II. 171 Câte numere de patru cifre încep şi se termină cu ... · Timişoara pleacă un alt...

II. 171 Câte numere de patru cifre încep şi se termină cu 4 ? * * *

II. 172 Calculaţi suma numerelor de trei cifre care sunt scrise numai cu cifrele 0, 2 şi 4. * * *

II. 173 În trei coşuri sunt 46 kg mere. Câte kg sunt în fiecare coş dacă în primul şi al doilea sunt 33 kg, iar în al doilea şi al treilea sunt 31 kg?

* * *

II. 174 Petre rezolvă luni 6 probleme, marţi cu 3 probleme mai multe, iar miercuri cu 2 probleme mai puţine decât marţi, în total rezolvând cu 8 mai puţine decât sora sa. Câte probleme a rezolvat sora sa?

* * *

II. 175 Luni, la biblioteca judeţeană, au venit la sala de lectură 17 de cititori. Câţi cititori vin într-o săptămână, dacă zilnic vin cu câte doi mai mulţi decât în ziua precedentă şi dacă ştim că biblioteca este deschisă de luni până sâmbătă?

* * *

II. 176 Mă gândesc la trei numere diferite nenule. La primul număr adun 3, la al doilea adun 4, iar la al treilea adun 5. Suma numerelor obţinute acum este 18. Cât poate fi produsul numerelor la care m-am gândit la început ?

* * *

II. 177 Zece prune cântăresc cât trei mere, iar un măr cât trei caise. Câte prune cântăresc tot atât cât cântăresc nouă caise?

* * *

II. 178 Găsiţi cel mai mic număr a pentru care numărul 3a este cel puţin egal cu 7 şi cel mai mare număr b pentru care 4b este cel mult egal cu 9. Ce număr trebuie adunat cu suma numerelor găsite pentru a obţine numărul 10?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

II. 179 Mihai are 9 ani ; acum doi ani, fratele său, Radu, avea cu trei ani mai puţin decât Mihai. Câţi ani va avea Radu peste patru ani ?


II. 180 Un liliac bate de 10 ori din aripi în 2 secunde. Dacă zboară 10 secunde, de câte ori bate din aripi? Dar dacă zborul durează jumătate de minut?

Inst. Nicoleta Marcu, Reşiţa

III. 171 În cât timp poate fi umplut un bidon de 10 litri cu apă, ştiind că dintr-un robinet curg 3 litri într-o oră, iar în acelaşi timp se scurge din bidon, printr-o spărtură, 1 litru de apă?

Andreea Petrescu, elevǎ, Tulcea

III. 172 Ioana şi Andrei privesc acelaşi număr de două cifre, Ioana de la dreapta la stânga, iar Andrei, invers, de la stânga la dreapta. Ioana spune că numărul văzut de ea este de cinci ori mai mare decât cel văzut de Andrei, iar Andrei susţine că nu e adevărat ce spune sora sa. Care dintre cei doi fraţi are dreptate ?

Prof.Heidi Feil, Iulia Cecon, Oţelu-Roşu

III. 173 Ce număr trebuie pus în locul semnului de întrebare din ultimul tabel? Explicaţi de ce.

1 24 8

, 3 16 2

, 5 102 ?

.

Prof.Heidi Feil, Iulia Cecon, Oţelu-Roşu

III. 174 De la Lugoj la Timişoara sunt 60 de kilometri. Emil şi Andrei vor să parcurgă această distanţă mergând cu bicicletele. Emil merge cu 20 km pe oră, iar Andrei cu 15 km pe oră, amândoi fără oprire. Dacă Andrei pleacă la ora 8 din Lugoj, iar Emil la ora 9, cine ajunge primul în Timişoara ?

* * *

III. 175 În trei şcoli sunt 725 elevi. Câţi elevi sunt în fiecare şcoală, dacă în primele două şcoli sunt 476 elevi, iar în ultimele două, 483 elevi?

