Lectii de astronomie.pdf

Lectii de Astronomie

Cuprins

Cuprins i

1 Astronomia sferica 3

1.1 Sfera cereasca: Rotatia, punctele, planele siliniile ei fundamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Sfera cereasca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Pozitia reciproca a cercurilor si punctelor sferei ceresti . . . . 5

1.2 Coordonate ceresti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Sistemul de coordonate orizontale . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Sistemul de coordonate orare (semilocale) . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Coordonatele ecuatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Relatiile dintre coordonatele geografice si cele ceresti n cazultrecerilor la meridianul ceresc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Miscarea Soarelui pe ecliptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Sistemul de coordonate ecliptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Coordonate galactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Transformarea coordonatelor ceresti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Problema celor doua corpuri 15

2.1 Legile miscarii ale lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Legea atractiei universale a lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Problema celor n corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Problema celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

i

ii CUPRINS

2.5 Teorema lui Newton privind atractia unei sfere omogene . . . . . . . 22

2.6 Solutia analitica a problemei celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . 25

3 Legile lui Kepler 33

3.1 Prima lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 A doua lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 A treia lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Determinarea masei planetare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Metode de calcul n astrodinamica 41

4.1 Vectorii de pozitie si viteza n integralele miscarii . . . . . . . . . . . 41

4.2 Vectorii de pozitie si viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Vectorii de pozitie si viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Alte sisteme de elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5.1 Elementele lui Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5.2 Elementele lui Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Functiile astrodinamice fundamentale 55

5.1 Determinarea functiilor f si g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Functiile f si g - n functie de anomalia adevarata . . . . . . . . . . . 60

5.3 Functiile f si g n functie de anomalia excentrica . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Functiile f si g - n functie de variabilele universale . . . . . . . . . . 68

5.5 Functiile f si g n functie de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Pamantul corp ceresc 796.1 Cele trei latitudini geografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Variatia fortei de gravitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Masurarea masei si densitatii medii aPamantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4 Structura Pamantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CUPRINS iii

6.5 Miscarile Pamantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Fenomene care modifica pozitia astrilor pe cer 89

7.1 Refractia astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Aberatia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.1 Fenomenul aberatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2 Aberatia Soarelui, planetelor si a cometelor . . . . . . . . . . . 92

7.3 Paralaxe diurne si anuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.1 Paralaxa diurna si determinarea distantelor n sistemul solar . 93

7.3.2 Paralaxa anuala si determinarea distantelor stelare . . . . . . 95

7.3.3 Paralaxa seculara a stelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4 Precesia si nutatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5 Miscarile proprii ale stelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6 Problemele astronomiei fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Timpul si masurarea lui 103

8.1 Consideratii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Timpul astrodinamic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.2.1 Timpul terestru: timpul sideral si timpul solar . . . . . . . . . 104

8.2.2 Diverse sisteme de masura a timpului . . . . . . . . . . . . . . 108

8.2.3 Timpul efemeridelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3 Timpul fizic: timpul atomic international . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Unitatile fundamentale de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.5 Calendarul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9 Teoria perturbatiilor 119

9.1 Teoria perturbatiilor. Preliminarii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.1.1 Exemplu - Oscilatorul Armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2 Metoda lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


9.3 Variatia parametrilor Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CUPRINS 1


9.4 Integralele de miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.5 Interpretarea lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.6 Problema perturbata a celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.6.1 Energia si semi-axa mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.6.2 Momentul cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.6.3 Inclinatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.4 Unghiul nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.6.5 Vectorul lui Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bibliografie 139

2 CUPRINS

Capitolul 1

Astronomia sferica

1.1 Sfera cereasca: Rotatia, punctele, planele si

liniile ei fundamentale.

1.1.1 Sfera cereasca

Se numeste sfera cereasca o sfera imaginara, cu raza arbitrara, avand centrulntr-un punct arbitrar al spatiului, pe a carei suprafata se trec pozitiile astrilor asacum se vad ei pe cer, la un moment dat, din punctul considerat al spatiului.

Este comod sa consideram drept centru al sferei ceresti ochiul observatorului(O). In acest caz, fiecarei drepte care porneste de la ochi spre astrul de pe cer icorespunde un anumit punct (: proiectia acestui astru pe sfera cereasca). Pozitiaaparenta relativa a astrilor o determinam cu ajutorul arcelor de cerc mare de pesfera cereasca dintre proiectiile astrilor sau cu ajutorul unghiurilor dintre directiileastrilor. Rotatia sferei ceresti, conform definitiei, este analoaga cu rotatia diurna acerului.

Privind Figura 1.1 identificam:

PP se numeste axa lumii si este diametrul ce uneste cei doi poli (P Polul Nord, P Polul Sud). Axa de rotatie a sferei ceresti (topocentrice) esteparalela cu axa de rotatie a Pamantului ( n cazul sferei ceresti geocentrice celedoua axe coincid).

ZZ se numeste verticala locului si reprezinta directia firului cu plumb ntr-un loc dat (Z zenit, Z nadir).

Planul dus prin centrul sferei ceresti perpendicular pe verticala locului esteplanul orizontal. El taie sfera cereasca dupa un cerc mare numit orizont matematic

3

4 CAPITOLUL 1. ASTRONOMIA SFERICA

Parallelceresc

P

Z

Q

Z

P

Q

MeridianCeresc

Ecuatorceresc

Orizontmatematic

N

E

O

s

s

s

V

Figura 1.1: Sfera cereasca

sau orizontul adevarat (NESV ).

Planul dus prin centrul sferei ceresti perpendicular pe axa lumii se numesteplanul ecuatorului ceresc. El taie sfera cereasca dupa un cerc mare numit ecuatorulceresc (QVQE), care mparte sfera cereasca n doua emisfere: emisfera boreala(nordica) si emisfera australa (sudica).

Orizontul matematic si ecuatorul ceresc (topocentric) se intersecteaza n douapuncte care sunt punctele cardinale E (est) si V (vest).

Cele doua drepte, axa lumii si verticala locului, determina un plan numitplanul meridian al locului. El taie sfera cereasca dupa un cerc mare numit meridianceresc (PZQSP Z QN), iar planul orizontului dupa o linie numitameridiana locului(NS). Meridiana locului taie orizontul n doua puncte: cel mai apropiat de PolulNord este punctul nord (N) iar diametral opusul lui este punctul sud (S). Pe orizont,la mijloc ntre cele doua puncte - n dreapta observatorului ntors cu fata spre PolulNord - este punctul est (E) si diametral opus lui punctul vest (V ). Deci meridianulserveste pentru orientarea ntr-un punct dat de pe Pamant.

Orice plan dus prin verticala locului se numeste plan vertical si taie sferacereasca dupa un cerc mare numit vertical. Planul vertical perpendicular pe planulmeridian al locului determina primul vertical.

In miscarea diurna, fiecare stea () descrie cate un cerc mic, paralel cu ecua-torul ceresc, numit paralel ceresc. Paralelul ceresc are cu meridianul ceresc douapuncte comune numite culminatii. In culminatia superioara () steaua atingenaltimea cea mai mare deasupra orizontului, iar n culminatia inferioara () steauaatinge naltimea cea mai mica deasupra orizontului. Stelele la care vedem ambeleculminatii au ntreg paralelul ceresc deasupra orizontului - acestea sunt stele cir-cumpolare; alte stele rasar, culmineaza si apun - stelele cu rasarit si apus.

1.2. COORDONATE CERESTI 5

1.1.2 Pozitia reciproca a cercurilor si punctelor sferei ceresti

Pozitia reciproca a cercurilor si punctelor sferei ceresti, care au fost definitemai sus, depinde de directia verticalei locului, adica de pozitia observatorului pesuprafata Pamantului (orientarea axei lumii fiind aceeasi pentru toate punctelesuprafetei terestre).

Aceasta dependenta se traduce prin urmatoarea relatie fundamentala a lati-tudinii astronomice: Inaltimea Polului Ceresc deasupra orizontului unui loc de pesuprafata Pamantului este egala cu latitudinea astronomica a acestui loc.

In cazul Pamantului sferic, latitudinea astronomica este aceeasi cu latitudineageografica - una din coordonatele geografice care determina pozitia unui punct pesuprafata Pamantului (Figura 1.2).

j

G

G

O

O

L

p

q

p

q

Parallelgeografic

MeridianGeografic

Ecuatorterestru

Figura 1.2: Coordonate geografice

Latitudinea geografica () a unui loc este unghiul format de planul ecuatoruluiterestru (qq) cu verticala locului (TO).

A doua coordonata pentru determinarea locului observatorului este unghiulformat de meridianul initial ( meridianul Greenwich) cu meridianul locului, unghinumit longitudine geografica (L). Ea este vestica sau estica, dupa cum se masoaraspre vest, respectiv spre est, de la meridianul initial; printr-o conventie, longitudineaestica se considera pozitiva, iar cea vestica negativa.

1.2 Coordonate ceresti

1.2.1 Sistemul de coordonate orizontale

Pentru fiecare sistem de coordonate consideram un plan, numit fundamental,care taie sfera cereasca dupa un cerc mare (fundamental), si o axa fundamentalaperpendiculara pe planul fundamental n centrul sferei ceresti.


In sistemul de coordonate orizontale (locale sau zenitale), planul fundamentaleste planul orizontului matematic (NESV ), iar axa fundamentala este verticalalocului (OZ). Coordonatele orizontale ale unui astru sunt (Figura 1.3):

s

ZP

O

E

V

N S

Z

A

h

s

Figura 1.3: Sistemul de coordonate orizontale

- naltimea deasupra orizontului (h): unghiul format de directia spre astru cuplanul orizontului; se masoara cu arcul cercului vertical al astrului, de la orizontspre astru. Adesea, n locul naltimii se utilizeaza complementul ei, z = 900 h,numit distanta zenitala: unghiul format de verticala locului cu raza vizuala spreastru. Cercul mic al sferei ceresti ce trece prin astrul si al carui plan este paralelcu planul orizontului matematic se numeste almuncantaratul astrului.

- azimutul (A): unghiul diedru format de planul meridianului ceresc cu planulvertical al astrului. Se masoara cu arcul orizontului matematic cuprins ntre punc-tul sud (S) si punctul de intersectie () a cercului vertical al astrului cu orizontulmatematic (00 3600). Azimutul socotit de la punctul S se numeste azimut astro-nomic, iar cel care se masoara de la punctul N n acelasi sens retrograd se numesteazimut geodezic.

Coordonatele orizontale se determina cu ajutorul teodolitului sau instrumen-tului universal.

1.2.2 Sistemul de coordonate orare (semilocale)

Planul fundamental n acest sistem este planul ecuatorului ceresc (QVQE),iar axa fundamentala este axa lumii (PP ). Planul definit de axa lumii si astruse numeste planul orar al astrului; el taie sfera cereasca dupa un cerc mare numitcercul orar al astrului (sau cercul de declinatie).

Coordonatele orare ale unui astru sunt (Figura 1.4):

- declinatia (): unghiul format de raza corespunzatoare astrului cu planulecuatorului ceresc; se masoara prin arcul de cerc orar de la ecuatorul ceresc la astru

1.2. COORDONATE CERESTI 7

P

P

QQ

z

O

Vg

a

EH

d

s

s

Figura 1.4: Coordonate orare si ecuatoriale

( 00 900). Uneori, n locul declinatiei se foloseste distanta polara a astrului ,notata cu p =

_

P si legata de prin relatia p+ = 900; distanta polara se socotestede la Polul Nord ceresc (00 1800).

- unghiul orar (H): unghiul format de meridianul ceresc al locului cu cerculorar al astrului; se masoara prin arcul de ecuator ceresc de la meridianul ceresc allocului pana la cercul orar al astrului (00 3600).

