste clasa de relativa injectivitate (proiectivitate) a lui C.OBS:a) Aceste doua clase sunt nevide deoarece 0єI-1(C)P-1(C):b) Evident. X este un R-modul injectiv (proiectiv) I-1(X)=Mod-R

(P-1(X=Mod-R)).

Comportarea claselor I-1(C) si P-1(C) relativ la subobiecte, obiecte factor, sume directe si produse directe.

Vom demonstra ca in aceasta directie clasele I -1(C), P-1(C) se comporta mai natural decat clasele I(C) si P(C).Lema 5.1.1. Fie diagrama comutativa cu liniile

exacte in Mod-R: E F G E’ F’ G’

Daca este un epimorfism si f' si sunt monomorfisme, atunci este un epimorfism.(Vezi lema (celor cinci morfisme)

Propozitia 5.1.4. Fie QєMod-R:a) Daca 0M'M’M" este un sir exact

scurt in Mod-R si Q este M-injectiv atunci Q este M'-injectiv si M"-injectiv ;

b) Daca (Xi)iєI este o familie de R-module drepte si Q este M i-injectiv pentru fiecare iєI atunci Q este Mi-injectiv.

DEM:a) Fie T=HomR(*.Q):Mod-RAb.Daca 0N'M' este un sir exact scurt in Mod-R atunci j°h' este

monomorfism. Deci T(j°h')=T(h')°T(j) este epimorfism deoarece Q este M-

injectiv si astfel T(h') este epimorfism, adica Q este M’-injectiv

60

Sa demonstram acum ca Q este M"-injectiv.Daca 0N"M este un sir exact, atunci evident ca exista o diagrama

comutativa cu liniile si coloanele exacte: 0 0 0 M’ N’ N 0 1M’ h h0 M’ j M p M 0

Aplicam functorul T acestei diagrame si obtinem diagrama comutativa: 0 T(M) T(M) T(M’) T(h) T(h) 1T(M’) 0 T(N) T(N) T(N’)

cu liniile exacte. Deoarece Q este M-injectiv. T(h) este epimorfism. =>T(h") este epimorfism , adica Q este M-injectivb) Notam cuM=iєIMi.Fie L un submodul a1 lui M si fie fєHomR(L,Q). Fie multimea F={(L',f’) LL’M,f’єHomR(L',Q) si f’/L=f } care poate si ordonata: (L',f’ )(L",f) <=> L’Lsi f/L’=f’Aceasta multime ordonata este inductiva:

Fie{(L,f)}єA o familie total ordonata de elemente din F. Fie L*=L,єA, care este un submodul al lui M si aplicatia f* :L*Q definite astfel : daca xєL*=> f*(x)=f*(x)=f/L(x)=f(x), adica f* este bine definita. Stim ca (L*,f*)єF, deci (F,) este inductiva. Fie (L0,f0) un element maximal al lui F. aratam ca i(M i)L0 iєI, unde i :MiM sunt injectiile naturale.

Fie M'i =i(Mi)L0 iєI .Deoarece Q este M i-injectiv=>Q este i(Mi)-injectiv,deci , iєI un f iєHomR( i,M i) a.i.Diagrama urmatoare comuta :

0 M’i i(Mi) f0/M’i fi

Q

61

Daca miє i(Mi) si xєL0 cu m i+x=0=>m i=-xєMi sifo(mi)+f0(x)=fo(-x)+fo(x)=0. Deci fi’:i(Mi)+LoQ mi+xfi(mi)+fo(x) este un morfism bine definit. Deoarece f i’/Lo=f o, din minimalitatea lui (Lo,f0) se deduce ca i(Mi)Lo iєI => Lo=M =>Q este Mi-injectiv

Corolar5.1.1. Pentru fiecare clasa nevida C de R-module drepte I-1(C) este inchisa la subobiecte, obiecte factor si sume directe. In general. I -1(C) nu este inchisa la extensii si produse directe.

Propozitia 5.1.5. Fie P un R-modul drept.a) Daca 0M’MM0 este un sir exact in Mod-R si P este M-proiectiv. atunci P este M'-proiectiv , si M"-proiectiv:b) Daca (Mi)1in este o familie de R-module drepte a.i. P este Mi-proiectivi=1,2….n, atunci P este Mi-proiectiv.

DEM:a)similara propozitiei anterioare, ca indicatie luam functorul HomR(P,*) ca functor T.b) Pp n=2.Fie NM1 M2 un submodul si i1 :M1M1M2 injectie canonica

Urmatoarea diagrama comutativa,avand ca sageti aplicatiile canonice cu liniile si coloanele exacte: 0 M1 M1M2 M2 0

0 (i1(M1)+N)/N (M1M2)/N (M1M2)/(i1(M1)+N) 0

0 0 0

Aplicand functorul T obtinem diagrama comutativa cu liniile exacte: 0 T(M1) T(M1M2) T(M2) 0

62

0T((i1(M1)+N)/N)T((M1M2)/N)T((M1M2)/(i1(M1)+N))0

Ultima sageata verticala este un monomorfism si celelalte sageti verticale nepunctate sunt epimorfisme, deoarece P este M i-proiectiv (i==1,2).

Din Lema celor cinci morfisme,sageata verticala din centru punctata este epimorfism deci P este M1M2-proiectiv.

Fie diagrama cu q epimorfism. Deoarece Im f este finit generat, x1,x2,...xkєMi a.i. Im f este finit generat de q(x1),q(x2),...q(xk) :

P

iєIMi q M0

M'=x1R+x2R… xkRMi, iєI atunci M'=Mi ,i єJ, unde Jeste o submultime finita a lui I.Din b)_P este Mi-proiectiv,iєJ si din a) P este M`-proiectiv atunci f:PM' care face diagrama urmatoare comutativa: P f’ f M’ q/M’ Imf0

Evident, qf = f, adica P este Mi-proiectiv.

Corolar 5 .1.2. Pentru fiecare clasa nevida C de R-module, P-1(C) este inchisa in raport cu subobiectele, obiectele factor si sumele directe finite.Corolar 5 .1.3. Fie xєMod-R si g un generator al 1ui Mod-R. Atunci: a)X este G-injectiv <=> X este modul injectiv; b)Daca X este modul finit generat, atun ci X este G-proiectiv <=> X este proiectiv. D EM: Daca aplicam corolarul anterior cazului G=RR =>criteriul lui Baer de injectivitate.Un criteriu similar pentru module proiective nu exista.

63

QZ este Z-proiectiv,dar Q nu este un Z-modul proiectiv.

5 .2. Module proiective si module injective

M odule proiective

Definitia 5 .2.1 . Un R-modul stang P este proiectiv daca P este proiectiv relativ la fiecare R-modul stang adica ori de cate ori este data o diagrama cu linia exacta un R-morfism ’ a.i. diagrama comuta <=>g’=

P ’ M N0

Caracteristici ale modulelor proiective:Propozitia 5.2.1. Urmatoarele afirmatii despre un R-modul stang P sunt echivalente: a)P este proiectiv-; b)Pentru fiecare epimorfism f :RMRN aplicatia HomR( P,f):HomR(P,M)HomR(P,N) este un epimorfism; c)Pentru fiecare structura de bimodul RPS, functorul Homr(PS,-):RMSM este exact; d)Pentru fiecare sir exact M’MM RM, sirul HomR(P,M’)HomR(P,M)HomR(P,M) este exact.

Consecinta a propozitiei anterioare, este faptul ca RR este proiectiv. DEM :Pp ca avem diagrama cu linia exacta: R (m) M N0Atunci mєM cu g(m)=(1).Evident (m):rrm defineste un R-morfismRM ce face intreaga diagrama comutativa.Un modul este liber daca este izomorf cu R(A) pentru o anumita multime A. Astfel faptul important ca sumele directe de module

64

proiective sunt proiective stabileste ca fiecare modul liber este proiectiv.Aceasta implica urmatoarea caracterizare:Propozitia 5.2.2. Urmatoarele afirmatii despre un R-modul P stang sunt echivalente: a)P este proiectiv; b)Fiecare epimorfism RMRP0 este scindat; P este izomorf cu un sumant direct al unui R-modul stang liber. DEM : a)=>b) Pp ca f:MP este un epimorfism. Daca P este proiectiv, atunci un morfism g a.i. fg=1p asa ca epimorfismul este scindat.b)=>c) Aceasta rezulta din faptul ca fiecare modul este un epimorf al unui modul liber.c)=>a) Fiecare modul liber este proiectiv.

Corolar 5 .2.1. Un R-modul stang P este finit generat si proiectiv pentru anumite module RP’ si un anumit intreg n>0,un R-izomorfism PP’R(n)

DEM : un modul RP este finit generat => nєN un epimorfism R(n)P0 din prpozitia anterioara stim ca acesta este scindat <=> P este proiectiv .

