Lect˘ii de TEORIA RELATIVITAT˘II -...

Lectii deTEORIA RELATIVITATII

Gheorghe Munteanu, Vladimir Balan

2000

Cuprins

PREFATA 7

I Elemente de teoria relativitatii restranse 9

1 Universul spatio-temporal Minkowski 111.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 De la mecanica newtoniana la relativitatearestrınsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Cateva notiuni fundamentale. . . . . . . . . . . . . . 181.2 Spatiul Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.1 Metrica Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.2 Transformari Lorentz speciale . . . . . . . . . . . . . . 291.2.3 Consecinte cinematice ale transformarilor Lorentz. . . . 331.2.4 Imaginea euclidiana a transformarilor Lorentz. . . . . . 351.2.5 Hipercon luminos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2.6 Linii de univers. Timp propriu. . . . . . . . . . . . . . 391.2.7 Marimi tensoriale ın spatiul Minkowski. . . . . . . . . . 40

2 Elemente de dinamica relativista 432.1 Cvadiviteza si cvadriacceleratie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Principiul minimei actiuni. . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2 Principiul minimei actiuni pentru particula libera. . . . 44

2.2 Dinamica particulei relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1 Cvadrivectorul energie-impuls. . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 Cvadriforta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Relativitatea campului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . 492.3.1 Tensorul campului electromagnetic. . . . . . . . . . . . 49

3

4

2.3.2 Lagrangianul campului electromagnetic . . . . . . . . . 52

II Relativitate Generala 55

3 Elemente de geometria varietatilor diferentiabile 633.1 Varietate diferentiabila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Derivata covarianta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Vatietati riemanniene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Teoria gravitatiei. 874.1 Universului spatio-temporal Einsteinian. . . . . . . . . . . . . 874.2 Particula libera ın camp gravitational. . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Ecuatiile de miscare ale particulei libere . . . . . . . . 914.2.2 Aproximarea newtoniana a campului

gravitational. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.3 Principiul de covarianta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Ecuatii Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4 Solutii ale ecuatiilor Einstein pentru campul gravitational slab.1014.5 Metrica Schwarzschild cu simetrie sferica. . . . . . . . . . . . . 105

4.5.1 Geodezicele metricii Schwarzschild. . . . . . . . . . . . 1094.5.2 Metrici cu simetrie sferica generalizata. . . . . . . . . . 119

4.6 Spatii Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.7 Elemente de cosmologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

III Further developments of Einstein’s theory 131

5 The extended theories of gravity 1335.1 Conformal metrics. The Palatini approach . . . . . . . . . . . 133

5.1.1 Ehlers-Pirani-Schild extended theory of gravitation . . 1335.2 The Kerr-Newman metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3 Kaluza-Klein theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 Teorii gravitationale dependente de directie 1356.1 A (1+3) threading of spacetime with respect to an arbitrary

timelike vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.2 Geometria fibratului tangent TM. . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3 Ecuatii Einstein pe TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5

6.4 Spatii Finsler. Spatii Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.5 Teoria gravitationala si campul elecromagnetic pe TM. . . . . 1506.6 Modele relativiste ın spatii Lagrange si Finsler. . . . . . . . . 152

6.6.1 Metrica Beil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6.2 Metrica Miron-Tavakol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.6.3 Modele ın optica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.7 Deviatii ale geodezicelor ın spatiul Finsler al universului spatio-temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.8 Ecuatii Einstein pe TM pentru campul gravitational slab. . . 1626.9 Ecuatii Einstein pe fibratul olomorf T ′M. . . . . . . . . . . . . 165

6.9.1 Geometria fibratului T ′M. . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.9.2 Spatii Lagrange si Finsler complex. . . . . . . . . . . . 168

Bibliografie 173

PREFATA

Cand ne-am propus sa scriem o carte de teoria relativitatii, am fost deseoriıntampinati cu observatia ca aceasta este treaba fizicienilor.

Intr-adevar, teoria relativitatii este o teorie a spatiului, a timpului si agravitatiei - deci utilizeaza concepte fundamentale ale fizicii. Intelegereaacestor idei, ın special cele ale gravitatiei - relativitatea generala, presupuneo pregatire matematica consistenta ın domenii cum ar fi mecanica, geometriaafina, dar, mai ales, geometria varietatilor diferentiale.

Din punctul nostru de vedere am putea spune ca teoria relativitatii esteun capitol aplicativ de geometrie diferentiala. Parcurgerea unui curs de ge-ometria varietatilor diferentiale (care la nivelulul actual este destul de axi-omatizat si formalizat) da senzatia unei teorii matematice pure, aplicatiilefiind adesea tot cu tenta teoretica. Abia parcurgand un astfel de curs deteoria relativitatii generale poti sa-ti lamuresti importanta unui spatiu curbsi sa intelegi ce modele importante ofera geometria pentru fizicieni.

Prezentul curs se adreseaza studentilor matematicieni din anii terminalisi noi consideram ca este indispensabil pregatirii lor, ın special pentru cei ceau optat pentru o pregatire geometrica mai consistenta. Ei pot gasi aici bazacunostintelor atat matematice cat si fizice necesare ıntelegerii lui. Credem,din acest motiv, ca el poate fi folosit ın egala masura si de studentii fizicienicare prin pregatirea lor nu au ıntodeauna cunostintele matematice necesareparcurgerii capitolelor de relativitate generala. Desigur, cursul poate fi utili-zat si de alte persoane dornice sa ınteleaga aceasta teorie teribila a secoluluiXX, ne gandim ın primul rand la cei ce abordeaza aspecte filozofice ale rela-tivitatii, fara sa aiba pregatirea matematica necesara.

Cartea este conceputa ın doua parti:

• elemente de teoria relativitatii restranse (speciale), ın care cititorul sefamiliarizeaza cu universul spatio-temporal al lui Minkowski si trans-formarile Lorentz ce ıl guverneaza.

7

8 PREFATA

Sunt abordate principalele interpretari cinematice si dinamice din re-lativitatea restansa. Se face si o scurta incursiune ın teoria relativistaa electromagnetismului.

• ın partea a doua, intitulata ”Relativitate generala”, dupa o scurtapregatire matematica, se studiaza teoria gravitatiei.

Sunt studiate solutii pentu ecuatiile Einstein, ın cazul solutiilor Schwar-zschild, facandu-se referinte si la teoria gaurilor negre.

Ultimul capitol din aceasta parte, intitulat “Teorii gravitationale de-pendente de directie”, face trimiteri la o teorie moderna ın care scoalaromaneasca de geometrie are contributii remarcabile. El ar putea oferideschideri pentru cercetari ulterioare.

Credem ca prezentul curs va fi primit corespunzator dorintelor noastreatat de matematicieni cat si de fizicieni, el venind ın completarea unor cartiexcelente cum sunt cele ale lui Gh.Vranceanu, N.Mihaileanu [86] (ce se adre-seaza ın special matematicienilor) sau C.Vrejoiu [89] (ce se adreseaza in spe-cial fizicienilor).

Gheorghe Munteanu Vladimir BalanUniversitatea Transilania Universitatea PolitehnicaBrasov Bucuresti

Partea I

Elemente de teoria relativitatiirestranse

9

Capitolul 1

Universul spatio-temporalMinkowski

1.1 Introducere

1.1.1 De la mecanica newtoniana la relativitatearestrınsa.

Pentru a ıntelege sensul formularii teoriei relativitatii este necesar sa damunele precizari privind notiunile implicate si sa facem o scurta incursiune ınproblematica fizicii ce a condus la elaborarea teoriei relativitatii.

In fizica clasica se opereaza cu notiuni, concepte aflate in miscare saurepaus raportat la un anumit loc (spatiu) si timp. Aceste notiuni au un ca-racter relativ, deoarece se raporteaza la repere constand din obiecte materialesi respectiv, un ceas.

De regula, spatiul este descris prin marcarea pozitiilor unui obiect inraport cu un reper spatial tridimensional real, iar timpul printr-o singuracoordonata reala. Descrierea unui fenomen ın timp - adica a unui eveni-ment, trebuie sa se faca deci ıntr-un anumit loc si moment ıntr-un reper4-dimensional, numit sistem de referinta (SR) spatio-temporal. Orice procesfizic devine o succesiune de evenimente spatio-temporale.

Avand ın vedere ca pozitionarea spatiala trebuie sa se faca si din punct devedere metric, ın mecanica clasica este unanim acceptata structura euclidianaa spatiului tridimensional, pozitionarea matematica ın reperul spatial fiindcea vectoriala.

11

12 Capitolul 1.

Ca orice stiinta, fizica trebuie sa cuprinda legi general acceptate ce nudepind de SR spatio-temporal.

Aspectul relativ al teoriilor este legat de raportarea la diverse SR , depozitionarea SR, de directiile axelor de coordonate, precum si de fixarea unuitimp 0. Intr-un sistem R = O,~ei fixat, un punct va fi deci caracterizat decoordonatele spatiale (x1, x2, x3), sau vectorial de ~r = xi~ei. Peste tot vompresupune conventia lui Einstein de sumare a indicilor. Descrierea evenimen-tului este facuta de elementul (t, x1, x2, x3), t fiind variabila temporala.

Miscarea, raportata la un SR, este perceputa prin schimbarea ın timp acoordonatelor spatiale, marimea specifica ce descrie miscarea fiind viteza,adica variatia coordonatelor spatiale in raport cu timpul, ~v = d~r

dt. Daca

~v =constant, miscarea este uniforma. Variatia vitezei ın raport cu timpuleste accleratia,

~a =d~v

dt.

La baza mecanicii newtoniene stau urmatoarele legi (principii):

P1.(Principiul inertiei, Galilei). In absenta interactiilor cu alte corpuri,un corp se afla ın stare de repaus sau de miscare rectilinie si uniforma.

Sa observam de la ınceput ca miscarea (repausul) este raportata la unSR dat, ceea ce ınseamna ca miscare ıntr-un SR poate ınsemna repaus ınaltul SR’. Este binecunoscut exemplul cu obiectele dintr-un vagon de trenın deplasare, care se afla ın repaus ın raport cu un reper fixat din interiorulvagonului si ın miscare ın raport cu o gara.

Totalitatea SR pentru care se aplica principiul inertiei se numesc sistemeinertiale, (SRI). In aceasta parte le vom lua ın considerare numai pe acestea.

P2.(Principiul fundamental al dinamicii). Forta ce actioneaza asupra unui

corp este proportionala cu acceleratia impusa lui, ~F = m · ~a; m =masa cor-pului.

P3.(Principiul interactiunii).Actiunile reciproce a doua corpuri sunt egale

ın marime si de semne opuse: ~F1 = −~F2.

P4.(Principiul lui Galilei). Actiunile reciproce a mai multor corpuri esterezultanta vectoriala a interactiilor lor.

Actiunea unei forte asupra unui corp nu spune nimic daca nu este privitaın timp,

~F ·∆t = m~a ·∆t = m ·∆~v = m~v −m~v0,

vectorul ~p = m~v numindu-se inpuls.

Introducere 13

Efectul total al unei forte este direct proportional cu distanta pe careactioneaza, si este dat de lucrul mecanic

L = F ·∆s =mv2

2− mv2

0

2,

unde cantitatea E = mv2

2este energia cinetica imprimata corpului.

Considerand doua SRI diferite suntem nevoiti sa acceptam cateva ipotezevalabile ın mecanica newtoniana:

• intervalele de timp sunt aceleasi ın cele doua SRI.

• distantele spatiale

∆s2 = (∆x1)2 + (∆x2)2 + (∆x3)2

se pastreaza daca ambele repere sunt ortonormate, fapt justificat geo-metric prin

∆s2 = ∆s′2 = (∆x′1)2 + (∆x′2)2 + (∆x′3)2

la transformarile ortogonale.

• masa este o notiune invarianta.

• fortele de interacttiune dintre doua corpuri nu depind decat de pozitiilecorpurilor, de vitezele lor si de timp.

Pentru a exprima reguli obiective ale fizicii, este necesar sa avem relatiimatematice ce exprima transformarile de coordonate ın cele doua SRI, adica

(t, x1, x2, x3)T↔ (t′, x′1, x′2, x′3)

cu T inversabila. In plus, o lege sau o ecuatie, este de luat ın seama daca eaısi pastreaza caracterul de adevarat sau fals prin trecerea cu transformareaT de la un reper la altul. Acesta este un principiu esential ın fizica, numitproprietatea de invarianta.

Transformarile ce satisfac ipotezele de mai sus se exprima simplu subforma transformarilor lui Galilei:

14 Capitolul 1.

Figura 1.1: Transformarea lui Galilei

Presupunem ca t′0 = t0 si ca sistemul SRI′ se deplaseaza prin translatiefata de SRI cu viteza constanta ~v.

Avem: −−→OM =

−−→OO′ +

−−→O′M,

adica, pe componente:

x′i = xi − vit, i = 1, 2, 3 (1.1)

Legile ce satisfac pricipiul de invarianta la transformarile lui Galilei sespune ca verifica principiul relativist al lui Galilei.

Daca un punct M se deplaseaza ın SRI dupa o anumita regula

xi = xi(t), (i = 1, 2, 3),

atunci, derivand ın transformarile lui Galilei ın raport cu t, obtinem ca vitezade deplasare

~u =d~r

dt

a lui M in SRI se leaga de viteza ın SRI′ prin

u′i = ui − vi ; i = 1, 2, 3 (1.2)

Introducere 15

Derivand ınca o data, obtinem ca transfornarile lui Galilei pastreaza ex-presia fortei.

Lumea ar fi simpla (si monotona) daca ea ar fi numai de natura materiala.Evolutia fizicii de la Newton pana astazi a scos la iveala o seama de fenomenece au pus la ındoiala valabilitatea invariantei lui Galilei.

Primul semn de ıntrebare a fost legat de viteza luminii si natura undeiluminoase. Incercari de a determina viteza luminii sunt mai vechi, ıncepandcu observatiile danezului O.Romer (1644-1710) si ale englezului J.Brandley(1693-1762) ce au stabilit o valuare de ≈302000 Km/s pentru viteza lu-minii. Experientele tereste au constatat ın secolele urmatoare (A.Fizeau,J.Foucault, A.Michelson, etc.) o valoare apropiata de c=300000Km/s ac-ceptata astazi. Daca am presupune ca doua SRI se deplaseaza cu o vitezav mare, conform cu (1.2) ar ınsemna o diferenta considerabila ıntre c si c′,vitezele lumini in cele doua sisteme. Chiar mai mult, am deduce ca putemconsidera SRI ın care viteza luminii sa fie oricat de mare. Acesta a fost unprim semn de ıntrebare.

In ceea ce priveste natura luminii, lucrurule stau si mai complicat. Nudorim aici sa evidentiem elemente ce stau la baza fizicii de astazi. Ele se potgasi pe ınteles ın lucrari de popularizare a stiintei, una excelenta si accesibilatuturor fiind [57].

Amintim doar ca Newton considera, ın 1675, ca lumina are o naturamateriala, corpusculara, ce se reflecta diferit pe obiecte. Odata cu aparitiateoriei ondulatorii, la numai trei ani diferenta, ın 1678, fizicianul C.Huygensemite ipoteza naturii ondulatorii a luminii. Experientele ulterioare facute deTh.Young (1817), J.A.Fresnel (1819) au aratat ca teoria optica ondulatoriea lui Huygens complica mult lucrurile, ducand la introducerea unei notiunicu caracter semiabstract: eterul.

Fizica intra ıntr-un nou impas odata cu studiul ca mpului electromagnetic.Ecuatiile lui Maxwell (1864) realizeaza o descriere unitara a fenomenelor

electrice si magnetice.In lumea fizicii secolului trecut apare ideea ca toatefenomenele fizice ar trebui sa-si gaseasca explicatii prin aplicarea legilor luiGalilei la un mediu suport, eterul, dar de natura electomagnetica. Eterul esteconsiderat pretutindeni iar campul electromagnetic o stare a sa. Dificultateace apare este ca legile lui Maxwell nu raman invariante la transformarile detip Galilei. Ca urmare, la sfarsitul secolului trecut se dezvolta doua teoriiprerelativiste:

• ipoteza lui Hertz (1888), ce considera ca la randul sau eterul este total

16 Capitolul 1.

antrenat ıntr-o miscare ce face ca viteza luminii sa ramana o constanta.Ideea este curand infirmata de experiente.

• ipoteza olandezului H.A. Lorentz (1853-1928), ce separa invarianta detip Galilei pentru lumea materiala, iar pentru celelalte fenomene seaccepta existenta unui SR preferential, supus legilor electromagnetis-mului.

Experientele facute au condus la concluzia ca nu se poate pune ın evidentamiscarea Pamantului fata de eter si nici dovedi dependenta vitezei luminiifata de sistemul de referinta.

Iata impasul ın care se gasea fizica la sfarsitul secolului trecut.Renuntand la ipoteza eterului, Albert Einstein (1879-1956) formuleaza ın

lucrarea “Asupra electrodinamicii corpurilor ın miscare”(1905) urmatoarelepostulate:

Postulatul I. Principiul relativitatii se aplica tuturor proceselor natu-rale; legile fizicii si rezultatele tuturor experientelor, formulate ıntr-un sistemde referinta dat, sunt independente de miscarea rectilinie si uniforma a sis-temului. (Formularea nu se refera neaparat la SRI)

Postulatul II. Valoarea vitezei de propagare a luminii ın vid este aceeasiın toate sistemele de referinta inertiale.

Desigur, formularea celor doua Postulate, dincolo de interpretarea lor filo-sofica, presupune iesirea din cadrul strict al mecanicii newtoniene. Consecintaa fost evidentierea caracterului relativ al timpului si al spatiului. Timpul silungimile pentru Einstein nu mai au o semnificatie absoluta ın orice SRI.

Teoria relativitatii, expusa ın 1905 de A.Einstein, are, asa cum se vede,un caracter axiomatic si este cunoscuta sub denumirea de teoria relativitatiirestranse, sau speciale.

In cei 105 de ce au urmat teoria a fost perfectionata (ın buna parte chiar deEinstein) si ın acelasi timp supusa si unor critici. Cu toate acestea, rezultatelesale, confirmate si de practica, nu pot fi contestate.

Some chronological order for Special Relativity:

1619: Johannes Kepler (1571 1630) is best known for his laws of planetarymotion, based on his works Astronomia Nova in which states the Three lawsof planet motion.

1632: Galileo Galilei (1564 -1642) introduced his Galilean relativity which

Introducere 17

states that the fundamental laws of physics are the same in all inertial fra-mes.

1687: Sir Isaac Newton (1642 - 1727), the originator of the Newton’s Lawsof Motion which were published in the Philosophiae Naturalis Principia Ma-thematica in which is laid the foundations for classical mechanics. Newtonmade seminal contributions to optics and nature of the light.

1781: J. Michell issuing idea the possibility of existence of the region fromwhich the light cannot escape. In 1795 P. S. Laplace studied condition forthe region from which the light cannot escape.

1785: Charles-Augustin de Coulomb (1785 - 1789) published a series of pa-pers on his observations of electrodynamics, the first and second of whichlaid out what is now known as Coulomb’s Law.

1804: Thomas Young (1773 - 1829) performed thedouble-slit experiment, de-monstrating the wavelike nature of light. An excellent article on accuratelyreproducing the experiment can be found.

1851: Hippolyte Fizeau (1819 - 1896), experimentaly measured the relativespeeds of light in moving water.

1861: James Clerk Maxwell (1831 - 1879), predict the existence of a fixedspeed of light, independent of the speed of the observer - that paved the wayfor Einstein’s special theory of relativity. With the publication of A Dyna-mical Theory of the Electromagnetic Field in 1865, Maxwell demonstratedthat electric and magnetic fields travel through space as waves moving at thespeed of light. Maxwell’s equations for electromagnetism have been calledthe ”second great unification in physics” after the first one realised by IsaacNewton.

1887: Albert Michelson (1852 - 1931) and Edward Morley (1838 - 1923) makeknown Michelson-Morley Experiment by which is proved that the ether is nota physical existing entity enabling Einstein later to postulate that there isno a natural rest or relative frame in the universe and that any measurementof the speed of light in any inertial frame will always give 300 000 Km persecond.

1889: George FitzGerald (1851 - 1901), suggested the contraction of the len-gth detected by an observer of objects that travel at any non-zero velocity isrelative to that observer.

1895: Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928), derived the transformation equ-ations subsequently used by Albert Einstein to describe space and time in

18 Capitolul 1.

Special Theory of Relativity. In 1902 Lorentz shared the Nobel Prize in Phy-sics with Pieter Zeeman for the discovery and theoretical explanation of theZeeman effect. In 1892 and 1895 Lorentz worked on describing electromag-netic phenomena in reference frames that move relative to the luminiferousaether. He discovered that the transition from one to another reference framecould be simplified by using a new time variable which he called local time.In 1899 and again in 1904, Lorentz added time dilation to his transformationsand published what Poincar in 1905 named Lorentz transformations.

1905: Jules Henri Poincare (1854 - 1912), was the first who present the Lo-rentz transformations in their modern form.

1905: Albert Einstein (1879 - 1955), published his theory of special relati-vity stating that all uniform motion is relative and that there is no absolutestate of rest. Einstein theory is based on two postulates. The consequenceof special relativity reformulate the classical Newton’s dynamics and statesthe equivalence of matter and energy, E = mc2. This part of relativity ela-borated in 1905 by Einstein is known as Special Relativity Theory.

1907: Hermann Minkowski (1864 - 1909), introdued the Minkowski space-time as a four dimensional space including time. Minkowki proved that thespecial Relativity of his former student A. Einstein, based on the previouswork of Lorentz and Poincar, could be understood geometrically as a theoryof four-dimensional spacetime, since known as the ”Minkowski space-time”.Einstein himself at first viewed Minkowski’s treatment as a mere mathema-tical trick, before eventually realizing that a geometrical view of spacetimewould be necessary in order to complete his own later work in general rela-tivity (1915).

1907: Begin the era of General Relativity. Apeare the initial paper on Ge-neral Relativity, in which he introduced the Correspondence Principle, thebending of light paths by gravity, and the extension of the equivalence of massand energy to include gravitational mass as well as inertial mass. In 1915Albert Einstein expanded his Special Theory of Relativity into the GeneralTheory of Relativity as a theory of Gravitation.

1.1.2 Cateva notiuni fundamentale.

Presupunem ca cititorul a parcurs pana ın prezent un curs de geometrieafina si euclidiana, fiind familiarizat cu notatii tensoriale. Pentru unitateaexpunerii, vom trece aici ın revista cateva notiuni de baza pentru cele ce

Introducere 19

urmeaza. Peste tot vom folosi conventia lui Einstein de sumare.Sa consideram V = (Rn,+, R) spatiul vectorial numeric real n−dimensio-

nal. Intr-o baza B = eii=1,n un punct x se scrie

x = xiei,

iar (x1, .., xn) ∈ Rn se numesc componentele lui x ın baza B.Daca B′ = e′ii=1,n este alta baza ın V si S =

(sij)(indicele de sus indice

de linie, cel de jos de coloana) este matricea de trecere de la baza B laB′, adica e′j = sijei, j = 1, n, atunci componentele lui x ın baza B′ sunt(x′1, . . . , x′n) date de:

x′i =∗sij x

j (1.3)

unde

( ∗sij

)= S−1 este matricea inversa a lui S. Matricial scriem:

X ′ = S−1X.

Notam cu V ∗ spatiul dual al lui V, adica spatiul 1- formelor liniare

f : V → R.

Relativ la baza B din V , obtinem baza duala B∗ = f ii=1,n ın V ∗, unde f i

sunt 1- formele definite unic de f i(ej) = δij (simbolii lui Kronecker) si decif i(x) = xi. Orice 1 - forma f se va exprima dupa baza B∗ ca fiind f = aif

i.

Legatura ıntre bazele duale B∗ si B′∗ este data de f ′i =∗sij f

j, deci se face cumatricea inversa, iar exprimarea 1 - formei ın baza B′∗ este

a′i = sjiaj (1.4)

si evident ca aj =∗sij a

′i.

Pentru doua 1 - forme f si g putem defini produsul lor tensorial

f ⊗ g : V × V → R, (f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y).

Sa consideram acum spatiul formelor p−liniare Lp(V,R). O baza corespunza-toare lui B∗ ın Lp(V,R) este B∗p = f i1...ip = f i1 ⊗ . . .⊗ f ip, iar exprimareaunei p−forme h este

h = ai1...ipfi1 ⊗ ....⊗ f ip .

20 Capitolul 1.

La schimbarea bazei cantitatile ai1...ip se schimba dupa regula:

a′i1...ip = sj1i1 · · · ·sjpipaj1...jp (1.5)

Spatiul dual al lui Lp(V,R) este izomorf cu V p, iar baza duala a lui B∗peste notata cu Bp =

ei1 ⊗ ...⊗ eip

.

Suntem acum ın masura sa definim notiunea de tensor (afin) de tip (p, q)ca fiind o (p + q)−forma liniara t : V p × V ∗q → R. Referitor la baza B siduala sa B∗, un (p, q)−tensor se va descompune astfel:

t = tj1....jpi1....iq

ej1 ⊗ ...⊗ ejp ⊗ f i1 ⊗ ....⊗ f iq (1.6)

iar la schimbarile de baze B → B′ cu matricea S, componentele tensoruluise vor schimba dupa regula:

t′h1....hpk1....kq

= si1k1. . . s

iqkq·∗sh1j1. . .

∗

shpjptj1....jpi1....iq

(1.7)

Evident, vectorii sunt tensori de tip (1, 0), 1-formele fiind de tip (0, 1),iar p−formele de tip (0, p).

Din punct de vedere algebric se poate pune ın evidenta o structura dealgebra T (V ) peste multimea tuturor tensorilor, produsul a doi tensori a sib de tip (p, q) si respectiv (r, s) fiind tensorul de tipul (p + q, r + s) dat deaplicatia(p+ q + r + s) - liniara de componente tensoriale:

tj1....jpv1...vri1....iqu1...us

= aj1....jpi1....iq

· bv1....vru1....us

.

O p−forma se numeste simetrica ın indicii h si k daca

f(x1, .., xk, .., xh, .., xp) = f(x1, .., xh, .., xk, .., xp)

si complet simetrica daca este simetrica in toti indicii. Daca pentru ∀h 6= kavem

f(x1, .., xk, .., xh, .., xp) = −f(x1, .., xh, .., xk, .., xp)

forma se numeste alternata.Pe spatiul formelor alternate de orice ordinA(V ), se poate defini produsul

exterior a unei p−forme f cu o q−forma g, obtinandu-se o (p + q)− formaalternata notata cu:

(f∧g)(x1..xp, xp+1, ...xp+q) =1

p!q!

∑σ∈σp+q

εσf(xσ(1), .., xσ(p))·g(xσ(p+1), .., xσ(p+q))

Introducere 21

A(V ) capata structura de algebra numita algebra exterioara a formelor al-ternate pe spatiul vectorial V.

In particular, ω = f 1 ∧ ... ∧ fp se numeste forma de volum in Lp(V,R)relativ la baza B∗. Daca Xα = (X1

α, ...., Xnα), α = 1, n, atunci

ω(X1, ..., Xn) = det(X iα).

Prin produs scalar pe V ıntelegem o 2−forma liniara (o forma biliniara)

g : V × V → R,

simetrica si pozitiv definita pe V, adica:

g(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ V si g(x, x) = 0⇔ x = 0.

Perechea (V, g) se numeste spatiu euclidian.Renuntand la conditia de pozitiva definire se obtin spatiile pseudoeucli-

diene, unul din ele sta la baza teoriei ce o vom studia.Intr-o baza B din V , produsul scalar se scrie

g(x, y) = gijxiyj, ∀x = xiei, y = yjej ∈ V

cu det(gij) 6= 0 si, evident, forma patratica asociata h = gijxixj pozitiv

definita (adica se reduce, eventual ıntr-o alta baza, la o suma de patrate).Baza B se numeste ortonormata daca g(ei, ej) = gij = δij.La schimbari de baze (0, 2)−tensorul gij, numit tensorul metric, se schimba

dupa regula (1.5), sau matricial scris G′ = St ·G · S. Produsul scalar

g(x, y) =∑

xiyi

se numeste uzual (canonic), G = I, si se noteaza, de obicei, prin g(x, y) =〈x, y〉. La schimbari de baze la fel orientate, forma de volum ω se transformadupa regula ω′ =

√gω, unde g = det(gij). Tensorul metric permite ridicarea

sau coborarea indicilor unui tensor, de exemplu xi = gijxj, e.t.c.

Sa introducem acum si putina geometrie diferentiala ın Rn.Fie ın Rn o curba (C) : λ → xi(λ), λ variind ıntr-un interval din R,

si f(xi(λ)) o functie realadepinzand de curba (C). Presupunand conditiile

de diferentiabilitate ındeplinite, avem dfdλ

= ∂f∂xi

dxi

dλsi aceasta independent de

functia f. Astfel, suntem condusi sa consideram operatorul

d

dλ=dxi

dλ

∂

∂xi.

22 Capitolul 1.

Fie P (x1, .., xn) un punct al curbei (C) si notam cu

vi =dxi

dλ.

Vectorul v = (v1, ..., vn) se numeste campul viteza al curbei (C) si este uncamp de vectori tangenti la curba ın P , deci v = viei unde am notat:

ei =∂

∂xi; i = 1, n (1.8)

Spatiul generat de v se numeste spatiul tangent la curba ın P. Considerandalte curbe prin P , vectorii lor tangenti se vor exprima functie tot de ei = ∂

∂xi

si deci B =ei = ∂

∂xi

i=1,n

constituie o baza a vectorilor tangenti la curbele

prin P , numit spatiul tangent ın P la Rn. Reunind aceste spatii se obtinespatiul total al fibratului tangent la Rn.

Sa consideram acum o schimbare de coordonate xi → x′i ın P ( eventualdictata de o schimbare de baze ın Rn) si e′i = ∂

∂x′inoua baza a vectorilor

tangenti. Deoarece ∂∂x′i

= ∂xj

∂x′i∂∂xj

, rezulta ca :

e′i =∂xj

∂x′iej, (1.9)

deci, matricea schimbarii de baze este S =(∂xj

∂x′i

), cu inversa S−1 =

(∂x′i

∂xj

).

Schimbarea componentelor vectorilor tangenti se face dupa regula v′i =∂x′j

∂xjvj, data de (1.3).

Acum, pentru curba (C) , sa consideram diferentiala df = ∂f∂xidxi. Con-

siderand toate curbele ce trec prin P, diferentiala lui f pe aceste curbe sedescompune dupa dxii=1,n . In particular, daca

f(x1(λ), ..., xn(λ)) = xi(λ),

obtinem ca dxi( ∂∂xj

) = δij, adica f i = dxii=1,n este baza duala bazei Bın spatiul diferentialelor functiilor depinzand de curbele ce trec prin P. Unelement a = aidx

i se va numi 1-forma. Un exemplu sugestiv de 1-forma estegradientul unei functii scalare (aici vectorul gradient se identifica cu 1 - formagradient grad f= (gradf)i dx

i.)Sa remarcam ca la schimbari de coordonate, functiile f i = dxi se schimba

dupa regula

f ′i =∂x′i

∂xjf j (1.10)

Introducere 23

Spatiul 1-formelor se numeste spatiul cotangent ın P la Rn.

Folosind matricea S =(∂xj

∂x′i

)si inversa sa S−1 =

(∂x′i

∂xj

), putem extinde

notiunea de (p, q) - tensor. In particular, tensorul metric gij va trebui sa

satisfaca regula de transformare g′ij = ∂xk

∂x′i∂xh

∂x′jgkh. Astfel ca forma patratica

se va scrie g = gijdxidxj, din care se deduce ca g( ∂

∂xi, ∂∂xj

) = gij. Tensorulmetric are urmatoarea semnificatie:

Fie d~r = dxi ∂∂xi

un vector tangent la curba (C) si δ~r = δxj ∂∂xj

vectorultangent la curba (C ′) ce se intersecteaza cu (C) ın P. Atunci

g(d~r, δ~r) = dxiδxj, g(∂

∂xi,∂

∂xj) = gijdx

iδxj.

In particular, norma ‖ d~r ‖2, notata ds2, va fi tocmai

ds2 = gijdxidxj (1.11)

si se numeste forma fundamentala pe Rn a metricii g ın raport cu baza B,iar

ds =√gijdxidxj

este lungimea elementului de arc de curba (C).

Unghiul celor doua curbe este

cosα =g(d~r, δ~r′)‖ d~r ‖ · ‖ δ~r ‖

.

Relativ la baza B∗, forma de volum este dω =√gdx1....dxn.

In continuare vom ıncerca sa particularizam la spatiul Rn conceptul dederivata Lie.

Fie P (x) un punct si W un obiect geometric definit intr-o vecinatate a

lui P. Sa consideram o curba (C) si v =(dxi

dλ

)vectorul tangent la curba. O

variatie infinitesimala pe curba ın directia ~v se scrie:

x′i = xi + dxi (1.12)

cu dxi = vidλ = ζ i.

24 Capitolul 1.

Figura 1.2: Derivata Lie

Corespunzator vom avea variatia de primul ordin a lui W,

W (x′) = W (x) +∂W

∂xjζj

Pe de alta parte, x′i defineste o schimbare de coordonate si deci fie W ′(x′)expresia lui W ın reperul

∂∂x′i

din x′. Diferenta

LζW = W (x′)−W ′(x′) (1.13)

se numeste variatia Lie a obiectului geometric W.Sa facem urmatoarele particularizari:

1. Daca W (x′) = W (x) este o functie scalara ce nu se schimba la trans-formarile infinitesimale, atunci

LζW = W (x′) +∂W

∂xiζ i −W (x′) =

∂W

∂xiζ i

2. Daca W (x) = W i ∂∂xi

este un camp vectorial, atunci:

W ′i(x′) =∂x′i

∂xjW j(x) =

∂(xi + ζ i)

∂xjW (x) = W j(x) + ζ i|jW

j(x),

Introducere 25

unde am folosit notatia ζ i|j = ∂ζi

∂xj. Rezulta ca LζW i = ∂W i

∂xjζj − ζ i|jW j

3. Daca W = Widxi este o 1- forma, atunci

W ′(x′) =∂xj

∂x′iWj(x) = Wi(x)− ζj|iWj(x)

si deci

LζWi =∂Wi

∂xjζj + ζj|iWj.

Analog se gaseste

LζWik =∂Wik

∂xjζj + ζj|iWjk + ζj|kWij

sau

LζW ik =

∂W ik

∂xjζj − ζ i|jW

jk + ζj|kW

jj

si altele.

In ıncheierea acestei sectiuni vom repeta un principiu fundamental al meca-nicii analitice,principiul minimei actiuni.

Sa presupunem ca evolutia unui sistem fizic este caracterizata la un mo-ment dat λ ın functie de coordonatele generalizate xi(λ) si de derivatele lorxi(λ). Deplasarea sistemului mecanic ıntre doua stari corespunzatoare valori-lor λ1 si λ2 se face ın lipsa unor forte de interactie (adica sistemul este izolat),astfel ca integrala actiunii

A =

∫ λ2

λ1

L(xi(λ), xi(λ), λ)dλ (1.14)

sa se minimizeze, unde L(xi(λ), xi(λ)) este functia lui Lagrange.

Sa consideram o variatie infinitesimala x+dx si L(x+dx, x+dx, λ) stareaLarangianului ın punctul corespunzator. Vom obtine o variatie a actiuniA+ δA =A.

26 Capitolul 1.

Extremul actiuni se obtine anuland prima variatie δA, adica

δA =

λ2∫λ1

L(x+ dx, x+ dx, λ)dλ−λ2∫λ1

L(x, x, λ)dλ

=

λ2∫λ1

(L(x, x, λ) +

∂L

∂xidxi

dλ+∂L

∂xidxi

dλ− L(x, x, λ)

)dλ

=

∫ λ2

λ1

(∂L

∂xidxi

dλ+

d

dλ(∂L

∂xidxi)− dxi

dλ

d

dλ(∂L

∂xi)

)dλ

=∂L

∂xidxi |λ2

λ1+

∫A1A2

[∂L

∂xi− d

dλ(∂L

∂xi)

]dxi = 0,

unde A1, A2 sunt punctele corespunzatoare starilor λ1, λ2.Presupunand ca ın punctele A1 si A2 variatiile sunt nule,

dxi(λ1) = dxi(λ2) = 0

si ın rest arbitrare, rezulta ca δA = 0 daca si numai daca functia lui Lagrangesatisface:

∂L

∂xi− d

dλ(∂L

∂xi) = 0 ; i = 1, n (1.15)

numite ecuatiile lui Euler-Lagrange.Acest principiu variational al minimei actiuni determina drumurile cele

mai scurte (optime) de deplasare a sistemului din punctul A1ın punctul A2.Problema se poate generaliza la cazul cand sistemul depinde de mai multi

parametri (λ1, ..., λp). In acest caz trebuie ca integrala actiunii

A =

∫A1A2

Ldω

sa se minimizeze si sa nu depinda de parametri. Pentru aceasta se consideradω =

√gdω0, unde dω0 = dλ1....dλp este forma elementara de volum. Scala-

rul L = L√g se numeste densitate de Lagrangian. Calcule asemanatoare ca

mai sus privind anularea primei variatii ne conduc[65] la urmatoarele ecuatiiEuler-Lagrange

∂L

∂xi− ∂

∂λα

(∂L

∂(∂xi

∂λα

)) = 0 ; i = 1, n ; α = 1, p (1.16)

Spatiul Minkowski. 27

1.2 Spatiul Minkowski.

1.2.1 Metrica Minkowski.

Am vazut ca ıntr-un sistem de referita inertial, SRI, un eveniment este ca-racterizat de coordonatele spatiale (x1, x2, x3) si momentul t la care se referamasuratorile.

Viteza de propagare rectilinie a unui semnal luminos ın vid ar trebui sasatisfaca conform mecanicii clasice legea ∆xk = ck∆t. Admitand Postulatul2 al lui Einstein , ck = c este o constanta. Trecand la norma euclidiana dinR3, vom avea:

(∆x1)2 + (∆x2)2 + (∆x3)2 = c2(∆t)2 (1.17)

conditie ce ar trebui sa aiba un caracter relativist invariant ın raport cu douaevenimente din SRI.

Apare astfel natural (acum !) sa consideram elementele din R4 de forma(x0 = ct, x1, x2, x3

)iar doua evenimente sa fie separate printr-o conditie de forma :

∆s2 = (∆x0)2 − (∆x1)2 − (∆x2)2 − (∆x3)2

numit interval spatio-temporal. Sub forma diferentiala avem:

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 (1.18)

Intervalul spatio-temporal se poate scrie tensorial sub forma metriciispatio-temporale, sau mai exact metrica Minkowski:

ds2 = ηijdxidxj ; i, j = 0, 1, 2, 3 (1.19)

unde η00 = 1, η11 = −1, η22 = −1, η33 = −1 si ın rest 0.Obtinem astfel matricea

Λ = diag (1,−1,−1,−1) = (ηij)4×4 ∈M4(R), cu detΛ = −1.

