COMPORTAREA LINIILOR DE TRANSPORT EXPONENŢIALE CU PIERDERI CA IMPEDANŢĂ ADAPTATĂ

LOSS EXPONENTIAL TRANSMISSION LINE AS IMPEDANCE

TRANSFORMER

Zlata CVETKOVIC Slavoljub ALEKSIC Vesna JAVOR Faculty of Electronic Engineering, Department of Theoretical Electrical Engineering, P.O. Box 73, 18000 Nis, Serbia & Montenegro,

Tel.: +381 18 529 105, Fax: +381 18 588 399 e-mail: zlata@elfak.ni.ac.yu, as@elfak.ni.ac.yu, vjavor@elfak.ni.ac.yu

Rezumat: În această lucrare este considerată linia exponenţialăcu pierderi utilizată ca o impedanţă de adaptare. Sunt examinateinfluenţa frecvenţei şi a pierderilor termice ale liniei de transportasupra caracteristicilor exponenţiale ale liniei. Este prezentatăvaloarea impedanţei de intrare adaptată prin intermediul linieineuniforme de transport cu formă exponenţială. Este observatădependenţa impedanţei de intrare la o distanţă oarecare de-a lungulliniei, abaterea sa de la funcţia exponenţială pentru frecvenţe diferite sau pentru forme diferite. Este calculat raportul dintreunda stabilă şi frecvenţă pentru diferite forme ale raportului şirezultatele sunt prezentate în lucrare. Cuvinte cheie: impedanţa de intrare, linie de transport expo-nenţială, forma raportului, raport stabil al undei.

Abstract: Loss exponential line used as impedance transformeris considered in this paper. The influence of frequency and thermal losses at the transmission line on the character-istics of exponential transmission line is examined. The value of input impedance trans-formed through nonuniform transmis-sion line with exponential taperis presented. Dependence of input impedance at arbitrary distance along the line, its deviation from exponential function for different frequencies and for different taper ratio is observed. Standing waveratio versus frequency is calculated for different taper ratio and the results are presented in the paper. Keywords: input impedance, exponential transmission line, taper ratio, standing wave ratio.

1. Introducere

Liniile de transport uniforme [1-2] şi neuniformă [3-7] pot fi folosite impedanţe de adaptare. Liniile de transport uniforme se comportă ca impedanţe de adaptare depinzând de frecvenţă şi lungimea liniei. Lucrarea [1] prezintă o analiză uşor de înţeles şi puţină documentaţie asupra linieide transport adaptate. Transformatoarele de frecvenţă de laradio constând din linii de transport potrivite de lungime egală şi impedanţă caracteristică sunt prezentate în lucra-rea [2]. Lucrarea [3] oferă soluţii asupra ecuaţiilor de formăînchisă pentru valori ale impedanţei complexe arbitrare transformată printr-o linie de transport fără pierderi, neuni-formă de formă exponenţială, cos2 şi parabolică. Liniile neuniforme au avantajul ajustării impedanţei mari când sunt folosite ca impedanţe de adaptare şi filtrării pe lungimide bandă mari, când sunt folosite ca filtre [6-7].

În lucrare este prezentată forma închisă a impendanţei de intrare pentru linia de transport exponenţială cu pierderi. Se observă abaterea impedanţei de intrare de-a lungul liniei pentru diferite frecvenţe şi pentru diferite forme ale raportu-lui şi lungime a liniei. Unele rezultate pentru liniile de trans-port neuniforme cu pierderi exponenţiale folosite ca impe-danţă de adaptare sunt deja prezentate în lucrările [4] şi [5].

2. Impendanţa de intrare a liniei de transport

exponenţiale cu pierderi Este considerată o linie de transport neuniformă (Fig. 1).

ug este tensiune sursei, Zg şi Zp sunt impedanţa sursei, respectiv impedanţa de sarcină. Considerând modul de propagare TEM, comportamentul liniei de transport este descris prin intermediul ecuaţiilor telegrafiştilor.

