I.comportamentul Agentului Consumator Aplicatii

1

I. Comportamentul agentului consumator – modelul static

Aplicaţii

1. Fie funcţia de utilitate: 1

1 2 1 2,U q q q q şi restricţia bugetară: i ip q V .

Cerinţe:

a) verificaţi proprietăţile funcţiei de utilitate;

b) găsiţi funcţiile de cerere de tip Marshall;

c) determinaţi nivelul maxim de utilitate pe care îl poate atinge consumatorul. Cum se

modifică nivelul maxim de utilitate atunci când se modifică preţurile celor două bunuri,

respectiv venitul consumatorului?

d) determinaţi elasticitatea cererii celor două bunuri în funcţie de preţuri şi de venit. Care este

natura celor două bunuri şi care este relaţia dintre elasticităţi?

e) Cu cât se modifică cantitatea consumată din cele două bunuri dacă preţurile şi venitul cresc

cu 10%? Dar dacă preţurile cresc cu 7%, iar venitul cu 10%?

2. Un consumator are o funcţie de utilitate 2

1 2 1 2

1 1,

2 2U q q q q

. Se ştie că preţul

celor 2 bunuri sunt 1p şi 2p iar consumatorul obţine un venit egal cu V.

a) formulaţi problema de optim a consumatorului şi condiţiile de ordinul I.

b) determinaţi consumul optim din cele două bunuri.

c) determinaţi elasticitatea cererii pentru bunul 1 în funcţie de preţuri şi de venit. Care este suma

elasticităţilor? Interpretare economică.

d) determinaţi satisfacţia maximă a consumatorului şi felul în care el este influenţată de preţuri şi

de venit.

3. Un consumator are o funcţie de utilitate 1

1 2 3 1 2 3, ,U q q q q q q . Se ştie că preţul

celor 3 bunuri sunt 1p , 2p şi 3p iar consumatorul obţine un venit egal cu V.

a) formulaţi problema de optim a consumatorului şi condiţiile de ordinul I.

b) determinaţi consumul optim din cele două bunuri.

c) determinaţi elasticitatea cererii pentru bunul 1 în funcţie de preţuri şi de venit. Care este suma

elasticităţilor? Interpretare economică.

4. Pentru fiecare din funcţiile de utilitate de mai sus, fie problema duală de optim

1 2, ,.....,

min

n

i i

U q q q u

p q

Cerinţe:

2

a) funcţiile de cerere de tip Hicks – verificaţi dacă sunt omogene de grad 0 în preţuri;

b) construiţi funcţia Z – verificaţi dacă este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V;

c) construiţi funcţia e – verificaţi dacă este omogenă de grad 1 în raport cu p;

d) verificaţi identitatea lui Roy şi ecuaţia lui Slutsky.

5. Se consideră funcţia de utilitate )1ln(ln),( LCLCU cu restricţia de buget

wLCp unde L reprezintă munca prestată (ore lucrate), w salariul, p preţul bunurilor şi

serviciilor, iar C cantitatea de bunuri şi servicii consumate. Să se determine:

a) cererea de tip Marshall;

b) funcţia de utilitate indirectă.

6. Un consumator are funcţia de cheltuieli minime egală cu 1 2 1 2( , , ) 2e p p u u p p .

a) cum se modifică venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dacă preţurile cresc cu

10%. Explicaţie.

b) să se determine funcţia de utilitate indirectă ),,( 21 VppZ .

c) să se determine funcţiile de cerere Marshall ),,(),,,( 212211 VppfVppf .

d) să se determine funcţiile de cerere Hicks 1 1 2 2 1 2( , , ), ( , , )h p p u h p p u .

e) să se determine funcţia de utilitate a consumatorului ),( 21 QQU .

7. Funcţia de utilitate a unui consumator este 1 2 1 2( , )U q q q q , iar venitul său este egal cu V.

Ştiind că preţurile celor două bunuri sunt 1p , respectiv 2p se cere:

i) funcţiile de cerere pentru bunurile 1 şi 2 care asigură maximizarea utilităţii consumatorului.

ii) să se precizeze cu cât se modifică cantitatea optimă consumată dacă:

1. Venitul creşte cu 20%, 2. Preţurile scad simultan cu 20%, 3. Atât venitul cât şi preţurile cresc

cu 20%, 4. elasticităţile şi cresc cu câte 10%.

iii) să se determine cantităţile optime consumate dacă 6,0 , 4,0 ,V=5000, 121 p ,

152 p .

8. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile 1q şi respectiv 2q . Preţul unitar al

primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinţele

consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:

1 2 1 1 2, ( 4) ( )U q q q q q

Se cere:

3

a) Funcţiile de cerere Marshall pentru cele două bunuri dacă consumatorul obţine un venit egal cu

V;

b) Valoarea parametrului ;

c) Cu cât se modifică utilitatea maximă obţinută de consumator dacă venitul creşte cu o unitate

monetară Z

V

?

9. Într-o economie există N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V) şi două

bunuri ale căror preţuri sunt în prezent 1p şi 2p . N consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de

utilitate egală cu 0,4 0,6

1 1 2 1 2( , )u x x x x , iar M consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de

utilitate egală cu 2 1 2 1 2( , ) 0,3 ln 0,7 lnu x x x x , unde 1x reprezintă cantitatea consumată din

bunul 1, iar 2x reprezintă cantitatea consumată din bunul 2. Să se determine:

a) funcţiile de cerere agregată (la nivelul întregii economii) pentru bunurile 1 şi 2;

b) cu cât se modifică cantitatea cerută din cele două bunuri dacă preţul lor creşte cu 10%?

10. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:

1 2 1 2 1 2, ln 3 ln , 0, 0U q q q q q q unde 1q ,

2q reprezintă cantităţile consumate din bunul

1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri este 1 2,p p p . Se ştie că venitul de care dispune

consumatorul este V.

a) Să se stabilească dacă funcţia este sau nu concavă;

b) Să se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilităţii, u=k > 0 ;

c) Dacă funcţia de utilitate indirectă este: 1 2

1 2

3( , , ) ln 3 ln

4 4

V VZ p p V

p p

, să se

deducă funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1.

11. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,H) consum, respectiv

timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

1, , 0, 0U C H C H C H

unde H reprezintă timpul liber, şi L timpul de lucru. Singurul venit de care dispune gospodăria

este constituit din salariu brut w, care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0 < θ < 1. Gospodăria

dispune deci de un venit egal cu (1 ) w L . Preţul bunului de consum este egal cu p. Se cere:

a) Determinaţi oferta de muncă a gospodăriei (L) şi funcţia de cerere pentru bunuri de consum

(C). Comentaţi relaţia existentă între aceste funcţii şi parametrii w şi θ.

b) Să se deducă rata marginală de substituţie dintre timpul liber şi muncă. Să se interpreteze

rezultatele obţinute.

4

12. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,H) consum, respectiv

timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

1/2, , 0, 0U C H C H C H

Timpul total se notează cu T și este presupus egal cu 1. Timpul liber este H şi timpul de lucru L.

Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu brut w, care este taxat cu o

rată de impozitare θ ,0 1 . Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1 ) w L . Preţul

bunului de consum este egal cu p.

Se cere:

a) Determinaţi oferta de munca L şi funcţia de cerere de bunuri şi servicii C a gospodăriei.

Comentaţi relaţia existentă între aceste oferte şi parametrii w şi θ , dacă restricţia bugetară a

gospodăriei se scrie: (1 )p C w L .

b) Se presupune că w=1. Care este suma totală a impozitului plătit?

13. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două

bunuri notate 1q şi

2q . Preţurile celor două bunuri, 1p şi 2p , sunt strict pozitive. Preferinţele

consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate, 1 2 1 2 1 2, ( ), 0, 0U q q q q q q

unde 1q şi

2q sunt cantităţile consumate din cele două bunuri. Venitul acestuia este de 12 u.m. iar

vectorul de preţuri este p =(2 1). Se cere:

a) Să se determine cererea Marshall din cele două bunuri;

b) Dacă 2p şi V sunt constante iar 1p scade cu o unitate, să se determine natura bunului 1;

c) Dacă 1p şi 2p rămân constante iar venitul creşte la 16 u.m., să se determine natura bunurilor.

14. Se consideră o economie caracterizată de un consumator şi de un producător reprezentativ.

Utilitatea consumatorului depinde de consum (c) şi de timpul liber (1-l), unde l reprezintă timpul

lucrat (oferta de muncă), )1,0(l . Funcţia de utilitate a consumatorului este următoarea:

21)1,( lclcu

Se mai ştie că acest consumator nu obţine venituri decât din muncă, w este salariul nominal pe

unitate de timp, iar p este nivelul preţurilor.