In cele ce urmeaza, peste tot indicii i, j, k . . . vor lua valorile 0, 1, 2, 3 , iarindicii α, β, γ . . .(spatiali) vor lua valorile 1, 2, 3.

Putem introduce coordonatele covariante xi = ηijxj, unde x0 = x0 si

xα = −xα , si deci ds2 = ηijdxidxj = dxidx

i.

28 Capitolul 1.

Asa cum am afirmat, la schimbari de repere inertiale SRIf→SRI′ ecuatia

∆s2 = 0 trebuie sa ramana un invariant relativist, adica si ∆s′2 = 0.

Fie xi f→ x′i aceasta schimbare ce trebuie sa fie inversabila, si deci

det(∂x′i

∂xj

)6= 0.

Dezvoltand ın serie Taylor, obtinem:

∆x′i =∂x′i

∂xj∆xj +

1

2

∂2x′i

∂xj∂xk∆xj∆xk + . . .

Variatiile spatiale si temporale trebuiesc sa fie invariate la translatii spatia-le si temporale ale reperelor, fapt ce se exprima prin ∂x′i

∂xj= aij = const., iar

derivatele de ordin superior sunt nule. Obtinem ca dx′i = aijdxj si prin

integrare rezulta:x′i = aijx

j + ai (1.20)

cu ai constante si det(aij)6= 0.

Sub forma matriciala aceasta conditie se scrie X ′ = A ·X+A0, detA 6= 0,ce ne aminteste de transformarile afine ın R4

In SRI′, metrica Minkowski se scrie

ds′2 = ηijdx′idx′j = ηija

ika

jl dx

kdxl.

Conditia de invarianta ne conduce la :

ηkl = ηijaika

jl (1.21)

sau matricial : Λ = At · Λ · A.Transformarile (1.20) cu conditile (1.21) se numesc transformari Lorentz

generale.Cateva proprietati imediate ale lor se pot desprinde:

1. Trecand la determinanti ın Λ = At · Λ · A, obtinem ca det A = ±1.

2. Calculam din (1.21) pe

η00 = 1 = ηijai0aj0 = (a0

0)2 − (a10)2 − (a2

0)2 − (a30)2 (1.22)

Astfel ca:

(a00)2 = 1 +

3∑α=1

(aα0 )2 ≥ 1


3. Matricea A−1 =

( ∗aij

)are ca elemente

∗aij= ηjlη

ikalk . De aici rezulta ca

∗a0

0= a00, si

∗aα0 = −a0

α;∗a0α= −aα0

4. Suntem acum ın masura sa desprindem cateva proprietati grupale.

In primul rand , multimea T a transformarilor Lorentz generale formeazagrup ın raport cu compunerea lor, numit grupul Poincaire.

In T consideram urmatoarele submultimi :- transformarile proprii T+, pentru care det A = 1, cu subclasele :

-transformari proprii octocrone T ↑+ , pentru care a00 ≥ 1,

-transformari proprii anticrone T ↓+ , pentru care a00 ≤ −1,

- transformarile improprii T−, pentru care det A = −1, cu subclasele:-transformari improprii octocrone T ↑− , pentru care a0

0 ≥ 1,

-transformari improprii anticrone T ↓− , pentru care a00 ≤ −1.

Daca A0 = (ai0) = 0, transformarea Lorentz (1.2.1.4) se numeste omogena.Cateva din subclasele de mai sus sunt subgrupuri ın (T ,) :∗ Subgrupul transformarilor Loretz omogene, L∗ Subgrupurile T ↑+ si L↑+ ale transformarilor proprii octocrone neomogene,

respecriv omogene.∗ Subgrupul translatiilor spatiale-temporale X ′ = X + A0.

∗ Subgrupul rotatiilor spatiale , pentru care Λ =

(0 00 O3×3

), unde

O3×3 ∈grupului spatial ortogonal.Cazul transformarilor propii octoctone omogene L↑+ ne va preocupa ın

mod deosebit.5. In spatiul R4 putem considera g(x, y) = ηijx

iyj ce ne defineste un pse-udoprodus scalar , (R4, g) = M4,1, fiind numit spatiul Minkowski. Conditiag(x, x) = 0 nu implica ıntodeauna x = 0.

1.2.2 Transformari Lorentz speciale

Transformarile Lorentz speciale se refera la cazul transformarilor propii or-tocrone omogene L↑+ .

Sa consideram S si S ′ doua SRI ce se deplaseaza unul fata de celalaltcu viteza ~v respectiv ~v′ = −~v. Notam cu (x0 = ct, x1, x2, x3) si respectiv(x′0 = ct′, x′1, x′2, x′3) coordonatele spatio-temporale ale unui punct materialP ın cele doua sisteme.

30 Capitolul 1.

Daca P este fixat spatial ın S ′ atunci dx′α

dt= 0, α = 1, 2, 3. Rezulta ca ın

raport cu sistemul S, punctul P se va deplasa cu viteza:

vα =

(dxα

dt

)x′β=const.

= c

(dxα

dx0

)x′β=const.

(1.23)

Si analog, fixand P ın reperul S vom avea ın S ′ :

v′α = c

(dx′α

dx′0

)xβ=const.

Fie x′i = aijxj o transformare Lorentz speciala (det

(aij)

= 1, a00 ≥ 1) si

xi =∗aij x

′j inversa sa , aij

∗ajk= δik. Presupunem coordonatele x′α sunt fixate ın

S ′, rezulta ca

dxα =∗aα0 dx

′0 + 0 si dx0 =∗a0

0 dx′0 + 0,

astfel ca formula (1.23) se scrie:

vα = c

(dxα

dx0

)dx′β=0

= c

∗aα0∗a0

0

= −ca0α

a00

.

Analog rezulta viteza cand fixam punctul ın S:

v′α = c

(dx′α

dx′0

)dxβ=0

= caα0a0

0

Din aceste relatii obtinem ca:

a0α = −1

ca0

0vα; aα0 =

1

ca0

0v′α (1.24)

Pe de alta parte din (1.22) rezulta ca :

(a0

0

)2[1− 1

c2

((v′1)2 + (v′2)2 + (v′3)2

)]= 1

si deci : (a00)

2= 1

1−v′2

c2

, unde v′2 =∥∥∥~v′∥∥∥2

= ‖~v‖2 = v2, iar diferenta este

data doar de sensul vectorului vα = −v′α. Cum a00 ≥ 1, utilizand si (1.24)

obtinem ca:

a00 =

1√1− v2

c2

; aα0 = a0α =

−vα

c√1− v2

c2

; α = 1, 2, 3 (1.25)


Vom folosi urmatoarele notatii consacrate a00 = γ si v

c= β.

Pentru componentele spatiale (aµλ) , sa remarcam din (1.21) ca acesteaformeaza coeficientii unei matrice ortogonale de ordin 3. Deci, forma generalaa transformarilor Lorentz speciale este data de matricele:

A =

(γ -γ

c~v

-γc~v aµλ

)(1.26)

ın care aµλ, µ, λ = 1, 2, 3, verifica urmatoarele conditii de ortogonalitate:

vλaµλ = γvµ

ηλµ aνλaσµ = ηνσ − γ2

c2vνvσ

ηλµaλνa

µσ = ηνσ −

γ2

c2vνvσ

unde convenim ca vλ = vλ.

In [89] se justifica urmatoarea proprietate:

Orice transformare Lorentz speciala scrisa sub forma (1.26) poate fi re-prezentata ca un produs ıntre o transformare Lorentz, ce lasa neschimbatecomponentele vectorilor de pozitie ın planul perpendicular pe ~v, si o transfor-mare ortogonala ın acest plan.

Fara sa intram ın aceste calcule, se arata ca ın urma acestor transformariavem:

aµλ = δµλ +γ − 1

v2vµvλ (1.27)

In cazul particular, cand S ′ se deplaseaza printr-o translatie paralela cuOx2 si Ox3, avem reprezentarea:

32 Capitolul 1.

Figura 1.3: Transformarile Lorentz restranse

atunci transformarea Lorentz este de matrice

A =

γ -γβ 0 0-γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

Deci, au loc schimbarile de coordonate:

x′0 = γx0 − γβx1

x′1 = −γβx0 + γx1

x′2 = x2

x′3 = x3


sau asa cum sunt cunoscute din manualele de liceu:

t′ =1√

1− v2

c2

(t− v

c2x1) (1.28)

x′1 =1√

1− v2

c2

(−vt+ x1)

x′2 = x2

x′3 = x3

numite transformari Lorentz speciale (sau restranse).In acest caz, pe care o sa-l tratam ın continuare, daca notam cu γ = chϕ,

atunci din relatia (a00)2−(a1

0)2 = 1 rezulta ca shϕ = −γβ. Deci transformarileLorentz restranse se pot scrie sub forma echivalenta :

x′0 = x0chϕ+ x1shϕ

x′1 = x0shϕ+ x1chϕ

x′2 = x2

x′3 = x3,

(1.29)

cu transformarea inversa:x0 = x′0chϕ− x′1shϕx1 = −x′0shϕ+ x′1chϕ

x2 = x′2

x3 = x′3.

(1.30)

1.2.3 Consecinte cinematice ale transformarilor Lorentz.

Din analiza transformarilor Lorentz restranse vom desprinde cateva implicatiiprivind notiunle de simultaneitate, distanta, durata si viteza.

1. Relativitatea notiunii de simultaneitate.

Sa consideram ın cele doua SRI, S si S ′, doua evenimente care presu-punem ca se realizeaza simultan ın S, t1 = t2. Din prima relatie (1.28)obtinem ca

∆t′ = t′2 − t′1 = − γc2v∆x1,

34 Capitolul 1.

adica daca ∆x1 6= 0 evenimentele nu sunt percepute simultan ın S ′.Decinotiunea de simultaneitate are caracter relativ, neputandu-se vorbi, caın cazul newtonian, de un timp absolut.

2. Dilatarea timpului.

Sa consideram un ceas ce se afla ın repaus ın punctul fixat spatialA(x1, 0, 0) din reperul S . Facem doua masuratori la momentele t1 sit2. Fie ∆t = t2− t1 durata dintre cele doua evenimente din sistemul S,caracterizate de coordonatele (t1, x

1, 0, 0) si (t2, x1, 0, 0) . Corespunzator

ın sistemul S ′ obtinem din (1.28) (sau direct din (1.29)) ca:

∆t′ = t′2 − t′1 = ∆t · chϕ,

adica ∆t′ = γ · ∆t. Cum γ > 1, rezulta ca ın S ′ vom avea o dilatarea intervalului de timp comparativ cu cel din S ın care punctul A estefixat.

La modul general, fixand un sistem ın care doua evenimente se petrecın acelasi loc, dar separate printr-un inteval de timp, notat diferentialdτ si numit timp propriu, ın orice alt sistem diferenta de timp va fidt = γdτ , adica

dτ =

√1− v2

c2dt (1.31)

3. Contractia lungimilor.

In sistemul de referinta S sa cosideram o bara rigida de lungime l cucapetele fixate ın punctele A1(x1

1, 0, 0) si A2(x12, 0, 0),vazute ın acelasi

moment t1 = t2. Dat fiind faptul ca lungimea barei este finita, ın siste-mul S ′ se pot face masuratori asupra capetelor barei la acelasi momentt′1 = t′2. Din a doua transformare (1.30) obtinem ca:

l =∣∣x1

2 − x11

∣∣ =∣∣x′12 − x′11 ∣∣ chϕ = l′ · chϕ,

adica l′ = l√

1− v2

c2si deci l′ < l.

Considerand sistemul S fixat, atunci ın orice alt sistem S ′ va avea loco contractie a lungimilor segmentelor.

4. Legea compunerii vitezelor.


Sa consideram un punct material ce se deplaseaza raportat la sistemulS cu viteza u, a carei prima componenta este ux1 = dx1

dt. Tinand cont

de (1.30), prin diferentiere, obtinem ca dt = dt′ · chϕ− 1

cdx′1 · shϕ

dx1 = dx′1 · chϕ− cdt′ · shϕ.

Scotand factor pe chϕ · dt′, si cum shϕchϕ

= −vc

= −β, rezulta :

ux1 =u′x1 + v

1 + vc2u′x1

(1.32)

formula ce exprima legatura ıntre componenta pe Ox1 a vitezei dedeplasare a punctului material ın sistemul S si componenta pe O′x′1 avitezei de deplasare a punctului material ın sistemul S ′.

In particular, daca v c, adica cele doua sisteme se deplaseaza unulın raport cu celalalt cu viteza relativ mica (cazul newtonian), regasimformula lui Galilei pe axa Ox1.

Componenta pe axa Ox2 a vitezei aceluiasi punct va fi:

ux2 =dx2

dt=dx′2

dt′dt′

dt=

u′x2√1− v2

c2

(1.33)

Analog se ıntampla pe Ox3.

1.2.4 Imaginea euclidiana a transformarilor Lorentz.

Sa consideram ın spatiul euclidian E = (R4, 〈·, ·〉), unde 〈x, y〉 =3∑i=0

xiyi este

produsul scalar uzual, un reper ortonormat R = O,Eii=0,3 .

Spatiul R4 poate fi ınzestrat si cu pseudoprodusul scalar g(x, y) = ηijxixj,

obtinandu-se, asa cum am spus, spatiul M4,1 al lui Minkowski.Pentru un SRI dat S, fixat ın O, sa asociem geometric versorilor eii=0,3

ai lui S vectorii ortonormati ın raport cu produsul scalar uzual Eii=0,3

adica, ei → Ei. Obtinem o imagine geometrica 4-dimensionala euclidiana asistemului S, ce asociaza unui eveniment un punct din reperul R euclidian.

36 Capitolul 1.

Fie S ′ alt SRI cu versorii e′ii=0,3 . Sa consideram o transformare Lorentz

ce leaga cele doua sisteme. Atunci e′i =∗aji ej si corespunzator vom avea

imaginea euclidiana E ′i =∗aji Ej.

In spatiul Minkowski, transformarile Lorentz pastreaza metrica g , adicaΛ = At ·Λ·A,ınsa ın spatiul euclidian E , aceasta nu se mai ıntampla, deoareceA nu este neaparat o matrice ortogonala.

Exemplificam geometric acest lucru, ın continuare, ın cazul transformarilorLorentz restranse, pentru care vom reprezenta doar axele Ox0 si Ox1 :

Figura 1.4: Imaginea euclidiana

Avem:

E ′0 =∗a0

0 E0+∗a1

0 E1 = γE0 + γβE1

E ′1 =∗a0

1 E0+∗a1

1 E1 = γβE0 + γE1

Extremitatile vectorilor E ′0 si E ′1 sunt puncteleA′0(γ, γβ) si respectivA′1(γβ, γ).Ele verifica hiperbolele echilatere de ecuatii (x′0)2−(x′1)2 = 1 pentru A′0, res-pectiv (x′0)2 − (x′1)2 = −1 pentru A′1.


Unghiul θ dintre E1 si E ′1 este:

θ = arctgβ,

iar cand v → c atunci β → 1 si deci prima, respectiv a doua bisectoare asistemului sunt asimptotele hiperbolelor.

Pe aceasta imagine putem da o interpretare geometrica a simultaneitatiievenimentelor:

Figura 1.5: Simultaneitatea evenimentelor

Fie A(t, a) si B(t, b) doua evenimente simultane, deci ∆t = 0. Atunci

∆t′ = t′B − t′A = −γvc2

(b− a) 6= 0.

Interpretari asemanatoare se pot da altor consecinte.

1.2.5 Hipercon luminos.

Am vazut ca ∆s2 este un invariant la transformarile Lorentz. Sa exprimamaceasta cantitate pentru doua evenimente din sistemul S. Pentru a pune ınevidenta cele doua evenimente, vom nota distanta spatio-temporala cu

s212 = c2 (t1 − t2)2 − (x1

1 − x12)2 − (x2

1 − x22)2 − (x3

1 − x32)2 = c2t212 − d2

12.

38 Capitolul 1.

In alt sistem S ′, vom avea s′212 = s212. Putem analiza aici cateva situatii

particulare:

a) Evenimentele se produc la timpi diferiti dar ın acelasi loc.

Atunci

s212 = s′212 = c2t212 > 0.

Un astfel de interval s12 se numeste de tip temporal si este un numar real.Fie ∆t = t12 = t1 − t2 > 0. Avem

∆t′12 = t′1 − t′2 = γ(t12 −~v ·∆~xc2

) = γt12 > 0.

Aceasta ne spune ca ordinea evenimentelor nu se schimba ın S ′, notiuneade ordine a evenimentelor avand un caracter absolut. O alta consecintaimediata este ca ın orice alt sistem S ′ evenimentele nu mai sunt simultane.

b) Evenimentele se produc simultan ın locuri diferite.

Atunci

t12 = 0 si s212 = −d2

12 < 0,

deci intervalul s12, numit de tip spatial, este imaginar. Din invariantas2

12 = s′212 rezulta ca ın orice alt sistem de referinta S ′, d′12 6= 0, si deci,notiunea de separare spatiala are caracter absolut. Sa observam ca ordi-nea evenimentelor separate spatial poate sa difere.

c) Evenimentele se produc simultan ın acelasi loc.

Atunci

s212 = s′212 = 0.

Evident, aceasta nu ınseamna ca ın S ′ evenimentele sunt neaparat simul-tane si ın acelasi loc. Intervalul s12 se numeste de tip izotrop.

Sa analizam ce ar ınsemna ca ın sistemul S metrica s212 = 0. Vom da o

imagine euclidiana acestui fapt.

Asa cum stim, o ecuatie de forma (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 = 0reprezinta un hipercon ın E4, numit hipercon luminos.


Figura 1.6: Hipercon luminos

Distingem astfel urmatoarele situatii:

Cazul a) al intervalelor temporale, s212 > 0,este reprezentat de puncte inte-

rioare hiperconului. Daca, ın plus , x0 > 0 se numeste timp absolut inviitor T+, iar daca x0 < 0 se numeste timp absolut in trecut T−.

Cazul b) al intervalelor spatiale, s212 < 0, este reprezentat de evenimente

din afara hiperconului .

Cazul c) al intervalelor izotrope este descris de evenimente aflate pe hiper-conul luminos.

1.2.6 Linii de univers. Timp propriu.

Miscarea unei particule fata de sistemul S poate fi descrisa de o lege t →xα(t), cu α = 1, 2, 3. Aplicatia

Γ : t→ (t, x1(t), x2(t), x3(t))

determina o curba ın spatiul Minkowski, numita linie de univers a particulei.Parametrizarea cu t nu este ıntodeauna avantajoasa, coordonatele neavand

40 Capitolul 1.

ıntodeauna aceeasi tratare. Ar fi util un parametru care sa fie invariant laschimbarile de SRI.

Sa observam ca pe o linie de univers Γ, intervalul

ds2Γ = c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 = (c2 − v2)dt2 > 0

este temporal, deci linia de univers este interioara hiperconului luminos.Definim marimea :

dτ =1

c

√ds2

Γ =

√1− v2

c2dt =

1

γdt < dt (1.34)

Tinand seama de (1.31), dτ are semnificatia unui interval temporal masuratıntr-un SRI propriu particulei, deci care se deplaseaza fata de S cu vitezaparticulei la momentul t respectiv.

Prin integrarea lui (1.34) cu

τ(0) = 0,

obtinem urmatorul parametru τ(t), care este un invariant relativist, numittimp propriu:

τ(t) =

∫ t

0

√1 +

v2

c2dt (1.35)

Timpul indicat de parametrul τ(t) este indicat de un ceasornic legat departicula respectiva, numit ceasornic standard.

1.2.7 Marimi tensoriale ın spatiul Minkowski.

Conform principiului invariantei, legile fizici si ecuatiile ei trebuiesc sa-sipastreze valabilitatea la schimbarile de SRI, deci la transformarile Lorentz.Fizica clasica a scos ın evidenta ca marimile ce raman invariante la schimbaride coordonate se pot exprima sub forma tensoriala.

Astfel, se impune ideea de a studia acele marimi ın spatiul Minkowski ceau legi de schimbare la transformarile Lorentz ca si marimile tensoriale dinspatiul euclidian, numite cvadritensori.

Sa consideram o transformare Lorentz x′i = aijxj, cu inversa xi =

∗aij x

′j .Fie (O, ei)i=0,3 versorii fixati ın O ai SRI-S.


Prima marime pe care o putem introduce este invariantul scalar Φ, cetrebuie sa satisfaca Φ(x) = Φ′(x′).

Consideram un alt SRI-S ′. Atunci transformarea Lorentz poate fi in-terpretata ca o schimbare a bazelor reperului, adica: ei = ajie

′j, si invers

e′j =∗aij ei.

Un cvadrivector se va scrie X = X iei ın S si X = X ′ie′i ın S ′, dincare rezulta clar ca X ′i = aijX

j. Cel mai simplu exemplu de cvadrivector

este cel tangent la o linie de univers X i = dxi

dλ. Considerand toti cvadivecto-

rii tangenti la liniile de univers ce trec printr-un punct P , obtinem spatiultangent la spatiul Minkowski ın P, reuniunea acestor spatii ne da fibratultangent. Observam ca

∂

∂xi=∂x′j

∂xi= aji

∂

∂x′j,

si deci

∂∂xi

i=0,3

este o baza ın spatiul tangent ın P la liniile de univers.

Sa consideram metrica

ds2 = ηijdxidxj.

Cu ajutorul ei, construim ωi = ηijXj, unde Xj sunt componentele unui

cvadrivector. Avem:

ω′i = ηijX′j = ηija

jkX

k = ηijajkη

khωh =∗ahi ωh

si deci ωi sunt componentele unei 1-cvadriforme ω = ωifi. Cel mai simplu

exemplu de 1-cvadriforma este gradientul unei functii scalare dΦ = ∂Φ∂xif i.

O baza ın spatiul cotangent la liniile de univers al 1- cvadriformelor estedxii=0,3 .

Acum, notiunea de (p, q)−cvadritensor se defineste ca fiind acea marime

tj1...jpi1..iq

ce satisface regula de tipul cunoscut (1.7) cu

∗sji= aji =

∂x′j

∂xisi sji

∗= aji=

∂xj

∂x′i.

Cu ajutorul lui ηij putem sa ridicam sau sa coboram indicii.Produsul scalar ın spatiul Minkowski este definit de (0,2)-cvadritensorul

ηij pring(X, Y ) = ηijX

iY j.

Distingem urmatoarele trei cazuri

42 Capitolul 1.

Cazul g (X, Y)<0 cand X se numeste de tip temporal ;

Cazul g (X, Y)>0 cand X se numeste de tip spatial ;

Cazul g (X, Y)=0 cand X se numeste de tip izotrop.

Un (0,4) - cvadivector important este cel al lui Levi-Civita :

εijkl =

+1 , daca(ijkl) este o permutare para a indicilor 0,1,2,3.−1 , daca este impara

0 , ın rest.

Alte exemple de cvadrivectori (cvadriviteza, cvadriacceleratie, tensori elec-tromagnetici) vor fi tratate ın setiunile urmatoare.

Derivata unui (p,q)-cvadritensor este un (p,q+1)-cvadrivector, de exem-plu

∂tij∂xk

= T ijk.

In general, atunci cand nu exista posibilitatea de confuzie vom spune pescurt tensori ın loc de cvadritensori.

Capitolul 2

Elemente de dinamicarelativista

2.1 Cvadiviteza si cvadriacceleratie.

2.1.1 Principiul minimei actiuni.

Am vazut ın Cap.1 ca ın mecanica newtoniana miscarea unui particule ıntredoua puncte se face pe acele curbe Γ : λ → xi(λ), pe care se realizeazaminimul integralei actiunii:

A =

∫ λ2

λ1

Ldλ,

unde L(x, x) este functia lui Lagrange.

Spre exemplu, ın cazul particulei aflate ın ca mpul potential ~F = grad U,functia lui Lagrange este

LP =mv2

2+ U

adica energia cinetica plus cea potentiala.Sa consideram acum cazul relativist. In esenta, principiul trebuie sa

ramana neschimbat, dar referitor la o linie de univers

Γ : λ→ xi(λ), i = 0, 1, 2, 3.

Refacand calculele din Cap.1 pentru variatii infinitesimale pe linie de univers,obtinem ecuatiile Euler-Lagrange (E-L) :

43

44 Capitolul 2.

∂L

∂xi− d

dλ(∂L

∂xi) = 0 ; i = 0, 1, 2, 3. (2.1)

acestea fiind scrise relativ la un SRI-S pentru functia lui Lagrange

L(λ) = L(x(λ), x(λ)).

Aici, problema principala este invarianta relativista a ecuatiilor E-L. FieS ′ un alt SRI ın care λ′ este parametru si L(λ′) = L(x′(λ′), x′(λ′)) este scriereaLagrangianului ın acest SRI. Cum λ era un parametru arbitrar, putem alegeın particular λ′ = λ. Sa consideram transformarea Lorentz x′i = aijx

j de laS la S ′ . Pe linia de univers Γ avem:

x′i(λ) = aijxj(λ),

∂

∂xi= aji

∂

∂x′j,

∂

∂xi= aji

∂

∂x′j.

Din (2.1) deducem ca problema invariantei relativiste se reduce doar lainvarianta functiei L. Daca L este o functie scalara relativist invarianta,atunci obtinem ca ecuatia E-L este invarianta. O analiza mai atenta, ıncare tinem seama ca ın ecuatia E-L functia L este determinata pana la odiferentiala totala (nefiind unica deci), ne arata ca aceasta conditie ca L sa fiefunctie scalar invarianta este conditie necesara si suficienta pentru invariantarelativista a ecuatiilor E-L.

2.1.2 Principiul minimei actiuni pentru particula li-bera.

Daca particula este libera (nesupusa interactiunilor), atunci traiectoria vatrebui sa fie rectilinie, s = aλ+ b, deci o dreapta ın univesul spatio-temporal.

Luand a = −k un scalar si parametrul λ ca fiind timpul propriu τ(t)unui SRI, principiul minimei actiuni ne conduce la urmatoarea integrala aactiunii:

AA1A2 = −k∫A1A2

dτ = −k∫ t2

t1

√1− v2

c2dt = −k

c

∫A1A2

√ds2 (2.2)

Pe de alta parte, considerand ds2 = ηijdxidxj pe o linie de univers cu

parametrul λ oarecare (nu neaparat τ), obtinem ca

ds2 = ηijdxi

dλ

dxj

dλdλ2 = ηijx

i(λ)xj(λ)dλ2 = xi(λ)xi(λ)dλ2

Cvadiviteza si cvadriacceleratie. 45

Rezulta ca integrala actiunii este

AA1A2 = −kc

∫ λ2

λ1

√ηijxi(λ)xj(λ)dλ,

din care obtinem Lagrangianul particulei libere pentru parametrul λ

L0 = −kc

√ηijxi(λ)xj(λ) (2.3)

Sa observam ca actiunea AA1A2 nu depinde de alegerea parametrului λ sica L0 este un scalar invariant relativist deoarece se obtine din ds2.

O alta particularitate este ca L0(x, αx) = αL0(x, x), deci L0 este o functiepozitiv omogena de grad 1 ın x, α > 0, fapt ce ne aminteste de spatiileFinsler([44])

Considerand cazul nerelativist v c si λ = t, dezvoltand ın serie Taylor

L0(t) = −k√

1− v2

c2= −k(1− 1

2

v2

c2+ ....),

putem compara pe acesta cu LP = m0v2

2+ U. Obtinem: k = m0c

2 si deci

L0(t) = −m0c2

√1− v2

c2,

unde m0 masa particulei, privita ca un scalar invariant relativist.Deoarece L0 depinde numai de xi, ecuatia E-L devine:

d

dλ(

ηijxj√

ηijxixj) = 0⇔ d

dλ(

xi√xixi

) = 0, i = 0, 1, 2, 3 (2.4)

Daca λ = τ(t) este timpul propriu, atunci√ηijxixj =

√ηijdxi

dτ

dxj

dτ=

√ds2

dτ= c

dτ

dτ= c.

Astfel, ca (2.4) ne conduce la dxidτ

= 0 adica xi(τ) = 0, din care deducem caxi(τ) = 0.

Sa consideram urmatoarele marimi ce se dovedesc a fi cvadrivectori:

u = uiei unde ui =dxi

dτ= xi(τ)

w = wiei unde wi =d2xi

dτ 2= xi(τ)

(2.5)

46 Capitolul 2.

numiti cvadriviteza, respectiv cvadriacceleratie.Ecuatiile E-L ne confirma faptul ca, pentru particula libera, cvadriaccelera-

tia este nula.Sa calculam componentele acestor cvadrivectori pentru o particula oare-

care .Pentru cvadriviteza u, componentele sunt:

u0 =dx0

dτ=dx0

dt

dt

dτ= cγ

uα =dxα

dτ=dxα

dt

dt

dτ= vαγ ;α = 1, 2, 3.

(2.6)

De remarcat ca u este un vector tangent la curbele de univers, τ jucandrolul parametrului natural din geometria euclidiana.

Pentru cvadriacceleratia w, mai ıntai prin calcul direct, gasim ca

dγ

dt=

1

c2γ3~v · ~a

deci, produsul scalar din R3, unde vα = dxα

dtsi aα = d2xα

dt2, astfel ca:

w0 = cdγ

dτ= cγ

dγ

dt=γ4

c~v · ~a

wα =duα

dτ=duα

dt

dt

dτ= γ

d(γvα)

dt= γ2dv

α

dt+ γ

dγ

dtvα

(2.7)

Calculul normelor ne arata ca ‖u‖ > 0, deci u este de tip temporal, si‖w‖ < 0, deci w este de tip spatial. O alta remarca este ca g(u,w) = 0, adicacei doi cvadivectori sunt ortogonali.

2.2 Dinamica particulei relativiste.

2.2.1 Cvadrivectorul energie-impuls.

Principiul variational pentru particula libera ne da generalizari naturale alevitezei si acceleratiei, obtinandu-se cei doi cvadrivectori viteza si acceleratie.

Modificari mai putin naturale apar ın introducerea impulsului si energieicinetice.

Sa alegem parametrul λ = t si

Dinamica particulei relativiste. 47

L0(t) = −m0c2√

1− v2′c2 = −m0c√ηijxi(t)xj(t).

Impulsul cinetic ~p al particulei este, prin definitie, de componente spatiale

pα =∂L0

∂xα= −m0c

2 −2vα

c2

2√

1− v2

c2

=m0v

α√1− v2

c2

; α = 1, 2, 3.

sau, echivalent,pα = m0γv

α = m0uα ; α = 1, 2, 3 (2.8)

Energia cinetica a particulei relativiste este, prin definitie :

W =3∑

α=1

pαxα − L0 = ~p · ~v − L0.

Inlocuind, obtinem:

W =m0c

2√1− v2

c2

= m0γc2 = m0cu

0. (2.9)

Combinand cele doua notiuni obtinem cvadivectorul energie-impuls

T =1

cWe0 + pαeα

de componente:

T 0 = m0u0 ; T 1 = m0u

1 ; T 2 = m0u2 ; T 3 = m0u

3 (2.10)

In calcule, m0 are semnificatie nerelativista, numita masa de repaus, saumasa proprie.

Facem observatia ca pentru particula libera derivatele ın raport cu τ alelui T se anuleaza, acceleratia fiind zero.

Urmarind acum expresiile impulsului si energiei suntem condusi, natural,sa introducem notiunea de masa relativista a particulei

m(v) = m0γ =m0√1− v2

c2

, (2.11)

48 Capitolul 2.

masa ce caracterizeaza proprietatile inertiale ale particulei ın miscare cu vi-teza v.

Energia cinetica capata binecunoscuta expresie a lui Einstein:

W = mc2. (2.12)

Energia W0 = m0c2 este cunoscuta sub denumirea de energie de repaus, prin

energie de miscare intelegem diferenta

Wcin = W −W0 = m0c2(γ − 1).

Cvadrivectorul energie-impuls se scrie ın functie de masa relativista

T = (mc, mv1, mv2, mv3).

Formula masei relativiste poate fi legata de legea conservarii impulsuluidin mecanica newtoniana , m′u′ = mu. Scriind pe Ox2 acest lucru, folo-sind (1.33) u′x2 = γux2 si luand m′ = m0, obtinem tocmai formula maseirelativiste.

Numim densitatea masei m a particulei de volum ω cantitatea

µ =dm

dω. (2.13)

Daca m0 este masa de repaus si ω0 este volumul ın acelasi sistem propriu,atunci µ = µ0γ

2.

2.2.2 Cvadriforta

Daca particula libera intra ın interactiune cu alt sistem fizic (asupra ei seexercita o forta K), traiectoria nu va mai fi rectilinie pe o linie de univers,deci are loc o curbare a liniei.

Admitem ca aceasta forta K este proportionala cu cvadriacceleratia ,

K = m0w, (2.14)

relatie numita legea fundamentala a mecanicii relativiste.Se observa caracterul invariant al acestei cvadriforte si faptul ca are com-

ponentele spatiale aceleasi ca pentru o forta ~F din mecanica newtoniana. Inplus, (2.14) se transcrie cu ajutorul tensorului energie-impuls:

dT

dτ= K (2.15)

Relativitatea campului electromagnetic 49

Forta K este ortogonala ın spatiul Minkowski pe u, astfel ca

cγK0 − γ2~v · ~F = 0,

si de aici putem scoate componenta K0 = 1cγ~v · ~F .

Pentru componentele spatiale se obtine

dW

dt= ~v · ~F ,

relatie ce justifica ın mecanica newtoniana formula lucrului mecanic.Nu ne putem permite aici sa abordam problema sistemelor de particule

sau cea a particulelor ın camp de forte [89]Folosind variatia Lie a integralei actiunii, ın [65] se obtin ecuatii de

miscare pentru fluide ce se deplaseaza ın camp de forte al caror potentialeste determinat de un (0,2)-tensor simetric , nedegenerat Gij. Aici intervineun tensor specific Tij = µuiuj numit tensorul energie-impuls al fluidului.Dupa calcule ceva mai complicate se gasesc urmatoarele ecuatii de miscare:

d2xm

dτ 2+

1

2Glm(

∂Glj

∂xi+∂Gil

∂xj− ∂Gij

∂xl)uiuj = 0

ecuatii ce pot fi puse sub forma

µd2xm

dτ 2+ ΓmijT

ij = 0,

unde Γmij sunt simboli lui Christoffel ai lui Gij.Evident, pentru Gij = const., se regasesc ecuatiile particulei libere.

2.3 Relativitatea campului electromagnetic

2.3.1 Tensorul campului electromagnetic.

Secolul al IX-lea a adus pentru fizica teoretica descoperirea legilor electro-magnetismului: ecuatiile lui Maxwell si Legea lui Lorentz. Odata cu desco-peripea lor fizica intra ıntr-un nou impas, deoarece legile clasice ale lui Galileinu respecta conditii de invarianta pentru aceste ecuatii.

Solutia este data de electrodinamica relativista care, ın esenta, este teoriacampului electromagnetic bazata pe ecuatiile Maxwell invariante la trans-formarile Lorentz, ımpreuna cu cinematica si dinamica relativista.

50 Capitolul 2.

Vom ıncerca sa introducem principalele concepte pentru legile campuluielectromagnetic ın vid.

Fie q sarcina electrica a unei particule de volum ω. Numim densitate desarcina electrica marimea ρ = dq

dω. Tinand cont de modificarile de volum la

transformarile Lorentz, scriem ρ = ρ0γ, unde ρ0 este densitatea de repaus.Se numeste curent cvadivectorul

J = (J0 = ρ, J1 = ρv1

c, J2 = ρ

v2

c, J3 = ρ

v3

c).

Presupunem ca miscarea particulei de masa m se face ıntr-un camp elec-tromagnetic cu componenta electrica

~E = (E1, E2, E3)

si cea magnetica~B = (B1, B2, B3),

descompuse dupa axele (Ox1, Ox2, Ox3).Plecam de la legea lui Lorentz (1889, adesea atribuita lui O. Heaviside),

care spune ca miscarea particulei electrice se face sub actiunea fortei:

~F =d(m~v)

dt= q

[~E +

1

c~v × ~B

], (2.16)

~v fiind viteza de deplasare a particulei.Aceasta lege poate fi reformulata relativist invariant astfel:Pe componente prima ecuatie din (2.16) este

d(mv1)

dt=

[E1 +

1

c

(v2B3 − v3B2

)],

din care rezulta:

cd(mv1) = q(E1dx0 +B3dx2 −B2dx3)

Analog obtinem celelalte doua componente din (2.16):

cd(mv2) = q(E2dx0 −B3dx1 +B1dx3)

cd(mv3) = q(E3dx0 +B2dx1 −B1dx2)


Pe de alta parte, variatia energiei este dW = ~F · d~x, si, cum d~x estecoliniar cu ~v, din(2.16) rezulta ca:

dW = q(E1dx1 + E2dx2 + E3dx3).

Aceste patru ecuatii pot fi reunite sub forma ecuatiilor 4-dimensionale

dT i =q

cF ijdx

j, i = 0, 1, 2, 3 (2.17)

unde T i sunt componentele cvadrivectorului energie-impuls si

F ij =

0 E1 E2 E3

E1 0 B3 −B2

E2 −B3 0 B1

E3 B2 −B1 0

(2.18)

este numit tensorul electromagnetic.Sa remarcam din (2.17) caracterul tensorial relativist al lui F i

j . Pentru aridica sau coborı indicii folosim tensorul metric ηij, astfel obtinem urmatoriitensori Fij = ηikF

kj si F ij = ηikF j

k dati de:

Fij =

0 E1 E2 E3

−E1 0 −B3 B2

−E2 B3 0 −B1

−E3 −B2 B1 0

, F ij =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

(2.19)

Folosind acesti tensori si formulele (1.29) ale lui Lorentz se pot gasi cu

usurinta regulile de transformare a componentelor lui ~E si ~B la transformarileLorentz. De notat ca tensorii (2.19) sunt antisimetrici.

