Inter Vale

Intervale de numere reale - clasa a VIII-a Prof. matematică Silvia Doandeş Algebra - an şcolar 2006-2007 Şcoala cu cls. I-VIII nr. 30

1

INTERVALE - algebră, clasa a VIII-a

PREZENTAREA LECŢIEI I. Iniţierea activităţii II. Repere strategice ale lecţiei III. Analiza erorilor IV. Sumarul lecţiei V. Extindere

TABEL CU TEORIA FIŞA DE LUCRU TEST (de evaluare formativă) BIBLIOGRAFIE

TIMIŞOARA – 2006


2

PREZENTAREA LECŢIEI

Conceptele cele mai importante din algebra clasei a VIII-a sunt: număr iraţional, interval, funcţie.

Prezentăm în continuare un mod de abordare a temei INTERVALE.

I. Iniţierea activităţii

Antrenament mental – estimare şi aproximare

• Situaţi între două numere naturale consecutive, numerele: 7,3; 28 ; 9245 .

• Daţi exemple de trei numere reale cuprinse între 1,6 şi 2,1.

Recurgerea la o situaţie-problemă

Exemplul din manual: Pentru a fi admis la o competiţie, un atlet

trebuie să aibă înălţimea cuprinsă între 1,6 m şi 2,1 m. Dorind să decidă

cât mai rapid dacă un concurent îndeplineşte această condiţie, oficialii

concursului au marcat dimensiunile extreme pe aparatul cu care

măsoară înălţimile. Atletul din fotografie va fi admis la concurs ?

II. Repere strategice ale lecţiei

• Folosim un pretext (scala de admitere la un concurs) pentru a introduce necesitatea notaţiei unor

mulţimi de numere prin intervale.

Relaţia 1,6 ≤ h ≤ 2,1, poate fi exprimată geometric P∈[AB]

şi se scrie h∈[1,6; 2,1] = interval închis de nr. reale.

• Insistăm asupra proprietăţii de densitate a lui R (între orice două numere reale, oricât de apropiate, se

găseşte un alt număr real), a diferenţei între interval închis şi interval deschis. Nu neglijăm aceste

concepte; o insuficientă explicare a lor poate afecta, mai târziu, înţelegerea unor noţiuni

fundamentale din analiza matematică. Pe de altă parte, abia acum capătă sens noţiunile de segment

închis, segment deschis, frontieră a unui semiplan. Folosim acest prilej pentru a face legături între

algebră şi geometrie.

• Fixăm (prin exemple), folosind axa numerelor sau alt suport intuitiv: un interval deschis nu are un

element maximal; pentru orice număr din interval putem găsi un alt număr mai mare.

• Folosim TABELUL CU TEORIA şi rezolvăm în clasă exerciţiile din FIŞA DE LUCRU.


3

III. Analiza erorilor

Greşeli posibile Modalităţi de remediere

Confundarea intervalelor închise şi deschise Ex. 5, 6 din Fişa de lucru

Nerecunoaşterea apartenenţei unui număr dat la un interval Ex. 2, 6, 7 din Fişa de lucru

Orice submulţime a lui R este interval Ex. 7, 8 din Fişa de lucru

Simbolurile – ∞, +∞, sunt numere reale Ex. 5, 9 din Fişa de lucru

IV. Sumarul lecţiei

• Intervalele sunt mulţimi de numere reale. Ele pot fi închise sau deschise, mărginite sau nemărginite.

• În reprezentarea pe axă, intervalelor le corespund segmente sau semidrepte.

V. Extindere

• Cum putem exprima o legătură între intervale şi modul ?

- Putem caracteriza un interval simetric faţă de originea axei cu ajutorul modulului:

[–a; +a] = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐≤ a} ; (–a; +a) = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐< a}, pentru a∈R, a > 0.

De exemplu: [–3; +3] = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐≤ 3} ; (–3; +3) = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐< 3}.

• Cum putem exprima reuniunea şi intersecţia intervalelor ?

- Intervalele fiind mulţimi de nr. reale, putem face cu ele operaţiile cu mulţimi ∪, ∩, –, x .

- Reuniunea a două intervale disjuncte nu este un interval: (– ∞; 5) ∪ (7; 8) rămâne aşa.

