------------------ Electroenergetidi ~i electrotehnld.

LEVITAfIA ELECTROMAGNETIC.A A CONDUCTOARELOR MASIVE SFEROIDALE

DE

I. R. CIRIC

538.122: 621.3.013

Se studiaza levitatia electromagnetica a unui conductor In forma de elipsoid de revolutie (steroid) situat in clmpul magnetic cu simetrie ·axiala al unor spire circulare parcurse de curenti alternativi de lnalta frecventa. Pentru aceasta se .utilizeazli. modelul sferoidului perfect conductor In prezenta spirelor conduc­toare filiforme.

1. INTRODUCERE

Levitatia electromagnetica a unui conductor masiv se produce la introducerea acestuia intr-un cimp magnetic exterior variabilin timp, ca urmare a interactiunii dintre curentii turbionari indu~i in conducto­rul masiv de catre- cimpul magnetic exterior ~i acest cimp magnetic.

Sistemele cu levitatie electromagnetica sint concepute astfel incit fortele de levitatie electromagnetica sa actioneze dupa directia verti­calei, in sens opus sensului fortelor de gravitafie, interesind in mod special conditiile in care se realizeaza echilibrul acester forte, corpul masiv conductor raminind in stare de suspensie, ,,plutind pe cimpul magnetic exterior".

Interesul pentru studiul sistemelor in care se manifesta levitatia. electromagnetica a corpurilor masive conductoare este determinat de posibilitatile de aplicare in practica a acestor sisteme ; amintim in acest sens incalzirea ~i topirea materialelor electroconductoare evitind con­tactul lor cu creuzetul, realizarea unor balante fara reazem corporal, suspendare-a in vid a rotoarelor utilizate in navigafia inertiala sau in anumite scopuri speciale. Rezultatele care se obtirr la efectuarea unor astfel de studii sint utile ~i in alte probleme, cum sint, de exemplu, i;ratamentul termic prin curenti de inalta frecventa sau ecranarea elec-tromagnetica. ·

Din punctul de vedere al aplicatiilor practice intereseaza echili­brul stabil in sistemele cu levitatie electromagnetica. Zona de stabilitate statica a unui conductor masiv in stare de echilibru intr-un sistem cu

§t. cerc. energ. electr., Tom. 19, Nr. 2, p. 275-299 , : 1969

276 I. R. Cm.IC 2

levitatie electromagnetica este regiunea din spatiu in care trebuie plasat conductorul masiv pentru ca rezultanta fortelor de levitatie electromag­netica ~i de gravitatie care actioneaza asupra acestuia sa fie orientata astfel incit sa tinda sa-1 deplaseze spre pozitia in care se anuleaza aceasta rezultanta. 1n studiul stabilitaW dinamice trebuie sa se tina seama de faptul ca, atunci cind corpul se afla in mi~care in cimpul magnetic exte-· rior, repartitia curentnor turbionari indu~i in acesta se modifica in raport cu situtLtia in care corpul ocupa aceea§i pozitie, insa se gase§te in stare de repaus; fortele de natura electromagnetica depind. nu numai de pozi­tia corpului in cim.pul magnetic exterior, ci §i de viteza lui de translatie ~i de rotatie. Problema stabilitaW dinamice este inca mai dificila decit aceea a stabilitatH statice, pentru solutionarea ei fiind necesara rezol­varea unei probleme de electrodinamica a corpurilor in mi§care.

Pentru studiul riguros al sistemelor cu levitatie electromagnetica este necesar sa se integreze ecuatiile corespunzatoare ale cimpului ele~­tromagnetic cvasjstationar din exteriorul conductoarelor masive §i din interiorul acestora [1 ]. Din cauza dificultatHor de calcul, pina in pre­zent nu au fost tratate pe aceasta cale decit problemele cele mai simple: sfera conductoare in cimpul magnetic al unor spire circulare coaxiale, presupuse filiforme, parcurse de curenti alternativi de aceea§i frecventa [2] §i cilindrul circular drept conductor in cimpul magnetic al unui sis­tem de doua conductoare rectilinii paralele cu cilindrul, presupuse fili­forme,· parcurse de curenti alternativi de aceea§i frecventa, egali §i de sensuri opuse [3]. Oimpul electromagnetic cvasistationar al unor sis­teme mai generale decit acelea tratate in lucrarile [2] ~i [3] este cer~ cetat in lucrarile [4] §i [5]. Trebuie subliniat ca, chiar in cazul acestor probleme mai simple, calculele numerice sint laborioase, expresiile obtinute continind functH speciale care nu sint toate tabelate.

1n doua lucrari recente asupra levitatiei electromagnetice a con­ductoarelor cilindrice drepte [6] §i a conductoarelor sferice [7], se arata ca, pentru frecventele (de ordinul zecilor §i sutelor de mii de Hz) care intereseaza in problemele de levitatie electromagnetica §i pentru cor­purile masive induse de conductivitate finita, poate fi utilizat cu succes modelul acelora~i corpuri ma§ive, presupuse insa ca fiind perfect con­ductoare. Aceasta se datore§te faptului ca adincimea de patrundere a cimpului electromagnetic este foarte mica, la ·interactiunea dintre curentH turbionari indu~i ~i cimpul de excitatie exterior participind doar un strat foarte subtire de la suprafata conductorului indus. Rezultatele numerice

. obtinute pe baza acestui model sint practic acelea§i cu rezultatele obti­nute considerind corpul masiv de conductivitate finita, 1n acela§i timp, volumul de calcule numerice care trebuie efectuate atunci cind se adopta modelul corpului masiv perfect conductor este substan~ia1 redus, expTe-siile obtinute acum fiind mult mai simple. ·

Pornindu-se de la aceste constatari, in lucrarea de fata se studiaza levitatia electromagnetica a unui conductor masiv in forma de sferoid alungit sau turtit in prezenta unor spire circulare cohductoare presupuse filiforme, avind ca axa comuna axa de rotatie a sferoidului ~i fiind par­curse de curenti alternativi de inalta frecventa, considerindu-se sferoidul perfect conductor. Trebuie facuta observatia ca integrarea ecuatHlor cimpului electromagnetic cvasistationar pentru cazul sferoidului de

3 LEVITATIA ELECTROMAGNETrCA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 277

conductivitate finita conduce la calcule extrem de laborioase, iar a§a­numitele funcW de unda sferoidale [8] care intervin nu sint suficient studiate pentru argumente complexe §i nicidecum tabelate.

Fie prin urmare un sferoid perfect conductor ( a = oo ), alungit sau turtit, avind axa de rotatie de lungime 2a0 , iar cealalta axa de lun­gime 2b0 , situat in cimpul magnetic al unor spire circulare filiforme coa­xiale, parcurse de curenti electrici, pozitia uneia dintre spire fiind data prin raza acesteia b, §i prin distanta d, de la planul acesteia la centrul sferoidului (fig. 1 §i 2).

Mediul in care sint situate spirele inductoare §i sferoidul indus se presupune neconductor (a = 0) §i nemagnetic, de permeabilitate practic egala cu permeabilitatea vidului, µ0 • in aceasta situatie se poate utiliza superpozitia efectelor, considerindu-se cimpul magnetic rezultant drept suprapunerea cimpurilor magnetice pe care le-ar produce in prezenta sferoidului perfect conductor fiecare dintre spirele inductoare daca ar exista singura in aceea§i pozitie relativa fata de sferoid ~i daca ar fi parcursa de acela§i curent. ·

In felul acesta, problema se reduce la studiul cimpului magnetjc conditionat de catre o singura spira parclµ'sa de curent electric, situata in prezenta sferoidului perfect conductor.

Sistemul considerat prezinta simetrie axiala. Pentru rezolvarea problemei se utilizeaza sistemul de coordonate curbilinii ortogonale al sferoidului alungit (fig. 1), resp~ctiv al sferoidului turtit (fig. 2) [9], in care "I), ~ §i cp sint coordonatele sferoidale ale unui punct curent, ~ = = ~0 este ecuatia suprafetei sferoidului perfect conductor, iar YJ. §i ~. > > ~o sint coordonatele sferoidale corespunzatoare punctelor spirei cir­culare parcurse de . curentul electric de valoare instantanee i. in sensul de cre§tere al coordonatei cp.

