1

LUCRAREA 1

REZOLVAREA UNEI PLĂCI PLANE DREPTUNGHIULARE PRIN METODE ANALITICE ŞI NUMERICE

ACTIVITĂŢI A1. Aplicarea unei metode analitice pentru rezolvarea plăcilor plane dreptunghiulare (metoda seriilor Fourier duble); A2. Însuşirea şi aplicarea algoritmilor de rezolvare prin metode numerice a unei plăci plane dreptunghiulare (metoda diferenţelor finite şi metoda elementelor finite); A3. Temă de casă - aplicarea metodelor analitice şi numerice pentru rezolvarea unei plăci plane dreptunghiulare. A1. Cerinţe de rezolvat Se consideră o placă dreptunghiulară simplu rezemată pe contur, încărcată cu o forţă uniform distribuită de intensitate p pe toată suprafaţa ca în fig. L1.1, pentru care se cere să se determine:

a) coeficienţii amn ai dezvoltării în serie a încărcării; b) expresia deplasării w(x,y) şi valoarea sa maximă; c) particularizare pentru o placă pătrată; d) expresiile eforturilor într-un punct al plăcii; e) valorile maxime ale eforturilor.

Date numerice pentru cazul particular al plăcii pătrate: a = 4m, h = 15cm, p = 5kN/m2, E = 30000N/mm2, ν = 0,2 (beton)

Etape de rezolvare Rezolvarea unei plăci plane înseamnă determinarea răspunsului acesteia la

diverse acţiuni statice sau dinamice, care solicită placa la un moment dat. Evaluarea răspunsului la acţiuni statice se face în domeniul elastic de comportare, parametrii de răspuns cei mai uzuali fiind deplasări, eforturi, tensiuni, deformaţii.

Etapele de rezolvare surprind ordinea logică a activităţilor care trebuie efectuate pentru determinarea răspunsului. Acestea sunt:

Stabilirea cerinţelor; Evaluarea acţiunilor; Stabilirea ecuaţiilor de guvernare corespunzătoare comportării

2

plăcii la acţiunile date; Alegerea metodei (analitice sau numerice) adecvate pentru

rezolvarea ecuaţiilor de guvernare; Determinarea soluţiilor (deplasările w); Calculul eforturilor; Calculul tensiunilor; Calculul deformaţiilor specifice; Prelucrarea şi prezentarea rezultatelor sub formă de tabele, grafice

(diagrame de deplasări şi eforturi), diagrame sau hărţi de tensiuni etc.

Fig. L1.1. Placa simplu rezemată încărcată cu o forţă uniform distribuită

a) Încărcările aplicate pe placă se pot înlocui echivalent cu o încărcare obţinută prin dezvoltarea acestora în serii Fourier duble. Astfel p(x,y) dezvoltată în domeniul ( 0 , 0x a y b ) are forma:

1 1( , ) sin sinmn

m n

m x n yp x y aa b

(1)

în care coeficienţii seriei încărcării sunt

0 0

4 ( , )sin sina b

mnm x n ya p x y dxdy

ab a b

(2)

Pentru p(x,y) = p = const. se determină coeficienţii mna cu relaţia (2)

3

0 0

4 sin sina b

mnm x n ya p dxdy

ab a b

0 0

4 sin sina bp m x n ydx dy

ab a b

(3)

0 0

4 cos cosa bp a m x b n y

ab m a n b

2

4 cos cos0 cos cos 0p m nmn

2

16 , ( , 1,3,5,....)p m nmn

.

Răspuns: 2

16 , ( , 1,3,5,....)mnpa m n

mn

b) Deplasările w(x,y) au expresia (2.61 din Curs 2):

22 24

2 2

( , ) sin sinmn

m n

a m x n yw x ya bm nD

a b

, (4)

care, după înlocuirea coeficientului amn din (3) devine

26 2 21,3... 1,3...

2 2

sin sin16( , )m n

m x n yp a bw x yD m nmn

a b

(5)

Săgeata maximă se produce la mijlocul deschiderii plăcii(x = a/2, y = b/2) şi are valoarea:

max 26 2 21,3... 1,3...

2 2

sin sin16 2 2m n

m npwD m nmn

a b

(6)

Dacă se pune în evidenţă raportul laturilor a/b şi se înlocuieşte rigiditatea plăcii D cu expresia sa (1.26 din Curs 1), rezultă

42

max 26 3 21,3... 1,3...2 2

sin sin192 2 2(1 )m n

m npaw

Eh amn m nb

(7)

4

care se mai scrie:

4

max 3

pawEh

(8)

unde

226 21,3... 1,3...

