Introducere în teoria

condensatelor Bose-Einstein

A.I. Nicolin ³i M.C. Raportaru

Cuprins

Liminar 5

1 Introducere 7

1.1 Condensate Bose-Einstein în gaze atomice . . . . . . . . . . 101.2 Ecuaµia Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Soluµii tip soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Starea fundamental a unui condensat Bose-Einstein . . . . 22

1.3.1 Regimul de densitate joas . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Regimul Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2.1 Corecµii la aproximaµia Thomas-Fermi . . . 251.3.3 Condensate înc rcate în reµele optice . . . . . . . . . 27

2 Abord ri analitice ale ecuaµiei Gross-Pitaevskii 31

2.1 Calcule variaµionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.1 Calcul variaµional bazat pe funcµii Gaussiene . . . . 322.1.2 Calcul variaµional bazat pe funcµii q-Gaussiene . . . 34

2.2 Calcule hidrodinamice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Teoria stabilit µii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Modele discrete 43

3.1 St ri staµionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Stabilitatea st rilor staµionare . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 St ri Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2 St ri de perioad dubl . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Ecuaµiile Schrödinger nepolinomiale 55

4.1 Regimul de densitate joas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Regimul de densitate înalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1 Condensate cuasi-unidimensionale . . . . . . . . . . 584.2.2 Condensate cuasi-bidimensionale . . . . . . . . . . . 61

3

5 Unde de densitate 65

5.1 Tratament variaµional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Ecuaµia Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1 Teorema Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.2 Coecienµi caracteristici . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4

Liminar

Volumul de faµ reprezint o introducere general în teoria condensatelorBose-Einstein ³i acoper , pe de o parte, tematica devenit standard, indincluse, pe de alt parte, subiecte extrem de recente legate de activitateade cercetare a autorilor. Primele trei capitole trec în revist condensa-rea Bose-Einstein în gaze atomice, ecuaµia Gross-Pitaevskii ³i soluµiile salede tip soliton, propriet µile st rii de baz a condensatelor Bose-Einstein,metodele variaµionale ³i hidrodinamice folosite în studiul dinamicii conden-satelor ³i variantele discrete ale ecuaµiei Gross-Pitaevskii utilizate în cazulcondensatelor înc rcate în reµele optice. Spre deosebire de primele trei ca-pitole, ultimele dou prezint rezultatele recente ale autorilor în domeniulecuaµiilor Schrödinger nepolinomiale care descriu dinamica condensatelorputernic alungite (în form de µigaret ) ³i a celor puternic turtite (în form de cl tit ) ³i formarea undelor de densitate în condensate supuse la exci-taµii parametrice.Lucrarea de faµ încununeaz munca autorilor în domeniul dinamicii

neliniare a condensatelor Bose-Einstein, ind deopotriv i.) un curs intro-ductiv accesibil studenµilor din ultimul an al studiilor de licenµ ³i primulan al studiilor de Master ³i ii.) un punct de pornire pentru studenµii in-teresaµi de elaborarea unei disertaµii asupra condensatelor Bose-Einsteinsau, într-un cadru mai larg, asupra dinamicii neliniare a uidelor cuan-tice. Capitolele volumului sunt în bun m sur independente unele dealtele, num rul trimiterilor de la un capitol la altul ind redus la mini-mum. Bibliograa este general ³i cuprinde în principal articole, num rulmanualelor dedicate exclusiv condensatelor Bose-Einstein ind extrem deredus.Prima parte a acestui volum are la baz tezele de doctorat ale autorilor,

în timp ce partea a doua a volumului are la baz articolele publicate de au-tori de-a lungul ultimilor ani în reviste prestigioase ca Physical Review A,Physical Review E, Physica A, etc. Volumul reect în acela³i timp cola-bor rile autorilor cu Prof. Univ. Dr. Ricardo CARRETERO-GONZÁLEZ

5

de la Departamentul de Matematic ³i Statistic al Universit µii din Ca-lifornia, San Diego, ³i Conf. Univ. Dr. Antun BALA de la Institutulde Fizic din Belgrad ³i fructuoasa colaborare cu Prof. Univ. Dr. VirgilBRAN, directorul Centrului de Fizic Teoretic (CFT) al Facult µii deFizic a Universit µii Bucure³ti în cadrul c ruia autorii activeaz .

6

1 Introducere

Înµelegerea curent a temperaturilor sc zute porne³te de la experienµanoastr de zi cu zi cu lumea exterioar . Chiar dac temperatura de în-gheµ este considerat sc zut de c tre marea majoritate, comportamentulsistemelor zice aate la aceast temperatur este înc unul clasic, indnecesare temperaturi cu mult mai sc zute pentru a putea observa procesezice calitativ diferite de cele clasice.Istoria fenomenelor zice observate la temperaturi foarte joase este una

pasionant ³i menµion m în acest sens observarea supraconductivit µii în1911, în 1913 indu-i acordat premiul Nobel lui Heike Kamerlingh Onnespentru investigaµiile sale asupra propriet µilor materiei la temperaturi sc -zute, care au dus, printre altele, la producerea heliului lichid, alaturi deobµinerea a superudit µii 4He în 1938 ³i cea a 3He în 1972.Apariµia în 1980 a proceselor de r cire în cadrul c rora sunt folosite fas-

cicule laser marcheaz o nou etap în istoria zicii temperaturilor sc zute³i reprezint primul pas semnicativ în vederea obµinerii unui condensatBose-Einstein atomic format dintr-un gaz bosonic diluat r cit la tempera-turi de ordinul sutelor ³i zecilor de nanokelvini.Obµinute experimental pentru prima dat în 1995 de c tre Eric Cornell

³i Carl Weiman de la University of Colorado, Boulder, ³i Wolfgang Ketterlede la Massachusetts Institute of Technology, condensatele Bose-Einstein aureprezentat mult vreme Sfântul Graal al zicii experimentale. Prezice-rea teoretic a condens rii Bose-Einstein de c tre Satyendra Nath Bose [9]³i Albert Einstein precede cu ³apte decenii realizarea experimental a aces-tei st ri, existând foarte puµine semne în aceast perioad care s indiceefervescenµa ³tiinµic actual .Cre³terea exploziv a interesului asupra condensatelor Bose-Einstein este

evidenµiat atât de num rul mare de articole publicate în domeniu, cât ³ide diversitatea cercet torilor atra³i de subiect. Astfel, zicieni speciali-zaµi în zic nuclear , zic atomic , optic cuantic , optic neliniar ,zica materiei condensate ³.a.m.d. se dedica studiului condensatelor Bose-

7

Einstein atra³i de exibilitatea experimental a sistemelor în care suntobµinute acestea ³i de acurateµea modelelor teoretice folosite în descriereacantitativ a propriet µilor acestor condensate.La nivelul cel mai elementar de înµelegere, condensarea Bose-Einstein

reprezint ocuparea macroscopic a st rii cuantice de energie minim . Nu-m rul mic de atomi din condensatele Bose-Einstein de la mijlocul anilor'90 a ridicat uneori semne de întrebare asupra obµinerii acestei noi st ri amateriei (deoarece nu era evident din rezultatele experimentale c stareade energie minim este ocupat macroscopic) ³i nu este lipsit de impor-tanµ faptul c dintre cele trei grupuri care au lucrat în vederea obµineriicondens rii Bose-Einstein doar dou au primit premiul Nobel.Când un gaz bosonic este r cit sub o temperatur critic Tc, o mare

parte din bosoni condenseaz în starea cuantic cea mai joas . Atomii latemperatura T ³i cu masa m pot consideraµi pachete cuantice de und care au o întindere spaµial de ordinul lungimii de und termale de BroglieλdB = (2π~/mkBT )1/2. Valorea lui λdB reprezint imprecizia în poziµieasociat cu distribuµia impusului termic ³i cre³te cu descre³terea tempera-turii. Când atomii sunt r ciµi pân la punctul în care λdB este comparabilcu separarea interatomic , pachetele de und se suprapun ³i gazul începes devin o sup cuatinc de particule care nu pot distinse. În acelmoment bosonii sufer o tranziµie de faz în sensul mecanicii cuantice ³iformeaz un condensat Bose-Einstein (gura 1.1). Dac atomii sunt fermi-oni, r cirea aduce treptat gazul aproape de o mare Fermi, stare în carecâte un fermion ocup un nivel energetic pornind de la nivelul de energieminim .Descrierea precedent este departe de a corect , în ciuda aparentei

simplit µi. S ne gândim doar la faptul c , pe m sur ce descre³tem tem-peratura, gazul trece, în principiu, printr-un proces de condensare clasic .Aceasta este îns evitat prin folosirea unor gaze de densit µi foarte sc -zute, cam de o sut de mii de ori mai puµin dense decât densitatea aerului.În aceste condiµii timpul de formare a moleculelor devine de ordinul secun-delor ³i minutelor, acesta ind proporµional cu inversul p tratului densi-t µii (a se vedea Ref. [65] pentru o discuµie detaliat ). Vedem a³adar c principala problem experimental a fost aceea de a identica un sistematomic care putea r mâne gazos la temperaturi extrem de joase. SteveChu spunea de altfel în 1994: Pun pariu c Natura ascunde condensareaBose-Einstein de noi. În ultimii 15 ani a f cut o treab bun [17].

8

Figura 1.1: Formarea condensatelor Bose-Einstein. La temperaturi ridicate, un gaz bo-sonic se comport clasic, asemeni unui sistem de bile de biliard. La tem-peraturi sc zute atomii pot consideraµi pachete cuantice de und care auo întindere spaµial de ordinul lungimii de und termale de Broglie. Atuncicând gazul este r cit sub o temperatur critic Tc, o mare parte din atomicondenseaz în starea cuantic cea mai joas . La T = 0 toµi bosonii sunt înstarea de energie minim ³i formeaz un condensat Bose-Einstein perfect.Imaginea este preluat din Ref. [39].

Pentru r cirea unui gaz bosonic în vederea form rii unui condensat Bose-Einstein sunt folosite în mod curent dou metode distincte: r cirea culaser ³i r cirea prin evaporare. R cirea prin evaporare este folosit înpartea de prer cire a gazului folosind un fascicol laser ai c rui fotoni preiauenergie de la atomii erbinµi în cadrul ciocnirilor foton-atom. Cea de-adoua metod , r cirea prin evaporare, este folosit când gazul a fost dejaprer cit ³i poate connat într-o capcan magnetic . În lipsa capcanei,atomii deja prer ciµi s-ar lipi de suprafaµa microcontainerului în care suntdepozitaµi. Capcane magnetice similare celor folosite pentru condensateleBose-Einstein sunt utilizate pentru connarea plasmelor care nu sunt preaerbinµi.Principiul r cirii prin evaporare este unul extrem de intuitiv, aproape

clasic. Astfel, a³a cum dintr-o cea³c aburind de ceai sau de cafea seîndep rteaz prin evaporare cele mai erbinµi molecule, tot a³a dintr-uncondensat Bose-Einstein vor evada doar acei atomi care au energie (³i decitemperatur ) sucient de mare pentru a putea dep ³i potenµialul extern.Toate schemele de r cire prin evaporare se bazeaz pe sc derea progresiv ,foarte lent , a t riei capcanei magnetice ce permite celor mai erbinµiatomi s ias din capcana magnetic , iar celor r ma³i s ating echilibrul

9

termic la o temperatur mai sc zut . Pentru acest ultim pas este necesarca sc derea t riei capcanei magnetice s e una foarte înceat astfel încâtdup evacuarea atomilor erbinµi cei r ma³i s aib timpul necesar de areatinge echilibrul termic.În mod curent temperaturile la care se observ condensarea Bose-Einstein

sunt de ordinul micro- ³i nanokelvinilor iar densit µile sunt de ordinul 1013-1015 atomi pe centimetru cub. Funcµie de simetria capcanei magneticecondensatul poate s e sferic, puternic turtit (în form de disc) sau pu-ternic alungit (în form de µigaret ). Ciclul de r cire necesar produceriiunui condensat Bose-Einstein dura câteva minute la mijlocul anilor '90, întimp ce acum, odat cu automatizarea tuturor proceselor, dureaz câtevasecunde.

1.1 Condensate Bose-Einstein în gaze atomice

Prima problem asociat condens rii Bose-Einstein în gaze atomice esteaceea a estim rii temperaturii de tranziµie ³i a num rului de atomi dincondensat. Cantit µile relevante pentru aceast problem sunt masa ma particulei, num rul de particule pe unitatea de volum (notat de obiceicu n) ³i constanta lui Planck. Combinaµia ~2n2/3/m reprezint o energie,a³a c valoarea acesteia împ rµit la constanta Boltzman kB reprezint o temperatur , astfel încât temperatura de tranziµie este scris în modconvenµional sub forma

Tc = C~2n2/3

mkB(1.1)

unde C este un factor numeric. Putem înµelege calitativ formula de mai suspornind de la faptul c tranziµia spre starea condensat are loc atunci cândunda de Broglie este comparabil cu distanµa medie dintre dou particule.Astfel, folosind

λT =

(2π~2

mkBT

)1/2

(1.2)

³i faptul c distanµa medie dintre particule este de ordinul lui n−1/3 obµi-nem formula (1.1)

10

Un calcul mai ranat asupra temperaturii de tranziµie (a se vedea dis-cuµia detaliat din Ref. [65], capitolul 2) poate realizat pornind de ladistribuµia Bose

f0 (εv) =1

exp [(εν − µ) /kBT ]− 1(1.3)

care ne arat ocuparea medie a st rii cu energie εν . Potenµialul chimic µcare apare în ecuaµia de mai sus asigur conservarea num rului de particule³i se determin (de cele mai multe ori numeric) ca funcµie de num rul departicule ³i de temperatura critic . Astfel

Np =

ˆ ∞0

g (ε) f0 (ε) dε =

ˆ ∞0

g (ε) dε

exp [(εν − µ) /kBT ]− 1, (1.4)

unde g (ε) este densitatea de st ri care arat num rul st rilor cu energiaîntre ε ³i ε+ dε. Se poate ar ta relativ u³or c densitatea de st ri poate scris la modul general sub forma

g(ε) = Cαεα−1, (1.5)

unde Cα ³i α sunt constante care depind de dimensionalitatea sistemuluianalizat ³i de tipul potenµialului extern care conneaz bosonii. Pentru ungaz tridimensional liber ce ocup un volum V avem

g (ε) =V m3/2√ε√

2π2~3(1.6)

iar în general g(ε) ∝ ε(d/2−1) unde d reprezint num rul de dimensiuni. Înmod similar se observ c pentru un gaz de bosoni connaµi de o capcan magnetic de tipul

V (x1, ..., xd) =

d∑j=1

m

2ω2jx

2j (1.7)

obµinem

g (ε) =εd−1

(d− 1)!∏dj=1 ~ωj

. (1.8)

11

Cunoscând densitatea st rilor putem calcula num rul de particule dinst rile excitate, anume

Nex =

ˆ ∞0

dεg(ε)f0(ε). (1.9)

Num rul de particule din st rile excitate atinge valoarea maxim pentruµ = 0, temperatura critic putând calculat din condiµia ca num rultotal de particule s e egal cu cel din st rile excitate, adic

N = Nex(Tc, µ = 0) =

ˆ ∞0

dεg(ε)1

exp(ε/kTc)− 1. (1.10)

Integrala precedent se poate calcula cu usurinµ folosind variabila adi-mensional x = ε/kTc, obµinând în cele din urm

kTc =N1/α

[CαΓ(α)ζ(α)]1/α, (1.11)

unde funcµia zeta Riemann este ζ(α) =∑∞

n=1 n−α iar funcµia gamma este

Γ(α) =´∞0 dxxα−1 exp(−x) .

În obµinerea formulei precedente am presupus c nivelele energetice for-meaz un continuum, putând astfel s înlocuim sumarea discret a nive-lelor energetice cu o integral . Aceast presupunere este incorect pentrunivelele de energie joas , îns ofer o bun aproximaµie pentru niveleleexcitate.Potenµialele relevante experimental sunt cele din ecuaµia (1.7) (cu d = 3),

caz în care obµinem c temperatura critic poate scris sub forma

kBTc =~ωN1/3

p

[ζ (3)]1/3≈ 0.94~ωN1/3

p , (1.12)

unde ω = (ω1ω2ω3)1/3.

