Gheorghe ENE Cristian PAVEL

INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII

VIBRAŢIILOR ŞI A ZGOMOTULUI

MATRIX ROM BUCUREŞTI

Gheorghe ENE Cristian PAVEL

INTRODUCERE ÎN TEHNICA IZOLĂRII

VIBRAŢIILOR ŞI A ZGOMOTULUI

MATRIX ROM

BUCUREŞTI 2012

© MATRIX ROM C.P. 16-162

062510 - BUCUREŞTI tel. 021.411.36.17, fax 021.411.42.80

e-mail: office@matrixrom.ro www.matrixrom.ro

Editura MATRIX ROM este acreditată de

CONSILIUL NAŢIONAL AL CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR

Referenţi ştiinţifici: prof.univ.dr.ing. Cornel MARIN conf.univ.dr.ing. Amelitta LEGENDI

Tehnoredactare computerizată: prof.univ.dr.ing. Gheorghe ENE ing. Marina DOGARU

ISBN

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României ENE, Gheorghe Introducere în tehnica izolării vibraţiilor şi a zgomotului./

Gheorghe Ene, Cristian Pavel Bucureşti, Matrix Rom, 2012 Bibliogr. ISBN II. PAVEL, Cristian

3

PREFAŢĂ

În urma reorganizării recente a învăţământului superior tehnic românesc, majoritatea facultăţilor a optat pentru reducerea numărului de ore alocate studiului disciplinei de vibraţii mecanice. Unele facultăţi au adoptat soluţia mutării acestei discipline în cadrul studiilor de masterat, altele au considerat că noţiunile respective pot fi predate în cadrul disciplinelor de specialitate. Sub o formă sau alta, problematica dinamicii structurilor mecanice elastice nu poate să lipsească din programa de pregătire a inginerului mecanic de la orice specializare. Apreciind că domeniul combaterii vibraţiilor şi zgomotului nu este suficient acoperit cu lucrări de specialitate, autorii acestui volum s-au axat pe cele mai uzitate măsuri folosite în vederea diminuării efectelor negative ale vibraţiilor şi zgomotelor produse de maşini în timpul funcţionării acestora. Lucrarea de faţă se recomandă singură prin subiectul propus, autorii străduindu-se să sistematizeze şi să sintetizeze – printr-o modalitate cât mai directă şi clară – informaţiile referitoare la domeniul izolării vibraţiilor şi a zgomotelor. În cazul în care maşinile şi echipamentele cu care acestea sunt înzestrate nu sunt proiectate, realizate, montate şi reglate în mod corespunzător funcţionarea lor poate fi însoţită de o serie de efecte nedorite: transmiterea de solicitări dinamice către fundaţie sau către elementele de construcţii învecinate, producerea de zgomot cu nivel ridicat, realizarea unor performanţe scăzute sau, uneori, chiar îndeplinirea necorespunzătoare a rolului lor funcţional. Prin urmare, proiectarea, realizarea, montarea şi reglarea echipamentelor cu acţiune vibrantă trebuie realizate de specialişti cu pregătire adecvată. În elaborarea monografiei s-a considerat utilă inserarea cât mai multor exemple concrete de calcul privind dimensionarea, proiectarea şi utilizarea cât mai eficientă a dispozitivelor pentru diminuarea efectelor nocive ale vibraţiilor şi zgomotelor. Lucrarea este utilă atât studenţilor şi masteranzilor de la facultăţile tehnice de profil cât şi inginerilor care lucrează în domeniul proiectării şi exploatării maşinilor pentru industrii de proces.

13 noiembrie 2012 Autorii

4

CUPRINS

Partea I. IZOLAREA ANTIVIBRATORIE A MAŞINILOR 7 1. PROBLEME GENERALE PRIVIND FUNDAŢIILE DE MAŞINI ŞI

IZOLAREA ANTIVIBRATORIE A MAŞINILOR 7

1.1. Protecţia împotriva vibraţiilor 7 1.2. Cerinţe privind construcţia şi amplasarea fundaţiilor de maşini 8 1.3. Cauzele vibraţiilor maşinilor 8 1.4. Turaţia critică a rotorilor 9 1.5. Izolarea antivibratorie a maşinilor 13 1.6. Modele dinamice pentru calculul fundaţiilor 16

2. ELEMENTE SPECIFICE DIN TEORIA VIBRAŢIILOR MECANICE 19 2.1. Vibraţiile sistemelor cu un grad de libertate 20 2.1.1. Parametrii vibraţiilor forţate 20 2.1.2. Efectul amortizării 24 2.1.3. Capacitatea elastică a izolatorilor de vibraţii 27 2.1.4. Compunerea constantelor elastice 29 2.1.5. Transmisibilitatea vibraţiilor 29 2.2. Vibraţiile sistemelor oscilante cu două grade de libertate 36 2.3. Calculul izolării vibraţiilor 40 2.4. Efectele nocive ale vibraţiilor 45

3. ELEMENTE UTILIZATE PENTRU IZOLAREA VIBRAŢIILOR 53

3.1. Arcuri din oţel 55 3.1.1. Noţiuni generale 55 3.1.2. Caracteristici ale arcurilor elicoidale cilindrice 57 3.1.3. Construcţia izolatorilor de vibraţii cu arcuri de oţel 68 3.2. Izolatori din cauciuc şi elastomeri 77 3.2.1. Noţiuni generale 77 3.2.2. Forme constructive de izolatori din cauciuc 78

3.2.3. Calculul elementelor izolatoare de vibraţii confecţionate din cauciuc 87

3.3. Amortizoare electrovâscoase utilizate în aplicaţiile rotorilor 129

5

4. RECOMANDĂRI PRIVIND PROIECTAREA ŞI CONSTRUCŢIA FUNDAŢIILOR DE MAŞINI ŞI A IZOLĂRII VIBRAŢIILOR 135

4.1. Principii generale pentru proiectarea fundaţiilor de maşini 135

4.2. Materiale utilizate pentru realizarea elementelor componente ale fundaţiilor de maşini 136

4.3. Recomandări privind calculul dinamic al fundaţiilor de maşini 137 4.4. Recomandări privind izolarea vibraţiilor 140 4.5. Recomandări privind adoptarea schemei de rezemare elastică 145 4.6. Recomandări privind realizarea practică a fundaţiilor de maşini 148 4.7. Dispozitive de ancorare 154 4.8. Reazeme reglabile 155 4.9. Amortizorul (absorbitorul) dinamic 156 4.9.1. O metodă de proiectare a absorbitorilor

dinamici de vibraţii 162 BIBLIOGRAFIE I 167

Partea a II-a. COMBATEREA ZGOMOTULUI 169 5. NOŢIUNI ŞI FENOMENE SPECIFICE ACUSTICII 169

5.1. Unde acustice (sonore) 169 5.2. Viteza sunetului 170 5.3. Lungimea de undă 171 5.4. Presiunea şi intensitatea acustică 172 5.5. Caracteristicile unei surse sonore 173 5.6. Nivelul acustic 174 5.7. Propagarea undelor sonore în aer liber. Viteza sunetului în aer 176 5.8. Atenuarea sunetului în aer 176 5.9. Influenţa vântului şi a temperaturii asupra propagării sunetului 180 5.10. Propagarea undelor acustice în corpurile solide 181

6. SURSE DE ZGOMOT 185

6.1. Acţiunea dăunătoare a zgomotului asupra organismului uman 187 6.1.1. Domeniul de audibilitate 187 6.1.2. Nivelul de tărie 188 6.2. Efectele nocive ale zgomotului asupra omului 189 6.2.1. Acţiunile dăunătoare ale zgomotului 190 6.2.2. Norme privind nivelul admisibil de zgomot 194

6

7. METODE PENTRU COMBATEREA ZGOMOTULUI 197 7.1. Reducerea zgomotului prin măsuri de protecţie activă 197 7.2. Reducerea zgomotului prin măsuri de protecţie pasivă 198 7.3. Absorbţia undelor sonore 201 7.4. Reflexia undelor sonore 202 7.5. Insonorizarea încăperilor zgomotoase 203 7.6. Criterii privind absorbţia zgomotelor 204 7.6.1. Absorbţia poroasă 204

7.6.2. Absorbţia rezonantă 210 7.6.3. Reducerea nivelului zgomotelor cu ajutorul carcaselor

şi atenuatoarelor 218 8. COMBATEREA ZGOMOTULUI INDUSTRIAL 233 8.1. Reducerea nivelului de zgomot produs de lagăre 233 8.2. Reducerea nivelului de zgomot produs de angrenaje 237 8.3. Reducerea nivelului de zgomot produs de suflante şi turbosuflante 241 8.4. Reducerea zgomotului produs de maşinile electrice 244 8.5. Reducerea nivelului de zgomot produs de diferite procese tehnologice 248 8.6. Reducerea nivelului de zgomot prin insonorizarea locurilor de muncă 250 BIBLIOGRAFIE II 255

7

Partea I. IZOLAREA ANTVIBRATORIE A MAŞINILOR

1. PROBLEME GENERALE PRIVIND FUNDAŢIILE DE MAŞINI ŞI IZOLAREA ANTVIBRATORIE A MAŞINILOR

1.1. Protecţia împotriva vibraţiilor

Vibraţiile produse de o maşină în timpul funcţionării se transmit sub formă de unde elastice, prin intermediul legăturilor dintre aceasta şi clădirea în care se găseşte, spre maşinile învecinate şi spre diferitele elemente ale construcţiei. Pentru a reduce transmiterea vibraţiilor, legăturile dintre maşină şi elementele cu care aceasta vine în contact trebuie să fie cât mai puţin rigide. Evitarea cuplajului rigid se referă atât la legătura dintre maşină şi fundaţie, cât şi la legătura dintre maşină şi alte elemente ale ansamblului din care aceasta face parte (arbori, canale, conducte etc.).

Propagarea prin sol a vibraţiilor produse de maşină este mult diminuată dacă:

- fundaţia maşinii este separată de fundaţia clădirii;

- fundaţia se izolează faţă de sol (izolaţia se realizează fie prin introducerea, în spaţiul dintre fundaţie şi sol, a unui strat din materiale cu proprietăţi de amortizare – pâslă, rumeguş de lemn etc. – fie prin lăsarea între fundaţie şi sol, pe întreg conturul fundaţiei, a unui spaţiu de aer cu lăţimea suficient de mare (interval acustic);

- pânza freatică, care eventual s-ar găsi sub fundaţie, este situată la o adâncime suficient de mare (pentru a nu crea un mediu favorabil transmiterii vibraţiilor).

În vederea limitării transmiterii vibraţiilor la proiectarea fundaţiei unei maşini trebuie să se ţină seama de toţi factorii de care depind rezolvarea problemei: maşina care produce vibraţiile, blocul de fundaţie, terenul pe care aceasta se plasează, stratul elastic izolator de vibraţii, clădirea şi maşinile învecinate.