Modulele peste inele semisimple se comporta asemanator cu modulele peste inele cu diviziune. Stim ca modulele peste inele cu diviziune sunt proiective. Comportarea paralela a inelelor cu diviziune si a inelelor semisimple este aprofundata in:Corolar 5 .2.2 . Un inel R este semisimplu fiecare R-modul stang este proiectiv.D EM : R este semisimplu fiecare epimorfism in RM este scindat din propozitia anterioara =>ca are loc aceasata conditie fiecare R-modul stang este proiectiv

Module injective

Definitia 5.2.2. Un R-modul sting E este injectiv daca E este injectiv relativ la fiecare R-modul stang, adica ori de cate ori este data diagrama urmatoare in RM cu linia exacta,un R-morfism ’ a.i. diagrama

65

comuta <=> ’f=: E ’ 0 KMAdica modulele injective sunt dualele categoriale ale modulelor proiective.Modulele injective si proiective au efect dual pe functorii Hom.

Duala propozitiei 5.2.1. este :Propozitia 5.2.3. Urmatoarele afirmatii despre un R-modul stang E sunt echivalente: a)E este injectiv;

b)Pentru fiecare monomorfism f:RKRM aplicatia Hom(f,E):HomR(M,E)HomR(K,E) este un epimorfism; c)Pentru fiecare structura de bimodul RES , functorul HomR(-,S):RMMS este exact; d)Pentru fiecare sir exact scurt M’MM in RM sirul HomR(M",E)HomR(M,E)HomR(M’,E) este exact.

Propozitia 5.2.4. Produsele directe si sumanzii directi al modulelor injective sunt de asemenea injectiveFiecare modul este un epimorfism al unui modul proiectiv (chiar liber). Avem ca scop demonstrarea rezultatului dual acela ca modulul poate fi scufundat intr-un modul injectiv Ne folosim de un test de injectivitate supranumit si"Criteriul Bauer" spune ca injectivitatea unui modul E poate fi determinata din multimea de diagrame : E 0 I R

cand linia este restransa la aplicatiile incluziune ale idealelor stangi.Lema 5.2.1 .( Lema test de injectivitate): Urmatoarele afirmatii,despre un R-modul stang, E, sunt

66

echivalente: a)E este injectiv ; b)E este injectiv relativ la R ; c)Pentru fiecare ideal IRR si fiecare R-homomorfism h:IE xєE a.i. multiplicarea la dreapta a lui x: h(a)=a*x aєI .

D EM : a)=>b) deoarece RR este un generator.b)=>c) Daca E este RR-injectiv si IRR cu h:IE => h’:RE a.i. h’/I=h. Fie x= h’(l), atunci h(a)= h’(a)=a*h’(1)=a*x pentru toti aєI.c)=>d) Daca IRR si xєE si h(a)=a*x pentru toti aєI, atunci multiplicarea la dreapta prin x, (x):RE extinde pe h. Astfel c) implica faptul ca E este RR-injectiv.Un grup abelian Q este divizabil daca nQ=Q pentru fiecare intreg nenul nLema 5.2.2 Un grup abelian Q eate divizabil Q este injectiv ca un Z-modulD EM : "=>" Fiecare ideal nenul al lui Z este de forma nZ, n0. Daca este un grup abelian divizibil si h: nZQ. => bєQ cu h(n)=n*b si h(j*n)= j*h(n)=(j*n)'*b pentru toti j,nєZ. Astfel se poate aplica Lema test de injectivitate.,,<=" Daca zQ este injectiv, aєQ si 0#nєZ, atunci h, care duce: j*nj*a defineste un morfism h:nZQ care, din Lema test de injectivitate trebuie sa fie multiplicarea printr-un bєQ=> a=h(n)=n*b.

Propozitia 5.2.6. Fiecare R-modul stang poate fi scufundat intr-un modul injectiv. D EM : fie M un R-modul sting. => o multime A si un Z-epimorfism f:Z(A)M. Astfel, deoarece ZMZ(A)/Ker fQ(A)/Ker f Si deoarece produsul direct si grupurile factor ale grupurilor abeliene divizibile sunt divizibilePp ca ZMZQ cu Q divizibil ne vom folosi de urmatoarea relatie in continuare:RMHomR( RR,M)HomZ(RR,M)HomZ(RR,Q).Dualul propozitiei 5.2.2:

Propozitia5.2.7.Un R-modul stang E este injectiv fiecare monomorfism 0RERM este scindatCorolar 5 .2.3 . Un inel R este semisimplu <=> fiecare R-modul stang este injectiv.

67

A nvelope injective

Am observat ca fiecare R-Modul M poate fi scufundat intr-un R-modul injectiv. Aceasta conduce la o notiune duala acelei de acoperire proiectiva, anume o scufundare "minimala" a lui M intr-un modul injectiv . Definitia 5 .2.3 . O pereche (E,i) este o anvelopa injectiva a lui M daca E este un R-modul stang injectiv si 0ME este un monomorfism esential.

Exemplu: Deoarece Q este divizibil ca un Z-modul,el este Z-injectiv.Evident,aplicatia incluziune i :ZQ ese esentiala.Astfel(Q,i) este o anvelopa injectiva a lui Z

Lema fundamentala pentru anvelopele injective:Lema 5.2.3 . Fie M un R-modul stang si presupunem ca i:ME este o anvelopa injectiva pentru M. Dace RQ este injectiv si g:MQ este un monomorfism, atunci Q are o descompunere Q=E'E" astfel incat a) E'E; b) Im gE'; c) G:ME' este o anvelopa injectiva a lui M.Mai mult, daca f:M1M2 este un izomorfism si i1:M1E1 iar i2:M2E 2 sunt anvelope injective, atunci un izomorfism f’:E1E2 a.i. f’ °i1=i2°f. f’

E1E2

i1 i2M1 M2

f

Nu orice modul are o acoperire proiectiva.Astfel, urmatorul rezultat foarte important este remarcabil:Teorema 5.2.1 Fiecare modul are o anvelopa injectiva. Aceasta este unica pana la un izomorfism.Fie M un R-modul stang. O pereche (P,p) este o anvelopa proiectiva a lui M daca P este un modul stang proiectiv si PM0 este un epimorfism superfluu.

68

5.3 Module cvasi-injective si cvasi-proiective

Modulele cvasi-injective si cvasi-proiective au fost introduse de Jonson si Wong in 1961. dar Jacobson a demonstrat in 1965 ca ele satisfac asa numita conditie a dublului anulator.Notiunea duala de module cvasi-proiective a fost considerate mai intai de Miyashita,Jans in 1966 si respectiv in 1967.

Definitia 5.3.1. Un R-modul drept M se numeste cvasi-injectiv (cvasi-proiectiv) daca M este M-injectiv (M-proiectiv).

Notatie : Daca M este un modul cvasi-injectiv (cvasi-proiectiv), acest lucru se noteaza scriind ca M este QI (QP).

OBS: Atunci M este QI (QP)<=> M єI(M) sau Mє I-1(M) ( MєP(M) sau MєP-1(M) ).

Comportarea modulelor QI si QP fata de sumele directe finite este data de urmatoarea propozitie:Propozitia 5.3.1 Fie (M i) i=1,2…n,o familie finita de R-module drepte.Atunci M i este QI (QP) Mi este Mj-injectiv (Mi este Mj-proiectiv) pentru toti i si j cu 1i,jn

D EM : Din propozitiile 5.1.3., 5.1.4., 5.1.5. avem: Mi este QI (QP) Mi ,1 i n, este Mi-injectiv (Mi-proiectiv)<=>Mi este Mj injectiv ,j=1,..,n (respectiv Mj-proiectiv, , j=l,...,n)pentru toti i,1in <=> Mi este Mj-injectiv (Mj-proiectiv) pentru toti 1i,jn.Corolar 5 .3.1. (Harada 1972, Robert 1969) Fie MєMod-R si nєN,nl. Atunci M este QI (respectiv QP) <=> Mn este QI (respectiv QP).

Exemple : 1) Orice modul semisimplu este QI si QP.2) Orice factor direct al unui modul QI (QP) este QI (QP).

In loc sa dam cateva criterii uzuale de cvasi-injectivitate, stabilim cateva rezultatemai generale despre modulele M-injective.

69

Propozitia 5.3.3 Fie U,MєMod-R. Atunci U este M-injectiv <=> pentru fiecare fєHomR(M,ER(U)) avem Im fU.

D EM : "<=" Fie 0M'M un sir exact in Mod-R si gєHomR(M',U). Fie i:UER(U) injectia canonica. Deoarece ER(U) este un R-modul injectiv, un morfism g’ care face comutativa diagrama: 0M’ j M g g1 g’ U i ER(U)

Deoarece g(M)U => ca g’ defineste g1:MU a.i. g1°j=g =>U este M-injectiv.Fie fє HomR(M,ER(U)) si notam cu X=f-1(U).Evident, X este submodul al lui M. Fie f1=f/X. Deoarece U este M-injectivg:MU ce face comutativa diagrama: 0X M f1 g U i ER(U)

Evident ca Ker(f-i°g)=X. Pp X#M atunci (f-i°g)(x)0 xєM\X.Dar (f-i°g)(x) єER(U), deci aєR\{0} a.i. (f-ig)(x)a=(f-i°g)(xa) єU\{0}, ER(U) fiind extensia esentiala a lui U. deci f(xa)-g(xa) єU si astfel xa єf 1(U)=X, adica(f-i°g)(xa)=0.In consecinta. X=M => f=i °g =>Im f=Im(i°g) =Im gU.