- Mulţimea M={x⏐x∈R şi ⏐x⏐≥ a} se explicitează: M=(– ∞;–a] ∪ [+a; +∞), pentru a∈R, a > 0.

De exemplu: {x⏐x∈R şi ⏐x⏐≥ 3}=(– ∞;–3] ∪ [+3; +∞).


4

TABEL CU TEORIA

Denumire Notaţie Definiţie

Intervale mărginite

Interval deschis ( a, b ) ( a, b ) = {x∈R⏐a<x<b}

Interval închis [ a, b ] [ a, b ] = {x∈R⏐a≤x≤b}

Interval deschis la stânga şi închis la dreapta ( a, b ] ( a, b ] = {x∈R⏐a<x≤b}

Interval închis la stânga şi deschis la dreapta [ a, b ) [ a, b ) = {x∈R⏐a≤x<b}

Intervale nemărginite

Interval deschis la stânga şi nemărginit la dreapta

( a, + ∞ ) ( a, +∞) = {x∈R⏐x>a}

Interval închis la stânga şi nemărginit la dreapta

[ a, + ∞ ) [ a, +∞) = {x∈R⏐ x≥a}

Interval nemărginit la stânga şi deschis la dreapta

(– ∞, b ) (– ∞, b) = {x∈R⏐x<b}

Interval nemărginit la stânga şi închis la dreapta

(– ∞, b ] (– ∞, b] = {x∈R⏐x≤b}

+∞

+∞

– ∞

– ∞


5

FIŞA DE LUCRU

1) Notaţi mulţimile următoare folosind simboluri:

a) interval închis de la 3 la 15 …………..

b) interval de la 93 la 2006, închis la stânga şi deschis la dreapta …………..

c) interval închis de la –2 la + ∞ …………..

d) interval deschis de la –5,7 la 12 …………..

e) interval de la 93 la 2006, închis la stânga şi deschis la dreapta …………..

f) interval deschis de la – ∞; la –21 …………..

2) Transcrieţi, prin notaţii, intervalele reprezentate mai jos:

a) A =

b) B =

c) C =

d) D =

3) Scrieţi sub formă de interval şi apoi reprezentaţi pe axă, mulţimile:

A={x∈R⏐– 4 ≤ x < 0 }=

B={x∈R⏐ x > –1 }=

C={x∈R⏐ –3 < x ≤ +2 }=

D={x∈R⏐ x ≤ 3}=

4) Corectaţi următoarele scrieri pentru a fi intervale de numere reale:

a) (1; +∞] …………… b) [3 3 ; 5] ……………

c) [– ∞; 9] …………… d) (–7; –11) ……………

5) Scrieţi trei numere din intervalul (–5,2; –5,1 ) …………………………………………..

6) Scrieţi trei numere care nu sunt în intervalul [–2006 ; +2006 ] …………………………………………..

7) Scrieţi cel mai mare număr natural din intervalul (–6; 2735 + ] ……

8) Scrieţi cel mai mic număr întreg din intervalul (–33 ; +8,1 ) ……


6

9) Precizaţi valoarea de adevăr (A sau F) a propoziţiilor:

a) 3,1∈(– ∞; 3,1] …... b) – 5∈[– 4,9; 5] ……

c) 31 ∈(

21 ; 1) …… d) 5 ∈[2; 2,24] ……

e) 0,(6)∈[ 32 ; + ∞ ) …… f) 10 ∈(1, 3) ……

g) Un interval mărginit conţine un număr finit de numere întregi. ……

h) Un interval nemărginit conţine o infinitate de numere reale. ……

10) Orice submulţime a lui R este un interval? Analizaţi mulţimea M = {5 ; –3; 7

18 ; 13 } ………………….

11) Reprezentaţi pe axa numerelor, mulţimile:

A = {– 4; 3}

B = {x ⏐x ∈ N , – 4 ≤ x ≤ 3}

C = {x ⏐x ∈ Z , – 4 ≤ x ≤ 3}

D = {x ⏐x ∈ R , – 4 ≤ x ≤ 3}

Care dintre ele reprezintă intervale de numere reale ? …………………………………...

12) Daţi câte un exemplu de interval, în fiecare din situaţiile următoare: a) intervalul conţine numere reale oricât de mici …………….. b) intervalul conţine numere iraţionale oricât de mari …………….. c) intervalul nu conţine nici un număr întreg …………….. d) intervalul conţine exact trei numere întregi negative ……………..