Elemente privind maşina:

- intensitatea, direcţia şi frecvenţa forţelor perturbatoare;

- dimensiunile de gabarit ale maşinii, amplasarea diferitelor accesorii (conducte etc.);

- masa maşinii şi poziţia centrului de masă.

Elemente privind fundaţia

- masa fundaţiei şi poziţia centrului de masă;

- forma blocului de fundaţie;

- momentele de inerţie ale acestuia.

Elemente privind terenul de fundaţie

- coeficienţii de elasticitate ai pământului;

- presiunea admisibilă pe teren.

Elemente privind stratul elastic

- constantele elastice ale acestuia.

Protecţia împotriva vibraţiilor se realizează pe baza principiilor izolării şi amortizării acestora.

8

Maşinile realizează, în general, mişcări vibratorii cu mai multe grade de libertate (translaţii şi rotaţii). În cele ce urmează se analizează numai vibraţiile cu un grad de libertate (translaţia în lungul axei verticale sau rotaţia în jurul uneia din axe). Atunci când este necesar trebuie însă să se ţină seama şi de celelalte grade de libertate (capitolul al II-lea).

1.2 Cerinţe privind construcţia şi amplasarea fundaţiilor de maşini Instalaţiile industriale şi echipamentele componente ale acestora sunt amplasate pe fundaţii specifice, de construcţie adecvată. Ca regulă generală, fundaţiile maşinilor cu acţiune dinamică trebuie să fie separate atât de fundaţiile altor echipamente învecinate cât şi de fundaţiile clădirii, pentru a nu transmite vibraţii şi acestora. Totodată, ele trebuie să preia greutatea maşinilor şi echipamentelor anexe precum şi forţele dinamice transmise de acestea şi să asigure stabilitatea maşinii pe fundaţie în orice situaţie, inclusiv în cazul mişcărilor seismice. Construcţia şi amplasarea fundaţiilor pentru echipamentele cu acţiune dinamică depind de o serie de cerinţe: - cerinţe impuse de specificul zonei amplasamentului fundaţiei (caracteristicile terenului în care este amplasată fundaţia şi topografia acestuia, clima specifică zonei, gradul de seismicitate al zonei); - cerinţe impuse de configuraţia geometrică a maşinii şi a echipamentelor anexe acesteia (gabaritele acestora); - cerinţe impuse de încărcările fundaţiei (greutatea maşinii şi a echipamentelor anexe acesteia, solicitările dezvoltate de maşină în diferite situaţii – pornire, lucru efectiv, oprire, reparaţii); - cerinţe impuse de realizarea fundaţiei (capacitatea portantă a terenului, limitări impuse de tasarea terenului, consolidarea suplimentară a terenului, drenarea apelor freatice etc.); - cerinţe impuse de activităţile de întreţinere a maşinii (asigurarea accesului la maşină şi la echipamentele anexe ale acesteia, posibilitatea montării şi demontării instalaţiilor pentru ridicarea şi manevrarea maşinii şi a anexelor acesteia etc.); - cerinţe economice (costul de investiţie al fundaţiei, costuri privind operaţiunile de întreţinere şi reparare etc.).

1.3 Cauzele vibraţiilor maşinilor Vibraţiile produse de maşini în timpul funcţionării lor au cauze foarte diferite: natura procesului tehnologic pe care îl realizează maşina, principiul de funcţionare al maşinii şi modul de acţionare al acesteia, erorile de execuţie şi montaj ale elementelor componente ale maşinii, uzura acestora etc. Natura procesului tehnologic pe care îl realizează este cauza vibraţiilor produse de unele tipuri de maşini tehnologice: concasoare, site vibratoare, elevatoare cu cupe, ciocane de forjă etc. În aceste cazuri, vibraţiile pot fi diminuate prin uniformizarea funcţionării maşinilor respective şi prin utilizarea unei izolări active

9

eficiente, pentru a evita transmiterea vibraţiilor către alte echipamente sau construcţii învecinate. Principiul de funcţionare este cauza apariţiei vibraţiilor la maşinile cu mişcare alternativă: motoare, compresoare şi pompe cu piston etc. La acest tip de maşini, cauza apariţiei vibraţiilor sunt forţele periodice care apar în timpul funcţionării lor. Vibraţiile produse de aceste maşini pot fi diminuate prin construcţie adecvată (de regulă, reducerea maselor în mişcare alternativă şi echilibrarea corespunzătoare a forţelor de inerţie produse de acestea). Erorile de execuţie şi montaj constituie cauzele apariţiei vibraţiilor, îndeosebi în cazul maşinilor cu mişcare de rotaţie: motoare electrice, turbine etc. Diminuarea vibraţiilor acestor maşini se realizează prin construcţia şi echilibrarea statică şi/sau dinamică corespunzătoare. Prin urmare, vibraţiile produse de către maşini în timpul funcţionării lor pot fi diminuate în foarte mare măsură prin proiectarea şi construcţia adecvată a acestora. Vibraţiile care nu pot fi evitate prin aceste măsuri pot fi diminuate prin proiectarea şi realizarea corespunzătoare a izolării antivibratorii.

1.4. Turaţia critică a rotorilor

Se consideră un rotor format dintr-un disc (volant) de masă m, montat pe un arbore orizontal de masă neglijabilă. Datorită erorilor de fabricaţie şi de montaj ale elementelor componente (arbore şi disc) ale rotorului şi neomogenităţii materialului din care se realizează discul, centrul de greutate C al acestuia nu se va plasa pe axa arborelui (punctul A), între acestea existând excentricitatea AC = e (fig. 1).

Fig. 1. Ansamblul disc-arbore în mişcare de rotaţie. O - punctul în care axa centrelor lagărelor intersectează planul median al discului;

A - punctul în care axa arborelui deformat intersectează planul median al discului; C - centrul de greutate al discului.

A

C

O

e

δ⋅= kFe

( ) 2ωδ ⋅+⋅= emFi

z

10

Când ansamblul disc-arbore se roteşte în jurul liniei lagărelor (axa arborelui, în repaus) cu viteza unghiulară constantă ω , arborele capătă, sub acţiunea forţei centrifuge dezvoltate de discul montat excentric, deformaţii de încovoiere, producând vibraţia rotorului.

Vibraţiile de încovoiere ale rotorului au pulsaţia proprie:

m

k=0ω , (1.1)

în care m este masa discului; k - constanta elastică la încovoiere a arborelui;

0ω - pulsaţia proprie a vibraţiilor de încovoiere ale arborelui.

Deoarece săgeata de încovoiere a arborelui este în general foarte mică, se poate considera că mişcarea de rotaţie a discului are loc în planul normal la linia lagărelor. În figura 2 sunt prezentate elementele discului dezechilibrat, aflat în mişcare de rotaţie, corespunzătoare planului median al acestuia.

Fig. 2. Elementele discului dezechilibrat în mişcare de rotaţie (secţiune transversală prin

planul median al sistemului oscilant). AC = e – excentricitatea discului; OA = δ – săgeata de încovoiere a arborelui sub acţiunea

foţei centrifuge produsă de discul (plasat excentric) în mişcare de rotaţie.

În timpul rotirii, discul dezechilibrat generează forţa centrifugă:

)(2 emFi +⋅⋅= δω (1.2)

unde m este masa discului; ω – viteza unghiulară a acestuia; e – excentricitatea discului (datorată inexactităţilor de execuţie); δ – săgeata de încovoiere a arborelui.

Forţa elastică a arborelui este determinată de relaţia: δ⋅= kFk (1.3)

unde k este constanta elastică la încovoiere a arborelui în dreptul discului; δ – săgeata de încovoiere a arborelui.

Atunci când mişcarea este staţionară şi amortizarea este neglijabilă, cele două forţe, definite de relaţiile (1.2) respectiv (1.3), se echilibrează:

)(2 emk +⋅⋅=⋅ δωδ (1.4)

Din relaţia (1.4) se determină săgeata arborelui în dreptul discului:

O x

y

C

A

e

δ

t⋅ω

11

2

0

2

0

220

2

2

2

2

2

1

−

⋅=−

⋅=

−

⋅=

⋅⋅−

⋅⋅=

ω

ω

ω

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

ωδ e

e

m

k

e

mk

em. (1.5)

Relaţia (1.5) este reprezentată grafic în figura 3.

Fig. 3. Variaţia săgeţii arborelui în funcţie de raportul 0ωω (ω - viteza unghiulară a

discului (pulsaţia forţei perturbatoare); 0ω - viteza unghiulară critică a discului (pulsaţia

proprie a a sistemului vibrator)). Analizând graficul din figura 3 se constată următoarele: - Atunci când 0ωω = apare fenomenul de rezonanţă, săgeata arborelui tinzând

spre infinit. În această situaţie, viteza unghiulară ω a rotorului devine egală cu pulsaţia proprie 0ω a vibraţiilor de încovoiere şi poartă denumirea de viteză

unghiulară critică. Turaţia critică a rotorului reprezintă turaţia corespunzătoare vitezei unghiulare critice şi se determină cu relaţia:

rot/min][ , 30 0

π

ω⋅=cn . (1.6)

Dacă rotorul funcţionează cu o turaţie mai mare decât cea critică, el va trece prin zona de rezonanţă atât la pornirea, cât şi la oprirea maşinii. Deoarece în aceste situaţii amplitudinile vibraţiilor cresc în timp, pentru reducerea acestora, este necesar, fie ca trecerea prin turaţia critică (zona de rezonanţă) să se facă cât mai rapid, fie să se utilizeze dispozitive adecvate pentru limitarea amplitudinilor vibraţiilor.

- Atunci când ω1 < ω0 (funcţionare în anterezonanţă), săgeata δ > 0; dacă rotaţia se face în jurul punctului O1 (fig. 3), centrul de greutate C al discului se află în afara segmentului O1A, în prelungirea acestuia ( ).

- Atunci când ω2 > ω0 (funcţionare în postrezonanţă), săgeata δ < 0; dacă rotaţia se face în jurul punctului O2, centrul de greutate C se află între linia lagărelor (punctul O2) şi axa deformată a arborelui (punctul A) ( ).

δ

0ω

ω

0

2

ω

ω

1

0

1

ω

ω

1O

2O

A C

O C G e δ

O C G

12

- Atunci când turaţia rotorului are valori foarte mari, adică atunci când ∞→ω , rotorul se autocentrează, centrul de greutate C apropiindu-se de linia lagărelor până se suprapune peste punctul O.

- La rotirea cu viteza unghiulară ω , poziţia relativă a punctelor O, A şi C nu se modifică. Deoarece rotirea punctului A în jurul axei lagărelor se face cu aceeaşi viteză unghiulară ω ca şi rotirea punctului C în jurul axei arborelui, mişcarea se numeşte precesie sincronă.

Relaţia (1.5) arată că săgeata arborelui şi, prin urmare şi amplitudinea vibraţiilor, sunt proporţionale cu excentricitatea e pentru orice valoare a vitezei unghiulare ω . Prin urmare, pentru ca rotorul să funcţioneze cât mai liniştit, excentricitatea acestuia trebuie să fie cât mai mică posibil, adică centrul de greutate al discului să fie cât mai apropiat de axa arborelui. Aceasta se realizează prin echilibrarea statică a rotorului.