Coordonatele orare se masoara cu ajutorul instrumentelor avand montura ecu-atoriala (ecuatorialul).

1.2.3 Coordonatele ecuatoriale

Coordonatele ecuatoriale au acelasi plan fundamental si au aceeasi axa fun-damentala ca si cele orare. Declinatia astrului (), fiind constanta se pastreaza,unghiul orar se nlocuieste nsa prin ascensia dreapta () a stelei.

Se numeste ascensia dreapta () a unui astru unghiul format de planul orar alpunctului vernal () cu planul orar al astrului si se masoara n sens direct (003600sau 0h 24h), prin arcul de ecuator ceresc, de la punctul vernal () la cercul orar().

Punctul vernal () este punctul n care drumul anual aparent al Soarelui taieecuatorul ceresc, cand trece din emisfera australa n cea boreala. Fiind un punct alsferei ceresti, punctul vernal participa la miscarea diurna mpreuna cu astrul, deciascensia dreapta e constanta. Se admite aici ca punctul vernal are o pozitie fixa pesfera cereasca.

Unghiul orar al punctului vernal se numeste timp sideral si se noteaza cu .Din Figura 1.4 rezulta:

= +H (1.2.1)

Formula (1.2.1) realizeaza legatura ntre sistemele de coordonate (1.2.2) si (1.2.3).


In meridianul ceresc, unghiul orar al astrului este 0, deci:

= (1.2.2)

Relatia (1.2.2) se utilizeaza pentru:

- determinarea timpului sideral, cand ascensia astrului ce trece prin planulmeridianului ceresc se cunoaste;

- determinarea ascensiilor drepte ale astrilor, cand timpul sideral se cunoaste.

Coordonatele ecuatoriale si sunt utilizate la ntocmirea cataloagelor sihartilor stelare.

1.3 Relatiile dintre coordonatele geografice si cele

ceresti n cazul trecerilor la meridianul ceresc

In cazul trecerii astrului la meridianul ceresc, pe langa relatia:

= hP , (1.3.1)

exista si alte relatii simple ntre , hm(sau zm) si .

Fie 1 un astru n meridianul ceresc al locului, n culminatia superioara, la sudde zenit (Figura 1.5).

Z

N

P

Z

Q

Q

S

P

d

d

d

d

d

3

2 1

N=90

-j

r =j

z =90-j

z=j

p

p

Q

Zm

O

O

Figura 1.5: Proiectia sferei ceresti pe planul meridianului ceresc

Se vede imediat ca: = + zm, (1.3.2)

unde - latitudinea locului, - declinatia astrului, iar zm - distanta zenitalamasurata n momentul trecerii astrului la meridianul ceresc al locului. Daca as-trul se afla la nord de zenit (2):

= zm. (1.3.3)

1.4. MISCAREA SOARELUI PE ECLIPTICA 9

Pentru culminatia inferioara (3), avem:

zm = 1800 (+ ). (1.3.4)

Formulele (1.3.1) si (1.3.4) sunt utile pentru determinarea latitudinii geograficea locului de observatie.

Observatie. Pentru ca o stea sa fie circumpolara, este necesar ca culminatia sainferioara sa fie deasupra orizontului (Figura 1.5). Deoarece orizontul formeaza cuecuatorul ceresc unghiul 900 , conditia circumpolaritatii este: 900

La fel, 6 (900 ) este conditia ca o stea sa nu rasara. Deci conditia ca ostea sa nu fie circumpolara (sa nu apuna sau sa nu rasara) este:

|| 900 , (1.3.5)iar conditia ca o stea sa fie cu rasarit si apus este:

|| 6 900 . (1.3.6)

1.4 Miscarea Soarelui pe ecliptica

Soarele pe langa miscarea diurna la care participa mpreuna cu toti astrii,se deplaseaza si printre stele, executand n cursul anului un ocol complet pe sferacereasca.

Masurand n meridian distanta zenitala a Soarelui, obtinem, dupa formula(1.3.2), declinatia , care n timpul unui an variaza continuu ntre limitele 23027si +23027, n ambele sensuri, luand de doua ori valoarea zero.

Ascensia dreapta a centrului Soarelui, , care se determina cu ajutorul stelelorcare culmineaza la miezul noptii, variaza n timpul unui an intre 00 3600 (sau0h 24h).

Locul geometric al punctelor reprezentand centrul Soarelui timp de un an esteun cerc mare al sferei ceresti (EE ), al carui plan este nclinat cu unghiul = 23027

pe planul ecuatorului ceresc. Acest cerc mare se numeste ecliptica (Figura 1.6).

Pe cer ecliptica trece prin constelatiile zodiacale care sunt n numar de 12, casi numarul lunilor ntr-un an.

Ecliptica taie ecuatorul ceresc n doua puncte diametral opuse, numitepunctele echinoctiilor (sau echinoctiale) : punctul vernal (), n care Soarele se aflala 21 Martie, trecand din emisfera australa n cea boreala ( = 0h, = 00), sipunctul autumnal (), n care Soarele se afla la 23 Septembrie, trecand din emisferaboreala n cea australa ( = 12h, = 00).


E

P

Q

E

QO

|

Figura 1.6: Pozitia eclipticii pe sfera cereasca

Alte doua puncte importante ale eclipticii sunt punctele unde declinatia Soare-lui ia valori extreme, puncte numite solstitii : punctul solstitiului de vara ( =6h, = +23027), unde declinatia este maxima, si punctul solstitiului de iarna ( = 18h, = 23027), unde declinatia este minima.

Fenomenele miscarii aparente a Soarelui se explica n ntregime prin douamiscari n spatiu ale Pamantului, socotit drept corp rigid: miscarea de rotatie njurul axei sale simiscarea de translatie (numita n astronomie miscare de revolutie) njurul Soarelui. Aceste miscari se executa astfel ncat axa de rotatie ramane nclinatafata de planul orbitei Pamantului cu un unghi de 66033, deplasandu-se paralel cuea nsasi.

1.5 Sistemul de coordonate ecliptice

Cel de-al patrulea sistem de coordonate ceresti are ca plan fundamental planuleclipticii (EE ) si ca axa fundamentala axa polilor ecliptici (perpendiculara ncentrul sferei ceresti pe planul eclipticii) (). Ea are cu sfera cereasca doua punctede intersectie, numite polii ecliptici ( si ). Cercul mare dus prin polii , siastru este cercul latitudinilor (sau meridianul ecliptic) al astrului.

Coordonatele ecliptice ale unui astru sunt (Figura 1.7):

- latitudinea ecliptica (): unghiul format de raza corespunzatoare astrului cuplanul eclipticii. Este masurata prin arcul de cerc de latitudine, de la ecliptica laastru. Este pozitiva de la ecliptica spre polul nord si negativa de la ecliptica sprepolul sud .

- longitudinea ecliptica ():unghiul masurat, n sens direct, prin arcul eclipticii,de la cercul de latitudine al punctului vernal la cercul de latitudine al astrului. Seexprima n grade (de la 00 la 3600).

Coordonatele ecliptice nu depind de rotatia sferei ceresti. Ele nu se masoara

1.6. COORDONATE GALACTICE 11

E EO

l

s

b

s

P

Figura 1.7: Sistemul de coordonate ecliptice

cu instrumente, ci se deduc prin calcul din cele ecuatoriale. Ele se utilizeaza maiales la studiul miscarii Lunii si planetelor, care si executa miscarea n apropiereaeclipticii.

1.6 Coordonate galactice

Un alt sistem de coordonate ceresti, mult folosit n studiul dinamicii stelare sial structurii Galaxiei, este sistemul galactic.

Sa consideram planul meridian al Caii Lactee. Acesta taie sfera cereasca dupaun cerc mare, numit ecuator galactic (LL). Planul ecuatorului galactic impreuna cuaxa polilor galactici (GG) (polul nord galactic G avand coordonatele A =12h40min siD= 280, 00) formeaza sistemul galactic de referinta. Fata de acest sistem se definesccoordonatele galactice ale unui astru (Figura 1.8):

P

Q

G

O

L

P

G

Q

L

b

d

d

i

Figura 1.8: Sistemul de coordonate galactice

- latitudinea galactica (b): unghiul format de raza corespunzatoare astrului cuplanul ecuatorului galactic;

- longitudinea galactica (l): unghiul pe care-l face cercul de latitudine galactica


al astrului cu cercul de latitudine galactica al punctului de intersectie a ecuatorulgalactic cu ecuatorul ceresc ( = 18

h40min). Acest punct se numeste nodulascendent al ecuatorului galactic.

Observam ca, spre deosebire de coordonatele orizontale, ecuatoriale si ecliptice,coordonatele galactice ale stelelor nu se determina cu precizie (de obicei, nu maiprecis de 00, 1), lucru ce se explica prin faptul ca aceste coordonate sunt folositendeosebi n lucrarile de statistica stelara.

1.7 Transformarea coordonatelor ceresti

Sa consideram sfera cereasca si sa figuram pe ea simultan doua sisteme decoordonate: sistemul orar si sistemul orizontal. Obtinem ca meridianul ceresc, ver-ticalul astrului si cercul de declinatie al astrului se ntretaie, formand triunghiulsferic: zenitul Z, polul lumii P si astrul (Figura 1.9).

90-j

O

p=90-d

O

180-A

O

Z=90O

H

P

s

Zq

Figura 1.9: Triunghiul paralactic

Acest triunghi se numeste triunghiul paralactic sau triunghiul de pozitie (sauprimul triunghi astronomic).

Laturile acestui triunghi sunt:_

ZP = 900 ,_

Z = z,_

P = 900 = p, iarunghiurile lui sunt Z = 1800 A, P = H, = q (unghi paralactic).

Se vede ca elementele triunghiului paralactic contin atat coordonatele orizon-tale z si A, cat si coordonatele orare si H.

Aplicand formulele lui Gauss (Teorema cosinusului, Teorema sinusului si For-mula celor cinci elemente) la rezolvarea triunghiului paralactic, obtinem relatiile detrecere de la un sistem de coordonate la altul.

De exemplu, transformarea coordonatelor orizontale (z, A), pentru un momentdeterminat, n coordonatele orare (,H), cunoscand latitudinea geografica a locu-lui de observatie, se efectueaza astfel: se aplica formulele lui Gauss pentru acele

1.7. TRANSFORMAREA COORDONATELOR CERESTI 13

elemente ale triunghiului paralactic care contin coordonatele necunoscute, adicapentru latura (900 ) si unghiul H. Avem:

cos(900 ) = cos(900 ) cos z + sin(900 ) sin z cos(1800 A)sin(900 )sin(1800 A) =

sin z

sinHsin(900 ) cosH = sin(900 ) cos z + cos(900 ) sin z cos(1800 A)

De aici, gasim:

sin = sin cos z cos sin z cosA (I)cos sinH = sin z sinA (II)

cos cosH = cos cos z + sin sin z cosA (III)

(1.7.1)La determinarea necunoscutelor se procedeaza astfel: mpartind ecuatia a doua

cu a treia, se determina H dupa tangenta:

tanH =(II)

(III). (1.7.2)

Daca H > 450, atunci, pentru a determina pe dupa tangenta, este maibine sa mpartim prima ecuatie cu a doua, pentru ca n acest caz eroarea de calculinfluenteaza mai putin sinusul:

tan =(I)

(II)sinH. (1.7.3)

Daca H < 450, atunci, pentru a calcula pe , este mai bine sa mpartim primaecuatie cu a treia, deoarece n acest caz eroarea influenteaza mai putin cosinusul:

tan =(I)

(III)cosH. (1.7.4)

Probleme propuse:

1. Enumerati punctele fundamentale de referinta de pe sfera cereasca.

2. Sa se scrie coordonatele ecuatoriale ale punctelor fundamentale de referintade pe sfera cereasca.

3. Sa se arate ca relatia:

= +H,

are o valabilitate generala (nedepinzand de situarea observatorului O pe globul tere-stru si a astrului pe sfera cereasca)


4. Sa se scrie formula pentru distanta dintre doua puncte de pe suprafataglobului terestru, de coordonate geografice (L1, 1) si (L2, 2).