Introducerea acestor cvadritensori da o formulare noua legilor lui Maxweldeduse ın 1864 (reformulate de O. Heaviside in 1884):

~∇ · ~B = 0 ~∇ · ~E = 4πρ (2.20)

~∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t= 4π ~J ~∇× ~E +

1

c

∂ ~B

∂t= 0

unde ~J = (J1, J2, J3) este curentul tridimensional.Prima ecuatie,

∂B1

∂x1+∂B2

∂x2+∂B3

∂x3= 0

52 Capitolul 2.

se scrie cu ajutorul tensorului elecromagnetic sub forma echivalenta:

∂F23

∂x1+∂F31

∂x2+∂F12

∂x3= 0

si, cu totul analog, se traduce ecuatia

~∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0

cu ajutorul derivatelor tensorului electromagnetic.Obtinem urmatoarea scriere echivalenta cu cele doua ecuatii vectoriale :

∆ijk ≡ ∂[iFjk] ≡∂Fjk∂xi

+∂Fki∂xj

+∂Fij∂xk

= 0 i, j, k = 0, 1, 2, 3. (2.21)

Ecuatiile ~∇ · ~E = 4πρ si ~∇ × ~B − 1c∂ ~E∂t

= 4π ~J se expliciteaza cu totulasemanator sub forma :

f i ≡ ∂F ij

∂xj= 4πJ i ; i = 0, 1, 2, 3 (2.22)

Astfel ca ecuatiile Maxwel se traduc prin doua tipuri de ecuatii care suntinvariant relativiste datorita caracterului tensorial al lui Fij, F

ij si J i, ∂∂xk

.

2.3.2 Lagrangianul campului electromagnetic

Miscarea sarcinei punctiforme ınt-un camp extern este descrisa de legea luiLorentz (2.16). Pe de alta parte, aceeasi miscare trebuie sa se obtina dinproblema variationala.

Un calcul direct pentru actiunea Lagrangianului :

Lq(t) = −m0c2

√1− v2

c2− q

(Φ− 1

c~A · ~v

)= L0 −

q

c

(Φ

.x0 (t)− Aα · xα(t)

) (2.23)

ne conduce la concluzia ca ecuatiile E-L corespunzatoare lui Lq(t) sunt echi-

valente cu legea lui Lorentz, unde Φ(x) este un potential scalar si ~A(x) esteun camp 3-dimensional.


Problema principala aici este invarianta relativista a ecuatiilor E-L. Scrisıntr-un parametru oarecare λ, Lagrangianul are forma:

Lq(λ) = −m0c√ηijxi(λ)xj(λ)− q

c[Φx0(λ)− Aα · xα(λ)] (2.24)

cu ~A = (A1, A2, A3).Deci, este suma Lagrangianului

L0(λ) = −m0c√ηijxi(λ)xj(λ)

al particulei elementare, care este invariant relativist, cu un camp scalar

U(λ) =q

c

√ηij

.xi (λ)

.xj (λ),

ce se impune sa pastreze caracterul invariant relativist.Introducem urmatorul ansamblu, numit cvadripotential:

A = (Ai)i=0,3 =(Φ,−A1,−A2,−A3

)(2.25)

Atunci U(λ) se scrie:

U(λ) =q

cAi(λ)xi(λ).

Cum xi sunt componentele unui cvadrivector si λ este arbitrar, este necesarca A sa fie o cvadriforma. Obtinem astfel o conditie necesara si suficientapentru invarianta relativista a ıntregului Lagrangian:

Lq(λ) = −m0c√ηijxi(λ)xj(λ)− q

cAi(λ)xi(λ) (2.26)

Din calcule, rezulta ca:

L = L0 − U(x(λ), ˙x(λ))⇒ EL = EL0 +∂U

∂xi− xj ∂

2U

∂xjxi−

..

xj∂2U

∂xjxi,

cu∂2U

∂xjxi= 0.

Luand parametrul λ ca fiind timpul propriu τ(t) , ecuatiile E-L ne conducla urmatoarea scriere tensoriala [89], pag.247:

dTidτ

=q

c

[∂Aj∂xi− ∂Ai∂xj

]uj(τ) (2.27)

54 Capitolul 2.

unde Ti = ηijTj sunt componentele covariante ale tensorului energie-impuls

Amplificand acum cu dτ si ridicand indicii cu ηij, obtinem exact (2.17).Prin urmare, ın (2.27) avem componentele covariante ale tensorului electro-magnetic:

Fij =∂Aj∂xi− ∂Ai∂xj

(2.28)

cu exprimarea (2.19)Fara a intra ın detalii, trebuie spus ca cvadrivectorul energie-impuls T nu

este ın masura sa caracterizeze complet energia si miscarea unei particule.Este necesar sa se ia ın calcul si alte elemente cum ar fi: densitatea mediului,natura mediului, fortele ce actioneaza etc. In acest scop, a fost introdus untensor simetric de tip (2,0), definit de relatia vectoriala

∇ ·T = −1

cF · J,

unde F = (Fij) este tensorul electromagnetic.Folosind ecuatiile lui Maxwell tensoriale se gaseste [[89],pag.256], ca ten-

sorul energie-impuls T = (Tij) al campului electromagnetic are exprimarea:

Tij =1

4µ0

F khFkhηij − 1

µ0

F ikF jhηkh (2.29)

sau

T ij = ηijηjlFkl si∑ ∂Fkl

∂xh= 0.

Proprietatea importanta a acestui tensor este ca :

∂Tij

∂xi= 0, ∀i, j = 0, 1, 2, 3

adica divergenta sa este nula, proprietate cunoscuta sub denumirea de legeaconservarii energiei.

Scopul acestei sectiuni a fost sa puna ın evidenta cateva marimi tensori-ale relativiste specifice electromagnetismului. Probleme precum: sisteme departicule ın camp gravitational,comportarea ın diverse medii, etc.sunt maiputin necesare noua.

Partea II

Relativitate Generala

55

57

Teoria relativitatii restranse formulata ın 1905 de catre A.Einsein este oteorie simplificata a spatiului si timpului. Ea are cel putin doua neajunsurifundamentale. In primul rand, ın aceasta teorie se iau ın considerare numaisisteme de referinta inertiale, apoi nu se include descrierea proceselor fiziceın prezenta campului gravitational ce influenteaza fundamental comportarealor.

Teoria dezvoltata ulterior de A.Einstein elimina aceste neajunsuri, fiindcunoscuta sub denumirea de teoria relativitatii generale, formulata completın 1917. Germenii acestei teorii se gasesc in principiul echivalentei formulatde catre Einstein ın 1908.

Se obisnueste sa se dea doua formulari acestui principiu: slaba si tare.Principiul echivalentei slabe este cunoscut din mecanica newtoniana prin

care se face o egalitate ıntre masa inertiala mi a unui corp si masa sagravitationala mg.

Masa inertiala a corpului este constanta ce exprima proportionalitateaıntre forta si acceleratia imprimata corpului

~F = mi · ~a

si se refera la rezistenta ce o opune un corp atunci cand ıncerci sa-l ımpingi.Masa gravitationala este cea din legea gravitatiei a lui Newton,

Fg = Gmg

r2,

sau exprimata vectorial~Fg = mg

~∇Φ

unde Φ este potentialul gravitational. Cele doua mase au un caracter diferit,eglitatea lor atragand conditia

~a = −~∇Φ.

Pe baza acestei egalitati se justifica urmatoarea proprietate fundamentalaa campului gravitational : ın prezenta unui camp gravitational extern toatecorpurile de proba se misca ın acelasi mod. Proprietatea este simtita la modulpopular ın urma unei experiente simple. Sa ne imaginam un lift (o cutieınchisa) ın cadere libera sub influenta fortei gravitationale. Corpurile aflateın lift se misca ın acelasi mod pentru conditii initiale identice, nepercepandde fapt gravitatia decat daca ar avea posibilitatea de a privi ın afara liftului,

58

adica de a se raporta la sisteme de referinta exterioare liftului. Aceasta seexplica prin anularea fortei gravitationale de catre forta de inertie.

Corpurile aflate ın interiorul liftului se pot raporta la un sistem de referintainertial local (SRIL) pentru durate relativ mici ale masuratorilor, campulgravitational nefiind omogen ın timp si spatiu.

Aceeasi particula din lift, raportata la un sistem de referinta fixat pePamant, are o miscare accelerata determinata de caderea liftului. Deci acestsistem de referinta fixat pe Pamant este neinertial, SRN.

Suntem condusi la a doua formulare, cea tare, a principiului echivalentei:legile de miscare ale corpurilor sunt aceleasi cu cele dintr-un SRIL ın absentacampului gravitational. In cazul campului gravitational static si omogenputem alege SRIL ın care forta de inertie compenseaza pe cea gravitationala.

Din punct de vedere matematic lucrurile se pot gandi astfel. Consideramun SRN fixat ( de Pamant, spre exemplu) ın raport cu care un punct P arecoordonatele spatio-temporale

P (x0 = ct, x1, x2, x3)

si un SRIL fixat intr-o vecinatate a punctului P ın care campul gravitationaleste static si omogen (interiorul cutiei liftului) si raportat la el punctul P arecoordonatele

P (ξ0 = cτ, ξ1, ξ2, ξ3).

Pentru punctele din aceasta vecinatate putem aplica teoria relativitatii restransecu transformarile Lorentz relativ la SRIL. Problema este cum traducem re-zultatele obtinute ın raport cu SRN. Ar trebui sa avem relatii bijective

care sa exprime legatura (xi)f→ (ξi) si care sa poata fi exprimate glo-

bal, la ıntreg spatiu. In plus, aceste conditii ar trebui sa satisfaca conditiide diferentiabilitate. In SRIL avem o metrica, cea Minkowski ds2. Existao metrica ın SRN corespunzatoare care, evident, va depinde de campulgravitational ?.

Acestea sunt problemele matematice ce trebuiesc analizate ın teoria re-lativitatii generale. Asa cum vom vedea, si este de intuit din ce am spusmai sus, avem nevoie de mai multa geometrie ın special legat de varietatilediferentiabile, lucru pe care ıl facem ın capitolul de ınceput al acestei parti.

It would be interesting to see how they evolved ideas of the Theory ofGravity.

Some chronological data on General Relativity

59

1634: Galileo Galilei (1564 - 1642), understanding of the motions on aninclined plane and falling bodies paved the way for Newton’s theory of gravity.

1687: Sir Isaac Newton (1642 - 1727), states Newton’s law of universal gravi-tation published in the Principia, by which gravity is the result of an attrac-tive force between massive objects but although even Newton was botheredby the unknown nature of this force.

1798: Henry Cavendish (1731 - 1810), British: measured the Earth’s densityand the result was later used to calculate gravitational constant (G).

1854: Bernhard Riemann (1826 - 1866), founded Riemannian geometry ena-bling the later development of general relativity by Einstein.

1885: Lorand Eotvos (1848 - 1919), make an experiment that measured thecorrelation between inertial mass and gravitational mass, demonstrating thatthe two were one and the same (equivalence principle).

1905: Albert Einstein (1879 - 1955) elaborated the theory of special relativity,expanding Newton’s low speed laws of motion to high speed. In other words,at this stage Einstein restricted his theory to non-gravitational motion.

1907: Begin the era of General Relativity. A. Einstein published the ini-tial paper on General Relativity, in which he introduced the CorrespondencePrinciple, the bending of light paths by gravity, and the extension of the equi-valence of mass and energy to include gravitational mass as well as inertialmass.

1912: A. Einstein begins to realize that the relativistic theory of gravity heis developing cannot allow time to warp while keeping space flat.

1913: A. Einstein enlisted the help of his old ETH friend Marcel Grossmannto incorporate Riemannian geometry into his nascent theory of General Re-lativity.

1914: A. Einstein presented the ”Hole Argument” to explain why he felt itwould be impossible to construct gravitational field equations in his theory

60

which satisfy general covariance.

1915: A. Einstein presented four iterations of his General Theory of Relati-vity to the Prussian Academy of Science with an explanation for the preces-sion of the perihelion of Mercury, and the last containing the final form ofhis field equations - The Einstein Equations.

1916: A. Einstein published the final form of his paper on the General Theoryof Relativity. A. Einstein, ”Die Grundlage der allgemeinen Relativittstheo-rie” (”The Foundation of the General Theory of Relativity”), Annalen derPhysik, Vol. 354, Issue 7, pp. 769-822 (1916).

1915: David Hilbert (1862 - 1943), submitted an article containing the correctfield equations for general relativity five days before Einstein. Hilbert neverclaimed priority for this theory (the matter is disputed).

1915: Karl Schwarzschild (1873 - 1916), provided the first exact solutionto the Einstein field equations of general relativity for the limited case of asingle spherical non-rotating mass (Schwarzschild solution). It describes spa-cetime in the vicinity of a non-rotating massive spherically-symmetric object.Schwarzschild accomplished this triumph while serving in the German armyduring World War I. He died at May 11 1916 from the autoimmune diseasepemphigus, which he developed while at the Russian front.

1915-1917: Tullio Levi-Civita (1873 1941), a pupil of Gregorio Ricci-Curbastro- the inventor of tensor calculus, correspondence with Einstein. The cor-respondence was initiated by Levi-Civita, as he found mathematical errorsin Einstein’s use of tensor calculus to explain the theory of relativity. It’sevident from these letters that, after numerous letters, the contribution ofLevi-Civita to the modern mathematical formulation of General Relativity.In one of the letters, regarding Levi-Civita’s new work, Einstein wrote ”Iadmire the elegance of your method of computation; it must be nice to ridethrough these fields upon the horse of true mathematics while the like of ushave to make our way laboriously on foot”.

1917: A. Einstein determines the Cosmological constant.

1917: Hermann Weyl (1885 – 1955), was one of the first to conceive of com-

61

bining general relativity with the laws of electromagnetism in Weyl’ model.In 1918, he introduced the notion of gauge, and gave the first example ofwhat is now known as a gauge theory. Weyl’s gauge theory was an unsuc-cessful attempt to model the electromagnetic field and the gravitational fieldas geometrical properties of spacetime.

1918: A. Einstein predicted the gravitational waves.

1919: Arthur Eddington (1882 - 1944), confirmed general relativity’s predic-tion for the deflection of starlight by the Sun during a total solar eclipse.This is the beginning of the glory of A. Einstein.

1921: Theodor Kaluza (1885 - 1954) gave an introduction of Kaluza-Kleintheory, an early attempt to unify gravitation with electromagnetism. Ka-luza’s theory was a purely classical extension of general relativity to fivedimensions. In 1926, Oskar Klein gave Kaluza’s classical 5-dimensional the-ory a quantum interpretation.

1922: Alexander Friedman (1888 - 1925), derived from Einstein’s generalrelativity field equations that the universe is expanding.

1923: George David Birkhoff (1884 - 1944), in general relativity, Birkhoff’stheorem states that any spherically symmetric solution of the vacuum fi-eld equations must be static and asymptotically flat. This means that theexterior solution must be given by the Schwarzschild metric.

1929: Edwin Hubble (1889 - 1953), found evidence for the Friedman’s ideathat the universe is expanding and this evidence is consistent with the solu-tions of Einstein’s equations of General Relativity.

1936: Howard Robertson (1903 - 1961) and Arthur Walker (1909 - 2001),gave an exact solution of Einstein’s cosmological equations. It describesa homogeneous, isotropic expanding or contracting universe that may besimply connected or multiply connected. Friedmann-Robertson-Walker orRobertson-Walker (RW) or Friedmann-Lematre model is sometimes calledthe Standard Model of modern cosmology. It was developed independentlyby the named authors in the 1920s and 1930s.

62

1965: Roy Kerr (1934 - -) and Ezra Newman (1929 - -) found a solution of theEinstein-Maxwell equations in general relativity that describes the spacetimegeometry in the region surrounding a charged, rotating mass.

Capitolul 3

Elemente de geometriavarietatilor diferentiabile

3.1 Varietate diferentiabila.

Presupunem ca cititorul a parcurs deja un curs de geometria varietatilordiferentiabile ([31],[34],[62]..). Cateva elemente pe care le repetam aici aurolul de a fixa cadrul de lucru.

Notiunea de varietate diferentiabila este fundamentala atat ın matema-tica, cat si ın fizica. Vom discuta cazul varietatilor n−dimensionale reale,ce cuprind, ın mare, ideea de spatiu cu structura topologica diferentiala, ceseamana local cu Rn. Evident, cazul care ne intereseaza este n = 4.

O harta locala pe varietatea Ck - diferentiabila M este formata din pe-rechea (U,ϕ), unde ϕ : U → Rn este un omeomorfism al deschisului U ⊂ Mpe un deschis din Rn. Consideram proiectia pe componenta i,

πi : Rn → R

atunci

xi(x) = πi ϕ(x), ∀x ∈ U

ne defineste un sistem de coordonate ın harta locala (U,ϕ) ın punctul x ∈ U ,iar punctele

(x1(x), . . . xn(x)) ∈ Rn

se numesc coordonate locale ale punctului x.

63

64 Capitolul 3

Figura 3.1: Harta locala

Doua harti locale (U,ϕ), (V, ψ) se numesc Ck− compatibile daca aplicatia

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V )

este diferentiabila de clasa Ck, cu inversa diferentiabila de aceeasi clasa(Ck−difeomorfism).

Figura 3.2: Harta locala

Aplicatia ψϕ−1 se numeste schimbare de harti locale si determina schimbarile

Varietate diferentiabila. 65

de coordonate

x′i = x′i(x), rang

(∂x′i

∂xj

)= n,

care sunt Ck−difeomorfisme.Se numeste atlas de clasa Ck o colectie indexata de harti locale

(Uα, ϕα)α∈I

astfel ca ∪αUα = M si pentru Uα∩Uβ 6= ∅, α 6= β, hartile (Uα, ϕα) si (Uβ, ϕβ)sunt Ck−compatibile.

Doua atlase se numesc echivalente daca reuniunea lor este un atlas deaceeasi clasa.

Se numeste varietate diferentiabila de clasa Ck n−dimensionala o clasade atlase echivalente.

De regula, vom discuta de varietati C∞ diferentiabile, fara a mai precizaacest lucru.

Exemplele cele mai cunoscute de varietati diferentiabile sunt: Rn, sfera,torul, etc.

Fiind date doua varietati diferentiabile, dimM1 = m1 , dimM2 = m2, oaplicatie µ : M1 → M2 se numeste Ck- diferentiabila ın x ∈ M1 daca exista(U,ϕ) harta locala ın x si (V, ψ) harta locala ın µ(x) astfel ca aplicatia

ψ µ ϕ−1 : ϕ(U)→ ψ(V )

sa fie Ck−diferentiabila.Definitia aceasta nu depinde de hartile locale respective, deci are caracter

geometric. Local ea se exprima sub forma yi = µi(x), i = 1, n.Aplicatia µ se numeste imersie daca ın toate punctele x ∈ M1 avem

rang(µ)x = m1, si se numeste submersie daca rang(µ)x = m2.Notiunea de vector tangent la o varietate se poate da ın mod natu-

ral cu ajutorul curbelor de pe varietate, sau axiomatic, ca fiind o clasade echivalenta a tripletelor Xx = (U,ϕ, (X i)), cu (X i) ∈ Rn, astfel ca laschimbari de harti locale sa avem

X ′i =∂x′i

∂xjXj.

Multimea tuturor vectorilor tangenti ın x ∈ M are o structura naturala despatiu vectorial TxM numit spatiul tangent la varietate ın x, izomorf cu Rn.

66 Capitolul 3

Baza corespunzatoare bazei canonice din Rn ın TxM se noteaza cu

∂∂xi

i=1,n

si deci orice vector tangent ın x ∈M se scrie

Xx = X i ∂

∂xi.

O aplicatie diferentiabila µ : M1 → M2 induce pe spatiile tangente oaplicatie liniara

µ∗,x : TxM1 → Tµ(x)M2,

numita aplicatia tangenta, care local actioneaza asupra bazei vectorilor tangentiastfel:

µ∗,x

(∂

∂xi

)=∂µk

∂xi∂

∂yk.

Dualul spatiului tangent TxM se noteaza cu T ∗xM si se numeste spatiulcotangent. Elementele sale sunt 1-formele liniare ωx : TxM → R.

Daca f : M → R este o functie diferentiabila, definim dxf ∈ T ∗xM cafiind 1-forma data de

dxf(Xx) = X i ∂f

∂xi.

In particular, functiilor de coordonate le putem asocia 1-formele dxxii=1,n,definite de relatia

(dxxi)(

∂

∂xj) = δij,

ce formeaza o baza ın spatiul cotangent T ∗xM , numita baza duala bazei∂∂xi

i=1,n

. De regula, vom omite pentru vectori si 1-forme sa specificam

punctul de lucru, acesta subıntelegandu-se.O alta notiune fundamentala este cea de fibrat vectorial, notiune ce gene-

ralizeaza ideea de produs direct dintre o varietate n−dimensionala M si Rm.Vom prezenta pentru ınceput o notiune mai generala, cea de spatiu fibrat.

Un grup (G, ·) ınzestrat cu structura topologica de varietate diferentiabilaastfel ıncat aplicatia (x, y) → x · y−1 sa fie diferentiabila se numeste grupLie. Exemple imediate de grupuri Lie sunt: (Rn,+), Gl(n,R), SU(1), SU(2),etc.([31]). Pe un grup Lie sde pot defini difeomorfismele urmatoare:

• translatia la dreapta Ra : G→ G, x→ x · a;

• translatia la stanga La : G→ G, x→ a · x.


Un camp vectorial X pe G se numeste stang invariant daca aplicatiatangenta La,∗ : TxG→ TaxG satisface conditia La,∗(Xx) = Xax.

Multimea campurilor stang invariante pe G formeaza o algebra Lie. Con-siderand o baza ın aceasta algebra Xαα=1,n , atunci [Xα, Xβ] = Cγ

αβXγ,unde Cγ

αβ se numesc coeficientii de structura Maurer-Cartan ai lui G.Un alt exemplu de grup Lie G, dimG = n, este cel al transformarilor

infinitesimale pe o varietate n−dimensionalaM, adica transformari de forma:

xi = f i(x, a) unde x = (x1, ...xn) (3.1)

xi = f i(x, 0) a = (a1, ...am)

care formeaza un grup ın raport cu compunerea.Pentru o transformare infinitesimala a lui G, sa facem urmatoarea apro-

ximare ın dezvoltarea ın serie Taylor:

xi = xi + ξiλελ unde ξiλ(x) =

∂xi

∂aλ|aλ=0; ελ = δaλ (3.2)

Se obtin atunci urmatoarele variatii:

δxi = xi − xi = ξiλελ (3.3)

Aceste variatii δxi determina variatii ale unei functii scalare Φ(x) (functiade unda, spre exemplu):

δΦ = Φ− Φ =∂Φ

∂xiδxi = ξiλ

∂Φ

∂xiελ = Xλ(Φ)ελ, (3.4)

unde Xλ = ξiλ∂∂xi

se numesc generatorii grupului Lie de transformari si sunto baza ın algebra campurilor stang invariante, [Xα, Xβ] = Cγ

αβXγ.Acest grup Lie joaca un rol ınsemnat ın teoriile gauge clasice ce sunt

legate de dezvoltari ulterioare ale teoriei relativitatii.Sa consideram M si F doua varietati, dim M = n, dim F = m si G un

grup Lie ce actioneaza diferentiabil pe F.Fie E o multime oarecare si π : E → M o surjectie, numita proiectia

canonica.Numim harta vectoriala pe E tripletul (U,ϕU , F ), unde U ⊂ M este un

deschis, iar ϕU : π−1(U) → U × F este o bijectie astfel ıncat urmatoareadiagrama este comutativa:

π−1(U)ϕu→ U × F ↓ p1

U

68 Capitolul 3

Doua harti vectoriale (U,ϕU , F ), (U ′, ϕ′U ′ , F ) ın x ∈ U ∩ U ′ se numesccompatibile daca

ϕ′U ′,x ϕ−1U,x = gUU ′(x) ∈ G, (3.5)

unde ϕU,x este restrictia aplicatiei ϕU la x , adica

ϕU,x : π−1(x)→ x × F.

O colectie (Ui, ϕUi , F )i∈I de harti fibrate compatibile doua cate douape intersectia lor nevida, ∪xUi = M, se numeste atlas fibrat. Doua atlasefibrate sunt echivalente daca reuniunea lor este tot un atlas fibrat.

Numim spatiu fibrat, notat ξ = (E, π,M, F,G) o colectie de atlase echi-valente. Varietatea M se numeste baza, F este fibra tip, G grupul structuralsi

gUU ′ : U ∩ U ′ → G

se numesc functii structurale, iar Ex = π−1(x) este fibra locala.Un caz particular de spatiu fibrat este fibratul vectorial ın care F este

spatiu vectorial, pe care ıl putem lua chiar Rm ın acest caz finit dimensional.Notam cu ξ = (E, π,M) un fibrat vectorial.

Orice spatiu fibrat are structura de varietate (n + m)−dimensionala,hartile locale de pe ξ obtinandu-se cu ajutorul hartilor locale de pe M side pe F ([31],[44]). Daca x = (x1, ..., xn) sunt coordonatele locale ın (U,ϕ)de pe M si y = (y1, ..., ym) sunt coordonate locale ın (V, ψ) de pe F , unpunct de pe varietatea ξ este u = (x, y) iar schimbarile de coordonate suntde forma .

x′k = x′k(x1, .., xn) (3.6)

y′a = ϕa(gUU ′(x1, .., xn), y1, ...ym)

In cazul particular al fibratelor vectoriale, (3.6) devine:

x′k = x′k(x1, .., xn) (3.7)

y′a = Mab (x)yb

unde (Mab (x)) ∈ GL(m,R).

Exemplul natural de fibrat vectorial este fibratul tangent la o varietate M

TM = (∪x∈MTxM,π,M),


unde π : TxM → x. Pe TM schimbarile de harti vectoriale sunt date de

gUiUj(x) =(∂x′i

∂xj

)si deci schimbarile de coordonate pe varietaeta TM sunt

de forma:

x′k = x′k(x1, . . . , xn), (3.8)

y′k =∂x′k

∂xjyj,

unde rang(∂x′k

∂xj

)= n.

Un alt caz particular de spatiu fibrat ce constituie suportul multor teoriifizice moderne este fibratul principal.

Un fibrat principal este un spatiu fibrat ın care F ≡ G si actiunea luiG pe G este data de translatia la stanga LgUU′a = gUU ′ · a. Pentru fibrateprincipale, se utilizeaza notatia (P, π,M,G). Exemple remarcabile de fibrateprincipale sunt:

1. (M ×G, π1,M,G), fibratul principal produs direct.

2. Fibratul principal al reperelor. In spatiul TxM am vazut ca

∂∂xi

este

o baza naturala a vectorilor tangenti. Considerand ın TxM alta bazaZx = X1,x, .....Xn,x , cu Xi,x = Xj

i∂∂xj, atunci Zx se numeste reper

ın x ∈ M. Notam cu PxM multimea tuturor reperelor ın x ∈ M, sireuniunea lor P (M) = ∪x∈MPxM, iar π : Zx → x. Atunci P (M) are ostructura de fibrat principal, numit fibratul principal al reperelor.

Ne oprim aici cu teoria generala a spatiilor fibarate, pentru detalii se potconsulta monografiile:[31],[44].

Utilizand notiunea de grup uniparametric al unui camp vectorial X, sedefineste derivata Lie ce generalizeaza pe cea de variatie Lie. Aici amintimdoar regulile de calcul ale derivatei Lie ın raport cu un camp X ∈ χ(M).

• derivata unei functii f : M → R este

LXf = X(f)

• derivata campului Y ∈ χ(M) este crosetul lor,

LXY = [X, Y ] ,

unde [X, Y ]x =(X i ∂Y j

∂xi− Y i ∂Xj

∂xi

)∂∂xj

70 Capitolul 3

• dervata unei 1-forme,

(LXω)(Y ) = Xω(Y )− ω([X, Y ])

• derivata unei p-forme liniare ω ∈ L(TM,R) este

(LXω)(Y1, ...Yp) = Xω(Y1, ...., Yp)−∑

ω(Y1, .., [X, Yi] , ....Yp)

Un exemplu remarcabil de fibrat vectorial este cel al aplicatiilor p-liniare al-ternante, Ap(TM,R), pentru care se poate se poate defini produsul exterior :daca ω ∈ Ap(TM,R) si θ ∈ Aq(TM,R) atunci

ω ∧ θ ∈ Ap+q(TM,R)

este data de

(ω ∧ θ)(Y1, ..., Yp, Yp+1, ..., Yp+q) =1

p!q!

∑σ∈σp+q

εσω(Yσ(1), .., Yσ(p))

· θ(Yσ(p+1), ..., Yσ(p+q))

In particular, produsul exterior a p forme liniare este p−forma diferentiala:

(ω1 ∧ .... ∧ ωp)(Y1, ..., Yp) = det(ωi(Yj)) (3.9)

Alta operatie ınAp(TM,R) este produsul interior al unei forme diferentialeω ∈ Ap(TM,R) cu X ∈ χ(M) si se obtine iXω ∈ Ap−1(TM,R) definita de

(iXω)(X1, .....Xp−1) = ω(X,X1, ..., Xp−1) (3.10)

Diferentiala exterioara a unei p−forme ω ∈ Ap(TM,R) este aplicatia

d : Ap(TM,R)→ Ap+1(TM,R)

data de relatia implicita LX = diX +iX d. Expresia diferentialei exterioareeste:

(dω)(X0, X1, ...., Xp) =

p∑i=0

(−1)iXiω(X0, ..., Xi, .., Xp) + (3.11)

+∑i<j

(−1)i+jω([Xi, Xj] , X0, .., Xi, .., Xj, .., Xp)

Derivata covarianta. 71

unde Xi ınseamna omiterea acelui camp.

Presupunem, ın continuare, cunoscut procedeul de obtinere a fibratuluitensorilor de tip (p, q) si operatiile cu tensori. Amintim ca la schimbarile deharti locale pe M un tensor t ∈ T pq (M) se schimba dupa regula:

t′j1...jpi1...iq

=∂x′j1

∂xk1. . .

∂x′jp

∂xkp1.∂xh1

∂x′i1. . .

∂xhq

∂x′iqtk1.....kqh1...hq

(3.12)

Exemple particulare de tensori fiind vectorii, 1-formele, p-formele liniare.

3.2 Derivata covarianta.

Derivata covarianta generalizeaza notiunea de derivare a unui vector dupadirectia altuia.

Pentru ınceput, prezentam derivarea covarianta ın fibrate vectoriale, ca-zul particular al fibratului tangent fiind cel ce a generat acest concept laınceputul secolului al-XX-lea. Derivata partiala a componentelor unui vec-tor nu mai pastreaza caracterul tensorial al sau, fapt ce a dus la introducereaasa-numitilor coeficienti de conexiune Γkij, astfel ca

∇ ∂

∂xiY j ∂

∂x=

(∂Y k

∂xi+ ΓkijY

j

)∂

∂xk

sa fie un vector. Desigur, acest nou operator ∇ este necesar sa se reduca laoperatorul de derivare partiala ın cazul spatiului plat Rn, spatiile pentru carenu se ıntampla asa ceva fiind numite, ın special de fizicieni, spatii curbate.

Introducerea acestui nou concept ar trebui sa se rasfranga asupra ıntregigeometrii a spatiului, dar si asupra proceselor fizice din el, caracterizate ınspecial de tensorul energie-impuls, ce are divegenta nula.

Astazi, notiunea de derivata covarianta se prefera sa se introduca axio-matic dupa cum urmeaza.

Fie ξ = (E, π,M) un fibrat vectorial. Numim sectiune ın ξ o aplicatiediferentiabila s : U → E, unde U este un deschis din M, astfel ca πs = idM .Multimea sectiunilor formeaza un modul notat SectE. In cazul particularal fibratului tangent TM , sectiunile sunt campurile vectoriale pe M , iarmodulul lor se noteaza cu χ(M).

72 Capitolul 3

Numim lege de derivare pe E o aplicatie D : χ(M) × SectE → SectE,adica D : (X, s)→ DXs cu proprietatile:

DX+Y s = DXs+DY s;

DX(s1 + s2) = DXs1 +DXs2

DfXs = fDXs;

DX(fs) = (Xf)s+ fDXs

(3.13)

unde X ∈ χ(M), s ∈ SectE, f ∈ F(M) este o functie reala pe M.DXs se numeste derivata covarianta a sectiunii s ın raport cu vectorul XExemplul uzual de lege de derivare este ın fibratul ξ = (E = M×R, π,M)

si este DXf = Xf, deoarece SectE = F(M).Diferenta a doua legi de derivare, D −D′ = h, este o aplicatie liniara pe

χ(M).Existenta unei legi de derivare pe E permite extinderea acestei notiuni

la alte fibrate legate de ξ. Spre exemplu ın fibratul aplicatiilor p−liniareLp(TM, ξ) putem defini urmatoarea lege de derivare:

(DXω)(X1, ..., Xp) = DX(ω(X1, ..., Xp)−p∑i=0

ω(X1, ...., DXXi, ...., Xp)

(3.14)Alta extindere se refera la p−formele diferentiale cu valori ıntr-un fi-

brat vectorial, Ap(TM, ξ) , pentru care putem generaliza derivata Lie sidiferentiala exterioara dupa cum urmeaza :

(LXω)(X1, . . . , Xp) = DX(ω(X1, ..., Xp)−p∑i=0

ω(X1, ..., [X,Xi] , ..., Xp)

(3.15)si respectiv :

(dω)(X1, . . . , Xp+1) =

p+1∑i=0

(−1)i+1DXi(ω(X1, . . . , Xi, . . . , Xp) + (3.16)∑i<j

(−1)i+jω([Xi, Xj] , . . . , Xi, . . . , Xj . . . , Xp+1)

Prin curbura unei legi de derivare D pe E ıntelegem operatorul 2-liniarreal R ∈ Ap(TM,L(ξ, ξ)) dat de:

R(X, Y )s = DX(DY s)−DY (DXs)−D[X,Y ]s ∀X, Y ∈ χ(M) si s ∈ SectE.(3.17)


Intre LX , d si R exista anumite legaturi cunoscute din cursurile de ge-ometrie, legaturi care ne intereseaza mai putin aici, eventual de retinut cadR = 0.

Rezultate mai deosebite se obtin ın cazul particular al fibratului tangentTM, caz ın care legea de derivare D se va numi conexiune liniara si pentru ao distinge o vom nota cu ∇ : χ(M)×χ(M)→ χ(M), si va trebui sa satisfacaconditii de tipul (3.13):

∇X1+X2s = ∇X1s+∇X2s

∇X(s1 + s2) = ∇Xs1 +∇Xs2

∇fXs = f∇Xs

∇X(fs) = (Xf)s+ f∇Xs

(3.18)

Curbura conexiuni liniare ∇ va fi data de operatorul R :

R(X, Y )Z = ∇X(∇YZ)−∇Y (∇XZ)−∇[X,Y ]Z (3.19)

In plus, acum putem discuta de urmatoarea 2-forma diferentiala numitatorsiunea conexiunii liniare, T = dI, adica:

T (X, Y ) = ∇XY −∇YX − [X, Y ] (3.20)

Legatura ıntre curbura si torsiune este dT = R ∧ I, I fiind identitatea.Luand ın considerare (3.14) putem defini derivata (∇Xω)(X1, ..., Xp). In

particular, luand ω ca fiind R sau T , dupa calcule se obtin urmatoareleidentitati Bianchi :∑

(X,Y,Z)

(∇XR)(Y, Z) = −∑

(X,Y,Z)

R(T (X, Y ), Z)

∑(X,Y,Z)

(∇XT )(Y, Z) =∑

(X,Y,Z)

R(X, Y )Z −∑

(X,Y,Z)

T (T (X, Y ), Z),(3.21)

sumarea fiind ciclica.Aceste identitati se simplifica considerabil ın cazul particular cand T = 0,

conexiunea liniara numindu-se simetrica:∑(X,Y,Z)

(∇XR)(Y, Z) = 0 ;∑

(X,Y,Z)

R(X, Y )Z = 0 (3.22)

Pentru calcule, sunt utile exprimari ın harti locale ale notiunilor introduse.

74 Capitolul 3

Fie X = X i ∂∂xi

si Y = Y j ∂∂xj

doua campuri ın harta locala (U,ϕ). Folosind(3.18) obtinem ca

∇XY = X i

(∂Y j

∂xi∂

∂xj+ Y j∇ ∂

∂xi

∂

∂xj

)Deci, conexiunea ∇ este cunoscuta ın aceasta harta locala, daca se cunosc

campurile vectoriale ∇ ∂

∂xi

∂∂xj

= Γkij∂∂xk

, functiile Γkij se numesc coeficientii

conexiunii liniare. Prin urmare vom avea:

∇XY = X i

(∂Y k

∂xi+ ΓkijY

j

)∂

∂xk(3.23)

Schimband harta locala (U,ϕ)→ (U ′, ϕ′), bazele campurilor vectoriale ın

x ∈ U ∩ U ′ sunt legate prin ∂∂x′i

= ∂xj

∂x′i∂∂xj, din care, dupa calcul, se deduce

regula de schimbare a coeficientilor de conexiune:

Γ′ijk =∂x′i

∂xh∂xm

∂x′j∂xn

∂x′kΓhmn +

∂x′i

∂xh∂2xh

∂x′j∂x′k(3.24)

Daca luam ın seama liniaritatea curburii si a torsiunii, ne este suficientsa cunoastem

R

(∂

∂xj,∂

∂xk

)∂

∂xi= Rh

ijk

∂

∂xh; T

(∂

∂xi,∂

∂xj

)= T kij

∂

∂xk(3.25)

Folosind (3.19) si (3.20), calculul lor ne conduce la :

Rhijk =

∂Γhik∂xj−∂Γhij∂xk

+ ΓlikΓhjl − ΓlijΓ

hkl (3.26)

T kij = Γkij − Γkji (3.27)

Derivata covarianta a unui camp tensorial t de tip (p, q) se face dupaformula (3.14), si obtinem tensorul :

∇itk1...kpj1...jq

=∂tk1...kpj1l...jq

∂xi+

p∑h=1

Γkhil tk1...l...kpj1...jq

−q∑

h=1

tk1...kpj1...l...jq

Γlijh (3.28)

unde prin ∇it ıntelegem derivarea ∇ ∂

∂xit si care se mai noteaza t

k1...kpj1...jq |i .


Identitatile lui Bianchi local se scriu:∑(i,j,k)

∇iR

hljk +Rh

lrkTrij

= 0 (3.29)

∑(i,j,k)

∇iT

hjk −Rh

kij + T hlkTlij

= 0 (3.30)

In cazul T = 0 al conexiunilor liniare simetrice, aceste identitati Bianchidevin:

∇iRhljk +∇jR

hlki +∇kR

hlij = 0 (3.31)

Rhijk +Rh

jki +Rhkij = 0 (3.32)

Putem discuta de conexiuni liniare care au atat torsiunea cat si curburanula, T = R = 0. Acestea se numesc conexiuni local afine. Existenta uneiconexiuni local afine implica faptul ca schimbarile de harti locale se fac liniar,cu ajutorul transformarilor afine, spatiul prezentandu-se local ca un spatiuafin.

Diferenta esentiala dintre un spatiu plat, pentru care curbura si torsiuneasunt nule ın orice punct, si unul curbat este ca, daca dorim sa transportamun vector dintr-un punct ın altul ramanand paralel cu el ınsusi, acest lucrunu este posibil pe orice drum ce leaga cele doua puncte din spatiul respectiv.Sa ne imaginam sfera S2.