Inst.Măriuţa Benga,Reşiţa

III. 176 Într-un coş sunt 28 mere, pere şi gutui. Mere sunt cu 4 mai multe decât pere, iar gutui cât dublul perelor. Câte fructe sunt din fiecare fel în coş?

Inst. Neta Novac,Reşiţa

III. 177 Gheorghe,Ion şi Petre sunt prenumele a trei elevi.Numele lor de familie sunt tot Gheorghe, Ion si Petre,dar astfel încât nici unul dintre ei nu are numele de familie la fel ca prenumele. Dacă numele de familie al lui Ion nu este Petre,să se afle numele şi prenumele celor trei.

Inst. Daniela Azamfirei – Marinca, Moldova Nouă

III. 178 Un sportiv se antrenează urcând câte două trepte şi, apoi, coborând una. După câţi paşi făcuţi în urcare se va afla pe treapta a zecea, dacă a pornit din faţa primei trepte ?

Prof. Maxim Adamescu, Reşiţa

III. 179 La ziua Cristinei, mama le-a oferit invitaţilor câte două pahare de suc.Din trei sticle, mama a umplut 15 pahare. Câte sticle de acelaşi fel s-au folosit dacă Cristina a avut 20 invitaţi?

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa

III. 180 Un kg de banane şi două kg de mere costă 7 lei, două kg de mere şi trei kg de portocale costă 16 lei, iar un kg de portocale şi trei kg de banane costă 13 lei. Câte kg de fructe putem cumpăra cu 10 lei, dacă vrem să mâncâm fructe din fiecare fel ?


IV. 171 Puteţi împărţi numărul 50 în trei părţi, astfel încât dacă la prima parte adunăm 2, din a doua scădem 2, iar a treia parte o înmulţim cu 2, rezultatele să fie egale ?

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu

IV. 172 Într-o sală de spectacole s-au ocupat doar trei sferturi dintre locuri. La pauză, o cincime dintre spectatori au plecat şi au mai rămas 312.Câte locuri are sala?

Inst.Mariana Mitricǎ,Reşiţa

IV. 173 Dacă 6 6a b şi 8b c , calculaţi 8 14 6 .a b c Inst.Mariana Mitricǎ,Reşiţa

IV. 174 Dacă se împarte suma a cinci numere naturale consecutive la 7, obţinem câtul 11 şi restul 3. Aflaţi numerele.

Înv. Ana Modoran, Reşiţa

IV. 175 Folosiţi paranteze în exerciţiul 3 8: 4 5 3 pentru a obţine, pe rând, rezultatele : a) 18 ; b) 12 ; c) 4.

* * *

IV. 176 O cutie plină cu mere cântăreşte 23 kg, iar pe jumătate goală 12 kg. Cât cântăreşte cutia goală?

Concurs Ploieşti, 2008

IV. 177 Suma dintre un număr, jumătatea, dublul şi sfertul său este 1860. Care este numărul?

Inst. Ozana Drăgilă, Reşiţa

IV. 178 Într-un microbuz urcă la prima staţie jumătate din numărul călătorilor aflaţi încă de la plecare în microbuz şi coboară, apoi 3. La următoarea staţie urcă 7 călători, dublându-se, astfel, numărul iniţial de călători. Aflaţi câţi călători sunt în microbuz la plecarea acestuia din a doua staţie.

Prof.Maxim Adamescu, Reşiţa

IV. 179 Un tren special circulă de la Timişoara la Reşiţa, pe ruta Timişoara – Lugoj – Caransebeş – Reşiţa , având aşadar trei opriri. Găsiţi câte persoane s-au urcat în tren la Timişoara, dacă la Lugoj au coborât un sfert dintre ei, apoi la Caransebeş au coborât un sfert din cei rămaşi în tren, iar la Reşiţa au ajuns 360 de persoane.


IV. 180 Un robinet deschis la jumătate din debitul său umple un rezervor de 400 l în 4 ore.În cât timp vor umple, acelaşi rezervor, două robinete de acelaşi fel, deschise în totalitate? Câţi litri de apă curg printr-un robinet în 30 de minute?