Datorita simetriei axiale a cimpului magnetic, toate marimile de cimp depind numai de coordonatele YJ §i ~' inductia magnetica B avind componente numai dupa versorii u 11 §i u~ orientati in sensul de cre§tere al coordonatelor "fl §i ~-

2. POTENTIALUL VECTOR CONDITIONAT DE CATRE. 0 SINGURA SPIRA

Efectuarea studiului propus se face utilizind metoda separarii variabilelor pentru integrarea ecuatiilor satisfacute de potentialul mag­netic vector A, care, in condi~iile problemei formulate, va avea o singura componenta A"'' dirijata tangential in sensul de curgere a curentului (se alege div A = O), §i nu va depinde de coordonata cp,

A(YJ, ~) = u"'A(YJ, ~), (1) unde Uqi este versorul tangential, orientat in sensul de cre§tere al coor­donatei cp.

Coordonatele sferoidului alungit ("I), ~' cp) sint legate de coordonatele carteziene (x, y, z) prin relaWle [8], [9]

x = c[(l - YJ 2) ( ~2 - 1)]112 cos cp, y = c[(l - YJ2) ( ~2 ~ 1)]112 sin cp, Z =CY)~,

(2)

278 I. R. CIRllC 4

iar parametri lni Lame oorespunzatori sint

h,11

- C , ht - o , k<;> = C[(l - '1)2) (;2 _ 1))112, (3) - (~2 - 7)2)* - (~2 - '1)2)1/2 1 - 1l2 ~2 - 1 , .

c

c

'IJ' -1 ~'"''· {,;, Mf1J:f,'f''

1l '(·1

0

Fig. 1. - Alegerea coordonatelor sferoldului alungit.

11··f

Fig. 2. - Alegerea coordonatelor sferoidului turtlt.

unde c = V ~ - b~ este semidistanta focala a sferoidulni alungit. De asemenea exi.sU rela~iile

a0 = 0~0 ; b0 = c( ~ - 1)112, (4)

d, = CYJ,~,; . b, = c[(l - l);) ( ~~ - 1))111• (5)

Coordonatele sferoidului turtit ( 11, ~' ip) sint legate de ooordonatele carteziene (x, y, z) prin relatiile [8], [9]

x = c[(l - 1la) ( ~2 + 1)]112 cos ip, (6)

y = c[(l _ 7)*) (~a + 1))111 sin tp,

z = 01)~,

iar parametrii lni Lame corespunzatori sint

A = c(~a + "'l2)11a . h = c(~z + 1la)1n . h = O[(l - .... :) (~2+1)]1111 11 1 - "'12 ' t ~2 + 1 . ' <;> • • , • ' '

. (7)

unde c ~ Vb20 - ~ este ~a cercului focal al sferoidulni turtit. De a.Se­

menea exista rela~iile.

a0 = c~0 ; b9 = c( ~ .+ 1)112,

d, = C1), ;, j b, = C[(l - l);) ( ~; + 1) )111.

(8)

(9)

. 5 ____ LEV_"IT_AT_I_A_E_L_EC~TR_o_MA_G_N_ET1_c_A_A_c_o_ND_u_.c_To_A_R_EL_o_R_s_FE_RO_I_·D_A_LE ___ 27g.

Observatie. Relatiile (6) - (9), cu exceptia parametrului h~, s& obtin din relatiile corespunzatoare (2) - (5) prin transformarea ~ -+ + + g, c-+ - jc, j fiind simbolul j = V- 1; parametrul h~ din (3) se trans­forma pina la factorul -j in eel din (7).

Ecuatia satisfacuta de potentialul vector este

AA = 0 ( ~ ~ ~o), (10}

cu exceptia punctelor in care se gase~te spira parcursa de curent, unde va aparea o singularitate specifica conductoarelor filiforme in forma de spira circulara parcurse de curent.

Pentru determinarea constantelor de integrare se va tine. seama ~i de faptul ca pe suprafata ~ = ~0 a sferoidului perfect conductor exista.. numai componenta tangentiala a inductiei magnetice sau, ceea ce este echivalent, ca pe suprafata ~ = ~o potentialul vector (1) este egal cu zero.

'finind seama de singularitatea potentialului vector A in punctele­in care e situata spira conductoare filiforma parcursa de curent, este. natural sa se caute solutia sub forma ·

A= A'+ A", (11)·

unde A' satisface ecuatia (10) fara restrictii, iar A" este potentialul vec­tor determinat de spira filiforma in ipoteza ca ea s-ar gasi singura in intreg spatiul.

Ecuatia satisfacuta de componenta scalara a potentialului vector­se obtine din (10) daca se tine seama de expresia componentei dupa ""'a. laplaceanului unei functH vectoriale 111 coordonate sferoidale. ln cazul sferoidului alungit, din (10) se obtine ecuatia

(AA)"' = 1

[(1 _ '1J2)112 ~ ((1 _ '1J2)112...4.) + c2( ~2 - '1)2) . a'1)2

+ ( ~2 _ 1)112~ (( ~2 -1)112 A)] = o. a~2

1n c.azul sferoidului turtit, din (10) se obtine ecuatia.

(AA),., = 1

[(1 _ '1J2)112 ~ ((1 _ '1J2)112...4.) + cz( ~2 + '1J2) a'1J2

+ ( ~2 + 1)112~ (( ~z + 1)112 A ] = o. a~2

(12~

(13}

. Obseroafie. Ecuatia (13) poate fi obtinuta din ecuatia (12) prin transformarea ~ -+ ± j ;, c -+ =t= jc. Aceasta transformare se va folosi :peste tot in lucrare pentru obtinerea :rezultatelor corespunzatoare sfe­roidului turtit din acelea corespunzat(lare sferoidului alungit.

280 L R. ·OIRic 6

2. 1. Potentlalul vector A" al unei spire eireulare pareurse de eurent electrle in coo1donaU. sferoldale

Se va considera intii cazul coordonatelor sferoidului alungit. Fie spira din figura 1, ale carei puncte au coordonatele l) ~ 'Y),, l; = ~' par- · cursa de curentul i, in sensul de cre~tere al coordonatei ip §i situata sin­gura in intreg spat;iul. Vectorul densitat;ii de curent electric .de conduct;ie .are o singura componenta diferita de zero, ~i atmme in punctele spiJ'.ei -circulare filiforme, . J = u"'J : . . .

J = i o("I) - 'IJ.l o(~ - l;,l = i ((1 - "ll;> (~; - l)J112 o( , - l o(t' - i: > ·' (h h ) ' • 2( 1:2 2) "I) "I), <., "'· '

'I ·'f. 1'l = 'la. 'f. - 'f.s · C <.,, - l), ,

.(14) in care o( "I) - 7),) §i o( ~ - l;,) sint ,,funct;iile~' delta unidiinensionale ale Jui Dirac, cu singularitat;ile in l) = l), ~i, respectiv, in ~ = ~. (10].

Potent.ialul vector A''= u"'A" are o singura componenta, intocmai -00. ~i densitatea de curent, ~i satisface ecuatia\div.A" = 0)

(15)

-0u ·.solut;ia. pentru intreg spat;iul, data de i11:tegrala de volum

A "(r)= .f:!. ( J(r') dv' , . (16) 4,. )~00 Ir - r' I '

in care r este vectorul de pozit;ie al punctului curent din spat;iu, iar r' vectorul ·de pozit;ie variabil du pa care se face integrarea. Relat;ia vecto­riala (16) este valabila pe componente sub aceea~i forma numai in coor­<lonate carteziene, in care caz componentele vectorilor J ~i A" se scriu

J" = - J sin ip', A ;' = - A" sin <p',

J,, = + J cos 1p', A~' =A" cos qi; (17)

J, = o, A:'= 0.

:J>rin urmare,

A" sin <p = ~( i, [(i - ;;)2(i;;-; l)]112o('tl' - '1),) ~(~' -41t )~00 c ( l;. - lj,) .

-l;,)sin<p' 1

, (h71 h'f.k<1>)ll - ll' d'1)'dl;'d<p', lr - r l t-'f.' .

'I> =<i>' .

