Kirchhoff

7/17/2019 Kirchhoff

http://slidepdf.com/reader/full/kirchhoff-568bf75d96d32 1/7

Teoria clasică a plăcilor (Teoria Kirchhoff)

Deplasările şi deformaţiile în plăcile subţiri încovoiate

Folosind ecuaţiile de legătură între deformaţii şi deplasări (ecuaţiile geometrice ale luiCuachy), obţinem relaţiile pentru deformaţii exprimate în funcţie de săgeată

2

2

2

2

2

2

x

x

xy

u w z

x x

v w z

y y

u v w z

y x x y

ε

ε

γ

∂ ∂= = −

∂ ∂ ∂ ∂ = = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = − ∂ ∂ ∂ ∂

! z ε = " conform ipote#ei a treia,

!

!

xz

xz

w u w w

y z x x

v w w w

z y y y

γ

γ

∂ ∂ ∂ ∂= + = − =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + = − + =∂ ∂ ∂ ∂

$stfel se obţine că deformaţiile, ca şi deplasările, sînt funcţii liniare în raport cu cu %ariabila z

şi funcţii necunoscute de două coordonate din planul plăcii&

Tensiunile în plăcile subţiri la încovoiere

( )

( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

' '

' '

2(' ) (' )

x x y

y y x

xy xy xy

E E w w z

x y

E E w w z

y x

E E wG z

x y

σ ε νε ν ν ν

σ ε νε ν ν ν

τ γ γ ν ν

∂ ∂= + = − + ÷− − ∂ ∂

∂ ∂ = + = − + ÷− − ∂ ∂ ∂ = × = = −

+ + ∂ ∂

2 2

2

22

2

2(' )

&2(' )

xz

yz

E h z w x

E h z w

y

τ ν

τ ν

∂= − − ∆ ÷− ∂

∂ = − − ∆ ÷ − ∂

1

7/17/2019 Kirchhoff


Fig& '&

1.5. forturile interne în placa deformată

2

2

2

2

h

x xz

h

h

y yz

h

Q dz D w

x

Q dz D w y

τ

τ

−

−

∂= = − ∆

∂ ∂ = = − ∆ ∂

∫

∫

*nde+

2'2(' )

Eh D

ν =

−

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 22

2 2

2

(' )

h

x x

h

h

y y

h

h

yx xy xy

h

w w M zdz D

x y

w w M zdz D

y x

w M M zdz D

x y

σ ν

σ ν

τ ν

−

−

−

∂ ∂= = − + ÷∂ ∂

∂ ∂ = = − + ÷∂ ∂

∂ = = = − −∂ ∂

∫

∫ ∫

2

7/17/2019 Kirchhoff


Fig& '&

1.!. cuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate a plăcii plane

( )

( , ) p x yw

D∆ ∆ =

-elaţia ('&'.) este cunoscută ca ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane a plăcii plane

subţiri, numită şi ecuaţia generală a înco%oierii plăcilor plane& /n formă desfăşurată ea se scrie0

2 2

( , )2

w w w p x y

x x y y D

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

$ceastă ecuaţie se consideră gu%ernantă, întrucît dacă se poate preci#a aşa o funcţie w(x,y)

pentru suprafaţa mediană deformată, care satisface atît ecuaţia diferenţială de echilibru ('&'1), cît şicondiţiile de pe conturul plăcii, atunci stare de tensiuni, deformaţii şi deplasări în fiecare punct al

plăcii este re#ol%ată& a se numeşte ecuaţia lui 3ophie 4ermain&

1.". #ormularea condiţiilor de contur

/n continuare se dă formularea condiţiilor de pe conturul plăcii în dependenţă de modurile dere#emare enumărate mai sus (fig&'&1)&

3

7/17/2019 Kirchhoff


1. $ncastrarea ri%idă pe lun%imea unei laturi. cuaţia ce defineşte această latură (a segmentuluide contur de spri5in) este y=0& /n toate punctele ce aparţin acestei laturi săgeata şi unghiul de rotire aoricărei normale către planul median în raport cu axa x sînt nule& /n mod matematic se scrie0

! y = ( )!!

yw = =

!

! y

w

y =

∂= ÷

∂

&. 'eemarea simplă pe lun%imea laturii x *. $ici săgeata şi momentul înco%oietor sînt nule

( ) ( )! !

! x x xw M

= == = ('&2')

ste mai util de a exprima a doua condiţie din ('&2') prin funcţia săgeţii& $%înd în %edere relaţia('&'!), re#ultă0

2 2

2 2

!

! x

x

w w M D

x yν

=

∂ ∂= − + = ÷∂ ∂

sau2 2

2 2

!

! x

w w

x yν

=

∂ ∂+ = ÷∂ ∂

/ntrucît pe latura x6! sageata w este nulă, obţinem că şi2

2

!

!

x

w y =

∂ = ÷∂ & $stfel ramîn condiţiile

pentru x 6 ! ( )!

! x

w=

= 2

2

!

!

x

w

x =

∂= ÷∂

&

7rin urmare condiţia M x 6 ! este echi%alentă condiţiei2

2

!

!

x

w

x=

∂= ÷∂

&

+. ,atura liberă de orice sarcini o vom considera-o latura y = b. /ntrucît pe suprafaţa laterală a plăcii dată de normala exterioară y sarcinile exterioare nu acţionea#ă, se scrie0

$stfel, condiţiile de contur pentru latura liberă se scriu pentru0

y = b ( ) ! y y b

M =

= 8 !

xy

y y

y b

M Q Q

x=

∂ = + = ÷∂

-elaţiile pentru forţele tăietoare generali#ate

( )

( )

+ +8

+ 2

+ +

8

+ 2

2

2 ,

x

y

w wQ D

x x y

w wQ D y x y

ν

ν

∂ ∂= − + − ÷∂ ∂ ∂

∂ ∂ = − + − ÷ ∂ ∂ ∂

Condiţiile exprimate prin funcţie de săgeata w, se scriu în forma0

( )

2 2

2 2

+ +

+ 2

!