Prof.Maxim Adamescu, Reşiţa

V. 291 Se considerǎ numǎrul 5 5A a a . a) Determinaţi a pentru care A este pǎtrat perfect; b) Arǎtaţi cǎ nu existǎ a pentru care A este cub perfect; c) Determinaţi a pentru care restul împǎrţirii lui A la 5 este 4.

Prof. Heidi Feil, Oţelu – Roşu

V. 292 Arătaţi că 2014 6 252 7 15 . * * *

V. 293 Sǎ se determine câte numere naturale de cinci cifre, scrise în baza 10, au suma primelor douǎ cifre egalǎ cu produsul ultimelor douǎ cifre.

* * *

V. 294 Determinaţi numerele naturale n şi k pentru care 12 2 2014n nk .

Prof. Iulia Cecon, Oţelu – Roşu

V. 295 Un număr natural se numeşte acceptabil dacă produsul cifrelor sale este 15. Câte numere acceptabile de două cifre există? Dar de trei cifre ?

* * *

V. 296 Alex cumpără pentru aniversarea mamei: 7 lalele, 5 narcise şi 11 garoafe. O lalea, o garoafă şi o narcisă costă împreună 6 lei, iar 5 lalele costă cât 3 garoafe şi o narcisă. Dacă 3 lalele valorează cât 2 garoafe, cât a plătit Alex pe florile cumpărate ?

* * *

V. 297 Bunicul şi bunica aveau în anul 2013, vârstele 60, respectiv 58 ani. Calculaţi în ce an aveau împreună un secol.

* * *

V. 298 Un număr de zece cifre are exact 9 cifre egale cu 7. Arătaţi că numărul nu poate fi pătrat perfect.

Prof. Univ. Dr. Cristinel Mortici, Târgovişte

V. 299 Patru prieteni au fiecare câte unul dintre următoarele animale: o pisică albă, un câine negru, un peşte roşu şi un papagal galben. Se ştie că:

1) Denis nu suportă culorile alb şi galben; 2) Nicu are un animal cu blană; 3) Alex şi Mircea nu suportă culorile roşu şi negru; 4) Dacă Alex are un animal cu patru picioare, atunci şi Mircea are un animal cu patru picioare. Găsiţi ce animal are fiecare dintre cei patru prieteni.

* * *

V. 300 Determinaţi cel mai mare număr natural d care divide, pentru orice număr natural n , numărul ( 1)(2 1)na n n n .

Olimpiadă Moldova

VI. 291 La începutul anului şcolar, 40% din elevii unei clase sunt fete. În timpul anului şcolar mai vin trei bǎieţi şi pleacǎ o fatǎ şi astfel, la sfârşitul anului şcolar sunt de douǎ ori mai mulţi bǎieţi decât fete. Câţi elevi au fost la începutului anului şcolar în acea clasǎ?

* * *

VI. 292 Mǎsurile unghiurilor ( mǎsurate în grade ) din jurul unui punct, sunt x, y, z, t .Numerele 2x, 3y, 4z, 5t sunt direct proporţionale cu 4, 6, 12 şi respectiv a, unde a este un numǎr natural nenul. Determinaţi a, x, y, z, t , ştiind cǎ .x t y z


VI. 293 Sǎ se determine numerele prime a şi b pentru care

1

ab

şi 2 2

1ba

sunt numere naturale.

Prof. Adriana Dragomir,Heidi Feil,, Oţelu – Roşu

VI. 294 Pe tablă sunt scrise numerele 29 şi 30. Un pas înseamnă scrierea pe tablă a unui număr nou, egal cu suma oricăror două dintre numerele scrise deja pe tablă. Este posibil ca, după mai mulţi paşi, pe tablă să fie scris numărul 2009 ?