2 2

sin sin192 2 2(1 )m n

m n

amn m nb

(9)

c) În particular pentru placa pătrată a = b şi pentru 0.2 (placă de beton

armat), luând în considerare doar primii 4 termeni ai dezvoltării în serie (pentru m = 1, n =1; m = 1, n = 3; m = 3, n = 1 şi m = 3, n = 3) coeficientul are valoarea:

26 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 6

192 1 1 1 ( 1) ( 1) 1(1 0.2 )1 1(1 1 ) 1 3(1 3 ) 3 1(3 1 )

( 1)( 1) 192 0.96... (0.2500 0.0033 0.0033 0.00003) 0.04673 3(3 3 )

Dacă am lua în considerare doar primul termen al dezvoltării în serie, valoarea coeficientului α ar fi 0,04793.

Calculul detaliat al coeficientului evidenţiază, în acest caz, convergenţa foarte bună a seriilor trigonometrice duble pentru cazul săgeţilor.

Înlocuind valorile numerice ale mărimilor implicate, rezultă: - săgeata maximă cu 4 termeni ai dezvoltării wmax(4) = 0,590mm; - săgeata maximă cu 1 termen al dezvoltării wmax(1) = 0,606mm;

d) Eforturile într-un punct al plăcii se determină cu relaţiile (2.62, Curs 2), în care se înlocuiesc coeficienţii amn determinaţi la cerinţa a) a lucrării:

2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2

16 / sin sin( / )x

m n

pa m n a b m x n yMmn m n a b a b

(a)

2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2

16 / sin sin( / )y

m n

pa n a b m m x n yMmn m n a b a b

(b)

2

4 2 2 2 2 2

cos cos16 (1 )( / )xy

m n

a m x n ypa b a bM

m n a b

(c) (10)

5

3 2 2 2 2

cos sin16( / )x

m n

m x n ypa a bV

n m n a b

(d)

3 2 2 2 2

sin cos16( / )y

m n

a m x n ypa b a bV

m m n a b

(e)

(m,n = 1,3,5,...)

e) Momentele încovoietoare maxime apar în centrul plăcii, pentru x = a/2 şi y = b/2 şi se pot scrie condensat sub forma:

2 2max max,x yM pa M pa (11)

unde şi ' rezultă din relaţiile precedente (10 a şi b), introducând x = a/2 şi y = b/2. Pentru cazul particular al plăcii pătrate a = b şi are expresia:

2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

16 1 0.2 1 1 0.2 3 3 0.2 11 1 1 ( 1) ( 1) 11 1(1 1 ) 1 3(1 3 ) 3 1(3 1 )

3 0.2 3 ( 1) ( 1) 0.04343 3(3 3 )

Valoarea exactă a coeficientului este 0.0443 abaterea fiind de 2.1%. Forţele tăietoare maxime în modul apar în mijloacele laturilor simplu rezemate şi pot fi scrise sub forma: max max,x yV pa V pa (12) Coeficienţii şi se calculează funcţie de raportul a/b, din relaţiile (10 d şi e). Coeficienţii , , , , se întabulează funcţie de raportul a/b şi de materialul de constituţie al plăcii.

6

A2. Cerinţe de rezolvat Se consideră o placă dreptunghiulară având două laturi paralele de lungime a încastrate, iar celelalte două de lungime b = 1.5a, simplu rezemate. În centru, placa reazemă pe un stâlp (asimilându-se cu un reazem simplu). Se analizează trei cazuri de încărcare:

1 . Patru forţe concentrate de mărime P, aplicate la a/4 şi b/4 de colţurile plăcii (respectiv de centrul plăcii);

2 . O acţiune uniform distribuită, p, pe toată suprafaţa plăcii; 3 . O acţiune liniar distribuită în direcţia laturii a, cu intensitatea maximă

0p la mijlocul acesteia (fig. L1.2). Se cere să se determine deplasările, w, în nodurile reţelei de diferenţe finite

din fig. L1.2. Se va utiliza metoda diferenţelor finite. Date numerice: a = 8m; b = 12m; h = 0,2m; E = 30000N/mm2; ν = 0,2; P =

2kN; p = 2,5kN/m2 (efectul greutăţii proprii); p0 = 3kN/m2. Etape de rezolvare Metoda diferenţelor finite (MDF) Este o metodă numerică de rezolvare, care constă în aproximarea

derivatelor din ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate cu diferenţe finite centrale. Algoritmul metodei cuprinde următoarele etape:

- Trasarea şi numerotarea reţelei de diferenţe finite, utilizând avantajele simetriei, dacă există (se utilizează o reţea pătrată, cu pas identic pe ambele direcţii – vezi fig. L1.2; pentru uşurinţă se numerotează şi nodurile de pe contur şi din exterior);