Cu rezultatele precedente putem determina u³or fracµiunea neconden-sat din gazul atomic. Astfel, pornind de la num rul de atomi în st riexcitate

Nex = CαΓ(α)ζ(α)(kT )α (1.13)

12

³i folosind formula temperaturii critice din ecuaµia (1.12) obµinem

Nex = N

(T

Tc

)α(1.14)

de unde putem deduce u³or num rul de particule din condensat, anume

N0(T ) = N −Nex(T ) = N

[1−

(T

Tc

)α]. (1.15)

Pentru un gaz liber ce ocup un volum V densitatea particulelor dinstarea condensat este dat de

nex =Nex

V= ζ(3/2)

(mkT

2π~2

)3/2

, (1.16)

în timp ce pentru un gaz connat de un potenµial armonic tridimensionalde forma celui din ecuaµia (1.7) se observ u³or c num rul de particuledin starea condensat este dat de

N0 = N

[1−

(T

Tc

)3]. (1.17)

1.2 Ecuaµia Gross-Pitaevskii

Ecuaµia standard folosit în studiul teoretic al condensatelor Bose-Einsteina fost propus la începutul anilor '60 de c tre Eugene Gross ³i Lev Pitae-vskii în dou articole independente publicate în Nouvo Cimento ³i Sov.Phys. JEPT (a se vede Refs. [31, 67]). Ecuaµii similare din punct devedere matematic sunt folosite în descrierea dinamicii trenurilor de und monocromatice ce se propag în medii u³or neliniare, în descrierea dina-micii u³or neliniare a undelor ce se propag la suprafaµa unui lichid ³i aoscilaµiilor Langmuir (numite de asemenea ³i unde Langmuir) care apar înplasme nemagnetizate sau magnetizate u³or. Îns cea mai celebr ecuaµieînrudit cu ecuaµia Gross-Pitaevskii este ecuaµia Ginzburg-Landau folosit în anii '50 în modelele de supraconductivitate [80].Ecuaµia Gross-Pitaevskii este o ecuaµie Schrödinger neliniar ce descrie

funcµia de und macroscopic a unui gaz condensat în sens Bose-Einstein.Pentru derivarea ei cel mai convenabil este s pornim de la Hamiltonianul

13

multi-particul a N bosoni ce interacµioneaz scris în a doua cuanticare.Considerând m masa unui boson ³i Vext(r) potenµialul în care ace³tia suntconnaµi iar V (r− r′) potenµialul de interacµie între doi bosoni, Hamilto-nianul poate scris sub forma:

H =

ˆdrψ† (r, t)

[− ~2

2m∇2 + Vext (r)

]ψ (r, t)

+1

2

ˆdrdr′ψ†(r, t)ψ†(r′, t)V (r− r′)ψ(r′, t)ψ (r, t) , (1.18)

unde ψ† (r, t) ³i ψ (r, t) sunt operatori bosonici de câmp, de anihilare ³irespectiv creare.Folosind ecuaµia Heisenberg

i~∂ψ

∂t=[ψ, H

](1.19)

avem:

i~∂ψ

∂t=

(− ~2

2m∇2 + Vext (r) +

ˆdr′ψ†

(r′, t)V(r′ − r

)ψ(r′, t))

ψ.

(1.20)Subliniem c aceast ecuaµie este similar ecuaµiei Schrödinger, îns ψ

este un operator de câmp a³a c pentru obµinerea ecuaµiei Schrödingerpropriu-zise vom descompune operatorul de câmp sub forma

ψ (r, t) = ψ (r, t) + δψ (r, t) , (1.21)

unde

ψ (r, t) =⟨ψ (r, t)

⟩(1.22)

este funcµia de und a condensatului ³i reprezint valoarea probabil aoperatorului de câmp iar δψ (r, t) descrie partea necondensat a gazului.Pentru temperaturi considerabil mai mici decât temperatura critic putemneglija ultimul termen din ecuaµia (1.21).Pe lâng aceast simplicare vom presupune de asemenea c interacµia

dintre particule este interacµie de contact, astfel încât V (r′ − r)=Uδ (r′ − r)unde U = 4π~2a/m iar a este lungimea de împr ³tiere între dou particule.

14

Înlocuind în ecuaµia (1.20) ψ (r, t) cu ψ (r, t) ³i V (r′ − r) cu Uδ (r′ − r)se obµine

i~∂ψ

∂t=

(− ~2

2m∇2 + Vext (r) + U |ψ|2

)ψ (1.23)

care este ecuaµia Gross-Pitaevskii dependent de timp.Se observ relativ u³or c Lagrangianul clasic asociat ecuaµiei (1.23)

(adic acela scris folosind funcµia de und ³i nu operatorii de câmp) estedat de

S =

ˆdtdrψ∗(r, t)

(i~∂

∂t+

~2m∇2 − V (r)− UN |ψ (r, t)|2

2

)ψ (r, t) ,

(1.24)ecuaµia Gross-Pitaevskii propriu-zis ind obµinut minimizând S funcµiede ψ∗, adic

∂S

∂ψ∗= 0. (1.25)

Pentru a obµine forma independent de timp a ecuaµiei Gross-Pitaevskiiputem folosi dou abord ri. Prima abordare porne³te de la eliminareatermenului ∂ψ/∂t ³i introducerea unui multiplicator Lagrange µ (numit deobicei potenµial chimic), care asigur conservarea num rului de particule,adic :

− ~2m∇2ψ + Vext (r)ψ + U |ψ|2 ψ = µψ. (1.26)

Cea de-a doua abordare are la baz descompunerea funcµiei de und subforma

ψ(r, t) = ψ0(r) exp

(− iµt

~

)(1.27)

de unde rezult din nou ecuaµia (1.26).Ecuaµia Gross-Pitaevskii se poate obµine ³i printr-o abordare cuasi-clasic

folosind faptul c la energii joase interacµia efectiv dintre dou particuleeste constant în spatiul momentelor, adic U = 4π~2a/m, ceea ce în-seamn o interacµie de tip funcµie delta în spaµiul real, putând scrie a³adar

15

H =

N∑j=1

[p2j

2m+ V (rj)

]+ U0

∑j<n

δ(rj − rn). (1.28)

Energia st rii condensate este dat de

E (φ) = N

ˆ [dr

~2

2m|∇φ (r)|2 + V (r) |φ(r)|2 +

N − 1

2U0 |φ(r)|4

](1.29)

unde φ(r) este funcµia uniparticul ³i N num rul de bosoni. Mai sus amconsiderat c toµi atomii sunt în aceea³i stare uniparticul a c rei funcµiede und este φ. Acest lucru se bazeaz pe aproximaµia Hartree-Fock cuajutorul c reia putem scrie starea multi-particul sub forma

ψ(r1, ..., rN ) =

N∏j=1

φ(rj). (1.30)

Prin urmare, funcµionala energiei ofer o descriere de câmp mediu a con-densatului. Subliniem c termenul |φ(r)|4 al funcµionalei energiei Gross-Pitaevskii vine din interacµia între particule. În loc de funcµia de und uni-particul se obi³nuie³te s se lucreze cu funcµia de und a conden-satului (sau parametrul de ordine a³a cum este numit câteodat ), de-nit ca ψ(r) =

√Nφ(r). Prin urmare, densitatea bosonilor este dat de

n(r) = |ψ(r)|2 iar ecuaµia (1.29) devine

E(ψ) =

ˆdr

[~

2m|∇ψ(r)|2 + V (r) |ψ(r)|2 +

U0

2|ψ(r)|4

](1.31)

unde am folosit c N − 1 ≈ N . St rile staµionare ale gazului condensatBose-Einstein sunt obµinute din ecuaµia

∂G∂ψ∗

= 0 (1.32)

unde G = E − µN . Multiplicatorul Lagrange µ a fost introdus pentru aasigura num rul constant de particule. Calculând explicit derivata func-µional a lui G în raport cu ψ∗ rezult :

16

− ~2

2m∇2ψ(r) + V (r)ψ2(r) + U0ψ(r) |ψ(r)|2 = µψ(r). (1.33)

Subliniem c ecuaµia Gross-Pitaevskii este o ecuaµie neliniar cu derivateparµiale, rezolvarea ei numeric necesitând importante resurse de calcul.Pentru simplicarea investigaµiilor asupra dinamicii condensatelor Bose-Einstein se deosebesc de obicei dou regimuri calitativ diferite: regimul dedensitate sc zut ³i regimul de densitate înalt (numit ³i Thomas-Fermi).În primul regim condensatul este u³or neliniar iar ecuaµia Gross-Pitaevskiipoate rezolvat ecient folosind metode variaµionale ce au la baz o func-µie de und test (ansatz) înrudit cu soluµia ecuaµiei Schrödinger liniare,în timp ce în al doilea regim este convenabil utilizarea modelelor hidro-dinamice ³i a calculelor variaµionale ce folosesc funcµii test q-Gaussiene.

1.2.1 Soluµii tip soliton

O proprietate aparte a soluµiilor ecuaµiei Gross-Pitaevskii este existenµaunor soluµii intrinsec neliniare de tip soliton. Acestea pot separate cuu³urinµ în soluµii de tip soliton luminos (bright soliton) ³i soluµii de tipsoliton întunecat (dark soliton). Solitonii lumino³i corespund unei struc-turi puternic localizate, în timp ce solitonii întunecaµi prezint un minimîn funcµia de densitate a condensatului x în centrul capcanei magnetice.Cea mai simpl form a acestor structuri neliniare (pentru un condensatunidimensional neconnat într-o capcan magnetic ) este dat de

ψ(x) = ψ0 tanh

(x√2ξ

)(1.34)

pentru solitonul luminos, unde ξ = ~/√

2mn0U este lungimea de coerenµ ³i ψ0 valoarea asimptotic a funcµiei de und la innit, în timp ce pentrusolitonul întunecat avem

ψ(x, t) = ψ(0) exp

(− iµt

~

)1

cosh

(x

√2m |µ|~2

) , (1.35)

unde

17

µ =1

2U |ψ (0)|2 . (1.36)

Exist de asemenea ³i soluµii periodice de tipul trenurilor de solitoni, for-mula matematic care îi guverneaz pe ace³tia ind îns mai complex .Cea mai complet abordare analitic a trenurilor de solitoni este introdus într-o serie de articole de Bronski et al. [11, 12, 13] ind demonstrat c pentru un potenµial extern periodic de forma

V (x) = V0sn2(x, k), (1.37)

unde sn este funcµia Jacobi eliptic de tip sinus, se pot determina câtevaclase de soluµii periodice de tip soliton ale ecuaµiei Gross-Pitaevskii desco-punând funcµia de und sub forma:

ψ(x, t) = r(x) exp(−iωt+ iθ(x)) (1.38)

unde funcµia de densitate r(x) este dat de:

r21(x) = Asn2(x, k) +B, (1.39)

r21(x) = Acn(x, k) +B, (1.40)

r23(x) = Adn(x, k) +B. (1.41)

Ecuaµia Gross-Pitaevskii devine echivalent cu

ωr(x) = −1

2r(x) +

1

2r(θ(x))2 + r3(x)− V0sn2(x, k)r(x) (1.42)

³i

0 = 2r′(x)θ(x) + r(x)θ(x), (1.43)

cu

θ(x) = c

ˆ x

0

1

r2(x′)dx′, (1.44)

18

de unde obµinem cu u³urinµ c

ωr(x) =c2

2r3(x)− r(x)

2+ r3(x)− V0sn2(x, k)r(x) (1.45)

sau, într-o form echivalent ,

ωr4(x) =c2

2− r(x)r3(x)

2+ r6(x)− V0sn2(x, k)r4(x). (1.46)

Pentru r21(x) dat de ecuaµia (1.39) putem rescrie ecuaµia precedent subforma

E =c2

2− V0A2sn6 − V0Bsn2 − 2V0ABsn4 +A3sn6

+B3 + 3A2Bsn4 + 3AB2sn2 +AB

2k2sn2cn2

+A

2

(Asn4dn2 +Ak2sn4cn2 −Bcn2sn2 +Bsn2dn2

)(1.47)

cu E = ωA2sn4 + ωB2 + ω2ABsn2, de unde rezult u³or c

ωA2sn4 + ωB2 + ω2ABsn2 = 2k2A2sn6 + sn4(−A2 −A2k2 + 3ABk2

)+sn2

(−2AB − 2ABk2

)+AB, (1.48)

dup ce am folosit în prealabil identit µile standard pentru funcµii elipticede tip Jacobi, anume

sn2(x, k) + cn 2(x, k) = 1, (1.49)

k2sn2(x, k) + dn2(x, k) = 1, (1.50)

∂sn(x, k)

∂x= sn(x, k)dn(x, k), (1.51)

19

∂cn(x, k)

∂x= −sn(x, k)dn(x, k), (1.52)

³i

∂dn(x, k)

∂x= −k2cn(x, k)sn(x, k). (1.53)

Egalând în termenul stâng ³i drept al ecuaµiei (1.48) coecienµii lui sn0,sn2, sn4 ³i sn6 obµinem urm toarele ecuaµii algebrice:

A = V0 + k2, (1.54)

ωB2 =c2

2+B3 − 1

2AB, (1.55)

ωA2 = −2V0AB + 3A2B +A2

2+A2k2

2− 3ABk2

2, (1.56)

³i

ω2AB = −V0B2 + 3AB2 +AB +ABk2. (1.57)

Aceste ecuaµii pot rezolvate analitic f r nicio dicultate ³i obµinemaproape imediat c

ω =1

2

(1 + k2 + 3B − BV0

V0 + k2

)(1.58)

³i

c2 = B

(1 +

BV0V0 + k2

)(V0 + k2 +Bk2

), (1.59)

20

parametrii soluµiei de tipul r21(x) ind acum complet determinaµi. Urmândun raµionament similar se poate ar ta c pentru soluµiile de tipul r22(x)obµinem

V0 = −3k2

8, (1.60)

ω1 =1 + k2

8+

6a21k2

, (1.61)

c1 =a21(16a21 − k4

) (16a21 + k2 − k4

)4k6

, (1.62)

b1 =4a21k2

, (1.63)

în timp ce pentru soluµiile de tipul r23(x) obµinem

V0 = − 3k2

8, (1.64)

ω1 =

(1 + k2

)8 + 6a22

, (1.65)

c1 =a22(16a22 − 1

) (16a22 + k2 − 1

)4

, (1.66)

b1 = 4a22. (1.67)

Aceste trei seturi de soluµii reprezint cel mai important rezultat analiticasupra trenurilor de solitoni dup formulele clasice introduse în anii '70 deTsuzuki [84].Soluµiile de tip soliton prezentate mai sus pot extinse pentru con-

densate în dou ³i trei dimensiuni, connate sau nu, îns apar problemesuplimentare legate de stabilitatea dinamic a acestor structuri în lipsapotenµialelor externe. Menµion m în nal c interacµia dintre dou obiectede tip soliton poate descris cu succes folosind teoria ciocnirilor elastice³i/sau plastice. Structuri tip soliton similare celor de mai sus au fost ob-servate înc din anii '80 în optica neliniar , o bun parte din literatura despecialitate ce trateaz solitoni în condensate Bose-Einstein preluând atâtmetodele analitice cât ³i reµetele numerice dezvoltate în optica neliniar .

21

1.3 Starea fundamental a unui condensat

Bose-Einstein

O dat claricat problema temperaturii critice ³i a ecuaµiei care mode-leaz dinamica unui condensat Bose-Einstein, investig m în aceast sec-µiune propriet µile st rii fundamentale (ground state) identicând dife-renµele calitative ³i cantitative dintre cele dou regimuri distincte ale unuicondensat Bose-Einstein: regimul de densitate sc zut ³i regimul de den-sitate înalt (numit ³i Thomas-Fermi).

1.3.1 Regimul de densitate joas

În regimul de densitate sc zut sau, echivalent, regimul interacµiei slabefuncµia de und a unui condensat tridimensional connat de o capcan magnetic de forma celei din ecuaµia (1.7) poate aproximat de soluµiaunei ecuaµii Schrödinger liniare, anume:

ψ(r) =N1/2

π3/4(bxbybz)1/2exp

(− x2

2b2x

)exp

(− y2

2b2y

)exp

(− z2

2b2z

). (1.68)

Calculând cu ajutorul ecuaµiei (1.31) energia condensatului obµinem

E(bx, by, bz) = N∑i

~ωi(a2i4b2i

+b2i

4a2i

)+

N2U

2(2π)3/2bxbybz, (1.69)

unde bx, by, bz sunt parametrii variaµionali iar ax, ay, az sunt deniµi ca

a2i =~mωi

(1.70)

cu i ∈ x, y, z. Introducând parametrii βi = bi/ai ³i minimizând energiadin ecuaµia (1.69) obµinem urm toarele ecuaµii algebrice care descriu stareafundamental a condensatului:

1

2~ωi

(β2i −

1

β2i

)− 1

2(2π)3/2NU

a31

βxβyβz= 0, (1.71)

unde am introdus

22

a =

√~mω

(1.72)

³i

ω = (ωxωyωz)1/3 . (1.73)

Chiar dac nu exist o soluµie analitic general a ecuaµiilor (1.71), pu-tem obµine o soluµie aproximativ neglijând termenii proporµionali cu 1/b2.Ace³tia provin din termenul care corespunde energiei cinetice în ecuaµia(1.31) ³i pot neglijaµi pentru condensate sucient de largi în care con-tribuµia major la energia condensatului o d interacµia dintre particule.Aproximaµia poate p rea bizar la prima vedere c ci pe de o parte pre-supunem o densitate mic astfel încât s putem folosi o funcµie de und Gaussian , în timp ce pe de alta presupunem o densitate sucient de mareastfel încât s putem modica energia cinetic . Studii numerice detaliatearat îns c soluµiile analitice astfel obµinute, anume

β5i =

(2

π

)1/2 Na

a

(ω

ωi

)5/2

(1.74)

sau

bi =

(2

π

)1/10(Naa

)1/5 ω

ωia, (1.75)

sunt în concordanµ calitativ cu calculele numerice complete. Din ecuaµia(1.75) obµinem c energia per particul este dat de

EN

=5

4

(2

π

)1/5(Naa

)2/5

~ω. (1.76)

1.3.2 Regimul Thomas-Fermi

Al doilea regim distinct al unui condensat Bose-Einstein tridimensionaleste a³a-numitul regim Thomas-Fermi, pentru care putem neglija în ecuaµiaGross-Pitaevskii termenul ce corespunde energiei cinetice. Aceast apro-ximaµie se justic pentru condensate foarte dense sau, echivalent, pentrucondensate cu interacµii puternice prin faptul c termenul care corespunde

