Legile lui Kirchhoff si aplicatii

O retea electrica oarecare este constituita din mai multe laturi (ramuri), noduri si ochiuri. Un nod al circuitului reprezinta un punct in care se intalnesc cel putin trei curenti electrici, care vin sau pleaca prin trei laturi ale circuitului. Ochiul este un circuit inchis format arbitrar in circuitul complex considerat si care contine cel puti 141d35b n doua laturi. O latura este portiunea de circuit cuprinsa intre doua noduri succesive. Rezolvarea problemelor care se refera la circuitele complexe se face tinand seama de cele doua teoreme ale lui Kirchhoff.

Legea intai a lui Kirchhoff

Este o consecinta a legii generale de conservare a sarcinii electrice, si se enunta astfel:

”Sarcina electrica care intra in unitatea de timp intr-un nod este egala cu sarcina electrica care iese in unitatea de timp din nodul respectiv”.

Pentru exprimarea intuitiva a primei legi, se adopta o regula a semnelor pur conventionala pentru intensitatile curentilor electrici. In fig.9 se considera pozitive intensitatile curentilor electrici care intra intr-

un nod , si negative intensitatile curentilor electrici care ies

din nodul respectiv si . Cu aceasta regula a semnelor prima lege a lui Kirchhoff se mai enunta si astfel:

“Suma algebrica a intensitatilor curentilor electrici intr- un nod este zero”:

. (5.49)

A doua lege a lui Kirchhoff

“Suma algebrica a caderilor de tensiune de pe laturile unui ochi este egala cu suma algebrica a tensiunilor electromotoare a surselor de curent care se afla in ochiul respectiv”:

. (5.50)

Se stabileste mai intai un sens pozitiv de parcurs a laturilor ochiului. Regula semnelor este:

- pentru tensiunea electromotoare se ia semnul daca sensul curentului debitat de sursa

respectiva (in cazul in care ar fi singura din circuit) coincide cu sensul pozitiv ales, iar semnul se va lua in caz contrar;

- pentru produsul (caderea de tensiune pe rezistorul ) se ia semnul daca curentul are

acelasi sens cu sensul pozitiv ales, iar semnul se va lua in caz contrar.

Metoda de aplicare a legilor lui Kirchhoff.

Se determina numarul de laturi si numarul de noduri . Se fixeaza in mod arbitrar sensul curentilor din fiecare latura.

Se stabileste intai un nod oarecare, acesta fiind considerat primul nod independent, in care scriem legea intai a lui Kirchhoff (5.49). Urmarim apoi existenta altor noduri independente - care sa contina cel putin o intensitate a curentului electric care nu a fost cuprinsa in primul nod. Dupa ce am

stabilit cele noduri independente, scriem pentru fiecare legea intai a lui Kirchhoff. De exemplu, circuitul din fig.10 are un singur nod independent, 1 sau 2.

Se determina apoi numarul de laturi , care reprezinta de obicei curentii din laturile circuitului.

Fixam in mod arbitrar ochiurile circuitului respectiv. Dupa fixarea unui ochi, un al doilea ochi este nou sau independent daca contine cel putin o portiune sau o latura necuprinsa in ochiul precedent.

Dupa stabilirea numarului de ochiuri independente, in numar de , se fixeaza in mod arbitrar un sens de parcurgere pentru fiecare ochi. In scrierea legii a doua a lui Kirchhoff pentru ochiurile respective se tine seama de regulile stabilite la enuntarea legii.

Se obtin in final ecuatii cu necunoscute.

Daca in urma efectuarii calculelor se obtine o valoare negativa pentru inseamna ca sensul real al curentului in portiunea respectiva de circuit este opus sensului ales de noi arbitrar. Aplicand legile lui Kirchhoff pentru circuitul din fig.10, obtinem ecuatiile:

Exemplul 1.

Sa se determine curentii prin laturile circuitului din fig.11, care are 6 laturi si 4 noduri, astfel ca aplicam legea

intai a lui Kirchhoff in trei noduri si legea a doua

in 3 ochiuri :

Rezolvand sistemul celor 6 ecuatii obtinem:

Exemplul 2. Determinarea rezistentei electrice la circuite cu simetrie.

Consideram circuitul din fig.12, in care fiecare rezistenta are valoarea . Aplicand tensiunea

intre punctele si ale circuitului, prin laturile acestuia vor trece curentii conform fig.12 (s-a tinut cont de simetria jos-sus si stanga-dreapta a circuitului). Se observa ca exista numai trei noduri independente (cele marcate cu cerc gol), in care legea intai a lui Kirchhoff se va scrie astfel:

; (5.51)

; (5.52)

. (5.53)

De asemenea, observam ca exista un singur ochi independent, in care pentru sensul de parcurs indicat se scrie legea a doua a lui Kirchhoff:

. (5.54)

Tensiunea poate fi scrisa, pe de o parte

, (5.55)

iar pe de alta parte, urmarind un traseu oarecare intre punctele si :

. (5.56)

Identificand (5.55) cu (5.56) obtinem:

. (5.57)

Din (5.51-5.54) eliminam si , si obtinem si in functie de :

, ,

care se inlocuiesc in (5.56) obtinandu-se:

. (5.58)

Exemplul 3. Legarea surselor in paralel

Dupa cum se observa in fig.13 a, exista un singur nod independent, in care scriem legea intai a lui Kirchhoff:

, (5.59)

si ochiuri independente, in care legea a doua a lui Kirchhoff are aceeasi forma:

. (5.60)

Inlocuind din (5.60) in (5.59) obtinem:

. (5.61)

Pe de alta parte, o sursa echivalenta cu sistemul celor surse legate in paralel ar trebui sa debiteze

acelasi curent prin aceeasi rezisrenta exterioara :

(5.62)

Identificand formulele (5.61) si (5.62), obtinem:

. (5.63)

In cazul general suma de la numarator este algebrica, pentru ca sursele pot debita in sensuri diferite.

In cazul particular al doua surse ce debiteaza in sensuri opuse, tensiunea electromotoare echivalenta din (5.63) are expresia:

.

De aici se desprinde o regula legarea in paralel, anume ca sursele trebuie sa aiba curentii de scurt-circuit de valori cat mai diferite, in caz contrar tensiunea electromotoare echivalenta poate fi nula.