Legea fundamentală a angrenării.

Legea fundamentală a angrenării stabileşte condiţiile ce trebuie îndeplinite de angrenaj, pentru ca raportul

de transmitere să se menţină constant.

Se considerăm două roţi dinţate, care se rotesc în jurul axelor 1O şi 2O cu vitezele unghiulare 1 şi 2

(fig.1.11) şi profilurile dinţilor lor 1C şi 2C în contact în punctul M . Vitezele periferice ale celor două profiluri,

în punctul de contact vor fi:

MOv;MOv 222111 (1.3)

unde MO1 şi MO 2 sunt distanţele de la punctul de contact M la cele două centre de rotaţie. Se descompun

vitezele periferice 1v şi 2v după normala nn şi tangenta tt în punctul de contact, obţinându-se

componentele normale n1v şi n2v precum şi componentele tangenţiale t1v şi t2v .

Pentru ca profilul 2C să fie tot timpul condus de profilul 1C este necesar ca :

n2n1 vv

deoarece, dacă n2n1 vv , rezultă că profilul 2C are o viteză proprie, deci roata cu centru în 2O nu va mai fi

condusă, iar dacă n2n1 vv , profilul 1C deformează profilul 2C . Se poate scrie:

MO

AOv

MO

AOv

2

222

1

111

Prin înlocuirea lui 1v şi 2v din relaţia (1.3), relaţia precedentă devine:

11

22

2

1

AO

AO

(1.4)

iar din relaţia (1.4) se obţine raportul de transmitere 12i :

PO

POi

1

2

2

112

(1.5)

Întrucât punctul P apare ca intersecţie între dreapta 21OO , care uneşte centrele de rotaţie fixe ale celor

două roţi, şi normala n-n la profilurile dinţilor, rezultă că raportul de transmitere va fi constant, dacă punctul P

rămâne fix pe linia centrelor, în tot timpul cât cele două profiluri 1C şi 2C sunt în contact .

Ca urmare, legea fundamentală a angrenării( teorema Willis) se enunţă astfel: pentru ca două roţi dinţate să

transmită mişcarea de rotaţie sub un raport de transmitere constant este necesar ca profilurile dinţilor să fie astfel

constituite, încât, în timpul angrenării, normala comună lor în punctul de contact să treacă printr-un punct fix P de

Figura 1.11

pe linia centrelor. Acest punct se numeşte punct de rostogolire sau polul angrenării, iar profilurile roţilor care

satisfac legea fundamentală sunt conjugate.

Considerând că punctul de contact M a ajuns în polul angrenărilor, M P , vitezele 1v şi 2v vor fi

perpendiculare pe linia centrelor, deci vor avea acelaşi suport.

Cercurile de raze 1wr şi 2wr poartă numele de cercuri de rostogolire. Deci punctul P se află şi la

contactul dintre cele două cercuri de rostogolire.

Traiectoria punctelor succesive de contact dintre profilurile dinţilor se numeşte linie de angrenare.

Chiar dacă raportul de transmitere se menţine constant, deci componentele normale ale vitezelor sunt

egale, componentele tangenţiale sunt diferite,cu excepţia polului P al angrenării unde sunt egale. Diferenţa dintre

valorile acestor componente creşte cu depărtarea punctului de contact M de polul P .