(18)

A" cos = ~ ( i, [(l - ;;)2 (~; :- l) J1'2

o(l)' - 1J,) a(l;' -41! )COO C ( ~' - '1) 1 )

- ~,) COS (j)1

• ,

1 (hl'l hF. hcp)TI = »' d 1) 1d~'d<p' •

lr-r' I F. - F.' <1>-<1>'

(19)

7 LEVITATIA ELECTROMAGNETJCA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 281

Datorita simetriei axiale a cimpului determinat de spira circulara par­cursa de curent, µiarimile nu depind de coordonata <p ~i deci se poate luo. <p arbitrar in expresiile (18), (19), avind grija sa fie luata aceea~i valoare

a lui <p ~i in expresia lui 1

. Da.ca se alege <p = o, rezulta Ir .- ,,., I

A " = µ.oci, [(1 - "fl~) ( i;; 2- 1.) ]112 (. a( ri' - "fl,) ~( i;' - i;,) cos cp' ( i;12 -4 ,. ( i;, - "fl.} J.oo I,,. - ,,. I'll - o

- Y)12) d"f) 'd i;'dcp'. . (20)

1 In continuare se ut ilizeaza dezvoltarea lui dupa armonicile Ir - ,,.,, sferoidului alungit [11):

1 1 00 "

--,. = - ~ ·~ ( -1r (2 - am.) (2n + 11' - 1' I C "~o m=O

unde Pr;: ~i Q::' sint func~iile Legendre asociate de spe~a intii ~i, respec­tiv, a dolia de indici n ~i m, i;< ~i i;> sint cea mai mica ~i, reseectiv, cea mai mare dintre marimile i; ~i 1;', iar a,,.. .:are valorile a.,.. = ()..pen­tru m =/= 0 ~i a... -:- 1 pentru m = 0. R.eiaiia (21) reprezinta, a~adar, condensarea a doua expresii, dupa cum i;' > i; ~i invers. Expresia (20) devine deci

A " = !J.oi, [(1 - YJ~) ( i;;; 1) ]112 t t ( - 1)"' (2 ~ am.) (2n· + 47t ( 1;, - 'Y), ) 1'=0 m=O

+ 1) [ (n :__ m) !1

]2 x P: ( 'Y)) ( 3( 'YJ' - 'YJ,). a( i;~ - 1;,) cos ip'( 1;'2 - (22)

(n + m) . J,oo

Datorita prezeniei lui cos<F.' in integralefo ~:~oscp' cos mip'dcp', rezult!i- ca

vor fi diferiti de zero numai t ermenii din suma (22) care au m = 1. Se obtine · ·

A ,,= - !J.oi, [(I - 'Y);) (i;; - 1))112 ~ 2n + 1 pi( )~~ 8( , -!:'2 2 ,l,.J )]2 " "f) 'Y) . · 2 (<.,, - Yj,) . n = I [n(n +} . l),'~'

282 I. R. c:mrc 8

Prin urmare, in cazul coordonatelor sferoidului alungit, potentia­lul vector A." rezulta egal cu

A."(1),~) =_!Loi. [(1 - "l;)(~;-1)]112 t 2n +1 J _ 2 n=l [n(n + 1)]2

KP~( ~<)Q!( ~>) P!('lJ,) P!(1J), (24)

in care ~< §i ~> sint cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre marimile ~ §i ~ •.

'finindu-se seama de observatia de la pagina 5, pentru cazul coor­donatelor sferoidului turtit potentialul vector A." rezulta egal cu

A."_(1),~) = -j !Loi, [(1-1);)(~;+1))112 t 2n + 1 ~ 2 n=1 [n(n + 1))2

~P!(gdQ!(j~>) P! (1),) P!('r)), (25)

in care ~< §i ~> sint cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre marimile ~ §i . ~ •.

2.2. Determlnarea potentlalulul vector A'

Potentialul vector A'(ll) (A' = ucpA.') satisfacefara restrictil ecuatia. (12) in cazul sferoidului alungit §i, respectiv, ecuatia (13) in cazul sferoidului turtit. Solutiile generale ale acestor ecuatu se obtin prin metoda separarii variabilelor. Impunindu-se conditiile de marginire ale solutiilor pe axa de rota.tie z("l = ± 1) §i la infinit, rezult:1.

"" ' A'= t C,.Q!(~)P~("l) (26) n-1

in cazul sferoidului alungit §i

"" A'= t C,.Q!(j~) P!("l) (27) n-1

in cazul sferoidului turtit. Se observa ca potentialul vector A' corespunde curentiJor indu§i

in sferoidul perfect conductor.

2.3. Determinarea potentialului vector_ A

'finindu-se seama de relatiile (11) (24) ~i (26), se obtine pentru cazul sferoidUlui alungit

A = t 0,. Q! ( ~) P! (1)) - !Loi, [(1 - "l;) ( ~; -1))112 t _2_n_+_l_"lt: n=1 2 n-1 [n (n + 1)12

xP! ( ~<) Q! ( ~>) P! ('lJ,) P! ("l). (28)

9 LEYITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 283

Impunindu-se conditia A = 0 pe suprafata sferoidului ~ = ~0, rezulta pentru constanta de integrare · expresia

0 =µoi'[(l-.,,2)(~2-1)]112 2n+l P~(~o) Q1(~)P1() (29) n 2 .,. 8 [n(n+l)J2 Q~(~o) n 8 .. 'Y),.

Prin urmare, potentialul vector conditionat de catre o singura spira parcursa de curent in prezenta sferoidului alungit perfect conductor este

A('Y),~) =µois[(l _ 'Y);)(~;- l)]1 ,2 I; 2n + 1 )< 2 11~1 [n (n + 1)]2

x[ ~i ~ i:~ Q~ ( ~.) Q~( ~) -P! ( ~<) Q! ( ~>)] P! ('YJ,) P! ('YJ); (30)

analog se obtine potentialul vector rezultant in cazul sferoidului turtit:

A ("I),~)= toi, [(1 - "I);)( ~;+1;i]112 ~ . 2n + 1 t(

2 n=l [n (n + 1)]2

•[ ~; i] ::; Q! (j ~.) Q! (g) - P! (j ~<:) Q~ (g>)] P! ( 'YJ,) P! ( 'Y)), (31)

1n care ~< §i ~> sint cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre marimile ~ §i ~ •.

3. MAltDllLE DE CIMP REZULTANTE IN CAZUL A N SPIRE INDUCTOARE

Se considera acuni situatia in care exista N spire circulare conduc­toare presupuse filiforme, parcurse de curenti electrici alternativi §i situate in prezenta sferoidului conductor, toate cele N spire fiind coaxiale §i avind ca axa comuna axa de rotatie a sferoidului. Se vor utiliza nota­tiile adoptate in figur·itcl ~i 2.

Pentru a obtine solutia generala in ipoteza ca intensitatile curen­tilor in spirele inductoare sint impuse din exteriOr, se poate aplica super­pozitia solutiilor particulare obtinute in paragrafele precedente. Astfel, pentru potentialul vector rezulta

A ("I),~) = flo f i, [(1-'Y);)( ~;--1)]112 ~ . 2n + 1 2 X 2 •=l n=l [n(n + 1)]

){[ ~;~~:~ Q! ( ~8) Q! ( ~) - P!( ~<) Q! (~>)] P! ("fl,) P! ("fl) (32)

'.in caz ul sferoidului alungit §i

A('1),~)=j !J.o £ i,[(1 - 'Y);)(~;+ 1)]112 ~ 2n + 1 2x 2 •-1 n=l [n (n + 1)]

, ~; ~~i:~ Q! (j ~.) Q~(j ~) - P! (j ;<) Q! (j~>)] P!( 'YJ,) P! ( 'Y)) (33)

in cazul sferoidului turtit, in care din nou s-a folosit scriereacondensata ~< 17i ~> fiind cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre marimile ~ •. ( corespunzatoare spirei considerate) §i ~.

