Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauDerivabilitatea funcţiilor

Proprietăţile funcţiilor derivabile

Definiţie – interpretare grafică

Funcţia f se numeşte derivabilă în punctul x0∈D

dacă graficul funcţiei admite tangentă în punctul x0∈D

Observaţie Practic, pentru a exista tangentă, cele două semi-tangente trebuie să coincidă (la stânga respectiv la dreapta)

Definiţie –cu limite laterale

Spunem că funcţiaf : D →R este derivabilă în punctul x0∈D

dacă există şi sunt finite limitele laterale ale derivatei

lim ¿ x→x 0 ¿x< x

0¿¿

f ( x )−f ( x0 )x−x0

=lim¿ x→ x0 ¿x >x0 ¿

¿f ( x )−f ( x0)

x− x0

¿=f '( x0)=tg≺( AB ,OX )¿

Teoremă

Dacă f este derivabilă în

x0∈D, atunci f este continuă în acel punct.

Deci, dacă f nu este continuă în x0∈D

, atunci nu are sens să mai studiem

continuitatea

1

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Teorema 1

O funcţie derivabilă pentru orice punct al domeniului va fi derivabilă pe

tot domeniul.

Teorema 2

Fie

f , g : D→R două funcţii derivabile pe domeniul maxim de definiţie.

Atunci şi

f ±g , f⋅g ,fg

, g( x )≠0 , αf

sunt funcţii derivabile pe D.

Teorema 3

Rezultatul compunerii a două funcţii derivabile este tot o funcţie derivabilă

f : D →E , g : E→R , g∘ f : D→Reste tot o funcţie derivabilă pe D.

Exemplu rezolvat 1Să se cerceteze derivabilitatea următoarelor funcţii

a. f ( x )= ln( x+1 ); f :(−1 ,∞)→R

f este rezultatul compunerii a 2 funcţii elementare şi anume g( x )=ln x ,h( x )=x+1

Exemplu rezolvat 2Să se determine punctele de derivabilitate ale funcţiei următoare.

f ( x )=¿ {x+1−e , x∈(−∞ , e ] ¿¿¿¿Rezolvare

Conform teoremei 2, f e continuă pentru

∀ x∈R /{e }

2

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Cercetăm continuitatea în punctul e.

lim ¿ x→e ¿x<e ¿

¿ (x+1−e )=1¿ lim ¿ x→e ¿x>e ¿

¿√ ln x=√ ln e=1¿1=1=f ( e )⇒ f este continuă

Deci putem studia şi derivabilitatea. Funcţia f este derivabilă pentru ∀ x∈R /{e }

conform teoremelor de mai sus. Rămâne să studiem în punctul e.

lim ¿ x→e ¿x<e ¿

¿f ( x )−f (e )

x−e=lim ¿ x→ e ¿

x<e ¿¿ x+1−e−1

x−e=1;¿

lim ¿ x→e ¿x>e ¿

f ( x )− f (e )x−e

=lim ¿ x→ e ¿x>e ¿

¿ √ ln x−1x−e

=lim¿ x→e ¿x>e ¿

¿ln x−1(x−e )(√ ln x+1 )

=lim ¿ x→ e ¿x>e ¿

¿ln x−ln e( x−e )(√ ln x+1)

=lim ¿ x→e ¿x>e ¿

¿ln

xe

e (xe−1)(√ ln x+1)

¿ ¿ ¿¿

Facem o schimbare de variabilă pentru a identifica apoi una din limitele fundamentale cunoscute.

xe−1= y⇒ lim ¿ y→0 ¿

y>0 ¿¿

ln( y+1)y

⋅ 1

√ ln [ e⋅( y+1 )]+1=1⋅1

2=1

2¿

12≠1⇒

f nu este derivabilă în x=e

Exemplu rezolvat 3Să se determine valorile parametrilor m,n pentru care funcţia de mai jos este derivabilă pe R.

f ( x )=¿ {mx2+x−2 , x∈(−∞ ,1 ] ¿ ¿¿¿Rezolvare

f este derivabilă pe R, deci este derivabilă şi în punctul x=1. Fiind derivabilă, rezultă că este şi continuă. Prin urmare, din condiţia de continuitate va rezulta o relaţie de legătură între cei doi parametri, iar din condiţia de derivabilitate va rezulta o a doua relaţie. Practic, obţinem un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute m, n.