13) Folosiţi noţiunea de interval pentru a exprima variaţiile mărimilor următoare: a) distanţă până la destinaţie, care este de cel mult 38 km. …………… b) masei unei cutii pe care este scris: 250 g ± 5 g. ……………… c) viteza unui automobil care nu depăşeşte 87 km/h. ……………… d) capacitatea unui tub pentru medicamente, care variază între 0,05 dm3 şi 1,5 l. ……………

14) Scrieţi următoarele mulţimi ca intervale (dacă este posibil):

a) A = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐≤ 4}=

b) B = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐< 5}= c) A = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐≤ 0}=

d) B = {x⏐x∈R şi ⏐x⏐< –2}=


7

TEST

(de evaluare formativă)

2,00p. 1) Precizaţi valoarea de adevăr (A sau F) a propoziţiilor:

a) 1,1∈(– ∞; 1,1] …... b) – 4∈[– 3,9; 4] …… c) 21 ∈( ⎜

⎝⎛

31 ; 1) ……

d) 2 ∈[0; 1,41] …… e) 0,(3)∈⎢⎣⎡31 ; + ∞ ) …… f) 11 ∈(2, 3) ……

g) Un interval mărginit conţine un număr finit de numere reale. ……

h) Un interval mărginit conţine o infinitate de numere întregi. ……

1,00p. 2) Scrieţi sub formă de interval, mulţimile:

A={x∈R⏐1,(5) < x < 6 }, A = B={x∈R⏐ –3,1 < x ≤ 0 }, B =

C={x∈R⏐ x ≤ –5 2 }, C = D={x∈R⏐ x > 1,9(3) }, D =

1,00p. 3) Transcrieţi, prin notaţii, intervalele reprezentate mai jos:

a) –5 1 A =

b) –2 3 B =

c) 0 C =

d) 2 D =

1,25p. 4) Reprezentaţi pe axa numerelor, mulţimile:

A = {–3; 2}

B = {x ⏐x ∈ N , –3 ≤ x ≤ 2}

C = {x ⏐x ∈ Z , –3 ≤ x ≤ 2}

D = {x ⏐x ∈ R , –3 ≤ x ≤ 2}

Care dintre ele reprezintă intervale de numere reale ? …………………………………... 0,75p. 5) Scrieţi trei numere din intervalul ( 0; 0,1 ) …………………………………………..

1,00p. 6) Corectaţi următoarele scrieri pentru a fi intervale de numere reale:

a) [– ∞; 7) …………… b) [–5; –13] …………… c) [ 0; +∞] …………… d) (2 5 ; 4) …………..

1,00p. 7) Daţi câte un exemplu de interval, în fiecare din situaţiile următoare:

a) intervalul conţine numere reale oricât de mari ……………..

b) intervalul conţine numere reale oricât de mici ……………..

c) intervalul conţine exact trei numere întregi ……………..

d) intervalul nu conţine nici un număr întreg ……………..

0,50p. 8) Folosiţi noţiunea de interval pentru a exprima variaţia masei unei cutii pe care este scris: 500 g 10 g. ……………… ±

0,50p. 9) Lungimile laturilor unui dreptunghi sunt numere întregi şi aria sa este 60. În care din următoarele intervale este situat perimetrul dreptunghiului ?

A) (60, 160); B) (50, 150); C) (40, 140); D) (30, 130); E) (20, 120).


8

BIBLIOGRAFIE

1) Manual de matematică pentru clasa a VIII-a Mihaela Singer, Cristian Voica, editura SIGMA

2) Paşi în înţelegerea rezolvării problemelor, clasa a VIII-a Mihaela Singer, Cristian Voica, editura SIGMA

3) Treaptă cu treaptă la examenul de capacitate, clasele a V-a a VIII-a Mihaela Singer, Marius Modoiu, Gabriela Marinescu, editura SIGMA

4) Învăţarea matemeticii – elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a Mihaela Singer, Cristian Voica, editura SIGMA

5) Concursul European de Matemetică aplicată CANGURUL Testul dat face parte din culegerea:

Teste de MATEMATICĂ pentru clasele V – VIII şi Testarea Naţională

Editura Waldpress – Timişoara, 2006

Inter Vale

Documents

Transcript of Inter Vale