Echilibrarea statică constă în amplasarea, în zona periferică a discului, a unei mase de echilibrare m0. Masa de echilibrare se plasează astfel încât centrul de greutate al ansamblului disc-masă de echilibrare să fie situat pe axa arborelui (fig. 4).

Fig. 4. Schema echilibrării statice.

G

O

x

y

z

εω,

rotor

prismă

cadru

şurub adiţional

şurub pentru reglarea poziţiei orizontale

0m 0mm +

m A C

r

e

a) b)

c) d)

13

În situaţia în care mărimea excentricităţii e este cunoscută, valoarea masei de echilibrare m0 se determină din relaţia (fig. 4):

memr ⋅=⋅ 0 . (1.7)

Deoarece, în general, mărimea excentricităţii e nu este cunoscută, determinarea masei de echilibrare m0 nu se realizează prin calcul, ci experimental, utilizând un stand de echilibrare statică.

Standul de echilibrare statică constă, în principiu, din două suporturi orizontale, paralele, între care se aşază, prin intermediul fusurilor, rotorul supus echilibrării (fig. 4c). Construcţia suporturilor şi gradul de prelucrare al suprafeţelor acestora se adoptă astfel încât frecarea de rostogolire a fusurilor pe suporturi să fie neglijabilă.

Când rotorul aşezat pe suporturi va fi în repaus, centrul lui de greutate se va afla în planul diametral vertical care conţine axa arborelui, dedesubtul acesteia. În această situaţie, pe verticala care trece prin centrul de greutate, deasupra axei arborelui, se plasează o masă de echilibrare de o valoare oarecare după care discul se scoate din această poziţie, lăsându-l liber. Dacă discul are tendinţa de a se roti pentru a ajunge în poziţia de echilibru stabil, masa de echilibrare se va înlocui cu alta de valoare mai mare decât prima. Operaţiunea continuă până când echilibrul discului este indiferent (discul nu va mai avea tendinţa de rostogolire) – fig. 4d.

În unele situaţii, echilibrarea statică se realizează nu prin adăugarea unei masei de echilibrare ci prin îndepărtarea din rotor, din partea opusă acesteia, a unei mase corespunzătoare de material, printr-o prelucrare mecanică oarecare (găurire, de exemplu).

Mişcarea de rotaţie a volantului are loc în planul normal la linia lagărelor numai în situaţia în care acesta este montat pe arbore la jumătatea distanţei dintre lagărele acestuia. În general, însă, mişcarea volantului nu se produce în planul normal la linia lagărelor, ci într-un plan care face un anumit unghi cu acesta. Acest lucru se datorează deformaţiei arborelui care, la rândul ei, este influenţată atât de poziţia de montaj a volantului (care poate să nu fie montat la mijlocul distanţei dintre lagăre), cât şi de varianta de rezemare a acestuia (volant montat între reazeme, volant montat în consolă). În asemenea situaţii, studiul vibraţiilor trebuie să ţină seama şi de efectul giroscopic, care va modifica valorile turaţiilor critice.

1.5. Izolarea antivibratorie a maşinilor Vibraţiile echipamentelor (maşini, utilaje etc.) care conţin surse de vibraţii se transmit, prin intermediul sistemelor de rezemare (fundaţii), celorlalte echipamente aflate pe acelaşi amplasament. Pentru a asigura o protecţie eficientă împotriva vibraţiilor este necesară, după caz, fie izolarea activă (de la sursa de vibraţii la fundaţie), fie izolarea pasivă (de la fundaţia care vibrează la maşinile sau aparatele care trebuie protejate împotriva vibraţiilor) (fig. 5). Izolarea activă se utilizează pentru reducerea forţelor dinamice transmise de către echipamentele producătoare de vibraţii fundaţiilor acestora.

14

Izolarea pasivă se utilizează îndeosebi pentru protejarea maşinilor de precizie sau aparatelor de măsurare, prin reducerea amplitudinii vibraţiilor transmise acestora de către mediul înconjurător (suport, structură de rezemare etc.).

Fig. 5. Schema de principiu a sistemului de izolare antivibratorie. a – izolare activă; b – izolare pasivă. 1 – maşină; 2 – grupul de elemente elastice pentru

izolarea antivibratorie; 3 – suportul (fundaţia) maşinii.

Eficienţa izolaţiei antivibratorii se evaluează prin factorul de transmitere sau transmisibilitatea vibraţiilor. În cazul izolării active, transmisibilitatea se apreciază prin forţa transmisă de maşină fundaţiei prin elementele de izolare antivibratorie, iar în cazul izolării pasive, prin amplitudinea transmisă de la sistemul de rezemare (fundaţie) la maşină (aparat etc.). Pentru ca o maşină care produce vibraţii în funcţionare să nu le transmită fundaţiei, trebuie ca ea să fie rezemată elastic pe fundaţie. Maşina fiind masa care vibrează, pulsaţia proprie a acesteia este dată de relaţia:

mkp = (1.8)

unde m este masa maşinii care vibrează; k – rigiditatea rezemării elastice. Pulsaţia perturbatoare ω fiind cunoscută, se determină raportul pω şi, în

continuare, amplitudinea vibraţiei şi forţa transmisă fundaţiei. Pentru a realiza o izolare activă eficientă a vibraţiilor, este necesar să se adopte în mod adecvat mărimile m şi k, astfel încât să se evite funcţionarea la rezonanţă, iar transmisibilitatea vibraţiilor către fundaţie să aibă valori subunitare, adică:

10 ≤= FFT T (FT – mărimea maximă a forţei transmise fundaţiei; F0 - mărimea

maximă a forţei) (fig. 6). Pentru ca amplitudinea vibraţiilor să fie redusă şi transmisibilitatea acestora să

aibă valori T < 1 este necesar ca raportul 2>pω (ω – pulsaţia forţei perturbatoare;

mkp = – pulsaţia proprie a sistemului elastic). Aceasta înseamnă că izolarea

antivibratorie trebuie astfel realizată încât să asigure funcţionarea sistemului în regim

m x

( ) tFtF ωsin0 ⋅=

k

1

TF

a

2 3

m x

tuu ωsin0 ⋅=

k

1

b

2 3

15

de postrezonanţă deci cu pulsaţie proprie redusă, adică grupul elastic de rezemare trebuie să aibă rigiditate redusă (să fie “moale”). Considerând vibraţiile forţate fără amortizare, amplitudinea acestora este definită de relaţia:

2

0

2

20

2

20

1

1

ωωω ⋅−=

⋅−

=

−

⋅=mk

F

p

kk

F

p

k

FA (1.9)

unde s-a ţinut seama de relaţia (1.8). Dependenţa separată a amplitudinii vibraţiilor de parametrii m şi k este prezentată în figura 6. Se observă că amplitudinea vibraţiilor poate fi micşorată, fie mărind rigiditatea k (fig. 6 a), fie mărind masa m (fig. 6 b). În prima situaţie, dacă rigiditatea creşte foarte mult (adică legătura dintre maşină şi fundaţia acesteia este practic rigidă) are loc o reducere importantă a amplitudinii sistemului (fig. 6 a). Această soluţie însă se utilizează rar şi numai în cazul când maşina care vibrează are masa mică, iar fundaţia acesteia are masa foarte mare.

Fig. 6. Variaţia amplitudinii vibraţiei unui sistem elastic în funcţie de parametrii m şi k. a – masa m a sistemului este constantă, iar rigiditatea echivalentă k a rezemării este

variabilă; b - rigiditatea echivalentă k a rezemării este constantă, iar masa m a sistemului este variabilă.

Mărirea masei m (fig. 6 b) conduce la reducerea amplitudinii vibraţiilor, însă această soluţie implică folosirea unei fundaţii pe care maşina se prinde rigid, fundaţie care apoi trebuie rezemată elastic pe sol (pardoseală). La izolarea activă (fig. 6a), mărimile care determină calitatea izolării vibraţiilor sunt: amplitudinea acestora şi forţa transmisă solului (pardoselii). Din cele prezentate, fundaţia maşinii are un dublu rol: - să asigure o valoare admisibilă a presiunii pe care maşina o transmite solului (pardoselii); - să realizeze izolarea antivibratorie.

A A

a b

k m 0 0 0m 02m 03m 0k 02k 03k

k

F0

k

F

20

20

ωm

F

20

2 ωm

F

16

Cazul invers, când pardoseala este sursă de vibraţii datorită vibraţiilor transmise de alte maşini (fig. 6 b), aceasta constituie obiectul izolării pasive, situaţie frecvent întâlnită pentru a feri de acţiunea vibraţiilor aparate de măsură, aparatura electronică, maşinile de mare precizie etc. Izolarea pasivă are la bază aceleaşi principii ca şi izolarea activă. Coeficientul de transmisibilitate în cazul izolării pasive este definit de raportul 10 ≤= uAT (A –amplitudinea vibraţiilor aparatului rezemat;

u0 – amplitudinea mişcării perturbatoare (amplitudinea vibraţiilor pardoselii)). Pentru izolarea eficientă a vibraţiilor este necesar ca valorile coeficientului de transmisibilitate să fie, pe cât posibil, cât mai mici. Acest lucru se realizează atunci

când 2>pω (ω – pulsaţia forţei perturbatoare; p - pulsaţia proprie a sistemului elastic), iar amortizarea din sistemul de rezemare are valori cât mai mici.

1.6. Modele dinamice pentru calculul fundaţiilor

Modelul cu un grad de libertate (cu o masă)

Modelul dinamic cel mai simplu este cel cu un singur grad de libertate, format dintr-o singură masă (maşină, fundaţie etc.), care realizează o mişcare de translaţie şi sistemul de rezemare al acesteia (fig. 7).

Fig. 7. Modelul dinamic cu un grad de libertate. a – cu rezemare elastică; b - cu rezemare vâscoelastică; c - cu rezemare prin elemente elastice

şi elemente de amortizare cu frecare.

Rezemarea masei se poate realiza utilizând, după caz, diferite soluţii constructive (fig. 7): - rezemare elastică (numai cu elemente elastice); - rezemare vâscoelastică (elemente elastice şi elemente de amortizare vâscoasă); - rezemare cu elemente elastice şi elemente cu amortizare coulombiană (frecare uscată).

17

Următorul model dinamic se utilizează în cazul izolării active şi pasive a vibraţiilor, pentru modelarea sistemelor care au mişcări vibratorii numai după direcţia verticală (fig. 8).

Fig. 8. Sistem vibrator cu o singură masă. a - izolarea activă; b – izolarea pasivă.

Modelul cu două grade de libertate (cu două mase)

Modelul cu două grade de libertate se utilizează pentru reprezentarea diferitelor echipamente tehnologice dinamice, care se montează pe fundaţii prin intermediul unor elemente de rezemare elastice sau vâscoelastice (fig. 9).