Corolar 5 .3.2 . Fie C o clasa nevida de R-module, atunci I(C) este inchisa la extensii esentiale.Corolar 5 .3.3 . (Jonson si Wong)Un R-modul M este QI f(M)M, fє End(ER(MR)).

Corolar 5 .3.4. Pentru fiecare clasa nevida de R-module I-1(C) este inchisa la sume directe.D EM : Fie(M)iєI o familie de obiecte din I-1(C) atunci U este Mi-injectiv pentru fiecare UєC si iєI. Fie fєHomR(Mi ,ER(U)). Atunci f(Mi)U

70

pentru toti iєI, deci ImfU, adica U este Mi-injectiv, din propozitia 5.3.3. Deci MiєI-1(C).

Corolar 5 .3.5 . Fie Q un R-modul injectiv si a un ideal bilateral al lui R. Atunci N={xєQ xa=0} (N este anulatorul lui a in Q)este un R-modul QI si un R/a-modul injectiv (N fiind considerat ca R/a modul in mod canonic).

DEM: Pp ER(N)Q. Fie fєEnd(ER(NR)), atunci f poate fi extins la fєEnd(QR) din injectivitatea lui Q. Deoarece g(N)N pentru toti gєEnd(QR), => f(N)N, adica N este QI din corolarul 5.3.3.Fie N'=ER(N). Deoarece NN' este o extensie esentiala peste R putern presupune N'Q. Dar N’єMod-R/a.

Corolar 5 .3.6. Pentru R-modul injectiv Q, Q este injectiv la un R/AnnR(Q)modul.D EM : Luand a=AnnR(Q) avem {xvQ xa=0}=Q. Aplicam apoi corolarul 5.3.5.

Remarca: Propozitia 5.3.3. poate fi reformulata astfel: U este M-injectivmorfismul natural HomR(M,U)HomR(M,ER(U)) este un izomorfism.

Fie MєMod-R si AєEndR(MR). Conform corolarului 5.3.3. AM=f(M), fєA este un R-modul QI =>AM este intersectia tuturor submodulelor QI ale lui ER(M) ce contine MDefinitia 5 .3.2 . Printr-o extensie QI minimala a lui M intelegem o pereche (Q,i), unde Q este un modul QI si i:MQ este un monomorfism avand proprietatea ca Q este unicul submodul al lui Q ce contine i(M).

Asadar (AM.i) este o extensie QI minimala a lui M, unde i:MAM este injectia canonica.Propozitia 5.3.4. (Faith-Utumi 1964): Orice doua extensii QI minimale ale unui R-modul M sunt izomorfe peste M

DEM   : fie (Q,j) o extensie QI alui M (adica Q este un modul QI si j :MQ(este un monomorfism) si E=ER(Q). Deoarece AM este extensie esentiala lui M, monomorfismul

71

M QR poate fi extinsa la un monomorfism f:AME. MAM j f Q E

Notam N=f(AM)Q, E'=ER(f(AM)), E"=ER(N), Q=End(ER) '=End(ER), "=End(ER")Pp ca E''E'E.Fie g"(N)=g(N)g(f(AM))g(Q)=g'(f(AM))g(Q)f(AM)Q=N din corolarul 5.3.3 (f(AM) este QI deoarece AM este QI).din corolarul 5.3.3. =>N este QI, deci f-1(N) este o extensie QI a lui M continuta in AM. Din minimalitatea lui AM concluzionam ca f-1(N)=AM =>N==f(AM)Q.daca (Q,j) este o extensie QI minimala a lui M, atunci f:AM Q este inca epimorfism, deoarece f(AM) este QI.j(M)f(AM)Q si (Q,j) este minimala.Astfel, fiecare extensie QI minimala a lui M este izomorfa sub cu extensia QI minimala (AM,i) a lui M.Notatie: Pentru fiecare R-Mod notam cu QR(M) o extensie QI minimala a lui M, care este unic determinata modulo un izomorfism sub M. Observam ca QR(M) este o extensie esentiala a lui M din propozitia 5.3.4.

Pentru a putea enunta criteriul lui Fuchs de cvasi-injectivitate.Il prezentam ca o consecinta triviala a unui rezultat mai general despre module M-injective.Reamintim ca daca N este o clasa de R-module, atunci MєMod-R se spune ca esteN-generat (N genereaza M) in czul in care exista o multime (N)єI in N si un epimorfism NM , єI .Propozitia 5.3.5. Fie U si M doua R-module.

a) Daca U este M-injectiv atunci fiecare NєMod-R are urmatoarea proprietate (*)Pentru fiecare submodul N'N si fiecare fєHomR(N',M) cu Ker fKer gєHomR(N,U) care face urmatoarea diagrama comutativa:

72

0N’ N f g U M

b) Daca N este o multime de R-module care genereaza M, a.i. fiecare NєN are proprietatea anterioara (*), atunci U este M-injectiv.

DEM : a) Fie p:N'(N') surjectia canonica si j:(N’)M injectia canonica. Deoarece Ker f Ker Ker p, f1:(N')U ce face comutativa diagrama: N’ N

p

f (N’)

f1 j

U M

(Prin definitie f1((x'))=f(x') pentru toti x'єN')Dar U este injectiv, deci f2 astfel incat f2°j=fl. Notam cu g=f2° =>g/N'=fb) Din propozitia 5.3.3. => Imf2U pentru fiecare hєHomR(M,ER(U)) si deoarece M este N generat aceasta este echivalent cu Im(h°)U pentru toti NєN si є HomR(N,M).Fie N'=(h°)-1(U) si f=(h°)/N'. Evident, Ker f Ker , deci din (*) g:NU a.i. g extinde pe f: N’ N f g M h U ER(U)

Pp ca i°g#h° =>X=Ker(i°g-h°g)#N si N'X=> (ig-h°)(x)=ER(U)\{0}, deci (i°g-h°)(x)a єU\{0} pentru un anumit aєR, asa ca (h°)(xa)=0, contradictie.=> X=N, adica h°=i°g => Im(h°)=Im(i°g)=Im gU.

Pentru fiecare MєMod-R putem folosi urmatoarea notatie:

73

(M)={a aRR a.i. xєM cu aAnnR(x)}Corolar 5.3.7 . Fie U si M doua R-module. Atunci. U este M-injectiv fiecare ideal drept a al lui R si fiecare fєHomR(a,U) cu Ker fє(M), f poate fi extins la R.

DEM: Luam N={R}. Daca aRR si fєHomR(a,U), => Ker f este in (M) <=> :RM a.i. Ker =AnnR(x)Ker f, unde x=(1). Aplicam apoi propozitia 5.3.5.Deoarece U este M-injectiv <=> U este Mn-injectiv pentru toti nl, =>din corolarul 5.3.7. ca putem inlocui (M) cu ’(M) unde’={a aRR cu aAnnR(S) pentru o anumita multime nevida SM}.Corolar 5.3.8. (Fuchs 1969): Fie MєMod-R. Atunci M este QI pentru fiecare ideal drept a al lui R si fiecare fєHomR(a,M) cu Ker fє(M) (sau Ker fє’(M)). f poate fi extinsa la R.

O consecinta directa a criteriului lui Fuchs da acum un rezultat uzual. Propozitia 5.3.6. Fie M un R-modul QI. Atunci M este un R/AnnR(M)-modul injectiv canonic ,cu conditia ca M satisface una din urmatoarele doua cerinte: a)Conditia lantului descendent (D.C.C.) are loc in multimea {AnnR(x) xєM} b) M este un End(MR)-modul stang finit generat.DEM:demonstram ca AnnR(M)є’(M) daca M satisface a) sau b)Pp ca M satisfacea)AnnR(M)=AnnR(x)=AnnR(x1)AnnR(x2)...AnnR(xn), x1, x2, ...,xnєM, deoarece{AnnR(x) xєM}satisface D.C.C.=>AnnR(M) є ’(M).Pp ca M satisface b)=>Fie y1,y2,...,ynєM a.i. M=Sy1+Sy2+...Syn unde SєEnd(MR). Luam aєAnnR(yi), i=l...m si yєM. Atunci y=f1(y1)+...+fm(ym) cu fiєS, I=1..m=>ya=fi(yia)=0, i=l…m=> Ann R(y i)AnnR(M), adica AnnR(M)є’(M).Fie a'=a/AnnR(M), un ideal drept al lui R'=R/AnnR(M). Fie p:aa' surjectia canonica si fєHomR’(a',M). Deoarece AnnR(M)Ker(fp)=>Ker(f °p)є’(M), deci g:RM ce face comutativa diagrama: a R

74

p g a’ R’ f M g’

Evident, g factorizeaza prin epimorfismul natural RR' si g'/a'=f, deci M este R'modul injectiv relativ din criteriul lui Baer.Remarca:a)Fie MєMod-R, daca M este injectiv (proiectiv) ca un R/AnnR(M)-modul, atunci M este un R-modul QI (QP), deci are loc o reciproca partiala a propozitiei 5.3.6.:b) Daca M este un R-modul QI nu rezulta ca M este injectiv ca un R/AnnR(M)modul. Intr-adevar Z=modulul semisimplu M=Zp, p-prim este QI dar nu este injectiv peste Z/AnnR(M)=Z.Urmatoarea afirmatie are loc: M este injectiv peste R/AnnR(M) <=>MII este un R-modul QI pentru fiecare multime I (Fuller 1969).