Relaţia obţinută la continuitate se va utiliza pentru determinarea uneia dintre limitele laterale ale derivateiContinuitate

3

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

lim ¿ x→1 ¿x<1 ¿

¿ f ( x )=m−1; lim¿ x→1 ¿x>1 ¿

¿ f ( x )=1+n;f (1 )=m−1⇒m−1=n+1¿

Derivabilitate

lim ¿ x→1 ¿x<1 ¿

f ( x )−f (1)x−1

=lim ¿ x→1 ¿x<1 ¿

¿mx2+x−2−(m−1)

x−1=lim ¿ x→1 ¿

x<1 ¿¿

m( x2−1 )+( x−1)x−1

=lim¿ x→1 ¿x<1 ¿

¿(x−1)[ m(x+1 )+1]

x−1=¿ ¿= lim¿ x→1 ¿

x<1 ¿¿[ m(x+1 )+1 ]=2 m+1 ¿¿

lim ¿ x→1 ¿x>1 ¿

¿f (x )−f (1)

x−1=lim ¿ x→ 1 ¿

x>1 ¿¿

x+n−(m−1)x−1

= lim¿ x→1 ¿x>1 ¿

¿x+n−(n+1 )

x−1=1¿

Obţinem 2m+1=1de unde m=0 şi apoi n=-2

ObservaţieSe întâmplă ca funcţia ce urmează să fie derivată să fie bine definită pe un domeniu, dar prin derivare aceasta să piardă din domeniu anumite valori. Este şi cazul funcţiei radical. Analizând formulele de derivare de mai jos, observăm că radicalul “se mută“ la numitor şi valorile în care acesta se anulează nu vor mai putea fi puncte de derivabilitate.

DERIVATELE FUNCŢIILOR ELEMENTARE

FUNCŢIA DERIVATA FUNCŢIACOMPUSĂ

DERIVATA

C ( constantă) 0x 1 u u'

xn (n∈Ν ¿) nxn−1 un (n∈ℵ ) n⋅un−1⋅u'

xα (α∈ R {0¿ )

( n√ x=x

1n

)

αxα−1 uα (α∈R ,u>0 ) α⋅uα−1⋅u'

1x

− 1

x2

1u

(u≠0 ) − u'

u2

√ x , x>0 ,1

2√x√u (u≻0 ) u'

2√u

e x e x eu eu⋅u'

ax , 0≺a≠1 ax ln a au au⋅u'⋅ln a

ln x 1x

ln u u'

uloga x 1

x ln alog au u'

u ln a

4

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzausin x cos x sin u cos u ¿u'

cos x - sin x cos u - sin u ¿u'

tg x 1

cos2 xtg u (cos u¿0 ) u'

cos2uctg x

-

1

sin2 xctg u (sin u¿0 ) − u '

sin2u

arcsin x 1

√1−x2arcsin u (|u|≤1 ) u '

√1−u2

arccos x

-

1

√1−x2arccos u (|u|≤1 ) − u'

√1−u2

arctg x 1

1+ x2arctg u u '

1+u2

arcctg x-

1

1+ x2arcctg u − u '

1+u2

sh x =ex+e−x

2

(sinus hiperbolic)

ex−e−x

2 =ch x

sh u ch u ¿u'

ch x =ex−e−x

2

(cosinus hiperbolic)

ex+e−x

2 =

sh x

ch u sh u ¿u'

( f ±g )′=f '±g '

( f 1±f 2±…±f n )′=f1 ′±f

2′±…±fn′

( f⋅g )′=f '⋅g+ f⋅g'

( f⋅g⋅h )′=f '⋅g⋅h+ f⋅g'⋅h+ f⋅g⋅h'

(cf )′=c⋅f ' ( c = constantă)

( fg )

′

= f '⋅g−f⋅g'

g2, g≠0

( f−1) ′ ( y0)= 1

f ' ( x0 )

(uv )′=v⋅uv−1⋅u'+uv⋅v '⋅ln u

( f ∘g )'=f ' (g )⋅g 'În continuare vom presupune că funcţiile supuse derivării sunt definite pe o mulţime pe care acestea sunt derivabile