Fig. 9. Modelul dinamic cu două grade de libertate. a – cu rezemare elastică; b - cu rezemare vâscoelastică.

m

( )tx

( )tF xkFc ⋅= dt

dxcFa ⋅=

dt

dxcxkFT ⋅+⋅=

a

m

( )tx

( )tx0

b

18

Exemple de utilizare ale modelului cu două grade de libertate: - Echipament dinamic rezemat pe fundaţie prin intermediul unor elemente vâscoelastice, fundaţia fiind aşezată pe sol (considerat, de asemenea, vâscoelastic); - Echipament dinamic rezemat direct (rigid) pe fundaţie, aceasta fiind plasată, prin intermediul unor elemente vâscoelastice, într-o cuvă aşezată pe sol (considerată vâscoelastică); - Echipament dinamic rezemat direct pe un suport (placă) rigid, acesta fiind plasat, prin intermediul unor elemente vâscoelastice, într-o cuvă aşezată pe sol (considerată vâscoelastică).

19

2. ELEMENTE SPECIFICE DIN TEORIA VIBRAŢIILOR MECANICE

Fără a avea pretenţii exhaustive, vom trece în revistă cele mai importante criterii de clasificare a vibraţiilor. Distingem astfel următoarele tipuri de vibraţii:

a) după numărul de grade de libertate:

- vibraţii cu un singur grad de libertate;

- vibraţii cu două sau mai multe grade de libertate;

- vibraţii cu un număr infinit de grade de libertate.

b) după forma ecuaţiei diferenţiale a mişcării:

- vibraţii liniare;

- vibraţii neliniare.

c) după cauzele care produc vibraţia:

- vibraţii libere sau naturale (produse de o cauză iniţială care încetează imediat după începerea mişcării);

- vibraţii forţate sau întreţinute (produse de forţe perturbatoare care îşi continuă acţiunea în timpul mişcării oscilante);

- vibraţii cu caracteristici variabile sau vibraţii parametrice (provocate de cauze exterioare sau interioare care acţionează asupra unui parametru al sistemului oscilant);

- vibraţii autoîntreţinute (provocate de cauze din interiorul sistemului, vibraţii care apar şi dispar odată cu începerea şi terminarea mişcării oscilante).

d) după consumul de energie mecanică din timpul mişcării oscilante:

- vibraţii amortizate (la care se consumă energie mecanică în timpul vibraţiei);

- vibraţii neamortizate (la care nu se consumă energie mecanică în timpul vibraţiei).

e) după legea variaţiei în timp a mişcării:

- vibraţii deterministe (caracterizate printr-o variaţie complet definită în timp, legea de mişcare fiind precizată prin relaţii analitice);

- vibraţii aleatoare (caracterizate printr-o variaţie parţial definită în timp, legea de mişcare fiind exprimată numai cu ajutorul parametrilor statistici şi probabilistici).

f) după deformaţiile ce apar la corpurile care vibrează:

- vibraţii axiale sau longitudinale;

- vibraţii transversale sau de încovoiere;

- vibraţii torsionale sau de răsucire.

20

2.1 Vibraţiile sistemelor cu un grad de libertate 2.1.1 Parametrii vibraţiilor forţate Ecuaţia vibraţiilor forţate ale sistemului cu o singură masă (un grad de libertate) din figura 10 are forma:

tFxkxcxm ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ωsin0&&& (2.1)

Fig. 10. Sistem vibrator cu o singură masă.

în care m este masa rezemată elastic; k – rigiditatea sistemului de rezemare; c – coeficientul de amortizare vâscoasă; x – deplasarea; F0 – amplitudinea forţei perturbatoare produsă de sursa de vibraţii; ω – pulsaţia acesteia; t – timpul.

Utilizând notaţiile:

m

cn =⋅2 - factorul de amortizare; (2.2)

m

kp = - pulsaţia proprie a sistemului elastic, (2.3)

ecuaţia (2.1) devine:

tm

Fxpxnx ⋅⋅=⋅+⋅⋅+ ωsin2 02&&& (2.4)

Neglijând vibraţiile amortizate care au importanţă numai la începutul mişcării, soluţia ecuaţiei (2.4) reprezintă deplasarea masei m sub acţiunea vibraţiilor forţate staţionare şi are forma:

( )ϕω −⋅⋅= tAx sin (2.5)

unde A este amplitudinea vibraţiei (deplasarea maximă a masei m); ϕ - unghiul de

defazare dintre deplasarea x şi forţa perturbatoare F, definit de relaţia:

m

( )tx

( )tF xkFc ⋅= dt

dxcFa ⋅=

dt

dxcxkFT ⋅+⋅=

21

2

222

1

22

p

pp

n

p

ntg

ω

ω

ω

ωϕ

−

⋅⋅

=−

⋅⋅= (2.6)

Amplitudinea vibraţiei se obţine pentru valoarea maximă a forţei perturbatoare F:

00

0 Ak

FAxA st ⋅=⋅= (2.7)

în care xst este deplasarea statică a masei m (produsă de forţa F0 aplicată static); A0 – factorul de amplificare definit de relaţia:

2222

0

41

1

⋅

⋅+

−

=

pp

n

p

A

ωω

. (2.8)

În cazul când n = p, adică:

m

kp

m

cn cr ===

2, (2.9)

coeficientul de amortizare c atinge valoarea limită (la care, în urma unui impuls iniţial, masa m nu mai vibrează), numită coeficient de amortizare critic ccr:

pcr fmmkpmc ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= π422 (2.10)

(fp – frecvenţa proprie). În relaţiile (2.6) şi (2.8) mărimea pn=ζ reprezintă factorul de amortizare

(fracţiunea de amortizare critică) definit ca fiind raportul dintre coeficientul de amortizare c şi coeficientul de amortizare critic ccr:

mk

c

c

c

p

n

cr ⋅⋅===

2ζ . (2.11)

Analizând reprezentarea grafică a factorului de amplificare (fig. 11) se observă că:

- atunci când pulsaţia forţei perturbatoare este redusă în comparaţie cu pulsaţia proprie a vibraţiei ( 0≈pω ), indiferent de amortizarea din sistem, factorul de

amplificare tinde către valoarea 10 =A , amplitudinea vibraţiei devenind egală cu

deformaţia statică stx .

Observaţie: Rezultă că, în asemenea situaţii, deplasarea masei în orice moment poate fi determinată, cu suficientă precizie, considerând că forţa F0 este aplicată static ( kFxst 0= );

- în situaţiile în care p>>ω , factorul de amplificare tinde către valoarea zero,

mărimea amplitudinilor vibraţiilor forţate nefiind practic influenţată de amortizarea din sistem;

22

- atunci când pulsaţia forţei perturbatoare şi pulsaţia proprie sunt apropiate ca valoare (ω/p = 1) are loc fenomenul de rezonanţă, când factorul de amplificare şi amplitudinile vibraţilor cresc foarte mult, fiind puternic influenţate de amortizarea din sistem;

- vârful curbei de rezonanţă se găseşte pe ordonata:

mk

c

c

c

p cr ⋅⋅−=

−=

411

22ω, (2.12)

indiferent de mărimea forţei perturbatoare.

Fig. 11. Variaţia factorului de amplificare 0A în funcţie de rapoartele pω şi pn [4].

Examinarea relaţiei (2.12) arată că rezonanţa are loc la ω/p = 1 numai dacă în sistemul elastic nu există amortizare. Dacă în sistem există amortizare, vârful curbei de rezonanţă se deplasează uşor spre stânga, pe măsură ce coeficientul de amortizare creşte. La vibraţiile neliniare, vârful curbei de rezonanţă se deplasează spre stânga sau spre dreapta, în funcţie de caracteristica elementului elastic. Dacă în sistemul vibrator din figura 10, forţa de excitaţie (perturbatoare) este chiar forţa de inerţie centrifugă produsă de masă excentrică în mişcare de rotaţie sau de un rotor care nu este perfect echilibrat, proiecţia acestei forţe pe direcţia x a mişcării de vibraţie este determinată de relaţia:

( ) trmtCtF ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ⋅ ωωω sinsin2

00 (2.13)

unde C este forţa centrifugă de inerţie; m0 – masa excentrică rotitoare sau masa rotorului; r0 – excentricitatea masei rotitoare (distanţa dintre centrul de greutate al masei rotitoare şi axa de rotaţie); ω – viteza unghiulară de rotaţie a masei excentrice sau a rotorului (aceeaşi cu pulsaţia forţei perturbatoare).

Ecuaţia diferenţială a mişcării este:

0 1

1

2

2

3

3

4

0A

pω

0=pn

112,0=pn

353,0=pn

500,0=pn

707,0=pn

23

trmxkxcxm ⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ⋅ ωω sin2

00&&& (2.14)

Amplitudinea vibraţiei, în acest caz, are expresia:

0

200

2222

200

41

1A

k

rm

pp

n

p

k

rmA ⋅

⋅⋅=

⋅

⋅+

−

⋅⋅⋅

= ⋅⋅ω

ωω

ω (2.15)

unde A0 este factorul de amplificare definit de relaţia (2.8).

Ţinând seama că mkp = , relaţia (2.14) capătă forma:

⋅⋅

⋅

⋅=⋅

⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅= ⋅⋅⋅

2

2

000

02

200

0

200

.. pA

m

rmA

pm

rmA

k

rmA

ωωω (2.16)

Relaţia (2.16) poate fi scrisă şi sub forma:

*0

00

2222

2

00

41

Am

rm

pp

n

p

p

m

rmA ⋅

⋅=

⋅

⋅+

−

⋅⋅

= ⋅⋅

ωω

ω

(2.17)

Factorul de amplificare în acest caz se exprimă prin relaţia:

2222

2

*0

41

⋅

⋅+

−

=

pp

n

p

pA

ωω

ω

(2.18)

a cărei reprezentare grafică este prezentată în figura 12 [1]. Ecuaţia mişcării este:

( )ϕω −⋅⋅= tAx sin (2.19) unde defazajul ϕ este definit de relaţia (2.6).

În relaţia (2.17) masa m include şi masa m0 a masei excentrice rotitoare sau a rotorului. Dacă masa m a maşinii nu include şi masa m0 a rotorului, atunci relaţia (2.17) devine:

*0

0

00

2222

2

0

00

41

Amm

rm

pp

n

p

p

mm

rmA ⋅

+

⋅=

⋅

⋅+

−

⋅+

⋅=

⋅

⋅

⋅

⋅

ωω

ω

. (2.20)

În cele prezentate s-a admis că stratul elastic (teren de fundaţie, arcuri sau alte elemente elastice) are o caracteristică liniară forţă-deformaţie, adică blocul de

24

fundaţie aşezat pe el realizează vibraţii liniare. Acest lucru se apropie foarte mult de realitate pentru fundaţia aşezată pe arcuri de oţel. Ipoteza rămâne valabilă însă şi pentru fundaţia rezemată pe izolatori din cauciuc, dacă deformaţiile acestora sunt mici, adică izolatorii lucrează pe o porţiune a curbei forţă-deformaţie care poate fi considerată liniară.