Capitolul VI Conditii de finitudine pentru inele de endomorfisme

6.1. Anulatori si conexiune Galois

Anulatori

Scopul acestei sectiuni este sa indice doua conexiuni Galois duale, naturale asociate fiecarei perechi de R-module drepte si sa devina obiecte Galois corespunzatoare.Fie M,NєMod-R si notam S=HomR(M,N). Se stie ca (S,+) are o structura de grup Pentru fiecare submultime X a lui M (XM) si fiecare submultime Z a lui S (ZS), definim:Definitia 6.1.1. 1S(X)={fєS f(x)=0, xєX}se numeste anulatorul la stanga lui X cu elemente din S. rM(Z)={xєM f(x)=0, fєZ} se numeste anulatorul la dreapta in M al lui Z.

OBS:a) lS(X)={fєS XKer f} si rM(Z)=Ker f, fєZ.Deoarece lS(X)=1S(<X>). unde <X> este un submodul generat de X,

75

definitiile de mai sus pot fi extinse la orice categorie abeliana completa.Anulatorii, prin factorizare impun o ordine in structura respectiva

Propozitia 6.1.1. Fie M,NєMod-R si S=HomR(M,N) a)Daca X lX2M=> lS(X1)lS(X2); b)Daca Z lZ2S => rM(Z1)rM(Z2);XrM(lS(X)) si Z1S(rM(Z)), pentru fiecare XM si ZS; lS(X)=1S(rM(lS(X))) si rM(Z)=rM(1S(rM(Z)))pentru fiecare XM si ZS. DEM: a) si b) sunt evidente.Fie fєls(X)=>XKer(f) asa ca XKer(g)=rM(lS(X)), gєlS(X). Fie fєZ, atunci rM(Z)=Ker(g)Ker(f), gєZ, asa ca fєlS(rM(Z))=>imediat din a), b),si c).

Fie Y o submultime a lui N si Z o submultime a lui S. Putem da definitiile duale:Definitia 6.1.2. 1'S(Y)={fєS Im(f)<Y>}; r'N(Z)=Im(f), fєZ. Evident, 1'S(Y)=1'S(<Y>), deci definitiile pot fi date pentru categorie abeliana completa.

Propozitia 6.1.2. Fie M,NєMod-R si S=HomR(M,N). Atunci:a) Daca YlY2N => 1'S(Y l) l 'S(Y2); b) Daca Z lZ2S => r'N (Z1)r'

N(Z2);c)r'N(1'S(Y))<Y> si Zl'S(r'N(Z)), pentru fiecare YN si ZS;d)1'S(r'N(1'S(Y)))=1'S(Y) si r'N(Z)r'N(1'S(r'N(Z))), pentru fiecare YN si ZS.

D EM : a) si b) sunt evidente;c) Avem r'N(1'S(Y))=Im(f)=<Y>, fєl'S(Y), deoarece Im(f)<Y>,fєl'S(Y).Fie fєZ, atunci Im(f)Im(g)=r'N(Z), gєZ, deci fєl's(r'N(Z)) d) => a), b), si c).

O BS : a) HomR(M,N) are o structura de End(NR)-End(MR)-bimodul si are loc relatia de asociativitate: MMNN; (f)=(f);b) Pentru fiecare submultime X a lui M si fiecare submultime Y a lui N lS(X) este un submodul al End(NR)-modulului stang, HomR(M,N) si 1'S(Y) este un un submodul al End(MR)-modului drept,HomR(M,N)

76

Conex iune Galois

Definitia 6 .1.3. Conexiunea Galois dintre doua multimi partial ordonate A si B este o pereche de aplicatii descrescatoare :AB ,:BA ce satisfac conditiile: a()(a), aєA si b()(b), bєB.Daca aєA (respectiv bєB) vom nota pe scurt cu a' (respectiv b') elementele (a) (respectiv (b)); => xєA (sau xєB) se spune ca este un obiect (element) inchis (Galois) al lui A sau B daca x=x''.Notam cu A’=(B) si B’=(A). Din definitia unei conexiuni Galois, => x'=x"', pentru fiecare element x al lui A sau B, deci A si B consta exact din toate elementele inchise ale lui A, respectiv.O multime partial ordonata L este noetheriana (sau satisface A.C.C.) daca nu exista nici un lant strict ascendent infinit x1<x2<... in L si artiniana (sau satisface D.C.C.) daca nu exista nici un lant strict descrescator infinit x1>x2>... in L. Aceste conditii de lant pot fi de asemenea formulate ca conditii de maxim (respectiv minim):L este noetheriana (respectiv artiniana) fiecare submultime nevida a lui L are un element maximal (respectiv minimal). L se spune ca este de lungime finita daca este atat noetheriana cat si artiniana.

Propozitia 6.1.3. Fie :AB si :BA o conexiune Galois intre A si B. Fie ’: A’B’ si ’: B’ A’ restrictiile lui si la multimile de obiecte Galois.Atunci ’ si ’ sunt bijectii inverse una celeilalte. Mai mult, A’ satisface A.C.C. (respectiv D.C.C.) B’ satisface D.C.C. (respectiv A.C.C.).

D EM : Fie bєB’ =>b=(a) pentru un anumit aєA, deci (’’)(b)= (((a)))=a"'=a'=(a)=bSimilar (’° ’)(a)=a, pentru toti aєA’.

Putem aplica aceste consideratii generale cazului nostru particular. Prin L(ER) vorn nota laticea tuturor submodulelor unui R-modul drept

77

E; daca L este o latice, atunci L°p reprezinta laticea opusa a lui L, adica multimea L ordonata de ordinea opusa.

Propozitia 6.1.4. Fie M si NєMod-R si S=HomR(M,N). Atunci aplicatiile 1S:L(MR)L(End(NR) S) definita prin X1S(X) si rM:L(End(NR) S)L(MR) definita prin ZrM(Z) definesc o conexiune Galois.Dual, aplicatiile: 1'S:L(NR)pL(SEnd(MR))definita prin Y1'S(Y) si r'N:L(SEnd(MR))L(NR) definita prin Zr'N(Z) definesc o conexiune Galois.

Notatiile L(MR), L(End(N)S), L(NR)°p, L(SEnd(M)) vor fi folosite pentru a desemna obiectele inchise ale laticilor corespunzatore. Fiecare elemenal acestor multimi satisface asa numita conditie a dublului anulator, si reciproc (XєL(MR)<=>X=rM(1S(X))Observam ca aplicatiile 1S, rM, 1'S, r'N pot fi considerate astfel: 1s 1’s

P(M)P(S) si P(N)P(S) rM r’N

unde P(E) reprezinta pentru fiecare multimeE,laticea tuturor submodulelor lui E. Evident, gasim pe aceasta cale conexiunile Galois si P(M)=L(MR), etc.

Daca UєMod-R, un R-modul sting E se spune ca este generat (respectiv, finit generat) de U (sau U-fint generat),daca un epimorfism UE pentru o anumita multime (respectiv multime finita) I. Clasa tuturor R-modulelor generate (respectiv finit generate) de U va fi notata cu Gen(U) (respectiv Fgen(U)). Evident Mod-R=Gen(U) U este un generator al categoriei Mod-R.Dual, se se spune ca este cogenerat (respectiv finit cogenerat) de U (sau U-finit cogenerat) daca un monomorfism EUI pentru o anumita multime (respectiv multimea finita) I. Clasa tuturor R-modulelor cogenerate (finit cogenerate) de U va fi notata Cog (U) (respectiv FCog(U)). Evident. Cog(U)=Mod-R U este un cogenerator al categoriei Mod-R.

Propozitia 6.1.5. Fie M,NєMod-R; S=HomR(M,N), XєL(MR) si YєL(NR). Atunci: a) XєL(MR)X=rM(lS(X))<=> M/XєCog(N); b) YєL(NR)°p <=> Y=rN'(lS'(Y)) <=> YєGen(M).

78

DEM: a) XєL(MR) <=> X=rM(1S(X)) este evidenta.Pp ca X=rM(lS(X)) si notam Z=lS(X). Definim un morfism de R-module::MNz, (x)=(f(x))fєZ Atunci Ker()={xєM f(x)=0, fєZ}=rM(Z)==rM(lS(X))=X, asa ca induce un monomorfism: M/XNZ, adica M/XєCog(N),=> o multime I si un monomorfism M/XNI, deci o familie (fi)iєI cufiєS, a.i. X= Ker(f ), iєI=> XrM(lS(X))=Ker(f)Ker(fi)=X =>X=rM(lS(X))b) Pp ca morfismul de R-module: :M(Z)Y, ((xf)fєZ)=f(xf);fєZ.Deoarece Y=rN'(Z)=Im(f), fєZ, => este un epimorfism=>YєGen(M).Reciproc, Pp ca YєGen(M) =>o multime I si un epimorfism M(I)Y, deci o familie (fi)iєI cu fiєHomR(M,Y)HomR(M,N),a.i.Y=Im(f), iєI. Atunci, rN'(lS'(Y))Y=Im(f i)Im(f)=rN’(1S’(Y)),fє1S’(Y) ,asa ca Y=rN’(1S’(Y))

Corolar 6.1.1. Fie M,NєMod-R si S=HomR(M,N). Daca N este un cogenerat al lui Mod-R, atunci fiecare XєL(MR) satisface conditia dublului anulator (<=>X=rM(lS(X)) ) si daca M este un generator al lui Mod-R. atunci fiecare YєL(NR) satisface conditia dublului anulator (<=>Y=rN'(lS'(Y)) ).Analizam cazul particular M=N, =>S=End(MR) fiecare submultime nevida Z a lui S putem nota:Annr(Z)={gєS fg=0, fєZ}; Ann1(Z)={gєS g°f=0, fєS}

Propozitia 6.1.6. Pentru fiecare submultime nevida ZS'End(MR) avem: Annr(Z)=lS'(rM(Z)) si Ann1(Z)=lS(rM'(Z)).DEM:1S'(rM(Z))={gєS Im(g)rM(Z)}={qєS Im(g)Ker(f),fєZ}=={gєS fg=0, fєZ}=Annr(Z) lS(rM'(Z))={gєS rM'(Z)Ker(g)}={gєZ Im(f)Ker(g), fєZ}= ={gєS I g°f=0, fєZ}=Ann1(Z).