- Transcrierea ecuaţiei diferenţiale (1.47, Curs 1) a suprafeţei mediane deformate în diferenţe finite centrale, folosind operatorul de transcriere din fig. 2.12 (Curs 2);

- Introducerea condiţiilor de rezemare, cu derivatele transcrise în diferenţe finite;

- Precizarea termenilor liberi ai fiecărei ecuaţii, funcţie de încărcarea aferentă nodului respectiv (schemele din fig. 2.10, 2.11, Curs 2);

- Rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice rezultat şi determinarea deplasărilor w în nodurile interioare ale reţelei;

- Calculul eforturilor în nodurile reţelei, cu ajutorul relaţiilor (2.82, Curs 2), particularizate pentru Δx = Δy = Δ = a/8;

- Trasarea diagramelor de deplasări şi de eforturi în diverse secţiuni ale plăcii.

7

Placa prezintă două axe de simetrie pentru rezemare şi încărcare şi, pentru rezolvare, se poate considera un sfert de placă.

Deoarece în dreptul stâlpului se consideră deplasarea w0 = 0, pentru reţeaua considerată pe sfertul de placă analizat sunt 23 de noduri interioare, în care săgeata este nenulă şi în care se va transcrie ecuaţia diferenţială a plăcii în diferenţe finite centrale.

Fig. L1.2. Cazuri de încărcare şi numerotarea reţelei de diferenţe finite Se exemplifică transcrierea ecuaţiei diferenţiale a plăcii

4 4 4

4 2 2 4

( , )2w w w p x yx x y y D

în două noduri (pentru cazuri de încărcare diferite): - în nodul 14, pentru cazul 1 de încărcare; - în nodul 23 pentru cazul 3 de încărcare.

8

14 10 13 15 18 9 11 17 19

44 22

146 12 22 . 2

20 8 2

8c a

w w w w w w w w wP

p Paw w w wD D D

23 19 22 . . 18 . .

404 4

23 015 21 . . 4

20 8 2

44 8

c i c a c i colt c a

e i e a

w w w w w w w w wp

p p aw w w wD D D

în care, pe conturul articulat şi pe cel încastrat wc.a = wc.i = wcolt = 0, iar we.i = w23, we.a = -w23.

Deplasările de pe contur sunt nule, cele din exterior simetrice faţă de latura simplu rezemată sunt egale ca valoare cu cele din interior, dar de semn contrar, iar cele simetrice faţă de latura încastrată sunt egale cu cele din interior. Ecuaţiile cu diferenţe finite scrise în cele 23 de puncte interioare, conform operatorului de transcriere (din fig. 2.12) a ecuaţiei diferenţiale a suprafeţei mediane deformate a plăcii, ţinând cont de condiţiile de rezemare, sunt prezentate în tabelul T1.1. În ultimele trei coloane sunt particularizaţi termenii liberi pentru cele trei cazuri de încărcare considerate. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice obţinute conduce la soluţiile din tabelul T2.1. S-au obţinut următoarele valori maxime ale deplasărilor:

Cazul 1 2

max 14 0.0056918249 0.003497Paw w cmD

Cazul 2 4

max 9 0.00098115951 0.0482paw w cmD

Cazul 3 4

max 12 0.00098115951 0.04258paw w cmD

Calculul momentelor în nodul 14, pentru cazul 1 de încărcare: 2 2

13 14 15 18 14 1014 2 2 2 2

14

2 2 0.226xw w w w w ww wM D D P

x y

2 218 14 10 13 14 15

14 2 2 2 214

2 2 0.240yw w w w w ww wM D D P

y x

2

11 9 17 1914 2

14

(1 ) 1 0,000744t

w w w wwM D D Px y

Tabel T1.1. Ecuaţii cu diferenţe finite pentru placa din figura L1.2

Tabelul T2.1. Deplasările nodurilor în cele 3 cazuri de încărcare

Nodul Cazul de încărcare

(1) 2Pa

D (2)