* * *

VI. 295 Fie n . Demonstraţi că, dacă 2 2n este divizibil cu 9, atunci 2 2n este divizibil cu 63. Prof. Andrei Eckstein, Timişoara

VI. 296 Fie A, B, C, D patru puncte coliniare astfel încât AC CB BD AD . Dacă M este mijlocul lui (AB), iar N este mijlocul lui (CD), astfel încât punctele M şi N sunt concomitent în interiorul segmentului (BC) sau în exteriorul segmentului (BC) şi CM NB , atunci arătaţi că .AC BD

Prof. Ion Cicu, Bucureşti

VI. 297 Se consideră un triunghi ABC şi se notează cu D piciorul perpendicularei din B pe bisectoarea unghiului .BAC Arătaţi că D se află pe dreapta care uneşte mijloacele laturilor (AB) şi (BC).

* * *

VI. 298 a) Putem împărţi în două grupe primele 30 de numere naturale nenule astfel încât prima grupă să conţină 20 de numere, iar suma elementelor din cele două grupe să fie aceeaşi ?; b) Aceeaşi problemă pentru primele 100 de numere naturale nenule, iar prima grupă să conţină 70 de numere.

* * *

VI. 299 La fiecare oră, din Timişoara spre Bucureşti pleacă un tren. În acelaşi timp, din Bucureşti spre Timişoara pleacă un alt tren. Pentru a parcurge distanţa dintre cele oraşe, un tren are nevoie de 7 ore. Se ştie că trenurile se mişcă uniform şi că se întâlnesc numai în staţii. Determinaţi numărul minim de staţii dintre Timişoara şi Bucureşti.

Prelucrare problemă olimpiadă Moldova

VI. 300 Determinaţi numerele întregi a,b,c pentru care sunt îndeplinite simultan următoarele condiţii:

1) 3 22 3 6

a b c ;

2) 1 1 13 2a b c

.


VII. 291 Să se demonstreze că dacă într-un triunghi cu laturile cba ,, avem 1a şi *,b c , atunci triunghiul este isoscel.

Miruna Ciulu, elevă Reşiţa

VII. 292 Determinaţi numerele întregi n pentru care numărul

25 2n n este raţional. Prof. Iulia Cecon, Oţelu – Roşu

VII. 293 Se consideră un unghi ascuţit xOy şi un punct P în interiorul său. Notăm cu M şi N simetricele lui P faţă de Ox, respectiv Oy. Arătaţi că: a) triunghiul OMN este isoscel; b)

4MP PNOP

.

* * *

VII. 294 Determinaţi perechile ( , )x y de numere întregi pentru care 2 3 4 5.x xy y


VII. 295 Se consideră un triunghi ascuţitunghic ABC şi pe semidreapta (AC se consideră punctul D astfel încât BA BD , iar pe (AB se consideră punctul E astfel încât CA CE . Notăm cu M mijlocul segmentului (AD) şi cu N mijlocul segmentului (AE).Dacă ,P BM CN arătaţi că: .AP BC

Prof. Constantin Apostol, Rm. – Sărat

VII. 296 În interiorul unui triunghi echilateral de latură 20 cm se pun cinci furnici. Arătaţi că în orice moment există două furnici care se află la o distanţă mai mică decât 10 cm.

Prof. Florica Banu, Bucureşti

VII. 297 Pentru fiecare număr natural n se notează 3 2nx n n n a , unde a este fixat.

a) Arătaţi că, dacă 3 4 sau x x este divizibil cu 3, atunci 6x este divizibil cu 3 ; b) Determinaţi numerele întregi a pentru care 2x şi 3x sunt pătrate perfecte.


VII. 298 Ştiind că pentru numerele naturale x şi y restul împărţirii numărului 2 2x y la 10 este 7,

aflaţi restul împărţirii lui 2 2x y la 20. Prof. Andrei Eckstein, Timişoara

VII. 299 Se consideră trei pătrate distincte ABCD, BCEF şi EFGH. Calculaţi .m EDF m HDG

Concurs Traian Lalescu, 1986

VII. 300 Să se arate că în orice trapez dreptunghic cu diagonale perpendiculare are loc inegalitatea 2S h , unde S , h reprezintă aria, respectiv înălţimea trapezului.