Fig. 12. Curbele de variaţie ale factorului de amplificare *0A , în funcţie

de factorul amortizare (n/p) şi de raportul pulsaţiilor (ωωωω/p).

2.1.2 Efectul amortizării Amortizarea constă în transformarea în căldură a unei părţi a energiei sistemului, prin frecarea internă a materialului izolatorilor sau prin frecarea externă pe diferite suprafeţe. Frecarea internă a materialului depinde de o serie de factori care îl caracterizează: compoziţia chimică, structura, omogenitatea, tensiunile interne, temperatura, starea de tensiuni (determinată de mărimea şi frecvenţa solicitărilor). Ea este evaluată, de regulă, prin raportul dintre energia disipată la un ciclu (bucla de histerezis) şi energia furnizată sistemului, corespunzătoare unui ciclu. Unele materiale (cauciucul, pluta, pâsla, solurile necoezive) au valori mari ale frecării interne şi, prin urmare, se caracterizează prin capacitate mare de amortizare, altele (metalele, de exemplu) au frecare internă redusă şi deci capacitate mică de amortizare. Frecarea de suprafaţă sau frecarea de sistem (cum mai este denumită) apare datorită mişcării relative ale suprafeţelor în contact. Tipurile uzuale de frecare de suprafaţă sunt:

5

1

1

2

2

3

3

4

*0A

pω

0=pn

5 4

6

0,1

0,2

0,3

0,5 0,7 1,0

2,0

25

- frecarea uscată (Coulomb), specifică amortizoarelor cu frecare uscată, la care forţa de frecare este constantă, independentă de viteză; - frecarea vâscoasă, specifică amortizoarelor hidraulice, la care forţa de frecare este proporţională cu viteza.

La vibraţiile forţate, efectul amortizării vibraţiilor poate fi apreciat analizând curbele de variaţie ale factorului de amplificare (fig. 11). Se observă că diferitele curbe se depărtează una de cealaltă numai în zona rezonanţei (aproximativ, ω/p =0,5…1,5), adică amortizarea influenţează asupra amplitudinii vibraţiilor numai dacă maşina funcţionează în zona rezonanţei. Când se trece prin rezonanţă (la pornirea sau oprirea maşinii), factorul de amplificare la rezonanţă se obţine din relaţiile (2.8) şi (2.18) pentru ω/p = 1:

c

c

c

c

p

nA cr

cr

rez ⋅=

⋅

=

⋅

=⋅

=2

1

2

1

2

1

2

1,0

ζ . (2.21)

Amplitudinea la rezonanţă este cu atât mai mică cu cât amortizarea este mai puternică.

Amortizoarele de vibraţii sunt necesare îndeosebi: - pentru maşinile care funcţionează în regim de postrezonanţă care, la pornire şi la oprire, trec prin rezonanţă, iar la trecerea prin rezonanţă amplitudinile vibraţiilor cresc periculos de mult; - pentru amortizarea rapidă a vibraţiilor libere ale maşinilor care produc şocuri în timpul funcţionării (concasoare de diferite tipuri, ciocane hidraulice sau pneumatice etc.). Efectul amortizării poate fi evaluat prin diferite mărimi, cele mai uzuale fiind: - fracţiunea de amortizare critică:

fm

c

mk

c

pm

c

c

c

p

n

cr ⋅⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅===

πζ

422 (2.22)

unde f este frecvenţa proprie; - decrementul logaritmic al amortizării:

2

2

1

4

2ln

cmk

c

x

x

−⋅⋅

⋅⋅==

πδ , (2.23)

unde x1, x2 sunt două amplitudini succesive ale vibraţiei libere amortizate. Pentru amortizări mici, 1,0≤ζ , relaţia (2.23) devine:

ζπππ

δ ⋅⋅=⋅

⋅=

⋅

⋅= 2

pm

c

mk

c (2.24)

- factorul de pierderi:

π

δζ =⋅= 2d (2.25)

- factorul de amplificare la rezonanţă (relaţia (2.21)):

c

c

c

c

p

nA cr

cr

rez ⋅=

⋅

=

⋅

=⋅

=2

1

2

1

2

1

2

1,0

ζ.

26

Valori ale fracţiunii de amortizare critică ζ , decrementului logaritmic δ şi

factorului de amplificare la rezonanţă rezA ,0 , pentru diferite materiale şi construcţii,

sunt prezentate în tabelul 1 [3]. Tabelul 1. Valori ale fracţiunii de amortizare critică ζ , decrementului logaritmic δ şi

factorului de amplificare la rezonanţă rezA ,0 , pentru diferite materiale şi construcţii.

Materialul sau construcţia ζ δ rezA ,0

MATERIALE Oţel de construcţie 0,00143 0,009 350 Fontă cenuşie 0,0183 0,115 27,4 Plută naturală 0,00302 0,019 165 Lemn de stejar 0,00955 0,06 52,4 Lemn de fag 0,00795 0,05 63,0 Cauciuc natural 0,01…0,08 0,062…0,5 50…6,35 Cauciuc stirol-butandien 0,05…0,15 0,31…0,94 10…3,33 Cauciuc policloropren 0,03…0,08 0,19…0,50 16,6…6,25 Cauciuc butilic 0,05…0,5 0,31…3,63 10,0…1,0

CONSTRUCŢII Scânduri lipite 0,00955 0,06 52,4 Grinzi de beton armat 0,0455 0,28 11,2 Cadre din beton armat 0,0302 0,19 16,5 Fundaţii de turbine din beton 0,064 0,4 7,8 Fundaţii de turbine din oţel 0,016…0,032 0,1…0,2 31,2…15,16 Fundaţii de maşini din beton 0,05 0,28 10,0 Alte fundaţii de maşini 0,04 0,25 12,5 Terenuri de fundaţie 0,10 0,6 5,0 Amortizoarele hidraulice de vibraţii alcătuite dintr-un cilindru care conţine un lichid vâscos în care se deplasează un piston, se caracterizează prin valori ale factorului de amortizare [3]:

5,01,0 ⋅⋅⋅==crc

cζ .

Solurile se caracterizează prin capacităţi mari de amortizare, consumând energia şi transformând-o în căldură, atât prin frecarea internă, cât şi prin frecarea dintre particulele lor. Capacitatea de amortizare a solurilor exprimă prin factorul de amortizare ζ , ale cărui valori sunt prezentate în tabelul 2 [3].

Tabelul 2. Valori ale factorului de amortizare pentru diferite soluri.

Felul solului ζ Nisip uscat şi pietriş 0,03…0,07 Nisip uscat 0,01…0,03 Nisip uscat, saturat cu pietriş 0,05…0,06 Argilă 0,02…0,05

Factorul de amortizare al solurilor se determină analitic folosind relaţia [3]:

27

stcr p

Sg

c

c ⋅⋅⋅==

ρζ

2

1 (2.26)

în care ρ este densitatea solului, [kg/m3]; g – acceleraţia gravitaţională, [m/s2], S – aria suprafeţei tălpii fundaţiei, [m2]; pst – presiunea statică exercitată de fundaţie pe sol ( Sgmpst ⋅= (m – masa ansamblului maşină-fundaţie)), [N/m

2].

2.1.3 Capacitatea elastică a izolatorilor de vibraţii

Sub denumirea generică de izolatori de vibraţii se înţeleg elementele elastice a căror deformaţie face posibilă mişcarea vibratorie, respectiv izolarea antivibratorie a maşinilor. Constanta elastică unui element elastic este determinată de relaţia: stxFk = (2.27)

unde xst = f este deplasarea determinată de forţa F, în sensul de acţiune al acesteia. În funcţie de utilizarea lor, elementele elastice pot fi montate în mai multe moduri: în paralel, în serie sau mixt. Dacă sub fundaţie sunt mai multe elemente elastice care în timpul vibraţiei au aceleaşi deplasări, ele sunt montate în paralel. Dacă, spre exemplu, între maşină şi sol este montat un strat elastic, acesta împreună cu solul, reprezintă două elemente elastice montate în serie. La montajul mixt, elementele elastice sunt legate atât în paralel, cât şi în serie. La izolatorii liniari curba caracteristică forţă-deformaţie reprezintă o dreaptă (arcurile din oţel, de exemplu). Izolatorii neliniari au o capacitate de mare de amortizare, ceea ce face ca la încărcare curba caracteristică forţă-deformaţie să nu fie identică cu cea de descărcare (elemente elastice din cauciuc, de exemplu). Pe zone restrânse forţă-deformaţie (în domeniul deformaţiilor mici), izolatorii neliniari, pot avea comportare liniară, asigurând o frecvenţă proprie constantă:

st

px

gf ⋅

⋅=

π2

1 , [Hz] (2.28)

unde g este acceleraţia gravitaţională, [m/s2]; xst – deformaţia statică (săgeata), [m]. Iată câteva constante elastice ale diferitelor tipuri de elemente izolatoare de vibraţii: - Plăci solicitate la compresiune, cu o forţă normală la suprafaţa plăcii:

[ ]mNSCh

SEk xx ,⋅=

⋅= (2.29)

unde E este modulul de elasticitate al materialului plăcii, [N/m2]; S – aria suprafeţei plăcii, [m2]; h – grosimea plăcii, [m]; hECx = – coeficientul contracţiei elastice,

[N/m3]. - Pentru plăci solicitate la lunecări în planul lor:

[ ]mNSCh

SGk Yy ,⋅=

⋅= (2.30)

28

unde G este modulul de elasticitate al materialului plăcii, [N/m2]; S – aria suprafeţei plăcii, [m2]; h – grosimea plăcii, [m]; hGCY = – coeficientul contracţiei elastice,

[N/m3]. - Pentru soluri, coeficientul de contracţie elastică este definit de relaţia:

x

pC xx = (2.31)

unde px este presiunea de apăsare, [N/m2]; x – tasarea, [m]; Cx – coeficientul de

contracţie elastică pentru translaţia după direcţia verticală, [N/m3]. Experienţa arată că pentru valori mici ale presiunii de apăsare asupra solului,

relaţia (2.31) este liniară, adică Cx este constant. Valorile lui Cx depind de condiţiile în care s-a făcut determinarea experimentală a lui (presiunea p, respectiv suprafaţa de apăsare S). Coeficientul Cy pe direcţia y are valori de forma xy CC ⋅= 5,0 . Valorile

coeficientului de contracţie elastică sunt prezentate în tabelul 3. Tabelul 3. Valori ale coeficientului de contracţie elastică xC şi yC .

Categoria terenului

Felul terenului

Presiunea statică

admisibilă pa, [MN/m

2]

Cx,

[MN/m3]

I

Terenuri slabe (argilă în stare plastică, pământ nisipos, terenuri de categoriile II şi III amestecate cu mâl)

< 0,15

< 3·107

II Terenuri de rezistenţă mijlocie (argilă în limitele de plasticitate, nisipuri)

< 0,35 < 6·107

III Terenuri rezistente (argilă tare, nisip cu pietriş, loess, argilă cu loess)

< 0,35 0,60 >10·107 Notă: Valorile sunt valabile pentru S > 10 m2. Pentru suprafeţe S mai mici, valorile din tabel se vor înmulţi cu factorul S2,3 .