5

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Exemple de exersare a formulelor de derivare

1 .( x7 )'=7⋅x6

2 .(3x)'=(3x)⋅ln 3

3 .( ln x+ x2)'=1x+2x

4 .(√sin x )'=12√sin x

⋅(sin x )'=cos x2√sin x

;

5 .( ln( x8 ))'=1

x8⋅( x8 )'=

8 x7

x8=

8x

6 .(sin x⋅ln x )'=(sin x )'⋅ln x+( sin x )⋅( ln x )'=−cos x⋅ln x+sin xx

7 .(arctgx

2x)'=

(arctgx)'⋅2x−(arctgx )⋅(2x )'

(2x )2=

2x

1+x2−(arctgx

)⋅2x⋅¿⋅ln 2

22 x¿8 .(( x+3 )ln x )'=ln x⋅( x+3 )ln x−1⋅( x+3 )'+( x+3 )ln x⋅( ln x )'⋅ln( x+3)=

¿ ln x⋅( x+3 )ln x−1+( x+3 )ln x⋅ln( x+3 )x

Exerciţii propuse

Să se calculeze derivatele funcţiilor următoare

I.

a.f ( x )=√ x+ ln x

b. f ( x )=(5

x−1x +x2 )

c.

f ( x )=x2+ ln √ x+12 e

d.

f ( x )=x20+ln √x−12

e. f ( x )=√ x+ ln x

II

a. f ( x )= ln √x+1

b.

f ( x )= 1|x|

c.

f ( x )=1−3 x

x2−9d.

f ( x )=2x2−1x4−16

6

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

e.

f ( x )= 2x−2+22x−2−1

f.

f ( x )= 2 x−1

√x−16g.

f ( x )=sin x−1

3x−16h.

f ( x )=arctgxx−9

i. f ( x )=arcsin ( x7 )

j. f ( x )=arccos ( ln x )

k.

f ( x )=ln( x2+1)

x+3l.

f ( x )=ln( x2+1)ln( x+3 )

m.

f ( x )=1+2x+2

x+2

III.

a.

f ( x )=√ x3−2

b.

f ( x )=tg(2 x⋅3x)c.

f ( x )=√x−√5x2−25

d.

f ( x )=2−√ x−3cos x

e.

f ( x )=arccos (x √ x )f.

f ( x )=ctg( x+2 )⋅ln x

g. f ( x )=sin x⋅arccos( x+3 )

h. f ( x )=2 ln(3 x+1 )

i. f ( x )=x x

j.

limx→3

ln (x−2)ln (x2−8 )

k.

f ( x )=sin (x+2 )

x2−4

l.

f ( x )=(cos x )√x

m.

f ( x )=arcsin ( x+3 )arctg ( x2−9 )

IV.

a.

f ( x )=(1+ 1x)x 2

b. f ( x )=(1+2x )

5x

c.

f ( x )=(1−1x)x

V.

a.

f ( x )= 1x−1

− 3

x2−1b.

f ( x )=ln( x+2 )−ln(2x+1 )c.

f ( x )=√ x2+x+1−( x+1

7

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

d. f ( x )=√ x3+2 x+1−√ x3+1

e. f ( x )=√ x+2)−2√2 x+1+√x+1

VI.Să se studieze derivabilitatea funcţiilor următoare în punctele indicate.

a.

f ( x )=¿ { ln( x2+3 x ) , 0<x<1¿ ¿¿¿ b.

f ( x )=¿ { x

1+e1x

, x≠0¿ ¿¿¿

c.

f ( x )=¿ {x2⋅sin1x

, x≠0 ¿¿¿¿

d.f ( x )=min(2 x+4 , x2+2 x )

e.f ( x )=|x 4−x2|⋅e x

VII. Să se determine valorile parametrilor a, b reali pentru care funcţiile de mai

jos sunt derivabile pe R

a.f ( x )=¿ {x2+x+1 , x≤1¿ ¿¿¿

b. f ( x )=¿ {ex+b , x≤0 ¿ ¿¿¿

c.

f ( x )=¿ {ln( x+1 ) , x≥0¿ ¿¿¿

DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

Definim f : D →R , x0∈D

, f derivabilă pe D, deci şi în punctul x0

. Notăm

f ' ( f ' )( x0)=f '' (x0 )= limx→ x0

f ' ( x )−f ' ( x0)x−x0

derivata de ordinul 2 a funcţiei. Dacă

aceasta există şi este finită, atunci spunem că derivata este la rândul ei

derivabilă în punctul x0

.