1. Introduction The uniform [1-2] and nonuniform transmission lines

[3-7] can be used as impedance transformers. Uniformtransmission lines act as impedance transformers dependingon the frequency and length of the line. The paper [1] presentsan easily understood analysis and some history of the trans-mission line transformer. Radio frequency transformersconsisting of matched transmission lines of equal length andcharacteristic impedance are presented in [2]. The paper [3]gives solution of closed-form equation for value of arbitrarycomplex impedance transformed through a length of lossless,nonuniform transmission line with exponential, cosine-squared and parabolic taper. The nonuniform lines have theadvantage of wide-band impedance matching when used asimpedance transformers and larger rejection bandwidthswhen used as filters [6-7].

In this paper closed form of input impedance for lossexponential transmission line is presented. Deviation of inputimpedance along the line for different frequencies and fordifferent taper ratio and length of the line is observed. Someresults for nonuniform exponential loss transmission line usedas impedance transformer are already presented in papers [4] and [5].

2. Input impedance of the loss exponential transmission

line A nonuniform transmission line shown in Fig.1 is con-

sidered. ug is the source voltage, Zg and Zp are sourceimpedance and load impedance, respectively. Assuming the TEM mode of propagation, the behavior of transmission lineis described by Telegraph's equations.

The 6th International Power Systems Conference 168

ug

Fig. 1. Prezentarea schematică a liniei de transport exponenţiale Fig. 1. Schematic presentation of exponential transmission line

În această lucrare se consideră o linie de transport exponenţială cu pierderi (Fig. 1) de lungime d. Parametrii primari sunt: ,0.' ≠= constR ,0'=G sx

oeLL ′=' şi C C eosx'= ′ −

unde ′Lo şi ′Co sunt inductanţa şi capacitatea unitară la sfâr-

şitul liniei exponenţiale. S se determină astfel Plnd

s 1= ,

unde P evidenţiază o formă a raportului liniei de transport exponenţiale care este definită astfel

A loss exponential transmission line, Fig. 1, of lengthd is considered in this paper. Primary parameters are

,0.' ≠= constR ,0'=G sxoeLL ′=' a n d C C eo

sx'= ′ − w h e r e′Lo and ′Co are inductance and capacitance per unit length

at the input end of the exponential line. s is deter-minedas Pln

ds 1= , where P denotes a taper ratio of expo-

nential transmission line which is defined as ( ) ( )0ZZ CC /dP = . (1)

( )0CZ şi ( )dZC sunt impedanţele caracteristice ale sursei, respectiv ale sarcinii de la sfârşitul liniei.

Parametrii secundari pentru linia de transport consi-derată sunt

( )0CZ and ( )dZC are the characteristic impedances at thesource and load ends of line, respectively.

Secondary parameters for considered transmission line are

( ) ( ) sxsxCC jreeZxZ −−= 10 (2)

şi and

( ) ( )sxo jrekx −−−=γ 122 , (3)

unde where

r R L= ′ ′ω 0 , k L Co o o= ′ ′ω and ( ) ( ) 1000 −′′= CLZC .

Starea liniei de transport poate fi exprimată prin inter-mediul următoarelor ecuaţii diferenţiale

State on the transmission line can be expressed by thefollowing differential equation

( ) ( ) 0111 2

22 =−+′++

−′′ −−

−UjrekU

erjresU sx

oxs

xs. (4)

Impedanţa de intrare la distanţa x, se determină astfel The input impedance at the distance x , is determined as

)x(I)x(U)x(Z = . (5)

Rezolvând (4) şi (5) şi satisfăcând condiţiile )0( == xZZ cg ,)( dxZZ cp == şi V2=gU , pentru ( )xZ se obţine

Solving (4) and (5), and satisfying conditions )0( == xZZ cg ,)( dxZZ cp == and V2=gU , for ( )xZ is obtained

