În contextul procupărilor pentru modernizarea învăţământului, pentru racordarea lui la cerinţele epocii contemporane, cele destinate ridicării calităţii învăţământului matematic ocupă un loc prioritar.

Introducerea, încă de la baza învăţământului, a unor concepte de mare generalitate, concepte unificatoare pe tot parcursul învăţării matematicii, nu presupune doar achiziţionarea acestora ca entităţi independente, ci cultivă o nouă posibilitate de a gândi şi de a înţelege matematica prin: cunoaşterea modurilor fundamentale de organizare a entităţilor matematice, sesizarea relaţiilor fundamentale şi a proprietăţilor acestora, cunoaşterea dinamicii relaţiilor şi a clasificărilor matematice.

Matematica modernă ia deci în consideraţie ansamblul structural al ştiinţelor matematice, principiile fundamentale, relaţiile dintre entităţile matematice. În noile programe şcolare de matematică specifice şi altor sisteme de învăţământ a fost introduse concepte generale cu caracter unificator ca: structură, mulţime, relaţie ş.a., interpretate în spiritul logicii disciplinei matematice. În lumea întreagă se consideră că , pentru a-i dezvălui copilului încă de la început caracteristicile matematicii moderne şi pentru a-l învăţa să gândească în spiritul ei, conceptele de număr natural, operaţii cu numerele naturale trebuie fundamentate pe conceptul general de mulţime.

Cercetări experimentale axate pe domeniul predării-învăţării matematice au ajuns între altele la concluzia că cele trei structuri fundamentale ale ştiinţei matematicii (algebrice, de ordine, topologice), corespund structuri elementare ale inteligenţei şi, în consecinţă didactica învăţământului matematic trebuie să se bazeze tocmai pe organizarea progresivă a acestor structuri operatorii.

Pentru a putea pregăti şi desfăşura eficient lecţiile introductive în studiul numerelor naturale, considerăm necesară cunoaşterea de către învăţător a câtorva noţiuni, relaţii, metode şi algoritmi toate formând aşa-numitul model matematic al teoriei numerelor naturale. Necunoaşterea sau aplicarea incorectă a acestora de către învăţător creează la elevi reprezentări greşite asupra mulţimilor numerice, îngreunând procesul de însuşire corectă a noţiunilorşi relaţiilor matematice a limbajului matematic.

Există în general, două puncte de vedere sau două perspective asupra formării conceptului de număr natural: primul are ca punct de plecare noţiunea de corespondenţă între mulţimi finite, iar cel de-al doilea noţiunea de succesiune.

Pentru a contura conceptul de număr natural vom porni de la noţiunile de mulţime şi de relaţie.

Fie A şi B două mulţimi. Vom spune că cele două mulţimi sunt echipotente dacă există o bijecţie f a mulţimii A pe mulţimea B. Acest fapt îl scriem astfel: „ A~B” şi citim mulţimea A este echipotentă cu mulţimea B.

Relaţia de echipotenţă are următoarele proprietăţi:1. Relaţia de echipotenţă este reflexivă, adică A ~ A.2. Este simetrică adică, dacă A~B=>B~A.3. Este tranzitivă adică, dacă A~B şi B~C=>A~CRelaţia de echipotenţă fiind reflexivă, simetrică şi tranzitivă este relaţie de

echivalenţă. Înseamnă că mulţimile sunt împărţite de relaţia de echipotenţă „~” în clase disjuncte, pe care le vom numi clase de echipotenţă.

Se numesc cardinale, clasele de echipotenţă determinate de relaţia „~”.După cum se observă, defininţia noţiunii de număr cardinal este foarte

abstractă şi este clar că, în nici un caz, ea nu poate fi introdusă astfel la copiii mici. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest concept la micii şcolari. Se impune ca învăţătorul să înţeleagă foarte bine semnificaţia noţiunii de aspect cardinal care stă la baza noţiunii de număr natural.

Se numeşte număr natural cardinalul unei mulţimi finite. Mulţimea numerelor naturale este mulţimea pe care o notăm cu N şi este formată din următoarele elemente:

N={0,1,2,3,4,...}Mulţimea numerelor naturale este „ materia primă” cu care lucrează

şcolarul mic.Conceptul de “număr natural” este fundamental în matematică şi are o

importanţă practică.La şcolarul mic, contactul cu noţiunea de “număr natural” se produce de

timpuriu, prin contactul direct cu mulţimi finite ale căror elemente sunt obiecte concrete. Este etapa pregătitoare în vederea însuşirii conceptului de “număr natural”, etapa oparaţiilor concrete. Ei învaţă îndeosebi prin intuiţie şi manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce spaţiul fizic în care aceştia se dezvoltă.

La vârsta de 7 ani, copiii sunt capabili să stabilească corespondenţa între elementele a două mulţimi şi să exprime această activitate prin cuvintele: “mai multe”,”mai puţine”,”tot atâtea” elemente. Plecând de la aceste activităţi de comparare a mulţimilor, elevii vor deveni conştienţi de modul în care se stabileşte corespondenţa a două mulţimi (element cu element). Introducerea conceptului de “număr natural” impune ca etapă premergătoare, familiarizarea elevilor cu noţiunea de echivalenţă.

La conceptul de “număr” elevul ajunge aşadar progresiv, după o perioadă pregătitoare, perioadă în care este iniţiat în activităţi de compunere şi punere în corespondenţă a mulţimilor pentru a depista ideea de mulţimi echivalente sau mulţimi cu tot atâtea elemente, de constituire de mulţimi după criterii date, de numărare a elementelor unei mulţimi, de transpunere prin simboluri a elementelor unei mulţimi.

