,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’.

Grigore Moisil

,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea

inflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’

Denis Diderot

,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’.

Grigore Moisil

,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea inflexibilitate

judecăţii şi raţiunii.’’

Denis Diderot

Relatii metrice in Relatii metrice in triunghiul dreptunghictriunghiul dreptunghic

Din Istoria MatematiciiDin Istoria Matematicii

Cap. II RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

Cap. II RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

2.3. Elemente de trigonometrie

2.4. Câteva proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice

2.6. Aplicaţii practice

2.5. Aplicaţii teoretice

2.2. Relaţii metrice în

triunghiul dreptunghic

2.1. Proiecţii ortogonale pe o dreaptă

GEOMETRIA

Thales

Pitagora

A privit figurile geometrice dezgolite de materie

A descoperit relaţii între elementele triunghiului

A stabilit adevăruri geometrice prin cerecetarea figurilor geometrice

A ridicat geometria la rang de disciplină independentă

Figuri formate din: - linii (imagini ale razelor de lumină)- cercuri (drumul descris de astre pe bolta cerească)

Prima încercare de ordonare a teoremelor astfel încât să se deducă logic unele din altele

“marea teoremă” – record de demonstraţii (2000, din care 8 aparţin unor profesori români)

Şcoala pitagorică

Teorema lui Pitagora

,,În orice triunghi dreptunghic,

pătratul lungimii ipotenuzei

este egal cu suma pătratelor

lungimilor catetelor’’

1. Demonstraţi1. Demonstraţiaa folosind teorema catetei folosind teorema catetei

A

CD

B

Δ ABC, m(∢A)=90º, AD BC conf. T.C =>

AB² = BC • BD

AC² = BC • CD , adunând membru cu membru obţinem:AB² + AC² = BC • ( BD + DC)

= BC • BC = BC²

Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

2. Demonstraţi2. Demonstraţiaa pe baza triunghiurilor pe baza triunghiurilor asemeneaasemenea

A

BC Dxa-x

b c

a

ΔABC ~ ΔDBA (conf. caz UU) =>

1

1

x / c = c / a => c² = ax (1)

ΔABC ~ΔDAC (conf. caz UU) =>

(a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2)Adunând membru cu mebru (1) + (2) obţinem:

b²+c² = a²+ax – ax

Deci, a² = b² + c² c.c.t.d

TFP

3. Demonstraţi3. Demonstraţiaa pe baza de arii ale pe baza de arii ale ppăătratelor tratelor

A

BC

ab

c

DE

F

JK

LAria pătratului ABFJ = c² = 3²u.a. = 9 u.a.Aria pătratului ACLK = b² = 4²u.a. = 16 u.a.

Aria pătratului BCDE = a² = 5² u.a. = 25 u.a.

Observăm ca: 5²= 4² + 3², deci

Aria BCDE = Aria ACLK + Aria ABFJ

În concluzie: a² = b² + c² c.c.t.d.

a

b

c

Numai dreptunghic daca esteNumai dreptunghic daca este

Un biet triunghi, nu e poveste,Un biet triunghi, nu e poveste,

Ci-n totdeauna este adevarat:Ci-n totdeauna este adevarat:

Ipotenuza la patratIpotenuza la patrat

Egala este, neaparat,Egala este, neaparat,

Cu o cateta la patratCu o cateta la patrat

Ce adunata trebuie-ndatCe adunata trebuie-ndat

Cu cealalta la patratCu cealalta la patrat

Stiati ca:Stiati ca:

Egiptenii realizau unghiuri drepte Egiptenii realizau unghiuri drepte cu ajutorul funiei cu 12 noduri! cu ajutorul funiei cu 12 noduri! Echidistant dispuse pe o funie, Echidistant dispuse pe o funie, cele 12 noduri permiteau cele 12 noduri permiteau transformarea funiei cu ajutorul transformarea funiei cu ajutorul unor tarusi intr-un triunghi unor tarusi intr-un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4,5.dreptunghic cu laturile de 3,4,5.

Se utiliza astfel reciproca Se utiliza astfel reciproca Teoremei lui PitagoraTeoremei lui Pitagora

11

TEOREMA LUI PITAGORATEOREMA LUI PITAGORA ESTE PARTE ESTE PARTE COMPONENTCOMPONENTĂ A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE Ă A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE RELAŢII RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHICMETRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHIC. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESARE. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESAREPENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ PENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ TEOREMA CATETEITEOREMA CATETEI ŞI ŞI TEOREMA ÎNĂLŢIMIITEOREMA ÎNĂLŢIMII ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE. ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE. ACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GRECACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GREC PITAGORA PITAGORA..

PitagoraPitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a a fost fost originar originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului,din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care care punea la baza punea la baza întregii întregii realităţirealităţi obiective obiective şi şi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi atribuie atribuie descoperirea descoperirea teoremei geometrice şi a teoremei geometrice şi a tablei tablei de înmulţire, care îi poartă de înmulţire, care îi poartă numele.numele. Din studiul Din studiul numerelor, pitagorieniinumerelor, pitagorienii au au conceput conceput numerele numerele figurative, numerelefigurative, numerele perfecte, perfecte, numerelenumerele amiabile, amiabile, au definit numere au definit numere pare şi impare, pare şi impare, au studiat au studiat media media aritmetică, geometrică şi armonică, aritmetică, geometrică şi armonică, au au descoperit descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă ce-i poartă numele, numele, cunoşteaucunoşteau cele cinci poliedre regulate, tabla cele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii, sistemul zecimal.înmulţirii, sistemul zecimal.

Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora.

Teorema fac parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune peste 400).Pentru mai multe detalii despre PitagoraPentru mai multe detalii despre Pitagora: : http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora

1212

NUMERE PITAGORICENUMERE PITAGORICE

Lampas MisteriNu de puţine ori - matematica

este misterioasă şi provocatoare

Lampas Decoris (lampa frumuseţii)

Predarea matematicii este posibilă numai atunci cănd

pe lângă utilitate, îi vedem frumuseţea

Lampas ImaginationisAceastă candelă răspunde

la întrebarea: “Ce ar fi matematica fără

imaginaţia devotaţilor ei?”

Lampas Poesis (candela poeziei)

Ne îndeamnă să simţim poezia matematicii

pentru a putea profesapoezia=frumuseţe

Lampas UtilitasNu putem împărtăţi matematica

decât oprindu-ne asupra utilităţii ei, imaginându-ne ce s-ar

întâmpla omenirii fără ştiinţa matematică

“Nu ce spun zeii, regii e adevăr curat, Ci doar ceea ce poate să fie demonstrat, Când scoatem adevărul, ce nu-i un simplu joc, Demagogie, mituri, nu-şi au aicea loc.

Cu-aceste-nvăţăminte, ce stau ca ideal Valabil peste secoli, rămâi universal,Sporit-ai patrimoniul întregii omeniri, Asigurându-ţi nimbul supremei Nemuriri” Ion Grigore

Maths

2

I