79

Criteriul lui Faith

Acesta este criteriu referitor referitor la conditia A.C.C. pe obiectele Galois ale unei conexiuni Galois. Acest criteriu este datorat lui Faith.

Propozitia 6.1.7. Fie R1 si R2 doua inele, M1єMod-R1 ; M2єMod-R2

(sau M2єR2Mod) si A(respectiv B) laticea tuturor submodulelor lui M1(respectiv M2). Fie :AB si :BA o conexiune Galois, care in plus satisface conditia:(*) (Xi)=(Xi) , pentru fiecare familie nevida a lui A.Atunci laticea A’ a tuturor obiectelor inchise ale lui A este noetheriana fiecare XєA contine un submodul finit generat X' a.i.(X')=(X).D EM : Pp ca A este o latice noetheriana=> propozitia6.1.3. B’ este o latice artiniana.Fie XєA, atunci L={(U) U este un submodul finit generat al lui X} este o multime nevida a lui B’ , deci L are un element minimal, sa zicem (X'). Din minimalitatea lui (X') avem (X')=(X'+xR1), pentru toti xєX=> (X)=((X'+xR1))=(X'+xR1)=(X').Reciproc, fie X1X2X3... un lant ascendent de elemente din A’. Notam cu X=Xn ; n=1,...,∞ ;Din ipoteza, un submodul finit generat X' al lui X cu (X')=(X). Deoarece X' este finit generat, un intreg k1 a.i. X'X, pentru nk => X((X))=(( X'))=((Xn)) deoarece Xn este inchisa=> X=Xn nk.

Cor olar 6 .1.2. Fie M,N єMod-R si S=HomR(M,N).Atunci:a) L(MR) este o latice noetheriana (sau echivalent, L(End(N)S) este o latice artiniana) pentru fiecare submodul XMR un submodul finit generat X'X cu lS(X')=lS(X).b) L(End(N)S) este o latice noetheriana (sau echivalent L(MR) este o latice artiniana) pentru fiecare submultime ZS o submultime finita Z'Z a.i. rM(Z')=rM(Z).c) L(SEnd(M)) este o latice noetheriana (sau echivalent, L(NR)°p este o latice artiniana) pentru fiecare submultime ZS o submultime finita Z'Z a.i.

80

rN'(Z')=rN'(Z).D EM : Aplicatiile 1S;rM; rN' au evident proprietatea (*) din propopzitia anterioara => avem pentru fiecare submultime Z a lui S ,rM(Z)=rM(<Z>1), unde <Z>1 este submodulul lui End(N)S generat de Z si rN’(Z)=rN’(<Z>r),unde <Z>r este un submodul a lui SEnd(M) generat de Z. spre finalizarea demonstratiei ne folosim de propozitia 6.1.8

6.2. Aplicatii la conditii de lant pe Hom R (M,N)

Consideram M si N vor fi doua R-module drepte fixate, S=HomR(M,N); A=End(MR) si B=End(NR),atunci S este un B-A-bimodul: BSS. Vom pastra notatiile din paragraful anterior, astfel L(MR) (respectiv L(NR)°p) va reprezenta multimea tuturor submodulelor inchise ale modulului MR (respectiv NR), in raport cu conexiunea Galois definita.Vom investiga conditiile dublului anulator si conditiile de lant pe modulele BS si SA presupunand ca R-modulele date satisfac cateva conditii de injectivitate sau proiectivitate relativa. Cateva rezultate clasice datorate lui Fisher(1973), Harada(1970), Harada si Ishii(1972), Johnson si Wong(1961), etc. sunt usor obtinute intr-o maniera unificatoare.Definitia 6.2.1. Un submodul X al lui M (respectiv un submodul Y al lui N) se spune ca este finit inchis daca M/XєFCog(N) (respectiv YєFGen(M)).Notam cu L(NR)f

°p (respectiv L(MR)f)multimea tuturor submodulelor finit inchise ale lui M (respectiv, N). Vom avea urmatoarele incluziuni:L(MR)fL(MR) si L(NR)f

°p L(NR)°p

Propozitia 6.2.1. Fie M,NєMod-R, S=HomR(M,N) si B=End(NR). Presupunem ca N este QI.

a) Daca Z este un submodul inchis al lui BS (<=> Z=lS(rM(Z)) )=> Z+Zo este de asemenea un submodul inchis al lui BS, pentru fiecare submodul finit generat Z0 al lui BS .In particular fiecare submodul finit generat al lui BS este inchis:

b) lS(X1+X2)=lS(X1)lS(X2), X1, X2єL(MR); c) lS(X1X2)=lS(X1)+lS(X2), submodule finit inchise

Xl,X2 din MR

81

DEM : a) este suficient sa consideram numai cazul Z0=Bf, fєS=> Propozitia 6.1.1. Z+BflS(rM(Z+Bf))Fie gєlS(rM(Z+Bf) si definim: :f(rM(Z))g(rM(Z)) prin (f(x))=g(x), xєrM({f}) este bine definita deoarece: f(x)=f(x' ) => x-x'є rM( {f} ) => x-x'єrM({f})rM(Z)=rM(Z+Bf) => g(x-x' )=0.N fiind QI, un monomorfism A care face diagrama urmatoare comutativa: f(rM(Z))N ’ g(rM(Z))NNotam h=’°f-g. Fie xєrM(Z) => h(x)=(’°f-g)(x)=(f(x))-g(x)=g(x)-g(x)=0

Deci hєlS(rM(Z) )=Z, adica ’°f-gєZ si astfel gєZ+Bf => lS(rM(Z+Bf))Z+Bf si in consecinta Z+Bf=1S(rM(Z+Bf))(b) este evidenta(c) Incluziunea lS(X1)+lS(X2)lS(X1X2) este clara. consideram ca fєlS(X1 X2)=>f(XIXz). Consideram diagrama:

M p M(X1X2) i (M/X1)(M/X2) g i 1 i2

f h M/X 1 M/X2

p 1 p2

N h1 M h2

unde p1,p2 si il, i2 sunt aplicatiile naturale si g este indus de f.Deoarece M/X1, M/X2 єFCog(N)doi intregi k,s1 si doua monomorfisme M/X1N k, M/X2NS. Dar N este QI, deci N este N k-injectiv, N este M/X2-injectiv, deci N este (M/X1)(M/X2)-injectiv => un morfism h : (M/X1)(M/X2)N pentru care diagrama anterioara este comutativa.Notam h1=h°i1p1 si h2=hi2p2 unde i1, i2, p1,p2 sunt aplicatiile canonice. verificam ca f=hl+h2 si h1є1S(X1),h2є1S(X2) =>1S(X1X2)1S(X1)+1S(X2)(d) => din (c).

Corolar 6.2.1 . (Sandomievski 1927,Miller si Turnidge 1973)

82

Fie N un R-modul drept QI si M un R-modul arbitrar. Notam cu S=HomR(M,N) si B=End(NR). Atunci 1S si rM

stabilesc corespondente bijective inverse una alteia intre multimea L(MR)f a tuturor submodulelor finit inchise ale lui MR si multimea L(BS)f a tuturor submodulelor finit generate ale lui BS.

DEM: Fie XєL(MR) f at. un intreg k1 si un monomorfism M/XN k.

Deoarece N esteQI, N este N k-injectiv, avem sirul exact HomR(Nk,N)HomR(M/X,N)0 de B-module stingi. Astfel, HomR(M/X,N)=1S(X) este un B-modul stang fint generat, deoarece HomR(Nk,N)BBk

Reciproc, daca ZBS este un submodul finit generat al lui S, atunci, Z=Bf1+...BfS cu fiєS, deci, rM(Z)=Ker(fi). i=l…s si astfel avem monomorfismul: M/rM(Z)NS cu x+rM(Z)(f1(x),...,fS(x))=>rM(Z) єL(MR)f

In consecinta 1S si rM induc aplicatii intre L(MR)f si L(BS). Mai mult,X=rM-

(1S(X)),pentru toti XєL(MR)f si Z=1S(rM(Z)), pentru toti ZєL(BS).