Valorile yC se determină din relaţia: xy CC ⋅= 5,0 .

- Pentru bare solicitate la compresiune (sau la întindere) relaţia (2.29) devine:

[ ]mNl

AEkx ,

⋅= (2.32)

unde A este aria secţiunii transversale a barei, [m2]; l – lungimea acesteia, [m]. - Pentru bare solicitate la răsucire, constanta elastică are expresia:

[ ]mNl

dG

l

IGk

p,

32

4

⋅

⋅⋅=

⋅=

π (2.33)

unde G este modulul de elasticitate al materialului plăcii, [N/m2]; Ip – modulul de inerţie polar al secţiunii barei, [m3]; l – lungimea barei, [m]; d – diametrul acesteia, [m]. - Pentru bare solicitate la încovoiere, constanta elastică depinde de rigiditatea la încovoiere E·Ip, de lungimea barei, modul de rezemare al acesteia şi de punctul de aplicaţie al forţei care produce deformaţia. Pentru determinarea constantei elastice a

29

barelor solicitate la încovoiere se utilizează relaţia k = F/ xst, unde deformaţia (săgeata) statică xst = f se determină prin metodele specifice disciplinei Rezistenţa materialelor.

2.1.4 Compunerea constantelor elastice Izolaţiile antivibratorii ale maşinilor constau, de cele mai multe ori, din mai multe elemente elastice. Constanta elastică a ansamblului de elemente elastice, care determină pulsaţia proprie a sistemului, se determină prin compunerea acestora. Constanta elastică a elementelor montate în paralel se determină cu relaţia: nkkkk +++= ...21 , (2.34)

iar a celor montate în serie:

nkkkk

1...

111

21

+++= . (2.35)

2.1.5 Transmisibilitatea vibraţiilor Se consideră sistemul oscilant din figura 10, excitat de forţa armonică

( ) tFtF ωsin0= . Deplasarea masei m este:

( )ϕω −⋅⋅= tAx sin (2.36)

unde amplitudinea deplasării masei m este:

00

0 Ak

FAxA st ⋅=⋅= (2.37)

în care xst este deplasarea pe care ar produce-o forţa F0 aplicată static; A0 – factorul de amplificare, definit de expresia (2.8).

Resortul elastic k şi amortizorul c (fig. 10) transmit platformei pe care este aşezat sistemul oscilant, în orice moment, forţele corespunzătoare deplasării x, respectiv vitezei x& a masei m:

xkFe ⋅= ; xcFa &⋅= , (2.38)

forţa rezultantă fiind:

xcxkFFF aeT &⋅+⋅=+= (2.39)

Ţinând seama de relaţiile (2.36) şi (2.37), expresiile (2.38) devin:

( )ϕω −⋅⋅⋅⋅= tAxkF ste sin0 ;

( )ϕωω −⋅⋅⋅⋅⋅= tAxcF sta cos0 . (2.40)

Se constată că cele două forţe transmise platformei sunt defazate cu 2π .

Amplitudinea forţei rezultante este:

222022

0222

022 ωω ⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅= ckAxAxcAxkF stststT (2.41)

sau, ţinând seama că kFxst 0= :

30

2

22

00222

00 1k

cAFckAFFT

ωω

⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅= . (2.42)

Deoarece mcn =⋅2 şi mkp = , relaţia (2.42) poate fi pusă sub forma:

22

00 41

⋅

⋅+⋅⋅=

pp

nAFFT

ω. (2.43)

Transmisibilitatea vibraţiilor se defineşte ca fiind raportul dintre forţa FT transmisă platformei şi amplitudinea F0 a forţei perturbatoare:

22

00

41

⋅

⋅+⋅==

pp

nA

F

FT T

ω. (2.44)

Dacă se ţine seama de expresia (2.20), care defineşte factorul de amplificare, relaţia (2.44) devine:

2222

22

00

41

41

⋅

⋅+

−

⋅

⋅+

=+

==

pp

n

p

pp

n

F

xckx

F

FT T

ωω

ω

&. (2.45)

Raportul amplitudinilor forţelor transmise platformei de către amortizor şi de către arc este:

⋅⋅=

⋅

⋅=

⋅=

ppp

n

k

c

F

F

e

a ωζωω

22 (2.46)

unde s-a ţinut seama că mcn =⋅2 şi mkp = .

Fig. 13. Variaţia transmisibilităţii T în funcţie de raportul pω , pentru izolarea activă cu elemente elastice [4].

0 1 2

2

3

4

6

8

T

pω 2

31

Deoarece mărimea pn=ζ are de regulă valori mici, forţa transmisă de

amortizor fundaţiei este mult mai mică decât cea transmisă de arc.

În lipsa amortizării (c = 0, n = 0), relaţia (2.45) capătă forma:

2

001

1

−

===

p

F

kx

F

FT T

ω. (2.47)

a cărei reprezentarea grafică este prezentată în figura 13.

Din relaţia (2.47) şi figura 13 se observă că la rezonanţă ( 1=pω )

transmisibilitatea ∞→T . Pentru ca sistemul dinamic să nu transmită forţe platformei

pe care este aşezat trebuie ca 1pω

(funcţionare în regim de post-rezonanţă).

Reprezentarea grafică a relaţiei (2.45) este prezentată în figura 14.

Fig. 14. Variaţia transmisibilităţii T în funcţie de rapoartele pω şi crccpn ==ζ , pentru

izolarea activă cu elemente vâscoelastice [4]. Analizând graficul din figura 14 se constată următoarele: - la rezonanţă ( 1=pω ), transmisibilitatea are valori finite:

22

2

00

4

41

⋅

⋅

⋅+

=+

==

pp

n

p

n

F

xckx

F

FT T

ω

&. (2.48)

- toate curbele trec prin punctul de coordonate ( 2=pω , T=1) adică, pentru

2=pω transmisibilitatea are valoare T = 1, indiferent de amortizarea din sistem;

0 0,5 1 1,5 2 2,5

2

4

6

8

T

2 pω

05,0=pn

05,0=pn

1,0=pn

2,0=pn

4,0=pn

4,0=pn

32

- utilizarea izolatorilor cu valori mari ale factorului de amortizare pn=ζ este

eficientă în domeniul de rezonanţă ( 5,15,0 ⋅⋅⋅=pω );

- pentru valori 2>pω , izolarea vibraţiilor este cu atât mai eficientă cu cât factorul

de amortizare pn=ζ are valori mai mici.

Aceste constatări sunt mai evidente dacă transmisibilitatea se reprezintă grafic în coordonate logaritmice (fig. 15).

Fig. 15. Variaţia transmisibilităţii vibraţiilor în funcţie de raportul f/f0=ω/p, f - frecvenţa forţei perturbatoare, f0 – frecvenţa de rezonanţă (ω – pulsaţia forţei perturbatoare;

p – pulsaţia proprie) şi de factorul de amortizare crccpn ==ζ [5].

Pentru ca sistemul să nu transmită forţe dinamice platformei pe care este aşezat, trebuie ca transmisibilitatea să aibă valori 1pω (funcţionare în regim de post rezonanţă).

Studiile teoretice şi experimentale privind comportarea sistemelor vibratoare arată că amplasarea sub fundaţie a unui strat elastic gros produce o atenuare importantă a forţelor dinamice pe care fundaţia le transmite solului pe care este aşezată, pe când, dacă stratul este subţire, forţele dinamice se transmit aproape în întregime.

De asemenea, comportarea stratului elastic este cu atât mai bună cu cât fundaţia exercită o presiune mai mare asupra acestuia. La valori foarte reduse ale presiunii, stratul elastic se comportă ca un rigid. Prin urmare, la proiectarea fundaţiilor

0,1 0,2 0,5 1,0 2 3 5 7

0,1

0,2

0,5

1,0

2

3

5 7

0,01

0,02

0,05

0,03

0,07

0,3

0,7

10 T

pff ω=0

0=ζ 0

,05

0

0

,1

0,2

0

, 5

0,05

0,1

0,2

0,5

1,0

0,1=ζ

33

maşinilor trebuie să se adopte valori ridicate ale presiunii exercitate de fundaţie pe stratul elastic, apropiate de cele admisibile. Dacă suprafaţa de aşezare a fundaţiei conduce la valori prea reduse ale presiunii, atunci stratul elastic continuu se va înlocui cu straturi de dimensiuni mai mici, ale căror suprafeţe însumate să conducă la o valoare a presiunii apropiată de cea admisibilă. Maşinile care vibrează transmit solului, prin stratul izolator, o forţă variabilă a cărei amplitudine este: 0FTFT ⋅= (2.49)

(T – transmisibilitatea; F0 – amplitudinea forţei perturbatoare) şi care produce fenomenul de oboseală a solului. Ca şi în cazul altor materiale, caracteristicile de rezistenţă la oboseală sunt mai reduse decât cele datorită solicitărilor statice. De aceea, în calculul de rezistenţă, forţa variabilă de amplitudine FT se înlocuieşte printr-o forţă statică echivalentă definită de relaţia: 0, FTFF Test ⋅⋅=⋅= µµ (2.50)

unde µ este coeficientul de oboseală al materialului asupra căruia se exercită forţa variabilă transmisă. Dacă forţa FT variază după un ciclu simetric (între +FT şi -FT) coeficientul la oboseală are valoarea 0,21 == −µµ , iar dacă variază după un ciclu oscilant, valoarea

5,10 == µµ .

Forţa totală transmisă terenului se obţine prin însumarea dintre greutatea ansamblului maşină-fundaţie şi forţa statică echivalentă: 0,, FTgmFGF esttst ⋅⋅+⋅=+= µ (2.51)

Presiunea statică produsă asupra terenului de forţa Fst,t este:

S

FTgmp tst

0,

⋅⋅+⋅=

µ (2.52)

unde S este aria suprafeţei de aşezare a fundaţiei pe sol. Presiunea statică totală pst,t nu trebuie să depăşească valoarea admisibilă pa.

Uneori, un calcul mai comod se face numai pentru presiunea statică datorată greutăţii ansamblului maşină-fundaţie, pe baza unei presiuni admisibile reduse:

ast pS

gmp ⋅≤

⋅= 4,0 (2.53)

Examinând curbele de variaţie ale transmisibilităţii (fig.14) se disting mai multe situaţii importante pentru practică, în funcţie de modul de montare a maşinii pe fundaţie: direct pe fundaţie (fig. 16 a), prin intermediul unei suspensii elastice (fig. 16 b) şi prin intermediul unei suspensii elastice cu amortizare vâscoasă (fig. 16 c).

La aşezarea maşinii direct pe fundaţie, considerată nedeformabilă (montaj rigid), deoarece lipsesc atât elementele elastice (k = ∞) cât şi cele de amortizare vâscoasă (c = 0), transmisibilitatea este egală cu unitatea (T = 1), adică forţa perturbatoare se transmite în întregime fundaţiei (figura 16 a).