Figura 3.3: Geodezice

76 Capitolul 3

Un vector perpendicular pe ecuator si tangent la sfera se va transportaparalel cu el pe ıntreg ecuatorul . Daca un vector va face un unghi θ 6= π

2

cu tangenta la ecuator, atunci el nu mai ramane paralel cu el ınsusi, darunghiul θ ramane acelasi indiferent de punctul de pe ecuator. Nu acelasilucru se poate spune despre alte curbe de pe sfera ce nu sunt cercuri. Desigur,unghiul dintre cei doi vectori se calculeaza de fiecare data ın planul tangentla sfera ın punctul respectiv. Vom spune ca un vector dat, tangent la sfera,este transportat prin paralelism pe o curba de pe sfera daca ın alte punctede pe curba el are aceeasi pozitie (acelasi unghi fata de tangenta la curba) siaceeasi marime cu vectorul dat.

Deci este necesar sa generalizam aceasta idee de a “tine vectorul constant”ın sensul spus mai sus.

Fie ∇ o conexiune liniara si Γ : t→ xi(t) o curba de pe varietatea M.Vom spune ca un vector Y se transporta prin paralelism ın lungul lui Γ

daca derivata sa covarianta ın raport cu vectorul tangent la curba xi(t) seanuleaza, ∇xi(t)Y = 0.

Daca Y este si el un camp vectorial ın lungul curbei Γ, atunci compo-nentele sale se vor exprima functie de parametrul t, Y (t) = Y i(t)

(∂∂xi

)x(t)

si

conditia de transport paralel ın lungul lui Γ se traduce prin:

dxi

dt

[∂Y k

∂xi(t) + Γkij(x(t))Y j(t)

]=dY k

dt+ Γkij(x(t))

dxi

dtY j(t) = 0

Curbele pentru care ın particular vectorul tangent x(t) se transportaprin paralelism ın lungul ei se numesc curbe autoparalele, sau geodezice alespatiului respectiv. Deoarece ın acest caz Y k(t) = xk(t) = dxk

dt, rezulta ca

ecuatiile unei geodezice sunt:

d2xk

dt2+ Γkij(x(t))

dxi

dt

dxj

dt= 0 (3.33)

Revenind la exemplul cu sfera, curba geodezica va fi aceea pentru care vec-torul sau tangent transportat ın lungul curbei face acelasi unghi cu tangentala curba, singurele geodezice de pe sfera fiind doar cercurile mari. Rezulta cao conexiune liniara, de fapt, masoara abatera de la paralelism a unui campvectorial.

Legat de geodezice, sunt cunoscute multe alte rezultate. In cazul va-rietatilor dotate cu metrici aceste rezultate capata o semnificatie geometricamai substantiala.

Vatietati riemanniene. 77

3.3 Vatietati riemanniene.

Dupa cum stim, un spatiu vectorial real se geometrizeaza atunci cand estedotat cu un produs scalar, adica atunci cand el este euclidian.

Considerand M o varietate diferentiabila, ın fiecare punct putem luaspatiile tangente TxM, care sunt spatii vectoriale, ın care putem lua un pro-dus scalar gx. Presupunem ca aplicatia x → gx este diferentiabila, atunciobtinem o sectiune g ∈ L2(TM,R), perechea (M, g) numindu-se varietate ri-emanniana. Mai exact, numim varietate riemanniana perechea (M, g), undeg este o sectiune ın fibratul aplicatiilor reale biliniare ce satisface conditiile:

a) g(X, Y ) = g(Y,X) , ∀X, Y ∈ χ(M)

b) g(X,X) ≥ 0 si g(X,X) = 0⇐⇒ X = 0 , ∀X ∈ χ(M)

g se numeste metrica riemanniana.Sa consideram (U,ϕ) o harta locala ın x ∈ U si X = X i ∂

∂xi, Y = Y j ∂

∂xj,

doua campuri vectoriale. Tinand seama de biliniaritatea lui g, rezulta ca,ın x ∈ U , metrica reimanniana va fi dereminata de urmatoarele n2 functiidiferentiabile

gij = g

(∂

∂xi,∂

∂xj

),

iarg(X, Y ) = gijX

iY j (3.34)

Din conditiile a) si respectiv b) rezulta ca gij = gji si ca forma patratica

h = gijXiXj

este pozitiv definita. In plus, la schimbari de harti locale, gij se transformaastfel:

gij = g

(∂

∂xi,∂

∂xj

)=∂x′k

∂xi∂x′h

∂xjg′kh,

deci, este un tensor de tip (0, 2). Trecand la deteminanti obtinem ca

det g = det

(∂x′k

∂xi

)2

det g′ (3.35)

Conditia b) de pozitiva definire ne asigura de existenta matricei inverse(gij) a lui (gij) , g

ikgkj = δij, tensorul gij fiind de tip (2, 0).

78 Capitolul 3

Considerand baza duala dxii=1,n, cum dxi(X) = X i, din (3.34) rezultaca

g = gijdxidxj (3.36)

adica este o forma patratica diferentiala.Aplicatia X → gX , unde gX este 1-forma gX : Y → g(X, Y ), detemina ın

fiecare punct un izomorfism al spatiilor tangente si cotangente.Fiind data o functie f ∈ F(M), prin gradientul sau ıntelegeem vectorul

grad f, definit de g(grad f) = df. Intr-o harta locala el este dat de

grad f = gij∂f

∂xi∂

∂xj(3.37)

Cum det g > 0,din (3.35) rezulta ca√

det g si√

det g′ se transforma cu

| det(∂x′k

∂xi

)| . Varietatile pe care exista un atlas pentru care det

(∂x′k

∂xi

)este pozitiv se numesc varietati orientabile. Pe o varietate orientabila avemdω =

√det gdx1 ∧ ... ∧ dxn =

√det g′dx′1 ∧ ... ∧ dx′n si deci dω se conserva

la schimbarile de harti locale. Ea se numeste forma de volum a varietatiiriemanniene .

Divergenta unui camp vectorial X se defineste prin (div X) dω = d(iXω).De remarcat ca slabirea conditiei b) de metrica riemanniana duce la unele

ıncurcaturi. Asa cum stim din prima parte a cursului metrica ds2 = ηijdxidxj

este pseudoriemaniana, det(ηij) = −1. Unele din proprietatile de pe va-rietatile riemanniene se pastreaza si pe astfel de varietati pseudorieemaniene,altele nu. Deci, va trebui sa fim cu mare atentie asupra lor. Spre exemplu,pentru metrica ds2 forma de volum va fi dω =

√− det gdx1 ∧ ... ∧ dxn.

Revenind la varietatile riemanniene, este bine cunoscut urmatorul rezultat([31],[?],[34]..):

Pe orice varietate riemanniana exista o unica conexiune liniara0

∇, metrica

si simetrica, adica0

∇ g = 0, T = 0, numita conexiunea Levi-Civita, sauconexiunea riemaniana a spatiului:

2g0

(∇X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(Z,X)− Zg(X, Y ) + (3.38)

g([X, Y ], Z) + g([Z,X], Y )− g([Y, Z], X)

Luand X = ∂∂xi, Y = ∂

∂xjsi Z = ∂

∂xkın (3.38) obtinem urmatoarea

exprimare locala a coeficientilor conexiunii Levi-Civita:

Γkij = ghk∂ghj∂xi

+∂gih∂xj− ∂gij∂xh

(3.39)


numiti simbolii lui Christoffel.Doua observatii se cuvin facute aici:

1. Existenta conexiunii Levi-Civita pe un spatiu pseudoriemannian se do-vedeste la fel cu conditia ca metrica sa nu fie degenerata, det g 6= 0.

2. Anularea simbolilor lui Christoffel, Γkij = 0, atrage∂gij∂xh

= 0 si decicoeficientii metricii sunt constanti indiferent de harta, adica g = cijdx

idxj

si din pozitiva definire a lui g deducem ca varietatea M se comportalocal ca un spatiu euclidian.

Considerand (M, g) si (M ′, g′) doua varietati riemanniene, se numeste izo-metrie o aplicatie h : M →M ′,cu proprietatea ca ın fiecare x ∈M avem:

gx(Xx, Yx) = g′h(x)(h∗,xXx, h∗,xYx)

unde Xx, Yx ∈ TxM si h∗,x este aplicatia tangenta.

In particular, una din varietati poate fi subvarietate ın cealalta. Un exem-plu util ın acest sens este urmatorul.

Fie M o sfera S2 ın varietatea M ′ = R3 cu metrica

ds′2 = dx2 + dy2 + dz2

ın raport cu coodonatele carteziene u = (x, y, z). Pe S2 putem consideracoordonatele sferice v = (θ, ϕ) legate de cele din R3 prin aplicatia

h(θ, ϕ) = (R sin θ cosϕ,R sin θ sinϕ,R cos θ)

unde R este raza sferei S2.In raport cu aceste coordonate ds′2 induce metrica

ds2 = R2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

pe S2, aplicatia tangenta h∗ fiind data de matricea Jacobi a transformarii,adica: (

∂ui

∂vα

)= R

(cos θ cosϕ cos θ sinϕ − sin θ− sin θ sinϕ sin θ cosϕ 0

)Astfel ca (h−1

∗ )αβ = ∂ui

∂vα∂uj

∂vβg′ij = R2

(1 00 sin2 θ

), adica tocmai metrica

gαβ a lui ds2. Deci h este o izometrie.

80 Capitolul 3

Se stie ca un camp vectorial X pe o varietaete determina un grup uni-parametric de transformari αt. Considerand cazul particular cand cele douavarietati coincid, atunci αt ar putea fi o izometrie. Aceste campuri vectorialeX pentru care αt este izometrie, adica

g(αt∗Y, αt∗Z)αt(x) = g(Y, Z)x, ∀Y, Z ∈ TxM

se numesc campuri Killing. Echivalent, avem ca α∗t g = g. Calculul derivateiLie a lui g ın raport cu un vector Killing X ne arata ca LXg = 0([31]).Vectorii Killing pe o varietate orientata pastreaza forma de volum.

Un spatiu se numeste cu simetrie sferica daca admite un numar maximalde vectori Killing.

In cazul lui Rn putem determina acest numar maximal tinand cont caorice izometrie ın Rn ınseamna translatie (ın numar de n fata de fiecare axa),rotatii ın numar de n(n − 1)/2 (deoarece pentru fiecare coordonata putemlua n−1 directii de rotit) si compuneri ale lor. In total sunt n+n(n−1)/2 =n(n+ 1)/2 vectori Killing independenti.

Pe sfera S2 cu metrica ds2 vom avea trei vectori Killing independentiX1, X2, X3 ce corespund celor trei versori ai axelor de coordonate (avemrotatii si simetrii ın raport cu cele trei axe ) din R3. Rezolvand ecuatiaKilling si apoi calculand crosetele lor se gaseste ca [X1, X2] = X3, [X2, X3] =X1si [X3, X1] = X2. In teoria grupurilor Lie se arata ca astfel de vectoridefinesc generatorii grupului rotatiilor SO(3).

Sa revenim acum asupra conexiunii Levi-Civita0

∇ a metricii g.

Curbura conexiuni0

∇ permite introducerea unor noi tensori, ın primulrand tensorul lui Riemann:

R(X, Y ;Z, V ) = g(R(Z, V )Y,X) (3.40)

cu proprietatile:

R(X, Y ;Z, V ) = −R(Y,X;Z, V ) ; R(X, Y ;Z, V ) = R(Z, V ;X, Y ) ;∑(Y,Z,V )

R(X, Y ;Z, V ) = 0,

ultima ca o consecinta a identitatilor Bianchi cu T = 0.Intr-o harta locala, tensorul lui Riemann este bine determinat de :R( ∂

∂xi, ∂∂xj

; ∂∂xk

, ∂∂xl

) = Rijkl. Din definitia (3.40) rezulta ca :

Rijkl = gihRhjkl (3.41)


ın care Rhjkl este dat de (3.26), cu Γkij simbolii lui Christoffel (3.39).

Tinand seama de proprietatile tensorului lui Riemann enumerate mai sus,se arata ca doar 1

12n2(n2 − 1) dintre componentele sale sunt independente.

Deci, pentru cazul n = 4 vor fi 20 componente independente ale tensoruluilui Riemann.

Se numeste curbura sectionala ın 2−planul (π) determinat de vectorii Xsi Y din TxM, expresia:

K(x, π) =R(X, Y ;X, Y )

g(X,X)g(Y, Y )− g(X, Y )g(X, Y )(3.42)

Curbura sectionala depinde de planul (π) si de x ∈ M. Daca K depindenumai de x si (π) spatiul se numeste cu curbura constanta. Este cunoscuturmatorul rezultat datorat lui F.Schur : Pe o varietate riemaniana conexade dimensiune≥ 3, daca curbura K nu depinde de planul (π) atunci spatiuleste cu curbura constanta.

Pe un spatiu cu curbura constanta tensorul de curbura este R(X, Y )Z =K[g(Z, Y )X − g(Z,X)Y ].

Un alt tensor legat de cel de curbura este tensorul lui Ricci:

S(X, Y ) = trace (V → R(V,X)Y ) (3.43)

Tensorul lui Ricci se poate exprima ın functie de o baza ortonormataeii=1,n din TxM sub forma

S(X, Y ) =n∑h=1

R(eh, X; eh, Y )

si este independent de aceasta baza. Se observa ca tensorul lui Ricci estesimetric, S(X, Y ) = S(Y,X).

Local, tensorul lui Ricci are exprimarea

Sij = S(∂

∂xi,∂

∂xj) =

n∑l=1

Rlilj =

n∑h=1

ghkRihjk (3.44)

Se numeste curbura scalara Ricci (sau scalarul de curbura Ricci) functiascalara:

ρ = gijSij (3.45)

82 Capitolul 3

Se numeste spatiu Einstein un spatiu riemannian pentru care tensorulRicci este proportional cu metrica, S(X, Y ) = λg(X, Y ). Spatiile cu curburaconstanta sunt spatii Einstein.

Din punct de vedere intuitiv, am vazut ca tensorul de curbura masoaraabaterea varietatii de la un spatiu local euclidian. Aceeasi semnificatie revinetensorului lui Riemann. Curbura sectionala constanta egala cu zero ınseamnavarietate local euclidiana, pozitiva ınseamna local izometrica cu o sfera (sumaunghiurilor unui triunghi de pe varietate este > π), negativa ınseamna cavarietatea este local izometrica cu un spatiu hiperbolic (suma unghiurilorunui triunghi este < π)

Tensorul lui Ricci masoara abaterea de la un spatiu local euclidian ıntredoua directii tangente la varietate.

Curbura scalara Ricci e o medie pe varietate a tensorilor lui Ricci si apareın expresia volumelor unor sfere mici centrate ın fiecare punct de pe varietate.Alte semnificatii ale acestor obiecte geometrice sunt discutate ın [19] .

Tensorul lui Ricci verifica o proprietate geometrica interesanta. Sa plecamde la identitatea (3.31) lui Bianchi pentru conexiunea Levi-Civita cu T = 0 :

0

∇i Rhljk+

0

∇j Rhlki+

0

∇k Rhlij = 0

ın care facem contractia indicilor j si h (egalarea lor si sumare):

0

∇i Slk+0

∇j Rjlki−

0

∇k Sli = 0

Din faptul ca0

∇ g = 0 rezulta ca0

∇ (gS) = g0

∇ S, si dec,i ridicandindicii ın ecuatia precedenta cu tensorul glm, obtinem derivata covarianta atensorului lui Ricci de tip (1,1), Smk = glmSlk :

0

∇i Smk +

0

∇j glmRj

lki−0

∇k Smi = 0

ın care contractand din nou indicii m si k, obtinem ca:

glkRjlki = glkgjhRhlki = −glkgjhRhlik = −gjhShi = −Sji ,

si deci :0

∇i ρ−0

∇j Sji−

0

∇k Ski = 0, adica

0

∇i ρ = 20

∇j Sji (3.46)

Introducem acum tensorul lui Einstein:

Eij = Sij −1

2ρgij (3.47)


sau contractat cu gmj :

Emi = Smi −

1

2ρδmi (3.48)

Derivam (3.48) ın rapor cu0

∇m si, tinand cont de (3.46), obtinem:

0

∇m Emi =

0

∇m Smi −1

2δmi

0

∇m ρ = 0 (3.49)

Deci divergenta tensorului Emi a lui Einstein este nula, operatorul de

derivare partiala fiind ınlocuit cu derivarea covarianta.Tensorul lui Ricci si scalarul Ricci sunt legati de urma tensorului lui

Riemann, ın consecinta si tensorul lui Einstein este legat de el.Un alt tensor ce se leaga de tensorul lui Riemann este tensorul lui Weyl:

Cijkl = Rijkl −2

n− 2

(gi[kSl]j − gj[kSl]i

)+

2

(n− 1)(n− 2)ρgi[kgl]j (3.50)

unde [, ] ınseamna comutarea indicilor respectivi.O proprietate importanta a tensorului lui Weyl este ca el ramane invariant

la transformarile conforme ale metricei g , adica metrici de forma α(x)g.Asa cum spuneam gij se numeste tensorul metric al varietatii riemanniene.

El aduce precizari asupra lungimii arcelor de curba pe varietate. Fie Γ : t→xi(t) o curba pe M . Atunci functia

s(t) =

∫ t

t0

√gijdxi

dt

dxj

dtdt (3.51)

nu depinde de hartile locale si se numeste parametrul natural al curbei. Can-

titatea ds =√gij

dxi

dtdxj

dtdt este elementul de arc de curba pe Γ.

Notiunea capata semnificatie geometrica importanta ın studiul geodezi-

celor conexiunii riemanniene0

∇ .Am dedus ın (3.23) ecuatiile unei geodezice pentru o conexiune oarecare.

Sa luam aceasta conexiune sa fie cea riemanniana cu Γkij simbolii lui Chris-toffel. Atunci geodezica este data de sistemul de ecuatii diferantiale de ordindoi : d2xk

dt2+ Γkij

dxi

dtdxj

dt= 0.

Sa consideram functia lui Lagrange

L = ds =

√gijdxi

dt

dxj

dt

84 Capitolul 3

pe curba Γ.

Scriind problema variationala pentru Lagrangianul L, se gaseste([40],[?])ca ecuatiile Euler-Lagrange sunt echivalente cu ecuatiile urmatoarei geode-zice:

d2xk

ds2+ Γkij

dxi

ds

dxj

ds= 0,

scrisa ın parametrul natural ds. Rezulta ca o curba pe o varietate riemannianaeste geodezica daca si numai daca extremizeaza (minimizeaza) lungimea ar-cului de curba. Deci geodezicele sunt curbe de lungime minima ce unesc douapuncte de pe varietatea riemanianna.

Asa cum am mai afirmat, rationamentele ce vizeaza proprietati tensoriale(conexiune, curbura, torsiune..) sunt identice ca exprimare ıntr-un spatiupseudoriemannian ın care metrica satisface doar conditia de nedegenerare,det g 6= 0, fara a fi pozitiv definita. In schimb probleme ce vizeaza forma devolum, lungimea arcului de curba trebuiesc analizate separat.

Considerand universul spatio-temporal cu metrica ds2 = ηijdxidxj, am

vazut ca cel mai convenabil parametru pe o linie de univers este timpulpropriu τ . Mergand pe ideea de mai sus pentru calculul lungimii arculuide curba ds, aici lucrurile se complica deoarece ds poate fi o cantitate realapozitiva (interval de tip temporal), imaginara (interval spatial) sau chiar 0(interval izotrop).

In situatia intervalelor de tip temporal, cu τ parametru, lucrurile se petrecca ın cazul riemannian si deci caracterul extremal al geodezicei se refera lalungimea sa ın raport cu timpul propriu. Sa remarcam ca ecuatiile geodeziceiraman neschimbate la transformari afine ale timpului propriu, τ = aτ + b, cua si b constante reale.

In cazul intervalelor de tip spatial nu mai putem lua τ ca parametru. Inschimb−τ este un parametru convenabil, ecuatiile geodezicei raman neschim-bate ca forma, dar interpretarea este alta. Pentru cazul izotrop parametrulτ trebuie schimbat ın totalitate, putand exista geodezice de lungime nula ceunesc doua punte diferite.

De remarcat ca la aceste schimbari de parametru caracterul geodeziceide a fi de tip temporal, spatial sau izotrop nu se schimba deoarece unghiulvectorilor se pastreaza prin transport paralel si aceasta se reflecta la produsul

scalar g ce satisface0

∇ g = 0.

Lungime extrema a curbei nu ınseamna neaparat minima. Spre exemplu,lungimea unei geodezice temporala este maxima deoarece putem aproxima


curba temporala cu o curba care pe bucati are lungimea nula (de tip izotrop)si curba rezultata este de lungime maxima. Situatia poate fi comparata cuurmatoarea : Pe sfera S2 doua puncte pot fi unite printr-o geodezica careeste cercul mare de pe sfera ce le uneste ın doua moduri, pe arcul de cerc maiscurt, sau pe cel mai lung. In cazul geodezicelor temporale o luam pe drumulmai lung. Aceasta situatie seamana cu cea a unui astronaut ce ınainteaza ınvarsta datorita dilatarii timpului. In cazul geodezicelor spatiale este vorbade minimul lungimi distantei.

Figura 3.4: Lungimea geodezicelor ın M4,1

86 Capitolul 3

Capitolul 4

Teoria gravitatiei.

4.1 Universului spatio-temporal Einsteinian.

Sa revenim la experimentul descris la ınceputul celei de-a doua parti a acesteilucrari.

Unui observator aflat ıntr-un lift ın cadere libera i-am asociat un sistem dereferinta inertial local, SRIL, ın raport cu care forta gravitationala este com-pensata de cea de inertie. Am formulat pe aceasta cale pricipiul echivalenteimasei inerte cu cea gravitationala.

Caracterul local al SRIL se refera la o zona ın care campul gravitationaleste omogen ca densitate si stationar ın timp.

Pe de alta parte, aceluiasi observator putem sa-i asociem un sistem dereferinta neinertial SRN, fixat ıntr-un punct de pe Pamant, ın raport cucare se observa caderea liftului. Caracterul neinertial rezulta din cadereaaccelerata a liftului.

Presupunem ca ın SRIL un punct P are coordonatele P (ξ0 = cτ, ξ1, ξ2, ξ3),τ fiind timpul propriu.

In SRN, acelasi punct are coordonatele P (x0 = ct, x1, x2, x3). Constructiaspatio-temporala facuta ın prima parte, privind teoria relativitatii restranse,se poate aplica la SRIL situate ıntr-o vecinatate a lui P , relativ la metrica

ds2 = ηijdξidξj, (4.1)

metrica ce ramane invarianta relativ la SRIL dintr-o vecinatate a lui P (x),adica puncte Q(x + dx). Daca ar exista o transformare bijectiva (x) ↔ (ξ)ıntre cele doua sisteme de coordonate la care se raporteaza punctul P, pro-

87

88 Capitolul 4

blema studiului ın SRN ar fi rezolvata. Avem:

ds2 = ηij∂ξi

∂xk∂ξj

∂xhdxkdxh

si introducand urmatorii coeficienti :

gkh = ηij∂ξi

∂xk∂ξj

∂xh(4.2)

obtinem ca ds2 ın SRN se scrie:

ds2 = gkhdxkdxh (4.3)

Cantitatile formale eik := ∂ξi

∂xksunt cunoscute ın literatura de spacialitate sub

denumirea de ”veilbeins”.Sa analizam proprietatile lui gkh.In primul rand, gkh(x) sunt componentele unui (0, 2) tensor 4 dimensional,

simetric, deoarece la schimbarile de SRN avem:

g′kh = ηij∂ξi

∂x′k∂ξj

∂x′h= ηij

∂ξi

∂xm∂ξj

∂xn∂xm

∂x′k∂xn

∂x′h=∂xm

∂x′k∂xn

∂x′hgmn.

Acest tensor este nedegenerat:

det (gkh) = − det

(∂ξi

∂xm

)2

< 0.

Notam cu g = det (gkh) .O alta proprietate se refera la schimbarile de SRIL. Sa consideram o

transformare Lorentz generala de sisteme locale ξi = aikξk + ai.

Atunci dξi = aikdξk si deci:

gkh = ηij∂ξi

∂xk∂ξj

∂xh= ηija

ima

jn

∂ξm

∂xk∂ξn

∂xh= ηmn

∂ξm

∂xk∂ξn

∂xh= gkh.

A rezultat o proprietate remarcabila a lui gkh(x), aceea ca nu depinde deschimbarile de SRIL.

Spatiul (R4, g) se numeste spatiul pseudoriemanian sau universul spatio-temporal Einsteinian, local fiind reductibil la universul spatio-temporal al luiMinkowski M4,1.

Notam cu gkh(x) = ∂xk

∂ξi∂xh

∂ξjηij inversul lui gkh, adica gkigih = δkh.

Universului spatio-temporal Einsteinian. 89

Faptul ca gij(x) nu depinde de SRIL ne permite sa particularizam sistemullocal ıntr-o vecinatate a punctului P. Spre exemplu, pe o linie de univers Γdepinzand de parametrul t = x0/c,

Γ : t→ (x0, x1(x0), x2(x0), x3(x0)),

sa consideram SRIL ın raport cu care ξα = const, α = 1, 2, 3, adica punctulP este spatial fixat. Pentru aceste SRIL avem (ds2)Γ = c2dτ 2, unde τ estetimpul propriu masurat cu un ceas legat de SRIL, insensibil la acceleratiagravitationala, numit timp standard. Astfel de sisteme locale sunt preferabilepentru a exprima legatura cu pseudometrica gij(x). Pentru a le distinge vomnota coordonatele cu indice “0”, ξα0 = const.

Sa presupunem acum ca ın SRN avem un punct A fixat spatial, dxα =0, α = 1, 2, 3. Un astfel de punct se numeste punct de referinta. Dintr-unpunct de referinta, doua evenimente vecine P (x) si Q(x + dx) vor depindepe o linie de univers doar de t, masurat cu un ceasornic numit de referinta.Intervalul PQ va fi:

ds2 = g00(x)(dx0)2

= c2dτ 2 (4.4)

Deducem ca g00 > 0 si ca, ıntr-un punct de referinta, intervalele de tipstandard si cele de referinta se leaga prin

dτ =√g00dt , cu dx

α = 0, α = 1, 2, 3 (4.5)

τ este timpul propriu specific SRIL(spre exemplu un ceas al unui astronaut)si t este timpul real, care permite o comparare obiectiva a lucrurilor.

Pentru doua puncte de referinta vecine A(x) si B(x+dx) ın SRN definimdistanta spatiala standard, data de

dl2 = −ηαβdξαdξβ = −ηαβ∂ξα0∂xi

∂ξβ0∂xj

dxidxj. (4.6)

Din (4.5) rezulta ca∂ξ0

0

∂x0 =√g00, iar

∂ξα0∂x0 = 0, ξα0 fiind constant. Astfel ca,

dl2 = −ηαβ∂ξα0∂xµ

∂ξβ0∂xν

dxµdxν .

Sa calculam si∂ξ0

0

∂xα. Plecam de la :

g0α = ηij∂ξ0

0

∂x0

∂ξj0∂xα

= η00∂ξ0

0

∂x0

∂ξ00

∂xα=√g00

∂ξ00

∂xα,

90 Capitolul 4

adica :∂ξ0

0

∂xα= 1√

g00g0α.

Inlocuind si grupand termenii ın (4.6), obtinem:

dl2 = −ηij∂ξi0∂xµ

∂ξj0∂xν

dxµdxν + η00∂ξ0

0

∂xµ∂ξ0

0

∂xνdxµdxν

= −gµνdxµdxν +1

g00

g0µg0νdxµdxν

= (−gµν +1

g00

g0µg0ν)dxµdxν .

Folosim notatiile :

γα =1√g00

g0α; γαβ = γαγβ − gαβ (4.7)

Atunci dl2 devine:dl2 = γαβ dx

αdxβ (4.8)

deci este o metrica spatiala , care nu este neaparat pozitiv definita.Legatura ıntre ds2 si dl2 este:

ds2 = g00(dx0)2 + 2g0αdx0dxα + gαβdx

αdxβ

= g00(dx0)2 + 2g0αdx0dxα + (γαγβ − γαβ)dxαdxβ,

adica:ds2 = (c

√g00dt+ γαdx

α)2 − dl2 (4.9)

O prima remarca ce rezulta de aici este ca daca P si Q sunt doua punctepentru care dx0 = −γα√

g00dxα, atunci ds2 = −dl2, deci o simultaneitate a eve-

nimentelor ın SRIL si SRN.O alta remarca se refera la asanumita “problema a celor doua ceasornice”.Sa consideram τ timpul standard al unei particule materiale ın SRIL si

vα = dxα/dt componentele vitezei de deplasare a particulei raportata la SRN,v =

√γαβvαvβ marimea acestei viteze. Din (4.9) se obtine:

c2dτ 2 =

(c√g00 + γα

dxα

dt

)2

(dt)2 − dl2,

adica:

dτ =

[(c√g00 +

γαvα

c

)2

− v2

c2

] 12

dt (4.10)

Particula libera ın camp gravitational. 91

Pe baza acestei formule putem compara indicatiile τ ale ceasorniculuistandard situat sub actiunea campului gravitational ın raport cu cele aleunui alt ceasornic, ın particular acesta ar putea fi de referinta.

Cum g00 este strans legat de campul gravitational, rezulta ca ceasorniculstandard “merge mai ıncet” acolo unde campul gravitational este slab.

O alta experienta legata de aceeasi formula (4.9) se refera la modificareafrecventei unui semnal luminos ın camp gravitational. Pe atomul de hidrogense constata o scadere a frecventei atunci cand unda vine dintr-un loc ın carepotentialul gravitational este mai mic fata de locul receptiei. Se spune ca areloc o deplasare spre rosu a spectrului luminos.

4.2 Particula libera ın camp gravitational.

4.2.1 Ecuatiile de miscare ale particulei libere

Presupunem ca asupra unei particule actioneaza doar forta gravitationala peo linie de univers Γ. In raport cu un SRIL de pe curba particula se comportapotrivit relativitatii restranse, adica cvadriacceleratia sa este nula:

d2ξi

dτ 2= 0 ; i = 0, 1, 2, 3 (4.11)

Sa trecem aceste ecuatii ın raport cu un SRN arbitrar:

d2ξi

dτ 2=

d

dτ(∂ξi

∂xjdxj

dτ) =

∂2ξi

∂xj∂xkdxj

dτ

dxk

dτ+∂ξi

∂xjd2xj

dτ 2= 0.

Din care deducem ca:

d2xh

dτ 2+ Γhjk

dxj

dτ

dxk

dτ= 0 (4.12)

unde Γhjk = ∂xh

∂ξi∂2ξi

∂xj∂xk.

Se observa imediat ca Γhjk sunt independente de SRIL si prin calcul direct

se verifica faptul ca la schimbari de SRN Γhjk se transforma ca si coeficientiunei conexiuni liniare (3.24). Deci (4.12) reprezinta ecuatiile unei geodeziceın raport cu o conexiune liniara pe care am dori sa o precizam. Pentru aceastavom da o alta forma coeficientilor Γhjk.

92 Capitolul 4

Sa consideram Lagrangianul particulei libere

L0 = −m0c

√ηijdξi

dλ

dξj

dλ= −m0c

√gij(x)

dxi

dλ

dxj

dλ

Notam cu xi = dxi

dλsi scriem ecuatiile E-L pentru L0, adica

∂L0

∂xk− d

dλ

(∂L0

∂xk

)= 0.

Tinand cont ca ın L0 doar gij depind de x, obtinem:

d

dλ

[gkjx

j√gijxixj

]− 1

2

xixj√gijxixj

∂gij∂xk

= 0

Daca luam λ = τ atunci√gijxixj =

√ηij

dξi

dτdξj

dτ= c si deci ecuatiile E-L

devin:d

dτ

(gkjx

j)− 1

2

∂gij∂xk

xixj = 0

Urmeaza sa calculam termenul

d

dτ

(gkjx

j)

= gkjxj +

∂gkj∂xi

xixj,

astfel ca, ınlocuind mai sus, obtinem:

gkjxj +

∂gkj∂xi

xixj − 1

2

∂gij∂xk

xixj = 0.

Tinand seama de simetria lui gkj, rezulta:

gkjd2xj

dτ 2+

1

2

(∂gkj∂xi

+∂gki∂xj− ∂gij∂xk

)dxi

dτ

dxj

dτ= 0. (4.13)

Obtinem de aici aceeasi ecuatie (4.12) a geodezicei ın care se vede clar caΓhjk sunt chiar simbolii lui Christoffel ai conexiunii riemanniene ın raport cumetrica gij.

Metrica gij(x) a spatiului pseudoriemannian depinde ın mod necesar degravitatie, motiv pentru care functiile gij(x) se mai numesc potentiale gravita-tionale. Deci ıntreg spatiul (R4, g) este o exprimare a actiunii gravitatiei.Problema principala ramane de a gasi acele legi bijective de transformare(x)←→ (ξ) si de aici potentialele gravitationale gij(x).


4.2.2 Aproximarea newtoniana a campuluigravitational.

Miscarea pe o geodezica a particulei libere ın camp gravitational este unargument pentru ideea ca geometria sa descrie gravitatia. Este acesta unargument si suficient? Pentru a putea raspunde la aceasta ıntrebare ar trebuicel putin ca rezultatele din mecanica newtoniana sa se ıncadreze ın acesttablou. Limitele mecanicii newtoniene se refera la viteze mici si la campurigravitationale slabe, stabile ın timp.

Deci, sa consideram o particula libera ıntr-un camp gravitational ın urma-toarele conditii:

a) Viteza particulei este mica comparativ cu viteza luminii, | dxα/dx0 | 1

Ca o consecinta a acesteia , din dxα

dτ= dxα

dx0dx0

dτrezulta ca | dxα

dτ|| dx0

dτ| .

b) Campul gravitational este static, adica gij nu depind de x0 = ct.

c) Campul gravitational este slab: gij = ηij + hij unde | hij | 1.

In aceste conditii, ecuatiile (4.12) sau (4.13) ale geodezicei de miscare a par-ticulei libere pot fi aproximate doar la :

d2xk

dτ 2+ Γk00

(dx0

dτ

)2

= 0 (4.14)

Si cum∂gij∂x0 = 0, rezulta ca simbolii lui Christoffel sunt:

Γk00 = −1

2gkα

∂g00

∂xα≈ −1

2(ηkα − hkα)

∂h00

∂xα≈ −1

2ηkα

∂h00

∂xα=

1

2

∂h00

∂xk

unde hij = ηikηjlhkl.Astfel ca (4.14) se scrie:

d2xk

dτ 2= −1

2

∂h00

∂xk

(dx0

dτ

)2

. (4.15)

Pentru k = 0, deoarece gij nu depind de x0, rezulta ca nici h00 nu depind

de x0 si deci d2x0

dτ2 = 0, adica dx0

dτ= const.

94 Capitolul 4

Pentru k 6= 0, calculam intai

d2xα

dτ 2=

d

dτ

(dxα

dτ

)=

d2xα

(dx0)2

(dx0

dτ

)2

si atunci (4.15) se scried2xα

(dx0)2= −1

2

∂h00

∂xα,

adica:d2xα

dt2= −c

2

2

∂h00

∂xα, α = 1, 2, 3. (4.16)

Semnificatia newtoniana a lui d2xα

dt2este cea a componentelor acceleratiei

determinata de forta de inertie. Potrivit principiului echivalentei ~a = −~∇Φ,unde Φ = −GM

reste potentialul gravitational.

Din (4.16) obtinem ca Φ(x) = c2

2h00 si deci g00 = η00 + h00 este:

g00 = 1 +2

c2Φ. (4.17)

Deducem ca miscarea particulei libere ın conditiile mecanicii newtonienese face dupa formulele (4.16) ce includ potentialul gravitational Φ. Pentrua descrie geometria spatiului ın care (4.16) este geodezica este suficient sacunoastem g00 dat de (4.17). Acest g00 variaza ca marime, spre exemplu 1

c2Φ

este 10−9 la suprafata Pamantului si 10−6 la suprafata Soarelui, ceea ce nearata masura ın care geometria acestui spatiu se abate de la cea euclidiana.

4.2.3 Principiul de covarianta.

Formularea oricarei legi a fizici trebuie sa fie independenta de sistemul decoordonate. Mai mult ın aceasta teorie a gravitatiei am acceptat principiulde echivalenta

Teoria relativitatii restranse, valabila aici ın SRIL, contine reguli ce serefera la derivate partiale clasice. Trecand ın SRN, geometria spatiului estepseudoriemaniana, aici derivarea partiala nu mai pastreaza caracterul tenso-rial al marimilor, locul deivatei partiale va fi luat de derivata covarianta.

Principiul covariantei, care este o consecinta a acestor idei, afirma ca:atunci cand trecem de la marimi tensoriale, cunoscute ın relativitatea restran-sa, la corespondentele lor din relativitatea generala, este necesar sa pastramcaracterul tensorial al lor.


Cateva cazuri prezinta interes deosebit si vom arata aici cum se transcriu.Spre exemplu, particula libera, ın baza acestui principiu al covariantei,

are traiectoria o geodezica, scrisa cu ajutorul derivatei covariante si exprimaecuatii tensoriale invariante. Sa vedem alte situatii.

Am spus ın prima parte ca specific mediului respectiv (electromagnetic,

fluid, etc.) este un tensor, numit tensorul energie-impuls0

Tij (ξ), care ın

spatiul plat Minkowski verifica legea conservarii energiei ∂0

Tij(ξ)∂ξi

= 0 (aici ξi

sunt coordonatele ın SRIL si am notat cu indice 0 componentele ın raport cuacest sistem local).

In spatiul curbat pseudoriemannian aceasta lege a conservarii energiei vatrebui sa se traduca prin:

∇iTij = 0 unde Tij =

∂xi

∂ξk∂xj

∂ξh

0

Tkh, (4.18)

ecuatie ce exprima conservarea energiei ın prezenta campului gravitational,∇ fiind conexiunea Levi-Civita a metricii gij(x) (am omis indicele 0 pentruconexiunea riemanniana pentru a nu crea confuzie).