5. Un vapor pleaca n ziua de 8 iulie, ora 6 dimineata, din portul B(1 =48023N,L1 = 4030V ) pe un cerc mare, spre portul C(2 = 5017N,L2 = 52033V ).Cand ajunge vaporul la destinatie daca viteza sa medie de deplasare este de 18 milemarine pe ora?

6. Sa se scrie formula pentru distanta dintre doua puncte de pe suprafataglobului terestru, de coordonate ecuatoriale 1(1, 1) si 2(2, 2).

7. Intr-o zi, la momentul sideral = 19h35min24s, coordonatele ecuatori-ale ale unei comete sunt urmatoarele: = 17h50min47s, 5; = +2701736. In cedirectie (A, z) trebuie ndreptat teodolitul de la Observatorul Astronomic din Cluj-Napoca ( = 4604534) pentru a observa cometa?

8. O cometa are coordonatele ecliptice (, ). Care sunt coordonatele ecuato-riale ale cometei stiind ca nclinarea pe ecuator este ? Aplicatie: = 5h43min01s, 5; = 4500748; = 2302621.

9. Sa se stabileasca formulele pentru transformarea coordonatelor ecuatoriale(, ) n coordonate galactice (l, b).

10. Sa se determine timpul sideral si azimutul pentru punctele unde rasaresi apune steaua S, de coordonate ecuatoriale (, ), ntr-o localitate de latitudine (nu se tine seama de refractie).

Capitolul 2

Problema celor doua corpuri

2.1 Legile miscarii ale lui Newton

In Cartea I Principiile Matematice ale Filzofiei Naturale sau pe scurt Prin-cipiile, Newton introduce urmatoarele trei legi ale miscarii:

1. Fiecare corp ramane n starea sa de repaus sau de miscare rectilinie siuniforma daca nu este obligat de o forta exterioara sa-si schimbe aceasta stare.

2. Variatia miscarii este proportionala cu forta si are loc pe directia sisensul de actiune a fortei.

3. La orice forta (actiune) corespunde o reactiune egala si direct opusa.

A doua lege numita si legea actiunii fortelor poate fi exprimata din punctde vedere matematic astfel

F =

d

dt(mv ) (2.1.1)

si tinand seama ca masa este o marime constanta n ecuatia (2.1.1), aceasta lege semai scrie

F = m

dvdt

= ma (2.1.2)

care este ecuatia fundamentala a mecanicii newtoniene.

15

16 CAPITOLUL 2. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI

2.2 Legea atractiei universale a lui Newton

In afara de cele trei legi de miscare din Principii Newton a formulat si legeaatractiei universale sau legea gravitatiei avand n forma actuala urmatorul enunt:Oricare doua puncte materiale se atrag reciproc cu o forta direct proportionala cuprodusul maselor lor si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele.

Matematic, aceasta lege se exprima prin ecuatia

F = G

m1m2r2

rr

(2.2.1)

unde m1 si m2 sunt masele celor doua puncte materiale aflate la distanta r ntre ele(vezi Fig. 2.1), iar G reprezinta un coeficient de proportionalitate, numit constantaatractiei gravitationale (universale), a carei valoare depinde de alegerea sistemuluifundamental de unitati (de lungime, de masa si timp)

-n sistemul international (S.I.) G = 6.67 1011 ' 115 109

-n Sistemul Astronomic Fundamental (distanta medie Pamant-Soare, masa Soare-lui, zona solara medie): G = 0.000295912 sau G = k2 (k = 0.01720209895 si senumeste constanta lui Gauss).

Figura 2.1: Legea atractiei universale a lui Newton

2.3 Problema celor n corpuri

In acest paragraf vom analiza n detaliu miscarea unui corp (planeta, satelit alPamantului sau a unei navete spatiale), asupra sa actionand forte de tip gravitational

2.3. PROBLEMA CELOR N CORPURI 17

sau forte datorita rezistentei la naintare, a compresiunii sau a presiunii radiatieisolare.

Vom considera sistemul de corpuri M = {mk}k=1,n si consideram corpul mi,1 i n, caruia i vom studia miscarea.

Incepem analiza noastra prin a considera, fara a restrange generalitatea, unsistem de coordonate Ox1x2x3, n care pozitiile celor n mase mk sunt cunoscute cuajutorul vectorilor de pozitie r1 ,r2 , ...,rn , (vezi Fig. 2.2).

Figura 2.2: Problema celor n corpuri

Conform legii universale a gravitatiei lui Newton fortaFik exercitata de mi

asupra lui mk este

Fik = Gmimk

r3ki

rki (2.3.1)

unde

rki = ri rk . (2.3.2)

Rezultanta acestor forte gravitationale ce actioneaza asupra corpului i este

Fi =

nk=1, k 6=i

Gmimkr3ki

rki (2.3.3)

sau


Fi = Gmi

nk=1, k 6=i

mkr3ki

rki. (2.3.4)

Notam cuFie rezultanta celorlalte forte exterioare datorita rezistentei la naintare,

compresiunii, presiunii radiatiei solare, perturbatiilor datorita nesfericitatii acestor

corpuri, etc. Astfel, asupra corpului mi actioneaza o forta rezultantaRi

Ri =

Fi +

Fie. (2.3.5)

Aplicand legea a doua a miscarii lui Newton obtinem

d

dt(mi

vi ) = Ri (2.3.6)

sau

midvidt

+vi dmidt

=Ri (2.3.7)

Anumite efecte relativistice pot produce o schimbare a masei mi ca functie detimp si astfel termenul al doilea din relatia (2.3.7) nu poate disparea ntotdeauna.

Cu alte cuvinte, n astrodinamica nu este mereu satisfacuta ecuatiaF = ma .

Inmultind relatia (2.3.7) cu m1i obtinem ecuatia generala a miscarii pentrucorpul i

..ri=Rimi

.ri.mimi

(2.3.8)

unde..ri reprezinta vectorul acceleratiei al corpului i relativ la sistemul de coordonate

Ox1x2x3.

Ecuatia (2.3.8) reprezinta o ecuatie diferentiala vectoriala de ordinul doi neliniaraa carei solutie nu poate fi gasita n forma de mai sus, decat facand anumite ipotezesimplificatoare.

Presupunand ca masa mi ramane constanta (mi = 0) si caFie este identic nul,

ecuatia (2.3.8) se reduce la

..ri= Gn

k=1, k 6=1

mkr3ki

rki. (2.3.9)

2.4. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI 19

Sa presupunem acum ca m2 este un satelit al Pamantului, m1 este Pamantulsi celelalte mase ramase m3,m4, ...,mn reprezinta masele Lunii, Soarelui si a altorplanete.

Din ecuatia (2.3.9) pentru i = 1 si i = 2 obtinem

..r1= Gn

k=2

mkr3k1

rk1 (2.3.10)

respectiv

..r2= Gn

k=1, k 6=2

mkr3k2

rk2. (2.3.11)

Din relatia (2.3.2) pentru i = 1 si n = 2 obtinem

..r12=..r2

..r1 . (2.3.12)

Substituind relatiile (2.3.10) si (2.3.11) n relatia (2.3.12) gasim

..r12= G (m1 +m2)r312

r12 n

k=3

Gmk

(rk2rk2

rk1rk1

). (2.3.13)

Aceasta relatie scrisa sub forma de mai sus ne va ajuta la studiul miscarii unui

satelit de masa m2 apropiat al Pamantului de masa m1. Atunci..r12 va reprezenta

acceleratia satelitului relativ la Pamant.

Ultimul termen din ecuatia (2.3.13) este datorat efectelor perturbatoare aleLunii, Soarelui, planetelor si altor sateliti apropiati de Pamant. Pentru a aduceviitoare simplificari ale acestei ecuatii va trebui sa comparam marimea efectelor ceproduc aceste perturbatii cu forta de atractie dintre Pamant si satelit.

2.4 Problema celor doua corpuri

In paragraful precedent am gasit ecuatia generala (2.3.13) a miscarii relative adoua corpuri perturbata de alte corpuri. Acum vom reduce aceasta ecuatie n cazulparticular al problemei celor doua corpuri.

Vom face doua ipoteze simplificatoare referitoare la modelul considerat:


1. Corpurile sunt uniform sferice si consideram ca ntrega lor masa este con-centrata n centrele lor.

2. Asupra sistemului nu actioneaza forte interne sau externe n afara de fortelegravitationale ce actioneaza de-a lungul liniei ce uneste centrele celor doua corpuri.

Vom formula urmatoarea problema: Sa se studieze miscarea relativa a punc-tului material de masam2 n campul gravitational creat de punctul material de masam1 .

Pozita celor doua puncte masice m1 si m2 este cunoscuta cu ajutorul vectorilorde pozitie r1 si respectiv r2 fata de un reper considerat fix Ox1x2x3 (vezi Fig. 2.3).Admitem ca aceste doua mase interactioneaza printr-o forta ce depinde de distantarelativa dintre cele doua mase si are sensul de la m1 spre m2. Aceasta forta poatefi exprimata astfel

F = F ir (2.4.1)

undeir este versorul directiei m1m2 si are urmatoarea expresie

ir =

rr

(2.4.2)

cu

r = r12 = r2 r1 . (2.4.3)

Figura 2.3: Problema celor doua corpuri

Aplicand legea a doua a lui Newton miscarii lui m2 si m1 gasim

2.4. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI 21

m2..r2= F (2.4.4)

respectiv

m1..r1= F . (2.4.5)

Pentru a obtine ecuatia diferentiala a miscarii lui m2 n raport cu m1 vomscadea relatia (2.4.5) din (2.4.4)

..r2 ..r1=

(1

m2+

1

m1

)F . (2.4.6)

Utilizand relatiile (2.4.1) si (2.4.3), relatia (1.4.6) devine

r = (

1

m2+

1

m1

)Fi3 . (2.4.7)

In Mecanica clasica, termenul

1

m2+

1

m1=m1 +m2m1m2

(2.4.8)

se numeste masa redusa.

Utilizand relatiile (2.4.8) si (2.2.1) n (2.4.7) obtinem

..r = m1 +m2m1m2

Gm1m2r2

ir (2.4.9)

sau introducand factorul

= G (m1 +m2) (2.4.10)

obtinem ecuatia diferentiala sub forma vectoriala a miscarii pentru problema celordoua corpuri sub forma

..r + r3r = 0. (2.4.11)

Observatii

1. Ecuatia (2.4.11) ramane neschimbata daca nlocuim pe r cu r . Astfel,ecuatia (2.4.11) descrie fie miscarea lui m2 fata de m1 fie invers.


2. Ecuatia (2.4.11) descrie miscarea unitatii de masa mu relativ la masa m1+m2 situata ntr-o origine fixata,

mu..r +mu

r3r = 0.

3. Forta gravitationala deriva dintr-un potential si ecuatia (2.4.11) se scrie

..r = vr

unde

v = r.

4. Potentialul gravitational este definit astfel ncat este zero la infinit, i.e.

limr

v = 0.

2.5 Teorema lui Newton privind atractia unei sfere

omogene

Aceste rezultate referitoare la atractia unei sfere omogene goale sau pline,constituie baza teoretica a aplicabilitatii legii atractiei universale la studiul miscariicorpurilor ceresti.

Teorema: Atractia unei sfere omogene goale este aceasi cu atractia centruluiei n care s-ar afla concentrata ntreaga masa a sferei, cand punctul material se aflan exteriorul sferei si este egala cu zero, cand punctul material se afla n interiorulsferei.