284 L R. C1RLC 10

, Potentialul vector conditionat numai de catre curentii indu~i in sferoidul perfect conductor este

.A.'"'1 (1j,~) = .!:9. f i, ((1 - 1l;) ( ~;-1)]112 f; ~n + 1 2 P!"~o) K 2 1-1 · H- 1 [n(n + l)] Q! ( ~0)

lfQ~ ( ~.) Q! ( E,) P!(1l,) P1,.(1l) (34)

in cazul sferoidului alungit ~i

.A.ind (YJ,E.) =j-'!:.!. f i, [(l - Y);)(t2+ 1)]1r2 t 2n + 1 2 2 •-1 , ,._1 [nJn+l)]

"Q ! (j E,,) Q ! (jc,) p ! ( 1l,) P! ( 1l)

in cazul sferoidului · turtit.

P!(j~) . ~

Q1,.(iE,o{ . (35)

Cunoscindu-se potenfialul vector rezultant, se , poa.te determina inducfia magnetica sau intensitatea cimpului magnetic, precum ~i densi­tatea pinzei de curent indnse la suprafata, sferoidului perfect conductor. Rezulta a.tit pentru cazul sferoidului alungit, cit ~i pentru cazul sferoidului turtit: ·

B = µ0 H = rot A = rot (f4A.) = - ~ "~ xgrad (h<PA.); (36) . hQ .

componentele inductiei margnetice :

1 fj . B'fl = - · - - (hQ A.), ·

ht hip fj~ .

1 . fj . B. = - - - - (h A.)·

.. ~ . hTj h~ 01j Cl> • · '

Be;, = O;

(37)

- . densitatea pinzei de curent in'dusa la sriprafata, sferoidului ~ = E.o :

(38)

3.1. Ca:i:uri partleulare

3.1.1. Rez~tltatele pentru caz1tl sferei perfect cond'Ucto<J,ri situate in cimpul celor N spire inductoare se obtin fie din rezultatele corespun­zatoare sferoidului alungit, fie din acelea corespunzatoare sferoidului turtit, daca se fac in acestea urmatoarele inlocuiri in functie de coordo-

•• ...... ,,(#)' .

11 LEVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROI'DALE · 285-

natele sferice corespunzatoare (r, 6) :

/;o - oo, ~. - oo, i; - 00; l), - cos e.' lJ-+ cose,

. c-+ O, c!;0 - r 0, c~. - r,, c!; -+ r (39}

~i daca se utilizea.za dezvoltarile asimptotice ale func~iilor Legendre asociate pentru argumete mari [12] :

(2n), n ! (n + 1) ! 2" P! (z)--+ · z", Q! (z) - -+ - ( 40}

1•1-+oo 2" n ! (n, -1) ! 1•1 -+c.o (2n + 1) ! z"-1"1

Se obHne expresia cunoscuta [7], [12].

µ N '"' 1 [ r" A (r, 6) = ~ ~ i,sin 6, "{"'.---- < 2 LI ~ (n + 1) r>"+1 r, -. •-1 n - 1 n

( r )"( r )"+1] ·, - · r~ . ro . P! (cos 6,) P! (cos 6). (41}

3.1.2. Rezultatele pentru cazul particular al discului circular per· f ect conductor in cimpul celor N spire inductoare se ob~in din rezul­tatele corespunzA.toare sferoidului turtit daca se face in acestea ~ = O· ~i daca se folose~te urmatoarea expresie [13] : · • · ·

p~ (jO) =

Q!(jO)°

. 2 . J - pentru n unpar,

1t

0 pentru n pa.r.

Se ob~ine pentru poten~ialul vector expresia

.A(l), !;) =j fJ.o f; i,[(l - l)~)(!;~ + l)]liZ{j..!_ ~ . ·4n -1 K 2 a- 1 r. n-1 [2n(2n -1)]2

XQ~ .... 1 (g,) Q!._i(j !;) P!.~1 ( YJ~ ) Pl,_i( YJ) - t [ ~n : \ ]2

>< (43)· n~ l n n 1

,cP~ <H<> QHH» P! ( YJ,) P! ( lJ)} •

3.1.3. Potentialul vector pentru cazul particular al sferoidului per­! eet cond.uctor situat 'in e'imp niagnetie exterior initial uniform se obtine daca in r~la.~iile (32) ~i (33) se face ca ~. BA. tindit spre infinit ( ~.-+ oo)­~i daca, ~inindu-se sea.ma de expresiile asimptotice (40), se re~ine din aceste, relatii doar primul termen. Rezulta

c [· .A(l), !;) = Bo2 ((1 - lJ2}(~2 - l)J112 1 .:....

1n~ + 1_~ ~ -1 ~2 - 1

In i;o + 1 - 2/;o ~-1 ~g - 1

·""'-· :286 I. R. Cf.RIC 12

_pentru cazul sferoidului alungit §i

[

arc ctg ~ - ~ J c ~+1

A('YJ, ~) = Bo2 [(1 - 'YJ2)(~2+1)]112 1 - ----~- (45) arc ctg ~o -'-- ~o

~g + 1

pentru cazul. sfei'oidului turtit, in care B0 = ~ ~ i, 1 - 'YJ; este in-2 •~l c ~.

ductia magnetica a cimpului exterior presupus omogen in toate punc­tele acestuia §i orientat in sensul pozitiv al axei z.

Cazurile particulare ale sferei §i discului circular situate in cimp magnetic exterior initial uniform, precum §i toate marimile care deriva direct din expresiile (39) - (45), se obtin: prin efectuarea unor calcule .simple.

4. FORTA CARE ACTIONEAZA ASUPRA SFEROIDULUI

Forta care se exercita asupra sferoidului conductor se poate calcula. simplu prin doua metode. 0 prima metoda de calcul consta in utilizarea ~ tensorului tensiunilo.maxwelliene, §i anume a componentei sale vectoriale -dupa normala la suprafata sferoidului perfect conductor. ·

0 a doua metoda de calcul, care se va folosi in cele ce urmeaza, se bazeaza pe faptul ca forta care se exercita asupra sferoidului este -egala §i de sens contrar cu forta care se _exercita asupra sistemului de spire inductoare, conform principiului actiunii §i reactiunii, daca se tine seama ca sferoidul conductor indus, impreuna cu spirele inductoare, formeaza in regim cvasistat;ionar un sistem mecanic izolat.

Forta care act;ioneaza asupra elementului de conductor filiform parcurs de curentul electric i se determina aplicind formula lui Laplace:

llF = i Ill x B<ZI' (46)

, in care Ill este un vector care are modulul egal cu lungimea elementului -de conductor §i care este orientat in sensul curentului, iar B""' este induc­tia cimpului magnetic in care este plasat elementul de conductor, pro­dusa de toate sursele cimpului cu· exceptia curentului din conductorul a.supra caruia se calculeaza forta.

Forta instantanee pe unitatea de lungime a spirei k va· fi

/,. = llF~ = i" u 111 xBt"' = i,. {_.!.c grad [hqi(A - A,.)]}"-"t' (47) fl~ ~ ~~

unde din potentialul vector rezultant A se scade potentialul vector A,. al cimpului produs de catre curentul din spira considerata, expresia tre­buind sa fie luata in punctele spirei considerate. . Datorita simetriei axiale a sistemului studiat, fortele rezultante

-care se exercita asupra fiecarei spire ~i asupra sferoidului vor fi orientate dupa axa z. Forta instantanee rezultanta care actioneaza asupra spirei

' 13 LEVITATIA ELECTROKAGNETlCA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 287

k se va putea. scrie in felul urmitor :

F& = i.~ (u~ xlr:') dl = - u. i& 2itb& BP:, J~ .

(48)

in care u, este versorul orientarii dupA. sensul pozitiv al axei z, iar B~~' componenta vectorului B:' perpendiculara pe axa z 'i orientatA. de Ia. axa z in afarA..

Pentru a simplifica calculele, se observa ca pentru aflarea. fort;ei rezulta.nte care se exercita a.supra sferoidului trebuie sa se insumeze foriele care s-ar eiercita a.supra fiecarei spire pa.rcurse. de cu.rent in ipo­teza ca spirele s-a.r gasi pe rind .in ctmpul magnetic condiiiona.t numa.i de catre cureniii indu,i in sferoid, deoa.rece fort;ele care a.clioneaz~ a.supra spirelor pa.rcurse de curent conditionate de catre ctmpul magnetic &1 celorlalte spire au rezultanta. nu!A., fiind fort;e interioare in sistemul de spire inductoare considerat.