23

interacµiei domin numeric termenul cinetic. În aceast aproximaµie ecua-µia Gross-Pitaevkii devine[

V (r) + U |ψ(r)|2]ψ(r) = µψ(r), (1.77)

iar prolul de densitate al condensatului este dat de

n(r) = |ψ(r)|2 =µ− V (r)

U, (1.78)

în regiunea în care V (r) < µ ³i 0 în afara acesteia. Spre deosebire de cazulprecedent condensatul are o suprafaµ bine denit care se poate calculadin ecuaµia

V (r) = µ. (1.79)

Integrând prolul de densitate al condensatului în regiunea indicat desoluµia ecuaµiei precedente se poate ar ta relativ u³or c extensia radial a condensatului este dat de

R2i =

2µ

mω2i

(1.80)

³i c

N =8π

15

(2µ

mω2

)3/2 µ

U. (1.81)

Din ecuaµiile precedente rezult imediat c

µ =152/5

2

(Na

a

)2/5

~ω. (1.82)

În cele din urm , menµion m c în locul extensiei radiale a condensatuluipe cele trei direcµii se folose³te deseori o extensie radial medie denit prin R = (RxRyRz)

1/3. Folosind deniµia extensiei radiale medii rezult imediat c

R = 151/5(Na

a

)1/5

a ≈ 1.719

(Na

a

)1/5

a. (1.83)

24

1.3.2.1 Corecµii la aproximaµia Thomas-Fermi

A³a cum am v zut în secµiunea precedent pentru condensate repulsivede densitate mare propriet µile st rii fundamentale pot descrise cu bun precizie folosind a³a-numita aproximaµie Thomas-Fermi. Aceasta presu-pune neglijarea termenului cinetic din ecuaµia Gross-Pitaevskii, ceea ceeste echivalent cu a spune c prolul densit µii condensatului este dat de

|ψ(r)|2 =m

4π~2a[µ− V (r)]

pentru V (r) ≤ µ ³i 0 în afar . Principala limitare a acestei aproximaµiiprovine din neglijarea funcµiei de und aproape de marginea exterioar acondensatului care conduce la rezultate lipsite de justicare zic . Astfel,pe de o parte neglij m energia cinetic în comparaµie cu energia interacµieineliniare, în timp ce pe de alt parte folosind aproximaµia Thomas-Fermiobserv m c termenul asociat energiei cinetice diverge aproape de margineacondensatului. Pentru a înµelege acest comportament ne reamintim c aproape de marginea condensatului, funcµia de und este proporµion cur d cina p trat a distanµei de la marginea condensatului, a³adar energiacinetic conµine o divergenµ de tip logaritmic.Lundh et al. au ar tat în Ref. [41] c aceast limitare a aproxima-

µiei Thomas-Fermi poate s e dep sit folosind ecuaµia Gross-Pitaevskiiscris foarte aproape de marginea condensatului. Astfel, pentru un con-densat unidimensional termenul asociat energiei potenµiale, V (x) |ψ|2 =m/2ω2x2 |ψ|2, poate aproximat ca Fx |ψ|2 unde x m soar distanµa dela marginea condensatului c tre punctul curent. Ideea din spatele aces-tei aproximaµii este aceea c funcµia de und Thomas-Fermi reproduce cuacurateµe rezultatele numerice peste tot mai puµin aproape de margineacondensatului, regiune în care putem utiliza ecuaµia Gross-Pitaevskii încare includem aproximaµia liniar a potenµialului extern care conneaz condensatul. Aceast ecuaµie simplicat permite o soluµie analitic carene arat c prin includerea contribuµiei energiei cinetice în funcµionalaGross-Pitaevskii funcµia de und dobânde³te o coad iar condensatul seextinde cu mult înafara regiunii indicate de aproximaµia Thomas-Fermi.Ecuaµia Gross-Pitaevskii aproape de marginea condensatului poate

scris sub forma

25

[− ~

2m

d2

dx2+ Fx+

4π~2am

|ψ(x)|2]ψ(x) = µψ(x), (1.84)

unde am omis deasupra lui x. Introducând variabilele scalate y = x/δ,unde δ este dat de ~2/2mδ2 = Fδ, ³i o funcµie de und scalat dat deΨ = ψ/b, unde b2 = Fmδ/4π~2a obµinem

Ψ = yΨ + Ψ3, (1.85)

cu observaµia c derivatele din ecuaµia precedent sunt în raport cu y.Folosind aceast notaµie aproximaµia Thomas-Fermi devine

Ψ =√−y, (1.86)

pentru y < 0 ³i

Ψ = 0 (1.87)

pentru y > 0.Ecuaµia (1.85) admite atât soluµii numerice cât ³i analitice, pentru y 1

putând ar tat u³or c dup liniarizarea ecuaµiei (1.85) se obtine soluµiaaproximativ

Ψ ' C

y1/4exp

(−2y3/2

3

), (1.88)

în timp ce pentru y 1 avem Ψ '√−y, care este tocmai soluµia Thomas-

Fermi. Corecµia de ordinul întâi la soluµia Thomas-Fermi se determin relativ u³or descompunând funcµia de und sub forma Ψ = Ψ0 + Ψ1, undeΨ0 este soluµia Thomas-Fermi iar Ψ1 este soluµia ecuaµiei

−Ψ1 + yΨ1 + 3Ψ20Ψ1 = Ψ0. (1.89)

Folosind Ψ20 = −y ³i Ψ0 = 1/4y

√−y g sim c

Ψ1 ' −1

8y2√−y

, (1.90)

unde derivata de ordinul 2 a lui Ψ1 a fost neglijat , deoarece contribuie latermeni de ordin superior lui 1/y. Soluµia asimptotic este astfel dat de

26

Ψ =√−y(

1 +1

8y3

). (1.91)

1.3.3 Condensate înc rcate în reµele optice

O problem aparte o reprezint identicarea st rilor staµionare ale unuicondensat înc rcat într-o reµea optic (a se vedea Refs. [20, 42, 43, 90, 91]pentru o trecere în revist a celor mai importante rezultate). Pentru adetermina st rile staµionare pornim de la densitatea de energie a unuicondensat înc rcat într-o reµea optic ³i aplic m o metod variaµional pentru determinarea st rilor de energie minim . Folosind funcµionala dinecuaµia (1.29) cu un potenµial extern periodic avem densitatea de energie

E(ψ) =1

d

ˆ d/2

−d/2dx

[~2

2m

∣∣∣∣dψ(x)

dx

∣∣∣∣2 + V0 cos

(2πx

d

)|ψ(x)|2 +

U

2|ψ(x)|4

](1.92)

³i densitatea de particule

n =1

d

ˆ d/2

−d/2dx |ψ(x)|2 . (1.93)

Folosind teorema Bloch funcµia de und se poate scrie ca produs al uneiunde plane ³i al unei funcµii periodice de perioad egal cu cea a reµeleioptice, adic

ψ = exp(ikx)√nf(x). (1.94)

Deoarece f(x) este funcµie periodic se poate descompune într-o serie deunde plane, i.e.

f(x) =∑ι

aι exp(i2πιx/d), i = 0,±1,±2, ...,±ιmax, (1.95)

coecienµii undelor plane trebuind s respecte relaµia∑|ai|2 = 1 (1.96)

27

pentru ca funcµia s e bine normat . Descompunerea lui f(x) de mai suspoate folosit cu succes în calcule numerice detaliate asupra structuriide band a condensatului (a se vedea în special rezultatele din Ref. [42]),îns în cele ce urmeaz vom trunchia seria de unde plane la primii treitermeni, adic i = 0, 1,−1, astfel încât integralele din ecuaµia (1.92) s poat calculate analitic. Funcµia de und se scrie a³adar ca

ψ =√n exp(ikx)

[a0 + a1 exp

(i2πx

d

)+ a−1 exp

(− i2πx

d

)](1.97)

unde coecienµii a0, a1, a−1 sunt astfel ale³i pentru a îndeplinit relaµia

|a0|2 + |a1|2 + |a−1|2 = 1. (1.98)

Cea mai simpl parametrizare care respect constrângerea de mai suseste dat de a0 = cos(θ), a1 = sin(θ) cos(φ) ³i a−1 = sin(θ) sin(φ), caz încare cei trei termeni ai energiei condensatului pot calculaµi cu u³urinµ .Astfel, energia cinetic este dat de

Ekin =~2

2m

[k2 + 2k

(2π

d

)sin2(θ)

(cos2(φ)− sin2(φ)

)+

(2π

d

)2

sin2(θ)

],

(1.99)energia potenµial este dat de

Epot = V0 sin(θ) cos(θ)(cos(φ) + sin(φ)), (1.100)

în timp ce energia de interacµie este

Eint = nU

[1

2+ sin2(θ) cos2(θ)(cos(φ) + sin(φ))2 +

1

4sin4(θ) sin2(2φ)

].

(1.101)St rile staµionare ale condensatului se determin prin minimizarea ener-

giei totale funcµie de parametrii variaµionali θ ³i φ, adic

∂E∂φ

= 0, (1.102)

28

Figura 1.2: St rile staµionare ale unui condensat Bose-Einstein înc rcat într-o reµea op-tic . St rile au fost obµinute prin rezolvarea numeric a ecuaµiilor (1.102).Am reprezentat cu ro³u st rile staµionare ale condensatului în limita V0 → 0.

³i∂E∂θ

= 0. (1.103)

Rezolvând numeric ecuaµiile precedente observ m dou tipuri distinctede soluµii: soluµiile periodice ce exist de-a lungul primei zone Brillouin ³isoluµiile ce exist la marginea ³i mijlocul primei zone Brillouin. Acestea dinurm reprezint ni³te soluµii exclusiv neliniare care formeaz bucle închisela marginea ³i la mijlocul zonei Brillouin. Specicitatea acestor soluµii estec exist ³i pentru reµele optice de amplitudine foarte mic , ind de faptun tren de solitoni lumino³i.Pe lâng soluµiile discutate mai sus exist ³i soluµii periodice neliniare

a c ror perioad este dublul aceleia a reµelei optice. Aceste st ri au fostprezise teoretic în Ref. [43] ³i au fost conrmare experimental în Ref. [28].

29

2 Abord ri analitice ale ecuaµiei

Gross-Pitaevskii

În acest capitol introducem tehnici ce permit studiul analitic al dinamiciicondensatelor Bose-Einstein. Al turi de calculele hidrodinamice, metodelevariaµionale reprezint singurele instrumente teoretice care ne furnizeaz informaµii în form analitic asupra soluµiilor ecuaµiei Gross-Pitaevskii.Deoarece ecuaµia Gross-Pitaevskii este o ecuaµie neliniar cu derivate par-µiale, majoritatea informaµiilor asupra dinamicii condensatelor sunt ob-µinute prin metode numerice (a se vedea în acest sens Adhikari et al.[2, 3, 4, 5, 50]).

În prima parte a capitolului vom introduce o funcµie de prob de form Gaussian cu caµiva parametri liberi. Aceasta a fost folosit de c tre Perez-Garcia et al. [63, 64] în scopul de a reduce problema innit-dimensional a ecuaµiei diferenµiale parµiale la o ecuaµie diferenµial ordinar de ordin 2pentru parametrii care caracterizeaz soluµia. Soluµia ecuaµiei Schrödingerliniare ind de form exponenµial , funcµiile de prob de tip Gaussian ofer rezultate destul de precise pentru condensate de densitate joas , utilitateacalculului variaµional ind a³adar evident .

În cea de-a doua parte vom ar ta utilitatea introducerii unei funcµiiq-Gaussiene [22, 23, 25, 56], singura capabil s refac analitic atât regi-mul de densitate joas cât ³i cel de densitate înalt . Metoda variaµional utilizat const în reducerea ecuaµiei Gross-Pitaevskii la un set de trei ecu-aµii: dou ecuaµii diferenµiale ordinare neliniare cuplate care descriu faza³i curbura funcµiei de und ³i o ecuaµie algebric din care rezult l µimeageneralizat a condensatului.

31

2.1 Calcule variaµionale

2.1.1 Calcul variaµional bazat pe funcµii Gaussiene

Pornind de la un gaz tridimensional condensat în sens Bose-Einstein prinsîntr-o capcan magnetic la T = 0 cu num r x de particule N , scriemecuaµia Gross-Pitaevskii

i~∂ψ(r, t)

∂t= − ~2

2m∇2ψ(r, t) + V (r)ψ(r, t) + U |ψ|2 ψ(r, t) (2.1)

unde V (r) este potenµialul capcanei dat de

V (r) =1

2mω2

(λ2xx

2 + λ2yy2 + λ2zz

2), (2.2)

λη (η = x, y, z) reprezentând constantele care descriu anizotropia capcanei.În acest caz interacµia este dat de U = 4π~a/m unde a este lungimea deîmpr ³tiere între dou particule. De reµinut c num rul de particule

N =

ˆdr |ψ|2 (2.3)

r mâne neschimbat din punct de vedere dinamic în ecuaµia (2.1) chiar dac V (r) ³i U sunt dependente de timp.Pentru realizarea calculului variaµional [63, 64] este necesar s folosim

densitatea de Lagrangian

L =i

2~(ψ(r, t)

∂ψ∗(r, t)

∂t− ψ∗(r, t)∂ψ(r, t)

∂t

)− ~2

2m|∇ψ(r, t|2

+V (r) |ψ(r, t)|2 +2πa~2

m|ψ(r, t)|4 (2.4)

³i un ansatz Gaussian de forma

ψ(x, y, z, t) = A(t)∏η

exp

− [η − η0(t)]2

2w2η (t) + iηαη(t) + iη2βη(t)

, (2.5)

32

unde η = x, y, z, wη sunt l µimile condensatului, βη fazele asociate, η0centrul anvelopei Gaussiene, αη faza asociat centrului anvelopei Gaus-siene iar A (t) este amplitudinea funcµiei de und . Integrând densitatea deLagrangian în spatiul (x, y, z) obµinem

L =´drL =

π3/2

2wx (t)wy (t)wz (t)

i~(A∗A−AA∗

)+ |A|2

∑η=x,y,z

[(βη −

2~mβ2η −

1

2mω2λ2η

)(w2η + 2η20

)−~2w2

η

2m+

~2α2η

m+ 2η0

(αη −

2~2

mαηβη

)]

+

√2π~2am

|A|4

(2.6)

din care se obµin ecuaµiile Euler-Lagrange

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= 0 (2.7)

unde qj ≡wx, wy, wz, A,A∗, x0, y0, z0, αx, αy, αz, βx, βy, βz .Ecuaµiile Euler-Lagrange astfel obµinute ne arat c problema innit-

dimensional a rezolv rii ecuaµiei Gross-Pitaevskii se reduce la o problemanit-dimensional . Din ecuaµia (2.7) obµinem un set de ecuaµii diferenµialeordinare cuplate

d2

dτ2vx + λ2xvx =

1

v3x+

P

v2xvyvz, (2.8)

d2

dτ2vy + λ2yvy =

1

v3y+

P

v2xvyvz, (2.9)

d2

dτ2vz + λ2zvz =

1

v3z+

P

v2xvyvz, (2.10)

unde τ = ωt, P =√

2/πNa/a0, a0 =√~/(mω) ³i wη = a0vη cu

η = x, y, z. Aceste ecuaµii descriu dinamica condensatului prin evolu-µia în timp a l µimii condensatului pe cele trei direcµii ³i au fost folosite

33

pentru determinarea frecvenµelor modurilor colective ale unor condensatetridimensionale [63].