Fie0

F ij (ξ) tensorul elecromagnetic ıntr-un SRIL si0

J i (ξ) curentul 4-dimensional. Aceste marimi ne conduc la tensorii corespunzatori din spatiul

curbat (R4, g), F ij(x) = ∂xi

∂ξk∂xj

∂ξh

0

F kh si respectiv J i(x) = ∂xi

∂ξk

0

Jk .0

F ij si0

J i verificau ecuatiile ecuatiile tensoriale ale lui Maxwell:

0

∆ijk≡0

∂[i

0

Fjk]= 0 ;0

f i≡0

∂j0

F ij= 4π0

J i

Pentru a pastra caracterul tensorial, va trebui sa ınlocuim derivatele

partiale0

∂i=∂∂ξi

cu derivatele covariante ∇i. Astfel, legile lui Maxwell capataurmatorul aspect tensorial:

∇[iFjk] = 0, ∇jFij = 4πJ i (4.19)

In notatia cu bara pentru derivarea covariata a unui tensor, aceste ecuatii sescriu: ∑

cicl(i,j.k)

Fjk|i = 0,∑j

F ij|j = 4πJ i

96 Capitolul 4

Din nesimetria tensorului energie-impuls se poate trage concluzia existenteipotentialului electromagnetic Ai astfel ca:

Fij = ∇iAj −∇jAi (4.20)

sau, ın forma diferentiala echivalenta, F = dA.Ecuatia (4.20) se poate obtine traducand cu principil de covarianta ecuatia

corespunzatoare din SRIL pentru un camp potential0

Aj .Analog, se poate aplica principiul de covarianta pentru alte medii: fluid

ın camp gravitational, etc.

4.3 Ecuatii Einstein.

Cu pregatirea geometrica de pana acum ıntr-un spatiu curbat, dar si curezultatele ce trebuie sa aproximeze teoria newtoniana, suntem ın masurasa introducem ecuatiile Einstein, ecuatii ce descriu legatura dintre metricapseudoriemanniana si tensorul energie-impuls.

Exista cel putin doua cai de a le introduce:

I Cea intuitiva, bazata pe argumentele de pana acum, metoda ce a scosın evidenta genialitatea lui Einstein

II Cea care porneste de la principiul variational al miscarii, metoda ganditade D.Hilbert.

Argumentele lui Einstein sunt urmatoarele :Ecuatia de tip Poison a potentialului gravitational Φ ın mecanica new-

toniana este ∆Φ = 4πµG, unde G/c2 = 7, 425.10−29. Am vazut ca g00 ≈1 + 2

c2Φ, iar tensorul energie-impuls, ın cazul unui fluid simplu, are compo-

nenta T00 = µc2. De aici deducem ca ∆g00 ≈ χT00, unde χ = 8πG. Deci,ecuatiile ce trebuie gasite vor satisface (ın particular) neaparat o astfel deconditie de proportionalitate a derivatelor de ordin doi ale tensorului metricın raport cu tensorul energie-impuls.

Apoi, tensorul energie-impuls satisface legea de conservare (4.18), adicadivergenta sa este nula ∇iT

ij = 0 , sau echivalent ∇iTij = 0 ,∇ fiind cone-

xiunea Levi-Civita a metricei gij(x). Un tensor proportional cu el ar trebuisa satisfaca o conditie asemanatoare. Un asemenea tensor l-am ıntalnit ınpartea pregatitoare a acestei teorii, el fiind tensorul lui Einstein (3.47):

Eij = Sij −1

2ρgij (4.21)

Ecuatii Einstein. 97

ce satisface (3.49), adica ∇iEij = 0.

Apare natural pentru Einstein sa lege geometria de mecanica prin urmatoareleecuatii:

Sij −1

2ρgij = χTij (4.22)

numite ecuatiile lui Einstein, χ se numste constanta universala.Aceste ecuatii raspund cerintelor formulate mai ınainte .Ulterior elaborarii acestei teorii, Huble a demonstrat ca ın problema cos-

mologiei are loc o dilatare a Universului. Einstein constata ca ecuatiile salenu raspund acestor idei cosmologice, fapt ce ıl determina sa adauge un factor.Care ar putea fi acest facor? Un alt tensor simetric si cu derivata covariantanula nu este altul decat tensorul metric gij. Astfel ca :

Sij −1

2ρgij + Λgij = χTij (4.23)

sunt cunoscute ca fiind ecuatiile Enstein cosmologice, Λ este constanta cos-mologica.

In acest capitol ne vom referi numai la ecuatiile Einstein (4.22).In cazul campului gravitational slab

gij = ηij + hij

cu

| hij | 1,

avem:

Γkij ≈1

2ηmk ∂ihmj + ∂jhim − ∂mhij

iar

Sij = Rhihj ≈ ∂mΓmij − ∂jΓmim ≈

1

2(∂i∂mh

mj + ∂j∂mh

mi − ∂i∂jhmm −hij).

Din aproximarea newtoniana avem | Tαβ || T00 |, iar din calculul luiSij rezulta ca | Eij || E00 | si prin urmare Sαβ ≈ 1

2ρgαβ .Calculul scalarului

de curbura ρ este: ρ = ηijSij ≈ S00 + 32ρ si deci S00 ≈ −1

2ρ. In consecinta,

pentru aproximarea newtoniana a campului gravitational ecuatiile Einsteinse verifica.

Sa facem o scurta analiza a ecuatiilor Einstein.

98 Capitolul 4

• Membrul stang contine aspectele geometrice ale spatiului , ın timp cemembrul drept este legat de aspectele mecanice ale spatiului .

• Este un sistem de zece ecuatii (datorita simetriei tensorilor) cu derivatepartiale de ordinul al doilea, necunoscute fiind componentele tensoruluimetric gij ın nunar de 10. Daca tinem seama ca aceste ecuatii verifica ınfiecare membru legea conservarii energiei, ∇iT

ij = 0, apar 4 dependente

funtionale, deci din cele 10 ecuatii doar 6 sunt independente, numarulnecunoscutelor ramanand acelasi. Drept urmare celor 10 ecuatii li sepot impune patru conditii suplementare, convenabile, pentru a eliminaarbitrarietatea. De exemplu, se poate cere sa avem : Γk = gijΓkij = 0,numite conditii de armonicitate.

Sistemul de ecuatii ramane oricum foarte complicat, solutii pentru el secunosc pana ın prezent doar pentru cazuri particulare. In alte situatiisau ıncercat metode numerice. Chiar ın cazul vidului cand Tij = 0, sideci ecuatiile Einstein se reduc la Eij = 0, problema este tot complicata.Vom analiza ın sectiunile urmatoare cateva metode de lucru ın aceastasituatie.

• Ca pentru orice sistem de ecuatii diferentiale unicitatea solutiilor de-pinde de conditiile initiale impuse (problema lui Cauchy). Pentru sim-plitate putem lua de la ınceput ca variabile potentialele gravitationalegij. Conditiile initiale pentru un sistem de ecuatii de ordinul al doi-lea vor trebui sa se refere atat la valorile lui gij pe o hipersuprafataΣ : t→ xi(t) cat si pentru valorile lui ∂tgij |Σ .

In general, sistemul are un grad de arbitrarietate datorat celor patrudependente functionale. Pentru a rezolva problema conditiilor initiale,fizicienii au propus un model, numit orizontul Cauchy, ın care se con-sidera un domeniu conex S ⊂ Σ. Cu D+(S) se noteaza domeniul dedependenta ın viitor ca fiind multimea tuturor punctelor P pentru careorice miscare ın trecut pe o curba temporala, de lungime nula sau in-finita, intersecteaza S. Frontiera lui D+(S) se noteaza cu H+(S) si senumeste orizont Cauchy ın viitor. Cu totul analog pentru miscarile ınviitor se defineste D−(S) si H−(S). Privita pe imaginea euclidiana aspatiului Minkowski, Σ este ın interiorul hiperconului luminos, deoarecese refera la curbe temporale.

• Ecuatiile Einstein pot fi scrise ıntr-o forma echivalenta facand urmatoarele

Ecuatii Einstein. 99

calcule. Ridicam indicii cu gjm si obtinem: Smi − 12ρδmi = χTm

i . Apoifacand m = i rezulta: ρ − 1

2ρ · 4 = χT , unde T = Ti

i. Obtinem caρ = −χT, care ınlocuit ın (4.22) ne conduce la urmatoarea forma echi-valenta a ecuatiiloe Einstein:

Sij = χ(Tij −1

2T gij) (4.24)

Observam ca ın cazul vidului, ecatiile Einstein se reduc la anularea tensoruluilui Ricci.

Pentru a ıntari ıncrederea ın ipoteza facuta privind forma ecuatiilor Ein-stein, vom arata pe scurt cum pot fi ele obtinute pe o cale mai matematizatadin principiul variational al actiunii, metoda descisa de Hilbert.

Hilbert observa ca, o functie scalara care sa contina derivatele partiale deordinul al doilea este scalarul lui Ricci, ρ si ın consecinta considera urmatoareadensitate de Lagrangian (pentru a avea independenta de sistemul de coordo-nate):

LH =√−gρ (4.25)

g = det (gij) < 0. Actiunea sa va fi AH =∫LHdω, unde

dω = dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

Cum ρ = gijSij, variatia actiuni ne da:

δAH =

∫ [√−g gijδSij +

√−g Sijδgij + ρδ(

√−g)

]dω (4.26)

= δA1 + δA2 + δA3

Variatia δA2 are o exprimare clara. Sa explicitam celelalte variatii.Sa ne amintim ca Sij = Rh

ihj, deci variatiile δSij vor fi legate de variatiile

Γkij → Γ′kij = Γkij + δΓkij.

Cum diferenta a doua conexiuni este un tensor, rezulta ca δΓkij este un tensor

si deci derivarea sa ∇h(δΓkij) se va face ca a unui tensor. Inlocuind ın variatia

curburii se obtine ca δRhijk = ∇j(δΓ

hki)−∇k(δΓ

hji). Astfel ca variatia δA1 va

fi:

δA1 =

∫ √−g gij

∇h(δΓ

hji)−∇j(δΓ

hhi)dω

=

∫ √−g ∇m

gim(δΓhhi)− gih(δΓmij )

dω

100 Capitolul 4

Calculul lui δ(√−g) ne conduce la

δ((−g)12 ) = δ[(−g−1)−

12 ]

= −1

2(−g−1)−

32 · δ(−g)−1

= −1

2

√−g · g · δg−1

= −1

2

√−g · gij · δgij.

Inlocuind toate acestea ın (4.26) si grupand termenii se obtine ıntreagavariatie:

δAH =

∫ √−g

[Sij −

1

2ρgij

]δgijdω (4.27)

Pentru variatii arbitrare ale metricii δgij aceasta variatie a actiunii va finula daca si numai daca tensorul lui Einstein se anuleaza, Eij = 0, adicatocmai ecuatiile Einstein pentru vid.

Pentru a obtine ecuatiile ın alt mediu este necesar sa luam ın calcul siactiunea mediului respectiv AM , rezultanta actiunii va fi o suma de forma

A =1

8πGAH +AM (4.28)

Refacand calculul pentru variatia actiunii δA, se obtine ca aceasta seanuleaza daca si numai daca

1

8πGEij +

1√−g

δAMδgij

= 0 (4.29)

Acestea sunt tocmai ecuatiile Einstein cu χ = 8πG, unde G este constantagravitationala a lui Newton si

Tij = − 1√−g

δAMδgij

(4.30)

este tensorul energie-impuls.Aceasta exprimare ne da de fapt cea mai buna cale de a scriie tensorul

energie-impuls, acesta fiind o functie de actiunea mediului.In acest context legea conservarii energiei nu este altceva decat teorema de

invarianta a ecuatiilor E-L, cunoscuta sub denumirea de teorema lui Noether.Nu intram ın detalii ın acest sens ([90],[41]..).

Solutii ale ecuatiilor Einstein pentru campul gravitational slab. 101

Cu totul analog, considerand actiunea AH =∫ √−g(ρ − 2Λ)dω se pot

obtin ecuatiile Einstein pentru cosmologie.Metoda aceasta a lui Hilbert permite sa obtinem alte generalizari ale

ecuatiilor Einstein. Am putea considera, spre exemplu, actiuni de forma

AH =

∫ √−g(ρ+ αρ2 + βSijS

ij + ...)dω

unde ın paranteza pastram functii sclare.O alta generalizare a ecuatiilor Einstein se refera la cazul cand ın locul

conexiunii Levi-Civita a metricii gij se ia o conexiune metrica dar cu tor-

siune. In aceasta situatie scrierea formala a ecuatiilor Einstein are sens darva trebui sa fie insotite de conditii ce rezulta din invarianta Noether, adicalegea conservarii energiei. O astfel de discutie o vom ıntalni ın capitolul final.

4.4 Solutii ale ecuatiilor Einstein pentru cam-

pul gravitational slab.

In aproximarea newtoniana a campului gravitational am presupus trei conditiicare erau impuse de limitele teoriei newtoniene.

In aceasta sectiune vom cauta solutii pentru ecuatiile Einstein relativ laun camp gravitational slab, fara a mai impune conditiile ca acesta sa fie staticsi miscarea particulei sa se faca cu viteze mici. Drept aplicatii vom obtinemodele pentru radiatia gravitationala (ce variaza ın timp) si pentru deflexialuminii(ce implica viteze mari de deplasare).

Sa presupunem ca ne aflam ın prezenta unui camp gravitational slab:

gij(x) = ηij + hij(x), hij 1 (4.31)

Metrica gij apare ca o deviatie a metricii Minkowski ηij cu ajutorul unorperturbatii mici hij.

Vom face o aproximare pentru calculul inversei lui gij. Faptul ca hij estesuficient de mic ne permite sa ignoram termenii de ordin superior ın dezvol-tarea sa ın serie si dupa un calcul asemanator cu cel facut la obtinerea trans-

formarilor Lorentz sa presupunem ca h′ij =∗aki

∗alj hkl, unde

∗aki =

∂x′k

∂xi. Atunci

inversa matricei hij se obtine prin ridicarea indicilor, hij = ηikηjhhkh . Din(4.31) obtinem ca :

gij = ηij − hij (4.32)

102 Capitolul 4

Dorim sa examinam ecuatiile Einstein pentru metrica (4.31). Incepemcu calculul simbolilor lui Christoffel Γkij. Inlocuind gij din (4.31) si (4.32),facand apoi aproximarile cunoscute, gasim ca :

Γkij =1

2ηlk∂hlj∂xi

+∂hil∂xj− ∂hij

∂xl

(4.33)

Un calcul direct ne permite acum sa obtinem tensorul lui Riemann

Rijkl = ηim(∂kΓmjl − ∂lΓmjk)

=1

2∂j∂khil + ∂i∂lhjk − ∂j∂lhik − ∂i∂khjl

(4.34)

si tensorul lui Ricci:

Sij =1

2

∂j∂kh

ki + ∂i∂kh

kj − ∂i∂jh−hij

(4.35)

unde hji = ηjkhik si este operatorul lui D’Alambert,

= ∂2ct − ∂2

x1 − ∂2x2 − ∂2

x3 .

Scalarul lui Ricci este:

ρ = ∂i∂jhij −h (4.36)

unde h = ηikhik.Tensorul lui Einstein capata exprimarea liniarizata:

Eij =1

2

∂j∂kh

ki + ∂i∂kh

kj − ∂i∂jh−hij − ηij∂k∂lhkl + ηijh

(4.37)

Acest tensor poate fi obtinut si din problema variationala pentru un La-grangian liniarizat (4.25).

Ecuatiile Einstein liniarizate, Eij = χTij, se pot scrie daca se cunosccomponentele tensorului energie-impuls. Putem presupune ca acestea suntmici, adica Tij trebue sa fie de aceeasi magnitudine ca si perturbatia, si care

sa verifice legea de conservare ∂kTki = 0. In cazul vidului, ecuatiile Einstein

se reduc la anularea tensorului lui Ricci, Sij = 0.

Inainte de a pune ın discutie rezolvarea acestor ecuatii, se ridica o pro-blema: cea a caracterului geometric al scrierii metricii gij = ηij + hij. Laschimbari de SRN perturbatiile hij se vor schimba ıntr-un mod necunoscut

Solutii ale ecuatiilor Einstein pentru campul gravitational slab. 103

si deci pentru a pastra caracterul geometric al scrierii este necesara modifi-carea lor astfel ıncat gij sa aiba caracter tensorial. Aceste marimi hij au siun caracter infinitesimal fapt ce ne duce cu gandul la transformarile gauge.

Sa consideram spatiul Minkowski ca varietate baza Mb, si universul Ein-steinian (R4, g) ca spatiu fizic Mf . Problema caracterului tensorial al lui gijse reduce deci la a defini perturbatiile hij astfel ca metrica ηij de pe Mb sase transforme ıntr-o metrica gij de pe Mf . Sa presupunem ca avem un difeo-morfism Φ : Mb →Mf (existenta sa ın cazul de fata o vom discuta). Acestava duce tensorii de pe Mb ın tensori de pe Mf , ın particular tensorul metricηij va fi dus ıntr-o metrica pe care o notam cu gij. Aplicatia sa cotangentaΦ∗ va duce invers, tensorul metric gij de pe Mf ın metrica (Φ∗g)ij de pe Mb.

Figura 4.1: Camp slab gravitational

Definim atunci pe Mb urmatoarele perturbatii determinate de difeomor-fismul Φ :

hij = (Φ∗g)ij − ηij (4.38)

Daca pe Mf campul gravitational este slab, va trebui sa ne alegem aceledifeomorhisme Φ pentru care | hij | 1. Faptul ca gij verifica ecuatiile Ein-stein pe Mf impune ca hij sa satisfaca ecuatiile Einstein liniarizate de pe Mb,deoarece ele pot fi privite ca fiind imaginea prin Φ∗ a ecuatiilor Einstein depe Mf .

Existenta unui astfel de difeomorfism pentru care perturbatiile sunt micieste legata de transformari gauge. Cum se poate obtine el?. O metoda ar fi

104 Capitolul 4

urmatoarea : Sa fixam un camp vectorial X pe Mb si fie αε grupul sau uni-parametric, Φ un difeomorfism oarecare. Atunci Φ αε este un difeomorfismce ındeplineste cerinta ca perturbatiile sale sunt mici.

Alegerea lui X, si deci a lui αε, depinde de situatia fizica ce se studiaza.Spre exemplu, daca (xi) sunt coordonatele ın SRN si (ξi) sunt coordonateleın SRIL, atunci grupul uniparametric poate fi gandit ca o transformare deforma αε : xi → εξi.

O transformare gauge convenabila din punctul de vedere al invarianteiecuatiilor Einstein este cea armonica pe care noi am anticipat-o([?],[92],[22]):

gijΓkij = 0 (4.39)

Sa vedem care sunt perturbatiile ın acest caz.Conditiile de armonicitate se scriu echivalent:

∂ihij −

1

2∂jh = 0 (4.40)

relatie numita si transformare gauge Lorentz sau, de catre altii, Einstein.In raport cu aceasta transformare ecuatiile Einstein cu Eij din (4.37) se

simplifica considerabil:

hij −1

2ηijh = 2χTij (4.41)

Pentru cazul vidului ecuatiile liniarizate ale lui Einstein Sij = 0 cu aceastatransformare gauge armonica devin:

hij = 0 (4.42)

numite ecuatiile relativiste ale undelor, si care descriu distributia campuluigraviatational ın vid.

O alta forma a acestor ecuatii si a metricii perturbatoare se obtine con-siderand urmatoarele noi perturbatii sugerate de (4.41):

hij = hij −1

2ηijh (4.43)

ce umaresc ca transformarea gauge Lorentz-Einstein (4.40) sa devina:

∂ihij = 0 (4.44)

Metrica Schwarzschild cu simetrie sferica. 105

Drept consecinta (4.42) se scrie:

hij = 0 (4.45)

In cadrul restrans al aproximarii newtoniene am gasit ca h00 = 2c2

Φ, lucrucare trebuie sa se verifice si aici.

Mai facem o aproximare, presupunem ca hαβ h00. Rezulta : h00 =2h00 = 4

c2Φ si atunci h = ηijhij ≈ h00 = 4

c2Φ. Pe de alta parte h = −h.

Ramane de calculat : hα0 = hα0 − 12ηα0h = 0, si calculul componentelor

hαβ = hαβ − 12ηαβh = 2Φ

c2δαβ. De aici obtinem forma metricii gij = ηij + hij.

In concluzie ds2 = gijdxidxj se scrie:

ds2 = (1 +2Φ

c2)(dx0)2 − (1− 2Φ

c2)[(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2

](4.46)

ce reprezinta solutie pentru ecuatiile Einstein ale unui camp gravitationalslab.

Aplicatiile acestei metrici se refera la radiatiile gravitationale(distributiacampului gravitational) si la deflexia luminii. Nu dorim sa aprofundam aiciaceste probleme ce ar necesita mai multe cunostinte de fizica. Precizam doarfaptul ca ecuatiile de unda (4.45) admit solutii de forma hjk = Cjk e

iKmxm ,unde i este unitatea imaginara, Km sunt componentele unui covector constantsi Cjk este un tensor constant. Pentru detalii se pot consulta: [?],[22].

4.5 Metrica Schwarzschild cu simetrie sferica.

Sa parasim cazul particular al capmului gravitational slab si sa studiem altesolutii pentru ecuattiile Einstein neliniare.

Cea mai interesanta solutie a fost data de Schwarzschild imediat dupaformularea ecuatiilor Einstein. Aceasta solutie priveste cazul spatiului cusimetrie sferica statica, si sunt formulate pentru vid, Sij = 0. Simetria sfericaınseamna ca spatiul are aceleasi simetrii ca si ale sferei S2.

Deci problema este cea a determinarii unei metrici cu o astfel de simetrie.Stim deja ca simetria lui S2 este caracterizata de exitenta a trei campuriKilling independente ce satisfac conditiile: [X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1,[X3, X1] = X2.

106 Capitolul 4

Sa consideram ın spatiul R3 coordonatele sferice:

x1 = r sin θ cosϕ (4.47)

x2 = r sin θ sinϕ

x3 = r cos θ

ın raport cu care metrica euclidiana din R3 se scrie:

dl2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 = dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

Fixand o valoare a lui r si lasand θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π] variabile se obtinpunctele unei sfere S2 din R3. Astfel ca R3 poate fi acoperit, sau matematicspus “foliat”, cu aceste sfere cu centrul ın origine : R3 ≡ R× S2.

Metrica dl2 va ramane invarianta la rotatii daca pentru r constant ea nuısi schimba scrierea ın ϕ si θ, adica:

dl2 = g(r)dr2 + f(r)(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

Prin darea ın factor a unui termen putem presupune ca f(r) = r2, si deci:

dl2 = A(r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

Aceasta problema poate fi ıncadrata ıntr-o teorie mai ampla cu privirela varietatile foliate: Daca avem o varietate n dimensonala , xi coordonatelocale, foliata de o subvarietate m dimensionala, uα, α = 1,m, coordonatelocale si va, a = 1, n−m, coordonate ıntr-o varietate suplementara, atunciıntodeauna se poate alege coordonatele uα pe subvarietatea maximala astfelıncat :

gijdxidxj = gab(v)dvadvb + f(v)γαβ(u)duαduβ , unde γαβ(u) este metrica

subvarietatii([92])Sa revenim, metrica universului Einsteinian ds2 = gijdx

idxj se poatescie dezvoltat : ds2 = g00(dx0)2 + 2g0αdx

0dxα + gαβdxαdxβ, unde gαβdx

αdxβ

depinde numai de coordonatele spatiale.In continuate sa presupunem o conditie suplimentara: metrica cu simetrie

sferica sa fie statica , adica gij nu depind de timp. In acest caz se poate alegeun al patrulea vector Killing ∂0 ortogonal familiei de suprafete t = const.

Reducem forma patratica ds2 la expresie canonica prin metoda lui Gauss,adica efectuand o translatie. Cum dl2 este invarianta la translatii obtinem,


analog ca ın (4.9), urmatoarea expresie canonica : ds2 = g00(r)(dx0)2 − dl2,adica :

ds2 = g00(r)(dx0)2 − A(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2) (4.48)

Aceasta este deocamdata cea mai buna exprimare pentru metrica Schwar-zschild statica, cu simetrie spatiala.

Pentru simplitatea scrierii vom nota pe scurt g00(r) = B, astfel ca metrica(4.48) are ın raport cu coordonatele (x0 = ct, r, θ, ϕ) (ın aceasta ordine)urmatorii coeficienti nenuli:

g00 = B, g11 = −A, g22 = −r2, g33 = −r2 sin2 θ

Componentele matricei inverse lui (gij) sunt: gii = 1gii

si gij = 0 pentrui 6= j.

Prin calcul direct obtinem urmatorii coeficienti nenuli ai lui Christoffel:

Γ001 = Γ0

10 =B′

2B, Γ1

11 =A′

2A, Γ1

00 =B′

2A, (4.49)

Γ212 = Γ2

21 =1

r, Γ1

22 = − rA, Γ1

33 = −r sin2 θ

A

Γ313 = Γ3

31 =1

r, Γ2

33 = − sin θ cos θ Γ332 = Γ3

23 = ctgθ

unde A′ = dAdr, B′ = dB

dr.

Tensorul lui Ricci Sij = ∂kΓkij − ∂jΓkik + ΓllkΓ

kij − ΓljkΓ

kil are urmatoarele

componente nenule:

S00 =B′′

2A− B′

4A(A′

A+B′

B) +

1

r

B′

A(4.50)

S11 =−B′′

2B+B′

4B(A′

A+B′

B) +

1

r

A′

A

S22 = 1− 1

A+

r

2A(A′

A− B′

B)

S33 = S22 sin2 θ

Astfel ca ecuatiile Einstein pentru vid , Sij = 0, ne conduc doar la S00 =S11 = S22 = 0.

Din (4.50) se obtine ca

1

AS11 +

1

BS00 =

1

Ar(A′

A+B′

B) = 0,

108 Capitolul 4

din care deducem : (A ·B)′ = 0 si deci, A ·B = const.Atunci cand r →∞ va trebui ca gij → ηij si deci metrica (4.48) ar trebui

sa fie o aproximare a metricii Minkowski, adica

limr→∞

A(r) = limr→∞

B(r) = 1

iar din A · B = const.,rezulta ca A(r) = 1/B(r). Inlocuim aceasta ın S11 =S22 = 0 si obtinem:

S11 = − 1

2rB(rB′′ + 2B′) = 0 ; S22 = 1−B − rB′ = 0

Se observa ca S11 = 12rB

dS22

drsi deci este suficient (lucru de asteptat avand

ın vedere identitatile Bianchi) de rezolvat ecuatia S22 = 0,adica : rB′+B = 1,care se mai scrie: d

dr(rB) = 1. Astfel ca B = 1 + const

r.

Pentru determinarea acestei constante, facem ipoteza naturala ca pentrur suficient de mare campul este de tip newtonian cu potentialul Φ = −MG/r.Pe de alta parte B = g00 ≈ 1 + 2

c2Φ(r) = 1− 2GM

c2rsi deci:

B(r) =1

A(r)= 1− rg

r(4.51)

unde rg = 2GMc2

se numeste raza gravitationala.

In final, obtinem urmatoarea forma a metricii Schwarzschild, statica cusimetrie sferica:

ds2 =(

1− rgr

)(dx0)2 −

(1− rg

r

)−1

dr2 − r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2) (4.52)

Asa cum vom vedea ıntr-un alt paragraf, aceasta solutie comporta unelediscutii dar este singura pentru cazul simetriei sferice statice ın vid, unicitateafiind cunoscuta sub denumirea de Th. Birkhoff.

Pentru r = 0 sau r = rg se obtin singularitati ale metricii, problema carene va conduce la o teorie interesanta.

Pentru r → ∞ metrica Schwarzschild coincide cu metrica Minkowski.Putem presupune ca pentru un r = r0 suficient de mare lucrurile se pe-trec astfel: ın interiorul sferei de raza r0 se aplica relativitatea generala, ınexteriorul sau facem docamdta ipoteza ca spatiul este plat (nu actioneazagravitatia) si se aplica relativitatea restransa.


4.5.1 Geodezicele metricii Schwarzschild.

Pentru a putea scrie ecuatiile de miscare ale particulei libere va trebui sascriem ecuatiile geodezicelor metricii Schwarzschild.

Problema revine la a calcula simboli lui Christoffel din (4.49) cu

B =1

A= 1− rg

r

si apoi sa ınlocuim ın ecuatiile geodezicelor. Se obtin ecuatii diferentiale acaror rezolvare deocamdata nu este prea usoara.

Sa analizam un caz particular important. Consideram planul x1Ox2,adica θ = π

2. In acest plan daca A si B sunt doua puncte fixate, atunci fie

Γ o geodezica ce le uneste. Deoarece ın (4.52), cu sin2 θ = 1, prin ınlocuireaθ → −θ metrica nu-si scimba forma, ınseamna ca geodezica Γ nu iese dinplanul θ = π

2, deoarece ın caz contrar simetrica sa fata de plan ar fi tot o

geodezica ce trece prin cele doua puncte, fapt ce contrazice unicitatea ei.In concluzie Γ este ın planul θ = π

2.

Pentru θ = π2

metrica (4.52) se reduce la :

ds2 =(

1− rgr

)(dx0)2 −

(1− rg

r

)−1

dr2 − r2dϕ2 (4.53)

Folosim urmatoarea notatie simplificatoare: 1− rgr

= eλ(r), fapt justificabilın exteriorul sferei de raza rg < r.

Ecuatiile geodezicelor se reduc la urmatorul sistem de trei ecuatii diferentiale:

d2x0

dτ 2+ λ′

dx0

dτ

dr

dτ= 0

d2r

dτ 2+λ′

2e2λ

(dx0

dτ

)2

− λ′

2

(dr

dτ

)2

− reλ(dϕ

dτ

)2

=0

d2ϕ

dτ 2+

2

r

dϕ

dτ

dr

dτ= 0

(4.54)

Prima si ultima ecuatie se rescriu:

d

dτ

(eλdx0

dτ

)= 0,

d

dτ

(r2dϕ

dτ

)= 0,

din care deducem ca eλ dx0

dτ= α si r2 dϕ

dτ= β sunt doua constante.

110 Capitolul 4

In locul celei de-a doua ecuatii scriem o conditie mult mai convenabila.Vectorul tangent dxi

dτeste costant ın lungul geodezicei Γ, (x0 = ct, x1 = r, x2 =

π2, x3 = ϕ), si deci gij

dxi

dτdxj

dτ= γ = const pe geodezica. Adica,

eλ(dx0

dτ

)2

− e−λ(drdτ

)2 − r2(dφdτ

)2= γ.

Din care, ınlocuid α si β, deducem(dr

dτ

)2

= α2 − eλ(γ +β2

r2).

Luand ın considerare si faptul ca(dφdτ

)2=(βr2

)2si ımpartind, rezulta:

1

r4

(dr

dϕ

)2

=1

β2

[α2 − eλ

(γ +

β2

r2

)], (4.55)

ecuatie ce reprezinta geodezicele metricii Schwarzschild ın coordonatele po-lare r, ϕ din planul θ = π

2.

Aceasta ecuatie se poate tansforma succesiv tinand seama ca eλ = 1− rgr.

Intai sa facem notatia ρ = 1r. Din faptul ca dρ

dϕ= dρ

drdrdϕ

= − 1r2

drdϕ

ecuatia

(4.55) devine (dρ

dϕ

)2

=1

β2

[α2 − eλ

(γ +

β2

r2

)].

Folosim acum notatiile α1 = α2

β2 si β1 = − γβ2 , ecuatia se rescrie:(

dρ

dϕ

)2

= α1 + (1− rgρ)(β1 − ρ2

)(4.56)

sau prin derivare ın raport cu ϕ, ın final obtinem ([86]):

d2ρ

dϕ2= −rg

2β1 − ρ+

3

2rgρ

2. (4.57)

Aceasta forma a ecuatiei geodezicelor ın coordonatele polare ρ, ϕ din pla-nul θ = π

2permite sa dam cateva interpretari si solutii unor probleme aparute

ın astonomie si fizica. Ele sunt cunoscute sub denumirea de probleme test siau ıntarit ıncrederea ın teoria elaborata.

Iata pe scurt care sunt acestea.


a) Rotatia planetelor ın plan ecuatorial.Pentru a obtine notatii uzale din astronomie sa consideram ın (4.57)

−rgβ1 =2

psi

3

2rg = q.

- Deoarece ın cazul planetelor ρ = 1r 1, atunci ρ2 1 si ıntr-o prima

aproximare vom neglija termenul ρ2. Astfel ca ecuatia geodezicelor este :ρ′′ = 1

p− ρ, unde ρ este evident functie de ϕ. Integrand aceasta ecuatie

diferentiala se obtin urmatoarele solutii:

ρ = c1 cosϕ+ c2 sinϕ+1

p= L cos(ϕ− ψ) +

1

p

unde L =√c2

1 + c22 si tgψ = c2/c1. Acum, efectuand eventual o translatie,

putem considera ψ = 0 si notand e = Lp obtinem

r =1

ρ=

p

1 + e cosϕ,

ecuatia de miscare a planetei. Deci ıntr-o prima aproximare miscarea planeteise face pe o conica(elipsa).

- ın a doua aproximare, cautam solutii pentru ecuatia ρ′′ = 1p− ρ + qρ2

de forma ρ = ρ0 + ρ1 ın care ρ0 este solutia din prima aproximare si peρ1 ıl presupunem suficient de mic. Inlocuim ın ecuatie si rezulta: ρ′′1 =−ρ1 + q(ρ0 + ρ1)2. Cum ρ1 l-am presupus mic, neglijand pe ρ1 din parantezacu patratul, obtinem :

ρ′′1 = −ρ1 + qρ20 = −ρ1 +

q

p2(1 + e cosϕ)2

ecuatie liniara neomogena ın ρ1(ϕ). Integrand obtinem ca ρ1 = qep2ϕ sinϕ o

solutie, si deci solutia ρ = ρ0 + ρ1 ın a doua aproximare este :

ρ =1

p+e

p(cosϕ+

q

pϕ sinϕ) (4.58)

care nu mai este periodica datorita termenului ϕ sinϕ.Aproximand totusi p

qϕ ≈ sin p

qϕ (deoarece q p), ecuatia (4.58) devine:

ρ ≈ 1p

+ ep

cos(1 − qp)ϕ. Perioada lui ρ fiind acum 2π

1− qp≈ 2π(1 + q

p). Deci

planeta se roteste ın planul ecuatorial cu unghiul ε = 2πqp

= 3π rgp. Are loc

112 Capitolul 4

Figura 4.2: Abaterea de la elipsa

o abatere de la elipsa, fapt sesizat ın special pentru planetele “grele”, deexemplu pentru Mercur ε = 42′′9 pe secol.

Aceasta abatera de la elipsa este cunoscuta sub denumirea de precesiaperiheliului planetei, “elipsele” ne mai fiind curbe ınchise.

b) Curbarea razelor de lumina ın camp gravitational.Razele de lumina au traiectorii aproximativ rectilinii, deci geodezicele vor

avea vectorii tangenti (dxi

dτ) nuli. In consecinta γ = β1 = 0. Ecuatia geodezicei

devine: ρ′′ = −ρ+ qρ2.- ıntr-o prima aproximare neglijam ρ2. Pentru ecuatia ρ′′ = −ρ obtinem

ca mai ınainte solutiile:

ρ0(ϕ) = L cos(ϕ− ψ),

si deci raza vectoare este r0 = lcos(ϕ−ψ)

, cu l = L−1 = r0(0), adica tocmai

ecuatia dreptei ın coordonatele polare (r0, ϕ− ψ).-ın a doua aproximare, facem mai ıntai translatia ϕ − ψ → ϕ si deci

presupunem ca : ρ0 = L cosϕ. Apoi cautam solutii de forma ρ = ρ0 + ρ1 cuρ1 1. Rezulta:

ρ′′1 = −ρ1 + qρ20 = −ρ1 + q

cos2 ϕ

l2,


care prin integrare ne da: ρ1 = q3l2

(1 + sin2 ϕ). Astfel ca solutiile celei de-adoua aproximari sunt:

ρ =cosϕ

l+

q

3l2(1 + sin2 ϕ) (4.59)

Deci are loc o abatere de la dreapta a traiectoriei razei luminoase. Maiexact ın vecinatatea lui ϕ = π

2+ δ cu δ mic, facand aproximarile sinϕ ≈ 1 si

cosϕ ≈ −δ se obtine ca δ ≈ 2q3l

= rgr(0)

adica ≈ 1′′74, valoare ce coincide cu ceaobervata experimental ın 1919 pentru raza luminoasa ın campul gravitationalal Pamantului.

c) Deplasrea spre rosu a razelor spectrului luminos.Fie S un punct fixa t - Soarele, si P un punct mobil - Pamantul, de masa

neglijabila ın raport cu S.O sursa luminoasa are frecventa νS si lungimea de unda λS raportat la un

sistem cu originea ın S. Fata de un sistem cu originea ın P raza luminoasava avea frecventa si respectiv lungimea de unda γP si λP .

Presupunem ca raza are o directie fixata, adica θ si ϕ sunt constante.Pe conul izotrop ds2 = 0 al metricii Schwarzschild r devine funtie de t,

astfel ca din (4.52) obtinem o viteza, numita radiala , la distanta r a razeiluminoase.:

dr

dt= c

(1− rg

r

)(4.60)

si

dτ =√g00dt⇒

dr

dτ= c(1− rg

r)

12

Aceasta viteza nu depinde de timp ci numai de r si rg , si deci douaimpulsuri luminoase lansate la un interval ∆tS de pe S vor ajunge pe Pamantla acelasi interval de timp raportat la S.

Lungimea unui arc parcurs de raza luminoasa ıntr-un interval ∆tS va fil = ∆r si ıl obtinem din (4.60):

l = ∆r = c

(1− rg

rS

) 12

∆τS

ın care presupunem ca raza pleaca din S.Dar lungimea de unda este distanta parcursa ın unitatea de timp, astfel

ca

l = λS = c

(1− rg

rP

) 12

∆τS.

114 Capitolul 4

Pentru observatorul din P , λP = c(1− rgr

)12 ∆τS, si calculand raportul lor

obtinem : (λPλS

)2

=1− rg

rP

1− rgrS

= 1 +rg(

1rS− 1

rP)

1− rgrS

Dupa o aproximare a dezvoltarii ın serie Taylor a lui λPλS

se obtine:

λPλS≈ 1 +

rg2rS

.

Considerand λP = λS + ∆λS se obtine ca: ∆λSλS≈ rg

2rS≈ 2, 12 · 10−6, ce

justifica o deplasare spre rosu a spectrului luminos.Observatie:Aceste trei mari probleme au fost propuse ca teste clasice pentru teoria

relativitatii generale. Am preferat aici o tratare directa, clasica, a lor pe bazateoriei geodezicelor metricii Schwarzschild .

Se cunosc solutii ce utilizeaza ceva multa geometrie ın problema geodezi-celor metricii Schwarzschild ([92],[74],[22]..)

Iata cateva idei ce stau la baza acestor teorii. Simetria sferica statica amvazut ca este caracterizata de patru vectori Killing : unul pentru translatiiletemporale si trei pentru simetria sferica. Fiecare din ei lasa constant produsulscalar cu vectorii tangenti la geodezica, adica daca (Ki) sunt componentele

unuia K din ei,atunci Ki dxi

dλ= const.(λ parametru pe geodezica). Mai mult,

vectorii tangenti sunt constanti pe geodezica, gijdxi

dλdxj

dλ= ε = const. Daca

alegem λ = τ atunci ε ia doar una din valorile: ε = 1 pentru particulelegrele(masice), ε = 0 pentru particulele usoare (fara masa), ε = −1 pe geode-zice de tip spatial.