De aceea prezentarea solutiilor sub forma (32) sau (33), 1n care este separata. contribuiia. la potentialul vector rezultant a cuientilor din spirele conductoare !Ji a curenyilor indu'i in sferoid, e deosebit de utilll. pentru calculul fort;elor.

Componentele inducpei B•• a ctmpului magnetic determina.t numai de citre curenpi indu,i se calculeaza 1iinindu-se seama de formulele (37) !Ji (~4) - (35).

Pentrn cazul sferoidului alungit, de exemplu, rezulti

B~,.. = !lo 1 ii, ((1 - l);)(~~ - l)]lfs 'f 2n + 1 X 2c ( ~'-'1)')1" •=• .. =1 n(n + 1)

X ~t:::; Q!(~.)Q.(~)P!('l),)P!(11), (49)

Bt~ = - !Lo 1 t i,[(1-11!)(C - 1)]11s t 2-n + 1 X 2c ( ~s - 11')111 ,.1 . 11- 1 n. (n+1)· .

X ~i:t: Q~(~)Q!(~)P!(YJ.)P.('I)), (50)

. I

unde s-a tinut sea.ma de formulele satisfAcute de func~iile Legendre ~-cia.te [13] · ·

~ [( ~· _ 1)112 Q! ( ;)] = .n(n + l)Q. ( ~), d~

d - [(l - 112)111 P! (11)] = n(n + 1) p . (11). ~ . .

(61)

Proiectia induc~iei magnetice B.. dupi versorul · up al ·ciirec~iei perpendic~ pe a,xa z, orienta.ti de la a:m z in afarA (fig. 1 'i 2),

·este

(52)

c - e. 8ll06

288 I . R. CDUC 14

Tinindu-se seama de relatiile (2) - (3), se deduce 11( ~2-1 )1/2 . (1 . 2)112 !:'

u. u - u~·u = - '1l "• 153) -,· P - - ( ~2 _ 112)112' '" p .. ( ~z ....:... 112)112 '

iar cu ( 49 ), ( 50) rezultii.

B~"" = - µo 2 1 z t i,[(1 - 11;) (~; ..:.... 1))112 ~ 2n;+ 1 X 2c (~ - 11) •=l . · · .,- 1 n(n + l )

x:t((::: Pi(Y),)Q~ (~, ) [1l(~2-1)112Q.(~)P~(1l)+(l- '1)2)112 _ ~Q!(~)P.(1I)]. . (54)

Expresia (54) se poate scrie numai cu ajutOrul functiilor Legendre asocia.t.e de indice superior ega.l · cu unitatea daca ae utilizeaza formulele de recurent;.a [ 11] · ·

. . 1 . (l - .112)112P,.('1)) = - -[11P!(11) - P~-1 (11fl . n . ~,

(55)

~ezulta astfel

B~fkl = !Lo ], ~ i [(l - 2) ( i:2 - 1)]112 ~ 2n + 1 . ~ 2c ( i:2 . 2) LJ • . 11. "' LJ 2 ( . 1) X " - lJ • - 1 ... - 1 n n +

X ~~~t; P!(11,)Q!(~,) ['1JQ!_ i(~)P!("'l) - ~Q!(~)PLi(11)]. (56)

Fort;a instan.tanee care act;ioneaza a.su;pra spirei k parcursa de curen­tul ilt, datorita cimpului magnetic produs 'numai de M.tre curenvu indu~i in sferoid; va fi

, F.'14 - - tt i 21t b B"" = u nµ i.[(l-11i)(~:-1)] 112 X . • - • " " "" • 0 . ~i - 11:

X t .i .. [ (1- 11;)( ~= - 1) ]112 f P;( ~o) P,~ (11.) Q!( ~.) K., ( "'l1: , ~1:), ( 57) • - 1 . . 11 • 1 Q,. ( ~)

.· . ..

in care s-a utilizat expresia (5) pentru raza spirei circulare b" §i in care s-a notat pentru simplificarea scrierii

K.("'l., ~.)= n:~:ll) [ ~.PL1(111t)Q!(~;)-'l')"P!("'la)Q!-1( ~.)]. (58)

Fort.a insta.ntanee care act;ioneaza · asupra sferoidului se ·obtfile inaumind fort;ele (57) pentrv. toate spirele, k = 1, 2;.,.,N ~i corisiderind apoi orientarea opusa. DaM. se raporteaza aceasta fort;a la sensul negativ .al axei z (pe verticala in sus), rezulta in. definitiv pe~tru sferoidul alui:lgit

15 LEVITA'fIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 289

perfect conductor N [(1 - '1);)( ;; - 1)]112

F = itµ 0 I; ik ;" " k=l k - 'YJi.

N ~

I; i,[(1 - 7J;){ ~: - ;1)]112 I; 8=1 tt=l

P~ ( ;o) X Q!( ;o)

(59)

in care curenW ik, i, se considera raportati la sensul de cre~tere al coor­donatei rp, iar Kn ( 7),., ;k) are expresia ( 58 ).

'f.'inindu-se seama de observatiile din paragraful 2, forta instantanee rezultanta care actioneaza asupra sferoidului turtit perfect conductor se poate scrie direct din (59):

F = 7tµ0 £ ik [(l - ~) (;it l)Ji f i,[(1 -7);)( ;; + 1)]112 I; Pf, (!;o) X k=l ;k + 'YJk •=l n=l Qn (J;o)

x P~ ("YJ,) Q~ (j;,) Kn ("YJk, j;k), (60)

in care Kn('!Jk ,j;k) se obtine din (58):

Kn ("YJk, j;k)= n22(:: ~) [j;k PL1 (7Jk) Q~ (j;l<) - 'YJ" P"f. ("YJk) QL1 (j;k)] •

. (61) Fortele medii in timp se cal<}uleaza din expresiile lo.r instantanee

(59) ~i (60) prin medierea corespunzatoare a produsului (i.r.:i.). !n sistemele de bobine inductoare care se folosesc practic, spirele

sint legate in serie, astfel inclt ele sint parcurse de catre · acela~i curent electric. Trebuie avut in vedere insa ca spirele a~a-zise ,,de stabilizare", care se monteaza fie deasupra conductorului masiv indus, fie dedesubtul acestuia, sint parcurse de curent in sens contrar in raport cu sensul curentului in. spirele a§a-zise ,,principale", care se monteaza intotdeauna dedesubtul conductorului masiv. Prin urmare, pentru aceste sisteme curenfii trebuie considerati egali cu

i, = 11:, i 0 , s = 1, 2, ... , N, (62)

unde 11:, = + 1 pentru spirele parcurse de catre curentul i 0 in sensul de cre~tere al coordonatei rp ~i 11:, = -1 pentru spirele parcurse de catre curentul i 0 in sens contrar. Expresiile (59) ~i (60) devin acum

F - i2 f [(1 - 7JZ){;i - 1)]112 f EE [(1 - .,,2)(t:'2 -- itµo o ,t.,J i::2 2 ,l.,J k , • ., ">. k=l c,,k - 'Jk •=l

_ 1)]112 ~ P"f, ( ;o) pi(.,, )Q 1( ;)K ("" ; ) (63) ,l.,J Ql ( l: ) n .,, n s n "lk ' k '

.n=l n So ·

§i, respecti v,

F = itµoi~ f [(1 - ~1;>(.;z d l)J112 f i;;k11:,[(1 - "YJ;)(;; + . k=l ;k -r 'YJ.r.: ''.""l

+ 1)]112 n~l ~;(~ i:? P~( 'YJ,)Q~(j ;,)Kn('YJk' j;k), (64)

'Ui care Kn este dat de relatiile (58) ~i, respectiv, (61).

290 I. R. CIRIC 16

.S, t. Caz1Jrl partleulare

4.1.1. Din formulele (63) sau (64) se pot ob~ine ea;presiile corespun-·. ziltoare cazului sferei perfect condu<JrAtoare daca in acestea se fac inloouirile

(39) ~i da.ca se utilizeaza dezvoltarile asimptotice (40). Rezulti expresia cunoacuta [7] · ·

F = 11:i-t0il £ ~n 6,. £ e" e, sin 6, !; (~)•>+ ll. ~)" P!(cos 6,)K.,(cos 6.), (65) · . 1:-1 •• 1 . ... 1 rk r, . .