Consideram o sfera de raza r de ecuatie

x21 + x22 + x

23 = r

2 (2.5.1)

cu centrul situat n originea sistemului de axe Ox1x2x3, avand masa atractiva uni-form distribuita pe suprafata ei, astfel reprezentand o suprafata materiala sfericaomogena. Consideram punctul material M2 de masa unitate situat pe axa Oz atrasde masa superficiala a sferei, cu o forta newtoniana de tipul (2.2.1) si fie M1 unpunct curent al sferei, (vezi Fig. 2.3).

2.5. TEOREMA LUI NEWTON PRIVIND ATRACTIA 23

Expresia potentialului fortelor newtoniene rezultat de masa superficiala a sferei,numit si potentialul simplului strat sferic n punctul M2 este

U (M2) =

dAr (2.5.2)

unde este densitatea constanta a suprafetei, dA un element al acestei suprafete,iar

r = M1M2 = OM2 OM1. (2.5.3)

Figura 2.4: Geometria simplului strat sferic

Deoarece

r2 = x23 + r2 2rx3 cos (2.5.4)

si

dA = r2 sin d d, (2.5.5)

obtinem pentru potentialul U(M2)

U (M2) = U (x3) =

r

2 sin d dr2 + x23 2rx3 cos

=


=r

x3

2pi0

d

pi0

r sin dr2 + x23 2rx3 cos

=

=2pir

x3

r2 + x23 2rx3 cos

pi0

=2pir

x3(r + x3 |r x3|) . (2.5.6)

Notam cu m1 masa sferei, a carei masa atractiva este uniform distribuita pesuprafata sa

m1 = 4pir2 (2.5.7)

obtinem ca

U (z) =

{m1x3

daca x3 rm1r daca x3 < r

(2.5.8)

si fortaF = 5U trece prin centrul sferei considerate.

Newton a demonstrat aceasta teorema n Principiile pe cale geometrica.Vomextinde acest rezultat n cazul unei sfere pline, pe care o vom considera fiind formatadintr-un numar foarte mare de straturi sferice concentrice omogene, foarte subtiri.

In acest caz, utilizand coordonatele sferice elementul de volum dv are urmatoareaexpresie

dv = r2 sin dr d d. (2.5.9)

Pentru masa totala m1 obtinem rezultatul cunoscut

m1 =

r0

pi0

2pi0

r2 sin d d dr = 43pir3. (2.5.10)

Potentialul U(M2) va avea urmatoarea expresie

U(M2) = U(z) =

r0

pi0

2pi0

r sin2 dr d dr2 + x23 2rx3 cos

. (2.5.11)

2.6. SOLUTIA ANALITICA A PROBLEMEI CELOR DOUA CORPURI 25

Folosind relatiile (2.5.6),(2.5.10) si tinand seama ca n cazul punctuluiM2 interiorsferei avem

U(M2) =2pi

x3

x30

r [(r + x3) (x3 r)] dr +r

x3

r [(r + x3) (r x3)] dr

(2.5.12)

obtinem

U(M2) =

{m1x3

, daca x3 r2pi

(r2 x23

3

), daca x3 < r

. (2.5.13)

Observam ca potentialul U este continuu n tot spatiul exterior sau interiorsferei precum si la traversarea suprafetei din ambele cazuri.

2.6 Solutia analitica a problemei celor doua cor-

puri

Consideram ecuatia diferentiala vectoriala a miscarii pentru problema celordoua corpuri (2.4.11) sub forma

..r = r3r . (2.6.1)

Pentru a da o solutie analitica completa va trebui sa gasim sase integraleale miscarii. Prin integrala miscarii a sistemului (2.6.1) vom ntelege orice functie

f(r , .r , t) astfel ncat

f(r , .r , t) = constant. (2.6.2)

Vom considera corpul S de masa m1 n campul sau gravitational creat. Nepropunem sa studiem miscarea corpului de masa m2.

Corpul S se numeste corp central, iar punctele materiale (S,m1) si (,m2) senumesc centru atractiv si respectiv satelit. Prin satelit vom ntelege o planeta, unasteroid, o cometa, etc., atunci cand centrul atractiv este Soarele sau chiar un satelitartificial sau natural al unei planete.


In Figura 2.5 prezentam un sistem cartezian n care vectorul de pozitie r =S este exprimat astfel

r = x1i1 + x2i2 + x3i3 . (2.6.3)

Figura 2.5: Pozitia orbitei fata de planul fundamental

Vom obtine integralele miscarii problemei celor doua corpuri utilizand ecuatia(2.4.11).

Inmultind vectorial cu r la stanga ambii membrii ai relatei (2.4.11) sau (2.6.1)si tinand seama de ecuatia

r r = 0 (2.6.4)obtinem

r ..r = d

dt

(r .r ) = 0. (2.6.5)Integrand relatia de mai sus gasim ca

r .r = c = const. , (2.6.6)

undec = c

(r (t) , .r (t)) = const. .Astfel, am determinat prima integrala a miscarii, numita integrala ariilor

reprezentand legea conservarii momentului cinetic sau a ariilor n miscarea punctu-lui material (de masa unitate). Vectorul c se numeste vectorul moment cinetic sauconstanta (vectoriala) ariilor. Relatia ntrec si viteza areolara este:


=

dA

dt=

1

2(r v ) = 1

2c . (2.6.7)

Un rezultat important se obtine nmultind scalar cu r si cu.r relatia (2.6.6)

r c = r (r .r ) = 0

si.r c =

.r (r .r ) = 0. (2.6.8)

Acest rezultat ne arata ca raza vectoare r si viteza.r sunt perpendiculare pe

vectorul c ; deci vectorul c este normal pe planul orbitei (planul de miscare).Ecuatia planului orbitei se scrie sub forma

r c = x1c1 + x2c2 + x3c3 = 0. (2.6.9)Observam ca acest plan contine originea sistemului cartezian ales.

Alta integrala prima a miscarii o vom obtine nmultind scalar ecuatia (2.4.11)

cu.r

.r ( ..r +

r3

.r)= 0 (2.6.10)

sau.r

..r = 12

d

dt

( .r r ) . (2.6.11)Observam ca

d

dt

( r r

)=

2

(r r )3

d

dt(r r ) =

r3

.r r . (2.6.12)

Din relatiile (2.6.11) si (2.6.12) gasim urmatoarea relatie

d

dt

(1

2

.r .r

r

)= 0, (2.6.13)

care ne conduce la integrala energiei

1

2

( .r .r ) r= h = const. (2.6.14)


sau

.r2

2

r= h. (2.6.15)

unde h se numeste constanta energiei si se determina din conditiile initiale. Inrelatia (2.6.15) primul termen reprezinta energia cinetica a punctului material (demasa unitate) iar al doilea energia lui potentiala, ceea ce justifica denumirile facutede integrala energiei.

De asemenea, relatia (2.6.15) ne arata ca energia mecanica a satelitului esteconstanta n tot timpul miscarii, adica energia se conserva.

Pentru a deduce ultima integrala vectoriala a miscarii vom nmulti vectorial lastanga cu vectorul moment cinetic c relatia (2.4.11)

c ..r +

r3

(r .r )r = 0. (2.6.15)Tinand seama de (2.6.15) obtinem ecuatia

c ..r +

r3

[(r r )

.r ( .r r )r ] = 0. (2.6.16)

Primul termen din membrul drept al relatiei de mai sus, tinand seama de(2.6.6) devine

c ..r = d

dt

(c .r ) (2.6.17)iar cel de al doilea se mai poate scrie sub forma

r3

[(r r )

.r ( .r r ) r ] = d

dt

(1

rr). (2.6.18)

Astfel din (2.6.16) - (2.6.18) obtinem ecuatia

d

dt

(c .r +rr)= 0. (2.6.19)

Aceasta ecuatie ne conduce la integrala miscarii a lui Laplace

c .r +

rr = P (2.6.20)


care folosind (2.6.6) se mai poate scrie(r .r ) .r +rr = P . (2.6.21)

P este un vector constant numit vectorul lui Laplace sau vectorul excentricitatii.Legatura ntre aceste integrale ale miscarii este data de urmatoarea

Propozitie Intre c , h si P exista urmatoarele doua relatii independente:

(i) c P = 0

(ii)c2

=

2h

(1 P

2

2

).

DemonstratieInmultim scalar cu c ambii membrii din integrala lui Laplace (2.6.21)

c c .r +

rc r = c P .

Cum c r si c c .r = 0 obtinem:

c P = 0.

Din relatia de mai sus observam caP este inclus n planul orbitei deoarece

este perpendicular pe c .Pentru a determina cea de-a doua relatie ntre c , h si P vom calcula produsul

vectorial dintreP si el nsusi:

P P =

(c .r ) (c .r )+ 2rr

(c .r )+ 2r2

(r r ) .

de unde obtinem ca:

(c .r ) (c .r ) = ( .r .r ) (c c ) (c .r )(c .r ) .Cum c

.r = 0 si c c = c2 avem:


(c .r ) (c .r ) = c2 .r .rsi obtinem:

2

rr

(c .r ) = 2rc2.

Din ultimele doua relatii si din faptul ca

2

r2(r r ) = 2

tinand seama de (2.6.14) gasim

c2

=

2h

(1 P

2

2

).

Ecuatiile (i) si (ii) din Propozitie ne arata ca integralele miscarii (2.6.6),(2.6.14) si (2.6.21) nu sunt independente ntre ele.

Astfel cele sapte constante ale miscarii introduse de integralele miscarii se reducdatorita relatiilor (i) si (ii) la cinci.

Cum pentru solutia completa a problemei celor doua corpuri avem nevoie desase constante va trebui sa mai determinam una. Pe aceasta o vom determina ncele ce urmeaza din ecuatia lui Kepler.Vom ncepe prin a calcula patratul momentului cinetic c

c2 = c c =(r .r ) (r .r ) . (2.6.22)

Utilizand relatia (2.6.14) obtinem

c2 =( .r .r ) (r r ) ( .r r ) (r .r ) =

= r2(2h+

2

r

) r2

.r2 . (2.6.23)

Vom considera, n cele ce urmeaza cazul orbitei eliptice caz n care energia heste strict negativa.Din relatia (2.6.23) observam ca


rr = 2h(r2 +

r

h

)+

c2

2h(2.6.24)

relatie ce se mai poate rescrie daca sub cel de-al doilea radical adunam si scadem

cantitatea(2h

)2si sub forma

rr = 2h(r +

h

)2+

c2

2h+( 2h

)2. (2.6.25)

Tinand seama de ecuatia (ii) nmultita cu 2h, ecuatia (2.6.25) devine

rr = 2h(

P

2h

)2(r +

2h

)2. (2.6.26)

Ecuatia (2.6.26) poate fi pusa sub forma unei ecuatii diferentiale cu variabileseparabile sub forma:

2hdt = z 2h(

P2h

)2 z2dz (2.6.27)unde am folosit notatia

z = r +

2h. (2.6.28)

Vom introduce o alta notatie

E = arccos

(zP2h

). (2.6.29)

De aici

sinE =2h

P

(P

2h

)2 z2 (2.6.30)

si integrand ecuatia (2.6.27) obtinem ecuatia lui Kepler

2h (t+ k) = E PsinE. (2.6.31)


In ecuatia lui Kepler, k este o constanta de integrare.

Pentru a obtine o expresie de tipul r = r (E) vom folosi (2.6.28) si (2.6.29), sigasim ca aceasta este:

r = 2h

(1 P

cosE

). (2.6.32)

Capitolul 3

Legile lui Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) a descoperit empiric aceste legi, publicand primeledoua n 1609, iar pe cea de-a treia n 1618 .