Invarianta fata de translatiile temporale duc la conservarea energiei, iarinvarianta la rotatii spatiale duc la pastrarea celor trei momente unghiulare.Momentele unghiulare au urmaoarele trei componente: una fiind magnitu-dinea si doua sunt directiile. Conservarea directiei momentului unghiularınseamna ca particula se misca ıntr-un plan. Astfel ca doi vectori KillingK1, K2 ce pastreaza directia momentul unghiular vor fi caracterizati spreexemplu de θ = π

2. Al treilea vector Killing va trebui sa pastreze magnitudi-

nea momentului unghiular L = ∂ϕ, adica K3 = (0, 0, 0,−r2 sin2 θ). Evidental patrulea vector Killing este cel temporal, K4 = (1− rg

r, 0, 0, 0).

Deoarece sin θ = 1, cele doua cantitati ce se pastreaza sunt enegia

E =(

1− rgr

) dx0

dτ


si magnitudinea momentului L = r2 dϕdτ. In cazul metricii Schwarzschild

gijdxi

dτ

dxj

dτ= ε = const.,

se traduce prin :

(1− rg

r

)(dx0

dτ

)2

−(

1− rgr

)−1(dr

dτ

)2

− r2

(dϕ

dτ

)= ε,

care se poate scrie sub forma echivalenta:

E2 −(dr

dτ

)2

−(

1− rgr

)(L2

r2+ ε

)= 0 (4.61)

sau1

2

(dr

dτ

)2

+ V (r) =1

2E2 (4.62)

unde

V (r) =1

2

(1− rg

r

)ε+

L2

2r2−r2g

r3

joaca rolul unui potential, ecuatia (4.62) fiind asemanatoare cu cea clasica,atunci cand se cunoaste energia 1

2E2 si potentialul V (r).

Pe baza acestei ecuatii, ın deducerea careia s-a ocolit problema obtineriigeodezicelor, ın [92],[22] se justifica cele trei probleme propuse de Einstein.Consideram ca ele au fost clarificate prin abordarea clasica.

Exista alte probleme ulterioare celor trei formulate de Einstein si careısi gasesc interpretare cu metrica Schwarzschild: problema celor doua stelepulsatoare, problema ıncetiniri timpului ın camp gravitational (descoperita deShapiro), teoria gaurilor negre-teorie asupra careia vom insista ın continuare,etc.

d) Solutii Schwarzschild pentru gaurile negre.Pana acum am considerat rg < r, cazul rg = r constituind o singularitate,

iar ın rest am aproximat spatiul cu unul Minkowski. Situatia aceasta rg ≥ rva fi analizata ın continuare, si se va numi gaura neagra (black hole), denumirece o vom justifica ın continuare si care corespunde corpurilor de masa foartemare, M = rgc

2/2G. Nu ne propunem aici sa facem o teorie a gaurilor negre,ci doar sa dam o solutie cu metrica Schwarzschild pentru ele. Pentru maimulte detalii se pot consulta [22],[37][64].

116 Capitolul 4

Sa consideram o raza pe conul luminos ds2 de directie fixata, ϕ, θ con-stante. Atunci, din metrica Schwarzschild obtinem ca:(

1− rgr

) (dx0)2

=(

1− rgr

)−1

dr2,

adica :dt

dr= ±1

c

(1− rg

r

)−1

(4.63)


Privit ın planul variabilelor t si r atunci cand r → rg = 2MGc2

rezulta cadtdr→ ±∞ si deci conul luminos se restrage devenind directie asimptotica.Aceasta situatie se datoreaza alegerii sistemului de coordonate a metricii

Schwarzschild, fiind o iluzie.Un observator ce ar emite un semnal din zona gauri negre se ”aude” din

ce ın ce mai slab fata de unul exterior ei , acest lucru justificandu-se dupaaceleasi formule de calcul al frecventelor din deplasarea spre rosu a sectruluiluminos.

Pentru a putea depasi singularitatea respectiva este nevoie de o schimbarede coordonate. Directia asimptotica se traduce prin faptul ca atunci candr → rg timpul t creste foarte rapid. Vom ınlocui ıntr-o prima etapa r cu r∗

ın lungul geodezicei nule:

r∗ = rg ln

(r

rg− 1

)+ r ⇒ dr∗ =

1

1− rgr

dr (4.64)


valabila pentru r > rg, egalitatea fiind situatie limita.Metrica Schwartzschild devine:

ds2 =(

1− rgr

)((dx0)

2 − dr∗2)− r2dΩ2

unde peste tot de acum ıncolo vom folosi notatia evidenta:

dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2

In continuare introducem coodonatele Eddington-Finkelstein:

u = x0 + r∗ ; v = x0 − r∗ (4.65)

si deci metrica se va scrie:

ds2 =(

1− rgr

)dudv − r2dΩ2 (4.66)

Acum putem introduce asa-numita coordonata “broasca”,

x0 = r + r∗ + const,

ce se modifica ıncet ın lungul unei geodezice nule. Inlocuind mai sus dv ınfunctie de dr si du obtinem metrica Schwatzschild ın coodonate Eddington-Finkelstein:

ds2 = (1− rgr

)du2 − (dudr + drdu)− r2dΩ2 (4.67)

Privita ın coordonatele (u, r, θ, ϕ) metrica (4.67) este nedegenerata,

det (gij) = −r4 sin2 θ,

chiar si ın cazul singular r = rg al gaurilor negre. Astfel ca putem discuta de(gij) , inversa metricii. Conditia de geodezica nula , ds2 = 0, ne da:

du

dr=

0, ın interiorul gaurii negre ,

2(1− rgr

)−1, ın afara gaurii negre.

Analiza acestei situatii ne arata ca, ın sistemul acesta de coordonate,conul luminos este bine definit si pentru r = rg, mai exact avem urmatoruldesen:

Suprafata r = rg se numeste orizontul evenimentelor, un eveniment dinr < rg nu poate influenta unul pentru r > rg. Odata trecut de orizontul

118 Capitolul 4


evenimentelor este imposibil de “vazut” ce se ıntampla ın interiorul sau. Deaici si termenul de gaura neagra.

Exista si alta cale de a aborda aceasta problema ın afara introduceriicoordonatelor broasca.

Facem ın (4.66) schimbarea :

u′ = eu

2rg ; v′ = e− u

2rg (4.68)

ın urma careia metrica (4.66) devine :

ds2 =2r3

g

re− rrg (du′dv′ + dv′du′)− r2dΩ2 (4.69)

In aceasta forma, coeficientii metricii sunt bine definiti si pe orizontulevenimentelor. Mai deperte procedam ca mai sus, notam

u =1

2(u′ − v′), v =

1

2(u′ + v′),

variabile ce se pot scrie cu ajutorul sh(r/rg) si ch(r/rg). Metrica devine:

ds2 =4r3

g

re− rrg(dv2 + du2

)− r2dΩ2, (4.70)


unde u, v sunt functii de r si x0.

Sistemul de coordonate (v, u, θ, ϕ) se numesc coordonate Kruskal.

Aceste coordonate prezinta proprietati interesante, ın planul v, u avandloc asa-numita diagrama Kruskal.

Figura 4.5: Diagrama Kruskal

4.5.2 Metrici cu simetrie sferica generalizata.

Am vazut ın obtinerea metricii Schwarzschild ca termenul

dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2

constituie conditia de simetrie sferica a metricii ds2, iar conditia ca ea safie statica simplifica calculele, coeficientii metricii fiind ın acest caz functiinumai de r. In continuare vom analiza mai ın detaliu aceasta metrica cusimetrie sferica (invarianta la transformarile ortogonale spatiale) fara a mai

120 Capitolul 4

cere ca ea sa nu depinda si de timp, adica:

ds2 = gab(x0, x1)dxadxb − g(x0, x1)dΩ2 (4.71)

unde x0 = ct, x1 = r ; a, b = 0, 1.Reducand la expresie canonica forma patratica gab(x

0, x1)dxadxb putempresupune ca ds2 se scrie:

ds2 = B2(dx0)2 − A2(dx1)2 − C2dΩ2 (4.72)

unde A,B,C sunt functii de x0, x1.Solutia acestei probleme generalizate se poate gasi ın [86]. Facem o schim-

bare a coordonatelor de forma:

x′0 = f(x0, x1), x′1 = C(x0, x1), x′2 = θ, x′3 = ϕ.

Jacobianul acestei transformari va trebui sa fie nenul,

J = f0C1 − f1C0 6= 0 (4.73)

unde:

f0 =∂f

∂x0, f1 =

∂f

∂x1, C0 =

∂C

∂x0, C1 =

∂C

∂x1.

Conditia de invarianta a metricii (4.72) ne conduce la :

B′2(dx′0)2 − A′2(dx′1)2 = B2(dx0)2 − A2(dx1)2

si cum dx′0 = f0dx0 + f1dx

1 si dx′1 = C0dx0 + C1dx

1, facand ınlocuirile maisus obtinem urmatorul sistem de ecuatii cu derivate partiale:

B′2f 21 − A′2C2

1 = −A2

B′2f0f1 − A′2C0C1 = 0

B′2f 20 − A′2C2

0 = B2,

(4.74)

pe care ıl vom interpreta ca un sistem liniar ın B′2 si A′2.Determinantul δ = C2

1f20 − C2

0f21 va fi principal daca pe lınga conditia

(4.73) se verifica si conditia:

f0C1 + f1C0 6= 0. (4.75)

Pentru compatibilitatea sistemului determinantul caracteristic va trebuiatunci sa fie nul,


∣∣∣∣∣∣−A2 f 2

1 −C21

0 f0f1 C0C1

B2 f 20 C2

0

∣∣∣∣∣∣ = 0

adica:(f0C1 − f1C0)(C1f1B

2 − C0f0A2) = 0,

din care deducem ca :

C1f1B2 = C0f0A

2 ⇔ f0

C1B2=

f1

C0A2(4.76)

Inlocuind ın (4.73), (4.75) deducem ca transformarea coordonatelor esteposibila daca si numai daca:

A2C20 − C2

1B2 6= 0 (4.77)

Cazul simetriei statice este evdent cuprins aici.Sa presupunem ın continuare ındeplinita aceasta conditie esentiala. Atunci

metrica (4.71) capata o cunoscuta exprimare ([92], [64],..):

ds2 = gab(x0, x1)dxadxb − r2dΩ2 ; a, b = 0, 1 (4.78)

(de obicei se ıntalneste cu +r2dΩ2, fapt ce rezulta din alegerea semnelormetricii Minkowschi).

Astfel ds2 apare ca o combinatie de doua metrici : una ın (x0 = ct, x1 = r)t,si cealalta ın (θ, ϕ) .

Sa consideram conexiunea Levi-Civita ∇ a metricii gabdxadxb, Γabc coeficientii

sai de conexiune, si vom nota cu X;a = ∇aX derivarea covarianta ın raport

cu aceasta conexiune. ( In raport cu ıntreaga metrica s-a notat cu ∇iX sau,asa cum am mai spus, cu X|i).

Urmeaza calculul direct al coeficientilor conexiunii ∇ pentru metrica(4.78), coordonatele fiind (x0 = ct, x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ) :

Γabc = Γabc, Γ323 = ctgθ, Γ2

33 = − sin θ cos θ

Γ2a2 = Γ3

a3 =∂ar

r, Γa22 = − r

∂ar, Γa33 =

−r sin2 θ

∂ar

Fie operatorul lui d’Alambert ın raport cu ∇, adica ψ = gabψ;ab ,∀ψun camp scalar.

122 Capitolul 4

Calculul tensorului lui Ricci ne conduce la ([51],[64]):

Sab = Sab −2r;ab

r(4.79)

S22 = 1− (rr)− ∂ar · ∂arS33 = S22 sin2 θ

iar scalarul lui Ricci este :

ρ = ρ+2[1− 2(rr)− ∂ar · ∂ar]

r2

Tensorul luin Einstein se descompune usor dupa cele trei componente :

Eab =−2[2rr;ab + gab(1− 2(rr)− ∂ar · ∂ar)]

r2(4.80)

E22 = rr − 1

2r2ρ

E33 = E22 sin2 θ

Ecuatiile Einstein se descompun si ele dupa cele trei componente, iar ıncazul vidului se obtin direct prin anularea componentelor tensorului lui Ricci.

Sa facem cateva observatii privind metrica cu simetrie sferica generalizata.In primul rand, trebuie ındeplinita conditia (4.77). Apoi, daca

gabdxadxb = (1− rg

r)dudv

se obtine metrica (4.66).Daca gabdx

adxb = e2Φ(r,t)dt2 − e2Λ(r,t)dr2 se obtine o metrica utilizata deMisner, Thorne si Wheeler([?]) ın modele pentru cosmologie, metrica stu-diata ın monografia lor din 1973. O alta metrica cu simetrie sferica genera-lizata este metrica Reissner-Nordstrom([64]):

ds2 = f dt2 − f−1dr2 − r2dΩ2 (4.81)

unde f = 1−2m(v)/r+e2/r2, ce reprezinta solutie a ecuatiilor Einsten ın vid.Conditia de a verifica ecuatiile de camp determina ca masa m = m0 = const.si f = f0(r)

Utilizand coordonatele Eddinton-Finkelstein:

u = t+ r∗, v = t− r∗, r∗ =

∫dr

f0(r)

Spatii Einstein. 123

ce actioneaza ın interiorul gaurilor negre, metrica (4.81) petru m = m0 sepune sub forma:

ds2 = f0dudv − r2dΩ2 (4.82)

In mod analog, trecand la coordonatele Kruskal

u′ = euK0 , v′ = e−vK0 , K0 =f ′0(rg)

2

se poate obtine aceasta metrica sub forma (4.69)Metrica Reissner-Nordstrom ofera solutii si pentru ecuatiile Einstein-

Maxwell. Daca masa este mai mare decat suma dintre sarcina electrica sicea magnetica, forma metricii Reissner-Nordstrom este ([13],[24]):

ds2 = −4 |r − r+| |r − r−|α2r2 sin 2u sin 2v

dudv − r2dΩ2 (4.83)

unde r+, r− sunt constante.O alta solutie pentru ecuatiile Einstein cu tensorul energie-impuls

Tij = ρlilj,

unde ρ = 14πr2

dmdv

si ei = −∂iv, este solutia Vaidya ([64]):

ds2 = (fdv − 2dr)dv − r2dΩ2 (4.84)

cu f = 1− 2m(v)/r + e2/r2 unde m(v) = m0 − v1−p.Metrica Vaidya este folosita de asemenea pentru a obtine solutii ın teoria

gaurilor negre.

4.6 Spatii Einstein.

Sa consideram la modul general (M, g) o varietate diferentiabila reala cumetrica g.

Varietatea M se numeste spatiu Einstein daca tensorul lui Ricci esteproportional cu metrica:

S(X, Y ) = λg(x, Y ) ; λ ∈ R (4.85)

In [40],vol.II, se arata ca daca exista f ∈ F(M) pe o varietate de dimen-siune ≥ 3, astfel ıncat

S(X, Y ) = fg(X, Y ), ∀X, Y ∈ χ(M)

124 Capitolul 4

atunci f este constanta.Spatiile Einstein au o serie de proprietati interesante pe care le enumeram

aici ([?],[34]):

• Orice spatiu de curbura saclara Ricci constanta este spatiu Einstin.

• Orice spatiu Einstein de dimensiune 3 este spatiu cu curbura scalaraRicci constanta.

In [86] se determina spatiile Einstein cu simetrie sferica generalizata. Vomparcurge pe scurt aceste idei.

Fieds2 = B2(dx0)2 − A2(dx1)2 − r2dΩ2

metrica (4.72) cu simetrie sferica generalizata. Din conditia de spatiu Ein-stein (4.85) deducem ca Sij = 0 pentru i 6= j. Aceste conditii sunt automatverificate exceptand S01 = 2A0

Ar, unde A0 = ∂A

∂x0 . Anularea lui S01 ne conduce

la faptul ca A nu depinde de x0, deci este functie numai de r, A(r). In restcelelalte conditii Sij = λgij se scriu:

B11

A2+

2B

A2r− A1B1

A2= −λB2 (4.86)

−B11

B+

2A1

Ar+A1B1

AB= λA2

1− 1

A2+A1r

A3− B1r

BA2= λr2,

unde A1, B1, B11 reprezinta derivatele ın raport cu r. Cum S33 = S22 sin2 θeste suficient sa analizam doua din aceste relatii. Eliminam λ din ele siobtinem:

A1

A+B1

B= 0 (4.87)(

A1

A

B1

B− B11

B

)r2 + 1− A2 = 0 (4.88)

Din (4.87) deducem ca B = c(r)A

si din (4.88) rezulta:

1− A2

r2= (

A1

A)1 + 2(

A1

A)2

(derivarea facandu-se ın raport cu r). Facem substitutia A2 = 1κ , care prin

derivare ne da A1

A= −1

2κ1

κ ,si obtinem ca κ11 = 2κ+1r2 , ce reprezinta o ecuatie

Elemente de cosmologie. 125

diferentiala liniara neomogena. Aceasta ecuatie se mai poate simplifica dacanotam κ = 1 + y

r, ea devenind y11

y1= 2

r,si se integreaza direct , solutiile fiind

de forma y = γr2 + α, α, γ ∈ R. Revenind la A si B gasim ca :

B2 = c−2(r)(1 +α

r+ γr2),

1

A2= 1 +

α

r+ γr2, (4.89)

metrica (4.86) obtinuta astfel fiind asemanatoare cu (4.81).

Discutii privind aceasta metrica se gasesc ın [86].

4.7 Elemente de cosmologie.

Modelele cosmologice actuale au la baza ideea ca Universul este cam la feloriunde, idee continuta ın asa-numitul principiu al lui Copernic (PrincipiuCosmologic).

Formulat matematic Principiul lui Copernic prsupune ca varietatea sa-tisface doua conditii: izotropie si omogeneitate.

Conditia de izotropie presupune ca spatiul este la fel pe orice directie si setraduce prin faptul ca ın fiecare spatiu tangent TxM orice doi vectori X, Y sepot obtine unul din celalalt printr-o izometrie, abstractie facand de lungimilelor.

Conditia de omogeneitate se refera la faptul ca spatiul este la fel ın oricepunct, metrica spatiului este asemanatoare de la un punct la altul, mai precisorice doua puncte din M se pot obtine unul din clalalt printr-o izometrie.

Nu esista o relatie de dependenta ıntre cele doua conditii. O varietatepoate fi omogena fara sa fie izotropa (ex. R×S2) si invers (ex. pentru punctedin jurul varfului unui con).

De fapt aceste conditii trebuiesc privite cu rezerva ca Universul cu distantelesale galactice nu este static, el se transforma ın timp. Deci conditiile de izo-tropie si omogenitate se refera doar la spatiu nu si la timp. Pentru fiecaremoment se obtine o anumita stare galactica izotropa si omogena. Deci estevorba de o foliatie de tip spatio-temporal, R×Σ, unde R reprezinta directiatemporala, si Σ o varietate 3-dimensionala izotropa si omogena, adica unspatiu maximal simetric (deci admite un numar maxim de vectori Killing).

Metrica unui asemenea spatiu, potrivit lui Weyl, se ia sub forma :

ds2 = (dx0)2 − a2(t)γαβduαduβ, α, β = 1, 2, 3, (4.90)

126 Capitolul 4

γαβ fiind metrica spatiului Σ si a(t) un factor temporal, numit ”factorscala ”.

Conditia ca (Σ, γαβ) sa fie varitate maximal simetrica implica faptul caspatiul sa fie sa fie de curbura constanta (prima ipoteza Einstein):

Σ

R (X, Y )Z = K [γ(Z, Y )X − γ(Z,X)Y ]

si deci este un spatiu Einstein :Σ

S (X, Y ) = 2Kγ(X, Y ).Pe de alta parte, am caracterizat simetria sferica la metrica Schwarzschild

prin invarianta la transformarile ortogonale spatiale. Prin urmare

dσ2 = γαβduαduβ

trebuie sa fie de forma:

dσ2 = e2ψ(r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2) (4.91)

Tensorul lui Ricci pentru metrica spatiala dσ2 se poate calcula cu formu-lele (4.86) punand A = e2ψ(r) si B = 0,

Σ

S11=2

rψ′,

Σ

S22= 1 + e−2ψ(rψ′ − 1),Σ

S33=Σ

S22 sin2 θ (4.92)

Prima conditie de spatiu Einstein implica 2rψ′ = 2Ke2ψ, adica ψ′e−2ψ =

Kr si deci e−2ψ = −Kr2 + C, care ınlocuita ın a doua conditie ne da:

ψ(r) = −1

2ln(1−Kr2).

Inlocuind ın (4.91) obtinem ca ds2 din (4.90) este:

ds2 = (dx0)2 − a2(t)

[1

1−Kr2dr2 + r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

](4.93)

numita metrica Robertson-Walker.O observatie legata de aceasta metrica este ca, daca facem ınlocuirile

K → K|K| , r → r

√|K| si a→ a

|K| ea ramane la fel, valorile pe care le poate

lua K|K| fiind doar ±1 si 0. Pentru K = 0 spatiul Σ va fi plat, pentru K = 1

spatiul este cu curbura pozitiva si Σ se va numi suprafata ınchisa, iar pentruK = −1 spatiul este de curbura negativa si spatiul Σ se va numi deschis.


Mai exact, ın cazul K = 0, avem:

dσ2 = dr2 + r2dΩ2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2,

adica este metrica uzala, spatiul fiind local euclidian.Pentru K = 1, eventual notand r = sinα se obtine metrica sferei S2.Pentru K = −1, dσ2 este de curbura negativa , izometric spre exemplu

cu pseudosfera (titirezul).Calculul simbolilor lui Christoffel si apoi a tensorului lui Ricci pentru

metrica R-W (4.93) ne da:

S00 = −3a

a, S11 =

aa+ 2a2 + 2K

1−Kr2

S22 = r2(aa+ 2a2 + 2K), S33 = S22 sin2 θ

ρ =6

a2(aa+ a2 + 1).

(4.94)

unde a = da/dx0 , a = d2a/(dx0)2.Deoarece Universul nu este gol, nu ne intereseaza solutii Einstein ın vid.

Tensorul energie-impuls pentru Univers se accepta a fi analog cu cel al unuifluid perfect, adica de forma (a doua ipoteza Einstein):

Tij = (ρ− p)UiUj + pgij (4.95)

unde ρ este densitatea de energie a fluidului, p presiunea ,si Ui cvadivectorulviteza al fluidului perfect, raportat la un reper. Pentru simplitate, se poateschimba reperul astfel ıncat Ui = (1, 0, 0, 0), gij ≈ ηij, si deci :

Tij =

ρ 0 0 000 pgαβ0

. (4.96)

Ridicand indicii, obtinem ca

Tji = diag(ρ,−p,−p,−p) si T = Ti

i = ρ− 3p.

Acum trebuie verificata legea conservarii energiei

∇kTki = 0.

128 Capitolul 4

Un calcul direct ne arata ca aceasta nu se verifica ıntodeauna, spre exemplupentru i = 0. Apare necesitatea de a impune conditii asupra lui p si q cedetermina starea fluidului. O conditie convenabila este atunci cand cele douamarimi sunt proportionale, p = wρ , numita ecuatie de stare.

Daca w = 0 se obtin asa-numitele “zone materiale” ale Universului, pre-siunea fiind neglijabila ın raport cu densitatea.

Alt caz important este atunci cand w = 13

, pentru care se obtin “zonelede radiatie”. Se arata ca, ın acest caz, (4.95) ne conduce la tensorul energieimpuls al electromagnetismului.

Exista si alte situatii ın care legea conservarii energiei se verifica. Pentruaceste solutii ecuatiile cosmologice ale lui Einstein (4.23) sunt:

Eij + Λgij = 8πGTij (4.97)

Aceste ecuatii pot fi interpretate si ca ecuatii necosmologice cu tensorulenergie-impuls

vid

Tij=Λ

8πGgij.

Din (4.95) observam ca acest caz este tocmai p = −q = Λ8πG

, si deci cores-punde starii w = −1, pentru p si q constante.

In acest caz, se zice ca Universul este “dominat de vid”.Ecuatiile cosmologice ale lui Einstein pot fi srise si sub urmatoarea forma

echivalenta:

Sij = 8πG(Tij −1

2Tgij) (4.98)

Pentru i = j = 0, din (4.94) si (4.98) obtinem aproximand gij = ηij+hij ≈ηij,

−3a

a= 4πG(ρ+ 3p),

iar pentru i = j = 1, 2, se obtine:

a

a+ 2(

a

a)2 + 2

K

a2= 4πG(ρ− p).

Eliminand aa

din acestea , rezulta urmatoarele ecuatii :

a

a=−4πG

3(ρ+ 3p),

(a

a

)2

=8πG

3ρ− K2

a2(4.99)


numite ecuatiile lui Friedmann. Solutiile acestor ecuatii introduse ın (4.93)ne da Universul Friedmann-Robertson-Walker (FRW).

In asrofizica este cuoscuta ideia lui Huble privind expansiunea Universu-lui. Am precizat ca a este o functie de timp. Huble leaga aceasta expansiunede parametrul H = a

a, numit parametrul Huble. Asupra valorii acestui pa-

rametru la momentul actual este o problema destul de controversata. Altparametru important, parametrul de decelare, este q = −aa

a2 .

Pentru ρ = 3H2

8πGın a doua ecuatie Friedmann se obtine asa-numita den-

sitate critica, ρcrt.. Notam cu Ω = 8πG3H2ρ si din ecuatiile Friedmenn obtinem

ca

Ω− 1 =K

H2a2.

Daca ρ < ρcrt., atunci Ω < 1, deci K = −1, Univers descis,Daca ρ > ρcrt., atunci Ω > 1, deci K = 1, Univers ınscis,Daca ρ = ρcrt., atunci Ω = 0, deci K = 0, Univers plat.Exista un caz singular al ecuatiilor Friedmann, a = 0, numit Big Bang.

Acesta este interpretat ca punct de creare a Universului dintr-o stare sin-gulara si nicidecum, ceea ce ar putea interpreta cineva, ca fiind exploziaUniversului. Densitatea Universului devine arbitrara atunci cand a → 0,teoria FRW ne fiind aplicabila.

Se pune problema integrarii ecuatiilor Friedmann. Vom discuta acestlucru ın urmatoarele situatii particulare:

1. Universul este masic(p = 0) si c = 8πG3ρa3 = const. Faptul ca p = 0

presupune ca fluidul este perfect, numit si praf cosmic. Din (4.99) seobtin solutii de forma:

• pentru K = −1,

a =c

2(chα− 1)

t =c

2(shα− ϕ)

cu α ∈ R parametru,

• pentru K = 0, a =(

9c4

) 13 t

23

• pentru K = 1,

a =c

2(1− cosα)

t =c

2(α− sin θ)

2. In cazul zonei de radiatie, ρ = 3p, si c = 8πG3ρa4 = const se obtin

solutiile

130 Capitolul 4

• pentru K = −1, a =√c

[ (1 + x0

√c

)2

− 1

] 12

;

• pentru K = 0, a = (4c)14 (x0)

12 ;

• pentru K = 1, a =√c

[1−

(1− x0

√c

)2] 1

2

;

3. Pentru Universuri ce nu depind explicit de Λ, deci p si q sunt constante,se obtin solutiile:

• pentru K = −1, λ < 0, a =√−3λ

sin(x0√−λ3

);

• pentru K = −1, λ > 0, a =√

3λsh(x0√

λ3

);

• pentru K = 0, λ > 0, a = e±x0√

λ3 ;

• pentru K = 1, λ > 0, a =√

3λch(x0√

λ3

);

Cazurile λ > 0 determina asa-numitul spatiu de Sitter, iar cazul λ < 0 senumeste spatiu anti-de Sitter.

Asupra interpretari fizico-filozofice a ipotezelor Cosmologiei relativiste sepoate consulta [27]

Cazul spatiului de Sitter a fost intuit de Einstein, cazul anti-de Sitter s-aanalizat dupa ani ’50 si reclama prezenta unor densitati de energie negative.Exista mai multe concepte despre acest caz, printre acestea fiind si cel de viddegenerat care implica luarea ın calcul a unor Lagrangieni si Hamiltonienicomplexi ce descriu ecuatiile de miscare (aplictii vom vedea ın finalul acesteilucrari).

Partea III

Further developments ofEinstein’s theory

131

Capitolul 5

The extended theories ofgravity

5.1 Conformal metrics. The Palatini approach

5.1.1 Ehlers-Pirani-Schild extended theory of gravita-tion

5.2 The Kerr-Newman metric

5.3 Kaluza-Klein theory

133

134 Capitolul 5.

Capitolul 6

Teorii gravitationaledependente de directie

6.1 A (1+3) threading of spacetime with res-

pect to an arbitrary timelike vector field

Scopul acestui capitol este de a prezenta o extensie interesanta a ecuatiilorlui Einstein la spatiimai generale decat varietatea spatio-temporala.

Este vorba de spatiile Finsler sau Lagrange modelate pe fibratul tangentla o varietate si dotate cu metrici ce depind nu numai de punct ci si dedirectie (viteza), spatii intens studiate de geometri ın special ın a doua partea secolului. In acest domeniu scoala romaneasca de geometrie are rezultateremarcabile ([44],[45],etc.), noi facem aici doar o initiere ın aceste teorii.

Inainte de a face aceasta initiere ın teoria Finsleriana a spatiului si timpu-lui, am dori sa prezentam un exemplu ce ilustreaza destul de bine necesitateaunor astfel de teorii.

In spatilul Minkowski acceleratia proprie a unei particule (cvadriaceleratia)era data de

wi =d2xi

dτ 2=dui

dτ, i = 0, 1, 2, 3,

si deci marimea sa este

w2 = ηijwiwj.

In spatiul curb al lui Einstein, ds2 = gijdxidxj, acceleratia prorie a particulei

135

136 Capitolul 6

se va calcula potrivit principiului de covarianta (Cap.II, §2.3) dupa formula

w2 = gij∇ui

ds

∇uj

ds(6.1)

unde ui = dxi

dseste viteza relativista a particulei iar ∇u

i

dseste derivata sa

covarianta:∇ui

ds=dui

ds+ Γijku

juk (6.2)

Am vazut ca deplasarea ın camp gravitational a particulei libere(deci ınabsenta altor forte decat cea gravitationala) se face pe geodezica, acceleratiaproprie fiind nula. In prezenta altor forte aceasta nu se mai ıntampla , teoriagenerala a relativitatii poate preciza doar ceva legat de valoarea maxima aacestei acceleratii, ea fiind limitata la([20]):

a0 = 2πα

√c7

G(6.3)

unde este constanta lui Planck, G constanta gravitationala si α < 1 este omarime ce depinde de densitatea externa si radiatie (ea apare ın special ınnoile teorii string).

Avem, deci, w2 ≤ a0, conditie ce se traduce tinand seama de expresia luiw prin faptul ca urmatoarea forma patratica este pozitiv definita[20]:

dσ2 = gijdxidxj + ρ2

0

(dui + Γikhu

kdxh) (duj + Γjlmu

ldxm)≥ 0 (6.4)

unde ρ0 = c2

a0.

Privita altfel, aceasta metrica (numita metrica Brandt) este, de fapt,metrica unui spatiu cu opt dimensiuni, un punct fiind caracterizat de coo-rodnatele (xi, ui) , i = 0, 1, 2, 3, unde ui = dxi/ds sunt componentele vitezeiproprii, tangenta la varietatea spatio-temporala. Prin urmare, metrica dσ2

este definita pe spatiul tangent la varietatea spatio-temporala,

dσ2 = Gab(xi, ui)dzadzb,

unde za ia valorile xi si ui.Studiul geometriei fibratului tangent la o varietate comporta unele di-

ficultati, de aceea ın paragraful urmator vom face o prezentare pe scurt aacestei geometrii. Ea este un caz particular al geometriei unui fibrat vecto-rial. Pentru detalii se pot consulta excelentele monografii [44][45]

Geometria fibratului tangent TM. 137

6.2 Geometria fibratului tangent TM.

Sa consideram M o varietate diferentiabila, reala, n−dimensionala, (U,ϕ) oharta locala ın punctul x = (xi) , i = 1, n.

Un vector tangent Xx la varietate se descompune dupa baza naturalaXx = yi ∂

∂xi. Daca (x′1, x′2, . . . , x′n) sunt coordonatele lui x ın alta harta

locala, x′i = x′i(x), atunci baza naturala a lui TxM se schimba cu matriceaJacobi a transformari, adica

∂

∂xi=∂x′j

∂xi∂

∂x′j.

Reuniunea spatiilor tangente TM = ∪xTxM determina o structura de fibratvectorial π : TM →M, numit fibratul tangent la varietatea M.

Orice fibrat vectorial poate fi dotat cu o structura de varietate diferentiabila2n−dimensionala, un punct de pe varietatea TM fiind caracterizat ıntr-ohata locala de coordonatele sale u = (xi, yi) , unde (yi)sunt componenteleunui vector din spatiul tangent TxM.

Geometria pe care dorim sa o dezvoltam este geometria varietatii TM.Schimbarile de harti locale pe M vor determina urmatoarele schimbari decoordonate pe TM :

x′i = x′i(x)

y′i =∂x′i

∂xjyj; i = 1, n; rang

(∂x′i

∂xj

)= n.

(6.5)

Vectorii tangenti ın u = (x, y) din spatiul tangent Tu(TM) se vor des-

compune dupa baza naturala∂xi, ∂∂yi

, iar schimbarile acesteia se fac cu

matricea Jacobi a transformarii (6.5), adica:

∂

∂xi=

∂x′k

∂xi∂

∂x′k+

∂2x′k

∂xi∂xjyj

∂

∂y′k(6.6)

∂

∂yi=

∂x′k

∂xi∂

∂y′k

Asa cum observam din (6.6), aceste schimbari au un caracter neliniar, vec-torii ∂

∂xischimbandu-se cu derivatele de ordinul al doilea, fapt ce ıngreuneaza

considerabil calculele. Solutii pentru rezolvarea acestei dificultati sunt de maimulta vreme, dar abia ın ultimi 30 de ani a aparut clara ideia de conexiune

138 Capitolul 6

neliniara, care ınlocuieste vectorii ∂∂xi

cu altii ce se schimba simplu ca si ∂∂yi,

obtinandu-se o asa numita baza adaptata conexiuni neliniare pe TM.Pe scurt, aceasta ideie consta ın urmatoarele. Fie V (TM) = Ker π∗

fibratul vertical, adica fibratul ce reuneste distributiile verticale Vu(TM) ge-

nerate local de

∂∂yi

i=1,n

.

O conexiune neliniara este determinata de un subfibrat suplementar luiV (TM) ın T (TM), numit subfibrat orizontal, si deci

T (TM) = H(TM)⊕ V (TM).

In fiecare subspatiu Hu(TM) al distributiei orizontale, sa consideram o bazanotata

δδxi

i=1,n

care, evident, se va descompune dupa ∂/∂xi si ∂/∂yi, adica:

δ

δxi=

∂

∂xi−N j

i

∂

∂yj, i = 1, n (6.7)

unde N ji (x, y) sunt functii, numite coeficientii conexiunii neliniare.

In continuare sa cerem ca aceasta baza δ/δxi, pe care o vom numi adap-tata conexiuni neliniare, sa verifice urmatoarea regula de transformare:

δ

δxi=∂x′j

∂xiδ

δx′j(6.8)

Aceasta impune ca functiile N ij sa verifice urmatoarele reguli de schimbare

ce rezulta usor tinand cont de (6.6):

∂x′j

∂xiN ′kj =

∂x′k

∂xjN ji −

∂2x′k

∂xi∂xjyj (6.9)

In baza adaptata

δδxi, ∂∂xi

din Tu(TM) lucrurile se simplifica considera-

bil, semanand cu cele binecunoscute din spatiul TxM.Desigur, problema principala ramane gasirea unei conexiuni neliniare

(adica de fapt coeficientii sai N ij) care sa fie direct legata de geometria

spatiului respectiv. In unele cazuri particulare (spatiile Finsler, spatiile La-grange) aceasta este posibil. La modul general, daca pe varietatea M estedata o conexiune liniara ∇ cu coeficientii de conexiune Γijk(x), atunci putemverifica usor ca :

N ij(x, y) = Γikj(x)yk (6.10)

satisfac (6.9), si deci determina o conexiune neliniara.


In geometria varietatilor diferentiabile lucram cu niste obiecte mai gene-rale decat vectorii, numite tensori. In cazul varietati TM nu toate obiectelegeometrice vor avea acea regula “liniara” de transformare (1.7). Totusi celece se transforma ca si tensorii de pe varietatea M o sa le numim d−tensori(sau tensori distinsi, ın terminologia lui R.Miron).

Pentru astfel de obiecte geometrice, d−tensorii, este important sa intro-ducem derivarea lor covarianta si rezultatul sa fie tot un d−tensor. Aceastaa condus la notiunea de d−conexiune liniara, ea definindu-se ca fiind o con-exiune liniara de varietatea TM ,

D : χ(TM)× χ(TM)→ χ(TM)

ce pastreaza distributiile determinate de o conexiune neliniara data, adicavDX(hY ) = hDX(vY ) = 0, unde v si h sunt proiectori pe cele doua distributii:verticala si orizontala.

Exista mai multe caracterizari pentru o d−conexiune liniara ([44]).

O d−conexiune liniara va fi cunoscuta local daca se da actiunea sa asuprabazei adaptate:

D δ

δxk

δ

δxj=

1

Lijkδ

δxi, D δ

δxk

∂

∂yj=

2

Lijk∂

∂yi

D ∂

∂yk

δ

δxj=

1

Cijk

δ

δxi, D ∂

∂yk

∂

∂yj=

2

Cijk

∂

∂yi

(6.11)

Daca2

Lijk=∂N i

k

∂yjsi

1

Cijk= 0, conexiunea se spune ca este de tip Berwald.

Conexiunea D determina o derivare orizontala DhXY = DhXY si una

verticala DvXY = DvXY, iar functiile

1

Lijk si2

Lijk sunt coeficienti derivari ori-

zontale iar1

Cijk si

2

Cijk sunt coeficienti derivari verticale.

In continuare, vom mai utiliza abrevierile δk = δδxk

si ∂k = ∂∂yk, notatia

∂k ramanand pentru ∂∂xk

.

Din punctul de vedere al obiectelor ce le reprezinta, putem spune ca1

Lijk si2

Lijk au aceeasi regula de schimbare la tarnsformarile (6.6), nefiind d−tensori,

ın timp ce1

Cijk si

2

Cijk sunt exemple de d−tensori de tip (1,2). Prin urmare se

140 Capitolul 6

ridica ıntrebarea fireasca ın ce conditii aceste perechi de obiecte ar coincide:

1

Lijk=2

Lijk= Lijk,1

Cijk=

2

Cijk= Ci

jk.