8

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Inductiv, definim

f ' ( f (n−1))( x0 )=f (n )( x0 )= limx→ x 0

f (n−1 )( x )−f (n−1 )(x0 )x−x0

. Spunem că f

este de n-ori derivabilă în x0

dacă aceasta există şi este finită. Dacă f are derivată

de orice ordin n pe D, atunci spunem că f este indefinit derivabilă.Exemplu rezolvat 4

Să se calculeze derivata de ordinul 2 a funcţiei f ( x )=(5x−1

x +x2 )Rezolvare

f ;( x )=(5x−1x +x2 )'=(5

x−1x )'+( x2 )'=5

x−1x ⋅( x−1

x)'⋅ln 5+2x=5

x−1x ⋅

x−( x−1)x2

⋅ln 5+2x=

¿5x−1x ⋅1

x2⋅ln5+2 x

f ;'( x )=(5x−1x ⋅1

x2⋅ln 5+2 x )'=(5

x−1x ⋅1

x2⋅ln 5)⋅1

x2⋅ln5+5

x−1x ⋅ln 5⋅−2x

x 4+2=

¿(5x−1x ⋅1

x3⋅ln 5)( ln5

x−2 )+2

Exemplu rezolvat 5

Să se calculeze derivata de ordinul 4 a funcţiei f ( x )=x10

Rezolvaref ' ( x )=(x10 );=10⋅x9 ; f ''(x )=10⋅9⋅x8 ; f '(3)( x )=10⋅9⋅8⋅x7 ; f (4)( x )=10⋅9⋅8⋅7⋅x6 ;

Observăm că, prin derivare, puterea lui x scade şi coeficientul capătă aspect de factorial. Generalizarea apare în exemplul următor

Exemplu rezolvat 6

Să se calculeze derivata de ordinul n a funcţiei f ( x )=xn

Rezolvaref ' ( x )=n⋅xn−1 ; f ''( x )=n⋅¿(n−1)⋅xn−2 ;. . .;

f (k )( x )=n⋅(n−1)⋅. . .⋅(n−k+1 )⋅xn−k=n !(n−k )!

xn−k ,∀ k≤n

Inductiv, vom obţine că

f (n)( x )=n! . Se observă că derivatele de ordin mai mare decât n vor fi nule.

Acest exemplu ne-a permis să identificăm inductiv o formulă pentru derivata de ordin n. Există câteva categorii de funcţii pentru care acest lucru este posibil.Exemplu rezolvat 7

9

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauSă se cerceteze dacă funcţia următoare este de 2 ori derivabilă în 0..

f ( x )=¿ {sin2 x , x≤0 ¿ ¿¿¿ Cercetăm dacă f este derivabilă în 0.

f's (0)=lim ¿ x<0 ¿

x→0 ¿

f ( x )−f (0 )x−0

=lim ¿ x<0 ¿x→0 ¿

¿ sin2 x−0x−0

=lim ¿ x<0 ¿x→ 0 ¿

¿ sin xx

⋅sin x=1⋅0=0¿ ¿ f'd (0 )=lim¿ x>0 ¿

x→0 ¿¿

f ( x )−f (0)x−0

=lim¿ x<0 ¿x→0 ¿

¿ x2−0x−0

=lim ¿ x<0 ¿x→0 ¿

¿ x=0 ¿¿

Cele două limite laterale sunt egale, deci f este derivabilă în 0. Cercetăm dacă f

este de două ori derivabilă în 0.

f''s (0)=lim ¿ x<0 ¿

x→0 ¿

f ;( x )− f ;(0)x−0

=lim ¿ x<0 ¿x→ 0 ¿

¿ 2 sin x⋅cos x−0x−0

=lim ¿ x<0 ¿x→0 ¿

¿ sin xx

⋅2cos x=1⋅2=2¿ ¿ f''d (0)=lim ¿ x>0 ¿

x→0 ¿¿

f ' ( x )−f ' (0 )x−0

=lim ¿ x<0 ¿x→0 ¿

¿ 2 x−0x−0

=lim¿ x<0 ¿x→0 ¿

¿2=2 ¿¿

Deci f este de două ori derivabilă în 0.