Acestea sunt :

1. Orbitele planetelor sunt elipse cu Soarele ntr-unul din focare .

2. Vectorul ce uneste Soarele cu o Planeta matura arii egale n intervale detimp egale .

3. Patratul perioadei unei planete este proportional cu cubul semiaxei maria orbitei .

In acest capitol vom verifica legile lui Kepler utilizand integralele miscarii gasiten Capitolul 2.

3.1 Prima lege a lui Kepler

Inmultind scalar cu r ambii membrii ai integralei miscarii a lui Laplace(2.6.20) obtinem

r c .r +

rr r = r P . (3.1.1)

Primul termen din membrul stang se reduce la

r c .r = c r

.r = c2 (3.1.2)

si astfel (3.1.1) devinec2 + r = rP cos. (3.1.3)

33

34 CAPITOLUL 3. LEGILE LUI KEPLER

unde reprezinta unghiul dintre vectorul de pozitie r si vectorul lui Laplace P sieste numit anomalie adevarata.

Din relatia (3.1.3) gasim pentru modulul vectorului de pozitie ~r expresia

r =c2

11 + P

cos

. (3.1.4)

Tinand seama de ecuatia standard a unei conice

r =p

1 + e cos(3.1.5)

cup a(1 e2), (3.1.6)

din (3.1.4) obtinem pentru parametrul conicei si pentru excentricitate expresiile

p =c2

(3.1.7)

e =P

. (3.1.8)

Tinand seama de a doua relatie de dependenta dintre integralele miscarii vom ex-prima constanta energiei cu unul dintre parametri conicei astfel

c2

=

2h

[1

(P

)2]= p a(1 e2). (3.1.9)

Astfel obtinem ca

a = 2h

(3.1.10)

ceea ce ne arata ca semiaxa mare a conicei depinde numai de energie.

Observam ca daca = 0 , distanta r atinge valoarea minima rpi numita distantala pericentru de ecuatie

rpi =p

1 + e=a(1 e2)1 + e

= a(1 e). (3.1.11)

Forma conicei este determinata de semnul constantei h pe baza expresiei(3.1.5), astfel

h < 0 e < 1 elipsah = 0 e = 1 parabolah > 0 e > 1 hiperbola.

(3.1.12)

3.2. A DOUA LEGE A LUI KEPLER 35

3.2 A doua lege a lui Kepler

In sistemul de coordonate polare pentru vectorii de pozitie si viteza avemurmatoarele reprezentari (vezi Fig. 3.1)

r = rir (3.2.1).r = rir + ri (3.2.2)

unde versoruli este dat de relatia

i =

ic ir (3.2.3)

cuic =

cc. (3.2.4)

Versoriiir ,

i ,

ic formeaza un sistem ortogonal. In acest sistem vectorul

moment cinetic este

c = r .r = rir

(rir + r

i

). (3.2.5)

Tinand seama de relatiile r r = 0 si ir i = ic obtinem

c = r2ic . (3.2.6)

Astfel modulul momentului cinetic este

c = r2 = constant. (3.2.7)

Aria maturata de vectorul de pozitie al punctului curent n unitatea de timpeste

dA

dt=

1

2r2d

dt. (3.2.8)

Dar, (vezi Fig. 3.2) avem ca

4A = 12(r+ M r) (r M ) . (3.2.9)

Trecand la limita cu Mr 0 pentru 4t 0 obtinem


Figura 3.1: Sistem local ~ir, ~i

Figura 3.2: Aria sectorului de conica

dA

dt= lim

4to4A4t =

1

2r2 lim

4t044t =

1

2c = constant. (3.2.10)

Astfel am verificat legea a IIa a lui Kepler: Vectorul ce uneste Soarele cu oplaneta matura arii egale n intervale de timp egale.

3.3 A treia lege a lui Kepler

Vom considera cazul orbitei eliptice (h0).

3.4. DETERMINAREA MASEI PLANETARE 37

Din relatiile (2.6.33), (3.1.8) si (3.1.10) obtinem urmatoarea relatie

r = a (1 e cosE) . (3.3.1)Astfel din relatia (2.6.26) gasim ca

2hdt = rdr(P2h

)2 (r + 2h

)2 . (3.3.2)Folosind relatia (3.3.1) ecuatia (3.3.2) ia urmatoarea forma simplificata

adt = a(1 e cosE)dE. (3.3.3)

Prin integrarea relatiei precedente obtinem

T0

dt =

a3

2pi0

(1 e cosE)dE. (3.3.4)

unde T reprezinta perioada unei orbite sau timpul cat E creste de la 0 la 2pi.Integrala de mai sus ne conduce la urmatoarea expresie

T = 2pi

a3

. (3.3.5)

Ridicand la patrat relatia (3.3.5) gasim

T 2 =

(4pi2

)a3, (3.3.6)

ceea ce ne arata ca legea a treia a lui Kepler a fost verificata.

3.4 Determinarea masei planetare

Legea a treia a lui Kepler poate fi folosita la determinarea raportului dintremasa unei planete si masa Soarelui.

Vom considera pentru nceput cunoscute din observatii:


T si T1 - perioada planetei si respectiv a asteroidului

a si a1 - semiaxa mare a orbitei planetei si respectiv a asteroidului.Vom nota cu :

S - masa Soarelui,

P - masa planetei,

G - constanta universala gravitationala

si aplicand legea a treia a lui Kepler gasim

T 2 =4pi2

G (S + P )a3. (3.4.1)

Analog, putem scrie cea de-a treia lege a lui Kepler pentru Soare si asteroid

T 21 =4pi2

G(S +m1)a31 (3.4.2)

unde m1 reprezinta masa asteroidului si pe care o presupunem neglijabil de mica nraport cu S.

Din raportul relatiilor (3.4.1), (3.4.2) obtinem

(T

T1

)2=

1 + m1S

1 + PS

(a

a1

)3. (3.4.3)

Tinand seama de presupunerea ca m1

3.4. DETERMINAREA MASEI PLANETARE 39

Consideram masa planetei si a satelitului ca o singura masa ce orbiteaza njurul Soarelui. Astfel relatia (3.4.1 ) ia forma

T 2 =4pi2

G (S +M +ms)a3. (3.4.6)

Facand raportul relatiilor (3.4.5), (3.4.6) obtinem

(TsT

)2= (

S

M +ms+ 1)

(asa

)3. (3.4.7)

De aici gasim valoarea raportului dintre masa Soarelui si masa totala a planeteisi a satelitului:

S

M +ms=(asa

)3(TsT

)2 1. (3.4.8)

In Mecanica Cereasca sunt foarte folosite aceste rapoarte de mase deoarece potfi determinate din observatii cu un grad nalt de acuratete , pe cand G - ConstantaGravitatiei Universale nu este foarte exact cunoscuta

(G = 6,672 10-20Km3/(Kg s2)).

Capitolul 4

Metode de calcul n astrodinamica

4.1 Vectorii de pozitie si viteza n integralele miscarii

In aplicatiile practice, pentru studiul orbitelor satelitilor si navetelor spatialeeste util sa cunoastem solutia problemei celor doua corpuri ntr-un sistem de co-ordonate, decat sa cunoastem integralele miscarii. In acest capitol vom determina

vectorii de pozitie si viteza (r si.r ) ca functii ce depind de timp n cazul miscarii

eliptice (h < 0).

Cele sase integrale ale miscarii gasite n Capitolul 2 sunt

r .r = c

1

2

.r r h= h

(r r )r + r r = P

2h

2h(t+ k1) = E PsinE

unde

r = 2h

(1 PcosE).

Pentru a reduce cele opt constante de integrare (c , h,

P si k1) la sase, vom

introduce cele doua relatii scalare obtinute din Capitolul 2

41

42 CAPITOLUL 4. METODE DE CALCUL IN ASTRODINAMICA

c P = 0c2

=

2h(1 (P

)2).

In Capitolul 3 am identificat parametrii conicei cu unele integrale ale miscarii

p = a(1 e2) = c2

e =P

a = 2h

precum si relatia

r =p

1 + e cos.

Atunci ecuatia lui Kepler poate fi scrisa

n(t tpi) =M = E e sinE (4.1.1)unde am folosit conditia la limita

k1 = tpi (4.1.2)cand E = 0.

De asemenea am introdus

n = 2h

2h =

a3(4.1.3)

siM = n(t tpi) (4.1.4)

unde tpi se numeste timpul trecerii la pericentru, n se numeste miscare medie, si Mse numeste anomalie medie.

Ecuatia pentru miscarer = r(E)

se scrier = a(1 e cosE). (4.1.5)

4.1. VECTORII DE POZITIE SI VITEZA IN INTEGRALELE MISCARII 43

Unghiul E se numeste anomalie excentrica.

Vom prezenta n cele ce urmeaza o rezolvare numerica a ecuatiei lui Kepler,utilizand metoda Newton-Raphson.

Definim functia

F (E) = E e sinE n (t tpi) (4.1.6)

n care sunt cunoscuti toti termenii exceptand E.

Ne propunem sa aflam valoarea lui E, pentru care este satisfacuta ecuatia luiKepler adica acel E pentru care F (E) = 0.

O solutie convenabila poate fi obtinuta dezvoltand pe E n serie Taylor n jurulunei valori aproximative Ek :

F (E) = F (Ek) +

(dF

dE

)k

(E Ek) + ... (4.1.7)

Din ecuatia de mai sus tinand seama ca F (E) = 0 obtinem o aproximare asolutiei

E = Ek F (Ek)(dFdE

)k

. (4.1.8)

Iar din ecuatia (4.1.6) avem ca

(dF

dE

)k

= 1 e cosEk. (4.1.9)

Astfel din ecuatiile (4.1.8) si (4.1.9) obtinem urmatoarea aproximare a solutiei

E = Ek F (Ek)1 e cosEk . (4.1.10)

Vom continua cu calculul altor solutii aproximative ale lui E, ncepand cuprima aproximatie Ek si vom termina acest procedeu iterativ cand eroarea solutiei|E Ek| satisface ordinul de aproximatie cerut.

Problema care se ridica este daca aceasta metoda iterativa este convergenta.Pentru aceasta vom considera sirul (En)n0 definit astfel:

Luam ca valoare initiala

E0 = = n (t tpi)


siEk = e sin tk1, k = 1, n (4.1.11)

Demonstram ca acest procedeu iterativ de aproximare este convergent, adicasirul (En)n0 este convergent.

Consideram seria

E0 + (E1 E0) + (E2 E1) + ...+ (En En1) + ... (4.1.12)

Observam, ca convergenta seriei (4.1.12) implica convergenta sirului (4.1.11).

Pentru a demonstra convergenta seriei este necesar sa demonstram caEn+1 EnEn En1 < 1. (4.1.13)

Daca facem notatiile

f (E) = e sinEsi

En = f (En1) = e sinEn1 (4.1.14)atunci inegalitatea (4.1.13) este echivalenta cuf (En) f (En1)En En1

< 1. (4.1.15)Deoarece f este continua si derivabila pe R, implicit pe [En1, En] si respectiv

pe (En1, En) , rezulta conform teoremei lui Lagrange ca exista E (En1, En)astfel ncat

f (En) f (En1)En En1 = f

(E) . (4.1.16)

Inegalitatea (4.1.13) tinand seama de relatiile (4.1.14) - (4.1.16) este adevarata:En+1 EnEn En1 = |f (E)| < 1, (4.1.17)

ceea ce demonstreaza ca procesul de iteratie este convergent.

4.2. VECTORII DE POZITIE SI VITEZA 45

4.2 Vectorii de pozitie si viteza n functie de anom-

alia adevarata

Consideram miscarea celor doua corpuri de masa m1 si m2 ntr-un sistem decoordonate carteziene inertial cu originea fixata n masa m1. Planul fundamental al

sistemului este planul normal, pe vectorul moment cineticc iar directia principala

este vectorul LaplaceP .