Înregistrarea în scris a numărului, introducerea simbolului, a semnului grafic al numărului, reprezintă o etapă superioară a procesului. Copilul dobândeşte o noţiune cu un grad mai mare de generalizare şi devine capabil să cunoască mai profund relaţiile dintre obiectele şi fenomenele lumii înconjurătoare.

Activităţile de stabilire a corespondenţei element cu element a mulţimilor urmăresc să dezvolte la copil înţelegerea conţinutului esenţial al conceptului de număr, ca o clasă de echivalenţă a unei mulţimi cu o mulţime dată.

Pentru a cerceta proprietăţile numerelor naturale ar fi foarte incomod să se facă mereu apel la clase de mulţimi, adică la definiţia numerelor naturale.

Giuseppe Peano ( 1858-1932) a arătat în anul 1891 că toate proprietăţile numerelor naturale rezultă din următoarele cinci axiome care îi poartă numele.

Axiomele lui Peano sunt:1. 0 este un număr natural.2. Orice număr natural n are un singur succesor n‘.3. 0 nu este succesorul nici unui număr.4. Două numere distincte au succesorii distincţi.5. Mulţimea numerelor naturale este cea mai „mică” mulţime cu

proprietăţile:- Îl conţin pe 0,- Odată cu orice număr n, conţine şi orice succesor n‘.

În învăţământul clasic, formarea noşiunii de număr natural s-a făcut aproape exclusiv pe baza conceptului de succesiune, pe bază de succesiune.

Încă din cele mai vechi timpuri omul a trebuit să compare diferite mulţimi de obiecte ( de exemplu pietre, săgeţi, câini, femei, bărbaţi etc.) pentru a vedea care mulţime conţine mai multe obiecte . Astăzi acest lucru se face prin numărarea şi compararea numerelor obţinute ca rezultate ale numărării.

Toate mulţimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comună, anume aceea că au acelaşi număr de elemente. Astfel se formează noţiunea de număr cardinal.

Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mulţimi a condus la aspectul ordinal al numărului natural. După un anumit criteriu, de exemplu rezultatele la învăţătură exprimate prin mediile obţinute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor într-o clasă stabilind cine este primul la învăţătură, cine este la doilea, al treilea, ş.a.m.d. (sau la o disciplină, sau ca medie generală etc.).

Numărul de ordine ataşat într-o asemenea succesiune se numeşte număr ordinal.

Primele zece numere constiuie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului şi, de aceea, trebuie să i se acorde o atenţie deosebită. Acesta este primul contactal copiilor cu matematica, este perioada când aceştia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor şi a cifrelor, pentru scrierea lor. La conceptul de număr natural elevul ajunge progresiv şi după o anumită perioadă pregătitoare. În această perioadă este iniţiat ăn activităţi de compunere şi punere în corespondenţă a mulţimilor pentru a desprinde ideea de mulţimi echivalente sau mulţimi care au acelaşi număr de elemente, de constituire,după anumite criterii, de submulţimi date, de numărare a elementelor, de transpunere prin simbolri a unei mulţimi.

Înregistrarea înscris a numărulu, introducerea simbolului sau a semnului grafic al numărulu, reprezintă o etapă superioară a procesului de abstractizare. Copilul dobândeşte astfel o noţiune care are un grad mai mare de generalizare şi devine astfel capabil să cunoască mai profund relaţiile dintre obiectele şi fenomele lumii înconjurătoare.

Activităţile de stabilire a corespondenţei element cu element a mulţimilor urmăresc să dezvolte la copil înţelegerea conţinutului esenţial al noţiunii de număr, ca o clasă de echivalenţă a mulţimilor finite echipotente cu o mulţime dată.

Însuşirea conştientă a noţiunii de număr se fundamentează pe :a) Înţelegere de către copil a numărului ca proprietate a mulţimilor cu

acelaşi număr de elemente.b) Înţelegerea locului fiecărui număr în şirul numerelor de la 0 la 10.c) Înţelegerea semnificaţiei reale a relaţiei de ordine pe mulţimea

numerelor naturale şi a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic).

d) Cunoaşterea cifrelor corespunzătoare numărului.e) Citirea cifrelor de tipar şi scrierea cifrelor de mână.Elevii trebuie să înţeleagă că relaţia de ordine pe mulţimea numerelor

naturale nu este dată de denumirea lor, care de multe ori se învaţă mecanic, ci

de relaţiile „mai mic” sau „mai mare” care se stabilesc între numere şi care corespund relaţiilor : „mai puţin” sau „mai mult” între mulţimile ce reprezintă numerele date.

Scrierea numerelor ridică, de cele mai multe ori, dificultăşi de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decâ greutăţile pe care el le întâmpină când învaţă să scrie primele semne ale alfabetului. Cifra reprezintă semnul numărului, aşa cum litera reprezintă semnul sunetului. Dificultăţile sporesc fiindcă el trebuie să realizeze o legătură strânsă şi reversibilă între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbală şi semnul grafic.

Clasa tuturor mulţimilor echivalente cu mulţimea cu un singur element este număr natural 1. Clasa tuturor mulţimilor echivalente cu mulţimea cu două elemente este număr natural 2. Ş.a.m.d.

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului.

Aspectele surprinse în rândurile de mai sus nu constituie o reţetă rigidă în formarea conceptului de “număr natural”. Consider că iniţiativa, individuală sau colectivă, de reconsiderare în spirit creator a oricăror aspecte contribuie la pregătirea copilului pentru a face faţă provocărilor în lumea din ce în ce mai complexă.