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) xkdkxkdk

xkdkxkdk

exedGexedG

eedGeedGxZxZ

1221

2112

1221

12

11

11

γγ+−γγ+

γ+−γ+′= , (6)

unde where are

( )( )dZdZG C

′= , 111 jbak += , 222 jbak += ,

( )( )[ ] ( )[ ] ( )22

022222

02222

0222

20

2

1

21211

212

2

kberkerbkerb

kbrebasxsxsx

sx

++−−−−−−

++=

−−−

−,

( )[ ] ( )[ ] ( )220

222220

22220

2221 21

211

21 kberkerbkerbbeb sxsxsxsx ++−−−−−−+= −−−− ,

( )( )[ ] ( )[ ] ( )22

022222

02222

0222

20

2

2

21211

212

2

kberkerbkerb

kbrebasxsxsx

sx

++−−−−−−

+−=

−−−

−,

03-04.11.2003, Timişoara, Romania 169

( )[ ] ( )[ ] ( )220

222220

22220

2222 21

211

21 kberkerbkerbbeb sxsxsxsx ++−−−−−−−= −−−− ,

( )xsersb 2212 −+

= , ( ) ( ) ( )xxkxxkx

dd 1

11 +=γ and ( ) ( ) ( )xxkxxkx

dd 2

22 +=γ .

Raportul stabil a undei, VSWR, poate fi exprimat ca o funcţie de modulul coeficientului tensiunii reflectate R.

Standing wave ratio, VSWR , can be expressed as afunction of the modulus of voltage reflection coefficient R

RR

−+

=11

VSWR , (7)

unde where

Cp

Cp

ZZZZ

R+

−= .

3. Rezultate numerice

În această lucrare este considerată linia reală expo-nenţială cu conductoare din cupru. Rezistenţa unitară este

calculată ca σ

ωμπ

=′2

1

orR . Valoarea de R' =1.43837Ω / m

şi MHz300=f . Raza conductorului este mm10 =r . Dacă impedanţa de intrare este adapată de la ( ) Ω=1000CZ

la impedanţa de ieşire de ( ) Ω= 200dZC atunci forma ra-portului este 2=P . Forma raportului este 3=P pentru

( ) Ω= 300dZC ; 4=P pentru ( ) Ω= 400dZC şi 5=Ppentru ( ) Ω= 500dZC . Aceste valori sunt de obicei utilizateîn practică.

Fig. 2-5 prezintă impedanţele de intrare ca funcţie de coordonatele axiale pentru diferite forme ale raportului. La frecvenţe foarte ridicate (fig. 5) impedanţa de intrare de-a lungul liniei exponenţiale are formă exponenţială ideală, deoarece pierderile s-au neglijat.

Fig. 2. Impedanţa de intrare ca funcţie de x la 100 MHz Fig. 2. Input impedance as a function of x at 100 MHz

Fig. 4. Impedanţa de intrare ca funcţie de x la 900 MHz

Fig. 4. Input impedance as a function of x at 900 MHz

3. Numerical results

In this paper real exponential line with copperconductors is considered. Resistance per unit length is

calculated as σ

ωμπ

=′2

1

orR . The value is R' = 1.43837 Ω

/m and MHz300=f . Wire radius is mm10 =r . If the input impedance is transformed from ( ) Ω=1000CZ

to output impedance of ( ) Ω= 200dZC then taper ratio is2=P . Taper ratio is 3P = for ( ) Ω= 300dZC ; 4=P for( ) Ω= 400dZC and 5=P for ( ) Ω= 500dZC . These values

are usually used in practice. Results for λ/2-transmission line are presented in Figs.

2-5. They show input impedances as the function of axialcoordinate for different taper ratio. At very high frequen-cies (Fig. 5) input impedance along exponential line hasideal exponential form, because losses are neglected.

Fig. 3. Impedanţa de intrare ca funcţie de x la 300 MHz Fig. 3. Input impedance as a function of x at 300 MHz

Fig. 5. Impedanţa de intrare ca funcţie de x la 90 MHz Fig. 5. Input impedance as a function of x at 90 GHz

Abaterea impedanţei de intrare de la forma exponenţi-ală, ZΔ , pentru diferite forme ale raportului ca funcţie de frecvenţă este reprezentată în Fig. 6-8, pentru diferite lun-

The deviation of the input impedance from exponentialshape, ZΔ , for different taper ratio as a function of fre-quency is presented in Figs. 6-8, for different length of

The 6th International Power Systems Conference 170

gimi ale liniei de transport, 2λ/3andλ;2λ/=d , respectiv. Rezultatele obţinute arată că variaţia impedanţei de la formaexponenţială este mai mare la frecvenţe mai mici şi pentruforme ale raportului mai mari. Abaterea se micşorează pe măsură ce lungimea liniei se măreşte. Fig. 9 prezintă raportul undei stabile, VSWR, la intrare versus frecvenţă, pentru diferite forme ale raportului.