În cazul în care între maşină şi fundaţie (considerată masivă şi cu rigiditate foarte mare) există o suspensie elastică (fig. 16 b) amortizarea vâscoasă lipseşte (sau

34

este atât de mică încât poate fi neglijată) (c = 0), iar transmisibilitatea este determinată de relaţia:

2

0

2

1

1

1

1

−

=

−

=

f

f

p

T

ω (2.54)

a cărei reprezentare grafică este dată în figura 13.

Fig. 16. Scheme de montare a maşinilor pe fundaţie.

a - montare rigidă; b – montare cu elemente elastice; c – montare cu elemente elastice şi cu elemente de amortizare.

În acest caz, pentru 10 =ff transmisibilitatea devine maximă, iar pentru

valori 30 >ff transmisibilitatea se poate determina cu relaţia [13]:

20

≈

f

fT . (2.55)

Situaţia cea mai convenabilă din punctul de vedere al izolării vibraţiilor este aceea în care transmisibilitatea este nulă, lucru care nu poate fi realizat practic. De aceea se caută ca transmisibilitatea să fie cât mai mică posibil, corespunzătoare

valorilor raportului 20 ≥= pff ω .

Dacă raportul dintre frecvenţa forţei perturbatoare şi frecvenţa proprie are valori

20

35

elastic era dezavantajos 20 0), transmisibilitatea este maximă pentru valori ale frecvenţelor 10

36

Fig. 17. Variaţia coeficientului de transmisibilitate maxim în funcţie de coeficientul de

amortizare relativă [1].

Transmisibilitatea maximă depinde deci numai de valorile coeficientului de amortizare relativă crcc=ζ (fig. 17). Pentru amortizări relativ mici,

transmisibilitatea maximă se poate determina cu relaţia [13]:

crc

cT

⋅

=⋅

≈

2

1

2

1max

ζ. (2.57)

2.2 Vibraţiile sistemelor oscilante cu două grade de libertate Proprietăţile sistemului vibrant cu două mase sunt utilizate în mod curent la proiectarea şi construcţia fundaţiilor de maşini.

La fundaţia modelată printr-un sistem oscilant cu o singură masă este posibil ca pulsaţia proprie rezultată din calcul să aibă valoare apropiată de cea a vitezei unghiulare a maşinii, prin urmare să existe pericolul de rezonanţă. Într-o asemenea situaţie trebuie să se modifice una dintre mărimile care intervin în relaţia:

m

kp xp = , (2.58)

fie constanta elastică kx a rezemării, fie masa m a sistemului. În general, din motive constructive, nu este posibilă o reducere a masei faţă de valoarea care a fost prevăzută iniţial. O mărire apreciabilă a masei (cu 100 %, de exemplu) realizează, cu cheltuieli mari, o reducere a pulsaţiei proprii cu numai circa 30 %, ceea ce nu este eficient din punct de vedere economic. Prin urmare, soluţiile constructive pentru rezolvarea problemei trebuie să se orienteze spre modificarea valorii constantei elastice kx a sistemului de rezemare.

37

La terenuri foarte moi, mărirea valorii kx se poate realiza fie prin întărirea chimică a pământului, fie prin folosirea piloţilor.

În cazul terenurilor de consistenţă normală sau a celor foarte tari, reducerea constantei elastice se poate realiza numai prin utilizarea unor elemente elastice: arcuri, elemente elastice din cauciuc, plută etc.

Fig. 18. Sistem vibrator cu o două mase.

Din motive constructive, elementele elastice, îndeosebi cele discrete (arcuri, izolatori din cauciuc) nu pot fi aşezate direct pe pământ, acestea necesitând utilizarea unei fundaţii intermediare. Rezultă astfel montajul din figura 18.

Sunt posibile două variante:

- Maşina de masă m1 este aşezată, prin intermediul elementelor elastice cu constanta k1, pe fundaţia de masă m2, acest ansamblu fiind plasat apoi pe solul de constantă elastică k2;

- Maşina de masă m1 este rezemată pe fundaţia de masă m2, prin intermediul elementelor elastice cu constanta k1, întreg acest ansamblu fiind aşezat ulterior, prin intermediul arcurilor de constantă elastică k2, într-o cuvă plasată în sol.

Ecuaţiile diferenţiale ale mişcărilor maselor 1m şi 2m sub acţiunea forţei

perturbatoare tF ⋅⋅ ωsin0 :

( ) tFxxkxm ⋅⋅=−+⋅ ωsin021111 && ; (2.59)

( ) 02221122 =⋅+−−⋅ xkxxkxm && .

Soluţiile particulare ale sistemului de ecuaţii (2.59) sunt de forma: tAx x ⋅⋅= ωsin11 ; (2.60)

tAx x ⋅⋅= ωsin22 .

Se fac următoarele notaţii:

38

1

12*1

m

kp = ;

2

212*2

m

kkp

+= ; (2.61)

2

1

m

m=α . (2.62)

Mărimea 2*1p este pulsaţia proprie a masei m1 atunci când masa m2 este

imobilă, iar 2*2p este pulsaţia proprie a masei m2 atunci când masa m1 este imobilă.

Aşa cum se cunoaşte, pulsaţiile proprii ale sistemului vibrator cu două grade de libertate se determină rezolvând ecuaţia:

( ) 021

2122*2

2*1

4 =+

⋅+⋅+−

mm

kkpppp (2.63)

valorile acestora fiind:

( ) ( )[ ]

−++±++= 2121

22112121121

21

22,1 4

2

1mmkkmkmkkmkmkk

mmp (2.64)

Amplitudinile vibraţiilor masei m1 şi m2 au expresiile:

4

4*1

2

2*2

2

2*1

2

2*2

21

01

11

1

ωα

ωω

ω

ω ppp

p

m

FAx

−

−⋅

−

−

⋅= ; (2.65)

4

4*1

2

2*2

2

2*1

2

2*1

22

02

11ω

αωω

ω

ω ppp

p

m

FAx

−

−⋅

−

⋅= . (2.66)

Considerând că rezemarea elastică pe arcuri este foarte moale, adică 12

2*1

39

12

2*2

2

2*1

21

02

−

⋅+

≈

ω

ω

p

p

kk

FAx . (2.68)

Existenţa resoartelor elastice k1 este deosebit de importantă, datorită lor are loc trecerea de la sistemul oscilant cu o masă la cel cu două mase. Dacă arcurile k1 nu există, atunci sistemul cu două mase vibrează ca şi cel cu o singură masă de mărime m1+m2, având pulsaţia proprie:

21

22

mm

kpx

+= (2.69)

şi amplitudinea vibraţiei forţate:

2

22

0

1

1

x

x

p

k

FA

ω−

⋅= . (2.70)

Raportul xx AA 2=θ reprezintă factorul de reducere al amplitudinii masei m2

(fundaţia aşezată pe sol) ca urmare a existenţei arcurilor k1:

2

2*`1

2*2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

ωω

ω

ϑp

p

p

k

kA

A x

x

x ⋅

−

−

⋅

+

== . (2.71)

Analizând relaţia (2.71) se observă că, dacă 02*`1 →p , adică arcurile k1 au

constanta elastică mică, 0→θ , prin urmare masa inferioară m2 practic nu vibrează.

Dacă, dimpotrivă, 2*`1p creşte, valoarea mărimii θ creşte, de asemenea, ajungându-se

chiar în situaţia când 12 >= xx AAθ , adică utilizarea arcurilor k1 devine

dezavantajoasă. Acelaşi lucru se întâmplă şi la rezonanţă ( 22*2 ω=p ), când ∞→θ ,

iar amplitudinea masei m2, ∞→2xA .

Interesează şi deplasarea masei m1 (a maşinii) după introducerea arcurilor k1. Comparând amplitudinea Ax1 a masei m1, a sistemului cu două grade de libertate, cu amplitudinea Ax a sistemului cu un singur grad de libertate (cu masa m1+m2) se constată că:

a. Amplitudinea Ax1 a maşinii scade (Ax1 < Ax) dacă sunt îndeplinite condiţiile:

212

222

1 2 ωωω mmkm

40

b. Amplitudinea Ax1 a maşinii creşte (Ax1> Ax) dacă sunt îndeplinite condiţiile:

212

222

1 2 ωωω mmkm . (2.75)

sau dacă este îndeplinită condiţia:

212

22 2 ωω mmk >− , (2.76)

indiferent de valoarea constantei elastice k1.

Practic, dacă aşezarea directă a fundaţiei pe sol nu reprezintă o soluţie tehnică satisfăcătoare, adoptând valori adecvate pentru mărimile θ şi α , se determină

pulsaţia proprie *1p după care, cunoscând valoarea acesteia, se dimensionează

elementele elastice dintre maşină şi fundaţie.

Din cele expuse rezultă că, în cazul utilizării corecte a elementelor elastice, fundaţia maşinii, de masă m2, poate fi considerată imobilă. Din acest motiv dimensiunile acesteia se adoptă din considerente constructive, studiindu-se numai vibraţiile maşinii (masei superioare m1). În acest fel, problema vibraţiilor sistemului cu două mase se reduce la cea a vibraţiilor sistemului cu o singură masă, cu deosebirea că în locul constantelor elastice ale terenului se introduc cele ale sistemului elastic dintre maşină şi fundaţie.

2.3 Calculul izolării vibraţiilor Izolarea vibraţiilor echipamentelor se realizează cu ajutorul elementelor antivibratile (arcuri, elemente elastice din cauciuc etc.). Gradul de izolare a vibraţiilor se exprimă prin relaţia: ( ) %1001 ⋅−= TI (2.77)

Transmisibilitatea vibraţiilor de la maşină la fundaţia pe care aceasta este rezemată este determinată de relaţia (2.45):

2222

22

00

41

41

⋅

⋅+

−

⋅

⋅+

=⋅+⋅

==

pp

n

p

pp

n

F

xcxk

F

FT T

ωω

ω

&

în care FT este forţa transmisă fundaţiei, iar F0 – amplitudinea forţei perturbatoare produsă de maşina care vibrează.

Transmisibilitatea depinde de raportul pω dintre frecvenţa vibraţiilor maşinii

şi frecvenţa vibraţiilor proprii ale sistemului precum şi de factorul de amortizare n/p al izolaţiei antivibratoare.

41

Dacă izolaţia antivibratoare este realizată din arcuri elicoidale, factorul de amortizare n/p al acestora are o valoare foarte mică şi se poate neglija. În această situaţie, relaţia (2.77) se modifică corespunzător şi capătă forma (2.47):

2

01

1

−

==

p

F

FT T

ω

Din relaţia (2.47) se observă că izolaţia antivibratoare reduce încărcările dinamice transmise fundaţiei numai dacă

2>p

ω (2.78)

deoarece, în această situaţie, valoarea absolută a numitorului relaţiei devine mai mare decât unitatea.