2.1.2 Calcul variaµional bazat pe funcµii q-Gaussiene

O metod asem n toare celei prezentate în secµiunea anterioar este ceaîn care pentru a descrie starea condensatului aproape de starea de baz seintroduce un ansatz q-Gaussian. Spre deosebire de cazul precedent vomconsidera acum un condensat unidimensional a c rui dinamic este dat de varianta unidimensional a ecuaµiei Gross-Pitaevskii, anume

i∂ψ(x, t)

∂t=

(−1

2∇2 + V (x) + U (t) |ψ (x, t)|2

)ψ (x, t) , (2.11)

unde am considerat pentru simplitate ~ = m = 1. Menµion m c U(t) de-pinde de timp prin lungimea de împr ³tiere între dou particule, care poate modicat (ca funcµie de timp) prin a³a-numitele rezonanµe Feshbach (ase vedea Ref. [65] Cap. 5).Potenµialul capcanei magnetice parabolice în acest caz este de forma:

V (x) =Ω2

2x2. (2.12)

Funcµia de und de prob de tip q-Gaussian este dat de :

ψ (x, t) = f [q (t)]√N

(1− (1− q (t))x2

2w2 (t)

) 11−q(t)

eix2β(t) (2.13)

unde w (t) , β (t) , q (t) sunt trei parametri liberi dependenµi de timp cecorespund l µimii condensatului ³i fazei asociate în timp ce parametrul qindic regimul condensatelor Bose-Einstein.Impunând condiµia de normare

ˆD|ψ (x, t)|2 dx = N (2.14)

³i folosind domeniul de integrare

34

D =

[−√

2w(t)√1− q (t)

,

√2w (t)√

1− q (t)

](2.15)

obµinem

f [q (t)] =(1− q (t))1/4

21/4w (t)1/2B1/2

(1

2,−3 + q (t)

−1 + q (t)

) , (2.16)

unde B (., .) este funcµia Euler-Lagrange beta.Pentru q (t) = 1 ansatzul q-Gaussian red ansatzul valabil pentru con-

densate de densitate joas , anume

limq(t)→1

(1− (1− q (t))x2

2w2 (t)

) 11−q(t)

= exp

(−x2

2w2 (t)

)(2.17)

cu D = (−∞,∞), în timp ce pentru q (t) = −1 red prolul de densitateparabolic al regiunii Thomas-Fermi valabil pentru condensate de densitateînalt , anume

limq(t)→−1

(1− (1− q (t))x2

2w2 (t)

) 11−q(t)

=

√1− x2

w2 (t)(2.18)

cu D = [−w (t) , w (t)].O alt funcµie care este capabil s interpoleze între cele dou regimuri

ale unui condensat Bose-Einstein este a³a-numita funcµie Sn introdus deKeçeli et al. [38] :

Sn (x) = exp

(−

n∑k=1

x2k

k

)(2.19)

care devine funcµie Gaussian pentru n = 1 ³i se transform pentru n→∞³i |x| < 1 într-un prol parabolic

35

S∞ (x) = exp

(−∞∑k=1

x2k

k

)= exp

(ln(1− x2

))= 1− x2. (2.20)

Se urmeaz aceea³i pa³i ca ³i în cazul anterior: astfel, se introduce an-satzul q-Gaussian în Lagrangianul condensatului Bose-Einstein ³i se de-termin dinamica condensatului folosind ecuaµiile Euler-Lagrange, acesteaind capabile s descrie dinamica condensatului indiferent de densitate.Dup o serie de integrale simple obµinem c

L (t)

N=

2w2 (t) β (t)

7− 3q (t)+

NU (t)

w (t)√

2∆ [q (t)]+

w2 (t) Ω2

7− 3q (t)

+5− q (t)

8w2 (t) (1 + q (t))+

4w2 (t)β2 (t)

7− 3q (t)(2.21)

unde

∆ [q (t)] =

√πΓ(

1− 4q(t)−1

)√1− q (t)

2B2(12 ,

q(t)−3q(t)−1

)Γ(32 −

4q(t)−1

) . (2.22)

Calculând numeric funcµia ∆ [q (t)] observ m c aceast funcµie este aproapeliniar ³i poate aproximat pentru regimul de densitate joas cu:

∆ [q (t)] =41− 9q (t)

64√π

(2.23)

³i pentru cel de densitate înalt cu:

∆ [q (t)] =51− 9q (t)

100√

2. (2.24)

Metoda variaµional în care se utilizeaz ansatzul q-Gaussian funcµio-neaz cel mai bine pentru condensatele de densitate înalt . În acest caz

36

q (t) este aproape de (dar întotdeauna mai mare ca) −1 ³i nu va avea nici-odat ca rezultat divergenµa energiei cinetice, ind prima metod care afost capabil s descrie dinamic regimul Thomas-Fermi.Setul de ecuaµii Euler-Lagrange obµinute pentru w, β, q este:

q (t)− 5

4w3 (t) (1 + q (t))− ∆ [q (t)]NU (t)√

2w2 (t)

+2w (t)Ω2 + 4β2 (t) + 2β (t)

7− 3q (t)= 0 (2.25)

w (t)

(4β (t)− 3q (t)

7− 3q (t)

)= 2w (t) (2.26)

− 6

8 (1 + q2 (t))w2 (t)+

∆q [q (t)]NU (t)√2w (t)

+3w2 (t)Ω2 + 4β2 (t) + 2β (t)

(7− 3q2 (t))= 0 (2.27)

unde (.)q reprezint derivata în raport cu q. A³a cum a fost ar tat înRef. [56], aceste ecuaµii reproduc ecuaµiile din secµiunea precedent pentrucondensate cu num r mic de particule, în timp ce pentru condensate dedensitate înalt ele reproduc ecuaµiile hidrodinamice introduse de Dalfovoet al. [19], ecuaµii ce sunt detaliate în secµiunea urm toare.

2.2 Calcule hidrodinamice

Pe lâng metodele variaµionale prezentate mai sus, se pot obµine informaµiianalitice despre dinamica condensatelor Bose-Einstein prin abord ri hidro-dinamice, prima ³i cea mai simpl ind introdus de Dalfovo et al. [19],abordare care permite reducerea ecuaµiei Gross-Pitaevskii la un set de ecu-aµii ordinare diferenµiale pentru condensate de dimensiuni mari. Ecuaµiileastfel obµinute descriu oscilaµiile de amplitudine mare ale condensatului.Ca ³i în secµiunea dedicat metodelor variaµionale ce folosesc funcµii Ga-

ussiene, pornim de la ecuaµia Gross-Pitaevskii tridimensional dependent de timp

i~∂ψ

∂t=

(−~2∇2

2m+ V (r) + U |ψ|2

)ψ (2.28)

37

unde U = 4π~2a/m, a este lungimea de împr ³tiere iar V (r) este poten-µialul de connare. A³a cum am v zut mai devreme soluµia staµionar a ecuaµiei Gross-Pitaevskii este dat de (1.78), un calcul relativ simpluar tând c

µ =1

2

[15

4πUm3/2ωxωyωzN

]2/5. (2.29)

Luând în calcul efectul operatorului energiei cinetice din (2.28) numai înfaza parametrului de ordine ψ, putem rescrie (2.28) în forma hidrodinamic

∂

∂tρ+∇ · (vρ) = 0, (2.30)

m∂

∂tv +∇

(V (r) + Uρ+

mv2

2

)= 0, (2.31)

unde ρ = |ψ|2 este densitatea ³i v = (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) ~/ (2miρ) este vitezacondensatului. Ecuaµia (2.30) reprezint ecuaµia general de continuitate,iar ecuaµia (2.31) arat natura nerotaµional a vitezei superuidului. Seobserv c rezultatul Thomas-Fermi obµinut anterior coincide cu congu-raµia de echilibru dat de ecuaµiile (2.30)-(2.31) pentru v = 0 ³i ∂ρ/∂t = 0.Ecuaµiile hidrodinamice (2.30)-(2.31) au avantajul c ofer frecvenµele

corecte ale modurilor normale ale condensatului în limita unui num r marede atomi, dar ³i faptul c permit obµinerea unei ecuaµii algebrice careguverneaz dispersia micilor oscilaµii.Folosind pentru soluµiile ecuaµiilor (2.30)-(2.31) prolurile

ρ (r, t) = ax (t)x2 + ay (t) y2 + az (t) z2 + a0 (t) , (2.32)

v =1

2∇[αx (t)x2 + αy (t) y2 + αz (t) z2

], (2.33)

unde ecuaµia (2.32) este limitat la regiunea în care ρ ≥ 0,

a0 = − (15N/8π)2/5 (axayaz)1/5

iar aη =√~/mωη, se obµin dou seturi de ecuaµii diferenµiale cuplate,

anume

38

ai + 2aiαi + ai∑j

αj = 0 (2.34)

αi + α2i + ω2

i +

(2g

m

)ai = 0 (2.35)

unde ai ³i αi sunt coecienµi dependenµi de timp cu i, j = x, y, z. Princalcularea lui αi în termeni de ai/ai ³i prin introducerea unor variabileadimensionale noi bi denite implicit prin ai = −mω2

i

(2gbxbybzb

2i

)−1, ecu-aµiile (2.34) se reduc la αi = bi/bi în timp ce ecuaµiile (2.35) devin:

bi + ω2i bi −

ω2i

bibxbybz= 0, (2.36)

unde al doilea ³i al treilea termen dau efectul capcanei externe ³i respec-tiv al forµelor interatomice. Se pot obµine astfel razele p tratice medii ³ivitezele norului atomic funcµie de bi:

⟨r2i⟩≡ 1

N

´drρ (r, t) r2i =

(2µ

7mω20i

)b2i (2.37)

⟨v2i⟩≡ 1

N

´drρ (r, t) v2i =

(2µ

7mω20i

)b2i (2.38)

unde µ este dat de (2.29).

2.3 Teoria stabilit µii

Una din cele mai simple metode de a investiga stabilitatea dinamic a unuicondensat Bose-Einstein porne³te de la abordarea variaµional a dinamiciicondensatului. Astfel, pornind de la Lagrangianul asociat unui condensatuni-dimensional

L =

∞

−∞

dx

[i

2

(ψ∗∂ψ

∂t− ψ∂ψ

∗

∂t

)−∣∣∣∣∂ψ∂x

∣∣∣∣2 + U0 |ψ|4], (2.39)

39

scris aici, pentru simplitate, pentru ~ = 1 ³i m = 1/2, ³i limitând analizavariaµional la soluµii de tip und plan , anume

ψ(x, t) = ψ0 exp (i(kx− ωt)) (2.40)

putem scrie deviaµiile de la o und plan sub forma

δψ = (a(t)exp(iφa(t))exp(iqx) + b(t)exp(iφb(t))exp(−iqx))

×exp(i(kx− ω(t)). (2.41)

Considerând, în plus, condiµii periodice la limit pentru x ∈ [0, 2π] obµinemcu u³urinµ c

L = −2π(a2φa + b2φb

)+ 2π

(Uψ2

0 − q2) (a2 + b2

)− πU0ψ

4o

−4qkπ(a2 − b2

)+ 4πU0ψ

20ab cos (φa + φb)

+U0π(a4 + b4 + 4a2b2

), (2.42)

ceea ce sugereaz c putem interpreta φa ³i φb drept coordonate genera-lizate, A(t) = 2a2(t) ³i B(t) = 2b2(t) ind variabilele canonice asociatecorespunz toare unui Hamiltonian de forma

Heff =(Uψ2

0 − q2)

(A+B)− 2qk (A−B)

+2Uψ20

√ABcos (φa + φb) +

U

4

(A2 +B2 + 4AB

). (2.43)

Ecuaµiile Lagrange sunt date de

aφa = C1a+ C2bcos (φa + φb) + Ua(a2 + 2b2

)(2.44)

a = C2bsin (φa + φb) (2.45)

bφb = C3b+ C2acos (φa + φb) + Ub(b2 + 2a2

)(2.46)

b = C2asin (φa + φb) (2.47)

unde C1 = U0ψ20 − q2 − 2qk, C2 = U0ψ

20 ³i C3 = U0ψ0 − q2. Considerând

c a este mic, ecuaµiile se pot rescrie sub forma

40

a = b (2.48)

a = C2asin (φa + φb) (2.49)

φa + φb = (C1 + C3) + 2C2cos (φa − φb) (2.50)

unde am neglijat termeni de O(a2)³i mai mici. Ultima ecuaµie se poate

rezolva analitic relativ u³or obµinând c

φ(t) = φa(t) + φb(t) (2.51)

= 2arctan

√(

2Uψ20 − q2

)q

tanh(tq√(

2Uψ20 − q2

)) .(2.52)Se observ acum cu u³urinµ c instabilitatea dinamic a condensatuluieste determinat de semnul termenului 2Uψ2

0 − q2. Astfel, pentru 2Uψ20 −

q2 < 0

a2(t) ∼ 1− 2Uψ20

q2sin2

[t√(

q2 − 2Uψ20

)q2]

(2.53)

iar condensatul este într-un regim de oscilaµii periodice stabile, în timpce pentru 2Uψ2

0 − q2 > 0 condensatul intr într-un regim instabil în caremicile oscilaµii sunt amplicate exponenµial, anume

a2(t) ∼ 1 +2Uψ2

0

q2sinh2

[t√(

q2 − 2Uψ20

)q2]. (2.54)

Pe lâng ecuaµiile (2.53) ³i (2.54) care descriu dinamica condensatului îninteriorul regimului stabil ³i al celui instabil putem determina, de aseme-nea, dinamica condensatului chiar la graniµa dintre regimul stabil ³i celinstabil, anume 2Uψ2

0 = q2. Rescriind ecuaµiile (2.48)-(2.50) obµinem

a = Uψ20asin(φ) (2.55)

³i

41

φ = −2Uψ20 + 2Uψ2

0cos(φ). (2.56)

Soluµia acestui sistem este dat de

φ = 2arctan(

1

2Uψ20t+ c

)(2.57)

³i

a(t) =

√1 +

(2Uψ2

0t+ c)2

√1 + c2

, (2.58)

a³adar la graniµa dintre regimul stabil ³i cel instabil soluµiile sunt tot in-stabile îns instabilitatea nu este exponenµial ci doar liniar .

42

3 Modele discrete

Ecuaµia Gross-Pitaevskii discutat în capitolele precedente permite abor-d ri variaµionale pentru condensate relativ omogene, caz în care dinamicasistemului este redus la câteva ecuaµii diferenµiale ordinare, îns acesteanu pot extinse cu u³urinµ pentru condensate înc rcate în reµele op-tice. Astfel, pentru soluµia ecuaµiei Gross-Pitaevskii uni-dimensionale cuun potenµial periodic de forma

V (x) = 2V0cos2(πxd

), (3.1)

trebuie c utate metode care s permit descrierea unor soluµii periodice, deperioad egal cu perioada reµelei optice. Metodele precedente de minimi-zare a energiei (scris acum pentru pentru o singur celul a potenµialuluiextern)

E =

dˆ

−d

dx

[~2

2m

∣∣∣∣dψ(x)

dx

∣∣∣∣2 + V0cos(

2πx

d

)|ψ(x)|2 +

U

2|ψ(x)|4

](3.2)

pot , în principiu, aplicate, dar lipsa unei funcµii test exibile analiticface ca ecuaµiile nale s e foarte complicate. O alt variant este s descompunem funcµia de und sub forma

Ψ =∑n

ψn(t)Φn(r), (3.3)

unde prefactorii ψn(t) pot lua valori complexe, iar anvelopele Φn(r) =Φ(r−rn) sunt reale, identice ³i normate la unitate, ecuaµia Gross-Pitaevskiiputând rescris sub forma

43

i~∑l

Φl(x)dψl(t)

dt= − ~2

2m

∑l

ψl(t)d2Φl(x)

dx2+ V (x)

∑l

ψl(t)Φl(t)

+U

∣∣∣∣∣∑l

ψl(t)Φl(x)

∣∣∣∣∣2∑m

ψm(t)Φm(x). (3.4)

Num rul de atomi din condensat este obµinut din formula

N =∑n

|ψn|2 . (3.5)

Înmulµind ecuaµia (3.4) cu Φn, unde n este arbitrar ales, ³i integrând înstânga ³i dreapta dup x obµinem întâi

i~dψn(t)

dt= − ~2

2m

∑l

[ψl(t)

ˆdxΦn(x)

d2Φl(x)

dx2

]

+U0

ˆdx

Φn(x)

∣∣∣∣∣∑l

ψl(t)Φl(x)

∣∣∣∣∣2∑m

ψm(t)Φm(x)

+∑l

[ψl(t)

ˆdxV (x)Φn(x)Φl(x)

](3.6)

³i apoi

i~dψn(t)

dt=

~2

2m

∑l

[ψl(t)

ˆdxdΦl(x)

dx

d2Φn(x)

dx

]+∑l

[ψl(t)

ˆdxV (x)Φn(x)Φl(x)

]+U0 |ψn(t)|2 ψn(t)

ˆΦ4n(x), (3.7)

unde

c±1 =~

2m

ˆdxdΦn(x)

dx

dΦn±1(x)

dx+

ˆdxV (x)Φn±1(x)Φn(x),(3.8)

44

c0 =~

2m

ˆdx

(dΦn(x)

dx

)2

+

ˆdxV (x)Φn(x)2, (3.9)

³i

U = U

ˆdxΦ4

n(x), (3.10)

unde pentru simplitate vom scrie U drept U , rescalarea lui U dat deecuaµia (3.10) ind implicit . Pentru a trece de la ecuaµia (3.6) la ecuaµia(3.7) am considerat condiµii periodice la frontiera astfel încât

Φn(x)dΦl(x)

dt

∣∣∣∣B

= 0, (3.11)

unde B este marginea reµelei, ³i am presupus c ˆdrΦmΦ2

l Φn 6= 0 (3.12)

doar pentru m diferit de l ³i diferit de n. Presupunând, de asemenea, c

ˆdxV (x)Φn−1(x)Φn(x) ∼=

ˆdxV (x)Φn+1(x)Φn(x) (3.13)

³i

ˆdxdΦ(x)

dx

dΦn+1(x)

dx∼=ˆdxdΦn(x)

dx

dΦn−1(x)

dx(3.14)

ecuaµia se simplic substanµial ³i poate scris sub forma

i~dψn(t)

dt=

(εn + U |ψn|2

)ψn(t)−K (ψn−1(t) + ψn+1(t)) .(3.15)

45

3.1 St ri staµionare

Varianta independent de timp a ecuaµiei precedente se poate obµine por-nind de la Hamiltonianul

H = −∑n

[K(ψ∗nψn+1 + ψnψ

∗n+1

)− 1

2U |ψn|4

](3.16)

³i minimizând

∂

∂ψ∗(H− µN) = 0, (3.17)

unde µ este, ca în capitolele precedente, multiplicatorul Lagrange introduspentru a asigura num rul constant de particule. Ecuaµia obµinut este deforma

U |ψn|2 ψn −K (ψn+1 + ψn−1)− µψn = 0, (3.18)

iar pentru a ne apropia de soluµiile de tip Bloch ale unei ecuaµii Schrödingercu un potenµial periodic rescriem ψn sub forma ψn = einkdgn, de undeobµinem