· in care

K .. (~os 6") = ~ ( ( 2 - -~ ~ 1

) cos 6kP!( cos 61:) __:__ P!_i( cos 6")]. ( 66)

Relatia. (65) poate fi pusa sub forma · mai simpla [7]

F = !Lo4 ~ r ~ e ~ r1:r, cos 6, _.;.ti cos 61: k [-K(~) + 2....2 lJ t lJ I: I ( • Q • Q )1/ 2 II: '"

10 1::-1 , - 1 . r"r, sin va sin v,

.._ 2 -'- k!a E (If. >j . 2(1 - k;,.) . '" '

. (67)

in ,care K ~i E sint integraJele eliptice complete: de speta intii .~i, res­pectiv, a doua, de modul k, .. , al <mrui plttrat are expresia. . ·

k~ - J.2 - 4r.r, sin 0. sin 6, . '" - "'•• - r~2 "' r~fi+ -2....!._)- 2r,.r, cos(G" + 6,) (68)

\ r3 . . 4.1.2. Din formula. (64) se poate obtine ea;presia corupt4-nztJtoare

ca.zuZ discului circular per/ ect conductor daca se tine seama de formula (42):

(69)

in ca.re

K ( . i: ) _ 41i - 1 [j i: p i ·(.., \Q1 · ( • ; \

h - l Yin J "'" = 2ti(2n - l)* "k :...- • ''*<' z,._, J....., - (70)-

- 71ir,Pl-1 ( lli) Q~-2 (j~) ].

S. CALCULUL PIERDERILOR ACTIVE IN SFEROJDUL CONDUCTOR

Determina.rea aproximativa ·a. pierderilor in sferoidtil conductor la frecven~e inalte se poate face utiliztnd . acelati . model al sferoidului perfect conductor .. Pentru .aoeasta se ia in oonsidera.~fo o. oonductivitate

17 LEVlTA'l'lA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR. SFEROJDALE 291

superficiala finita a sferoidnlui :

tr, = ]:__ == GO ~ -~ o, :> p p

s (71)

in care p~, a, p sint, respectiv, rezistivitatea superficiala, conductivitatea 'i rezistiv1tatea materialnlui din care este confecfionat sferoidul la tempe­ratura de functionare a dispozitivnlui, iar o este adincimea de p1i.trun­dere a cimpului elect~omagnetic in sferoidul conductor (pentru cazul

cimpului cu variafie sinusoidala in timp, de pulsafie cu, o = ( 2

)1

'

2

,

. • . (I)~

considerindu-se permeabilitatea inaterialului . sferoidului egala . cu µ0) •

. Pentru repartifia superficiala a curenWor indu,i se considera distribu~ia aoostor curenti din cazul ideal al sferoidului perfect conductor. . . · · Pierderile active in sferoid se scriu deci ·

(72)

unde <& este densitatea pinzei de curent induse la suprafata, sferoidului (38) ~ unde s-a considerat cA. r~zistivitatea superficiala a materialului sferoidului nu depinde de punct la frecventele inalte cu care se lu­creaza [14 ].

On relatiile (38), (37) ti folosind expresia (32) a potentialului vec­tor, rezultA pentru cazul sferoidului alungit

· 1 N • r (1 - 1J!) ( ~~ - 1)]112 ao 2n + 1 1 J$ · - 2c ( ~ - 1)112 .~ i, L ~~ - l)2 .~1 n (n + 1) -Q-~-(-~0-) x

x P~(1J,)Q!(~.)P!(lJ), . (73)

mi<}e s-au utilizat formulele (51) 'i formula wronskianului functiilor Legendre [13] :

p (~)dQ.(;0) ~ Q (~ ) dP. ( ~)- _ 1 (74) ~ d~o n ° . d~o ~ - 1

Pierderile active instantanee in sferoidu1 conductQr alungit la frec­ven~e inalte se pot deci evaiua apro:x.imativ : .

P - it . 1J ~+1 d

. - 2( ~g - 1)1/2 ~ - 1 < ~ - ll2>112x

t[ !; i. [{1 - "1)~) ( ~~ - 1)]112 'f Zn + 1 · Q! ~~o) .P! (lJ,)Q~ ( ~. )P! {.1J)]

2

• (75) 1-1 .. =1 n (n + 1)

292 I. R. OIRIC 18

1n situa~ia in care spirele bobinei inductoare sint legate in serie, se ob~ine cu (62)

p = .s 0 ., x 7t P. i2 ~+l d.,, 2 ( ~~ - 1)1/2 .-1 ( ~~ - "'l2)1/2

x Ltl s:. [(1 - "fl;) (~;-1)]112 II~! n2(:: ~) Q~~~o) P~("IJ.)Q~(~.)P~('1))r. (76)

tn cazul sferoidului turtit, expresia analoga celei precedente este ·2 +1 d P _ 7t p.Eiio ( ____ "fl __

- 2 (~ + 1)1/2)_1 (~5 + '1)2)1/2 x

x(fs:,[(l-"1J;)(~;+1)]112~ 2(n+ll) Qi(l·i:)P~(1J.)Q~(j~.)P~(1J)]2·. •~1 11~1 n n + 11 J <oo ,

(77)

5.1. Cazuri partleulare

5.1.1. Expresiile (76) sau (77) se transforma pentru cazul-limiUl al sferei in felul urmator (se ~ine seama de (39) §i (40)):

P . ·2~ 2n+l[~ . a(ro)"p1( 6)]2 =; np8 i 0 L.l . L.l s:, sin • -'-- 11 Cl.OS , .,

11=1n(n+1) 3=1 r, , · (78)

in care s-a avut in vedere proprietatea de ortogonalitate a func~iilo r Legendre asociate P~ ('1J) [13]:

0 pentru n' =/= n ;

(+i P~ ("fl) P~, ("IJ) d"fl = 2n (n + 1) , L1 pentru n = n. 2n + 1

(79)

5.1.2. Expresia (77) se transforma pentru cazul-limita al discului circular in felul urmator :

1tPJi2 (+1{ N 1 ac

P = 2 o L1 3~ s:, [(1-,;) (~; + l)J2 .. ~1 (-1r.

[ 1 4n -: 1 (n - 1) ! 2n pl ( ) Q1 ( . ~) pl ( )

• -; 2n(2n - 1) 1.3.5 ... (2n - 1) 2n-1 "fl, 2n-1 J • 2,,_1 "fl + +· 4n+l ·. 1.3.5 ... (2n-l) pi.( ·)Q1 ('i;)P1 ( )]}

2dYJ_, (SO)

J 2n (2n + 1) · n !.2n 211 '1). 2" J ' 2" '1J · "fl

unde s-a folosit formula [13] 11-1

- -n (- l)_2_ 1.3.5 ... n t . - ------ pen ru n impar, Q! (jO) 2 2.4.6 ... (n - 1)

-" 2.4.6 .... n ~j ( _ 1) 2 pentru n par.

1.3.5 ... (n - 1)

(81)

19 LEVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 293

. G. llEZULTATE NuHERICE

Sumele care intervin in expresiile for~lor instantanee (63), (64), precum §i in expresiile pierderilor prin efect Joule (76), (77), nu sepot efectua exact.

· Calculele numerice se pot face aproximativ, retinind un nllD13r snficient de termeni in a.ceste sume. Convergen~a seriilor care apar in rezultatele obvinute teoretic este asigurata de fa.ctorii Q!( ~.), care des­cresc repede cind n cre§te~ Aceste serii au convergenva cu atit mai ra­pida, cu cit argumentul ~. al fnnctiilor Q! este mai mare ~i cu atit mai lenta cu cit argum~ntul ~. se apropie de valoarea ~0•

Se observa din relatiile (63); (64), (76) §i (77) ca marimile adimen-

sionale F.2

§i ~2 sint func~ii de 2N + 1 parametri adimensionali : ~o . µo io ~io - . . ' .. . .

~1 YJ.,~.(s = 1,2; ... ,N). '.flillnd seama de relatiile (4), (5) ~·, respect1v, (8), (9), aceste funcvii pot fi . exprimate cu ajutorul urmatorilor 2N + 1

• ~ .:i . • Ii bo . bo d, ( 1 2 N) parametr1 i:ll\.lunens10na : - ~· - • - s= , , ... ,·. . a0 b, b, · .