Prof.Mihai şi Steluţa Monea – Deva

VIII. 291 Se consideră cubul ABCDA B C D şi , ,M N P mijloacele muchiilor ,AB CC respectiv

.A D Să se demonstreze că .B D MNP Prof. Marina Constantinescu, Tismana

VIII. 292 Fie mulţimea 1, 2,3,...,98A . Arǎtaţi cǎ oricum am alege 50 de elemente ale mulţimii A, existǎ douǎ printre ele având suma cub perfect.

Concurs Iaşi 2008

VIII. 293 Determinaţi numerele întregi a,b,c,d pentru care 1ac bd şi 2ad bc

Concurs Iaşi, 2008

VIII. 294 Determinaţi numerele naturale nenule a şi b pentru care

1 2a b

Concurs Focşani, 2009

VIII. 295 Determinaţi perechile ( , )x y de numere întregi pentru care 2(2 1) 2 3.x x y y y


VIII. 296 Arătaţi că, dacă , 0x y şi 1xy , atunci 11 1

x yy x

.


VIII. 297 Se consideră în spaţiu punctele A,B,C,D astfel încât 2AC BD şi 2AB BC CD DA . Demonstraţi că punctele considerate sunt coplanare.

Prof. Mihai Bălună, Bucureşti

VIII. 298 Determinaţi funcţiile :f de gradul întâi care satisfac simultan proprietăţile: a) ( ) 1, .x f x x x b) ( ) , .f a a

Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş

VIII. 299 Arătaţi că, dacă M este un punct pe arcul BAC al cercului circumscris unui triunghi isoscel ABC, cu AB AC , atunci .MB MC AB AC

Prof. Dr. Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara

VIII. 300 Se consideră un triunghi ABC dreptunghic în A şi se notează cu D proiecţia lui A pe BC. Dacă O şi Q sunt centrele cercurilor înscrise în triunghiurile ABD, respectiv ACD, iar BO CQ E , demonstraţi că .OQ AE

Concurs Traian Lalescu, Reşiţa, 1995

IX. 251 a) Dați un exemplu de numǎr real a pentru care 1 1aa

;

b) Sǎ se arate cǎ dacǎ , 0a a , satisface 1 1aa

, atunci a.

Concurs Bucureşti 2008

IX. 252 Determinaţi numerele reale m pentru care soluţiile ecuaţiei 2 (4 2) 5 0x m x sunt întregi.


IX. 253 Se consideră mulţimile 2/ 0A x x ax b şi 2/ 2 0B x x bx a .

Determinaţi numerele întregi a şi b ştiind că 1,2,3A B . Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

IX. 254 Se consideră un triunghi ABC în care 120om ABC . Perpendiculara din B pe BC taie pe

AC în D. Arătaţi că dacă 0,1DC tAC

, atunci 2 (1 ) .t AB t BC

Concurs Bacău, 2008

IX. 255 Arătaţi că, dacă într-un triunghi ABC , mediana din A intersectează cercul circumscris triunghiului în punctul D şi triunghiurile ABC şi BDC au ariile egale, atunci triunghiul ABC este dreptunghic.

Prof. Lucian Dragomir, Mihai Monea

IX. 256 Se consideră un triunghi MNP şi punctele T şi S pentru care 3NS MS

, 3PT MT

. Se notează PS NT Q .