Analizând relaţia (2.47) se ajunge la concluzia că o izolaţiei antivibratoare care are o valoare a factorului de amortizare mare conduce la creşterea încărcărilor dinamice transmise fundaţiei, lucru care nu este de dorit. De aceea, pentru izolarea vibraţiilor maşinilor, se preferă arcurile elicoidale cilindrice care asigură o izolare mai eficientă decât elementele din cauciuc, care au o valoare mare a factorului de amortizare. În majoritatea cazurilor practice se consideră suficientă o reducere de 20 de ori a încărcărilor dinamice transmise fundaţiei, adică dacă transmisibilitatea are valoarea

05,0201 ==T . (2.79)

Rezolvând ecuaţia:

20

1

1

12

=

−

=

p

T

ω,

rezultă:

4,4≈p

ω.

Atunci când, din diferite considerente, se impune o altă valoare pentru transmisibilitatea T, mărimea raportului pω se va determina în mod corespunzător.

O izolaţie antivibratoare eficientă se asigură atunci când: 0,5≥pω . În acest

caz, valoarea minimă a rigidităţii izolaţiei antivibratorii se determină de relaţia:

22

2

5

2

5

⋅⋅⋅=

⋅=⋅≤

fmmpmk

πω (2.80)

unde m este masa maşinii; f – frecvenţa forţei perturbatoare care produce vibraţiile acesteia. Cunoscând valoarea constantei elastice a izolaţiei antivibratile se poate realiza dimensionarea acesteia.

42

Calculul izolării antivibratorii a maşinilor constă în adoptarea unei valori convenabile a raportului frecvenţelor 0ff .

Pulsaţia de rezonanţă se determină cu relaţia:

[ ]Hzx

g

gm

gk

m

kf

st

,2

1

2

1

2

10 ⋅

⋅=

⋅

⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

πππ (2.81)

unde k este constanta elastică a suspensiei elastice (stratului izolator), [N/m]; m – masa maşinii (inclusiv a suspensiei elastice), [kg]; g – acceleraţia gravitaţională (g = 9,81 m/s2); xst – deformaţia statică a stratului izolator ( kgmxst /⋅= ), [m].

Frecvenţa forţei perturbatoare (frecvenţa de excitaţie) se determină cu relaţia:

[ ]Hzn

f ,602

=⋅

=π

ω (2.82)

unde ω este pulsaţia forţei perturbatoare (viteza unghiulară de rotaţie a maşinii), [s-1]; n - turaţia maşinii, [rot/min].

Relaţia (2.81) permite determinarea cu uşurinţă a frecvenţei proprii a maşinii numai prin măsurarea experimentală a deformaţiei elastice a sistemului elastic.

Importanţă practică prezintă determinarea rapidă a eficienţei unei izolări date şi, invers, realizarea, într-un caz concret dat, a unei izolări cu o eficienţă impusă. Utilizând relaţiile (2.47) şi (2.81) se obţine, atunci când rezistenţa internă suspensiei elastice (amortizarea) este neglijabilă (c = 0), expresia:

+⋅≈

+⋅⋅

⋅

⋅=

+⋅⋅

⋅=

TnTn

g

Tf

gxst

11

90011

1

4

360011

1

4 22222 ππ (2.83)

Utilizând relaţia (2.83) şi cunoscând turaţia maşinii (frecvenţa forţei perturbatoare), se determină deformaţia statică care asigură o anumită transmisibilitate (eficienţă a izolării) impusă a vibraţiilor.

Analizând influenţa diferitelor mărimi care intervin în relaţia (2.83) rezultă următoarele concluzii:

- Pentru aceeaşi turaţie, transmisibilitatea este cu atât mai redusă (gradul de amortizare a vibraţiilor este mai ridicat) cu cât deformaţia statică este mai mare şi cu cât constanta elastică este mai mică, deci cu cât suspensia este mai elastică.

- Pentru aceeaşi deformaţie statică, atenuarea şi constanta elastică a elementului izolator scad cu frecvenţa forţei perturbatoare. Ca urmare, vibraţiile de frecvenţă joasă sunt mai dificil de amortizat şi necesită elemente foarte elastice (îndeosebi arcuri metalice) care, de multe ori, contribuie la instabilitatea maşinii pe suspensia elastică.

- Pentru aceeaşi valoare a constantei elastice, gradul de amortizare a vibraţiilor şi deformaţia statică se măresc odată cu turaţia maşinii. Deci, un strat elastic dat nu izolează în condiţii identice toate tipurile de maşini.

- Pentru aceeaşi transmisibilitate (acelaşi grad de amortizare a vibraţiilor), deformaţia statică scade, iar rigiditatea creşte cu creşterea turaţiei. Prin calcul se constată că aceeaşi amortizare se poate obţine fie pentru deformaţii statice mici şi

43

valori mari ale constantei elastice, fie pentru deformaţii statice mari şi valori mici ale constantei elastice. Aceste concluzii depind şi de greutatea maşinii respective.

Prin urmare, deşi forţa transmisă de maşină fundaţiei se exprimă numai în funcţie de raportul frecvenţelor, ea variază atât în funcţie de greutatea maşinii cât şi de puterea acesteia. Practica confirmă această ultimă concluzie.

În tabelul 4 sunt prezentate valorile transmisibilităţii şi ale gradului de amortizare a vibraţiilor pentru diferite tipuri de maşini în funcţie de turaţia şi puterea acestora.

Tabelul 4. Valori ale transmisibilităţii şi ale gradului de amortizare a vibraţiilor pentru diferite tipuri de maşini în funcţie de turaţia şi puterea acestora [1].

Tipul maşinii Transmisibilitatea Gradul de amortizare a vibraţiilor

Aparate mici pentru condiţionarea aerului 0,10 20

Cazane de abur 0,05 26

Condensatoare 0,20 14

Compresoare cu piston cu puterea mai mică de 10 kW

0,15 15

Compresoare cu piston cu puterea de 15…45 kW

0,10 20

Compresoare cu piston cu puterea de 55…110 kW

0,05 26

Compresoare centrifuge 0,02 34

Pompe centrifuge 0,05 26

Ventilatoare centrifuge cu turaţia de 200…350 rot/min

0,3…0,2 10…14

Ventilatoare centrifuge cu turaţia de 350…800 rot/min

0,2…0,1 14…20

Ventilatoare centrifuge cu turaţia peste 800 rot/min

0,1…0,05 20…26

Realizarea unei transmisibilităţi T = 0,05 în cazul pompelor centrifuge de diferite turaţii necesită pentru amortizare materiale diferite. Astfel, se utilizează: arcuri de oţel pentru turaţii mai mici de 1000 rot/min, amortizoare din cauciuc pentru turaţii de 1000…2000 rot/min, amortizoare din plută pentru turaţii mai mari de 2000 rot/min.

Exemplul de calcul 1

Să se determine frecvenţa proprie a unei maşini care are, sub acţiunea greutăţii proprii, o deformaţie statică xst = 2,5 mm.

Utilizând relaţia (2.81) prin care se determină frecvenţa proprie cu ajutorul săgeţii statice, se obţine:

44

Hzx

gf

st

10105,2

81,9

2

1

2

130

=⋅

⋅⋅

=⋅⋅

=−ππ

.

Exemplul de calcul 2

Să se determine deformaţia statică şi frecvenţa proprie a unei maşini cu greutatea P = 3200 N aşezată pe patru arcuri identice, având fiecare constanta elastică k = 500000 N/m.

Se utilizează relaţia (2.81) sub forma:

Hz

g

P

k

m

kf 5,12

81,9

3200

4

1

500000

2

1

4

12

1

2

10 =

⋅

⋅⋅

=

⋅

⋅⋅

=⋅⋅

=πππ

În relaţia de calcul s-a ţinut seama de faptul că resoartele elastice sunt legate în paralel.

Aplicând relaţia (2.81) sub forma:

stx

gf ⋅

⋅=

π2

10 ,

se obţine:

( ) stx

81,9

2

15,12

2

2 ⋅⋅

=π

,

din care rezultă:

mmmxst 6,1106,15,124

81,9 322

=⋅=⋅⋅

= −

π.

Exemplul de calcul 3

Să se determine deformaţia statică a stratului izolant şi frecvenţa proprie a unei pompe centrifuge cu turaţia n = 2400 rot/min, care trebuie să asigure o transmisibilitate maximă cu valoarea T = 0,05.

Utilizând relaţia (2.83) se obţine:

mmmTn

xst 3,3103,305,0

11

2400

90011

900 322

=⋅=

+⋅=

+⋅= − .

Frecvenţa proprie se determină utilizând relaţia (2.81):

Hzx

gf

st

8,8103,3

81,9

2

1

2

130

=⋅

⋅⋅

=⋅⋅

=−ππ

.

S-a utilizat relaţia ce permite determinarea frecvenţei proprii în funcţie de săgeata statică.

45

Exemplul de calcul 4

Un ventilator este antrenat, prin cuplare directă, de către un motor electric cu turaţia n = 800 rot/min. Ansamblul ventilator-motor, având greutatea P = 1200 N, este rezemat pe patru arcuri elicoidale, care asigură o transmisibilitate T =0,1. Să se determine deformaţia statică şi constanta elastică a unuia dintre cele patru arcuri ale suspensiei.

Utilizând relaţia (2.83) se obţine:

mmmTn

xst 15015,01,0

11

800

90011

90022

==

+⋅=

+⋅=

Frecvenţa proprie se determină utilizând relaţia (2.81):

Hzx

gf

st

4015,0

81,9

2

1

2

10 =⋅

⋅=⋅

⋅=

ππ.

2.4 Efectele nocive ale vibraţiilor [13]

Vibraţiile au o acţiune nocivă complexă asupra vieţii, afectând: sănătatea organismului uman, calitatea muncii omului, rezistenţa elementelor componente ale maşinilor şi construcţiilor, calitatea operaţiunilor şi produselor realizate de diferite tipuri de maşini etc.

Acţiunea vibraţiilor asupra organismului uman poate fi apreciată în mod corect numai dacă se ţine seama simultan de doi dintre parametrii mecanici care caracterizează mişcarea:

- frecvenţa; - amplitudinea, acceleraţia sau energia vibraţiilor.

Diferiţii parametri care caracterizează mişcarea vibratorie sunt corelaţi între ei prin relaţiile:

- viteza maximă: ][,2 smAfAv ⋅⋅⋅=⋅= πω ; (2.84)

- acceleraţia maximă:

( ) ][,2 222 smAfAa ⋅⋅⋅=⋅= πω ; (2.85) - energia cinetică maximă, raportată la unitatea de masă a elementului care

vibrează (energia cinetică maximă corespunzătoare unei mase a elementului vibrator egală cu unitatea ):

][,22 2222 kgJAfvE ⋅⋅⋅== π (2.86)

unde A – amplitudinea vibraţiei, [m]; ω – pulsaţia acesteia, [s-1]; f – frecvenţa vibraţiei, [Hz].

Frecvenţa vibraţiei este determinată de relaţia