U |gn|2 gn −Kgn+1exp (ikd)−Kgn−1exp (−ikd)− µgn = 0.(3.19)

Num rul de particule din condensat îl obµinem însumând particulele dinecare minim al potenµialului. În cele ce urmeaz vom considera soluµii cuperiodicitate 2p astfel încât

gn = gn+2p (3.20)

num rul de particule dintr-o perioad ind dat de

2p∑j=1

|gj |2 = Na. (3.21)

46

St rile cu p = 0 corespund clasicelor st ri de tip Bloch, în timp ce st rilecu p = 1 sunt a³a-numitele st ri de perioad dubl (a se vedea Ref. [43]pentru o analiz detaliat ). Pentru st rile de tip Bloch avem gn = g,a³adar

ψn = exp(iknd)√ν (3.22)

iar

µ = −2Kcos(kd) +1

2Uν, (3.23)

energia unei particule ind egal cu

E = −2Kcos(kd) +1

2Uν. (3.24)

Pentru urm toarea band , p = 1, folosim condiµiile la frontier g0 = g2 ³ig1 = g3, obµinând u³or din ecuaµiile (3.19) c

U(|g1|2 − |g2|2

)=

[|g2||g1|

exp (i (φ2 − φ1))−|g1||g2|

exp (i (φ1 − φ2))]

×2Kcos(kd). (3.25)

Cum φj poate 0 sau π rezult u³or c energia unei particule este egal cu

E = 2K2

Uνcos2(kd) + Uν. (3.26)

Particularitatea acestei st ri este c potenµialul chimic µ = 2Uν este inde-pendent de k, ν ind num rul mediu de atomi din ecare minim al reµeleioptice. Considerând c st rile cu p = 1 sunt formate prin repetarea uneicelule ce cuprinde dou minime de potenµial indexate, pentru simplitate,cu a ³i b, un calcul simplu ne arat c num rul de atomi din ecare site alcelulei periodice este dat de

47

Na = ν +

√ν2 − 4

(K

U

)2

cos2 (kd) (3.27)

³i

Nb = ν −

√ν2 − 4

(K

U

)2

cos2(kd), (3.28)

ga ³i gb ind date de

ga =

√√√√ν +

√ν2 − 4

(K

U

)2

cos2(kd) (3.29)

³i

gb = expiπ

2[1 + sign (cos(kd))]

×

√√√√ν −

√ν2 − 4

(K

U

)2

cos2 (kd). (3.30)

Observ m imediat c st rile de perioad dubl exist atâta vreme cât

|cos (kd)| ≤ Uν

2K, (3.31)

a³adar o asemenea stare exist indiferent de valoarea interacµiei interato-mice U atâta vreme cât |k| este sucient de aproape de π/2d.Când am determinat soluµiile de perioada p = 1 utilizând ecuaµia (3.25)

am urm rit soluµiile nedegenerate, anume acelea care au perioada doi atâtîn raport cu gj cât ³i în raport cu |gj |2. Exist îns ³i o clasa de soluµiidegenerate care au perioada doi în raport cu gj ³i perioada unu în raportcu |gj |2. Pentru determinarea acestora pornim de la ecuaµiile (3.19) scriseexplicit pentru o stare cu p = 1, anume

48

U |ga|2 ga − µga = 2Kgb cos(kd) (3.32)

³i

U |gb|2 gb − µgb = 2Kgacos(kd), (3.33)

³i x m |ga| = |gb|. Aceast ultim constrângere implic

UN − µ = 2Kcos(kd)exp (i (φb − φa)) (3.34)

³i

UN − µ = 2Kcos(kd)exp (i (φa − φb)) , (3.35)

unde N = Na = Nb. Din aceste ecuaµii se determin relativ u³or potenµi-alul chimic

µ = 2Kcos(kd) + Uν (3.36)

³i energia per particul

E = 2Kcos(kd) +1

2Uν. (3.37)

3.2 Stabilitatea st rilor staµionare

Pentru a investiga stabilitatea energetic ³i dinamica a unei st ri staµionarevom considera în cele ce urmeaz o deviaµie de forma

δgn = exp(iknd) (unexp(iqnd) + v∗nexp(−iqnd)) (3.38)

a c rei evoluµie în timp este dat de

49

i~dgndt

= U |gn|2 gn −Kgn+1eikd −Kgn−1e−ikd − µgn. (3.39)

În cele ce urmeaz vom analiza, pe rând, st rile de tip Bloch ³i st rilede perioad dubl identicând pentru ecare stare domeniile stabilit µiienergetice ³i dinamice. Pentru stabilitatea energetic vom scrie contribuµiadeviaµiei la funcµionala de energie a condensatului sub forma unei formep tratice, în timp ce pentru stabilitatea dinamic vom investiga valorileproprii ale sistemului dinamic ce descrie evoluµia în timp a amplitudinilordeviaµiilor.

3.2.1 St ri Bloch

Contribuµia deviaµiei (3.38) la funcµionala energiei poate scris cu u³u-rinµ sub forma

δ2G = (u∗v∗)

(Uν +4E Uν

Uν Uν +4E−

)︸ ︷︷ ︸

A

(uv

), (3.40)

4E± = E (k ± q)− E(k), (3.41)

unde E(k) este energia per particul din ecuaµia (3.24). Instabilitateaenergetic apare atunci când A are valori proprii negative, în timp ceinstabilitatea dinamic apare atunci când σzA are valori complexe, undeσz este bine-cunoscuta matrice Pauli. Valorile proprii ale lui A sunt datede

λ1 = U + 4Kcos(kd)sin2(qd

2

)+

√U2 + 4K2sin2(qd)sin2(kd) (3.42)

³i

λ2 = U + 4Kcos(kd)sin2(qd

2

)−√U2 + 4K2sin2(qd)sin2(kd), (3.43)

50

a³adar sistemul este stabil atunci când

[U + 4cos(kd)sin2

(qd

2

)]2≥ U2 + 4K2sin2(qd)sin2(kd). (3.44)

Se poate ar ta u³or c inegalitatea precedent poate rescris sub forma

Uν

2Kcos(kd) + sin2

(qd

2

)≥ sin2(kd), (3.45)

de unde obµinem imediat c sistemul devine instabil atunci când

Uν

2Kcos(kd) + sin2

(qd

2

)= sin2(kd). (3.46)

Aceast ecuaµie arat , pe de o parte, c pentru valori sc zute ale lui |k|sistemul devine instabil pentru q → 0, în timp ce pe de alt parte reproducecriteriul lui Landau pentru stabilitate energetice în limita kd 1, anume

sin(kd)tan(kd) <Uν

2K. (3.47)

Similar, analiza valorilor proprii ale matricei σzA arat c sistemul estestabil din punct de vedere dinamic când

cos(kd)sin2(qd

2

)> −Uν

2K, (3.48)

în cazul în care cos(kd) > 0, ³i

cos(kd) sin2(qd2

)< −Uν

2K, (3.49)

în cazul în care cos(kd) < 0.

51

3.2.2 St ri de perioad dubl

O analiz similar poate efectuat pentru st rile de perioad dubl , cazîn care contribuµia deviaµiei (3.38) la funcµionala energiei

δ2G = −2∑

n=1

[K (δψ∗nδψn+1 + c.c.) + µ |δψn|2

−U2

((ψ∗n)2 δψ2

n + ψ2n (δψ∗n)2 + 4 |ψn|2 |δψn|2

)](3.50)

poate scris sub forma

δ2G = −2K ((u∗1u2 + u1u∗2) cos (kd+ qd) + (v∗1v2 + v1v

∗2) cos (kd− qd))

+U2∑j=1

[ujv∗j

(g∗j)2

+ u∗jvjg2j +

(2 |gj |2 −

µ

U

)(|uj |2 + |vj |2

)].

Dup o analiz atent a termenilor din ecuaµia precedent observ m c eipot scri³i, ca mai devreme, drept o form p tratic

δ2G =

u∗1v∗1u∗2v∗2

t

A︷ ︸︸ ︷f ... ... ...... f ... ...... ... −f ...... ... ... −f

u1v1u2v2

, (3.51)

unde f = |g1|2 − |g2|2, în care, pentru simplitate, nu am trecut decâttermenii diagonali. De fapt, se poate ar ta c datorit alternanµei de semnobservate pe diagonala principal a matricei A aceasta are întotdeaunavalori proprii atât negative cât ³i pozitive, a³adar st rile de perioad dubl sunt echivalente cu ni³te puncte ³a.Pentru analiza stabilit µii dinamice trebuie s scriem în mod explicit

ecuaµiile care descriu dinamica deviaµiei, a³adar din ecuaµia general

i~dδgndt

= U |gn|2 δgn + Ug2nδg∗n −Kδgn+1e

ikd −Kδgn−1e−ikd − µδgn

52

obµinem o ecuaµie pentru δga, anume

i~(duadt

eiqnd +dv∗adte−iqnd

)=

[(U |ga|2 − µ

)(uae

iqnd + v∗ae−iqnd

)+U (ga)

2(u∗ae−iqnd + vae

iqnd)

−2Kubcos (kd+ qd) eiqnd

−2Kv∗b cos (kd− qd) eiqnd], (3.52)

³i o alt ecuaµie pentru δgb, anume

i~dubdteiq(n+1)d

+dv∗bdte−iq(n+1)d

=

[(U |gb|2 − µ

)ube

iq(n+1)d + v∗be−iq(n+1)d

+U (gb)

2u∗be−iq(n+1)d + vbe

iq(n+1)d

−2Kuacos (kd+ qd) eiq(n+1)d

−2Kv∗acos (kd− qd) e−iq(n+1)d. (3.53)

Aceste ecuaµii trebuie rescrise sub forma a patru ecuaµii diferenµiale ordi-nare (reale) care descriu dinamica p rµii reale ³i dinamica p rµii imaginarea celor dou deviaµii, anume

i~duadt

=(

2U |ga|2 − µ)ua + U (ga)

2 va − 2Kcos (kd+ qd)ub,

i~dvadt

= −(

2U |ga|2 − µ)va + U (g∗a)

2 ua + 2Kcos (kd− qd) vb,

i~dubdt

=(

2U |gb|2 − µ)ub + U (gb)

2 vb − 2Kcos (kd+ qd)ua,

³i

53

i~dubdt

= −(

2U |gb|2 − µ)vb + U (g∗b )

2 ub − 2Kcos (kd− qd) va.

Pentru a determina domeniul de stabilitate, ecuaµiile precedente trebu-iesc rescrise sub forma matricial

i~dΨ

dt= BΨ, (3.54)

unde

B = U

Na −Nb Nae2iϕ −2

K

Ucosθ+ 0

−Nae−2iϕ Nb −Na 0 2

K

Ucosθ−

−2K

Ucosθ+ 0 Nb −Na Nbe

2iϕ

0 2K

Ucosθ− −Nbe

−2iϕ Na −Nb

cu θ+ = kd + qd iar θ− = kd − qd. Valorile proprii ale matricei B suntdate de

λB,1,2,3,4 =[(νU/K)2 − 6cos2 (kd) + cos2 (kd− qd) + cos2 (kd+ qd)

∓(−1 + (νU/K)2 ± cos (2kd)− 2cos2 (kd) cos (2qd)

)1/2×(−3 + (νU/K)2 − cos (2kd) + 2sin2 (kd) cos (2qd)

)],

a³adar pentru νU/K ≥ 2 obµinem soluµii stabile atunci când

−4 + 4

[−2 +

(νU

K

)2

cos (2kd)− 4cos (4kd)

]< 0

−2 +(ν UK)2

+ cos (2kd) (−3 + cos (2qd)) > 0

. (3.55)

54

4 Ecuaµiile Schrödinger

nepolinomiale

Propriet µile statice ³i dinamice ale condensatelor Bose-Einsten au fostexaminate de-a lungul timpului folosind diferite specii atomice ³i capcanemagnetice cu geometrii dintre cele mai diverse. Deoarece soluµiile numericeale ecuaµiei Gross-Pitaevskii sunt extrem de cronofage (a se vedea în acestsens studiile lui Adhikari et al. [2, 3, 4, 5, 50]) a fost acordat o atenµiespecial deriv rii unor ecuaµii uni- ³i bi-dimensionale ce pot descrie într-omanier mai simpl (atât analitic cât ³i numeric) dinamica condensatelorîn form de µigaret ³i în form de disc. Folosind funcµiile de prob intro-duse în capitolul precedent, ar t m în acest capitol cum pot construiteecuaµii Schrödinger nepolinomiale croite anume pentru condensate de tipµigaret ³i de tip disc. Metoda folosit este de tip variaµional ³i a fost in-trodus pentru prima dat de Salasnich et al. [72], care a determinat dou asemenea ecuaµii nepolinomiale pentru condensate de densitate sc zut .În prima parte a acestui capitol vom trece în revist rezultatele obµinutede Salasnich et al. [72, 74, 73], în timp ce în a doua parte vom prezentao ecuaµie nou care descrie condensate în form de µigaret de densitateînalt [60].

4.1 Regimul de densitate joas

Descrierea dinamicii axiale a unui condensat Bose-Einstein connat de unpotenµial extern cu simetrie cilindric a fost realizat cu ajutorul uneimetode variaµionale de c tre Salasnich et al. [72]. Punctul de pornireal tratamentului variaµional este ecuaµia Gross-Pitaevskii tridimensional dependent de timp care descrie funcµia de und macroscopic ψ(r, t) acondensatului

55

i~∂

∂tψ (r, t) =

[− ~2

2m∇2 + V (r) + UN |ψ (r, t)|2

]ψ (r, t) , (4.1)

unde V (r) reprezint potenµialul extern al capcanei, U = 4π~2a/m esteamplitudinea de împr ³tiere ³i a este lungimea de împr ³tiere între dou particule, iar N reprezint num rul de bosoni condensaµi. Funcµia de und în acest caz este normat la 1, anume

ˆdr |ψ (r,t)|2 = 1. (4.2)

A³a cum am v zut în capitolele precedente, ecuaµia Gross-Pitaevskii tri-dimensional poate obµinut folosind principiul acµiunii minime dac esteconsiderat ecuaµie Euler-Lagrange a urm toarei funcµionale de acµiune:

S =

ˆdtdrψ∗

[i~∂

∂t+

~2

2m∇2 − V (r)− 1

2gN |ψ (r, t)|2

]ψ. (4.3)

Potenµialul extern este de forma V (r) = 12mω

2⊥(x2 + y2

)+V (z) datorit

simetriei cilindrice, iar V (z) poate un potenµial oarecare.Pentru descrierea dinamicii colective a condensatelor Bose-Einstein se

folose³te în acest caz tehnica variaµional cea mai simpl , bazat pe funcµiiGaussiene, deoarece în limita unei amplitudini de împr ³tiere nule acesteadevin soluµiile exacte ale ecuaµiei Schrödinger.Funcµionala de acµiune S este simplicat folosind o funcµie de und de

prob de forma:

ψ (r, t) = φ (x, y, t;σ (z, t)) f (z, t) (4.4)

unde atât φ cât ³i f sunt normate la 1 iar φ este

φ (x, y, t;σ (z, t)) =

exp

[−(x2 + y2

)2σ (z, t)2

]π1/2σ (z, t)

. (4.5)

56

Funcµiile variaµionale σ (z, t) ³i f (z, t) sunt determinate prin minimiza-rea funcµionalei de acµiune dup calcularea integralelor în planul (x, y).Pentru a calcula integralele precedente se presupune c funcµia de und transversal φ variaz lent de-a lungul direcµiei axiale ³i se ia în consideraredoar direcµia transversal , adic ∇2φ ' ∇2

⊥φ unde ∇2⊥ = ∂2/∂x2+∂2/∂y2.

Introducând funcµia de und în ecuaµia (4.3) ³i integrând spaµial dup x³i y, funcµionala de acµiune devine:

S =

ˆdtdzf∗ (z, t)

[i~∂

∂t+

~2

2m

∂2

∂z2− V (z)− 1

2gN

σ−2

2π|f (z, t)|2

− ~2

2mσ−2 −

mω2⊥

2σ2]f (z, t) . (4.6)

Ecuaµiile Euler-Lagrange pentru f∗ ³i σ sunt:

i~∂

∂tf (z, t) =

[− ~2

2m

∂2

∂z2+ V (z) + gN

σ−2

2π|f (z, t)|2

+

(~2

2mσ−2 +

mω2⊥

2σ2)]

f (z, t) (4.7)

³i

~2

2mσ−3 − 1

2mω2⊥σ +

1

2gN

σ−3

2π|f (z, t)|2 = 0 (4.8)

Cea de-a doua ecuaµie este o ecuaµie algebric care se poate rezolva analitic.Soluµia obµinut arat leg tura între σ ³i f , adic σ2 = a2⊥

√1 + 2asN |f |

unde a⊥ =√~/mω⊥ este lungimea oscilatorului pe direcµia transversal .