Corolar 6.2.2. Fie N un R-modul QI, M un R-modul, S=HomR(M ,N) si B=End(NR). Atunci:

(a) BS este noetherian MR are D.C.C. pe submodulele (finit) inchise. In particular, daca MR este artinian, atunci BS este noetherian;(b) BS este un modul coperfect (<=> are D.C.C. pe submodulele finit generate sau ciclice ) MR are A.C.C. pe submodulele finit inchise. In particular, daca MR este noetherian, atunci BS este coperfect.

Corolar 6.2.3. (Harada si Ishii 1972) Daca MR este QI si artinian, atunci End(MR) este un inel noetherian sting:

Corolar 6.2.4. (Fisher 1973; Harada si Ishii 1972) Daca MR este un R-modul QI si noetherian, atunci End(MR) este un inel semiprimar.

DEM: Din corolarul 6.2.3. (b), A=End(MR) este un inel la dreapta perfect, deci A/J este un inel artinian semisimplu si J este T-nilpotent la dreapta, unde J este radicalul Jacobson al lui , din bine cunoscuta

83

teorema a lui Bass. Completam dernonstratia aratand ca J este nilpotent.Lantul descrescator de ideale bilaterale ale lui A: JJ2 . . . :Jm… duce la un lant ascendent de submodule ale lui MR: rM(J)rM(J2)… Deoarece MR este noetherian, un intreg n a.i. rM(Jn)=rM(Jn+1)=X. Observam ca am folosit numai faptul ca MR satisface A.C.C. pe submodule inchise.Dar MR are de asemenea o structura canonica de A-modul la stanga si X este un submodul al lui AM. Pp ca X#M => 0Soc(AM/X)=Y/XM/X, deoarece A este un inel semiartinian la stanga, unde Soc(AE) reprezinta soclul lui AE. Atunci J(Z/X)=0, daca JYX asa ca Jn+1YJnX=JnrM(Jn)=0 =>YrM(Jn+1)=rM(Jn)=X<=>X=Y o contradictie.Astfel X=M atunci rM(Jn)=M; in consecinta JnlS(rM(Jn)) ,1S(M)=0

Cazuri particulare

In continuare dorim sa obtinem cateva rezultate clasice ca aplicatii.Intai, consideram cazul MR=RR. Astfel, S=HomR(R,N)N, deci, pentru fiecare XRsi ZS, lS(X) poate fi identificat cu 1N(X)={nєN nX=0} si rM(Z) poate fi identificat cu rR(Y)={rєR Yr=0)}, unde Y este o submultime a lui N care corespunde lui Z prinizomorfismul canonic SN.Cu aceste identificari, conexiunea Galois data:

L(MR) 1S L(End(N)S).rM

devine, in cazul particular MR=RR, urmatoarea conexiune Galois: 1N

L(RR) L(BN) rR

unde B=End(NR) si 1N, rR au fost descrise mai sus.

Sa consideram obiectele inchise ale acestei noi conexiuni Galois:L(RR)={rR(Z) ZBN}={rR(Z) ZN}L(BN)={1N(X) XRR}={1N(X) I #XR}.Dupa Faith (1978), aceste doua latici de obiecte inchise sunt notate,

84

cu A r(N,R) si A1(N,R).

Definitia 6.2.2. Dupa Faith, R-_modulul drept N se numeste supra -Levitski (sau A.C.C.-Levitski) daca laticea L(RR)=Ar(N,R) este noetheriana si sub-Levitski (sau D.C.C.-Levitski) daca laticea L(RR) este artiniana. N se numeste Levitski daca N este atat A.C.C.-Levitski cat si D.C.C.-Levitski. Cand R R

este un modul supra(sub) Levitski, numim R un inel drept supra(sub)-Levitski.Daca NR=RR => B=End(NR)=R si conexiunea Galois anterioara: L(RR) 1N L(BN) rR

devine: 1R

L(RR) L(RR) rR

unde 1R(b)={xєR I xb=0}, rR(a)={xєR I ax=0} pentru fiecare aєL(RR) si bєL(RR). Dupa terminologia Stenstrom (1975), contra-modulul lui N peste R este modulul N considerat ca un modul la stanga peste inelul sau de endomorfisme. B.Definitia 6.2.3. Daca contra-modulul BN are proprietatea P, atunci spunem ca N este contra-P.De exemplu: contra-noetherian, contra-ciclic, contra-artinian.Din Propozitia 6.2.1. in cazul particular MR=RR, avem urmatoarele:

Corolar 6.2.5. (Jacobson 1956, Johnson si Wong 1961)Fie N un R-modul QI si B=End(NR). Daca Y0 este un submodul finit generat al contramodulului N, atunci Y0 satisface conditia dublului anulator ,Y0=1N(rR(Y0)), adica Y0єL(RB). Mai mult, daca un contrasubmodul Y al lui N apartine lui L(RB),atunci asa face si Y+Y0

Corolar 6.2.6. (Faith 1978)Un R-modul drept N este D.C.C.-Levitzki N este contranoetherian.DEM: Se aplica corolarul 6.2.5. (a) in cazul MR=RR.

85

Un alt caz particular al propozitiei 6.2.1. poate fi obtinut pentru M=N: Corolar 6.2.7. (Harada si Ishii)Fie N un R-modul drept QI. Atunci fiecare ideal stang finit generat b al lui B=End(NR) satisface conditia dublului anulator, b=1B(rN(b)). adica bєL(BB).

In continuare, dorim sa dualizam rezultatele anterioare referitoare la conexiunea Galois: 1S

L(MR) L(BS) rM

la situatia data de conexiunea Galois duala: L(NR)p 1S’ L(SA)

rN’

Propozitia 6.2.2. Fie M,NєMod-R ; S=HomR(M,N) si A=End(MR). Presupunem ca M este QP.

a)Daca Z este un submodul inchis al lui SA

(<=> Z=lS'(rN'(Z)) => Z+Z0, pentru fiecare submodul finit generat Z0 al lui SA. In particular, fiecare submodul finit generat al lui SA este inchis. Daca M este, in plus, finit generat, atunci fiecare submodul al lui SA este inchis;

b) lS' (Y 1Y 2 )=lS'(Y1)lS'(Y2) Y1,Y2єL(NR); c)lS'(Y1+Y2)=lS'(Y1)+lS'(Y2), pentru fiecare submodule

finit inchise ale lui NR: d)Mai mult, daca M este proiectiv, atunci din c) are loc Y1,Y2єL(NR).

DEM: a) Este suficient sa consideram numai cazul Z0=fA, fєS.Fie gєlS'(rN'(Z+fA)) => Im(g)rN'(Z+fA)= rN'(Z)= rN'(fA). Notam cuP= rN'(Z) si fie p:NN/P aplicatia naturala. Deoarece Im(g)P+Im(f) si M este QP un morfism h, care face comutativa diagrama:

86

M

h g’

M f’ Im(f’) 0

unde f ‘=p°f si g’=p°gDeci, p°g= p°f °h =>p°(g- f °h)=0 <=> Im(g- f °h)P=rN'(Z) =>g-f °hєlS'(rN'(Z))=Z si in consecinta gєZ+fA. Astfel, lS'(rN'(Z+fA))Z+fA. Pp ca MR este finit generat. Fie Z un submodul arbitrar al lui SA siconsideram fєlS'(rN'(Z)) => Im(f)rN'(Z)=Im(g), gєZ. Deoarece MReste finitgenerat, g1, g2, ..., gnєZ a.i. Im(f)Im(gi), i=l,..,nFie Z0=g1A+...+gnA. Din rezultatul deja demonstrat Z0=lS'(rN'(Z0)), deci, fєZoZ. Incluziunea inversa rezulta imediat.b) este evidenta;c) ‘’=>,,Incluziunea lS'(Y1+Y2)lS'(Y1)+lS'(Y2) este clara. ,,<=’’Fie fєlS'(Yl+Y2) =>Im(f)Y1+Y2. Consideram diagrama :

N g1 M g2

i1 i2

Y1 Y2 h f p1 p2

Y1Y2 p Y1+Y2 0

Deoarece Y1,Y2єFgen (M), doi intregi k,s1 si doua epimorfisme MkY1

MS Y2 Dar M este QP => M este M k-proiectiv, deci M este Y1-proiectiv. Intr-un mod similar M este Y2-proiectiv. In consecinta, un morfism g:MYlY2 care face comutativa diagrama anterioara.Notam g1=i1°p1°g si g2=i2°p2°g unde i1, i2, p1, p2, sunt aplicatiile naturale. verificam ca f=g1+g2 si g1 єlS'(Y1), g2 єlS'(Y2) =>lS'(Y1+Y2)lS'(Y1)+lS'(Y2)d)=> din dem. lui c).

87

Corolar 6.2.8. Fie M un R-modul drept QP si N un R-modul drept arbitrar. Notam cu S=HomR(M,N) si A=End(MR). Atunci 1S' si rN' determina corespondente bijective inverse una alteia intre multimea L(NR)f

p ,a tuturor submodulelor finit inchise ale lui NR si multimea L(SA)f a tuturor submodulelor finit generate ale lui S A. Daca in plus MR, este finit generat, atunci exista o corespondenta bijectiva intre laticile L(NR)f

°P si L(SA)f

DEM :,,=>’’ Fie YєL(NR)f°p => intreg k 1 si un epimorfism MkY.