Fie iP =

1

P P

ic =

1

c c

iQ =

ic iP .

Figura 4.1: Sistemul de coordonate de versoriiP ,iQ si

ic .

Vectorul de pozitie r are expresia

r = r cosiP + r siniQ. (4.2.1)Pentru a obtine viteza, diferentiem ecuatia (4.2.1) si obtinem

.r = (r cos r sin)iP + (r sin+ r cos) iQ. (4.2.2)Din legea a doua a lui Kepler l obtinem pe


r2 = c =p. (4.2.3)

Diferentiind ecuatia conicei

r =p

(1 + e cos)

obtinem vectorul de viteza r

r = (e sin

p)r2.

Din relatia (4.2.3) obtinem

r = e

psin. (4.2.4)

Introducand relatiile (4.2.3) si (4.2.4) n expresia lui.r obtinem

.r = [(e

psin) cos r sin

p

r2]iP + [(e

psin) sin r cos

p

r2]iQ

=

p[e sin cos sinp

r]iP +

p[e sin2 + cos

p

r]iQ. (4.2.5)

Tinand seama de ecuatia (3.1.5) n expresia precedenta a vectorului viteza(4.2.5) gasim

.r =

p[e sin cos sin(1 + e cos)iP +

p[e sin2 + cos(1 + e cos)]

iQ.

Dupa simplificari gasim ca

.r =

p[( sin)iP + (e+ cos)iQ]. (4.2.6)

Ecuatia (4.2.1) pentru r si ecuatia (4.2.6) pentru.r ne ofera expresii pentru

vectori de pozitie si de viteza n functie de anomalia adevarata.

Urmatorul pas n obtinerea solutiilor va fi eliminarea anomaliei adevarate nfavoarea anomaliei excentrice E.

4.3. VECTORII DE POZITIE SI VITEZA 47

4.3 Vectorii de pozitie si viteza n functie de anom-

alia excentrica

Pentru vectorii de pozitie r, avem urmatoarele doua ecuatii

r =a(1 e2)1 + e cos

= a(1 e cosE)

de unde gasim ca

cos =cosE e1 e cosE . (4.3.1)

Cum

r = e

psin

si

r = a(1 e cosE) (4.3.2)

atunci

r = ae sinEE.

Din ecuatia

dE

dt=

/a

a(1 e cosE) =1

r

a(4.3.3)

si (4.3.2) obtinem

r =e/a sinE

a(1 e cosE) (4.3.4)

sau tinand seama de (4.1.5) sub forma echivalenta

rr = ea sinE. (4.3.5)


Din relatiile (4.2.1) si (4.3.4) obtinem

sin =

p

a

sinE

1 e cosE

si cum

p a(1 e2)

avem

sin =

1 e2 sinE1 e cosE . (4.3.6)

Inlocuind relatiile (4.3.1) si (4.3.4) n ecuatia (4.2.1) avem

r = r cosiP + r siniQ

= r[cosE e1 e cosE ]

iP + r[

1 e2 sinE1 e cosE ]

iQ.

Deoarece r = a(1 e cosE) si p = a(1 e2) avem

r = a(cosE e)iP +ap sinEiQ. (4.3.7)

Diferentiind relatia (4.3.7) obtinem

.r = a sinE EiP +ap cosE EiQ

sau tinand seama de (4.3.7) si (4.3.8) gasim urmatoarea expresie

.r = a

rsinE

iP +

p

rcosE iQ. (4.3.8)

Ecuatiile (4.3.7) si (4.3.8) ne dau expresiile pentru r si.r n functie de anom-

alia excentrica E.

4.4. ELEMENTE ORBITALE 49

4.4 Elemente orbitale

Elementele orbitale kepleriene sunt cosiderate urmatoarele (vezi Fig. 4.2)

- semiaxa mare a;

- excentricitatea e;

- timpul trecerii la pericentru tpi;

- unghiul nodal ascendent ;

- nclinatia i;

- argumentul la pericentru .

Aceste elemente sunt si integrale de miscare n sistemul de ecuatii diferentiale.Vom considera urmatoarea problema:

Se dau pozitia si viteza la un moment dat t, r si.r , se cer elementele arbitrare

a, e, tpi, i, si $.

Vom da urmatorul algoritm de calcul.

a) Calculam energia si semiaxa mare

r = |r | (4.4.1)

h =1

2

.r .r

r(4.4.2)

a = 2h

. (4.4.3)

b) Calculam momentul cinetic, vectorul lui Laplace si excentricitatea

c = r .r

P =

r r c

.r

P = P


e =P

. (4.4.4)

Deoarece

1

c c = c

2

= a(1 e2)

atunci avem

e =

1 c

2

a. (4.4.5)

c) Calculam timpul trecerii la pericentru

e cosE = 1 ra

e sinE =r

.ra

E = arctg(e sinE

e cosE)

n =

a3

tpi = t 1n(E e sinE). (4.4.6)

Observatii:

1. Pentru calculul excentricitatii putem de asemenea folosi si ecuatia:

e =(e cosE)2 + (e sinE)2. (4.4.7)

2. Cand e tinde la 0 valoarea numerica pentru anomalia excentrica devinenedefinita.

E arctg(00)

4.4. ELEMENTE ORBITALE 51

Figura 4.2: Sistemul inertial al elementelor orbitale

si astfel timpul trecerii la pericentru (tpi) devine nedefinit.

d) Calculam nclinatia si unghiul nodal

i = arccos(k c )

unde

ic =

cc; i (00, 1800) (4.4.8)

Orbitele cu 00 i 900 se numesc orbite directe si orbitele ntre 900 i 1800 se numesc orbite retrograde.

Cum i ic = sin sin i

si j c = cos sin i.

Prin mpartire obtinem

tg =sin sin i

cos sin i=

i ic

j ic,

sau

= arctg

( i ic

j ic

). (4.4.9)


Din Figura 4.2 observam (00, 3600). Atunci cand i 0 ,sin i 0 si ecuatia (4.4.9) devine

arctg(00)

si devine nedefinit. Planul orbital se apropie de planul ecuatorial si se intersecteazaoriunde n planul ecuatorial.

e) Calculam argumentul pentru pericentru

cos =iN iP

sin =ic iN iP

= arctg(sin

cos). (4.4.10)

Din Figura 4.2 observam ca (00, 3600). Observam ca atunci cand e 0,P devine nedefinit:

iP =

1

P P = 1

(e) P

astfel devine nedefinit. De asemenea cand i 0 atunci iN si devin nedefinite.

4.5. ALTE SISTEME DE ELEMENTE ORBITALE 53

4.5 Alte sisteme de elemente orbitale

4.5.1 Elementele lui Delaunay

Elementele lui Delaunay sunt date de urmatoarele relatii

lD =M =

a3(t tpi)

gD =

hD =

LD =a

GD =a(1 e2) = c

HD =a(1 e2) cos i.

Aceste transformari sunt doar schimbari de notatie a elementelor keplerienepentru anomalia medie, argumentul la pericentru, nodul ascendent si momentulcinetic. Initiala D de la elementele Delaunay este optionala. Se foloseste initialapentru a se evita confuzia cu alte elemente definite.

4.5.2 Elementele lui Poincare

Elementele lui Poincare sunt date de urmatoarele relatii

1 = LD

2 =2(LD GD) cos(gd + hd)

3 =2(GD HD) coshD


1 = lD + gD + hD

2 = 2(LD GD) sin(gD + hD)

3 = 2(GD HD) sinhD.

Avantajul elementelor lui Poincare n raport cu elementele kepleriene este caacestea raman definite pentru nclinatii si valori ale excentricitatii foarte mici.

Consideram urmatoarele cazuri:

Cazul a: Inclinatie mica : i 0, HD GD si 3, 3 0. Chiar siunghiul nodal (hD = ) devine nedefinit , dar acest lucru nu conteaza deoarecesuma gD + hD este folosita n elementele 1, 2 si 2.

Cazul b: Excentricitatea mica : e 0, GD LD si 2, 2 0. Argu-mentul pericentrului (gD = ) devine nedefinit pentru acest caz , dar acest lucru nuconteaza deoarece gD apare numai n suma gD + hD prin elementul 1.

Capitolul 5

Functiile astrodinamicefundamentale f si g

In acest capitol vom prezenta solutia problemei celor doua corpuri reprezentatantr-un sistem de coordonate carteziene inertial .

Pentru obtinerea unei solutii este suficient sa reducem problema celor doua cor-puri la sase integrale independente de miscare . In cele mai multe aplicatii practiceeste util sa avem solutii n coordonate carteziene inertiale. Vom considera solutiile

din Capitolul 4 exprimate prin versoriiiP ,

iQ,

ic pentru a ajunge la solutii de forma

r = rof +.ro g

.r = ro.

f +.ro g

unde f , g ,.

f si.g sunt functii care depind de conditii initiale si de timp.

5.1 Determinarea functiilor f si g

Am aratat n capitolul anterior ca vectorii de pozitie si viteza pot fi exprimate

n sistemul planului orbital definit de vectorii unitateiP ,iQ si

ic prin expresiile

r = l iP +m iQ (5.1.1)

55

56 CAPITOLUL 5. FUNCTIILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE

.r = .l iP + .m iQ. (5.1.2)

Functiile l, m ,.

l si.m sunt date n ecuatiile (4.2.1) si (4.2.6) functie de anomalia

adevarata

l = r cos (5.1.3)

m = r sin (5.1.4)

l =

psin (5.1.5)

m =

p(e+ cos). (5.1.6)

Alta multime de astfel de functii sunt date n ecuatiile (4.3.7) si (4.3.8) ntermenii anomaliei excentrice:

l = a(cosE e) (5.1.7)

m =ap sinE (5.1.8)

l = a

rsinE (5.1.9)

m =

p

rcosE. (5.1.10)

Vom arata ca ecuatiile (5.1.1) si (5.1.2) pentru r si.r pot fi transformate

ntr-o solutie cu conditiile initiale r0 ,.r0 si t0. La timpul initial t0, ecuatiile (5.1.1)

si (5.1.2) devin

r0 = l0 iP +m0 iQ (5.1.11)

5.1. DETERMINAREA FUNCTIILOR F SI G 57

.r0=.

l0iP+

.m0

iQ. (5.1.12)

In cele ce urmeaza vom rezolva ecuatiile (5.1.11) si (5.1.12) pentru a afla versoriiiP si

iQ.

r0 = x0i + y0j + z0k

.r0= x0i + y0j + z0k

ip = Px

i + Py

j + Pz

k

iQ = Qx

i +Qy

j +Qz

k

unde

Px =i iP , Py = j iP , Pz = k iP

Qx =i iQ, Qy = j iQ, Qz = k iQ.

Pentru componenta x, ecuatiile (5.1.11) si (5.1.12) devin:

x0 = l0Px +m0Qx

.x0=

.

l0 Px+.m0 Qx (5.1.13)

sau n notatie matriciala (xo.xo

)=

(lo mo.

lo.mo

) (PxQx

). (5.1.14)

Din ecuatia (5.1.14) gasim ca

(PxQx

)=

1

( .mo mo.

lo lo

)(xo.xo

)sau


Px =1

(

.mo xo mo .xo) (5.1.15)

Qx =1

(

.

lo xo + lo.xo) (5.1.16)

unde determinantul matricii este

= lo.mo mo

.

lo .

Analog vom obtine si componentele dupa y si z.

Din ecuatiile (5.1.14) si (5.1.15) gasim ca

iP =

1

(.mo

ro mo.ro ) (5.1.17)

iQ =

1

( .lo ro + lo

.ro ). (5.1.18)

Pentru a determina pe vom folosi expresia momentului cinetic, ecuatiile

(5.1.11) si (5.1.12) si tinand seama caiP iP = 0 si iQ iQ = 0, obtinem

c = lo .mo (iP iQ)mo.

lo (iQ iP ).