4paD

(3) 4

0p aD

1 0,13261423 E-02 0,42471517 E-03 0,25263795 E-03 2 0,21256215 E-02 0,65507158 E-03 0,35970091 E-03 3 0,15326513 E-02 0,48451894 E-03 0,24761804 E-03 4 0.18550770 E-02 0,50327880 E-03 0,33550712 E-03 5 0.25103793 E-02 0,68398891 E-03 0,42649228 E-03 6 0.28897445 E-02 0,76239166 E-03 0,43283662 E-03 7 0,18974391 E-02 0,52021997 E-03 0,27262949 E-03 8 0,40614097 E-02 0,94977411 E-03 0,63652213 E-03 9 0,44050589 E-02 0,98115951 E-03 0,62909978 E-03 10 0,44812788 E-02 0,89900539 E-03 0,52949938 E-03 11 0,26792558 E-02 0,56404620 E-03 0,30599380 E-03 12 0,49964455 E-02 0,10690211 E-03 0,72192028 E-03 13 0,53457716 E-02 0,10408207 E-03 0,67685283 E-03 14 0,56918249 E-02 0,88804710 E-03 0,53287152 E-03 15 0,31402400 E-02 0,53525070 E-03 0,29513982 E-03 16 0,36777637 E-02 0,82835736 E-03 0,56633627 E-03 17 0,38129124 E-02 0,79427194 E-03 0,52204088 E-03 18 0,37268048 E-02 0,66378032 E-03 0,40004516 E-03 19 0,21449614 E-02 0,39651649 E-03 0,21716842 E-03 20 0,14061992 E-02 0,36080155 E-03 0,25243274 E-03 21 0,14435971 E-02 0,34582807 E-03 0,23021811 E-03 22 0,13706932 E-02 0,29065367 E-03 0,17357455 E-03 23 0,08043895 E-02 0,17664312 E-03 0,09307654 E-03

Metoda elementelor finite (MEF) Rezolvarea plăcii prin metoda elementelor finite se va face cu ajutorul

programului de calcul Graitec Advance Design. Etape în rezolvarea problemei:

1. Realizarea geometriei modelului

2. Definirea caracteristicilor modelului: h; E; ;

3. Definirea reazemelor

4. Definirea încărcărilor Caz 1 de încărcare – 4 forţe concentrate în poziţiile indicate

Caz 2 de încărcare – forţă uniform distribuită pe toată suprafaţa plăcii Caz 3 de încărcare – forţă distribuită liniar după x, cu intensitatea maximă la mijlocul plăcii

5. Discretizarea plăcii utilizând elemente finite dreptunghiulare

6. Prelucrarea rezultatelor

Deplasări în cazul 1 de încărcare (cm):

Deplasări în cazul 2 de încărcare(cm):

Deplasări în cazul 3 de încărcare (cm):

Rezultatele obţinute în cazurile 1 şi 2 de încărcare au fost verificate prin MEF şi cu programul AXIS. Se prezintă valorile deplasărilor.

Valorile deplasărilor în cazul 1 de încărcare (mm)

Valorile deplasărilor în cazul 2 de încărcare (mm)

A3. Temă de casă - aplicarea metodelor analitice şi numerice pentru rezolvarea unei plăci plane dreptunghiulare. Cerinţe de rezolvat Se consideră o placă plană dreptunghiulară, având laturile paralele cu axa x simplu rezemate, de lungime a = 3m, respectiv laturile paralele cu axa y, de lungime b = 4m, una încastrată şi latura opusă liberă. Încărcarea de calcul qd, uniform distribuită pe toată suprafaţa plăcii, provine din greutatea proprie, încărcarea din zăpadă şi o încărcare utilă qu = 0,2n kN/m2, unde n este numărul de ordine al studentului în grupă. Se cere:

1. Să se determine deplasările maxime din placă folosind două metode analitice de rezolvare (metoda echivalenţei săgeţilor şi metoda tabelară din [10]) şi să se traseze alura deformatei plăcii (diagrame de deplasări);

2. Să se calculeze eforturile maxime şi să se deseneze diagrame de variaţie ale eforturilor;

3. Folosind metoda diferenţelor finite, să se determine deplasările şi eforturile în nodurile reţelei şi să se traseze diagrame de deplasări şi de eforturi;

4. Să se dimensioneze placa realizată din beton armat ştiind că γb = 24kN/m3; σ0 = Rt = 1,25N/mm2; E = 32500N/mm2; ν = 0,2;

5. să se verifice rezultatele prin metoda elementelor finite, folosind un program de calcul automat adecvat şi datele numerice de la cerinţa 4. Forma de prezentare a rezultatelor

La cerinţele 1), 2) şi 3), rezultatele se vor prezenta literal, funcţie de parametrii qd, a sau Δ (pasul reţelei de diferenţe finite), D (rigiditatea plăcii). Valorile maxime ale deplasărilor şi eforturilor se vor calcula şi numeric, pentru realizarea unor comparaţii între metodele folosite (prezentare într-un tabel comparativ).

Modul de evaluare Evaluarea temei din punct de vedere al corectitudinii rezultatelor şi formei de prezentare se face prin acordarea unei note de la 1 la 10.

Frecvenţa obligatorie la orele de aplicaţii şi predarea temelor de casă sunt condiţii de primire la evaluarea finală prin examen.