Un parametru util pentru desenarea. graficelor este h:

1r : .::.:: .:: .: :::::: .. -.== ====.:n

/ ', l h+~=====l==~==,~"{J) 1 ;4--_..::' ·a;:,=, ====!====~,=,7"rr2;1 4 ', (I}

.. z Fig. 3. - Un sistem cu trei spire indu.ctoare (punctat este lndlcata poziiia posibil li pentru

o spirll ,,de stabilizare").

1 d, ri = - = cotg o:11 (82)

b1

d11 b1 ~i 0:1 referindu-se la cea mai de jos sprra a sistemului de spire considerat (fig. 3).

294 I. R. CIRIC 2G

Un · sistem de spire inductoare mnlt folosit in aplica~iile practice este constituit din citeva spire coaxiale echidistante, dispuse pe suprafat;a unui con cu virful in jos, unghiul dintre generatoarea ~i axa acestuia fiind ~ (fig. 3). Pentru un astfel de sistem, numarul de parametriadi-

mensionali care fixeaza geometria si~temnlui se reduce la . ~ase : bo , ao

. :: , tg~, h, distania (aceea~i) dintre . centrele a doua spire consecutive ·

raportata la b1 ~i numirul de spire inductoare N. S-au efectuat calcule numerice pentru sisteme cu o singura spira,

cu doua ~i trei spire, de fiecare data distan~a dintre centrele a dona

spire .consecutive fiind ~ bu ceilal~i para:metri luind valorile urmittoare:

b . __!!.. : .0,20 ; 0,40 ; 0,60 ; 0,80 ; 1,25 ; 1,50 ; 2,00 ; 3,00 ; 5,00, ao b

__!!... : 0,25 ; 0,50 ; o, 75 ; 1,00, . bi

F ,11,,1t

tg~ :0,00 ; 0,20 ; . 0,40 ; . 0,80, h : 0,55 + 2,15.

0,8t--'--r---,,--,.--...,.---,,.-T""""-,.----,-~~

0.7t--:--t---iil6"~-7k'~:--t--+-~--l--I

O.Bt---f--!:ij~~4.--lW-~'---+---+--l~

0.5t---~-""l~~.l,l.-~..lo-~1...-L--'T""""'i

0,4r---r--f'ir.--N"nti~~~--i-:~--lf--l

0.3 t----+---1

0.2 t----+--+-~

O,fi----+-~-1--4--

0 0,4 45 0,8 1,0 !,2 !.~ 45 1,8 2,0 2,2 // :

Fig. 4. - i_ functie de p~metrul h p.entru diverse .. l'o('·b ) . b . .

excentricltli~l __!.... ln cazul N = 3 splre, - 0 = 0,50, l1o b, .

tg13 = 0,40.

~-i----fil Jlolo

I

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,5

0,4

0,2

0 44 f.2 1.5 2,0 2.4 "

Fig. 5. - ~ functie de para-11oi:

metrul h pentru dlverse rapoarte b b

--!.. . In cazul N = 3 spire - 0 = b1 a• = 0,40 : (I) tgfj = 0,00; (II) tg~~ = 0,20 ; (Ill) tgl3 = 0,40' ; (IV)

t:g~ = 0,80.

Singurele reztiltate numerice prezentate in lucrare sint acelea reprezen­tate grafic in figurile 4 - 7, corespunzatoare unui sistem cu trei spire inductoare (,,principale''~). ·

21 LEVITATIA ·ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 200.

lnaltimea la care trebuie situat sferoidul conductor pentru ca fo~a. de levitatie electromagnetica sa fie maxima corespunde valorilor h pentru. care se realizeaza maximul func~iilor de tipul cel(lr reprezentate in figurile· 4 ~i 5. .

Curentul minim necesar pentru ca sferoidul ,,sa pluteascli. pe elm-· pul magnetic inductor", se obtine egalindu-se fo~a de levitavie electro­

·magnetioo care se exercita asupra sferoidului cu greutatea a,cestuia, · atunci cind sferoidul este situat la inaltimea corespunzatoare fortei ·ma­

xime de levitape electromagneticli.. ·De eiemplu, pentru un · sferoid alungit din cupru avind semiaxa.

mica b0 = 0,50 cm, semiaxa mare a0 = 1,25 cm ~i greutatea 0,114· N, situat in preient;a unui sistem cu trei spire inductoare dispuse ca in .figura 3 (fam spire ,,de stabilizare"), in care b1 = 1,00 cm ~i tg~ = 0,40, rezulta. din figura. 4 sau din figura 5 un curent de 10 = 410 A pentru a putea. levita sferoidul la inal1iimea d1 -:- 1,50 cm deasupra celei de mai jos spire,

0 0,+ o,6 o,a 1.0 t.Z 1,9 t,5 to ·~o 1.z h

p . p;l! 1---.---.---~~~~

24 1---'.-''-+.--'f---!--l---I

22

20

18+-_._-l'l~~-+--..---l

15 t---t-~~H-t---+--1

~ t-----~~-H~t---1-~

72 t-+--t---t~l\--!---i

10

8

5~+--l-'~r--1---'l\a--I

Fig. 6. - _ P_ runc~le de parametru.1 h pentru diverse P.·:i:. .

ex.centricit:l\is{~} ln cazul N = 3 spire, !2. = 0;50 ; 2

llo . bi tgf3 = 0,40.

'/ , Q,.+ IJ,8 ' 12 f.5 2,0· l.~ ~

p . bo 31bo Fig. 7. - - runctle de perametrul h pen,tru diverse rapo:trtl' -In cazul N = sp re, -=

~· ~ llo = (J,4o: (I) tgf3 = 0,00; (II) tgf3 = 0'.20; (1,11) tg~ = 0,40; (IV) tgf3 = 0,80.

(h = 1,50)."' 1n aceea~i situa.pe, pentru tg ~ = 0,00 rezulta. 10 = 370 A, iar pentro tg ~ = 0,80 I 0 = 445 A.

Pierderile pentru situavia considerata. rezulta din figurile 6 ~i 7. Presupumndu-se . rezistivitatea materialului sferoidului p ~ 2 .10-10 Om. ~ o frecvenfa a. curentului din spirele inductoa.re f = 5·1011 Hz, rezulta..

296 r. R. cmrc 22

Nr. de b0fllo = 0,20 b0/a0 = 0,40

termeni bo/b1 = bofb1 = retinuli 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00

4 - - - - - - - ----7 - - - - < 10-4% < 10-1% < 50% -----

14 < 10-5% <1% < 50% I - < 10- 6 % < 10- 3 % < 1% -

Nr. de b0 /a0 > 1,50

termeni b0 /b 1 = retinuti 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00 0,25

4 - I - - - < 10-6 %

7 < 10-10% < 10-9 % < 10- 6 % < 10-4% < 10-10%

I 14 < 10-10% < 10-10% ·< 10-10% < 10-8 % < 10-10%

(rezistivitatea superficiala fiind P.s ~ 2 .10-50) P = 11,50 W pentru tgfj = 0,40, P = 10,80 W pentru tgf3 = O,OO §i P =12,25 W pentru tgfj = 0,80.

Stabilitatea statica a sferoizilor in stare de suspensie datorita exer­citarii fortelor de levitatie electromagnetica este analizata in lucrarea de fat;a numai dupa direct;ia verticalei. ·

Din figurile 4 §i 5 se observa ca spatiul de deasupra sistemului de spire inductoare este impartit in doua prin valoarea h = h,,. corespun-

zatoare valorii maxime a functiei F.2

• Pentru h <: h,,. levitafia este fJ.o 'to

static instabila, deoarece o mica deplasare a sferoidului dupa directia verticalei (intregul sistem pastrindu-§i simetria axiala) duce la o depla­sare in continuare a sferoidului in acela§i sens. Pentru h > h,,. este posi­bila levitatia static stabila, deoarece, dupa orice deplasare mica a sfe­roidului din pozitia de echilibru dupa direct;ia verticalei, sferoidul tinde sa revina in pozi~ia initiala de echilibru.