Deoarece M este QP, M este Mk- proiectiv, deci, avern sirul exact:HomR(M,Mk)HomR(M,Y)0 de A-module la dreapta => HomR(M,Y)=lS'(Y) este un A-modul drept, finit generat, deoareceHomR(M,Mk)AA

k

,,<=’’ daca ZSA este un submodul finit generat al lui S, atunci Z=f1A+f2A+...+frA, cu fiєS, i=l,..,r deci, vom avea epimorfismul Mr rN'(Z)=Im(f),fєZ ,definit astfel :(x1,x2…..xr)f1(x1)+….fr(xr) a.i. rN’є(Z) єL(NR)f

p

In consecinta, 1S' si rN' induc aplicati intre L(NR)fp si L(SA)f

Mai mult, Y=rN'(lS'(Y)), pentru toti YєL(NR)fp si Z=lS'(rN'(Z)) pentru toti

Z єL(SA)f Daca M este finit generat si QP => L(SA) = L(SA) si astfel 1S' si rN' induc ocorespondenta bijectiva inversabila intre cele doua latici.

Corolar 6.2.9. Fie M un R-modul QP, N un R-modul arbitrar, S=HomR(M,N) si A=End(MR). Atunci:

a) SA este noetherian NR are A.C.C. pe submodulele finit inchise. In particular, daca NR este noetherian, atunci SA este noetherian.b) SA este modul coperfect <=> NR are D.C.C. pe submodulele finit inchise. In particular, daca NR este artinian, atunci SA este coperfect.

88

c) Daca, in plus , M este finit generat, atunci SA este artinian, atata timp cat NR este artinian.

Corolar 6.2.10. Daca MR este QP si noetherian. atunci End(MR) este inel noetherian drept.

Corolar 6.2.11. Fie MR un modul artinian, QP finit generat, atunci End(M) este inel drept artinian.

Corolar 62.12. (Fisher 1973, Hrada 1970) Daca MR este QP si artinian, atunci End(MR) este un inel semiprimar.

DEM: Din corolarul 6.2.9. A=End(MR) este un inel stang perfect, deci A/J este un inel artinian simplu si fiecare A-modul stang nenul contine un submodul maximal, unde J este radicalul Jacobson al lui A ,din teorema lui Bass .In final vom arata ca J este nilpotent.Lantul descendent de ideale bilaterale ale lui A: JJ2 ...Jm..., conduce la lantul descrescator de submodule ale lui MR: rM'(J)rM'(J2)...rM'(Jm)… Deoarece MR este artinian, un intreg nєZ, a.i rM'(Jn)=rM'(Jn+1 )=XEvident, X este un contramodul al lui M (<=> XAM). Pp X#0 Atunci,AX are un submodul maximalY => J(X/Y)=0, deci JXY <=> JXX.Obsevam ca rM'(Jn)=rM'(Jn+1)=X si astfel X=JX, o contradictie=> X=0 si JnlS'(rM'(Jn))=lS'(0).Remarca:Harada (1970) a demonstrat ca M artinian proiectiv implica faptul ca M este finit generat si End(MR) este drept artinian.

6.3. Module cu inele de endomorfisme regulate, perfecte,noetheriene sau artiniene

Fie RM un R-modul sting, B=End(RM), inelul de endomorfisme al lui M. Atunci cand investigam relatia dintre proprietatile lui B si proprietatile lui M, o binecunoscuta si utila tehnica face apel la doua conexiuni Galois duale, care exista intre laticea submodulelor lui M, notata cu L si laticile Lr (sau L1)

89

ale idealelor la dreapta (stanga) ale lui B.Din paragraful anterior am vazut ca o astfel de conexiune este perechea de aplicatii:rB:LLr si 1M:Lr L1

under rB(U)={bєB Ub=0}={bєB UKer b}si lM(H)={mєM mH=0}=Ker h, hєH.

Restrictiile lor : rB si 1M la familiile de obiecte inchise din laticile anterioare sunt bijectii inverse una celeilalte.Cand studiem o proprietate data a lui B prin conexiunea prezentata mai sus, primal lucru ce trebuie facut este sa determinam clasa de ideale ale lui B, care este asociata cu aceasta proprietate si sa stabilim ca aceste ideale sunt obiecte Galois ale conexiunii considerate. Dupa aceea trebuie sa identificam acele submodule ale lui M, care corespund prin aplicatia 1M idealelor relevate (mai sus mentionate). In acest mod obtinem o teorema de corespondenta implicand idealele particulare si din aceasta teorema devine posibil sa deducern conditii pe M, care sunt necesare si suficiente ca B sa posede proprietatea investigata.

Exemplu: Proprietatea ca B sa fie noetherian la dreapta este relevata de idealele lui B finit generate, deoarece b este noetherian el satisface A.C.C. pe idealele la dreapta finit generate.Cand M este QI fiecare ideal drept finit generat al lui B este un obiect Galois conexiunii considerate.Mai mult,rB si 1M induc bijectii cu pastrarea ordinii intre idealele la dreapta finit generate ale lui B si submodulele finit inchise ale lui M.Deducem ca B este noetherian M satisface D.C.C. pe submodulele finit inchise.In cadrul acestui paragraf utilizam conexiunea Galois mai sus prezentata pentru a investiga in ce conditii inelul de endomorfisme B al lui M este regulat in sens von Neuman, este perfect la stanga sau la dreapta, este noetherian sau artinian.

Definitia 6 .3.1. Un inel B se numeste regulat in sens von Neuman, daca fiecare ideal principal la dreapta sau la stanga al lui B este sumant direct in B.

Definitia 6 .3.2. Un inel B este perfect la stanga (la dreapta), daca B satisface conditia lanturilor descendente (D.C.C.) pe idealele la dreapta (la stanga) principale.

Clasele de submodule ale lui M prin a caror conditionare se obtine una din

90

proprietatile de mai sus, ale lui B, sunt: K={UM U=Ker b, bєB}, familia nucleelor de endomorfisme ale lui M.I={UM U=Im b, bєB}, familia imaginilor endomorfismelor lui M. T={UM U este sumant direct in M}.

OBS   : Se va arata mai tarziu ca, pentru un modul oarecare M, B este un inel regulat KT si IT. Pentru module particulare, regularitatea lui B poate fi determinata fie de K, fie de I.De exemplu, pentru M un modul liber, B este regulat IT (orice imagine este sumant direct).Pentru a decide in ce conditii K sau I determina regularitatea lui B, trebuie sa deteminam modulele pentru care o bijectie b, intre idealele la dreapta principale ale lui B si submodulele din K si o bijectie b2 intre idealele la stanga principale ale lui B si submodulele din I.NOTATII :Pr(B)={KB K=bB,bєB},familia de ideale principale la dreapta ale luiB.P1(B)={HB H=Bb,bєB},familia de ideale principale la stanga ale lui B. Bijectiile ce dau cele doua conexiuni Galois sunt induse de aplicatiile date de: rB(U)={bєB Ub=0} si 1M(H)={mєM mH=0}, respectiv1B(U)={bєB MbU}={bєB Im bU} si SM(H)=MH=Mh=Im h.

OBS : Pentru un submodul U al lui M si o submultime H a lui B are loc: rB(U) este un ideal la dreapta al lui B, 1B(U) este un ideal la stanga al lui B, 1M(H) si SM(H) sunt submodule ale lui M.

Definitia 6 .3.3. O bijectie ce pastreaza ordinea (schimbarea ordinii) intre doua multimi partial ordonate, se numste proiectivitate (dualitate).Fie:Ma={UM U=1M(rB(U)) }={UM U=1M(K), KB}Ba={K B K ideal, K=rB(1M(K)) }={KB K=rB(U), UM}. M’={UM U=SM(IB(U)) }={UM U=SM(H), HB}B`={HB H=1B(SM(H)) }={HB H=IB(U), UM}.

91

OBS : Pentru bєB avem lM(b)=Ker b, deci, KMa si din SM(b)=Im b =>IM .Deoarece 1B(bB)=1m(b) si SM(Bb)=SM(b) =>lM aplica Pr(B) in K si SM aplica P1(B) in I. Mai mult, conditiile necesare si suficiente pentru ca aceste aplicatii sa fie bijective sunt date de urmatoarea propozitie:

Propozitia 6.3.1. a) Aplicatiile rB si 1M determina o dualitate intre K si Pr(B) bєB, bB=rB(lM(bB)) => Pr(B)Ba

b) Aplicatiile IB si SM determina o proiectivitate intre I si P1(B) bєB => Bb=IB(SM(Bb)) => P1(B)B’

OBS: Din propozitie anterioara se observa ca are loc D.C.C. pe P r(B) are loc A.C.C. pe K. Mai mult, fiecare element din P r(B) este sumant direct in B fiecare element din K este sumant direct in M lucru ce rezulta din urmatoarea teorema.

Teorema 6.3.1. a) Daca rB si 1M determina o dualitate intre UM’ si VBa, atunci fiecare KєV este sumant direct in B fiecare UєU este sumant direct in M. b)Daca IB si SM determina o proiectivitate intre UM’ si

VB ', atunci fiecare KєV este sumant direct in B fiecare UєU este sumant direct in M.