Din problema de optim a producătorului se obţine următoarea funcţie de cerere de muncă:

2

1

p

w

p

w

lD

Să se determine cantitatea optimă de muncă oferită de consumator în funcţie de salariul real şi

nivelul salariului real de echilibru pe piaţa forţei de muncă.

5

Indicații și soluții

1.

a) Faptul că funcţia U este continuă este evident. Mai trebuie să punem condiţia ca

funcţia U să fie crescătoare şi concavă.

Funcţia U este crescătoare dacă derivatele parţiale ale funcţiei sunt pozitive

000 1

2

1

1

1

qqq

U şi 10)1(0 21

2

qqq

U.

Pentru a stabili dacă funcţia este concavă, determinăm matricea Hessiană:

2 1 1

1 2 1 2

1 1

1 2 1 2

( 1) 1( ( ))

1 (1 )

q q q qH U q

q q q q

Minorul de ordinul 1 2 1

1 1 2( 1) (1 ) 0 [0,1]q q

Minorul de ordinul 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2( 1) [ ( 1) (1 ) ] 0 0 0q q q q

În concluzie, U este funcţie de utilitate doar dacă [0,1] .

b) pentru a determina funcţiile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim a

consumatorului.

Problema de optim:

Vqpqp

qqqqU

2211

1

2121 ),(max

Funcţia tip Lagrange:

][][),,( 2211

1

21221121 VqpqpqqVqpqpUVqqL

Condiţiile de optim:

)3(0

)2()1(0)1(0

)1(00

2211

221221

2

1

1

2

1

11

1

2

1

1

1

VqpqpL

pqqpqqq

L

pqqpqqq

L

6

Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem: )4(1

1

1

221

1

2

2

1

p

pqq

p

p

q

q

Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 2:

)5()1(

),,(2

212

*

2p

VVppfq

.


1

211

*

1 ),,(p

VVppfq

.

c) Funcţia Z (funcţia de utilitate indirectă) reprezintă utilitatea maximă ce poate fi atinsă

în condiţiile încadrării în venitul disponibil V. Deci Z se obţine înlocuind în funcţia de

utilitate cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Marshall:

1

21

11

21

1

2121

*

2

*

121

1)1(),(),(),,(

pp

V

p

V

p

VffffUqqUVppZ

se observă că utilitatea maximă scade atunci când preţurile celor două bunuri cresc

(relaţie negativă) şi creşte atunci când venitul consumatorului creşte (relaţie pozitivă).

d) 11

1

1

1/ 11

f

p

p

fE pf

01

2

2

1/ 21

f

p

p

fE pf

11

1/1

f

V

V

fE Vf

0101/// 12111 Vfpfpf EEE

e) În situaţia în care preţurile şi venitul cresc cu 10%, noua valoare a acestora va fi 1,1•

valoarea veche.

1 1 2 1 1 2

1 1

1,1(1,1 ,1,1 ,1,1 ) ( , , )

1,1

V Vf p p V f p p V

p p

- cantitatea cerută nu se modifică.

În situaţia în care preţurile cresc cu 7% şi venitul creşte cu 10%:

1 1 2 1 1 2

1 1

1,1(1,07 ,1,07 ,1,1 ) 1,028 1,028 ( , , )

1,07

V Vf p p V f p p V

p p

- cantitatea cerută

creşte cu 2,8%.

7

4.

a) Problema de optim:

1 1 2 2

1

1 2 1 2

min

( , )

p q p q

U q q q q u

Funcţia tip Lagrange:

1

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) [ ( , )] [ ]L q q p q p q u U q q p q p q u q q


1 1 1 1

1 1 2 1 2 1

1

2 1 2 1 2 2

2

1

1 2

0 0 (1)

0 (1 ) 0 (1 ) (2)

0 (3)

Lp q q q q p

q

Lp q q q q p

q

Lq q u

Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem: )4(1

1

1

221

1

2

2

1

p

pqq

p

p

q

q

Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Hicks pentru bunul 2:

* 12 2 1 2

2

1( , , ) (5)

a

pq h p p u u

p

.


11

* 11 1 1 2 1

2

1( , , )

a

pq h p p u u

p

.