Fig. 6. Abaterea impedanţei de intrare de la forma exponenţială

pentru diferite forme ale raportului când 2/λ=d Fig. 6. The deviation of the input impedance from exponential

shape for different taper ratio when 2/λ=d

Fig. 8. Abaterea impedanţei de intrare de la forma exponenţială

pentru diferite forme ale raportului când 2/3λ=d Fig. 8. The deviation of the input impedance from exponential

shape for different taper ratio for 2/3λ=d

transmission line, 2λ/3andλ;2λ/=d , respectively. Ob-tained results show that variation of impedance from theexponential shape is greater at lower frequencies and forgreater taper ratio. The deviation decreases as the length oftransmission line increases. Fig. 9 presents standing waveratio, VSWR , at the input end versus frequency, for differenttaper ratio.

Fig. 7. Abaterea impedanţei de intrare de la forma exponenţială

pentru diferite forme ale raportului când λ=d Fig. 7. The deviation of the input impedance from exponential

shape for different taper ratio for λ=d

Fig. 9. VSWR versus frewcvenţă pentru diferite forme ale raportului

Fig. 9. VSWR versus frequency for different taper ratio

4. Concluzii Se consideră în această lucrare linia de transport expo-

nenţială ca impedanţă adaptată pe un domeniu de frecvenţămare. Analizele amănunţite arată caracteristicile liniei de-pinzând de frecvenţă şi de forma raportului. Variaţia impe-danţei de-a lungul liniei de la funcţia exponenţială creşte pe măsură ce frecvenţa descreşte. Se poate concluziona că la frecvenţe ridicate numărul pulsaţiilor de la funcţia expo-nenţială ale impedanţei de intrare cresc, dar amplitudinile lor descresc. Pentru frecvenţe foarte ridicate se obţine aproape doar dependenţa ideală exponenţială. Linia de transport se comportă ca o impedanţă excelentă de adaptarepentru un domeniu larg de frecvenţe, cu excepţia frecvenţelor foarte joase.

4. Conclusion The exponential transmission line as impedance trans-

former in large frequency range is considered in this paper.Detailed analysis shows that line characteristics depend onfrequency and on taper ratio. Impedance variation along theline from the exponential function increases as frequencydecreases. It can be concluded that at higher frequencies thenumber of ripples from the exponential function of the inputimpedance increases but their magnitudes decrease. For veryhigh frequency almost ideal exponential dependence isobtained. The transmission line acts as an excellent impedancetransformer for a large frequency range, except at very lowfrequencies.

References (Bibliografie)

1. Sevick, B. J.: A Simplified Analysis of the Broadband Transmission Line Transformer, High Frequency Electronics, pp. 48-53, 2004. 2. Rothilz E.: TransmissionLine Transformers, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. vol. MTT-29, No. 4, pp. 327-331, 1981. 3. Ahmed, M, J.: Impedance Transformation Equations for Exponential, CosineSquared, and Parabolic Tapered Line Transmission

Lines, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. vol. MTT-29, No. 1, pp. 67-68, 1981. 4. Cvetkovic, Z. Z.: Exponential Transmission Line Used as an Impedance Transformer, II Telecommunication Proceeding TELFOR'94,

pp. 183-186, Belgrade 1994. 5. Cvetkovic Z. Z., Petkovic R.A.: Characteristics of Loss Exponential Line Network, Proc. of 4th Electronic Devices and Systems

Conference EDS’96, pp.34-38, Brno, Czech Republic, 1996. 6. Hsue, Ch. W., Hechtman, Ch. D.: Transient Analysis of Nonuniform, High-Pass Transmission Lines, IEEE Trans. Microwave Theory

Tech. vol.38, No. 8, pp. 1023-1029, 1990. 7. Hsue, Ch. W.: Time-Domain Scattering Parameters of an Exponential Transmission Line, IEEE Trans. Microwave Theory Tech.

vol.39, pp. 1891-1895, November 1991.