Exemplu rezolvat 8Calculaţi derivatele de ordin n pentru funcţiile următoare

a.f ( x )= 1

x−a, f : R−{a}→R

Vom proceda inductiv

f ' ( x )=(1x−a

)'=−1(x−a )2

; f ''( x )=(−1( x−a )2

)'=−−1⋅2( x−a)( x−a)4

=+ 1⋅2⋅1(x−a )3

;

f '''( x )=(+1⋅2⋅1( x−a )3

)' =+ 1⋅2⋅−3 ( x−a )2

( x−a )6=−1⋅2⋅3⋅1

( x−a )4

Demonstrăm prin inducţie propoziţia

P(n ): f (n )( x )=(−1)n⋅ 1

( x−a )n+1

10

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauObservăm că P(1),P(2) sunt adevărate. Presupunem P(k) adevărată şi demonstrăm implicaţia P(k )⇒ P(k+1 )

f (k+1)(x )=( f (k )( x ))'=((−1 )k⋅k !⋅1( x−a )k+1

)'=(−1)k⋅k !⋅−( k+1)( x−a )k

( x−a)2 k+2=

¿(−1 )k+1⋅( k+1)!⋅1

( x−a )k+2

Deci implicaţia este adevărată; conform principiului inducţiei complete, rezultă că P(n) este adevărată.

b. f ( x )= 1

( x−3 )( x−5 ), f : R−{3,5}→R

În general, dacă funcţia este raţională, (raport de polinoame), atunci o vom scrie ca o sumă de fracţii simple (dacă acest lucru este posibil)

Când numitorul este un produs de binoame, procedăm astfel:- amplificăm fracţia cu diferenţa factorilor de la numitor- distribuim numitorul

2( x−3 )( x−5)

=( x−3 )−( x−5)( x−3 )( x−5)

=(x−3)

( x−3 )( x−5 )−

( x−5 )(x−3)( x−5 )

= 1x−5

− 1x−3

Vom obţine derivata de ordin n a funcţiei ca diferenţa a derivatelor de ordin n a celor două fracţii simple, conform formulei obţinute la punctul a

f (n)( x )=( 1x−5

)(n)−( 1x−3

)(n )=(−1)n⋅¿⋅n!⋅( 1

( x−5 )n+1

− 1

( x−3 )n+1

)

¿

c. f ( x )= x+2

x−3, f : R−{3}→R

Scriem f astfel încât să utilizăm formula de la punctul (a). Construim la numărător un multiplu al numitorului

f ( x )= x+2x−3

= x−3+3+2x−3

=1+ 5x−3 apoi derivăm ca sumă .

d. f ( x )=3 x+1

x+4, f : R−{−4 }→R

f ( x )=3 x+12−12+1x+4

=3( x+4 )−11

x+4=3−11⋅ 1

x+4

e. f ( x )=eαx , f : R→R

11

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

f ' ( x )=(eαx )'=α⋅eαx ; f ''( x )=(αeαx )'=α 2⋅eαx ; .. . f (n)( x )=( αn−1eαx )'=α n⋅eαx

Formula se demonstrează inductiv.

f. f ( x )= ln( x ) , f :R+→R

f ' ( x )=1x

; f '' (x )=−1

x2;etc

Se procedează ca la punctul a.

g. f ( x )=sin x , f : R→R

f ' ( x )=cos x ; f ''( x )=−sin x ; f '''( x )=−cos x ; f iv ' (x )=sin x ;

f (5)( x )=cos x ; f (6)( x )=−sin x ; f (7)( x )=−cos x ; f (8)( x )=sin xDemonstrăm inductiv că f (4 k+1)( x )=cos x ; f (4 k+2)(x )=−sin x ; f (4 k+3)( x )=−cos x ; f (4 k )(x )=sin x

Formula de derivare a unui produs, aplicată inductiv, ne conduce la

( f ( x )⋅g( x ))(n)=∑k=1

n

C n

k

⋅f (n−k )( x )⋅g( k )

( x )−formulaLeibniz−Newton

Cu ajutorul acestei formule putem exprima derivate de ordin n ale unor produse folosind derivatele de ordin n ale factorilor.