Demonstrăm că funcţia Hicks 1h este omogenă de gradul 0 în preţuri, ceea ce înseamnă

conform definiţiei funcţiilor omogene:

11

0 11 1 2 1 1 2 1 1 2 1

2

11

11 1 21

2

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , )

a

a

ph p p u h p p u h p p u u

p

pu h p p u

p

b) e reprezintă cheltuielile minime ce pot fi realizate în condiţiile obţinerii unei utilităţi

egale cu u. Deci e se obţine înlocuind în funcţia de cheltuieli cantităţile cu valorile lor

optime, adică cu funcţiile de cerere Hicks:

8

11

* * 11 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

2

1 1 2 1 22 1 2

2 2 1 2

1( , , )

1 1 1

1 1

a

a a a

pe p p u p q p q p h p h p h p h p u

p

p p p p pp u u p p u

p p p p

Funcţia e este omogenă de grad 1 în raport cu p dacă şi numai dacă:

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

1 1( , , ) ( , , )

1 1a a

p p p pe p p u u u e p p u

p p

5.

a) Problema de optim:

LwpC

LC

)1ln(lnmax

Funcţia de tip Lagrange

)()1ln(ln),,( LwpCLCLC


)3(0

)2(1

10

1

10

)1(1

01

0

LwpC

Lww

LL

pC

pCC

Împărţim relaţia (2) la (1): )4(11 w

pCL

L

C

p

w

Înlocuind relaţia (4) în restricţie (relaţia (3)) obţinem: )5(2

*

p

wC .

Pentru a obţine numărul de ore lucrate optim înlocuim consumul optim în relaţia 4:

2

1L .

6.

a) Faptul că preţurile cresc cu 10% se scrie 1 11,1p p şi 2 21,1p p . De aici funcţia de

cheltuieli minime se modifică astfel:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , , ) 2 2 1,1 1,1 2 1,1 1,1 ( , , )e p p u u p p u p p p p e p p V

9

Acest lucru înseamnă că atunci când preţurile cresc cu 10 % şi cheltuielile minime cresc

cu 10%, deci şi veniturile minime pentru a obţine o utilitate u trebuie să crească tot cu

10%!

b) se foloseşte identitatea:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( , , ( , , )) 2 ( , , ) ( , , )2

Ve p p Z p p V V Z p p V p p V Z p p V

p p

! Punctele c) şi d) se pot rezolva prin 2 metode:

- se aplică identitatea lui Roy pt a determina funcţiile Marshall şi pentru funcţiile Hicks

se utilizează identitatea 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i if p p e p p u h p p u

-se aplică lema lui Shepard pentru a determina funcţiile Hicks şi pentru funcţiile Marshall

se utilizează identitatea 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i ih p p Z p p V f p p V

Să urmăm prima metodă.

c) Scriem identitatea lui Roy pentru funcţiile Marshall 21 , ff

1 21 2

1 1 21 11

1 2 1

1 2 1 2

1 2

2( , , )

4

( , , ) 1 2

2 2

2

V

Vp pZ p p V

p p pp p Vf

Z p p V V p

V p p p p

V

p p

Analog pentru cealaltă funcţie Marshall 2

22p

Vf .

d) folosim relaţia 1 2 1 2 1 2( , , ( , , )) ( , , )i if p p e p p u h p p u

1 21 2 21 1 2 1 1 2 1 2

1 1 1

2( , , )( , , ) ( , , ( , , ))

2 2

u p pe p p u ph p p u f p p e p p u u

p p p

Analog

1 21 2 12 1 2 2 1 2 1 2

2 2 2

2( , , )( , , ) ( , , ( , , ))

2 2

u p pe p p u ph p p u f p p e p p u u

p p p

10

9.

a) Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate )(1 xu

2

21

1

2

1

21

1

1 6,0),,(,4,0),,(p

VVppf

p

VVppf

Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate )(2 xu

2

21

2

2

1

21

2

1 7,0),,(,3,0),,(p

VVppf

p

VVppf

Funcţiile de cerere agregate

Mp

VN

p

VVppfM

p

VN

p

VVppf

22

212

11

211 7,06,0),,(,3,04,0),,(

b) se calculează elasticitățile funcțiilor 1f şi 2f faţă de 1p şi, respectiv, 2p și se obţin

egale cu -1, de unde, cantitatea cerută din ambele bunuri scade cu 10% atunci când preţul

lor creşte cu 10%.

14. Problema de optim a consumatorului se scrie în cazul acesta astfel:

2

max ( ,1 ) 1u c l c l

p C w l

I.comportamentul Agentului Consumator Aplicatii

Documents

Transcript of I.comportamentul Agentului Consumator Aplicatii