OBS: O definitie echivalenta a regularitatii lui B este aceea ca fiecare ideal stang sau drept finit generat al lui B este sumand direct in B.

Pentru a obtine o teorema de corespondenta pentru idealele stangi sau drepte finit generate, vom defini:Fr(B)={KB K=biB, biєB, i=l,...,n}, familia idealelor la dreapta finit generate. F1(B)={HB H=Bbi, biєB, i=l,...,n }, familia idealelor la stanga finit generate. Mf

a={UB U=lM(bi), biєB, i=1,...,n} , familia submodulelor lui M ce se reprezinta ca intersectii finite de nuclee.Mf’={UM U=Mbi, biєB, i=l,...,n}, familia submodulelor lui M ce se

92

reprezinta ca sume finite de imagini.

OBS: Deoarece lM(bi)=1M(bi B) єMa ; i= 1,...,n => MfaMa deoarece

Mbi= M(Bbi)=SM(Bb i) єM', i=l,....n => Mf' M'

Propozitia 6.3.2. a) Aplicatiile rB si 1M determina o dualitate intre Mf a s i

F r (B) KєFr(B), K=rB(1M(K)), adica Fr(B)Ba b)Aplicatiile IB si SM determina o proiectivitate intre Mf'si F1(B) HєF1(B), H=IB(SM(H)), adica F1(B)B’

Inele de endomorfisme regulate

O combinatie a ultimelor doua rezultate ne da conditiile duale pe M pentru ca I sau K determine regularitatea lui B.Teorema 6.3.2 a) Daca Pr(B)Ba, atunci B este regulat KT b)Daca Pr(B)B’ ,atunci B este regulat IT

D EM : a) Daca P r(B)Ba, atunci din Propozitia 6.3.1. rB si 1M determina o dualitate intre K si Pr(B) .Deoarece KMa si Pr(B)Ba din teorema de transfer 6.3.1. fiecare KєPr(B) este sumant direct in B fiecare UєK este sumant direct in M.b) se demonstreaza asemanator.

Corolar 6 .3.1 . a) Daca M este QI, atunci B este regulat KT. b) Daca M este QP, atunci B este regulat IT.

Teorema 6.3.3 a) Daca IT => Pr(B)Ba

b)Daca KT=> P1(B)B’

DEM: a) Pp ca ITFie K=bBєPr(B), bєB. Se stie ca bBrB(1M(bB)) (valabil pentru orice conexiune Galois). Fie cєrB(1M(bB))= rB(1M(b)) => [lM(b)]c=0 => 1M(b)lM(c).Definim aplicatia h1:MbMc, prin (mb)h1=mc, unde c este elementul fixat de mai sus. Verificam daca aceasta aplicatie este corect definita:

93

daca mlb=m2b, atunci (m1-m2)b=0 => m1-m2єKer b=1M(b)lM(c) => (m1-m2)c=0=> m1c=m2c <=>(m1b)h1=(m2b)h2

Deoarece MbєT, putem descompune pe M astfel: MbU=M, UM, UMb=0 Putern extinde h1 la un endomorfism hєB, definind uh=0, uєU.Pentru fiecare mєM avem (mb)h=(mb)h1 => c=bhєbB => rB(1M(bB))bB. Astfel egalitatea este justificata.

Corolar 6 .3.2 Pentru orice modul BM, B=End(RM) este regulat KT si IT.

Urmatorul rezultat da o conditie pe M, echivalenta cu una din conditiile KT sau IT, in contextul in care cealalta este data.

Teorema 6.3.4. a) Daca KT=> IT UєT si pentru orice monomorfism :UM are loc UєT adica ImєT. b)Daca IT=> KT UєT si pentru orice

epimorfism :NU are loc KerєT.

DEM: a),,=>’’ Pp ca are loc KT si IT. Fie :UM, un monomorfism cu UєT => M=UV pentru un anumit submodul V al lui M.Definim bєB a.i. ub=u, uєU si ub=0 u єV => Mb=U, dar Mb єT, deci UєT.,,<=’’Pp ca atunci cand :UM, epimorfism este monomorfism cu UєT, atunci UєT.Fie bєBb endomorfism al lui M. Din ipoteza avem: M=1M(b)V, VM. Fie restrictia lui b la V, :VM, care este monomorfism si VєT => Mb=VєT (ipoteza)=> IT.

Definitia 6 .3.4. Un modul M este un CS-modul daca fiecare

94

submodul complement al lui M este sumant direct in M.

Definitia 6 .3.5 . Un modul M se numeste continuu daca M este un CS-modul si imaginea izomorfa a unui sumant direct in M este sumant direct in M.

Propozitia 6.3.3.a)Daca L M este continua atunci B este regulat KT. b) Daca M este nesingular si CS-modul, at. B este regulat IT c) Daca M este nesingular si continuu, at. B este inel regulat.

DEM : a) Pp ca M este continuu Daca B este regulat=> KF (din ultimul corolar).Reciproc: Pp ca M este continuu si KT => UєT si :UM monomorfism, avem: UT, deoarece M este continuu, deci din ultima teorema IT => B este regulat, conform corolarului.b) Pp ca M este nesingular si CS-modul. Deoarece M este nesingular fiecare UєK este un complement => deoarece M este si CS-modul fiecare UєK este sumant direct in M. Din ultimul corolar => B este regulat IT.c) => din a) si b).

Corolar 6 .3.3. Daca M este nesingular si continuu, atunci pentru fiecare bB, avem bB=rB(lM(bB)) si Bb=IB(SM(Bb)).

Inele de endomorfisme perfecte, semiprimare, noetheriene s i artiniene

Reamintim ca un inel B este perfect la stanga daca B satisface D.C.C. pe idealele la dreapta principale (<=> B satisface D.C.C pe idealele la dreapta finit generate).

Propozitia 6.3.4. a) Daca Pr(B)Ba. atunci B este un inel perfect la stanga M satisface A.C.C. pe K ( pe nuclee).

b)Daca P1(B)B’ atunci B este un inel perfect la dreapta M satisface D.C.C. pe I (pe imagini).

95

Propozitia 6.3.5. a) Daca Fr(B)B ,atunci B este regulat MfaT si

B este perfect la stanga M satisface A.C.C. pe Mfa.

b) Daca F1(B)B’ , atunci B este regulat Mf’T si B este perfect la dreapta M satisface D.C.C pe Mf'.

D EM : rezulta din teoremele anteriare.

Teorema 6.3.5. a) Daca F r(B)Ba, atunci B este noetherian la dreapta M satisface D.C.C. pe Mf

a M satisface D.C.C doar numai pe Ma

b) Daca F1(B)B’, atunci B este noetherian la stanga M satisface A.C.C. pe Mf' M satisface A.C.C doar numai pe M ‘

Definitia 6 .3.6. Un inel este semiprimar daca radicalul sau, J este nilpotent si R/J este semisimplu.

O BS : J este nilpotent daca nєN a.i. Jn=0.

Propozitia 6.3.6. Fie R un inel care satisface A.C.C. pe idealele anulatori la stanga. Daca R este perfect la stanga, atunci R este semiprimar.

Teorema 6.3.6. a) Daca Fr(B)Ba si M satisface A.C.C. pe Ma, atunci B este semiprimar. b) Daca F1(B)B’ si M satisface D.C.C. pe M’ ,

atunci B este semiprimar.

Teorema 6.3.7. (Teorema Hopkins) Un inel R este artinian la dreapta daca R este noetherian la dreapta si este semiprimar.

Teorema 6.3.8. a) Daca F r(B)B a, atunci B este artinian la dreapta M satisface A.C.C. si D.C.C. pe Ma

b) Daca F 1(B)B’, atunci B este artinian la stanga M satisface A.C.C. si D.C.C. pe M'

96

Corolar 6.3.4. a) Daca RM este QI, atunci B este artinian la dreapta M satisface A.C.C. si D.C.C. pe Ma

b) Daca RM este QP, atunci B este artinian M satisface A.C.C. si D.C.C pe M'

Propozitia 6.3.7 a) Daca B este noetherian la dreapta , atunci M satisface D.C.C. pe Ma si daca B este artinian la dreapta, atunci M satisface D.C.C. pe Ma

b) Daca B este noetherian la stanga , atunci M satisface A.C.C. pe M` si daca B este artinian la stanga, atunci M satisface A.C.C. pe M'

Bibliografie

1.C.Nastasescu,Inele.Module.Categorii, Ed. Did. si Ped.

2.F.Anderson, K. Fuller, Theory of Modules

3. B. O. Stainstrom, Qotin Rings

4. I. Ion, N. Radu, Algebra, Ed. Did. si Ped ,1981

5. T. Albu, C. Nastasescu. Relative Finitness in Module Theory, Dekker, New York, 1984

97

6. S. M. Khuri,Modules whith regular, perfect noetherian and artinian endomorphism Rings, in Non-Comutative Theory, Lecture Notes in Mathematics,vol 1448, eds. S. K. Jain and S. R. Lopez-Permouth, p.7-18

7. S. M. Khuri,Corespondence Theorems for Modules and their endomorphismRings, J. Algebra 122 (1989), 380-396.

98