Demonstraţi că QM MN MP

. Prof. Gabriel Popa, Iaşi

IX. 257 Determinaţi numerele naturale n pentru care 11 ( 1) 2 4n n

nx n este pătrat perfect. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

IX. 258 Arătaţi că, dacă a,b,c sunt numere reale astfel încât 2 0a ab ac , atunci 2 4 0.b ac Concurs Bucureşti

IX . 259 Se notează cu D, E, F mijloacele laturilor (BC), (CA), respectiv (AB) ale unui triunghi ABC. Dacă M este un punct în planul triunghiului pentru care este adevărată egalitatea 2 MD ME MC

, determinaţi numărul raţional q pentru care MA MB q CF

. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

IX. 260 În plan se consideră o mulţime de vectori S care îndeplineşte condiţiile: 1) Toţi vectorii din S au module egale; 2) Toţi vectorii din S au direcţii diferite; 3) Suma tuturor vectorilor din S este nulă. Atunci: a) Daţi exemplu de mulţime S cu trei elemente; b) Demonstraţi că S nu poate avea 4 elemente; c) Demonstraţi că pentru orice număr natural n impar, mai mare sau egal cu 5, se poate construi

o mulţime S cu n elemente; d) Demonstraţi că pentru orice număr natural n par, mai mare sau egal cu 6, se poate construi o

mulţime S cu n elemente. Prof. Steluţa şi Mihai Monea, Deva

X. 251 Determinaţi progresiile geometrice de numere naturale 1n na

pentru care suma 0

nk

k nk

a C

este pǎtrat perfect pentru orice n natural. Prof. Lucian Dragomir, Shortlist ONM, 2006

X. 252 a) Sǎ se arate cǎ 2x x , pentru orice x .

b) Sǎ se rezolve ecuaţia 22

xx

xx .

Prof. Adrian Troie, Sorin Rǎdulescu, Bucureşti

X. 253 Se consideră numerele complexe 1 3 , 2 , 4 .a i b mi c mi Determinaţi m astfel încât imaginile geometrice ale numerelor considerate să fie vârfurile unui triunghi dreptunghic.

* * *

X. 254 a) Rezolvaţi ecuaţia: 2 3log 6 log 4x x ;

b) Determinaţi numerele întregi y pentru care 2 3log 6 log 1y y


X. 255 Se consideră un triunghi ABC cu .AB AC Pentru un punct M BC se notează cu N punctul în care dreapta AM intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului ABC. Demonstraţi că funcţia :f BC , definită prin ( )f M AM AN este injectivă.

Concurs Traian Lalescu, 1997

X. 256 Rezolvaţi ecuaţia 2 5log ( 1) log (3 2 )x x . Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa

X. 257 Determinaţi x pentru care 3 3log ( 1) log 22( 1) 3x xx x x . Olimpiadă Caraş – Severin, 2003

X. 258 Determinaţi numerele reale x pentru care este adevărată egalitatea

3 7 6 612 6 .x x xx x * * *

X. 259 La un turneu de şah oricare doi participanţi joacǎ o singurǎ partidǎ.Dupǎ ce au jucat câte douǎ jocuri, 5 participanţi pǎrǎsesc competiţia.La finele turneului s-a constatat cǎ numǎrul total de partide jucate este egal cu 100. Câţi şahişti au participat iniţial la turneu ?

Olimpiadǎ Moldova, 2007

X. 260 Pe un cerc se fixeazǎ 3n puncte distincte( 3n ), dintre care n se coloreazǎ cu roşu, douǎ se coloreazǎ cu galben şi unul cu albastru. Sǎ se determine: a) numǎrul poligoanelor monocolore; b) numǎrul poligoanelor bicolore; c) numǎrul poligoanelor tricolore.

Prof.Vasile Pop, Cluj – Napoca, Concurs 2008

XI. 251 Se consideră matricea 2 22 22 2

a b cA b c a

c a b

, unde , ,a b c , distincte două câte două.

a) Să se determine rang A . b) Să se arate că există matricele 3,B C astfel încât A B C şi

det det detB C B C . c) Să se demonstreze că dacă 3a b c , atunci orice soluţie 0 0 0, ,x y z a sistemului

aAX b

c

verifică relaţia 0 0 012

x y z .

Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

XI. 252 Se dǎ şirul de numere reale definit prin 1 10, , 1n n nx x x x n . Sǎ se calculeze:

a) lim nnx

; b) lim n

nnx

; c) 2lim n

n

xn

.