În acest caz σ depinde de z ³i de t din cauza dependenµei de timp ³i spaµiua lui |f |2.Acest rezultat este introdus în ecuaµia (4.7), obµinându-se în nal o

ecuaµie Schrödinger dependent de timp care are structura nepolinomial ,anume

57

i~∂

∂tf (z, t) =

− ~2m

∂2

∂z2+ V (z) +

gN

2πa2⊥

∣∣f2 (z, t)∣∣√

1 + 2asN |f (z, t)|2

+~ω⊥

2

1√1 + 2asN |f (z, t)|2

+

√1 + 2asN |f (z, t)|2

)]f (z, t) . (4.9)

A³a cum a fost precizat mai devreme ecuaµia a fost introdus în literaturade specialitate de Salasnich et al. [72], ind deja folosit într-un num rmare de studii dedicate dinamicii solitonilor, undelor de ³oc, undelor dedensitate, etc. Ecuaµia poate simplicat prin neglijarea componenteilongitudinale a potenµialului extern ³i calcularea explicit a radicalilor deunde obµinem

i~∂f

∂t=

− ~2m

∂2

∂z2+ ~ωr

1 + 3asN |f |2√1 + 2asN |f |2

f. (4.10)

4.2 Regimul de densitate înalt

4.2.1 Condensate cuasi-unidimensionale

Pentru un condensat Bose-Einstein în form de µigaret de densitate înalt ,metoda introdus de Salasnich et al. [72, 74, 73] este lipsit de acurateµedatorit ansatzului Gaussian, îns se poate obµine o ecuaµie nepolinomi-al similar folosind drept ansatz pentru componenta radial a funcµieide und funcµia q-Gaussian discutat în capitolul precedent. Punctul depornire este ca ³i în secµiunea precedent ecuaµia Gross-Pitaevkii ³i func-µionala de acµiune asociat , a se vedea ecuaµiile (4.1) ³i (4.3), cu observaµiac acum vom descompune funcµia de und sub forma

ψ (r, t) = φ (r, t; a (z, t) , q (z, t)) f (z, t) (4.11)

58

unde φ ³i f reprezint partea longitudinal ³i transversal a funcµiei deund iar

φ (r, t; a, q) = c(1− r2a (1− q)

)1/(1−q)(4.12)

cu a ³i q funcµii de z ³i de t. Acest ansatz are avantajul de a descrie la q = 1prolul radial de densitate mic folosit de Salasnich et al. [72, 74, 73], dar³i de a reda ecuaµiile hidrodinamice ale regimului Thomas-Fermi în veci-n tatea lui q = −1 (a se vedea Ref. [56]). În cel de-al doilea caz ansatzuldescrie atât partea central a condensatului cât ³i suprafaµa acestuia, ceeace înseamn c funcµia ³i derivatele ei se integreaz cu u³urinµ ³i nu exist nici o singularitate în energia cinetic a condensatului. Prin normarea an-satzului radial la 1 obµinem:

c =

√a (3− q)

π. (4.13)

Presupunând ca în secµiunea precedent c funcµia de und transversal φvariaz u³or de-a lungul direcµiei axiale faµ de direcµia transversal , adic

∇2φ ≈ ∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2(4.14)

³i integrând în planul (x, y), funcµionala devine

S [f (z, t)] =

ˆdtdzf∗ (z, t)

[i~∂

∂t+

~2m

∂2

∂z2

−gN |f (z, t)|2

2

a (q − 3)2

π (5− q)+

~2

2m

2a (q − 3)

1 + q

−mω2⊥

2

1

2a (2− q)

]f (z, t) , (4.15)

putând u³or minimizat prin ecuaµiile Euler-Lagrange pentru f, f∗, a, q.Astfel, vom avea:

59

i~∂f (z, t)

∂t=

[− ~2

2m

∂2

∂z2+ gN |f (z, t)|2 a (q − 3)2

π (5− q)

+~2

m

a (3− q)1 + q

+mω2⊥

4a (2− q)

]f (z, t) (4.16)

pentru f∗ (împreun cu conjugata complex pentru f),

gN |f (z, t)|2

2π

(q − 3)2

(5− q)+

~2

m

(3− q)1 + q

−mω2⊥

4a2 (2− q)= 0 (4.17)

pentru a, ³i

gN |f (z, t)|2

2

(2a (q − 3)

π (5− q)+a

π

(q − 3)2

(q − 5)2

)

−~2

m

(a (3− q)(1 + q)2

+a

1 + q

)+

mω2⊥

4a (2− q)2= 0 (4.18)

pentru q. În timp ce ultimele dou ecuaµii nu pot rezolvate analitic pentruo valoare arbitrar a lui N , poate u³or de ar tat c pentru N 1 avem

q ≈ −1 + 3

(2

as |f (z, t)|2N

)1/3

(4.19)

a ≈ mω⊥

8~√as |f (z, t)|2N

(4.20)

În cele din urm , folosind ecuaµiile (4.16), (4.19) ³i (4.20) ³i neglijândtermeni de O(N−1/6) ³i mai mici, avem:

i~∂f (z, t)

∂t=

− ~2

2m

∂2

∂z2+ 2~ω⊥

[√as |f (z, t)|2N

−21/3

3

(as |f (z, t)|2N

)1/6]f (z, t) . (4.21)

60

Aceast ecuaµie este echivalent pentru densit µi mari cu aceea introdus de Muñoz-Mateo ³i Delgado [47, 48, 49] ³i anume:

i~∂f (z, t)

∂t= − ~2

2m

∂2f (z, t)

∂z2+ ~ω⊥

√1 + 4asN |f |2 f (z, t) (4.22)

Spre deosebire de ecuaµia (4.21) aceast ecuaµie ia în considerare supra-faµa condensatului, prin coada scurt a funcµiei q-Gaussiene. Variantabidimensional a ecuaµiei este analizat mai jos.Ecuaµia (4.21) va folosit în capitolul urm tor pentru determinarea pe-

rioadei undelor Faraday ce apar într-un condensat de tip µigaret connatîntr-o capcan magnetic a c rei component transversal este modulat periodic în intensitate.

4.2.2 Condensate cuasi-bidimensionale

Ecuaµiile derivate în secµiunile precedente sunt ecuaµii unidimensionale cedescriu cu precizie dinamica condensatelor în form de µigaret . În aceast secµiune prezent m o ecuaµie bidimensional care descrie dinamica conden-satelor în form de disc pentru condensate de densit µi mari.Pornim din nou de la ecuaµia Gross-Pitaevskii tridimensional ³i funcµio-

nala de acµiune asociat , a se vedea ecuaµiile (4.1) ³i (4.3), ³i un potenµialde forma

V (r) =1

2mω2⊥r

2 +1

2mω2

zz2 (4.23)

îns acum folosim o descompunere a funcµiei de und bazat pe un ansatzq-Gaussian longitudinal

ψ (r, t) = φ (z, t;w (r, t) , q (r, t)) f (r, t) , (4.24)

unde φ ³i f reprezint componenta axial ³i transversal a funcµiei de und iar

φ (z, t;w, q) = c

(1− z2 (1− q)

2w2

)1/(1−q)(4.25)

61

cu w ³i q funcµii de r ³i t. Subliniem ca mai devreme c acest ansatz esteextrem de versatil ³i poate descrie atât prolul radial de densitate joas cât ³i cel de densitate înalt , dup cum q = 1 corespunde ansatzului usualfolosit de Salasnich et al., în timp ce q = −1 reproduce rezultatele dinregimul Thomas-Fermi. În vecin tatea lui q = −1 ansatzul descrie atâtpartea central a condensatului cât ³i suprafaµa lui. Componenta axial aansatzului este normat la 1, de unde rezult

c =

(1− q

2

)1/4(wB

(1

2,q − 3

q − 1

))1/2

(4.26)

unde B (·, ·) este funcµia beta uzual .

Presupunând c φ este variat u³or de-a lungul direcµiei transversalefaµ de direcµia axial , adic ∇2φ ≈ ∂2φ/∂z2, ³i efectuând integrarea peaxa z, funcµionala de acµiune se simplic la

S [f (r, t)] =

ˆdtdrf∗ (r, t)

[i~∂

∂t+

~2

2m

∂2

∂x2+

~2

2m

∂2

∂y2

−mw2ω2

⊥7− 3q

− gN |f (r, t)|2

2·

√1− qB

(12 ,

q−5q−1

)w√

2B(12 ,

q−3q−1

)2−~2

m

U2

(12 , 2,

32 −

2q−1 , 1

)w2 (3 + q)

f (r, t) . (4.27)

Menµion m c , spre deosebire de cazul cuasi-unidimensional, funcµionalade acµiune a unui condensat de tip disc conµine funcµia hipergeometric conuent U2 care face imposibil determinarea analitic a ecuaµiilor Euler-Lagrange asociate. Pentru determinarea analitic a unui set de ecuaµiiEuler-Lagrange folosim aproximaµia de mai jos a funcµionalei de acµiune:

62

S [f (r, t)] ≈ˆdtdrf∗ (r, t)

[i~∂

∂t+

~2

2m

∂2

∂x2+

~2

2m

∂2

∂y2

−mw2ω2

⊥7− 3q

+ +~2

2m

1

w2

(1

4− 3

2 (q + 1)

)−gN |f (r, t)|2

2

a− b (q + 1)

w

]f (r, t) , (4.28)

unde a ³i b sunt dou constante numerice. Aceast funcµional poate u³or minimizat prin ecuaµiile Euler-Lagrange pentru f, f∗, a, q de undeobµinem

i~∂f (r, t)

∂t=

[− ~2

2m

∂2

∂x2− ~2

2m

∂2

∂y2+ gN |f (r, t)|2 a− b (q + 1)

w−

~2

2m

1

w2

(1

4− 3

2 (q + 1)

)+mw2ω2

⊥7− 3q

]f (r, t) (4.29)

pentru f∗ (împreun cu conjugata complex pentru f)

gN |f |2

2

a− b (q + 1)

w2

− ~2

mw3

(1

4− 3

2 (q + 1)

)−

2mwω2⊥

7− 3q= 0 (4.30)

pentru w, ³i

gN |f |2 b2ω

+~2

2mw2

3

2 (q + 1)2−

3mw2ω2⊥

(7− 3q)2= 0 (4.31)

pentru q. În timp ce ultimele dou ecuaµii algebrice nu pot rezolvateanalitic pentru o valoare arbitrar a lui N , poate ar tat c pentru N 1avem

q ≈ −1 +

(2455~2ω2

⊥27 |f |8m2a4g4N4

)1/9

(4.32)

63

³i

w ≈

(5

2

a |f |2 gNmω2⊥

)1/3

(4.33)

din care rezult

i~∂f (r, t)

∂t=

− ~2

2m

∂2

∂x2− ~2

2m

∂2

∂y2+(m

8

)1/3(5 |f |2 agω⊥N2

)2/3

+ (3a− 40b)

(g |f |2Nh3ω4

⊥2

)2/9

l

f (r, t) (4.34)

unde l = m1/9

4·a7/931/357/9 ³i am neglijat termenii O(N−2/9

)³i mai mici.

64

5 Unde de densitate

Rezonanµele parametrice extinse sunt una din temele recurente în dinamicagazelor cuantice. Dup investigaµiile iniµiale din Ref. [27] ³i dup predicµiateoretic ulterioar a undelor Faraday în condensate Bose-Einstein forµateparametric [77, 78] acestea au primit atenµie constant [40]. Observareaexperimental a undelor Faraday în condensate Bose-Einstein cu 87Rb înform de µigaret [21] ³i celule de 4He supuse la vibraµii verticale [1], pre-cum ³i modularea experimental a lungimii de împr ³tiere a unui condensatBose-Einstein cu 7Li [68] reprezint un stimul suplimentar care a catali-zat intens studiile în domeniu. O privire atent asupra literaturii recent pentru sisteme bosonice arat un num r mare de publicaµii pe teme di-verse precum corecµia neliniar la frecvenµele modurilor colective ale unuicondensat Bose-Einstein [86], formalismul path-integral pentru dinamicagazelor bosonice (vezi Ref. [6, 7] pentru o privire de ansamblu mai detali-at ), excitaµia parametric de cicatrice în condensate Bose-Einstein [37],îndep rtarea complet a excitaµiilor în condensate Bose-Einstein supusela potenµiale periodice dependente de timp [79] ³i formarea de striaµii Fa-raday în condensate Bose-Einstein de densitate joas , densitate înalt ³idipolare [57, 60, 51].Investigaµii asupra propriet µilor condensatelor Bose-Einstein înc rcate

în reµele optice [46] au relevat o gam larg de fenomene neliniare cum ar bucle în structura de band a condensatului, trenuri de solitoni ³i st ri deperioad dubl [90, 43]. Suprimarea de unde Faraday în condensate Bose-Einstein înc rcate în reµele optice puternice, în particular, a fost ar tat prin simulari numerice în Ref. [14] folosind în special un gaz omogen.Pe partea fermionic , propriet µile undelor Faraday au fost discutate înRef. [14, 81] ³i amplicarea de separare spin-sarcin în sisteme fermioniceunidimensionale prin intermediul rezonanµei parametrice a fost ar tat înRef. [29].În acest capitol vom studia apariµia undelor de densitate în condensate

Bose-Einstein forµate parametric. Motivaµi de rezultate experimentale re-

65

cente vom analiza dinamica unui condensat de densitate mare în form de µigaret connat într-o capcan magnetic a c rei component radial variaz periodic în intensitate. Ar t m în acest capitol formarea unde-lor Faraday longitudinale pentru aproape orice frecvenµ de forµaj a t rieicomponentei radiale a capcanei magnetice. Pentru situaµia particular aunei frecvenµe de forµaj egal cu frecvenµa componentei radiale a capcaneimagnetice ar t m în acest capitol c undele longitudinale excitate suntdiferite de undele Faraday având o perioad cu mult mai mic decât aacestora ³i o frecvenµ egal cu frecvenµa de forµaj.

În descrierea undelor de densitate vom utiliza o metod variaµional si-milar celor introduse în Capitolul 2 ce are la baz o funcµie q-Gaussian cu ajutorul c reia descriem componenta radial a funcµiei de und . Undapropriu zis de densitate este descris prin intermediul unei funcµii cosinu-soidale de tipul (1 + (u(t) + iv(t)) cos kz) altoit pe componenta radial afuncµiei de und . De asemenea, vom folosi c tre nalul capitolului ecuaµianepolinomial derivat în capitolul precedent pentru condensate de densi-tate înalt pentru a ar ta limitarea acestor ecuaµii care nu pot surprindeanalitic nici formarea undelor Faraday în condensate f ra omogenitate lon-gitudinal , nici formarea undelor rezonante prin intermediul transferuluide energie între modul radial ³i unda longitudinal .

5.1 Tratament variaµional

Punctul de pornire al prezentului tratament variaµional îl reprezint densi-tatea Lagrangianului unui condensat Bose-Einstein prins în capcan mag-netic

L(r, t) =i

2

(ψ(r, t)

∂ψ∗(r, t)

∂t− ψ∗(r, t)∂ψ(r, t)

∂t

)+

1

2|∇ψ(r, t)|2

+1

2|∇ψ(r, t)|2 + V (r, t) |ψ(r, t)|2 +

g(t)N

2|ψ(r, t)|4 (5.1)

în care vom folosi urm toarea funcµie de und de prob

66

ψ(r, z, t) =

[k (3− q)

2π2 (2 + u(t)2 + v(t)2)w(t)2

]1/2 [1− r2 (1− q)

2w2(t)

]1/1−q

(5.2)

× exp(ir2α(t)

)[1 + (u(t) + iv(t)) cos(kz)] .