Stabilitatea laterala ·(in planul orizontal) este obtinuta practic printr-o dispozitie convenabila a spirelor ,,principale", de exemplu ast­fel incit acestea sa fie situate pe un con cu virful in jos, ca in figura 3, !}i prin utilizarea unor spire ,,de stabilizare", montate de obicei deasup:ra sferoidului conductor §i parcurse de curentul electric in sens invers sen­sului curentului in spirele ,,principale".

!n procesul de calcul cu formulele (63), (64), (76) §i (77) s-a tinut seama ca, in general, convergenta seriilor care intervin in aceS-te formule

este cu atit mai rapida cu cit raportul bo este mai apropiat de unita-ao .

te, cu cit raportul bo este mai mic §i cu cit h este mai mare. Influ­b1

~23~~~-L_EVIT~_A_T_I_A_E_L_ECTR~-,-o_M_A_G_NETI~~c_A_A~_co_N~D_u_cT_o_AR~E_L_O_R~S_F_E_RO~ID_A_L_E~~~297

b0 /a0 = 0,60 b0 /a0 = 0,80

bo//11 = bo/b1 =

0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00

- - - - < 10-1% < 10-1% <1% -

< 10-8 % < 10-2 % < 1 3 - - - - -

<10- 8 3 < 10-43 < 10.- 2 3 - - - - l -

b0 /a0 = 1.50 b0 /a0 = 1,25

b0 /b 1 = bofb1

0,50 I 0,75 I 1,00 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00

< 10-'3 < 10-2 3 < 10-13 < 10- 7 3 < 10-5 3 I < 10-3 3 < 10-1 3

< io-1 3 < 10-1 3 < 10-'3 - - - -

< 10-103 < 10-103 < 10-•3 < 10-10% < 10-103 < 10-103. <10-18%

enta parametrului tg~ asupra convergentei acestor serii este mai putin importanta. ·

Erorile (in procente) care se obtin atunci cind se retin din seriile infinite doar primii 4,7 ~i, respectiv, 14 termeni sint indicate in tabela Ile mai sus.

Deoarece iri formulele pierderilor seriile cu termeni in general sub­unitari se ridica la patrat, erorile care se obtin la calculul pierderilor atunci cind in aceste .serii se retine acela~i numar de termeni sint mai inici decit erorile corespunzatoare care se obtin la calculul fortelor.

tn tabela de mai sus sint indicate erorile maxime care se obtin pentru valorile cele mai mici ale parametrului h. Cu cit h este mai mare, :m atit erorile corespunzatoare sint mai mici (la acelea§i valori ale rapoar-

;elor bo §i bo ) ; pentru valorile cele mai mari ale lui h cu care se lu -ao b1 .

;reaza, aceste erori sint cu citeva ordine de marime mai mici decit. ace­lea corespunzatoare celor mai mici valori ale parametrului h.

7. CONCLUZil

'1n lucrare s-a obtinut solutia exacta in problema levitatiei electro­nagnetice a unui sferoid perfect conductor in J;lrezenta unui sistem de ;pire circulare coaxiale parcurse de curenti electrici. Expresiile obtinute )entru fortele de levitatie electromagnetica ~i pentru pierderile de putere ~ctiva in masa sferoidului (presupunindu-se ca aceasta are o conducti­ritate superficiala finita) reprezinta valorile instantanee ale acestor ma­·imi ; in cazul unui curent de excitatie periodic in timp, expresiile aces-

298 I. R. C!RI<;: 24

tea reprezinta. valorile medii in timp (pentru un numar intreg de perioade) daca in locul valorii instantanee a curentului se introduce valoarea lui efectiva. '

Peste tot in lucrare, spirele infii.§urarii inductoare au fost presupuse filiforme. 1nsa din motive tehnice, cum ar fi, de exemplu, necesitatea racirii prin interior a spirelor, acestea se confectioneaza din conductor cilindric in forma de te1;Iiva. Rezultatele obtinute in lucrare ramin practic valabile §i in aceasta situatie, cu conditia ca raza sectiunii transversale a conductorului spirelor inductoare sa fie neglijabilit in raport cu raza medie a acestor spire ~i cu semiaxa mica a, sferoidu:lui conductor indus.

Efectul excentricitatii sferoidului, al raportului dintre semiaxa b0 a sferoidului §i raza b1 a celei mai de jos spire, precum §i efectul unghiu­lui ~ al deschiderii la virful suprafetei conului pe care este montat sis­temul, celor trei spire inductoare cu proportiile dimensiunilor lui indicate in figura 3, se poate vedea din figurile 4,6, §i, respectiv, 5, 7. Se observa

ca cu cit raportul bo este mai mare, cu atit fortele de levitatie electro-b1

magnetica ~i pierderile sint mai mari. Se observa de asemenea ca cu cit unghiul fj este mai mic, cu atit fortele ~i pierderile sint mai mari. Valori ~i· mai mari pentru aceste marimi s-ar obtine daca spirele induc­toare ar fi infa~urate pe suprafata unui con cu virful in sus, avind o anumita. deschidere unghiulari't la virf. 1nsa din motive tehnice, legate de levitatia materialului conductor in stare lichida ~i de stabilitatea sistemelor respective in ansamblu, este necesar ca spirele inductoare sa fie infa~urate pe suprafata unui con cu virful in jos (fig. 3).

Dupa cum rezulta din figura 4, excentricitatea sferoidului influen­teaza deosebit de puternic zona lui de stabilitate statica.

· Introducerea a~a-numitelor inductivitati efective (15] pentru cazul levitatiei electromagnetice ,a conductoarelor masive sferoidale, precum 'i verificarea experimentala cu. ajutorul acestora a rezultatelor obtinute in lucrarea de fata, va face obiectul unei lucrari viitoare.

BIBLIOGRAFIE

1., R. RXDULET, Bazele teoretice ale electrotehnicii, vol. IV, Bucure~ti, Tipografia ~I litografia lnvatamtntului, 1964.

2. W. BRIESLEY, B. S. THORNTON, Electromagnetic levitation calculations for axially symmetric systems, Brit. J. Appl. Phys., U, 10, 682-686 (1963).

3. L. S. PIGGOTT, G. F. Nix, Electromagnetic levitation of a conducting cylinder, Proc. I.E.E., 113, 7, 1229 (1966).

4. A. TuGULEA, I. R. CIRrc, Clmpu.l electromagnetic al unor spire parcurse de curent alternati~ In prezenta unor coji s(erice conductoare, St. cerc. energ. electr., 18, 2, 355-37!l (1968).

5. A. TuauLEA, Cfmpul electromagnetic cvasistationar al conductoarelor rectili'izii parcurse df curenti alternativi in prezenta ecranelor electromagnetice cilindrice, St. cerc. energ. electr., 14, 4, 807-837 (1964).

6. I. R. Cmrc, Asupra levita/iei electromagnetice a conductoarelor cilindrice circulare drepte, St. cerc. energ. electr., 18, 1, 113-130 (1968).

25 LEVlTATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 299

7. I. R. C1R1c, On the electromagnetic levitation of spherical conductors, Rev. Roum. Sci. Techn. _, Electrotechli., 14, 1 (1969).

8. C. FLAMMER, Spheroidal wave functions, Stanford University Press, 1957. 9. PH. M. MORSE, H. FESHBACH, Methods of theoretical physics, Part II, Chap. 10, New

York-Toronto-Londra, McGraw-H;Jl Book Co., Inc., 1953. 10. J. D. JACKSON, Classical electrodynamics, Chap. 5, New York-Londra, John Wiley & Sons,

Inc., 1962. 11. E. W. HOBSON, The theory spherical and ellipsoidal harmonics, Chap. 10, Cambridge Uni­

versity Press, 1931. 12. W. R. SMYTHE, Static and dynamic electricity, Chap. 5, New York-Toronto-Londra, 1950. 13. H. BATEMAN, A. ERDELYI, Higher transcendental functions, ·.vol. 1, Chap. 3, New York;

Toronto-Londra, McGraw-Hill Book Co., Inc., 1953. 14. c. I. MOc:ANU, Contributii la sludiul regimurilor peliculare ale ctmpurilor electromagnetice

in conductoare, St. cerc. energ. electr., (sub tipar). 15. W. E. SMITH, Electromagnetic levitation forces and effective inductance in axially symme-

tric systems, Brit. J. Appl. Phys., 16, 377-383 (1965). -··