DacaiQ iP = ic avem

c = (lo .mo mo.

lo)ic = c ic . (5.1.19)

Decic = = l0

.m0 m0l0 = p. (5.1.20)

Ecuatiile (5.1.17) si (5.1.18) devin

iP =

1p

(.mo

ro mo.ro ) (5.1.21)

iQ =

1p

( .lo ro + lo.ro ). (5.1.22)

Introducand ecuatiile (5.1.21), (5.1.22) n ecuatiile (5.1.1) , (5.1.2) gasim pen-tru vectorul de pozitie r urmatoarea expresie

5.1. DETERMINAREA FUNCTIILOR F SI G 59

r = 1p

[l(.mo

ro mo.ro ) +m(

.

loro + lo

.ro )]

sau sub forma echivalenta

r = 1p

(l.mo m

.

lo)ro + 1

p(l mo +m lo)

.ro . (5.1.23)

Putem obtine vectorul viteza.r ntr-o maniera similara nlocuind iP si iQ n

ecuatia (5.1.2) a lui.r .

Un procedeu mai simplu este sa derivam n raport cu timpul expresia (5.1.23)

.r = 1p

(.

l.mo .m

.

lo)ro + 1

p( .l mo+ .m lo)

.ro . (5.1.24)

Introducem functiile

f =1p

(l.mo m

.

lo) (5.1.25)

g =1p

(l mo +m lo) (5.1.26)

si derivatele lor

.

f=1p

(.

l.mo m

.

lo) (5.1.27)

.g=

1p

(l .mo + .m lo). (5.1.28)

Tinand seama de ecuatiile (5.1.25) - (5.1.28) n expresiile lui r si.r (5.1.23)

si (5.1.24) obtinem :

r = f ro + g.ro (5.1.29)

.r =.

f ro+.g

.ro . (5.1.30)

Din expresia momentului cinetic


r .r = c

tinnd seama ca ro ro = 0 si.ro

.ro= 0, obtinem

c = f .g (ro.ro ) + g

.

f (.ro ro ).

Cum

c = r .r = ro

.ro= constant

c = (f .g g.

f)c (5.1.31)

obtinem urmatoarea relatie importanta

fg gf = 1. (5.1.32)

5.2 Functiile f si g - n functie de anomalia adevarata

Inlocuim functiile l, m,.

l si.m , date n ecuatiile (5.1.3)-(5.1.6), n ecuatiile

(5.1.25)-(5.1.28) pentru f, g,.

f ,.g. Ecuatia (5.1.25) devine

f =1p

(l.mo m

.

lo) =

=1p

[(r cos)

p(e+ coso) (r sin) (

psino) ]

l.mo m

.

lo

f =rp

p[cos(e+ coso) + sin sino]

f =r

p[e cos+ cos coso + sin sino].

5.2. FUNCTIILE F SI G - IN FUNCTIE DE ANOMALIA ADEVARATA 61

Am aratat ca

r =p

1 + e cos

unde

e cos =p

r 1.

Ecuatia (5.1.25) ia urmatoarea forma simplificata

f =r

p[p

r 1 + cos( o)].

Folosind notatia

= o, (5.2.1)

ecuatia pentru f devine

f = 1 rp(1 cos). (5.2.2)

Pentru g vom nlocui ecuatiile (5.1.3) si (5.1.4) n ecuatia (5.1.26)

g =1p

(lmo +mlo) = [r cos ro sino + r sin ro coso ] 1pl mo m lo

=rrop

(sin coso cos sino).

Vom obtine pentru g urmatoarea expresie

g =rrop

sin. (5.2.3)

Tinand seama de ecuatiile (5.1.3) - (5.1.6) n (5.1.28) obtinem


g =1p

( .l mo+ .m lo) =

=1p

[ (

psin) ro sino +

p(e+ cos) ro coso ] =

.

lo m m lo

=rop

p[sin sino + cos coso + e coso] =

rop[cos( o) + e coso].

Tinand seama de relatia

e coso=

p

ro 1

obtinem

g = 1 rop(1 cos). (5.2.4)

Pentru a obtine o expresie pentru f vom nlocui ecuatiile (5.2.3) - (5.2.4) n(5.1.32)

g.

f= 1 [1 rp(1 cos)][1 ro

p(1 cos)]

sau

.

f=

p

rro sin 1 cos

p[r + ro rro

p(1 cos)].

In final obtinem pentru f expresia :

.

f=

p(1 cossin

)[1

p(1 cos) 1

ro 1r]. (5.2.5)

Rezumand, functiile f, g ,.

f si.g n functii de anomalia adevarata sunt

f = 1 rp(1 cos) (5.2.6)

5.3. FUNCTIILE F SI G IN FUNCTIE DE ANOMALIA EXCENTRICA 63

g =rrop

sin (5.2.7)

.g= 1 ro

p(1 cos) (5.2.8)

f =

p(1 cossin

)[1

p(1 cos) 1

ro 1r]. (5.2.9)

5.3 Functiile f si g n functie de anomalia excen-

trica

Inlocuim functiile l,m,.

l si.m, date n ecuatiile (5.1.3) - (5.1.6), n ecuatia

(5.1.25) pentru f .

f =1p

(l.mo m

.

lo)

=1p

[a(cosE e)p

ro cosEo ap sinE (

p

rosinEo) ] =

=a

ro[(cosE e) cosEo + sinE sinEo]

=a

ro[e cosEo + cosE cosEo + sinE sinEo].

Din relatia

ro = a(1 e cosEo)

obtinem

e cosEo = 1 roa.

Astfel ecuatia (5.1.25) capata urmatoarea forma simplificata:


f =a

ro[roa 1 + cos(E Eo)]. (5.3.1)

Folosim notatia

E = E Eo (5.3.2)ecuatia pentru f devine

f = 1 aro(1 cosE). (5.3.3)

Derivand ecuatia (5.3.3) vom obtine ecuatia pentru f

.

f=a

ro

d

dt(cosE) = a

rosinE

dE

dt.

Tinand seama de relatia (4.3.5)

dE

dt=

a

r

ecuatia n f devine

f = a

rrosinE. (5.3.4)

Inlocuind ecuatiile (5.1.3) - (5.1.10) n ecuatia (5.1.28) gasim pentru g

.g=

1p

(lmo + mlo) = 1p

[

a

rsinE

ap sinEo +

p

rcosEa (cosEo e)]

=1p

ap

r[sinE sinEo + cosE cosEo e cosE]

sau

.g= 1 a

r(1 cosE). (5.3.5)

Pentru a obtine o expresie pentru g , vom integra ecuatia (5.3.5) sub forma

dg

dt

dt

dE= [1 a

r(1 cosE)] dt

dE.


tinand seama de relatia (5.3.3) obtinem

dg

dE=

dt

dE ar(1 cosE)

a

r

sau

dg = dta3

(1 cosE)dE. (5.3.6)

Deoarece

dE = d(E E0) = d(E)

putem integra ecuatia (5.3.6) si obtinem

g = ta3

(E sinE) + o constanta. (5.3.7)

Pentru a evalua constanta, avem nevoie de valorile initiale ale lui g.

Deoarece

r = fro + g.ro

la t = t0 avem ca r = ro

f(t0) = 1

g(t0) = 0

E = E0 .

Astfel ecuatia (5.3.7) la t = t0 devine

g(to) = 0 = to + o constanta

de unde

constanta = to.


Ecuatia (5.3.7) va deveni

g = t to a3

(E sinE). (5.3.8)

Rezumand, functiile f, g,.

f si.g n fuctie de anomalia excentrica sunt

f = 1 aro(1 cosE) (5.3.9)

f = a

rrosinE (5.3.10)

g = t to a3

(E sinE) (5.3.11)

g = 1 ar(1 cosE). (5.3.12)

Tinand seama de relatia (5.3.5) si de ecuatia

r = a(1 e cosE)

obtinem ca

dt =

a3

(1 + e cosE) dE. (5.3.13)

Integrand relatia (5.3.13)

tt0

d =

a3

EE0

(1 e cos ) d

gasim

t to =a3

[E Eo e(sinE sinEo)]. (5.3.14)

E


Din urmatoarea identitate trigonometrica

sinE = cosEo sin (E Eo) +sinEo cos (E Eo) E E

obtinem

e(sinE sinEo) = e[cosEo sinE + sinEo cosE sinEo]

= (e cosEo) sinE + (e sinEo)(cosE 1). (5.3.15)Deoarece

e cosEo = 1 roa

e sinEo =ro ro

a

ecuatia (5.3.15) devine

e(sinE sinEo) = (1 roa) sinE

ro.

roa

(1 cosE).

Inlocuind acest rezultat n ecuatia (5.3.14) obtinem

t to =a3

[E (1 ro

a) sinE +

ro .ro

a(1 cosE)]. (5.3.16)

Aceasta este ecuatia lui Kepler n raport cu timpul t si anomalia excentricaE.

Din ecuatia

r =

a

dt

d(E)

unde am folosit ecuatia


d(E) = a(E Eo) = dEsi din ecuatia precedenta, gasim ca

r = a[1 (1 roa) cosE +

ro .ro

asinE].

Observam ca n ecuatia (5.3.17) apare numai un singur element orbital (semi-axa mare) si singura restrictie este ca orbita sa fie eliptica (a > 0).

5.4 Functiile f si g - n functie de variabilele uni-

versale

Scopul acestui paragraf este acela de a exprima functiile f si g printr-o nouavariabila valabila pentru toate orbitele .

Vom prezenta cateva considerente referitoare la functiile Stumpff necesarestudiului nostru .

Functiile Stumpff sunt date de seriile

cn(z) =k=0

(1)k zk

(2k + n)!

unde n = 0, 1, 2, 3, ... .

Fie z = js2, atunci primi termeni c0, c1si c2 sunt

c0 = c0(z) =

cos

z j > 0

chz j < 0

1 j = 0

c1 = c1(z) =

sinz

zj > 0

shzz j < 0

1 j = 0

c2 = c2(z) =

(1cosz)

zj > 0

(chz1)z j < 0

12

j = 0.

5.4. FUNCTIILE F SI G - IN FUNCTIE DE VARIABILELE UNIVERSALE 69

Observam ca aceasta clasa de serii infinite reprezinta mpreuna atat functiitrigonometrice ( > 0) cat si functii hiperbolice ( < 0). Cazul functiilor parabolice( = 0) este deasemenea inclus, deoarece

cn(0) =1

n!.

Din definitie observam ca

cn(z) + zcn+2(z) =1

n!.

Functiile Stumpff au o formula de derivare convenabila.

De exemplu,

2zdcn(z)

dz= cn1(z) ncn(z) , n > 0

si

dcn(z)

dz=

1

2[ncn+2(z) cn+1(z)] , n 0 .

In cazul cnd z = s2 avem

dz

ds= 2s

si formula pentru prima derivata devine

2s2dcn(s

2)

dz

dz

ds= [cn1(s2) ncn(s2)]2s

sau

sdcn(s

2)

dz= cn1(s2) ncn(s2).

Formula derivatei a doua devine

dcn(s2)

dz

dz

ds=

1

2[ncn+2(s

2) cn+1(s2)]2s

sau


dcn(s2)

dz= s[ncn+2(s

2) cn+1(s2)].

Daca privim pe s2 ca argument al functiei Stumpff si notam cu

()= d

dsatunci aceste doua ecuatii ale derivatelor devin:

scn = cn1 ncn , n > 0

cn = s(cn+2 cn+1) , n 0.

De asemenea avem urmatoarea identitate pentru integrareskck(s

2)ds = sk+1ck+1(s2).

Cateva dintre aceste integrale sunt

c20(z) + zc21(z) = 1

c20(z) zc21(z) = c0(4z)c20(z) = 1 2zc2(4z)c21(z) = 2c2(4z)

c1(4z) = c20(z)c1(z).