Concurs Braşov, 2008

XI. 253 Sǎ se determine numerele naturale x,y,z ştiind cǎ triunghiul determinat de punctele

( , ), ( , ), ( , )A x y B y z C z x are aria egalǎ cu 32

, iar centrul de greutate al triunghiului este punctul

(2,2).G Olimpiadǎ localǎ Caraş – Severin, 2008

XI. 254 Determinaţi funcţiile continue :f pentru care existǎ k astfel încât (0) 1f şi

( ) ,2xf x f kx x

.

Olimpiadǎ localǎ Satu – Mare, 2008

XI. 255 Studiaţi convergenţa şirului definit prin 1 11, 3 4, 1n nx x x n . * * *

XI. 256 Determinaţi numerele întregi a,b,c care satisfac condiţiile următoare: 1) 2 4a b c ; 2) 3 2 8;a b c

3) 2 3 3;a b c 4) .b ac

Red. RMCS

XI. 257 O matrice 2A are proprietatea (P) dacă 4 22 .

2 2tA A

a) Determinaţi matricele 2A care au proprietatea (P); b) Arătaţi că există o infinitate de matrice 2A care au proprietatea (P).

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

XI. 258 Sǎ se determine funcţia derivabilǎ : 0,f pentru care

(0)f e şi 2 /( ) (1 ) ( ),x f x x f x x . Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

XI. 259 Se consideră funcţia 2: , ( ) xf f x x e . Arătaţi că: a) Derivata /f a funcţiei considerate este strict crescătoare;

b) 4 12

e e ;

c) 8 4 364

e e ;


XI. 260 Se considerǎ o funcţie derivabilǎ : 0,f , strict crescǎtoare, cu (0) 0f .

a) Demonstraţi cǎ existǎ 0,2

c

pentru care / ( )( )

f c tgcf c

.

b) Demonstraţi cǎ existǎ 0,4

d

pentru care / ( ) 2 2( )

f d tg df d

.

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

XII. 251 Se consideră şirul 1n nI definit prin ln 11

10

nxI dxn x

, oricare ar fi n .

a) Să se determine 1I . b) Să se arate că lim 0n

nI

.

Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

XII. 252 Dacǎ P este un polinom de gradul 2013 şi

( ) , 0, 20131

kP k kk

, calculaţi (2014).P

* * *

XII. 253 Sǎ se arate cǎ: 4

22

1 2 31 .36 5

dxx x


XII. 254 Arătaţi că funcţia : 3f este un morfism între grupurile ,G şi 3 ,H . Stabileşte funcţia f chiar un izomorfism între grupurile G şi H ?

* * *

XII. 255 Determinaţi ordinul elementului 7 în grupul 2014 , * * *

XII. 256 Arătaţi că orice grup ,G pentru care există ,a b G astfel încât 2ab ba şi 4b e , este un grup finit.


XII. 257 Calculaţi: 2

sin cos , 0, .cos 2

xx xK e dx xx


XII. 258 Se consideră mulţimea 2/ .tA A A I

1. Să se studieze care dintre matricele 0 1 1 1

,1 0 1 0

B C

aparţin mulţimii

considerate. 2. Să se arate că înmulţirea matricelor determină pe mulţimea o structură de grup

necomutativ. 3. Să se demonstreze că dacă ,A B , X şi AX B , atunci X .

* * *

XII. 259 Să se dea un exemplu de lege de compoziţie pe care are elementul neutru 0e şi pentru care simetricul lui 1x există,dar este un număr din \ .


XII. 260 Calculaţi 3

2 5

( 1) , 0.( 1)( 1)

x xJ dx xx x

Red. RMCS

II. 171 Câte numere de patru cifre încep şi se termină cu ... · Timişoara pleacă un alt...

Documents

Transcript of II. 171 Câte numere de patru cifre încep şi se termină cu ... · Timişoara pleacă un alt...