Si aici raspunsul poate fi dat ın diverse variante, d−conexiunea liniara numindu-se ın acest caz N−conexiune liniara (sau conexiune normala).

Daca vom considera structurile aproape tangente reciproce una alteia Fsi F ∗, F 2 = F ∗2 = 0, date local (dar global definite) de:

F (δk) = ∂k, F (∂k) = 0, F ∗(δk) = 0, F (∂k) = δk,

atunci D este N−conexiune liniara daca si numai daca DF = DF ∗ = 0,([54]). In continuare este de preferat sa lucram cu N−conexiuni liniarecaracterizate doar de coeficienti

(Lijk, C

ijk

)pentru o conexiune neliniara N i

j

fixata.Derivarea unui d−tensor W ...i...

...j... ın raport cu o N−conesiune liniara de-termina o derivare orizontala si una verticala, notate respectiv cu W ...i...

...j...|k si

W ...i......j...‖k dupa cum urmeaza:

W ...i.......j....|k =

δW ...i.......j....

δxk+∑

LihkW...h.......j.... −

∑LhjkW

...i.......h....

W ...i....k...j....‖k =

∂W ...i.......j....

∂yk+∑

CihkW

...h.......j.... −

∑ChjkW

...i.......h....

Calculul crosetelor bazei adaptate ne conduce la :

[δj, δk] = −Rijk∂i,

[∂j, ∂k

]= 0, (6.12)[

δj, ∂k

]= ∂k(N

ij)∂i, unde Ri

jk = δj(Nik)− δk(N i

j).

Astfel ca torsiunea T a unei d-conexiuni liniare D,

T (X, Y ) = DXY −DYX − [X, Y ]

va avea urmatoarele 5 componente nenule, descompuse dupa X siY orizontalisau verticali:

hT (δk, δj) = T ijkδi, vT (δk, δj) = Rijk∂i (6.13)

hT (∂k, δj) = Cijkδi, vT (∂k, δj) = P i

jk∂i

vT (∂k, ∂j) = Sijk∂i


unde

T ijk =1

Lijk −1

Likj, P ijk = ∂k(N

ij)−

2

Likj, Sijk =2

Cijk −

2

Cikj .

Tensorii distinsi ale caror componente sunt T ijk si Sijk se numesc h(hh)-torsiune, respectiv v(vv)- torsiune.

Cu totul analog se scriu componentele curburii unei d−conexiuni liniare

R(X, Y )Z = DXDYZ −DYDXZ −D[X,Y ]Z,

singurele componente nenule fiind:

R(δk, δj)δl =1

Riljk δi, R(δk, δj)∂l =

2

Riljk ∂i (6.14)

R(∂k, δj)δl =1

P iljk δi, R(∂k, δj)∂l =

2

P iljk ∂i

R(∂k, ∂j)δl =1

Siljk δi, R(∂k, ∂j)∂l =2

Siljk ∂i

unde:

α

Rijkl = δl

α

Lijk −δkα

Lijl +α

Lhjk

α

Lihl −α

Lhjl

α

Lihk +α

Cijh R

hkl;

α

P ijkl = ∂l

α

Lijk −α

Cijl|k +

α

Cijh P

hkl; α = 1, 2

α

Sijkl = ∂lα

Cijk −∂k

α

Lijl +α

Chjk

α

Cihl −

α

Chjl

α

Cihk .

Identitatile lui Ricci si Bianchi se scriu ın baza adaptata separand partileorizontale si verticale.

In cazul particular al N−conexiunilor liniare, curburile vor fi ın numarde trei distincte, torsiunile ramanand tot cinci.

Pentru a ajunge la ceea ce ne intereseaza -ecuatii Einstein, este nevoiede existenta unei structuri metrice pe TM exprimata relativ la o conexiuneneliniara fixata.

Sa consideram G un camp tensorial de tip (0, 2) pe TM, simetric, nede-generat si de signatura constanta, aceasta referindu-se la forma patratica

G(u) : Tu(TM)× Tu(TM)→ R.

Perechea (TM,G) se va numi structura metrica pe TM.

142 Capitolul 6

In raport cu baza naturala

∂∂xi, ∂∂yi

, G va admite matricea 2n−dimensionala

simetrica si inversabila:

G =

(Gij Gij

Gij Hij

)unde

Gij = G

(∂

∂xi,∂

∂xj

);

Gij = G

(∂

∂xi∂

∂yj

);

Hij = G

(∂

∂yi,∂

∂yj

).

Asa cum se arata ın [44], daca (Hij) este matrice inversabila cu invesa(H ij), atunci exista o conexiune neliniara N j

i pentru care

G(hX, V Y ) = 0,∀X, Y ∈ χ(TM),

De coeficienti:N ji = GikH

jk (6.15)

Structura metrica se descompune atunci:

G(X, Y ) = hG(hX, hY ) + vG(vX; vY )

adica local, ın raport cu baza duala bazei adaptateδk, ∂k

, notata

dxk, δyk = dyk +Nkj dx

j,

metrica G se scrie:

G = gij(x, y)dxi ⊗ dxj + hij(x, y)δyi ⊗ δyj (6.16)

Componentele orizontale, respectiv verticale gij si hij sunt d−tensori siın general nu sunt egale.

Reciproc, fixand o conexiune neliniara N ij si doi d−tensori de tip (0, 2), si-

metrici si nedegenerati gij(x, y) si hij(x, y) pe TM atunci (6.16) ne furnizeazao structura metrica pe TM ın raport cu care distributiile sunt ortononale.

O d−conexiune liniara D se numeste d-conexiune liniara metrica daca

(DXG)(Y, Z) = XG(Y, Z)−G(DXY, Z)−G(Y,DXZ) = 0,


adica, ın coordonate, gij|k = hij|k = gij‖k = hij‖k = 0Sa facem urmatoarele notatii:

c

Lijk =1

2gimδgmkδxj

+δgjmδxk

− δgjkδxm

, (6.17)

c

Cijk =

1

2him

∂hmk∂yj

+∂hjm∂yk

− ∂hjk∂ym

.

Conform cu [44], daca0

D= (01

Lijk,02

Lijk,01

Cijk,

02

Cijk) este o d−conexiune liniara

fixata si0

|,0

‖ derivarile orizontale, respectiv verticale ın raport cu0

D, atunci:

1

Lijk =c

Lijk;2

Lijk=02

Lijk +1

2hilh

jl0

|k(6.18)

2

Cijk =

c

Cijk;

1

Cijk=

01

Cijk +

1

2gilg

jl0

‖k

este o d−conexiune metrica ın raport cu G, ce satisface relatiile:

hT (hX, hY ) = vT (vX, vY ) = 0.

Desigur0

D poate fi chiar si o conexiune de tip Berwald, particularizareaconstand ın faptul ca ın (6.18) avem

02

Lijk=∂N i

k

∂yj, si

01

Cijk= 0.

In [44] sunt precizate si alte tehnici de a obtine d−conexiuni liniare me-trice, eventual pentru care torsiunile sa aiba o forma prescrisa, lucru impor-tant ın teoria relativitatii.

Cazuri particulare de structuri metrice pot fi urmatoarele:

1) h−riemanniana, pentru care gij(x, y) = gij(x);

2) v−riemanniana, pentru care hij(x, y) = hij(x);

3) (h, v)−riemanniana;

4) v−local Minkowski, pentru care hij(x, y) = hij(y).

144 Capitolul 5

Pentru cazurile 1), 2), 3), se poate obtine o conexiune neliniara functie numaide metrica, folosind (6.10), unde Γijk(x) sunt simboli lui Christoffel ai metricii

h−, v−riemanniene. In cazul local Minkowski, se pot alege harti locale ın careN ij = 0 si deci baza adaptata δk coincide cu cea naturala ∂/∂xk.

Un alt aspect important ar fi caracterizarea acelor structuri metrice peTM pentru care gij = hij. Un raspuns este urmatorul([54]): Structura me-trica G data de (6.16) are gij = hij daca si numai daca (TM,G, F ) este ostructura metrica apoape tangenta, adica

G(vX, hY ) = 0, G(FX,FY ) = G(hX, hY ),

unde F este structura tangenta naturala definita ın baza adaptata ca maisus.

Am vazut ca putem caracteriza N -conexiunile liniare cu ajutorul lui F

si F ∗. Fie0

∇ conexiunea Levi-Civita a metricii G pe TM, N ij o conexiune

neliniara ın raport cu care distributiile sunt ortogonale si

G = gij(x, y)dxi ⊗ dxj + gij(x, y)δyi ⊗ δyj

exprimarea locala a structuri metrice (numita liftul Sasaki al lui gij). Atuncio N−conexiune liniara metrica ın raport cu G este:

c

DX Y =0

∇X Y + v(0

∇ v)Y + F ∗(0

∇X F )Y

ce are drept coeficienti de conexiune tocmai pe (c

Lijk,c

Cijk).

6.3 Ecuatii Einstein pe TM.

Sa consideram TM dotat cu o structura metrica G si o conexiune neliniaraN ij ın raport cu care distributiile sunt ortogonale, G scriindu-se ca ın (6.16).

Fixam o d−conexiune liniara D ın raport cu G, eventual una cu h(h, h)−si v(v, v)−torsiuni prescrise.

In raport cu D putem efectua derivarile orizontale si verticale, sa scriemtensorii de curbura, tensorii lui Ricci, scalrul lui Ricci, toate ın reperele

adaptate conexiuni neliniare Xα =

δδxi, ∂∂yi

, α = 1, 2n. Pentru a face

distinctie asupra lui Xα vom nota cu Xi daca este δδxi

i = 1, n si cu Xa dacaeste ∂

∂ya, a = 1, n.

Ecuatii Einstein pe TM. 145

Din (6.12) deducem cu usurinta componentele wγαβ ale crosetului

[Xα, Xβ] = wγαβXγ

a doua campuri adaptate, iar din (6.13) componentele T γαβ ale torsiuni

T (Xβ, Xα) = T γαβXγ.

Analog (6.14) ne da componentele Rδαβγ ale curburii

R(Xγ, Xβ)Zα = RδαβγXδ.

Tensorul lui Ricci ın reperele adaptate Xα are componentele:

Sij = Rkikj = Rij; Sia =

1

P kika=

1

Pia (6.19)

Saj =2

−P bajb; Sab =

2

Scacb=2

Sab

Calculul scalarului de curbura ρ = GαβSαβ ne da ρ = ρ1+ρ2, unde ρ1 = gijRij

si ρ2 = habSab.Cu aceasta pregatire putem scrie formal ecuatiile lui Einstein pe TM

pentru d−conexiunea liniara D :

Sαβ −1

2ρGαβ = χTαβ (6.20)

unde Tαβ sunt componentele tensorului energie-impuls.

In reperele adaptate, ecuatiile (6.20)se traduc prin ecuatiile:

Rij −1

2ρgij = χTij

Sab −1

2ρhab = χTab

1

Pia= χTia

21

Pai= −χTai.

(6.21)

Cateva observatii se cuvin facute asupra acestui sistem de ecuatii Einsteinpe TM.

146 Capitolul 5

1. Deoarece d−conexiunea liniara D nu este fara torsiuni, cu toate ca estemetrica (deci nu este conesiunea riemanniana), tensorul lui Einstein

Eαβ = Sαβ −1

2ρGαβ

nu are neaparat divergenta nula ,asa cum se ıntampla pentru conexiu-nea riemanniana. Pentru ca legea conservarii energiei

DXαEαβ = 0

sa fie verificata va trebui sa impunem:

DXα

(Sαβ −

1

2ρδβα

)= 0 (6.22)

conditie ce se traduce ın reperele adaptate prin:(Rij −

1

2ρδij

)|i−

2

P aj‖a = 0(

Sab −1

2ρδab

)‖a

+1

P ib|i = 0

(6.23)

unde Rij = giaRkj , S

ab = hacScb ,

1

P ib= gij

1

Pjb ,2

P aj = hab

2

Pbj .

Tot legea conservarii cnergiei presupune ca divergenta tensorului energie-impuls sa se anuleze, DXαT

αβ = 0, din care rezulta ca:

Tij|i + Ta

j‖a = 0 ; Tia|i + Ta

b‖a = 0 (6.24)

2. Sistemul (1) contine (2n)2 ecuatii cu simetriile respective, iar necunos-cute sunt : N i

j , gij, hij si, eventual, torsiunile T ijk, Sabc care pot fi nule

daca se considera D data de (6.18). Deci necunoscute sunt ın numarde

n2 + n(n+ 1) + n2(n− 1),

deci mai mare decat cel al ecuatiilor, fapt ce da un grad mai mare delibertate ın alegerea solutiilorecuatiilor Einstein.

Spatii Finsler. Spatii Lagrange. 147

3. Se pot considera modele relativiste pe TM ın care metrica G sa aiba as-pecte particulare, spre exemplu cel propus de R.Miron ([44] )- modelulRiemann-local Minkowski ın care se considera gij(x) si hij(y). EcuatiileEinstein se reduc doar la primele doua seturi de ecuatii din (6.21), ıncare Rij = rij este tocmai tensorul lui Ricci al conexiuni riemannienea metricii gij(x) pe varietatea M. Se scriu cu usurinta ın acest cazconditiile (1) si (6.24) ale legii conservarii energiei.

Ca si ın cazul clasic al varietati spatio-temporale, se pune problema rezolvarisistemului de ecuatii (6.21). Se cunosc pentru moment putine realizari ınacest sens . Aceste idei pornesc de la faptul ca metrica G provine din geome-tria unui anumit spatiu, spre exemplu spatiu Finsler, Lagrange sau Lagrangegeneralizat. Acest lucru ıl prezentam pe scurt ın paragraful urmator.

6.4 Spatii Finsler. Spatii Lagrange.

Sa consideram π : TM →M fibratul tangent al unei varietati reale, n−dimensionale,C∞ diferentiabile. Fie u = (x, y) un punct din TM.

Se numeste spatiu Finsler perechea (M,F ), unde F : TM → R este ofunctie cu urmatoarele proprietati:

1. F (x, y) > 0,∀y 6= 0

2. F este C∞ diferentiabil[ pentru y 6= 0

3. F (x, λy) =| λ | F (x, y), ∀λ ∈ R

4. Forma patratica (numita tensor fundamental al spatiului Finsler)

gij(x, y) =1

2

∂2F 2

∂yi∂yj

este nedegenerata si pozitiv definita.

Functia fundamentala F (x, y) a unui spatiu Finsler ne permite sa calculamlungimea pe un arc de curba c : t ∈ [0, 1]→ x(t) ∈M

s =

1∫0

F (x(t),dx(t)

dt))dt.

Exemple particulare de spatii Finsler sunt:

148 Capitolul 5

a) Spatiile Riemann, (M, gij(x)), unde

F (x, y) =√gij(x)yiyj.

b) Spatiile Randers, ın care (M,aij(x)) este un spatiu Riemann si bi(x) esteun camp de 1-forme pe M. Atunci

F (x, y) =√aij(x)yiyj + bi(x)yi.

c) Spatiile Kropina, ın care:

F (x, y) = aij(x)yiyj/bkyk

d) Spatiile cu (α, β) metrici, ın care L(x, y) sunt functii omogene de

α(x, y) =√aij(x)yiyj si β(x, y) = bi(x)yi.

Geometria spatiilor Finsler cunoaste o larga bibliografie, pentru detalii vezi[44],[25]..

Considerand tensorul metric pe TM de componente gij(x, y) = 12∂2F 2

∂yi∂yj,

conditia 3) de pozitiva omogeneitate a lui F determina o conexiune neliniaradirect legata de metrica gij, numita conexiunea neliniara Cartan, ai careicoeficienti sunt:

c

N ij=

1

2

∂γi00

∂yj(6.25)

unde am notat γi00 = γijkyjyk si

γijk =1

2gih∂ghk∂xj

+∂gjh∂xk

− ∂gjk∂xh

.

Mai mult, fixandc

N ij exista o singuraN−conexiune liniara metrica , gij|k =

gij‖k = 0, numita conexiunea Miron canonica,c

D= (c

N ij ,

c

Lijk,c

Cijk) cu hT (h, h)

si vT (v, v) torsiuni nule:

c

Lijk =1

2gihδghkδxj

+δgjhδxk− δgjkδxh

(6.26)

c

Cijk =

1

2gih∂ghk∂yj

+∂gjh∂yk− ∂gjk∂yh

Spatii Finsler. Spatii Lagrange. 149

Cu ajutorul acestei conexiuni canonice se pot construi alte N−conexiuniliniare interesante. Nu dorim sa facem aici o teorie a acestor spatii.

Se numeste spatiu Lagrange perechea (M,L) unde L : TM → R esteo functie C∞ diferentiabila cu proprietatea ca d−campul tensorial gij =12∂2L∂yi∂yj

este nedegenerat.

Observam ca orice spatiu Finsler este spatiu Lagrange cu L = F 2.Renuntand la conditia de pozitiva omogeneitate a functiei din cazul Fin-

sler, desigur ca geometria spatiului devine ceva mai dificila. Totusi si ın acestcaz un rezultat remarcabil determina o conexiune neliniara pe TM functienumai de L ([38],[44]):

Daca (M,L) este un spatiu Lagrange atunci

c

N ij=

∂Gi

∂yj, unde Gi =

1

4gih

∂2L

∂yh∂xkyk − ∂L

∂xh

(6.27)

sunt coeficienti unei conexiuni neliniare pe TM.

O N−conexiune liniara metrica va fi data de (6.26),c

D= (c

N ij ,

c

Lijk,c

Cijk).

Cu ajutorul ei se pot construi alte conexiuni metrice cu torsiuni prescrise.R.Miron introduce notiunea de spatiu Lagrange generalizat, (M, gij(x, y)),

ın care gij(x, y) este un d−tensor simetric si nedegenerat pe TM ce nu pro-vine neaparat dintr-un Lagrangian. Aici problema este mult mai compli-cata, determinarea unei conexiuni neliniare functie numai de gij nu mai esteıntodeauna posibila. Putem preciza cateva cazuri ın care este posibila:

• merica gij(x, y) este slab regulata, pentru care perechea (M, E) estespatiu Lagrange, unde E = gij(x, y)yiyj este energia spatiului.

• metrica gij depinde local doar de y, gij(y), numite spatii local Minkow-ski.

In continuare, problema noastra este sa facem legatura cu ecuatiile Einstein.Sa consideram N i

j(x, y) o conexiune neliniara legata numai de metrica

spatiului Lagrange (sau Finsler) siδk, ∂k

baza sa adaptata,

dxk, δyk

baza duala. Fie F si F ∗ structurile tangente, F 2 = F ∗2 = 0, asociate si,eventual, structura complexa

J(δk) = −∂k ; J(∂k) = δk.

150 Capitolul 5

Am vazut ca darea unui d−camp tensorial gij(x, y) pe TM determinastructura metrica aproape tangenta (6.16):

G = gij(x, y)dxi ⊗ dxj + gij(x, y)δyi ⊗ δyj (6.28)

numita N− liftul Sasaki al metricii gij. Mai mult, (TM,G, J) este o vari-etate aproape hermitiana, numita modelul aproape hermitian al spatiuluiLagrange, geometria spatiului depinzand numai de functia lui Lagrange.

Pentru metrica G si conexiunea canonicac

D (sau alta cu torsiuni prescriseobtinuta din ea) putem scrie ecuatiile Einstein ca ın paragraful precedent.

6.5 Teoria gravitationala si campul elecromag-

netic pe TM.

Am vazut ca teoria relativitatii da solutie invariantei ecuatiilor lui Maxwella transformarile Lorentz. In cazul gravitational aceasta se realizeaza po-trivit principiului de covarianta, derivata partiala fiind ınlocuita de derivatacovarianta (§2.3,Cap.)

Vom ıncerca sa prezentam extensia pe TM a teoriei campului electro-magnetic pentru cazul spatiilor Lagrange.

Sa consideramc

D= (c

N ij ,

c

Lijk,c

Cijk),

c

N −conexiunea metrica canonica aspatiului Lagrange (M,L).

Introducem urmatori d−tensori, numiti h− si respectiv v−tensori de de-flexie: Di

k = yi|k =c

Lijk yj−

c

N ik;

Dij = gikDkj ;

(6.29)

dik = yi‖k = δik+c

Cijk y

j;

dij = gikdkj .

Formula (2.28) dadea legatura ıntre potentialul electomagnetic Ai si ten-sorul electromagnetic Fij. Aici vom defini direct h− si v− tensori electro-magnetici ai spatiului Lagrange ([45])ca fiind:

Fij =1

2(Dij −Dji) ; fij =

1

2(dij − dji) (6.30)

Teoria gravitationala si campul elecromagnetic pe TM. 151

In raport cu conexiunea canonicac

D , din simetria lui dij se verifica faptulca dij = 0 si ca forma primelor ecuatiilor Maxwell este:

Fij|k + Fjk|i + Fki|j = −∑

(i,j,k)

RhjkCioh

Fij‖k + Fjk‖i + Fki‖j = 0

unde Cioh = 14

∂3F∂yi∂yj∂yh

yj

La randul lor, tot din principiul de covarianta , tensori electromagneticidetermina urmatoari h− si v− curenti:

hJ i = F ij|j ; vJ i = F ij

‖j (6.31)

ce satisfac alte doua ecuatii Maxwell:

hJ i|i =1

2[F ij(Rij −Rji) + F ij

‖hRhij] (6.32)

vJ i‖i = 0

In particular, daca distributia orizontala este integrabila, Rij = 0, atuncisi hJ i|i = 0.

crisa si ın termanii mecanicii Lagrangiene. Generalizarea propusa deR.Miron pentru Lagrangianului electrodinamicii este:

L(x, y) = mcγij(x)yiyj +2e

mAi(x)yi (6.33)

unde γij(x) este metrica spatio-temporala si Ai(x) un covector ce exprimapotentialul electromagnetic.

Spatiul (M,L) este Lagrange cu gij(x, y) = mcγij(x), din care rezulta ca

gij =1

mcγij

si din (6.27) se obtine conexiunea neliniara caconica cu

Gi =1

2γi00 +

e

2m2cγij(∂Aj∂xk− ∂Ak∂xj

)yk.

In acest caz, tensorul electromagnetic Fij are componentele:

152 Capitolul 5

Fij =∂Ai∂xj− ∂Aj∂xi

, F ij = gikFkj. (6.34)

Curbele autoparalele ale conexiuni canonice sunt solutii ale ecuatiilor luiLorentz.

Coeficienti conexiuni canonice suntc

Lijk= γijk (simboli lui Christofell) sic

Cijk= 0, fapt ce determina ca ecuatiile lui Einstein sa se reduca la cele cla-

sice ale metricii γijk(x) spatio-temporale. Tensorul electomagnetic Fij dat de(6.34) coincide (pana la un factor de proportionalitate e

2m) cu h− tensoru-

lelectromagnetic (6.30), deci ecuatiile Maxwell (6.31),(6.32) coincid cu celeclasice ale metricii γijk(x).

6.6 Modele relativiste ın spatii Lagrange si

Finsler.

Am ıntalnit deja cateva modele relativiste:

• un spatiu Lagrange utilizat ın electromagnetism;

• un spatiu metric dotat cu metrica Brandt, ce determina o structuraFinsleriana a universului spatio-temporal.

In continuare, vom trece ın revista ınca cateva modele relativiste destul deinteresante.

6.6.1 Metrica Beil.

Aceasta metrica este legata tot de teoria electrodinamicii.In spatiul Minkowski sa consideram o particula a carei pozitie ın functie

de timpul propriu τ este data de coordonatele xi(τ), i = 0, 1, 2, 3. Avemc2dτ 2 = ηijdx

idxj.

In prezenta doar a unui camp electomagnetic de potential Ai(x) ecuatiilede miscare sunt date de legea lui Lorentz:

wi =e

mcηijFjku

k (6.35)

unde ui = dxi/dτ este viteza, wi = d2xi/dτ 2 este acceleratia si Fij estetensorul electromagnetic(6.34).

Modele relativiste ın spatii Lagrange si Finsler. 153

Aceste ecuatii de miscare nu coincid cu geodezicele spatiului Minkowski.Problema propusa de R.Beil([14][15]) este sa modificam metrica spatiului

R4, notand-o cu gij, astfel ca (6.35) sa determine o geodezica ın (R4, gij) .Vom pastra aceleasi coordonate ale spatiului Minkowski.

Daca notam cu τ timpul propriu ın noul spatiu (o noua scala a timpului),atunci c2dτ 2 = gijdx

idxj. Viteza si acceleratia ın noul spatiu vor fi:

ui =dxi

dτ= bui ; wi =

dui

dτ= wib2 + ui

db

dτ

unde b = dτdτ.

Beil cauta aceasta noua metrica sub forma:

gij = ηij + kBiBj (6.36)

ın care Bi este un potential electric ce trebuie legat de Ai si k = const.Pentru ınceput sa observam ca poate exista inversa lui gij si anume:

gij = ηij − k(1 + kB2)−1BiBj,

unde Bi = ηijBj si B = BiBi.

Inlocuind (6.36) ın expresia metricii relativiste obtinem

c2dτ 2 = gijdxidxj = giju

iujdτ 2 = [c2 + k(Biui)2]dτ 2

de unde rezulta ca:b = [1 + kc2(Biu

i)2]−12 (6.37)

Scriind acum geodezicele metricii (6.36) si comparand cu ecuatia lui Lo-rentz (6.35), prin calcul direct se arata ca potentialul Bi trebuie sa fie deforma: Bi = Ai +

∂Λ∂xi

si ca trebuie sa ındeplineasca conditia k(Biui) = − e

mc.

Sa notam ca b din (6.37) depinde punct si de viteza si deci, Bi va depindesi ei de punct si de viteza. In concluzie metrica gij va depinde x si de viteza u.Pentru a fi ın notatiile din paragrafele precedente vom nota ui = yi. Suntemcondusi la a considera metrica

gij(x, y) = ηij + kBi(x, y)Bi(x, y).

Aceasta este o metrica Lagrange generalizata. Problema care o ridica Beileste de a gasi conditii ın care ea sa se reduca la una Finsler. Pentru aceasta

154 Capitolul 5

este necesar ca ea sa fie 0−omogena ın λ, adica Bi(x, λy) = Bi(x, y). Fo-losind Th. Euler pentru functii omogene aceasta conditie se traduce prin(∂Bi′∂yj)yj = 0.

In aceasta situatie functia Finsler este:

F (x, y) =[(ηij + kBiBj)y

iyj] 1

2 (6.38)

In particular daca Bi este functie numai de x se obtine cazul riemannian.In(??) sunt analizate si alte cateva cazuri ce satisfac conditia de omogeneitatesi prezinta interes pentru electrodinamica, cum ar fi:

Bi = (ujuj)−

12ui sau Bi = (sj(x)uj)−1ui,

etc. Aceste modele fiind spatii Finsler, de acum geometria acestora urmeazacalea cunoscuta: determinarea conexiuni neliniare Cartan, N−conexiuni li-niare, curburi, ecuatii Einstein.

Aceasta metrica Beil are implicatii ın teorii de unificare a capurilor fizice,fiind comparabila cu metrica Kaluza-Klein:

ds2 = (ηij + β2AiAj)dxidxj − 2iβAkdx

kdx5 − (dx5)2

6.6.2 Metrica Miron-Tavakol.

Incercand sa raspunda ipotezelor axiomatice ale teoriei relativitatii generaleformulate de Ehlers, Pirani si Schild (EPS) ([28]), Tavakol si Van der Berg([80]) propune un model Finslerian bazat pe o metrica conforma cu cea aunui spatiu Finsler.

Aceasta metrica a fost generalizata de R.Miron si R.Tavakol sub forma:

gij(x, y) = e2σ(x,y)γij(x, y) (6.39)

unde γij(x, y) este metrica unui spatiu Finsler, iar σ(x, y) este o functiediferentiabila pe TM.

Metrica (6.39) defineste un spatiu Lagrange generalizat si nu ıntodeaunaeste posibil de obtinut o conexiune neliniara depinzand numai de ea. Catevasubcazuri le vom analiza aici ın continuare.

I. Presupunem ca γij(x) este metrica universului spatio-temporal si deci :

gij(x, y) = e2σ(x,y)γij(x) (6.40)


A doua ipoteza se refera la conexiunea neliniara pe care o presupunemdeterminata numai de metrica rimanniana γij(x), adica

N ji (x, y) = γijk(x)yiyj,

unde γijk sunt simboli lui Chrisoffel ai metricii γij.

In ([45],[48]) se arata ca aceste doua presupuneri sunt echivalente cuconditiile relativiste EPS.

Pentru aceasta alegere a bazei adaptate, conexiunea metrica canonica(6.26) are coeficientii:

c

Lijk = γijk + Λijk; Λi

jk = δijσk + δikσj − gjkσic

Cijk = δijσk + Θi

jk; Θijk = δijσk + δikσj − gjkσi

(6.41)

unde am notat

σk = σ|k, σkgkjσj, σk = ∂σ′∂yk, σk = gkjσj.

Calcule directe ([45]) ne dau tensorii de torsiune, de curbura, tensoriilui Ricci. Se scriu tensorii electromagnetici si ecuatiile Maxwell. Primaecuatie Einstein se reduce la cea a metricii riemanniene γij(x), iar cele-

lalte trei grupe se scriu dupa formulele (6.21). In cazul particular candσk = 0 atunci ecuatiile Einstein se reduc doar la cele ale metricii γij.

Subcazuri ale metricii (6.40) sunt:

I.1 Metrica coform riemanniana gij = e2σ(x)γij(x),.

Avem σk = 0 si de aicic

Cijk= 0. Ecuatiile Einstein si ecuatiile

Maxwell se reduc la cele clasice ale metricii γij. Asupra acestui cazvom mai reveni.

I.2 Metrica gij = e2Ak(x)ykγij(x), undeAk(x) poate fi privit ca un potentialelectromagnetic.

In acest caz, Λijk = 0 si Θi

jk = δijAk + δikAj − γjkγihAh.

I.3 Metrica gij = e2γkh(x)ykyhγij(x). Se verifica imediat ca σk = 0 siσk = γiky

i, iar Λijk = 0 si

c

Cijk= (δijγkh + δikγjh − δihγjk)yh.

156 Capitolul 5

Ecuatiile Einstein au1

Pia=2

Pai= 0 si deci1

Tia=2

Tai= 0, iar ecuatiileMaxwell sunt caracterizate de Fij = 0, fij = 0.

II. O alta clasa mare este cea a metricilor conforme cu o metrica localMinkowski γij(y):

gij = e2σ(x,y)γij(y) (6.42)

Pentru γij(y) putem alege harti locale ın care coeficienti conexiunii ne-

liniare sunt nuli,0

N ij= 0, si deci derivarea orizontala coincide cu cea

partiala ∂/∂xk.

Spatiul (M, gij) ın general nu este reductibil la unul Lagrange (spreexemplu, ın cazul σk 6= 0.)

Pentru alegerea0

N ij= 0, conexiunea canonica se scrie

c

Lijk= Λijk,

c

Cijk= γihCjhk + Θi

jk

Apoi se scriu ecuatiile Einstein si Maxwell dupa formulele cunoscute.

Un caz particular, ce ofera modele utile ın ecologie, este metrica Anto-nelli :

gij = e2σ(x)γij(y) (6.43)

unde σ(x) = αixi , αi ∈ R+ ,iar γij(y) este metrica spatiului Finsler

(M,0

F ), unde0

F (y) = ((y1)m + ...+ (yn)m)1m .

6.6.3 Modele ın optica relativista.

Sa consideram spatiul Lagrange generalizat (M, gij(x, y)) ın care tensorulmetric este:

gij(x, y) = γij(x) + (1− 1

n2(x, y))yiyj (6.44)

cu γij(x) metrica spatio-temporala si yi = γij(x)yj, iar n(x, y) o functie realanumita indice de refractie.

Metrica(6.44) este o generalizare a metricii Synge([?]) din optica relati-vista.


O tratare profunda a acestui spatiu este facuta de R.Miron si T.Kawaguchi([47],[45]).

Intai sa observam ca gij este nedegenerata, cu inversa

gij = γij(x)− 1

a(x, y)

(1− 1

n2(x, y)

)yiyj,

unde am notat a(x, y) = 1 + (1− n2) ‖ y ‖2, cu ‖ y ‖2= γijyiyj.

TripletulM = (M,V i(x), n(x, V (x)), ın care V i(x) este viteza particulei,se numeste mediu dispersiv.

Restrictionand la sectiunile SV : M → TM, xi = xi; yi = V i(x), seobtine o teorie geometrica a mediului dispersiv. Metrica (6.44) cu yi = V i(x)a fost introdusa de J.L.Synge.

Daca ∂n(x, y)/∂yi = 0, atunci mediul se numeste mediu nedispersiv.O alta remarca se refera la cazul cand n este functie numai de x, caz ın

care vom utiliza notatia

σ(x) =α

2

(1− 1

n2(x)

).

Atunci metrica riemanniana Miron-Tavakol cazul I.1), cu σ(x) notatia deacum, dezvoltata ın serie Taylor ne da:

e2σ(x) = 1 + 2σ(x) + .... = 1 + α

(1− 1

n2(x)9 + . . .

Aproximam aceasta cantitate si obtinem metrica

gij(x) =

[1 + α

(1− 1

n2(x)

)]γij(x),

adica o estimare post-newtoniana comparabila cu cea a unui mediu nedis-persiv. Acest lucru ne conduce la ideia de a lua ın calcul o metrica de formagij(x, y) = γij(x)+α(1− 1

n2(x,y))yiyj, unde α este o constanta pozitiva, metrica

de tip Miron-Tavakol.Consideram c : [0, 1]→M o curba (linie de univers pe varietatea spatio-

temporala) si definim lungimea sa ca fiind

l(c) =

∫ 1

0

√gij(x, y)dt.

158 Capitolul 5

Curba devine geodezica a metricii gij daca este solutie a ecuatiei E-L , La-grangianul miscarii fiind cel clasic

L(x, y) = −m0c√gij(x, y)yiyj = −m0c

‖ y ‖2 [1− α

(1− 1

n2

)‖ y ‖2]

12

cu y = x.O estimare post-newtoniana se obtine dezvoltand indicele de refractie sub

forma

n2 = 1 + εU + δv2

c2+ µU

v2

c2+ νU2 + σ

v4

c2,

unde U este potentialul gravitational si ε, δ, µ, ν, σ sunt parametri. Inlocuindn ın Lagrangianul de mai sus, se pot determina conditii asupra parametrilorfacand aproximare cu cazul newtonian ([45]) .

Sa ne oprim putin asupra geometriei mediului dispersiv.Spatiul Lagrange generalizat (M, gij) cu gij data de (6.44) nu este re-

ductibil la unul Lagrange, deci conexiunea neliniara va trebui postulata:0

N ij= γijky

k, unde γijk(x) sunt simboli lui Christoffel ai metriciiγij. Alegereaacestei conexiuni neliniare este convenabila din cel putin urmatoarele motive:

1. Satisface conditia EPS ın urmatorul sens: curbele autoparalele ale con-exiunii neliniare sunt geodezicele conexiunii γijk

2. Extremalele actiuni energiei E = gij(x, y)yiyj cu proprietatea ca

gijdxi

dt

dxj

dt= 0

coincid cu geodezicele conexiuni γijk

3. Energia E si indicele de refractie n(x, y) sunt constante pe autoparale-lele conexiunii neliniare.

Pentru simplitatea scrierii, ın continuare vom face notatia u(x, y) = 1n(x,y)

In raport cu baza adaptata acestei conexiuni neliniare, conexiunea cano-nica (6.26) capata forma:

c

Lijk= γijk + Λijk,

c

Cijk=

0

Cijk +Θi

jk (6.45)

Deviatii ale geodezicelor ın spatiul Finsler al universului spatio-temporal.159

cu Λijk = gihΛjhk si Θi

jk = gihΘjhk, unde:

0

Cijk =(1− u2

)γikyj

Λijk = −u(yiyj

δu

δxk+ yjyk

δu

δxi− ykyi

δu

δxj

)Θijk = −u

(yiyj

∂u

∂yk+ yjyk

∂u

∂yi− ykyi

∂u

∂yj

)Acum se pot scrie torsiunile, curburile, tensori lui Ricci si electromagne-

tici.Ecuatiile Einstein si Maxwell se traduc corespunzator dupa formulele cu-

noscute. Simplificari ale acestora se obtin pentru cazul mediului nedispersivcand n = 0, obtinandu-se h− si v− ecuatii Einstein clasice.

6.7 Deviatii ale geodezicelor ın spatiul Fin-

sler al universului spatio-temporal.

In cele ce urmeza, vom considera un spatiu - timp Finslererian cvadridimen-sional (M,F ), cu tensorul fundamental gij. Miscarea unei particule libere ınacest spatiu descrie o traiectorie data de principiul variational:

δ

∫ds = 0, (6.46)

unde elementul de suprafata este: ds = gij(x, y)dxdy.Variatia (6.46) produce ecuatiile geodezicelor ın M,

x′′i + γihk(x, y)x′hx′k = 0, (6.47)

unde am notat viteza si, respectiv, acceleratia particulei prin:

x′j =dxj

dssi x′′j =

dx′j

ds,

iar simbolii Christoffel prin:

γihk =1

2gis(∂ghk∂xj

+∂ghj∂xk

− ∂gijxh

). (6.48)

160 Capitolul 5

Nota. Dintr-un punct de vedere mai general (contextul fibrat), geometriaunui spatiu Finsler este determinata de obiecte geometrice ale spatiului tan-gent TM , iar o particula ın acest spatiu (xi(t), yi(t)), poate descrie, dupacaz, traiectorii speciale, cum ar fi cele geodezice, de h- sau de v- drumuri.

In acest context fibrat, folosind notatiile pentru baza adaptata asociataunei conexiuni neliniare N i

j(x, y) pe TM , introducand elementul de arie ge-neralizat:

dσ2 = gij(x, y)dxidxj + gij(x, y)δyiδyj, (6.49)

se obtin geodezicele spatiului TM , date de principiul variational (6.46) cuecuatiile asociate:

d2xi

dσ2+ F i

jk(x, x′)dxj

dσ

dxk

dσ+ Ci

jk(x, x′)dxj

dσ

d2xk

dσ2= 0, (6.50)

Deviatiile unor asemenea curbe sunt studiate ın [2], si, ıntr-un cadru mailarg, ın [8].