Funcµia de und este compus din: i.) o component radial q-Gaussian care are ca parametrii variaµionali l µimea radial a condensatului w(t) ³ivariabila q care descrie curbura funcµiei de und , ii.) o und cosinuso-idal de densitate care are ca parametrii variaµionali partea real u(t) ³icea imaginar v(t) a amplitudinii, iii.) faza α(t) asociat l µimii radiale acondensatului ³i iv.) o funcµie introdus de condiµia de normare

ˆ −π/kπ/k

dz |ψ(r, z, t)|2 = 1. (5.3)

Componenta radial a funcµiei de und se poate integra relativ u³or folo-sind rutina Integrate din MATHEMATICA, iar dup efectuarea banaleiintegr ri longitudinale obµinem urm torul Lagrangian:

L(t) = −gkN(q − 3)2

(8 + 3u4(t) + 8v2(t) + 3v4(t) + 6u2(t)(4 + v2(t)

)16π2(q − 5) (2 + u2(t) + v2(t))2w2(t)

+mΩ2(t)w2(t)

4− 2q+

~m

(k2

2− 1

2 + u2 (t) + v2 (t)− q − 3

(1 + q)w2 (t)

−4w2 (t)α2 (t)

q − 2

)+

~ (−v(t)u(t) + u(t)v(t))

2 + u2(t) + v2(t)− ~w2(t)α(t)

q − 2. (5.4)

Ansatzul nostru (³i Lagrangianul asociat) acoper condensate Bose-Einsteinîn form de µigaret omogene longitudinal. Tratamente mai ne includ oanvelop longitudinal pentru a acoperi capcanele longitudinale slabe careexist în multe cazuri experimentale. În acest caz omitem îns anvelopalongitudinala (nit ) datorit rezonanµei false care apare între lungimeacondensatului ³i perioada undei de suprafaµ . Aplicând ecuaµiile Euler-Lagrange

d

dt

(∂L

∂y

)− ∂L

∂y= 0 (5.5)

67

cu y ∈ q, w, α, v, u obµinem urm toarele ecuaµii variaµionale

(7− q)(3− q)ρg2π(q − 5)2

− 4~2

m(1 + q)2+mΩ2(t)w4(t)

(q − 2)2= 0 (5.6)

pentru q ³i

α(t) =1

2~w(t)(q − 2)

[g (q − 3)2 ρ

2π(q − 5)w3(t)− mΩ2(t)w(t)

q − 2

+~2

m

(q − 3

(1 + q)w3 (t)− 4w (t)α2 (t)

q − 2

)](5.7)

w(t) =2~w(t)α(t)

m(5.8)

v(t) =g(q − 3)2ρu(t)

~π(q − 5)w2(t)− ~k2

2mu(t) (5.9)

u(t) =~k2

2mv(t) (5.10)

pentru w,α ,u ³i v, respectiv. Ecuaµiile (5.7)-(5.10) descriu dinamica p r-µii centrale ³i formarea undelor de densitate pentru un condensat arbitrarales, distribuµia densit µii radiale a p rµii centrale ind stabilit de q prinecuaµia (5.6). Natura algebric a ecuaµiei (5.6) care stabile³te distribuµiadensit µii radiale se datoreaz faptului c variabila q nu are o variabil ca-nonic conjugat , variabil pe care noi am omis-o intenµionat din motivede maleabilitate analitic . De fapt, cea mai mic modicare adus ansat-zului din ecuaµia (5.2) nu ne mai permite s calcul m analitic integraleletransversale, caz în care r manem cu metodele variaµionale directe careau aceea³i lips de transparenµ ca soluµiile numerice ale ecuaµiei Gross-Pitaevskii. O discuµie detaliat pe soluµiile ecuaµiei (5.6) este prezentat în Ref. [56]. Menµion m c pentru q = 1 ecuaµia (5.7) se reduce la

α(t) =gρ

4πw4(t)− Ω2(t)

2− 2α2(t) +

1

2w4(t)(5.11)

³i a fost folosit în Ref. [53] pentru a descrie formarea undelor rezonanteîn condensate de densitate joas , în timp ce pentru q = −1 ultimul termen

68

în ecuaµia (5.7) devine singular. Aceast singularitate corespunde diver-genµei energiei cinetice în apropierea suprafeµei condensatului discutat înSectiunea 1.3.2 ³i este specic aproximaµiei Thomas-Fermi. Distribuµiadensit µii radiale a p rµii centrale are un impact mic asupra form rii unde-lor de densitate longitudinale a³a cum putem vedea din dinamica lui v(t)pentru q = 1

v(t) = − gρu(t)

πw2(t)− k

2u(t) (5.12)

³i q = −1

v(t) = − 8gρu(t)

3πw2(t)− k2

2u(t) (5.13)

În afara rezonanµei radiale, adic ω 6= Ω , putem aproxima soluµia ecuatiilor(5.7) ³i (5.8) prin

w(t) ≈

[(6− 5q + q2

) (gmρ(3 + 2q − q2) + 2π~2 (5− q)

)2πm2Ω2 (5 + 4q − q2) (1 + ε sin tω)2

]1/4.(5.14)

Folosind aproximaµia precedent în ecuaµia care descrie dinamica luiv(t) putem rescrie u³or ecuaµiile (5.9) ³i (5.10) sub forma ecuaµiei Mathieugenerale

u(t) + u(t)(a(k, ω) + b(k, ω) sin 2τ) = 0 (5.15)

unde

a(k, ω) =k2~ω2m

(k2~2m

+

√2

π

mρgΩ (q − 3)3/2

~(q − 5)

×√

(q − 5)(1 + q)√(q − 2) (gmρ(q − 3)(1 + q) + 2π~2(q − 5))

)(5.16)

69

b(k, ω) =1

2m

√2

π

2mk2εgρΩ (q − 3)3/2

ω2~(q − 5)(5.17)

×

√(q − 5)(1 + q)

(q − 2) (gmρ(q − 3)(1 + q) + 2π~2(q − 5))(5.18)

³i ωt = 2τ .

Undele observate experimental corespund celor mai instabile soluµii aleecuaµiei (5.15). Vom ar ta mai jos c pentru valori pozitive mici ale luib(k, ω) aceste unde corespund lui a(k, ω) = 1 [44]. De asemenea, vom ar tamai jos c pentru valori mici ale lui b(k, ω) ecuaµia (5.15) are soluµii deforma sin(

√aτ) ³i cos(

√aτ), asa c cele mai instabile soluµii au o frecventa

proprie egala cu jum tate din frecvenµa de forµaj. Aceste unde au o istorielung care merge înapoi la frumoasele forme observate pe nisip, umplu-turi, sau alte granule plasate pe placi vibrante, ale lui Ernst Chladni,care sunt a³a de uimitoare c r mân în minµile celor care le-au v zut, laexperimentele lui Hans Christian Ørsted cu pulberi u³oare de lycopodium,³i unduirile lui Michael Faraday v zute în uide în contact cu suprafeµevribrante [24]. Deoarece Michael Faraday a dedicat mai multe studii for-m rii acestor unde/striaµii aducând contribuµii substanµiale în domeniu,aceste unde/striaµii îi poart acum numele. Exemplul tipic de formare aunei striaµii Faraday este urm torul: se ia un vas umplut cu un strat sub-µire de lichid care este apoi oscilat pe direcµie vertical . Pentru amplitudinisucient de mari o instabilitate de und de suprafaµ genereaz striaµii ceoscileaz la o frecvenµ egal cu jum tate din frecvenµa de forµaj.

Unda Faraday este cea mai instabil und de densitate în afara rezonan-µei, dar în vecin tatea lui ω = Ω aproximaµia pentru w(t) nu funcµioneaz ,ecuaµia (5.15) include contribuµia armonicilor superioare (de amplitudinifoarte mici) ³i apare o und de densitate diferit . Aceast und de densi-tate apare datorit transferului rezonant de energie [58] între partea cen-tral a condensatului ³i unda de densitate, ind necesar ca frecvenµa undeide densitate s e egal cu frecvenµa radial a capcanei magnetice, a³adara(k, ω) = 22.

Rezolvând analitic a(k, ω) = n2 g sim

70

k =(√

2g(3− q)3/2Ωρ√−H(q)(1 + q)(gρ(3− q)(q − 1) + 2π(q − 5))

−

(H(q)(gρ(q − 3)(1 + q) + 2π(q − 5))(2g2Ω2ρ2(q − 3)3(1 + q)

+gn2πρω2H(q)(q − 3)(1 + q) + 2n2π2ω2(q − 5)2(q − 2)1/2)1/2

×(π1/4H(q)(gρ(q − 3)(1 + q) + 2π(q − 5))

)−1 (5.19)

unde H(q) = (5− q)(2− q). Relaµii de dispersie similare au fost obµinuteîn Ref. [57, 60] pentru unde Faraday (adic , n = 1) prin perturbarea st riide baz a unui condensat Bose-Einstein în form de µigaret . Cea maiapropiat relaµie de dispersie de cea obµinut mai sus este aceea obµinut în Ref. [60], anume

k =1

3

√ω⊥m

~

2γ1/6

(21/3 − 9γ1/3

)+

√4γ1/3

(21/3 − 9γ1/3

)2+ 81

ω2

ω2⊥

, (5.20)

unde γ este densitatea liniar a condesatului, deoarece atât tratamentuldin acest capitol cât ³i acela din Ref. [60] folosesc o funcµie q-Gaussian pentru prolul radial de densitate. Aceste relaµii, totu³i, se bazeaz pe ofuncµie de und care nu este normat ³i care nu minimizeaz Lagrangianul,prin urmare rezultatele sunt puµin fortuite.

5.2 Ecuaµia Mathieu

În aceast secµiune vom prezenta pe larg propriet µile ecuaµiei Mathieufolosite în secµiunea precedent . Aceast ecuaµie este una din ecuaµiilefundamentale ale zicii matematice, ind numit dup Emile Leonard Ma-thieu. De³i ecuaµia pare simpl , nu are soluµie analitic exact , existândtotu³i rezultate asupra formei acestor soluµii ³i a stabilit µii lor. Cel maiimportant rezultat este teorema Floquet care indic perioada soluµiilorecuaµiei Mathieu. Dat ind importanµa ecuaµiei Mathieu în studiul un-delor de densitate am împ rµit prezenta secµiune în dou subsecµiuni: unadedicat teoremei Floquet ³i alta dedicat determin rii coecienµilor ca-racteristici.

71

5.2.1 Teorema Floquet

În forma cea mai elementar , teorema Floquet spune c soluµiile unui setde ecuaµii ordinare diferenµiale liniare cu coecienµi periodici au aceea³iperioad ca cea a coecienµilor. Mai riguros, teorema se cite³te dup cumurmeaz :

Teorema Floquet: dac φ (t) este o soluµie matriceal fun-damental a sistemului periodic de perioada T

x = A (t)x

atunci pentru toµi t ∈ R

φ (t+ T ) = φ (t)φ−1 (0)φ (T ) .

În plus, exist o matrice B (care poate complex ) astfelîncât

exp (TB) = φ−1 (0)φ (T )

³i o funcµie matriceal periodic de perioada T t 7→ P (t) (carepoate complex ) astfel încât φ (t) = P (t) exp (tB) pentrutoµi t ∈ R. De asemenea, exist o matrice real R ³i o funcµiematriceal periodic de perioada 2T real t 7→ Q (t) astfel încâtφ (t) = Q (t) exp (tR) pentru toµi t ∈ R.

În zica materiei condensate acest rezultat este bine cunoscut din studiulsoluµiilor periodice ale ecuaµiilor Schrödinger liniare cu potenµiale perio-dice, a³a numitele st ri Bloch, care pot descompuse într-o und plan ³i o funcµie periodic care are aceea³i perioad ca potenµialul. Rezultatuleste de asemenea bine cunoscut în teoria cinematic a reacµiilor chimice.În cazul ecuaµiei Mathieu, teoria Floquet ne informeaz c soluµia gene-

ral este de forma

x (t) = exp (iµt) g (t)

72

unde g (t) are aceea³i perioad ca sin (2t) ³i µ este în general complex. So-luµiile stabile corespund la Im [µ] ≥ 0, în timp ce cele instabile corespund laIm [µ] < 0. În gura 5.1 am descris structura de band a ecuaµiei Mathieu,indicând atât regiunea stabil cât ³i cea instabil . Pentru a m sura gradulde instabilitate al regiunii instabile am prezentat in gura 5.1 mai multelinii de contur ale Im[µ].

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

b

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

b

a

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.03.0

3.5

4.0

4.5

5.0

b

a

0 1 2 3 4 5

0

-5x10-3

-10-2

-1.5x10-2

-2x10-2

-2.5x10-2

a

Im@ΜD

3.99 4 4.01

0

-1.5x10-4

a

Im@ΜD

Figura 5.1: Coecientul caracteristic al ecuaµiei Mathieu obµinut numeric cu MATHE-MATICA folosind funcµia MathieuCharacteristicExponent. În gracul dinstânga sus vedem partea imaginar a coecientului caracteristic pentru oplaja larg a parametrilor, în timp ce gracul din dreapta sus ³i cel dinstânga jos arat partea imaginar a coecientului caracteristic pentru celemai instabile dou zone (care corespund lui a = 12 si a = 22). Graculdin dreapta jos arat dependenµa de a a p rµii imaginare a coecientuluicaracteristic, ind evident c lobul instabil centrat în jurul lui a = 12 estemult mai instabil decât cel centrat in jurul lui a = 22.

Pentru determinarea analitic a celei mai instabile soluµii a ecuaµiei Ma-thieu este necesar o formul analitic pentru µ (a, b), îns aceste formulenu exist , din p cate în general. Pentru valori mici ale lui b exist îns dou clase distincte de formule. Prima clas , datorat lui J. C. Adams ³i

73

G. W. Hill [33], conµine formule explicite pentru µ (a, b), în timp ce a douaclas , datorat în mare parte lui E. T. Whittaker ³i Ince [87, 88, 34, 35],conµine formule implicite pentru µ (a, b).

5.2.2 Coecienµi caracteristici

Referinµa clasic pentru ecuaµia Mathieu este Exposé de l'ensemble desthéories relatives au mouvement de la lune a lui Tisserand[82] care începedup cum urmeaz :Sa studiem ecuaµia

d2x

dt2+ x

(q2 + 2q1 cos 2t

)= 0.

Aceast ecuaµie este un caz foarte particular al ecuaµiilor diferenµialeliniare cu coecienµi periodici care sunt consideraµi la modul general de M.E. Picard ³i M. Floquet. Pentru a stabili aceste propriet µi într-un modsimplu, adopt m prezentarea simpl a lui M. Callandreau.Tisserand urmeaz metoda invocat de Hill ³i obµine clasica formul de

ordin 4:

µ =1

π

[1− q41π

2

32q2 (1− q2)2+O

(q61)]

cos qπ

+

[− q21π

4q (1− q2)+

15q4 − 35q2 + 8

64q3 (1− q2)3 (4− q2)q41π +O

(q61)]

sin qπ

.

Pentru a obtine formula precedent descompunem pe x(t) într-o serie deunde plane modulate de factorul exponential indicat de teorema Floque,adic

x (t) = exp (iµt)∑

fn exp (i2nt) . (5.21)

Introducând x (t) în ecuaµia (5.15) ³i egalând coecienµii puterilor luiexp (i2t) obµinem

−fn (µ+ 2n)2 + afn +b

2i(fn−1 − fn+1) = 0. (5.22)

74

Aceste ecuaµii determin coecientii fn considerând ca µ este cunoscut.Condiµia pentru soluµia netrivial a lui a este c 4 (µ), determinantulmatricei de coecienµi, s e egal cu 0, adic

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

... ... ... ... ... ...

... −p2 + a − b2i 0 0 ...

... b2i −

(p+ 22

)+ a − b

2i 0 ...

... 0 b2i − (p+ 4)2 + a − b

2i ...

... 0 0 b2i − (p+ 6)2 + a ...

... ... ... ... ... ...

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

(5.23)unde p = µ + 2n. Vedem acum c principalele dicult µi tehnice în cal-cularea exponentului critic constau în evaluarea acestui determinant in-nit. Calculul analitic al acestui determinant reprezint în continuare oproblem provocatoare, aproximaµiile curente trunchiind determinatul laprimele zece, dou zeci de linii ³i coloane centrale. În cazul particular b 1se poate arat c neglijând termenii de ordinul lui b4 obµinem

µ =1

πarccos

[cos(π√a)

+πb2 sin (π

√a)

16√a (a− 1)

+O(b4)], (5.24)

în timp ce o evaluare a termenilor neglijaµi anterior reproduce rezultatulprezentat de Tisserand.G sirea celei mai instabile soluµii este echivalent cu determinarea ma-

ximului expresiei

cos(π√a)

+πb2 sin (π

√a)

16√a (a− 1)

. (5.25)

Pentru valori mici ale lui b, expresia precedent ajunge la extrem pentrua = 1, prin urmare

µ2 ≈−√b2 − 4 (a− 1)2

4(5.26)

75

unde µ = µ1+iµ2. În cele din urm , se observ c domeniul de instabilitateeste dat de

Ia =

[1− b

2, 1 +

b

2

](5.27)

³i c dimensiunea acestuia cre³te cu b.

5.3 Rezultate numerice

Rezolvând numeric ecuaµiile (5.7)-(5.10) folosind o metoda Runge-Kuttaobµinem dinamica centrului condensatului ³i cea a undei de densitate. Ana-lizând

A(t) = n(0, t)− n(πk, t)

(5.28)

=4ku(t)

π (2 + u2(t) + v2(t))(5.29)

unde

n(z, t) =

ˆ √2w(t)√1−q

0dr2πr |ψ|2 (5.30)

vedem c u(t) este un bun indicator pentru formarea undelor de densitate.Prin urmare, pentru a analiza apariµia undei Faraday ³i a celei rezonantereprezent m grac în gurile 5.2-5.5 u(t) pentru dou unde, chiar la sauîn vecin tatea rezonanµei radiale folosind o conguraµie experimental re-al cu N = 5 · 105 atomi de 87Rb, L = 180µm, Ω = 160.5(2π) Hz ³iε = 0.1 . Aceste valori corespund celor folosite în Ref. [21], cu diferenµac noi am considerat pentru simplitate un condensat cu omogenitate lon-gitudinal ³i am calculat întinderea condensatului folosind o aproximatieThomas-Fermi. Distribuµia radial a fost determinat din soluµia nume-ric a ecuaµiei (5.6) ce duce la o valoare de echilibru q = 0.0822 care indic aarea condensatului în regimul de densitate înalt [56].

76

0 40 80 120 160-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

t @msD

uHtL

146 *2*Π Hz

0 40 80 120 160-0.3-0.2-0.1

0.00.10.20.3

t @msD

uHtL

174 *2*Π Hz

Figura 5.2: Dinamica lui u(t) pentru unda Faraday ³i unda rezonant în cazul experi-mental N = 5 · 105 atomi de 87Rb, L = 180µm, Ω = 160.5(2π) Hz ³i ε = 0.1pentru ω = 146(2π) Hz ³i ω = 174(2π) Hz respectiv. De reµinut în ambeleguri c unda Faraday apare considerabil mai repede decât unda rezonant ³i prezint o explozie exponential brusc .