Derivata funcţiei inverse

Teoremă

Fie f : I →J o funcţie continuă şi bijectivă, derivabilă în punctul x0∈ I , f ' ( x0 )≠0 ; . Atunci şi funcţia inversă (care există deoarece f este

bijectivă) este derivabilă în punctul y0∈ J ,undef (x0 )= y0 ;

Formula de derivare a funcţiei inverse este g' ( y0 )=

1

f ;( x0 )

Prin urmare, pentru a determina derivata inversei într-un punct, aflăm mai

întâi pre-imaginea acestuia prin funcţia f, adică rezolvăm ecuaţia f ( x0)= y0

în raport cu x0

12

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauExemplu rezolvat 9

Fie f : R→R , f ( x )=ex+x+1.Arătaţi că f este bijectivă şi calculaţi ( f −1)' (2 )

Rezolvaref este continuă (combinaţie liniară de funcţii continue pe domeniul maxim de definiţie) şi strict monotonă (sumă de funcţii strict crescătoare), deci este bijectivă (sau demonstrăm că este injectivă şi surjectivă).

Calculăm f' ( x )=(ex+x+1)'=ex+1 .

Rezolvăm ecuaţia f(x)=2:f ( x )=2⇔ex+ x+1=2⇔ ex=1−xRezolvăm ecuaţia grafic: membrul stâng este o funcţie crescătoare, membrul drept este o funcţie descrescătoare, deci cele două curbe se vor întâlni în maxim un punct. Observăm că ecuaţia este satisfăcută de valoarea 0, care va fi deci unica soluţie.

De aici rezultă că ( f −1)' (2 )= 1

f ' (0 )= 1

e0+1=1

2

Exemplu rezolvat 10

Fie f : R→R , f ( x )=ln x+x . Arătaţi că f este bijectivă şi calculaţi ( f −1)' ( e+1 )

Rezolvare

f ' ( x )=( ln x+x )=1x+1.

. f este bijectivă (vezi exerciţiul anterior)

Rezolv f ( x )= ln x+x=e+1 . Soluţia unică a acestei ecuaţii este x0=e

Rezultă

( f −1)' ( e+1 )= 1

f ' (e )= 1

1e+1

= ee+1

Exerciţii propuse

VII.Să se determine derivatele de ordin n ale funcţiilor

a. f : R→R , f ( x )=ln x+x . b. f : R−{±1}→R , f ( x )= 1

x2−1

c. f : R−{1,2}→R , f ( x )= 1

x2−3 x+2 d. f : R−{1}→R , f ( x )= x+3

x−1

13

Lectia numarul 5 clasa a 11-a Analiză matematicăautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

e. f : R→R , f ( x )=2axf. f : R→R , f ( x )=cos x

g. f : R→R , f ( x )=cos2 x h. f : R→R , f ( x )=cos 2 x⋅sin 5 x

i. f : R→R , f ( x )=(1−x )⋅sin x

VIII.Să se cerceteze dacă funcţiile următoare sunt de 2 ori derivabile în punctele precizate.

a.f ( x )=¿ {e 1x , x<0 ¿¿¿¿ b.

f ( x )=¿ {sin2 x , x∈Q ¿ ¿¿¿IX.Să se determine derivatele precizate pentru inversele funcţiilor de mai jos

a. Fie f : R→R , f ( x )=x5+x+1 .Arătaţi că f este bijectivă şi calculaţi ( f −1)' (3 )

b. Fie f : R→R , f ( x )=ex+x2+1 .Arătaţi că f este bijectivă şi calculaţi ( f −1)' ( e+2 )

În lecţia următoare

Puncte de întoarcere, Puncte de extrem, Puncte unghiulare, Puncte de inflexiune

Ecuaţia tangentei la grafic într-un punct dat

Proprietăţile funcţiilor derivabile (Teorema lui Fermat, Teorema lui Lagrange, Teorema lui Rolle, Şirul lui Rolle, Teorema lui Cauchy, Teorema lui Darboux

14