Rezolvarea numeric a ecuaiilor algebrice i transcendente

33. Metoda parcurgerii:

Metoda const n parcurgerea intervalului n care se caut rdcina cu un pas suficient de mic (h). Se mparte astfel intervalul [a,b] n mai multe subintervale de lime h. Pentru fiecare dintre acestea se determin valoarea produsului f(xs)*f(xd), fiind posibile trei situaii:

a) dac valoarea acestuia este negativ (

34. Metoda njumtirii intervalului (Biseciei)

Considerm c ecuaia 0)x(f are o singur rdcin n

intervalul )b,a( 00 i c funcia f este continu pe acest interval.

Aceast presupunere este valabil, n condiiile parcurgerii primei etape, aceea de separare a unei singure rdcini ntr-un anumit interval.

Fie eroarea admis pentru soluia ecuaiei. Din punct de vedere grafic, rezolvarea ecuaiei prin aceast metod, este ilustrat n

Fig.2. Intervalul iniial )b,a( 00 se mparte n dou pri egale prin

punctul: 2

bac 000

Se efectueaz apoi produsul )()( 00 cfaf . Intervalul care

conine n continuare soluia se noteaz )b,a( 11 . Situaiile care pot

aprea sunt urmtoarele:

.,),,(,0

,0

,),,(,0

:)()(

010100

0

010100

00

bbcanoteazasebcx

cx

cbaanoteazasecax

cfaf

R

R

R

n situaia prezentat n grafic avem )()( 00 cfaf < 0. Cu intervalul )b,a( 11 se procedeaz n

mod asemntor.

Rezult dou iruri, Nnna

cresctor (sau constant pe poriuni) i nb

descresctor (sau constant pe poriuni) soluia

Rx aflndu-se n permanen n intervalul

)b,a( nn .

Lungimea acestui interval este:

00nnn ab2

1ab .

Numrul minim de iteraii nmin se

determin funcie de precizia impus

calculelor: nn ab .

Orice valoare cuprins n intervalul

final )b,a( nn poate fi considerat ca fiind

soluie aproximativ pentru ecuaia dat. De obicei se consider mijlocul ultimului interval determinat.

),ba(2

1x nnR

f(x)

x

A0

B0

a0a1

xR

c0

b1

b0

Figura 2

START

Input

xs, xd, eps

xd = xm

STOP

f(xs)*f(xm) eps

35. Metoda lui Newton (tangentei)

Considerm c ecuaia 0)x(f conine n intervalul )b,a( 00

o singur soluie Rx . Grafic, rezolvarea ecuaiei prin aceast metod

este ilustrat n Fig.3. De asemenea, considerm c pe acest interval derivatele f' i f" pstreaz semn constant, deci f este strict monoton i nu are punte de inflexiune.

Ea presupune aproximarea soluiei exacte Rx printr-un ir de

valori 1x , 2x ... obinute prin intersecia tangentelor duse la graficul

funciei f n punctele A0, A1,... cu axa absciselor.

Punctul iniial 0x se alege ca fiind una din extremitile

intervalului )b,a( 00 i anume aceea care ndeplinete condiia: 0)(")( 00 xfxf

Aceast condiie ne asigur c intersecia tangentei la grafic cu axa Ox se va afla n interiorul

intervalului iniial. Considerm punctul generic ))x(f,x(A kkk situat pe graficul funciei f.

Ecuaia tangentei n acest punct la graficul lui f este: )xx)(x('f)x(fy kkk .

Intersecia cu axa Ox este punctul 1kx obinut pentru y = 0:

,....2,1,0k;)x('f

)x(fxx

k

kk1k

Aceast expresie este formula iterativ a lui Newton. Dezavantajul metodei const n faptul c n cadrul fiecrui pas este necesar calculul derivatei funciei n punctul respectiv.

START

Input eps, x0

k = k + 1

STOP

xk+1 xk > epsDA

NU

Output xk+1

k = 0

)('

)(1

k

kkk

xf

xfxx

f(x)

x

A 0

B 0

x 0 =a 0 x 1

A 1

x R b 0

x 2

Figura 3.