Mesajul principal transmis de gurile precedente este c pentru frec-venµe de modulaµie diferite de frecvenµa capcanei radiale, undele Faradayapar mai repede decât cele rezonante, în timp ce chiar la rezonanµ undarezonant cre³te exponenµial ³i ascunde unda Faraday. Într-o vecin tatea rezonanµei cele dou sunt la fel de instabile. Calculând sF /sR = kR/kFfolosind ecuµia (5.19), anume raportul dintre perioada undei Faraday ³i ceaa undei rezonante, se vede c pentru toate frecvenµele de interes perioadaundei Faraday este de aproximativ de dou ori cea a undei rezonante. Pen-tru a observa mai bine formarea celor dou unde de densitate prezent mîn gurile urm toare evoluµia în timp a prolului de densitate al conden-satului pentru ecare din cele dou unde. Astfel, în coloana din stângareprezent m unda Faraday, în timp ce în coloana din dreapta reprezent munda rezonant pentru ω = 146(2π) Hz (gura 5.6), ω = 152(2π) Hz (-gura 5.7) ³i ω = 160(2π) Hz (gura 5.8). Menµion m c rezultatele de maijos au fost obµinute pentru un condensat cu omogenitate longitudinal (deci f r o dimensiune longitudinal specic ), opµiunea de a prezentaprolul condensatului pentru zece maxime ale undei Faraday ind f cut doar pentru a spori claritatea gurii.S subliniem ca modelul nostru nu descrie interacµiunea real dintre cele

dou unde ci doar surprinde formarea de unde de densitate individuale.De fapt, datele experimentale împr ³tiate raportate în Ref. [21] pentruperioada observat a undei de densitate înainte ³i dup rezonanµ arat coexistenµa celor dou unde, în timp ce modelul nostru arat doar c cele

77

0 40 80 120 160-4´106-2´106

02´1064´1066´106

t @msD

uHtL

160 *2*Π Hz

Figura 5.3: Dinamica lui u(t) pentru unda Faraday ³i unda rezonant pentru ω =160(2π) Hz. Acelea³i set ri experimentale ca mai sus. De reµinut c undarezonant apare exponenµial mai repede ³i ascunde complet unda Faraday.Acest comportament este tipic forµajului rezonant ³i este datorat unui trans-fer rezonant de energie între modul colectiv al p rµii centrale ³i unda desuprafaµ emergent .

dou unde au instabilit µi asem n toare în timp. Un model mai precisar trebui s includ dou unde de densitate de perioade arbitrare, darun astfel de model duce la o ecuaµie de tipul Whittaker-Hill pentru careexponenµii Floquet (³i apoi soluµiile instabile) nu sunt cunoscuµi analitic.Modelul variaµional actual reprezint un compromis între tractabilitateaanalitic a unei componente a undei de densitate ³i descrierea exact adinamicii centrului condensatului.Prezent m în cele din urm în gura 5.9 dependenµa perioadei undei de

densitate de frecvenµa de fortaj, incluzând în gura 5.9 atât rezultateleobµinute din relaµiile de dispersie ale ecuaµiilor nepolinomiale din Refs.[57, 60] cât ³i relaµia de dispersie din ecuaµia (5.19). Observ m c toaterelaµiile de dispersie obµinute reproduc cu acurateµe relativ bun perioadaundei Faraday îns numai tratamentul variaµional introdus în Ref. [69] ³iprezentat pe larg la începutul acestui capitol reproduce cu acurateµe undarezonant .

78

0 40 80 120 160-1.5-1.0-0.5

0.00.51.01.5

t @msD

uHtL

156 *2*Π Hz

0 40 80 120 160-20

-10

0

10

20

t @msD

uHtL

164 *2*Π Hz

Figura 5.4: Dinamica lui u(t) pentru unda Faraday ³i rezonant la ω = 156(2π) Hz ³iω = 164(2π) Hz respectiv. Acelea³i set ri experimentale ca în Fig. 5.2. Dereµinut în ambele guri c unda Faraday ³i rezonant au instabilitate com-parabil în timp, chiar dac unda rezonant apare ceva mai repede. Celedou guri aparµin datelor experimentale împr ³tiate pentru perioada ob-servat a undei de suprafaµ înainte ³i dup rezonanµ care au fost raportateîn Ref. [21]

0 40 80 120 160-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

t @msD

uHtL

152 *2*Π Hz

0 40 80 120 160-0.3-0.2-0.1

0.00.10.20.3

t @msD

uHtL

168 *2*Π Hz

Figura 5.5: Dinamica lui u(t) pentru unda Faraday ³i unda rezonant la ω = 152(2π)Hz ³i ω = 168(2π) Hz respectiv. Acelea³i set ri experimentale ca în Fig.5.2. De reµinut în ambele guri c unda Faraday ³i unda rezonant auinstabilitate asem n toare în timp ³i niciuna dintre unde nu are o explozieexponenµial .

79

Figura 5.6: Prolul de densitate al unui condensat cu omogenitate longitudinal prinsîntr-o capcan magnetic radial de frecvenµ Ω = 160.5(2π) Hz care descriecu acurateµe conguraµia experimental folosit de Engel et al.[21]. Com-ponenta radial a capcanei magnetice este modulat folosind un forµaj deforma Ω(t) = Ω(1+ε sinωt), unde ε = 0.1 si ω = 146(2π) Hz. Pe coloana dinstânga ar t m evoluµia undei Faraday la t = 20ms (gura de sus), t = 80ms (gura din mijloc) ³i t = 250 ms (gura de jos), în timp ce pe coloanadin dreapta ar t m evoluµia undei rezonante la acelea³i momente de timp.

80

Figura 5.7: Prolul de densitate al unui condensat identic cu cel considerat în gura 5.6pentru o frecvenµ de forµaj ω = 152(2π) Hz. Pe coloana din stânga ar t mevoluµia undei Faraday la t = 20ms (gura de sus), t = 80 ms (gura dinmijloc) ³i t = 250 ms (gura de jos), în timp ce pe coloana din dreaptaar t m evoluµia undei rezonante la acelea³i momente de timp.

81

Figura 5.8: Prolul de densitate al unui condensat identic cu cel considerat în gura 5.6pentru o frecvenµ de forµaj ω = 160(2π) Hz. Pe coloana din stânga ar t mevoluµia undei Faraday la t = 20ms (gura de sus), t = 80 ms (gura dinmijloc) ³i t = 250 ms (gura de jos), în timp ce pe coloana din dreaptaar t m evoluµia undei rezonante la acelea³i momente de timp.

82

Figura 5.9: Perioada undei de densitate funcµie de frecvenµa de fortaj. Punctele ex-perimentale ³i curbele teoretice ce urmeaz trendul descendent corespundundei Faraday în timp ce punctele izolate în jurul frecveµei 160.5(2π) Hzcorespund undei rezonante. Relaµiile de dispersie obµinute în Refs. [57, 60]reproduc la nivel calitativ datele experimentale aferente undei Faraday (a sevedea curbele de culoare negr , ro³ie, verde ³i albastr ), îns numai modelulvariaµional prezentat în acest capitol reproduce ³i unda rezonant (a se vedepuntul negru).

83

Bibliograe

[1] H. Abe, T. Ueda, M. Morikawa, Y. Saitoh, R. Nomura ³i Y. Okuda, Phys.Rev. E, 76, 046305 (2007).

[2] S.K. Adhikari, Phys. Rev. E, 62, 2937 (2000).

[3] S.K. Adhikari, Phys. Lett. A, 265, 91 (2000).

[4] S.K. Adhikari ³i P. Muruganandam, J. Phys. B: At. Mol. Opt., 35, 2831(2002).

[5] S.K. Adhikari ³i P. Muruganandam, J. Phys. B: At. Mol. Opt., 36, 2501(2003).

[6] A. Balaº, I. Vidanovi¢, A. Bogojevi¢, A Beli¢ ³i A. Pelster, J. Stat. Mech.P03004 (2011)

[7] A. Balaº, I. Vidanovi¢, A. Bogojevi¢, A. Beli¢ ³i A. Pelster, J. Stat. Mech.P03005 (2011)

[8] A. Balaz si A.I. Nicolin, Phys. Rev. A, 85, 023613 (2012)

[9] S. N. Bose, Z. Phys., 26, 178 (1924).

[10] R. M. Bradley, J. E. Bernard ³i L. D. Carr, Phys. Rev. A, 77, 033622(2008).

[11] J.C. Bronski, L. D. Carr, B. Deconinck ³i J.N. Kutz, Phys. Rev. Lett.,86, 1402 (2001).

[12] J.C. Bronski, L. D. Carr, B. Deconinck, J.N. Kutz ³i K. Promislow, Phys.Rev. E, 63, 036612 (2001)

[13] J.C. Bronski, L. D. Carr, R. Carretero-González, B. Deconinck, J.N. Kutz³i K. Promislow, Phys. Rev. E, 64, 056615 (2001)

[14] P. Capuzzi, M. Gattobigio ³i P. Vignolo, Phys. Rev. A, 83, 013603 (2011).

[15] P. Capuzzi ³i P. Vignolo, Phys. Rev. A, 78, 043613 (2008).

[16] R. Carretero-González, D.J. Frantzeskakis ³i P.G. Kevrekidis, Nonlinea-rity, 21, R139 (2008).

[17] S. Chu, Rev. Mod. Phys., 70, 685 (1998).

[18] C. N. Cohen-Tannoudji, Rev. Mod. Phys., 70, 707 (1998,).

[19] F. Dalfovo, C. Minniti ³i S. Stringari, Phys. Lett. A, 227, 259 (1996).

[20] D. Diakonov, L.M. Jensen, C.J. Pethick ³i H. Smith, Phys. Rev. A, 66,013604 (2002).

85

[21] P. Engels, C. Atherton ³i M.A. Hoefer, Phys. Rev. Lett., 98, 095301(2007).

[22] E. Erdemir ³i B. Tanatar, Physica A, 322, 449 (2003).

[23] K.S. Fa, R.S. Mendes, P.R.B. Pedreira ³i E.K. Lenzi, Physica A, 295, 242(2001).

[24] M. Faraday, Philos. Trans. R. Soc. London, 121, 299 (1831).

[25] A.L. Fetter, J. Low. Temp. Phys., 106, 643 (1997).

[26] D.J. Frantzeskakis, J. Phys. A: Math. Theor., 43, 213001 (2010).

[27] J.J. García-Ripoll, V.M. Pérez-García ³i P. Torres, Phys. Rev. Lett., 83,1715 (1999).

[28] N. Gemelke, E. Sarajlic, Y. Bidel, S. Hong ³i S. Chu, Phys. Rev. Lett.,95, 170404 (2005).

[29] C.D. Graf, G. Weick ³i E. Mariani, EPL, 89, 40005 (2010).

[30] M. Greiner, C. A. Regal ³i D. S. Jin, Nature, 426, 537 (2003).

[31] E. P. Gross, Nuovo Cim., 20, 454 (1961).

[32] A. Gubeskys, B.A. Malomed ³i I.M. Merhasin, Stud. Appl. Math., 115,255 (2005).

[33] G. W. Hill, Acta. Math., 8, 1 (1886).

[34] E. L. Ince, Mon. Not. R. Astr. Soc., LXXVI, 431 (1916).

[35] E. L. Ince, Ordinary dierential equations, Dover Publications, New York(1944).

[36] Y.V. Kartashov, B.A. Malomed ³i L. Torner, Rev. Mod. Phys., 83, 247(2011).

[37] N. Katz ³i O. Agam, New J. Phys., 12, 073020 (2010).

[38] M. Keceli, F. O. Ilday ³i M. O. Oktel, Phys. Rev. A, 75, 035601(2007).

[39] W. Ketterle, Rev. Mod. Phys., 74, 1131 (2002).

[40] M. Kramer, C. Tozzo ³i F. Dalfovo, Phys. Rev. A, 71, 061602(R) (2005).

[41] E. Lundh, C.J. Pethick ³i H. Smith, Phys. Rev. A, 55, 2126 (1997).

[42] M. Machholm, C.J. Pethick ³i H. Smith, 67, 053613 (2003).

[43] M. Machholm, A. Nicolin, C.J. Pethick ³i H. Smith, 69, 043604 (2004).

[44] N.W. McLachlan, Theory and Application of Mathieu Functions, OxfordUniversity Press, New York (1951).

[45] M. Modugno, C. Tozzo ³i F. Dalfovo, Phys. Rev. A, 74, 061601(R) (2006).

[46] O. Morsch ³i M. Oberthaler, Rev. Mod. Phys., 78, 179 (2006).

[47] A. Muñoz Mateo ³i V. Delgado, Phys. Rev. A, 75, 063610 (2007).

[48] A. Muñoz Mateo ³i V. Delgado, Phys. Rev. A, 77, 013607 (2008).

86

[49] A. Muñoz Mateo ³i V. Delgado, Ann. Phys., 324, 709 (2009).

[50] P. Muruganandam ³i S.K. Adhikari, Comp. Phys. Comm., 180, 1888(2009).

[51] R. Nath ³i L. Santos, Phys. Rev. A, 81, 033626 (2010).

[52] A.I. Nicolin, Rom. Rep. Phys., 61, 641 (2009).

[53] A.I. Nicolin, Phys. Rev. E, 84, 056202 (2011).

[54] A.I. Nicolin, Rom. Rep. Phys., 63, 1329 (2011).

[55] A.I. Nicolin, Rom. Rep. Phys., 63, 187 (2011).

[56] A.I. Nicolin ³i R. Carretero-González, Physica A, 387, 6032 (2008).

[57] A.I. Nicolin, R. Carretero-González ³i P.G. Kevrekidis, Phys. Rev. A, 76,063609 (2007).

[58] A.I. Nicolin, M.H. Jensen ³i R. Carretero-González, Phys. Rev. E, 75,036208 (2007).

[59] A.I. Nicolin, M.H. Jensen, J.W. Thomsen ³i R. Carretero-González, Phy-sica D, 237, 2476 (2008).

[60] A.I. Nicolin ³i M.C. Raportaru, Physica A, 389, 4663 (2010).

[61] A.I. Nicolin ³i M.C. Raportaru, Proc. Romanian Acad. A, 12, 209 (2011).

[62] S. Peil, J. V. Porto, B. Laburthe, J. M. Obrecht, B. E. King, M. Subbotin,S. L. Rolston ³i W. D. Phillips, Phys. Rev. A, 67, 051603(R) (2003).

[63] V.M. Pérez-García, H. Michinel, J.I. Cirac, M. Lewenstein ³i P. Zoller,Phys. Rev. Lett., 77, 5320 (1996).

[64] V.M. Pérez-García, H. Michinel, J.I. Cirac, M. Lewenstein ³i P. Zoller,Phys. Rev. A, 56, 1424 (1997).

[65] C.J. Pethick, H.S. Smith, BoseEinstein Condensation in Dilute Gases,Cambridge University Press, Cambridge, (2008).

[66] W. D. Phillips, Rev. Mod. Phys. 70, 721 (1998).

[67] L. P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 40, 646 (1961).

[68] S.E. Pollack, D. Dries, R.G. Hulet, K.M.F. Magalhaes, E.A.L. Henn,E.R.F. Ramos, M.A. Caracanhas ³i V.S. Bagnato, Phys. Rev. A, 81,053627 (2010).

[69] M.C. Raportaru, Rom. Rep. in Phys., 64, 105(2012).

[70] Z. Rapti, P.G. Kevrekidis, A. Smerzi ³i A. R. Bishop, Phys. Rev. E, 69,017601(2004).

[71] A. -M. Rey, P. B. Blakie ³i C. W. Clark, Phys. Rev. A, 67, 053610 (2003).

[72] L. Salasnich, A. Parola ³i L. Reatto, Phys. Rev. A, 65, 043614 (2002).

[73] L. Salasnich, Laser Phys., 12, 198 (2002).

[74] L. Salasnich, J. Phys. A: Math. Theor., 42, 335205 (2009)

87

[75] A. Smerzi ³i A. Trombettoni, Chaos, 13, 766 (2003)

[76] A. Smerzi ³i A. Trombettoni, Phys. Rev. A, 68, 023613 (2003).

[77] K. Staliunas, S. Longhi ³i G.J. de Valcárcel, Phys. Rev. Lett., 89, 210406(2002)

[78] K. Staliunas, S. Longhi ³i G.J. de Valcárcel, Phys. Rev. A, 70, 011601(R)(2004).

[79] K. Staliunas, Phys. Rev. A, 84, 013626 (2011).

[80] C. Sulem ³i P.-L. Sulem, The nonlinear Schrödinger equation, Springer,New York (1999).

[81] R.A. Tang, H.C. Li ³i J.K. Xue, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 44,115303 (2011).

[82] F. F. Tisserand, Traité de mécanique céleste (Tome III, Exposé del'ensemble des théories relatives au mouvement de la lune), Guathier-Villars, Paris (1894).

[83] C. Tozzo, M. Kramer ³i F. Dalfovo, Phys. Rev. A, 72, 023613 (2005).

[84] T. Tsuzuki, J. Low Temp. Phys., 4, 441(1971).

[85] T. Ueda, H. Abe, Y. Saitoh, R. Nomura ³i Y. Okuda, J. Low Temp. Phys.,148, 553 (2007).

[86] I. Vidanovi¢, A. Balaº, H. Al-Jibbouri ³i A. Pelster, Phys. Rev. A, 84,013618 (2011).

[87] E. T. Whittaker, Proc. Edinb. Math. Soc. XXXII, 75 (1914).

[88] E. T.Whittaker ³i G. N. Watson, A course of modern analysis, CambridgeUniversity Press, Cambridge (1952,).

[89] S. Wolfram, The Mathematica book, Wolfram Media, Cambridge (2003).

[90] B. Wu ³i Q. Niu, Phys. Rev. A, 61, 023402 (2000).

[91] B. Wu, R.B. Diener ³i Q. Niu, Phys. Rev. A, 65, 025601 (2002).

88