2 !&

y b

y b

w w

y x

w w

y x y

ν

ν

=

=

∂ ∂+ = ÷∂ ∂

∂ ∂ + − = ÷ ∂ ∂ ∂

('&2)

4

7/17/2019 Kirchhoff


/n ca#ul plăcii cu contur curbliniu %om amplasa originea sistemului de coordonate local în punctul A de pe contur, iar axele le %om îndrepta în direcţia normalei n si tangentei t , după cum estearătat în desenul de mai 5os&

( ) ( )

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos

cos sin sin cos

n x y xy

nt xy x y

M M M M

M M M M

α α α α

α α α α

= + −

= − + − 7entru latura curbliniară încastrată %om a%ea0

!,w = !w

n

∂=

∂

pentru latura simplu reemate0

!,w = !&n

M =

/nlocuind expresia pentru M n din prima ecuaţie ('&21) şi folosindu"ne de expresiile ('&'!) putem

scrie condiţiile de frontieră în funcţie de săgeată w şi deri%atele ei& 7entru latura liberă condiţiile de frontieră se %or scrie0

!,n

M = !,nt n n

M V Q

S

∂= − =

∂

putem scrie condiţiile de contur sub următoarea formă0

( )

( )

2 2 22 2

2 2

2 2 2

2 2

' cos sin sin 2 !

'cos sin ' cos 2 sin 2 !

2

w w ww

x y x y

w w ww

x y S x y y x

ν ν α α α

α α ν α α

∂ ∂ ∂∆ + − + + = ÷∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ + + + + − = ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

('&+)

unde2 2

2 2&

w ww

x y

∂ ∂∆ = +

∂ ∂

Teoria 'eissner a încovoierii plăcilor

5

7/17/2019 Kirchhoff


+

! !

2 +

+

! !

2 +

! !

( , ) ' +

' ' 2

( , ) ' +

' ' 2

2(' )

x

y

xy

u v E q x y z z

x y h h

v u E q x y z z

y x h h

u v E

y x

µ σ µ

µ µ

µ σ µ

µ µ

τ µ

∂ ∂= + − − + ÷ ÷− ∂ ∂ −

∂ ∂ = + − − + ÷ ÷

− ∂ ∂ − ∂ ∂ = + ÷+ ∂ ∂

( )

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

9 '! '

9 '! '

''!

x x

y

y

y x xy

Qw w h qh M D

x y x

Qw w h qh M D

y x y

QQw h M D x y y x

µ µ

µ

µ µ

µ

µ

∂∂ ∂= − + + − ÷∂ ∂ ∂ −

∂ ∂ ∂ = − + + − ÷∂ ∂ ∂ −

∂ ∂∂ = − − + ÷∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

2 2

2 2

'! '! '

'! '! '

x x

y y

h h qQ Q D w

x x

h h qQ Q D w

y y

µ

µ

∂ ∂− ∆ = − ∆ − ∂ − ∂

∂ ∂ − ∆ = − ∆ − ∂ − ∂

:in ecuaţia a treia de echilibru obţinem ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane în teoria

generali#ată&

! y x

QQq

x y

∂∂+ + = ⇒

∂ ∂

( )

( )

2 2

'! '

h D q q

µ

µ

−∆∆ = − ∆

−

cuaţia primită este de ordinul patru, deci a%em două condiţii de frontieră pe fiecare latură a plăcii& 7entru obţinerea ecuaţiei suplimentare, introducem in relaţiile (2&'') o funcţie nouă (funcţiade tensiune)&

2

'!!

hψ ψ − =V

-elaţia repre#intă ecuaţia diferenţială suplimentară de ordinul doi care dă posibilitatea de aalcătui încă o condiţie de frontieră&

&.&. #ormularea condiţiilor de frontieră în teoria %eneraliată ('eissner)

6

7/17/2019 Kirchhoff


1. ,atura încastrată.

7entru y 6 !

!

!

!

x

y

w

ϕ

ϕ

== =

tip cinematic&

&. ,atura simplu reemată.

7entru x 6 !

!

!

!

x

yx

w

M

M

=

= =

tip mixt&

+. ,atura liberă.

7entru x 6 a

!

!

!

x

y

w

ϕ

ϕ

==

=

tip cinematic&

/n ca#ul elementului de contur curbliniar, dat de de normala n şi tangenta la suprafaţă t

(fig&'&'2), noi putem fixa po#iţia elementului cu ecuaţiile

w w= , n nϕ ϕ = , t t ϕ ϕ =

$ici w " săgeata medie, iar nϕ şi t ϕ " unghiurile medii de rotire a elementului în raport cu axele n

şi t & /n ca#ul laturii încastrate aceste ecuaţii capătă forma

!w = , !n

ϕ = , !t

ϕ =

/n locul deplasărilor se poate de exprimat condiţiile de frontieră prin oarecare %alori ale eforturilor

nQ , n M , nt M , atunci condiţiile de frontieră %or căpăta forma

n nQ Q= , n n M M = , t nt M M =

7entru latura liberă aceste condiţii capătă forma !n

Q = , !n

M = , !nt

M = , iar pentru latura simplă

re#emată !w = , !n

M = , !nt

M = & /n ultimul ca# dispar reacţiunile concentrate în colţurile plăcii,

care acţiionea#ă conform teoriei clasice&

7

Kirchhoff

Documents

Transcript of Kirchhoff