Vom introduce functiile S(z) si C(z) definite precum urmeaza:

S(z) =1

3! z5!+z2

7! ... , (5.4.1)

pentru z > 0 avem

S(z) =

z sinz(z)3

iar pentru z < 0 avem

S(z) =shz z(z)3 ;


pentru z > 0 avem

C(z) =1

2! z4!+z2

6! ... (5.4.2)

sau

C(z) =1 cosz

z

iar pentru z < 0 avem

C(z) =chz 1z .

Din considerentele teoretice precedente referitoare la functiile Stumpff ob-servam ca:

S(z) = c3(z)

C(z) = c2(z)

dC(z)

dz=

1

2z(1 zS(z) 2C(z))

dS(z)

dz=

1

2z(C(z) 3S(z)).

Vom introduce functiile S(z) si C(z) n expresiile functiilor f, g, f si g date necuatiile (5.3.8) - (5.3.12) ca si n ecuatia lui Kepler (5.3.16).

In aceste ecuatii vom introduce functiile trigonometrice sinE si cosE.

Utilizand dezvoltarea n serie a functiei cosE

cosE = 1 (E)2

2!+(E)4

4! (E)

6

6!+ ... (5.4.3)

vom defini variabila auxiliara prin expresia

E =o x (5.4.4)

sau


x =Eo.

Am notat cu

o =1

a

a fiind semiaxa mare.

Observam ca o > 0 pentru orbitele eliptice, o < 0 pentru orbitele hiperbolicesi o = 0 pentru orbitele parabolice.

Expresia (5.4.3) a lui cosE n x tinand seama de (5.4.4) devine:

cosE = 1 ox2

2!+2ox

4

4!

3ox

6

6!+ ...

sau dand factor comun pe ox2 avem:

cosE = 1 ox2[ 12! ox

2

4!+2ox

4

6! ...].

Tinnd seama de expresia (5.4.2) a lui C(z) obtinem

cosE = 1 ox2C(ox2). (5.4.5)

Acelasi procedeu l vom folosi si pentru sinE

sinE = E(1 (E)2

3!+(E)4

5! (E)

6

7!+ ...) (5.4.6)

sau

sinE = E(1 (E)2[ 13!+(E)2

5! (E)

4

7!+ ...]).

Tinand seama de (5.4.5) ecuatia (5.4.6) devine

sinE =ox(1 ox2[ 1

3!+(E)2

5! (E)

4

7!+ ...]).

sau folosind expresia (5.4.1) a lui S(z)


sinE =ox[1 ox2S(ox2)]. (5.4.7)

Inlocuind ecuatia (5.4.5) n ecuatia (5.3.3) avem urmatoarea ecuatie

f = 1 x2

roC(ox

2). (5.4.8)

Similar, din ecuatia (5.3.4) si ecuatia (5.4.6)

f = a

rrosinE.

Din ecuatiile (5.3.5) si (5.4.5) obtinem

f = a

rro

[ox

3S(ox

2) x] . (5.4.9)

Din ecuatiile (5.3.5) si (5.4.5) obtinem ecuatia lui g

g = 1 x2

rC(ox

2).

Din ecuatiile (5.3.8) si (5.4.6) avem urmatoarea ecuatie

g = t to 1x3S(ox

2). (5.4.10)

Rezumand functiile f, g,.

f si.g exprimate cu variabilele universale sunt:

f = 1 x2

roC(ox

2). (5.4.11)

.

f=

rro[ox

3S(ox2) x] (5.4.12)

g = t to 1x3S(ox

2) (5.4.13)

g = 1 x2

rC(ox

2). (5.4.14)


Ecuatia lui Kepler (5.3.16) tinand seama de ecuatiile (5.4.5) si (5.4.6) devine:

t to = 13o

[32o x

3S(ox2) + roo

ox(1 ox2S(ox2))+

+

o(ro

.ro )ox2C(ox2)]

sau

(t to) =

ro.ro

ax2C(ox

2) + x3S(ox2)(1 roo) + rox. (5.4.15)

Din expresia lui r functie de anomalia excentrica tinand seama de (5.4.5) si(5.4.7) obtinem

r = a[1 (1 roa) cosE +

ro.ro

asinE]

=1

o[ox

2C(ox2) + roo(1 ox2C(ox2))+

+ro.roo

ox(1 ox2S(ox2))]

sau

r = ro + x2C(ox

2)(1 roo) +ro

.rox(1 ox2S(ox2)).

Alternativ, putem obtine ecuatia pentru distanta r n variabile universalefolosind expresia lui r functie de anomalia excentrica asa cum am facut n para-graful precedent

r =

a dtd(E)

.

Deoarece

5.5. FUNCTIILE F SI G IN FUNCTIE DE TIMP 75

E =ox

obtinem

r =o dt

d(ox)

=dt

dx. (5.4.17)

Ecuatiile (5.4.11)-(5.4.15) reprezinta solutia problemei celor doua corpuri subforma

r = fro + g.ro

.r =.

f ro+.g

.ro .

Desi ea fost obtinuta pentru orbitele eliptice (o > 0) se poate arata ca esteadevarata si de asemenea pentru orbite parabolice (o = 0) si hiperbolice (o < 0).

5.5 Functiile f si g n functie de timp

Functiile f si g pot fi considerate si ca functii explicite de timp. Daca nlocuimecuatiile (5.1.29) si (5.1.30) n ecuatia diferentiala a miscarii a problemei celor douacorpuri vom obtine doua ecuatii diferentiale scalare

f + qf = 0 (5.5.1)

g + qg = 0. (5.5.2)

Am introdus functia

q =

r3(5.5.3)

pentru care obtinem ecuatia diferentiala:


r.q +3q

.r= 0. (5.5.4)

Ecuatia diferentiala pentru distanta r este

..r=

c2

r3

r. (5.5.5)

Folosind definitia pentru q ecuatia diferentiala (5.5.5) devine

..r= q(

c2

r). (5.5.6)

Dezvoltam n serie Taylor n functie de timp functiile f, g, q si distanta r

f =n=0

an(t to)n (5.5.7)

g =n=0

bn(t to)n (5.5.8)

q =n=0

cn(t to)n (5.5.9)

r =n=0

dn(t to)n. (5.5.10)

Inlocuim cele patru serii date de ecuatiile (5.5.7)-(5.5.8) n cele patru ecuatiidiferentiale (5.5.1), (5.5.2), (5.5.4) si (5.5.5) si identificand coeficientii an,bn,cn,dn,vom gasi dupa calcule lungi dar elementare urma-

toarele formule de recurenta

dn+2 =1

(n+ 1)(n+ 2)(c2

cn

nk=0

cnkdk) (5.5.11)

cn = 1ndo

(3condn +n1k=1

k(3cnkdk + ckdnk) (5.5.12)

5.5. FUNCTIILE F SI G IN FUNCTIE DE TIMP 77

an+2 =1

(n+ 1)(n+ 2)

nk=0

ckank (5.5.13)

bn+2 =1

(n+ 1)(n+ 2)

nk=0

ckbnk. (5.5.14)

Valorile initiale pentru coeficienti sunt

f(to) = ao = 1

f(to) = a1 = 0

g(to) = bo = 0

g(to) = b1 = 1

q(to) = co =

r3or(to) = do = ro

r(to) = d1 = ro.

Avantajul solutiilor astfel obtinute pentru r si.r este acela ca nu este necesar

sa rezolvam ecuatia lui Kepler.

Capitolul 6

Pamantul corp ceresc

Sfericitatea Pamantului este dovedita prin mai multe fapte, dintre careamintim:

forma circulara a orizontului aparent si cresterea razei lui cu altitudineaobservatorului

variatia naltimii Polului lumii, daca observatorul se deplaseaza, spre nordsau spre sud, de-a lungul unui meridian geografic

forma circulara a umbrei Pamantului pe discul Lunii n timpul eclipselorde Luna

fotografiile Pamantului obtinute din Cosmos cu ajutorul rachetelor si sateliti-lor artificiali

Sfericitatea Pamantului permite determinarea dimensiunilor lui. Fie douapuncte O1 si O2 doua puncte ale globului terestru, situate pe acelasi meridian ge-

ografic. Notand cu l lungimea arcului de meridian_

O1O2 (n km de exemplu), cun0 valoarea unghiulara a acestui arc (n grade de exemplu), iar cu R raza globuluiterestru, atunci rezulta usor:

R =1800l

pin0

unde n0 este egala cu diferenta latitudinilor geografice ale punctelor O1 si O2:

n0 = 1 2

Aceasta metoda simpla a fost folosita pentru prima data de catre Eratostene(276-195 i.e.n.).

79

80 CAPITOLUL 6. PAMANTUL CORP CERESC

O

O

1

2

n

e

n

Figura 6.1: Determinarea razei globului terestru

Mult mai complicata este determinarea distantei liniare l dintre punctele O1 si O2.Metoda folosita este una indirecta numita triangulatie. A fost aplicata pentruprima data de catre W.Snellius n 1615. Aceasta metoda consta din: alegerea,de o parte si de alta a arcului de cerc pe care dorim sa-l masuram, mai mul-tor puncte (A,B,C,D, ....), la distante de 30-40km unul de celalalt. Punctele sealeg astfel ca din fiecare sa fie vizibile cel putin doua puncte. In toate punctele sefac constructii speciale, numite semnale geodezice. Se alege una din laturi dreptbaza (de exemplu O1A), mai departe se masoara numai unghiurile din triunghiurileO1AB,ABC,BCD, .... Cunoscand in reteaua de triunghiuri o latura (baza) si toateunghiurile putem calcula lungimea liniei poligonale O1BDO2 (sau O1ACEO2). Tre-buie tinut cont de faptul ca triunghiurile nu sunt plane ci sferice. Determinandazimutul directiei laturii O1A (sau O1B),liniile poligonale de mai sus pot fi proiec-tate pe meridianul O1O2 adica se poate obtine lungimea arcului O1O2 n unitatiliniare.In temeiul unor consideratii teoretice bazate pe legea atractiei universale, Newtona aratat ca, n urma rotatiei sale, Pamantul, ca de altfel toate planetele, trebuie saaiba forma unui sferoid (elipsoid de revolutie), turtit la poli. Turtirea se definesteastfel:

=a ba

unde: a - semiaxa ecuatoriala si b - semiaxa polara a sferoidului.

In 1964, Uniunea Astronomica Internationala a adoptat urmatoarele valori aleelementelor elipsoidului terestru: a = 6378,16km; b = 6356,78km.

Forma adevarata a Pamantului nu poate fi reprezentata exact prin nici una din

6.1. CELE TREI LATITUDINI GEOGRAFICE 81

O

B

D

O

A

E

C

1

2

Figura 6.2: Triangulatia

suprafetele matematice cunoscute. De aceea vorbind de forma Pamantului se are nvedere nu forma fizica a suprafetei terestre, cu oceane si continente, ci asa-numitasuprafata a geoidului.

Se numeste geoid acea suprafata de nivel (o suprafata la care normalele norice punct ale ei sunt verticale) a carei parte vizibila coincide cu suprafata neagi-tata a oceanelor; prelungind suprafata oceanelor sub continente, obtinem suprafatantregului geoid.

Astfel deosebim trei suprafete ale Pamantului:

suprafata fizica, asa cum ne apare cu formele de relief; pe ea se fac masurarileterestre;

suprafata hidrostatica sau geoidul, suprafata oceanelor prelungita pe subcontinente; la ea se reduc masurarile terestre;

suprafata matematica de referinta, adica suprafata elipsoidului terestru; peea se reprezinta masurarile terestre.

Pr

Lectii de astronomie.pdf

Documents

Transcript of Lectii de astronomie.pdf