In spatiul Finsler (M,F ), deviatile geodezicelor sunt intim legate de ”celde-al treilea tensor de curbura”, tensorul Ki

jhkdat de:

Kijhk

(x, y) =(∂[kF ij h

] + ∂lFij [h∂k]

G′)

+ F im[kFmjh] (6.51)

unde

Gi(x, y) =1

2γihk(x, y)yhyk, (6.52)

am notat τ[k...h] = τk...h − τh...k, iar (N ij , F

ijk, C

ijk) este conexiunea Cartan a

spatiului,

F ijk = gis

(γksj − Cjsh

∂Gh

∂yk− Cksh

∂Gh

∂yk+ C

kjh ∂Gh

∂ys

),

Cijk = gisCisk, Cisk =

1

2∂i∂s∂kF

2.

(6.53)

Interpretarea geometrica a deviatiei geodezicelor a doua particule-test vecinece se deplaseaza ın campul gravitational Finslerian este data de acceleratiileacestora si de tensorul de curbura (6.51), si este descrisa ın cele ce urmeaza:

Fie xi(s, t) o familie de geodezice ın M , unde s este elementul de arc, iart este parametru care baleiaza geodezicele familiei. Atunci, notand prin Vcampul vectorial al deviatiei,

V i =∂xi

∂s, W i =

∂xi

∂t, (6.54)

Ecuatii Einstein pe TM pentru campul gravitational slab. 161

campulW , care masoara viteza relativa ıntre doua particule vecine, satisfaceecuatia deviatiei geodezicelor,

δ2Wδs2

+Kijhk(x,V)V iWhVk = 0, (6.55)

unde am notatδW i

δs=W i

|hVh = (∂W i + F ihkWk)Vh. (6.56)

Se observa ca neanularea vectorului δ2W/δs2 conduce la faptul ca spatiulare curbura Ki

jhk nenula. Interoretarea fizica a acestui vector este data defortele ”tide” (de legatura) din campul gravitational al spatiului Finsler F .Informatia Ki

jhk 6= 0 conduce la relatia :

Uν = (Rµν − gµνR)|µ, (6.57)

unde campul vectorial Uν actioneaza ca o groapa de potential (sau ca odensitate de forta a tensorului energie-impuls Tµν), si este dat de curburamixta si torsiunea orizontala a lui Cartan,

Uν =1

2giλ(P k

i λαRαk ν + P k

i kαRαν λ + P k

i ναRαλ k), (6.58)

si unde s-a considerat satisfacuta relatia de conservare a tensorului energie-impuls,

T µν|µ =1

kUν (6.59)

Se observa ca anularea fortelor tide dintre geodezice (deci, daca acceleratiarelativa dintre particulele-test este nula), are loc si anularea curburii Ki

j kl.

De asemenea, daca acceleratia relativa din vecinatatea unui punct de pe ogeodezica creste la infinit, apare o singularitate fizica a punctului, iar curburacreste, de asemenea, la infinit.

Se constata ca ıntr-un spatiu cvadridimensional (prin urmare, de dimen-siune mai mare decat 2) vectorul deviatie de-a lungul liniei geodezice fun-damentale este vertical relativ la traiectorie, rotindu-se ın jurul acesteia.

Un studiu detaliat al deviatiei geodezicelor verticale ın spatiul-timp alfibratului tangent (TM, π,M) al unui spatiu Finsler a fost dezvoltat ın [76].

Extinderi ale ecuatiilor geodezicelor pot fi consultate ın [47], [48], iar aleecuatiilor geodezicelor si ale deviatiilor acestora ın spatiul osculator de ordinsuperior, ın [8], [9].

162 Capitolul 5

6.8 Ecuatii Einstein pe TM pentru campul

gravitational slab.

Conceptul de unde gravitationale ın spatii Finsler a fost introdus recent ınlucrarea [75], ca o extensie a notiunii omonine din spatiile Riemann.

Considera m o varietate cvadridimensionala M , dotata cu o metrica pseu-doriemanniana gij. Conditia de camp garvitational slab revine la descompu-nerea locala a pseudometricii saptiului Lorentz si o perturbatie infinitezimala,

γij = nij + ε(1)ij (x), (6.60)

unde nij = diag(1,−1,−1,−1), iar ε(1)ij reprezinta un camp tensorial simetric,

cu |ε(1)ij (x)| << 1. In cadrul abordarii liniarizate, indicii se vor ridica/coborı

cu anutorul metricii nij (spre exemplu, εrs = nrinsjεij) si vom nota pe scurt,

εij = ε(1)ij . Metrica pseudoriemanniana γij ınzestreaza implicit spatiul tangent

TM cu o conexiune liniara

Nαi (x, y) = γαjby

b, (6.61)

unde γijk sunt simbolii lui Christoffel ai metricii, si am notat prin (xi, yα)

coordonatele locale ıntr-o harta locala U ⊂ TM . In cele ce urmeaza, indiciii, j, k, . . . , a, b, c, . . . vor lua valorile 0, 3, iar indicii α, β, γ, . . . , ın 0, 7.

Conexiunii neliniare ıi asociem ın mod canonic baza locala adaptata ınX (U),

δi = ∂i −N bi ∂b, ∂ai,a=0,3 ≡ ∂zββ=0,7, (6.62)

cu ∂i = ∂∂xi

si ∂a = ∂∂ya

, precum si cea duala

di = dxi, δa = dya +Naj dx

ji,a=0,3 ≡ dzββ=0,7. (6.63)

In abordarea liniarizata, simbolii lui Christoffel ai metricii slabe γij au ex-presia liniarizata

εijk =1

2nis(∂jεsk − ∂sεjk) ≈ γijk, (6.64)

unde am notat τij = τij + τji. Conexiunea neliniara se va aproxima prin

εaib ≈ Nai , (6.65)

Ecuatii Einstein pe TM pentru campul gravitational slab. 163

Deformarea slaba a campului metric pseudo-riemaniann se realizeaza adau-gand o perturbare Finsleriana slaba ε

(2)ij (x, y), ce satisface

|ε(2)ij (x, y)| << 1,

ceea ce produce, ın conditii de nedegenerare si conservare a indexului o nouapseudo- metrica Finsler pe M ,

fij(x, y) = γij(x) + ε(2)ij (x, y). (6.66)

Respectand conditia de 0-omogenitate ın raport cu y, tensorul

ε∗ij(x, y) = ε(1)ij (x) + ε

(2)ij (x, y) (6.67)

produce, ın fapt, o pertubare Finsleriana slaba a metricii Minkowski nij.Se observa ca ε∗ij(x, y) se anuleaza identic ın cazul cand metrica γij este

plata.Din punct de vedere fizic, un camp gravitational Finslerian slab apare ca

o perturbare a unui camp gravitational pseudo-Riemannian (sau extern) alrelativitatii generale conventionale.

Termenul perturbator ε(2)ij (x, y) poate fi furnizat de contextul geometric

dezvoltat de R.G.Beil, de teoria Kaluza-Klein, sau de teoria Yang-Mills detip Randers. Mai exact, perturbarea Finsleriana a campului gravitationalRiemannian slab poate avea la origini campul electromagnetic, sau o exten-sie gauge sau spinoriala a acestuia. In fiecare din aceste modele, contextuloriginar pseudo-Riemannian apara ca un caz limita.

Se observa ca metrica fij(x, y) este de tip Finslerian si ınzestreaza varie-tatea TM cu o structura de spatiu Lagrange generalizat GLn = (M, fij) ınsensul teoriei lui R.Miron. Atunci, modelul aproape hermitian al lui GLn,dat de N-liftul Sasaki G al lui fij la TM si de structura canonica complexadefinita local de

J(δi) = −∂i, J(∂i) = δi, i = 0, 3

produce o structura aproape Kahler. In cazul cand

ε(1)ib = const. si ε

(2)ij (x, y) = ε

(2)ij (y)

Pe de alta parte, cele doua componente γ = n + ε(1) si ε(2) ale metriciiFinsleriene slabe (6.66) produc pe TM o (h, v)−metrica

G = (nij + ε(1)ij (x))dxi ⊗ dxj + ε

(2)ab (x, y)δyc⊗ δyb (6.68)

164 Capitolul 5

Se observa ca, atucni cand ε(2) depinde doar de y, se obtine o (h, v) -metricapseudo-Riemanniana-local Minkowski.

Considerand d-conexiunea liniara metrica h− si v− simetrica a spatiuluiLagrange generalizat, tensorii Ricci ai acesteia

Rij ≡ Rki jk ≡ rki jk = −1

2(−εij − ∂2

ijε+ ∂2jsεsj

)

Pjb ≡ P kj kb = 0

Pbk ≡ ˜P db kd = −(δkC

aba − εdbkCa

da)

Sab ≡ Sda bd = Cea[dCdb ]e],

unde ε = nijεij, iar ”” este d’Alembertianul.

= +∂200 − ∂2

11 − ∂222 − ∂2

33 ≡ ∂2tt − ∂2

xx − ∂2yy − ∂2

zz,

curbura slaba liniarizata

rij kl = ∂2[ljεsk] + ∂2

[ks∂j l]). (6.69)

si scalarii de curbura

R = r = −ε− ∂2ijε

ij, S = Ce[dCdc ]eε

(2)bc,

se obtin ecuatiile Einstein ale modelului linearizat Finslerian slab

Rij −1

2(R + S)nij ≡ −

1

2(εij − ∂2

ijε+ ∂2jsεis)− nij(R + S) = kTij

Sab −1

2(R + S)nab ≡ Ce

a[dCdb ]e −1

2ε

(2)ab (R + S) = kTab

Pjb ≡ 0 = kTjb,

Pbk ≡ −(δkCaba − εdbkCa

da) = kTbk,

unde Tij, Tab, Tjb, Tbk sunt tensorii energie-impuls, iar k este o constanta.

In lucrarea [9] s-au obtinut ecuatiile Eisntein asociate liftului Sasaki alunei deformari de tip conform a metricii pseudoriemanniene slabe γij, metricade tip Lagrange generalizat

fij(x, y) = e2σ(x,y)γij(x), (6.70)

unde σ : R→ TM este o functie C∞ cu exceptia imaginii sectiunii nule, iarγij este metrica slaba (6.60). Acest model bazat pe (h, v)-metrica

G = fij(x, y)dxi ⊗ dxj + fab(x, y)δya ⊗ δyb

are avantajul de a satisface conditiile relativiste Ehlers-Pirani-Schild []6 , [51],[52].

Ecuatii Einstein pe fibratul olomorf T ′M. 165

6.9 Ecuatii Einstein pe fibratul olomorf T ′M.

Cercetarile din fizica teoretica din ultimele decenii au impus domenii noi cumar fi : cuantica relativista, fizica particulelor elementare, teorii de unificare acampurilor fizice, etc.

In multe din aceste teorii ecuatiile de miscare sunt descrise de actiuneaunor Lagrangieni ce nu depind de variabile reale. Acesta este un motiv pentrucare geometria ar trbui sa creieze modele matematice corespunzatoare, asacum a procedat ın cazul real.

Din motive mai putin legate de fizica relativista, cu mai bine de 20 deani ın urma, au fost introduse ın studiu spatiile Finsler complex. Cercetarilenoastre din ultimi ani au extins aceste teorii la spatiile Lagrange complex([55],[56]..). Suportul geometric al acestor teorii este fibratul olomorf al uneivarietati complexe.

Vom face aici o introducere ın aceasta teorie si vom vedea cum se extindecuatiile Einstein.

6.9.1 Geometria fibratului T ′M.

Fie M o varietate n−dimensionala complexa, (zk = xk + ixn+k) coordonatecomplexe ıntr-o harta locala. Pe M exista o structura complexa naturalaR

J2= −I, data de

R

J (∂

∂xk) =

∂

∂xn+k;

R

J (∂

∂xn+k) = − ∂

∂xk.

Valorile proprii ale luiR

J sunt ±i, fapt ce ne determina sa luam ın studiu com-

plexificatul TCM al fibratului tangent real. Structura complexaR

J se extindeprin liniaritate la TCM , notand-o simplu cu J. Prin reunirea subspatiilorproprii corespunzatoare lui i se obtine fibratul olomorf T ′M al vectorilor detip (1, 0), iar subspatiile proprii corespunzatoare lui −i ne da fibratul T ′′Mal vectorilor de tip (0,1); avem ([31]):

T ′′M = T ′M si TCM = T ′M ⊕ T ′′M.

Fibratul πT : T ′M → M este olomorf si ca varietate complexa este su-portul geometriei pe care dorim sa o dezvoltam.

166 Capitolul 5

Sa notam cu u = (zk, ηk), k = 1, n, coordonatele complexe pe varietatea2n−dimensionala T ′M, cu transformarile lor la schimbari de harti locale datede:

z′k = z′k(z)

η′k =∂z′k

∂zjηj ; rang

(∂z′k

∂zj

)= n

(6.71)

z′k = z′k(z) satisfacand conditii de olomorfie.Din aceleasi motive ca mai sus, de data aceasta pentru varietatea T ′M,

suntem obligati sa luam ın studiu complexificatul

TC(T ′M) = T ′(T ′M)⊕ T ′′(T ′M).

O baza locala pe T ′(T ′M) este

∂∂zk, ∂∂ηk

, schimbarile acesteia sunt date

de matricea Jacobi a transformarii(6.71).Fie V (T ′M) = Ker πT∗ subfibratul vertical ın T ′(T ′M), o baza locala

ın distributia verticala Vu(T′M) fiind

∂∂ηk

. Sa consideram H(T ′M) un

subfibrat suplementar lui V (T ′M),

T ′(T ′M) = H(T ′M)⊕ V (T ′M).

Acesta detrmina o aplicatie N : u = (z, η) → Hu(T′M), numita conexiune

neliniara complexa (pe scurt (c.n.c.)). In distributia orizontala Hu(T′M) o

baza locala se considera de forma

δ

δzk=

∂

∂zk−N j

k

∂

∂ηj(6.72)

Asupra bazei

δδzk

vom impune sa satisfaca regula simpla de transfor-

mare, asemanatoare cu cea pentru ∂∂ηk

:

δ

δzk=∂z′j

∂zkδ

δz′j(6.73)

fapt ce implica ca functiile N jk(z, η), coeficientii (c.n.c.), sa satisfaca o regula

o regula de transformare analoaga cu ([?]) din cazul real.

Baza

δδzk, ∂∂ηk

astfel obtinuta o vom numi adaptata (c.n.c.) pe T ′M.

Prin conjugare obtinem o baza adaptata

δδzk, ∂∂ηk

pe T ′′(T ′M) ce se schimba

cu matricea conjugata(∂z′j

∂zk

).


Se obtine ın totalitate urmatoarea descompunere:

TC(T ′M) = H(T ′M)⊕ V (T ′M)⊕H(T ′M)⊕ V (T ′M) (6.74)

In distributiile locale adaptate (c.n.c.) vom nota pe scurt aceste baze cuδk, ∂k, δk, ∂k

.

Pe TC(T ′M) actioneaza global urmatoarele structuri:

• structura complexa naturala

J(δk) = iδk ; J(∂k) = i∂k si J(X) = J(X)

• structurile aproape tangente F si F ∗ adaptate (c.n.c.) :F (δk) = ∂k; J(∂k) = 0 si J(X) = J(X)

F ∗(δk) = 0; F ∗(∂k) = δk si J(X) = J(X)(6.75)

In continuare, suntem interesati sa studiem acele obiecte geometrice numite

d−tensori complecsi ce se transforma numai cu matrcea(∂z′j

∂zk

), inversa sa si

conjugatele lor.Pentru astfel de obiecte geometrice vom defini derivarea covarianta, re-

zultatul fiind tot un d−tensor.Numim d−conexiune liniara complexa, (d− (c.l.c.)), o lege de derivare D

pe T ′M ce pastreaza distributiile ın (6.74).O analiza a exprimarii locale a lui D arata ca o parte din coeficientii

de conexiune sunt conjugatii altora, DXY = DX Y si ca perechi din ei aureguli de transformare similare([55]). Aceasta ne-a condus la studiul unuicaz particular de lege de derivare , numita N − (c.l.c.) , pentru care

DJ = DF = DF ∗ = 0,

si care local este caracterizat doar de coeficientii:

Dδkδj = Lijkδi; D∂k∂j = Ci

jk∂i (6.76)

Dδkδj = Lijkδi; D∂k∂j = C i

jk∂i

Daca Lijk = C ijk = 0 legea se numeste de tip (1, 0).

168 Capitolul 5

Exprimarea locala a componentelor torsiunii si curburii unei N − (c.l.c.)se face prin separarea partilor verticale, orizontale si a conjugatelor lor([55]),lucru pe care nu-l mai reproducem aici.

Diferenta semnificativa ın calcule fata de cazul real este ca pe TC(T ′M))vom lua ın studiu structurile metrice hermitiene, adica acele metrici G pe

T ′M cu proprietatea G(X, Y ) = G(Y, X),nedegenerate, ce sunt compatibilecu structurile (J, F, F ∗). Astfel de structuri metrice sunt de forma :

G = gijdzi ⊗ dzj + gijδη

i ⊗ δηj (6.77)

unde gij(z, η) este un d−tensorc omplex, nedegenerat si hermitian, gij = gji.O N − (c.l.c.)D se va numi metrica daca DG = 0 fapt ce implica ca

derivarile orizontale si verticale ale lui gij sa se anuleze, gij|k = gij‖k = gij|k =gij‖k = 0.

O N − (c.l.c.) metrica deosebita, numita canonica, este:c

Lijk=1

2gli(

δgjlδzk

+δgklδzj

),c

Cijk=

1

2gli(

∂gjl∂ηk

+∂gkl∂ηj

)

c

Li

jk=1

2gil(

δgljδzk−δgkjδzl

),c

C ijk=

1

2gil(

∂glj∂ηk−∂gkj∂ηl

)

(6.78)

ce are torsiunile hT (h, h) si vT (v, v) nule si conjugatele lor.Din aceasta se pot obtine conexiuni metrice complexe cu torsiuni prescrise([56]).

6.9.2 Spatii Lagrange si Finsler complex.

Numim spatiu Lagrange complex generalizat perechea (M, gij), unde gij esteun d−tensor complex, nedegenerat si hermitian.

Fixand o (c.n.c.) atunci gij determina structura metrica (6.77) pe TC(T ′M).Desigur ca ne intereseaza ca aceasta structura metrica sa fie legata direct degij, adica (c.n.c.) sa depinda numai de metrica. Problema este complicata casi ın cazul real, dar cazuri particulare importante sunt.

Numim spatiu Lagrange complex perechea (M,L), unde L : T ′M → Reste o functie diferentiabila cu proprietatea ca tensorul metric

gij = ∂2L′∂ηi∂ηj

este nedegenerat.


Un caz particular de spatiu Lagrange complex este spatiu Finsler complexın care Lagrangianul L este absolut omogen ın η, adica

L(z, λη) =| λ |2 L(z, η) ,∀λ ∈ C.

Aceasta conditie de omogeneitate ıntr-un spatiu Finsler complex implicaconditii suplimentare asupra lui L :

∂L

∂ηiηi = L, gijη

i =∂L

∂ηj, (6.79)

gijηiηj = L,

∂gkj∂ηi

ηi =∂gij∂ηk

ηi = 0.

Pentru spatiile Lagrange complexe, ın particular Finsler complex, a fostrezolvata problema determinarii (c.n.c.) functie numai de L.

Din problema variationala ın ([55]) se arata ca pe un spatiu Lagrangecomplex (M,L) urmatoarele functii:

c

N ji =

∂Hj

∂ηi, cu Hj =

1

2gmj

∂2L

∂zk∂ηmηk (6.80)

sunt coeficientii unei (c.n.c.). Recent, folosind transformarile Legendre ınspatii Hamilton, am aratat ca esista o (c.n.c) mult mai convenabila pe unspatiu Lagrange complex, ın sensul ca [δk, δj] = 0, ea fiind:

K

N ji = gmj

∂2L

∂zi∂ηm(6.81)

numita conexiune de tip Chern complex.Legatura dintre cele doua (c.n.c) este data de

c

N ji =

1

2

∂K

N j0

∂ηiunde t

K

N j0=

K

N ji η

i .

In cazul particular al spatiilor Finsler complex , cele doua (c.n.c.) se reducastfel:

• prima la (c.n.c.) de tip Cartan :

c

N ji =

1

2

∂γj00

∂ηi(6.82)

unde γi00 = γijkηjηk si γijk = 1

2gmi∂ghm∂zk

+ ∂gkm∂zh

,

170 Capitolul 5

• a doua la cunoscuta (c.n.c.) Chern-Finsler:

K

N ji = gmj

∂glm∂zi

ηl (6.83)

Folosind una din (c.n.c.) (6.80) sau (6.81),ce sunt legate numai de metricaspatiului Lagrange complex, construim structura metrica hermitiana (6.77)Gpe complexificatul lui T ′M si apoi fixand o N − (c.l.c.), spre exemplu cea

canonicac

D data de (6.78) sau una cu torsiuni prescrise obtinuta din ea, setrece la scrierea curburilor (ın numar de 14, vezi[55]), la calculul tensorilorlui Ricci pe T ′M :

Rij = Rkikj; Rij = Rji = −Rk

ijk; Pij = P kikj,

Sij = Skikj; Πij = Πji = −Πkijk; Ωij = Φk

ikj,

undeR(δh, δk)δj = Ri

jkhδi; R(∂h, δk)∂j = P ijkh∂i; R(∂h, ∂k)∂j = Sijkh∂i;

R(δh, δk)∂j = Ωijkh∂i; R(δh, ∂k)∂j = Πi

jkh∂i.

(6.84)si conjugate ale lor.

Apoi scalarii lui Ricci sunt: ρ = r + s , unde

r = gijRji si s = gijSji.

In reperele adaptatec

N −(c.l.c.)c

D ecuatiile lui Einstein se pot scrie formalca ın cazul real:

Sαβ −1

2ρGαβ = χTαβ (6.85)

unde α, β pot fi si indici conjugati.Pe componente (6.85) se transcrie :

Rij −1

2ρgij = χ

hh

Tij; Rij = χhh

Tij; Πij = χhv

Tij

Sij −1

2ρgij = χ

vv

Tij; Sij = χvv

Tij; Ωij = χvh

Tij

Pij = χhv

Tij;


unde ın dreaptahh

Tij ,etc., sunt componentele dupa orizontal, vertical si con-jugatele lor ale tensorului energie-impuls al spatiului complex.

Legea conservari energiei este

c

DXα (Sαβ −1

2ρδαβ ) = 0

si se traduce asemanator pe componente.Urmand ideile din cazul real, putem formal sa introducem urmatorii ten-

sori de deflexie complex:

Dik = ηi|k =

c

Li0k −c

N ik ; Di

k = ηi|k =c

Li0k ; Dik = ηi|k = Di

k

dik = ηi‖k =c

Ci0k +δik ; dik = ηi‖k =

c

Ci0k ; dik = ηi‖k = di

k

si cei covarianti:

Dij = gikDkj , Dij = gikD

kj = Dji

dij = gikdkj , dij = gikd

kj = dji

Propunem aici urmatorii tensori electromagnetici ın complex:

Fij =1

2(Dij −Dij) ; fij =

1

2(dij − dij) (6.86)

Fij =1

2(Dij −Dij) ; fij =

1

2(dij − dij)

pentru care se pot scrie ecuatiile Maxwell complexe calculand derivatele lororizontale, verticale si sumand ciclic. Preferam sa nu mai dezvoltam acestcalcul direct aici.

In ıncheierea acestei sectiuni, prezentam cateva exemple de spatii La-grange complex.

1) Modelul complex al electrodinamicii:

L(z, η) = mcγij(z)ηiηj +e

m(Ak(z)ηk + Ak(z)ηk) (6.87)

unde γij(z) este o metrica hermitiana pe M, Ak(z) este un covector complex

si Ak(z) = Ak(z).

172 Capitolul 5

Conexiunea neliniara canonica (6.80) are exprimarea :c

N ji =

1

2

∂γi00

∂ηi+

e

4m2cγkj

∂Ak∂zi

unde γi00 = γijkηjηk si γijk = 1

2γmi

∂γkm∂zj

+∂γjm∂zk

Coeficientii

c

N −conexiunii liniare canonice sunt:

c

Lijk= γijk ;c

Lijk=1

2γ im

∂γmj∂zk

−∂γkj∂zm

,

c

Cijk=

c

C ijk= 0

Se calculeaza torsiunile si curburile si apoi se scriu ecuatiile Einstein ıncare Rij = rij este tensorul lui Ricci al conexiunii Levi-Civita asociata me-tricii γij(z) si au loc:

Sij = Rij = Sij = Pij = Πij = Ωij = 0.

Tensorii electromagnetici se reduc doar la :

Fij =e

2m(∂Aj∂zi− ∂Ai∂zj

)

ceilalti find nuli.2) Consideram functia pe T ′M :

L(z, η) = γ ji(z)∂Φ

∂ηi∂Φ

∂ηj+m2

0Φ · Φ (6.88)

Lagrangianul campului scalar liber, introdus prin ani ’60 pentru a ilustraconceptul de vid degenerat ([27]).

Presupunand γij(z) o metrica hermitiana ın universul Einsteinian, sa ob-servam ca gij = ∂2L/∂ηi∂ηj ın general nu satisface conditia de a determinao matrice inversabila. Totusi pentru anumite alegeri ale functiei de unda Φeste posibil ca gij sa fie nedegenerat. Spre exemplu pentru:

Φ = Ak(z)ηkeiα; Φ = Ak(z)ηke−iα,

α ∈ R si Ak(z) covector complex ce satisface det(Ak · Aj) 6= 0, determinatensorul metric nedegenerat:

gij = m20AiAj

Implicatiile fizice ale acestui Lagrangian sunt legate de cuantica rela-tivista, ın special de teorii gauge contemporane de unificare a campurilorfizice( fenomenul ruperi spontane de simetrii - ”symmetry breaking”).

Bibliografie

[1] Asanov, G.S., Finsler Geometry, Relativity and Gauge Theories, FTPH12, D.Riedel and Kluwer Acacdemic Publishers, Dordrecht, 1985.

[2] Asanov, G.S., Stavrinos P.C., Finslerian Deviations of geodezics overtangent bundle, Rep. Math. Phys., 30 (1991), 63-69.

[3] Asanov, G.S., Ponomarenko S.F., Finsler Bundles and Space-Time. As-sociated Gauge Fields and Connections, Nauka Eds., Chishinew, 1989,(in Russian).

[4] Atanasiu Gh., Munteanu Gh.,Postolache M.,Algebra liniara geometrieanalitica, diferentiala si ecuatii diferentiale, Ed.All, 1994.

[5] Balan V., Deviations of geodesics in vector bundles, Proc. of the Nat.Conf. of Geometry and Topology, sept. 1993, Cluj-Napoca, 6-13.

[6] Balan V., Generalized Einstein-Yang Mills equations for the spaceGLn = (M, gij(x, y) = e2σ(x,y)γij(x)), Tensor N.S., v.52 (1993), 199-203.

[7] Balan V., Stavrinos P.C., Deviations of geodesics in the fibered Fin-slerian approach, in ”Lagrange and Finsler Geometry” - editors:P.L.Antonelli and R.Miron, Kluwer Acad. Publishers, FTPH no.76, 65-74.

[8] Balan V., Stavrinos P.C., Stationary curves and their deviations in hi-gher order geometry, An.St.Univ Al.I.Cuza, Iasi, v.XLIII, s.I.a Mathe-matics, 1997, f2, 235-248.

[9] Balan V., Stavrinos P.C., Weak gravitational fields in generalized metricspaces, Proceedings of the Conference on Geometry ant its Applicationsin Technology, Workshop on Differential Geometry, Global Analysis andLie Algebras, June 23-37, 1999, Theesaloniki, Greece, to appear.

173

174 Capitolul 5

[10] Balan V., Stavrinos P.C., Trencevski K., Weak gravitational models ba-sed on Beil metrics, Proceedings of the Conference of Applied Defferen-tial Geometry-General Relativity, August 27- September 2, 2000, Thee-saloniki, Greece, to appear.

[11] Balan V., TreacevskimK., Deviations of stationary curves in the exten-ded fibered Finslerian approach. Characterization and analytical solu-tions for E.D.G., Rep. Math. Phys., v.36 (1995), n.1, 53-61.

[12] Bao D., Chern S.-S., Shern Z., Introduction to Riemann-Finsler Geome-try, Springer-Verlag, N.Y., 2000.

[13] Beigel A., Buchner K,. d-spaces,singularities, and the origin of change,Proc. 4-th Workshop, Brasov, 1999, 46-55.

[14] Beil R.G., Electrodynamics from a metric, Int.J. of Theor.Physics,Vol.26, n.2, 1987, 189-197.

[15] Beil R.G., New class of Finsler metrics, Int. J. of Theor.Physics, Vol 28(1989), n.6, 659-667.

[16] Beil R.G.,Finsler Geometry and a unified field theory in Finsler geo-metry, Contemporary Mathematics, Vol. 196, American MathematicalSociety, 1996.

[17] Bejancu A., Finsler Geometry and Applications, Ellie Harwood, 1990.

[18] Beju I., Soos E., Teoderescu P.P., Tehnici de calcul spinorial si tensorialneecuclidian cu aplicatii, Ed. Tehnica, 1979.

[19] Berger M.,Encounter with a Geometer, 2, Notices of AMS, vol47, 3,2000, 327-340

[20] Brandt H., Finslerian Spacetime, Contemporanz Math., vol. 196, 1996,273-287.

[21] Beju I., Soos E., Teodorescu P.P., Tehnici de calcul spinorial si tensorialneeuclidian cu aplicatii, Ed. Tehnica, 1979

[22] Carroll S., Lecture notes on General Relativity,Univ. of California,1997,itp.ucab.edu/˜carroll/notes


[23] Cartan E., Les Espaces de Finsler, Hermann, Paris, 1934.

[24] Chandrasekhar S.,The mathematical theory of Black Holes, Oxford Univ.Press.,1998

[25] Chern S.S, Bao D.,Shen Z., An introduction to Riemannian-Finsler ge-ometry , Graduate Texts in Math, Vol. 200.

[26] Codreanu S.,Tataru L.,Teoria relativitatii si electrodinamica, Ed. Casacartii de stiinta,Cluj,1994

[27] Dariescu C., Dariescu M., Gravitatie si campuri ın universul Einstei-nian, Ed. Vesper, 1997

[28] Ehlers J., Pirani F., Schild A., General relativity: An Einstein centenarysurvey , Cambridge , 1979

[29] Einstein A.,Teoria relativitatii, Ed. Tehnica ,Bucuresti,1957

[30] Fock V.A.,Teoria spatiului, timpului si gravitatiei, Ed. Academiei, Bu-curesti, 1962

[31] Ghoerghiev Gh.,Oproiu V., Varietati diferentiabile finit si infinit dimen-sionale ,Ed. Academiei ,Vol 1, 1976, Vol 2 , 1979

[32] Gockeler M., Schucker T., Differential Geometry, Gauge Theories andGravity, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, CambridgeUniversity Press, 1987.

[33] Hirica I. E., Nicolescu L., Pripoae G., Geometrie diferentiala. Probleme.Aplicatii., Ed. Fundatei ”Romania de Maine”, Bucuresti, 1999.

[34] Ianus S., Geometrie diferentiala cu aplicatii ın teoria relativitatii, Ed.Academiei, Bucuresti, 1983

[35] Ikeda S., Advanced Studies in Applied Geometry, Seizansha, Sagamihara,Japan, 1995.

[36] Ingarden R.S., Differential geometry and physics, Tensor N.S., 30(1976),201-209.

[37] Israel W., The internal geometry of black holes, Contemp. Math.,vol.170, 1994

176 Capitolul 5

[38] Kern J., Lagrange geometry, Arch. Math., 25 ,1974, 438-443

[39] Kawaguchi T.,Miron R.,A Lagrangian model for gravitation and electro-magnetism ,Tensor N.S, 48, 1989, 153-168

[40] Kobayashi S., Nomizu K.,Fundation of Diff. Geom. Interscience Publ.,1963, 1969.

[41] Landau L.,Lifchitz E., Teorie du champ , Ed.de la Pais ,1984

[42] Matsumoto M., Foundations of Finsler Geometry and Special FinslerSpaces, Kaisheisha Press, Otsu, 1986.

[43] Milnor J., Morse Theory, Princeton Univ. Press, Princeton, 1963.

[44] Miron R., Anastasiei M., Fibrate vectoriale. Spatii Lagrange. Aplicatiiın teoria relativitatii, Ed. Academiei, Bucuresti, 1987

[45] Miron R., Anastasiei M., The geometry of Lagrange spaces. Theory andappl., Kluwer Acad. Publ., 1994

[46] Miron R., A Lagrangian theory of relativity , An.St.Univ.Al.I.Cuza, Iasi,s1.a, Mat., 32, 1986, 37-62

[47] Miron R., Kawaguchi T., Relativistic geometrical optics,Int.J.Theor.Phys., 30/11, 1991, 1521-1543

[48] Miron R.,Tavakol R., Balan V.,Rosburg I., Geometry of space-time andgeneralized Lagrange Gauge theory , Publ.Math.Debrecen, 42/3-4, 1993,215-224

[49] Miron R., Balan V., Stavrinos P.C., Tsagas Gr., Deviations of stationarycurves in the bundle Osc(2)(M), Proceedings of the 1-st Conference ofthe Balkan Society of Geometers 1996, Bucharest, Romania, BalkanJournal of Differential Geometry ant Its Applications, Bucharest, v.2,n.1, 1997, 51-60.

[50] Miron S., Wanatabe S., Ikeda S., Some connections on tangent handleand their applications to the General Relativity, Tensor N.S., 46 (1087)8-22.


[51] Misner W., Thorne K.S., Wheeler J.A., Gravitation, Freeman, SanFrancisco, ,1973.

[52] Miron R., Anastasiei M.,The Geometry of Vector Bundles. Theory andApplications, Kluwer Acad. Publishers, FTPH, no.59, 1994.

[53] Munteanu Gh., Metrical almost tangent structures, An.St.Univ.Al.I.Cuza, Iasi, XXXIII, f2, 1987, 151-158.

[54] Munteanu Gh., On normal d-connection, Proc. of the fifth Nat. Sem. onFinsler and Lagrange spaces, Brasov, 1988

[55] Munteanu Gh., Complex Lagrange spaces, Balkan J. of Geom. Vol 2,1,1998, 61-73

[56] Munteanu Gh., Generalized complex Lagrange spaces , KluwerAcad.Publ. Vol. 109, 1999, 209-221

[57] Negrescu H., De la mecanica clasica la teoria relativitati, Ed.Albatros

[58] Nicolescu L., Pripoae G., Zara C., Teoreme si probleme de grupuri Lie,Editura Universitatii Bucuresti, 1996.

[59] Ohanian H.C., Gravitation and Space-Time, Norton & Co., N.Y., 1963.

[60] O’Neill B., Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity,Academic Press, 1983.

[61] Papuc D., Geometrie differentiala, Ed. Did. Ped., 1982.

[62] Pitis Gh. Curs de geometrie diferentiala, Univ. Brasov, 1992

[63] Penrose R., General Relativity: An Einstein Centenary survey, Cam-brige, 1979

[64] Poisson E., Israel W., Internal structure of black holes, Physical ReviewD, Vol 46, 6, 1990

[65] Raigorodski L.D., Stavrinos P.C., Balan V., Introduction to the physicalprinciples of dif.geom. Univ. of Athenes, 2000

[66] Rudn H., The Differential Geometry of Finsler Spaces, Springer-Verlag,Berlin, 1959.

178 Capitolul 5

[67] Sabbata V. de, Gasperini M., Introduction to Gravitation, World Scien-ticific, 1985.

[68] Sachs R., Wu H., General Relativity for Mathematiciens, Springer-Verlag, 1977

[69] Sardaanashvili G., Zacharov O., Gauge gravitation theory, World Scien-tific, 1992.

[70] Schouten J., Struik D., On same properties of general manifolds relatingto Einstein’s theory of gravitation, Amer. J. Math., 43(1921), 213-216.

[71] Spivak M., Diffential Geometry, val. I-IV, Publish of Perish, 1970-1975.

[72] Stavrinos P.C., Deviations of geodesics and garvitational waves in Fin-sler spaces, Bulletin of Calcutta Mathematical Society, 1999.

[73] Stavrinos P.C., Kawaguchi H., Deviations of geodesics in the gravitatio-nal field of Finslerian Space-Time, Memoirs of Shonan Inst. of Techno-logy, 27, I(1993), 35-40.

[74] Schutz B.F., A first course in General relativity, Cambridge, 1985

[75] Sofonea L. Geometrii reprezentative si teorii fizice, Ed.Dacia, Cluj-Napoca, 1984

[76] Sterian P., Mecanica relativista si notiuni de teoria gravitatiei,Ed.Tehnica, 1979

[77] Straumann N., General Relativity and Relativistic astrophysics,Springer-Verlag, 1984

[78] Synge J.L., Relativity: General Theory, North-Holland ,1966

[79] Takano Y., On the theory of fields of Finsler spaces, Proc. Int. Symp.REl. Un. Field Theory 1975-1976, 17-26.

[80] Tavakol R.K., Van der Bergh N., Viability criteria for the theories ofgravity and Finsler Spaces, GRG. 18, 1986, 849-859

[81] Teleman K., Metode si rezultate in geometria dif. moderna, Ed. St. siEnciclopedica, Bucuresti, 1979.


[82] Tonellat M. A., Les theories de electromagnetisme et de la gravitation,Gauthier-Villars, Paris, 1965.

[83] Trautman D., Diffierential Geometry for Physicists, Bibliopolis Eds.,Naples, 1984.

[84] Udriste C., Convexity and completness of Finsler manifolds, in: ”Con-vex Functions and Optimization Methods on Riemannian Manifolds”,MAIA, 297, Kluwer Acad. Publishers 1994.

[85] Utiyama R., Invariant theorethical interpretation of interaction, Phys.Rev. 101, 1956, 1597-1607.

[86] Vranceanu Gh., Mihaileanu N., Introducere in teoria relativitatii, Ed.Tehnica, Bucuresti ,1980

[87] Vranceanu Gh., Geometrie ananlitica, proiectiva si diferentiala, Ed.Did.Ped., 1974.

[88] Vranceanu Gh., Lectii de geometrie diferentiala, Ed. Did.Ped., 1976.

[89] Vrejoiu C. , Electrodinamica si Teoria Relativitatii, Ed. Didactica siPed., Bucuresti, 1993

[90] Wald R., General Relativity, Chicago Press, 1984

[91] Warner R., Foundations of Diffential Manifolds and Lie Groups, Scott-Foresman Eds., 1971.

[92] Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New-York, 1972

[93] Yano K., Ishihara S., Tangent and Cotangent Bundlers, Marcel Dekker,N.Y., 1973.

[94] Zet Gh., Lagrangian geometrical models in physics, Pergamon Press,Vol. 20, 3-4, 1994, 83-91

Lect˘ii de TEORIA RELATIVITAT˘II -...

Documents

Transcript of Lect˘ii de TEORIA RELATIVITAT˘II -...